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Ubersetzung der Kalligraphie:
Ein aites Pferd kennt den Weg (Chinesisches Sprichwort)
Andre Weil Zahlentheorie
Ein Gang durch die Geschichte
Von Hammurapi bis Legendre
Aus dem Englischen von Herbert Pieper
Springer Basel AG
Adresse des Autors
Prof Dr Andre Weil Institute for Advanced Study School of Mathematlcs Pnnceton, NI 08540, USA
Adresse des Ubersetzer~
Dr Herbert Pieper Enkenbacher Weg 120
D-0-1168 BerlIn-Muggelhelm
Die Ongmalausgabe erschien 1984 unter dem Titel "Number Theory An approach through histOry, From Hammurapl to Legendre" bei Blrkhauser Boston, Inc , Cambndge, MA, USA © 1984 Blrkhauser Boston, Inc
Deutsche BiblIothek Catalogmg-In-PublIcatlon Data
Weil, Andre: Zahlentheone ein Gang durch die Geschichte, von Hammurapl bis Legendre / Andre Weil Aus dem Engl von Herbert Pieper - Basel, Boston, BerlIn, Blrkhauser, 1992 EInheItssacht Number theory <dt > ISBN 978-3-7643-2635-7 ISBN 978-3-0348-8631-4 (eBook) DOI 10.1007/978-3-0348-8631-4
Das Werk ISt urheberrechtlIch geschutzt Die dadurch begrundeten Rechte, Insbesondere die des Nachdruckes, der Entnahme von Abbildungen, der Funksendung, der Wiedergabe auf photomechamschem oder ahnlIchem Wege und der Speicherung In DatenverarbeItungsanlagen bleiben, auch bel nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten Die Vergutungsanspruche des § 54, Abs 2 UrhG werden durch die "Verwertungsgesellschaft Wort", Munchen, wahrgenommen
© 1992 Springer Basel AG Urspr11nglich erschienen bei der deutschsprachigen Ausgabe Birkhauser Verlag Basel 1992 Satz und Gestaltung des Inhalts mathSu een on/me, CH-4056 Basel Umschlaggestaltung Albert Gomm swb/asg, Basel
Pnnted on aCld-free paper In Germany ISBN 978-3-7643-2635-7
Inhalt
Vorwort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. XI
Tabelle der Illustrationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. XIII
Abkiirzungen ....................................... XIV
Zitate und Daten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. XVI
Bezeichnungen ...................................... XVII
Kapitel I. Friihgeschichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
§I
§II
§ III
§IV
§V
§VI
§VII
§ VIII
§IX
§X
§XI
§XII
Einfiihrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Primzahlen und Faktorzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vollkommene Zahlen .......................... .
Probleme ersten Grades ....................... .
Pythagoreische Zahlentripel .................... .
Summen von zwei Quadraten ................... .
Fibonacci und der "Liber Quadratorum" .......... .
Friihe Arbeiten iiber die Pellsche Gleichung ........ .
Die Pellsche Gleichung: Archimedes und die Inder ... .
Diophant und diophantische Gleichungen .......... .
Diophant und Quadratsummen .................. .
Das Wiederaufieben Diophants: Viete und Bachet ... .
1
4
6
6
8
11
13
15
18
27
32 33
VIII Inhalt
Kapitel II. Fermat und seine Korrespondenten
§I
§II
§ III
§IV
§V
§VI
§VII
§VIII
§IX
§X
§XI
§XII
§XIII
§XIV
§XV
Biographisches .............................. .
Binomialkoeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Beweise anstatt "Induktion" .................... .
Vollkommene Zahlen und der "Kleine Fermatsche Satz" ............................ .
Fruhes Tasten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Erste Versuche uber quadratische Reste ........... .
Die Primteiler der Summen von zwei Quadraten ..... .
Summen von zwei Quadraten ................... .
Die Anzahl der Darstellungen durch Summen von zwei Quadraten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Unendlicher Abstieg und die Gleichung X4 - y4 = z2 ..
Die Probleme des reifen Fermat ................. .
"Element are " quadratische Formen ............... .
Die Pellsche Gleichung ........................ .
Unbestimmte Gleichungen vom Grad 2 ............ .
Der A ufstieg fur G leichungen vom Geschlecht 1 . . . . . .
