Q11 6. Natürliche Exponential- und Logarithmusfunktion 3

www.mathematik.digitale-schule-bayern.de Andrea Stamm

6.3 Die natürliche Logarithmusfunktion f: x ↦ lnx

a) Warum ist die Funktion x ↦ ex umkehrbar?

b) Ermitteln Sie grafisch die Umkehrfunktion der Funktion x ↦ ex.

c) Ermitteln Sie rechnerisch die Umkehrfunktion der Funktion x ↦ ex.

Definition: Der Logarithmus zur Basis e heißt natürlicher Logarithmus und wird mit ln bezeichnet.

Die Funktion : lnf x x , Df = IR+, ist die Umkehrfunktion der natürlichen Exponentialfunktion und heißt

natürliche Logarithmusfunktion.

Eigenschaften der Funktion f : x ↦ lnx

1) Df = IR

+, Wf = IR (umgekehrt bei e

x)

2) Für 0 < x < 1 gilt: lnx < 0,

für x > 1 gilt: lnx > 0

x = 1: ln1 = 0 Nullstelle!

x = e: lne = 1 (siehe Grafik)

Term der Umkehrfunktion ex. Somit gilt für x IR: lne

x = x und für x IR

+: e

lnx = x

3) Grenzwerte und Asymptoten: 0

lim ln

x

x , die y-Achse ist senkrechte Asymptote

lim ln

x

x

4) Ableitung: Es gilt elnx

= x. Bildet man nun auf beiden Seiten die Ableitung, so erhält man:

Satz: Die natürliche Logarithmusfunktion : lnf x x hat die Ableitungsfunktion: 1

:f xx

5) Monotonie:

Wegen 1

( ) 0f xx

(da x IR+) folgt: Der Graph ist streng monoton steigend und besitzt keine Extrema.

ln ln

ln

ln 1

1 1ln ln

x x

x

e x e x

x xe x

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Logarithmengesetze (a, b > 0)

1. ln ln lna b a b ln 4 ln 4 ln ln 4 1e e

2. ln : ln lna b a b 1

ln ln1 ln 0 1 1ee

3. ln lnra r a 3 ln 3 ln 3e e

4. Wechsel der Basis: ln

logln

b

aa

b

2

ln log

ln 2

xx

Ableitung zusammengesetzter Funktionen

Auch hier ist insbesondere die Kettenregel zu beachten (nachdifferenzieren!)

Die Funktion f mit ( ) lnf x v x (wobei ( ) 0v x sein muss) ist eine Verkettung der inneren Funktion : ( )v x v x mit der

Logarithmusfunktion : ( ) lnu x u x x . Existiert die Ableitung ( )v x , so gilt nach der Kettenregel

1

( )f x v xv x

.

Steht „hinter“ ln nicht nur einfach x, so muss zunächst die Defintionsmenge bestimmt werden!

Bsp: ( ) ln 6 2f x x ist nur definiert für 6 2 0 6 2 3x x x , also ; 3fD

Ableitung: 1

( ) 26 2

f xx

(„1 durch die innere Funktion mal die innere Funktion nachdifferenziert“)

Stammfunktion zur Funktion 1

:f xx

Für 1 r gilt: Zu : rf x x ist 11:

1

rF x xr

Stammfunktion (siehe Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten)

Aber zur Funktion 1

:f xx

konnte bisher keine Stammfunktion angegeben werden.

Für x > 0 gilt: : lnF x x ist Stammfunktion zu1

:f xx

.

Für x < 0 benutzt man die verkettete Funktion ( ) lnf x x . Diese hat die Ableitung 1 1

( ) 1f xx x

,

also ist : lnF x x ist Stammfunktion zu1

:f xx

für x < 0.

Mit dem Betrag kann man zusammenfassen:

Die natürliche Logarithmusfunktion : lnF x x mit DF = IR\{0} ist eine Stammfunktion der Funktion 1

:f xx

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LÖSUNG

6.3 Die natürliche Logarithmusfunktion f: x ↦ lnx

a) Warum ist die Funktion x ↦ ex umkehrbar?

Der Graph der Funktion x ↦ ex ist streng monoton steigend und daher umkehrbar.

b) Ermitteln Sie grafisch die Umkehrfunktion der Funktion x ↦ ex.

c) Ermitteln Sie rechnerisch die

Umkehrfunktion der Funktion x ↦ ex.

y = ex

Anwendung der Def. des

Logarithmus: x = logey

Variablentausch: y = logex

Def.- und Wertemenge vertauschen:

D = IR+ und W = IR