Sektion Elasto- und Plastomechanik

T 120 Sektion Elasto- und Plastomechanik

definiert. Hier sind wm und v, die in Teil 1, G1. (6), eingefuhrten energetischen Groden. Herleitung und Struktur des Ergebnisses entsprechen dem Verfahren der nichtlinearen Elkstodynamik, wo wir die LAURANaEdichten

Yv : = ~ e G 2 - w ( H ) + f * U , YA : = t . u (22) haben. Him ist u der Verschiebungsvektor, H : = VU der materielle Verschiebungsgradient, f die Kraftdichte, t die Randspannung, e die Massendichte und w die Dichte der Formiinderungsenergie, wobei sich alle Groden auf die Ausgangslage beziehen.

Literatur

1 SIMONYI, K., Theoretische Elektrotechnik, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1956 2 STEELE, CH. W., Uniqueness theorem for a static electric or magnetic field in a saturable medium, J. Appl. Phys. 44 (1973),

3790

Anschrift: Prof. Dr.-Ing. GERD BRUNK, Technische Universitit Berlin, 1. Institut fur Mechanik - C8 -, Berlin 12, Berlin (West)

ZARlRI 64, T 120 -T 124 (1984)

F.-G. BTJCHHOLZ

Der Einflull unterschiedlicher Randbedingungen auf die Eigenspannungsenergie und das Bruchverhalten diskontinuierlich inhomogener Festkorper

1. Einleitung

In diskontinuierlich inhomogenen Festkorpern, z. B. in faserverstiirkten Verbundwerkstoffen, entstehen bei ther- mischer Beanspruchung Eigenspannungen infolge der unterschiedliohen thermoelastischen Parameter von Faser und Matrixmaterial. In Uberlagerung mit Spannungen durch mechanische Belastungen konnen diese Eigenspan- nungen die Entstehung und Ausbreitung von Rissen in einem Verbundbauteil und damit seine Tragfahigkeit wesentlich beeinflussen. Deshalb kommt der bruchmechanischen Analyse ridbehafteter Verbundstrukturen eine beson- dere technische Bedeutung zu. Im Sinne des mikromechanischen Konzeptes der Bruchmechanik [l] beschranken sich solche Untersuchungen haufig auf sogenannte Einheitszellen von Verbundwerkstoffen [2,3], deren freie Rander allerdings anderen Spannungs- und Verschiebungsrandbedingungen unterliegen als entsprechende Materialaus- schnitte eines realen Mehrfaserverbundes. Die vorliegende Arbeit untersucht den Einflud dieser unterschiedlichen Randbedingungen auf die sich in entsprechenden Materialausschnitten aufbauende Eigenspannungsenergie und das hiervon bestimmte Ausbreitungsverhalten von gekrummten Grenzflkichenrissen in der Diskontinuitatsfllche zwischen Faser und Matrix.

2. Eigenspannungs- und RiSenergie

Fur eine einzelne kreisformige Einheitszelle mit ebenem Verzerrungszustand (Abb. 1) liegt in [4] eine analytische Losung fur den Eigenspannungszuatand vor. Hieraus kann die in einer Scheibe der Dicke 1 dieses Zweiphasenver- bundes bei einer Temperaturanderung A T entstehende Eigenspannungsenergie U bzw. = U / h berechnet werden. Nach [5 ] setzt sich

@ == v. + u r , v (1) aus zwei entkoppelten Anteilen

- uz = a; + G&

infolge der verhinderten Dehnung in Achsrichtung der Einheitszelle (z-Koordinate) und - - U',P = q v +Vy (3)

infolge der diskontinuierlichen Inhoniogenitiit zusammen (Index f : Faser, Index m: Matrix). Hiervon triigt gemiid [5] allein der Anteil@*v zur Entstehung und Ausbreitung von Eigenspannungsrissen im Faser/Matrix Verbund bei.

Fur eine einzelne Sechseck-Einheitszelle, die sich ohne geometrische Defekte mit weiteren Zellen zu einem allgenieineren Verbundrnodell zusammenfassen l ldt (Abb. l), existiert keine analytieche Losung mehr fur die in ihr bei gleichmiidiger Erwiirmung entstehende Eigenspannungsenergie. Diese kann jedoch fur einzelne Einheitszellen beliebiger Gestalt sowie fur einen entsprechenden Materialausschnitt eines realen l'erbundes mit Hilfe einer Finite- Element Analyse numerisch sehr genau berechnet werden IS]. Hierzu ist gem60 - -

Ur*v = r,TKr, (4)

Section Mechanics of Elastic and Plastic Bodies T 121

Kreis-Einheitszelle

flachengleiche Se c hs ec k - Ein hei tsz e I L e Abb. 1. Querschnitt durch die verschiedenen Ein-

heitsaellen eiues Faser/Jlatri+ Verbundes

Sechseck-Einheitstelle im Verbund

I \ I X Faser Grenzflache Matrix Abb. 2. Verschiebungsfeld der einzelnen EreL-Einheitszelle EZ-K ( - - - unverformt, - verformt)

das gesamte Verschiebungsfeld des Verbundes auszuwerten (r, Vektor aller effektiven Knotenpunktverschiebun- gen, K Gesamtsteifigkeitsmatrix). Aus derselben FE-Analyse kann auch die fur bruchmechanische Auswertungen wichtige Energiefreisetzungsrate G(a) in Abhiingigkeit von der RiBliinge a ermittelt werden. Sie gibt die bei suk- zessiver Verllingerung des Risses verbrauchte und vom Verbund freigesetzte Eigenspannungsenergie an und kann nach [6] auch im Falle eines gekriimmten Grenzfliichenrisses mit Hilfe des modifizierten RiBschliel3ungsintegrals entsprechend [7] berechnet werden. Fur einzelne Einheitszellen beliebiger Gestalt muB gemiiB [6] die Summe der von einem GrenzflachenriB verbrauchten Energie


init dem urspriinglich im Verbund gespeicherten Eigenspannungsenergieanteil 0'9 ubereinstimmen, da sich bei einem RiDwinkel p = 360" Faser und Matrix ganz voneinander getrennt und in der r,p-Ebene senkrecht ziir 2-Achse vollig entspannt haben.

3. Einzelne Kreis- und Sechseck-Einheitszolle (EZ-K und EZ-S)

Fur eine Materialpaarung von Sic-Faser und Al-Matrix (thermoelastische Parameter siehe Tab. 1) und ein Radien- verhiiltnis rl/rm = 5,47/10 entsprechend einem Faservolumenverhaltnis V,/ V = 3O0/O sowie einer Temperaturver- teilung T, = TI = To + 100 "C (To Temperatur des spannungsfreien Ausgangszustands) zeigen die Abb. 2 und 3 die FE-Diskretisierungen und Verformungszustande der einzelnen EZ-K und EZ-S. Abb. 2 lal3t deutlich erkennen, daD das Verschiebungsfeld der verformten EZ-K aufgrund der Rotationssymmetrie geometrisch ahnlich zur unver- formten Struktur bleibt. Dagegen zeigt eine genaue Analyse des Verschiebungsfeldes der EZ-S (Abb. 3) in den Ge- bieten mit weniger Matrixmaterial eine leichte Verkriimmung der AuBenkontur nach innen.

Tebelle 1. Thermoelastische Materialparameter fiir den Faser/Matrix Verbund

Bezeichriung Faser Matrix Sic A1

I__ ___ Elestizititsmodul E [N mm-?] 449.300 69.650

Linearer Wiirmeausdehnungskoeffizient 0. IK-7 Poissonsche Querkontraktionszahl v [D 0,266 0,339

4,5. 10-6 2,4. 10-5

Tttbelle 2. Eigenspannungs- iind RiRenergie der vcrschiedencn Einheitszellen

- U [N mm/mm] EZ-K EZ-S EZ-VB

I I I Faser Grenzflache Matrix

X

Abb. 3. Verschiebungsfeld der einaelnen Serli~eck-Einheitszelle EZ.S ( - - - unverfprmt, - verformt)

Die zugehorigen Werte der Eigenspannungs- und RiBenergie genial3 (3), (4) und (5) enthiilt Tab. 2. Fur die EZ-K zeigt der Vergleich zwischen dein analytisch berechneten Wert ~y~~ und dem aus dem Verschiebungsfeld numerisch ermittelten Wert ur19 mit 1,60/0 Abweichung eine sehr gute Ubereinstimmung, wiihrend die Abweichung von 7,8% zwischen 5 9 9 und U r , 9 auf Verfahrensungenanigkeiten der Methode des modifizierten RiOschlieBungs- integrals zuriickgeht. Die mit gleicher FE-Diskretisierung fur die fliichengleiche EZ-S berechnete Eigenspannungs- energie @,9 ist mit 1,5% Differenz nur geringfugig kleiner a19 die der EZ-K, da, die Ecken der freien Kontnr der EZ-S weitgehend spannungs- und verzerrungsfrei bleiben. Auch der Verlauf der Energiefreisetzungsraten iiber dem RiDwinkel (Abb. 5 ) zeigt fur beide Einheitszellen weitgehende Ubereinstimmung.

- h

-


4. Sechseck-Einheitszelle im Verbund (EZ-VB)

Der der einzelnen Sechseck-Einheitszelle entsprechende Materialausschnitt aus dem allgemeineren Verbundmodell (Abb. 1) enthiilt nach Tab. 2 bei gleichmiifliger Erwiirmung um d T mit 1,4% Differenz nur geringfiigig mehr Eigen- spannungsenergie U 1 f e als die einzelne EZ-S. Dies geht auf die veranderten Randbedingungen auf der fiktiven Kontur der EZ-VB zuriick, die infolge der Ankopplung an den umgebenden Verbund nicht mehr normalspan- nungsfrei und in den fiktiven Ecken der Kontur nicht mehr spannungs- und verzerrungsfrei ist. Insbesondere sind aufgrund des kompatiblen Verschiebungszustands des allgemeineren Verbundmodells keine Verkriimmungen in der fiktiven AuSenkontur der EZ-VB nioglich (Abb. a), was in diesen Bereichen zu Eigenspannungen und damit zu zusiitzlicher Eigenspannungsenergie im Vergleich zur einzelnen EZ-S fiihrt. Bemerkenswert ist noch, daB hierdurch die Betrlige der Eigenspannungsenergie ufl von EZ-VB und EZ-K praktisch iibereinstimmen (Differenz O,l%). Wie Abb. 5 jedoch zeigt, unterscheiden sich die fur das RiBrtusbreitungsverhalten wichtigen Verlaufe der Energie- freisetzungsraten ganz wesentlich. Der fur stabiles RiSwachstum gemiiS G,,, s Gc entscheidende Maximalwert der Energiefreisetzungsrate liegt bei der EZ-VB urn 36,5% niedriger als bei den einzelnen Einheitseellen EZ-K und EZ-S. Dieses Ergebnis ist auch anschaulich interpretierbar, da bei der EZ-VB Faser und Matrix fur einen RiBwinkel QI = 2n zwar vollig getrennt sind, aber die Matrix infolge der bleibenden Anbindung an den umgebenden Verbund hierdurch nicht vollig entspannt wird. Sie ent hdlt noch einen wesentlichen Teil der Eigenspannungsenergie (vergl. Tab. Z), die damit dem GrenzflachenriB nicht zur Verfugung steht. c4uflerdem fallen in Abb. 5 bei den Kurvenver- liiufen der EZ-VB noch die erheblich geringeren Upterschiede in den Maximalwerten von GI und G I 1 auf.

-

-

Mathx \ Fa& / Mnirix Grenzflache

X

Abb. 4. Versohiebung*feld der Sechseck-Binheitszelle im Verbund EZ-VB ( - - - unverformt, - verformt)

z 6 'E

f.

2

E

" 5 01

2 4

4-

cn m

c Q cn Q L u- .- .- a 1 3 01 L al c W

2

1

0 30 60 90 120 150 180° RiOwinkel ~

Abb. 5. Energiefreisetzungsraten des gekrummten Grenzflilchenrisses in den verschiedenen ElnheitszeIlen


6. Zusammenfassung

Fur das betrachtete Faservolurnenverhaltnis zeigt die vorliegende Untersuchung, daS die nach gleichmaBiger Er- warmung in den drei verschiedenen Einheitszellen (EZ-K, EZ-S, EZ-VB) jeweils gespeicherte Eigenspannungsener- gie nur sehr wenig von der geometrischen Gestalt und den behandelten Randbedingungen der Einheitszellen abhiingt. AuBerdem wurde gezeigt, daB aber mit der bruchrnechanischen Analyse der Energiefreisetzungsraten der einzelnen Einheitszellen (EZ-K, EZ-S) die Gefahr einer instabilen RiSausbreitung deutlich iiberschatzt wird.

Lit era tur

1 SMITH, C. W., in: C. T. HERAKOVICH (Ed.), AMD-Vol. 13 (1975), ASME, New York, S. 157-171. 2 BRAUN, H., Dissertation, Universitiit Krtrlsruhe (TH), 1979. 3 BUCHHOLZ, I?.-G.; HERRMANN, K.; STRATHMEIER, U., in: DVM-Bericht, 12. Sitzung AK Bruchvorgange, Freiburg 1980, S. 215-

4 HERRMANN, K., in: K. SCERODER (Ed.), Beitrage zur Spannungs- und Dehnungsanalyse VI (1970), Akademie Verlag Berlin,

5 BUCHHOLZ, F.-G., Vortrag : Mechanik Kolloquium der Hoclischulen des Landes Nordrhein-W'estfalen, Bochum, 1982. 6 BUCHHOLZ, F.-G., Vortrag: GAMM-Tagung, Budapest, 1982. 7 RYBICEI, E. I?.; KANNINEN, M. F., Eng. Fract. Mech. 9 (1977), S. 931-938. 8 JACKER, K. P., Studienarbeit, Fachgebiet Technische Mechanik, Universitiit-GH-Paderborn, 1983.

222.

S. 21 -39.

Anschrift : Dr.-Ing. F.-G. BUCHHOLZ, Faehgebiet Technische Mechanik, FB 10, Universitiit-GH-Paderborn, Postfaeh 1621, D-4790 Paderborn, RRD

Z.4MM 64, T 124 -T 126 (1984)

L. DREILICH / D. GROSS

Beitrag zum thormo-elastischen RiBproblem

Es wird das thermo-elastische Problem des Einzelrisses niit punktforrniger stationarer Wiirmequelle untersucht. Der RiB wird dabei bezuglich der Wiirmeleitung als Isolator aufgefaSt.

Einleitung

Fur die Untersnchung von RiBproblemen ist die Kenntnis von Grundlosungen von groSer Bedeutung. So lassen sich z. B. mit Hilfe der Losungen fur den EinzelriB in der unendlichen Ebene unter Einzelkraftbelastung [I, 21 oder mit Einzelversetzung [3] spezielle Losungen durch Integration gewinnen. In anderen Fallen kann die Grundlosung dazu dienen, Randwertprobleme in Form von Integralgleichungen zu formulieren, die dann die Grundlage fur eine weitere analytische bzw. numerische Behandlung darstellen [3,4]. Analog zu den bekannten Losungen fur die Einzelkraft und die Einzelversetzung sol1 hier die Losung fur das ebene thermo-elastische Problem mit stationiirer Warmequelle angegeben werden.

Wiirmeleitungspro blem

Die Fouriersche Wilrmeleitungsgleichung reduziert sich im stationaren Fall auf eine Potentialgleichung fur die Temperatur T. Unter Verwendung der komplexen Variablen z = x + i y laat sich die Losung in der Form

T(z , Y) = Re { Q ( x ) > (1)

angeben, wobei Q ( z ) eine analytische Funktion ist. Wir betrachten nun eine unendliche Ebene, in der sich ein RiB der Liinge 2a sowie an der Stelle 5 = 6 + iq

eine Warmequelle der Quellstarke C befindet (Abb. 1). FaBt man den RiB als einen Isolator auf, so verschwindet der WiirmefluB uber €2:

I m B } l = o . R

AuSerdem mu13 Q an der Stelle 5 die Quelle reprasentieren. Es gibt verschiedene Methoden zur Losung dieses Neumannproblems. Eine ist der Ansatz eines Potentials der

einfrtchen Schicht auf den1 RiB. Dies fuhrt auf eine singulare Fredholmsche Integralgleichung erster Art fur die Potentialdichte. Entwickelt man die Dichte in eine Reihe von Tschebyscheff-Polynomen erster Art, dann kaan die


Losung in der folgenden Form angegeben werden:

co 2i Q(z) = C In - - + c 2 - I111 { (i' - J p - a2)") (2 - j z z - a2)n .

bo It = 1 (3)

Hierbei ist b, der Radius eines Kreises um 5, auf dem beim ungestorten Problem (kein RiB) die Temperatur verschwindet. Die Konstante C ist fur den Fall, daB eine Quelle vorliegt, negativ und fur den Fall eiaer Senke positiv.

Das thermo-elastische Problem

Das ebene thermo-elast'ische Problem 1LBt sich mittels der drei analytischen Funktionen y(z ) , y ( z ) und Q(z) folgen- dermaBen beschreiben:

__ az + a, = 2[V'(Z) + rp'(z)] , W(U + i ~ ) = x l ~ ( z ) - x ~ ' ( z ) - y(z) + x , J & ( z ) dz .

by - bz -1 i2t , , = a[ay"(z) + y'(z)] , (4)

Darin bedeuten ( )' die Ableitung nach z und Querstriche kennzeichnen das konjugiert komplexe des betreffenden Ausdrucks. Die Materialkonstanten x,, x, sind im ebenen Spannungszustand bzw. ebenen Dehnungszustand ver- schieden: {: + v , ebene Spannung , x1 = { (3 - W l + v ) , xz = 4Q&

3 - 4v ebene Dehnung . Hier sind v die Querkontraktionszabl, G der Schubniodul und 01 der Teinperaturdehnungskoeffizient.

..

20 4

Abb. 1. Statiouiire Wiiruiequelle und EincelriO in der uneudliclieii Abb. 2. Verscliiebungavektor sprhgt bei Umlauf entlaug L1 bzw. L, Ebene

Die Untersuchung der Stetigkeit des Verschiebungflfeldes (4) zeigt, da8 der Verschiebungsvektor bei eineni Umlauf entlang der Kurven L, bzw. L, infolge des Ausdrucks $ Q dx springt (Abb. 2). Diese Sprunge miissen durch geeignete Funktionen tpl(z) und yrl(z) kompensiert werden. Dabei mu13 beachtet werden, daB diese Funktionen keine resultierende Kraft und kein resultierendes Moment zur Folge haben. Man erhalt :

Hierbei ist bl der Radius eines Kreises um C, auf dem beim ungestorten Problem (kein Ri13) die Randspannungen verschwinden. Die Funktionen tpl(z) bzw. yl(z) liefern die Stetigkeit des Verschiebungsfeldes auBerhalb des Risses, aber sie haben Spannungen (cv + # 0 auf den1 Ri13 zur Folge. Deshalb mu8 noch ein zweiter Satz von Spannungsfunktionen pz(z) bzw. yZ(z ) superponiert werden, soda13 insgesamt die Spannungsrandbedingungen (a, + i tzy) l lR + (0, + itW),lR = 0 erfiillt sind.

Entwickelt man die Randspannungen in eine Reihe von Tschebyscheff-Polynomen zweiter Art

so lassen sich die E'unktionen p2(x) und yz(z) in der folgenden Form angeben:


Dabei sind die Entwicklungskoeffizienten B,,(C) gegeben durch:

fiir s t 1 2 1 . Die auftreteiiden Beihen konvergieren fur alle z 6 [-aJ a] , da hier Iz - / z 2 a 2 ] < a ist.

Die Spennungsfunktionen q~ = ‘pl + ‘pz und y = y)l + pz stellen die Losung des Problems dar. Fur den komplexen Spannungsintensitiitt3faktor

erhalt niitu :

Hier steht ( f) fur die rechte un.d (-) fur did linke BiWspitze.

gewiihlt. Der Nulldurchgang von I<& ist fiir alle 7 an der Stelle 5 = a. In Abb. 3 bzw. Abb. 4 ist K,f bzw. K & fur verschiedene Positionen der Quelle dargeatellt. Dabei ist b,/u =: 5

I /f \,,*=a

-t- F /”

Abb. 3

Literatur

Abb. 4

1 ERDOOAN, F., On the Stress Distribution on Plates with Collinear Cuts under Arbitrary Loads, Proceedings, Fourth K.S. National

2 SIH, G. G., Application of Muskhelishvili’s Method to Fracture Mechanics, Transactions, The Chines Assn. for Advanced Studies

3 ATKINSON, C.; KANNINEN, M. F., A simple representation of crack tip plasticity: the inclined strip yield supcrdislocation model,

4 Lo, K. K., Analysis of Branched Cracks, Journal of Applied Mechanics 45 (1978), 797-802.

h8Chri f t : DipLIng. L. DREILICH, Prof. Dr.-Ing. D. GROSS, Technische Hochschule Darmstadt, Institut fur Mechanik, Hoch- schulstr. 1, D-6100 Darmstadt, BRD

Congress of Applied Mechanics (1962), p. 647.

