Probeklausur im Fach Technische Mechanik A / Statik Nr. 5 · PDF fileProbeklausur im Fach Technische Mechanik A / Statik Nr. 5 Universität Siegen; Department Maschinenbau Institut

Probeklausur im Fach Technische Mechanik A / Statik Nr. 5 Universität Siegen; Department Maschinenbau

Institut für Mechanik und Regelungstechnik – Mechatronik

Prof. Dr.-Ing. C.-P. Fritzen

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Probeklausur im Fach

TECHNISCHE MECHANIK A (STATIK)

Nr. 5

Matrikelnummer: __________________

Vorname: ___________________________________

Nachname: ___________________________________

Ergebnis Klausur

Aufgabe: 1 2 3 4 5 6 Summe

Punkte: 31 7,5 17,5 9 10 5 80

Davon erreicht

Gesamtergebnis

Klausur Testate Summe NOTE

Punkte:

Bearbeitungszeit: 120 Minuten

Hilfsmittel: - Taschenrechner, programmierbar oder nicht programmierbar

- Gebundenes Vorlesungsmanuskript der Veranstaltung „Techni-

sche Mechanik A (Statik)“ mit handschriftlichen Notizen

Hinweise: Beschriften Sie jedes Blatt mit Name und Matrikelnummer. Die

Aufgaben sind nachvollziehbar zu lösen. Selbst eingeführte Variab-

len sind durch gegebene Größen zu definieren. Nur Ergebnisse in

den dafür vorgesehenen Lösungsbereichen auf dem Aufgabenblatt

werden bewertet. Das Aufgabenblatt ist abzugeben.




Name: ____________________________________ Matrikel-Nr.:__________________

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Aufgabe 1 (31 Punkte)

Der dargestellte Staudamm besteht aus einem masse-

losen, gewinkelten Balken, der durch das Loslager in

A und das Festlager in E in seiner Position gehalten

wird. Durch die gestaute Wassermasse wird der Bal-

ken zum einen durch eine veränderliche Streckenlast

beansprucht, die vom Punkt C linear von Null auf den

Maximalwert q0 bei Punkt D ansteigt, und zum ande-

ren durch eine konstante Streckenlast q0, die zwi-

schen den Punkten D und E wirkt.

Zur Bestimmung aller Auflagerreaktionen sollen

a) das / die erforderliche/n Freikörperbild/er ge-

zeichnet,

b) die entsprechenden Gleichgewichtsbedingungen

aufgestellt werden und

c) die Auflagerreaktionen mit den Gleichgewichts-

bedingungen aus Aufgabenteil b) berechnet wer-

den.

Für den Aufgabenteil d) sind die Auflagerreaktio-

nen in A und E als gegeben anzunehmen! Übernehmen Sie den Richtungssinn und die Orientierung der

Auflagerreaktionen aus Aufgabenteil a)!

d) Bestimmen Sie den Normalkraft-, Querkraft- und Momentenverlauf im Balken zwischen den Punkten B und

E in Abhängigkeit der gegebenen Größen. Verwenden Sie dazu die gegebenen Koordinatensysteme.

Gegeben: a, q0, nur in Aufgabenteil d) zusätzlich: Auflagerreaktionen in A und E

Lösung a) Freikörperbild(er):

3a

2a

2a

2a

a2

xy

q0

q0

B

R = q 2aq2 0

R = 0,5 q 3aq1 0

A

Ex

Ey




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Lösung b) Gleichgewichtsbedingungen:

