Praktikumsprotokoll:Gekoppelte Pendel

Robin Marzucca, Andreas Liehl

19. Januar 2011

Protokoll zum Versuch „Gekoppelte Pendel“, durchgeführt am 13.01.2011 an der Universi-tät Konstanz im Rahmen des physikalischen Anfängerpraktikums I von Robin Marzuccaund Andreas Liehl unter Tutor Amir Dastgheib-Shirazi.

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 2

2 Grundlagen 22.1 Pendelschwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2 Phasenverschiebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.3 Kopplungsschwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.3.1 Gleichsinnige Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.3.2 Gegensinnige Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.3.3 Schwebungsschwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.3.4 Herleitung der Bewegungsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.3.5 Kopplungsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 Der Versuch 83.1 Versuchsaufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.2 Versuchsdurchführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4 Auswertung 94.1 Mittlere Schwingungsdauer und Schwebungsdauer . . . . . . . . . . . . . . 94.2 Dynamische Bestimmung der Kopplungsgrade . . . . . . . . . . . . . . . . 104.3 Statische Bestimmung der Kopplungsgrade . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.4 Fehlerdiskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

5 Fragen und Antworten 14

1

1 Einleitung

Regt man in einem Becken voller Wasser ein Teilchen zum Schwingen an, so werden sichdie benachbarten Teilchen ebenso in Schwingung versetzen und es entsteht letztlich eineWelle.Dieses Phänomen beruht auf der Kopplung der einzelnen Teilchen und der damit resul-tierenden Energieübertragung zwischen den einzelnen schwingfähigen Systemen.Ziel dieses Versuches ist es, die Auswirkungen der Kopplung, insbesondere auf Perioden-dauer und Amplituden, genauer zu analysieren und zu verstehen.

2 Grundlagen

Bevor wir uns mit der Versuchsdurchführung befassen, klären wir zunächst einige Grund-begriffe, wie Pendelschwingung und in diesem Zusammenhang die harmonische Schwin-gung. Die Kopplung von Schwingungen und die resultierende gleichsinnige, gegensinnigeoder Schwebungsschwingung, sowie die Phasenverschiebung.

2.1 Pendelschwingung

Wird eine Masse an einem Faden, einem Seil oder Ähnlichem aufgehängt, so wird dieser,wenn man ihn anstößt oder auslenkt eine Schwingung durchführen.Unter Vernachlässigung der Reibung ist diese Schwingung harmonisch, d.h. der Auslen-kungswinkel ist proportional zum rücktreibenden Drehmoment

~D = ~l × ~F (1)

wobei l die Länge des Pendels und F die Kraft, die nötig ist, um das Pendel um denWinkel ϕ auszulenken.

Für die Differentialgleichung der Schwingung ergibt sich:

ϕ̈+ ω20ϕ = 0 (2)

mit ω0 =√| ~D|m .

Die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung ist ϕ(t) = A0 sin(ωt + ϕ0), wobei A0die Amplitude, ω0 die Eigenfrequenz und ϕ0 die Phasenverschiebung zum Zeitpunkt t = 0ist.

2

2.2 Phasenverschiebung

Verlaufen zwei Schwingungen gleicher Periodendauer nicht parallel, treten ihre Maximaalso nicht zur selben Zeit auf, so sind sie zueinander Phasenverschoben.Die Phasenverschiebung ϕ bezeichnet dabei die zeitliche Differenz zwischen zwei Maximader beiden Schwingungen.

