Skript zur Vorlesung - hakenesch.userweb.mwn.dehakenesch.userweb.mwn.de/thermodynamik/skript_thermo.pdf · Abb. 10-5: Schema einer geschlossenen Gasturbinenanlage, ... Arbeitsprinzip

Skript zur Vorlesung

Technische Thermodynamik

Prof. Dr.-Ing. Peter R. Hakenesch

Version 2.1

Technische Thermodynamik _________________________________________________________________________

ii

Inhaltsverzeichnis I Abbildungsverzeichnis ........................................................................................vi

II Tabellenverzeichnis ...........................................................................................viii

III Nomenklatur .......................................................................................................viii

1 EINFÜHRUNG ......................................................................................................1

1.1 Inhalt und Bedeutung der Thermodynamik .........................................................................1

1.2 Historischer Rückblick...........................................................................................................2

2 GRUNDBEGRIFFE...............................................................................................3

2.1 Physikalische Größen ............................................................................................................3

2.2 Systeme ...................................................................................................................................4 2.2.1 Allgemeines System.............................................................................................................4 2.2.2 Formen von Energieübertragung .........................................................................................4 2.2.3 Unterscheidungsmerkmale von Systemen...........................................................................5 2.2.4 Gleichgewichtssatz...............................................................................................................7

2.3 Zustand, Zustandsgrößen, Zustandsänderungen ..............................................................7

3 SYSTEMBESCHREIBUNG ................................................................................10

3.1 Stoff und Menge ...................................................................................................................10 3.1.1 Volumen..............................................................................................................................10 3.1.2 Stoffmenge .........................................................................................................................10 3.1.3 Mengenströme....................................................................................................................11

3.2 Druck, Temperatur und Energie..........................................................................................13 3.2.1 Druck ..................................................................................................................................13 3.2.2 Temperatur .........................................................................................................................14 3.2.3 Energie ...............................................................................................................................15

4 ZUSTANDSGLEICHUNGEN ..............................................................................16

4.1 Zustandsflächen ...................................................................................................................16

4.2 Festkörper .............................................................................................................................20 4.2.1 Thermische Längendehnung..............................................................................................20 4.2.2 Thermische Flächendehnung.............................................................................................21 4.2.3 Thermische Volumendehnung ...........................................................................................21

4.3 Flüssigkeiten.........................................................................................................................22

4.4 Ideale Gase............................................................................................................................23 4.4.1 Gesetz von Gay-Lussac .....................................................................................................23 4.4.2 Gesetz von Boyle-Mariotte .................................................................................................23 4.4.3 Thermische Zustandsgleichung des idealen Gases ..........................................................24 4.4.4 Gesetz von Avogadro .........................................................................................................27 4.4.5 Mischung idealer Gase.......................................................................................................27


iii

4.5 Reale Gase ............................................................................................................................30

4.6 Dämpfe...................................................................................................................................31 4.6.1 Dampfarten.........................................................................................................................31 4.6.2 Dampfdruckkurven .............................................................................................................32 4.6.3 Grenzkurven .......................................................................................................................33 4.6.4 Thermische Zustandsgleichung von Dampf.......................................................................34

5 KINETISCHE GASTHEORIE..............................................................................36

5.1 Druck als Ergebnis von Stoßvorgängen ............................................................................36

5.2 Temperatur als Maß der kinetischen Energie....................................................................40

6 DER ERSTE HAUPTSATZ DER THERMODYNAMIK .......................................42

6.1 Der erste Hauptsatz für geschlossene Systeme...............................................................42 6.1.1 Inhalt des ersten Hauptsatzes............................................................................................42 6.1.2 Mechanische Arbeit und mechanische Energie .................................................................42 6.1.3 Volumenänderungsarbeit ...................................................................................................45 6.1.4 Wellenarbeit........................................................................................................................47 6.1.5 Dissipationsenergie ............................................................................................................49 6.1.6 Innere Energie ....................................................................................................................49 6.1.7 Wärme ................................................................................................................................50

6.2 Der erste Hauptsatz für ruhende geschlossene Systeme................................................52

6.3 Der erste Hauptsatz für bewegte geschlossene Systeme ...............................................53

6.4 Der erste Hauptsatz für stationäre Fließprozesse ............................................................53 6.4.1 Technische Arbeit...............................................................................................................53 6.4.2 Enthalpie.............................................................................................................................55

6.5 Instationäre Prozesse in offenen Systemen......................................................................57

7 KALORISCHE ZUSTANDSGLEICHUNGEN......................................................60

7.1 Kalorische Zustandsgleichungen der inneren Energie....................................................60

7.2 Kalorische Zustandsgleichungen der Enthalpie...............................................................60

7.3 Innere Energie und Enthalpie fester und flüssiger Phasen .............................................61

7.4 Innere Energie und Enthalpie idealer Gase .......................................................................63

7.5 Innere Energie und Enthalpie von Dämpfen......................................................................64

7.6 Spezifische Wärmekapazitäten ...........................................................................................65 7.6.1 Wahre spezifische Wärmekapazitäten...............................................................................65 7.6.2 Mittlere spezifische Wärmekapazitäten..............................................................................66


iv

8 DER ZWEITE HAUPTSATZ DER THERMODYNAMIK......................................67

8.1 Inhalt des zweiten Hauptsatzes ..........................................................................................67

8.2 Entropie .................................................................................................................................69 8.2.1 Entropie und Wahrscheinlichkeit ........................................................................................69 8.2.2 Entropie als Zustandsgröße ...............................................................................................70 8.2.3 Eigenschaften der Entropie ................................................................................................71 8.2.4 Entropie reversibler Prozesse ............................................................................................71 8.2.5 Entropie irreversibler Prozesse ..........................................................................................72 8.2.6 Entropie fester und flüssiger Phasen .................................................................................73 8.2.7 Entropie idealer Gase.........................................................................................................74 8.2.8 Entropie der Dämpfe ..........................................................................................................76

9 ZUSTANDSÄNDERUNGEN...............................................................................77

9.1 Wärme und Arbeit bei reversiblen Zustandsänderungen idealer Gase..........................77 9.1.1 Isochore Zustandsänderung...............................................................................................77 9.1.2 Isobare Zustandsänderung ................................................................................................78 9.1.3 Isotherme Zustandsänderung ............................................................................................79 9.1.4 Adiabate Zustandsänderung ..............................................................................................80 9.1.5 Polytroper Zustandsänderung ............................................................................................82

9.2 T,s-Diagramme idealer Gase ...............................................................................................85 9.2.1 Isochore Zustandsänderung idealer Gase .........................................................................85 9.2.2 Isobare Zustandsänderung idealer Gase...........................................................................86 9.2.3 Isotherme Zustandsänderung idealer Gase.......................................................................87 9.2.4 Isentrope Zustandsänderung idealer Gase........................................................................88 9.2.5 Polytrope Zustandsänderung .............................................................................................89

9.3 Wärme- und Arbeit in Entropiediagrammen......................................................................89 9.3.1 Adiabate Systeme ..............................................................................................................89 9.3.2 Wärme und Arbeit bei reversiblen und irreversiblen Prozesset .........................................91

9.4 T,s-Diagramm realer Gase...................................................................................................94

9.5 Mollier-Diagramm (h,s-Diagramm)......................................................................................95

9.6 Feuchte Luft (h,x-Diagramme) ............................................................................................97 9.6.1 Relative Feuchte.................................................................................................................97 9.6.2 Feuchtegrad und Sättigungsgrad .......................................................................................97 9.6.3 Zustandsgrößen feuchter Luft ............................................................................................98 9.6.4 Feuchte Luft in Diagrammform........................................................................................ 100

9.7 Zusammenfassung reversibler Zustandsänderungen .................................................. 105

10 REVERSIBLE KREISPROZESSE.................................................................107

10.1 Allgemeine Kennzeichen eines Kreisprozesses ............................................................ 107

10.2 Kreisprozesse geschlossener Systeme.......................................................................... 111

10.3 Kreisprozesse in offenen Systemen................................................................................ 113

10.4 Bewertungskennzahlen für Kreisprozesse .................................................................... 115 10.4.1 Thermischer Wirkungsgrad (rechtsdrehende Prozesse) ............................................ 115 10.4.2 Leistungsziffer (linksdrehende Prozesse) ................................................................... 115


v

11 KREISPROZESSE THERMISCHER MASCHINEN.......................................117

11.1 Vergleichsprozesse für Kolbenmaschinen..................................................................... 117 11.1.1 Otto-Prozeß ................................................................................................................. 117 11.1.2 Diesel-Prozeß.............................................................................................................. 122 11.1.3 Seiliger-Prozeß............................................................................................................ 124 11.1.4 Stirling-Prozeß............................................................................................................. 128

11.2 Vergleichsprozesse für Turbomaschinen....................................................................... 132 11.2.1 Joule-Prozeß ............................................................................................................... 133 11.2.2 Ericson-Prozeß............................................................................................................ 136 11.2.3 Clausius-Rankine-Prozeß ........................................................................................... 138

11.3 Carnot-Prozeß.................................................................................................................... 140

11.4 Isentroper Wirkungsgrad adiabater Maschinen............................................................. 143

11.5 Prozeßoptimierung............................................................................................................ 145 11.5.1 Wärmerückgewinnung................................................................................................. 145 11.5.2 Zwischenkühlung......................................................................................................... 146 11.5.3 Zwischenerhitzung....................................................................................................... 149 11.5.4 Kombinierte Zwischenkühlung und Zwischenerhitzung .............................................. 152 11.5.5 Abgasturbolader .......................................................................................................... 154

12 KÄLTEANLAGEN .........................................................................................157

12.1 Allgemeiner Kältemaschinenprozeß ............................................................................... 157

12.2 Dampf-Kompressions-Kälteanlage.................................................................................. 160

12.3 Absorptionsverfahren....................................................................................................... 163

12.4 Luftverflüssigung (Lindeverfahren)................................................................................. 164

13 LITERATURVERZEICHNIS ..........................................................................166

14 ANHANG.......................................................................................................167


vi

I Abbildungsverzeichnis Abb. 2-1: Allgemeines thermodynamisches System ...................................................................... 4 Abb. 2-2: Geschlossenes System - starre Grenze ....................................................................... 5 Abb. 2-3: Geschlossenes System - variable Grenze ..................................................................... 5 Abb. 2-4: Offenes System, Zylinder ................................................................................................ 5 Abb. 2-5: Offenes System, Kraftwerk.............................................................................................. 5 Abb. 2-6: Adiabates geschlossenes System.................................................................................. 6 Abb. 2-7: Adiabates offenes System............................................................................................... 6 Abb. 2-8: Zweiphasensystem.......................................................................................................... 6 Abb. 2-9: Dreiphasensystem........................................................................................................... 6 Abb. 2-10: Kolben mit isentroper Kompression ................................................................................ 8 Abb. 2-11: Isobare Erwärmung ......................................................................................................... 8 Abb. 2-12: Isotherme Kompression................................................................................................... 8 Abb. 2-13: Zustandsänderung von ‘1’ zu ‘2’ in einem T - s - Diagramm .......................................... 9 Abb. 3-1: Offenes System mit Mengenstrom ................................................................................ 11 Abb. 3-2: Stationär durchströmtes System ................................................................................... 12 Abb. 3-3: Mit Wasser durchströmtes konisches Rohr................................................................... 13 Abb. 3-4: Druck in einem ruhenden Fluid ..................................................................................... 13 Abb. 4-1: Zustandsfläche eines reinen Stoffes, [ 2] ...................................................................... 16 Abb. 4-2: Schnitt durch die Zustandsfläche bei T=const.] ............................................................. 17 Abb. 4-3: Schnitt durch die Zustandsfläche bei v=const................................................................ 17 Abb. 4-4: Gasvolumen in Abhängigkeit von der Temperatur bei unterschiedlichen Drücken ...... 23 Abb. 4-5: Druck p in Abhängigkeit von V bei unterschiedlichen Temperaturen............................ 24 Abb. 4-6: Mischung zweier Gase .................................................................................................. 27 Abb. 4-7: Realgasfaktor Z für Luft bei unterschiedlichen Drücken, [ 6] ........................................ 31 Abb. 4-8: Verschiedene Stadien des Verdampfungsprozesses ................................................... 31 Abb. 4-9: Zustandsänderungen von Wasser beim Erwärmen und Verdampfen bei p = const. ..... 32 Abb. 4-10: Dampfdruckkurven verschiedener Stoffe im p,T-Diagramm, [ 14] ................................ 33 Abb. 4-11: Grenzkurven des Naßdampfgebietes im p,v-Diagramm, [ 6] ........................................ 34 Abb. 5-1: Elastischer Stoß ............................................................................................................ 36 Abb. 5-2: Unelastischer Stoß ........................................................................................................ 37 Abb. 5-3: Kontrollvolumen............................................................................................................. 38 Abb. 6-1: Skalarprodukt zweier Vektoren ..................................................................................... 42 Abb. 6-2: Bahnkurve eines Massepunktes im Raum.................................................................... 43 Abb. 6-3: Kräfteverteilung an einem Massepunkt im Gravitationsfeld.......................................... 44 Abb. 6-4: Beschleunigung eines Fahrzeuges ............................................................................... 45 Abb. 6-5: Volumenänderungsarbeit infolge einer Kolbenbewegung ............................................ 45 Abb. 6-6: Volumenänderungsarbeit im p,V-Diagramm bei a) Kompression, b) Expansion .......... 46 Abb. 6-7: Volumenänderungsarbeit im p,V-Diagramm bei Umgebungsdruck .............................. 47 Abb. 6-8: Zur Berechnung der Wellenarbeit ................................................................................. 48 Abb. 6-9: Zufuhr von Arbeit in ein geschlossenes adiabates System .......................................... 49 Abb. 6-10: Zustandsänderung von '1' → '2' durch zwei unterschiedliche Prozesse ...................... 50 Abb. 6-11: Zufuhr von Wellenarbeit (a), Zufuhr von Wärme über diatherme Wand (b) ................. 51 Abb. 6-12: Gekühlter elektrischer Leiter ......................................................................................... 51 Abb. 6-13: Kontrollraum eines offenen Systems............................................................................. 54 Abb. 6-14: Stationärer Fließprozeß, Wasserkraftwerk.................................................................... 56 Abb. 6-15: Masseelement eines strömenden Mediums beim Überqueren der Systemgrenze ...... 57 Abb. 6-16: Füllen einer Gasflasche mit R12 ................................................................................... 59 Abb. 7-1: Integrationsweg zur Bestimmung der Enthalpiedifferenz.............................................. 62 Abb. 7-2: Spezifische Wärmekapazität von Kohlenstoff und Metallen ......................................... 65 Abb. 7-3: Spezifische isobare Wärmekapazität von Gasen.......................................................... 66 Abb. 7-4: Berechnung der mittleren spezifischen Wärmekapazität.............................................. 66 Abb. 8-1: Freier Fall....................................................................................................................... 67 Abb. 8-2: Umkehrung des freien Falls .......................................................................................... 68 Abb. 9-1: Isochore Zustandsänderung im p,V-Diagramm............................................................. 77 Abb. 9-2: Isobare Zustandsänderung im p,V-Diagramm............................................................... 78 Abb. 9-3: Isotherme Zustandsänderung im p,V-Diagramm: a) Kompression, b) Expansion ........ 79 Abb. 9-4: Adiabate Zustandsänderung im p,V-Diagramm: a) Kompression, b) Expansion.......... 81 Abb. 9-5: Polytropen im p,V-Diagramm, [ 13]................................................................................ 82 Abb. 9-6: Isochoren im T,s-Diagramm........................................................................................... 85


vii

Abb. 9-7: Änderung der inneren Energie bzw. Enthalpie a) isochor, b) isobar ............................ 86 Abb. 9-8: Isobaren im T,s-Diagramm............................................................................................. 86 Abb. 9-9: Volumenänderungsarbeit wV12 bei isobarer Zustandsänderung.................................... 87 Abb. 9-10: Isothermen im T,s-Diagramm......................................................................................... 87 Abb. 9-11: Isentrope im T,s-Diagramm............................................................................................ 88 Abb. 9-12: Isentrope Zustandsänderung - Volumenänderungsarbeit 1212 uuwv −= .................... 88

Abb. 9-13: Isentrope Zustandsänderung - Spezifische Strömungsarbeit 1212 hhy −= ................. 88 Abb. 9-14: Polytrope Expansion a) Volumenänderungsarbeit, b) Strömungsarbeit ....................... 89 Abb. 9-15: Geschlossenes adiabates System: a) Expansion, b) Kompression ............................. 90 Abb. 9-16: Offen durchströmtes adiabates System: a) Expansion, b) Kompression ..................... 91 Abb. 9-17: Darstellung der Wärme im T,s-Diagramm bei reversiblen Prozessen........................... 92 Abb. 9-18: Wärme und Dissipation bei irreversiblen Prozessen, a) nicht-adiabat, b) adiabat ....... 93 Abb. 9-19: T,s-Diagramm für Wasserdampf, [ 6]............................................................................. 94 Abb. 9-20: h,s-Diagramm................................................................................................................. 95 Abb. 9-21: Mollier-Diagramm von Wasserdampf, [ 14] ................................................................... 96 Abb. 9-22: a) Darstellung unterschiedlicher Phasen im h,x-Diagramm, b) Druckerhöhung, [ 13] 100 Abb. 9-23: Konstruktionsprinzip des h,x-Diagramms für feuchte Luft, [ 13] .................................. 100 Abb. 9-24: Zustandsänderungen bei der Trocknung feuchter Luft, [ 13] ...................................... 101 Abb. 9-25: Mischung von zwei Luftmassen .................................................................................. 102 Abb. 9-26: Enthalpie bei der Mischung zweier Luftmassen, [ 13]................................................. 103 Abb. 9-27: Mischung zweier Luftmassen im ungesättigten Gebiet, [ 13]...................................... 103 Abb. 10-1: Kreisprozeß eines geschlossenen Systems im p,v-Diagramm ................................... 107 Abb. 10-2: Vereinfachtes Schema einer Dampfkraftanlage.......................................................... 108 Abb. 10-3: Reversible Kreisprozesse im pv-Diagramm ................................................................ 110 Abb. 10-4: Kreisprozesse im p,v-Diagramm: a) Wärmekraftmaschine b) Kältemaschine ............ 112 Abb. 10-5: Schema einer geschlossenen Gasturbinenanlage, [ 6] .............................................. 113 Abb. 11-1: p,v-Diagramm eines Otto-Viertaktmotors .................................................................... 117 Abb. 11-2: Otto-Vergleichsprozeß: a) p,v-Diagramm, b) T,s-Diagramm ....................................... 118 Abb. 11-3: Thermischer Wirkungsgrad des Otto-Vergleichsprozesses, [ 16]............................... 120 Abb. 11-4: Diesel-Vergleichsprozeß im a) p,v-Diagramm b) T,s-Diagramm ................................. 122 Abb. 11-5: Seiliger-Prozeß im a) p,v-Diagramm b) T,s-Diagramm................................................ 125 Abb. 11-6: Otto-, Diesel und Seiliger-Prozeß; p,v- und T,s-Diagramme, [ 13]............................... 127 Abb. 11-7: Arbeitsprinzip des Stirling-Motors und Ort-Zeit-Diagramm ......................................... 129 Abb. 11-8: Stirling-Prozeß im a) p,v-Diagramm b) T,s-Diagramm................................................. 129 Abb. 11-9: Schema einer einfachen Gasturbinenanlage .............................................................. 132 Abb. 11-10. Einfache Gasturbinenanlage als geschlossenes System, [ 6] .................................... 133 Abb. 11-11: Joule-Prozeß der Gasturbine im a) p,v-Diagramm b) h,s-Diagramm .......................... 134 Abb. 11-12: Geschlossene Gasturbinenanlage nach dem Ericson-Verfahren, [ 6]........................ 136 Abb. 11-13: Ericson-Prozeß der Gasturbine im a) p,v-Diagramm b) h,s-Diagramm....................... 136 Abb. 11-14: Dampfturbinenanlage a) Aufbau und b) p,v-Diagramm, [ 6]........................................ 138 Abb. 11-15: Clausius-Rankine-Prozeß im a) T,s-Diagramm b) h,s-Diagramm................................ 138 Abb. 11-16: Carnot-Prozeß im a) p,v-Diagramm b) T,s-Diagramm ................................................. 140 Abb. 11-17: Carnot-Prozeß und realer Prozeß............................................................................... 141 Abb. 11-18: Wärmekraftmaschine................................................................................................... 142 Abb. 11-19: Zustandsänderungen des reversiblen Carnot-Prozesses........................................... 142 Abb. 11-20: Isentrope und verlustbehaftete Zustandsänderung im h,s-Diagramm......................... 144 Abb. 11-21: Joule-Prozeß mit Wärmerückgewinnung .................................................................... 145 Abb. 11-22: Einfluß der Wärmerückgewinnung auf den thermischen Wirkungsgrad..................... 146 Abb. 11-23: Einfluß der Zwischenkühlung im T,s-Diagramm .......................................................... 147 Abb. 11-24: Thermischer Wirkungsgrad bei Zwischenkühlung ...................................................... 148 Abb. 11-25: Mehrstufiger Verdichter mit Zwischenkühlung ............................................................ 149 Abb. 11-26: Einfluß der Zwischenerhitzung im T,s-Diagramm........................................................ 150 Abb. 11-27: Thermischer Wirkungsgrad bei Zwischenerhitzung .................................................... 151 Abb. 11-28: Mehrstufige Turbine mit Zwischenerhitzung ............................................................... 152 Abb. 11-29: Kombinierte Zwischenkühlung und -erhitzung im T,s-Diagramm................................ 152 Abb. 11-30: Thermischer Wirkungsgrad bei kombinierter Zwischenkühlung und -erhitzung ......... 153 Abb. 11-31: Abgasturboladers und Schaltbild................................................................................. 154 Abb. 11-32: p,v- und T,s-Diagramm eines Kolbenmorors mit Abgasturbolader .............................. 155 Abb. 12-1: Allgemeiner Kältemaschinenprozeß (Carnot) ............................................................. 157 Abb. 12-2: Entropieveränderung bei Kühlung............................................................................... 158


viii

Abb. 12-3: Kompensationswärme ΔQ bei Kälteleistung Q0 .......................................................... 158 Abb. 12-4: Dampf-Kompressions-Kühlkreislauf ............................................................................ 160 Abb. 12-5: Realer Dampf-Kompressions-Kühlkreislauf ................................................................ 161 Abb. 12-6: Ammoniak Absorptionskühlkreislauf ........................................................................... 163 Abb. 12-7: Luftverflüssigungsanlage nach Linde.......................................................................... 164 Abb. 12-8: T,s-Diagramm des Linde-Verfahrens........................................................................... 165 Abb. 14-1: h,x -Diagramm von feuchter Luft.................................................................................. 181 II Tabellenverzeichnis Tab. 2.1: Basiseinheiten des SI-Systems....................................................................................... 3 Tab. 2.2: Abgeleitete Größen des SI-Systems ............................................................................... 3 Tab. 2.3: Zustandsänderungen mit einer konstanten Zustandsgröße ........................................... 9 Tab. 3.1: Stoffe und deren Molmassen, [ 14] ............................................................................... 10 Tab. 3.2: Temperaturskalen.......................................................................................................... 14 Tab. 4.1: Schmelzwärmen und Schmelztemperaturen bei p = 105 [Pa], [ 6]............................... 18 Tab. 4.2: Verdampfungsenthalpie, Siedetemperatur und kritische Punkte, [ 6] ........................... 18 Tab. 4.3: Längenausdehnungskoeffizient α für einige feste Stoffe, [ 6] ....................................... 20 Tab. 4.4: Volumenausdehnungskoeffizienten γ von Flüssigkeiten, [ 6]........................................ 22 Tab. 4.5: Gaskonstanten und Dichten von Gasen bei p=1.0132 bar und T=0°C, [ 6] .................. 25 Tab. 14.1: Defintionen der SI-Basiseinheiten ............................................................................... 167 Tab. 14.2: Physikalische Konstante.............................................................................................. 167 Tab. 14.3: Stoffdaten von Gasen bei 0°C..................................................................................... 168 Tab. 14.4: Sättigungsdampftafel für Wasser (Drucktafel) ............................................................ 169 Tab. 14.5: Sättigungsdampftafel für Wasser (Temperaturtafel) ................................................... 171 Tab. 14.6: Sättigungsdampftafel Ammoniak................................................................................. 173 Tab. 14.7: Mittlere spezifische isobare Wärmekapazität idealer Gase ........................................ 174 Tab. 14.8: Stoffwerte von Feststoffen........................................................................................... 175 Tab. 14.9: Stoffwerte von Flüssigkeiten........................................................................................ 179 Tab. 14.10: Stoffwerte von Gasen .................................................................................................. 180 III Nomenklatur

A [ ]2m Querschnittsfläche

c ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

sm Geschwindigkeit

cp ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅ KkgJ spezifische isobare Wärmekapazität

cv ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅ KkgJ spezifische isochore Wärmekapazität

d [ ]m Durchmesser E [ ]J Energie F [ ]N Kraft

g ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡2s

m Erdbeschleunigung

h [ ]m Höhe

h ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡kgJ spezifische Enthalpie


ix

H [ ]J Enthalpie

I ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅

smkg Impuls

I [ ]A Strom

I& ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⋅ 2mskg Massestromdichte

L [ ]m Länge m [ ]kg Masse

m& ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

skg Massestrom

mT [ ]kg Teilchenmasse

M ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

kmolkg Molmasse

M [ ]mN ⋅ Drehmoment

n ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

min1 Drehzahl

n [ ]mol Stoffmenge n [ ]− Polytropenexponent

NA ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

mol1 Avogadro-Konstante (Lohschmidtsche Zahl)

p [ ]− Wahrscheinlichkeit p [ ]Pa Druck p [ ]− Wahrscheinlichkeit P [ ]W Leistung

q ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡kgJ spezifische Wärme

Q [ ]J Wärme

q& ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡2m

W Wärmestromdichte ( dtdqAQq ≠= && )

Q& [ ]W Wärmestrom r [ ]− Volumenverhältnis R [ ]Ω Widerstand

R ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅ KkgJ stoffspezifische Gaskonstante

Rm ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⋅ kmolKJ universelle Gaskonstante

s [ ]m Strecke, Entfernung

s ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅ KkgJ spezifische Entropie

S ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

KJ Entropie

t [ ]s Zeit T [ ]K thermodynamische Temperatur


x

u ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡kgJ spezifische innere Energie

U [ ]J innere Energie U [ ]V Spannung

v ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

kgm3

spezifisches Volumen

V [ ]3m Volumen

V& ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

sm3

Volumenstrom

Vn ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

kmolm3

Molvolumen

wD ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡kgJ spezifische Dissipationsarbeit ∫ ⋅=

2

112 dsTw ,D

wv ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡kgJ spezifische Volumenänderungsarbeit ∫ ⋅=

2

112 dvpw ,v

W [ ]J Arbeit x [ ]− Dampfgehalt

y ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡kgJ spezifische Strömungsarbeit ∫ ⋅=

2

112 dpvy

x,y,z [ ]m Ortskoordinaten

z,y,x &&& ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

sm Geschwindigkeiten

z,y,x &&&&&& ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡2s

m Beschleunigungen

z [ ]m Höhe Z [ ]− Realgasfaktor Griechische Symbole α [ ]rad Winkel

α ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

K1 Längenausdehnungskoffizient (Feststoffe)

ε [ ]− Verdichtungsverhältnis

γ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

K1 Volumenausdehnungskoeffizient (Flüssigkeiten)

γ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

mK Temperaturgradient der Normatmosphäre

η [ ]− Wirkungsgrad ϕ [ ]rad Drehwinkel ϕ [ ]− Volumenverhältnis, Einspritzverhältnis κ [ ]− Isentropenexponent


xi

Ψ [ ]− Druckverhältnis μ [ ]− Massenverhältnis π [ ]− Verdichter-Druckverhältnis

ρ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡3m

kg Dichte

σ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡kgJ spezifische Schmelzwärme

ϑ [ ]C° Temperatur τ [ ]s Zeit

τ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡2mm

N Schubspannung

ω ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

srad Drehrate

Indizes 1,2 Zustände ab abgeführt A axial D Dissipation D Dampf el elektrisch g gesamt, total G Gewicht H Hubraum k Kreisprozeß kin kinetisch K Verdichtungsraum mech mechanisch N Nutz(arbeit) irr irreversibel p isobar pot potentiell rev reversibel s Sättigung t technisch t tangential th thermisch T Teilchen T Turbine U Umgebung v isochor V Volumenänderung V Verdichter W Welle zu zugeführt

Technische Thermodynamik Einführung 1 _________________________________________________________________________

1 Einführung

1.1 Inhalt und Bedeutung der Thermodynamik Hauptaufgabengebiet der Thermodynamik ist die Untersuchung und Beschreibung von Energieumwandlungsprozessen durch eine Analyse der unterschiedlichen Erscheinungsformen von Energie und deren Verknüpfungen in Energiebilanzgleichungen. Dies bildet die Grundlage zur Konzeption, Planung und Auslegung von Anlagen zur Energieumwandlung. Anlagen zur Energieumwandlung begegnen uns in vielfältiger Weise: Von der klassischen Dampfmaschine, über Verbrennungsmotoren in Kraftfahrzeugen und Luftfahrzeugen bis hin zu Kraftwerken auf Wind-, Wasser- oder Kernkraftbasis. Weitere Anwendungsgebiete sind z.B. die Klimatechnik, Lüftungs- oder auch die Kältetechik. Die Basis der Thermodynamik wird beschrieben durch die sogenannten Hauptsätze der Thermodynamik. Sie lassen sich nicht aus bereits bewiesenen physikalischen Gesetzen ableiten sondern stellen lediglich auf allgemeinen Erfahrung basierenden Postulate dar, die als brauchbare Arbeitshypothesen verwendet werden können und bis heute noch nicht widerlegt werden konnten. Der erste Hauptsatz oder auch der Energieerhaltungssatz besagt, daß Energie weder erzeugt noch vernichtet werden kann; sie kann lediglich zwischen verschiedenen Erscheinungsformen umgewandelt werde. Der zweite Hauptsatz formuliert die Grenzen der Energieumwandlung und beschreibt welche Umwandlungsprozesse überhaupt möglich sind. Der dritte Hauptsatz beschreibt die Nichterreichbarkeit des absoluten thermischen Nullpunktes und der nullte Hauptsatz definiert das thermische Gleichgewicht. Die Thermodynamik nach dem heutigen Verständnis ist eine allgemeine Energielehre, die sich in die statistische und phänomenologische Thermodynamik gliedern läßt. Die statistische bzw. molekularstatistische Thermodynamik geht von der molekularen Struktur der Materie aus und berechnet die Wechselwirkung zwischen den Molekülen und ihrer Umgebung unter Anwendung mathematisch-statistischer Methoden (kinetische Gastheorie). Die klassische oder auch phänomenologische Thermodynamik stützt sich auf die Beobachtung thermodynamischer Prozesse aus deren Ablauf empirische Gesetze abgeleitet werden. Dieser letztere Ansatz wird in der folgenden Vorlesung weiter verfolgt werden.

Technische Thermodynamik Einführung 2 _________________________________________________________________________

1.2 Historischer Rückblick Die frühere Bezeichnung für Thermodynamik war Wärmelehre. Dies erklärt sich aus der historischen Entwicklung der Erforschung von Wärmeerscheinungen. Bis Mitte des 19. Jahrhunderts ordnete man Wärme einem hypothetischen unzerstörbaren Stoff (caloricum) zu. Dies entspricht zwar in groben Zügen dem Prinzip des ersten Hauptsatzes, d.h. dem Satz von der Energieerhaltung, die Vorstellung der stofflichen Eigenschaft war jedoch unzutreffend. Erste Zweifel an der Stofftheorie wurden mit dem Aufkommen der ersten Wärmekraftmaschinen, d.h. Dampfmaschinen laut.: D. Papin (1647-1712) und T. Newcomen (1663-1729) bzw. J. Watt (1736-1819). Die Idee, daß es eine Äquivalenz zwischen Wärme und Arbeit geben müsse, wurde von Lord Rumford (1753-1814) durch die beobachtete Aufheizung beim Aufbohren von Kanonenrohren entwickelt. Diese Idee wurde von J.P. Joule (1818-1889) weiterentwickelt, der auf experimentellem Weg das sogenannte mechanische Wärmeäquivalent bestimmte. Als Mitbegründer der modernen Thermodynamik gilt N.L.S. Carnot (1796-1832), der ebenfalls die Theorie vertrat, daß Wärme und Arbeit äquivalente Energieformen seien, dies jedoch nicht mehr veröffentlichte. Unabhängig von den Arbeiten von Joule und Carnot wurde diese Theorie 1842 von J.R. Mayer (1814-1878) veröffentlicht. Mit der später erfolgten Veröffentlichung des ersten Hauptsatzes wurde die Stofftheorie als Gedankenmodell endgültig ad acta gelegt. Auf der Basis der Arbeiten von Carnot, Mayer und Joule erstellte R. Clausius (1822-1888) im Jahre 1850 die erste quantitative Formulierung des ersten Hauptsatzes durch Gleichungen zwischen den Größen Wärme, Arbeit und innere Energie. Zur Definition des zweiten Hauptsatzes führte er eine neue Größe ein, die er zuerst als ‚Äquivalenzwert einer Verwandlung‘ und später (1865) als Entropie bezeichnete. Unabhängig von Clausius gelangte fast zeitgleich der britische Physiker W. Thomson (1824-1907) zu anderen Formulierungen des zweiten Hauptsatzes. Er führte den Gedanken von der Zerstreuung der Energie (dissipation of energy) ein, d.h., daß sich bei real vorkommenden Prozessen der Vorrat an umwandelbarer bzw. arbeitsfähiger Energie verringert. Aus seinen Überlegungen zum zweiten Hauptsatz schloß Thomson (seit 1892 Lord Kelvin) auf die Existenz einer universellen Temperaturskala. Diese universelle, von den spezifischen Eigenschaften von Thermometern unabhängigen Skala, wurde ihm zu Ehren Kelvin-Skala genannt. Durch den von Clausius definierten Entropiebegriff war es nun möglich, aus den thermodynamischen Hauptsätzen allgemeingültige Gesetze für das Verhalten der Materie in ihren unterschiedlichen Aggregatzuständen und in chemische Reaktionen herzuleiten. Daraus entwickelte sich gegen Ende des 19. Jahrhunderts eine neue Disziplin, die sogenannte physikalische Chemie, deren Grundlagen von J.W.Gibbs (1839-1903) durch die Definition der Phasenregel, mit entwickelt wurden.

Technische Thermodynamik Grundbegriffe 3 _________________________________________________________________________

2 Grundbegriffe

2.1 Physikalische Größen Als physikalische Größen werden charakteristische Eigenschaften von Objekten, wie z.B. Gewicht und Abmessungen eines Körpers oder Temperatur und Leistung eines Motors bezeichnet. Die Wahl geeigneter Einheiten und Definitionen physikalischer Größen ist selbstverständlich in beliebiger Art und Weise möglich. In den technischen Naturwissenschaften wird jedoch seit einigen Jahrzehnten das international vereinbarte ‘Système International d’Unité’ oder auch SI-System, angewendet. Der Begriff ‘international’ ist jedoch mit gewissen Einschränkungen zu sehen, da insbesondere im angelsächsischen Raum und in der Luftfahrt das englische und amerikanische Maßsystem bzw. eine Mischung aus beiden noch üblich sind. Obwohl in Deutschland mit der Verabschiedung des Gesetzes über die Einheiten im Meßwesen vom 02.07.1969 im geschäftlichen und amtlichen Verkehr vorgeschrieben, hat sich diese Erkenntnis offensichtlich noch nicht bis zum Luftfahrt-Bundesamt (LBA) durchgesetzt. Das im weiteren Verlauf zu verwendende SI-System hat den Vorteil, daß ausgehend von sieben Basiseinheiten, sich alle weiteren physikalischen Größen durch eine Kombination dieser Basiseinheiten darstellen, bzw. ineinander überführen lassen. Größe Einheit Zeichen Definition Länge Meter m siehe Tab. 14.1 Masse Kilogramm kg Zeit Sekunde s Elektrische Stromstärke Ampère A Temperatur Kelvin K Lichtstärke Candela cd Stoffmenge Mol mol

Tab. 2.1: Basiseinheiten des SI-Systems

Größe Einheit Zeichen Definition Kraft Newton N N = kg⋅m/s² Leistung Watt W W = N⋅m/s Energie, Arbeit Joule J J = N⋅m Druck Pascal Pa Pa = N/m²

Tab. 2.2: Abgeleitete Größen des SI-Systems


2.2 Systeme Zur Beschreibung von Prozeßabläufen und Maschinen oder Teilen von Maschinen werden thermodynamische Systeme festgelegt, die durch die mehr oder weniger willkürliche Definition von Systemgrenzen beschrieben werden. Diese System- oder auch Kontrollgrenzen dienen der Erfassung des Energie- und Masseaustauschs des Systems mit seiner Umwelt. Die Festlegung von Systemgrenzen orientiert sich zweckmäßigerweise an der konkreten Problemstellung, z.B. der inneren oder äußeren Umrandung einer Brennkammer oder eines Dampfkessels, kann aber auch beliebiger abstrakter Natur sein. Wesentliches Merkmal einer Systemgrenze ist die Möglichkeit die über die Systemgrenzen hinweg stattfindenden Energie- und Masseströme sinnvoll erfassen zu können. Vorzeichendefinition für Energie- und Massenströme: - Positiv für Ströme, die in das System hineinfließen, - negativ für Ströme, die das System verlassen

2.2.1 Allgemeines System

Abb. 2-1: Allgemeines thermodynamisches System

2.2.2 Formen von Energieübertragung - Mechanische Arbeit: Kolbenbewegung in einem Zylinder durch Expansion des Gases im Kontrollraum - Thermische Energie: Aufheizung des Kontrollvolumes durch Verbrennung oder Kompression des Kontrollraums - Stoffgebundene Energieübertragung: Massefluß zu oder aus dem Kontrollraum - Wärmestrahlung: Erwärmung durch Sonneneinstrahlung, Heizstrahler

System Energiezufuhr Massezufuhr

Energieentzug Masseentzug

Systemgrenze


2.2.3 Unterscheidungsmerkmale von Systemen Geschlossene Systeme Merkmal: Materieundurchlässig, d.h. es findet kein Masseaustausch über die Systemgrenze hinweg mit der Umgebung statt

Abb. 2-2: Geschlossenes System - starre Grenze

Abb. 2-3: Geschlossenes System - variable Grenze

Offene Systeme Merkmal: Stoffübertragung über die Systemgrenze ist möglich

Abb. 2-4: Offenes System, Zylinder

Abb. 2-5: Offenes System, Kraftwerk

T

Zufluß

Abfluß

mechanische Arbeit

Technische Thermodynamik Grundbegriffe 6 _________________________________________________________________________ Adiabate Systeme Merkmal: Es erfolgt keine Wärmeübertragung über die Systemgrenzen hinweg, d.h. ‘ideal’ isolierte Wände

Abb. 2-6: Adiabates geschlossenes System

Abb. 2-7: Adiabates offenes System

Einphasensysteme Unterscheidung des Systems nach der inneren Struktur, d.h. nach fester, flüssiger oder gasförmiger Erscheinungsform. Das Einphasensystem besteht demnach aus einer homogenen Substanzmenge, deren chemische und physikalische Eigenschaften örtlich konstant sind. Mehrphasensysteme Systeme, in dem mindestens zwei unterschiedliche Phasen vorliegen, z.B. flüssiges Wasser zusammen mit Wasserdampf.