37
37
47
49
52
60
63
65
68
71
77
82
87
97
105
109
§ XVI Weiteres tiber den Abstieg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 119
§ XVII Schluf3folgerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 125
Anhang I Euklidische quadratische Karper . . . . . . . . . . . .. 132
Anhang II Elliptische Kurven in projektiven Raumen . . . . .. 137
Anhang III Fermats "doppelte Gleichungen" als Raum-kurven vierten Grades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 142
Anhang IV Der Abstieg und der Satz von Mordell . . . . . . . .. 147
Anhang V Die Gleichung y2 = x 3 - 2x . . . . . . . . . . . . . . . .. 157
Kapitel III. Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 165
§ I Wissenschaftliches Leben im sechzehnten, siebzehnten und achtzehnten Jahrhundert . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 165
§ II Eulers Leben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 169
§ III Euler und Goldbach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 176
§IV
§V
§VI
§VII
§ VIII
§IX
§X
§XI
§XII
§XIII
§XIV
§XV
Inhalt
Eulers Entdeckung der Zahlentheorie
Dramatis personae ........................... .
Die multiplikative Gruppe modulo N ............. .
"Reell" und "imaginar" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Das fehlende Quadratische Reziprozitatsgesetz ...... .
Binare quadratische Formen .................... .
Die Suche nach groBen Primzahlen ............... .
Summen von vier Quadraten ................... .
Quadratwurzeln und Kettenbruche ............... .
Diophantische Gleichungen zweiten Grades ......... .
Weitere diophantische Gleichungen ............... .
Elliptische Integrale und das Additionstheorem ..... .
IX
179
182
194
207
209
215
225
231
235
240
246
250
§ XVI Elliptische Kurven als diophantische Gleichungen . . . .. 260
§ XVII Die Summationsformel und 2: n- ll ••••••••••••••• , 265
§ XVIII Euler und die Zetafunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 270
§ XIX Die trigonometrischen Funktionen . . . . . . . . . . . . . . .. 276
§ XX Die Funktionalgleichung der Zetafunktion . . . . . . . . . .. 282
§ XXI Partitio numerorum und Modulfunktionen . . . . . . . . .. 286
§ XXII SchluBfolgerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 293
Anhang I Das Quadratische Reziprozitatsgesetz . . . . . . . . .. 296
Anhang II Ein elementarer Beweis fur Summen von vier Quadraten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 302
Anhang III Das Additionstheorem fur elliptische Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 306
Kapitel IV. Ein Zeitalter des Ubergangs: Lagrange und Legendre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 321
§ I Lagranges Leben. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 321
§ II Lagrange und die Zahlentheorie . . . . . . . . . . . . . . . . .. 327
§ III Unbestimmte Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 329
§ IV Lagranges Theorie der binaren quadratischen Formen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 330
x Inhalt
§ V Legendres Leben. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 336
§ VI Legendres arithmetisches Werk . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 339
Anhang I Das Hasse-Prinzip fur ternare quadratische Formen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 352
Anhang II Ein Beweis von Legendre fur positive binare quadratische Formen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 360
Anhang III Ein Beweis von Lagrange fur indefinite bin are quadratische Formen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 363
Literaturverzeichnis und erganzende Bibliographie . . . . . . . . .. 373
Personenverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 377
Vorwort
Zahlentheorie, ein schwer verstandliches Spezialgebiet, das sich mit den Eigenschaften der ganzen Zahlen beschaftigt.
TIME, 4. April 1983
Die Texte, die in diesem Buch untersucht werden, erstrecken sich von einer altbabylonischen Tafel, welche in die Zeit Hammurapis oder ungefahr in diese Zeit datiert wurde, bis zu Legendres "Essai sur la TMorie des Nombres" aus dem Jahre 1798. Selbst wenn das Buch eine Episode aus Legendres spaterer Laufbahn enthalt und relevante Hinweise auf Entdeckungen von Gau:B und seinen Nachfolgern nicht vermeidet, so endet es im graBen und ganzen kurz vor GauB' "Disquisitiones" aus dem Jahre 180l.