2.3 Kopplungsschwingung

Als Kopplungsschwingung bezeichnet man eine Schwingung, die entsteht, wenn zweischwingfähige Systeme gekoppelt werden Bei unserem Versuch werden der Einfachheithalber zwei möglichst identische Pendel mit einer Spiralfeder gekoppelt. Die Eigenfre-quenzen und die Amplituden bei einem Winkel ϕ der beiden Pendel sind also gleich.Je nach Stellung der Pendel wird durch die Feder ein zusätzliches Drehmoment auf diejeweils andere Feder ausgewirkt.Wir können nun drei verschiedene Fälle von Kopplungsschwingungen unterscheiden:

2.3.1 Gleichsinnige Schwingung

Eine gleichsinnige Schwingung entsteht, wenn die beiden Pendel um den gleichen Winkelϕ0 ausgelenkt und zeitgleich losgelassen werden.Die beiden Pendel schwingen nun phasengleich und mit gleicher Amplitude, weshalbdurch die Feder kein zusätzliches Drehmoment ausgeübt wird.Ist die Masse der Feder zu vernachlässigen, so wird durch die Feder auch kein zusätzlichesTrägheitsmoment ausgeübt und das System schwingt mit der Eigenfrequenz ωgl = ω0 derbeiden Pendel.

Abbildung 1: Gleichsinnige Schwingung zweier Pendel mit Schwingungsbild

2.3.2 Gegensinnige Schwingung

Eine gegensinnige Schwingung entsteht genau dann, wenn beide Pendel um einen Winkelϕ0 von der Ruhelage in verschiedene Richtungen ausgelenkt werden und ebenfalls gleich-zeitig losgelassen werden.Dabei wird die Kopplungsfeder periodisch gestaucht und gedehnt, wodurch die ganzeZeit über ein zusätzliches Drehmoment in Richtung des rücktreibenden Drehmomentesauf die beiden Federn ausgewirkt wird.

3

Es resultiert eine symmetrische Schwingung, die jedoch durch die zusätzlichen Drehmo-mente eine höhere Frequenz ωgeg > ω0 hat.

Abbildung 2: Gegensinnige Schwingung zweier Pendel mit Schwingungsbild

2.3.3 Schwebungsschwingung

Werden die beiden Pendel zu Beginn ungleich ausgelenkt, z.B. mit ψ1(0) = 0 und ψ2(0) 6=0, so wird das erste Pendel seine Energie über die Feder auf das zweite übertragen.Dadurch verringert sich die Amplitude des ersten Pendels zunehmend, während sich diedes zweiten Pendels vergrößert. Das geschieht so lange, bis das erste Pendel schließlichzum Stillstand kommt, also seine komplette Energie übertragen hat, und das zweitePendel mit der vollen Amplitude schwingt. Danach wird der Vorgang umgekehrt.In diesem Fall können wir zwei Kreisfrequenzen unterscheiden:

1. Die Frequenz ω+, mit der die beiden Pendel schwingen, wobei sich deren Amplitudeständig ändert.

2. Die Frequenz ω−, mit der sich die Amplituden der beiden Pendel ändern, wobei dieZeit zwischen zwei Stillständen eines Pendels einer halben Periode entspricht.

Es gilt: ω+ ≈ ωgeg ≈ ωgl.

Abbildung 3: Schwebungsschwingung zweier Pendel mit Schwingungsbild

2.3.4 Herleitung der Bewegungsgleichung

Wir gehen dabei von einem komplett symmetrischen System aus. Die beiden Pendel ha-ben also die gleichen Winkelrichtgrößen D̃, die gleichen Trägheitsmomente Θ. Zusätzlichsoll die Feder streng dem Hookeschen Gesetz gehorchen. Zunächst wollen wir zum einfa-cheren Verständnis die Bezeichnungen in einer Graphik darstellen: Im Diagramm stehendie Bezeichnungen für:M1 = Drehmoment auf Pendel 1,M2 = Drehmoment auf Pendel 2,ϕ1 = Winkelauslenkung des Pendels 1,ϕ2 = Winkelauslenkung des Pendels 2,

4

Abbildung 4: Zwei durch eine Feder gekoppelte Pendel mit den entsprechenden Winkel-bezeichnungen aus [1]

