Sk r i ptzurVor l esung Fuzzy Cont r oli m Wi nt er semest er2011/ 2012 Ch. Ament Technische Universit tI lmenau I nst it utfr Aut omat isierungs-und Syst emt echnik FachgebietSyst emanalyse www.t u- ilmenau.de/ syst emanalyseSt and: 08.10.2011 Vorlesung Fuzzy Cont rolSeit e 0- 1 Prof. Dr.- I ng. Ch. Ament Gliederung und Lit erat ur I nst it utfr Aut omat isierungs-und Syst emt echnikGl i eder ung Li t er at ur................................................................................................................. 2 1 Ei nl ei t ung ...................................................................................................... 1- 12 Gr undl agen derFuzzy- Mengen und Fuzzy- Logi k........................................... 2- 12.1 Fuzzy- Mengen ......................................................................................... 2- 12.2 Logische Fuzzy- Operat oren ....................................................................... 2- 12.3 Zugehrigkeit sfunkt ionen ....................................................................... 2- 102.4 Fuzzy- I nt ervallen und - Zahlen ................................................................. 2- 122.5 Fuzzy- Syst eme ...................................................................................... 2- 153 Model l bi l dung ................................................................................................ 3- 13.1 Modellbildung auf Basis von Expert enwissen ............................................... 3- 13.2 Modellbildung auf Basis von Messdat en ...................................................... 3- 63.3 Modellbildung fr dynamische Syst eme .................................................... 3- 154 Fuzzy- Regel ungen ......................................................................................... 4- 14.1 St euerung mitinversem St reckenmodell ..................................................... 4- 24.2 I nt ernal Model Cont rol .............................................................................. 4- 34.3 Model Predict ive Cont rol ( MPC).................................................................. 4- 54.4 Direkt e Opt imierung des geschlossenen Kreises ........................................... 4- 64.5 Fuzzy- Adapt ion klassischer Regelungen ...................................................... 4- 75 Kl assi f i k at i on und Di agnose mi tFuzzy- Syst emen ......................................... 5- 15.1 Klassifikat ion ohne Referenz ...................................................................... 5- 25.2 Klassifikat ion mitReferenz ........................................................................ 5- 45.3 Diagnose mitFuzzy- Syst emen ................................................................... 5- 56 Anw endungen von Fuzzy- Syst emen .............................................................. 6- 1 Vorlesung Fuzzy Cont rolSeit e 0- 2 Prof. Dr.- I ng. Ch. Ament Gliederung und Lit erat ur I nst it utfr Aut omat isierungs-und Syst emt echnikLi t er at ur Fuzzy- Syst eme -Koch M., Kuhn Th., Wernst edtJ.:Fuzzy Cont rol Opt imale Nachbildung und Ent wurf opt imaler Ent scheidungen, Oldenbourg, Mnchen, 1996. -Kiendl H.:Fuzzy Cont rol met hodenorient iert , Oldenbourg, Mnchen 1997. -Biewer B.:Fuzzy Met hoden Praxisrelevant e Rechenmodelle und Fuzzy- Programmiersprachen, Springer, Berlin 1997. I SBN:978- 3- 540- 61943- 7, 99,95 -Ross T.J.:Fuzzy logic wit h engineering applicat ions, 2nd edit ion, Wiley, 2004. I SBN:978- 0- 470- 86075- 5, 62,90 -Jaanineh G., Maij ohann M.:Fuzzy- Logik und Fuzzy- Cont rol, Vogel, 1996. I SBN:3- 8023- 1535- 9 Fuzzy-und Neur o- Syst eme -Adamy J.:Fuzzy Logik, Neuronale Net ze und Evolut ionre Algorit hmen Shaker Verlag, Aachen 2005. I SBN:978- 3- 8322- 4461- 3, 15 -BorgeltCh., Klawonn F., Kruse R., Nauck D.:Neuro- Fuzzy- Syst eme Von den Grundlagen knst licher Neuronaler Net ze zur Kopplung mitFuzzy- Syst emen, 3. Auflage, Vieweg, Wiesbaden, 2003. I SBN:978- 3- 528- 25265- 6, 29,90 -Zilouchian A., Jamshidi M.:I nt elligentCont rol Syst ems Using SoftComput ing Met hodologies, CRC Press, Boca Rat on, 2001. I SBN- 10:0849318750, $ 99,95 -Nguyen H.T., Prasad N.R., Walker C.L., Walker E.A.:A FirstCourse in Fuzzy and Neural Cont rol, 3rd edit ion, Chapman & Hall/ CRC, 2003 I SBN- 10:1584885262, $ 93,95 Vorlesung Fuzzy Cont rolSeit e 1- 1 Prof. Dr.