Abb. 2-8: Zweiphasensystem

Abb. 2-9: Dreiphasensystem

ideale Isolierung

Wasser

Wasser- dampf

Wasser

Wasser- dampf

Eis


2.2.4 Gleichgewichtssatz Allgemein: Jedes sich selbst überlassene geschlossene System strebt einem Gleichge-wichtszustand zu, in dem es so lange verharrt, so lange keine äußeren Einflüsse auf das System einwirken.

- Thermisches Gleichgewicht: T = const. - Mechanisches Gleichgewicht: p = const. - Chemisches Gleichgewicht: M = const.

Bei gleichzeitigem Vorliegen aller drei Gleichgewichtszustände, spricht man auch von einem Thermodynamischen Gleichgewicht Nullter Hauptsatz der Thermodynamik: Zwei geschlossene Systeme befinden sich im thermischen Gleichgewicht, wenn beide Systeme die gleiche Temperatur besitzen. Bsp.: Berührungsthermometer

2.3 Zustand, Zustandsgrößen, Zustandsänderungen Zur vollständigen Beschreibung eines thermodynamischen Systems ist neben der Definition der Systemgrenzen auch eine Beschreibung seiner physikalischen und chemischen Systemeigenschaften erforderlich. Diese Systemeigenschaften werden durch die Zustandsgrößen beschrieben, welche Variable darstellen. Der Zustand eines einfachen, homogene Systems läßt sich durch die vier Zustandsgrößen Stoffmenge, Volumen, Druck und Temperatur eindeutig beschreiben. Einteilung von Zustandsgrößen:

- Äußerer Zustand: Ortskoordinaten, Geschwindigkeit, Beschleunigung z.B. x,x,x &&&

- Innerer Zustand: Volumen, Druck, Temperatur, Masse z.B. V, p, T, m

- Intensive Zustandsgrößen: Unabhängig von der Systemmasse, sie bleiben bei einer Aufteilung des Systems in Subsysteme unverändert, z.B. p, T - Extensive Zustandsgrößen: Im Gegensatz zu den intensiven Zustandsgrößen sind die extensiven Zustandsgrößen abhängig von der Systemmasse, z.B. V

- Spezifische Zustandsgrößen:

Auf die Systemmasse bezogene Zustandsgrößen, z.B. mVv =

Die Abhängigkeit der einzelnen Zustandsgrößen von einander läßt sich durch sog. Zustandsgleichungen beschreiben

Technische Thermodynamik Grundbegriffe 8 _________________________________________________________________________ Bsp.: Zustandsgleichung des idealen Gases:

p R T p f T= ⋅ ⋅ ⇒ =ρ ρ( , ) mit der stoffabhängigen Gaskonstanten R Zustandsänderungen Zustandsgrößen sind wegunabhängig, d.h. der Weg auf dem ein Zustand erreicht wird, ist ohne Bedeutung. Bsp.: Überführung einer Gasmenge von einem Anfangszustand ‘1’ in einen Endzustand ‘2’. Der Anfangszustand ‘1’, gekennzeichnet durch den Druck p1 und das spezifische, d.h. auf die Masse m bezogene Volumen v1 läßt sich auf mehrere Möglichkeiten in den Zustand ‘2’ , gekennzeichnet durch p2 und v2 , überführen. A) durch Verdichtung in einem Kolben ohne Wärmezufuhr, s = const.

Abb. 2-10: Kolben mit isentroper Kompression

B) durch Wärmezufuhr bei konstantem Druck p1 und anschließender Kompression auf p12 bei konstanter Temperatur T = T2 durch konstante Rückkühlung

Abb. 2-11: Isobare Erwärmung

Abb. 2-12: Isotherme Kompression

Qzu p = const.

s = const.

Qab

T = const.

Technische Thermodynamik Grundbegriffe 9 _________________________________________________________________________ Darstellung in einem T - s – Diagramm

Abb. 2-13: Zustandsänderung von ‘1’ zu ‘2’ in einem T - s - Diagramm

Zustandsänderungen bei denen eine bestimmte Zustandsgröße konstant gehalten wird werden besonders gekennzeichnet:

Volumen V = const. dV = 0 Isochore Druck p = const. dp = 0 Isobare Temperatur T = const. dT = 0 Isotherme Entropie s = const. ds = 0 Isentrope Enthalpie h = const. dh = 0 Isenthalpe

Tab. 2.3: Zustandsänderungen mit einer konstanten Zustandsgröße

Prozeß Die Beschreibung der Zustandsänderung eines Systems wird als Prozeß bezeichnet. Unterschiedliche Prozesse können die gleiche Zustandsänderung hervorrufen.

T

s1

1'2

A B1

B2

Isotherme

Isentrope

Isobare

Technische Thermodynamik Systembeschreibung 10 _________________________________________________________________________

3 Systembeschreibung

3.1 Stoff und Menge

3.1.1 Volumen Die räumliche Ausdehnung eines Systems, beschrieben durch die Systemgrenzen definiert sein Volumen V (extensive Zustandsgröße). Gebräuchlich ist jedoch insbesondere das auf die Systemmasse m bezogene spezifische Volumen v.

Gl. 3-1: ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

kgm

mVv

3

bzw. die Dichte ρ als Kehrwert des spezifischen Volumens v

Gl. 3-2: ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡== 3

1mkg

vVmρ

3.1.2 Stoffmenge Die Stoffmenge eines Systems läßt sich entweder durch Angabe seiner Masse m [kg] definieren oder durch die Anzahl seiner Mole, d.h. seine Molzahl n. Wobei ein Mol eines Stoffes der Anzahl der Teilchen, die in 0.012 kg des Kohlenstoff-Isotops 12C enthalten sind entspricht, d.h. 6.0221367⋅1023 Teilchen. Diese Zahl wird auch als Avogadro-Konstante, bzw. Loschmidtsche Zahl bezeichnet. NA = 6.0221367⋅1023 [1/mol] Die Molmasse M eines Stoffes, ist ähnlich seiner Dichte ρ eine charakteristische Stoffeigenschaft, die in physikalischen Tabellen aufgelistet sind. Multipliziert man die Teilchenmasse mT mit der Avogadro-Konstante NA , so ergibt sich die Molmasse des Stoffes zu:

Gl. 3-3: [ ]kmolkgNmM AT ⋅=

Stoff Chemisches Symbol Molmasse M [kg/kmol] Wasserstoff H2 2.01594 Helium He 4.0026 Kohlenstoff C 12.01115 Stickstoff N2 28.0134 Sauerstoff O2 31.9988 Fluor F2 37.9968 Chlor Cl2 70.906 Schwefel S 32.066 Schwefeldioxid SO2 64.065 Stickstoffdioxid NO2 46.0055 Lachgas N2O 44.0128 Kohlenmonoxid CO 28.010 Kohlendioxid CO2 44.010 Methan CH4 16.043 Ethan C2H6 30.070 Luft (trocken) 28.9647

Tab. 3.1: Stoffe und deren Molmassen, [ 14]

Technische Thermodynamik Systembeschreibung 11 _________________________________________________________________________ Das Molvolumen Vm eines Stoffes ergibt aus dem Volumen V und der Stoffmenge (= Molzahl) n zu

Gl. 3-4: [ ]kmolmvMnVVm

3⋅==

Der Zusammenhang zwischen der Masse m, der Molzahl n, der Teilchenmasse mT, sowie der Molmasse M ergibt sich aus Gl. 3-5: [ ]kgMnmNnm TA ⋅=⋅⋅= Systeme, in denen chemische Reaktionen ablaufen, z.B. bei der Untersuchung von Verbrennungsvorgängen, werden zweckmäßigerweise durch die Angabe der Molzahl beschrieben, während Systeme ohne chemische Reaktionen durch die Angabe der Masse in [kg] beschrieben werden können. _________________________________________________________________________

Ü 3-1: Bestimmung der Masse m von n = 0.56 kmol Lachgas

Ü 3-2: Bestimmung der Molmasse M von Wasser

Ü 3-3: Bestimmung des spezifischen Volumens v, der Dichte ρ , des Molvolumens Vm und der Stoffmenge n eines mit m = 1000 kg Ethan gefüllten Druckbehälters, der ein Volumen V = 5 m3 aufweist.

_________________________________________________________________________

3.1.3 Mengenströme Zur Charakterisierung offener Systeme ist die Beschreibung der Mengenströme erforderlich.

Abb. 3-1: Offenes System mit Mengenstrom

Ein Stoff fließt mit der Geschwindigkeit c über die Systemgrenze (Rohr mit Querschnitt A). In der Zeitspanne Δτ legen die Stoffteilchen den Weg τΔ⋅= cs zurück. Dadurch ergeben sich die folgende Ströme.

m c

Systemgrenze

Massestrom, der die Systemgrenze überschreitet

Querschnitt A

Wegstrecke s

Technische Thermodynamik Systembeschreibung 12 _________________________________________________________________________ - Volumenstrom:

Gl. 3-6: ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅=

Δ⋅

=Δ

=⋅

smAcAsVV

3

ττ

- Massestrom:

Gl. 3-7: ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡⋅⋅=⋅=

Δ⋅

=Δ

=s

kgAcVVmm ρρτ

ρτ

&&

- Massestromdichte:

Gl. 3-8: ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡⋅

⋅=⋅

== 2mskgc

AV

AmI ρρ &&&

Für stationär durchströmte Systeme gilt .constm =&

Abb. 3-2: Stationär durchströmtes System

Aufgrund der Massenerhaltung folgt somit: Gl. 3-9: 22221111 mAcAcm && =⋅⋅=⋅⋅= ρρ _________________________________________________________________________

Ü 3-4: Mit Wasser durchströmtes konisches Rohr

Mittlere Eintrittsgeschwindigkeit: c1 = 0.0632 m/s Eintrittsquerschnitt: d1 = 48.4 mm Austrittsquerschnitt: d2 = 112.3 mm Welcher Massestrom, welche Massestromdichte und welche Geschwindigkeit ergeben sich im Austrittsquerschnitt?

2m&

1m&


Abb. 3-3: Mit Wasser durchströmtes konisches Rohr

_________________________________________________________________________

3.2 Druck, Temperatur und Energie

3.2.1 Druck Der Druck p wird definiert als Quotient aus der Druckkraft F und der Fläche A auf die diese wirkt, wobei die Druckkraft senkrecht auf die Fläche A wirkt.

Gl. 3-10: [ ] [ ][ ]2mNPa

AFp ==

Bsp.: Druck in einem ruhenden Fluid (hydrostatischer Druck)

Abb. 3-4: Druck in einem ruhenden Fluid

gAhgVgmF

ApFAFp

⋅Δ⋅⋅=⋅⋅=⋅=

⋅=⇒=

ρρ

'1' '2'

A1 c1 ρ1

A2 c2 ρ2

h

p⋅ΔA

pr⋅ΔA

pr

FG

Technische Thermodynamik Systembeschreibung 14 _________________________________________________________________________ Kräftebilanz am Fluidelement:

0=Δ⋅−−Δ⋅ ApFAp rG

0)( =Δ⋅−Δ⋅⋅⋅−Δ⋅ ApAhgAhp rρ Gl. 3-11: hgphp r ⋅⋅+= ρ)( _________________________________________________________________________ Ü 3-5: Berechnung der Druckänderung in Wasser von h = 0 auf h = -5m _________________________________________________________________________

Ü 3-6: Berechnung der Druckänderung in der Atmosphäre von h = 0 auf h = +5000m

_________________________________________________________________________ ⇒ Im Gegensatz zu Flüssigkeiten kann bei Gasen in geschlossenen Behältern die

Dichteänderung über die Höhe vernachlässigt werden.

3.2.2 Temperatur Ein System, für welches durch eine bestimmte Vorschrift eine Temperaturfunktion ϑ festgelegt wird, bezeichnet man als Thermometer. Aufgrund der willkürlichen Festlegung dieser Vorschrift wird ϑ auch als empirische Temperatur bezeichnet. Die Temperaturmessung eines Systems beruht darauf, das Thermometer und das System in ein thermisches Gleichgewicht zu bringen. Wobei jedoch die Temperatur des zu messenden Systems unverändert bleiben soll und sich lediglich die Temperatur des Thermometers ändert. Insbesondere bei der Temperaturmessung kleiner Massen wird diese Anforderung nur näherungsweise erfüllt. Ein Ausweichmöglichkeit stellen berührungsfreie Meßverfahren dar, wie z.B. die Infrarot-Thermographie Zur Temperaturmessung lassen sich Systeme verwenden, die eine eindeutige temperaturabhängige physikalische Eigenschaft aufweisen, die sich leicht messen läßt. Z.b die Volumenänderung von Flüssigkeiten (Fieberthermometer) oder die Änderung des elektrischen Widerstands mit der Temperatur (Widerstandsthermometer). Zur Definition der Temperatur sind unterschiedliche Skalen üblich.

- Celsius-Skala [°C] - Fahrenheit-Skala [°F] - Rankine-Skala [°R] - Thermodynamische bzw. absolute Temperatur in Kelvin [K] Skala Wassereis Siedendes Wasser Celsius-Skala [°C] 0.00 °C 100.00°C Fahrenheit-Skala [°F] 32.00 °F 212.00 °F Rankine-Skala [°R] 491.67 °R 671.67 °R Thermodynamische Temperatur, Kelvin-Skala [K]

273.15 K 373.15 K

Tab. 3.2: Temperaturskalen


Umrechnungsformeln - Celsius in Kelvin: Gl. 3-12: [ ] [ ] KCtKT 15.273+= - Fahrenheit in Celsius:

Gl. 3-13: [ ] [ ] )32(95

−⋅= FtCt

- Kelvin in Rankine

Gl. 3-14: [ ] [ ]59⋅= KtRT

3.2.3 Energie Im folgenden werden die wichtigsten mit der Energie in Zusammenhang stehenden Einheiten dargestellt. - Arbeit (=Energie) = Kraft x Weg

sWs

mkgms

mkgNmJJoule ⋅=⋅

=⋅⋅

=== 111111 2

2

2

- Energiestrom = Leistung = Arbeit/Zeit

3

2

1111s

mkgsJWWatt ⋅===

- Spezifische Energie = Energie/Masse

2

2

111sm

kgsW

kgJ

=⋅

=

- Spezifischer Energiestrom = Energiestrom/Masse

3

2

11sm

kgW

=

Technische Thermodynamik Zustandsgleichungen 16 _________________________________________________________________________

4 Zustandsgleichungen

4.1 Zustandsflächen Bei Systemen, in denen lediglich eine einzige Phase vorliegt (Einphasensystemen) wird der thermodynamische Zustand durch die Angabe der Variablen

Druck p, Temperatur T und spezifisches Volumen v

eindeutig festgelegt. Die Verknüpfung dieser Variablen erfolgt durch eine sogenannte Zustandsfunktion oder auch Zustandsgleichung

F(p,T,v) = 0 oder in expliziter Schreibweise für die einzelnen Zustandsvariablen:

p = p(T,v) T = T(p,v) v = v(p,T)

Je zwei der Zustandsgrößen sind also unabhängige Variable während die dritte Größe die abhängige Variable darstellt. Die Zustandsgleichungen sind abhängig von dem jeweils betrachteten Stoff und werden in aller Regel empirisch ermittelt. Die experimentell ermittelten Wertetrippel von p,v,T lassen sich in einem entsprechenden p,v,T –Koordinatensystem in Form einer Fläche darstellen. Diese Fläche wird auch als Zustandsfläche bezeichnet und ist für einen reinen Stoff in Abb. 4-1 skizziert.

Abb. 4-1: Zustandsfläche eines reinen Stoffes, [ 2]

Technische Thermodynamik Zustandsgleichungen 17 _________________________________________________________________________ Schneidet man diese Zustandsfläche mit einer Ebene bei p = const. so erhält man als Schnittkurven Isobaren, d.h. Linien gleichen Drucks. Schnitte bei T = const. liefern Isothermen als Schnittkurven und Schnitte bei v = const. ergeben Isochoren, d.h. Linien gleichen spezifischen Volumens.

Abb. 4-2: Schnitt durch die Zustandsfläche bei T=const., [ 2]

Abb. 4-3: Schnitt durch die Zustandsfläche bei v=const., [ 2]

In Abb. 4-1 ist eine Isobare, die Linie A-B-C-D-E-F , hervorgehoben. Diese Linie entspricht dem Prozeß, den ein Stoff infolge von Wärmezufuhr bei konstantem Druck von der festen Phase über die flüssige Phase in die gasförmige Phase durchläuft. Auf der Zustandsfläche lassen sich einige ausgewählte Bereiche unterscheiden: Einphasengebiete Die Einphasengebiete umfassen die Bereiche in denen der Stoff in genau einer Phase vorliegt, d.h. als Festkörper, als Flüssigkeit oder als Gas. Schmelzgebiet Der Abschnitt der Linie B-C liegt in dem Bereich des Schmelzgebietes. Beim Übergang des Stoffes von der festen zur flüssigen Phase bleibt die Temperatur auf der Isobaren so lange konstant, bis der Stoff vollständig von der festen in die flüssige Phase übergegangen, d.h. geschmolzen ist. Dabei erfährt der Stoff eine deutliche Volumenänderung, sein spezifisches Volumen v wird erheblich vergrößert. Das Schmelzgebiet stellt ein sogenanntes Zweiphasengebiet dar. Es liegen gleichzeitig die feste und flüssige Phase vor, die sich bei konstantem Druck und konstanter Temperatur im thermodynamischen Gleichgewicht befinden. Dieses Schmelzgebiet wird zur festen Phase von der Schmelzlinie und zur flüssigen Phase von der Erstarrungslinie begrenzt. Schmelzlinie Zum Überschreiten der Schmelzlinie von der festen zur flüssigen Phase ist dem Stoff eine Phasenänderungsenergie oder auch Schmelzwärme bzw. Schmelzenthalpie zuzuführen. Die erforderliche Schmelzenthalpie und die Schmelztemperatur sind druckabhängig. In Tab. 4.1 sind für einige ausgewählte Stoffe die Schmelzwärmen bei einem Druck von p = 105 [Pa] angegeben.

Technische Thermodynamik Zustandsgleichungen 18 _________________________________________________________________________ Stoff spezifische Schmelzwärme σ

[KJ/kg] Schmelztemperatur ϑ

[°C] Aluminium Al 356 658 Blei Pb 23.9 327.3 Eisen (rein) Fe 207 1530 Stahl Fe + 0.2%C ca. 209 ca. 1500 Grauguß Fe + 2.0%C ca. 96 ca. 1200 Kupfer Cu 209 1083 Ammoniak NH3 339 -77.9 Äthylalkohol C2H5OH 108 -114.2 Schwefeldioxid SO2 116.8 -75.5 Quecksilber Hg 11.3 -38.9 Wasser (Eis) H2O 333.5 0

Tab. 4.1: Schmelzwärmen und Schmelztemperaturen bei p = 105 [Pa], [ 6] Erstarrungslinie Durch Wärmeentzug des Stoffes in der flüssigen Phase wird die Richtung des Teilprozesses C-D umgekehrt und der Stoff geht bei Überschreiten der Erstarrungslinie wieder in die feste Phase über. Siedelinie Die flüssige und gasförmige Phase sind durch zwei im Punkt K zusammenlaufende Kurven voneinander getrennt. Die linke Kurve wird als Siedelinie bezeichnet. Bei zunehmender Wärmezufuhr bleibt die Temperatur auf der Isobaren konstant, während das spezifische Volumen v stark zunimmt (Linie D-E). Taulinie Der Siedevorgang ist mit Erreichen der Taulinie abgeschlossen und der Stoff ist bei Überschreiten der Taulinie vollständig von der flüssigen Phase in die Gasphase übergegangen. Analog zur Schmelzenthalpie ist auch in diesem Fall eine druckabhängige Phasenänderungsenergie für diesen Phasenwechsel erforderlich, die sogenannte Verdampfungswärme oder auch Verdampfungsenthalpie ΔhD. Nach Überschreiten der Taulinie steigt bei zunehmender Wärmezufuhr die Temperatur in der Gasphase wieder an (Linie E-F). Die Bezeichnung Taulinie ergibt sich aus der Umkehrung des Prozesses, d.h. wenn der Prozeß in der Richtung F-E-D durchlaufen wird und dem Stoff Wärme entzogen wird, beginnt der Stoff beim Überschreiten der Taulinie zu kondensieren und es bilden sich erste Flüssigkeitströpfchen. Für einige ausgewählte Stoffe ist in Tab. 4.2 die Verdampfungswärme und Siedetemperatur bei einem Druck von p = 105 [Pa] angegeben. Stoff Verdampfungs-

enthalpie ΔhD [KJ/kg]

Siedetemperatur

ϑS [°C]

Kritischer Druck

pkr [bar]

Kritische Temperatur ϑkr [°C]

Ammoniak NH3 1369 -33.4 112.8 132.3Äthylalkohol C2H5OH 846 78.3 63.8 243.1Schwefeldioxid SO2 402 -10.0 78.8 157.5Quecksilber Hg 285 356.7 1608 1480Wasser H2O 2257 100.0 221.2 374.15

Tab. 4.2: Verdampfungsenthalpie, Siedetemperatur und kritische Punkte, [ 6]

Technische Thermodynamik Zustandsgleichungen 19 _________________________________________________________________________ Naßdampfgebiet Das Naßdampfgebiet wird von der Siedelinie und der Taulinie begrenzt. Es stellt ein Zweiphasengebiet dar, in dem die flüssige und gasförmige Phase gleichzeitig nebeneinander existieren und sich bei gleichem Druck und gleicher Temperatur im thermodynamischen Gleichgewicht befinden. Kritischer Punkt Der Berührungspunkt von Siedelinie und Taulinie wird als sogenannter kritischer Punkt K bezeichnet. Verläuft der Prozeß auf einer Isobaren oberhalb des kritischen Punktes K so ist ein direkter Phasenübergang von der flüssigen zur gasförmigen Phase möglich ohne das Naßdampfgebiet zu durchlaufen. Sublimationsgebiet Im Bereich von niedrigen Drücken und Temperaturen liegt das Sublimationsgebiet. Unter Sublimation ist der direkte Übergang von der festen in die gasförmige Phase bzw. auch umgekehrt zu verstehen (Prozeß G-H-I). Ähnlich dem Naßdampfgebiet ist das Sublimationsgebiet ein Zweiphasengebiet, in dem der Stoff in einer heterogenen Mischung aus fester und gasförmiger Phase vorliegt. Die für den Wechsel von der festen in die flüssige Phase erforderliche Wärmemenge wird als Sublimationswärme bezeichnet und entspricht der Summe aus Schmelz- und Verdampfungswärme. Das Sublimationsgebiet wird zur festen und gasförmigen Phase durch die Sublimationslinie und Desublimationslinie begrenzt. Tripellinie Die Abgrenzung des Sublimationsgebietes zum Naßdampfgebiet wird durch die Tripellinie beschrieben, die durch den Trippelpunkt verläuft. Durch Projektion der p,v,T-Zustandsfläche auf die p,T-Ebene erhält man das in Abb. 4-3 dargestellte p,T-Diagramm. Hier fallen das Schmelzgebiet in die Schmelzdruckkurve, das Naßdampfgebiet in die Dampfdruckkurve und das Sublimationsgebiet in die Sublimationsdruckkurve zusammen. Die Dampfdruckkurve endet im kritischen Punkt K bei dem Zusammentreffen von Siede- und Taulinie. Bei höheren Temperaturen als der kritischen Temperatur existiert keine scharfe Grenze mehr zwischen der Gasphase und der flüssigen Phase. Flüssigkeiten und Gase werden daher auch unter der gemeinsamen Bezeichnung Fluide zusammengefaßt. Im p,T-Diagramm treffen sich die Schmelzdruckkurve, die Dampfdruckkurve und die Sublimationsdruckkurve im sogenannten Trippelpunkt. Dies ist der einzige Punkt, in dem sich alle drei Phasen in einem thermodynamischen Gleichgewicht befinden. Der Trippelpunkt des Wassers liegt bei pTr = 0.00611 [bar] und bei ϑTr = 0.01 [°C] = 273.16 [K].


4.2 Festkörper In Festkörpern wirken sehr starke Bindungskräfte zwischen den einzelnen Atomen und Molekülen. Diese können daher nur sehr kleine Schwingungen um ihre Gitterplätze in der Kristallstruktur ausführen. Auch bei höheren Drücken ändert sich das Volumen kaum. Die allgemeine Zustandsgleichung Gl. 4-1: ( ) 0,, =TvpF läßt sich also vereinfachen zu Gl. 4-2: ( ) 0, =TvF Die Abhängigkeit des Festkörpervolumens von der Temperatur muß jedoch insbesondere bei der Konzeption von Bauteilen und Bauwerken, die thermischen Änderungen unterworfen sind, z.B. Brücken, beachtet werden.

4.2.1 Thermische Längendehnung Bei der Betrachtung schlanker Körper, bei denen der Querschnitt im Verhältnis zur Gesamtlänge klein ist, genügt es lediglich die thermische Längendehnung zu berücksichtigen. Die Längenänderung in Abhängigkeit von der Temperatur läßt sich für begrenzte Temperaturintervalle linearisieren. Experimentell läßt sich ein Wärmedehnungskoeffizient α bestimmen:

Gl. 4-3: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=

00

1ϑ

αddL

L

mit der Bezugstemperatur ϑ0 = 273.15 K (0°C) ergibt sich die temperaturabhängige Länge Gl. 4-4: ( )ϑαϑ Δ⋅+⋅= 10LL

Stoff α [K-1] Temperaturbereich in [K]Aluminium 23.7⋅10-6 273 -373Blei 29.3⋅10-6 273 –373Chrom 8.3⋅10-6 273 –373Eisen 12.3⋅10-6 273 –373Gold 14.3⋅10-6 273 –373Kupfer 17.0⋅10-6 273 –373Magnesium 26.0⋅10-6 273 –373Platin 9.0⋅10-6 273 –373Silber 19.7⋅10-6 273 –373Zink 29.0⋅10-6 273 -373Quarzglas 0.59⋅10-6 300 - 500Fensterglas 7⋅10-6 - 10⋅10-6 300 - 500

Tab. 4.3: Längenausdehnungskoeffizient α für einige feste Stoffe, [ 6]


Ü 4-1: Längendehnung einer Autobahnbrücke Bei 0°C beträgt die Länge einer Autobahnbrücke 650 m. Die Temperaturschwankung beträgt -20°C im Winter bis zu +45°C im Sommer. Der Wärmedehnungskoeffizient des bei der Brückenkonstruktion verwendeten Stahls beträgt α = 11⋅10-6/°C. Welcher Bewegungsspielraum ist für die beweglichen Auflager der Brücke zu berücksichtigen? _________________________________________________________________________

4.2.2 Thermische Flächendehnung Die temperaturabhängige Flächendehnung ergibt sich analog zur Längendehnung. Für ein Rechteck mit den Abmessungen a0 und b0 und zu vernachlässigender Dicke d (z.B. dünne Folien) ergibt sich die Gesamtfläche bei der Temperatur ϑ0 zu Gl. 4-5: 000 baA ⋅= Die Veränderung der Seitenlängen bei einer Temperaturänderung um Δϑ beträgt Gl. 4-6: ( )ϑαϑ Δ⋅+⋅= 10aa bzw. Gl. 4-7: ( )ϑαϑ Δ⋅+⋅= 10bb Die Gesamtfläche ergibt sich damit zu Gl. 4-8: ( )22

0 21 ϑαϑαϑϑϑ Δ⋅+Δ⋅⋅+⋅=⋅= AbaA bei Vernachlässigung der quadratischen (kleinen) Terme (z.B. αStahl

2=1.21⋅10-10) gilt Gl. 4-9: ( )ϑαϑ Δ⋅⋅+⋅= 210AA _________________________________________________________________________

Ü 4-2: Flächendehnung einer Zinkplatte

Eine Zinkplatte (αZink = 29⋅10-6 /°C) von 2.7 m² wird von 0°C auf 20°C erwärmt. Wie groß ist die Flächenänderung? _________________________________________________________________________

4.2.3 Thermische Volumendehnung Entsprechend dem Ansatz für die thermische Flächendehnung läßt sich auch die thermische Volumenänderung von Festkörpern bestimmen. Ein Quader mit den Abmessungen a0, b0, c0 hat bei der Temperatur ϑ0 = 0 °C ein Volumen von Gl. 4-10: 0000 cbaV ⋅⋅= Mit Veränderung der Temperatur von 0 °C auf ϑ ändert sich das Volumen entsprechend

Technische Thermodynamik Zustandsgleichungen 22 _________________________________________________________________________ Gl. 4-11: ( )3322

0 331 ϑαϑαϑαϑ Δ⋅+Δ⋅⋅+Δ⋅⋅+⋅=VV bzw. nach Vernachlässigung der Glieder zweiter und dritter Ordnung Gl. 4-12: ( )ϑαϑ Δ⋅⋅+⋅= 310VV _________________________________________________________________________

Ü 4-3: Thermische Dehnung eines Zylinderkopfes Ein aus Aluminium gegossener Zylinderkopf hat bei 20°C ein Volumen von 2.56 ltr. Wie groß ist die relative Volumenzunahme bei einer Temperaturerhöhung auf 98°C ? _________________________________________________________________________

4.3 Flüssigkeiten Flüssigkeitsteilchen lassen sich im Gegensatz zu Festkörpern relativ leicht gegeneinander verschieben. Das Volumen ändert sich jedoch auch bei hohen Drücken nur unwesentlich. Um das Volumen von Wasser z.B. um nur 1% zu verringern ist eine Druckerhöhung von 200 bar erforderlich. Druckunabhängige Fluide werden daher als inkompressibel bezeichnet. Die Volumenänderung infolge von Temperaturänderung ist bei Flüssigkeiten um den Faktor 101 bis 102 geringer ausgeprägt als bei Gasen.

Stoff γ [1/°C] bei 20°C Benzin 1.060⋅10-3

Benzol 1.240⋅10-3

Ethanol 1.100⋅10-3

Glycerin 0.500⋅10-3

Glykol 0.640⋅10-3

Methanol 1.200⋅10-3

Petroleum 0.960⋅10-3

Quecksilber 0.181⋅10-3

Terpentinöl 0.970⋅10-3

Wasser 0.207⋅10-3

Tab. 4.4: Volumenausdehnungskoeffizienten γ von Flüssigkeiten, [ 6]

Die Volumenänderung von Flüssigkeiten in Abhängigkeit von der Temperatur läßt sich analog der Volumenänderung von Festkörpern bestimmen: Gl. 4-13: ( )ϑγϑ Δ⋅+⋅= 10VV _________________________________________________________________________

Ü 4-4: Volumenänderung von Benzin In den leeren Tank eines Fahrzeuges, der ein Volumen von 60 ltr. hat, wird Benzin eingefüllt, das eine Temperatur von 20°C hat. Im Laufe des Tages wird ein Temperaturanstieg auf 41°C erwartet. Um welche Menge Benzin muß die Füllmenge unter dem maximalen Tankvolumen bleiben, wenn nichts infolge der Temperaturerhöhung ausfließen soll? _________________________________________________________________________

Technische Thermodynamik Zustandsgleichungen 23 _________________________________________________________________________ 4.4 Ideale Gase Die Zustandsgleichung des idealen Gases läßt sich aus zwei experimentell ermittelten Gasgesetzen ableiten: Den Gesetzen von Gay-Lussac und Boyle-Marriotte.

4.4.1 Gesetz von Gay-Lussac Bei konstantem Druck p wächst das Volumen V eines Gases pro Grad Erwärmung um 1/273.15 des Volumens V0, das es bei einer Temperatur von 0°C hatte.

Gl. 4-14: [ ]

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ °+⋅=

15.27310

CVV ϑ

Abb. 4-4: Gasvolumen in Abhängigkeit von der Temperatur bei unterschiedlichen Drücken

Extrapoliert man die Geraden über den gemessenen Temperaturbereich hinaus, so schneiden sie sich alle –273.15 °C, d.h. dem absoluten Nullpunkt. Ersetzt man die Temperatur ϑ [°C] durch die thermodynamische Temperatur T [K], d.h. Gl. 4-15: 015.273 TTCT −=°−=ϑ so ergibt sich

00 TT

VV= bzw.

1

2

1

2

TT

VV

= (p = const.)

4.4.2 Gesetz von Boyle-Mariotte Das Produkt aus dem Druck p und dem Volumen V eines idealen Gases ist bei gleichbleibender Temperatur konstant. Gl. 4-16: .constVp =⋅ bzw. 2211 VpVp ⋅=⋅ (T = const.) oder )(Vpp=

Technische Thermodynamik Zustandsgleichungen 24 _________________________________________________________________________ Trägt man die Kurven der Zustandsfunktion p = p(V) in einem p,V-Diagramm für verschiedene Temperaturen auf, so erhält man die in Abb. 4-5 skizzierte Hyperbelschar.

Abb. 4-5: Druck p in Abhängigkeit von V bei unterschiedlichen Temperaturen

4.4.3 Thermische Zustandsgleichung des idealen Gases Für ideale Gase läßt sich die Zustandsgleichung aus der Verknüpfung der Gesetze von Gay-Lussac und Boyle-Mariotte herleiten. Zur Verdeutlichung soll ein Prozeß betrachtet werden, bei dem ausgehend von einem Ausgangszustand 1, gekennzeichnet durch den Druck p1 und die Temperatur T1, ein Endzustand 2, gekennzeichnet durch den Druck p2 und die Temperatur T2, erreicht werden soll. Dies läßt sich durch die Verkettung von zwei Teilprozessen erreichen. Im ersten Schritt erfolgt eine Druckerhöhung von p1 auf p2 bei Beibehaltung der Temperatur T1. Nach dem Gesetz von Boyle-Mariotte ergibt sich das Volumen nach der Druckerhöhung von p1 auf p2 zu

Gl. 4-17: ( ) ( )112

112 ,, TpV

ppTpV ⋅= mit .21 constTT ==

Im zweiten Schritt wird nun die Temperatur von T1 auf T2 erhöht, wobei der bereits im ersten Schritt erreichte Druck p2 konstant gehalten wird. Entsprechend dem Gesetz von Gay-Lussac gilt dann

Gl. 4-18: ( )( ) 2

1

22

12

,,

TT

TpVTpV

=

mit ( )111 ,TpVV = , ( )222 ,TpVV =

folgt

Gl. 4-19: 2

1

2

12

1

TT

V

Vpp

=⋅

bzw.

Gl. 4-20: 2

22

1

11

TVp

TVp ⋅

=⋅

Technische Thermodynamik Zustandsgleichungen 25 _________________________________________________________________________ mit dem Einsetzen des spezifischen Volumens mVv = ergibt sich

Gl. 4-21: 2

22

1

11

TmVp

TmVp ⋅

=⋅

bzw.

Gl. 4-22: 2

22

1

11

Tvp

Tvp ⋅=

⋅

oder

Gl. 4-23: ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅

≡=⋅

KkgJRconst

Tvp .