∑ 𝐹𝑋 = 0: −𝑅𝑞1 − 𝐸𝑥 = 0 ⇒ 𝐸𝑥 = −𝑅𝑞1 = −3

2𝑞0 ∙ 𝑎

∑ 𝐹𝑌 = 0: 𝐴 + 𝐸𝑦 − 𝑅𝑞2 = 0

∑ 𝑀𝐼 ⃐ = 0: −𝐴 ∙ 4𝑎 + 𝑅𝑞1 ∙

1

3∙ 3𝑎 + 𝑅𝑞2 ∙ 𝑎 = 0

⇒ 𝐴 =1

4𝑎(

3

2𝑞0 ∙ 𝑎 ∙

1

3∙ 3𝑎 + 2𝑞0 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎) =

3

8𝑞0 ∙ 𝑎 +

1

2𝑞0 ∙ 𝑎 =

7

8𝑞0 ∙ 𝑎

⇒ 𝐸𝑦 = 𝑅𝑞2 − 𝐴 = 2𝑞0 ∙ 𝑎 −7

8𝑞0 ∙ 𝑎 = (

16

8−

7

8) 𝑞0 ∙ 𝑎 =

9

8𝑞0 ∙ 𝑎

Lösung c) Ergebnisse (1,5 Punkte):

𝐴 =7

8𝑞0 ∙ 𝑎 𝐸𝑥 = −

3

2𝑞0 ∙ 𝑎 𝐸𝑦 =

9

8𝑞0 ∙ 𝑎




Name: ____________________________________ Matrikel-Nr.:__________________

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Lösung d) Freikörperbild(er):

Bereich I: 0 < 𝑥1 <𝑎

2

2a

2a

A

N(x )1

Q(x 1)

M(x1)

x1

z1

𝑅𝑞1∗ =

1

2𝑞(𝑥1) ∙ (𝑥1 −

𝑎

2)

⇒ 𝑅𝑞1∗ =

𝑞0

6𝑎𝑥1

2 −1

6𝑞0𝑥1 +

1

24𝑞0𝑎

Bereich II: 𝑎

2< 𝑥1 <

7

2𝑎

⇒ 𝑞(𝑥1) =?

Mit: 𝑞(𝑥1) = 𝑚𝑥1 + 𝑏

𝑞 (𝑎

2) = 0 ⇒ 0 = 𝑚 ∙

𝑎

2+ 𝑏 (1)

𝑞 (7

2𝑎) = 𝑞0 ⇒ 𝑞0 = 𝑚

7

2𝑎 + 𝑏 (2)

Aus (1) ⇒ 𝑏 = −𝑚𝑎

2 (3)

(3) in (2) ⇒ 𝑞0 = 𝑚7

2𝑎 − 𝑚

𝑎

2

⇒ 𝑚 =𝑞0

3𝑎 (4)

(4) in (3) ⇒ 𝑏 = −1

6𝑞0

⇒ 𝑞(𝑥1) =𝑞0

3𝑎𝑥1 −

1

6𝑞0

2a

2a

A

N(x )1

Q(x 1)

M(x1)

q(x )1

R = 0,5 q(x ) xq1 1 1

*

x1

z1

𝑅𝑞2∗ = 𝑞0 ∙ (2𝑎 − 𝑥2)

Bereich III: 0 < 𝑥2 < 2𝑎 „Negatives Schnittufer“

N(x )1

Q(x 1)

M(x1)

Ex

Ey

R = q (2a-x )q2 0 2

*

x2

z2

q0




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Lösung d) Gleichgewichtsbedingungen für Schnittreaktionen:

Bereich I: 0 < 𝑥1 <𝑎

2

∑ 𝐹𝑥1= 0: 𝑁(𝑥1) − 𝐴 = 0 ⇒ 𝑁(𝑥1) = 𝐴 (=

7

8𝑞0 ∙ 𝑎)

∑ 𝐹𝑧1= 0: 𝑄(𝑥1) = 0

∑ 𝑀𝑆 ⃐ = 0: 𝑀(𝑥1) − 𝐴 ∙ 2𝑎 = 0 ⇒ 𝑀(𝑥1) = 𝐴 ∙ 2𝑎 (=

7

8𝑞0 ∙ 𝑎 ∙ 2𝑎 =

7

4𝑞0 ∙ 𝑎2)