- I ng. Ch. Ament 1. Einfhrung I nst it utfr Aut omat isierungs-und Syst emt echnik1Ei nl ei t ung DieGrundideederunscharfenLogikgeht zurckaufZadeh,derimJahre1965einener-weit ert enMengenbegriffeinfhrt e,welchereineunscharfeMengenzuordnungzulie,und so den Begriff der Fuzzy Logik prgt e. ZuBeginnder1990igerJahreist dieMet hode durchihreAnwendungeninJapanbekannt ge-worden.AufBasisdesKonzept sderFuzzyLogik wurdenSt euerungenundRegelungenfrt echni-scheProzesseent wickelt .FuzzyCont rolerlaubt e es,St euerungenaufBasislinguist ischerBeschrei-bungenzuerst ellen.Esweckt edieHoffnungauf einen einfachen Ent wurfmit geringemmat he-mat ischenAufwand. Fuzzy wurdeeinerseit sein Schlagwort frdasProdukt market ingundrief andererseit sSkepsisimwissenschaft lichenBe-reich hervor. Heut ehat sichFuzzyCont rolalseineMet hodederRegelungst echniket abliert ,dieinsbe-sondere dann geeignetist , wenn -dieModellierungderSt reckesehraufwndigist ( z.B.beikomplexenProzessenin einer Klranlange) ,-die Modellierung unmglich ist( z.B. bei medizinischen Syst emen) , -dasWissenbereineSt euerungoderRegelungvoneinemExpert eninRegelnfor-muliertwerden kann. EswurdenMet hodenent wickelt ,dieeinTrainingvonFuzzy- Syst emenauchaufBasisvon Messdat enermglichenundt heoret ischeAnalysen( z.B.hinsicht lichderSt abilit t ) erlau-ben. Vorlesung Fuzzy Cont rolSeit e 1- 2 Prof. Dr.- I ng. Ch. Ament 1. Einfhrung I nst it utfr Aut omat isierungs-und Syst emt echnikSyst embeschr ei bungen Nebenst ehendemet eorologische Beispielezeigen,dassder Menschdamit vert raut ist ,Pro-zessedurchunscharfeAussagen zubeschreiben.ZahlreicheAus-sagen( nicht mehrweit , wechselndbewlkt ) darinsind unscharf,dennochlassensich sogarWenn- Dann- Regelndamitformulieren.Linguist ischeFor-mulierungensindalsohufig unscharf. Wienachst ehendeTabellezeigt , knnenj enachArt desProzes-sesunt erschiedlicheKonzept e zurBeschreibungundzumEnt -wurfvonSt euerungenundRegelungengenut zt werden.Eint ypischesBeispielist dieUn-t erscheidungineinedet erminist ischebzw.st ochast ischeBeschreibung.Eswirddeut lich, dassFuzzy- Konzept eeineweit ereBeschreibungsformdarst ellen,dienicht mit st ochast i-schen Konzept en verwechseltwerden drfen. Pr ozessKonzeptzurBeschr ei bung und Ent schei dung sicherDet erminist ische Konzept e unsicherSt ochast ische Konzept e ungenau/ unscharfFuzzy Konzept e unvollst ndigLernende Konzept e Um zu einer Beschreibung t echnischer Syst eme zu gelangen, knnen verschiedene Anst ze verfolgt werden.DieWahlist meist davonabhngig,welcheI nformat ionenberdasSys-t em als Ausgangspunkteiner Modellbildung zur Verfgung st ehen:-Gl ei chungen: St ehenphysikalischeGleichungenfrdieCharakt erisierungeines Syst emszurVerfgung,fhrt diet heoret ischeModellbildungaufeinSt rukt urmodell ( z.B.alsDifferent ialgleichungen,bert ragungsparamet ern) mit physikalischint er-pret ierbaren Paramet ern. -Messdat en: Messdat enerlaubeneineexperiment elleModellbildung.AlsErgebnis st ehennicht - paramet rischeModelle( z.B.einBode- Diagramm) odert abelliert e Funkt ionen( aberaucheint rainiert esNeuronalesNet zoderFuzzy- Syst em) zurVer-fgung. -Ex per t enw i ssen: Dielinguist ischenAussageneinesExpert enlassensichineine regelbasiert e Beschreibung umset zen, z.B. durch ein Fuzzy- Syst em. I n der Praxis knnen diese Met hoden auch kombiniertwerden. Vorlesung Fuzzy Cont rolSeit e 2- 1 Prof. Dr.- I ng. Ch. Ament 2. Grundlagen der Fuzzy- Mengen und Fuzzy- Logik I nst it utfr Aut omat isierungs-und Syst emt echnik2Gr undl agen derFuzzy- Mengen und Fuzzy- Logi k2.1Fuzzy- Mengen I nderkonvent ionellenMengenlehreist einObj ekt aent wederElement einerMengeM, oderesist nicht Element derMenge.DaskanndurcheinenZugehrigkeit sgradM(a)be-schrieben werden, der nur die Wert e 0 oder 1 annimmt :1 ) ( = e a M aM0 ) ( = e a M aMDieerweit ert eMengendefinit ionderFuzzyLogiklsst frdieFuzzy- MengeMauch Zugeh-rigkeit sgrade im kont inuierlichen Wert ebereich zwischen 0 und 1 zu:] 1 , 0 [ ) ( e aMMitdieser Erweit erung lassen sich insbesondere Prozesse, bei denen eine exakt e Klassifika-t ion nichtmglichist , vort eilhaftbeschreiben,wie das folgendeBeispiel zeigt :Zur Realisie-rung einer Fllst andsregelung wird die Regeldifferenz in die drei diskret en Ereignissezu niedrig okay zu hoch einget eilt .I mSinnederkonvent ionellenMengenlehrekannderRegeldifferenzdesFll-st