skript 10 02 2017 gitterschwingungen longitudinal.pdf ... · Exp. Phys. 5, WS16/17 Denninger skript_10_02_2017 ... 105 110 115 120 125 130. B Aluminium C Blei D Edelstahl E Kupfer

Exp. Phys. 5, WS16/17 Denninger skript_10_02_2017 Dies ist die Sammlung des Materials von Freitag, 03.02. bis Freitag 10.02.2017. Inhalt:

1. gitterschwingungen_longitudinal.pdf Seite 2 Akustische Phononen, nächste und übernächste Nachbar WW

2. spezifische_waerme.pdf Seite 6 Experiment mit der Wärmebildkamera

3. einstein_modell.pdf Seite 12 Einstein Modell der spezifischen Wärme

4. debye_int.pdf Seite 15 Debye Modell der spezifischen Wärme

5. waermeleitfaehigkeit_02.pdf Seite 20 Herleitung der mittleren freien Weglänge

6. waermeleitfaehigkeit.pdf Seite 24 Diffusionsgleichung, Wiedemann-Franz'sches Gesetz

7. waermeleitung.pfd Seite 28 Numerische Lösungen der Diffusionsgleichung

gd2

Schreibmaschinentext

Seite 1

GAWD's MATLAB Analysen

'gitterschwingungen_longitudinal.docx' 01.02.2017 GAWD

1

Longitudinale Gitterschwingungen Diese Ausarbeitung lehnt sich an die Darstellung im Kap. 5.2.2 im Gross/Marx an. Die "Federkonstanten" für die Kopplung an die Nachbaratome werden mit D1, D2, etc. bezeichnet. D1: Kopplung an die nächsten Nachbarn D2: Kopplung an die übernächsten Nachbarn etc. Man betrachtet die Auslenkungen der äquivalenten Netzebenen; diese werden mit un(t) bezeichnet.

j

njnjn uuDut

M )(2

2

, summiert wird über alle relevanten Nachbarn.

Mit einem (diskreten) Wellenansatz lässt sich dieses partielle DGL-System lösen.

)( )(exp taqjiAu jn

j

j aqjiDM ))exp(1(2 Da D-j = Dj (Die Kopplung ist symmetrisch!)

)cos(1(2

1

2 aqjDM j

j

Berücksichtigt man nur die Wechselwirkung mit den nächsten und übernächsten Nachbarn, erhält man:

)()( )2cos(12)cos(12 212 qaMDqa

MD

Nq=2000; a=1.0; deltq=pi/a/Nq; q=[0:deltq:(Nq-1)*deltq]; M=1.0; D1=1.0; D2=0.0; omega1sq=2*D1/M*(1-cos(q*a)); omega2sq=2*D2/M*(1-cos(2*q*a)); OMEGA_1_0=sqrt(omega1sq+omega2sq);

gd2


Seite 2



2

plot(q/(pi*a),OMEGA_1_0,'r-','Linewidth',3);axis([0 1 0 2.5]);xlabel('q /(pi*a)');ylabel('OMEGA');title('D1=1, D2=0');

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.5

1

1.5

2

2.5

q /(pi*a)

OM

EG

A

D1=1, D2=0

M=1.0; D1=1.0; D2=0.5; omega1sq=2*D1/M*(1-cos(q*a)); omega2sq=2*D2/M*(1-cos(2*q*a)); OMEGA_1_05=sqrt(omega1sq+omega2sq); plot(q/(pi*a),OMEGA_1_05,'b-','Linewidth',3);axis([0 1 0 2.5]);xlabel('q /(pi*a)');ylabel('OMEGA');title('D1=1, D2=0.5');

gd2


Seite 3



3

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.5

1

1.5

2

2.5

q /(pi*a)

OM

EG

A

D1=1, D2=0.5

plot(q/(pi*a),OMEGA_1_0,'r-',q/(pi*a),OMEGA_1_05,'b- ','Linewidth',3);axis([0 1 0 2.5]);xlabel('q /(pi*a)');ylabel('OMEGA');title('D1=1, D2= 0 und 0.5');

gd2


Seite 4



4

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.5

1

1.5

2

2.5

q /(pi*a)

OM

EG

A

D1=1, D2= 0 und 0.5

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Seite 5

spezifische_waerme.jn

gd2


spezifische_waerme.jnt

gd2


Seite 6

gd2


Seite 7

0 2 4 6 8 1050

55

60

65

70

75

80

85

90

95

100

105

110

115

120

125

130 B Aluminium C Blei D Edelstahl E Kupfer

Te

mp

era

tur

(°C

)