1

11

bzw. Gl. 4-24: TRvp ⋅=⋅ Dies stellt die sogenannte thermischen Zustandsgleichung des idealen Gases dar. Die Konstante R wird hierbei als spezifische Gaskonstante bezeichnet. Gase, die diesem Gesetz entsprechen werden als ideale Gase bezeichnet. Die meisten Gase, die in technischen Anwendungen zum Einsatz kommen, verhalten sich bei niedrigen Drücken und Dichten näherungsweise wie ideale Gase. Da der Geltungsbereich der thermischen Zustandsgleichung des idealen Gases bei technischen Prozessen nur selten überschritten wird, stellt sie in der technischen Thermodynamik in den meisten Fällen eine ausreichend genaue Näherung dar. Gas Dichte ρ [kg/m³] Gaskonstante R [J/kg⋅K] Helium He 0.1785 2077.30Wasserstoff H2 0.08987 4124.50Stickstoff N2 1.2505 296.80Sauerstoff O2 1.42895 259.84Luft 1.2928 287.10Kohlenmonoxid CO 1.2500 296.84Kohlendioxid CO2 1.9768 188.92Schwefeldioxid SO2 2.9265 129.78Methan CH4 0.7168 518.26

Tab. 4.5: Gaskonstanten und Dichten von Gasen bei p=1.0132 bar und T=0°C, [ 6]

_________________________________________________________________________

Ü 4-5: Berechnung der Gaskonstanten von Luft Eine Luftmasse von m = 1.6 kg nimmt bei einem Druck von p = 1,0132 bar eine Temperatur von T = 293 K ein Volumen V = 1.32839 m³ ein. Gesucht ist die Gaskonstante R . _________________________________________________________________________

Technische Thermodynamik Zustandsgleichungen 26 _________________________________________________________________________ Ersetzt man in der Zustandsgleichung des idealen Gases das spezifische Volumen durch den Quotienten aus Volumen und Masse mVv = so erhält man Gl. 4-25: TRmVpTRvp ⋅⋅=⋅⇒⋅=⋅

Mit Ersetzen der Masse m [kg] durch das Produkt aus Stoffmenge n [1/kmol] und Molmasse M [kg/kmol] Gl. 4-26: Mnm ⋅= läßt sich nun die Zustandsgleichung des idealen Gases in der Form Gl. 4-27: TRMnVp ⋅⋅⋅=⋅ bzw. mit dem Molvolumen vm [m³/kmol] nVvm = folgt Gl. 4-28: TRMvp m ⋅⋅=⋅ Das Produkt aus Molmasse M und Gaskonstante R läßt sich auch zusammenfassen zu

Gl. 4-29: ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⋅=⋅=

KkmolJRMRm 51.8314

und wird auch als allgemeine, molare oder auch universelle Gaskonstante bezeichnet und die neue Schreibweise der Zustandsgleichung des idealen Gases lautet nun Gl. 4-30: TRvp mm ⋅=⋅ _________________________________________________________________________

Ü 4-6: Isochore Erwärmung von Stickstoff Ein Stahltank enthält V1 = 17.84 m³ Stickstoff bei einem Druck p1 = 2.7 bar und einer Temperatur von ϑ1 = 19.5°C. Infolge von Schweißarbeiten an der Außenhaut steigt die Temperatur auf ϑ2 = 48°C. Gesucht sind die

- Stickstoffmasse mN2, - Molzahl n, - Druck p2 nach der Erwärmung

_________________________________________________________________________

Ü 4-7: Isobare Erwärmung von Helium

Helium wird isobar (d.h. dp = 0) von ϑ1 = -5°C auf ϑ2 = 84°C erwärmt. Gesucht ist die prozentuale Volumenzunahme. _________________________________________________________________________ Ü 4-8: Isotherme Kompression von idealem Gas Ein Luftvolumen von V1 = 10.47 m³ wird isotherm (dT = 0) von p1 = 1.06 bar auf p2 = 8.72 bar komprimiert. Gesucht ist das Volumen nach der Kompression. _________________________________________________________________________

Technische Thermodynamik Zustandsgleichungen 27 _________________________________________________________________________ 4.4.4 Gesetz von Avogadro Gleiche Volumen von idealen Gasen enthalten bei gleicher Temperatur und gleichem Druck die gleiche Anzahl von Molekülen. Daraus läßt sich die Definition des Molvolumens ableiten, d.h. der Raumbedarf für n = 1 mol einer beliebigen Substanz. Die Anzahl der Atome bzw. Moleküle pro mol beträgt

NA = 6.0221367⋅1023 1/mol Diese Zahl wird auch als Avogadro-Konstante oder Loschmidtsche Zahl bezeichnet.

4.4.5 Mischung idealer Gase Häufig werden in der Technik keine reinen Gase verwendet, sondern Mischungen aus unterschiedlichen chemisch einheitlichen Gasen. Luft stellt z.B. ein Gemisch aus Stickstoff, Sauerstoff, Kohlendioxid, sowie einige Edelgase wie Argon und Neon dar. Zur Bestimmung der thermodynamischen Größen wie z.B. der Gaskonstanten der Mischung ist die Kenntnis der Zusammensetzung der Mischung sowie die Kenntnis der Gaskonstanten der Einzelkomponenten erforderlich. Die Zusammensetzung der Mischung läßt sich durch Angabe der Massenanteile oder Volumenanteile beschreiben: Massenanteile Mit m1, m2, ..., mn ergibt sich die Gesamtmasse der Mischung zu

Gl. 4-31: ∑=

=+++=n

iin mmmmm

121 .....

wobei

Gl. 4-32: 11

=⇒= ∑=

n

ii

ii m

m μμ

den auf die Gesamtmasse m bezogenen Masseanteil der i-ten Komponente darstellt. Volumenanteile Mit V1, V2, ..., Vn werden die Volumen der einzelnen Gase vor dem Zusammenmischen bezeichnet. Der Mischvorgang wird aus Abb. 4-6 deutlich. Druck und Temperatur bleiben bei dem Mischungsvorgang unverändert. Abb. 4-6: Mischung zweier Gase

V = V1+V2

p

T

p p

T T

V2 V

Wärmeisolierung

Technische Thermodynamik Zustandsgleichungen 28 _________________________________________________________________________ Analog zu den Massenanteilen lassen sich auch sich auch die Volumenanteile von Gasen zusammenfassen

Gl. 4-33: ∑=

=+++=n

iin VVVVV

121 .....

Der Volumenanteil ri der i-ten Komponente wird als das auf das Gesamtvolumen V bezogene Teilvolumen Vi definiert.

Gl. 4-34: 11

=⇒= ∑=

n

ii

ii r

VVr

Gaskonstante der Mischung Unter der Annahme, daß alle n Komponenten einer Mischung den gleichen Druck p und die gleiche Temperatur T haben, lassen sich auch n Zustandsgleichungen aufstellen.

TRmVp

TRmVpTRmVp

nnn ⋅⋅=⋅

⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅

M

222

111

Die Aufsummierung über alle n Gleichungen ergibt

Gl. 4-35: TRmVpn

iii

n

ii ⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅=⋅ ∑∑

== 11

mit ii mm μ⋅=

folgt

Gl. 4-36: TRmVp

MischungderteGaskons

n

iii

n

ii ⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅=⋅ ∑∑

== 43421tan

11μ

Die Gaskonstante der Gesamtmischung entspricht der Summe der Produkte der Massenanteile μi und der Gaskonstanten Ri der Komponenten.

Gl. 4-37: ∑=

⋅=n

iii RR

1

μ

Sind für die einzelnen Komponenten der Mischung anstelle der einzelnen Gaskonstanten Ri die Molmassen Mi bekannt, so läßt sich die Gaskonstante der Mischung mit Hilfe der universellen Gaskonstante Rm berechnen. Gl. 4-38: iim MRR ⋅=

Gl. 4-39: ∑=

⋅=n

i i

im M

RR1

μ

Molmasse der Mischung Die Molmasse der Mischung, bzw. der Mittelwert der Molmassen M ergibt sich aus


Gl. 4-40: ∑=

⋅=n

iii MrM

1

Dichte der Mischung

Gl. 4-41: ∑=

⋅=n

iiir

1ρρ

Beziehung zwischen Massenanteilen und Raumanteilen

Gl. 4-42: i

ii

iiii

i RRr

MM

rMnMn

mm

⋅=⋅=⋅⋅

==μ

Partialdrücke Theoretisches Konstrukt: Während des Mischungsvorganges expandiert jede Teilkomponente von seinem Anfangsvolumen Vi auf das größere Volumen V und sein Druck sinkt damit von pi auf p. Der Druck der Komponente in der Mischung wird als Teildruck oder auch als Partialdruck bezeichnet. Dieser Partialdruck läßt sich lediglich rechnerisch ermitteln, nicht jedoch meßtechnisch bestimmen. Die Berechnung von Partialdrücken basiert auf dem Gesetz von Dalton: In einer idealen Gasmischung verhält sich jede Komponente so als wäre sie allein vorhanden. Die Zustandsgleichungen der idealen Gase nach der Mischung lauten somit

TRmVp

TRmVpTRmVp

nnn ⋅⋅=⋅

⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅

M222

111

wobei p1, p2, ...., pn die Partialdrücke der Einzelgase in der Mischung bezeichnen. Die Addition der einzelnen Zustandsgleichungen liefert

Gl. 4-43: TRmTRmVpn

iii

n

iii

n

ii ⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅=⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅=⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ ∑∑∑=== 111μ

Der Gesamtdruck in der Mischung entspricht der Summe der Partialdrücke

Gl. 4-44: ∑=

=+++=n

iin ppppp

121 .....

Die Bestimmung des Partialdrucks pi einer Komponente i in einer Gasmischung erfolgt aus dem Volumenanteil und dem Gesamtdruck p der Mischung Gl. 4-45: prp ii ⋅=


Ü 4-9: Luft Die Zusammensetzung von Luft unter Normalbedingungen besteht aus ca. -Stickstoff: 78 % (Volumen) - Sauerstoff: 21% - Argon: 1% Gesucht sind

- Molmasse MLuft - Gaskonstante RLuft - Dichte im Normzustand ρn - Partialdrücke der Komponenten pi

_________________________________________________________________________

4.5 Reale Gase Experimentelle Untersuchungen bezüglich der Genauigkeit mit der reale Gase durch die Zustandsgleichung für ideale Gase approximiert werden, zeigen, daß reale Gase sich mit abnehmenden Druck dem Grenzwert

Gl. 4-46: 1lim0

=⋅⋅

→ TRvp

p

annähern. Dies bedeutet, daß reale Gase sich bei kleinen Drücken näherungsweise wie ideale Gase verhalten. Bei höheren Drücken zeigen sich somit größere Abweichungen vom Verhalten eines idealen Gases und die die Zustandsgleichung kann durch Einführung eines Korrekturfaktors erweitert werden. Dieser Korrekturfaktor wird auch als Realgasfaktor Z bezeichnet. Die Zustandsgleichung für reale Gase lautet somit:

Gl. 4-47: TRZvpZTRvp

⋅⋅=⋅⇔=⋅⋅

Der Realgasfaktor Z ist eine Funktion, die von dem jeweiligen Stoff, der Temperatur und dem Druck abhängt. Die Bestimmung von Z erfolgt experimentell. In Abb. 4-7 ist der Verlauf des Realgasfaktors von Luft in Abhängigkeit von der Temperatur für unterschiedliche Drücke dargestellt. Es wird deutlich, daß sich Luft bis zu Drücken von ca. p = 10 bar, in dem Temperaturbereich von T = 270 K bis T = 1000 K, ohne größeren Fehler als Realgas approximieren läßt.


Abb. 4-7: Realgasfaktor Z für Luft bei unterschiedlichen Drücken, [ 6]

4.6 Dämpfe Dämpfe unterscheiden sich in ihren physikalischen Eigenschaften nicht von Gasen. Allerdings bilden sie, sofern sie sich im thermodynamischen Gleichgewicht befinden, ein Zweiphasensystem.

4.6.1 Dampfarten Der Phasenübergang von der flüssigen in die gasförmige Phase erfordert die Zufuhr von Wärme. Die unterschiedlichen Arten von Dampf, die bei dem Prozeß einer isobaren Erwärmung (d.h. dp = 0)durchlaufen werden, sollen anhand von Abb. 4-8 und Abb. 4-9 näher erläutert werden.

Abb. 4-8: Verschiedene Stadien des Verdampfungsprozesses


Abb. 4-9: Zustandsänderungen von Wasser beim Erwärmen und Verdampfen bei p = const.

Bei Umgebungstemperatur T1 befindet sich das Wasser in der flüssigen Phase und hat ein spezifisches Volumen v1 (Zustand 1). Bei Erwärmung auf die Temperatur T2 = 99.6°C vergrößert sich sein spezifisches Volumen auf v2 (Zustand 2). Dies entspricht der Siedetemperatur von Wasser bei p = 1 bar. Bei weiterer Wärmezufuhr bildet sich mehr Dampf und das spezifische Volumen vergrößert sich auf v3 (Zustand 3). Bei weiterer Wärmezufuhr bleibt die Temperatur solange konstant, bis das Wasser vollständig in die Gasphase übergegangen ist (Zustand 4). Der Bereich des Prozesses von Zustand 2 bis Zustand 4 wird als Naßdampf bezeichnet und stellt ein Zweiphasengemisch dar. Aufgrund der Schwerkraft bildet sich eine deutliche Trennfläche zwischen der flüssigen und der gasförmigen Phase (= gesättigter Dampf) aus. Ist der letzte Rest Wasser von der flüssigen Phase in die Gasphase übergegangen, so steigt bei weiterer Wärmezufuhr auch wieder die Temperatur und auch sein spezifisches Volumen an (Zustand 5). das Wasser, das sich nun vollständig in der Gasphase befindet, wird auch als überhitzter Dampf bezeichnet. Dieser isobare Verdampfungsprozeß läßt sich für unterschiedliche Drücke wiederholen, solange der Druck zwischen dem Druck des Trippelpunktes und dem Druck des kritischen Punktes liegt. Bei Drücken oberhalb des kritischen Punktes lassen sich bei dem Verdampfungsprozeß nicht mehr gleichzeitig zwei deutlich unterscheidbare Phasen mehr beobachten. Flüssigkeits- und Gasgebiet gehen kontinuierlich ineinander über. Eine sinnvolle Grenze zwischen Flüssigkeit und Gas existiert nicht mehr.

4.6.2 Dampfdruckkurven Bei Verdampfung unter konstantem Druck bleibt auch die Temperatur konstant. Zu jedem Druck gehört auch eine bestimmte Siedetemperatur und umgekehrt gehört auch zu jeder Temperatur ein bestimmter Druck, bei dem die Flüssigkeit verdampft. Kaffeewasser kocht z.B. in großer Höhe im Gebirge (= geringerer Druck) bereits bei einer spürbar geringeren Temperatur als in Meereshöhe. Dieser Druck wird auch als Dampfdruck oder Sättigungsdruck einer Flüssigkeit bezeichnet.

Technische Thermodynamik Zustandsgleichungen 33 _________________________________________________________________________ Die Dampfdruckkurve ( )Tpp= erscheint im p,T-Diagramm als Projektion des Naßdampf-gebietes und verläuft vom Trippelpunkt zum kritischen Punkt. Die Dampfdruckkurve ist eine stoffspezifische Größe und muß für jeden Stoff experimentell ermittelt werden.

Abb. 4-10: Dampfdruckkurven verschiedener Stoffe im p,T-Diagramm, [ 2]

4.6.3 Grenzkurven Die thermischen Daten von Dämpfen, wie sie in technischen Anwendungen Verwendung finden, sind in sogenannten Sättigungsdampftafeln aufgelistet. Sie enthalten für den entsprechenden Stoff u.a. die Dampfdruckkurve, also die Wertepaare des Sättigungsdrucks ps und der Sättigungstemperatur Ts sowie die spezifischen Volumen des Stoffes auf der Siedelinie v' und auf der Taulinie v''. Trägt man die Sättigungsdrücke und die dazugehörigen spezifischen Volumina v' und v'' über dem spezifischen Volumen v auf, so entsteht eine Grenzkurve, die das Naßdampfgebiet umschließt, Abb. 4-11. Der Ast links von dem kritischen Punkt wird als untere Grenzkurve bezeichnet und entspricht der Siedelinie. Der rechte Ast der Grenzkurve wird als obere Grenzkurve bezeichnet und entspricht der Taulinie. Mit zunehmendem Sättigungsdruck verringert sich die bei dem Übergang von der flüssigen in die gasförmige Phase zu verzeichnenden Volumenzunahme Gl. 4-48: vvv ′−′′=Δ um im kritischen Punkt, bei dem kritischen Druck pkr und der kritischen Temperatur Tkr vollständig zu verschwinden.


Abb. 4-11: Grenzkurven des Naßdampfgebietes im p,v-Diagramm,[ 2]

4.6.4 Thermische Zustandsgleichung von Dampf Das Naßdampfgebiet stellt ein Zweiphasengebiet dar, in dem im Zustand des thermodynamischen Gleichgewichts die flüssige und die gasförmige Phase den gleichen Druck und die gleiche Temperatur haben. Druck und Temperatur sind nicht voneinander unabhängig, sondern sind über die Dampfdruckkurve miteinander verknüpft. Zur vollständigen Beschreibung des Zustands ist nicht nur die Angabe von Druck und Temperatur erforderlich, sondern auch eine Angabe über das Mengenverhältnis der beiden Phasen. Das Mengenverhältnis wird auch als Dampfgehalt x bezeichnet, wobei m' die Masse der flüssigen Phase und m'' die Masse der gasförmigen Phase kennzeichnet.

Gl. 4-49: mm

mmmx

′′=′′+′

′′=

Für alle Punkte, die auf der linken Grenzkurve (Siedelinie) liegen, gilt wegen m'' = 0 auch x = 0. Entsprechend gilt für alle Punkte, die auf der rechten Grenzkurve (Taulinie) liegen, gilt wegen m' = 0 auch x = 1. der Dampfgehalt x kann also nur zwischen den Grenzen 0 und 1 variieren. Der Term

Gl. 4-50: mmx′

=−1

beschreibt den Flüssigkeitsanteil des Naßdampfes, der noch nicht in die gasförmige Phase übergegangen ist und wird als Nässe oder auch Restfeuchte bezeichnet. Die thermische Zustandsgleichung von Naßdampf ergibt sich aus der Volumenbilanz Gl. 4-51: VVV ′′+′= bzw.

Gl. 4-52: vmmv

mmvvmvmvm ′′⋅

′′+′⋅

′=⇔′′⋅′′+′⋅′=⋅

Technische Thermodynamik Zustandsgleichungen 35 _________________________________________________________________________ Mit der Definition der Restfeuchte Gl. 4-50 folgt Gl. 4-53: ( ) ( )vvxvvxvxv ′−′′⋅+′=′′⋅+′⋅−= 1 Damit läßt sich der Naßdampfzustand auf jeder Isobare durch die spezifischen Volumina in Abhängigkeit vom Dampfgehalt beschreiben. Bei Kenntnis der spezifischen Volumina v' und v'' ergibt sich der Dampfgehalt x zu:

Gl. 4-54: vvvvx′−′′′−

=

Der thermische Zustand des Naßdampfes läßt sich also beschreiben durch die Funktion Gl. 4-55: ( )( )xTpvv ,=

_________________________________________________________________________

Ü 4-10:

Für eine Sättigungstemperatur von 25°C sind für Wasser folgende Größen zu bestimmen:

- Sättigungsdruck ps - Spezifische Volumina auf der Siede- und Taulinie v' und v'' - Spezifisches Volumen v für einen Dampfgehalt von x = 37%

_________________________________________________________________________

Technische Thermodynamik Kinetische Gastheorie 36 _________________________________________________________________________

5 Kinetische Gastheorie

5.1 Druck als Ergebnis von Stoßvorgängen Im Gegensatz zur klassischen Thermodynamik, deren Erkenntnisse auf der experimentellen Untersuchung thermodynamischer Prozesse beruhen, betrachtet die kinetische Gastheorie, als Teil der statistischen Thermodynamik, die mikroskopische Struktur der gasförmigen Materie. Die Beschreibung der Stoffeigenschaften und Gesetzmäßigkeiten erfolgt hier rein theoretisch auf der Basis der klassischen Mechanik und der Statistik. Dabei geht die kinetische Gastheorie von der vereinfachenden Annahme aus, daß die Atome und Moleküle durch Massepunkte, bzw. kleinen Kugeln, repräsentiert werden, die sich in einer permanenten, ungeordneten Bewegung befinden. Die Massepunkte bewegen sich dabei auf geradlinigen Bahnen mit einer gleichförmigen Geschwindigkeit. Stoßvorgänge zwischen einzelnen Teilchen oder mit einer Wand, entsprechen elastischen Stößen. Aufgrund der (angenommenen) geringen Dichte sind Anziehungskräfte zwischen den Teilchen vernachlässigbar. Ausgehend von diesen Annahmen, lassen sich so bei Kenntnis der mikroskopischen Daten eines Systems, wie der Anzahl der im Volumen enthaltenen Teilchen, ihrer Masse und Geschwindigkeit die makroskopischen Größen eines Systems, wie z.B. Druck, Volumen und Temperatur berechnen. _________________________________________________________________________ Impuls und Stoß Elastischer Stoß Bei einem elastischen Stoß bewegen sich die Körper während einer kurzen Berührungsphase mit einer gemeinsamen Geschwindigkeit, dann stoßen sie sich wieder ab und bewegen sich mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten weiter. Abb. 5-1: Elastischer Stoß

m1 m2

c1 c2

m1 + m2

c

m1m2

c1' c2'

Technische Thermodynamik Kinetische Gastheorie 37 _________________________________________________________________________ Impulssatz

Gl. 5-1: ′⋅+′⋅=⋅+⋅ 22112211 cmcmcmcm

Gl. 5-2: ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ′−⋅=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ′−⋅ 222111 ccmccm

Energiesatz

Gl. 5-3: 2222

2

22

2

112

222

11′⋅

+′⋅

=⋅

+⋅ cmcmcmcm

Umformen und Einsetzen in den Impulssatz ergibt die Geschwindigkeiten nach dem elastischen Stoß

Gl. 5-4: ( )

21

221211

2mm

cmcmmc+

⋅⋅+⋅−=′

Gl. 5-5: ( )

21

112212

2mm

cmcmmc+

⋅⋅+⋅−=′

Die beiden Körper erfahren keine bleibenden Verformungen, die Summe der Bewegungsenergie vor und nach dem elastischen Stoß bleibt gleich d.h. Ekin = Ekin'. Unelastischer Stoß Sind die an dem Stoßvorgang beteiligten Körper unelastisch, so verformen sie sich an den Berührungsstellen und bewegen sich dann mit gemeinsamer Geschwindigkeit weiter. Abb. 5-2: Unelastischer Stoß

Geschwindigkeit c nach dem Stoß folgt aus Impuls- und Energiesatz: Gl. 5-6: ( ) cmmcmcm ⋅+=⋅+⋅ 212211

Gl. 5-7: 21

2211

mmcmcmc

+⋅+⋅

=

m1 m2

c1 c2

m1 + m2 c

Technische Thermodynamik Kinetische Gastheorie 38 _________________________________________________________________________ Die geleistete Verformungsarbeit ΔW ergibt sich aus der Differenz der Bewegungsenergien W1 und W2 vor und nach dem Stoß:

Gl. 5-8: 22

222

211

1cmcmW ⋅

+⋅

=

Gl. 5-9: ( )

2

221

2cmmW ⋅+

=

Gl. 5-10: ( )

( )21

22121

21 2 mmccmmWWW

+⋅−⋅⋅

=−=Δ

Abb. 5-3: Kontrollvolumen

Innerhalb des in Abb. 5-3 skizzierten Quaders befinden sich N Gasteilchen mit der Masse mT. Aus der Gesamtmenge soll ein Teilchen i, 1 ≤ i ≤ N betrachtet werden: der Impuls I dieses Teilchens beträgt Gl. 5-11: cmI T ⋅= Beim elastischen Aufprall auf die Wand ändert sich die y-Komponente des Impulses Gl. 5-12: ( )iyTiyT cmcm ,, −⋅→⋅ d.h. Gl. 5-13: ( ) ( ) ( ) iyTiyTiyTiyiyiy cmcmcmtIttII ,,,,,, 2 ⋅⋅−=⋅−−⋅=−Δ+=Δ Mit der Differenzierung des Impulses nach der Zeit ergibt sich die Kraft auf die Wand:

Gl. 5-14: iyTiy

iT ctm

tI

FtIF ,

,,

2⋅

Δ⋅

=Δ

Δ=⇒

∂∂

=

Der Betrag der gesamten auf die rechte Wand übertragenen Kraft F ergibt sich aus der Summation der Impulsänderungen aller Gasteilchen ΔN, die im Zeitintervall Δt auf die rechte Wand auftreffen.

Gl. 5-15: ∑∑Δ

=

Δ

=

⋅Δ⋅

==N

iiy

TN

ii c

tmFF

1,

1

2

Mit der mittleren Geschwindigkeit der Teilchen in y-Richtung ergibt sich für die Kraft F:


Gl. 5-16: 22y

T ctmNF ⋅Δ⋅

⋅Δ=

Die Anzahl ΔN der Teichen, die in dem Zeitintervall Δt auf die rechte Wand treffen, berechnet sich wie folgt: Es können nur diejenigen Teilchen auftreffen, die sich im Abstand

Gl. 5-17: tcy y Δ⋅=Δ 2

von der Wand befinden, also in der Volumenscheibe ΔV

Gl. 5-18: AtcAyV y ⋅Δ⋅=⋅Δ=Δ 2

Die Anzahl der Teilchen NΔV in der Volumenscheibe ΔV beträgt

Gl. 5-19: AtcVNV

VNN yV ⋅Δ⋅⋅=Δ⋅=Δ

2

Im statistischen Mittel bewegen sich gleichzeitig genauso viele Teilchen nach rechts wie nach links, d.h. die Anzahl der Teilchen, die sich im Zeitintervall Δt auf die rechte Wand zu bewegen entspricht der Hälfte der Teilchen, die sich in der Volumenscheibe ΔV befinden, also

Gl. 5-20: AtcVNNN yV ⋅Δ⋅⋅⋅=⋅=Δ Δ

2

21

21

Einsetzen von ΔN in die Gleichung für die Druckkraft (Gl. 5-16) ergibt

Gl. 5-21: AcmVNF yT ⋅⋅⋅= 2

bzw. für den Druck auf die Wandfläche A:

Gl. 5-22: 2yT cm

VN

AFp ⋅⋅==

Da die Bewegung der Teilchen beliebig mit gleicher Wahrscheinlichkeit in alle Richtungen erfolgt, gilt: Gl. 5-23: 222

zyx ccc ==

Gl. 5-24: 2222zyx cccc ++=

läßt sich eine mittlere Geschwindigkeit, die sogenannte mittlere thermische Geschwindigkeit definieren:

Gl. 5-25: 222zyx cccc ++=

mit


Gl. 5-26: 22

31 ccy ⋅=

läßt sich für den Druck p somit schreiben

Gl. 5-27: 2

31 cm

VNp T ⋅⋅⋅=

5.2 Temperatur als Maß der kinetischen Energie Gleichung Gl. 5-27 für den Druck läßt sich auch schreiben als

Gl. 5-28: 2

21

32 cmNVp T ⋅⋅⋅⋅=⋅

mit der mittleren kinetischen Energie TE eines Teilchen

Gl. 5-29: 2

21 cmE TT ⋅⋅=

folgt

Gl. 5-30: TENVp ⋅⋅=⋅32

Der Vergleich mit der thermischen Zustandsgleichung des idealen Gases Gl. 5-31: TRmNTRmVp T ⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅ zeigt, daß die mittlere kinetische Energie eines Gasteilchens proportional der thermodynamischen Temperatur T des Gases ist:

Gl. 5-32: TRmE TT ⋅⋅⋅=23

Die gesamte kinetische Energie aller N Teilchen, die sich im Volumen V befinden ergibt sich mit TmNm ⋅= zu

Gl. 5-33: TRmEN

iT ⋅⋅⋅=∑

= 23

1

Die absolute Temperatur T stellt somit ein Maß für die innere Energie der Gasmasse dar. Ersetzt man die Masse m durch das Produkt aus Teilchenanzahl n und Molmasse M, d.h.

Mnm ⋅= und die stoffspezifische Gaskonstante R durch die universelle Gaskonstante Rm, MRR m= , dann erhält man für die gesamte kinetische Energie des Systems

Gl. 5-34: TRnE m

N

iT ⋅⋅⋅=∑

= 23

1

Technische Thermodynamik Kinetische Gastheorie 41 _________________________________________________________________________ Dies zeigt, daß die gesamte kinetische Energie lediglich von der Temperatur und der Anzahl der Teilchen abhängt, nicht jedoch von der Teilchenmasse. Gleichsetzen von Gl. 5-29 mit Gl. 5-32, d.h.

TRmcmE TTT ⋅⋅⋅=⋅⋅=23

21 2

ergibt die mittlere thermische Geschwindigkeit als Funktion der Temperatur Gl. 5-35: TRc ⋅⋅= 3 _________________________________________________________________________

Ü 5-1: Mittlere thermische Geschwindigkeit eines Luftmoleküls Berechnen Sie die mittlere thermische Geschwindigkeit eines Luftmoleküls bei Standard-bedingungen

T = 288.15 [K] (=15°C) RLuft = 287.1 [J/kg⋅K]

_________________________________________________________________________

Technische Thermodynamik Erster Hauptsatz der Thermodynamik 42 _________________________________________________________________________

6 Der erste Hauptsatz der Thermodynamik

6.1 Der erste Hauptsatz für geschlossene Systeme

6.1.1 Inhalt des ersten Hauptsatzes Der erste Hauptsatz der Thermodynamik formuliert das Prinzip von der Erhaltung der Energie. Dies erfordert eine Beschreibung der Größen Arbeit, Energie und Wärme. Bei der Formulierung des ersten Hauptsatzes ist zu unterscheiden zwischen der in einem System gespeicherten Energie und der Energie, die während eines Prozesses die Systemgrenze überschreitet. Die in einem System gespeicherte Energie, sein Energieinhalt, besteht aus kinetischer, potentieller und innerer Energie und stellt eine Zustandsgröße des Systems dar. Die Energie, die während eines Prozesses die Systemgrenze überschreitet, stellt dabei keine Zustandsgröße dar. Diese Energie wird in Arbeit und Wärme aufgeteilt. Das Verrichten von Arbeit und das Übertragen von Wärme stellen zwei unterschiedliche physikalische Verfahrensweisen dar um Energie über die Systemgrenzen zu transportieren. Das Prinzip von der Erhaltung der Energie führt schließlich zu einer Energiebilanz, die die Änderung der im System gespeicherten Energie mit der Energie verknüpft, die in Form von Wärme oder Arbeit über die Systemgrenzen transportiert wurde.

6.1.2 Mechanische Arbeit und mechanische Energie Allgemein Eine Kraft verrichtet Arbeit, wenn unter ihrem Einfluß ein Körper bewegt oder verformt wird. Arbeit als Skalarprodukt zweier Vektoren: Bei Verschiebung des Angriffspunktes einer konstanten Kraft F

r um die Strecke sr wird die

Arbeit W verrichtet. Gl. 6-1: °≤≤⋅⋅=⋅⋅=⋅= 1800,coscos ααα sFsFsFW rrrr

Abb. 6-1: Skalarprodukt zweier Vektoren

Technische Thermodynamik Erster Hauptsatz der Thermodynamik 43 _________________________________________________________________________ Bewegung eine punktförmigen Masse Zur Verdeutlichung der Energieübertragung soll die Bewegung einer punktförmigen Masse m im Raum betrachtet werden. Unter dem Einfluß einer Kraft bewegt sich dieser Massepunkt entlang einer räumlichen Bahn, die durch den Ortsvektor ( )trr beschrieben wird.

Die Kraft selbst ist abhängig von der Bahnkurve, d.h. ( )rFF rr= .

Abb. 6-2: Bahnkurve eines Massepunktes im Raum

Mit der auf der Bahnkurve zurückgelegten Strecke rdsd rr

= ergibt sich die zwischen zwei Punkten auf der Bahnkurve geleistete Arbeit

Gl. 6-2: ∫=2

1

12

r

r

rdFW rr

Mit der Newton'schen Definition für Kraft, d.h. Kraft gleich Masse mal Beschleunigung

Gl. 6-3: dtcdmamFr

rr⋅=⋅=

ergibt sich für die Arbeit W12, die geleistet werden muß um den Massepunkt von (1) nach (2) zu bewegen

Gl. 6-4: 21

2212 2

1212

1

2

1

2

1

cmcmcdcmcddtrdmrd

dtcdmW

c

c

c

c

r

r

⋅⋅−⋅⋅=⋅=⋅=⋅= ∫∫∫rr

rr

r

Die beiden letzten Terme entsprechen der kinetischen Energie des Massepunktes in den Punkten 1 und 2, d.h. die Arbeit, die von der Kraft F

r durch Verschiebung des Massepunktes

m auf der Bahnkurve geleistet wurde, ist gleich der Änderung der kinetischen Energie. Gl. 6-5: 1,2,12 kinkin EEW −=

Technische Thermodynamik Erster Hauptsatz der Thermodynamik 44 _________________________________________________________________________ Bewegung eines Massepunktes im Schwerefeld der Erde Im Schwerefeld der Erde erfährt jeder Körper eine zum Erdmittelpunkt gerichtete Gewichtskraft FG. Damit erweitert sich die in Abb. 6-3 dargestellt Kräfteverteilung auf den Massepunkt, der auf einer Bahnkurve bewegt wird entsprechend.

Abb. 6-3: Kräfteverteilung an einem Massepunkt im Gravitationsfeld

Mit Gl. 6-6: AG FFF

rrr+=

ergibt sich die von der Kraft F

r an dem Massepunkt m zu verrichtende Arbeit zu

Gl. 6-7: rdFrdFWWWr

rA

r

rGAG

rrrr∫∫ +=+=2

1

2

1

12,12,12

Unter der Annahme einer konstanten Erdbeschleunigung g = const., ergibt sich für die Gewichtskraft FG Gl. 6-8: zG egmF ⋅⋅−=

r

und somit für die Arbeit WG,12

Gl. 6-9: ( )1212,

2

1

2

1

zzgmdzgmrdFWz

z

r

rGG −⋅⋅−=⋅−== ∫∫

rr

mit der Definition für die potentielle Energie zgmE pot ⋅⋅= erhält man Gl. 6-10: ( )1,2,12, potpotG EEW −−= Die gesamte zwischen den beiden Punkten verrichtete Arbeit beträgt somit Gl. 6-11: ( ) 12,1,2,1,2,12 Apotpotkinkin WEEEEW +−−=−= oder Gl. 6-12: 2,2,12,1,1, potkinApotkin EEWEE −=++ Die mechanische Gesamtenergie des Systems ergibt sich zu

Technische Thermodynamik Erster Hauptsatz der Thermodynamik 45 _________________________________________________________________________ Gl. 6-13: potkinmech EEE += Arbeit und mechanische Energie sind Größen gleicher Art. Der Energiesatz der Mechanik lautet somit Gl. 6-14: 1,2,12, mechmechA EEW −= Der Anteil WA,12 stellt dabei den Anteil der Arbeit dar, der nicht aus einem konservativen Kraftfeld abgeleitet werde kann. Konservative Kraftfelder, wie z.B. das Gravitationsfeld der Erde, sind dadurch gekennzeichnet, daß die Arbeit infolge dieser Kräfte wegunabhängig ist. _________________________________________________________________________

Ü 6-1: Beschleunigung eines Fahrzeugs Ein Fahrzeug mit einer Masse m = 1750 kg wird t = 6.9 s lang mit a = 0.38 g beschleunigt. Der Rollwiderstand wird mit μ = 0.014 abgeschätzt, der aerodynamische Widerstand wird vernachlässigt. Welche Arbeit wird von der Antriebskraft in dem Zeitintervall Δt = 6.9 s geleistet? Abb. 6-4: Beschleunigung eines Fahrzeuges

_________________________________________________________________________

6.1.3 Volumenänderungsarbeit Arbeit läßt sich auf ein ruhendes System nur durch Bewegung der Systemgrenzen oder zumindest Teilen der Systemgrenzen übertragen. Ändert sich infolge der Deformation der Systemgrenzen auch das Systemvolumen, so spricht man von Volumenänderungsarbeit. Als Beispiel soll die in einem Kolben eingeschlossene Gasmasse betrachtet werden.

Abb. 6-5: Volumenänderungsarbeit infolge einer Kolbenbewegung

FG=m⋅g

FA

FR=μ⋅ 0.5⋅FG FR=μ⋅ 0.5⋅FG

FT=m⋅a

Technische Thermodynamik Erster Hauptsatz der Thermodynamik 46 _________________________________________________________________________ Die bei einer Verschiebung ds des Kolbens geleistete Volumenänderungsarbeit dWV entspricht Gl. 6-15: dsApdWV ⋅⋅= Die Änderung des Systemvolumens beträgt hierbei Gl. 6-16: dsAdV ⋅= Es wird vereinbart, daß zugeführte Energie oder Arbeit ein positives Vorzeichen und abgeführte Energie oder Arbeit ein negatives Vorzeichen erhält. Damit ergibt sich für die Volumenänderungsarbeit dWV Gl. 6-17: dVpdWV ⋅−= bei einer Kompression mit dV < 0 ein positiver Wert, d.h. dem System wird Arbeit zugeführt. Bei einer Expansion mit dV > 0, nimmt die Volumenänderungsarbeit einen negativen Wert an, d.h. das System gibt Arbeit ab. Die Volumenänderungsarbeit für die Volumenänderung von V1 auf V2 ergibt sich zu

Gl. 6-18: ∫ ⋅−=2

112 dVpWV

Bezieht man das Volumen V auf die Systemmasse m, so erhält man mit dem spezifischen Volumen v die spezifische Volumenänderungsarbeit.

Gl. 6-19: ∫ ⋅−=2

112 dvpwV

Bei einer quasistatischen Zustandsänderung entspricht der Druck in dem Volumen dem am Kolbenboden und läßt sich über die thermische Zustandsgleichung p=p(V,T) berechnen. Der Übergang vom Zustand 1 zu einem Zustand 2 verläuft auf einer prozeßabhängigen Kurve, z.B. einer Isotherme (dT = 0). Die Fläche unter dieser Kurve entspricht der bei diesem Prozeß zu- bzw. abgeführten Volumenänderungsarbeit.

Abb. 6-6: Volumenänderungsarbeit im p,V-Diagramm bei a) Kompression, b) Expansion

Technische Thermodynamik Erster Hauptsatz der Thermodynamik 47 _________________________________________________________________________ Verläuft dieser Prozeß unter einem Umgebungsdruck, so wird während der Kolbenbewegung auch Arbeit an die Umgebung abgegeben, bzw. von ihr geleistet. Die Kolbenstangenkraft beträgt Gl. 6-20: ( ) AppF UN ⋅−= Die verbleibende Nutzarbeit berechnet sich zu

Gl. 6-21: ( )∫∫ ⋅⋅−=⋅=2

1

2

112 dsAppdsFW UNN

Gl. 6-22: ( )211212 VVpWW UVN −⋅−=

Abb. 6-7: Volumenänderungsarbeit im p,V-Diagramm bei Umgebungsdruck

_________________________________________________________________________ Ü 6-2: Isotherme Kompression von Luft Ein reibungsfrei gleitender Kolben mit einem Durchmesser von d = 100mm verdichtet Luft isotherm vom Volumen V1 = 0.18 m³ auf V2 = 0.03 m³. Der Anfangsdruck beträgt p1 = 1340 hPa. Der Umgebungsdruck beträgt pu = 980hPa. Gesucht sind die erforderliche Kolbenkraft FN und die verrichtete Nutzarbeit WN12. _________________________________________________________________________

6.1.4 Wellenarbeit Zur Definition der Wellenarbeit soll eine Welle, die in das System hinein ragt, z.B. die Antriebswelle eines Rührwerks, betrachtet werden. Die Systemgrenze durchschneidet die Welle und bildet als rotierende Kreisfläche einen beweglichen Teil der Systemgrenze, Abb. 6-8. In dieser Schnittfläche greifen, die durch die Torsionswirkung des Drehmoments verursachten Schubspannungen τ an.