ands e nur einer dieser Mengen zugeordnetwerden, z. B.:0 ) ( , 0 ) ( , 1 ) (hoch zu okay niedrig zu= = = e e e I staber beispielsweisedie vorgegebene Sollhhe nichtganz erreicht , erlaubtdieerweit ert e Definit ion der Fuzzy- Mengen folgende Beschreibung:0 ) ( , 5 , 0 ) ( , 5 , 0 ) (hoch zu okay niedrig zu= = = e e e 2.2Logi sche Fuzzy- Oper at or en SiedienenderVerknpfungvonMengenzuordnungenundwerdenbeispielsweisebent igt , ummehrereMessgrenzuverbindenoderumWenn- Dann- AussageneinerRegelbasiszu formulieren. Fuzzy- Operat orenwerdenalsErweit erungderausderklassischenLogikbekannt enBoole-schen Operat oren definiert . -Die binren Zugehrigkeit sgrade =0 bzw. =1 werden aus Sichtdes Fuzzy- Logic auchals crisp ( = hart ) bezeichnet .FrdiesesollensichFuzzy- undBoolesche Operat oren gleich verhalt en.-Frdiedazwischenliegenden fuzzy ( = unscharfen ) Zugehrigkeit sgradesind unt erschiedliche Definit ionen mglich. I mFolgendenwerdenzunchst j eweilszweimglicheDefinit ionenvorgest ellt ,dieauchin derFuzzyLogicToolboxvonMat labimplement iert sind.Weit ereDefinit ionensindaufden Seit en 2- 7 und 2- 8 zusammengefasst . Vorlesung Fuzzy Cont rolSeit e 2- 2 Prof. Dr.- I ng. Ch. Ament 2. Grundlagen der Fuzzy- Mengen und Fuzzy- Logik I nst it utfr Aut omat isierungs-und Syst emt echnik2.2.1Und- Oper at orDiefolgendenzweiDefinit ionenerfllendievorst ehendgenannt enBedingungen,wieaus derTabelleunddenGrafenzuersehenist .VonZadehwurdedieBildungdesMinimums der Zugehrigkeit sgrade als Und- Operat or ( .)vorgeschlagen: Definit ion 1: ) , min(B A B A =. DieseFunkt ionkannauchaufsehrkleinenProzessorenunt erEcht zeit - Bedingungenaus-gewert et werden.Diealt ernat iveDefinit ionberdasProdukt derZugehrigkeit sgradeistimVergleichet wasaufwndiger,biet et aberdenVort eil,dassessichumeineanalyt isch differenzierbareFunkt ionhandelt .DieseEigenschaft mussevt l.frdieOpt imierungvon Fuzzy- Syst emen vorausgeset ztwerden: Definit ion 2:B A B A =. UND- Verknpfung A Definit ion 1 ) , min(B A Definit ion 2 B A 1crisp0000 20100 3 1000 4 1111 5fuzzy0,5000 60,50,50,50,25 70,510,50,5 I ndenalscrispbezeichnet enFllenent sprechendieErgebnissederklassischenLogik,fr fuzzy Wert e sind j e nach Definit ion verschiedene Ergebnisse mglich ( s. Zeile 6) . Die Zeilen der Tabelle ent sprechen den nummeriert en Punkt en in den Grafen: BAB) , min(B A B A =.ABB A B A =.13245671324567Vorlesung Fuzzy Cont rolSeit e 2- 3 Prof. Dr.- I ng. Ch. Ament 2. Grundlagen der Fuzzy- Mengen und Fuzzy- Logik I nst it utfr Aut omat isierungs-und Syst emt echnik2.2.2Oder - Oper at orAnalogesgilt frdenFuzzy- Oder- Operat or( v) : Auchersollfr=0bzw.=1derBil-dungderVereinigungsmengekonvent ionellerMengenent sprechen.Esgibt auchhierzwei hufig verwendet e Definit ionen, die dies erfllen ( siehe auch Tabelle und Grafen) . Der Fuzzy- Oder- Operat or kann durch Maximumbildung ) , max(B A B A =v oder durch die so genannt e algebraische Summe B A B A B A + =v definiert werden.DurchdieseDefinit ionwirdinsbesonderesichergest ellt ,dassderWer-t ebereich der Oder- Verknpfung im Bereich [ 0,1]liegt . ODER-Verknpfung AB Definit ion 1 ) , max(B A Definit ion 2 B A B A +1crisp0000 20111 31011 41111 5fuzzy0,500,50,5 60,50,50,50,75 70,5111 Auchhierhngt dasErgebnisfrfuzzyWert evonderWahlderDefinit ionab( s.Zeile6) . Die Zeilen der Tabelle ent sprechen den nummeriert en Punkt en in den Grafen: AB) , max(B A B A =vABB A B A B A + =v13245671324567Vorlesung Fuzzy Cont rolSeit e 2- 4 Prof. Dr.- I ng. Ch. Ament 2. Grundlagen der Fuzzy- Mengen und Fuzzy- Logik I nst it utfr Aut omat isierungs-und Syst emt echnik2.2.3Negat i on Die Negat ion ( Operat orA )wird durch AA = 1 definiert , was im Einklang mitder konvent ionellen Mengent heorie st eht( siehe Tabelle) . NEGATI ON AA 1crisp01 10 fuzzy0,50,5 Mit denOperat oren Und , Oder sowie Negat ion lassensichnunlogischeVerknpfun-gen zwischen Zugehrigkeit sgraden berechnen. 