(1962).

International Journal of Fracture 13, 2 (1977), 151-163.

U. GAMER

The Elastic-Plastic Stress Distribution in the Rotating Annulus and in the Annulus under External Pressure

1. introductioii

In the case of e rotating annulus as well as in the case of an annulus under external pressure, the assumption of Tresca’s yield condition and linear strain hardening,

uff = + ?IE&) J ( 1 )


where a. indicates the initial yield limit, &Q the equivalent plastic strain and 7 the hardening parameter, leads to an integral equation for the determination of the dependence of the yield st’ress, a,, on the radius. I n these two cases, a8 is the extreme stress and ar the intermediate stress.

I n the following, the stresses and the displacement in the plastic zones are calculated.

2. Stress and Strain in the Plastic Zone

The equation of motion yields

The radial strain, E ~ , is purely elastic and obeys Hooke’s law. Integration gives the displaceuicnt

Therefrom the plastic strain & = - 8: can be foriiiecl,

3. The Rotating Annulus

According to Tresca’s yield condition, a0 = a, and consideration of plastic work increment gives E: = &Q, and therefore

- Elimination of E ~ Q from Eqs. (1) and (5) leads to an integral equation,

which can be transformed into a differential equation dz~, aa, ra- + 3r- + (1 - Wa) a, = (1 - Wz) a. - (1 -I- 3v) W2ew2r2 drZ dr

with the solution

where

After performance of the integrations, Eqs. (2) and (3) yield

1 + (1 - 9v2)

In the preceding two equations, C and D have becn put equal to zero because for W = 1, or q -+ co, Eqs, (9) and (10) have to assunlo the forms of radial stress and displacement, respectively, in an elaatic annulus. The elastic- plastic stress distribution can be found in [I].

The above expressions for stresses and displacement canpot be applied to the rotating solid disk because in this case, the plastic strains are not meaningful even for perfectly plastic material, and the stress distribution that can be found in many textbooks and papers lacks the continuity of displacement a t the elastic-plastic interface [2].

4. Tho Annulus Submitted to External Pressure

Srw + (1 - 21)

As a n application, the stress distribution in a shrink f i t has been determined [3].


References

1 GAMER, U., Zur elastisch-plastischen Deformation des rotierenden Kreisrings, ZAMM 63, 526 - 4 3 0 (1983). 2 GAMER, U., Tresca's Yield Condition and the Rotating Disk, J. Appl. Mech. 50, 676-678 (1983). 3 GAPER, U., Ein Beitrag zur Spannungsermittlung in QuerpreOverbiinden, 1ng.-Arch. 83, 209-217 (1983).

Addrees: Prof. Dr. U. GAMER, Institut fur Mechanik, Technische Universitiit Wien, Karlsplatz 13, A-1040 Wien, Osterreich

ZdliVI 643 T 128 -T 129 (1984)

U. UROLIG

Ein thermodynamisches Modell fur das plastische Verhalten von Metallen

Ein Metallstab werde einer weggesteuerten, zyklischen Zug-Druck-Bransyruchung unterworfen, wobei fiir die Deh- nung y( t ) stets 1 y(t)l Q 1 gelten soll.

Solange die ,,Elastizititsgrenze" nicht iiberschritten wird, befinden sich die materiellen Teilchen des Stabes nach der ,,lokalen Gleichgewichtshypothese" in vollstiindigen Gleichgewichtszustanden. Das Verhalten des Stabes wird durch die ,,kanonische" Zustandsgleichung (1)

beschrieben; yj = upezifische freie Energie, 0 = Teniperatur. Die Gibbusche Bezieliung lautet v = v(R Y ) (1)

(2) 1 e

dp ;= -8d8 -t--Udy

s = spezifische Entropie, e = Massendichte, cr = Spannung. Nach Uberschreiten der ,,Elastizitiitsgrenze" treten in dem Metallstab irreversibel ablaufende innere Struk-

turiinderungen auf. In diesen Vorgiingen komnit zum Ausdruck, daB ein thermodynamisches System den durch seine Umgebung bestiminten Gleichgewichtszustand nicht spontan, sondern auf Grund seiner inneren Struktur erst nach einer endlichen Zeit einnehmen kann. Zur Beschreibung des plastisch deformierten Stabes fuhren wir eine skalarwertige, ,,innere Variable" q ein. Die ,,lokale Gleichgewiehtshypothese" wird durch die Annahme modifiziert, daB sich die inateriellen Teilchen in ,,gehenimten" Gleichgewichtszustinden befinden. Wir denken uns den realen irreversiblen ProzeB durch eine Folge von Zustiinden ersetzt, die durch die Angabe von 8, y , q festgelegt sind. Die kanonische Zustandsgleichung ist dann durch (3) und die Gibbssche Beziehung durch (4) gegeben.

(3), (4), (5 ) 1 av e aq

q~ =rp(8 ,y ,q ) , dp = -sdO +-udy - Q d q , Q = -- . Wir beschriinken uns auf den isothermen Fall, 8 = Konst., und postulieren, daB die Zustandsgleichung durch (6) gegeben ist

Dahinter verbirgt sich die Vorstellung, daS der Stab aus eineni homogenen Material mit isotropen elastischen Eigen- schaften besteht und eine gleichmiiaige Verteilung von identischen, nicht wechselwirkenden Frank-Read-Quellen enthLlt [l]. Wir schlieDen uns damit der Auffassung an, da13 der von FRANK und READ vorgeschlagene Verviel- fliltigungsmechanismus f iir Versetzungen die bei plastischen Deformationen dominante innere StrukturLnderung darstellt. Der Frank-Read-Mechanismus bietet die Moglichkeit, der inneren Variablen q eine bestimmte physikalische Bedeutung zu geben, so daS man die plastische Deformation y p direkt durch q ausdriicken kann, y p = cxq. D a m ist y - dcq die elastische Deformation und somit ist der erste Summand in (6) gerade der elastische Beitrag zur spezi- fischen freien Energie. Aus der Literatur [l] ist bekannt, daB der Beitrag der Frank-Read-Quellen zu y eine in der inneren Variablen q periodische Funktion ist. Mit dem zweiten Summanden in (6) postulieren wir eine spezielle periodische Funktion, niimlich die einfachste. Den in (6) auftretenden Materialkonstanten a, b, dc, @ kann ebenfalls eine bestimmte physikalische Bedeutung zugeordnet werden.

In Abb. 1 ist cp als Funktion von q schematisch dargestellt. Der in q periodische Beitrag gibt den einzelnen Kurven y = Konst. eine typische Welligkeit. Zu einem vorgeschriebenen Dehnungsprozea existiert eine Vielzahl von Folgen von Gleichgewichtszustinden, z. B. die Folgen 0 --Q -@I oder @I -@I -@ --O usw. In jedem Punkt eines solchen ,,Gleichgewichtsweges" sind die Bedingungen (7) fur vollstandiges Gleichgewicht erfullt.

edr, a) = 4 7 - w12 + b [ 1 - COB (&)I . (6)

Die erste dieser Bedingungen, daB die Affinitiit Q irn vollstandigen Gleichgewicht verschwindet, liefert eine Bezie- hung fur den Gleichgewichtswert ?j bei vorgegebenem y :

- w y - ag = - sin (@@) . 2aa


Bei langsamen, isothermen Prozessen erhalten wir als einen Ausdruck des zweiten Hauptsatzes die Beziehung

e 8 8 = -Qq 2 0 (9)

8 = Entropieproduktion. Die Forderung, daB 8 stets positiv sein muB, hat zur Konsequenz, daB zu jedem ,,Gleich- gewichtsweg" ein Bereich von q existiert, in dem das System stabil ist.

Bewegt man sich entlang eines ,,Gleichgewichtsweges" zu groBeren Werten von y, so wird das Stabilitiitsgebiet immer schmaler, bis man einen ,,FlieBpunkt" erreicht, z. B. 0, 8, 8. In diesen Punkten ist das ,,>"-Zeichen in der zweiten Bedingung'(7) gerade durch das ,,="-Zeichen ersetzt. Zu diesen Punkten gibt es keinen Bereich mit Q < 0, d. h. wird q z. B. im Punkt 8 etwas gestort, dann wird Q positiv und q ebenfalls. D. h. q wiichst unter positiver Entropieproduktion solange, bis der ,,neue" stabile Gleichgewichtszustand 0 erreicht ist. Dieser ProzeS wird durch eine Evolutionsgleichung fur q geregelt. Die Annahme langsamer makroskopischer Prozesse bedeutet,'daS die mit makroskopischen Prozessen verbundene charakteristische Zeit vie1 groljer ist als die die innere Variable kenn- zeichnende Relaxationszeit. D. h. der ProzeB des Anwachsens von q liiuft bei konstantem y ab. Bei weiterer Deh- nung des Stabes durchliiuft man den Weg (B --O --a -@. Wird der Stab entlastet, z. B. ausgehend vom Zu- standspunkt 8, so durchlauft man den ,,Gleichgewichtswe " 8 -4 -0 -@. Der Weg, der bei einer Stauchung des Stabes im pl - q-Diagramm zuriickgelegt wird, ist der 8 bersichtlichkeit wegen nicht gezeichnet.

Die Spannung u berechnet sich nach

Auf den ,,Gleichgewichtswegen" nimmt die Spannung stets den Gleichgewichtswert 3 an:

Aus dem Verlauf von ij = Q(y) erhiilt man den Verlauf von 5 = Z(y). Die Kurve im Spannungs-Dehnungs-Diagramm wachst zuniichst linear, dann unterlinear. Die zu den FlieBpunkten gehorige Spannung u* ist eine Konstante, d. h. unabhiingig davon, wieviele FlieSpunkte bereits durchlaufen wurden. Bei dem nach Erreichen eines FlieBpunktes einsetzenden inneren ProzeB wiichst q bei konstantem y, d. h. im Spannungs-Dehnungs-Diagramm tritt ein Sprung Aa auf, der ebenfalls nicht davon abhiingt, wieviele FlieDpunkte bereits durchlaufen wurden. Wird der Stab entlastet und anschlieDend auf Druck belastet, so erhiilt man einen analogen Verlauf. Macht man die Wellenzahl ,9 sehr groB, so werden die zahlreich auftretenden Spannungssprunge sehr klein, so daS sie irn Experiment nicht beobacht- bar sind.

Im Rahmen der Thermodynamik liiBt sich plastisches Verhalten also als eine Folge von Instabilitiiten in einem ansonsten stabilen elastischen Material auffassen. Das betrachtete Model1 beschreibt das Verhalten eines elastisch-ideal plastischen Materials.

3 = 2a[y -aij]. (11)

Abb. 1. p - g-Diagramm

Literatur

)Lr ZP

5 n * P

9 Abb. 2. Spannungs-Dehnungs-Diagramm

1 PONTEB, A. R. S.; BATAILLE, J.; KESTIN, J., A thermodynamic model for time independent plastic deformation of solids, J. Me- can., Vol. 18, 3 (1979), 611-538.

Anschre'ft : G. GROLIQ, Technische Eochschule Darmstadt, fnstitut fur Mechanik, HochschulstraBe 1, D-6100 Darmstadt, BRD

9 Z. angew. Math. u. Mech., Bd. 64, H. 4

'I' 130 Sektion Elasto- und Plestomeahanik

ZAMM 64, T 130 -T 131 (1984)

F. HARTMA"

Energy Expressions for Singular Elastic States

An elastic plate or body loaded with a concentrated force P = { Pc} is said to be in a singular elastic state. The displacement field of such a state

u(Y) = 2 gc(Y, p t + uR(Y) i

is a combination of some fundamental solutions, g'[x] = gt(Y, X ) plus a regular solution of the Cauchy-Navier Equation, s. [ l ] , Equ. (33).

The condition of energy balance, 'external work = internal energy' is a verbal accord of Green's first identity [l], Equ. (37). A formal expansion of Green's identity a t {u, u } yields

I(% u) = I(uR, uR) + z I(uR, 9') + z uR) f z I(g', 9') i 3 {.f

The last sum in this expansion has no meaning because the fundamental solutions do not belong to the Sobolev space H1(52) - they have no finite energy. The formulation of Green's first identity for pairs {g'[x], g f [ z ] } must, therefore, proceed in two steps. The identity I(g*[z] , g'[x]) is, first, formulated in a region Qu = 52 - NU(x) where both functions are regular then the radius E of the hole NU(x) is allowed to shrink to zero.

This is how we calculated in [l] Green's identity for the pair {ga[x] , g a [ x ] } of fundamental solutions of a plate. Here we want to repeat this procedure and formulate Green's identity for all combinations {g'[z] , gl[z]}, i, j = 1,2, resp. i, j = 1, 2, 3, of fundamental solutions. The formulation is done for a bounded domain 52 with a piecewise smooth boundary. The equations of the fundamental solutions g' can be found in [l], Equ. (11) and (12). The equations of the tractions in [2], Equ. (2.10) and (2.14).

Pla tes a) x E 52, interior point; i, j E { 1,2} :

lim 18(g'[z], g f [ z ] ) = - j t ' - gf ds, - M6+j + E(g*, gf)n, = 0 e+O r

where 3 - 2v

321~p(l - v ) ~ * M =

b) x E r, boundary point; i, j E { 1,2} :

where

The angles cpl and Fa depend on the shape of the boundary near x, 8. Fig. 1. It is the boundary r without those points y E r whose distance to x is smaller than unity, Iy - X I < 1. If x is a smooth boundary point, Iyl - 9'1 = IC then M&, ya) = 1/2 MS+j with M as in (1).

Bodies a) x E 52, interior point; i, j E { 1 ,2 ,3} :

lim I,(g'[x], g'[x]) = - j tt . gf ds, + E(g', gf)n, + Fdij = 0 e-0 r

where 12va - 22v + 11 F = 2kp(1 - v)' -

T 131 Section Mechanios of Elastic and Plastic Bodies

b) x E r, boundary point; i, i E { 1,2 ,3} :

The functions Qsj(x) and Fij(x) depend on the shape of the boundary near 3c and the 'characteristic' iu resp. qu of the singular kernels. The integrand in the energy has the form

1 Cq'*+(gO E*(g') = - -$i& 6)

t"X1 * g"=l = - FCltj(P, 6)

and the inhgrmd in the boundary integral [t'[z], gf[3c]] the form

1

Here r, q, 6 denote polar coordinates with origin at x. The set of all half-tangents a t x (i.e. the set of all straight lines leaving z and which are tangent to r) form

the surface rP of the tangent pyramid. The unit sphere at x, the sphere with radius 1 and center at x, cuts the surface I', in a closed curve a(*). The part of the sphere which lies inside the pyramid is calledI'N,(x) (or characteristic surface, as in [2]). The functions B'ij(a) and Q&) then have the following meaning

If the boundary is smooth at x then Qij(x) = 0 and Fu(x) = 112 F&j with F as in (2).

References

1 mm, F., 'Castigliano's Theorem and ite Limits', ZAM1\6 6% (1982), 646-660. 2 %m, F., 'The Somigliana identity on piecewise smooth surfaoes', Journal of Elastioity 11 (198l), 403-423,

Addfm8: Dr.-Ing. FRIEDEL HARTMANN, Univemitit Dortmnnd, Baumechanik-Statik, Augu&-Sohmidt-StraBe, D-4600 Dortmund 60, BRD

ZAMM 64, T 131 -T 133 (1984)

H. HEREWANIS

Der Einflul) der Bompatibilitatskorrektur bei der nichtlinearen Berechnung von Rahmentragwerken

Ausgangspunkt ist das nichtlineare, inkrementelle Hellinger-Reissnersche Variationsprinzip fur ebene Bogen,

ITR = { f i ~ + z k g + atkk} - Knotenterme = stationiir . (1) n

Die Ableitung dieses Variationsprinzips ist ausfuhrlich in [ 11 beschrieben. In Gleichung (1) wird eine Summation iiber elle ?E Stiibe ctusgefiihrt. Die Teilausdriicke fur einen Stab haben dabei die folgende Bedeutung: f i ~ ist der Anteil eines Stabes, in dem Inkremente quadratisch auftreten. Dieser Ausdruck fuhrt auf die Elementmatrizen. nag ist der Anteil des Stabes zum Gleichgewichtskorrekturterm. z k k ist der Anteil des Stabes zum Kompatibilitiits- korrekturterm. Er soll im folgenden niiher betrachtet werden.

Der Teilausdruck n& leutet fur einen Stab: - - fikk =j [d%(a(~, 5, Zo, 2) - a(%, 2)) + dk(G(Xo, 2, Zo, 2 ) - g(N, M))] d50 . (2)

I

In dem Ausdruck nbt treten Differenzen von Verzerrungen und Krummungen auf, die einerseits &us der aktuellen Elementlage als Funktion der Sehnenkoordinate z und der Bogenfunktion z und den GroBen im Ausgangszustand 9, z0 berechnet werden und andererseits aus den aktuellen Schnittkriiften 5 und 2 im Bogen. Die Ausdriicke lauten im einzehen:

Dabei sind ql und qz Parameter, die die Plastizierungstiefe des Stabes angeben, siehe Bild 1. Ihre Bestimmung ist die wesentliche Aufgctbe der phtischen Tragwerksberechnung, sie ist ausfuhrlich in [ 13 beschrieben. Hier werden ql und ria als bekannt vorausgesetzt. 8.


Die Gleichungen der endlichen Verzerrungen sind hier keine Verzerrungs-Verschiebungs-Relationen, sondern Verzerrungs-Zustands-Relationen. 8ie werden exakt berucksichtigt und lauten :

Eine Approximation der Gleichungen ( 5 ) und (6) als

die auch von anderen Autoren angegeben wurde und bei der die Marguerresche Theorie angewendet wurde, fiihrt numerisch nicht zu sinnvollen Ergebnissen.

z = u,x + zpx@WIz - + (w,zz)a ; 2 = -w,zz , ( 5 4 ; (6a)

Beispiel: Kragbalken mter Einzellast

Bei der Berucksichtigung von elasto-plastischem Materialverhalten ist die Berechnung des Kragbalkens einer der wenigen Fiille, fur die sich eine analytische Losung des mathematischen Modells angeben liiBt. Danrtch erhiilt man fur einen Kragbalken nach Bild 2 eine elastische Grenzlast P, = 40.000 N und eine zugehorige Endverschiebung w, = 0,76 cm sowie eine plastische Traglast P , = 60.000 N und eine zugehorige Endverschiebung wp = 1,69 cm. Das Problem besteht nicht darin, P, oder P, anzugeben. Beide ergeben sich aus einer einfachen Gleichgewichtsbe- trachtung, wenn man den EinfluB der Querkraft vernachllissigt. w, erhiilt man &us der Losung der Differential- gleichung. Die Losung der Differentialgleichung fur wp ist ungleioh ctufwendiger ; sie wurde von R E C K ~ O angegeben.

Die Tabelle 1 zeigt die Berechnungsergebnisse fur die Endverschiebung des Kragbalkens. Die Berechnung wurde dabei so gesteuert, daD in einem Lsstschritt die elastische Grenzlast aufgebracht wird. Danach wird die Rest- last bis zur plastischen Traglast in 1, 10, 100 bzw. 200 Lastschritten aufgebracht. Der Balken wird in vier bzw. sieben Elemente unterteilt. Der Bereich von x = 0 bis x = 33.3, in dem sich die plaatische Zone ausbildet, wird durch 3 bzw. 6 gleich groh Elemente abgebildet. Der Restbereich wird durch ein Element abgebildet. Geometrische Nichtlinearitiiten und der EinfluS der Querkraft werden hier nicht berucksichtigt, um die Ergebnisse mit denen von RE(IKLIX?G vergleichen zu konnen.

Es zeigt sich, daB ohne die Beriicksichtigung einer Kompatibilitiitskorrektur (Kk) Fehler der Endverschiebung von 17 yo, 6 % bzw. 4 Yo erreicht werden, wenn die plastische Grenzlest in 11, 101 bzw. 201 Lastschritten aufgebracht wird. Fuhrt man nach dem 11. Lastschritt noch eine Kk durch, SO sinkt der Fehler von 17 % auf 2 %. Ein gleich gutes Ergebnis erhiilt man, wenn man die plastische Traglast in nur 2 Lastschritten aufbringt und dann eine Kk durchfiihrt.