Abb. 6-8: Zur Berechnung der Wellenarbeit

Mit der auf ein Flächenelement dA wirkenden Tangentialkraft Fτ Gl. 6-23: ( ) ( ) drdrrdArF ⋅⋅⋅=⋅= ατττ ergibt sich das auf den Flächenmittelpunkt bezogen Moment infolge dieser Tangentialkraft zu Gl. 6-24: ( ) drdrrrFdM ⋅⋅⋅=⋅= ατττ

2 Die Arbeit aller im Zeitintervall Δt angreifenden Tangentialkräfte Fτ berechnet sich aus der Integration über den Wellenquerschnitt Gl. 6-25: ϕϕ τττ dMddMdWdW

AA

⋅=⋅== ∫∫)()(

Das von der Schubspannung erzeugte Drehmoment Mτ ist gleich dem von der Welle übertragenen Drehmoment MW, d.h. WMM =τ . Gl. 6-26: ϕdMdW W ⋅= Mit der Winkelgeschwindigkeit dtdϕω = ergibt sich die Wellenleistung zu Gl. 6-27: ( ) ( ) ( )ttMtP W ω⋅= Die in dem Zeitintervall Δt = t1 - t2 übertragene Wellenarbeit ergibt sich zu

Gl. 6-28: ( ) ( ) ( ) dtttMdttPWt

tW

t

tW ⋅⋅=⋅= ∫∫ ω

2

1

2

1

12

bzw. bei konstanter Drehzahl und konstantem Drehmoment Gl. 6-29: tPtMW WW Δ⋅=Δ⋅⋅= ω12


Ü 6-3: Berechnung von Wellenleistung P und geleisteter Wellenarbeit nach Δt = 30 Minuten Betrieb mit konstanter Drehzahl

Der Motor überträgt bei einer Drehzahl von n = 2700 min-1 ein Drehmoment von MW = 392 Nm. _________________________________________________________________________

6.1.5 Dissipationsenergie Durch die Zufuhr von Wellenarbeit in ein geschlossenes System, z.B. durch ein Rührwerk, entstehen zwischen dem Fluid und der Oberfläche des Rührwerks Reibungskräfte, wodurch das Fluid selbst in Bewegung versetzt wird und sich Wirbel ausbilden. Diese Wirbel lösen sich nach einiger Zeit infolge der inneren Reibung des Fluids wieder auf und die kinetische Energie geht in die chaotische Molekülbewegung über. Die innere Energie des Systems wird somit erhöht. Dieser Umwandlungsprozeß von Wellenarbeit in innere Energie wird als Dissipation bezeichnet. Die dissipierte Arbeit wird als Dissipationsenergie im Innern des Systems gespeichert. Bei der Umwandlung von Wellenarbeit in innere Energie handelt es sich um einen irreversiblen Prozeß, da ein geschlossenes System nicht in der Lage ist, innere Energie wieder in Wellenarbeit zurück zu verwandeln. Dissipationsenergie ist also stets positiv, da sie dem System nur zugeführt werden kann. Die dazu erforderliche Arbeit wird als Dissipationsarbeit Wd bezeichnet.

6.1.6 Innere Energie Wird einem ruhenden geschlossenen System Arbeit zugeführt, Abb. 6-9, z.B. in Form von elektrischer Arbeit über einen elektrischen Widerstand (a), durch die Zufuhr von Wellenarbeit über ein Rührwerk (b) oder durch das Verrichten von Volumenänderungsarbeit infolge einer Kompression (c), so kann entsprechend dem Energieerhaltungssatz diese Energie nicht verschwinden, sondern muß im System gespeichert werden. Bei ruhenden Systemen kann sie jedoch nicht in Form von potentieller oder kinetischer Energie gespeichert werden, da sich das System entsprechend der Annahme in Ruhe befindet. In geschlossenen adiabaten, d.h. wärmeundurchlässigen Systemen kann Energie nur in Form von Arbeit über die Systemgrenze transportiert werden. Adiabates System Ein System wird als adiabat bezeichnet, wenn sich sein Gleichgewichtszustand nur dadurch verändern läßt, wenn dem System Arbeit zugeführt wird oder von dem System Arbeit verrichtet wird.

Abb. 6-9: Zufuhr von Arbeit in ein geschlossenes adiabates System, [ 2]

Technische Thermodynamik Erster Hauptsatz der Thermodynamik 50 _________________________________________________________________________ Diese im Inneren des Systems gespeicherte Energie wird als innere Energie bezeichnet. Die innere Energie eines Systems läßt sich auf unterschiedlichen Wegen von einem Zustand 1 in einen Zustand 2 überführen. In Abb. 6-10 sind zwei unterschiedliche Prozesse (a) und (b) skizziert. Prozeß (a): Zufuhr von Wellenarbeit, isochor (d.h. dV = 0) Prozeß (b): Kompression , Zufuhr von Wellenarbeit, anschließende Expansion

Abb. 6-10: Zustandsänderung von '1' → '2' durch zwei unterschiedliche Prozesse

Die Arbeit ist im allgemeinen eine Funktion von der Prozeßführung. Bei geschlossenen adiabaten Systemen jedoch hängt die Arbeit lediglich von der Wahl des Anfangs- und Endzustands und nicht von dem gewählten Weg, d.h. dem gewählten Prozeß ab. Die einem geschlossenen adiabaten System zugeführte Arbeit dient der Erhöhung seiner inneren Energie, die von einem geschlossenen adiabaten System geleistete (=abgeführte) Arbeit führt zu einer Verringerung seiner inneren Energie. Die innere Energie U stellt somit eine Zustandsgröße des Systems dar und läßt sich über die am bzw. vom System geleistete Arbeit definieren. Gl. 6-30: adiabat,WUU 1212 =− (Definition der inneren Energie) Die dem adiabaten System zugeführte Arbeit erhöht die mittlere Geschwindigkeit der Molekularbewegung und verändert den mittleren Abstand der Moleküle, so daß gegen die Anziehungs- und Abstoßungskräfte der Moleküle Arbeit verrichtet wird.

6.1.7 Wärme Zur Definition des Begriffs Wärme, sollen an einem System zwei Prozesse durchgeführt werden, die das System jeweils von einem Zustand 1 (V1, T1) in einen Zustand 2 (V2, T2) überführen. Beim ersten Prozeß soll das System adiabat vom Zustand 1 in den Zustand 2 gebracht werden. Als Beispiel diene das in Abb. 6-11(a) skizzierte System mit ideal isolierten Wänden. Durch die Zufuhr von Wellenarbeit wird die innere Energie und die Temperatur des Systems erhöht. Die Änderung der inneren Energie läßt sich über die geleistet Wellenarbeit WW12 messen. Gl. 6-31: 1212,12 UUWW W

adiabat −==

Technische Thermodynamik Erster Hauptsatz der Thermodynamik 51 _________________________________________________________________________ Bei dem zweiten Prozeß, Abb. 6-11(b) läßt sich dieser gleiche Zustand auch ohne die Zufuhr von Wellenarbeit erreichen. Die ideale Isolierung des Systems wird durch eine diatherme Wand ersetzt. Das System wird nun mit einem zweiten System mit einem großen Wärmeinhalt und der Systemtemperatur T* = T2 in Kontakt gebracht. Bei beiden Systemen stellt sich ein thermisches Gleichgewicht ein und dieser Gleichgewichtszustand (V2, T2) entspricht genau dem Zustand, der sich im ersten Prozeß durch die Zufuhr von Wellenarbeit erreicht wurde. Auch die Änderung der inneren Energie U2 - U1 ist gleich groß.

Abb. 6-11: Zufuhr von Wellenarbeit (a), Zufuhr von Wärme über diatherme Wand (b), [ 2]

Bei nicht-adiabaten Systemen läßt sich die Änderung der inneren Energie in der Regel nicht allein aus der zugeführten Arbeit erklären sondern es ist ein weitere Energieanteil notwendig, d.h. die Wärme. Die Energie, die als Wärme die Systemgrenze überschreitet läßt sich definieren als Gl. 6-32: 121212 WUUQ −−= (Definition der Wärme) Die bei einem beliebigen Prozeß als Wärme übertragene Energie ist gleich der Änderung der inneren Energie des Systems, vermindert um die als Arbeit übertragene Energie. Bei der Betrachtung der Energie, welche die Systemgrenzen überschreitet, sind zwei Formen von Energie zu unterscheiden und zwar Energie, die als Arbeit und Energie, die als Wärme die Systemgrenze überschreitet. Für adiabate Systeme gilt also: Über die Grenzen eines adiabaten Systems kann Wärme weder zu- noch abgeführt werden. Energie kann nur in Form von Arbeit zu- bzw. abgeführt werden. Wärme ist also Energie, die an der Grenze zwischen zwei Systemen verschiedener Temperaturen auftritt und die allein aufgrund des Temperaturunterschiedes zwischen den Systemen übertragen wird, wenn diese über eine diatherme Wand miteinander in Wechselwirkung stehen. _________________________________________________________________________

Ü 6-4: Kühlung eines elektrischen Leiters Ein elektrischer Leiter wird von einem zeitlich konstanten Gleichstrom durchflossen. Der elektrische Leiter, der zwischen zwei Punkten mit dem Potentialunterschied Uel = 15.5 V liegt, hat einen elektrischen Widerstand von Rel = 2.15 Ω. Durch eine entsprechende Kühlung wird die Temperatur des Leiters konstant gehalten. Wieviel Energie muß innerhalb von Δt = 1 h in Form von Wärme abgeführt werden?

Abb. 6-12: Gekühlter elektrischer Leiter

Technische Thermodynamik Erster Hauptsatz der Thermodynamik 52 _________________________________________________________________________ 6.2 Der erste Hauptsatz für ruhende geschlossene Systeme Den bis jetzt vorgestellten Überlegungen lag immer das allgemeine Prinzip von der Erhaltung der Energie zugrunde, d.h. Energie kann weder entstehen noch vernichtet werden. Zusammen mit dem Begriff der Arbeit, die bei adiabaten Prozessen nicht vom Verlauf der Zustandsänderung abhängt, sondern lediglich von dem Anfangs- und Endzustand, sowie der Definition der inneren Energie und der Energieform Wärme, läßt sich auch bei nicht-adiabaten Systemen der Energieerhaltungssatz quantitativ formulieren. Jedes geschlossene System besitzt eine Zustandsgröße, die innere Energie U, die folgende Eigenschaften aufweist: 1. Bei adiabaten Prozessen ist Zunahme der inneren Energie gleich der dem System

zugeführten Arbeit,

12,12 UUW adiabat −= (Definition der inneren Energie) 2. Bei nichtadiabaten Prozessen ist die dem System als Wärme Q12 und als Arbeit W12

zugeführte Energie gleich der Zunahme seiner inneren Energie,

121212 UUWQ −=+ (Definition der Wärme) Der erste Hauptsatz beschreibt also den quantitativen Zusammenhang zwischen den drei Energieformen Wärme, Arbeit und innerer Energie. Wärme und Arbeit sind die beiden Energieformen, die die Systemgrenzen überschreiten können, während die innere Energie eine Eigenschaft (d.h. eine Zustandsgröße) des Systems darstellt. Der Zweck des ersten Hauptsatzes besteht nun darin, die dem System als Wärme oder Arbeit zugeführte oder entzogene Energie durch die Änderung einer Systemeigenschaft, nämlich durch die Änderung der Zustandsgröße innere Energie, zu erfassen. Werden die Wärme Q12, die Arbeit W12 und die innere Energie U auf die Masse m des Systems bezogen, so lautet der erste Hauptsatz für geschlossene Systeme: Gl. 6-33: 121212 uuwq −=+ Für reversible Prozesse gilt, daß dem geschlossenen System Arbeit nur in Form von Volumenänderungsarbeit

∫ ⋅−=2

1.,12 dvpw rev

zugeführt oder entzogen werden kann. Eingesetzt in den ersten Hauptsatz ergibt dies für die Wärme q12:

Gl. 6-34: ∫ ⋅+−=2

112.,12 dvpuuq rev

Die Größen Wärme, Arbeit und innere Energie sind von grundlegender Bedeutung für den ersten Hauptsatz. Nach dem Überschreiten der Systemgrenzen, sind die dem System zugeführte Wärme und Arbeit zu innerer Energie des Systems geworden. Wärmezufuhr und das Verrichten von Arbeiten dienen dazu, die innere Energie eines Systems zu verändern. Es ist nicht möglich, die innere Energie in einen mechanischen Arbeits- und einen thermischen Wärmeanteil aufzuspalten.


6.3 Der erste Hauptsatz für bewegte geschlossene Systeme Der erste Hauptsatz der Thermodynamik für ruhende geschlossene Systeme läßt sich erweitern auf bewegte geschlossene Systeme (z.B. ein bewegtes Fluidelement). Die auf die Masse m bezogene gespeicherte Energie eines bewegten Systems setzt sich zusammen aus

- seiner inneren Energie u,

- seiner kinetischen Energie 2

2c

- und seiner potentiellen Energie g⋅z . Der gesamte Energieinhalt, d.h. die im System gespeicherte Energie E beträgt demnach

Gl. 6-35: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅++⋅= zgcumE

2

2

Gemäß dem ersten Hauptsatz ist die Änderung des Energieinhalts gleich der Summe der Energien, die als Wärme oder als Arbeit über die Systemgrenzen übertragen werden. Der erste Hauptsatz für bewegte geschlossene Systeme lautet somit

Gl. 6-36: ( ) ( )1221

2212121212 2

zzgmccmUUEEWQ −⋅⋅+−⋅+−=−=+

6.4 Der erste Hauptsatz für stationäre Fließprozesse

6.4.1 Technische Arbeit Maschinen und Apparate, die von einem zeitlich konstanten Stoffstrom, d.h. stationär durchflossen werden, lassen sich ebenfalls durch eine besondere Form des ersten Hauptsatzes beschreiben. Diese Form des ersten Hauptsatzes läßt sich über eine Energiebilanz für einen Kontrollraum, also ein offenes System herleiten. Dies ist nicht mit der Bilanz an einem bewegten geschlossenen System (vgl. 6.3), also der Bilanz an einem bewegten Fluidelement zu verwechseln. Der Vorteil dieser Form des ersten Hauptsatzes besteht darin, daß Prozesse und Vorgänge, die im Inneren der Anlagen ablaufen nicht bekannt sein müssen. In der Energiebilanz treten lediglich Größen auf, die an der Grenze des Kontrollraums bestimmbar sind. Zu diesen Größen zählt die technische Arbeit Wt , wie sie z.B. in Form von Wellenarbeit einer Turbine über die Kontrollgrenzen des offenen Systems abgegeben werden kann. Entsprechend zählt auch elektrische Arbeit, die dem Kontrollraum zu- bzw. abgeführt wird als technische Arbeit. Die in einem Zeitintervall Δτ geleistete Arbeit wird als mechanische oder auch elektrische Leistung bezeichnet.

Gl. 6-37: τΔ

= 12,12

tWP

Technische Thermodynamik Erster Hauptsatz der Thermodynamik 54 _________________________________________________________________________ Die technische Arbeit kann auch auf die Masse m des Fluids bezogen werden und wird als spezifische technische Arbeit bezeichnet.

Gl. 6-38: m

Ww t

t12,

12, =

Mit dem zeitlich konstanten Massestrom m& ergibt sich dann die Leistung P12 zu Gl. 6-39: 12,12 twmP ⋅= & Die Berechnung der technischen Arbeit soll anhand des in Abb. 6-13 skizzierten Kontroll-raums verdeutlicht werden.

Abb. 6-13: Kontrollraum eines offenen Systems

Die Zustandsgrößen des Systems werden am Eintritt mit dem Index 1 und am Austritt mit dem Index 2 gekennzeichnet. Mit Wt,12 wird die technische Arbeit bezeichnet, die dem System über eine Welle zugeführt wird, z.B. über den Antrieb eines Verdichters. Mit Q12 wird die dem System zugeführte Wärme bezeichnet. Der Prozeß wird über ein Zeitintervall Δτ betrachtet, in dessen Verlauf das System von einem Fluid der Masse Δm durchströmt wird. Da die Bewegung des strömenden Fluids für das offene System von Bedeutung ist, sind in diesem Fall die kinetische und potentielle Energien zu berücksichtigten. Die Energiebilanz für das System lautet: Gl. 6-40: 121212 EEWQ −=+ bzw.

Gl. 6-41: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅++⋅Δ−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅++⋅Δ=+ 1

21

12

22

21212 22zg

cumzg

cumWQ

Der Term Q12 bezeichnet die Wärme, die dem System zugeführt wird und der Term W12 bezeichnet die Arbeit, die dem System zugeführt wird. Die Arbeit wiederum setzt sich

Technische Thermodynamik Erster Hauptsatz der Thermodynamik 55 _________________________________________________________________________ zusammen aus der technischen Arbeit Wt,12 und der Volumenänderungsarbeit am Eintrittsquerschnitt +p1⋅ v1⋅Δm sowie am Austrittsquerschnitt -p2⋅ v2⋅Δm, d.h. Gl. 6-42: mvpmvpWW t Δ⋅⋅−Δ⋅⋅+= 221112,12 bzw. Gl. 6-43: ( )112212,12 vpvpmWW t ⋅−⋅⋅Δ−= Der Term 1122 vpvp ⋅−⋅ wird auch als spezifische Verschiebearbeit bezeichnet. Die Energiebilanz lautet nun Gl. 6-44:

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅++⋅Δ−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅++⋅Δ=⋅−⋅⋅Δ−+ 1

21

12

22

2112212,12 22zg

cumzg

cumvpvpmWQ t

Sofern es sich um einen stationären Prozeß handelt, gilt die Gleichung auch für beliebig große Zeitintervalle Δτ und die Gleichung kann durch Δτ dividiert werden.

Gl. 6-45: ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅++⋅−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅++⋅=⋅−⋅⋅−+ 1

21

12

22

211221212 22zg

cumzg

cumvpvpmPQ &&&&

bzw.

Gl. 6-46: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅++⋅+⋅−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅++⋅+⋅=+ 1

21

1112

22

2221212 22zgcvpumzgcvpumPQ &&&

6.4.2 Enthalpie Die Summe aus innerer Energie U und dem Produkt p⋅V läßt sich zu einer neuen Zustandsgröße des Systems zusammenfassen, der Enthalpie H. Gl. 6-47: VpUH ⋅+= bzw. die spezifische Enthalpie h

Gl. 6-48: vpumHh ⋅+==

Damit ergibt sich der erste Hauptsatz für stationäre Fließprozesse zu

Gl. 6-49: ( ) ( )⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅+−⋅+−⋅=+ 12

21

22121212 2

1 zzgcchhmPQ &&

bzw. bezogen auf die Masse des strömenden Mediums, d.h. den Massestrom m&

Gl. 6-50: ( ) ( )1221

221212,12 2

1 zzgcchhwq t −⋅+−⋅+−=+

Technische Thermodynamik Erster Hauptsatz der Thermodynamik 56 _________________________________________________________________________ Da in der Gleichung für stationäre Fließprozesse nur Größen enthalten sind, die im Eintritts- und Austrittsquerschnitt gemessen werden können, kann sie auch auf Systeme angewendet werden, in deren Innerem auch nicht-stationäre Prozesse ablaufen. Die Forderung nach stationärem Verlauf bezieht sich lediglich auf die Größen im Eintritts- und Austritts-querschnitt. _________________________________________________________________________ Ü 6-5: Stationärer Fließprozeß am Beispiel eines Wasserkraftwerks Die Grenzen des Kontrollraums werden so gewählt, daß die Strömungsgeschwindigkeit des Wassers vernachlässigbar klein wird, d.h. c1 = c2 ≈ 0. Der Luftdruck ist zu vernachlässigen und Zu- und Ablauf liegen in der gleichen Tiefe unter dem Oberwasser- bzw. Unterwasserspiegels, d.h. p1 = p2. Der Kontrollraum ist adiabat, d.h. q12 = 0. Wasser kann als inkompressibel angenommen werden, d.h. seine Dichte ρ bzw. spezifisches Volumen v ist konstant. Gesucht ist die abgegebene Turbinenarbeit wt12 .

Abb. 6-14: Stationärer Fließprozeß, Wasserkraftwerk, [ 2]

_________________________________________________________________________


6.5 Instationäre Prozesse in offenen Systemen Ausgehend von der Energiebilanz eines offenen Systems soll der erste Hauptsatz auf nicht-stationäre Prozesse erweitert werden. In allgemeiner Form lautet die Energiebilanz für den Kontrollraum eines offenen Systems: Die Summe der Energien, die als Wärme und Arbeit mit dem strömenden Medium über die Systemgrenze zu- oder abgeführt werden ist gleich der Änderung des Energieinhalts des offenen Systems.

Abb. 6-15: Masseelement eines strömenden Mediums beim Überqueren der Systemgrenze

Zur Berechnung der Energie, die mit dem Strömungsmedium über die Systemgrenze transportiert wird, betrachten wir ein Masseelement Δm, das die Systemgrenze B passiert, Abb. 6-15. Die innerhalb des Zeitintervalls Δτ vorbeifließende Energie läßt sich aus dem Energieinhalt des Masseelements Δm bestimmen:

mzgcu Δ⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅++

2

2

Die Verschiebearbeit, die von dem Strömungsmedium verrichtet werden muß um das Masseelement um die Strecke c⋅Δτ zu bewegen, berechnet sich mit dem Querschnitt A zu:

( ) ( ) mvpcAp Δ⋅⋅=Δ⋅⋅⋅ τ Die gesamte Energie, die während des Zeitintervalls Δτ vorbeifließt beträgt somit:

mzgcvpu Δ⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅++⋅+

2

2

Dies bedeutet, daß durch den Eintritt eines strömenden Mediums in ein offenes System, sich die Energie des Systems nicht nur um die innere Energie, kinetische Energie und die potentielle Energie erhöht sondern auch um einen Betrag p⋅v⋅Δm . Der Term p⋅v wird auch als spezifische Strömungsenergie bezeichnet.

Technische Thermodynamik Erster Hauptsatz der Thermodynamik 58 _________________________________________________________________________ Tritt durch einen Eintrittsquerschnitt 1 eine Masse dm1 in das System ein, so transportiert das Masseelement die Energie

11

21

111

21

111 22dmzg

chdmzg

cvpu ⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅++=⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅++⋅+

Am Austrittsquerschnitt 2 fließt mit der Masse dm2 die Energie

22

22

2 2dmzg

ch ⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅++

ab. Werden dem System die Wärme dQ und die technische Arbeit dWt zugeführt, dann gilt für die Energiebilanz

Gl. 6-51: dEdmzgc

hdmzgc

hdWdQ t =⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅++−⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅++++ 22

22

211

21

1 22

Wobei dE die zeitliche Änderung des Energieinhalts des offenen Systems darstellt. Der gesamte Energieinhalt E des Systems ergibt sich aus der Integration über die im System enthaltene Masse.

Gl. 6-52: ∫ ⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅++=

SystemsoffenendesMasse

dmzgcuE2

2

Verläuft ein Prozeß über das Zeitintervall ta bis tb, so ergibt sich der erste Hauptsatz für instationäre Fließprozesse in offenen Systemen zu Gl. 6-53:

ab

btm

atm

btm

atmabtab EEdmzg

chdmzg

chWQ −=⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅++−⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅++++ ∫∫

=

=

=

=

)(

)(22

22

2

)(

)(11

21

1,

2

1

2

122

Für stationäre Fließprozesse gilt 0=dE und dmdmdm == 21 . Mit dmdQq =12 und

dmdWw tt =12, vereinfacht sich die Bilanz wieder zur Gleichung des ersten Hauptsatzes für stationäre Fließprozesse.

( ) ( )1221

221212,12 2

1 zzgcchhwq t −⋅+−⋅+−=+

Technische Thermodynamik Erster Hauptsatz der Thermodynamik 59 _________________________________________________________________________ Ü 6-6: Abfüllen eines Kühlmittels R12 in eine Gasflasche In einer Gasflasche mit dem Volumen V = 0.002 m³ befindet sich das Kältemittel R12 (CF2Cl2). Zu Anfang steht das gasförmige R12 bei Ta = 20°C unter einem Druck von pa = 1.005 bar. Das zu Ta und pa gehörige spezifische Volumen va beträgt va = 0.1967 m³/kg und die spezifische Enthalpie ha = 303.76 kJ/kg. Zum Auffüllen wird die Gasflasche an eine Leitung mit gasförmigem R12 angeschlossen mit p1 = 6.541 bar, T1 = 50°C, h1 = 315.94 kJ/kg. Auszug aus der Dampftafel von R12 für Ts = 20°C Ts [°C] ps [bar] v' [m3/kg] v'' [m3/kg] h' [kJ/kg] h'' [kJ/kg] 20.0 5.691 0.7528⋅10-3 0.03102 153.73 296.78

Die Flasche wird so aufgefüllt, daß bei 20°C gerade 80% des Volumens von siedendem R12 und das restliche Volumen von gesättigtem Dampf eingenommen wird. Welche Menge an R12 sind einzufüllen und wieviel Wärme muß während des Füllvorgangs über eine Kühlung abgeführt werden?

Abb. 6-16: Füllen einer Gasflasche mit R12

_________________________________________________________________________

Technische Thermodynamik Kalorische Zustandsgleichungen 60 _________________________________________________________________________

7 Kalorische Zustandsgleichungen Die innere Energie U und Enthalpie H beschreiben den inneren energetischen Zustand eines Systems. Zur Unterscheidung von den thermischen Zustandsgrößen p, V, T, werden sie als kalorische Zustandsgrößen bezeichnet.

7.1 Kalorische Zustandsgleichungen der inneren Energie Bei einfachen Systemen läßt sich der Gleichgewichtszustand durch zwei Zustandsgrößen eindeutig beschreiben. Die spezifische innere Energie u läßt sich also als Funktion von Temperatur T und spezifischem Volumen v in Analogie zur thermischen Zustandsgleichung

),( vTpp= (thermischen Zustandsgleichung) darstellen als Gl. 7-1: ),( vTuu = (kalorische Zustandsgleichung) Das vollständige Differential der spezifischen inneren Energie lautet

Gl. 7-2: dvvudT

Tudu

Tv⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=

Der erste partielle Differentialquotient wird auch als spezifische Wärmekapazität bei konstantem Volumen cv bezeichnet.

Gl. 7-3: ( )vTcTuc v

vv ,=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=

Bei gleicher Temperaturänderung kann ein Körper um so mehr Wärme aufnehmen, desto größer seine Wärmekapazität ist.

7.2 Kalorische Zustandsgleichungen der Enthalpie Die spezifische Enthalpie h wird allgemein als Funktion von T und p angegeben: Gl. 7-4: ( )pThh ,= Diese Form gilt lediglich für Einphasensysteme, da nur hier Druck und Temperatur voneinander unabhängig sind. Das vollständige Differential der spezifischen Enthalpie h lautet:

Gl. 7-5: dpphdT

Thdh

Tp⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=

Technische Thermodynamik Kalorische Zustandsgleichungen 61 _________________________________________________________________________ Der erste partielle Differentialquotient wird auch als spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck cp bezeichnet.

Gl. 7-6: ( )pTcThc p

pp ,=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=

Zustandsgrößen sind unabhängig von dem Verlauf der Zustandsänderungen. Dies hat den Vorteil, daß bei der Berechnung der Integrale der Integrationsweg nicht mit dem Verlauf der Zustandsänderung übereinstimmen muß, sondern es kann ein rechentechnisch einfacherer Weg gewählt werden. Lediglich die Anfangs- und Endpunkte müssen übereinstimmen.

7.3 Innere Energie und Enthalpie fester und flüssiger Phasen Aufgrund des inkompressiblen Verhaltens von Festkörpern und Flüssigkeiten gilt .constv= und somit 0=dv . Dadurch hängen die innere Energie und die spezifische isochore Wärmekapazität cv nur noch von der Temperatur ab.

Gl. 7-7: ( )TcdTduc vv =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

Das Differential der inneren Energie vereinfacht sich zu

Gl. 7-8: ( ) dTTcdTdTdudu v ⋅=⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

Die Änderung der inneren Energie infolge einer Temperaturänderung von T1 auf T2 berechnet sich zu

Gl. 7-9: ( ) ( ) ( ) dTTcTuTuduT

Tv ⋅=−= ∫∫

2

1

12

2

1

Die Enthalpiedifferenz zwischen zwei Zuständen 1 (p1,T1) und 2 (p2,T2)

Gl. 7-10: ( ) ( ) ( ) ( )∫∫

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

=−=2

11122

2

1

,,,, dpp

pThdTT

pThpThpThdhTp

läßt sich aufgrund der Wegunabhängigkeit des Integrationsweges der Zustandsgrößen entsprechend des in Abb. 7-1 skizzierten Wegs berechnen.


Abb. 7-1: Integrationsweg zur Bestimmung der Enthalpiedifferenz

1. Schritt: Isobare Zustandsänderung mit p1 = const, also dp = 0

Gl. 7-11: ( ) ( ) dTpTcdT

TpTh T

Tp

p

T

T

⋅=⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∫∫2

1

2

1

11 ,

,

2. Schritt: Isotherme Zustandsänderung mit T2 = const, also dT = 0

Gl. 7-12: ( ) ( ) ( )1222

2 ,,,2

1

pThpThdpp

pTh

T

p

p

−=⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂∫

mit der Definition der Enthalpie vpuh ⋅+= folgt

Gl. 7-13: ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )121222

22

1

, ppvvpTuvpTudpp

pTh

T

p

p

−⋅=⋅−−⋅+=⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂∫

Aufsummieren der Teilergebnisse ergibt die Enthalpiedifferenz zwischen den Zuständen 1 und 2

Gl. 7-14: ( ) ( ) ( ) ( )∫ −⋅+⋅=−2

1211122 ,,,T

Tp ppvdTpTcpThpTh

Bei isobaren Zustandsänderungen gilt p1 = p2 = p und somit für die Enthalpiedifferenz

Gl. 7-15: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫ ⋅=−=⋅=−22

1212 ,,,T

Tv

T

Tp dTTcTuTudTpTcpThpTh

Technische Thermodynamik Kalorische Zustandsgleichungen 63 _________________________________________________________________________ Für Festkörper und ideale Flüssigkeiten gilt somit

Gl. 7-16: ( ) ( )∫∫ ⋅=⋅22

,T

Tv

T

Tp dTTcdTpTc

d.h. die spezifische isobare und isochore Wärmekapazitäten stimmen überein. Gl. 7-17: ( ) ( ) )(TcTcTc vp == Bei kleinen Temperaturdifferenzen kann die Temperaturabhängigkeit der Wärmekapazität vernachlässigt werden und die Differenz der spezifischen inneren Energie berechnet sich aus Gl. 7-18: ( ) ( ) ( )1212 TTcTuTu −⋅=− Die spezifische Enthalpiedifferenz für Festkörper und ideale Flüssigkeiten ergibt sich zu Gl. 7-19: ( ) ( ) ( ) ( ) 112121122 ,, vppTTcpThpTh ⋅−+−⋅=−

7.4 Innere Energie und Enthalpie idealer Gase Bei idealen Gasen ist die spezifische Wärmekapazität cv eine reine Temperaturfunktion, d.h. es gilt: Gl. 7-20: ( )Tcc vv = Damit kann die spezifische innere Energie idealer Gase beschrieben werden durch

Gl. 7-21: ( ) ( ) 0

0

udTTcTuuT

Tv +⋅== ∫

wobei die Konstante u0 die spezifischen innere Energie bei der Temperatur T0 bedeutet. Für Gase, deren Wärmekapazität über einen gewissen Temperaturbereich als konstant ange-nommen werden kann, vereinfacht sich die Berechnung der spezifischen inneren Energie zu Gl. 7-22: ( ) 00 uTTcu v +−⋅= Die spezifische Enthalpie idealer Gase ist ebenfalls eine reine Temperaturfunktion. Zusammen mit der thermischen Zustandsgleichung TRvp ⋅=⋅ ergibt sich für die spezifische Enthalpie Gl. 7-23: ( ) ( ) ( ) TRTuvpTuTh ⋅+=⋅+= Differenzierung von Gl. 7-23 nach der Temperatur T ergibt

Gl. 7-24: RdTdu

dTdh

+=

Technische Thermodynamik Kalorische Zustandsgleichungen 64 _________________________________________________________________________ Mit

Gl. 7-25: ( )TcdTduc vv ==

und

Gl. 7-26: ( )TcdTdhc pp ==

folgt Gl. 7-27: ( ) ( ) RTcTc vp =− Bei idealen Gasen sind die spezifischen Wärmekapazitäten zwar temperaturabhängig, ihre Differenz ist jedoch konstant und entspricht der spezifischen Gaskonstante R. _________________________________________________________________________

Ü 7-1: Adiabate Kompression von Luft Luft wird in einem adiabaten Zylinder von p1 = 1.2 bar, T1 = 25°C solange verdichtet bis eine Endtemperatur von T2 = 100°C erreicht wird. Gesucht sind die zur Verdichtung erforderliche Arbeit w12 und der Enddruck p2, der höchstens erreicht werden kann. _________________________________________________________________________

7.5 Innere Energie und Enthalpie von Dämpfen Dampf im Naßdampfgebiet stellt ein Zweiphasensystem dar, in dem Druck und Temperatur nicht voneinander unabhängig sind, sondern über die Dampfdruckkurve miteinander gekoppelt sind. In Dampftafeln sind die Werte auf der Siedelinie (') und der Taulinie ('') für die spezifischen Volumina v' und v'', spezifische Enthalpie h' und h'' und die spezifische Entropie s' und s'' in Tabellenform für die Sättigungstemperatur bzw. den Sättigungsdruck aufgelistet. Bei bekanntem Dampfgehalt x berechnet sich die spezifische Enthalpie h zu Gl. 7-28: ( )hhxhh ′−′′⋅+′= Die Differenz der spezifischen Enthalpien der flüssigen und gasförmigen Phase ergibt die Verdampfungsenthalpie ΔhD Gl. 7-29: hhhD ′−′′=Δ Das spezifische Volumen v des Zweiphasensystems ergibt sich analog zur spezifischen Enthalpie Gl. 7-30: ( )vvxvv ′−′′⋅+′= Die spezifische innere Energie u berechnet sich zusammen mit dem Sättigungsdruck ps zu Gl. 7-31: vphu s ⋅−=

Technische Thermodynamik Kalorische Zustandsgleichungen 65 _________________________________________________________________________ 7.6 Spezifische Wärmekapazitäten

7.6.1 Wahre spezifische Wärmekapazitäten In der kinetischen Gastheorie wurden Gase als einatomige Moleküle angenommen und die spezifische innere Energie mit TRu ⋅⋅= 23 berechnet. Die Differentiation nach T ergibt die spezifische isochore Wärmekapazität cv

Gl. 7-32: RdTducv ⋅==

23

mit Rcc vp =− ergibt sich die spezifische isobare Wärmekapazität cp zu

Gl. 7-33: Rcp ⋅=25

Die spezifischen Wärmekapazitäten einatomiger Gase, wie z.B. Edelgase (Helium, Argon) sind somit temperaturunabhängig. Komplizierter gestaltet sich die Bestimmung der Wärmekapazitäten von mehratomigen Gasen, Festkörpern und Flüssigkeiten. Hier liegt in der Regel eine Abhängigkeit von Druck und Temperatur vor. In Abb. 7-2 und Abb. 7-3 sind für Kohlenstoff und einige ausgewählte Metalle sowie für einige Gase der Verlauf der spezifischen Wärmekapazitäten über der Temperatur skizziert.

Abb. 7-2: Spezifische Wärmekapazität von Kohlenstoff und Metallen, [ 3]


Abb. 7-3: Spezifische isobare Wärmekapazität von Gasen, [ 6]

7.6.2 Mittlere spezifische Wärmekapazitäten Die Berechnung der mittleren spezifischen isobaren und isochoren Wärmekapazitäten cp und cv erfolgt über die Berechnung der Mittelwerte über das entsprechende Temperaturintervall.

Gl. 7-34: ( )∫ ⋅⋅−

=2

1

21 12

1 T

Tv

TTv dTTc

TTc

bzw.

Gl. 7-35: ( )∫ ⋅⋅−

=2

1

21 12

1 T

Tp

TTp dTTc

TTc

Abb. 7-4: Berechnung der mittleren spezifischen Wärmekapazität

In der Regel ist jedoch eine lineare Interpolation zwischen den beiden Temperaturen T1 und T2 ausreichend. Wasser läßt sich z.B. bis zu einer Sättigungstemperatur von Ts = 170°C mit einer konstanten spezifischen Wärmekapazität von c = 4186 [J/kg⋅K] berechnen. Der Fehler liegt dabei unter einem Prozent.