2.2.4Ver al l gemei ner ung:T-und S- Nor men DieFuzzy- Operat orenwurdenalsErweit erungderklassischenlogischenOperat oreneinge-fhrt .WelcheausderklassischenLogikbekannt enRechengeset zegelt enfrsieundwel-chenicht ?Gibt esdarberhinausnochweit eremglicheDefinit ionenfrFuzzy-Operat oren?Umdieseszusyst emat isieren,werdendieT- undS- Normeingefhrt ,frdie spezielle Geset zmigkeit en gefordertwerden:-DieT- Normcharakt erisiert denallgemeinenUND- Operat or.FrdieVerknpfung der Zugehrigkeit en zu den Mengen A und B schreibtman:] , [B A B AT =. DieWert ebereichederOperandenunddesErgebnissesmssenimI nt ervall[ 0,1]liegen:] 1 , 0 [ ] 1 , 0 [ ] 1 , 0 [ Darinst ellt daskart esischeProdukt x allemglichenVerknpfungenderbeiden Operanden dar. -DieS- Norm( auchalsT- Co- Normbezeichnet ) ist ent sprechendderallgemeineODER- Operat or. Man schreibt :] , [B A B AS =v Auch hier liegen alle Wert ebereiche im I nt ervall [ 0,1] :] 1 , 0 [ ] 1 , 0 [ ] 1 , 0 [ Vorlesung Fuzzy Cont rolSeit e 2- 5 Prof. Dr.- I ng. Ch. Ament 2. Grundlagen der Fuzzy- Mengen und Fuzzy- Logik I nst it utfr Aut omat isierungs-und Syst emt echnikFrT- Normen( unddiekomplement renfrS- Normen) werdenzunchst diefolgenden fnf Geset zmigkeit en gefordert :1. Neut r al es El ementEsgibt einneut ralesElement derVerknpfung.FrdieT- Normist diesdie1,frdieS-Normdie0.EineVerknpfungmit diesemOperandenliefert denselbenWert wiederals Ergebnis:T- NormS- Norm A AT = ] 1 , [A AS = ] 0 , [2. Nul l -bzw . Ei nsel ementEine Verknpfung mitdiesem Elementliefertimmer 0 bzw. 1 als Ergebnis:T- NormS- Norm 0 ] 0 , [ =AT 1 ] 1 , [ =AS 3. Kommut at i vi t tDie Reihenfolge der Operanden kann vert auschtwerden:T- NormS- Norm ] , [ ] , [A B B AT T = ] , [ ] , [A B B AS S =4. Assozi at i vi t tDieReihenfolgederAuswert ung( z.B.durchKlammerungdefiniert ) kannvert auscht wer-den:T- NormS- Norm | | | | ] , [ , ] , , [C B A C B AT T T T = | | | | ] , [ , ] , , [C B A C B AS S S S =5. Monot oni e Eine Ordnungsrelat ion in den Operanden bleibtauch im Ergebnis erhalt en:T- NormS- Norm MitC A sund D B s folgt ] , [ ] , [D C B AT T sMitC A sund D B s folgt ] , [ ] , [D C B AS S s Vorlesung Fuzzy Cont rolSeit e 2- 6 Prof. Dr.- I ng. Ch. Ament 2. Grundlagen der Fuzzy- Mengen und Fuzzy- Logik I nst it utfr Aut omat isierungs-und Syst emt echnikBishergibt eskeineVerbindungzwischenderT- undderS- Norm.Diesekannmanherst el-len, in dem man die Glt igkeitdes folgenden De- Morgan- Geset zes fordert :6. De- Mor gan- Geset ze DieNegat ionderT- Normist gleichderS- Normmit negiert enOperanden.Komplement r istdie Negat ion der S- Norm gleich der T- Norm mitnegat iven Operanden: T- NormS- Norm ] , [ ] , [B A B AS T = ] , [ ] , [B A B AT S =Fazi t :-Diese Forderungen werden alle auch durch die klassischen Logik- Operat oren erfllt .-Ebensokannmanzeigen,dassdieGeset ze1bis5durchdiebeidenbereit sdefi-niert en Fuzzy- Operat oren erflltwerden. Z.B. giltfr Geset z 1 ( Neut rales Element ) :T- NormS- Norm Definit ion 1:A A = ) 1 , min(A A = ) 0 , max(Definit ion 2:A A = 1A A A = + 0 0-DurchdieDe- Morgan- Geset zeent st ehen Paare vonT- undS- Normen.Beispiels-weiselsst sichdieGlt igkeit desDe- Morgan- Geset zesfrdieT- Normunt erVer-wendung der Definit ion 2 wie folgtzeigen:] , [ ] , [ 111 2) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 (] 1 , 1 [ ] , [B A B AB AB A B A B AB A B AB A B AT TS S = = = + + = + = = DieGlt igkeit diesesGeset zesist alsonurinnerhalbeinesDefinit ions- Paaresgege-ben.D.h.esgilt z.B.nicht ,wennmanfrdieT- NormDefinit ion1undfrdieS-Norm Definit ion 2 verwendet . -Acht ung: Nicht alleausderklassischenLogikbekannt enGeset zesindaut omat isch fr die T-und S- Norm erfllt . Fr die Verknpfung mitdem Komplementgilt :T- NormS- Norm im Allgemeinen: 0 ] , [ =A AT im Allgemeinen: 1 ] , [ =A AS -Esgibt eineVielzahlweit erermglicherDefinit ionenfrT- undS- Normen.EineZu-sammenst ellunggibt nachfolgendeTabelle.I neinerZeilest ehenj eweilsPaare komplement rer Definit ionen. Vorlesung Fuzzy Cont rolSeit e 2- 7 Prof. Dr.- I ng. Ch. Ament 2. Grundlagen der Fuzzy- Mengen und Fuzzy- Logik I nst it utfr Aut omat isierungs-und Syst emt echnikT- NormS- Norm Minimum: ) , min(B A B A =. Maximum: ) , max(B A B A =v Algebraische Produkt :B A B A =. Algebraische Summe:B A B A B A + =v Hamacher- Produkt :B A B AB AB A +=. Hamacher- Summe:B AB A B AB A +=v12