Bereich II: 𝑎

2< 𝑥1 <

7

2𝑎

∑ 𝐹𝑥2= 0: 𝑁(𝑥1) − 𝐴 = 0 ⇒ 𝑁(𝑥1) = 𝐴 (=

7

8𝑞0 ∙ 𝑎)

∑ 𝐹𝑧2= 0: 𝑄(𝑥1) + 𝑅𝑞1

∗ = 0 ⇒ 𝑄(𝑥1) = −𝑅𝑞1∗ = −

𝑞0

6𝑎𝑥1

2 +1

6𝑞0𝑥1 −

1

24𝑞0𝑎

∑ 𝑀𝑆 ⃐ = 0: 𝑀(𝑥1) − 𝐴 ∙ 2𝑎 + 𝑅𝑞1

∗ ∙ (𝑥1−

𝑎

2

3) = 0

⇒ 𝑀(𝑥1) = 𝐴 ∙ 2𝑎 − 𝑅𝑞1∗ ∙ (

𝑥1

3−

𝑎

6)

= 𝐴 ∙ 2𝑎 − (𝑞0

6𝑎𝑥1

2 −1

6𝑞

0∙ 𝑥1 +

1

24𝑞0𝑎) ∙ (

𝑥1

3−

𝑎

6)

(= −𝑞0

18𝑎𝑥1

3 +1

12𝑞0𝑥1

2 −1

24𝑞0𝑎𝑥1 +

253

144𝑞0𝑎2)

Bereich III: 0 < 𝑥2 < 2𝑎 „Negatives Schnittufer“

∑ 𝐹𝑥2= 0: −𝑁(𝑥2) − 𝐸𝑥 = 0 ⇒ 𝑁(𝑥2) = −𝐸𝑥 (=

3

2𝑞0 ∙ 𝑎)

∑ 𝐹𝑧2= 0: −𝑄(𝑥2) − 𝐸𝑦 + 𝑅𝑞2

∗ = 0

⇒ 𝑄(𝑥2) = 𝑅𝑞2∗ − 𝐸𝑦 = 𝑞0(2𝑎 − 𝑥2) − 𝐸𝑦

(=7

8𝑞0 ∙ 𝑎 − 𝑞0 ∙ 𝑥2)

∑ 𝑀𝑆 ⃐ = 0: −𝑀(𝑥2) − 𝑅𝑞2

∗ ∙ (2𝑎−𝑥2

2) + 𝐸𝑦(2𝑎 − 𝑥2) = 0

⇒ 𝑀(𝑥2) = −𝑞0(2𝑎 − 𝑥2) (𝑎 −𝑥2

2) + 𝐸𝑦(2𝑎 − 𝑥2)

(=1

4𝑞0 ∙ 𝑎2 +

7

8𝑞0 ∙ 𝑎 ∙ 𝑥2 −

1

2𝑞0 ∙ 𝑥2

2)

Lösung d) Ergebnisse (4 Punkte): (keine graphische Darstellung erforderlich)

Siehe oben




Name: ____________________________________ Matrikel-Nr.:__________________

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Aufgabe 2 (7,5 Punkte)

An einem geraden Balken wurde der rechts dargestellte Momenten-

verlauf im Bereich 0 < x < 5a ermittelt.

a) Skizzieren Sie anhand des gegebenen Momentenverlaufs quanti-

tativ (mit Angabe der Werte für Q(x)) den Querkraftverlauf in

dem gegebenen Diagramm.

(Tipp: Nutzen Sie den Zusammenhang zwischen der Steigung des

Biegemomentenverlaufs und dem Querkraftverlauf)

b) Geben Sie den Ort des/der Nulldurchganges/Nulldurchgänge des

Querkraftverlaufes an.

c) Welche Art der Lagerung kommt für den dargestellten Moment-

verlauf an der Stelle x = 5a in Frage?

d) Welches der abgebildeten Freikörperbilder führt zu dem gegebenen Momentenverlauf?

e) Prüfen Sie die in d) abgebildeten Systeme auf ihre statische Bestimmtheit.