Technische Thermodynamik Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik 67 _________________________________________________________________________

8 Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik

8.1 Inhalt des zweiten Hauptsatzes Der erste Hauptsatz der Thermodynamik beschreibt das Prinzip der Erhaltung der Energie bei der Umwandlung in unterschiedlichen Erscheinungsformen. Es wird jedoch keine Aussage über die Möglichkeit bzw. Unmöglichkeit dieser Umwandlung getroffen. In der Natur ist es keineswegs selbstverständlich, daß Prozesse, die nach dem Energieerhaltungssatz möglich wären auch wirklich vorkommen. Mit dem ersten Hauptsatz der Thermodynamik wäre es z.B. problemlos zu vereinbaren, daß der vom Dach gefallene Ziegel sich unter Ausnutzung seiner durch den Aufprall erfolgten Aufwärmung, wieder von alleine in die Luft erhebt und wieder auf dem Dach liegt. Dies wurde noch nicht beobachtet und erscheint auch nicht ganz plausibel. Offensichtlich gibt es in der Natur Vorgänge, die von alleine nur in eine bestimmte Richtung ablaufen. Wärme fließt 'von alleine' vom wärmeren zum kälteren Körper, aber nie in von dem kälteren zu dem wärmeren Körper. Nach dem Herausziehen einer Trennwand vermischen sich zwei unterschiedliche Gase gleicher Dichte vollständig (=Diffusion). Eine Entmischung ist jedoch ebenfalls noch nie beobachtet worden. Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik ist ebenso wie der erste Hauptsatz lediglich ein Erfahrungssatz, der auf allgemeinen Beobachtungen beruht und bis jetzt noch nicht widerlegt wurde. _________________________________________________________________________

Ü 8-1: Freier Fall Ein Stück Aluminium fällt aus einer Höhe von z1 = 1000 m auf den Erdboden (z2 = 0). Die Luftreibung wird vernachlässigt und es findet auch kein Energieaustausch mit der Umgebung statt. Beim Aufprall dringt der Körper in das Erdreich ein und erwärmt sich infolge der dabei entstehenden Reibung. ges.:

Auf welche Temperatur erwärmt sich dabei das Bauteil?

Abb. 8-1: Freier Fall

_________________________________________________________________________

(1)

(2)


Die Umkehrung dieses Prozesses würde bedeuten, daß ein Körper sich vom Erdboden nach oben bewegt und sich dabei abkühlt. In dem in Ü 8-1 ausge-führten Beispiel würde sich das Aluminium entsprechend um ΔT = 10.7 K abkühlen. Dies würde zwar dem im ersten Hauptsatz formulierten Prinzips der Energieerhaltung entsprechen, nicht jedoch der allgemeinen Erfahrung, daß Körper eben nicht ohne äußere Ein-wirkung sich im Schwerefeld bewegen. Die Rücktransformation der inneren Energie in potentielle Energie gelingt offensichtlich nicht.

Abb. 8-2: Umkehrung des freien Falls

Potentielle und kinetische Energie sowie Arbeit lassen sich zwar gegenseitig ineinander überführen und alle drei lassen sich auch in innere Energie umwandeln, die Umkehrung gelingt jedoch nicht, d.h. es handelt sich um einen nicht umkehrbaren, also irreversiblen Vorgang. Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik beschreibt also die Grenzen der Umwandlung von Energie und die Umkehrbarkeit von thermodynamischen Prozessen. Formulierung nach Clausius (1850)

Wärme kann nie von selbst von einem System niederer Temperatur auf ein System höherer Temperatur übertragen werden. Formulierung nach Max Planck (1858-1947) Es ist unmöglich eine periodisch funktionierende Maschine zu konstruieren, die weiter nichts bewirkt, als Hebung einer Last und Abkühlung eines Wärmereservoirs. (Unmöglichkeit des perpetuum mobile 2. Art) oder Alle Prozesse bei denen Reibung auftritt sind nicht umkehrbar. Formulierung nach H.D. Baehr (1981) Alle natürlichen Prozesse sind nicht umkehrbar.

(3)

(2)

Technische Thermodynamik Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik 69 _________________________________________________________________________ 8.2 Entropie Diese allgemeinen Aussagen lassen sich durch die Einführung des Begriffes der Entropie näher erläutern. Die Entropie (aus dem Griechischen: 'Verwandelte') ist ein Maß für die Irreversibilität thermodynamischer Prozesse und ein Kriterium zur Vorhersage der Richtung ihrer Abläufe.

8.2.1 Entropie und Wahrscheinlichkeit Die Durchmischung von Gasen gleichen Drucks und gleicher Dichte ist offensichtlich irreversibel und erfolgt von selbst, obwohl es keine makroskopischen Kräfte gibt (bei gleichem Druck!), die die Gase aus ihren ursprünglichen Volumina vertreiben. Es muß hierfür also eine andere Ursache vorliegen. Bei der Betrachtung einer Schachtel, deren untere Hälfte mit schwarzem Sand und deren obere Hälfte mit weißem Sand gefüllt ist, wird schnell deutlich, was sich ergibt, wenn die Schachtel geschüttelt wird - grauer Sand. Ebenso deutlich wird aber auch, daß sich der ursprüngliche Ordnungszustand der gleichmäßigen Schichtung auch nach sehr langem Schütteln aller Voraussicht nie wieder einstellen wird. Der Übergang von Ordnung zu Unordnung infolge des Mischens stellt einen typischen irreversiblen Prozeß dar. Irreversibel deshalb, weil der ungeordnete Zustand sehr viel wahrscheinlicher ist als der geordnete. Als Beispiel soll die isotherme Ausdehnung eines Luftvolumens ins Vakuum betrachtet werden, z.B. unter Verdoppelung seines ursprünglichen Volumens. Ebenso könnte man nach der Wahrscheinlichkeit fragen, mit der sich alle Luftmoleküle in genau einer Zimmer-hälfte befinden, während sich in der anderen Zimmerhälfte ein Vakuum einstellt. Dieser Zustand würde ja dem Ausgangszustand der isothermen Expansion entsprechen. Die Aufrechterhaltung dieses Zustandes würde im realen Leben das Vorhandensein einer festen Wand erfordern. Ohne diese Wand beträgt die Wahrscheinlichkeit, daß sich ein Molekül in der einen oder anderen Zimmerhälfte befindet genau

21

=p

Die Wahrscheinlichkeit, daß sich zwei Moleküle in der gleichen Zimmerhälfte befinden beträgt

22

221 −=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=p

und entsprechend für N Moleküle

Np −= 2 _________________________________________________________________________

Ü 8-2: Berechnung der Wahrscheinlichkeit, daß sich alle Luftmoleküle in der gleichen Zimmerhälfte befinden Volumen: V = 50 m³ Dichte: ρ = 1.225 kg/m3 Molmasse M = 28.9647 kg/kmol Avogadro-Konstante: NA = 6.022⋅1023 1/mol

_________________________________________________________________________

Technische Thermodynamik Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik 70 _________________________________________________________________________ Die Aussage, daß ein Vorgang dann von alleine abläuft, wenn dabei ein Zustand mit einer höheren Entropie erreicht wird, läßt sich also ersetzen, durch die Aussage, daß ein Vorgang dann von alleine abläuft, wenn ein Zustand höherer Wahrscheinlichkeit erreicht wird. Der quantitative Zusammenhang zwischen Entropie S und Wahrscheinlichkeit p wird durch die Boltzmann-Planck-Beziehung beschrieben Gl. 8-1: ( )pkS ln⋅= wobei KJk 231038.1 −⋅= die Boltzmann-Konstante darstellt. Da in der Regel lediglich Entropieänderungen von einem Zustand 1 mit der Wahrschein-lichkeit p1 zu einem Zustand 2 mit der Wahrscheinlichkeit p2 betrachtet werden, läßt sich schreiben:

Gl. 8-2: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=−=Δ

1

212 ln

pp

kSSS

8.2.2 Entropie als Zustandsgröße Der Zweck der Entropie besteht darin, die Irreversibilität eines Prozesses zu beschreiben, bzw. ein Maß für die Wahrscheinlichkeit zu finden, mit der ein Vorgang in eine bestimmte Richtung abläuft. Es soll also eine wegunabhängige Zustandsgröße definiert werden. Alle an einem Prozeß beteiligten, nicht umkehrbaren Energien, d.h. die dissipierte Arbeit WD, werden mit der zu- bzw. abgeführten Wärme Q12 zusammengefaßt und als Qrev bezeichnet. Für ein geschlossenes System mit 0== potkin EE ΔΔ gilt: Gl. 8-3: ∫ −=⋅−+ 1212 UUdVpWQ

revQD43421

Die Größe Qrev selbst ist keine Zustandsgröße. Es läßt sich jedoch zeigen, daß der Quotient

TdQrev eine Zustandsgröße des Systems ist. Jedem System kann also eine extensive Zustandsgröße, die sogenannte Entropie S zugeordnet werden. Sie wird definiert durch das Differential

Gl. 8-4: T

dQ:dS rev=

bzw.

Gl. 8-5: ∫=−2

112 T

dQSS rev

Definition nach Clausius Die Entropie ist das Verhältnis von reversibel zugeführter Wärmemenge und der absoluten Temperatur an der Stelle des Wärmeübergangs

Technische Thermodynamik Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik 71 _________________________________________________________________________ 8.2.3 Eigenschaften der Entropie Die Entropie ist eine Größe von der Dimension Energie bezogen auf die Temperatur: S [J/K] . Wird die Entropie auf die Masse des Systems bezogen so erhält man die spezifische Entropie s.

Gl. 8-6: ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅

=Kkg

JmSs

Die Entropie eines aus den Teilsystemen A, B, C, ... zusammengesetzten Systems ergibt sich zu Gl. 8-7: ...+++= CBA SSSS Für adiabate Systeme gilt: Die Entropie eines adiabaten Systems kann nicht abnehmen. Bei irreversiblen Prozessen in adiabaten Systemen nimmt die Entropie zu, bei reversiblen Prozessen in adiabaten Systemen bleibt die Entropie konstant. Eine Entropieabnahme ist nur bei offenen, nicht-adiabaten Systemen möglich und erfordert eine Wärmeabfuhr aus dem System. Da die absolute Temperatur T stets positiv ist, wird das Vorzeichen des Entropiedifferentials dS durch das Vorzeichen der Wärmemenge dQ bestimmt. Wärmezufuhr in ein System, d.h. dQ > 0 bewirkt also eine Zunahme der Entropie des Systems, d.h. dS > 0. Entsprechend bewirkt ein Wärmeentzug mit dQ < 0 eine Entropieabnahme des Systems, also dS < 0.

8.2.4 Entropie reversibler Prozesse Für reversible Prozesse gilt dWD = 0, d.h. es wird keine Dissipationsarbeit WD geleistet. Entsprechend dem ersten Hauptsatz gilt für die reversibel zugeführte Wärmemenge dQ Gl. 8-8: dVpdUdQ ⋅+= Einsetzen der Definition für die Entropie dSTdQ ⋅= in die zugeführte Wärmemenge dQ ergibt Gl. 8-9: dVpdUdST ⋅+=⋅ bzw.

Gl. 8-10: dVTpdU

TdS ⋅+⋅=

1

Technische Thermodynamik Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik 72 _________________________________________________________________________ Die Entropieänderung zwischen zwei Zuständen 1 und 2 ergibt sich durch Integration von dem Zustand 1 zu dem Zustand 2.

Gl. 8-11: ∫ ⋅=−2

112

1 dQT

SS

oder

Gl. 8-12: ∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+⋅=−

2

112

1 dVTpdU

TSS

Mit der Definition der Enthalpie VpUH ⋅+= bzw. dem Differential der Enthalpie dH Gl. 8-13: VdpdVpdUdH +⋅+= folgt Gl. 8-14: dVpdUVdpdH ⋅+=− und man erhält für die Entropieänderung

Gl. 8-15: ∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅−⋅=−

2

112

1 dpTVdH

TSS

8.2.5 Entropie irreversibler Prozesse Irreversible Prozesse sind dadurch gekennzeichnet, daß Dissipationsarbeit WD geleistet wird, d.h. es gilt dWD > 0 . Analog zu der Vorgehensweise bei reversiblen Prozessen wird die reversibel zugeführte Wärmemenge dQ um die Dissipationsarbeit dWD erweitert. Gl. 8-16: dVpdUdWdQ D ⋅+=+ Mit der Definition für die Entropie folgt

Gl. 8-17: T

dWT

dQT

dWdQdS DD +=+

= mit dWD > 0

Das Entropiedifferential dS setzt sich bei irreversiblen Prozessen aus zwei Anteilen zusammen: Gl. 8-18: irrQ dSdSdS += Der erste Term TdQdSQ = beschreibt den Zusammenhang von Entropie und Wärme-transport. Der zweite Term TdWdS Dirr = stellt die Entropieänderung des Systems infolge von Dissipation dar. Dissipation ist die Umwandlung von dem System zugeführter mechanischer Arbeit in innere Energie und ist immer positiv. Dissipationsarbeit führt also immer zu einer Erhöhung der Entropie, also einer Entropieproduktion. Die Berechnung der spezifischen Entropiedifferenzen ergibt sich aus


Gl. 8-19: dvTpdu

Tds ⋅+⋅=

1

Gl. 8-20: dpTvdh

Tds ⋅−⋅=

1

und werden in der Regel in folgender Form formuliert Gl. 8-21: dvpdudsT ⋅+=⋅

Gl. 8-22: dpvdhdsT ⋅−=⋅ Diese Gleichungen werden auch als Gibbs'schen Fundamentalgleichungen bezeichnet.

8.2.6 Entropie fester und flüssiger Phasen In erster Näherung kann man feste Körper und Flüssigkeiten als inkompressibel annehmen, d.h. es gilt 0=dv . Die Bestimmungsgleichung der spezifischen Entropie vereinfacht sich dadurch zu

Gl. 8-23: duT

ds ⋅=1

Die Berechnung der Entropiedifferenz zwischen zwei Zuständen 1 und 2 ergibt sich aus

Gl. 8-24: ( ) ( ) ( )TdTTcTsTsss

T

T

⋅=−=− ∫2

1

1212

Unter der Annahme, daß die spezifische Wärmekapazität über die betrachtete Temperatur-änderung konstant ist, bzw. entsprechend interpoliert wird, lautet die Entropieänderung von 1 nach 2

Gl. 8-25: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=−

1

21212 T

Tlncss


8.2.7 Entropie idealer Gase Die thermische Zustandsgleichung idealer Gase lautet TRvp ⋅=⋅ bzw. vRTp = . Für ideale Gase gilt weiter

Gl. 8-26: ( ) ( ) dTTcdudTduTc vv ⋅=⇔=

Eingesetzt in die Bestimmungsgleichung für die Entropie ergibt dies

Gl. 8-27: ( ){

dvvRdTTc

Tds

Tp

du

v ⋅+⋅⋅=

==43421

1

Unter der Annahme, daß die spezifische Wärmekapazität über die betrachtete Temperatur-änderung konstant ist, bzw. entsprechend interpoliert wird, lautet die Entropieänderung von 1 nach 2

Gl. 8-28: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=−

1

2

1

21212 lnln

vvR

TTcss v

Für ideale Gase gilt 11

22

1

2

vpvp

TT

⋅⋅

= und somit läßt sich die Entropiedifferenz schrieben als

Gl. 8-29: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=−

1

212

1

21212 lnln

vvc

ppcss pv

oder auch

Gl. 8-30: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=−

1

2

1

21212 lnln

ppR

TTcss p

Technische Thermodynamik Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik 75 _________________________________________________________________________ Ü 8-3: Entropieänderung bei Kompression von Luft Anfangszustand (1) p1 = 110 [kPa] T1 = 27 [°C] Endzustand (2) p2 = 1.5 [MPa] T2 = 247 [°C] ges.: a) Änderung der spezifischen Entropie unter der Annahme konstanter Wärmekapazität

von Luft bei der Kompression von (1) nach (2) b) Welche Endtemperatur T2 ergibt sich bei einer isentropen (= adiabat reversiblen =

verlustfreien) Kompression von Luft auf den gleichen Endruck? Anfangszustand (1) p1 = 110 [kPa] T1 = 27 [°C] Endzustand (2) p2 = 1.5 [MPa] T2,rev = ? [°C] _________________________________________________________________________ Ü 8-4 Entropieänderung bei abschmelzendem Eis T∞ = 25 [°C] mEis = 10 [kg] TEis = -5 [°C] TWasser = 20 [°C] ges.: a) Wärmemenge Q12, die durch das Abschmelzen der Umgebung entzogen wird b) Entropieänderung S2 –S1 im System

mEis

T∞

Q12

T∞

TWasser

Technische Thermodynamik Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik 76 _________________________________________________________________________ Ü 8.5 Schlankwerden durch den Konsum von Speiseeis Körpertemperatur: T∞ = 37.5 [°C] Speiseeis aus der Kühltruhe: TEis = -18 [°C] Packungsinhalt: VEis = 200 [ml] Nährwert pro 100 ml: EEis = 150 [kcal] ges.: Wärmemenge Q12, die durch das Abschmelzen dem Körper entzogen wird Hinweis Stoffwerte von Speiseeis entsprechen in erster Näherung denen von Wasser _________________________________________________________________________

8.2.8 Entropie der Dämpfe Die Berechnung der spezifischen Entropie s in dem Naßdampfgebiet gestaltet sich analog zu der Berechnung des spezifischen Volumens v bzw. der spezifischen Enthalpie h im Naß-dampfgebiet. Bei vorgegebenem Dampfgehalt x ergibt sich aus den Werten der Dampftafel für die Entropie der flüssigen Phase (') und der Dampfphase (''), bei der entsprechenden Sättigungs-temperatur Ts bzw. den Sättigungsdruck ps die spezifische Entropie s zu Gl. 8-31: ( )ssxss ′−′′⋅+′= Die Verdampfungsentropie (s''-s') ist mit der Verdampfungsenthalpie ΔhD verknüpft durch die Sättigungstemperatur Ts . Für die Isobaren im Naßdampfgebiet gilt: Gl. 8-32: dpvdhdsT ⋅−=⋅ bzw. Gl. 8-33: ( )ssThhh sD ′−′′⋅=′−′′=Δ Entropiewerte, die in Dampftafeln angegeben sind stellen keine absoluten Entropiewerte dar; sie sind auf den Siedepunkt der siedenden Flüssigkeit im Trippelpunkt bezogen. Da jedoch bei der Berechnung thermodynamischer Prozesse lediglich Entropiedifferenzen von Belang sind, spielt dies keine Rolle.

mSpeiseeis

T∞

Q12

T∞

T∞

Technische Thermodynamik Zustandsänderungen 77 _________________________________________________________________________

9 Zustandsänderungen Aufgrund ihrer Relevanz bei technischen Anwendungen, sollen im Folgenden einige spezielle Zustandsänderungen und ihre Darstellung im p,v-Diagramm betrachet werden.

9.1 Wärme und Arbeit bei reversiblen Zustandsänderungen idealer Gase

9.1.1 Isochore Zustandsänderung Aus der Zustandsgleichung für ideale Gase TRvp ⋅=⋅ läßt sich für eine isochore Zustandsänderung (d.h. v = const., bzw. dv = 0) folgende Beziehung ableiten

Gl. 9-1: 1

1

2

2

Tp

Tp

=

Da dabei keine Volumenänderungsarbeit geleistet wird, ist Wv12 = 0. Sofern nur reversible Prozesse betrachtet werden sollen, ist die Dissipationsarbeit WD ebenfalls Null. Die Zustandsänderung wird also lediglich durch den Wärmetransfer Q12 Gl. 9-2: 1212 UUQ −= bedingt und bewirkt eine Änderung der inneren Energie U. Eine isochore Zustandsänderung wird im p,V-Diagramm stets als senkrechte Linie dargestellt.

Abb. 9-1: Isochore Zustandsänderung im p,V-Diagramm

_________________________________________________________________________

Ü 9-1: Aufheizung einer Pressluftflasche Eine Pressluftflasche, in der sich noch 1.84 kg Luft bei einem Druck von p1 = 1.74 bar und einer Temperatur von T1 = 10°C befinden, heizt sich durch Sonneneinstrahlung auf 98 °C auf. Gesucht sind die zugeführte Wärmemenge Q12, der Druck p2 , das Volumen der Flasche V und die Änderung der inneren Energie U2 - U1 Der über den Temperaturbereich 10°C bis 98°C gemittelte Wert für die spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck cp beträgt cp = 1007.6 J/(kg⋅K) _________________________________________________________________________

Technische Thermodynamik Zustandsänderungen 78 _________________________________________________________________________ 9.1.2 Isobare Zustandsänderung Für isobare Änderungen (d.h. p = const.) vereinfacht sich die ideale Gasgleichung zu

Gl. 9-3: 1

2

1

2TT

VV

=

Dies entspricht dem Gesetz von Gay-Lussac.

Die während der Zustandsänderung geleistete Volumenänderungsarbeit berechnet sich zu:

Gl. 9-4: ( )∫ −⋅−=⋅−=2

1

1212

V

Vv VVpdVpW

Eingesetzt in den ersten Hauptsatz ergibt sich für eine isobare Zustandsänderung die zu- oder abgeführte Wärme für p1 = p2 = p zu Gl. 9-5: ( ) ( ) 122122121212 HHVpUVpUVVpUUQ −=⋅+−⋅+=−⋅+−= Die isobare Zustandsänderung wird im p,V-Diagramm als waagerechte Linie dargestellt. Die Fläche unter dieser Linie entspricht der Volumenänderungsarbeit WV12.

Abb. 9-2: Isobare Zustandsänderung im p,V-Diagramm

_________________________________________________________________________

Ü 9-2: Isobare Expansion Luft expandiert bei konstantem Druck p1 = 2.74 bar infolge von Wärmezufuhr vom Volumen V1 = 3.74 m³ und der Temperatur T1 = 13°C auf V2 = 8.81 m³. Die Gaskonstante der Luft beträgt R = 287.1 J/kgK Gesucht sind - die Masse m der Luft, - die Temperatur T2, - die zugeführte Wärmemenge Q12, - die Volumenänderungsarbeit WV12, _________________________________________________________________________

Technische Thermodynamik Zustandsänderungen 79 _________________________________________________________________________ 9.1.3 Isotherme Zustandsänderung Die thermische Zustandsgleichung für ideale Gase liefert mit der Bedingung T = const.

Gl. 9-6: 2

1

1

2VV

pp

= (Gesetz von Boyle-Mariotte)

Wegen T1 = T2 = T liefert der erste Hauptsatz mit U2 - U1 = 0 für den reversiblen Prozeß Gl. 9-7: 01212 =+ VWQ Die Volumenänderungsarbeit WV12 berechnet sich zu

Gl. 9-8: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅−=

1

21112 V

VlnVpWV

Die isotherme Zustandsänderung erscheint im p,V-Diagramm also immer als Hyperbel. Die Fläche unter der Hyperbel entspricht der Volumenänderungsarbeit WV12 . Das Vorzeichen der Volumenänderungsarbeit ist positiv bei einer Kompression und negativ bei einer Expansion

Abb. 9-3: Isotherme Zustandsänderung im p,V-Diagramm: a) Kompression, b) Expansion

_________________________________________________________________________

Ü 9-3: Isotherme Kompression von Luft Luft soll bei einer konstanten Temperatur von T1 = 25°C vom Volumen V1 = 0.83 m³ und dem Anfangsdruck p1 = 3.02 bar auf das Endvolumen V2 = 0.42 m³ isotherm komprimiert werden. Gesucht sind - die Masse m der Luft, - der Druck p2, - die Volumenänderungsarbeit WV12, - die abgeführte Wärmemenge Q12, - die Änderung der inneren Energie U2 - U1 _________________________________________________________________________

Technische Thermodynamik Zustandsänderungen 80 _________________________________________________________________________ 9.1.4 Adiabate Zustandsänderung Die Grenzen adiabater Systeme sind wärmeundurchlässig. Energie kann demnach nur in Form von mechanischer Arbeit mit der Umgebung ausgetauscht werden. Generell ist bei adiabaten Systemen für die Wärme immer Q12 = 0 zu setzen. Weiterhin gilt für reversible Prozesse, daß keine Dissipationsarbeit geleistet wird (d.h. verlustfrei), also WD12 = 0 . Der erste Hauptsatz vereinfacht sich somit zu

Gl. 9-9: 12

2

112 VWdVpUU =⋅−=− ∫

Gesucht ist nun die zur Berechnung des Integrals erforderliche Funktion des Drucks p in Abhängigkeit vom Volumen V, d.h. ( )Vpp= Anstelle der Bezeichnung reversible Adiabate wird in der Regel die Bezeichnung Isentrope verwendet, da bei reversibel adiabaten Zustandsänderungen die Entropie konstant bleibt. Druck und Volumen sind bei adiabaten und reversiblen Zustandsänderungen über das Verhältnis der spezifischen Wärmen cp und cv miteinander verknüpft. Dieses Verhältnis wird auch als Isentropenexponent κ bezeichnet.

Gl. 9-10: v

p

cc

=κ

Es gilt also

Gl. 9-11: κκ1122 VpVp ⋅=⋅ (Isentropengleichung)

Durch Kombination der Isentropengleichung mit der Gasgleichung TRmVp ⋅⋅=⋅ läßt sich die Volumenänderungsarbeit berechnen zu

Gl. 9-12: ∫⋅⋅−=2

112 11

V

VV

VdVVpW κ

κ

daraus folgt

Gl. 9-13: ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

−⋅

=−

11

1

2

11112

κ

κ VVVp

WV

bzw.

Gl. 9-14: ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

−⋅

=

−

11

1

1

21112

κκ

κ ppVp

WV

oder

Gl. 9-15: ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

−⋅

= 11 1

21112 T

TVpWV κ


Abb. 9-4: Adiabate Zustandsänderung im p,V-Diagramm: a) Kompression, b) Expansion

_________________________________________________________________________

Ü 9-4: Adiabate Kompression von Luft Mit den Angaben aus Ü 9-3 soll eine adiabate Kompression berechnet werden, κLuft = 1.4 - der Druck p2, - die Temperatur T2, - die Volumenänderungsarbeit WV12, - die abgeführte Wärmemenge Q12, - die Änderung der inneren Energie U2 - U1 _________________________________________________________________________


9.1.5 Polytrope Zustandsänderung In Abb. 9-5 sind die bisher beschriebenen Zustandskurven des idealen Gases skizziert.

Abb. 9-5: Polytropen im p,V-Diagramm, [ 13]

Diese Kurvenschar läßt sich durch die Potenzfunktion Gl. 9-16: .constCVp n ==⋅ beschreiben. In der Thermodynamik wird sie als Polytropengleichung bezeichnet (gr. polytrope = die Vielgestaltige). Der Exponent n wird als Polytropenexponent bezeichnet. Alle bisher behandelten Zustandsänderungen lassen sich aus der Polytropengleichung ableiten: Isochore Zustandsänderung (V = const.): n → ∞ Isobare Zustandsänderung (p = const.): n = 0 Isotherme Zustandsänderung (T = const.): n = 1

Reversibel adiabate = isentrope Zustandsänderung (S = const.): n = κ = v

p

cc

Kompressions- und Expansionsvorgänge verlaufen in technischen Apparaten überwiegend im Bereich zwischen Adiabate und Isotherme. Die reversible adiabate bzw. isentrope (n = κ) und die isotherme Zustandsänderung stellen Grenzfälle dar, die sich technisch nicht realisieren lassen. Die tatsächliche Zustandsänderung verläuft auf einer Polytropen mit einem Polytropenexponent, für den gilt: 1 < n < κ . Der genaue Wert von n ist in der Regel nicht bekannt, läßt sich aber bei Kenntnis des Anfangs- und Endzustandes aus der Polytropengleichung berechnen. Gl. 9-17: nn VpVp 2211 ⋅=⋅


Gl. 9-18:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=

2

1

1

2

VV

ln

pp

lnn

Polytrope Volumenänderungsarbeit WV12 bei n ≠ 1:

Gl. 9-19: ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

−⋅

=−

11

1

2

11112

n

V VV

nVp

W

bzw.

Gl. 9-20: ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

−⋅

=

−

11

1

1

21112

nn

V pp

nVp

W

bzw.

Gl. 9-21: ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⋅

−⋅

= 11 1

21112 T

Tn

VpWV

Übertragene Wärme bei polytroper Zustandsänderung Q12 für n ≠ 1:

Gl. 9-22: ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⋅

−⋅

⋅−−

= 111 1

21112 T

Tn

VpnQκ

κ

bzw.

Gl. 9-23: ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

−⋅

⋅−−

=−

111

1

2

11112

n

VV

nVpnQ

κκ

bzw.

Gl. 9-24: ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

−⋅

⋅−−

=

−

111

1

1

21112

nn

pp

nVpnQ

κκ


Ü 9-5 Zustandsänderungen Skizieren Sie vier besondere Zustandsänderungen für ideale Gase und geben Sie dazugehörigen Zustandsgleichungen an _________________________________________________________________________

Ü 9-6 Isotherme Zustandsänderung Welcher Zusammenhang besteht bei einer isothermen Zustandsänderung zwischen zu- bzw. abgeführter Wärme und technischer Arbeit? _________________________________________________________________________

Ü 9-7 Isentrope Zustandsänderung Wie verhalten sich bei isentroper Zustandsänderung Druck und Temperatur? _________________________________________________________________________

Ü 9-8 Isentrope Expansion In einer Preßluftflasche mit V = 40 l befindet sich Luft unter p1 = 15 MPa bei Umgebungstemperatur von T = 20°C. Nach dem Öffnen des Ventils sinkt der Druck in der Flasche rasch auf p2 = 7.5 MPa ab, anschließend wird das Ventil wieder geschlossen. Während dem Ausströmvorgang fand kein Wärmeaustausch zwischen Flascheninhalt und Umgebung statt. Nach dem Schließen erhöht sich der Druck in der Flasche , da sich die Temperatur der verbleibenden Luft wieder der Umgebungstemperatur angleicht.

a) Welche Temperatur T2 stellt sich direkt nach dem Ausströmen aus der Flasche ein?

b) Welche Gasmasse strömt aus der Flasche? c) Welcher Druck stellt sich nach dem Temperaturausgleich mit der Umgebung ein? d) Welche Gasmasse würde aus der Flasche strömen, wenn der Ausströmvorgang

langsam bei konstanter Temperatur T∞ = 20°C auf p2 = 7.5 MPa erfolgen würde? _________________________________________________________________________


9.2 T,s-Diagramme idealer Gase

9.2.1 Isochore Zustandsänderung idealer Gase Für isochore Zustandsänderungen vereinfacht sich wegen dv = 0 die Gleichung für die spezifische Entropie s zu

Gl. 9-25: ( ) ( )111

,ln, vTsTTcvTs v +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=

Besondere Eigenschaften: Wegen

Gl. 9-26: v

v sTcT ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

⋅=

bildet die spezifische Wärmekapazität cv eine Tangente an die Isochore. Der Abstand zweier Isochoren mit v1 = const. und v2 = const. beträgt

Gl. 9-27: ( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=−

1

212 ln,,

vvRvTsvTs

Im T,s-Diagramm bilden Isochoren eine Kurvenschar, die sich durch Verschiebung entlang der Entropieachse ineinander überführen lassen. Dies bedeutet, daß sich für die Temperaturdifferenz T2 - T1 für jede Isochore die gleiche Differenz der inneren Energie u2 - u1 ergibt.

Abb. 9-6: Isochoren im T,s-Diagramm

Die Fläche unter der Kurve in Abb. 9-7 repräsentiert nicht nur die Summe aus übertragener Wärme q12 und dissipierter Arbeit wD12 sondern entspricht auch der Änderung der inneren Energie u2 - u1 .


Abb. 9-7: Änderung der inneren Energie

9.2.2 Isobare Zustandsänderung idealer Gase Bei isobarer Zustandsänderung vereinfacht sich wegen dp = 0 die Berechnung der spezifischen Entropie zu

Gl. 9-28: ( ) ( )111

,ln, pTsTTcpTs p +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=

Besondere Eigenschaften: Wegen

Gl. 9-29: p

p sTcT ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

⋅=

bildet die spezifische Wärmekapazität cp eine Tangente an die Isobare. Der Abstand zweier Isobaren mit p1 = const. und p2 = const. beträgt

Gl. 9-30: ( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅−=−

1

212 p

plnRp,Tsp,Ts

Im T,s-Diagramm bilden Isobaren eine Kurvenschar, die sich durch Verschiebung entlang der Entropieachse ineinander überführen lassen. Dies bedeutet, daß sich für die Temperaturdifferenz T2 - T1 für jede Isobare die gleiche Differenz der Enthalpie h2 - h1 ergibt.

Abb. 9-8: Isobaren im T,s-Diagramm

Technische Thermodynamik Zustandsänderungen 87 _________________________________________________________________________ Die Volumenänderungsarbeit bei isobarer Zustandsänderung ergibt sich aus dem ersten Hauptsatz zu: Gl. 9-31: ( )121212

hhuuwV −−−=

Abb. 9-9: Volumenänderungsarbeit wV12 bei isobarer Zustandsänderung

9.2.3 Isotherme Zustandsänderung idealer Gase Da bei idealen Gasen die innere Energie eine reine Temperaturfunktion ist, bilden Isothermen im T,s-Diagramm eine Schar abszissenparalleler Geraden. Gl. 9-32: 0=⋅= dTcdu v Darüber hinaus sind sie identisch mit den Kurven konstanter Enthalpie (Isenthalpen): Gl. 9-33: 0=⋅= dTcdh p Bei reversiblen Prozessen entspricht die Fläche unter der Isotherme der über die Systemgrenze transportierten Wärme q12 und bei irreversiblen Prozessen der Summe aus übertragener Wärme q12 und dissipierter Energie wD12 .

Abb. 9-10: Isothermen im T,s-Diagramm


9.2.4 Isentrope Zustandsänderung idealer Gase Die isentrope Zustandsänderung (s = const.) erscheint im T,s-Diagramm als senkrechte Linie

Abb. 9-11: Isentrope im T,s-Diagramm

Abb. 9-12: Isentrope Zustandsänderung - Volumenänderungsarbeit 1212 uuwv −=

Abb. 9-13: Isentrope Zustandsänderung - Spezifische Strömungsarbeit 1212 hhy −=

Technische Thermodynamik Zustandsänderungen 89 _________________________________________________________________________ 9.2.5 Polytrope Zustandsänderung Bei einer polytropen Expansion mit 1 < n < κ kann die Volumenänderungsarbeit als Fläche unterhalb der Isochoren und der Polytropen und die Strömumgsarbeit als die Fläche unter der Isobaren und der Polytropen dargestellt werden. Volumenänderungsarbeit Strömungsarbeit Innere Energie u1-u2 a-b-1-d-a Enthalpie h2-h1 a-b-1-d-a Wärme + Dissipationsenergie

q12+wD,12 b-c-2-1-b Wärme + Dissipationsenergie

q12+wD,12 b-c-2-1-b

Volumenänderungsarbeit

-wV,12 a-c-2-1-d-a Strömungsarbeit -y12 a-c-2-1-d-a

Abb. 9-14: Polytrope Expansion a) Volumenänderungsarbeit, b) Strömungsarbeit

9.3 Wärme- und Arbeit in Entropiediagrammen

9.3.1 Adiabate Systeme Da adiabate Systeme mit ihrer Umgebung keine Energie in Form von Wärme austauschen, d.h. es gilt 012 =q , stellt bei geschlossenen adiabaten Systemen die Fläche unter der Kurve der Zustandsänderung nur die Dissipationsenergie wD dar. Bei adiabat-reversiblen Zustandsänderungen (= isentrop) verschwindet diese Fläche, da keine Dissipationsarbeit geleistet wird und die Kurve der Zustandsänderung wird zur senkrechten Linie (Abb. 9-11). Da Wärmeübertragungsprozesse Zeit benötigen, kann aufgrund der hohen Strömungs-geschwindigkeit innerhalb von Strömungsmaschinen die übertragene Wärme von dem Arbeitsmedium (Gas, Dampf) an das System vernachlässigt werden. In erster Näherung können daher Kolben- und Turbomaschinen als adiabate Systeme betrachtet werden. Geschlossene Systeme In Abb. 9-15 ist für ein geschlossenes System die Zustandsänderung für eine adiabate Expansion und adiabate Kompression skizziert. Bei der Kompression von p1 auf p2 ändert sich die spezifische innere Energie u entsprechend dem 1. Hauptsatz für geschlossene Systeme um den Betrag der spezifischen Volumenänderungsarbeit wV,12 und die dissipierte Arbeit wD,12 .


Gl. 9-34: 321321

12,12,

2

1

2

112,12,12

DV ww

DV dsTdvpwwuu ∫∫ ⋅+⋅=+=−

Bei irreversibler adiabater Verdichtung gilt somit für die spezifische Volumenänderungsarbeit wV,12 (wV,12 > 0, dem System wird Arbeit zugeführt!) Gl. 9-35: 12,1212, DV wuuw −−= und bei irreversibler adiabater Expansion gilt entsprechend (wV,12 < 0, dem System wird Arbeit entzogen!) Gl. 9-36: 12,1212, )( DV wuuw +−−=− Die einzelnen Anteile von spezifischer innerer Energie, Volumenänderungsarbeit und Dissipationsarbeit sind als Flächen in Abb. 9-15a,b dargestellt: Geschlossenes adiabates System

Expansion Kompression

Innere Energie u1-u2 a-b-1-d-a u2-u1 a-c-2-d-a Fläche unter der Isochore Dissipationsenergie wD,12 b-c-2-1-b wD,12 b-c-2-1-b Fläche unter der Adiabate Volumenänderungsarbeit -wV,12 a-c-2-1-d-a wV,12 a-b-1-2-d-a

Abb. 9-15: Geschlossenes adiabates System: a) Expansion, b) Kompression

Offene Systeme Bei offenen, adiabat durchströmten Systemen, z.B. Strömungsmaschinen (Verdichter und Turbinen), läßt sich unter der Annahme konstanter mechanischer Energie, d.h. keine Änderung der kinetischen und potentiellen Energie, der 1. Hauptsatz für stationäre Fließprozesse

{( ) ( )

4342143421

EnergieepotentiellEnergiekinetische

,t

adiabat

zzgcchhwq0

12

0

21

221212

012 2

1

==

=

−⋅+−⋅+−=+

vereinfachen zu

Technische Thermodynamik Zustandsänderungen 91 _________________________________________________________________________ Gl. 9-37: 1212 hhw ,t −= Mit der Definition für die spezifische Strömungsarbeit y12 , (Arbeit am bewegten Fluidelement)

Gl. 9-38: ∫ ⋅=2

112 dpvy

läßt sich die spezifische technische Arbeit wt,12 auch darstellen als die Summe aus spezifischer Strömungsarbeit y12 und dissipierter Arbeit wD,12 Gl. 9-39: 121212 ,D,t wyw += Analog zu dem geschlossenen System sind in Abb. 9-16 für ein offenes adiabates System die spezifische Enthalpieänderung, dissipierte Arbeit und Strömungsarbeit als Flächen darge-stellt, die von den folgenden Kurvenzügen umschlossen werden. Offenes adiabates System Expansion Kompression Enthalpie h1-h2 a-b-1-d-a h2-h1 a-c-2-d-a Fläche unter der Isobare Dissipationsenergie wD,12 b-c-2-1-b wD,12 b-c-2-1-b Fläche unter der Adiabate Strömungsarbeit -y12 a-c-2-1-d-a y12 a-b-1-2-d-a

Abb. 9-16: Offen durchströmtes adiabates System: a) Expansion, b) Kompression

9.3.2 Wärme und Arbeit bei reversiblen und irreversiblen Prozesset Bei reversiblen Prozessen bei denen keine Dissipationsarbeit geleistet wird, wurde die Änderung der spezifischen Entropie s definiert als eine Größe, die der zu- bzw. abgeführten Wärme dq proportional ist und die absolute Temperatur T den Proportionalitätsfaktor darstellt. Gl. 9-40: dsTdq ⋅= bzw.