Zahlentheorie oder Arithmetik, wie sie von manchen genannt wird, ist noch bis vor kurzem mehr durch die Qualitat als durch die Zahl ihrer Anhanger hervorgetreten; gleichzeitig ist sie moglicherweise einzigartig, was die von ihr hervorgerufene Begeisterung betrifft. Dieser Enthusiasmus driickt sich beredt in vielen Ausspriichen solcher Manner wie Euler, GauB, Eisenstein oder Hilbert aus. Obwohl dieses Buch etwa sechsunddreiBig Jahrhunderte arithmetischer Untersuchungen umfaBt, besteht sein Inhalt in nicht mehr als einem detaillierten Studium und einer Erklarung der Errungenschaften von vier Mathematikern: Fermat, Euler, Lagrange, Legendre. Sie sind die Begriinder der modernen Zahlentheorie. Die GroBe von GauB liegt darin, daB er das, was seine
XII Vorwort
Vorgiinger angefangen hatten, zum AbschluB brachte und eine neue Ara in der Geschichte dieses Gegenstands einleitete.
Unsere Hauptaufgabe wird sein, den Leser, soweit moglich, in die Werkstatt unserer Autoren zu fiihren, sie bei der Arbeit zu beobachten, ihre Erfolge zu teilen und ihre Fehler zu verstehen. Gliicklicherweise erfordert dies kein Wiihlen in Archiven und Handschriftensammlungen, weil von fast allen erwiihnten Mathematikern, wie die Bibliographie bezeugt, Gesammelte Werke und Briefwechsel - soweit erhalten -ausgezeichnet ediert und publiziert worden sind. Ich habe auch das Gliick gehabt, die Originalausgaben von Viete, Bachet, Fermat, Wallis und Legendre in der Rosenwald Rare Book Collection am Institute for Advanced Study konsultieren zu konnen.
Die von mir verwendete Methode ist eine durch und durch historische; vom Leser werden keine besonderen Kenntnisse erwartet, und es ist des Autors kiihne Hoffnung, daB einige Leser ihre Einfiihrung in die Zahlentheorie dadurch erhalten, daB sie der in diesem Buch rekonstruierten Reiseroute folgen. Eine geeignete Grundlage diirfte des Autors "Number theory for beginners" sein, deren Inhalt - nebenbei bemerkt - fast vollig von Euler iibernommen ist, oder auch - auf einem intellektuell hoheren Niveau - das Kapitel I von J.-P. Serres "Cours d'Arithmetique". Eine detailliertere Hintergrundinformation wird, zusammen mit etwas ergiinzendem Stoff (nicht von streng historischem Charakter), in den Anhiingen zu den Kapiteln II, III und IV geliefert.
Mein herzlicher Dank und der Dank des Lesers gilt meinem Freund S.S. Chern fiir die schone Kalligraphie, welche die Vorderseite schmiickt. Dank gilt auch dem Universitiitsmuseum der University of Philadelphia fiir die Erlaubnis, aus ihrer Sammlung die Photographie des TangPferds zu reproduzieren, ferner O. Neugebauer fiir die Photographie der Tontafel "Plimpton 322" und dem Archive de l' Academie des Sciences, Paris, fiir die Photographie des von Delpech gestochenen Portriits von Lagrange.
XIII
Tabelle def Illustrationen
S. II Kalligraphie von S.S. Chern
S. III Kriegspferd vom Grabmal des Kaisers Tai-Zong, Tang-Dynastie (7. Jahrhundert), University Museum, University of Penn sylvania, Philadelphia, PA (mit freundlicher Genehmigung des U niversity Museum, U. of Pennsylvania)
S. 9 Plimpton 322: Tabelle Pythagoreischer Tripel (Altbabylonische Tafel, ca. 1800 v.Chr., aus O. Neugebauer und A. Sachs, Mathematical Cuneiform Texts, New Haven, Conn. 1945; mit freundlicher Genehmigung von O. Neugebauer)
S. 22 Titelblatt von: H.T. Colebrooke, Algebra with Arithmetic and Mensuration, from the Sanscrit of Brahmegupta and Bha.scara, London 1817