Gegeben: F, a

Lösung a):

Lösung b) Nulldurchgang/Nulldurchgänge xi,Null

x1,Null = a und x2,Null = 4a

Lösung c):

Die Lagerung an der Stelle x = 5a entspricht □ einem Loslager,

□ einem Festlager oder

□ einer festen Einspannung.

x




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Lösung d):

Lösung e):

1) □ statisch unbestimmt 2) □ statisch unbestimmt

□ statisch bestimmt □ statisch bestimmt

□ beweglich □ beweglich

3) □ statisch unbestimmt 4) □ statisch unbestimmt

□ statisch bestimmt □ statisch bestimmt

□ beweglich □ beweglich

x

x

x

x

x




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Aufgabe 3 (17,5 Punkte)

Das rechts dargestellte System besteht aus zwei im Gelenk G

verbundenen Stabtragwerken. Am linken Stabtragwerk ist die

Masse m mit zwei Seilen in den Punkten D und E befestigt.

Das System wird durch das Festlager A und die beiden Los-

lager B und C im Gleichgewicht gehalten.

a) Berechnen Sie die Gelenkreaktionen

im Gelenk G.

(Tipp: Wählen Sie geschickt die Mo-

mentengleichgewichtsbedingungen)

Für den Aufgabenteil b) sind die Ge-

lenkreaktionen in G als gegeben anzu-

nehmen! Übernehmen Sie den Rich-

tungssinn und die Orientierung der

Gelenkreaktionen aus Aufgabenteil a)!

b) Ermitteln Sie die Stabkräfte S10, S11,

S12 in den Stäben 10, 11 und 12.

c) Markieren Sie, ohne Berücksichtigung

bisheriger Ergebnisse, die Nullstäbe in

der Skizze rechts (ohne Begründung).

Gegeben: a, m, g, nur in Aufgabenteil b) zusätzlich: Gelenkreaktionen in G





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Lösung a) Gleichgewichtsbedingungen zur Bestimmung der Gelenkreaktionen

∑ 𝑀𝐴 = 0: −1

2∙ 𝑚𝑔 ∙ 2 a cos 45° −

1

2∙ 𝑚𝑔 ∙ 4 a cos 45° − 𝐺𝑥 ∙ 5𝑎 sin 45° + 𝐺𝑦 ∙ 5𝑎 cos 45° = 0 (1)

∑ 𝑀𝐶 = 0: 𝐺𝑦 ∙ 𝑎 + 𝐺𝑥 ∙ 2𝑎 = 0 (2)

Aus (2): 𝐺𝑥 = −𝐺𝑦

2 (3)

(3) in (1): 𝐺𝑦 =2

5𝑚𝑔

Lösung a) Ergebnisse (1 Punkt):

𝐺𝑦 =2

5𝑚𝑔 und 𝐺𝑥 = −

1

5𝑚𝑔




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Lösung b) Freikörperbild(er) zur Bestimmung der Stabkräfte:

Lösung b) Gleichgewichtsbedingungen zur Bestimmung der Stabkräfte:

∑ 𝑀𝐼 = 0: 𝑆12 ∙ 𝑎 −1

2𝑚𝑔 ∙ 2𝑎 cos 45° + 𝐺𝑦 ∙ 3𝑎 cos 45° − 𝐺𝑥 ∙ 3𝑎 sin 45° = 0

∑ 𝑀𝐼𝐼 = 0: − 𝑆10 ∙ 𝑎 −1

2𝑚𝑔 ∙ 2𝑎 cos 45° + 𝐺𝑦 ∙ 3𝑎 cos 45° − 𝐺𝑥 ∙ 𝑎 sin 45° = 0

∑ 𝐹 ↑= 0: − 𝑆11 −1

2𝑚𝑔 + 𝐺𝑦 − 𝑆10 cos 45° − 𝑆12 cos 45° = 0

Lösung b) Ergebnisse (1,5 Punkte):