Gl. 9-41: ∫ ⋅=2

112 dsTq

Technische Thermodynamik Zustandsänderungen 92 _________________________________________________________________________ Bei irreversiblen Prozessen ist die spezifische Entropie proportional der Summe der spezifischen Wärme q und der spezifischen dissipierten Arbeit wD. Gl. 9-42: dsTdwdq D ⋅=+ bzw.

Gl. 9-43: ∫ ⋅=+2

112 12

dsTwq D

Trägt man für eine Zustandsänderung den Verlauf der Temperatur T(s) als Funktion der Entropie s auf, so ergeben sich bei einer reversiblen Prozeßführung die in Abb. 9-17 skizzierten Verläufe für a) Wärmezufuhr und b) Wärmeabfuhr aus dem System.

Abb. 9-17: Darstellung der Wärme im T,s-Diagramm bei reversiblen Prozessen

Bei Zustandsänderungen werden nur Entropiedifferenzen betrachtet, d.h. daß der Nullpunkt der Entropie willkürlich festgelegt werden kann. So wird z.B. der Nullpunkt für die Entropie-werte, wie sie in Dampftafeln von Wasser angegeben sind, in der Regel auf den Trippelpunkt bezogen. Der tatsächliche Nullpunkt der Entropie liegt jedoch bei dem absoluten Nullpunkt, d.h. bei T = 0 K. Dritter Hauptsatzes der Thermodynamik Die Entropie eines jeden reinen Stoffes nimmt im absoluten Nullpunkt der Temperatur den Wert Null an (Nernst'sches Wärmetheorem). Da bei irreversiblen Prozessen sich die Fläche unter der Zustandskurve aus zwei Anteilen zusammensetzt, nämlich der übertragen Wärme q12 und der dissipierten Arbeit wD12, ist der Verlauf der Zustandskurve nur bei Wärmezufuhr eindeutig. In diesem Fall haben beide Anteile ein positives Vorzeichen. Bei Wärmezufuhr wächst die Entropie und die Zustandsänderung verläuft von links nach rechts im T,s-Diagramm (Abb. 9-18a). Wird hingegen dem System Wärme entzogen, so hängt die Richtung der Zustandsänderung von dem Verhältnis der abgeführten Wärme zu der dissipierten Energie ab. Überwiegt die Dissipation, so verläuft trotz Wärmeentzug die Zustandsänderung im T,s-Diagramm von links nach rechts, d.h. die Entropie nimmt zu (Abb. 9-18a). Wird jedoch mehr Wärme abgeführt als mechanische Arbeit dissipiert wird, so verläuft die Zustandskurve von rechts nach links, d.h. die Entropie wird verringert (Abb. 9-18b).

Technische Thermodynamik Zustandsänderungen 93 _________________________________________________________________________ Eindeutig wird die Situation wieder bei adiabaten Systemen, d.h. es gilt q12 = 0 und die Fläche unter der Kurve entspricht ausschließlich der dissipierten Energie wD12.

Abb. 9-18: Wärme und Dissipation bei irreversiblen Prozessen, a) nicht-adiabat, b) adiabat

Mit den bereits bekannten Gleichungen für die spezifische Entropie läßt sich die Zustandskurve im T,s-Diagramm mit zwei thermischen Zustandsgrößen als unabhängige Variable beschreiben. Der beliebige Bezugspunkt ist durch den Index 1 gekennzeichnet.

Gl. 9-44: ( ) ( )1111

,lnln, vTsvvR

TTcvTs v +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=

bzw.

Gl. 9-45: ( ) ( )1111

,lnln, pTsppR

TTcpTs p +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=

Für die spezifischen Wärmekapazitäten wird die Annahme getroffen, daß sie über den betrachteten Temperaturbereich konstant sind.

dq + dw

dq12 + dw12 dwD

wD12


9.4 T,s-Diagramm realer Gase Als Beispiel für ein T,s-Diagramm realer Gase ist das T,s-Diagramm für Wasserdampf angegeben. In dem von der Siedelinie (x = 0) und der Taulinie (x = 1) begrenzten Naßdampf-gebiet fallen die Isobaren mit den Isothermen zusammen und bilden eine horizontale Geradenschar. Im Bereich der flüssigen Phase links neben der Siedelinie liegen die Isobaren relativ dicht nebeneinander und sind fast nicht voneinander zu unterscheiden. Im Gebiet des trockenen überhitzten Dampfes verlaufen Isothermen und Isobaren getrennt. Im Naßdampf-gebiet sind auch Kurven gleichen Dampfgehalts eingezeichnet, die sog. Isovaporen.

Abb. 9-19: T,s-Diagramm für Wasserdampf, [ 6]


9.5 Mollier-Diagramm (h,s-Diagramm) Das sog. h,s-Diagramm (Mollier-Diagramm) geht auf den Physiker H. Mollier (1863-1935) zurück. Während im T,s-Diagramm die Größen Wärme, Arbeit, innere Energie und Enthalpie durch Flächen dargestellt werden, erscheinen diese Größen im Enthalpie-Entropie-Diagramm als Strecken. Zustandsänderungen werden im h,s-Diagramm als Kurvenzüge dargestellt. Als Beispiel ist in Abb. 9-20 ein stationär durchströmtes System skizziert. 1-2: Adiabate (q12 = 0) Verdichtung eines Fluids von p1 auf p2, die Enthalpiedifferenz entspricht der zugeführten technischen Arbeit wt12. Gl. 9-46: 1212

hhwt −= 2-3: Auf der Isobaren p = p2 wird dem System reversibel Wärme zugeführt und keine technische Arbeit geleistet (wt12 = 0). Gl. 9-47: 2323 hhq −= 3-4: Innerhalb des adiabaten Kontrollraums expandiert das Fluid von p4 auf p1 .Die Enthalpiedifferenz entspricht der vom System abgegebenen technischen Arbeit. wt34. Gl. 9-48: 3434

hhwt −=

Abb. 9-20: h,s-Diagramm

Ideale Gase Bei idealen Gasen ergibt sich das h,s-Diagramm direkt aus dem T,s-Diagramm, in dem man die Temperatur T mit der spezifischen Wärmekapazität cp multipliziert und erhält bis auf eine unbestimmte Konstante die Enthalpie. Da bei Zustandsänderungen jedoch lediglich Enthalpiedifferenzen von Interesse sind, ist dies ohne praktische Bedeutung.

Technische Thermodynamik Zustandsänderungen 96 _________________________________________________________________________ Reale Gase Als Beispiel für die Darstellung bei realen Gasen ist in Abb. 9-21 ein Ausschnitt des h,s-Diagramms für Wasserdampf skizziert. Isenthalpen (h = const.) und Isentropen (s = const.) sind Scharen horizontaler bzw. vertikaler Geraden. Die Isothermen (T = const.) fallen im Naßdampfgebiet mit den Isobaren (p = const.) zusammen. Die Steigung der Isothermen nimmt im Gebiet der Gasphase stetig ab und verlaufen mit wachsender Entropie zunehmend waagerecht. In diesem Bereich nähert sich das Verhalten des Wasserdampfes dem Verhalten des idealen Gases; Isotherme und Isenthalpe fallen zusammen.

Abb. 9-21: Mollier-Diagramm von Wasserdampf, [ 14]


9.6 Feuchte Luft (h,x-Diagramme)

9.6.1 Relative Feuchte Wasser kann in Luft in allen drei Aggregatsformen, d.h. fest, flüssig oder gasförmig enthalten sein und Phasenänderungen durchlaufen. Das Gemisch aus Luft und Wasser in der Dampfphase wird als feuchte Luft bezeichnet. Der Luftdruck p ergibt sich als Summe der Partialdrücke der Luft pL und des Wasserdampfes pD bei der betrachteten Temperatur. Gl. 9-49: DL ppp += Luft kann nur solange Wasserdampf aufnehmen, solange der Partialdruck des Wasser-dampfs pD kleiner ist als der Sättigungsdruck pDS, der wiederum von der Temperatur abhängt. Die relative Feuchte ϕ beschreibt das Verhältnis von Partialdruck zu Sättigungsdruck, welches dem Dichteverhältnis des Wasserdampfes in ungesättigter zu gesättigter Luft entspricht.

Gl. 9-50: DS

D

DS

D

pp

ρρϕ ==

Mit den spezifischen Gaskonstanten von trockener Luft (RL = 287.05 [J/kg⋅K]) und Wasser-dampf RD = 461.51 [J/kg⋅K]) kann in Abhängigkeit von der relativen Feuchte ϕ und dem Druck p der Wert der spezifischen Gaskonstante der feuchten Luft Rf, die z.B. zur Berechnung der Dichte benötigt wird, korrigiert werden.

Gl. 9-51:

pp

RR

pp

RRDS

D

tDS

Lf ⋅

⋅−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅

⋅−

= ϕϕ 378.01

05.287

11

Der Sättigungsdampfdruck pDS läßt sich für den Temperaturbereich -30°C bis +70°C näherungsweise durch die Magnus-Formel als Funktion der Temperatur T [°C] bestimmen.

Gl. 9-52: [ ]Paep TT

DS+⋅

⋅= 2.2415043.17

213.611 Genauere Werte liefern die Dampftafel von Wasser, Tab. 14.4, Tab. 14.5.

9.6.2 Feuchtegrad und Sättigungsgrad Der Feuchtegrad x oder die absolute Feuchte von Luft beschreiben das Massenverhältnis von Wasserdampf und Luft

Gl. 9-53: D

D

LD

DL

L

D

ppp

pRpR

mmx

−⋅=

⋅⋅

== 622.0

Der maximale Feuchtegrad wird bei dem Sättigungsdampfdruck pDS erreicht, d.h. DSD pp =

Gl. 9-54: DS

DSS pp

px−

⋅= 622.0

Technische Thermodynamik Zustandsänderungen 98 _________________________________________________________________________ Mögliche Zustandsformen in Abhängigkeit vom Feuchtegrad x - Ungesättigte Luft: x < xS (überhitzter Dampf) - Gesättigte Luft: x = xS (Sattdampf) - Übersättigte Luft: x > xS (Naßdampf = Nebel) Bei Temperaturen unterhalb des Trippelpunktes von Wasser (T = 0.01°C) bildet sich ein Gemisch aus Sattdampf und Eis (Eisnebel). Der Sättigungsgrad ψ beschreibt das Verhältnis von Feuchtegrad der Luft zum Feuchtgrad der gesättigten Luft.

Gl. 9-55: Sxx

=ψ

bzw.

Gl. 9-56: D

DS

D

DS

DS

D

pppp

pppp

pp

−−

⋅=−−

⋅= ϕψ

9.6.3 Zustandsgrößen feuchter Luft Enthalpie Die spezifische Enthalpie der feuchten Luft bestimmt sich analog zur Berechnung der Enthalpie von Dämpfen, d.h. für ungesättigte feuchte Luft gilt Gl. 9-57: DL hxhh ⋅+= und für gesättigte feuchte Luft gilt Gl. 9-58: DSL hxhh ⋅+= Für übersättigte feuchte Luft im Nebelgebiet gilt Gl. 9-59: ( ) FSDSL hxxhxhh ⋅−+⋅+= Wobei hF die spezifische Enthalpie des flüssigen Wassers beschreibt. Bei Temperaturen unterhalb des Trippelpunktes von Wasser (T = 0.01°C), im Eisnebelgebiet gilt Gl. 9-60: ( ) ESDSL hxxhxhh ⋅−+⋅+= hE = spez. Enthalpie von Eis Allgemein gilt für die spezifische Enthalpie h’ der feuchten Luft Gl. 9-61: ( )

434214342144444 344444 21321halpieSchmelzent

SD

egsenthalpiVerdampfun

VD

PhasendenentsprechederinWasser

pEEpFFpDD

Luft

pL hxhxTcxcxcxTch Δ⋅+Δ⋅+⋅⋅+⋅+⋅+⋅=′

Mit h0 = 0 bei T = 0°C , d.h. Prozesse unter 0°C werden durch negative Enthalpien beschrieben folgt

Technische Thermodynamik Zustandsänderungen 99 _________________________________________________________________________ Gl. 9-62:

( ) ( ) ( )4342143421444444 3444444 2143421

halpieSchmelzent

SD

egsenthalpiVerdampfun

VD

PhasendenentsprechederinWasser

pEEpFFpDD

Luft

pL hxhxTTcxcxcxTTchh Δ⋅+Δ⋅+−⋅⋅+⋅+⋅+−⋅=−′ 000

Mit [ ]kgkJcpL 004.1= spez. Wärmekapazität von Luft bei p = const. (-30°C bis +50°C)

[ ]kgkJcpD 86.1= spez. Wärmekapazität von Wasserdampf bei p = const.

[ ]kgkJcpF 19.4= spez. Wärmekapazität von flüssigem Wasser bei p = const.

[ ]kgkJcpE 07.2= spez. Wärmekapazität von Eis p = const.

[ ]kgkJhV 2500=Δ Verdampfungsenthalpie von Wasser [ ]kgkJhS 4.333−=Δ Schmelzenthalpie von Eis folgt für die spez. Enthalpie h’ mit T [°C] Gl. 9-63: ( ) DDEFD xxTxxxh ⋅−⋅+⋅⋅+⋅+⋅+=′ 4.333250007.219.486.1004.1 Dichte und spezifisches Volumen Aus der Zustandsgleichung für feuchte Luft

Gl. 9-64: ( ) Tmm

RRRmTRmRmVpVpVp

L

D

D

LDLDDLLDL ⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅⋅=⋅⋅+⋅=⋅+⋅=⋅

folgt

Gl. 9-65: ( )p

TRxmV DL

⋅⋅+⋅= 622.0

Das spezifische Volumen ergibt sich mit

Gl. 9-66: ( )xmV

mxmV

mmVv

LLLDL +⋅=

⋅+=

+=

1

zu

Gl. 9-67: p

TRx

xv D ⋅⋅++

=1622.0

und die Dichte mit

Gl. 9-68: ( )V

xmV

mxmV

mm LLLDL +⋅=

⋅+=

+=

1ρ

zu

Gl. 9-69: TR

px

xD ⋅

⋅+

+=

622.01ρ

Für übersättigte feuchte Luft gilt

Gl. 9-70: p

TRx

xv DS ⋅⋅

++

=1

622.0

und


Gl. 9-71: TR

px

xDS ⋅

⋅+

+=

622.01ρ

9.6.4 Feuchte Luft in Diagrammform Diese Darstellungsform (Mollier, 1923) setzt einen konstanten Druck für die feuchte Luft voraus, bei einer Druckänderung werden die Kurvenverläufe entsprechend Abb. 9-22b verschoben.

Abb. 9-22: a) Darstellung unterschiedlicher Phasen im h,x-Diagramm, b) Druckerhöhung, [ 13]

Abb. 9-23: Konstruktionsprinzip des h,x-Diagramms für feuchte Luft, [ 13]

Technische Thermodynamik Zustandsänderungen 101 _________________________________________________________________________ Trocknung feuchter Luft Zur Trocknung feuchter Luft ist die absolute Feuchte x entsprechend dem in Abb. 9-24 skizzierten Prozeß zu reduzieren.

Abb. 9-24: Zustandsänderungen bei der Trocknung feuchter Luft, [ 13] (1) - (2): Abkühlung bei .constxxx FDS =+= , Sättigungslinie wird in das Nebelgebiet

unterschritten (2) - (3): Entnahme des flüssigen Wassers bei konstanter Temperatur.

Im Punkt (3) gilt 1, == ϕDSxx (3) – (4): Erwärmung der feuchten Luft auf die Ausgangstemperatur T1.

Im Punkt (4) gilt 1414 , ϕϕ << xx

Technische Thermodynamik Zustandsänderungen 102 _________________________________________________________________________ Mischung von Luft unterschiedlicher Feuchte und Temperatur Insbesondere bei Klimaanlagen werden häufig Luftmassen unterschiedlicher Feuchte und Temperatur gemischt, z.B. durch Zuführen von Außenluft zur Raumluft. Bei dem Aufeinandertreffen von zwei Luftmassen unterschiedlicher Temperatur und unterschiedlicher Feuchte in der Atmosphäre kann es zur Bildung von Nebel kommen. Abb. 9-25: Mischung von zwei Luftmassen Massebilanz der Luft Gl. 9-72: 213 LLL mmm += Massebilanz des Wassers Gl. 9-73: 213 WWW mmm += mit LW mmx = bzw. LW mmx &&& = folgt für die Enthalpiebilanz

Gl. 9-74: ′⋅+′⋅=′⋅ 221133 hmhmhm LLL &&& bzw.

Gl. 9-75:

1

2

1

21

21

2211

3

22113

1L

L

L

L

LL

LL

L

LL

mmmmh

mmhmhm

mhmhmh

&

&

&

&

&&

&&

&

&&

+

+′

=+

′⋅+′⋅=

′⋅+′⋅=′

bzw.

Gl. 9-76: 23

31

23

31

1

2

xxxx

hh

hhmm

L

L

−−

=′−′

′−′=

&

&

Aufgrund der Proportionalität zwischen den spezifischen Enthalpien und den absoluten Feuchten verläuft der Mischvorgang im h,x-Diagramm auf einer Geraden parallel zwischen den Ausgangsmasseströmen, Abb. 9-26.

m1, h1’, T1, x1

m2, h2’, T2, x2

m3, h3’, T3, x3


Abb. 9-26: Enthalpie bei der Mischung zweier Luftmassen, [ 13] Nebelbildung Trifft eine Luftmasse vom Zustand (a) auf eine Luftmasse vom Zustand (b), so wird sich ein Endzustand einstellen, der auf einer Geraden zwischen den beiden Punkten liegt; in diesem Fall im ungesättigten Gebiet, Abb. 9-27. Die Bildung von Nebel ist somit ausgeschlossen. Trifft jedoch die kalte, ungesättigt Luftmasse vom Zustand (c) auf die wärmere Luftmasse vom Zustand (a), so stellt sich ein Endzustand ein, der je nach Masseanteilen die Sattdampf-linie unterschreiten und somit zur Nebelbildung führen kann.

Abb. 9-27: Mischung zweier Luftmassen im ungesättigten Gebiet, [ 13]

Technische Thermodynamik Zustandsänderungen 104 _________________________________________________________________________ Ü 9.9 Wasser-Naßdampf In einem geschlossenen Behälter mit V = 1 m³ befindet sich Wasser-Naßdampf mit einem Dampfanteil von 60% bei einem Druck von p = 5 MPa. Zu berechnen sind

a) das spezifische Volumen v des Naßdampfes b) Masse des Naßdampfes m und des Wassers mW c) Spezifische Enthalpie des Naßdampfes

_________________________________________________________________________ Ü 9.10 Klimaanlage In einem Raum beträgt die Lufttemperatur T = 20°C und die relative Feuchte ϕ = 80%. Durch Kühlung der Luft bei konstanter absoluter Feuchte x sinkt die spez. Enthalpie um Δh = 20 [kJ/kg trockene Luft], ein Teil des Wassers kondensiert und wird abgeschieden. Anschließend wird die Luft wieder auf T = 20°C erwärmt.

a) Wieviel Wasser wurde bei welcher Temperatur entfernt? b) Wieviel Energie ist erforderlich, um die Luft wieder auf T = 20°C zu erwärmen? c) Auf welchen Wert wird die absolute Feuchte x reduziert? d) Welchen Wert nimmt die relative Feuchte ϕ an?

_________________________________________________________________________


9.7 Zusammenfassung reversibler Zustandsänderungen Zustands-änderung

isochor reversibel

isobar reversibel

isotherm reversibel

adiabat reversibel

Bedingung 0=dv 0=dp 0=dT 0,0 == dsdq Beziehungen zwischen p, T, V

.constTp

TT

pp

=

=2

1

2

1

.

2

1

2

1

constTv

vv

TT

=

=

.1

2

2

1

constvpvv

pp

=⋅

=

.

.

.

1

1

2

1

2

1

11

1

2

2

1

1

2

2

1

constpT

pp

TT

constvTvv

TT

constvpvv

pp

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

=⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

=⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−

−

−

−

κ

κκκ

κκ

κκ

Spezifische Wärme

( )12,12 TTcqdTcdq

vrev

vrev

−⋅=⋅=

( )12,12 TTcq

dTcdq

prev

prev

−⋅=

⋅=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅=

−=−=⋅=⋅=

1

211,12

1

2,12

12,12,,12

ln

ln

vvvpq

vvTRq

wwqdpvdvpdq

rev

rev

pvrev

rev

00

12, ==

rev

rev

qdq

Spezifische Arbeit Volumen-änderungsarbeit

012,

2

112,

=

⋅−= ∫v

v

w

dvpw

Druck-änderungsarbeit

( )1212,

2

112,

ppvw

dpvw

p

p

−⋅=

⋅= ∫

Volumen-änderungsarbeit

( )2112,

2

112,

vvpw

dvpw

v

v

−⋅=

⋅−= ∫

Druck- änderungsarbeit

012,

2

112,

=

⋅= ∫p

p

w

dpvw

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅=

⋅−= ∫

2

11112,

1

212,

2

112,

ln

ln

vv

vpw

ppTRw

dvpw

v

v

v

12,12, vp ww = ( )

( )12

1122

1

1

211

1

2

111

2

112,

1

11

11

11

TTR

vpvp

ppvp

vvvp

dvpwv

−−

=

⋅−⋅−

=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅

=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅

=

⋅−=

−

−

∫

κ

κ

κ

κ

κκ

κ

( )1212,12, TTcww pvp −⋅=⋅=κ

Spezifische inneren Energie ( )1212 TTcuu

dTcdqdu

v

vrev

−⋅=−⋅==

( 2,1212 vpquudwdqdu

rev

v

−⋅−=−−=

0

0

12 =−=

uudu

∫ ⋅−==−

=2

112,12 dvpwuu

dwdu

v

v

Spezifische Enthalpie

1212 uuhhdudh

−=−=

( )1212 TTchhdTcdqdh

p

prev

−⋅=−

⋅== 0

0

12 =−=

hhdh

12,12 p

p

whh

dwdh

=−

=

Spezifische Entropie

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=−

⋅=⋅=

1

212

1

212

ln

ln

ppcss

TTcss

pdpc

TdTcds

v

v

vv

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=−

⋅=⋅=

1

212

1

212

ln

ln

vvcss

TTcss

pdpc

TdTcds

p

p

pp

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=−

⋅−=⋅=

2

112

1

212

ln

ln

ppRss

vvRss

pdpR

vdvRds

00

12 =−=

ssds

p,V-Diagramm

T, s-Diagramm

Technische Thermodynamik Zustandsänderungen 106 _________________________________________________________________________ Zustands-änderung

polytrop reversibel

Beziehungen zwischen p, T, V

.1

2

2

1

constvp

vv

pp

n

n

=⋅

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

.1

1

1

2

2

1

constvT

vv

TT

n

n

=⋅

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−

−

.1

1

2

1

2

1

constpT

pp

TT

n

n

nn

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−

−

Spezifische Wärme

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )121

211

1122

1

1

21

1

1

211

1

2

11

1

2

111,12

111

11

11

111

111

111

111

TTRn

nTTvp

nn

vpvpn

n

ppTR

nn

ppvp

nn

vvTR

nn

vvvp

nnq

nn

nn

nn

rev

−⋅⋅−⋅−

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅⋅⋅

−⋅−−

=

⋅−⋅⋅−⋅−

−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅⋅

−⋅−−

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅⋅

−⋅−−

=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅⋅

−⋅−−

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅⋅

−⋅−−

=

−−

−−

κκ

κκ

κκ

κκ

κκ

κκ

κκ

Spezifische Arbeit

Volumenänderungsarbeit

( )

( )121

211

1122

1

1

21

1

1

211

1

2

11

1

2

11112,

11

1

11

11

11

11

11

TTn

RTT

nvp

vpvpn

pp

nTR

pp

nvp

vv

nTR

vv

nvpw

nn

nn

nn

v

−⋅−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅

−⋅

=

⋅−⋅⋅−

=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

−⋅

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

−⋅

=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

−⋅

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

−⋅

=

−−

−−

Druckänderungsarbeit

( )

( )121

211

1122

1

1

21

1

1

211

1

2

11

1

2

11112,

11

1

1

11

11

11

11

TTn

RnTT

nvpn

vpvpn

n

pp

nTRn

pp

nvpn

vv

nTRn

vv

nvpnw

nn

nn

nn

p

−⋅−⋅

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅

−⋅⋅

=

⋅−⋅⋅−

=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

−⋅⋅

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

−⋅⋅

=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

−⋅⋅

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

−⋅⋅

=

−−

−−

Spezifische inneren Energie

( ) ( )121

2111122

1

1

21

1

1

211

1

2

11

1

2

11112

11

111

11

11

11

11

TTRTTvpvpvp

ppTR

ppvp

vvTR

vvvpuu

nn

nnnn

−⋅−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅

−⋅

=⋅−⋅⋅−

=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

−⋅

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

−⋅

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

−⋅

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

−⋅

=−

−−−−

κκκ

κκκκ

Spezifische Enthalpie

( ) ( )121

2111122

1

1

21

1

1

211

1

2

11

1

2

11112

11

11

11

11

11

11

TTRTTvpvpvp

ppTR

ppvp

vvTR

vvvphh

nn

nnnn

−⋅−⋅

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅

−⋅⋅

=⋅−⋅⋅−

=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

−⋅⋅

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

−⋅⋅

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

−⋅⋅

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

−⋅⋅

=−

−−−−

κκ

κκ

κκ

κκ

κκ

κκ

κκ

Spezifische Entropie T

dTnnc

TdT

nncds p

v ⋅−−

⋅=⋅−−

⋅=11κ

κκ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

−−

⋅=−1

212 ln

1 TT

nncss v

κ

12,12, vp wnw ⋅=

112,

,12

−−

=κ

κnwq

v

rev 11

12,

12

−−

=−

κn

wuu

v

p,V-Diagramm, T,s- Diagramm

Technische Thermodynamik Reversible Kreisprozesse 107 _________________________________________________________________________

10 Reversible Kreisprozesse

10.1 Allgemeine Kennzeichen eines Kreisprozesses Die Zufuhr von Wärme in ein thermodynamisches System führt zu einer Veränderung seiner inneren Energie und das System kann Arbeit verrichten. Das Verhältnis von zugeführter Wärme und verrichteter Arbeit hängt von der bei der Wärmezufuhr durchlaufenen Zustandsänderung ab. Ein System, welches kontinuierlich Arbeit leisten soll muß also regelmäßig wieder in seinen Ausgangszustand zurückgebracht werden. Dies ist jedoch nicht dadurch zu erreichen, daß man einfach den Prozeß der Wärmezufuhr umkehrt. In diesem Fall wäre der Arbeitsgewinn gleich Null. Die Rückkehr zum Ausgangszustand muß also über andere Zustands-änderungen geführt werden. Da die unterschiedlichen Zustandsänderungen in einer geschlossen Folge hintereinander durchlaufen werden, wird dieser Vorgang als Kreisprozeß bezeichnet.

Abb. 10-1: Kreisprozeß eines geschlossenen Systems im p,v-Diagramm

Prozesse, die ein System wieder in seinen Anfangszustand zurückversetzen, werden als Kreisprozesse bezeichnet Nach dem vollständigen Durchlaufen des Kreisprozesses nehmen die Zustandsgrößen des Systems, wie z.B. Druck, Temperatur, spezifisches Volumen, spezifische innere Energie und Enthalpie wieder die Werte des Anfangszustandes an. Quasistatische Zustandsänderungen bei Kreisprozessen lassen sich als geschlossene Kurve im pv-Diagramm darstellen. Als Beispiel für ein stationär umlaufendes Fluid soll die in Abb. 10-2 skizzierte Dampfkraftanlage betrachtet werden.


Abb. 10-2: Vereinfachtes Schema einer Dampfkraftanlage

Das Wasser wird im Dampferzeuger verdampft, entspannt in der Turbine, wird dem Kondensator zugeführt um dort wieder zu verflüssigen und wird anschließend von der Speisewasserpumpe wieder zum Verdampfer gefördert. Diese vier Komponenten der Dampfkraftanlage können als nacheinander geschaltete offene Systeme betrachtet werden, die von dem Fluid durchströmt werden. Die Teilprozesse, die in diesen einzelnen offenen Systemen ablaufen, lassen sich durch den ersten Hauptsatz für stationäre Fließprozesse beschreiben.

( ) ( )1221

221212,12 2

1 zzgcchhwq t −⋅+−⋅+−=+ ,

( ) ( )2322

232323,23 2

1 zzgcchhwq t −⋅+−⋅+−=+ ,

M M

( ) ( )nnnntn zzgcchhwq −⋅+−⋅+−=+ 122

111,1 21

.

Da die Zustandsgrößen, die auf der rechten Seite des Gleichungssystems stehen sich in der Summe aufheben, ergibt die Addition der Gleichungen der Teilprozesse für den gesamten Kreisprozeß

Gl. 10-1: ∑ ∑ =+ 0,iktik wq

Die spezifische Nutzarbeit bzw. die Gesamtarbeit des Kreisprozesses wird definiert als Gl. 10-2: ∑= iktt ww , also Gl. 10-3: ∑=− ikt qw Die abgegebene, daher definitionsgemäß negative Nutzarbeit (-wt) eines Kreisprozesses ist gleich dem Überschuß der als Wärme aufgenommenen Energie über die als Wärme abgegebene Energie.

Technische Thermodynamik Reversible Kreisprozesse 109 _________________________________________________________________________ Oder: Bei einem Kreisprozeß wird die dem umlaufenden Fluid als Wärme zugeführte Energie zum Teil in Nutzarbeit umgewandelt und zum Teil wieder als Wärme abgegeben. Aus dem Vorzeichen der Wärmebilanz ergibt sich, ob der Kreisprozeß in einer Wärmekraft-maschine oder auch Wärmekraftanlage mit 0>∑ ikq oder in einer Wärmepumpe oder

Kälteanlage mit 0<∑ ikq abläuft. Ein Beispiel für eine Wärmekraftanlage wäre z.B. die einfache Dampfkraftanlage, deren Zweck darin besteht, technische Nutzarbeit abzugeben. Dazu muß dem System Wärme zugeführt werden. Ist die Wärmebilanz negativ, so wird mehr Wärme abgegeben als aufgenommen, d.h. es wird dem System technische Nutzarbeit zugeführt um dem System Wärme entziehen zu können, z.B. bei einer Kälteanlage. Die Nutzleistung P des Kreisprozesses ergibt sich durch Multiplikation der technischen Nutzarbeit (-wt) mit dem Massestrom m& des umlaufenden Fluids. Gl. 10-4: ( ) ∑ ∑=−=−⋅=− ikikt QPwmP && wobei

Gl. 10-5: qdtdmqm

dtdQQ ⋅=⋅== &&

den Wärmestrom und der Index ik den einzelnen Teilprozeß bezeichnet. Da es sich gemäß der Annahme um einen stationären Prozeß handelt, bleibt der Energie-inhalt des Kontrollraums zeitlich konstant, d.h. die Summe aller Energieströme über die Systemgrenzen ergibt Null. Gl. 10-6: 0∑∑ =+ ikik PQ& Bei reversiblen, d.h. verlustfreien Kreisprozessen berechnet sich die technische Arbeit für jeden Teilprozeß ik gemäß

Gl. 10-7: ( ) ( ) ( )ikik

k

irevikt zzgccdpvw −⋅+−⋅+⋅= ∫ 22

, 21

Die abgegebene Nutzarbeit des gesamten Kreisprozesses ergibt sich durch Aufsummieren der Teilprozesse

Gl. 10-8: ( ) ( )∑∫∫ =−⋅−⋅−=− revikrevt qdpvdpvw ....3

2

2

1

also Gl. 10-9: ( ) ( )∑∫ =⋅−=− revikrevt qdpvw

Technische Thermodynamik Reversible Kreisprozesse 110 _________________________________________________________________________ In einem pv-Diagramm (Abb. 10-3) erscheint der reversible Kreisprozeß als geschlossener Kurvenzug. Die von dem Prozeß aufgenommene bzw. abgegebene Nutzarbeit entspricht graphisch der von dem Kurvenzug umrandeten Fläche. Da das Vorzeichen des Flächen-inhalts vom Integrationsweg des Linienintegrals abhängt, ergibt ein rechtsdrehender Prozeß eine positive Fläche und entsprechend ergibt ein linksdrehender Prozeß eine negative Fläche.

Abb. 10-3: Reversible Kreisprozesse im pv-Diagramm

Ein rechtsdrehender Prozeß mit ( ) 0<revtw liefert somit Nutzarbeit und nimmt dafür Wärme auf, Abb. 10-3(a). In Wärmekraftmaschinen vollführt daher das Arbeitsmedium immer einen rechtsläufigen Kreisprozeß. Ein linksdrehender Prozeß mit ( ) 0>revtw liefert somit Wärme und erfordert dafür die Zufuhr von Nutzarbeit, Abb. 10-3(b). In Kälteanlagen vollführt das Arbeitsmedium entsprechend einen linksläufigen Kreisprozeß. _________________________________________________________________________

Ü 10-1: Linienintegral geg.: Vektorfeld ( ) ( ) ( ) ( )( )zyxZzyxYzyxXvzyxvv ,,,,,,,,,, rrr

== und eine Raumkurve ( )trrC rr

=: mit a < t < b im Definitionsbereich von vr . Das Linienintegral von vr längs der Kurve C ist das bestimmte Integral

( )( ) ( ) dttrtrvrdvb

a

C ⋅⋅=⋅∫ ∫ &rrrrr

Mit ( ) ( ) ( )( )tztytxr ,,=

r

gilt im Vektorfeld vr :

( ) ( ) ( )tzztyytxx === ,, Berechnung des Linienintegrals durch Integration des inneren Produkts aus vr und rr von t = a bis t = b

Technische Thermodynamik Reversible Kreisprozesse 111 _________________________________________________________________________ Beispiel zur Berechnung eines Linienintegrals

geg.: Vektorfeld ( ) ( )xyzxzyvzyxvv −+== ,,32,, rrr

Man berechne das Linienintegral ∫ ⋅ rdvC rr

längs der Kurve ( ) 10,,,2: 32 ≤≤= ttttrC r

_________________________________________________________________________

10.2 Kreisprozesse geschlossener Systeme Die Energiebilanz für ein geschlossenes System, das einen Prozeß mit N Zustands-änderungen durchläuft ergibt sich aus dem ersten Hauptsatz für jede einzelne Zustandsänderung

1,

,1

23

12

1,1

,11

2323

1212

N

NN

vNN

vNNNN

v

v

wquu

wquu

wquu

wquu

−=−

+=−

+=−

+=−

−−−

MM

Die Addition der einzelnen Gleichungen ergibt

Gl. 10-10: ∑∑==

+=N

iv

N

iij ij

wq11

0 mit j = i+1

Die Arbeit des Kreisprozesses wk ist die Summe aller Volumenänderungsarbeiten wv,ij

Gl. 10-11: ∑∑==

−==N

iij

N

ivk qww ij

11

Das bedeutet, daß die Arbeit des Kreisprozesses gleich der Summe der übertragenen Wärmemenge ist. Gl. 10-12: ( ) ( )abzuabzuk qqqqw −−=+−= Die Richtung, mit der der Kreisprozeß durchlaufen wird, liefert sofort eine Aussage darüber, ob der Prozeß eine Wärmekraftmaschine oder eine Kälteanlage beschreibt. In Abb. 10-4 sind exemplarisch die Kreisprozesse für beide Arten von Maschinen skizziert:


Abb. 10-4: Kreisprozesse im p,v-Diagramm: a) Wärmekraftmaschine b) Kältemaschine

a) Wärmekraftmaschine (rechtsdrehender Prozeß) Das System gibt infolge der Expansion von 1-2 Volumenänderungsarbeit ab.

Gl. 10-13: ∫ <⋅−=2

1

012

dvpwv

Das System nimmt bei der Verdichtung von 2-1 Arbeit auf.

Gl. 10-14: ∫ >⋅−=1

2

021

dvpwv

Da die Fläche unter der Expansionskurve größer ist, als die unter der Kompressionskurve wird dem System also mehr Arbeit entzogen als zugeführt. Es gilt also Gl. 10-15: 0

2112<+= vvk www

Eine Wärmekraftmaschine gibt Arbeit an die Umwelt ab, d.h. die Arbeit des Kreisprozesses, bzw. die Nutzarbeit des Prozesses wk hat ein negatives Vorzeichen. Entsprechend muß die Wärmebilanz ein positives Vorzeichen aufweisen, d.h. dem System wird Wärme zugeführt. b) Kältemaschine (linksdrehender Prozeß) Die Betrachtungen für den in Abb. 10-4b skizzierten Prozeß sind analog. In diesem Fall wird dem System mehr Wärme entzogen als zugeführt. Entsprechend muß auch mehr Arbeit zugeführt werden als abgeführt wird. Die Zustandskurve wird also gegen den Uhrzeigersinn durchlaufen.