T abelle 1. Beispiel, Zueammenetellung der Ergebnisse

Lastachritte 11 101 201 2 11 11 Elemente 4 4 4 4 4 7 Iterationen 0 0 0 5 3 3 w (cm) 1,41 1,59 1,62 1,66 1,66 1,67 Fehler (%) -16,67 -6,92 -4,14 -1,78 -1,78 -1,lS

Bild 2. Kragbalken unter Einzellast, n Verllufe Im Berelnh der Elnspan- nung

x (z1,O lferafionen

r (z I , 3 lterof ionen

100% Last

0.5 X / l l "0' ' ' I ' 1 ' ' ' I '

x (z1,O lferafionen

r (z I , 3 lterof ionen

100% Last

0.5 X / l l "0' ' ' I ' 1 ' ' ' I '


Ein interessanter Effekt ist festzustellen, wenn man den EinfluB der Kk auf die ZustandsgroBen G(X), Glei- chung (4) und Z(x, z), Gleichung (6), untersucht. Der Verlauf dieser ZustandsgroSen ist fur das erste Element an der Einspannung in Bild 2 fur den Fall wiedergegeben, daB keine bzw. 3 Iterationen durchgefuhrt wurden. Der Verlauf der Kurve x(N) ist hochgradig nichtlinear und hat im Falle der plastischen Traglast eine Singularitlit an der Ein- spannstelle. Da die Bogenfunktion z(z) durch ein Polynom dritten Grades dargestellt wird, kann die ZustandsgroDe G(x, z), die proportional zu der zweiten Ableitung der Bogenfunktion ist, im wesentlichen nur aus einem linearen Anteil bestehen. Eine Verletzung der Kompatibilitlit kann in einem Element mit der vorhandenen Bogenfunktion z(z) nie exakt, sondern nur im Mittel erfullt werden. Das erklart auch, weshalb eine weitere Iteration nicht zu besseren Ergebnissen fuhren kann. Auch eine weitere Lestinkrementierung (uber 200 Lastschritte) kann das Er- gebnis nicht verbessern, da auch dabei die Kompatibilitlitsforderung maximal im Mittel erfiillt werden kann. Erst durch eine feinere Diskretisierung der plastischen Zone konnte der Fehler unter 2 yo gesenkt werden. Die Tabelle 1 zeigt, daB bei 6 Elementen in der plastischen Zone der Fehler nur noch ca. 1 % betragt.

Das Beispiel ist uberwiegend von theoretischem Interesse. Es zeigt aber wahrscheinlich eine obere Grenze des moglichen Einflusses einer Kk bei komplexeren Tragwerken.

Literstur

1 HEEBMANN, H. : Traglastbereohnung von ebenen Rahmentragwerken mit einem gemischten Finite-Element-Verfahren. Fortschritt- bericht VDI-Z. Reihe 4, Nr. 64, Dusseldorf: VDI-Verlag 1983

Anechr$: Dr. Ing. Horst HE~BMANN, IWiS, Lietzenburger Str. 46, Berlin 30, Berlin-West

ZAMM 64, T 133 -T 135 (1984)

W. HUBNER

Stabilitat bei groBen Deformationen flexibler Kegelschalen

Mit Hilfe der in [3] und [5] hergeleiteten geometrisch nichtlinearen Differentialgleichungen vom Reissner-Meissner- Typ [l] werden durch ein numerisches Integrationsverfahren Last-Durchbiegungs-Kurven fur den rotationssymmetrischen Fall ermittelt. In [4] wurden diese Federkennlinien fur die Ingenieuranwendung dargestellt und mit den Ergebnissen der auf [2] basierenden Norm verglichen. Bei ,,steilen" Kegelschalen [5] ergeben sich, wie auch bei anderen Durchschlagproblemen, komplizierte Federkennlinien. Um darin stabile und instabile Bereiche zu unterscheiden, wird aus dem energetischen Stabilitlitskriterium nach DIRICHLET eine einfache Stabilitiitsbedingung her- geleitet. Als Problem der Katastrophentheorie dargestellt, ergibt das vorliegende, nichtlineare Problem interessante Grenzkurven in der Parameterebene.

1. Reissner-Meissnor-G)leichungen und ihre Lbsung

Fur die in Abb. 1 dargestellte Kegelschale ergeben sich mit Hilfe einer vollsttndig geometrisch nichtlinearen Theorie aus einer Kompatibilitttsbedingung und einer Momentengleichgewichtsbedingung die beiden Gleichungen

P sin a* 2n ) (s in& 1) +

-(RV')'sina + Y V COS&* --sin&* 6 ' - E h -- +--(Vein&* sin&* 1

sin& R

(2) 1 V P R D 2nD -(R6')' sin2 a + - (cos ~ 1 1 - cos a*) sin a* + - cos a* - ~ sin a* = 0

fur den Tangentendrehwinkel 6 = &* - oc und die radiale SchnittlastgroDe V = NRR. AuBer den in Abb. 1 defi- nierten gsometrischen GroBen treten nur der Elastizitatsmodul E, die Querkontraktionszahl v sowie die Biegesteifig- keit D = Ehs/[12(1 - @)I auf. Die Ableitung d/dR wird durch ' abgekurzt. Die gesternten GroBen gelten fur die deformierte Konfiguration, von der vor allem die Durchbiegung w am Innenrand interessiert

Die Integration erfolgt mit dem Zustandsvektor

dessen unbekannte Anfangsbedingungen 6, und V i am AuBenrand so variiert werden, daB am Innenrand die Rand- bedingungen Vi = 0 (freie radiale Verschieblichkeit) und S; = -Y(COS LX - COB &*)/(I3 sin a ) (kein Biegemoment) gelten.

w = H - z*(Ri); z*'= - cosa*/sin&. (3)

[ R , 6, a', V , V', z*, R*] , (4)

T 134 Sektion Elasto- und Plestomeahanik

PUU Ro

Abb. 1. Kegelschale In der Ausgangskonflguration, sin deformierter Meridian unrl die geometrlschen Bezelchnungen

t

I I

I 1

Abb. -- J

2. Bederkennlinlen in bezogener Doratellung

2. Federkennlinien und deren Stabilitiit

Ale wichtigste Losungen erhiilt man Federkennlinien (Abb. 2). Wie bei Tellerfedern iiblich, wurde P auf die Last

Pa 5 43tD COS&/(R, + R,) (5) bezogen, bei der flache Tellerfedern gerade plattgedruckt werden (w = H). Als wichtigster, die Federkennlinien kennzeichnender Parameter erweist sich H/h, bei steilen Kegelsohden besser H/h sin a. Die flachste K W V ~ in Abb. 2 (B/h = 2 ) gehort zu der ,,steilsten" technisch verwendeten Tellerfeder.

Es interessiert nun die Prage, welche der in Abb. 2 dargestellten Gleichgewichtszustinde ( P , W) stabil sind. Dies l & D t sich in der vorliegenden Darstellung besonders einfach diskutieren. Betrachtet man das Gesamtpotential n i n Abhingigkeit von der Durchbiegung w am Lastangriffspunkt, so gilt I? = D4 - Pw, wobei n, die Verzerrungs- energie ist. Diese mu0 nun nicht miihsam &us den Verzerrungs- und Schnittlast-Gro5en errechnet werden, sondern folgt &us der Gleichgewichtsbedingung

Da aIIt/aw = P fur jeden Punkt der Federkennlinie P = f(w) gilt, folgt durch Integration

Fur die Stabilitiit gilt nach dem bekannten Kriterium von DIRIUHLET

Wegen (7) erhiilt man daraus die Bedingung fur die Stabilitiit

Also sind Gleichgewichtszustinde (P, w) auf Abschnitten der Federkennlinie P = f (w) mit positiver Steigung stabil. Dies gilt fur den hier auaschliefilich betrachteten rotationssymmetrischen Fall. J e nsch Wanddicke A ergeben sich aufgrund des Beulens in Umfangsrichtung weitere instabile Bereiohe.

3. Darstellung als Problem der Katastrophentheorie

Bei Durchschlagproblemen ist die Darstellungsweise der Katastrophentheorie bekannt : Projiziert man die Extrema der Federkennlinien in die Hfh-P-Parameterebene, so ergibt sich die bekannte cusp-Grenzkurve. Wie Abb. 3 zeigt, erhalt man bei steileren Kegelschalen (gro0eren H/h-Werten) weitere Extrema der Federkennlinien und damit weitere Grenzkurven.

Das vorliegende nichtlineare Problem liifit sich also nicht mehr in die klassischen Katastrophen [6] einordnen.


123

Abb. 8. Federkennllnlen und Grenzkurven in der Darstellung der Kataa trophentheorie.

Literstur

1 -AD, E. L., Schalentheorie. Teubner-Verlag Stuttgart 1983 2 a x , J. 0.; LASZTD, A., Trans. ASME 58 (1936), 306-314. 3 HiiB~m, W. ; EMMEBUNG, F. A., Axialsymmetrische, g r o h Deformationen einer elastischen Kegelsohale. 4 HiiB~mr, W., Deformationen und Spannungen bei Tellerfedern. Konstruktion 84 (1982), 387-392. 6 H ~ N E R , W., Stabilitatsprobleme bei groSen elastischen Deformationen steiler Kegelschalen. Festschrift zum 70. Geburtstag von

6 POSTQN, T.; STSWART, I., Catastrophe Theory and its Applications. Pitman London 1978.

Bnechrift: Dr.-Ing. WERNER HUBNER, Hochschule der Bundeswebr Miinchen, FB Luft- und Raumfahrttechnik, Institut fiir Mecha-

Prof. Dr. K. MAQNCJS, TU Munchen (1982), 223-236.

nik, Werner-Heisenberg-Weg 39, D-8014 Neubiberg, BRD

ZAMM 64, T 135 -T 137 (1984)

H. IDELBER~ER

Ein Algorithmus zur Berechnung des Kontaktproblems ,,eIastischer Korper und starres Hindernis"

Das Kontaktproblem ,,elastischer Korper und starres Hindernis" ist in Bild 1 schematisch dargestellt. V, ist das Volumen des elastischen Korpers und 8, die dazugehorende OberfliicherDie Oberfliiche S, setzt sich aus den Teil- bereichen S,, Sp!. Sf und Se zusammen. Die iiul3eren Belastungen sind als Druckverteilung p auf der Teilfliiche 8, und ah3 Einzelkrafte P auf der Teilfliiche Sf vorgegeben. Auf dem Teilbereich So sind die Verschiebungsrandbedin- gungen u vorgeschrieben. So stellt die unbekannte Kontaktfliiche mit der ebenfalls unbekannten Druckverteilung pG dar, und uf beschreibt die Verschiebungsrandbedingungen in einer moglichen Kontaktzone zwischen dem elastischen Korper und dem starren Hindernis.

Die Kontaktbedingungen lassen sich wie folgt formulieren:

(i) Unter der Voraussetzung, da13 in der Kontaktfliiche keine Reibung auftritt, ist eine Kraftiibertragung nur in Richtung der Fliichennormalen moglich. Weiterhin konnen die Kontaktfliichen nicht aufeinander kleben, d. h. es konnen keine Zugspannungen auftreten :

Pe ( 0 . = (1)

T 136 Sektion Elasto- und Plastomechenik

Bild 1. Schemstische Darstellung des Xontaktproblems ,,elastischer K6rper und starres Hindernis stacres Hindernis"

(ii) Wiihrend des Kontaktvorganges darf keine Penetration des elastischen Korpers in das Hindernis erfolgen, d. h. die Verschiebungen un des Korpers in Richtung der Flachennormalen bezuglich der Kontaktflache mussen kleiner oder gleich der Verschiebungsrandbedingung u t im moglichen Kontaktbereich sein

u n 5 u:.

Gilt in dieser Beziehung das Gleichheitszeichen, so liegt Kontakt vor, d. h.

u,-u:=o. (3) Dem Konzept der Lagrange-Multiplikatoren folgend, ergibt sich fur das in Bild 1 dargestellte mechanische

System ein erweitertes Funktional, in dem die Druckverteilung pa in der Kontaktflliche multipliziert mit der Ver- schiebungsdifferenz (u - u:) als zusiitzlicher Anteil zum Energiefunktional hinzu addiert wird :

5 = I eTa d V, - u'p dS, - uTF +- pF(u - uf) dSa . P4

(4)

Der erste Term des Energiefunktionals ist der Anteil aus der Verzerrungsenergie, der zweite und dritte Term beschreibt den Energieanteil aus der iiul3eren Arbeit. Zur weiteren Herleitung wird zuniichst der geometrisch lineare Fall betrachtet. Entsprechend der Diskretisierung durch die Finite-Element-Methode folgt aus (4) mit sinem Ver- schiebungsansatz ein diskretisiertes Variationsproblem

(5 ) - z = f UTKU - UTR + AT(U - U,*) ,

wobei U der Vektor der Knotenverschiebungen, K die Steifigkeitsmatrix, R der Vektor der Knotenkriifte &US den iiul3eren Belastungen, A der Vektor der Kontaktkriif te und Uf der Vektor der Verschiebungsrandbedingungen im Kontaktbereich sind.

Bildet man die erste Variation 6% = 0, so erhlilt man fur die Gleichgewichtsbedingungen folgendes Gleichungs- system :

K a a Kca 0 u a

b c a 9 :I [:]=[:*I* (6)

I n diesem Gleichungssystem erfolgt die Aufteilung der globalen Verschiebungen U in zwei Bereiche. U, sind die den Kontaktknoten zugeordneten Verschiebungen in Richtung der Fliichennormalen bezuglich der Kontaktfliiche und mit Ua werden alle restlichen Knotenverschiebungen bezeichnet. Eine entsprechende Aufteilung ergibt sich somit auch fur die Steifigkeitsmatrix.

Um die Kontaktkrafte A aus dem erweiterten Gleichungssystem (6) berechnen zu konnen, obwohl die Kontakt- zone unbekannt ist, beginnt man mit einer geschttzten Kontaktzone als Anfangabedingung, die durch nachfolgende Iterationen an Hand der Kontaktbedingungen (l), (2) und (3) korrigiert wird.

Formt man das Gleichungssystem (6) entsprechend urn, so liiBt sich eine gewisse Analogie zum KraftgroSen- verfahren erkennen

(7) O Q 0 [Z: 21 [:I = E] - [o I ] [ A ] *

Zuslitzlich gilt fur den Kontaktbereich die Randbedingung U, = UF. Da fur das obige Gleichungssystem das Superpositionsprinzip gilt, lassen sich die beiden rechten Seiten getrennt berechnen. Somit entspricht das Gleichungs- system (7) rnit dem ersten Teil der rechten Seite, d. h. den liuoeren Belastungen, genau dem Lsstspannungszustand beim KraftgroBenverfahren

wobei 8, R bzw. 8 , die entsprechenden Verschiebungen im Kontaktbereich bzw. der restlichen Knoten infolge der LuBe ren Belastungen R aind. Die Einheitsspannungszustande resultieren aus dem Gleichungssystem (7) rnit dem

Section Mechanics of Elastic and Plastic Bodies

zweiten Teil der rechten Seite, der die Kontaktkrafte behandelt :

T 137

Die Koeffizientenmatrizen dcc,c bzw. dm, beinhalten die S-Zahlen im Kontaktbereich bzw. der restlichen Knoten infolge der Wirkung ,,Eins" an den Kontaktknoten in Richtung der Fliichennormalen bezuglich der Kontaktflache. Durch uberlagerung des Lastspannungszustandes mit den Einheitsspannungszustiinden erhiilt man dann fur den Kontaktbereich unter der Berucksichtigung der Randbedingungen fiir die Verschiebungen UF = df :

[dcc, c] [A] f 16, R l = [d?] 0 (10)

Die aus (8), (9) und (10) resultierende Rechenvorschrift zur Berechnung von Kontaktproblemen hat den Vorteil, daB sie ohne jegliche Modif ikation eines beatehenden Finite-Element-Programms durchgefuhrt werden kann. Der Iterationsablauf entspricht genau der Losung des Gleichungssystems (6 ) , die Korrektur erfolgt ebenso an Hand der Kontaktbedingungen (l), (2) und (3).

Bei der geometrisch nichtlinearen Finite-Element-Berechnung z. B. nach dem Newton-Raphson-Verfahren wird der angegebene Kontaktalgorithmus entsprechend dem Gleichungssystem (6) wiihrend der einzelnen Lastinkre- mente in jeder Gleichgewichtsiteration durchgefuhrt.

Anschrift: Dip].-Ing. H. Idelberger, Institut fur Statik, Universitlit Hannover, Callinstr. 32, D-3000 Hannover 1, BRD

,

ZAMM M, T 137 -T 138 (1984)

Spannungen in einer idealplastischen Kreisscheibe unter kreisringformiger Erhitzung

Die in dieser Arbeit untersuohte Kreisscheiblj dient als Model1 fur die Anode einer Rontgenrohre. Das dabei auftretende Temperaturfeld findet man in El], wobei die entsprechenden Gleichungen hier niiherungsweise auf eine endliche Scheibe angewandt werden.

Zur Berechnung des Spannungsfeldes wird die TRESCAsche FlieDbedingung verwendet. Die Form der FlieD-• bedingung ist abhiingig vom Verhiiltnis Po = ro/r, zwischen AuBenradius ro und Quellenradius r,. Es gibt folgende 2 Moglichkeiten:

fi = a,, - 066 - a. = 0, fi = - 06tj - a0 = 0. (11, (2)

Unter der Voraussetzung a,, = 0 kann man die zugehorigen Spannungen und Verschiebungen ermitteln [l]; die entsprechenden Gleichungen fur elastisches Materialverhalten findet man z. B. in [2]. Die darin auftretenden zeit- abhangigen Funktionen sowie die Grenzradien rl(t) und r,(t) der plastischen Zone werden aus Stetigkeitsbedingungen und der FlieBbedingung ermittelt. Wie numerische Rechnungen zeigen, beginnt FlieBen stets am Quellenradius. Fur Werte von eo kleiner als 1.433 wird dabei f i = 0 (Fall A ) ; der Zeitpunkt t p des FlieDbeginns errechnet sich aus

mit 0 = -

gende Bestimmungsgleichungen fur die elastisch-plastischen Grenzradien:

Tx dx. Es zeigt sich, daI3 (3) von r,, unabhiingig ist. Fiir grodere Erhitzungszeiten ergeben sich fol- Ta I S 0

(4), ( 5 ) a0 0 0

E E a[T(r,) - 20(r,)] = -, oLIII(Ti) - 2@(r4)] = -.

Fur e0 > 1.433 verschwindet fa am Quellenradius (Fall B) ; t, bestimmt sich BUS

Numerische Berechnungen zeigen, daD t, in diesem Fall mit wachsendem Aufienradiua monoton abnimmt. Des- halb empfiehlt sich fur praktische Anwendungen die Wahl eines Radienverhiiltnisses kleiner als 1.433. (Fur eine ausfuhrliche Diskussion dieses Problems sowie der Restspannungen nach Abkuhlung der Scheibe siehe [3].)


Im Fall B erhiilt man folgende Bestimmungsgleichungen fur rl(t) und r2(t) :

Im Verlauf der Erhitzung kann sich die plastische Zone soweit ausdehnen, daS die Radialspannung innerhalb dieser das Vorzeichen wechselt [aw(r*) = 01; der plastische Bereich ist dann aus zwei Zonen mit unterschiedlicher Form der FlieSbedingung zusammengesetzt (Fall C). Die entsprechenden Grenzradien lassen sich aus (4) sowie mit

bestimmen. Abb. 1 zeigt den Spannungsverlauf zu drei verschiedenen Zeiten fur eo = 1.7, wobei die Radidspannung fur

rein elastisches Verhalten nicht eingezeichnet wurde, da sie sich nur wenig von Null unterscheidet. Zu FlieSbeginn tritt Fall B auf, der im Verlauf der Erwiirmung in Fall C ubergeht.

at

Abb. zeiten 1. Spannungsverlaufin der Scheibe zu drei

fur 5 - 0.001 @, T = 0.006 @I, T = 0.02 @ Zm flir r p 0.006 @, T = 0.02 6

verschiedenen Erhlttnnga-

U - l

Ea W Wiihrend die elastischen Spannungen ganz allgemeingiiltig in dimensionsloser Weise mit &j = 2L- (Wiirme-

leistung W ) dargestellt werden konnen, ist den elastisch-plastischen Spannungen 5o = 0.005533 und v = 0.3 zu- at grunde gelegt. Der dimensionslose Zeitparameter ist z = - r:

Literatur

1 GAMER, U., Ein radialsymmetrischer Wiirmespannungszustand in der idealplastischen Scheibe, Ingenieur-Archiv 86, S. 174- 191

2 TIMOSHENEO, S. P.; GOODIEB, J. N., Theory of Elasticity, Third Ed., McGraw-Hill, New York 1970 3 MACE, W.; GAMER, U., Stress Distribution in an Elastic Plastic Disk Subjected to a Circular Heat Source, Journal of Thermal

A w c h ~ @ : Dipl. Ing. W m ~ m MACK, Institut fur Mechanik, Technische Universitiit Wien, Karlsplate 13, A-1040 Wien, Osterreich

(1967)

Stresses, im Druck (1983)


ZAMM 849 T 138 -T 1 4 1 (1984)

P. MAZILU

Verringerung des Anfang-Schubmoduls rnit zunehmender axialer Dehnung erkliirt mit Hilfe eines plasto-hypoelastischen Modells

1.

