PW5 – Gase

Andreas Allacher 0501793Tobias Krieger 0447809

Betreuer: Dr. Irmgard Gorgas

15.Nov.2006

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Inhaltsverzeichnis1. Gasthermometer............................................................................................................................... 3

1.1 Allgemein...................................................................................................................................31.1.1 Aufbau des Gasthermometers............................................................................................ 3

1.2 Versuch 1, Boyle-Mariotte........................................................................................................ 41.2.1 Messwerte.......................................................................................................................... 41.2.2 Fehlerauswertung............................................................................................................... 51.2.3 Ergebnis............................................................................................................................. 5

1.3 Versuch 2, Amonton'sches Gesetz.............................................................................................51.3.1 Messwerte.......................................................................................................................... 61.3.2 pt Diagramm...................................................................................................................... 71.3.3 Fehlerauswertung............................................................................................................... 71.3.4 Ergebnisse.......................................................................................................................... 7

2. Adiabatenexponent der Luft............................................................................................................. 82.1 Prinzip........................................................................................................................................82.2 Aufgabe und Formeln................................................................................................................ 82.3 Durchführung.............................................................................................................................82.4 Fehlerfortpflanzung................................................................................................................... 92.5 Auswertung................................................................................................................................9

3. Dampfdruck von Wasser bis 100°C............................................................................................... 103.1 Prinzip......................................................................................................................................103.2 Aufgabe und Formel................................................................................................................ 103.3 Durchführung...........................................................................................................................113.4 Fehlerfortpflanzung................................................................................................................. 113.5 Auswertung..............................................................................................................................12

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1. Gasthermometer

1.1 AllgemeinBei einem Gasthermometer wird die Temperatur über die Ausdehnung eines Gases bestimmt. Ist das Gas ideal, so besteht ein direkter linearer Zusammenhang zwischen Volumsänderung und der Temperatur. Ein Gas ist ideal wenn das Eigenvolumen der Gasmoleküle und die Kohäsion vernachlässigbar ist. Luft ist ein annähernd ideales Gas.

Die allgemeine Gaszustandsgleichung lautet:

p⋅V =n⋅R⋅T bzw. p⋅V =N⋅k B⋅T

p.....DruckV....VolumenT....Temperaturn.....StoffmengeN....StoffteilchenR....universelle Gaskonstante (8,314 Jmol-1K-1)kB...Boltzmannkonstante (1,38066*10-23 J/K)

1.1.1 Aufbau des Gasthermometers

Aufgabenstellung 1: Zusammenhang zwischen Druck p und Volumen V eines Gases bei konstanter Temperatur t (Boyle-Mariotte'sches Gesetz).

Aufgabenstellung 2: Bestimmung des Spannungskoeffizienten der Luft β und die absolute Temperatur T0 bei 0°C (mithilfe des Amonton'schen und Gay-Lussac Gesetzes)

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1.2 Versuch 1, Boyle-MariotteDas Gesetz von Boyle-Mariotte besagt, das der Druck p eines idealen Gases bei gleichbleibender Temperatur T und gleich bleibender Stoffmenge umgekehrt proportional zum Volumen V ist.

p⋅V =const (bei konstanter Temperatur T)

Weil uns das Volumen V nicht bekannt ist, wird die Länge l der Luftsäule als adäquater Maßstab herangezogen, da Volumen V und Länge l zueinander proportional sind.

Der Druck p ergibt sich aus der Summe des atmosphärischen Drucks pa und dem Druck des Quecksilbers. Wir lesen den atmosphärischen Druck an einem Quecksilberthermometer ab. Die Höhendifferenz Δh ist gleich dem Druck Δp des Quecksilbers auf die Luftsäule.

p= paΔp

Wir lesen den Druck in mmHg (Millimeter Qecksilbersäule) ab, wandeln jedoch die Einheit in mbar um.

1mmHg = 1,33mbar = 133Pa

Die Temperatur wird durch einen Messfühler in der Luftsäule abgenommen und auf einem Thermostat angezeigt. Wir wandeln die Temperatur von Celsius auf Kelvin um und verwenden damit die absolute Temperatur.

