Schwingungen I Version vom 20. Februar 2018 - univie.ac.at · (Drehpendel ohne Motor). Lenken Sie das Pendel aus und messen Sie die Dauer mehrerer Schwingungen sowie die zugehörigen

PS1

Schwingungen I

Version vom 20. Februar 2018

Inhaltsverzeichnis

1 Allgemeine Grundlagen 1

1.1 Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Freie gedämpfte harmonische Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Drehpendel 5

2.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.1.1 Grundlagen zum Drehpendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3 Versuchsaufbau und Durchführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3 Gekoppelte Pendel 8

3.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.1.1 Gekoppelte Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.2 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.3 Versuchsaufbau und Durchführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4 Dopplerverschiebung einer bewegten Schallquelle 11

4.1 Grundlagen zum Dopplere�ekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.2 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.3 Versuchsaufbau und Durchführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

PS1 1 Allgemeine Grundlagen

Lehr/Lernziele

• Schwingungen besser verstehen.

• Erlernen der mathematischen Beschreibung für Schwingungen und Wellen.

• Eigenschaften schwingender Systeme verstehen, interpretieren und erklären können.

• Messtechniken für zeitlich periodische Vorgänge kennen lernen und üben.

• Mit Überlagerungsphänomenen (Schwebung) bei Schwingungen experimentieren (ge-koppelte Pendel).

• Erzwungene Schwingungen verstehen und interpretieren lernen.

1 Allgemeine Grundlagen

Begri�e

Pendel, harmonische Schwingung, Amplitude, Kreisfrequenz, Phase, Schwingungsgleichun-gen, Eigenfrequenz, Überlagerung harmonischer Schwingungen, Schwebung

1.1 Schwingungen

Abbildung 1: Funktionsgraph einer harmonischen Schwingung

Als Schwingung bezeichnet man eine zeitlich periodische Veränderung eines physikalischenZustandes. Es gilt also f(t+T ) = f(t) , wobei T die Periodendauer oder Schwingungsdauer

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Abbildung 2: Schema eines Federpendels c©nach Sexl, Physik 2, 1994

ist. Folgt die zeitlich periodische Veränderung einer Sinus- oder Cosinusfunktion, so nenntman sie eine harmonische Schwingung. Abbildung 1 zeigt den Funktionsgraphen einersolchen Schwingung.

f(t) = A · cos(ωt+ ϕ). (1)

Die Parameter in Gl. 1 sind die Amplitude A, die Kreisfrequenz ω mit der Einheit s−1 unddie Phasenkonstante ϕ.

Das Argument der Winkelfunktion ωt + ϕ wird auch als Phase bezeichnet1. Die Phasebestimmt den momentanen Schwingungszustand. Die Phasenkonstante ϕ beschreibt denSchwingungszustand zum Anfangszeitpunkt t = 0. Wie man sich ausgehend von Abbil-dung 1 vorstellen kann, �verschiebt� die Phasenkonstante eine Schwingungsfunktion entlangder t-Achse. Sie hat keine Auswirkung auf die Amplitude oder die Frequenz.

Als Beispiel einer harmonischen Schwingung der Mechanik kann man sich die periodischeBewegung eines Körpers der Masse m unter dem Ein�uss einer Feder vorstellen: Die Federübt auf die Masse eine, der Auslenkung x proportionale rücktreibende Kraft (od. Rück-stellkraft) F = −D · x aus. Diese Kraft ist gemäÿ dem 2. Newton'schen Axiom Ursacheeiner Beschleunigung F = m · a = −D · x. Der Zusammenhang ist in Abb. 2 illustriert.

Wirken auf dieses System keine weiteren Kräfte, so spricht man von freier Schwingung.

1Anmerkung: der Winkel ist eigentlich eine dimensionslose Gröÿe. Die �Einheiten� rad und ◦ dienen nurder Klarheit, z.B. bei der Angabe von konkreten Winkeln (vgl. ϕ = 11.5 rad und ϕ = 11.5 ◦), sindaber keine Einheiten im physikalischen Sinn.