0.10.10.1 0.1 0.10.20.20.2 0.2 0.20.30.30.3 0.30.40.40.4 0.40.50.5 0.50.60.6 0.60.70.70.80.9AB0 0.2 0.4 0.6 0.8 100.10.20.30.40.50.60.70.80.910.10.20.30.30.40.40.50.5 0.50.60.60.6 0.60.70.70.7 0.70.80.80.8 0.8 0.80.90.90.9 0.9 0.9AB0 0.2 0.4 0.6 0.8 100.10.20.30.40.50.60.70.80.910.10.10.10.10.20.20.20.20.30.30.30.40.40.40.50.50.60.60.70.80.9AB0 0.2 0.4 0.6 0.8 100.10.20.30.40.50.60.70.80.910.10.20.30.40.40.50.50.60.60.60.70.70.70.80.80.80.80.90.90.90.9AB0 0.2 0.4 0.6 0.8 100.10.20.30.40.50.60.70.80.910.10.10.10.1 0.10.20.20.20.20.30.30.30.40.40.40.50.50.60.60.70.80.9AB0 0.2 0.4 0.6 0.8 100.10.20.30.40.50.60.70.80.910.10.20.30.40.40.50.50.60.60.60.70.70.70.80.80.80.80.90.90.90.90.9AB0 0.2 0.4 0.6 0.8 100.10.20.30.40.50.60.70.80.91Vorlesung Fuzzy Cont rolSeit e 2- 8 Prof. Dr.- I ng. Ch. Ament 2. Grundlagen der Fuzzy- Mengen und Fuzzy- Logik I nst it utfr Aut omat isierungs-und Syst emt echnikT- NormS- Norm Einst ein- Produkt :) 1 ( ) 1 ( 1B AB AB A +=. Einst ein- Summe: B AB AB A ++=v1 Beschrnkt e Differenz:) 1 , 0 max( + =. B A B A Beschrnkt e Summe: ) , 1 min(B A B A + =v 0.10.10.10.10.20.20.20.20.30.30.30.40.40.40.50.50.60.60.70.80.9AB0 0.2 0.4 0.6 0.8 100.10.20.30.40.50.60.70.80.910.10.20.30.40.40.50.50.60.60.60.70.70.70.80.80.80.80.90.90.90.9AB0 0.2 0.4 0.6 0.8 100.10.20.30.40.50.60.70.80.910.10.10.10.10.20.20.20.30.30.30.40.40.40.50.50.60.60.70.80.9AB0 0.2 0.4 0.6 0.8 100.10.20.30.40.50.60.70.80.910.10.20.30.40.40.50.50.60.60.60.70.70.70.80.80.80.90.90.90.9AB0 0.2 0.4 0.6 0.8 100.10.20.30.40.50.60.70.80.91Vorlesung Fuzzy Cont rolSeit e 2- 9 Prof. Dr.- I ng. Ch. Ament 2. Grundlagen der Fuzzy- Mengen und Fuzzy- Logik I nst it utfr Aut omat isierungs-und Syst emt echnik2.2.5I mpl i k at i on AlsI mplikat ionwirddasErgebniseinerlogischenFolgerungverst anden.Einesprachliche I nt erpret at ion istin Form einer Wenn- Dann- Aussage mglich:WENN Prmisse DANN Konklusion DieAussagederFolgerungist ,dassdiePrmissePeinehinreichende( abernicht not wen-dige)Bedingung fr die Konklusion K ist . Formal schreibtman:) ( K P EinBeispiel: DiePrmissePist Esregnet ,dieKonklusionKlaut et DieSt raeist nass . Offenbarist diePrmisseeinehinreichendeBedingungfrdieKonklusion; sieist aberkei-nenot wendigeVorausset zung.( SchlielichkanndieSt raeauchnasssein,weilsiez.B. gereinigt wurde.) DemnachmussdieAussage Esregnet unddieSt raeist nicht nass.falschsein.AlleanderenAussagensindaberwahr.I nsbesondereindenFllen,indenen diePrmissealshinreichendeBedingungnicht erfllt ist ,ist dieGesamt aussagenichtfalsch.Somit ergibt sichdieWahrheit st abellederklassischenLogikent sprechendunt en st ehender Tabelle ( crisp ) . Es kann rasch berprftwerden, dass diese Wahrheit st abelle fr die klassische Logik durch folgenden Term beschrieben werden kann:) ( ) ( K P K P v = Die eingefhrt en Definit ionen erlauben eine Erweit erung fr die Fuzzy- Logik:Definit ion 1: ) , 1 max(K P K P = Definit ion 2:K P P K P K P K P + = + =1 ) 1 ( 1Die Tabelle st elltbeide Definit ionen gegenber:I MPLI KATI ON PK Definit ion 1 ) , 1 max(K P Definit ion 2 K P P + 11crisp0011 20111 31000 41111 5fuzzy0,500.50,5 60,50,50.50,75 70,5111 DieI mplikat ionist vongroerBedeut ung,da siefrdieFormulierungdesExpert enwissens inFuzzy- Expert ensyst emenoderinFuzzy- Reglernverwendet wird( sieheKapit el2, I nfer-enz ) .DiePrmisseist danneineBedingung,dieauslogischenVerknpfungenvonEin-gangsdat enbest immt wird.I nderKonklusionwirddiezugehrigeAkt ionformuliert ,wel-che die Ausgangsgren spezifiziert . Vorlesung Fuzzy Cont rolSeit e 2- 10 Prof. Dr.- I ng. Ch. Ament 2. Grundlagen der Fuzzy- Mengen und Fuzzy- Logik I nst it utfr Aut omat isierungs-und Syst emt echnik2.3Zugehr i gk ei t sf unk t i onen DieZuordnungreellerWert e( beispielsweisevonMesswert enamEingangeinesFuzzy-Syst ems) zuFuzzy- MengenwirddurchZugehrigkeit sfunkt ionendefiniert .Dabeiist der Zugehrigkeit sgrad) (Mu zur Menge M als Funkt ion ber dem Wertu aufget ragen. DaFuzzy- Mengenmeist einesprachlicheI nt erpret at ionbesit zen,werdensiesynonymals linguist ische Wert e bezeichnet . 2.3.1St ck w ei se l i near e Zugehr i gk ei t sf unk t i onen Nachst ehendes Bild zeigthufig verwendet e, st ckweise lineare Zugehrigkeit sfunkt ionen. Die Trapez- Funkt ion ( a)lsstsich durch die 4 Paramet er [ a, b, c, d]eindeut ig beschreiben. DieParamet eraunddbegrenzendenBereich,indemdie0 ) (M> u ist ; dieWert eb,c definierendenBereich,indem1 ) (M= u gilt .DieDreiecks- undRampenfunkt ionenlassen sich auf das Trapez zurckfhren:Funk t i onPar amet erderTr apez- Funk t i on Trapez ( Mat lab Fuzzy Logic Toolbox:trapmf) [ a, b, c, d]Dreieck [ e, f, f, g]Rampe ( links) [ , , h, i]Rampe ( recht s) [ k, l, + , + ] I ndenmeist enprakt ischenAnwendungenwirdaufBasisdieserFunkt ionendieFuzzifizie-rung der Eingangsdat en durchgefhrt( siehe Seit e 2- 16) . uM( u)b)DreieckuM( u)a)TrapezuM( u)c)Rampe( links)uM( u)d)Rampe ( recht s)1 1 1 1abcd efg hi klVorlesung Fuzzy Cont rolSeit e 2- 11 Prof. Dr.