T=t273,15K

Wir verändern während der Versuchsdurchführung Δh bei unveränderter Temperatur (Raumtemperatur). Weil sich durch Verkürzen bzw. Verlängern des Qecksilbersäule sich der Druck Δp ändert, muss sich dass Volumen, bzw. die Länge l, gemäß dem Gesetz von Boyle-Mariotte umgekehrt proportional erhöhen bzw. verringern.

p⋅V =const⇒ p⋅l=const (bei T = const)

1.2.1 MesswerteRaumtemperatur:22,9 °CAtmosphärischer Druck: 999 mbar

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Messung Temperatur °K l [mm] p [mbar] p*l 1 295,95 -179,55 267 819,45 218793,152 295,95 -93,1 241 905,9 218321,93 295,95 -73,15 236 925,85 218500,64 295,95 -53,2 231 945,8 218479,85 295,95 0 219 999 2187816 295,95 39,9 210 1038,9 2181697 295,95 93,1 200 1092,1 2184208 295,95 126,35 194 1125,35 218317,99 295,95 167,58 187 1166,58 218150,4610 295,95 235,41 177 1234,41 218490,57

Mittelwerte 295,95 218442,440 208,63

Δp [mbar]

Standardabw.

1.2.2 Fehlerauswertung

Fehlerfortpflanzung für p:

s p=s pa2 sΔp

2

sp= 3,33mbar

Fehlerfortpflanzung für p*l

s pl= l2⋅s p2p2⋅s l

2

Vermerk: Wir nehmen für unsere Berechnung die Standardabweichung da ansonsten die Fehlerfortpflanzung für jeden einzelne Messung durchgeführt werden muss und nur den Fehler für eine Messung liefert.

1.2.3 ErgebnisAnhand unserer Messungen können wir das Gesetz von Boyle Mariotte im Rahmen der Fehlerauswertung bestätigen. Wir erhalten ein annähernd konstantes Produkt von Länge und Druck bei einer beliebig gewählten Gastemperatur.

p⋅l=218440 ± 210mbar⋅mm bei T=296 ± 0,1K

1.3 Versuch 2, Amonton'sches GesetzDas Gesetz von Amontons besagt, dass sich bei gleichbleibenden Volumen V und gleich bleibender Stoffmenge der Druck p direkt proportional zur Temperatur T verhält.

p=const⋅T (bei konstantem Volumen V)

Ist der Druck p0 konstant, so ergibt sich, damit die allgemeine Gasgleichung erfüllt ist, eine Proportionalität von Volumen V und Temperatur T (Gesetz von Charles Gay Lussac).

V 0

T=

V 0

T 0

Ändert sich somit die Temperatur von T0 auf T =T0+Δt ergibt sich für V2

V 0=V 0T 0Δt

T 0=V 0

T 0t−t 0T 0

=V 01β⋅t

t........... Temperatur in °Ct0...........0°CV0,,p0....Volumen und Druck bei 0°CV't....Volumen bei Druck p0 und Temperatur tβ.........Raumausdehnungskoeffizient

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Messgröße Messfehler Einheit2 mbar

2,66 mbarl 2 mmT 0,1 °K

pa

Δp

Durch Anwendung des Ergebnisses in der allgemeinen Gasgleichung erhalten wir bei konstantem Volumen

p t= p0 1β⋅t

Der Raumausdehnungskoeffizient β wird nun zum Spannungskoeffizienten β und gibt bei gleichbleibenden Volumen die relative Druckänderung pro °C an.

β=p t− p0

p0⋅t−t 0= 1

p0⋅Δp

Δt

Bei einem idealen Gas beträgt der Spannungskoeffizient β

β= 1273,15

K−1

Weil bei der Gleichung von Gay Lussac bei 0°K ein Volumen von 0 voraussetzt, haben wir hier den absoluten Nullpunkt gefunden.

Bei unserem Versuch halten wir das Volumen konstant gehalten (V= Abstand l zwischen den beiden roten Markierungen am Gasthermometer). Zuerst ermitteln wir den Druck p0 bei 0°C. Danach verändern die Temperatur (bis ca. 60°C) des Wasserbades und erfassen diese an mehreren Messpunkten. Da der Druck proportional zum Volumen steigt, erfassen wir diesen durch die Höhenänderung Δh (=Δp) der Quecksilbersäule bei einer bestimmten Temperatur t. Wir werten die Daten mithilfe von Origin aus und erhalten die Steigung und bilden damit die lineare Regression zu unserem absoluten Nullpunkt (Schnittpunkt mit der t-Achse).