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1.2 Freie gedämpfte harmonische Schwingung

Abbildung 3: Federpendel

Die Di�erentialgleichung einer freien gedämpften harmonischen Schwingung lautet für me-chanisches Pendel (z.B. Federpendel):

m · x+ k · x+D · x = 0 (2)

Der erste Term in Gleichung 2 ist die Trägheitskraft, der zweite die Reibungskraft, beschrie-ben durch die Reibungszahl bzw. Reibungskonstante k, und der dritte die Rückstellkraft,beschrieben durch die Rückstellkonstante D. Mit dem Lösungsansatz

x = x0 · sinωt (3)

ergibt sich für den ungedämpften Oszillator (k = 0) die Eigenfrequenz

ω0 =

√D

m. (4)

Für die gedämpfte Schwingung (k > 0) �ndet man eine Verstimmung zu kleinerer Frequenz:der Oszillator schwingt mit der (Kreis-)Frequenz

ω =√ω20 − δ2 (5)

und die Lösung lautet:x(t) = x0 · e−δt cosωt, (6)

wobei δ = k/2m (Dämpfungskonstante) gesetzt wurde.

Man sieht an Gleichung 6, dass die Amplitude nach jeder Periode um einen konstantenFaktor reduziert ist:

x(0)

x(T )=

x(T )

x(2T )= ... =

x(nT )

x((n+ 1)T )= eδT . (7)

Daraus erhält man das logarithmische Dämpfungsdekrement Λ:

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Abbildung 4: links: Schwingfall, mitte: aperiodischer Grenzfall; rechts: Kriechfall; c©nachStöcker, DeskTop Physik, 1998

Λ = lnx(nT )

x((n+ 1)T )= δT (8)

Ist die Dämpfung sehr groÿ, so kann es sein, dass keine Schwingung mehr zustande kommt,denn für δ2 > ω2

0 wird ω imaginär. Wir unterscheiden daher drei Fälle:

δ2 < ω20 Schwingfall

δ2 = ω20 aperiodischer Grenzfall

δ2 > ω20 Kriechfall

Lesen Sie dazu die Grundlagenvertiefung und sehen Sie sich dasApplet des Federpendels auf der eLearning Seite von PS1 an.

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PS1 2 Drehpendel

2 Drehpendel

2.1 Grundlagen

Begri�e

Erzwungene Schwingung, Resonanz, Dämpfung, Resonanzkatastrophe, Halbwertsbreite

2.1.1 Grundlagen zum Drehpendel

Wirkt auf das System eines Oszillators eine periodische äuÿere Kraft, so ist die Bewegungs-gleichung inhomogen, Formel (2) muss erweitert werden.

Das System schwingt nun mit der gleichen Frequenz ω wie die äuÿere Kraft jedoch miteiner Phasenverschiebung ϕ. Die Berechnung der Phasenverschiebung und der AmplitudeA in Abhängigkeit von der erzwungenen Frequenz ω lässt sich sehr anschaulich in derkomplexen Ebene durchführen 2:

x = A · ei(ωt+ϕ) mit tanϕ =kω

m(ω2 − ω20)

=2δω

ω2 − ω20

(9)

Es ergibt sich eine Resonanzkurve der Form:

A2 =F 20

m2(ω20 − ω2)2 + k2ω2

bzw. A =F0√

m2(ω20 − ω2)2 + k2ω2

(10)

wie in der Abbildung 5 dargestellt.

Abbildung 5: Links: Resonanzkurve einer erzwungenen Schwingung für verschiedeneDämpfungen δi. Rechts: die zugehörigen Phasenverschiebungen.

2Siehe Feynman, Vorlesungen über Physik, Band 1

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PS1 2 Drehpendel

Für den halben Maximalwert der Resonanzkurve A2max/2 beträgt die Breite der Kurve für

kleine δ gerade ∆ω = 2δ. (= Halbwertsbreite). Im Experiment messen Sie jedoch nicht A2,sondern A. Daher wird die Breite der Resonanzkurve bei Amax/

√2 bestimmt. Als wichtige

Gröÿe wird der Gütefaktor Q de�niert:

Q = ω0/2δ = ω0/∆ω (11)

Er ist ein Maÿ für den Energieverlust eines schwingenden Systems

Q = 2π · mittlere GesamtenergieEnergieverlust in einer Periode

(12)

Für gute Oszillatoren mit �scharfer� Resonanz gilt Q >> 1.