S. 29 Frangois Viete (Stich von J. Rabel, aus L'Algebre nouvelle de M. Viete ... traduicte en frangois par A. Vasset, a Paris, chez Pierre Racolet ... 1630)
S. 39 Pierre de Fermat (Stich von F. Poilly, aus Varia Opera Mathematica D. Petri de Fermat ... Tolosae 1679)
S. 41 Titelblatt von: Francisci Vietae Opera Mathematica ... Lugduni Batavorum ... 1646 (Exemplar, das ehemals dem Trinity College, Cambridge, gehorte, dem es 1669 uberreicht wurde; es konnte von Newton benutzt worden sein)
S. 43 Titelblatt von: Diophanti Alexandrini Arithmeticorum libri sex ... cum commentariis C.G. Bacheti V.C. et observationibus D.P. de Fermat ... Accessit Doctrinae Analyticae invent urn novum, collect urn ex varijs eiusdem D. de Fermat epistolis ... Tolosae 1670
S. 46 Titelblatt von: Varia Opera Mathematica D. Petri de Fermat ... Tolosae 1679
S. 81 Fermats Abstieg (Kap. II, § X): Seiten 338-339 der DiophantAusgabe von 1670
S. 93 Die Fermatsche Vermutung: Seite 61 der Diophant-Ausgabe von 1670
S. 166 Leonhard Euler im Alter (nach einer Zeichnung von J. Darbes gestochen von Kuttner): aus P.-H. Fuss, Correspondance
XIV Abkiirzungen
Mathematique et Physique de quelques celebres geometres du XVIIIeme siecle ... tome I, St.-Petersbourg 1843
S. 174 Euler in mittlerem Alter (nach einem Pastell von E. Handmann, 1753, gestochen von F. Weber)
S. 278 Frontispiz von: Euler, Introductio in Analysin Infinitorum, Tomus Primus, Lausannae 1798
S. 279 Titelblatt desselben Werks
S. 322 Joseph Louis Lagrange (Stich von Delpech; mit freundlicher Genehmigung der Archives de l'Academie des Sciences, Paris)
S. 337 Titelblatt von: A.M. Le Gendre, Essai sur la Theorie des Nombres, Paris An VI (=1798)
Abkiirzungen
Arch.=Archimedes, Opera omnia cum commentariis Eutocii, ed. J.L. Heiberg, Teubner, 3 Bde., 1910-1915.
D.Bern.=Die Werke von Daniel Bernoulli, ed. D. Speiser, Bd. 2, Birkhauser 1982.
J.Bern.=Johannis Bernoulli ... Opera Omnia ... Lausannae et Genevae, sumptibus Marci Michaelis Bousquet et sociorum, 4 Bde., 1742-1743.
Col.=H.T. Colebrooke, Algebra with arithmetic and mensuration. From the sanscrit of Brahmegupta and BMscara, London 1817 (Reprint, 1972).
Corr.=Correspondance mathematique et physique de quelques celebres geometres du XVIIIeme siecle ... publiee ... par P.-H. Fuss, St.Petersbourg, 2 Bde., 1843 (Reprint, Johnson Reprint Corp., 1968).
Desc.=CEuvres de Descartes, pub. par Charles Adam et Paul Tannery, Paris, 11 Bde., 1897-1909.
Dioph.=Diophanti Alexandrini Opera omnia cum graecis commentariis, ed. Paulus Tannery, Teubner, 2 Bde., 1893-1895.
Dir.=G. Lejeune Dirichlet's Werke, herausg. v. L. Kronecker und L. Fuchs, Berlin, 2 Bde., 1889-97.
Disq.=Disquisitiones arithmeticae, auctore D. Carolo Friderico Gauss, Lipsiae 1801 (= Bd. I von Gauss, Werke, Gottingen 1870).
Abkiirzungen xv
Eucl.=Euclidis Elementa, ed. LL. Heiberg, Lipsiae, Teubner, 4 Bde., 1883-1885 (und: Post LL. Heiberg ed. E.S. Stamatis, Teubner, 4 Bde., 1969-1973).
Eu.=Leonhardi Euleri Opera omnia, sub ausp. Soc. scient. Nat. Helv . ... Series 1-4A, 1911-.
Fag.=Opere Matematiche del Marchese Giulio Carlo de' Toschi de Fagnano, pubbl. ... dai Soci V. Volterra, G. Loria, D. Gamboli, 3 Bde., 1911-1913.
Fe.=CEuvres de Fermat, pub. par ... Paul Tannery et Charles Henry, Paris, 4 Bde., 1891-1912 (+ Supplement, pub. par M.C. de Waard, 1 Bd. 1922).
Gal.=Le Opere di Galileo Galilei, Edizione Nazionale, Firenze, G. Barbera, 20 Bde., 1890-1909.
