Pumpspeicherkraftwerk

Eine Einführung in die Integralrechnung

Ulla Schmidt, Freiherr-vom-Stein-Gymnasium Lünen

Charakteristika

Realitätsnahes Problem Schwerpunkt auf dem Aspekt

„Kumulation“ (Wirkung) Bestimmung von Zuflüssen und

Abflüssen Von Anfang an negative Integrale Verschiedene Modellbildungen möglich

Einstiegsbeispiel

Bedarf an elektrischer Energie im Lauf eines Tages

Erkläre den Graphen. Was sind die Ursachen?

Probleme

Nachts wird weniger elektrische Energie benötigt als tagsüber.

Man könnte mehr Strom produzieren als gebraucht wird.

Der Strom kann nicht gespeichert werden.

Oder doch?

Die Lösung

Pumpspeicherkraftwerk „Koepchenwerk Herdecke“

Informationsbroschüre der RWE Energie, Essen

AufbauSpeicherbecken

Zufluss-/Abflussrohr

Aufgabe

Skizziere die Zufluss-/ Abflussraten für das Wasser in den Rohren.

Vereinbarungen: Wassermengen, die nach oben gepumpt

werden, werden positiv gezählt und Wassermengen, die nach unten abfließen, werden negativ gezählt.

Eine einfache Schülerlösung ...

mittlereEnergie

Die Zufluss-/ Abflussrate des Wassers verhält sich genau entgegengesetzt zur Energienachfrage.

1. Modellierung: Treppenfunktion

Zusatzannahmen: • Anfangsmenge im oberen Wasserbecken = 12 (Volumeneinheiten)• Bei f(t)=1 nimmt die Wassermenge im Becken in 1 h um genau eine Volumen- einheit zu

3 0 62 6 94 9 12

( )0 12 131 13 182 18 24

für tfür tfür t

f tfür tfür tfür t

Wie viel Wasserist zu den

gegebenen Zeitpunkten im

Becken?

Idee

Die pro Teilintervall zugeflossene Wassermenge lässt sich als vorzeichenbehafteter (orientierter) Flächeninhalt des Rechtecks zwischen Graph und x-Achse deuten...

Berechnung in einer Tabellenkalkulation

Formeln: in c2: = b2*(a2-a1) in d2: = d1+c2

2. Modellierung: stückweise lineare Funktion

Gegeben sind nur Messpunkte, die zu einem Streckenzug verbunden werden:

1 2 3 4 5 6(0 | 3), (4 | 2), (6 | 0), (8 | 3), (10 | 4), (12 | 4),P P P P P P

7 8 9 10 11(13 | 0), (15 | 1), (18 | 0), (20 |1), (24 | 3)P P P P P

Idee:

Berechnung der Flächeninhalte der Trapeze

Wassermenge im oberen Becken

Formeln in c2: =0.5*(b1+b2)*(a2-a1); in d2: = d1+c2;

3. Modellierung:quadratische Funktion

Idee:Die Teilflächen zwischen Parabel und x-Achse werdendurch (orientierte) Trapezflächen approximiert.

Wassermenge im Speicherbecken

Vergleiche die Graphen! Was beobachtest du?

Die Integralfunktion ist eine Stammfunktion der Zufluss-/ Abflussrate.

Vermutung

Experimentieren mit anderen Funktionenund Streifenbreiten