2.2 Aufgaben

Für zwei Dämpfungen (erfragen Sie die Stromwerte für den Elektromagneten beim Betreu-er/der Betreuerin!) sind folgende Aufgaben zu erfüllen:

1. Bestimmen Sie die Schwingungskreisfrequenz ω des Pendels.

2. Bestimmen Sie die Dämpfungskonstante δ aus der Abnahme der Schwingungsampli-tude als Funktion der Zeit.

3. Berechnen Sie die Eigenfrequenz ω0 des Pendels.

4. Nehmen Sie die Amplitudenresonanzkurve für einen Frequenzbereich der Erregungvon 0.4− 0.7Hz auf.

5. Bestimmen Sie die Dämpfungskonstante δ aus der Halbwertsbreite der Resonanzkur-ve und vergleichen Sie das Ergebnis mit dem von Aufgabe 2.

6. Bestimmen sie Q für beide Dämpfungen und vergleichen sie die Werte.

2.3 Versuchsaufbau und Durchführung

Der Oszillator ist eine Kupferscheibe, die unter der Wirkung einer Spiralfeder Drehschwin-gungen ausführt. Sie kann von einem Motor mit Exzenter zu erzwungenen Schwingungenangeregt werden, siehe Abbildung 6. Die Schwingungen der Scheibe werden von einem Elek-tromagneten nach dem Prinzip der Wirbelstrombremse gedämpft. Die Stärke der Bremsewird über einen Regelwiderstand eingestellt.

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PS1 2 Drehpendel

Abbildung 6: Messaufbau zur Untersuchung des Drehpendels.

Aufgaben 1 und 2 können Sie sehr einfach mittels einer freien gedämpften Schwingung lösen(Drehpendel ohne Motor). Lenken Sie das Pendel aus und messen Sie die Dauer mehrererSchwingungen sowie die zugehörigen Amplitudenwerte. Arbeiten Sie dazu zu zweit, umgenauere Ergebnisse zu erzielen. Aus einer linearen Regression der logarithmierten Ampli-tudenwerte gegen die Zeit erhalten Sie δ.

Benutzen Sie für Aufgabe 4 den Motor, um eine gedämpfte erzwungene Schwingung zuerhalten. Nehmen Sie für Frequenzen aus einem Intervall 0.4Hz bis 0.7Hz die Amplitudenauf. Daraus können sie gra�sch die Resonanzkurve bestimmen und aus dieser den Wert vonδ. Die Erregerfrequenz des Motors messen Sie mit dem optischen Zähler und der schwarz-weiÿen Scheibe. Achten Sie auf einen möglichen O�set des Drehpendels (Verschiebung desNullpunktes in Ruhelage). Aus den Ergebnissen aus den Aufgaben 1 und Aufgaben 2 (bzw.4) können Sie nun Q berechnen.

Literatur

Wagner, Reischl, Steiner �Einführung in die Physik�Feynman �Vorlesungen über Physik�, Band 1Walcher �Praktikum der Physik�Gerthsen �Physik�Stöcker �Desk Top Physik�

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PS1 3 Gekoppelte Pendel

3 Gekoppelte Pendel

3.1 Grundlagen

Begri�e

Frequenz, Schwebung, Kopplung, Richtmoment, Trägheitsmoment, gleichsinnige und ge-gensinnige Schwingung, Überlagerung von Schwingungen, Fourrierspektrum

3.1.1 Gekoppelte Schwingungen

Eine Art gegenseitig erzwungener Schwingungen �ndet man auch bei gekoppelten Schwin-gungssystemen, die periodisch ihre Schwingungsenergie austauschen. Im Fall der gekop-pelten Pendel hängt die rücktreibende Kraft auÿer von der Schwerkraft auch vom Kopp-lungsgrad K (vom Kopplungsgewicht G und der Kopplungslänge l bestimmt) ab.