S10 = −𝑚𝑔√2

2− 3

√2

2(

𝐺𝑥

3− 𝐺𝑦) (=

√2

5𝑚𝑔 )

S11 = −𝑚𝑔

2+ 𝐺𝑦 − 𝐺𝑥 (=

1

10𝑚𝑔)

S12 = 𝑚𝑔√2

2+ 3

√2

2(𝐺𝑥 − 𝐺𝑦) (= −

2√2

5𝑚𝑔 )




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Name: ____________________________________ Matrikel-Nr.:__________________

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Die dargestellte Aufhängung in einer räumlichen Ecke besteht aus

einem schrägen Stab III und zwei horizontalen Stäben I und II. Im

Gelenk A ist eine Kiste mit der Masse m über ein Seil befestigt.

a) Zeichnen Sie das / die erforderliche(n) Freikörperbild(er) zur Be-

rechnung der Stabkräfte SI, SII und SIII.

b) Bestimmen Sie die Vektoren der Stabkräfte SI, SII, SIII und der

Gewichtskraft G aus dem Freikörperbild aus den gegebenen geo-

metrischen Größen in Abhängigkeit der noch unbekannten Beträge

der Stabkräfte SI, SII, SIII und der gegebenen Größen.

(Hinweis: S1 = e1 ∙ S1, ...).

c) Stellen Sie das vektorielle Kräftegleichgewicht zur Bestimmung

der Beträge der Stabkräfte SI, SII und SIII auf.

d) Berechnen Sie die Beträge der Stabkräfte SI, SII und SIII in Abhängigkeit der gegebenen Größen.

Gegeben: m, g


Lösung b):

𝐺 = (00

−𝑚𝑔)

𝑆𝐼 = (2𝑎00

) ∙𝑆𝐼

2𝑎= (

𝑆𝐼

00

)

𝑆𝐼𝐼 = (−𝑎2𝑎0

) ∙𝑆𝐼𝐼

√1 + 4 ∙ 𝑎= (

−120

)𝑆𝐼𝐼

√5

𝑆𝐼𝐼𝐼 = (

2𝑎2𝑎5

2𝑎) ∙

𝑆𝐼𝐼𝐼

√4 + 4 +254 ∙ 𝑎

= (

225

2

)𝑆𝐼𝐼𝐼

√574




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Lösung c):

∑ 𝐹 = 0: 𝑆𝐼 + 𝑆𝐼𝐼 + 𝑆𝐼𝐼𝐼 + 𝑆0 = 0

⇒ (𝑆𝐼

00

) + (−120

)𝑆𝐼𝐼

√5+ (

225

2

)𝑆𝐼𝐼𝐼

√57

4

+ (00

−𝑚𝑔) = 0

z-Richtung:

5

2

√57

4

𝑆𝐼𝐼𝐼 + (−𝑚𝑔) = 0 ⇒ 𝑆𝐼𝐼𝐼 = 𝑚𝑔√

57

45

2

= 1,51 ∙ 𝑚𝑔

y-Richtung: 2

√5𝑆𝐼𝐼 +

2

√57

4

𝑆𝐼𝐼𝐼 = 0 ⇒ 𝑆𝐼𝐼 = −2

√57

4

𝑆𝐼𝐼𝐼 ∙√5

2= −0,89 ∙ 𝑚𝑔

x-Richtung: 𝑆𝐼 −1

√5𝑆𝐼𝐼 +

2

√57

4

𝑆𝐼𝐼𝐼 = 0 ⇒ 𝑆𝐼 =1

√5𝑆𝐼𝐼 −

2

√57

4

𝑆𝐼𝐼𝐼 = −1,2 ∙ 𝑚𝑔

Lösung d) Ergebnisse (1,5 Punkte):

SI = -1,2 mg SII = -0,89 mg SIII = 1,51 mg




Name: ____________________________________ Matrikel-Nr.:__________________

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Im dargestellten System verläuft ein Seil vom Festlager A über

eine frei drehbare, nicht gelagerte Rolle und eine reibungsbe-

haftete Kuppe bis zur Masse m1. An der drehbaren Rolle ist die

Masse m2 befestigt. Der Haftreibungskoeffizient zwischen der

Masse m1 und der Wand sei µ0,2, der Haftreibungskoeffizient

zwischen Seil und Kuppe sei µ0,1. Auf die Masse m1 wirkt die

Bremskraft F, die das System im Gleichgewicht hält.

