Pumpspeicherkraftwerk

Einführungin die

Integralrechnung

Ulla Schmidt, Freiherr-vom-Stein-Gymnasium Lünen

Charakteristika

Realitätsnahes Problem Keine Flächenberechnung Bestimmung von Zufluss und Abfluss Von Anfang an negative Integrale Schwerpunkt auf dem Aspekt

„Kumulation“ Verschiedene Modellbildungen möglich

Einstiegsproblem

Quelle: Lernsequenzen zum Thema Energie, Sek. I, Heft 5 (Kraftwerke und Kraftwerkstypen), Hrsg.: Arbeitskreis Schulinformation Energie, Frankfurt 1986

Problem

Nachts wird weniger Strom benötigt als tagsüber.

Man könnte mehr Strom produzieren als gebraucht wird.

Der Strom kann nicht gespeichert werden.

Oder doch?

Pumpspeicherkraftwerk

Pumpspeicherkraftwerk „Koepchenwerk Herdecke“

Informationsbroschüre der RWE Energie, Essen

Aufbau

Speicherbecken

Zufluss-/Abflussrohr

1. Aufgabe

Skizziere die Wassermenge, die durch die Rohre fließt.

Vereinbarungen: Wassermengen, die nach oben gepumpt

werden, werden positiv gezählt und Wassermengen, die nach unten abfließen, werden negativ gezählt.

Eine Schülerlösung …

Zeit t

Zufluss-/Abflussrate

1. Modellierung Treppenfunktionen

Zusatzannahmen: • Anfangsmenge im oberen Wasserbecken = 10 (Volumeneinheiten)• bei f(t)=1 nimmt die Wassermenge im Becken in 1 h um genau eine Volumen- einheit zu

3 0 62 6 94 9 12

( )0 12 131 13 182 18 24

für tfür tfür t

f tfür tfür tfür t

Aufgabe

Idee:Die pro Teilintervall zugeflossene Wassermenge lässt sich als vorzeichenbehafteter (orientierter) Flächeninhalt des Rechtecks zwischen Graph und x-Achse deuten.

Ermittle die Wassermenge im oberen Becken zu den angegebenen Zeitpunkten.

Wassermenge im oberen Becken

2. Modellierungstückweise lineare Funktionen

Gegeben sind nur Punkte, die zu einem Streckenzug verbunden werden:

1 2 3 4 5 6(0 | 3), (4 | 2), (6 | 0), (8 | 3), (10 | 4), (12 | 4),P P P P P P

7 8 9 10 11(13 | 0), (15 | 1), (18 | 0), (20 |1), (24 | 3)P P P P P

Idee:

Berechnen der Flächeninhalte der Trapeze

Wassermenge im oberen Becken

3. Modellierungquadratische Funktion

Idee:Die Teilflächen zwischen Parabel und x-Achse werden durch (orientierte) Trapezflächenapproximiert.

21 24 19( )25 25 5

f x x x

Wassermenge im oberen Becken

Vermutung: Die Integralfunktion ist eine Stammfunktion der Zufluss-/Abflussrate.

Zum Hauptsatz Test: Die Stammfunktion wird direkt berechnet:

und der zugehörige Graph direkt gezeichnet:

Die Graphen der numerischen Näherung und der Stammfunktion unterscheiden sich nur minimal.

3 21 12 19( )

75 25 5F x x x x

Experimentieren mit anderen Funktionenund Streifenbreiten