- I ng. Ch. Ament 2. Grundlagen der Fuzzy- Mengen und Fuzzy- Logik I nst it utfr Aut omat isierungs-und Syst emt echnik2.3.2Di f f er enzi er bar e Zugehr i gk ei t sf unk t i onen I mVergleichzudenst ckweiselinearenhabendifferenzierbareZugehrigkeit sfunkt ionen denVort eil,dasssieauchinOpt imierungsverfahreneingeset zt werdenknnen,indenen eine Gradient eninformat ion ( also die Ableit ung der Funkt ion)erforderlich ist . Nachfolgende Tabelle zeigthufig verwendet e Zugehrigkeit sfunkt ionen. Gaufunkt ion 222) (M) (om ue u =Mat lab Fuzzy Logic Toolbox:gaussmf ( fr o =2 und m =5) Sigmuidfunkt ion ) (M11) (m u aeu += Mat lab Fuzzy Logic Toolbox:sigmf ( fr a =2 und m =4)Verallgemeinert e Glockenkurvebam uu2M11) (+= Mat lab Fuzzy Logic Toolbox:gbellmf ( fr a =2, b =4 und m =6)2.3.3Ei genschaf t en von Zugehr i gk ei t sf unk t i onen NachfolgendsolleneinigeDefinit ionenfrdieCharakt erisierungvonZugehrigkeit sfunkt io-nen eingefhrtwerden. Tr gerDer Bereich einer Zugehrigkeit sfunkt ion M(u), fr den M(u) > 0 gilt , wird als Trger bezeichnet( siehe nebenst ehendes Bild) . Ker n Der Bereich einer Zugehrigkeit sfunkt ion M(u), fr den M(u) = 1 gilt , wird als Kern bezeichnet( siehe nebenst ehendes Bild) .uM( u)1KernTrgerVorlesung Fuzzy Cont rolSeit e 2- 12 Prof. Dr.- I ng. Ch. Ament 2. Grundlagen der Fuzzy- Mengen und Fuzzy- Logik I nst it utfr Aut omat isierungs-und Syst emt echnikNor mal i si er t e Zugehr i gk ei t sf unk t i on Eine normalisiert e Zugehrigkeit sfunkt ion istso skaliert , dass ihr maximaler Werteins ist :Mit ] 1 , 0 [ ) (Me u exist iertein u mit 1 ) (M= u . Konvex e Zugehr i gk ei t sf unk t i onDieZugehrigkeit sgradest eigenmonot onbiszumMaximumanund fallen dann wieder monot on ab ( siehe Bild) :Mit ] 1 , 0 [ ) (Me u und c b au u u < . 2.4Fuzzy- I nt er val l en und - Zahl enFuzzy- I nt er val lDieDarst ellungeinesunscharfenI nt ervallszeichnet sichdurcheinenWert ebereichaus,in dem der Zugehrigkeit sgrad gleich eins ist :Die Zugehrigkeit sfunkt ion] 1 , 0 [ ) (Me u istnormalisiertund konvex;mitb au u 0und Randbedingungen: = =+ =NiNitt ti iTtt ti iTt u R t u t e Q t e J1 1) ( ) ( ) ( ) ( A A) ( ) ( ) (i i it y t w t e =) ( ) ( ) (1 =i i it u t u t u Amax mi nu u u s smax miny y y s sJ verbessert ?Verwende u( t0)als St ellgrevariiereu( t0) , , u( tN)Opt imierungj aneinSt reckeu yFuzzy-Reglere wFhrungs-greRegel-differenzSt ell-greRegel-greSt rukt ur Paramet erTest signalMessung1234Vorlesung Fuzzy Cont rolSeit e 4- 7 Prof. Dr.- I ng. Ch. Ament 4. Fuzzy- Regelungen I nst it utfr Aut omat isierungs-und Syst emt echnikUmdenFuzzy- ReglerindieserSt rukt urzuent werfen,kanninfolgenderWeisevorgegan-gen werden:1.EswirdeineSt rukt urfrdenFuzzy- Reglergewhlt .Dieskannbeispielsweiseein Fuzzy- PI D- Reglersein,beidemeinI nt egrat orundeinDifferenziereralsext erne Dynamik vorgeschalt etsind ( siehe Bild unt en) . I n der zeit diskret en Darst ellung wird derI nt egrat ordurcheineSummat ion,derDifferenziererdurcheineDifferenzbil-dung approximiert( siehe Bild unt en) . 2.Ein Test signal wird als Fhrungsgre w vorgegeben und regtden Regelkreis an.3.DieRegelgreywirdgemessen,mit derFhrungsgrewverglichenunddurch ein Gt ema J bewert et . 4.Die Paramet er des Reglers werden opt imiert , so dass das Gt ema J minimal wird. 4.5Fuzzy- Adapt i on k l assi scherRegel ungen I nderals Fuzzy- Adapt ionklassischerRegelungen bezeichnet enKonfigurat ionbleibt der St andard- Regelkreiserhalt en,d.h.dassder Regler beispielsweiseeinbest ehenderPI D-Reglerist .UmFunkt ionenzuerweit ern,wirdeinbergeordnet esFuzzy- Syst emergnzt , dast ypischerWeisedurcheinenExpert enent worfenwird( s.Abschnit t 3.1) .AufBasisvon I nformat ionenberdenSt reckenzust andundVorgabenknnenverschiedeneBet riebsflle unt erschiedenwerden( z.B. Hochfahren , I mArbeit spunkt , Herunt erfahren ) ,indenen unt erschiedliche Reglerkonfigurat ionen verwendetwerden. Fuzzy-Syst emeuzeit kont inuier licherFuzzy- PI D- ReglerFuzzy-Syst emez- 1uzeit diskret erFuzzy- PI D- Reglerz- 1St reckeu yReglere wFuzzy- Syst emModifikat ionZust and VorgabenVorlesung Fuzzy Cont rolSeit e 5- 1 Prof. Dr.