D̃ = Winkelrichtgröße der Pendel,D = Federkonstante der Kopplungsfeder,r = Abstand des Drehpunktes vom Angriffspunkt der Feder.Aus den Voraussetzungen ergibt sich eine lineare Kopplung und für das DrehmomentM1von Pendel 1 gilt mit den obigen Bezeichnungen1:

M1 = −D̃ϕ1︸ ︷︷ ︸rücktreibendesDrehmoment

+ D (rϕ2 − rϕ1)︸ ︷︷ ︸DehnungderFeder︸ ︷︷ ︸Federkraft

r

︸ ︷︷ ︸ZusatzdrehmomentdurchKopplung

+ M0︸︷︷︸ausV orspannungderFeder

= −D̃ϕ1 +Dr2 (ϕ2 − ϕ1) +M0 (3)

und analog für das Drehmoment M2 von Pendel 2:

M2 = −D̃ϕ2 −Dr2 (ϕ2 − ϕ1)−M0 (4)1Herleitung stammt aus [1]

5

Die Pendel erhalten durch die Kopplung evtl. eine neue Ruhelage. Bei der gekoppeltenSchwingung betrachten wir jeweils die Winkeländerung zu dieser neuen Ruhelage und esist Abb. (??):

ψ1 := ϕ1 − ϕ01ψ2 := ϕ2 − ϕ02

sowie für eine symmetrische Anordnung ϕ01 = −ϕ02 =: ϕ0 woraus folgt:

ψ1 = ϕ1 − ϕ0ψ2 = ϕ2 + ϕ0

In der Ruhelage heben sich die beiden Drehmomente additiv auf und wie erhalten ausden Gleichungen (3) und (4):

0 = −D̃ϕ01 +Dr2 (ϕ02 − ϕ01) +M00 = −D̃ϕ02 −Dr2 (ϕ02 − ϕ01)−M0

Durch Subtraktion dieser beiden Gleichungen erhalten wir:

M0 =(

2Dr2 + D̃)·ϕ0

Einsetzen von M0 in Gleichungen (3) und (4) liefert:

M1 = −D̃ψ1 +Dr2 (ψ2 − ψ1)M2 = −D̃ψ2 −Dr2 (ψ2 − ψ1)

Außerdem wissen wir, dass Mi = Θω̇ = Θϕ̈i, woraus sich für die Pendel die Differential-gleichungen ergeben:

ψ̈1(t) =D̃

Θ·ψ1 +

Dr2

Θ(ψ2(t)− ψ1(t)) (5)

ψ̈2(t) =D̃

Θ·ψ2 +

Dr2

Θ(ψ2(t)− ψ1(t)) (6)

Um die Terme übersichtlicher zu gestalten setzen wir ω2gl =D̃Θ und k

2 = Dr2

Θ . Dar-aus erhalten wir zwei Differentialgleichungen, deren Lösung die Bewegung der Pendelbeschreibt:

ψ̈1 + ωgl ·ψ1 = +k2 (ψ2 − ψ1) (7)ψ̈2 + ωgl ·ψ2 = −k2 (ψ2 − ψ1) (8)

6

Nun addieren bzw. subtrahieren wir Gleichungen (8) und (??) und erhalten die Glei-chungen für die Summe bzw. Differenz der Winkel:

d2

dt2(ψ2 + ψ1) + ω

2gl (ψ2 + ψ1) = 0

d2

dt2(ψ2 − ψ1) + ω2gl (ψ2 − ψ1) = −2k2 (ψ2 − ψ1)

Wir setzen X := ψ1 + ψ2 und Y := ψ1 − ψ2 und erhalten:

Ẍ + ω2gl ·X = 0 (9)Ÿ +

(ω2gl + 2k

2)︸ ︷︷ ︸

=:ω2geg

·Y = 0 (10)

Die Lösung dieser Differentialgleichungen sind harmonische Schwingungsgleichungen mitden Kreisfrequenzen ωgl und ωgeg, wobei die Koeffizienten A1, A2, A3 und A4 durch dieAnfangsbedingungen definiert sind:

X(t) = A1 · sin (ωglt) +A2 · cos (ωglt)Y (t) = A3 · sin (ωgegt) +A4 · cos (ωgegt)

Daraus erhalten wir durch Resubstitution schließlich die Schwingungsgleichungen für ψ1und ψ2 bzw. ϕ1 und ϕ2:

ψ1(t) =X + Y

2

=(A1 · sin (ωglt) +A2 · cos (ωglt)) + (A3 · sin (ωgegt) +A4 · cos (ωgegt))

2

ψ2(t) =X − Y

2

=(A1 · sin (ωglt) +A2 · cos (ωglt))− (A3 · sin (ωgegt) +A4 · cos (ωgegt))

2bzw.

ϕ1(t) = ϕ1(t) + ϕ0

=(A1 · sin (ωglt) +A2 · cos (ωglt)) + (A3 · sin (ωgegt) +A4 · cos (ωgegt))

2ϕ2(t) = ϕ2(t)− ϕ0

=(A1 · sin (ωglt) +A2 · cos (ωglt))− (A3 · sin (ωgegt) +A4 · cos (ωgegt))

2

Bei genauerem Betrachten der beiden Lösungen entdecken wir eine Überlagerung vonzwei sog. Fundamentalschwingungen mit unterschiedlichen Eigenfrequenzen ωgl und ωgeg,

7

was den Eigenfrequenzen der gleichsinnigen (Kap. 2.3.1) und gegensinnigen Schwingung(Kap. 2.3.2) entspricht. Wir erhalten die Schwebungsschwingung (Kap. 2.3.3, siehe auchAbb. (??)).

2.3.5 Kopplungsgrad

Zwei Pendel können unterschiedlich stark gekoppelt sein. Das kann z.B. von der Art derKopplung2 oder von der Anbringung der Kopplung3. Um ein Maß für die Stärke angebenzu können, definiert man den Kopplungsgrad:

K :=ω2geg − ω2glω2geg + ω

2gl

=T 2gl − T 2gegT 2gl + T

2geg

(11)

=Dr2

D̃ +Dr2(12)

3 Der Versuch

3.1 Versuchsaufbau

Der Versuchsaufbau besteht aus einem Stahlgestell an dem zwei lange Metallstäbe gela-gert sind (siehe Abb.(5)). An dessen Spitze befindet sich ein Gewicht, sodass diese alsPendel fungieren. Weiter steht eine Feder zur Verfügung, die zwischen den Pendeln alsKopplung angebracht werden kann. Unten liegt ein Maßband, an dem die Auslenkungder Pendel abgelesen werden kann.

3.2 Versuchsdurchführung

Zunächst werden die Periodendauern für die Eigenschwingungen der Pendel gemessen.Sie sollte ja später mit der Periodendauer der gleichphasigen Schwingung übereinstim-men. Anschließend wird die Länge der Pendel gemessen. Sie wird später wichtig, da beider Auslenkung des Pendels nur die Strecke gemessen wird, wobei jedoch der Auslenk-winkel relevant ist.Nun werden die Pendel mit der Feder gekoppelt. Für insgesamt drei Kopplungsgradewerden die Periodendauer der gleichphasigen und der gegenphasigen Schwingung gemes-sen. Schließlich werden wir uns noch mit dem Phänomen “Schwebung“ befassen und mit

2In unserem Versuch ist die Kopplung durch eine Feder gegeben.3In unserem Versuch werden wir die Feder in unterschiedlichen Höhen anbringen

8

Abbildung 5: Versuchsaufbau: Stahlgestell mit Pendel aus [1]

diesem Hintergrund die Periodendauer einer Schwebung messen. Weiter wird zur sta-tistischen Bestimmung des Kopplungsgrades jeweils immer ein Pendel aus der Ruhelageausgelenkt, wodurch das andere Pendel aufgrund der Kopplung ebenfalls eine Auslenkungerfährt. Durch Ablesen der Auslenkungen erhalten wir später den Kopplungsgrad.