Es ist bekannt, daB die Normalenregel ublicherweise als eine allgemeine Flieldregel angenommen wird. ZIEGLER [l], [2] betrachtet diese Normalitiit als eine Ausdehnung der Symmetriebeziehungen von ONSAGER an den nichtlinearen irreversiblen Phenomenen. Es gibt eine Reihe von Experimenten: TAYLOR. und QUINNEY [3], LODE [a], FEIGEN [a], MOON [6]. OFUSHI und TOEUDA [7], die eine Abweichung von der Normalenregel bestiitigen.

Um eine theoretische Erkliirung dieser Abweichung zu geben, hat LEBXANN [S] eine Erweiterung des klassischen plastischen Flield-Gesetzes in der Form (wir beschriinken uns hier nur auf die infinitesimalen Deformationen fur isotrope Materialien)

(mit e' und a' als Verzerrungs- bzw. Spannungs-Deviatoren und za = u& als zweite Invariante des Spannung- Deviators) vorgeschlagen. Diese Beziehung beschreibt nur die Belastung. Das erste Problem, welches mit diesem konstitutiven Gesetz verbunden wird, ist die Bestimmung einee geeigneten Gesetzes fur die Entlastung. Betrachtet man fiir eine Entlastung das klassische elastische Gesetz von HOOEE

darn erhiilt man mit Beginn der Entlastung eine Unstetigkeit in der Verzerrungsgeschwindigkeit, die wie folgt

gegeben ist. Es gibt aber keine theoretische oder experimentelle Begrundung fur solch eine Diskontinuitlit. Wir stellen hier einen ersten Versuch dar, dies0 Unstetigkeit experimentell zu untersuchen. Das Experiment wurde rnit einem diinnwandigen Rohr aus der Aluminiumlegierung AlCuMgPb durchgefuhrt. Die vortordierte Probe wird einem Zugkraft-Zyklus unterworfen. Man beobachtet die Bnderung des Torsionswinkels cp bezuglich der axialen Dehnung E. Die entsprechenden numerischen Ergebnisse mit Beginn der Entlastung sind in Abb. 1 dargestellt. Man bemerkt keine Diskontinuitiit. Des Experiment wurde fur zwei verschiedene Deformationsgeschwindigkeiten durchgefiihrt, um die Wirkung der gespeicherten kinetischen Energie quantitativ zu bestimmen.

Nun betrachten wir ein weiteres Problem, das von den oben erwiihnten konstitutiven Gesetzen (1) und (2) impliziert wird. Hierzu nehmen wir folgendes Gedankenmodell an : An einen fiktiven Spannungszustand yo bringen wir der Reihe nach folgende Belastungen auf, die wir mit un(t), t 5 0 notieren, so daB

[Gj] = X ( T ) &j

u ~ ( O ) = u O ; +n = 2f~ij(j(t) hb(t) > O y

, , lim z i = lim &(t) &(t) = uoijaoij = const. , lim 5Aij + o . n-oo n-m n- 03

Die entsprechenden plastischen Deformationen lauten Iim it = lim (x(zn) Zn;J # o , n+w n- m

wahrend die entsprechende plastische Leistung gegen Null strebt lim Pn = lim (h(zn) z:+n + x ( z ; ~ ) zn&) = o . n-w n-m

Eine Moglichkeit, diem zwei Schwierigkeiten zu eliminieren, wird in [9] vorgeschlagen. . 2.

LEHMANH [lo] schliigt fur die Bestimmung der konstitutiven Funktionen folgende zwei Experimente vor : +

a) Der einfache Zugversuch

wobei E,(a) den Trtngentmodul der Elastizitiit bezeichnet ; und b) Der Zugversuch unter constanter Schubspannung so

wobei e(a) die 8chubverzerrung bezeichnet.

T 140 Sektion Elasto- und Plestomeohanik

Auf einem Weg, der prinzipiell den oben erwlhnten Experimenten entspricht, wird so von HECKER [ll] fur 1 1 Messing x experimentell zu 7,2 - und von BLIX [12] fur Stahl x zu 3,2 - bestimmt.

3.

Es sei ein Zugversuch gegeben, welcher mit einem Schubspannungs-Zyklus kombiniert wird (Abb. 2). Bezeichnet man durch As die maximale Schubspannung und durch Ae die entsprechende Schubverzerrung, dann wird der Anfangsschubmodul G(a) durch die Beziehung

2P 211

10-

E - 3! P) 8- .-. w - 3 6- a

-r

..,

4-

2 -

definiert (vgl. FEIGEN loo. oit.). Berechnet men G(a) fur das konstitutive Gesetz (l),~ dann erhalt man

// A LT; 9N/rnm2 o T= 45 N/mm ~ 4 2 x 10-3d ~ = 1 2 . 4 ~ 10-3d

O /

/ k N --%--x-- <A- - _ _ _ _ _ - - - - - -------

I I I 1 I 1 1 I 1 1 I 1 1 1 I

Setzt man die Werte, die auf Grund der Experimente von HECKER und BLIX berechnet sind, ein, dann erhalt man G(o) = 0,12p bzw. G = 0,24p.

6 0

182 212 '243 273 304 316 343 304

- 3.1 0 3.4 60 .3i 120 3.7 180 39 274 5.5 285 Z9 322 11.05 346 1127 368

340

I X 103 3.2 3.3 3.38 3.4 4.3 5.5 8.0 11.8 16.1 16.4

I

Abb. 2


I

* B = 120.8 I

J C =161.3 D = 178.9 E = 19.52 F =2m.6 G =20%4

L, I I I I - * 0 2 4 6 8 10 12 I4 76 t8 20 22 2L .

Axial Dehnung E (mm/inm)x lo3

t

- ->

a Glal y?a--------- -;----

2mn 29L89 29M- 279.6 27835 280L

339% 338.16 27215 27697 27623 28002 35697 27L91 28095 358.3L -!---I- 26457 37%'

21 221 <

Abb. 3 Abb. 4

Diese Anderung bedeutet eine erhebliche Verringerung des Anfang-Schubmoduls.

eine Aluminium-Legierung (24S-T3) durchgefuhrt (Abb. 3 und 4).

liegen die von ihm gememenen Anderungen unter 10 Prozent.

Das Experiment zur Bestimmung des Anfang-Schubmoduls wurde von FEIGEN (loo. cit.) vorgeschlagen und fur

FEIGEN konnte mit seinen Experimenten eine Verringerung des Anfang-Schubmoduls bestatigen, jedoch

Literatur

1 ZIEQLER, H., ZAMP 9 (1968), 748-763. 2 ZIEGLEB, H., An Introduction to Thermomechanics, Amsterdam, New-York, Oxford, 1977. 3 TAYIOR, G. I.; QUINNEY, H., Phyl. Trans. Roy. SOC., London, A230 (1931), 323-362. 4 LODE, W., 2. Physik 86 (1962), 913-939. 5 FEIQEN, M., Proc. sec. U.S.-Nat. Congress of Appl. Mech. (1964), 469-466. 6 MOON, H., Acta Mechanica 24 (1976), 191 -208. 7 OEASHI, Y.; TOKUDA, M., J. Mech. Phys. Solids 21, 4 (1973), 241 -261. 8 LEHMANN, TH., Rheologica Acta 2, 3 (1962), 247-264. 9 MAZILU, P., Arch. of Mechanics 26, 2 (1974), 321 -326. 10 LEHMANN, TH., Ing. Arch. 62, 6 (1982), 391-403. 11 HEOKER, F. W., Diss., TU. Hannover, 1967. 12 BLIX, U., Thessis, Ruhr-Universitiit Bochum, 1980.

Anschrift: Dr. P. MAZILU, Ruhr-Universitiit Bochum, Lehrstuhl fur Mechanik I, Poatfach 102 148, D-4630, Bochum; BRD

ZAMM 64, T 141 -T 144 (1884)

M. MIOarOVICl

Finite Plane Strain and Stability of Elastic Materials Reinforced by Two Families of Inextensible Fibres I

1. Basic equilibrium configuration

A compressible material body, 3, with two families of continuously distributed fibres is considered. It is assumed that the two families (represented by unit vectors A and B ) are mutually perpendicular in an undeformed reference configuration KO of 8. If in KO fibres coincide with material cartesian coordinates X and Y (AK = 8 1 ~ , BL = 8 2 ~ ) then, by making use of the compatibility condition (vanishing of curvature tensor -+B1,,, = 0) as well as inextensibility conditions

J1 = tr (A@ A) C = C,, = 1 , J2 = t r ( B Q B ) C = C,, = 1 , ( 1 ) Y (2)


the general shearing kinematically admissible plane strain (Pig. 1) is obtained. For the sake of simplicity in the following this general strain is specified to the case ay/aX = 0. In such a way, dxldX 1(X) so that the right and the left Cauchy-Green deformation tensors, C = FTF and B = FPT [l], take the next simplified form

We suppose that the material of 2 is nonlinear hyperelastic. For such material the specific free energy function (after [2]) reads

where 11, I , and I3 are the principal invariants of B and C (Il = 3, Iz = 2 - la, I , = A'),

= tr ( A @ A ) C a = t r (a@ a) B = 2 - P, I6 = tr (B@B)Ca = t r (b @ b) B = 2 -1' , (61, (7)

(8) 1, = trC(A@A) (B x B) = 0 , IT7 = t rCa(A@A) (B x B) = 0

Big. 1

a b are the mixed principal invariants while 3- and 3- are Lagrange's multipliers corresponding to inextensibility conditions (1) and (2).Now, spatial and material components of the stress tensor (tkm and T*.w) in the deformed configuration K are equal to

a a b b where T = 3'-/fl, and T = TIP3 are reaction stresses while skm or sgL are the components of the extra-stress and F k g are deformation gradients.

Statically admissible deformations must fulfil the equilibrium equations (for convenience written with regard to the material coordinate system in K )

or, explicitly, b

a aT 1 a ' s + - + - ( T + S,, - S12il - A a ) = 0,

i a ax ay ;la T&W" + fJ11)I = 0 Y

whose general solutions are

Here fi and fz vanish if il = const. Writing down the boundary conditions the surface tractions that make possible the proposed state of deformation are easily obtained. It is worth noting that for simple shear (when 1 = const) it is necessary besides shearing also to apply normal tractions on bounding surfaces X = const (AG, BD) and Y = = const. (AB, CD).

Section Mechanics of Elastic and Plastic Bodies T 143 ~ ~

2. Incremental equations and stability

Let us consider a variety of configurations differing infinitesimally from configuration K (that is defined by (11) to (14)) which are described by an infinitesimal variation of displacement field

and all of them have the same boundary conditions as K. For such a plane ‘disturbance’, increments of inextensibility conditions would take the following form

av - 0 , (:; i:) a Y

au _- A-++l -As -+- = o , . -- ax

whereas the increments of B would amount to -av au a v - - 2 A / r - A Z - -+- ( 2 P - 1) 0 ax ay a$

au a v -+- (2A2 - 1) ay ax 0 0

(20) V av av

Taking a material variation of the global equilibrium equations [4]

6 $ t(n) ds = q k $ (&m,m - tkp ,mum,p) dV = gE $ d f k = gk $ ( 8 t h + tkmUp,p - tkpUm,p) ”& ds = 0 , av

where V is the volume occupied by 2 in K, we get the local incremental equilibrium equations

8tkm,m - tkp ,mum,p = 0 in v Y (21)

Sfr = (St,, + tkmUp,p - tkpum,p) nm = O on av = 8. (22)

as well as the incremental boundary conditions

The simplest nonlinear constitutive law for the stress tensor appears when the free energy function is a third order polynomial in B, i.e. (cf. (6)-(8))

(%, ... , a,, b,, ... , b, and c, are material constants) whose derivatives ya = a@/aI, (23)

h

y = + yl = + a, + 2a2 + 2a4 + 2aS + 3 h + c1 + A2(a, - a4 - a,) = a, + @,Az , ys = 3a2 + b, =az ,

+ a2111z + a3f3 + a41114 + a 6 f 1 f 6 + + b11? + b Z 4 + + bsIs + &,Il ,

} (24) y3 = a, = a3, y, = 3a, + b4 = a4, ys = 3a, + b, =a6

substituted in (10) determine a second-order elastic fibre-reinforced material.

(14)) so that equations (21) take the simplified form Suppose that in K shear is constant (A = cosa = const). Then h = const, g = const, f, = 0, f z = 0 (cf. (13),

I a b

where 8T = BD = H then in that case (22) reads

0, J!C z while B,, ... , B, depend on A and constants appearing in (23). I f AB = CD = L, AC =

(2% (29) where C,, ... , C,, are constants depending on A and constants from (23). Now, differential equations (17), (18) and (26) characterize the problem of stability and their general solutions are

T 144

These solutions can satisfy (26)-(29) only if equations u = k = const, Ul = -(GI + C&) F', U2 = 0 and

Sektion Elasto- und Plastomechanik

C4 - C5h - C8g = 0 , F'(0) = P ( H ) = 0 , (331, (34) as well as the inequality

(this inequality follows from Bl = 0) are satisfied. Here, the reaction stresses are connected by (33), (3d) shows a periodicity of u while (35) determines an angle of shear where instabilitycould appear if material constants are such that the inequality can be satisfied. The last condition can be simplified if the vanishing of the extra-stress in KO is postulated. Then (35) transforms into the inequality

which in the special case of linear elasticity (where Bl = 0) cannot be fulfillgd.

References

1 TRUESDELL, C.; NOLL, W., The Non-linear Field Theories of Mechanics, Handbuch der Physik 111/3, Springer, Berlin 1966. 2 SPENCER, A. J. M., Deformations of Fibre-reinforced Materials, Clarendon Press, Oxford 1972. 3 PIPKIN, A. C., Finite Deformations of Ideal Fibre-reinforced Materials, in: Mechanics of composite materials (ed. G. P. SEN- 4 KURASHIQE, M., Instability of Fiber-reinforced Elastio Slab Subject to Axial Loade, J. Appl. Mech., 46, pp. 839-843 (1979).

Addreas: Prof. Dr.-Ing. M. MICUNOVIC, Department of Mechanical Engineering, University ,,Svetozar Markovih", 34000 Kraguje- vac, Yugoslavia

DECKYJ), Academic Press, New York, 1974.

ZAMM 64, T 144 -T 146 (1984)

P. MOBAWIETZ / C. MATTHECK / D. MUNZ

Anwendung der Methode der Gewichtsfunktionen auf RiSprobleme zur Ermittlung von Spannungsintensitatsfaktoren unter Verwendung von FE-Rechnungen

Bei der Bestimmung bruchmechanischer GroSen, wie der Energiefreisetzungsrate B und des Spannungsintensitiits- faktors K , bleiben analytische Losungen auf einfache Geometrie- und Lastfiille beschriinkt. Das hier vorgestellte Verfahren ermoglicht es, mit der Methode der Gewichtsfunktionen aus den Rihferverschiebungen von FE-Rech- nungen den Spannungsintensitatsfaktor in Abhangigkeit von der RiBliinge auch fur komplexe Strukturen zu berechnen.

Dariiber hinaus bietet das Verfahren die Moglichkeit, &us der so berechneten Losung die Spannungsintensi- tiitsfaktoren fur andere ortsabhangige Belastungen zu ermitteln. Die Vorgehensweise wird an einer Platte mit AuBenriS verdeutlicht (Bild 1).

Die grundlegende Gleichung der Gewichtsfunktionen fur ebene Probleme lautet nach RICE [ 11

aneu(x) stellt die Spannungsverteilung dar, fur die der Spannungsintensitiitsfaktor K,,, berechnet werden 8011. h(a, x) ist dahei die Gewichtsfunktion, die definiert ist als

H = E fur den ebenen Spannungszustand und H = E / ( 1 - P) fur den ebenen Dehnungszuatand. K , ist der Span- nungsintensitiitsfaktor und ur das Rihferverschiebungsfeld einer Referenzlosung. Welche Belastung dieser Refe- renzlosung zugrunde liegt, ist gleichgiiltig. Aus der Selbstkonsistenz des Verfahrens (Kneu = K,, wenn a,,, = a,) f olg t

n

Section Mechanios of Elastic and Plastic Bodies T 146

Wahlt man ur = a,, = const., um den Rechengttng moglichst einfach zu gestalten, erhhlt man

Nach (4) beniitigt man zur Berechnung von K , nur noch ReferenzriBufer-Verschiebungsfelder fur unterschiedliche RiBtiefen a. Diese gewinnt man &us FE-Rechnungen fur das entsprechende Problem. Die Ergebnisse werden in eine analyt,ische Form gebracht, wobei zu berucksichtigen ist, daS die Riflspitzensingularitat wiedergegeben wird.

Fur diesen Fall konstanter Zugspannung wird vom Nshfeld der RiBuferverschiebungen ausgegangen, fur welches gilt:

I

Da diese Beziehung nur in unmittelbarer Umgebung der RiSspitze giiltig ist, wird sie ersetzt (Bild 2) durch

u,(u, 2) = u,,, 1 - ; * (6) r Dabei erhalt man umax(u), d. h. die Rifluferverschiebung bei 2 = 0 mit der Methode der Finiten Elemente. Die Darstellung von umax(a) erfolgt als Potenzreihe in der Form

Dabei ist n die Anxahl der aus FE errechneten RiBuferverschiebungsfelder fur unterschiedliche RiStiefen (I. Fur 8u,(u, x)/au l&Bt sich d a m schreiben

Y ' K , erhllt man nun aus (4) mit (8)

Mit (8) und (9) ergibt sich die Gewichtsfunktion gem&B (2). Damit laBt sich dann der K-Faktor variable Belastungen errechnen.

sunn nn FF

Bild 1. Verwendete Qeometriebezelchnungen

Bild 2. Anpassung der Nahfeldl&ung an das Maximum der RiBuferversahiebnngen 8US FE

(9)

fur andere orts-

05 x/a 1 Bud 3. Vergleich der gefitteten RiSuferverscbiebung eines AuDenrisses in einer Platte mit derjenigen am der FE-Analyse

Bild 4. Spannungsintensitlltsfaktor slues AuBenrlases in elner PIatte unter einaahsigern Zng au8 dem FE-Fit rerglichen mit L6sung an8 [3]

Blld 6. Spannungsintensitlltsfaktor cines AuOenrisaes in einer Platte unter Biegung

10 Z. angew. W h . u. Mech., Bd. 64, H. 4

T 146 Sektion Elasto- und Plastomechnik

Als Beispiel wird die Platte rnit AuSenriS unter Biegung betrachtet. Ausgehend von (1) mit der Spannungs- verteilung

und au,/8a aus (8) und K , &us (9) erhiilt man

Bild 3 zeigt den Vergleich der aus der Methode der Finiten Elemente berechneten RiBuferverschiebung mit derjenigen aus (6). Der mit diesem Ansatz ermittelte Spannungsintensitiitsfaktor fur konstante Belastung ist in Bild 4 dargestellt. Als Vergleich dient eine Losung aus [2]. Es zeigt sich, daB zwar das Verschiebungsfeld aus FE im RiB- spitzenbereich diskretisierungsbedingt nur grob angeniihert wird, daIJ aber dennoch die K-Faktoren sehr gute Uber- einstimmung mit Werten &us der Literatur liefern. Das liegt unter anderem daran, daB die RiBuferverschiebungen nicht absolut eingehen, sondern nur die Ableitung nach a.

Bild 6 gibt den aus (11) berechneten K-Faktor fur die in (10) mgegebene Spannungsverteilung in Abhangig- keit von a/t an. Zum Vergleich wird die in TADA [3] angegebene Formel fur eine Platte unter Biegebelastung heran- gezogen. Die erwiihnte einfache Form der Verschiebungsansiitze ist natiirlich nur bei einfacher riiumlich honiogener Lastverteilung gegeben und wiirde bei Belastung z. B. durch ein Kriiftepaar als Referenzlast gewiB in dieper Ein- fachheit nicht moglich sein. Da es jedoch gleichgiiltig ist, aus welchem Referenzfall die Gewichtsfunktion bestimnit wird, bietet sich aus den geschilderten Griinden der homogene RiBinnendruck an, und inan erhiilt ein rechenzeit- effektives Verfahren zur elastischen bruchmechanischen Analyse.