10.3 Kreisprozesse in offenen Systemen Die in Abb. 10-5 skizzierte geschlossene Gasturbinenanlage, bestehend aus Verdichter V, Wärmetauscher WT, Turbine T, Kühler K und Welle W, stellt in seiner Gesamtheit ein geschlossenes System dar. Durch die entsprechende Wahl von Kontrollgrenzen läßt sich das geschlossene System jedoch wieder in einzelne Teilsysteme aufteilen. Diese Teilsysteme wiederum stellen offene Systeme dar.

Abb. 10-5: Schema einer geschlossenen Gasturbinenanlage, [ 6]

Da der gesamte Kreisprozeß geschlossen ist, kann kein Stoffstrom die Systemgrenze des Gesamtprozesses überqueren. Energie kann lediglich in Form von Wellenleistung und Wärme über die Systemgrenzen transportiert werden. Die Leistungsbilanz des skizzierten Kreisprozesses lautet somit Gl. 10-16: 0=+ PQ& Der Term Q& entspricht der Summe der bei allen Teilprozessen übertragenen Wärme und der Term P stellt die über die Turbinenwelle an die Umwelt abgegebene Wellenleistung dar. Für den Fall, daß die Anlage Nutzleistung liefern soll, d.h. P < 0, muß die Wärmestrombilanz positiv sein. Es muß mehr Wärme zu- als abgeführt werden. Gl. 10-17: ab

Nzuij QQQP

Q

&&& −==− ∑

Für das in Abb. 10-5 skizzierte Beispiel der Gasturbinenanlage lautet die Wärmebilanz Gl. 10-18: abzu QQQQP &&&& −=+=− 4123 Zur Erstellung der Leistungsbilanz des gesamten Kreisprozesses werden die Bilanzen der Teilprozesse betrachtet. Dabei können der Verdichter und die Turbine als adiabate Systeme angenommen werden, da aufgrund der schnellen Zustandsänderungen der Wärmeaus-tausch vernachlässigt werden kann.

Technische Thermodynamik Reversible Kreisprozesse 114 _________________________________________________________________________ Die Summe aus spezifischer Enthalpie, kinetischer Energie und potentieller Energie wird auch als Total- oder Gesamtenthalpie hg bezeichnet.

Gl. 10-19: zgchhg ⋅+⋅+= 2

21

Mit dieser Zusammenfassung der einzelnen Energieanteile lautet die Leistungsbilanz der einzelnen Komponenten der Gasturbinenanlage:

Verdichter: 1212 gg HHP −=

Wärmetauscher: 2323 gg HHQ −=&

Turbine: 3434 gg HHPP −=+

Kühler: 4141 gg HHQ −=&

Welle: 03412 =+ PP Die Addition der Bilanzen der Teilkomponenten ergibt Gl. 10-20: 0341241342312 =++++++ PPQPPQP && Unter der Annahme, daß die Welle die Leistung verlustfrei überträgt, gilt P12 = - P34 und somit Gl. 10-21: 4123 QQP && +=− Die von der Turbine abgegebene Leistung -P wird um die für den Antrieb des Verdichters benötigte Leistung P12 = - P34 verringert. Die Gesamtleistung der Turbine beträgt also Gl. 10-22: PPPT −−=− 34 Die von dem Kreisprozeß geleistete technische Arbeit wt ergibt sich durch Division der Nutzleistung P durch den Massestrom m& Gl. 10-23: abzu

Nji

Ntt qqqww

QP

ji−==−=− ∑∑ ,,


10.4 Bewertungskennzahlen für Kreisprozesse

10.4.1 Thermischer Wirkungsgrad (rechtsdrehende Prozesse) Wirkungsgrade beschreiben das Verhältnis von Nutzen zu Aufwand. Wärmekraftmaschinen wandeln in einem rechtsdrehenden Prozeß Wärme in Arbeit um, der Rest geht als Abwärme verloren. Den Nutzen bei diesem Prozeß stellt die abgegebene Arbeit wk dar, der Aufwand besteht in der zugeführten Wärmemenge qzu. Der thermische Wirkungsgrad läßt sich für geschlossene Systeme schreiben in der Form

Gl. 10-24: zu

ab

zu

kth q

qqw

−=−

= 1η

10.4.2 Leistungsziffer (linksdrehende Prozesse) Die Umkehrung der Durchlaufrichtung des Prozesses der Wärmekraftmaschine ergibt einen linksläufigen Kreisprozeß, den der Wärmepumpe bzw. den der Kältemaschine. Wärmepumpe Eine Wärmepumpe entzieht der Umgebung Wärme und liefert wieder eine, um den Betrag der zugeführten Arbeit, vergrößerte Wärmemenge ab (Heizung). Der Nutzen der Wärmepumpe besteht in der abgegebenen Wärmemenge, der Aufwand in der in den Kreißprozeß investierten Arbeit. Das Verhältnis von Nutzen zu Aufwand wird als Leistungsziffer ε bezeichnet.

Gl. 10-25: k

ab

wq−

=ε (geschlossenes System)

Gl. 10-26: t

ab

wq−

=ε (offenes System)

bzw.

Gl. 10-27: abzu

ab

qqq−

=ε (allgemein gültig)

Technische Thermodynamik Reversible Kreisprozesse 116 _________________________________________________________________________ Kältemaschine Die Aufgabe einer Kältemaschine besteht in der Kühlung eines Kontrollraums. Die Leistungs-ziffer ε wird in diesem Fall definiert als

Gl. 10-28: k

zu

wq−

=ε (geschlossenes System)

Gl. 10-29: t

zu

wq−

=ε (offenes System)

bzw.

Gl. 10-30: ( )abzu

zu

qqq−−

=ε (allgemein gültig)

Technische Thermodynamik Kreisprozesse thermischer Maschinen 117 _________________________________________________________________________

11 Kreisprozesse thermischer Maschinen Zur überschlägigen Auslegung und Abschätzung des Leistungsvermögens von Verbrennungskraftmaschinen können die dabei ablaufenden thermodynamischen Prozesse in erster Näherung durch reversible Prozesse approximiert werden. Das in der Realität verwendete Luft-Brennstoff-Gemisch wird durch ein ideales Gas als Arbeitsmedium ersetzt und die chemischen Vorgänge während des Verbrennungsvorgangs werden durch eine Wärmezufuhr ersetzt.

11.1 Vergleichsprozesse für Kolbenmaschinen

11.1.1 Otto-Prozeß Der Viertakt-Ottomotor geht auf die Entwicklungsarbeiten von Nicolaus August Otto (1832-1891) in dem Jahr 1876 zurück. Die vier Takte wiederholen sich nach jeweils zwei Umdrehungen der Kurbelwelle: - 1. Takt: Ansaugen eines Luft-Benzin-Gemischs - 2. Takt: Verdichtung des Gemischs - 3. Takt: Verbrennung und Expansion der Verbrennungsgase - 4. Takt: Herausschieben der Verbrennungsgase Bezeichnungen: 21 VVVH −= Hubraum, Volumen zwischen unterem und oberem Totpunkt KH VVV +=1 Gesamtraum KVV =2 Verdichtungsraum

K

KH

VVV

VV +

==2

1ε Verdichtungsverhältnis

Der Ottomotor stellt ein offenes, instationär, d.h. pulsierend durchströmtes System dar. In Abb. 11-1 ist der Prozeßverlauf im p,v-Diagramm skizziert, wie er z.B. bei laufendem Motor auf einem Prüfstand aufgenommen wird.

Abb. 11-1: p,v-Diagramm eines Otto-Viertaktmotors

0 - 1: Ansauglinie

1 - 2: Verdichtungslinie

2 - 3: Verbrennungslinie

3 - 4: Expansion

4 - 0: Ausschublinie

Technische Thermodynamik Kreisprozesse thermischer Maschinen 118 _________________________________________________________________________ Die untere Fläche im p,v-Diagramm, die durch die Ansauglinie und von Teilen der Verdichtungs- und Ausschublinie begrenzt wird, beschreibt die für den Ladungswechsel des Zylinders erforderliche Arbeit. Die Fläche wird linksdrehend umlaufen, d.h. es wird Arbeit aufgewendet. Die obere Fläche wird rechtsdrehend umlaufen, d.h. das System gibt Arbeit ab. Die Nutz-arbeit des Kreisprozesses entspricht der Differenz der beiden Flächen. Der reversible Vergleichsprozeß geht von einem geschlossenen System aus, das aus dem im Zylinder eingeschlossenen Gas besteht. Der Arbeitsaufwand für den Ladungswechsel, d.h. die untere Fläche entfällt. Weitere Annahmen:

- Das Luft-Brennstoff-Gemisch ist ein ideales Gas. - Verdichtung und Expansion werden als adiabate Prozesse angenommen. Da es sich

gemäß der Annahme auch um einen reversiblen Prozeß handelt, sind diese Zustandsänderung isentrop (= reversibel adiabat)

- Die Verbrennung wird durch eine isochore Zustandsänderung mit gleichzeitiger Wärmezufuhr angenähert.

- Die Expansion der Verbrennungsgase mit anschließendem Ausströmen wird durch eine isochore Wäremabfuhr ersetzt.

Mit diesen Annahmen kann der in Abb. 11-2 skizzierte Otto-Vergleichsprozeß definiert werden:

- 1 - 2: Isentrope Kompression - 2 - 3: Isochore Wärmezufuhr - 3 - 4: Isentrope Expansion - 4 - 1: Isochore Wärmeabfuhr

Abb. 11-2: Otto-Vergleichsprozeß: a) p,v-Diagramm, b) T,s-Diagramm

Bei reversiblen Kreisprozessen ergibt sich die spezifische Nutzarbeit wk zu Gl. 11-1: abzuabzuk qqqqqqw −=+=+=− 4123 Die isochor zugeführte Wärmemenge q23 beträgt Gl. 11-2: ( ) 02323 23

>−⋅== TTcqq vzu Entsprechend berechnet sich die isochor abgeführte Wärmemenge q41 zu

Technische Thermodynamik Kreisprozesse thermischer Maschinen 119 _________________________________________________________________________ Gl. 11-3: ( ) 04141 41

<−⋅== TTcqq vab Damit ergibt sich die spezifische Nutzarbeit wk Gl. 11-4: ( ) ( )41234123 4123

TTcTTcqqw vvk −⋅+−⋅=+=− Bei Vernachlässigung der Temperaturabhängigkeit der spezifischen Wärmekapazitäten vereinfacht sich die Beziehung zu Gl. 11-5: ( )4321 TTTTcw vk −+−⋅=− Die Temperaturen T2 und T4 ergeben sich aus der Isentropengleichung

Gl. 11-6: 1

2

112

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=

κ

VVTT

Gl. 11-7: 1

1

23

1

4

334

−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=

κκ

VVT

VVTT

bzw. mit dem Verdichtungsverhältnis 21 VV=ε Gl. 11-8: 1

12−⋅= κεTT

Gl. 11-9: 1341−⋅= κε

TT

Einsetzen der Temperaturen liefert

Gl. 11-10: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅−+−⋅⋅=− −

−1

1

3

1

311

11 κκ

εε

TT

TTTcw vk

Mit der Beziehung für die spezifische Wärmekapazität ( )1−= κRcv ergibt sich für spezifische Nutzarbeit des Otto-Vergleichsprozesses

Gl. 11-11: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅

−⋅

=− −−

1

1

31

1 111

κκ ε

εκ TTTRwk

Thermischer Wirkungsgrad ηth des Otto-Vergleichprozesses

Gl. 11-12: ( )( )23

14

23

4111TTcTTc

qq

v

v

zu

abth −⋅

−⋅−=−=η

Bei Vernachlässigung der Temperaturabhängigkeit der spezifischen Wärmekapazitäten gilt

Gl. 11-13: ( )( )23

141TTTT

th −−

−=η

Technische Thermodynamik Kreisprozesse thermischer Maschinen 120 _________________________________________________________________________ bzw.

Gl. 11-14: 111 −−= κε

ηth

Der thermische Wirkungsgrad ηth des Otto-Vergelichsprozesses in Abhängigkeit vom Verdichtungsverhältnis ε ist in Abb. 11-3 dargestellt.

Abb. 11-3: Thermischer Wirkungsgrad des Otto-Vergleichsprozesses, [ 16]

Das Verdichtungsverhältis läßt sich bei Benzinmotoren jedoch nicht beliebig steigern, da mit zunehmender Verdichtung auch die Verdichtungsendtemperatur T2 ansteigt. Wird die zur Selbstzündung des Luft-Benzingemischs erforderliche Temperatur erreicht, so findet eine unkontrollierte Verbrennung mit hohen Druckspitzen statt (= Klopfen). Die Klopfgrenze moderner Ottomotoren wird bei einem Verdichtungsverhältnis von ε ≈ 10 erreicht, d.h. ηth ≈ 0.6 . Aufgrund der ischoren Wärmezufuhr (2 - 3) wird der Ottoprozeß auch als Gleichraumprozeß bezeichnet.


Ü 11-1: Nachrechnung eines Otto-Vergleichsprozesses Annahmen: Arbeitsmedium ist Luft, die spezifischen Wärmekapazitäten sind konstant Anfangstemperatur T1 = 288 K Anfangsdruck p1 = 1.013 bar Maximaltemperatur T3 = 2273 K Isentropenexponent von Luft κ = 1.4 Verdichtungsverhältnis ε = 10 ges.: - Drücke und Temperaturen in allen Eckpunkten - Thermischer Wirkungsgrad _________________________________________________________________________

Ü 11-2 Nachrechnung eines Otto-Vergleichsprozesses (2) Annahmen: Arbeitsmedium ist Luft, die spezifischen Wärmekapazitäten sind konstant Verdichtungsverhältnis ε = 7.6 pro Zyklus zugeführte Wärme Qzu = 2.92 [kJ] ges.: - Thermischer Wirkungsgrad ηth - Technische Arbeit WK - Nicht genutzte Wärme Qab _________________________________________________________________________

Ü 11-3 Nachrechnung eines Otto-Vergleichsprozesses (3) Verdichtungsverhältnis ε = 7.8 Temperatur der angesaugten Luft T1 = 20 [°C] Umgebungsluftdruck p∞ = 0.09 [MPa] a) Arbeitsmedium ist Luft, die spezifischen Wärmekapazitäten sind konstant, pro Zyklus zugeführte spezifische Wärme: qzu = 950 [kJ/kg] ges.: - Thermischer Wirkungsgrad ηth - spezifische technische Arbeit wK - Drücke und Temperaturen in allen Eckpunkten des Prozesses b) Arbeitsmedium ist Luft, die Temperaturabhängigkeit der spezifischen

Wärmekapazitäten ist zu berücksichtigen Alle Drücke und Temperaturen entsprechen denen von a) ges.: - Thermischer Wirkungsgrad ηth - spezifische technische Arbeit wK

Technische Thermodynamik Kreisprozesse thermischer Maschinen 122 _________________________________________________________________________ 11.1.2 Diesel-Prozeß Der Dieselprozeß geht auf das von Rudolf Diesel (1858-1913) entwickelte Verfahren zurück. Der Dieselmotor saugt im ersten Takt Luft an und verdichtet sie bis zum Ende des ersten Takts. Infolge der relativ hohen Verdichtung werden dabei hohe Drücke und auch hohe Temperaturen erreicht. Durch eine Einspritzdüse wird Kraftstoff eingespritzt, der mit der heißen, hochverdichteten Luft ein zündfähiges Gemisch bildet und sich selbst entzündet. Da die Verbrennung bei nahezu konstantem Druck erfolgt, wird der Dieselprozeß auch als Gleichdruckprozeß bezeichnet. Im Anschluß an den Verbrennungsvorgang erfolgt eine Expansion und das Ausschieben der Verbrennungsgase. Im Vergleich zum Ottomotor liegt beim Dieselmotor, aufgrund der höheren Zündtemperatur des Kraftstoffs, das Verdichtungs-verhältnis wesentlich höher. Diesel-Vergleichsprozeß:

1 - 2: Isentrope Kompression 2 - 3: Isobare Wärmezufuhr 3 - 4: Isentrope Expansion 4 - 1: isochore Wärmeabfuhr

Abb. 11-4: Diesel-Vergleichsprozeß im a) p,v-Diagramm b) T,s-Diagramm

Das Volumenverhältnis

Gl. 11-15: 2

3

VV

=ϕ

wird als Einspritzverhältnis oder auch Volldruckverhältnis bezeichnet. Die spezifische Nutzarbeit wk des Diesel-Vergleichsprozesses ergibt sich aus der Wärme-bilanz Gl. 11-16: abzuk qqw +=− Isobare Wärmezufuhr (2 - 3) Gl. 11-17: ( )2323 23

TTcqq pzu −⋅==

Technische Thermodynamik Kreisprozesse thermischer Maschinen 123 _________________________________________________________________________ Isochore Wärmeabfuhr (4 - 1) Gl. 11-18: ( )4141 41

TTcqq vab −⋅== Nutzarbeit wk des Prozesses Gl. 11-19: ( ) ( )41234123 4123

TTcTTcqqw vpk −⋅+−⋅=+=− Bei Vernachlässigung der Temperaturabhängigkeit der spezifischen Wärmekapazitäten, d.h.

.constcc pp ==23

, .41

constcc vv == und mit ( )1−= κRcv bzw. vp cc=κ sowie der Beziehung für isentrope Zustandsänderungen (hier: 1 - 2 Isentrope Kompression) Gl. 11-20: 1

12−⋅= κεTT

und der Definition für das Einspritzverhältnis ϕ, ergibt sich die spezifische Nutzarbeit wk des Diesel-Vergleichsprozesses zu

Gl. 11-21: ( ) ( )[ ]111

11 −−⋅⋅−⋅−⋅

=− − κκ ϕεκϕκ

TRwk

Der thermische Wirkungsgrad für Wäremekraftmaschinen ist definiert durch zuabth qq−=1η d.h. für den Diesel-Vergleichsprozeß gilt

Gl. 11-22: ( )( )23

14

23

411TTcTTc

p

vth −⋅

−⋅−=η

Für konstante spezifische Wärmekapazitäten vereinfacht sich die Beziehung zu

Gl. 11-23: ( )( )

( )( )23

14

23

14 111TTTT

TTcTTc

p

vth −

−⋅−=

−⋅−⋅

−=κ

η

bzw.

Gl. 11-24: 1111 1 −

−⋅

⋅−= − ϕ

ϕεκ

ηκ

κth

Der thermische Wirkungsgrad des Dieselmotors hängt also ab von dem Verdichtungs-verhältnis ε, dem Einspritzverhältnis ϕ und dem Verhältnis der spezifischen Wärmekapa-zitäten κ. Bei gleichem Verdichtungsverhältnis ist der thermische Wirkungsgrad des Dieselmotors kleiner als der des Ottomotors. Der Vorteil des Dieselmotors liegt jedoch, neben konstruk-tiven Vorteilen, d.h. keine Zündanlage, darin, daß wegen der höheren Klopfestigkeit des Dieselkraftstoffs ein wesentlich höheres Verdichtungsverhältnis gewählt werden kann als beim Ottomotor. Dies führt zu einer höheren Wirtschaftlichkeit des Dieselmotors gegenüber dem Ottomotor.


Ü 11-4: Nachrechnung eines Diesel-Vergleichsprozesses Mit Luft (ideales Gas) als Arbeitsmedium sollen a) die Drücke und Temperaturen in den Endzeitpunkten der Zustandsänderugen berechnet werden

b) Einspritzverhältnis 2

3

VV

=ϕ

c) Thermischer Wirkungsgrad ηth Anfangstemperatur: T1 = 288 K Anfangsdruck: p1 = 1.01325 bar Maximaltemperatur: T3 = 2273 K Verhältnis der spezifischen Wärmen: κ = 1.4 Verdichtungsverhältnis: ε = 21 _________________________________________________________________________

11.1.3 Seiliger-Prozeß Die Verbrennungsvorgänge, des Otto- und Diesel-Prozesses werden nur näherungsweise durch die in den Kapiteln 11.1.1 und 11.1.2 besprochenen Vergleichsprozesse wiedergegeben. Die Annahmen der isochoren Verbrennung im Otto-Motor bzw. der isobaren Verbrennung im Dieselmotor entsprechen den real ablaufenden Vorgängen nur bedingt. Der im Jahre 1922 von Seiliger vorgeschlagene Vergleichsprozeß stellt eine Mischung aus dem Otto- und dem Diesel-Prozeß (gemischter Vergleichsprozeß) dar. Die Wärmezufuhr wird in einen isochoren und isobaren Teilprozeß aufgeteilt und es wird damit eine bessere Annäherung an die tatsächlich ablaufenden Prozesse erreicht. Zustandsänderungen des Seiliger-Prozesses:

1 - 2: Isentrope Kompression 2 - 3: Isochore Wärmezufuhr 3 - 4: Isobare Wärmezufuhr 4 - 5: Isentrope Expansion 5 - 1: isochore Wärmeabfuhr

Neben den bereits bekannten Kennzahlen

2

1

VV

=ε (Verdichtungsverhältnis)

3

4

VV

=ϕ (Einspritzverhältnis

wird als zusätzlicher Parameter das Druckverhältnis (Druckverhältnis, isochore Zustandsänderung bei idealem Gas) eingeführt.

Gl. 11-25: 2

3

2

3

TT

pp

==Ψ


Abb. 11-5: Seiliger-Prozeß im a) p,v-Diagramm b) T,s-Diagramm

Nutzarbeit Die spezifische Nutzarbeit wk des Kreisprozesses ergibt sich wieder aus der Wärmebilanz Gl. 11-26: { { {

rWärmeabfuhisochore

rWärmezufuhisobare

rWärmezufuhisochore

abzuk qqqqqw 513423 ++=+=−

bzw. Gl. 11-27: ( ) ( ) ( )513423 513423

TTcTTcTTcw vpvk −⋅+−⋅+−⋅=− Unter der Anahme konstanter spezifischer Wärmen gilt Gl. 11-28: ( )[ ]54321 1 TTTTTcw vk −⋅+⋅−+−⋅=− κκ Die Bestimmung der Temperaturen ergibt sich aus den Gleichungen für die Zustands-änderungen idealer Gase. 1 - 2: Isentrope Kompression 1

12−⋅= κεTT

2 - 3: Isochore Wärmezufuhr 112

2

323

−⋅⋅=⋅=⋅= κεΨΨ TTpp

TT

3 - 4: Isobare Wärmezufuhr 113

3

434

−⋅⋅⋅=⋅=⋅= κεΨϕϕ TTVV

TT

4 - 5: Isentrope Expansion Ψϕκκκ

⋅⋅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=

−−

1

1

5

3

3

44

1

5

445 T

VV

VV

TVV

TT

Mit ( )1−= κRcv läßt sich die spezifische Nutzarbeit wk des Seiliger-Prozesses schreiben als

Gl. 11-29: ( )( )[ ]{ }κκ ϕΨϕκΨεκ

⋅−−−⋅−⋅⋅+⋅−⋅

=− − 11111

11TRwk

Technische Thermodynamik Kreisprozesse thermischer Maschinen 126 _________________________________________________________________________ Thermischer Wirkungsgrad

Gl. 11-30: 3423

5111qq

qqq

zu

abth +

−=−=η

Gl. 11-31: ( )

( ) ( ) ( )3423

15

3423

15 11TTTT

TTTTcTTc

TTc

pv

vth −⋅+−

−−=

−⋅+−⋅−⋅

−=κ

η

Gl. 11-32: ( )11111 1 −⋅Ψ⋅+−Ψ

−Ψ⋅⋅−= − ϕκ

ϕε

ηκ

κth

_________________________________________________________________________

Ü 11-5: Nachrechnung eines Dieselmotors Der theoretische Kreisprozeß eines Dieselmotors wird durch folgenden Kreisprozeß ange-nähert 1-2: Polytrope Verdichtung mit nV = 1.35 2-3: Isochore Wärmezufuhr 3-4: Isobare Wärmezufuhr 4-5: Polytrope Expansion mit nE = 1.37 5-1: Isochore Wärmeabfuhr Arbeitsmedium ist Luft als ideales Gas mit konstanten Wärmekapazitäten geg.: T1 = 318 [K], p1 = 83.5 [kPa]

Maximaler Prozeßdruck pmax = 8.6 MPa Verdichtungsverhältnis ε = 16 spez. zugeführte Wärme bei der Verbrennung qzu = 1730 [kJ/kg]

ges.: 1. Zustandsgrößen p, v und T in allen 5 Eckpunkten

2. Übertragene Energien bei jeder Zustandsänderung (1-2-3-4-5-1) 3. Spezifische Arbeit des Kreisprozesses 4. Thermischer Wirkungsgrad

_________________________________________________________________________ Ein Vergleich zwischen Otto-, Diesel und Seiliger-Prozeß ist in Abb. 11-6 dargestellt.


Abb. 11-6: Otto-, Diesel und Seiliger-Prozeß; p,v- und T,s-Diagramme, [ 13]


11.1.4 Stirling-Prozeß Auf der Suche nach einem Ersatz für die zu dieser Zeit noch recht gefährlichen Dampfmaschinen, welche als Antrieb für Lenzpumpen in Bergwerken eingesetzt wurden, entwickelte der schottischen Geistliche R. Stirling (1790-1878), ohne tiefere thermo-dynamische Kenntnisse(!) einen Heißluftmotor, der im Jahre 1816 unter seinem Namen als Stirling-Motor patentiert wurde. Der Stirling-Prozeß verwendet ebenso wie der Ericson-Prozeß einen Wärmetauscher zur Erhöhung des Wirkungsgrades. In einem Zylinder befinden sich zwei, über ein Rhomben-getriebe gekoppelte Kolben, einen Verdrängerkolben und einen Arbeitskolben. Aufgabe des Verdrängerkolbens ist es, das Arbeitsgas zwischen einem Raum mit konstant niedriger Temperatur (Expansionsraum: Tmin = const.) und einem Raum mit konstant hoher Temperatur (Kompressionsraum: Tmax = const.) hin- und herzuschieben. Der zwischen dem Arbeits- und Verdrängerkolben, bzw. Kompressions- und Expansions-kolben, befindliche Wärmetauscher oder auch Regenerator hat die Funktion eines thermo-dynamischen Reservoirs, das alternierend Wärme aufnimmt und wieder abgibt. Technisch realisiert wird dies in Form von metallischen Schwämmen, die aus Matrixstrukturen aus feinen Drähten oder Streifen bestehen Die einzelnen Arbeitstakte sind in Abb. 11-7 skizziert:

1. Zu Beginn des Zyklus befindet sich der Kompressionskolben am äußeren Tot-punkt und der Expansionskolben am inneren Totpunkt. Das gesamte Arbeits-medium befindet sich im kalten Kompressionsraum. Da das Volumen maximal ist, nehmen Druck und Temperatur minimale Werte an (1).

2. Der Kompressionskolben bewegt sich in Richtung seines inneren Totpunkts

während der Expansionskolben noch an seinem inneren Totpunkt verharrt, d.h. isotherme Kompression 1 - 2. Der Druck steigt auf den Wert (2). Die Temperatur bleibt konstant bei Tmin, da während der Kompression Wärme an die Umgebung abgeführt wird.

3. Bei der isochoren Kompression (2 - 3) bewegen sich beide Kolben simultan; der

Kompressonskolben zu seinem inneren Totpunkt und der Expansionskolben an seinen äußeren Totpunkt. Das Volumen zwischen beiden Kolben bleibt daher konstant (isochor). Das Arbeistmedium wird durch die poröse Metallmatrix des Regenerators geschoben und dabei von Tmin auf Tmax aufgeheizt und verläßt mit Tmax den Regenerator. Die Temperaturerhöhung von Tmin auf Tmax bei konstantem Volumen bewirkt eine Erhöhung des Drucks (3).

4. Bei der isothermen Expansion mit Tmax bewegt sich der Expansionskolben weiter

zu seinem äußeren Totpunkt, während der Kompressionskolben stationär an seinem inneren Totpunkt verharrt. Durch die Expansion infolge der Volumen-vergrößerung bei Tmax sinkt der Druck auf den Wert (4).

5. Um den Zyklus abzuschließen bewegen sich der Expansions- und der Kompres-

sionskolben synchron, d.h. bei konstantem Volumen; der Expansionskolben zu seinem inneren und der Kompressionskolben zu seinem äußeren Totpunkt. Das Arbeitsmedium wird dabei wieder durch den Regenerator geschoben und gibt seine Wärme an den Regenerator ab.


Abb. 11-7: Arbeitsprinzip des Stirling-Motors und Ort-Zeit-Diagramm

Abb. 11-8: Stirling-Prozeß im a) p,v-Diagramm b) T,s-Diagramm, [ 3]

Wärmetauscher (Regenerator) Expansionsraum Kompressionsraum

Verschiebung

Zeit

1 – 2: Isotherme Kompression bei Tmin

2 – 3: Isochore Kompression

3 – 4: Isothermen Expansion bei Tmax

4 – 1: Isochore Expansion

1 – 2: Isotherme Wärmeabfuhr im Kühler bei Tmin = const. an die Umgebung

2 – 3: Isochore Wärmezufuhr Wärmeübertragung vom Wärmetauscher an das Arbeitsmedium

3 – 4: Isotherme Expansion von p3 auf p4 : Wärmezufuhr durch externe Heizquelle an das Arbeitsmedium bei Tmax = const.

4 – 1: Isochore Wärmeabfuhr von T4 auf T1 : Wärmeübertragung von dem Arbeitsmedium an den Wärmetauscher

qab

qzu

Technische Thermodynamik Kreisprozesse thermischer Maschinen 130 _________________________________________________________________________ Zustandsänderungen des Stirling-Prozesses

1 - 2: Isotherme Kompression von p1 auf p2 : Isotherme Wärmeabfuhr im Kühler bei Tmin = const.

2 - 3: Isochore Wärmezufuhr von T2 auf T3 : Wärmeübertragung von dem Wärme-tauscher an das Arbeitsmedium

3 - 4: Isotherme Expansion von p3 auf p4 : Wärmezufuhr durch externe Heizquelle an das Arbeitsmedium bei Tmax = const.

4 - 1: Isochore Wärmeabfuhr von T4 auf T1 : Wärmeübertragung von dem Arbeits-medium an den Wärmetauscher

Nutzarbeit des Stirling-Prozesses: Die spezifische Nutzarbeit wt ergibt sich aus der Wärmebilanz zu Gl. 11-33:

4342143421abzu qq

abzut qqqqqqw 12413423 +++=−=−

Idealer Wärmetauscher: 4123 qq −= Gl. 11-34: 1234 qqwt +=− 1 - 2: Isotherme Kompression von p1 auf p2 bei T1 = T2 = const.

Gl. 11-35: 01

211

2

1112 <⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅=

vv

lnvppp

lnTRq

2 - 3: Isochore Kompression von p2 auf p3 bei v2 = v3 = const. Gl. 11-36: ( ) 02323 >−⋅= TTcq v 3 - 4: Isotherme Expansion von p3 auf p4 bei T3 = T4 = const.

Gl. 11-37: 03

433

4

3334 >⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅=

vv

lnvppp

lnTRq

4 - 1: Isochore Expansion von p4 auf p1 bei v4 = v1 = const. Gl. 11-38: ( ) 04141 <−⋅= TTcq v Ergibt die spezifische Nutzarbeit

Gl. 11-39: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅=−

4

33

2

11 p

plnTR

pp

lnTRwt

bzw.:

Gl. 11-40: ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅=− 1

3

2

1

23 T

Tvv

lnTRwt


Gl. 11-41: 34

1211qq

qq

zu

abth −=−=η

Gl. 11-42:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅

−=

4

33

1

21

4

33

2

11

11

pp

lnT

pp

lnT

pp

lnTR

pp

lnTR

thη

Mit den Beziehungen für isotherme Zustandsänderungen 2112 vvpp = und wegen den isochoren Zustandsänderungen 4-1 und 2-3, d.h. 41 vv = und 32 vv = gilt

Gl. 11-43: 3

4

2

1

1

2

vv

vv

pp

==

also

Gl. 11-44: Carnotthth TT

TT

vvT

vvT

,max

min

3

1

3

43

2

11

11ln

ln1 ηη =−=−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

−=

Dies bedeutet, daß der maximale thermische Wirkungsgrad, unter der Annahme eines idealen Wärmetauschers (bzw. Regenerators), lediglich von dem Temperaturunterschied zwischen warmem und kaltem Raum abhängt und somit dem Carnot-Wirkungsgrad entspricht. Vorteile des Stirling-Motors:

- Keine Ventile, Ventilantrieb und -steuerung - Keine interne Verbrennung, externe Verbrennung kann mit Sauerstoffüberschuß

durchgeführt werden, somit geringere Schadstoffemission als bei explosions-artiger, interner Verbrennung

- Vielstoffmotor, da die Art der externen Wärmequelle unerheblich für den Betrieb des Motors ist

- Keine Druckspitzen, Druckwechsel erfolgen fließend: Nahezu lautloser und vibrationsfreier Lauf

- Konstantes Drehmoment, günstiger Betrieb auch im Teillastbereich - Bei Umkehrung des Prozesses ohne konstruktive Änderungen auch als

Kältemaschine nutzbar Problembereiche:

- Dichtungsprobleme zwischen Arbeitskolben und Verdrängungskolben - Technische Realisierung eines idealen Wärmetauschers


11.2 Vergleichsprozesse für Turbomaschinen Die hohen mechanischen und thermischen Belastungen, bedingt durch hohe Drücke und Schwingungsprobleme, denen Kolbenmaschinen ausgesetzt, sind führen zu entsprechend hohen Anforderungen an die Strukturfestigkeit. Die Gewährleistung dieser Strukturfestigkeit bedingt in aller Regel ein relativ hohes Baugewicht. Ausnahmen bilden hier lediglich Wärme-kraftmaschinen, die nur auf kurze Lebensdauer ausgelegt sind und man auf die Dauerfestig-keit verzichten kann. Bei Kolbenmotoren wären dies z.B. Triebwerke, wie sie im Rennsport eingesetzt werden und dabei lediglich das ca. einstündige Rennen überstehen müssen. Bei Strahltriebwerken kämen hier Marsch- oder Lenkflugkörper in Betracht, deren maximale Betriebsdauer im Minutenbereich liegen. Lebensdaueroptimierung wird vor allem bei Träger-raketen für den Satellitentransport betrieben. Aufgrund der extrem hohen Kosten des Nutz-lasttransports in eine Umlaufbahn wird hier die Lebensdauer im Sekundenbereich optimiert. Dadurch lassen sich jedoch Leistungen erzielen, die um viele Größenordnungen über denen von stationär arbeitenden Maschinen liegen. Vergleichszahlen einer Saturn V -Rakete: Startgewicht: 3000 t Startschub: 3400 t Nutzlast in geostationären Orbit: 31 t 1. Stufe Gesamtstrahlleistung der 5 F1-Triebwerke, ca.: 100⋅106 PS Leistung der Turbo-Pumpen, ca.: 300.000 PS Treibstoffverbrauch, ca.: 13.5 t/s Brenndauer nominal: 150 s Die letzte Generation der im Flugzeugbau verwendeten Kolbenmotoren erreichte Leistungen von ca. 3000 kW (ca. 4080 PS), Schiffsdiesel liegen in der Größenordnung von ca. 20.000 kW (ca. 27.000 PS). Leistungen im Kraftwerksbereich liegen jedoch heute im Gigawatt-Bereich. Mit Kolbenmotoren sind solche Leistungen nicht mehr zu erzielen, hier werden ausschließlich Turbomaschinen eingesetzt. In ihrer einfachsten Form besteht eine Gasturbinenanlage aus den Komponenten Verdichter, Brennkammer und Turbine, Abb. 11-9 .

Abb. 11-9: Schema einer einfachen Gasturbinenanlage

Technische Thermodynamik Kreisprozesse thermischer Maschinen 133 _________________________________________________________________________ Luft wird angesaugt und im Verdichter komprimiert. In der Brennkammer wird der verdichteten Luft Brennstoff zugemischt (z.B. Diesel, Kerosin oder Petroleum). Aufgrund des hohen Drucks zündet das Gemisch selbständig und verbrennt bei näherungsweise konstantem Druck. Die heißen Abgase expandieren in der Turbine und geben dabei Arbeit ab und strömen anschließend ins Freie. Die einfache Gasturbinenanlage stellt somit ein offenes, stationär durchströmtes System dar. Die Aufgabe der Turbine besteht zum einen darin, über eine Welle den Verdichter anzutreiben. Der danach verbleibende Leistungsüberschuß stellt die Nutzleistung der Anlage dar. Je nach Verwendungszweck kann eine unterschiedliche Aufteilung der in der Turbine gewonnenen Nutzleistung erfolgen. Bei stationären Gasturbinen (z.B. im Kraftwerksbereich) besteht die Hauptaufgabe darin, die nach dem Antrieb des Verdichters noch verbleibende Arbeit zum Antrieb eines Strom-generators zu verwenden. Bei Schiffsturbinen kann mit der überschüssigen Arbeit die Schiffsschraube angetrieben werden. Ähnlich verhält es sich bei Flugzeugturbinen, die mit der überschüssigen Arbeit über eine Welle einen Propeller antreiben (Turbo-Prop-Maschinen). Propellerantriebe erreichen jedoch bei Annäherung an die Schallgeschwindigkeit die Grenze ihrer Anwendung. Die Blattspitzen der Propeller laufen im Überschall und werden somit wirkungslos. Dies ist unabhängig davon, ob die Propeller von Kolbenmotoren oder Turbinen angetrieben werden. Zum Überschreiten der Schallgeschwindigkeit sind somit Antriebe erforderlich, die auf dem reinen Rückstoßprinzip beruhen, d.h. also entweder Raketenantriebe oder Strahltriebwerke. Bei Strahltriebwerken wird der nach dem Antrieb des Verdichters noch verbleibende Arbeitsanteil in der Turbine dadurch genutzt, daß die heißen Verbrennungsabgase durch eine Düse expandieren und den für den Antrieb erforderlichen Schub erzeugen.