1.3.1 MesswerteRaumtemperatur: 22,8°CAtmosphärischer Druck: 999mbar

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Messung β [1/K]0,00 236,80 762,20000

1 22,00 -176,89 822,11000 -0,010552 30,00 -150,29 848,71000 -0,006573 38,00 -129,01 869,99000 -0,004454 46,00 -107,73 891,27000 -0,003075 55,00 -83,79 915,21000 -0,002006 62,00 -62,51 936,49000 -0,001327 69,00 -42,56 956,44000 -0,00081

Mittelwert -0,004110,00346

Δt [°C] Δp [mbar] (p0) pt [mbar]„Ergebnis p0“

Stdabwg

1.3.2 pt Diagramme

Fehlerfortpflanzung für den Spannungskoeffizienten:

sbeta= BA2

2

⋅s A2 1

A

2

⋅sB2

Wir erhalten für den Spannungskoeffizienten β aus der Regressiongeraden

β= BA=0,003684 ± 0,00004932K−1

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1.3.4 ErgebnisseAufgrund unserer Messergebnisse erhalten wir einen Spannungskoeffizienten

β= (0,003684± 0,000049) K-1

Der Spannungskoeffizient β für ein ideales Gas beträgt:

β= 1273,15

=0,003661 K−1

Somit beträgt die Abweichung unseres gemessenen Wertes vom Spannungskoeffizient für ein ideales Gas rund 0,00002 K-1

Die Steigung B (Δp/Δt) ist (2,8±0,04) mbar/°C (Abstand bei 0°C: A=762,26mbar).

Der aus dem Diagramm durch lineare Regression bestimmte Wert für den absoluten Nullpunkt beträgt

T0=(-271 ±3,65)°C

Wir haben somit eine Abweichung zum wahren absoluten Nullpunkt von 2,15°C

Die Abweichung kann daraus resultieren, dass wir bei unserer Messung kein ideales Gas verwendet haben. Hätten wir anstelle von Luft Helium verwendet, wären wir voraussichtlich noch näher an den absoluten Nullpunkt laut Literatur herangekommen.

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2. Adiabatenexponent der Luft

2.1 PrinzipDie Schwingungsdauer einer auf einem Luftpolster befindlichen Kugel hängt vom Adiabatenexponenten κ ab. Diese wird zur Bestimmung von κ in einem annähernd adiabatischen System ausgenützt.

2.2 Aufgabe und FormelnNach der Methode von Rüchardt wurde der Adiabatenexponent von Luft bestimmt und die Fehlerrechnung durchgeführt.

Aus dem Mittelwert der Schwingungsdauer und der Masse der Kugel kann nach folgender Formel der Adiabatenexponent bestimmt werden:

T … Schwingungsdauerm … KugelmasseV0 … Volumen des Gefäßes (V0 = 10 l)q … Querschnittsfläche des Rohres (Radius = 8 mm)r … Radius des Rohrquerschnitts (r = 8 mm = 0,008 m)p0 … Luftdruck (am Barometer abgelesen)g … Beschleunigung der Erdanziehungskraft (g = 9,81 kg/m²)

2.3 DurchführungDie Masse der Kugel wurde mittels der in einer Dose beigegebenen Reservekugel ermittelt, welche gleich der Kugel im Glasrohr ist. Die Kugel wurde mit dem beiliegenden weichen Papier angefasst und ihre Masse mit der Satoriuswaage bestimmt.Durch Drücken des Gummiballons (nach Öffnen des Schliffhahnes) wird die Kugel in Schwingungen versetzt.Die Schwingungsdauer T wurde mittels 15 Messungen zu je 2 Schwingungen ermittelt.Der Fehler wird mittels dem Gauß’schen Fehlerfortpflanzungsgesetz und der Standardabweichung ermittelt.

2.4 FehlerfortpflanzungZur Abschätzung des Fehlers von κ wird die Standardabweichung von T bestimmt.m ist mit einem Fehler von ± 0,00001 g (= 0,0000001 kg) behaftet (Auf der Feinwaage bestimmt). Zur Fehlerberechnung werden die übrigen Größen als fehlerlos angesehen und der Druck p als von m unabhängig betrachtet. Deswegen muss die Fehlerfortpflanzung nur bei der Formel für κ angewandt werden und da nur zwei Größen als fehlerbehaftet angesehen werden folgt für den relativen Fehler von κ:

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pqmV

T 20

22

= πκ

qmgpp += 0

π2rq =

2.5 Auswertung

κ = 1,419 ± 0,29

Der Literaturwert von κ für Luft unter Normalbedingungen beträgt: 1,402. Wir haben somit eine Abweichung von +0,17.

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Messung1 2,082 2,053 2,154 2,095 2,056 2,117 2,078 2,079 2,910 2,1611 2,0312 2,0313 2,1514 2,0315 2,06

Mittelwert 2,140,22

Schwingungsdauer T [ s]Mittelwert 1,07

0,11

r [m] q [m²]0,01 0

m [kg] g [m/s²] p [N/m²]99970 0,0166972 ± 0,0000001 9,81 100784,67

κ0,01 1,419 ± 0,29

t (für 2 Schwinungen)

Standardabw.

für 1 Schwinung:

Standardabw.

p0 [Pa]

V0 [m³]

κκ ⋅

∆+

∆⋅=∆

22

2mm

TT

3. Dampfdruck von Wasser bis 100°C

3.1 PrinzipDer Dampfdruck des Wassers im weiten Schenkel steigt mit steigender Temperatur. Dadurch steigt die Quecksilbersäule im engen Schenkel.Aus der Dampfdruckkurve lässt sich mit der Clausius-Clapeayronschen Gleichung die Verdampfungswärme bei einer bestimmten Temperatur bestimmen.