Literatur

1 RIUE, J. R., Some Remarks on Elastio Crack Tip Stress Fields. Int. J. Sol. Struct. 8 (1972). 751 -758 2 HAELN, H. G., Bruchmechanik. Teubner Verlag Stuttgart 1976 3 TADA, H.; PARIS, P. C.; IRWIN, G. R., The Handbook of Stress Analysis of Cracks. Del. Research Corporation, St. Louis 1973

Anschrijt : Dip1.-Ing. P. MORAWIETZ, C. MATTEEOK, D. MUNZ, Kernforschungszentrum und Universitiit Karlsruhe, Postfach 3640, D-7500 Karlsruhe 1, BRD

H. NEUBER

Spannungskonzentration bei Plattenbiegung

Zu diesem Problem erschien bereits eine Vorveroffentlichung des Verfassers im WILLERs-Gediichtnis-Heft dieser Zeit- schrift [l]. Darin wurden fur das Problem des kreisformigen Loches mit einem zum auBeren Rand fuhrenden geradlinigen Schlitz nach den Theorien von KIRCHHOFB und REISSNER Losungen angegeben, mit deren Hilfe der Faktor a der Spannungskonxentration fur beliebig dicke gebogene Platten aus dem Faktor a1 der zugbeanspruchten Scheibe und aus dem Faktor der Kntumom-Platte in guter Niiherung berechnet werden kann:

mit der HilfsgroBe

(3 4- ’) ’@ bei gekerbten Platten , = (1 + Y ) d

bzw.

(mit den Zylinderfunktionen KO und Kl) . Gegeniiber [l] wurde hier statt der genauere Wert z eingesetzt. Wie im Vortrag dargelegt wurde, liiBt sich das Problem der gebogenen Platte beliebiger Dicke Bus den Elastizitiitsglei- chungen exakt mit Hilfe dea Dreifunktionenansatzes (Vollstiindigkeitsbeweis in [2], G Schubmodul, a = 2 - 2v, k = x, Y, 4

2GVa = 2&& - A,&; AQo = A@* = 0; A = Go + x@= + $Dp, + Z @ ~ P Z ;

Q,, =-HH,sin (“8“) - ; Q, Y - - 2oL

- a83

1 8 8 [A, + (++ --) (% - g) AA,] : A =

242 242 a83 U, = A,vv -- a83 AA, + H,,sin 6); a, = A,,x - - A A, - H,~, sin F) ;

3c A d Q - - H,, cos 28

36 z,, = 12 (za - T) AA,,, + - H,v cos ad3 26


in folgender Weise darstellen (8 Plattendicke) :

( 5 )

Durch entsprechende Integration iiber die senkrecht zur Platte von Ldr Plattenmittelflache ausge-ende Koordinate z ergeben sich fur die Biegemomente, das Schermoment und die Querkriifte folgende Ausdriicke:

Aus dem Vergleich mit [l] erkennt man, da13 die Formeln (6) mit den analogen Formeln in [I] iibereinstimmen, wenn statt II und A statt A, gesetzt wird. Der weitere Rechnungsgang liiuft mithin wie in [l] beschrieben ab. Der Faktor der Spannungskonzentration wird im Rahmen der Niiherung nicht auf die Maximalspannung, sondern auf das maximale Biegemoment bezogen.

Li teratur

1 NEUBEB, H., Zur Spannungskonzentration in beliebig dicken Platten, ZAMM 68, 66-62 (1983) 2 NEWER, H., Vollstiindigkeitsbeweis des Dre~u~tionenansatzes, 1ng.-Arah. 41, 232-234 (1972)

Anscht-ijt: Prof. Dr.-Ing. Dr. H. NEWEB, Schlingener Str. 4, D-8939 Bad Worishofen, BRD

ZAMM 84, T 147 -T 149 (1984)

K. NIXDORFF

Application of the Penetration Theory of J. Awerbuch and S. R. Bodner on Multilayered Targets

1. Theory

AWERBUCH and BODNER [l-51 consider that penetration of projectiles into metallic targets, which results in plug formation and plug ejection. The assumed penetration process is subdivided in three stages:

Firs t stage: The projectile compresses target material which ia added to the projectile. 10

T 148 Sektion Elasto- und Plastomeohanik

Second stage: A plug is sheared from the target material. Third stage: Plug and bullet move together as a rigid body and leave the target. The f i r s t s t a g e is described by the differential equation

withe density of target material, A, area of the projection of the projectile's nose on the impact surface of the target, -V velocity of moving mass, m, mass of projectile, x penetration distance measured from impact surface of target to front of moving mass, K shape factor depending on form of projectile's nose, u, ultimate compressive strength of target material. Differential equation (1) can be explicitly integrated.

The second s t age is described by the differential equation

eAzVa + (mo +@A$) V - dV = - - 1 KeASV2 - { 1 - - (; - "'13 -zzDz[z - (h - b) ] , (2) dx 2

with A, cross-sectional area of cavity during second stage, h thickness of target plate, b length ofplug, z shear strength of target material, D, diameter of cavity during second stage. The shear strength t is taken in the Bingham form

with to quasi-static ultimate shear strength, ,u coefficient of viscosity, y shear stress rate, taken as --c =To +,u+ (3)

(4) . v y = -

e '

with e width of shear zone. As the author showed elsewhere [6]: If the variable velocity V in equation (4) is substituted by a mean value, then differential equation (2) can be explicitly integrated.

The t h i r d s t age is described by the differential equation

(m, + exh) = --tzD,b ( 5 ) with 2 average cross-sectional area of entire cavity, and 6 displacement of moving mass during third stage. The shear strength z is taken in accordance with equations (3) and (4) as

Differential equation ( 5 ) can be explicitly integrated with a variable velocity i in equation (6), but, as the author showed elsewhere [6]: If the variable velocity in equation (6) is substituted by a mean value, then differential equation (5) can be explicitly integrated in such a way that the explicit solutions of the differential equations (l), (2) and (5), together with the proper initial conditions, can be combined to

vr" = a( v: - Vl") (7) with V, projectile residual velocity, a constant depending on the projectile-target combination, V, projectile striking velocity, and V, ballistic limit velocity.

. Formula (7) is valid for each layer of a multilayered target, e.g. 2 Vf{ = ac( v:i - Vti)

for the i-th layer, and for the n-layered target itself, with i = l

i=l i=l j - 0 a = h a i , V~ = [v;/ 17 a i l ,

and, for the sake of convenience,

a , = l . (11)

2. Numerical Experiments

The above outlined theory has been applied to usual projectiles with calibres ranging from 5.6 mm to 20 mm and layers of aluminium plates as a target. The results are quite plausible for targets with no more than around five layers, but cease to be so for more layers. An explanation of this increasing discrepancy needs more experimental results than are available now.

References

1 AWERBUCH, J., A mechanics approach to projectile penetration, Isr. J. Technol. Vol. 8, pp. 375-383, 1970. 2 AWERBUUH, J.; BODNER, 6. R., Analysis of the mechanics of perforation of projectiles in metallic plates, Int. J. Solids Structures,

3 AWERBUCH, J.; BODNER, S. R., Experimental investigation of normal perforation of projectiles in metallic plates, Int. J. Solids Vol. 10, pp. 671-684, 1974.

Structures, Vol. 10, pp. 685-699, 1974.


4 AWEISSUCH, J.; BODNER, S. R., An investigation of oblique perforation of metallic platestry projectiles, Exp. Mech., Vol. 17, pp.

6 Maaoar, J.; BODNER, S. R., Projectile perforation of multi-layered beams, MML report Nr. 59, A FOSR-TR-78-1100, Air Force

6 NIXDORFF, K., Some Remarks on the Penetration Theory of J. AWERBUCH and S. R. BODNER, Transactions of the Canadian So-

Addfew: Prof. Dr.-Ing. KURT NIXDORFF, Hochschule der Bundeswehr Hamburg, Fachbereich Masohinenbau, Postfach 700822, D-2000 Hamburg 70, BRD

147-163, 1977. . Office of Scientific Research, Bolling Air Force Base, USA, Apr. 1978.

ciety for Mechanical Engineering, accepted 1983.

ZAMM 64, T 149 -T 151 (1984)

H. OEYNHAUSEN

Auswirkungen zusatzlicher Axialkrafte auf die Verzweigungsdriicke dickwandiger Rohre

1. Einleitung

Sollen Bauteile bis in den plastischen Bereich beansprucht werden, so stellt sich die Frage, wie weit ein eindeutiger Zusrtmmenhang zwischen Deformation und Belastung besteht. SWLEY [ 13 hat auf die grundsatzlichen Unter- schiede zwischen der Verzweigung des Gleichgewichts und der maximalen Tragfahigkeit bei Stabilitatsbetrachtun- gen an plastisch deformierten Korpern hingewiesen ; die grundlegende Theorie dazu entwickelte HILL [2] in den 50er Jahren.

Fur Verzweigungsprobleme mit inhomogenen Spannungsxustanden, wie etwa beim dickwandigen Rohr, liegen uberwiegend nur Untersuchungen mit starrplastischem Materialverhalten, z. B. [3,4], oder linearem Ver- festigungsverhalten [5] vor. Hier wird eine Moglichkeit gezeigt, durch geeignete Anwendung zweier Stoffgesetze mit unterschiedlichen FIieBbedingungen das Verzweigungsproblem des dickwandigen Rohres unter Innendruck und Axiallast auch mit elastoplastischem Materialverhdten und nichtlinearer Verfestigung zu losen. Die allgemeinen Grundlagen hierzu sind in [6, 71 ausfuhrlich dargestellt.

Berechnung der Grunddeformrttion

Die Grunddeformation (Deformation vom unbelesteten Ausgangszustand bis zum Grundzustand-Verzweigungs- punkt) des dickwandigen Rohres unter Innendruck und Axiallast erfolgt ,,koaxial" in Richtung der Hauptspannun- gen a:, a; und a:. Es wird deshalb ein Stoffgesetz angewandt, das auf der FlieSbedingung von T~ESOA basiert.

Bei additiver Aufspaltung des Verzerrungsgeschwindigkeitstensors D in einen elastischen Anteil D, und in einen plastischen Anteil D, erhalt man das Stoffgesetz

S = 2QD + + Sp (D) 1. - 6T(wP) Sp (DP) @ , ( 1 ) mit S 81s dem Cauchyschen Spannungstensor. Zugrundegelegt wurde weiterhin ein hypo-elastisches Stoffgesetz fur D, und die ,,Normalenregel" fur D,.

Der ,,Verfestigungsparameter" 6 , ist eine dimensionslose I StoffgroSe und enthiilt das Verfestigungsgesetz ka(wp). Fur inkompressibles Materialverhalten gilt

rnit El als Tangentenmodul aus der Kurve ~ ( e ) des einachsigen Zugversuchs. Die Komponenten von @ sind = + 1, /?: = 0, /# = -1 , alle iibrigen pi = 0, wobei die Zuordnung der Indizes nach der GroSe der Hauptspannungen a: 2 a t 2 of erfolgt. Fur das dickwandige Rohr liefert hier nur der Fall a; 2 a: 2 a: sinnvolle Losungen.

Mit dem Verzerrungsgeschwindigkeitstensor der Grunddeformation (keine Rotationen, eben bleibende Quer- schnitte etc.) erhiilt man aus (1) fur rein elastische Formiinderungen

und fur elastoplastische Formanderungen

mit

T 160

In BT ist ein geeigneter Approximationsansatz E == /(a, a,, E , B, n) fi ir den Zugversuch eingearbeitet. Weiterhin folgt aus (1) noch


- a; + 3; 3 I

2 2 1, +-ln-. z93=

Der Spannungs- und Verzerrungszustand ist demnach nur noch abhiingig von dem log. DehnungsmaB in Axial- richtung In 111, und der Konstanten C, aus der Integration der Inkompressibilitiitsbedingung Sp (D) = 0:

7-0 9 1 = - (.a - C,) , r(t,) = r, , I(to) = I, . (7) 10

Bei der Losung des Randwertyroblems der Verzweigungsanalyse konnen C, und In 111, als die zu bestimmenden Eigenwerte angenommen werden. Unter 1 bzw. I , wird im ubrigen der Teil eines unendlich langen Rohres verstanden, auf dem sich bei der Verzweigung genau eine Beulwelle ausbildet.

Verzweigungsanaiyse

Der koaxiale Formiinderungszustand der Grunddeformation geht im Verzweigungspunkt verloren, da zur Aufdek- kung einer moglichen Verzweigung ein beliebiges Geschwindigkeitsfeld zugelassen wird. Zur Verzweigungsanalyse wird deshalb ein Stoffgesetz angewandt, welches auf der V. Mises-Fliel3bedingung basiert

S K ( T K ) ist der 2. Piola-Kirchhoff-Tensor (-Deviator), die ubergesetzte Null kennzeichnet die objektive Zeitableitung nach JAUMANN. Zur Anwendung von (8) mu13 beachtet werden, daS q fur inkompressibles Material unbestimmt wird.

Betrachtet man zur Verzweigungsberechnung infinitesimal kleine Verzerrungen vom Grundzustand in einen Naohbarzustand, so kann die materielle Zeitableitung der allgemeinen Gleichgewichtsbedingung Div S = 0 auch geschrieben werden

Div [gK + ws - SD] = @ . (9) Fur ein Geschwindigkeitsfeld v = (u, v, w) mit den zugehorigen Verzerrungs- und Rotationsgeschwindigkeitsten- soren D und W erhiilt man aus (9), (8) und dem vorliegenden Hauptspannungszustand drei lineare partielle Diffe- rentialgleichungen fur die Geschwindigkeitskomponenten u, v , w und den unbestimmten Ausdruck q. Als vierte Gleichung steht noch die Inkompressibilitiitsbedingung Sp (23) = 0 zur Verfugung.

Dieses DGL-System wurde fur den Fall rotationssymmetrischer Beulformen gelost. Dazu wurde ein Ge- schwindigkeitsfeld vorgegeben, welches uber der Rohrlange l zu sinusformigen radialen Aufweitungen fuhren wurde.

Ergebnisse

Fur die Berechnung wurden Werkstoffdaten aus einem Zugversuch mit einer Aluminium-Legierung AlMgCuPb, Streckgrenze a, = 240 N/mm*, gewiihlt.

Bild 1 zeigt die zu konstanter Grundzustandsgeometrie b/a = 1,5 ermittelten Verzweigungslasten ; aufgetra- gen ist der Innendruck uber der druckunabhiingigen Axialkraft fur verschiedene Beulliingenverhaltnisae 1/R. Die

i R

I h

-2 - I 0 1 2 -. T I do mj

Blld 1

t lo I I

-2.0 -1,5 -1,O -05 0 0.5 1,O 1,5 20 *

Bild 2


1 do 60-1)

2,o t .L.-

hier gewlihlte Art der Darstellung, die im ubrigen auch in den meisten anderen Veroffentlichungen zu diesem Thema zu finden ist, berucksichtigt nicht die zugehorigen Grunddeformationen. So konnte hier die SchluSfolgerung gezogen werden, mit pos. oder neg. ansteigender Axiallast wiirde der Verzweigungsdruck ansteigen. Tatsiichlich steigt aber mit der Liingslast auch die Grunddeformation und damit die Werkstoffverfestigung an. Um dies besser in den Ergebnissen zu beriicksichtigen, wurden Losungen zu konstanten Ausgangszustiinden ermittelt.

Bild 2 zeigt den Innendruck uber der Axialkraft fiir ein konstantes Radienverhiiltnis bolao = 2 im Ausgangs- zustand. ErwartungsgemliB nimmt fur pos. oder neg. ansteigende Axialkrlifte die Belastbarkeit mit Innendruck ab. Fur die Verzweigung maI3gebend sind die jeweils oberen Kurvenzuge. Die unteren Kurven gehoren zu groI3eren Grunddeformationen und konnen vom Belastungsweg her nicht erreicht werden. Bei pos. Axialkriiften erfolgt also die Verzweigung bei grofltmoglichen Beulliingen (To = 20 kann als Grenzwert angenommen werden), bei neg. Axial!asten bei endlichen, infolge der Kurvenuberschneidungen unterschiedlichen Beulliingen.

I m letzten Bild wird noch der Verlauf des krit. Innendruckes fur verschiedene Axiallasten iiber dem Radien- verhiiltnis bolao gezeigt. Zum Vergleich sind noch die zul. Driicke bei rein elastischer Beanspruchung des Rohres (Vergleichsspannung an der Innenseite erreicht Streckgrenze) eingetragen worden.

Literatur

1 SKANLEY, F. R.: Inelastic column theory. J. Aeronaut. Sci. 14 (1947), S. 261-268. 2 HILL, R.: A general theory of uniqueness and stability in elastic-plastic solids. J. Mech. Phys. Solids 6 (1968), S. 236-249. 3 STOR~ERS, B.: Bifurcation and instability modes in thick-walled rigid-plastic cylinders under pressure. J. Mech. Phys. Solids 19

4 KUMAR, A,; ARIARATXAM, S. T.: Uniqueness and stability of rigid-plastic spherical shells subjected to finite deformation under

6 BRUENS, 0.: Some remarks on the stability of extremly loaded pressure vemls. Proo. Int. Symp. Mechanics of Inelastic Media and

6 BRUHNS, 0. : Einige Bemerkungen eur Bestimmung von Verzweigungslasten elestoplastisch deformierter Kontinua. Techn.-wiss.

7 OEYXHAUSEN, H. : Verzweigungslasten elastoplastisch deformierter, dickwandiger Kreiszylinder unter Innendruck und Axial-

(1971), 8.339-361.

hydrostatic pressure. J. Mech. Phys. Solids 21 (1973), S. 125-134.

Structures, Warsaw 1978.

Mitt. Nr. 74-9, Institut KIB, Ruhr-Universitit Bochum, 1974.

haft . Mitteilungen &us dem IfM, Nr. 29, RUB 1981.

A ~ ~ h ~ i j t : Dr.-Ing. H. OEYNHAUSEN, Institut fur Mechanik, Universitiit Kassel, Postfach 10 1380, D-3500 Kassel, BRD

ZAMM 64, T 151 -T 153 (lB84)

H. A. RICHARD

Ein Beitrag zur Mixed-Mode-Bruchmechanik

In der technischen Praxis existiert eine grol3e Anzahl von RiBfliichen, bei denen Nixed-Mode-Beanspruchung (iiber- lagerte Normal- und Schubbeanspruchung) an der RiSspitze vorliegt. Dies kann z. B. der Fall sein bei iiberlagerter Bauteilbelastung, txhrligliegenden Rissen, Mehrfachrissen, Rissen in der Niihe von Kerben, bei SchweiB- und Klebeverbindungen sowie der uberlagerung von Last-, Thermo- und Eigenspannungen.

In der Bruchmechanik [ 11 wird bei Mixed-Mode-Beanspruchung das RiSspitzenspannungsfeld im wesentlichen durch die ~~annungs~n~ensi tatsfaktoren .KI und KII gekennzeichnet. Ausgehend von diesen Faktoren wurden auf der Basis von Spannungen, Energien, usw. zahlreiche Bruchkriterien entwickelt (Zusammenstellung siehe z. B. [2 ] ) .


Bei vielen Kriterien wird eine VergleichsgroDe ermittelt und auf einen Materialgrenzwert bezogen, d. h. ein Vergleichsspannungsintensitatsfaktor K, der Ripzahigkeit KI, (fiir Mode I ) gleichgesetzt :

K@I, KIIf = Krc - (1)

Diese Kriterien liefern Aussagen uber den Bruchbeginn (d. h., den Beginn des instabilen RiBwachstums) und den Rip- oder Bruchablenkungswinkel. Allerdings sind die Vorhersagen der unterschiedlichen Hypothesen zum Teil sehr widerspriichlich [2, 31.

1.2

t I D

Abb. 1. einer Z

Belastu ugprlifm

ichtu mg mit CTB-Probe im

Tangentialspannungskri teriun nach EROOGAN u. SIH oder Energiefrei- setrungsratekri terium nach NUISMER

-- Kriterium der'resul tierenden Ener- giefreisetzungsrate nach BROEK u.a.

+ + + Kriterium der Energiefreisetzungs- rate nach HUSSAIN u.a.

--- Kri terium der Verzerrungsenergie- dichte nach SIH, Y = 0.3

Kriterium nach 01 LEONARW, v = 0.3

. ....... " .........,...

------ J-Integralkriterim nach YU u.a. 0 Experinentelle Ergebnisse fUr

p)*IA. tl * 20 m

Experimentelle Ergebnisre fur PmA. t2 = 30 m

0 0,2 0.6 Ob oa 1.0 1,2

mnnzeug

Abb. 2. Vergleich der MeDwerte an PMMA mit einigen Bruchhypothesen

Kri terium der Energiefreisetzungsrate nach HUSSAIN u.a.

Kri terium der Verzerrungsenergfedichte nach SIH, Y = 0,3

J-Integral-Kriterium nach YU u.a.