4 Auswertung

4.1 Mittlere Schwingungsdauer und Schwebungsdauer

Wir berechnen zunächst aus den gemessenen Schwingungsdauern die Kreisfrequenzen ωglund ωgeg mit den Beziehungen ω = 2πT , wobei für T Tgl bzw. Tgeg einzusetzen ist.Damit lässt sich nun die Schwebungsdauer berechnen mit:

TS =4π

ωgeg + ωgl(13)

und der Fehler für diese ist4:

δTS =

√(∣∣∣∣ ∂TS∂ωgeg∣∣∣∣ · δωgeg)2 + (∣∣∣∣ ∂TS∂ωgl

∣∣∣∣ · δωgl)2=

√(4π

ωgeg + ωgl· δωgeg

)2+

(4π

ωgeg + ωgl· δωgl

)2(14)

4Diese und alle weiteren Formeln zur Fehlerrechnung stammen aus [2].

9

Die mittlere Schwingungsdauer berechnet sich aus:

Tm =4π

ωgeg − ωgl(15)

und der Fehler für diese Schwingungsdauer ist:

δTS =

√(∣∣∣∣ ∂Tm∂ωgeg∣∣∣∣ · δωgeg)2 + (∣∣∣∣∂Tm∂ωgl

∣∣∣∣ · δωgl)2=

√(4π

ωgeg − ωgl· δωgeg

)2+

(4π

ωgeg − ωgl· δωgl

)2(16)

Wir wollen nun die errechneten Werte mit den Messungen in der Versuchsdurchführungvergleichen:

Kopplung 1 Kopplung 2 Kopplung 3TS berechnet 44, 24± 1, 49s 20, 43± 0, 34s 6, 88± 0, 07sTS gemessen 47, 75± 0, 20 s 19, 85± 0, 20s 6, 575± 0, 10srel. Fehler TS 0,074 0,029 0,044Tm berechnet 1, 573± 0, 002s 1, 505± 0, 002 1, 318± 0, 003Tm gemessen 1, 592± 0, 013s 1, 654± 0, 014s 1, 315± 0, 020srel. Fehler Tm 0,012 0,090 0,002

Tabelle 1: Es sind jeweils die berechneten und gemessenen Schwebungsdauern und diedazugehörigen mittleren Schwingungsdauern angegeben. Der relative Fehlerberechnet sich durch das Verhältnis zwischen dem berechneten und dem ge-messenen Wert.

4.2 Dynamische Bestimmung der Kopplungsgrade

Mit den in Kap 4.1 errechneten Werten können wir schließlich den Kopplungsgrad anhandGleichung (11):

K =T 2gl − T 2gegT 2gl + T

2geg

errechnen. Weiter berechnet sich der Fehler des Kopplungsgrades mit:

δK =

√(∣∣∣∣ ∂K∂Tgeg∣∣∣∣ δTgeg)2 + (∣∣∣∣ ∂K∂Tgl

∣∣∣∣ δTgl)2

=

√√√√(2Tgeg · 1 +KT 2gl + T

2geg

· δTgeg

)2+

(2Tgl ·

1−KT 2gl + T

2geg

· δTgl

)2(17)

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Es ergeben sich für die einzelnen Versuchsdurchführungen folgende Werte:

Kopplung Kdyn · 10−21 7, 10± 1, 252 14, 65± 1, 223 36, 95± 1, 33

Tabelle 2: Kopplungsgrade dynamisch bestimmt

4.3 Statische Bestimmung der Kopplungsgrade

Wir lenken zunächst eines der gekoppelten Pendel um eine Strecke x aus und messen dieresultierende Auslenkung am zweiten Pendel. Der Kopplungsgrad ergibt sich nun aus den

Auslenkung x1[cm] Auslenkung x2[cm]6,0 0,3

Kopplung 1 14,0 0,918,0 1,28,0 1,3

Kopplung 2 12,0 1,919,0 4,18,0 3,1

Kopplung 3 12,0 4,219,0 6,9

Tabelle 3: Es sind die gemessenen Auslenkungen der Pendel aufgelistet. In allen Messun-gen gilt δx = 0, 1cm.