Bestimmen Sie die minimale Bremskraft Fmin, so dass die Mas-

se m2 nicht absinkt!

Gegeben: g, m1, m2, µ0,1, µ0,2

Lösung; alle benötigten Freikörperbilder und Gleichgewichtsbedingungen:

FKB Drehbare Rolle:

∑ 𝑀𝑀𝑖𝑡𝑡𝑒 = 0 : 𝑆1 ∙ 𝑟 − 𝑆2 ∙ 𝑟 = 0

=> 𝑆1 = 𝑆2

∑ 𝐹 ↑= 0 : 𝑆1 + 𝑆2 − 𝑚2𝑔 = 0

=> 𝑆1 = 𝑆2 =𝑚2𝑔

2 (Auch möglich direkt anzugeben; aus Symmetriegründen)




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Lösung; alle benötigten Freikörperbilder und Gleichgewichtsbedingungen (Fortsetzung):

FKB Bremsmasse:

∑ 𝐹 ↑= 0 : 𝑆3 − 𝐻 − 𝑚1𝑔 = 0

∑ 𝐹 →= 0 : 𝑁 − 𝐹 = 0

Haftbedingung: 𝐻 = 𝜇0,2 ∙ 𝑁

Seilreibung Kuppe:

𝑆2 > 𝑆3 => 𝑆2 = 𝑆3𝑒𝜇0,1∙𝛼

Mit Umschlingungswinkel 𝛼 = 𝜋 folgt:

𝑆2 = 𝑆3𝑒𝜇0,1∙𝜋

Ergebnis:

Fmin=

1

𝜇0,2∙ (

𝑚2𝑔

2𝑒−𝜇0,1∙𝜋 − 𝑚1𝑔)




Name: ____________________________________ Matrikel-Nr.:__________________

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Die nebenstehende Abbildung zeigt den Querschnitt eines Kranhakens mit

konstanter Dicke und konstanter Dichte. Der Kranhaken besteht aus einem

C-Profil und einem kreisförmigen Ausschnitt in der Oberseite.

Berechnen Sie in dem gegebenen Koordinatensystem die Flächenschwer-

punktkoordinaten xS und yS für den rechts dargestellten Kranhaken.

Gegeben: r

Rechnung:

𝑥𝑠 =∑𝐴𝑖⋅𝑥𝑠𝑖

∑𝐴𝑖 , 𝑦𝑠 =

∑𝐴𝑖⋅𝑦𝑠𝑖

∑𝐴𝑖

i Ai xsi ysi 𝐴𝑖 ⋅ 𝑥𝑠𝑖 𝐴𝑖 ⋅ 𝑦𝑠𝑖

1 5r² 0,5r 3,5r 2,5r³ 17,5r³

2 6r² 2,5r 0 15r³ 0

3 6r² 0 −3,5𝑟 0 −21𝑟3

4 −1

9𝜋𝑟2 0 3,5r 0 −

7

18𝜋𝑟3

Summe 17𝑟2 −1

9𝜋𝑟2 17,5r³ −3,5𝑟3 −

7

18𝜋𝑟3

Ergebnisse:

xS = 17,5𝑟3

17𝑟2−1

9𝜋𝑟2

= 1,051𝑟 yS = −3,5𝑟3−

7

18𝜋𝑟3

17𝑟2−1

9𝜋𝑟2

= −0,2836𝑟

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