Zeit (min)messung_04.opj

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 243035404550556065707580859095

100105110115120125130

B Aluminium C Blei D Edelstahl E Kupfer

Te

mp

era

tur

(°C

)

Zeit (min)messung_04.opj

gd2


Seite 8

0 5 10 15 20

40

60

80

100

120

140

messung_04.opj

Aluminium

Datafile: 'alu.dat' Fri Jun 12 21:45:05 2009

Formel1=p0*exp(-x/p1)+p2

P0=83.3873 R0= 0.01P1=9.32833 R1= 0.01P2=34.5133 R2= 0.01

Fehlerquadratsumme= 21.6543

T (

°C)

Zeit (min)

0 5 10 15 2020

40

60

80

100

120

messung_04.opj

Datafile: 'blei.dat' Tue Jun 16 08:54:32 2009


P0=71.3547 R0= 0.01P1=6.00543 R1= 0.01P2=36.0028 R2= 0.01


Blei

Tem

pera

tur

(°C

)

Zeit (min)

gd2


Seite 9

0 5 10 15 20

50

60

70

80

90

100

110

120

130

messung_04.opj

Datafile: 'edelstahl.dat' Fri Jun 12 21:45:57 2009


P0=77.0349 R0= 0.01P1=14.642 R1= 0.01P2=39.6208 R2= 0.01


Te

mp

era

tur

(°C

)

Zeit (min)

Edelstahl

0 5 10 15 20

50

60

70

80

90

100

110

120

130

messung_04.opj

Te

mp

era

tur

(°C

)

Zeit (min)

Kupfer

Datafile: 'kupfer.dat' Fri Jun 12 21:46:43 2009


P0=77.105 R0= 0.01

P1=12.7483 R1= 0.01

P2=39.2176 R2= 0.01


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Seite 10

gd2


Seite 11

'einstein_modell.docx'

1

Einstein Modell der Gitterschwingungen Der harmonische Oszillator spielt auch in der Festkörperphysik eine wichtige Rolle. Dies liegt unter anderem an: 1. Die quantenmechnischen Lösungen sind analytisch bekannt und haben eine einfache Struktur. 2. Das elektromagnetische Feld lässt sich im Modell harmonischer Oszillatoren leicht quantisieren und dann auch lösen. Die quantenmechnischen Lösungen des EM-Feldes nennt man Photonen. Für die Gitterschwingungen im Festkörper kann man im Rahmen der harmonischen Näherung des Bindungspotentials zwischen den Bausteinen den quantenmechnaischen harmonischen Oszillator erfolgreich einsetzen. Einstein hat folgendes Modell im Jahre 1907 vorgestellt: Alle 3N-Eigenschwingungen haben die gleiche Frequenz:

)(3)( END Die Frequenz E nennt man: Einsteinfrequenz. Die Besetzung der Schwingungsmoden wird über die Bose-Einstein-Statistik bestimmt:

1( )

exp( ) 1U D d

kT

E

13

exp( ) 1E

U N

kT

Für hohe Temperaturen ( kT >> ħE ) gilt:

EE

3 3kT

U N N kT

Für niedrige Temperaturen ( kT << ħE ) gilt:

E3 exp( )EU NkT

gd2


Seite 12


2

2E

2

exp( )3

kT exp( ) 1

E

E

U kTNkT

kT

Setzt man E

kTx

, dann ist die Wärmekapazität:

22

1exp( )13

1exp( ) 1

U xNk

xTx

Np=1000; deltx=4/Np; x=[deltx:deltx:Np*deltx]; oneoverx=1./x; cv= oneoverx.^2.*exp(oneoverx)./(exp(oneoverx)-1).^2;

plot(x,cv,'Linewidth',3);xlabel('T/TE');ylabel('Cmol/(3R)');title('Einstein-Model');

gd2


Seite 13


3

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

T/TE

Cm

ol/(

3R)

Einstein-Model

gd2


Seite 14

debye_int.jnt

gd2


Seite 15

NT = 600;Temp = linspace(1,600,NT);

theta = 343;

for j1=1:NT;arg=theta/Temp(j1);wert=quad(@debye_int,1e-15,arg);wert=wert/arg^3;cv(j1)=wert*3;end

function wert=debye_int(y)wert=exp(y).*y.^4./(exp(y)-1).^2;

gd2


Seite 16

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Seite 17

gd2


Seite 18

gd2


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waermeleitfaehigkeit_02

gd2


Seite 20

gd2


Seite 21

gd2


Seite 22

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Seite 23

waermeleitfaehigkeit.jn

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Seite 24

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gd2


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GAWD's scibits

'waermeleitung.doc' 30.06.2009

1

Wärmeleitungsgleichung Wärmeleitung entlang eines Stabes kann als eindimensionales Problem behandelt werden. Die Konstante Dw bestimmt die Wärmeausbreitung.