Gau.=Carl Friedrich Gauss, Werke, Gottingen, 12 Bde., 1870-1929.
Huy.=CEuvres completes de Christiaan Huygens, pub. par la Soc. Holl. des Sc., La Haye, Martinus Nijhoff, 22 Bde., 1888-1950.
Jac.=C.G.J. Jacobi's Gesammelte Werke, herausg. v. K. Weierstrass, Berlin, 7 Bde., 1881-1891.
JEH.=J.E. Hofmann, Neues iiber Fermats zahlentheoretische Herausforderungen von 1657, Abh. d. preuss. Akad. d. Wiss. 1943-1944. Nr. 9, S. 41-47.
Lag.=CEuvres de Lagrange, pub. par M.J.-A. Serret et M. Gaston Darboux, Paris, 14 Bde., 1867-1892.
Leib.=Leibnizens mathematische Schriften, herausg. von C.L Gerhardt, Zweite Abtheilung, die mathematischen Abhandlungen Leibnizens enthaltend, Halle, 3 Bde., 1858-1863.
Leon.=Scritti di Leonardo Pisano, matematico del secolo decimoterzo, pubbl. da Baldassare Boncompagni, Roma, 2 Bde., 1857-1862.
LVE.=Leonard de Pise, Le livre des nombres carres, traduit ... par P. Ver Eecke, Desclee de Brouwer et Cie, Bruges 1952 (Franzosische Ubersetzung von Leon. II, 253-283).
Mers.=Correspondance du P. Marin Mersenne, Religieux Minime, Pub. par Mme Paul Tannery et Come lis de Waard, Paris, 14 Bde., 1955-1980.
New.=The mathematical papers of Isaac Newton, ed. by D.T. Whiteside, Cambridge University Press, 8 Bde., 1967-1981.
XVI Zitate und Daten
PkU.=Leonhard Euler, Pis'ma k ucenym, Ed.: T.N. Klado, Ju.Ch. Kopelevic, T.A. Lukin (Red. V.1. Smirnov), Moskva-Leningrad 1963.
Viete, Op.=Francisci Vietae Opera Mathematica ... Opera atque studio Francisci a Schooten Leydensis, Matheseos Professoris, Lugduni Batavorum, ex officina Bonaventurae et Abrahami Elzeviriorum, 1646 (Reprint Georg Olms Verlag 1970).
Wal.=Johannis Wallis S.T.D., Geometriae Professoris in Celeberrima Academia Oxoniensi, Opera Mathematica: (I) Volumen Primum, Oxoniae, e Theatro Sheldoniano 1695; (II) De Algebra Tractatus Historicus et Practicus, Anno 1685 anglice editus, nunc auctus latine ... Operum Mathematicorum volumen alterum, Oxoniae ... 1693.
(Eine erganzende Bibliographie befindet sich am Ende des Buches.)
Zitate und Daten
Die oben genannten Werke werden meistens zitiert, indem der Band (wenn notwendig) und die Seite angegeben werden. Beispiel: "Fe. II, 194" bedeutet Fermats Oeuvres (die Tannery-Henry-Edition), Band II, S.194.
Eine Ausnahme bilden Hinweise auf Euklid und auf Diophant, die durch Angabe des Buches und des Satzes oder des Problems gegeben werden. Beispiel: "Eucl. VII.2" bedeutet Euklid (Heiberg-Edition), Buch VII, Satz 2; ahnlich bedeutet "Dioph. V. 11" Diophant (TanneryEdition), Buch V, Problem 11. 1m FaIle des Diophant ist es gelegentlich fur notwendig befunden worden, die Zahlung in Bachets Edition von 1621 (oder, was aufs gleiche herauskommt, in S. de Fermats Edition von 1670, vgl. Bibliographie) einzuschlieBen. Dies wird so angedeutet: Dioph. V. l1=Dioph. V. 14b, d.h., das Problem 11 des Buches V des Diophant (Tannery-Edition) hat die Nummer 14 in Bachets Edition.
Daten sind von besonderer Wichtigkeit in der Beschreibung von Fermats und Eulers Werk (Kap. II und III). 1m Fane der Briefe wirft dies gewohnlich keine Fragen auf; die Differenz zwischen dem Julianischen ("alter Stil") und dem Gregorianischen Kalender ("neuer Stil"), die nicht sehr groB ist, wurde meist vernachlassigt.