Abbildung 7: Skizze gekoppelter Pendel.

Die Bewegung der beiden Pendel wird durch zwei gekoppelte Di�erentialgleichungen be-schrieben, wie in der Grundlagenvertiefung dargestellt. Ihre Lösung führt zu den Eigen-schwingungen ω0 und ω1 des Systems:

ω0 =

√D

Jω1 =

√D + 2D∗

J(13)

Dabei sind J das Trägheitsmoment, D das Richtmoment aufgrund der Schwerkraft und D∗

Richtmoment aufgrund der Kopplung.

Je nach Wahl der Anfangsbedingungen treten drei Sonderfälle auf, die auch die physikali-sche Bedeutung der Eigenfrequenzen erklären.

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1. Gleichsinnige SchwingungBeide Pendel werden gleichzeitig, in die gleiche Richtung angestoÿen und schwingen dannunabhängig von der Stärke der Kopplung mit der Frequenz ω0.

Ψ1(0) = Ψ2(0) = Ψ0 Ψ1(t) = Ψ2(t) = Ψ0 · cosω0t ωgl = ω0 (14)

2. Gegensinnige SchwingungBeide Pendel werden gleichzeitig in entgegengesetzter Richtung angestoÿen. Sie schwingenmit einer vom Kopplungsgrad abhängigen, höheren Frequenz ω1.

Ψ1(0) = −Ψ2(0) = Ψ0

Ψ1(t) = Ψ0 · cos(ω1t) (15)

Ψ2(t) = −Ψ0 · cos(ω1t) = Ψ0 · cos(ω1t− π)

ωgeg = ω1

3. SchwebungsfallWird nur ein Pendel angestoÿen, während das zweite in Ruhe ist, so erhält man eineSchwebung.

Ψ1(0) = Ψ0 Ψ2(0) = 0

Ψ1(t) = +Ψ0 · cos(ω1 − ω0

2t) · cos(

ω1 + ω0

2t)

Ψ2(t) = −Ψ0 · sin(ω1 − ω0

2t) · sin(

ω1 + ω0

2t) (16)

ωS =ω1 − ω0

2ω2 =

ω1 + ω0

2

Abbildung 8: Skizze gekoppelter Pendel.

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Das Pendel schwingt mit der Kreisfrequenz ω2 , und die Amplitude nimmt langsam ab, bisdas erste Pendel vollständig ruht und die gesamte Energie auf das zweite Pendel überge-gangen ist. Die Schwebungsdauer TS zwischen zwei Stillständen ist TS = π/ωS.

Als Kopplungsgrad K de�niert man das relative Richtmoment

K =D∗

D +D∗ =ω21 − ω2

0

ω21 + ω2

0

=2ωS ω2

ω2S + ω2

2

(17)

Lesen Sie dazu die Grundlagenvertiefung und sehen sie sich die zugehörigenApplets und die Videos auf der eLearning Seite von PS1 an.

3.2 Aufgaben

1. Erfragen Sie zwei verschiedene Gewichte G und eine Kopplungslänge l vom Betreu-er/von der Betreuerin.

2. Untersuchen Sie für jedes Gewicht die gleichsinnige und gegensinnige Schwingungsowie den Schwebungsfall.

3. Berechnen Sie den Kopplungsgrad K aus den Eigenfrequenzen sowie aus den Fre-quenzen der Schwebung.

4. Vergleichen und diskutieren Sie die Ergebnisse für die gewonnenen Kopplungsgrade.


Die Messanordnung besteht aus einem gekoppelten Pendel, sowie einem Satz Kopplungs-gewichte (siehe Abb. 9).

Messen Sie L und l und wiegen sie die verwendeten Kopplungsgewichte. Machen Sie fürjedes Kopplungsgewicht eine Messreihe für die Schwingungsfälle 1− 3. Bestimmen Sie ausden gemessenen Schwingungsdauern die entsprechenden Frequenzen. Berechnen sie dannaus den beiden Teilen von Formel (17) jeweils K. Vergleichen Sie die Ergebnisse.

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Abbildung 9: Gekoppeltes Pendel mit Angabe der wesentlichen physikalischen Gröÿen.