2

2w

T TD

t x

Die Größe Dw ist durch die Wärmeleitung, die spezifische Wärme und die Dichte gegeben:

ws

D c

ist die Wärmeleitfähigkeit (in W/K/m) , cs die spezifische Wärme (in Ws/K/kg) und die Dichte (in kg/m3). Die Größe Dw hat dann die Einheit m2/s. Dw=1e-5; Ntime=100000; Nx=512; L=1.0; Für ganz kurze Zeiten zeigt sich das Anregungsprofil: tges=0.001; tic;[x,T]=waermeleitung(Dw,tges,Ntime,L,Nx);toc; plot(x,T,'r-','Linewidth',3);axis([0.48,0.52, 0 1.1]); Elapsed time is 5.197328 seconds.

gd2


Seite 28

GAWD's scibits


2

0.48 0.485 0.49 0.495 0.5 0.505 0.51 0.515 0.520

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Die Anregung wird auf 3 Punkte in x-Richtung gleichmäßig verteilt. D.h., die Temperatur wird an 3 Punkten der x-Achse auf 1 gesetzt. Man beachte die stark gespreizte x-Achse. tges=1000; [x,T]=waermeleitung(Dw,tges,Ntime,L,Nx); plot(x,T,'r-','Linewidth',3);

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Seite 29

GAWD's scibits


3

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0.014

0.016

0.018

Temperaturverteilung nach tges = 1000 s, Dw=1e-5m2/s. x-Achse in m, y-Achse: rel.Temperatur. Im Bereich tges = 0.001 s bis tges = 1000 s schauen wir uns jetzt die Temperaturprofile genauer an: tges=0.1; [x,T1]=waermeleitung(Dw,tges,Ntime,L,Nx);

tges=1; [x,T2]=waermeleitung(Dw,tges,Ntime,L,Nx); tges=10; [x,T3]=waermeleitung(Dw,tges,Ntime,L,Nx); tges=100; [x,T4]=waermeleitung(Dw,tges,Ntime,L,Nx); tges=1000; [x,T5]=waermeleitung(Dw,tges,Ntime,L,Nx); plot(x,T2,x,T3,x,T4,x,T5,'Linewidth',3);axis([0 1 0 0.1]);

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GAWD's scibits


4

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

1s, 10 s, 100s, 1000s Dw= 1e-5 Insgesamt ergibt sich folgendes Bild: Das Profil der Temperaturverteilung ist ein Gaußprofil. Die Breite dieses Profils nimmt proportional zur Wurzel aus der Zeit zu. Solange die Ränder des Stabes noch nicht in die Temperaturverteilung eingehen, bestimmt die Wärmeleitungsgleichung die Verteilung, ohne daß die Randwerte einen Einfluß haben. Erst wenn die Temperaturverteilung nennenswert die Ränder "berührt", gehen die Randwerte in das Problem ein. tges=4000; tic;[x,T5]=waermeleitung(Dw,tges,Ntime,L,Nx);toc Elapsed time is 4.754262 seconds. plot(x,T5,'r-','Linewidth',3);

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GAWD's scibits


5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

1

2

3

4

5

6

7

8

9x 10

-3

Für tges=4000s ist der Einfluß der Ränder ganz deutlich. Dort wird die Temperatur T auf 0 gehalten. Physikalisch haben wir bisher die Situation betrachtet, welche durch einen kurzen Wärmeimpuls in der Mitte des Stabes die Wärmeausbreitung ausgelöst. in dieser Rechnung wird das dadurch realisiert, daß als Anfangsbedingung die Temperatur an z.B. 3 Punkten in der Mitte des Stabes auf T = 1 gesetzt werden. Die Funktion waermeleitung.m function [x,T]=waermeleitung(Dw,tges,Ntime,laenge,Nx) dt=tges/Ntime; dx=laenge/Nx; T=zeros(1,Nx); T(Nx/2+1)=1; %% Man setzt die drei innersten Punkte auf 1 T(Nx/2)=1; T(Nx/2+2)=1; fact=zeros(1,Nx); x=[0:dx:laenge-dx]; scale=dt/(dx*dx); for j1=1:Ntime;