Fur Euler ist ein ausfuhrlicheres System fur notwendig befunden worden, da es wunschenswert war, fur jede Arbeit ihre Nummer im Enestrom-Verzeichnis der Eulerschen Schriften (vgl. die Bibliographie) und
Bezeichnungen XVII
das wahrscheinliche Datum ihrer Abfassung anzuzeigen. Beispielsweise bedeutet "Eu.(1) II, 531-555=EV 271/1758": Eulers Abhandlung Nr. 271 des Enestrom-Verzeichnisses, enthalten im Band II der ersten Serie der Werke Eulers, auf den Seiten 531 bis 555, mutmaBlich im Jahre 1758 geschrieben. Wenn nur ein Teil einer Abhandlung zitiert wird, dann ist dies folgenderma:Ben gekennzeichnet: Eu.(1) XX, 81 in EV 252/1752. Die Daten sind die von Enestrom angegebenen (gewohnlich das Datum, an dem die Arbeit entweder der Peters burger oder der Berliner Akademie vorgelegt worden ist), falls nicht Eulers Korrespondenz eine friihere Datierung nahelegt. Hinweise auf den Band I der Serie 4A, der ein Repertoire der gesamten verfiigbaren Eulerschen Korrespondenz ist, sind durch die Nummer gegeben: Eu.(4A) I, no. 1887, bedeutet Nr. 1887 dieses Bandes. Zusatzliche Hinweise findet man in der Bibliographie auf den Seiten 373-376.
Bezeichnungen
In diesem Buch ist durchweg die traditionelle algebraische Notation benutzt worden. Dabei mu:B betont worden, da:B sie sich wohl erst spat im 17. Jahrhundert durchgesetzt hat und somit bei der Beschreibung des Werkes friiherer Autoren (einschlieBlich Fermats, der Vietes Bezeichnungen verwendete) anachronistisch ist. Von der Zeit Eulers an stimmt unsere Bezeichnung normalerweise mit der des Originalautors iiberein. Ausgenommen davon ist die Kongruenzschreibweise, welche auf Gau:B zuriickgeht, hier jedoch als eine geeignete Abkiirzung iibernommen worden ist. Wir erinnern daran, da:B die "Kongruenz"
a::::::;: b (modm)
mit dem "Modul" m bedeutet, da:B a-b ein Vielfaches von mist. Daher ist eine ganze Zahl a ein "quadratischer Rest" modulo m, wenn es ein b so gibt, da:B a ::::::;: b2 (mod m) ist. Andernfalls ist die ganze Zahl a ein "quadratischer Nichtrest ". Sie ist ein n-ter Potenzrest, wenn es ein b so gibt, da:B a::::::;: bn(mod m) gilt. Der Kiirze halber ist gelegentlich auch die Matrixschreibweise benutzt worden (in Kapitel III, § XIII, und im Anhang III von Kapitel IV). 7L. bezeichnet den "Ring" aller ganzen Zahlen (positive, negative und 0); Q, IR, C bezeichnen die "Korper", die aus allen rationalen Zahlen, allen reellen Zahlen bzw. allen "imaginaren"
XVIII Bezeichnungen
(oder "komplexen") Zahlen a + bH (a,b reell) bestehen. Fur eine Primzahl p bezeichnet fp den "Karper" mit p Elementen, welche die Restklassen modulo p sind. 1st f) eine "quadratische 1rrationalitat" -meist /N, worin N eine nicht-quadratische ganze Zahl ist, oder die "kubische Einheitswurzel" -Hl'=-3 - dann ist l[f)] der "Ring", der aus allen Elementen a + b() besteht, worin a, b ganze Zahlen sind, und ,Q(f)) der "Karper", der aus allen Elementen r + sf) besteht, worin r, s rationale Zahlen sind.
Aus typographischen Grunden wird das Legendre-Symbol
(~) (unverandert so von Legendre, Dirichlet und den meisten klassischen Autoren geschrieben) haufig in der Form (nip) gedruckt. Dieses Symbol ist definiert, wenn peine Primzahl und n eine zu p prime ganze Zahl ist, und hat den Wert +1, wenn n ein quadratischer Rest modulo p ist, andernfalls aber den Wert -1.