KI I

KI Ntiherungsformel qo = - 2 -

Experimentel le Ergebnisse fur Araldit 6 t = 2 o m


f - 'Po

0 0.2 0,b 0.6 0,8 1.0

Tangentialspannungskri terium nach ERDOGAN u. SIH oder Energiefreisetzungsrate- kri terium nach NUISMER

-c-+

.-- -----_ ...... . ............. ...

0

Abb. 3. An PYYA-Proben gemessene RiDablenkungswinkel im Vergleich mit den Vorhersagen verschledener Bruchhypothesen

Um die Mixed-Mode-Problematik besser bewerten und die Giiltigkeit der Hypothesen iiberpriifen zu konnen, sind Bruchversuche an Materialproben erforderlich. Derartige Experimente wurden am Lehrstuhl fur Technische Mechanik der Universitiit Kaiserslautern durchgefiihrt, mit dem Ziel, Ripzahigkeitswerte und Ripablenkungswinkel fur Mixed-Mode- und reine Mode 11-Beampruchung zu ermitteln. Untersucht wurden CTS-Bruchmechanikproben, wobei die Probenbelastung mittels einer vom Verfasser entwickelten Vorrichtung in einer Zugpriifmaschine erfolgte (Abb. 1, [4]).

Bei den ZerreiSversuchen wurden an Plexiglas (PMMA)-Proben die RiSzahigkeiten K f und KiI fur Mixed Mode, K I ~ fur Mode I, K I I ~ fur Mode I1 sowie die Bruchablenkungswinkel q+, ermittelt [2 , 31.

Die MeBwerte stimmen recht gut mit einigen Hypothesen iiberein (Abb. 2, Abb. 3). Insbesondere wird die Hypothese der maximalen Tangentialspannung bestatigt.

Literatur

1 H m , H. G., Bruchmechanik, Verlag B.G. Teubner, Stuttgart 1976. 2 RIOEARD, H. A., Bruchvorgiinge bei Mixed-Mode-Beanspruchung von Rissen, GESA-Symposium, Schliersee, 1983. 3 RIOEABD, H. A.; TENHAEFF, D.; HATZITRIFON, N.; SIEQK, W., Ein Beitrag zur experimentellen tfberpriifung der Sprodbruch-

kriterien fur uberlagerte Normal- und Schubbeanspruchung von Rissen, 15. Sitzung des DVM-Arbeitskreises ,,Bruchvorgiinge", Darmstadt 1983.

4 RIOEARD, H. A., Einleitung von iiberlagerter Normal- und Scherbeanspruchung in Bruchmechanikproben, VortriGge der 13. Sit- zung des Arbeitskreises Bruchvorgiinge, Deutscher Verband fur Materialpriifung, Berlin 1982, s. 46-54.

Anechrift: Dr.-Ing. HANS-ALBERT RICHARD, Univeraitiit Kaiserslautern, Lehrstuhl fqr Technische Mechanik, Erwin-Schrodinger- Str., D-6760 Kaiaerslautem, BRD

ZAMM 04, T 153 -T 155 (1984)

G. RIEDEB

Der quadratische Stockwerksrahmen als Niiherung einer Cosseratschen Scheibe

Der niiherungsweise Ersatz eines ebenen Spannungszustandes in einem ebenen Kontinuum (Scheibe) durch Schnitt- kriifte in einem ebenen Fachwerk findet sich nrtch E. *4B91 und W. PRAOER [l] bereits in der bei A. S O ~ E R F E L D in Aachen entstandenen Habilitationsschrift von K. WIEOHARDT sen. [ 2 ] . Der Wieghardtsche Ansatz geht auf Uber- legungen J. C. MAXWELLS zur Airyschen Spannungsfnnktion zuriick, die einerseits zum Cremona-Pla-n, andererseits in der Neubearbeitung von F. KLEIN und K. WIEOHARDT zu einer Rerechnungsmethode fur statisch hochgradig unbestimmte Fachwerke [4, 51 gefiihrt haben. DaS bei diesem Grenzubergang nicht jedes beliebige Verhiiltnis der Elastizitltskonstanten, also insbesondere im isotropen Fall nur der Wert 0,25 der Poissonschen Konstanten, er- reichbar ist, stort nur bei Verschiebungsrandbedingungen oder Eigensprtnnungsquellen im Innern, da WIEGHARDT von der biharmonischen Airyschen Spannungsfunktion ausgeht.

In den Stliben eines Fachwerks konnen nur Langskriifte auftreten ; dementsprechend wird die Wieghardtsche Spannungsfunktionenfliiche zur ,,Facettenflache" aus Ebenenstucken iiber den Maschen des Fachwerks, die iiber den Stiiben in einer Knicklinie stetig aneinanderschlieBen. LiiSt man uber den Balken auch senkrechte Spriinge ZU,

T 164

so kann man auch die Querkriifte und Biegemomente eines in seiner Ebene belasteten Rahmens mit steifen Knoten (,,Stockwerksrahmen") erfassen, so weit an 'den Knoten und Balken keine iiuBeren Kriifte angreifen [S-91. Die Vermutung, daB man damit beim Grenzubergang auch zu den Schaeferschen 'Spannungsfunktionen einer Cosserat- schen Scheibe gelangen kann, soll nun am Beispiel des quadratischen Stockwerksrahmen gezeigt werden.

Me Kriiftespannungen a,,, a,,, a,,, a,, und die Momentenspannungen m,, mu einer Cosseratschen Scheibe, in deren Innern weder auBere Krlifte noch Momente angreifen, ergeben sich nach H. SCHAEFER [lo, 111 aus drei Spannungsfunktionen h,, h, und f

Sektion Elasto- und Plastomechmik

(1) a,, = avh, , aZy = ayhy , a,, = -ash, , a,, = -ash, , m, = ayf - h,, my =: -8zf - hu .

1, 2, ... Nummern der Balken 1 1 -, 2 ... Numrnern der Maschen m Bezugsschnitt der BeanspruchungsgroOen - Positive Richtung des lalkens,aufdie die

BeanspruchungsgroOen bezogenwerden I ) Positiver Drehsinn der Maschen Bild 1. Bezeichnungen \+

Die Beanspruchung des i-ten Balkens wird nun nach [6-91 gekennzeichnet durch seine Langskraft Lc, seine Quer- kraft Qc und das Biegemoment i@$ in der Balkenmitte (Fig. 1). Eine einfache Uberlegung ergibt, daB beim Grenz- ubergang a - 0 der querkraftbedingte lineare Anteil des Biegemoments gegenuber dem mittleren Biegemoment i@( verschwinden wird. Damit sind wir berechtigt, die Beanspruchung in der Balkenmitte zugrundezulegen, und finden fur die Scheibendicke b

Ldab - 7 Q&b - , N J a b - m, 9 -&lab + 7 Q z b b -+ yx 9 M2.W - mu *

(2) Die Airysche Spannungsfunktion bzw. ihre Facettenfliiche in der k-ten Masche wird nun gekennzeichnet durch ihren Gradienten gzk, gvk und ihren Wert in einem Referenzpunkt, beispielsweise dein linken unteren Eckknoten. Berechnet man daraus nach [7, 91 4 , Qi und ik, und nimmt als Differenzquotienten den durch a dividierten Sprung beim Ubergang von einer Masche zur anderen, so erhalt man beini Grenzubergang in der Tat

g,lb - -h, 9 Bulb - h, 9 f ib - i - (3) Wir beschrgnken uns hier auf diese statischen uberlegungen und uberlassen eine Untersuchung der elasti-

schen Eigenschaften spliteren Arbeiten. H. SOHAEFER [lo] benierkt, daB sich die Wirkung der Cosseratschen Mo- mentenspannungen normalerweise auf eine Grenzschicht in der Niihe des Randes oder anderer Storungen beschrankt ; fur die Dicke dieser Grenxschicht typisch ist im isotropen Fall eine Abklingliinge, die sich durch Wurzelbildung aus dem Verhliltnis von Momentenelastizitat und Kraftelastizitiit ergibt. SCHAEFER spricht von der ,,GroSenordnung des Starrheitsbereichs der kleinsten Elemente". Bei G. ADOMEIT [ 121 wird diese GroBenordnung konkretisiert als die Gitterkonstante einer Zellenstruktur, die niiherungsweise durch ein Cosseratsches Kontinuum ersetzt wird. Freilich ist dieses Kontinuum nicht mehr isotrop ; die Elastizitiitskonstanten bilden nach S. KESSEL [ 131 Tensoren hoherer Ordnung, und die Abklingllinge wird von Richtung und Spannungszustand abhangig.

Literstur

1 ABSI, E.; P R A Q ~ , W., A comparison of equivalence and finite element methods, Computer Methods in Appl. Mech. and Eng. 6,

2 WIEQIIARDT, K., fher einen Grenziibergang der Elastizitiitelehre und seine Anwendung cluf hochgradig statisch unbestimmte NO. 1 (1975), pp. 69-64.

Fachwerke, Verhsndl. d. Ver. zur Beford. d. Gewerbfleisses, Verlag L. Simion, 86, 139-176, Berlin 1906.


3 KLEIN, P. ; WIEQH~RDT, K., tfber Spannungsfliichen und reziproke Diagramme, mit besonderer Berucksichtigung der Max-

4 WIEQHARDT, K., tfber Nebenspannungen gewisser hochgradig statisch unbestimmter Fachwerke, Z. f. Math. Phys. 65, 113-143

5 FUNK, P., Die linearen Differenzengleichungen und ihre Anwendung in der Theorie der Baukonstruktionen, Springer, Berlin 1920. 6 RIEDER, G., Die Herleitung der Spannungsfunktionen der Schale (des Rahmentragwerks) &us den Nullspannungsfunktionen des

7 RIEDER, G., On Maxwell’s, Klein’s and Wieghardt’s stress functions for discontinuous media, Rozprawy Inzynierskie-Eng.

8 RIEDER, G., Some remarks on stress functions for discrete structures in space, Int. J. Engng Sci. 19 (1981), S. 1711-1718. 9 RIEDER, G., Mechanik, Umdruck zur Vorlesung 1978.

wellschen Arbeiten, Archiv der Math. und Physik 8 (3) 1-10, 95-119 (1905).

(1906).

riiumlichen Korpers (der Schale), 2. angew. Math. u. Mech. 62 (1982), T 162-163.

Transactions Warszawa, PAN-IPPT 27 (1979), S. 3-36.

10 SCHBEFER, H., Versuch einer Elastizitiitstheorie des zweidimensionalen ebenen Cosserat-Kontinuums, in : M. SCHAFER (Hrsg.),

11 SCHAEFER, H., Die Motorfelder des dreidimensionalen Cosserat-Kontinuums im Kalkul der Differentialformen, CISM, Udine

12 ADOMEIT, G., Ausbreitung elastischer Wellen und Bestimmung von Materialkonstanten im Cosserat-Kontinuum, Habilitations.

13 KESSEL, S., Lineare Elastizititstheorie des anisotropen Cosserat-Kontinuums, Abh. Braunschweig. Wiss. Ges. 16 (1964), S. 1-22. 14 KESSEL, S., Vber die Vertriiglichkeitsbedingungen in einem Cosseratschen Kontinuum, Abh. Braunschweig. Wiss. Ges. 17 (1966),

15 KESSEL, S., Verschiebungs- und Drehvektorfeld einer Einzelkraft und eines Moments im Cosseratechen Kontinuum, Abh. Braun-

Miszellaneen der Angewandten Mechanik, Akademie-Verlag, Berlin 1962.

1970, Courses and Lectures No. 19.

schrift, Aachen 1967.

S. 51-61.

schweig. Wiss. Ges. 19 (1967), S. 72-83.

Anechrift : Prof. Dr. per. nat. GEOR~ RIEDER, Institut fur Technische Mechanik, Technische Hochschule Aachen, Templergraben 64, D-5100 Aachen, BRD

ZAMM 64, T 155 -T 157 (1984)

H.-D. SCHRAPEL

xquivalente kanonische Linearisierung nichtlinearer Schwingungen und Wellen in konservativen Kontinua

In dieser Arbeit wird eine neue Methode zur angenaherten analytischen Berechnung nichtlinearer Schwingungen und Wellen in konservativen Kontinua beschrieben. Diese Methode entstand durch Verallgemeinerung der aquivalenten kanonischen Linearisierung nichtlinearer Schwingungen mit endlich vielen Freiheitsgraden [l], [ 21 auf Kon- tinua, und sie beruht auf der Hamilton-Jacobischen Theorie. Deshalb miissen als Bewegungsgleichungen die Hamil- tonschen Gleichungen [3]

q k = q k ( X 1 , 4, x3, t , 9 Pk = Pdx1, x2, t , (1)

benutzt werden, bei denen die verallgemeinerten Koordinaten go, p , von der Zeit und den Ortskoordinaten xi ab- hiingen. AuBerdem mu13 auch noch die kanonische Transformationstheorie auf Kontinua iibertragen werden, was hier aber nur in knappster Form ohne Beweise geschehen kann.

D e f i n i t i o n : Die Transformation

ist eine kanonische Transformation, wenn durch sie ein beliebiges gegebenes kanoniaches System (3) stets wieder in ein kanonisches System

iibergefiihrt wird.

Sa t z : Durch eine kanonische Transformation (4) kann ein gegebenes beliebiges Hamiltonsches System (3) in jedes andere frei wahlbare Hamiltonsche System (6 ) ubergefuhrt werden, und diese Transformation folgt wie in der System-

T 166 Sektion Elaeto- und Plastomechanik

mechanik zum Beispiel *) a w den partiellen Ableitungen

einer erzeugenden Funktion 3, die selber L6sung der partiellen Differentialgleichung

x q , , , - , - +-= $ - - a ('""), - P,,) ( :: a,3 : ap,' axz ap,, (7)

ist. Einem gegebenen nichtlinearen Hamiltonschen System (3) wird nun als neues Hamiltonsches System ( 5 ) das

dem linearen Anteil der Bewegungsgleichungen (3) entsprechende lineare System mit zuniichst noch unbestimmten Koeffizienten zugeordnet, und durch

3 ( q v , p v , t ) = q v p v + f(qm pv, t ) (8)

wird eine neue erzeugende Funktion f eingefuhrt, deren partielle Ableitungen nach den qv, P,, bei der identischen Transformation verschwinden. Deshalb darf die partielle Dgl. (7) bei nicht zu groBen Nichtlinearitiiten in den partiellen Ableitungen der neuen erzeugenden Funktion f linearisiert werden. Dies liefert die partielle Differential- gleichung

die durch partielle Integration nach den xi bei vorlaufiger Vernachliissigung gewisser Randterme in die lineare Del.

iibergefiihrt werden kann, deren Integration recht einfach ist. Es geniigt die Jntegration der Differenz der Hamilton- schen Funktionen nach der Zeit,

wobei fur die Variablen eine geeignete Losung des iiquivalenten linearen Systems ( 5 ) eingesetzt werden darf, da ( 5 ) zumindesb bis auf Terme hoherer Ordnung mit dem charakteristischen System

von (10) ubereinstimmt. Auch braucht dacJ Integral (11) fur die 1. Niiherung nur teilweise berechnet zu werden. Der Integrand von (11) kann nach Einsetzen einer geeigneten Losung von (6) in eine Summe von zeitabhiingigen Funk- tionen, die bei einer zeitlichen Mittelung verschwinden oder zumindest klein bleiben, und in einen zeitunabhangigen Term zerlegt werden. Nur dieser Term wird fur die 1. Niiherung benotigt ! Seine Integration liefert einen sakularen Term, der linear mit der Zeit wiichst und dadurch die vorgenommenen Niiherungen nach einer gewissen Zeit un- brauchbar machen wiirde. Aus diesem Grunde werden die bisher noch unbestimmten Koeffizienten des iiquivalenten linearen Systems ( 5 ) so gewiihlt, daD in der kanonischen Transformation (6), (8)

die partiellen Ableitungen des siikularen Terms verschwinden. Dies kann in den Anwendungen auch vie1 einfacher dadurch geschehen, daD die partiellen Ableitungen des siikularen Terms nach den Integrationskonstanten des iiquivalenten linearen Systems gleich null gesetzt werden, da ein eineindeutiger Zusammenhang zwischen den Inte- grationskonstanten und den verallgemeinerten Koordinaten besteht. In dieser l. Niiherung ist die kanonische Transformation die identische Transformation, weil in der 1. Niiherung bei dem Integral (11) nur der zeitunabhln- gige Term beriicksichtigt zu werden braucht [a] und alle Randterme (9), (10) identisch verschwinden. Die nichtlinearen Terme der Bewegungsgleichungen (3) beeinflussen nur die Koeffizienten des iiquivalehten linearen Systems (5).

*) Es existieren naturlich auch noch andere erzeugende Funktionen, die aber fur die hier beschriebene analytische Niiherungs- methode nicht geeignet sind.


Beispiel: Der eindimensionalen nichtlinearen Wellengleichung

dlq" + 6""" , . BH BH q = - $.I=---= 8P ' Bq

X =f {diq" + daq.4 + pa}

wird als iiquivalentes lineares System die lineare Wellengleichung

mit zuniichst noch unbestimmten Koeffizienten Dl zugeordnet. Dann folgt aus der Differenz der Hamiltonschen Funktionen 9 - 2 nach Auswertung des Integrals (11) mit der speziellen Losung des aquivalenten linearen Systems (15), der fortschreitenden Welle

(16) 0 Q = q = a s i n

fur den Koeffizienten Dl die Beziehung

Weiter liefert die spezielle Losung von (15), die stehende Welle

Q = q = o r s i n ( o t + b ) c o s - x , rJ nach einer gewissen Mittelung iiber x vollig analog fur Dl die Beziehung

Die analytisch ermittelten Formeln (17), (18) werden schliefilich auch durch numerische Berechnungen recht gut bestiitigt. Doch treten bei den numerischen Losungen der fortschreitenden Welle bei grofieren Nichtlinearitiiten mit wachsender Zeit stiirkere Verzerrungen auf, die bei der stehenden Welle kaum beobachtet werden konnten.

Literatur

1 SCHRXPEL, H.-D., Nichtlineare Eigenschwingungen eines Doppelpendels, Z A m 69 (1983). 2 SOHRXPEL, H.-D., Equivalent Linearization of Canonical Systems, Proceedings of the IUTAM-ISIM Symposium on Modern De-

velopments in Analytical Mechanics, Torino, June 7-11, 1982. 3 GOLDSTEIN, H., Klassische Mechanik, 4. Auflage, Wiesbaden 1976. 4 SOHEAPEL, H.-D., Analytische Berechnung nichtlinearer Eigenschwingungen durch kanonische Transformation, Z A m 61,29 -40

(1981).

Amc7wijt: Prof. Dr. H.-D. SCHRAPEL, Universitiit Stuttgart, Institut fur Mechanik (Bauwesen), Pfaffenwaldring 7, D-7000 Stutt- gart 80, BRD

ZAMM 64, T 157 -T 158 (1984)

J. STANOE

GroBe Deformationen einer Hohlkugel aus linear elastisch, ideal plastischem Material

Die Beschreibung dieser Deformationen basiert auf der Zerlegung der Gesamtdeformation in einen plastischen und einen elastischen Anteil P = F'P?'. Der plastische Anteil bedeutet eine volumentreue Anderung der Geometrie. Die Endkonfiguration der plastischen Deformation ist gleichzeitig die spannungsfreie Referenzkonfiguration der elastischen Deformation. Wiihrend die Gesamtdeformation kompatibel ist und durch einen Deformationsgradienten P beschrieben wird, gilt dies nicht fur die beiden Teildeformationen, d. h. die Deformationstensoren PQ und Fe sind keine Gradienten. , Fur die Losung des Problems stehen die KompatibilitiitsbedingunW.en fur die Gesamtdeformation, die Gleich- gewichtsbedingung Fur die Kriifte und Momente, dje Mises-FlieBbeainGng, die Inkompressibilitat der plastischen Deformation und das Hookesche Gesetz zur Verfiigung.


Unter diesen Ansiitzen konnen die Teildeformationen lokal beschrieben und ihre Inkompatibilitaten angegeben werden, und zwar sowohl fur eine vollplastische Deformation als auch fiir einen anschlieBenden EntlastungsprozeB.

Eine ausfuhrliche Darstellung erscheint demniichst unter dem Titel ,,Finite deformation of a hollow sphere of linear elastic perfectly plastic material" in der Acta Mechanica.