Achten Sie beim Anstoÿen der Pendel im gegen- bzw. gleichsinnigen Fall aufkleine, aber gleiche Auslenkung und im Schwebungsfall darauf, dass Ψ2(0) = 0.

Literatur

Walcher, �Praktikum der Physik�Gerthsen �Physik�

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PS1 4 Dopplerverschiebung einer bewegten Schallquelle

4 Dopplerverschiebung einer bewegten Schallquelle

Begri�e

Dopplere�ekt, Relativgeschwindigkeit, Schall, Schallgeschwindigkeit

4.1 Grundlagen zum Dopplere�ekt

Der Dopplere�ekt wurde nach dem österreichischen Physiker und Mathematiker ChristianDoppler benannt. Der akustische Dopplere�ekt entsteht, wenn sich eine Schallquelle undein Empfänger relativ zu einander in einem Medium bewegen. Man muss dabei unter-scheiden, ob sich die Schallquelle, der Beobachter, oder beide relativ zum Medium (derruhenden Luft) bewegen.

Benutzt man zwei Lautsprecher mit der selben Frequenz ν0, wobei einer davon bewegt ist,so überlagern sich die unverschobene und dopplerverschobene Frequenz zu einer Schwe-bung.

Lesen Sie dazu die Grundlagenvertiefung und vergleichen Sie die Fällefür ruhende(n) und bewegte(n) Schallquelle (Empfänger).

4.2 Aufgaben

1. Bestimmen Sie die Grundfrequenz ν0 genau.

2. Bestimmen Sie anschlieÿend für jeweils 5 Wagengeschwindigkeiten +v bzw. −v (1−6cm s−1) die Schwebungsdauern TS.

3. Benutzen Sie die Schwebungsdauern TS und Ihr Wissen aus Gekoppelte Pendel umdie Schallgeschwindigkeit in Luft zu bestimmen.


Von einem ruhenden und einem mit der Geschwindigkeit v auf einem Wagen langsamund gleichförmig bewegten Lautsprecher werden sinusförmige Schallwellen der gleichenFrequenz und Amplitude ausgesandt (siehe Abb. 10).

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Abbildung 10: Skizze des Aufbaus zur Messung des Dopplere�ektes.

Ein Mikrofon empfängt nun sowohl die Schwingung der ruhenden Quelle mit der Frequenzν0 als auch die Schwingung der bewegten Quelle mit der scheinbar veränderten Frequenz ν,für die nach der Grundlagenvertiefung zu PS 1 gilt: ν = ν0 · 1/(1− v/c) bzw. für v << c3:

ν ≈ ν0

(1 +

v

c

)(18)

Dabei ist c die zu bestimmende Schallgeschwindigkeit in Luft.

Vorbereitung der Messung

a) Stellen Sie eine Frequenz von etwa ν0 = 20 kHz am Funktionsgenerator (siehe Abb. 10)ein (jenseits der Hörschwelle). Dazu muss der Drehknopf für die Wellenform auf Sinus-förmig stehen, die beiden Drehknöpfe �AC� und �DC� bleiben in mittiger Stellung. Diebeiden Drehknöpfe für die Frequenz (unter dem Drehknopf für die Wellenform) ergebenmultipliziert mit einander die gewünschte Frequenz. Der Ausgang des Frequenzgeneratorsmuss mit dem Eingang des Verstärkers verbunden werden.

b) Die Einstellungen des Verstärkers sind: schwache Verstärkung am linken Drehknopf(mit dem Lauter/Leiser-Symbol), 1-facher Verstärkungsfaktor (mittlerer Drehknopf), keinO�set (grünes Lämpchen über dem O�set-Drehknopf ganz rechts muss leuchten). Wirddie Verstärkung zu groÿ gewählt, verzerrt das sinusförmige Signal zu stark! Der Anschlussder Lautsprecher erfolgt seriell vom Ausgang des Verstärkers (Buchsen ganz rechts).

c) Stellen Sie das Mikrofon auf �� ein.

d) Bestimmen Sie ν0 genau mit Hilfe des Frequenzzählers (siehe Abb. 10).