Verhältnissen der beiden Winkelauslenkungen. Wir rechnen also zunächst die gemessenenAuslenkungen in Winkel um mit

Ψi = l · arcsin(xi) (18)

Der Kopplungsgrad ergibt sich jeweils als Proportionalitätsfaktor zwischen den jeweiligenAuslenkwinkeln, also ist:

K =Ψ1Ψ2

=arcsin(x1)

arcsin(x2)(19)

Dieser wird also bei jeder Auslenkung einzeln bestimmt und hinterher die drei Wertearithmetisch gemittelt. Für den Fehler des Kopplungsgrades rechnen wir dann mit der

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Standardabweichung und es ist:

δK = σK =

√√√√ 1N(N − 1)

N∑i

(Ki −K

)2 (20)wobei die Ki die einzelnen berechneten Kopplungsgrade sind und K der arithmetischeMittelwert ist.Für die Kopplungsgrade ergeben sich in den einzelnen Versuchsdurchführungen:

K1 = (5, 93± 0, 47) · 10−2

K2 = (16, 07± 0, 14) · 10−2

K3 = (36, 56± 1, 12) · 10−2

Wir vergleichen diese nun mit den dynamisch bestimmten Kopplungsgraden:

Kopplungsgrad Kdyn · 10−2 Kstat · 10−21 7, 10± 1, 25 5, 93± 0, 472 14, 65± 1, 22 16, 07± 0, 143 36, 95± 1, 33 36, 56± 1, 12

Tabelle 4: Vergleich der dynamisch und statisch bestimmten Kopplungsgrad

4.4 Fehlerdiskussion

Wie in den Kapiteln 4.1, 4.2 und 4.3 deutlich wurde, konnten wir die berechneten Werteweitestgehend durch die Messung bestätigen. Dennoch sind Abweichungen vorhanden.Diese lassen sich jedoch durch äußere Einflüsse und den Versuchsaufbau erklären. Vorallem im Versuchsaufbau gibt es einige Faktoren, die zur Abweichung beitragen:

• Die Masse der Feder wurde bei den Rechnungen vernachlässigt.

• Die Lagerung der Pendel ist nicht komplett reibungsfrei. Damit lassen sich vor allemdie Abweichungen bei der Messung der Schwebungsdauer und der mittleren Schwin-gungsdauer bei der Schwebung erklären, da die Pendel durch die Reibung früherzum Stillstand kommen. Eine weitere Erklärung für Abweichungen der mittlerenSchwingungsdauer ist das falsche Abzählen der Perioden. Dies ist bei der Schwe-bung relativ schwer, da die Amplituden kurz vor dem Stillstand so klein sind, dasssie kaum noch zu erkennen sind.

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• Es wurde vernachlässigt, dass die Feder im Falle der gegensinnigen Schwingung teil-weise leicht durchhängt wenn die Pendel aufeinander zu schwingen. Dadurch wirktein geringeres Drehmoment, was die Periodendauer der gegensinnigen Schwingungverlängert. Zwar wird versucht, diesen Effekt durch Stabilisierung der Feder mittelsAufhängung zu minimieren, jedoch fällt er keinesfalls komplett weg.

• Weiter könnten die Messwerte für die Periodendauern der gleichsinnigen und gegen-sinnigen Schwingung dadurch leicht verfälscht werden, dass die gemessenen Schwin-gungen nicht perfekt gleich- bzw. gegensinnig waren. Dies ist in der Praxis “perHand“ nur sehr schwer realisierbar.