- I ng. Ch. Ament 5. Klassifikat ion und Diagnose I nst it utfr Aut omat isierungs-und Syst emt echnik5Kl assi f i k at i on und Di agnose mi tFuzzy- Syst emen Diet echnischeDiagnosehat dieAufgabe,Fehlerzust ndeeineslaufendent echnischenPro-zesseszuerkennenundggf.inverschiedeneFehlerart enzuklassifizieren.Dazumssen also aus dem Prozess Messdat en erfasstwerden und daraus Merkmale gebildetwerden, die dann in Fehlerklassen klassifiziertwerden.ZudiesemZwecksollenindiesemKapit elKlassifikat ionsverfahrenvorgest ellt werden.MitHilfederFuzzyLogiklsst sicheineKlassifikat ioninnaheliegenderWeiseformulieren:WerdendieKlassenalsFuzzy- Mengenaufgefasst ,sokanndie( unscharfe) Klassifikat ion eines Merkmals in diese Klassen durch Fuzzy- Zugehrigkeit sgrade erfolgen. WiekannfreinegegebeneAufgabeeingeeignet erFuzzy- Klassifikat orgefundenwerden? Dazu werden zwei Flle unt erschieden: 1.FrdasTrainingeinesKlassifikat orsst eht eineList eausTrainingsdat enzurVerf-gung.DieDat enst zebest ehenauseinemVekt orvonMerkmalenusowiederAn-gabe der Klasse y, in die dieser Fall eingeordnetwerden soll:kMerkmaleKlasse 1u1( 1) u2( 1) um( 1) y( 1)2u1( 2) u2( 2) um( 2) y( 2)Nu1( N) u2( N) um( N) y( N)DieKlassifikat ionsollalsodenZusammenhangzwischenMerkmalenundKlassen wiedergeben.DieseAufgabeist hnlicheinerModellbildungsaufgabeundwirdals Klassifikat ion mitReferenz in Abschnit t5.2 nher bet racht et . 2.St ehenhingegennurMerkmalsvekt orenuundkeinezugehrigenKlassenalsTrai-ningsdat en zur Verfgung, sprichtman von Klassifikat ion ohne Referenz:kMerkmale 1u1( 1) u2( 1) um( 1)2u1( 2) u2( 2) um( 2)Nu1( N) u2( N) um( N)I ndiesemFallist esdasZieldesKlassifikat ionsalgorit hmus,gleichart igeMerkmals-vekt orenuindiegleicheKlasseeinzuordnen,alsoeineGruppierungderMerkmale vorzunehmen.I merst enFallst eht dieVorgabederKlassez.B.durchdieBewert ungeinesExpert enzur Verfgung, whrend dies im zweit en Fall nichtder Fall ist . Vorlesung Fuzzy Cont rolSeit e 5- 2 Prof. Dr.- I ng. Ch. Ament 5. Klassifikat ion und Diagnose I nst it utfr Aut omat isierungs-und Syst emt echnik5.1Kl assi f i k at i on ohne Ref er enz FreinenSat zvonNMerkmalsvekt orensolleineopt imaleZuordnungzucFuzzy- Mengen gefunden werden. Fr eine opt imale Zuordnung mssen zwei not wendige Vorausset zungen erflltsein:1.Jede Klasse wird durch ein Klassenzent rum reprsent iert . Das Klassenzent rum muss im Schwerpunktder zu dieser Klasse gehrigen Merkmale liegen.2.DerZugehrigkeit sgradeinesMerkmalszueinerKlasseist eineFunkt iondesAb-st andszwischenMerkmalundKlassenzent rum.DerZugehrigkeit sgradnimmt mitwachsendemAbst andab.( Z.B.auf= 1normiert ,fallsMerkmalundKlassenzent -rum gleich sind, und =0 in unendlich weit er Ent fernung.) Um eine Klassifikat ion zu erhalt en, gehtder Fuzzy- C- Means- Algorit hmus it erat iv vor:I nit ial werdenfrdieNMerkmalsvekt orenzuflligeZugehrigkeit sgradezudencKlassenfest ge-legt .Nunwirdabwechselndversucht ,diebeidennot wendigenVorausset zungenzuerfl-len,indemzunchst ent sprechendVorausset zung1dasKlassenzent rumindenSchwer-punkt seiner Merkmalegelegt wird.Nunst immenAbst andundZugehrigkeit sgradeent -sprechendVorausset zung2nicht ,daherwerdendieZugehrigkeit sgradederMerkmaleneu berechnet .Jet zt liegendieKlassenzent renabernicht mehrindenSchwerpunkt en( Voraus-set zung1) ,sodassdiesewiederneuberechnet werden,usw.DieI t erat ionwirdbeendet , falls die nderung zwischen zwei Schrit t en einen Schwellwertunt erschreit et . Fuzzy- C- Means- Al gor i t hmus 1.Frj edesMerkmalujmit j = 1,,NwerdendieZugehrigkeit sgradei,jzuden i =1,,c Klassenzent ren zufllig im I nt ervall [ 0, 1]init ialisiert . 2.DieKlassenzent renvimit i =1,,cwerdenindenSchwerpunkt derzugehrigen Merkmale gelegt :( )( )===Njpj ijNjpj iiuv1,1, Darin istp ein Design- Paramet er, der als Fuzzifier oder Kont rast paramet er bezeich-netwird. 3.DieZugehrigkeit sgradei,jallerMerkmalej = 1,,NzuallenKlassenzent ren i =1,,c werden best immt :( ) ( )i jTi jj iv u v u d =2, ( )112,,1=pj ij idg Vorlesung Fuzzy Cont rolSeit e 5- 3 Prof. Dr.