3.2 Aufgabe und FormelDie Dampfdruckkurve wurde im Temperaturbereich von °C bis °C aufgenommen.Außerdem wurde die Verdampfungswärme L zur Temperatur °C bestimmt.

)( 21 VVdTdpTL −= … Clausius-Clapeayronsche Gleichung für die Verdampfungswärme L

21 VV − … Differenz der spezifischen Volumina von Wasser im Dampf- und Flüssigkeitszustand

T … Temperatur

dTdp

… Anstieg der Verdampfungskurve bei der Temperatur T

Spezifisches Volumen des Wasserdampfes wurde folgendem Diagramm entnommen:

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3.3 DurchführungIm Temperaturbereich von °C bis °C wird währen des Aufheizens in 2°C Schritten der Quecksilberstand im engen Schenkel gemessen (die Nadeln wurden als Visiereinrichtung benutzt). Am Beginn, in der Mitte und am Ende des Temperaturbereichs wurde auch der Quecksilberstand im weiten Schenkel gemessen, die restlichen Werte wurden interpoliert aus dem Quecksilberstand im engen Schenkel. Nach Erreichen der Höchsttemperatur wird die Heizplatte ausgeschaltet und der Quecksilberstand im engen Schenkel bei fallender Temperatur gemessen. Aus den beiden Werten einer bestimmten Temperatur wurde der Mittelwert gebildet, wovon der Wert des weiten Schenkels abgezogen wurde. Wenn im engen Schenkel auch das Quecksilber von Wasser überschichtet ist, so herrscht auch dort ein der Zimmertemperatur entsprechender Dampfdruck. In diesem Fall beginnt man die Messung erst, wenn das Quecksilber des engen Schenkels das des Wasserbades überschritten hat.

Die Messwerte müssen in diesem Fall entsprechend korrigiert werden:

TorrCp OH 8,23.....5,17)25.....20(2

=°

Mittels linearer Interpolation ergibt sich:

TorrCTCp OH )5,17)20(26,1()25.....20(2

+°−⋅=°

Die so erhaltenen Dampfdrücke wurden in einem Diagramm gegen die Temperatur T aufgetragen.

An die Kurve wird an der Stelle der Temperatur T die Tangente gelegt, und aus ihr dTdp

ermittelt.

Die Verdampfungswärme wird in J/kg ermittelt und zur schnelleren Abkühlung wurde ein Ventilator verwendet.

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3.5 Auswertung

T (steigende Temp.) Le Lw T (fallende Temp.) Le Lw65 70,5 86,6 65 69,9 86,667 69,3 67 67,269 67,6 69 65,371 66,9 71 63,273 63,7 73 60,975 61,5 87,8 75 58,6 87,877 59 77 59,979 56,5 79 53,281 53,7 81 50,283 50,8 83 4785 47,4 88,9

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T [°C] Le (Mittelwert) [mm] p[mbar]65 702 866,16 164,16 74,2 238,36 317,0267 682,5 868,46 185,96 76,72 262,68 349,3669 664,5 870,76 206,26 79,24 285,5 379,7271 650,5 873,06 222,56 81,76 304,32 404,7573 623 875,36 252,36 84,28 336,64 447,7375 600,5 877,66 277,16 86,8 363,96 484,0777 594,5 879,96 285,46 89,32 374,78 498,4679 549 882,26 333,26 91,84 425,1 565,3881 519,5 884,56 365,06 94,36 459,42 611,0383 489 886,86 397,86 96,88 494,74 65885 474 889,16 415,16 99,4 514,56 684,36

Lw (Mittelwert) [mm] Lw-Le [mm] pk [Torr] p [Torr]

Für den Dampfdruck ergibt sich die Dampfdruckkurve

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Für den Druck ergibt sich

p=AT codt B1T 2⋅B2

Der Anstieg für die Kurve ist somit dpdT

=B12⋅T⋅B2

Verdampfungswärme L:

Verdampfungswärme L = 2686800J/kg

Der Literaturwert von L für Wasser (bei 20°C) beträgt 2256000 J/kg.

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T [K]4,1 0,00100 4,1 1880 348,15

L 2682885,68

V1 V2 V1 - V2 dp/dT [Pa/K]