Anschrift: Dr. rer. nat. J. STANQE, Bundesanstolt fur Materialpriifung, Unhr den Eichen 87, Berlin 45, Berlin (West)

ZAMM 64, T 158 -T 159 (1984)

W. TESCHNER

Zur Konsistenz von erweiterten Plattentheorien

Sowohl die Kmcmomsche Plattentheorie als auch alle Erweiterungen derselben, wie z. B. die REIssNERsche Theorie der schubweichen Platte, stellen eine niiherungsweise Beschreibung des dreidimensionalen Elastizitiitsproblenis durch ein ebenes Problem in den Koordinaten x, y dar. Hierbei lassen sich im Rahmen der KIRCHHoFFschen Theorie nur zwei Randbedingungen erfullen, wahrend die REISSNERsche Theorie drei Randbedingungen moglich und not- wendig macht, so da13 Randeffekte erkliirt und berechnet werden konnen. Inwieweit aber die Theorie von REISSNER auch eine Verbesserung der Naherungslosung auBerhalb der Grenzschicht ermoglicht, kann durch eine konsequente GroDenabschatzung der Terme hoherer Ordnung im Zusammenhang mit asymptotischen Entwicklungen gekliirt werden. Ein Vergleich der Naherungen der rnit Hilfe der singularen Storungsrechnung aus den REISSNERSChen Plattengleichungen gewonnenen BuBeren Losung mit den entsprechenden Niiherungen, die man aus der dreidimensionalen Elastizitatstheorie durch direkte asymptotische Entwicklung nach der halben Plattendicke h erhiilt, zeigt, bis zu welcher GroBenordnung die Plattentheorie konsistent ist, d. h. nicht zu Widerspruchen mit dem dreidimensionalen Elastizitkitsproblem fuhrt.

Im folgenden beachranken wir uns auf reine Plattenbiegung infolge Normalbelastung c,(z = k h ) = 5 p / 2 und werden ausschlieSlich die Grenzschicht am geraden, krafte- und momentenfreien Rand x = 0 den Untersuchun- gen zugrunde legen.

Die von REISSNER [ 11 gegebenen Plattengleichungen konnen mit Hilfe der Spannungsfunktion Y(z, y) wie folgt geschrieben werden:

2 2 - v 2 5 1 - v DAAw = p - haAp, X h ' A Y = !€'

mit D = 2Eh3 als Plattensteifigkeit. Die KrrtftschnittgroBen sind 3(1 - v')

Durch Anwendung der singularen Storungsrechnung erhalt man als globale Losung fur

w = w, + w1 + w, + ... eine Folge von KIRCHHoFFproblemen

DAAw, = p , DAAw, = 0 , I 2 2 - v 5 1 - v DAAw, = - -- h2Ap; DAAwZ = 0' , i 2 3 .

(3)

(4)

Die zugehorigen Randbedingungen fur den kriifte- und momentenfreien Rand x = 0 ergeben sich aus der Anpassung der globalen Losung fur w zusammen mit der Grenzschicht fur Y an die Randbedingungen

Qz(z = 0) = 0, M,(z = 0) = 0 und n/r,,(z = 0) = 0. (5)

Section Mechanics of Elmtic and Plastic Bodies T 169

Man erhalt MZ(z = 0) = 0, v:(z = 0) = 0,

- M~(1:=0)=C/+hQ:(X=O), V i ( x = O ) = o ,

und

2 2 - v 5 1 - v VZ(X = 0 ) =-- hap,.@ = 0)

unter Verwendung der Abkurzungen

Qi = - D A w ~ , ~ , M i = --D(Wi,zZ + VWi,yy) 9

Miu = -(1 - Y) Dw,,, und V$ =a + als KntcHHoFFscher Ermt,zquerkraft.

Ausgehend von dem dreidimensionalen Elastizitlitsproblem liil3t sich durch asymptotische Entwicklung nach h ein System von Differentialgleichungen sowohl fur die a d e r e Losung in den Koordinaten x, y, 5‘ als auch fur die Grenzschicht am geraden spannungsfreien Rand x = 0 in den Koordinaten t, y, 5‘ aufstellen, wobei l = x/h und 5 = z /h gestreckte Koordinaten sind. Das System der Differentialgleichungen fur die iiuBere Losung kann bezuglich 6 analytisch integriert werden und fuhrt so auf eine Folge von ebenen Problemen,

8 - 3v D A A ~ ; : = 2, , D A A ~ : = 0, DAAW; = - haAp, ... . 10( 1 - Y)

Mit den Funktionen wF(x, y) ist die liuBere Losung des dreidimensionalen Elastizitatsproblems vollstiindig bestimmt, Zuni Beispiel gilt

Die Randbedingungen fur W: erhiilt man durch Anpassen der dreidimensionalen iiul3eren Losung und der dreidimensionalen Grenzschicht an die Spannungsrandbedingungen am freien Rand, az(x = 0) = 0, zzz(x = 0) = 0, tzy(x = 0) = 0. PRIEDRICHS und DRESSLEB [2] haben auf liMiche Weise fur die nullte Naherung WE die bekannten KIRCH- HoFFschen Randbedingungen Ml’(x = 0) = 0 und V Y ( x = 0) = 0 verifiziert und als eine der Randbedingungen fur die erste Korrektur w: das Randmoment

+1 &*(x = 0) = $J @,e(l = b) { 1 - 5%) d[ hQz*(z = 0) = xhQ$*(x = 0 ) (10)

-1

gefunden. Hierbei ist @([, 5 ) Losung von A@ = 0 im Halbstreifen ( 5 5 0, @((, f l ) = 0, @ ( O , [ ) = 1 - 5 8 und lim Q, = 0 fur 6 -+ -m. Die weiteren Randbedingungen lauten

5 l} mit den Randbedingungen

Vi*(X = 0 ) = 0 I

Mit Hilfe der exakten Losung

ergibt sich der Faktor x in (10) und (11) zu 384 OJ 1

x =- 2‘ -6 w 1.2606. ?Z6 j=1,3,6 ?

Der entsprechende Wert &us der REIssNERschen Theorie ist I@ w 1.2649, ist also nur um etwa 3,60/,, zu groS. Der Vergleich der asymptotischen Entwicklungen der iiuaeren Losung der REIssNERschen Plattengleichungen

und der dreidimensionalen Elastizitatstheorie zeigt somit, daB fur die hier untersuchten Randbedingungen die REIssNERschen Gleichungen bis einschliefilich der ersten Niiherung konsistent sind, also auch auBerhalb der Grenz- schicht eine Verbesserung gegeniiber der Kmcmomschen Theorie darstellen.

Literatur

1 REISSNER, E., The Effect of Transverse Shear Deformation on the Bending of Elastic Plates, J. Appl. Mech. 12 (1946) 69-77. 2 FRIEDRICHS, K. 0.; DBESSL~, R. F., A Bounhry-Layer Theory for Elastic Plates, Comm. Pure Appl. Math. 14 (1961) 1-33.

Anachrift : Dr.-Ing. WINFBIED T B S C H N ~ , Inetitut fiir Mechenik, Technische Hochachule Darmstadt, HochschulstraBe 1, D-6100 Darmstadt, BRD


ZAMM 84, T 160 -T 161 (1984)

G . THOMAS

Eine Eigenschaft Reissnerscher Plattenaufgaben (die Plattenecke)

Der Verfasser hat in [ 11 gezeigt, da13 Reissnersche Plattenaufgaben die sog. Lopatinskii-Sapiro-Bedingung nicht erfiillen, wenn zur Beschreibung des Problems im Fourierraum die ganze &-l?ourierachse erforderlich ist. Bei Ver- letzung der Lopatinskii-Sapiro-Bedingung lassen Randwertprobleme mehrdeutige Losungen zu ; da Reissnersche Plattenaufgaben diesen Effekt erst fur 6, +- 00 zeigen, ist (gegenuber Kirchhoffschen Plattenaufgaben) verstiirkte numerische Instabilitiit die Folge. Das Scheitern des numerischen Prozesses bedeutet aber nicht die Unbestimm- barkeit einer Losung : Bei Halbebenenproblemen lassen sich mit vertretbarem Arbeitsaufwand formelmiiflige Losun- gen ermitteln ; sie zeigen jedoch Eigenschaften, die sie ah Losung einer physikalischen Aufgabe ausscheiden lassen bzw. die Aufgaben als not-well-posed einzuordnen gestatten. Es entsteht aus mechanischer wie auch mathematischer Sicht die Frage nach der Abhiingigkeit der geschilderten Schwierigkeiten vom Definitionsgebiet der Randwertauf- gabe ; aus praktischen Erwiigungen heraus stehen polygonal berandete, konvexe Gebiete w (Berandung am) im Vordergrund. Diesen Gesichtspunkten sind die nachfolgend in unbefriedigender Kurzform dargestellten uberlegungen zuzuordnen.

Eine Reissnersche Plattenaufgabe besteht [l] aus dem Primlirproblem 4. Ordnung, z. B.

und einem Sekundiirproblem 6. Ordnung

( 1 - +H2d) (Pd)2 R1(Z) = 0 V X E O

fur zu bestinimende Hilfsfunktionen R,, RZ. Es wird das Primiirproblem fur das. polygonal berandete, konvexe Gebiet w betrachtet. @ sei ein willkurlicher Platteneckpunkt, die zugehorige Plattenecke sei zu einem Keil A (Berandung an) fortgesetzt. Das auf w definierte Lastprofil P(z) wird durch die Levelfunktion Z(Z) E Cm(A) auf eine EzB-Umgebung von @ beschriinkt und die homogenen Randbedingungen von (aw n an) auf aA fortgesetzt. Es entsteht auf A das Ersatzrandwertproblem

(B20)2 RE(*) = Z ( X ) P(X) + homogene Randbedingungen auf ad,

G(*) = I(*) fl(4 + (8)

(9)

das durch die Vorschrift

mit dem origingren Randwertproblem (P) gekopplt ist. (Eigentlich muaten N (= Zahl der Plattenecken) Probleme des Typs (8) in die Betrachtungen eingehen, dies fiillt aber der knappen Darstellung zum Opfer.) Einsetzen von (9) in (1) - (3) liefert ein Randwertproblem fur die Korrekturfunktion B(x)

(Had)2 3(z) = p(z) - ( H 8 @ %(a) + inhomogene Randbedingungen auf aw

(HaO)2a(a ) = p(a) + inhomogene Randbedingungen auf aw

vom Typ (P). Trifft man die Hypothesen

a) die Aufgaben (P), (10) haben fur zuliissige Vorgabedaten eindeutige Losungen, die zugehorige homogene Aufgabe

b) die homogene Keilaufgabe (8) besitzt nichttriviale Losungen ;

so ergibt sich ein Widerspruch fur die Funktionswerte von a, RC, RB im Gebiet w \ &2R

nur die triviale Losung;

R$(z) = Z ( X ) Re(*) + a(*) 0 = 0 + # O

der beseitigt ist, wenn (P) und (8) gleichzeitig mehrdeutige Losungen besitzen bzw. nicht besitzen. Hieraus kann ge- schlossen werden, da13 die eingangs dargestellte Losungsproblematik bei endlichem, polygonal berandetem Platten- gebiet auftritt, wenn sie bei der Keilaufgabe (8) nachweisbar ist.

ZunBchst wird die auf A definierte Keilaufgabe in Polarkoordinaten umgeschrieben und anschliel3end vom Keilgebiet A mittels der Mellintransformation auf einen Streifen abgebildet ; das Resultat dieser Operationen


(12) (4: t)ffnungswinkel des Keilgebiets). Da die Belastungsfunktion p”(z, p) = (@) (T, p) auf &2R in A beschriinkt ist und e-27 als Faktor in (12) aufscheint, wird die Losung von (12) (bezuglich z) durch Funktionen aus 91,a(R1) (b geeignet gewiihlt) im Sinne einer Eigenfunk- tionsentwicklung angestrebt (was natiirlich nicht notig ist und nur als plausible, kurze Erkliirung fur das nachfolgende Vorgehen gelten soll). Durch diese Voraussetzung liefert die Fouriertransformation von (12) bezuglich z ein nicht- lineares Eigenwertproblem fiir den Fourierparameter s = a + is. Die mit der Feldgleiohung in (12) verbundene transformierte Differentialgleichung besitzt im Fundamentalsystem unbeschriinkte Elemente, die uber die Parseval- sche Beziehung eu einem unbeschriinkten Formiinderungsenergieinhctlt des Keilgebietes fuhren wurden. Um dies auszuschlieBen, mussen die unbeschriinkten Elemente des Fundamentalsystems unberiicksichtigt bleiben. Dieser Schritt wiirde aber die Nichterfdlbarkeit einer weiteren Randbedingung beim Primamystem zur Folge haben. Aaa diesem Grunde wird die Eigenwertaufgabe (12) in Real- und Imaginiirteil zerlegt und von der komplexen Funktion @(a, p) = o(s, p) + iv(s, p) die gleichzeitige Erfiillung der aus Real- und Imaginiirteil der Aufgabe folgenden Beziehungen verlangt ; dieses Problem besitzt dann die symbolische Kurzform

Mittels eines Entkopplungsansatzes entsteht aus (13) nach liingerer Zwischenrechnung ein homogenes lineares Gleichungssystem Aq = 0, das im Vektor q die acht Integrationskonstanten enthiilt. (Vier dieser Integrationskon- stanten sind bei expliziter Losung des Problems gleich Null eu setzen, um den endlichen Energieinhalt des Keil- gebietes zu sichern; es sind dann noch vier Konstanten frei, d. h. zwei fiir jeden Schenkel des Keilgebietes.) Aus det (5) = 0 folgen die Eigenwerte. Bei der numerischen Auswertung diemr Beziehung mit Hilfe des RestgroSen- verfahrens zeigte sich folgender Sachverhalt :

Die Funktionswerte f(a, p ) = ldet (A(s))l liegen fur Parameterwerte 4 < @ 5 22 (die untere Grenze f i i r B resultiert aus Integrierbarkeitsforderungen) in einem bandformigen Bereich (aus dem Punktebahnen herausfuhren, die auf Eigenwerte hindeuten), der zuniichst auf Werte der GroSenordnung O(10s6) ansteigt, dann abfallt - bei a w 46 die GroBenordnung O(lOo) erreichend - und schliefllich beia w 66 ... 70 mit Werten von der GroBenordnung O( 10-87) einen Personalcomputer zum Scheitern bringt. Damit ist festzuhallten, daI3 sich nicht alle Eigenwerte berechnen lassen, die fur eine vollstiindige Eigenfunktionsentwicklung erforderlich sind.

Dieses Ergebnis fiir das Keilgebiet A kann nach den oben gefuhrten Betrachtungen auf das endliche Platten- gebiet ubertragen werden. Es besttitigen sich damit auch Uberlegungen des Verfassers, die - ausgehend von Halb- ebenenresultaten unter Verwendung des Saint-Venantschen Prinzips - zum gleichen Ergebnis fur das polygonal berandete Plattengebiet u) fuhrten.

Literatur

1 THOMAS, G., Eine Eigenschaft Reissnersoher Plattenaufgaben (I), Z U , Vol. 63 (a), T 172 - T 176, 1982.

An8chr@: Dr.-Ing. G. THOMAS, Institut fiir Mechanik (Bauwesen), Pfaffenwaldring 7, D-7000 Stuttgart 80, BRD

ZAMM 64, T 161 -T 163 (1984)

P. VIELSACK

Zum Abklingen von Randstorungen bei der Biegung normalkraftbeanspruchter orthotroper Rechteckplatten

Isotrope Rechteckplatten werden bei konstanter Last undNavierscher Lagerung gewiihnlich als Balken in Richtung der kurzen Stiitzweite bemessen, sofern die Liingsseiten mindestens doppelt so lang sind wie die Querseiten. Es ist naheliegend, diese Vorgehensweise im Sinne der singularen Storungsrechnung zu interpretieren : Der Balken entspricht der iiuBeren Losung. Der schnell abklingende Storbereich, der von der Querseite ausgeht,, ist die Grenz- schicht. Mit dem Breiten-Liingenverhltnis

E = b/a , (1) 11 2. angew. Math. u. Mech., Bd. 84, H. 4

T 162 Sektion Elasto- rind Pl&stomeohanik

den bexogenen Steifigkeiten A = K,/K, 1 , 2 B = K,/K, 5 2

und den dimensionslosen kartesischen Koordinaten [=xla, O $ E d l ; q = y l b , 0 5 q S l

lautet die Plattengleichung bei kantentreuer Orthotropie

Aus (4) und (2) wird die Annahme ersichtlich, daD die gr6Bere Biegesteifigkeit K , fur die Lastabtragung in q-Rich- tung maBgebend ist. Die Lagerungsltrt ist fur jede Plattenkante beliebig wlihlbar. Die Querbelastung p wird der Einfachheit halber als konstant angenommen. Es existiert ein homogener Normalkraftzustand in q-Richtung, wobei Nu > 0 Zug, N , < 0 Druck entspricht.

Zur Losung des Randwertproblems wird zuerst E < 1, also eine sehr lange Platte vorausgesetzt. Dann beeinflussen sich beide Grenzschichten bei [ = 0 und [ = 1 nicht gegenseitig. Es genugt eine asymptotische, zusammen- gesetzte Entwicklung aus zwei Anteilen:

die Grenzschichtvariable in der Niihe des Querrandes 5 = 0. Bur jedes wz und damit auch fur alle Ableitungen wird

(7)

gefordert. Setzt man (5 ) in (4) und in die (4) zugeordneten Randbedingungen ein, so zerfallt das ursprungliche Plattenproblem wegen (7) in zwei Teilprobleme. Die iiuSere Entwicklung lautet

lim w$ = 0; n = 0, 1, 2, ... c-r 52

wobei hier nur die Randbedingungen der Liingsriinder aerfiillt werden. Fur die Grenzschichtlosung erhiilt man

Die Randbedingungen der Liingsrander sind homogen. Am Querrand = 0 berechnen sich die Randbedingungen aus den negativen Werten der auDeren Losung w: und/oder deren Ableitungen. AuBerdem ist die Abklingbedingung (7) zu beachten. Fur konstante Querbelastung po erhalt man fiir die aul3ere Losung das gewohnliche Randwertproblem des normalkraftbeanspruchten Stabes. Im Beispiel eingespannter LangsrBnder ist dies

(10) N,ba b4

( W E m - r w q q , =GPO 9 w@, 0) = W W , 1) = WE& 0 ) = 1) = 0 *

Von der unendliohen Reihe fur wz in (6) bleibt nur das erste Glied ubrig, da w: = 0 fur n 2 1 gilt. Entsprechendes gilt fur die Reihe fur WE in (5). Hier ist fiir das Beispiel des eingespannten Querrandes allein das partielle Randwert- problem

(11) i N,,V Awo4etct + 2Bwoqtcq9 +W,4?lPSS - K , W O ' " q = 0 9

w%, 0) = w%c, 1) = Woq& 0) = Woq,(C, 1) = 0, w$(o, 7) = -w$(o, 7); wO,c(o, a 7) = -W; ,~ (O, 7); lim wf = lim wge = o

&-+a C-.W

zu losen. Orthotrope Platten werden in der Technik bewuBt als stark orthotrop ausgefuhrt. Zum Beispiel besitzen A und

B bei Fahrbahnplatten von Brucken Werte in der GroDenordnung von Im folgenden mu13 noch gezeigt werden, daB sich bei starker Orthotropie die Grenzschichtlosung (11) auf eine sehr schmale Randzone beschrankt. Dann darf eine Bemessung ellein nach der einfach zu berechnenden iiuBeren Losung vorgenommen werden. Zur Ermittlung des Abklingverhaltens von (11) wird nur das homogene Problem benotigt. Im Produktansatz

sind die g k ( 7 ) die bekannten Eigenfunktionen eines schwingenden Balkens, der die Randbedingungen der Platten- liingsseiten erfullt. Zu jedem gt gehort ein Eigenwert U k . Die unbekannten Funktionen f k ( c ) beschreiben das Abklin-


gen der Randstorungen. Mit (12) wird (11) auf ein System gewohnlicher Differentidgleichungen vierter Ordnung fiir die f r reduziert. Die charakteristische Gleichung lautet

det (MA4 + DA2 + C) = 0 . (13) Mit dem Kroneckersymbol berechnen sich die Matrixelemente aus

Nubs 1

( 14) Mlk = A&; Dik = 2BIlk; c;, = dc&~. - - I l k ; Ilk = $ fhgk,qq dq - K U 0

Maagebend fur das Abklingverhalten ist derjenige charakteristische Exponent A, der den betragsmiiaig kleinsten negativen Realteil besitzt. Wie aus (13) und (14) allgemein ersichtlich, ist das Abklingverhlten abhiingig vom Grad der Orthotropie (Konstanten A und B), vom Normdkraftzustand in der Platte (Nv) und von der Lagerungsart der Plattenliingsriinder (gl und 011). Im Fa11 Navierscher Lagerung der Plattenllngsriinder kann man die geschlossene Losung des biquadratischen algebraischen Eigenwertproblems (13) und (14) angeben. Wegen

I l k = -&k; O l t = Itk (15) wird (13) zur Dreiecksdeterminante. Fur langsamstes Abklingen ist k = 1 zu setzen. Ein Vergleich mit der Abkling- liinge x/b = 1 der isotropen Platte (A = B = 1) liefert fur die orthotrope Platte

I , periodisches Abklingen ; 2A Ba < A ( l + N , / N , ) : x / b = ____ if( 1 7 NmJ + B

Ba = A ( l + N ,, / N ) : x / b = A , aperiodischer Grenzfdl ;

, aperiodisches Abklingen . A B - I/B' - (1 + N,/Ne) A

B2 > A ( l + N u / N e ) : x / b =

Zur Normierung der Normalkraft wurde die Eulerlast N , = Im Beispiel beidseitiger Einspannung der Plattenliingsriinder besitzt die in (14) auftretende GroBe Itk folgende

numerisch gunstigere Eigenschaften: Hauptdiagonalelemente uberwiegen, Matrix symmetrisch, Schachbrettform, gegen Null konvergierende Nebendiagonalelemente. Im technisch wichtigen Fall Ba, A < 1 und Nu = 0 liiSt sich durch Vernachliissigung der Nebendiagonalelemente eine Niiherungslosung angeben. Es zeigt sich, dal3 ein schnelle- res Abklingen vorliegt als bei (16). Man liegt damit bei Verwendung von (16) auf der sicheren Seite.