- I ng. Ch. Ament 5. Klassifikat ion und Diagnose I nst it utfr Aut omat isierungs-und Syst emt echnik==cij ij ij igg1,,, DereuklidischeAbst andzwischenMerkmalujundKlassenzent rumviimMerkmals-raumist di,j.DarauswirddasGewicht gi,jberechnet undimlet zt enSchrit t zui,jnormiert .4.Der Algorit hmus wird ab Schrit t2 wiederholt , bis die nderungen zum vorherge-henden Schrit teinen vorgegebenen Schwellwertunt erschreit en. Der dargest ellt e Algorit hmus minimiertdas folgende Gt ekrit erium:( )= ==ciNjj ipj id J1 12,, DieFuzzyLogicToolboxinMat labst ellt denFuzzy- C- Means- Algorit hmusalsFunkt ionfcm zurVerfgung.EineDemonst rat ionfrzweidimensionaleMerkmalewirdmit fcmdemoge-st art et . DasnachfolgendeBildzeigt Merkmale( alsnicht - gefllt eKreise) ineinemzweidimensiona-lenMerkmalsraum.EswurdederFuzzy- C- Means- Algorit hmusmit c= 4Klassenzent ren ( gefllt e Kreise)angewendet . EinNacht eildiesesAlgorit hmusist ,dassdieKlassenanzahlcvorgegebenwerdenmuss. Prinzipiellsinnvollist derBereich1 2 s s N c .Esist nuneineSachederAbwgung,ob maneinest arkeReduzierungaufwenigeKlassenodereinedifferenziert eDarst ellungin mehrerenKlassenwnscht .DabeikanndieBet racht ungdesGt ekrit eriumsJinAbhngig-u1u2Vorlesung Fuzzy Cont rolSeit e 5- 4 Prof. Dr.- I ng. Ch. Ament 5. Klassifikat ion und Diagnose I nst it utfr Aut omat isierungs-und Syst emt echnikkeit derKlassenanzahlcunt erst t zen.NachfolgendeGrafikzeigt diesenZusammenhang fr das vorgenannt e Beispiel: Man erkennt , dass bei einer Erhhung von c =2 auf 3 sowie von c =3 auf 4 eine deut liche VerbesserungderKlassifikat ionsgt eerreicht wird,darberfallendieVerbesserunggerin-ger aus. Daher kann c =4 eine sinnvolle Wahl sein.Gust af son- Kessel - Al gor i t hmus DieElement einnerhalbdesMerkmalsvekt orsknnenunt erschiedlichephysikalischeDi-mensionenbesit zenoderunt erschiedlichnormiert sein.SinddieZahlenwert eineinerDi-mensiondesMerkmalsraumswesent lichgreralsineineranderen,wirddieKlassifikat ion imWesent lichennurent langderDimensionmit dengrerenZahlenwert envollzogen.I n diesem Fall kann eine Korrekt ur durch eine Gewicht ungsmat rix Ai ergnztwerden. Der Gust afson- Kessel- Algorit hmus best immteine posit iv definit e Gewicht ungsmat rix ( ) ( ) ( )( )== =Njpj iNjTi j i jpj iiv u v uS1,1, 1) det( =i i iS S A , die in Schrit t3 des vorst ehenden Fuzzy- C- Means- Algorit hmus ergnztwird:( ) ( )i j iTi j j iv u A v u d =2, 5.2Kl assi f i k at i on mi tRef er enz St eht zust zlichzudenMerkmaleneineReferenzfrdieKlassifikat ionzurVerfgung( z.B. durcheinenExpert envorgegeben) ,soist j et zt dieAufgabe,eineModellbildungfrdiesen Klassifikat ionsvorgangdurchzufhren.Somit kannaucheinhnlichesVorgehenwieinKa-pit el 3 gewhltwerden.AlsAusgangdesklassifizierendenFuzzy- Syst emswirdfrj edederi =1,,cKlassenein Zugehrigkeit sgradierwart et .Damit ist eineRckwandlungzueinemreellwert igenAus-gangssignalnicht erforderlich,sodassimVergleichzumFuzzy- Syst eminAbschnit t 2.5.1 2 3 4 5 6 7 8 9 100510152025Anzahl der KassencGtekriterium JVorlesung Fuzzy Cont rolSeit e 5- 5 Prof. Dr.- I ng. Ch. Ament 5. Klassifikat ion und Diagnose I nst it utfr Aut omat isierungs-und Syst emt echnikdieSchrit t ederDefuzzifizierungundAggregat ionent fallenknnen.Nachst ehendesBild zeigtdas verbleibende, zur Klassifikat ion geeignet e Fuzzy- Syst em. DielogischenVerknpfungenimI nferenz- Syst emunddieZugehrigkeit sfunkt ionender FuzzifizierungdiesesSyst emsknnenvoneinemExpert endefiniert werden.LiegenMess-dat envor,kannauchderANFI S- Algorit hmusgenut zt werden,umeinModellausMessda-t en zu t rainieren. 5.3Di agnose mi tFuzzy- Syst emen Nach[ Adamy: FuzzyLogik,NeuronaleNet zeundEvolut ionreAlgorit hmen] kanndiet ech-nische Diagnose in die nachfolgend dargest ellt en Schrit t e gegliedertwerden. FrdieKlassifikat ionderausdemProzessbest immt enResiduen( = Merkmale) knnendie zuvor eingefhrt en Klassifikat ionsmet hoden eingeset ztwerden. u1u2Fuzzif izierung I nf erenzf uzzy Wert e reelle Wert eZf unkt ionenf r u1Zf unkt ionenf r u2Zf unkt ionenf r umumKlasse 1Klasse 2Klasse c12c1(1)1(2)m(1)m(2)ProzessSympt om-generierungResiduen-generierungFehlererken-nung und - analyseAlarmeFehlerartSignale,Dat enSympt ome ResiduenVorlesung Fuzzy Cont rolSeit e 6- 1 Prof. Dr.- I ng. Ch. Ament 6. Anwendung von Fuzzy- Syst emen I nst it utfr Aut omat isierungs-und Syst emt echnik6Anw endungen von Fuzzy- Syst emen Einen gut en berblick gibtdie folgende Verffent lichung in zwei Teilen:-B.- M.Pfeiffer,J.Jkel,A.Kroll,Ch.Kuhn,H.- B.Kunt ze,U.Lehmann,T.Slawinski, V. Tews:Erfolgreiche Anwendungen von Fuzzy Logik und Fuzzy Cont rol ( Teil 1) , Au-t omat isierungst echnik 50 ( 2002) , 10, S. 461471. -B.- M.Pfeiffer,J.Jkel,A.Kroll,Ch.Kuhn,H.- B.Kunt ze,U.Lehmann,T.Slawinski, V. Tews:Erfolgreiche Anwendungen von Fuzzy Logik und Fuzzy Cont rol ( Teil 2) , Au-t omat isierungst echnik 50 ( 2002) , 11, S. 511521.