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GAWD's scibits


6

for j2=2:Nx-1; fact(j2) = Dw*(T(j2+1)+T(j2-1)-2*T(j2)); end for j2=2:Nx-1; T(j2)=T(j2)+ fact(j2)*scale; end end

Experimentell einfacher zu realisieren ist die Situation, in welcher man ein Ende des Stabes durch Ankopplung an eine Wärmequelle permanent auf der Temperatur T = 1 hält. Dazu modifiert man einfach die Funktion 'waermeleitung.m' entsprechend. … T=zeros(1,Nx); T(1)=1; %% Man setzt den ersten Punkt auf 1 … Da der erste Punkt nicht von der DGL-Lösung verändert wird, hat man jetzt die korrekten Randbedingungen für das einseitige Heizen. tges=1; tic;[x,T1]=waermeleitung(Dw,tges,Ntime,L,Nx);toc Elapsed time is 5.082560 seconds. plot(x,T1,'r-','Linewidth',3);

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GAWD's scibits


7

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Nach 1 sec ist die "Wärme" noch nicht sehr weit gekommen! plot(x,T1,'r-','Linewidth',3);axis([0 0.05 0 1]);

gd2


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GAWD's scibits


8

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.050

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Das Profil sieht nur vordergründig wie eine abfallende exp-Funktion aus. Tatsächlich fällt die Funktion aber genügend weit vom linken Rand wie eine Gauß-Funktion ab! tges=10; tic;[x,T2]=waermeleitung(Dw,tges,Ntime,L,Nx);toc plot(x,T2,'r-','Linewidth',3);axis([0 0.2 0 1]); Elapsed time is 5.320651 seconds.

gd2


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GAWD's scibits


9

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

tges=10 s. tges=100; tic;[x,T3]=waermeleitung(Dw,tges,Ntime,L,Nx);toc Elapsed time is 4.748692 seconds. tges=1000; tic;[x,T4]=waermeleitung(Dw,tges,Ntime,L,Nx);toc Elapsed time is 4.571436 seconds. tges=10000; tic;[x,T5]=waermeleitung(Dw,tges,Ntime,L,Nx);toc Elapsed time is 4.552340 seconds. plot(x,T2,'k-',x,T3,'g-',x,T4,'b-',x,T5,'r','Linewidth',3);axis([0 1 0 1]);

gd2


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GAWD's scibits


10

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Temperaturverteilungen zu tges=10s, 100s, 1000s,10000s. Für tges=10000 ist dann der Einfluß des Stabendes deutlich zu sehen. Dies wird in der Simulation auf T=0 gehalten. Quantitativ kann man z.B. die Breite der Verteilung bei halber Höhe auswerten: Man rechnet z.B. mit einer festen Zeit von 1000 s = 16.66 min, und sieht sich die Änderungen mit Dw an. tges=1000; Dw=1e-7; tic;[x,T1]=waermeleitung(Dw,tges,Ntime,L,Nx);toc Elapsed time is 5.304222 seconds. Dw=1e-6; tic;[x,T2]=waermeleitung(Dw,tges,Ntime,L,Nx);toc Elapsed time is 4.818799 seconds. Dw=1e-5; tic;[x,T3]=waermeleitung(Dw,tges,Ntime,L,Nx);toc Elapsed time is 4.649451 seconds. Dw=1e-4; tic;[x,T4]=waermeleitung(Dw,tges,Ntime,L,Nx);toc

gd2


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GAWD's scibits


11

Elapsed time is 4.638273 seconds. plot(x,T1,'k-',x,T2,'g-',x,T3,'b-',x,T4,'r-','Linewidth',3);

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

tges=1000s, Dw=1e-7, Dw=1e-6, Dw=1e-5, Dw=1e-4, jeweils in m2/s. plot(logDw,log10(width),'ro-');axis([-7.2 -2.8 -2.1 -0.1]);

gd2


Seite 38

GAWD's scibits


12

-7 -6.5 -6 -5.5 -5 -4.5 -4 -3.5 -3

-2

-1.8

-1.6

-1.4

-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

log10(Halbwertsbreite) gegen log10(Dw). Die Steigung beträgt gerade ½, d.h. die Halbwertsbreite skaliert mit der Wurzel aus Dw.

gd2


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