Sensitivitätsanalyse

OPERATIONS RESEARCH

Marc Schwärzli HS 2012

• Die Sensitivitätsanalyse ist eine postoptimale Rechnung, die den Einfluss sich ändernder Parameter auf eine bereits bestehende Lösung untersucht.

• Folgende Situationen erfordern keine Neuberechnung:– Ein oder mehrere Koeffizienten der Zielfunktion

ändern sich.– Eine oder mehrere rechte Seite(n) in den

Restriktionen werden korrigiert.

Die Sensitivitätsanalyse

• Ausgangspunkt ist die letzte Simplextabelle.• Eine qualitative Änderung bedeutet die

Menge der Basisvariablen bleibt nicht gleich.• Bei einem qualitativ gleichen Ergebnis können

sich jedoch die Werte der Basisvariablen und damit der Zielwert ändern.(Zum Beispiel die Artikel bleiben dieselben aber die

Stückzahl änder sich.)

Die Sensitivitätsanalyse

Opportunitätskosten oder SchattenpreiseX1 X2 X3 X4 S1 S2 S3 r.S.

Z 0 0 -2 -2 -3 -2 0 -32

X1 1 0 1 1 1 1 0 8

X2 0 1 0 1 0 -1 0 8S3 0 0 2 0 0 1 1 6

Lösung: (8,8,0,0,0,0,6) und Zmax =32

• Die Koeffizienten der der Schlupfvariablen (S1, S2, S3) der optimalen Lösung in Z heißen Opportunitätskosten oder Schattenpreise.

• Darstellung erfolgt mit:• (Vorzeichen in Z sind umgekehrt)

,31 ,22 03

• Beispiel: X1 ändert sich von 3 auf 3 + t1.

• Für welche Werte von t1 bleibt die Optimallösung gleich?

Änderungen der Koeffizienten in der Zielfunktion.

Dazu wird der entsprechende Koeffizient in Z um t vermehrt und das t-Fache der 1. Zeile (X1 Zeile) von

der Z-Zeile abgezogen.

(I) Z = 3x1 + x2 + x3 +2x4 max

Änderungen der Koeffizienten in der Zielfunktion.

X1 X2 X3 X4 S1 S2 S3 r.S.

Z 0+t1 0 -2 -2 -3 -2 0 -32

X1 1 t1 0 t1 1 t1 1 t1 1 t1 1 t1 0 t1 8 t1

X2

S3

0 0 -2-t1 -2-t1 -3-t1 -2-t1 0 32-8t1

Damit das Ergebnis weiterhin Maximal bleibt, dürfen die neuen Zielfunktionskoeffizienten nicht

positiv sein. (Optimalitätsbedingung)

Änderungen der Koeffizienten in der Zielfunktion

X1 X2 X3 X4 S1 S2 S3 r.S.Z 0+t1 0 -2 -2 -3 -2 0 -32X1 1 t1 0 t1 1 t1 1 t1 1 t1 1 t1 0 t1 8 t1

X2

S3

0 0 -2-t1 -2-t1 -3-t1 -2-t1 0 -32-8t1

Kleiner 0 setzen: vereinfachen:X3 -2-t1<=0 -2<=t1

X4 -2-t1<=0 -2<=t1

S1 -3-t1<=0 -3<=t1

S2 -2-t1<=0 -2<=t1

t1 muss folglich größer gleich als -2 sein -- die Probe kann durch Einsetzen erfolgen.

• Ändert sich X1 von 3 auf 3 + t1 (mit t1 > -2) bleibt die ursprüngliche Optimallösung (8,8,0,0,0,0,6) erhalten.

• Der neue maximale Zielwert lautet Zmax,neu= -1 mal (-32-8t1) = 32+8t1

Änderungen der Koeffizienten in der Zielfunktion

Für alle t1 > -2 gilt das Optimalitätskriterium, somit gibt es einen neuen max. Zielwert.

Der Zielwert ändert sich nur, wenn der geänderte Koeffizient, so wie in diesem Beispiel, in der Optimallösung Basisvariable ist.

• Betrifft eine Kapazitätsausweitung eine Restriktion die nicht ausgeschöpft worden ist (Die zugehörige Schlupfvariable ist dann Basisvariable mit positiven Wert.) so ändert sich weder die Optimallösung noch der Optimalwert.

• Betrifft eine Kapazitätseinschränkung eine Restriktion die nicht ausgeschöpft worden ist so kommt es nur zu einer Änderung als die Einschränkung höher ist als die überschüssigen Kapazitäten.

• Werden die rechten Seiten von ausgeschöpften Restriktionen verändert, so kommt es jedenfalls zu einer Änderung der optimalen Lösung und des Zielwertes.

Änderungen in den rechten Seiten

• (II) X1 - X2 + X3 + 2X4 16 X2 +X4 8 X2+2X3 +X4 8

Änderungen in den rechten Seiten

Beispiel: Die Restriktion 16 wird auf 16 + C1 geändert.

X1 X2 X3 X4 S1 S2 S3 r.S.

Z 0 0 -2 -2 -3 -2 0 -32

X1 1 0 1 1 1 1 0 8

X2 0 1 0 1 0 -1 0 8

S3 0 0 2 0 0 1 1 6

• Der erste Vektor entspricht der rechten Seite des Schlusstableaus.

Änderungen in den rechten SeitenDie Optimallösung ändert sich dann qualitativ nicht:

0

0

0

0

0

1

6

8

8

1C

+C1 da Restriktion, sonst - C1

• Der ersten Restriktion wird grundsätzlich im Starttableau die Schlupfvariable S1 zugewiesen. Zu dieser Schlupfvariablen gehört der erste Einheitsvektor von links des Schlusstableaus. (Zu S2 der zweite und so weiter.)

• Dieser Einheitsvektor ist mit C1 zu multiplizieren.

Änderungen in den rechten SeitenDie Optimallösung ändert sich dann qualitativ nicht:

0

0

0

0

0

1

6

8

8

1C

• Folglich muss C1 größer -8 sein.

Änderungen in den rechten SeitenDie zugehörigen Elemente müssen die Nichtnegativbedingung erfüllen (Punkt (III) der Angabe):

0

0

0

0

0

1

6

8

8

1C

größer 0 setzen: vereinfachen:

1 8 + 1 C1 >=0 -8 <= C1

2 8 + 0 C1 >=0 8 >= 0

3 6 + 0 C1>=0 6 >= 0

• Für C1 >= -8 lautet die neue Optimallösung (8 + C1 ,8,0,0,0,6).

• Für den Optimalwert werden die Schattenpreise herangezogen:

Interpretation des Ergebnisses

EndtableauX1 X2 X3 X4 S1 S2 S3 r.S.

Z 0 0 -2 -2 -3 -2 0 -32X1 1 0 1 1 1 1 0 8X2 0 1 0 1 0 -1 0 8S3 0 0 2 0 0 1 1 6

31 Der ersten Restriktion ist S1 zugeordnet, der Schattenpreis ist

also

• Schattenpreis bedeutet, ein Unternehmen wäre zu einer Kapazitätserweiterung bereit, wenn es je Einheit der Vergrößerung höchstens Geldeinheiten aufzuwenden hätte.

• Zmax, neu = Zmax, alt + C1 = 32 + 3C1

Interpretation des Ergebnisses

31

1