3 Allgemein gilt für x << 1: 1/(1− x) ≈ 1 + x.

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Geschwindigkeitsmessung

Messen Sie die Geschwindigkeit der Quelle mittels der Lichtschranke. Dazu stellen Sie amSteuergerät für die Geschwindigkeitsmessung mit der Taste MODE �single sequence, s� ein.Danach drücken Sie die Taste R und STOP, damit die beiden Pfeile in der Anzeige ver-schwinden. Danach drücken Sie die Taste 1, worauf das Symbol u am Display erscheint.Es bedeutet, dass die Zeitdi�erenz zwischen der ansteigenden und der absteigenden Flan-ke eines Signal gemessen wird, was genau dem vorliegenden Experiment entspricht, dadas Signal am Zeitmessgerät ansteigt, wenn die Kartonkarte am Wagen die Lichtschrankeunterbricht und es wieder abfällt, wenn das Licht wieder auf den Detektor fällt.

Die Messung wird mit RUN ausgelöst. Das Messgerät wartet auf ein Ansteigen und danachwieder Abfallen des Signals an der Lichtschranke. Die Zeit wird am Gerät angezeigt, sobaldder Wagen vollständig durch die Lichtschranke gefahren ist. Aus der Länge der Karton-karte und der angezeigten Zeit kann die Geschwindigkeit des Wagens gemessen werden.Eine genaue Bedienungsanleitung des Zählers �nden Sie am Arbeitsplatz (AbschnittB. 2. 5).

Messung der Schwebung mit dem Tektronix TDS1012 Oszilloskop

Die Überlagerung der Schallschwingungen ergibt eine Schwebung, die auf dem Oszilloskopdargestellt wird. Prinzipiell sollten Sie seit PW11 mit der Bedienung eines Tektronix-Oszilloskopes vertraut sein. Die Scale-Drehknöpfe regeln �Volts/Division�, also die Skalie-rung der Y-Achse, auf der die Spannung dargestellt wird, die der zeitabhängigen Amplitu-de der Schallschwingung entspricht und �Time/Division�, die Skalierung der X-Achse bzw.Zeit-Achse. Sobald Sie die beiden Achsenskalierungen so optimiert haben, dass Sie eineSchwebung sehen können, kann diese mit den RUN/STOP-Knopf am Display �eingefro-ren� werden und Sie können mit der Cursor-Funktion die Schwebungsdauer ausmessen.

Alternativ drücken Sie die Taste SINGLE am Oszilloskop, wenn sich die beiden Lautspre-cher ungefähr auf gleicher Höhe be�nden. Vorteil: kein Teil des Bildes wird abgeschnitten.

Achtung: Das Mikrofon schaltet sich nach 20 Minuten von alleine ab und muss erneuteingeschaltet werden!

Bestimmung der Schallgeschwindigkeit aus einem linearen Zusammenhang

Aus der Schwebungsdauer TS können Sie nun mit Gl. 16 die Frequenzverschiebung ∆ν =ν−ν0 berechnen: TS = π/ωS = 2π/∆ω = 1/∆ν. Die Abhängigkeit der relativen Frequenz-verschiebung ∆ν/ν0 von der Geschwindigkeit v der bewegten Quelle ergibt nach Gl. 18einen linearen Zusammenhang aus dem die Schallgeschwindigkeit c bestimmt werden kann.

Bestimmen Sie dazu für jeweils 5 Wagengeschwindigkeiten +v bzw. −v (1 - 6 cms−1) dieSchwebungsdauern TS. Zur Richtungsänderung werden die Lautsprecher gewendet, unddas Mikrofon an der anderen Seite der Laufschiene eingerichtet. Der Motor wird an derStelle belassen. Tragen Sie ∆ν/ν0 gegen v in einem Diagramm auf. c erhalten Sie aus demAnstieg einer linearen Fitkurve.

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Achtung! Legen sie die Anschlusskabel des bewegten Lautsprechers immer so,dass die Bewegung des Wagens nicht behindert wird.

Literatur

Walcher �Praktikum der Physik�Gerthsen �Physik�

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