Bmchrift: Prof. Dr.-Ing. P. VIELSACK, Institut fiir Mechanik. Universitiit Karlsruhe, Kaiserstr. 12, D-7500 Karlsruhe 1, BRD

des zweiten Eulerfalls verwendet.

ZAMM 849 T 163 -T 165 (1984)

D. WEIOHEF~T

Stability of Geometrically Non-Linear Elastic-Plastic Shells

1. Three-dimensional rtnrtlysis

For our study of conditions of stability we make the following basic assumptions: (i) strain remains small so that additive decomposition of Green's strain-tensor e into purely elastic and plastic part e* resp. ep is admissible. (ii) Hardening is described by internal parameters in the sense of El]. (iii) External loads are conservative. (iv) Motion is quasistatic. (v) Thermal effects are ignored. (vi) There exists an elastic strain-energy density y(ee), for convenience assumed to be quadratic :

y(ee) = $ ee .. G .. ee = f [ E ~ L ~ ~ ~ ~ E ~ J + W+WWq] . (1.1) L and Z are positive definite tensors with constant components describing elastic behaviour and hardening, respectively; i, j , k, I E [ 1,2, 31; p , q E [l, 2, ... , r ] with r as number of internal parameters, ee = [eC, W] denotes generalized elastic strain with elastic part of Green's strain-tensor ee and vector W of elastic internal parameters. (vii) There existe a dissipation-density y(s, @), defined by:

y(s, &P) = fs ... 9 d t = l [ o G & + nQkq] dz (1.2) 0 0

where s, eQ, 0 , n, K, denote generalized stress-tensor, rate of generalized plastic strain, second Piola-Kirchhoff stress-tensor, internal statical and internal plastical parameters, resp.. Parameter z describes history of loading, superposed dot differentiation with respect to Z. Assuming all fields to be analytical with respect to z, y and q~ are 11'

T 164 Sektion Elasto- und Plastomeohanik

expanded in Taylor-series in the neighbourhood of a state ()lo:

We keep terms up to order 4 with the following argumentation:

with respect to z that contains no second-order derivative of P with respect to z.

changes of e p . (ii) Smallness of g does not involve smallness of 9' and i".

a) e las t ic par t : y is a 4-th order function of deformation-gradient P. So- a4Y is the last derivative of y a24

b) plast ic par t : (i) in the neighbourhood of corners of the yield-surface small changes of smay create large

S tab i l i ty definit ion

Following [2] we call an equilibrium-state ( ) l o stable, if the increase of internal energy EC exceeds the increase of external energy E, for every state in a chosen physically admissible neighbourhood of ()lo in the sense of constrained equilibrium [3]. In every other case the configuration is called unstable. Here we obtain after integration over parameter z:

A -

A, = J [&(ie) .. (k' F), + u(&) .. (k' - i)] dQ ,

[~ (e ' ) .. (iT .P), -p* - k] dQ -If* ic d(aQ), 1 -d anI

n

A, = J [26(ie) .. (kT * &) + t j ( g e ) .. (kT * P),] dQ ,

A, = J 3ii(ge) .. (&' I") dS2 . (1.7)

(1.8)

R

n denotes the initial volume of the body, aQ, the surface with prescribed forces, upper index T denotes transposed

tensors, index s denotes symmetric part of the considered tensor, (.) . (.) resp. (.) .. (.) denotes multiplication of vectors or tensors (.) with summation over one resp. two indices. If the considered state ( ) lo is in equilibrium, then A , is equal to zero if, as we assume, kinematical boundary-conditions are homogeneous. Then the sign of A, decides wether the configuration is stable or not: If A, is positive, the configuration is stable, if negative, instable. If A, is equal to zero, then the configuration is "critical" and the sign of A, decidee if the configuration is stable or not. (If A, is equal to zero, the sign of A, decides about stability). A physically admissible neighbourhood is characterized by : (i) displacementvector u and F(u) satisfy homogeneous kinematical boundary-conditions. (ii) s, ec, i?P satisfy the elastic resp. plastic material law according to [4, 5, 6, 71.

' 2. The shell-problem

We replace the 3-dimensional fields by 2-dimensional representatives [8], which are obtained by Taylor-expansion with respect to the shell midsurface l' so that the three-dimensional components cap of a tensor c are given by

Greeque indices denote tensor-components in the tangent-plane of any arbitrary point of I', x denotes the order of

Taylor-expansion, t E [ -T, ++] denotes the coordinate orthogonal to r; h is the constant thickness of the shell.

All quantities are referred to the metric of undeformed shell midsurface I'. In the frame of theory of thin shells of [9], relations (1.5-1.7) become:

h

(2.3)

(2.4)


As set of representatives of elastic part of Green’s strain-tensor we obtain in detail

(2 .5)

2v

E ~ ( O ) as = (UaIb)‘ - bupu3 + f vaqp - &$) 9

&d1) = -(v ) - , &e(z) = -@) ... , &dd = -&P(z) . U P 4 8 a@ ap 9 4 4

With definition vu =

denote partial and covariant differentiation, resp. With La@& =

elastic coefficients, with sup, b$ as metric and curvature-tensor components, resp. and with E as Young’s modulus

+ btup Index “3” denotes tensor-or vector-components in &direction, comma and stroke

+ aacapl + ~

( 1 - v ) . 2(1 + v )

and v as Poisson’s ratio we obiain : aas(m) = LaB&,$p) ,

For relations (2.1-2.3) we obtain in detail for the chosen model of shell:

References

1 HALPEEN, B.; NQUYEN,Q. S., Sur les maGriaux standards gbnBrafids, J. de Mbcanique, 14, 39-63, (1976). 2 SEWEIX,, M. J., A survey of plastic buckling, in: Stability, SM Study No. 6 (edited by H. H. E. LEIPEOLZ) University of Waterloo,

3 BEUKEB, E.; B ~ Q E R , W., Kontiiuumsmechanik, B. G. Teubner, Stuttgart (1976). 4 RAFALSKI, P., Solution of the elastic-viscoplastic boundary value problem, Int. J. Eng. Sci., 16, 193, (1977). 5 RAFALSKI, P., Minimum principles in Plasticity, Mittdungen aus dem Institut fur Mechanik Nr. 13, Ruhr-Universitiit Bochum,

6 MOBEAU, J. J., On unilateral constraints, friction and plasticity, Lecture notes, CmE, Bressanone, 1973. 7 NAYROLES, B., Quelques applications variationelles de la thBorie des fonctions dudes 8, la mbcanique des solides, J. de MBcanique,

8 WEICIUCRT, D., On minimum-principles for the initial-boundary-value problem of elastic-plastic plates With moderate rotations,

9 SANDERS, J. L., Nonlinear theories of thin shells, Quart. Appl. Math., 21, 21-36, (1963).

Addrees: Dr.-Ing. D. WEICEERT, Lehrstuhl2 fur Mechanik, Ruhr-Universitit Bochum, Universitiitsstr. 160, Postfach 102 148,

1972.

1978.

2, 10, 263-289, (1971).

1ng.-Arch. 63, 13-26, (1983).

D-4630 Bochum 1, BRD

ZAMM 84, T 165 -T 167 (1984)

W. WINTER I H. I4m?iu”

Akkumulation von Eigenspannungen bei geometrisch nichtlinearen, elastisch-plastischen Stabwerken unter zyklischer Belastung

1. Einleitung

Stab- oder Fachwerke finden nicht nur als Tragwerke Verwendung, sondern dienen bekanntlich auch als Model1 fur die Kornstruktur realer Metalle (vgl. [ 11). Insbesondere spiegeln statisch uberbestimmte Stabwerke verschiedene Verhaltensweisen realer metallischer Werkstoffe unter zyklischer Belastung wider [ 2 ] . Unter Beriicksichtigung der

T 166

Anderung der Stabwerksgeometrie konnen bei statisch uberbestimmten Stabwerken akkumulierende Knotenver- schiebungen sowie Stabrestkrkifte (Eigenspannungen) auftreten (vgl. [2]). Im folgenden wird gezeigt, daB die Akku- mulation der Stabrestkrafte von der Lastamplitude der zyklischen Belastung abhangt.


2. Vorgehen

Wir betrachten das ebene, einfach statisch uberbestimmte Stabwerk naoh Bild 1 unter der eingepriigten Kraft R mit auf Zug/Druck gleichen FlieBgrenzkriiften Y1, Y4, Ys in Stab 1, 2 und 3. Zur Beschreibung des statisch uberbestimmten Stabwerkes fiihren wir den Parameter cy ein, der von den Stabsteifigkeiten c1, ca, cs der Stiibe 1, 2 bzw. 3 abhiingt (vgl. [l]). Die Knotenverschiebungen Axl und Axa sowie die Stabkriifte S, 8 2 und 5 3 werden fur zu 0 sym- metrische Belastungen -ARi 5 R 5 AR' mit einer auf [3,4] basierenden, fur elastisch-plastisches Stabverhalten erweiterten Methode anhand der sich iindernden Stabwerksgeometrie berechnet.

3. Ergebnisse

Bild 2 zeigt berechnete Kraft-Verformungs-Kurven fur das in Bild 1 dargestellte Stabwerk mit a = 0,71 unter symmetrischen Lastzyklen. Jeder Zyklus bringt einen Zuwachs an Verformung und verursacht eine Verschiebung der Hysterese (sog. mechanisches ,,Ratcheting", vgl. [6]). Wie die Bilder 2 a, b weiter verdeutlichen, ist die Natur dieses Prozesses in der Tat ,,elastisch-plastisch", d. h. Stab 3 dissipiert im wesentlichen die plastische Arbeit (,,Lokali- sierung"), wiihrend das plastische Verhalten des Stabes 1 zur Verschiebung der Hysterese fuhrt. In Bild 3 sind dissipierte Arbeit von Stab 1 und Stab 3 gegeniibergestellt. Stab 2 bleibt rein elastisch.

Bild 4 zeigt die Stebrestkrilfte (Eigenspennungen) Sb und S$ in Abhangigkeit von der Lastspielzahl N und verschiedenen Lastamplituden AR' ,wobei die Akkumulation innerhalb eines Bereiches ARdn 5 ARi 5 AR,, auI- tritt.

" t

\ Bild 1. Elrifach ststisch Uberbestimmtea Stabwerk (unverformte Konfiguratiou) R: eingeprhggte Kraft; LIZ,, 4%:: Knotenverechiebungen

C (Rechenbeispiel: L 350 mm; c * / c ~ = 0,66; C/cl = 7,74; Ya/Y1 = 1,699; II Y'/Y1 - 1,13) L

R / Y 1 2Dl

- .15 .20

Ax2 /L ---c

L 720

- 2. ot b)

Bild 2. Kr&-Verformunga-Karren itir Laatzyklen -1.64 S R/Y1 d 1,64

- 2. a)

a) mlt Stabkraft S, b) mit Stabkraft S'


t t

"0 2 4 6 N- N-

Bild 3. Dissipierte Arbeit Wkz, W i z der Stllbe 1 und S fur Lastzyklen Bild 4. Akkumulierende Stabrestkrllfte 85, N: Anzahl der nach Bild 2. N : Anzahl der Lastzyklen Lastzyklen, d = 1: AR' = 1,64Y'; i = 2: AR' = 1,66Y1;

i = 3: AR' = 1,64Y'; i = 4: AR' = 162Y'.

1st Sg(1) die Stabrestkraft des x-ten Stabes fur N = 1 (8. Punkt 0 in Bild 2a bzw. 2b), so gilt fur die in Bild 4 dargestellten Kurven in guter Naherung (Abweichung <0,7%)

1 f l x * - - X",l) + hx( @pi, ARC) { exp (m(N - 1)) - l} .

Dabei ist m eine fur dieses Stabwerk charakterische Konstante und hx iiber die dissipierte Arbeit @$ = = Wil(N = 1, ARmin) mit den Konstanten q; und q; in Abhiingigkeit von der Lastamplitude AR' berechenbar

hx = q;{ F$ + (dRi - ARmin) q:} AR' (2)

(NLx)n AR' = const. (3)

Mit N L x = Niax(dRi ) als maximal ertragbarer Lastspielzahl, bei welcher das Stabwerk bei gegebener Lastanipli- tude ARg unter negativer Belastung R kollabiert, ergibt sich dann

Literatur

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LIPPMANN, H., Mechanik des plastischen FlieDens. Berlin-Heidelberg-New York: Springer 1981. WINTER, W.; LIPPMANN, H., Ein Beitrag zur kinematischen Verfestigung von Stabwerken. ZAMM, Bd. 68, T 220-T 222, 1983. BUFLER, H., Variationsgleichungen und finite Elemente. Bayr. Akad. der Wissenschaften, Sonderdruck 9, 1975. NGUYEN-TUON~, B., Eine nichtlineare Stabwerkstheorie und ihre Anwendungen zur Losung von Problemen weitgespannter Flichentragwerke. Univ. Stuttgart, Mitt. 56, SFB 64, 1980.

5 SALAS, J. F., Plastoermudung: Eine Einfuhrung. In: Verformung und Bruch. Hrg.: ST~~WE, H. P.. 6sterr. Akad. der Wissen- echaften. Leoben: 1980.

Anschriften: DipL-Ing. W. WINTEB und Prof. Dr. H. LIPPYAL", Lehrstuhl A fur Mechanik, Technische Universitiit Munchen, Arcisstr. 21, D-8000 Miinchen 2, BRD.

ZAMM 64, T 167 -T 169 (1984)

W. ZOWCZAK

Design of Complex Machine Parts by Means of Statically Admissible Continuous Stress Fields

Limit analysis is widely applied in design of structural elements with simplified geometry (such as beams, frames, plates and shells) used mainly in civil engineering. In recent years substantial progress has been made also in the field of plastic design of structural elements of complex shape used in mechanical engineering. Since the direct opti- mum (minimum weight) design is connected with serious difficulties, approximate methods have been developed. These methods have been based on the limit design theorems of the theory of plasticity, especially on the lower bound theorem, which states that lower bound on the limit load may be found from any statically admissible stress field (i.e. the stress field which satisfies equilibrium equations, stress boundary conditions and at any point of which the yield condition is not violated). For the assumed bearing capacity, we can use a statically admissible stress field to estimate a safe shape of the designed element. Numerous experimental investigations have shown that in spite of crude simplification of the material properties assumed in the theory (rigid-perfectly plastic material), methods of plastic design by means of the statically admissible stress field technique give good results in designing of structural elements made of real ductile metals. This concerns static and fatigue-type loadings as well.


So far, piece-wise homogeneous stress field technique has been used to obtain safe estimat,ions of shapes of designed elements [4,6]. In the present paper a new approach to plastic design, namely the use of the method of characteristics, is proposed.

The method of characteristics is the standard method of solving two-dimensional problems in the theory of plastic flow. As the equations of equilibrium (together with the yield condition) form the system of equations which is of hyperbolic type, they have two families of real characteristics. Thus solving these equations can be replaced by numerical integration of the differential equations of characteristics [2,3].

In the present work this method is used to build statically admissible stress fields in order to find safe contours of designed elements. In all presented examples it has been assumed that material is rigid-plastic and that it obeys Tresca yield criterion.

As an example, let us consider an element in the form of a chain link, connected with remaining elements of the structure by means of two bolts (Fig. la). The forces acting on the bolts are causing tensile stresses in regions between the two horizontal axes. Assume, that these tensions are of the magnitude 2k, i.e., they are equal to the yield stress (k is the maximum shear stress). The problem consists in plastic design of the upper and lower parts of the element, assuring their carrying capacity to be at least equal to the carrying capacity of both strips undergoing tension.

The element has been assumed to be of arbitrary but constant thickness. It has been assumed also that the two end faces of the link are stress free, so it is a plane stress problem.

On the basis of assumed (uniform) distribution of stresses along the line AB, statically admissible stress field has been constructed (Fig. lb). In the region ABC there exists uniaxial tensile stress 2k. It is assumed that the contact surface between the bolt and the designed element is smooth. Thus the principal directions are prescribed along the contact line BEK. The stress field in the region BCDE is obtained as the solution of mixed boundary problem determined by the data along the characteristic BC and the curve BE. Point E is defined by the angle BOE which is assumed to be equal n/4, in order to obtain horizontal direction of the tangent to stress-free contour a t the point F. The free edge CF together with the stress field in the whole region C@F is found as the solution of the inverse Cauchy boundary value problem determined by the characteristic CD. The tangent to the free edge a t the point F is assumed to determine the free edge FI up to the axis of symmetry.

In the region FGI we have uniaxial tensile stress 2k. The stress field in the region EDFGH is obtained as the solution of the characteristic problem based on the characteristics EDF and FG, while the stress field in the region CHJ is found as the solution of mixed boundary problem, determined by the characteristic GH and the known principal directions along the axis of symmetry QJ. The discontinuity line EHJ is assumed to coincide with the trajec- tory of the larger principal stress a,. This type of discontinuity is similar to that proposed by J. M. ALEXANDER for the process of extrusion [l]. In the region below this line the principal directions are assumed to coincide with the lines of the polar coordinate system with the centre at the point 0. The stresses in this region are calculated from the equilibrium equations and they nowhere violate the yield criterion.

So, the whole stress field is statically admissible and according to the limit design theorems, gives safe contour of the designed element. The contour shown by dashed line presents another solution to this problem obtained by means of the piece-wise homogeneous stress fields technique [a]. The present solution is more economical and the stress-free contour is smooth.

Another example of plastic design by means of the method of characteristics is the head of a tension member [6] . This method can be also used for plastic design of axially symmetric elements. In Fig. 2a a statically admissible stress field is shown, which has been constructed in order to estimate a safe height of a flat head of a rivet (or a screw). This estimation has been based on the assumption that the tensile uniaxial stresses in a shank of the rivet reach the maximum value 2k.

The construction of the stress field starts from the point A in the vicinity of which the state of stress has been assumed to be as shown in Fig. 2b. The stress field in the region ABC is obtained as the solution of a sequence of boundary value problems. They are subsequently : mixed boundary problems determined by data along characteristic of the family and known principal directions on the contact surface AC (which is assumed to be smooth),

Fig. 1 Fig. 2


and inverse Cauchy problems determined by the data on the characteristics of the LY family. These problems consist in finding the shape of a discontinuity line A B above which the state of stress is that of biaxial isotropic compression of the magnitude 2k. Below another discontinuity line BC there exists a stress field whose principal directions are respectively: parallel and perpendicular to the axis of symmetry. The principal stress in vertical direction is equal to 2k. The other principal stress and the shape of discontinuity line BC has been computed from equilibrium conditions on BC. A safe estimation of the height of the head which result,s from presented stress field is h = 1.59r.

References

1 ALEXAXDER, J. M., On Complete Solutions for Frictionless Extrusion in Plane Strain, Q. Appl. Math. 19 (1901), pp. 31-37. 2 HILL, R., The mathematical Theory of Plasticity. Oxford at the Clarendon Press 1966. 3 SZCZEPIB~KI, W., Introduction to the Mechanics of Plastic Forming of Metals. PWN, Sijthoff & Noordhoff 1979. 4 SZCZEPIRSKI, W., Limit analysis and plwtio de~ign of structural elements of complex shape. Progress in Aerospace Sciences 12,

6 SZCZEPIRSEI, W.; SZLA~OWSKI, J., On plastic deaign of complex machine parts, Int. J. mech. Sci. 18 (1976), pp. 366-373. 6 ZOWCZAH, W., Design of structural elements by means of continuous statically admissible stress fields (in Pohsh), Mech. Teoret.

Addm8.3: WZODZIMIERZ ZOWCZICE, ul. ZWM 8 m F 4 , Warszawa, Poland

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Sektion Elasto- und Plastomechanik