Andere Fehler wie z.B. die Näherung sinϕ ≈ ϕ oder zufällige Fehler wie z.B. Vibrationenan der Versuchsapparatur oder ungünstige Thermik im Raum, kommen zwar ebenfallsvor, wirken sich jedoch bei weitem nicht so stark aus, wie die oben genannten.

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5 Fragen und Antworten

Wir wollen noch kurz auf die gestellten Fragen eingehen.

Aufgabe 1

Welche Bedeutung haben gekoppelte Schwingungen in der Molekülphysik?

Moleküle bestehen aus Atomen, die durch verschiedene Bindungsarten miteinander ver-bunden sind. Die Atome wiederum können Schwingungen ausführen. Da die Atome einesMoleküls jedoch mit den Nachbaratomen des Moleküls verbunden sind (z.B. durch Elek-tronenbindung), entsteht so eine gekoppelte Schwingung. Allerdings ist diese gekoppelteSchwingung deutlich komplizierter, als bei unserem Experiment, da ein Atom in einemMolekül i.d.R. mehrere Nachbaratome hat.Der Kopplungsgrad ist dabei abhängig von der Bindungsart im Molekül, so haben z.B.Kristallstrukturen einen sehr hohen Kopplungsgrad.Regt man ein Molekül an (z.B. durch Erhitzen), so wird die Eigenschwingung der Ato-me größer. Führt man dies weiter, kann es vorkommen, dass die Kopplung nicht mehrstandhält und die Verbindung zwischen den Atomen zerbricht, was zur Folge hat, dassder Agregatzustand des Mediums sich ändert.

Aufgabe 2

Wie kann man das Phänomen der Schwebung für die Messung sehr hoher Frequenzennutzen?

Will man die die Frequenz einer hochfrequenten Schwingung messen, so erfordert diessehr sensible und sehr genaue Messgeräte. Stehen diese nicht zur Verfügung, lässt sich dieFrequenz dennoch bestimmen, indem man die Schwingung mit einer Referenzschwingungähnlicher Frequenz überlagert, wobei die Frequenz der Referenzschwingung bekannt ist.Dadurch entsteht eine Schwebung, deren Periodendauer deutlich einfacher ist zu mes-sen. Über die Periodendauer der Schwebung und die der Referenzschwingung, kann manschließlich die Frequenz der hochfrequenten Schwingung messen.

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Literatur

Im Literaturverzeichnis befinden sich die verwendeten Quellen.

[1] Runge, Bernd-Uwe: Gekoppelte Pendel, Versuchsanleitung und Grundlagen, 2011

[2] Runge, Bernd-Uwe: C. Fehlerrechnung, Skript zur Fehlerrechnung für das physikali-sche Praktikum an der Universität Konstanz, 2010

[3] Demtröder, Wolfgang: Experimentalphysik 1: Mechanik und Wärme, 5. Auflage,Springer-Verlag, 2008

[4] Nolting, Wolfgang: Grundlagen der theoretischen Physik 1: Klassische Mechanik, 8.Auflage, Springer-Verlag, 2006

Abbildungsverzeichnis

1 Gleichsinnige Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Gegensinnige Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Schwebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Gekoppelte Pendel - Skizze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Versuchsaufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Tabellenverzeichnis

1 Schwebungs- und mittlere Schwingungsperioden . . . . . . . . . . . . . . . 102 Kopplungsgrade dynamisch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 Auslenkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 Vergleich Kopplungsgrade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

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EinleitungGrundlagenPendelschwingungPhasenverschiebungKopplungsschwingungGleichsinnige SchwingungGegensinnige SchwingungSchwebungsschwingungHerleitung der BewegungsgleichungKopplungsgrad

Der VersuchVersuchsaufbauVersuchsdurchführung

AuswertungMittlere Schwingungsdauer und SchwebungsdauerDynamische Bestimmung der KopplungsgradeStatische Bestimmung der KopplungsgradeFehlerdiskussion

Fragen und Antworten