11.2.1 Joule-Prozeß Im Vergleichsprozeß der einfachen Gasturbinenanlage durchläuft das Arbeitsmedium (ideales Gas) einen geschlossen Kreislauf. Die Verbrennungsabgase werden direkt wieder dem Verdichter zugeführt, Abb. 11-10 .

Abb. 11-10. Einfache Gasturbinenanlage als geschlossenes System, [ 6]

Technische Thermodynamik Kreisprozesse thermischer Maschinen 134 _________________________________________________________________________ Die Verbrennung wird als eine isobare Wärmezufuhr angenommen. Der Energiestrom, der in der realen Gasturbine mit den heißen Verbrennungsgasen das System verläßt, wird durch eine isobare Wärmeabgabe in einem Wärmetauscher, der hinter der Turbine angeordnet ist, simuliert. Verdichter und Turbine werden als adiabate Systeme angenommen, da aufgrund der hohen Strömungsgeschwindigkeit in diesen Komponenten kein Wärmeaustausch mit der Umgebung stattfindet. Der Gasturbinen-Vergleichsprozeß besteht somit aus zwei Isobaren für den Wärmetausch und zwei Isentropen für Verdichtung und Entspannung.

Abb. 11-11: Joule-Prozeß der Gasturbine im a) p,v-Diagramm b) h,s-Diagramm

Zustandsänderungen des Joule-Prozesses

1 - 2: Isentrope Kompression von p1 auf p2 2 - 3: Isobare Wärmezufuhr beim Druck p2 auf die Maximaltemperatur T3 3 - 4: Isentrope Expansion von p2 auf p1 4 - 1: Isobare Wärmeabfuhr beim Druck p1

Nutzarbeit Unter der Annahme von konstanten spezifischen Wärmekapazitäten ergibt sich die spezifische Nutzarbeit wt aus der Wärmebilanz zu Gl. 11-45: abzu

Nji

Ntt qqqww

qp

ji+==−=− ∑∑ ,,

bzw. Gl. 11-46: ( ) ( )432141234123 TTTTcTTTTcqqw ppt −+−⋅=−+−⋅=+=− Mit dem Verdichter-Druckverhältnis

Gl. 11-47: 1

2

pp

=π

und der Isentropenbeziehung ergibt sich für die Temperaturen

Gl. 11-48: κκ

π1

12

−

⋅=TT


Gl. 11-49: κκ

π134

1−⋅=TT

Die Gleichung für die spezifische Nutzarbeit lautet damit

Gl. 11-50: ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⋅−+−⋅⋅=−

−

−

κκ

κκ

π

π 11

3

1

31

111

TT

TT

Tcw pt

bzw. mit ( )1−= κκRcp

Gl. 11-51: ⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−⋅⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅⋅⋅

−=− −

−

1111 1

1

31

1κκ

κκ

ππ

κκ

TTTRwt

Beim Joule-Prozeß hängt also die spezifische Nutzarbeit wt von dem Druckverhältnis im Verdichter 12 pp=π und dem Temperaturverhältnis 13 TT ab. Thermischer Wirkungsgrad

Gl. 11-52: ( )( ) 23

14

23

41

23

41 1111TTTT

TTc

TTc

qq

qq

p

p

zu

abth −

−−=

−⋅

−⋅−=+=−=η

bzw.

Gl. 11-53: κκ

π

η 111−

−=th

Der thermische Wirkungsgrad des Joule-Prozesses ist also eine reine Funktion von dem Druckverhältnis π. Er nimmt degressiv mit dem Druckverhältnis zu. Hohe Wirkungsgrade erfordern bei diesem Prozeß auch hohe Druckverhältnisse


11.2.2 Ericson-Prozeß Dieser Prozeß geht auf einen Vorschlag des schwedischen Ingenieurs Ericson (1803-1899) aus dem Jahre 1833 zurück. Realisiert wurde er erst über 100 Jahre später von den schweizer Ingenieuren Ackeret (1898-1981) und Keller (1904- ). Der Prozeß bildet einen geschlossenen Kreislauf und kann daher auch aufwendigere Arbeitsmedien, wie z.B. Edelgase verwenden. Der Vorteil bei der Verwendung von Edelgasen liegt in den höheren Werten von κ und den damit verbundenen höheren thermischen Wirkungsgraden.

Abb. 11-12: Geschlossene Gasturbinenanlage nach dem Ericson-Verfahren, [ 6]

Zustandsänderungen des Ericson-Prozesses

1 - 2: Isotherme Kompression von p1 auf p2 mit Kühlung 2 - 3: Isobare Wärmezufuhr beim Druck p2 in einem zwischen Verdichter und

Turbine geschalteten Wärmetauscher 3 - 4: Isotherme Expansion von p2 auf p1 in einer Turbine mit Wärmezufuhr 4 - 1: Isobare Wärmeabfuhr beim Druck p1 im zwischengeschalteten

Wärmetauscher

Abb. 11-13: Ericson-Prozeß der Gasturbine im a) p,v-Diagramm b) h,s-Diagramm

Technische Thermodynamik Kreisprozesse thermischer Maschinen 137 _________________________________________________________________________ Der Wärmetauscher ist dergestalt ausgelegt, daß zwischen Turbine und Verdichter die betragsmäßigen gleichen Wärmemengen ausgetauscht werden, d.h. es gilt

4123 qq −= Nutzarbeit Die spezifische Nutzarbeit wt ergibt sich aus der Wärmebilanz zu Gl. 11-54: 123423124134 qqqqqqqqw abzut +=+++=−=− Bei isothermer Kompression von p1 auf p2 gilt

Gl. 11-55: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅=

1

21

2

11112 p

plnTR

pp

lnvpq

Bei isothermer Expansion mit p3 = p2 und p4 = p1 gilt

Gl. 11-56: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅=

1

23

1

23334 p

plnTR

pp

lnvpq

Mit dem Verdichter-Druckverhältnis 12 pp=π ergibt sich die spezifische Nutzarbeit zu

Gl. 11-57: ( )πlnTT

TRwt ⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅⋅=− 1

1

31

Thermischer Wirkungsgrad

Gl. 11-58: 3

11TT

th −=η

Der thermische Wirkungsgrad des Ericson-Prozesses hängt also lediglich ab von der Temperatur T3, bei der die Wärme zugeführt wird und der Temperatur T1, bei der die Wärme abgeführt wird. Der thermische Wirkungsgrad des Ericson-Prozesses stimmt mit dem des Carnot-Prozesses überein und wäre demnach ein idealer Prozeß. Die praktische Ausführung scheitert jedoch an der technischen Realisierung einer isothermen Kompression (erfordert Kühlung) und einer isothermen Expansion (erfordert Wärmezufuhr). Näherungsweise läßt sich dies durch eine stufenweise Verdichtung mit Zwischenkühlung und einer stufenweisen Expansion mit Zwischenerhitzung erreichen. Umgesetzt wurde dieser Gedanke in dem sogenannten Isex-Gasturbinen-Prozeß durch eine Zwischenverbrennung zwischen den einzelnen Turbinenstufen von K. Leist (1901-1960). _________________________________________________________________________

Ü 11-6: Einfluß des Arbeitsmediums auf Wirkungsgrad und spezifische Arbeit Wie verändert sich der thermische Wirkungsgrad und die spezifische technische Arbeit unter der Annahme eines Ericson-Prozesses bei Verwendung von Helium anstelle von Luft? Verdichtungsverhältnis 1012 == ppπ , [ ]KTT 30021 == , [ ]KTT 240043 ==


11.2.3 Clausius-Rankine-Prozeß Dampfkraftanlagen, wie sie in Kraftwerken zur Erzeugung von elektrischem Strom eingesetzt werden, bilden einen geschlossenen Prozeß (Dampfturbinenprozeß) und bestehen im wesentlichen aus den in Abb. 11-14a skizzierten Komponenten.

DE Dampferzeuger DT Turbine K Kondensator SP Speisewasserpumpe

Abb. 11-14: Dampfturbinenanlage a) Aufbau und b) p,v-Diagramm, [ 6]

Das Arbeitsmedium ist Wasser, das die Anlage in einem geschlossenen Kreislauf durch-strömt und periodisch seinen Aggregatzustand wechselt. Die Speisewasserpumpe fördert flüssiges Wasser von dem Kondensator in den Dampferzeuger (1 - 2) und erhöht den Druck auf den gewählten Sättigungsdruck. Der Antrieb der Speisewasserpumpe erfolgt entweder über einen Elektromotor oder über die Turbine. Der Dampferzeuger ist zweigeteilt; im ersten Teil (Verdampfer) wird durch isobare Wärmezufuhr Sattdampf erzeugt (2 - 3). Anschließend wird durch weitere isobare Wärmezufuhr im Überhitzer bei steigender Temperatur der Satt-dampf in Heißdampf umgewandelt (3 - 4). Der Heißdampf expandiert in der Turbine unter Arbeitsabgabe wieder bis in das Naßdampfgebiet (4 - 5). Von der Turbine strömt der Naß-dampf zu dem Kondensator, wo er unter isobarem Wärmeentzug wieder verflüssigt wird.

Abb. 11-15: Clausius-Rankine-Prozeß im a) T,s-Diagramm b) h,s-Diagramm

Technische Thermodynamik Kreisprozesse thermischer Maschinen 139 _________________________________________________________________________ Zustandsänderungen des Clausius-Rankine-Prozesses

0 - 1: Isentrope Druckerhöhung des flüssigen Wassers vom Kondensatordruck p0 = p5 auf den Sättigungsdruck pS = p1. Nahezu senkrechte Linie im p,v-Diagramm. Die beiden Punkte fallen aufgrund der geringen Temperatur-zunahme (inkompressibles Arbeitsmedium) im T,s-Diagramm fast zusammen.

1 - 2: Isobare Erwärmung des flüssigen Wassers bis zum Punkt 2 auf der Siedelinie auf die Siedetemperatur TS = T2 = T3

2 - 3: Isobare Verdampfung (Punkt 3 liegt auf der Taulinie) 3 - 4: Isobare Überhitzung 4 - 5: Isentrope Expansion in der Turbine 5 - 0: Isobare Verflüssigung des Dampfes

Nutzarbeit Berechnung der technischen Arbeit aus der Wärmebilanz Gl. 11-59: abzut qqw −=− Da alle Wärmeübertragungen bei isobaren Zustandsänderungen ablaufen, lassen sie sich auch als Enthalpiedifferenzen schreiben Gl. 11-60: 14342312 hhqqqqzu −=++= Gl. 11-61: 5050 hhqqab −== Gl. 11-62: 5410 hhhhwt −+−=− Das Arbeitsfluid wechselt während des Kreisprozesses seinen Aggregatzustand, somit müssen zur Berechnung der Enthalpiedifferenzen die Wasserdampftafeln herangezogen werden. Thermischer Wirkungsgrad

zu

abth q

q−=1η

bzw.

Gl. 11-63: 14

051hhhh

th −−

−=η

_________________________________________________________________________

Ü 11-7: Nachrechnung einer Dampfturbinenanlage Eine Dampfturbine verarbeitet pro Stunde 170t Frischdampf mit einer Temperatur von 350°C und einem Druck von 100 bar. Die Wassertemperatur vor dem Eintritt in die Speisewasser-pumpe beträgt 25°C. Gesucht werden die Leistung und der thermische Wirkungsgrad nach Clausius-Rankine. _________________________________________________________________________


11.3 Carnot-Prozeß Der im Jahre 1824 von dem französischen Militäringenieur S. Carnot vorgeschlagene Kreisprozeß stellt einen Ideal-Prozeß zum Aufzeigen des maximal möglichen thermischen Wirkungsgrades einer thermischen Maschine dar und zwar unabhängig von deren Bauart. Der Prozeß arbeitet mit zwei Isentropen und zwei Isothermen. Die Wärmeübertragung erfolgt bei konstanten Temperaturen: Wärmezufuhr bei der hohen Temperatur T3, Wärmeentzug bei der niedrigen Temperatur T1

Abb. 11-16: Carnot-Prozeß im a) p,v-Diagramm b) T,s-Diagramm

Zustandsänderungen des Carnot-Prozesses

1 - 2: isotherme Kompression mit Wärmeabgabe 2 - 3: Isentrope Kompression 3 - 4: isotherme Expansion mit Wärmezufuhr 4 - 1: Isentrope Expansion

Nutzarbeit Gl. 11-64: abzuk qqw −=− Bestimmung der Wärmemengen aus der Entropiefunktion Gl. 11-65: ( ) ( )21334334 ssTssTqqzu −⋅=−⋅== Gl. 11-66: ( )12112 ssTqqab −⋅== Gl. 11-67: ( ) ( )2113 ssTTwk −⋅−=− bzw.

Gl. 11-68: zuk qTT

w ⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−

3

11


zu

kth q

w−=η

bzw.

Gl. 11-69: 3

11TT

th −=η

Da bei gleichen Grenztemperaturen, alle in der Realität ablaufenden Kreisprozesse innerhalb des durch den Carnot-Prozeß im T,s-Diagramm beschriebenen Rechtecks liegen, wird sein Wirkungsgrad auch als Carnotfaktor (= größtmöglicher thermischer Wirkungsgrad) bezeichnet.

Gl. 11-70: 3

11TT

max,thC −==ηη

Abb. 11-17: Carnot-Prozeß und realer Prozeß


Ü 11-8: Kreisprozeß mit stationär umlaufendem Fluid (Carnot-Prozeß)

Abb. 11-18: Wärmekraftmaschine, [ 2]

Teilprozesse des Carnot-Prozesses:

- Adiabate Verdichtung 1-2 - Isotherme Entspannung 2-3 - Adiabate Entspannung 3-4 - Isotherme Verdichtung 4-1

Abb. 11-19: Zustandsänderungen des reversiblen Carnot-Prozesses

Mit Helium als Arbeitsmedium sollen die bei den vier Teilprozessen als technische Arbeit und als Wärme aufgenommenen oder abgeführten Energien sowie die spezifische Nutzarbeit des Kreisprozesses berechnet werden. Temperaturen:

T0 = T1 = T4 = 300 K T = T2 = T3 = 850 K

Druckverhältnisse:

504

2

min

max ==pp

pp

Die spezifische Wärmekapazität wird temperaturunabhängig angenommen, Änderungen von kinetischer und potentieller Energie sollen vernachlässigt werden. _________________________________________________________________________


11.4 Isentroper Wirkungsgrad adiabater Maschinen Der isentrope Wirkungsgrad bezeichnet das Verhältnis der bei isentroper (= verlustfreier) Zustandsänderung (theoretisch) geleisteten Arbeit zu der tatsächlich geleisteten Arbeit. Der isentrope Kompressionswirkungsgrad (Verdichter-Wirkungsgrad) ist definiert als

Gl. 11-71: ( )

12,

12,,

t

istVis w

w=η

Der isentrope Expansionswirkungsgrad (Turbinen-Wirkungsgrad) ist definiert als

Gl. 11-72: ( )is,t

,tT,is w

w

12

12=η

Bei offenen, adiabat durchströmten Systemen läßt sich unter der Annahme konstanter mechanischer Energie, d.h. keine Änderung der kinetischen und potentiellen Energie, der erste Hauptsatz für stationäre Fließprozesse

{( ) ( )

4342143421

EnergieepotentiellEnergiekinetische

,t

adiabat

zzgcchhwq0

12

0

21

221212

012 2

1

==

=

−⋅+−⋅+−=+

vereinfachen zu Gl. 11-73: 1212 hhw ,t −= Bei einer isentropen Zustandsänderung beträgt die (theoretisch) geleistete Arbeit Gl. 11-74: ( ) 1,212, hhw isist −= Eingesetzt ergibt dies für den isentropen Verdichter-Wirkungsgrad Vis ,η

Gl. 11-75: 12

1,2, hh

hh isVis −

−=η

bzw. für ideales Gas mit konstanter spezifischer Wärmekapazität, d.h. cp = const.

Gl. 11-76: 12

1,2, TT

TT isVis −

−=η

und entsprechend für den isentropen Turbinen-Wirkungsgrad Tis ,η

Gl. 11-77: is

Tis hhhh

,21

21, −

−=η

bzw. für ideales Gas, d.h. cp = const.

Gl. 11-78: is

Tis TTTT

,21

21, −

−=η

Technische Thermodynamik Kreisprozesse thermischer Maschinen 144 _________________________________________________________________________ In Abb. 11-20 sind für eine a) Kompression und eine b) Expansion sowohl die isentrope (verlustfreie) als auch die tatsächliche Zustandsänderung dargestellt. Dabei ist zu beachten, daß in beiden Fällen die Endpunkte '2' und '2is' jeweils auf der gleichen Isobaren p2 liegen.

Abb. 11-20: Isentrope und verlustbehaftete Zustandsänderung im h,s-Diagramm a) Kompression, b) Expansion

_________________________________________________________________________

Ü 11-9: Isentroper Wirkungsgrad einer stationären Gasturbine Eine stationäre Gasturbinenanlage besteht aus den Hauptkomponenten Verdichter V, Brennkammer BK und Turbine T. Verdichter und Turbine sitzen auf einer gemeinsamen Welle. geg.: Umgebungszustand = Ansaugzustand (1): p0 = 1.013 bar und t0 = 15 °C Luftmassenstrom m& = 7.02 kg/s Verdichterdruckverhältnis πV = 9.5 Isentropenwirkungsgrad des Verdichters ηV,is = 84 % Isentropenwirkungsgrad der Turbine ηT,is = 86 % Maximale Turbineneintrittstemperatur T3,max =1800 K Annahmen - in allen Komponenten herrscht gleicher und konstanter Massenstrom - mechanische Verluste (Lager, Getriebe) können vernachlässigt werden - der Druckverlust in der Brennkammer kann vernachlässigt werden - Arbeitsmedium Luft kann als ideales Gas mit konstanten Stoffgrößen betrachtet werden

R = 287 J/kg K; κ = 1.39; cp = 1023 J/kg K 1. Skizzieren Sie das Schaltschema der Anlage (Ebenenbezeichnung 1 – 4) 2. Skizzieren Sie das zugehörige Ts – Diagramm 3. Berechnen Sie Druck p2 und Temperatur T2 nach dem Verdichter 4. Berechnen Sie die Brennkammerdruck und -austrittstemperatur p3, T3 5. Wie groß sind Temperatur T4 im Turbinenaustritt, wenn die Turbine genau auf den

Umgebungsdruck entspannt? 6. Berechnen Sie die abgegebene Nutzleistung PN der Anlage _________________________________________________________________________


11.5 Prozeßoptimierung

11.5.1 Wärmerückgewinnung Selbst bei einer hohen Effizienz der einzelnen Komponenten erfordern Gasturbinen ein hohes Verdichterdruckverhältnis um einen guten thermischen Wirkungsgrad zu erreichen, was zu einem entsprechend hohen Baugewicht aufgrund der Festigkeitsanforderungen führt. Eine Möglichkeit das erforderliche Verdichterdruckverhältnis zu verringern, besteht in der Aufheizung des komprimierten Gases vor dem Brennkammereintritt durch die heißen Turbinenabgase, deren Temperatur am Turbinenaustritt T4 in der Regel über der Verdichter-austrittstemperatur T2 liegt. Dadurch läßt sich die erforderliche Wärmemenge qzu = q23 , die in der Brennkammer dem Prozeß zugeführt wird auf qzu' = q2'3 entsprechend verringern, da die Temperatur durch die Vorheizung von T2 auf T2' erhöht wird.

s

T

T2'

T2

2'

qzu,Vor

qzu,BK

p4

p3

4

3

2

1

Abb. 11-21: Joule-Prozeß mit Wärmerückgewinnung

Der thermische Wirkungsgrad mit Vorheizung lautet nun

Gl. 11-79: ( ) ( )

( )23

1243

′−−−−

=TT

TTTTthη

Der Grenzwert der Vorheizung wird erreicht, wenn die Temperatur T2' auf die Turbinenaus-trittstemperatur T4 erhöht wird.

Gl. 11-80: 43

121TTTT

th −−

−=η

bzw. als Funktion des Verdichterdruckverhältnisses 12 pp=π

Gl. 11-81: 3

1

11T

Tth

κκ

πη

−

⋅−=

Technische Thermodynamik Kreisprozesse thermischer Maschinen 146 _________________________________________________________________________ In Abb. 11-22 ist der thermische Wirkungsgrad eines Joule-Prozesses mit und ohne Vorheizung über dem Verdichterdruckverhältnis aufgetragen. Es zeigt sich, daß die Vor-heizung nur bis zu einem bestimmten Druckverhältnis einen Vorteil gegenüber dem einfachen Joule-Prozeß bringt.

Verdichter-Druckverhältnis π

ηth

Joule-Prozeß mit Wärmerückgewinnung

Joule-Prozeß ohne Wärmerückgewinnung

Abb. 11-22: Einfluß der Wärmerückgewinnung auf den thermischen Wirkungsgrad

(Joule-Prozeß: κ=1.4, Wirkungsgrad des Wärmetauschers: 100%, T1 = 300 K, T3 = 1760 K) Dieses Druckverhältnis läßt sich leicht durch Gleichsetzen der thermischen Wirkungsgrade ermitteln.

Gl. 11-82: 4342143421ewinnungWärmerückg

mitozeßJouleozeßJoule

TT

Pr

3

1

1

Pr

1 111

−

−

−

−

⋅−=−

κκ

κκ

π

π

Das Druckverhältnis, ab dem der einafche Joule-Prozeß günstiger ist, beträgt somit

Gl. 11-83: ( )12

1

3−⋅

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

κκ

πTT

Es zeigt sich also, daß die Wärmerückgewinnung lediglich bei kleinen Druckverhältnissen eine Verbesserung des thermischen Wirkungsgrades bewirkt. Nachteilig wirkt sich auch die erhöhte Komplexität der Anlage durch die Integration des Wärmetauschers aus. Einsatzmöglichkeiten bieten sich jedoch trotzdem bei Fahrzeuggasturbinen mit geringen Verdichterdruckverhältnissen.

11.5.2 Zwischenkühlung Bei der Kompression von Gas steigt mit dem Druck auch die Temperatur. Aufgrund der zunehmenden Temperatur erhöht sich auch die für die Verdichtung erforderliche Arbeit. Wird hingegen die Verdichtung in mehreren Stufen durchgeführt und das Temperaturniveau zwischen den einzelnen Verdichterstufen wieder abgesenkt (Zwischenkühlung), so kann

Technische Thermodynamik Kreisprozesse thermischer Maschinen 147 _________________________________________________________________________ dadurch die Kompressionsarbeit reduziert werden. In erster Näherung läßt sich die Zwischenkühlung durch eine isobare Zustandsänderung beschreiben. In Abb. 11-23 ist für einen Joule-Prozeß der Einfluß der Zwischenkühlung im T,s-Diagramm dargestellt.

T

s

Zwischenkühlung

Abb. 11-23: Einfluß der Zwischenkühlung im T,s-Diagramm

Erfolgt die Verdichtung isentrop ohne Zwischenkühlung in einer einzigen Stufe so berechnet sich die erforderliche Verdichterarbeit mit dem Kompressionsverhältnis 12 pp=π zu

Gl. 11-84: ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅⋅=−⋅=

−

11

11212,κκ

πTcTTcw ppV

Für die zweistufige Verdichtung (1-a) mit dem Kompressionsverhältnis π1 und (b-2) mit dem Kompressionsverhältnis π2 gilt Gl. 11-85: ( ) ( )bpapbVaVV TTcTTcwww −⋅+−⋅=+= 212,1,12,

Gl. 11-86: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⋅=

−−

111

2

1

1112, κκ

κκ

ππ bppV TcTcw

Der Grenzwert für die Zwischenkühlung ist dann erreicht, wenn die Temperatur Tb die Temperatur T1 erreicht hat.

Gl. 11-87: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⋅⋅=

−−

21

2

1

1112, κκ

κκ

ππTcw pV

Aufgrund der als isentrop angenommenen Verdichtung gilt für die Stufenverdichtungs-verhältnisse Gl. 11-88: 21 πππ ⋅= Für die Kompressionsarbeit gilt somit


Gl. 11-89: ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅⋅=

−−

2

1

1

1

1112κκ

κκ

πππTcw p,V

Die Druckverhältnisse, bei denen die Verdichtungsarbeit minimal wird, ergeben sich aus der Extremtwertbedingung 0112, =πddwV

Gl. 11-90: 2111

11

11 0

11

1

πππ

π

πκ

κ

πκ

κ

κκκ

κκκ

==⇒=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡⋅

−

−⋅−

⋅⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

Tc p

Die Arbeitsersparnis der zweistufigen Verdichtung mit Zwischenkühlung gegenüber der einstufigen Verdichtung ergibt sich zu

Gl. 11-91:

2

21

1 1⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−⋅⋅=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅−κ

κ

πΔ Tcw pV

Der thermische Wirkungsgrad berechnet sich zu

Gl. 11-92: ( ) ( ) ( )

( )23

1243

TTcTTcTTcTTc

qww

p

apbpp

zu

VTth −⋅

−⋅−−⋅−−⋅=

−=η

Gl. 11-93: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⋅−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⋅

⋅−−

=κ

κ

κκ

κκ

π

π

πη2

1

3

1

21

3

11

1

1211

TT

TT

th

Für einen Joule-Prozeß mit κ = 1.4, T1 = 300 K, T3 = 1760 K sind die thermischen Wirkungsgrade in Abhängigkeit von dem Verdichterdruckverhältnis in Abb. 11-24 dargestellt.


ηth

Joule-Prozeß ohne Zwischenkühlung

Joule-Prozeß mit Zwischenkühlung

Abb. 11-24: Thermischer Wirkungsgrad bei Zwischenkühlung

Technische Thermodynamik Kreisprozesse thermischer Maschinen 149 _________________________________________________________________________ Es zeigt sich, daß der Vorteil der Zwischenkühlung nicht in einem verbesserten thermischen Wirkungsgrad liegt, sondern, daß sich bei vorgegebener Maschinengröße höhere Leistungen erzielen lassen. Diese größere Leistungsdichte wird jedoch mit einem schlechteren thermischen Wirkungsgrad und einer höheren Komplexität der Anlage erkauft. Wird die Verdichtung in mehreren Verdichterstufen durchgeführt, so läßt sich das Prinzip der Zwischenkühlung zwischen jeder einzelnen Verdichterstufe einsetzen. In Abb. 11-25 ist das p,v- und T,s-Diagramm für einen mehrstufigen Verdichter mit Zwischenkühlung skizziert.

KühlwasserKühlwasser

ZwischenkühlerZwischenkühler

1. Verdichterstufe 2. Verdichter- stufe

3. Verdichterstufe

Abb. 11-25: Mehrstufiger Verdichter mit Zwischenkühlung

11.5.3 Zwischenerhitzung Eine weitere Erhöhung der Leistungsdichte läßt sich bei Gasturbinen durch eine Zwischen-erhitzung bei der Expansion erzielen. Dies ist entweder zwischen den einzelnen Turbinen (Verdichter-Turbine und Nutzturbine) möglich oder zwischen den einzelnen Turbinenstufen. Bei Flugtriebwerken kann hinter der Verdichter-Turbine und vor der Schubdüse noch zusätzlich Treibstoff verbrannt werden (Nachbrennerbetrieb). Die zusätzliche Leistung bewirkt jedoch einen stark erhöhten Treibstoffverbrauch und einen verringerten thermischen Wirkungsgrad. In Abb. 11-26 ist für einen Joule-Prozeß der Einfluß der Zwischenerhitzung in einem T,s-Diagramm dargestellt.


s

T

Zwischenerhitzung

Abb. 11-26: Einfluß der Zwischenerhitzung im T,s-Diagramm

Die Berechnung der durch Zwischenerhitzung möglichen Leistungssteigerung erfolgt in analoger Weise zu der Vorgehensweise bei der Zwischenkühlung. Unter der Annahme einer einstufigen isentropen Entspannung (3-4) berechnet sich die von der Turbine abgegebene Arbeit zu

Gl. 11-94: ( )⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−⋅⋅=−⋅=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −κκ

π134334

11TcTTcw pp,T

Für den Fall einer zweistufigen Entspannung (3-d) und (e-4) gilt:

Gl. 11-95: ( ) ( )⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−⋅⋅+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−⋅⋅=−⋅+−⋅=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

κκ

κκ

ππ1

2

1

1

343341111 eppepdp,T TcTcTTcTTcw

Für den Grenzwert Te = T3 ergibt sich für die Arbeit:

Gl. 11-96: ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−⋅⋅=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

κκ

κκ

ππ1

2

1

1

334112Tcw p,T

Die optimalen Druckverhältnisse bei der Entspannung ergeben sich wieder aus der Extrem-wertbedingung

Gl. 11-97: 0

11

1

11

11

1

31

34, =

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡⋅

−

−

−

⋅⋅=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−κκ

κκ

κκ

π

πκ

κ

π

κκ

πTc

ddw

pT

zu Gl. 11-98: πππ == 21 Die infolge der Zwischenerhitzung zusätzlich bei der Entspannung abgegebene Arbeit beträgt


Gl. 11-99:

2

213

11⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−⋅⋅=Δ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅−κ

κ

π

Tcw pT

Die bei der Zwischenerhitzung zusätzlich zuzuführende Wärmeenenergie stellt einen nicht zu vernachlässigenden Aufwand und somit auch Kostenfaktor dar.

Gl. 11-100: ( )⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−⋅⋅=−⋅==Δ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅−κ

κ

π 213

11TcTTcqq pdepdezu

Da das Verhältnis von zusätzlich geleisteter Arbeit zu zusätzlich zuzuführender Wärme-energie

Gl. 11-101: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅−

−=ΔΔ

κκ

π 21

11zu

T

qw

kleiner als eins ist, verringert sich der thermische Wirkungsgrad gegenüber dem Kreisprozeß ohne Zwischenerhitzung. Für den thermischen Wirkungsgrad mit Zwischenerhitzung gilt in diesem Fall:

Gl. 11-102: ( ) ( ) ( )

( ) ( )depp

pepdp

zu

VTth TTcTTc

TTcTTcTTcq

ww−⋅+−⋅

−⋅−−⋅+−⋅=

−=

23

1243η

bzw.

Gl. 11-103:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅−

−⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⋅−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⋅−−

=

κκ

κκ

κκ

κκ

π

π

π

πη

21

1

3

1

1

3

1

21

112

122

TT

TT

th

In Abb. 11-27 ist der thermische Wirkungsgrad für einen Joule-Prozeß mit und ohne Zwischenerhitzung und -kühlung dargestellt (κ=1.4, T1 = 300 K, T3 = 1760 K).


ηth

Joule-Prozeß

Joule-Prozeß mit Zwischenkühlung

Joule -Prozeß mit Zwischenerhitzung

Abb. 11-27: Thermischer Wirkungsgrad bei Zwischenerhitzung

In diesem Fall verschlechtert sich der thermische Wirkungsgrad noch stärker als bei der Leistungssteigerung infolge Zwischenkühlung.

Technische Thermodynamik Kreisprozesse thermischer Maschinen 152 _________________________________________________________________________ Ebenso wie die Zwischenkühlung läßt sich auch die Zwischenerhitzung durch die Verwendung von zusätzlichen Brennern auch bei mehrstufigen Turbinen zwischen den einzelnen Turbinenstufen einsetzen.

BrennstoffBrennstoff

BrennerBrenner

1. Turbinen- Stufe

2. Turbinen- Stufe

3. Turbinen- Stufe

Abb. 11-28: Mehrstufige Turbine mit Zwischenerhitzung

11.5.4 Kombinierte Zwischenkühlung und Zwischenerhitzung Zwischenkühlung und Zwischenerhitzung lassen sich selbstverständlich auch kombinieren, wobei die Komplexität der Anlage entsprechend zunimmt.

T

s

Zwischenkühlung

Zwischenerhitzung

Abb. 11-29: Kombinierte Zwischenkühlung und -erhitzung im T,s-Diagramm

Für den Fall einer Anlage mit einem zweistufigen Verdichter und einer zweistufigen Turbine ergibt sich für die Nutzarbeit

Technische Thermodynamik Kreisprozesse thermischer Maschinen 153 _________________________________________________________________________ Gl. 11-104: ( ) ( ) ( ) ( )[ ]1243 TTTTTTTTcw abedpN −−−−−+−⋅= und für die zugeführte Wärme Gl. 11-105: ( ) ( )[ ]depzu TTTTcq −+−⋅= 23 Der thermische Wirkungsgrad ergibt sich zu

Gl. 11-106:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅−

−⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−⋅−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−⋅⋅−−

=−

=

κκ

κκ

κκ

κκ

π

π

π

πη

21

21

3

1

21

3

1

21

112

2222

TT

TT

qww

zu

VTth

Für einen Joule-Prozeß (κ = 1.4, T1 = 300 K, T3 = 1760 K) mit kombinierter Zwischenkühlung und -erhitzung ist in Abb. 11-30 der Wirkungsgrad über dem Druckverhältnis dargestellt.


ηth

Joule-ProzeßJoule-Prozeß mit ZwischenkühlungJoule-Prozeß mit ZwischenerhitzungJoule-Prozeß mit kombinierterZwischenkühlung und -erhitzung

Abb. 11-30: Thermischer Wirkungsgrad bei kombinierter Zwischenkühlung und -erhitzung


11.5.5 Abgasturbolader Abgasturbolader werden zur Leistungssteigerung von Kolbenmotoren eingesetzt. Das in Abb. 11-31 skizzierte Schaltbild entspricht dem eines Einwellentriebwerks bei dem die Brenn-kammer durch einen Kolbenmotor ersetzt wurde. Die Nutzleistung wird hier ausschließlich von dem Kolbenmotor erbracht, während die Leistung der Abgasturbine lediglich zum Antrieb des Verdichters dient. Durch den vorgeschalteten Verdichter wird das Druckniveau im Kolbenmotor erhöht. Dieses höhere Druckniveau bewirkt, daß pro Arbeitszyklus eine größere Luftmasse und somit auch eine größere Energiezufuhr infolge der erhöhten Brennstoffmenge im Motor durchgesetzt werden kann. Die Leistungssteigerung wird jedoch mit einer erhöhten spezifischen Belastung des Kolbenmotors erkauft, da infolge des höheren Druckniveaus auch die Druck- und Temperaturspitzen im Zylinder ansteigen. Neben der mechanischen Festigkeitsgrenze bildet bei Otto-Motoren die Klopffestigkeit des verwendeten Treibstoffs die Obergrenze der Aufladung.

Abb. 11-31: Abgasturboladers und Schaltbild

In Abb. 11-32 ist der Arbeitsprozeß eines Kolbenmotors mit Abgaslader dargestellt. Der Prozeß des Kolbenmotors wurde durch einen Seiliger-Prozeß (vgl. 11.1.3) angenähert. Im Punkt c wird das Auslaßventil geöffnet und das Abgas strömt in eine Beruhigungskammer mit dem Druck pIII (vor der Turbine) um Druckspitzen in der Strömung abzubauen. Bis zum Turbineneintritt III kann in erster Näherung eine isotherme Drosselung angenommen werden. In der Turbine expandiert das Abgas (III-IV) bis auf den Umgebungsdruck p0 und gibt dabei die spezifische Arbeit wT ab. Im Verdichter wird Verbrennungsluft mit dem Zustand I (= Umgebungsbedingungen) angesaugt und auf den Druck pII verdichtet (I-II). Dazu ist die spezifische Arbeit wV erforderlich, die von der Abgasturbine zur Verfügung gestellt wird. Zusätzlich sind von der Turbine auch die mechanischen Verluste des Verdichters aufzubringen

Umgebungsluft (I)

Verdichteraustritt (II) Turbineneintritt (III)

Abgas (IV)


Abb. 11-32: p,v- und T,s-Diagramm eines Kolbenmorors mit Abgasturbolader

Mit dem mechanischen Wirkungsgrad ηmech gilt für das Leistungsgleichgewicht zwischen Abgasturbine und Verdichter: Gl. 11-107: TmechV PP ⋅=η Gl. 11-108: TTmechVV wmwm ⋅⋅=⋅ && η Mit dem isentropen Verdichter- und Turbinenwirkungsgrad ηV,is und ηT,is ergibt sich

Gl. 11-109: isTisTTmechisV

isVV wmwm ,,,

,1 ηη

η⋅⋅⋅=⋅⋅ &&

Für die isentrope Verdichterarbeit wV,is gilt (Index L: Luft)

Gl. 11-110: ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅⋅

−=

−

11

1

,

L

L

I

IIIL

L

LisV p

pTRwκκ

κκ

und für die isentrope Turbinenarbeit wT,is gilt (Index G: Abgas)


Gl. 11-111: ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅⋅⋅

−=

−

G

G

III

IVIIIG

G

GisT p

pTRwκκ

κκ

1

, 11

Für das Leistungsgleichgewicht zwischen Abgasturbine und Verdichter läßt sich somit auch schreiben, wobei in erster Näherung TV mm && ≈ gilt.

Gl. 11-112:

( )

( )⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅⋅−⋅

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅−⋅

=⋅⋅⋅⋅−

−

G

G

L

L

III

IVGLG

I

IILGL

I

III

V

TisTisVmech

ppR

ppR

TT

mm

κκ

κκ

κκ

κκ

ηηη1

1

,,

11

11

&

&

_________________________________________________________________________ Ü 11.10 Dieselmotor mit Abgasturbolader Die Leistung eines Dieselmotors soll durch einen Abgasturbolader modifiziert werden. Die Bedingungen im Turbineneintritt des Abgasladers (Zustand III) entsprechen den Zustands-größen des Dieselmotors nach dem Expansionstakt, d.h. die Turbineneintrittstemperatur TIII entspricht der Abgastemperatur T4 = 940 K des Dieselmotors und der Druck im Turbinen-eintritt pIII ist gleich dem Abgasdruck nach dem Expansionstakt von p4 = 3.32 bar. Für den Abgasturbolader gelten folgende Größen:

Mechanischer Wirkungsgrad: ηmech = 0.98 Isentroper Verdichterwirkungsgrad: ηV,is = 0.80 Isentroper Turbinenwirkungsgrad: ηT,is = 0.82 Darüber hinaus gilt: m& = Vm& = Tm& = 0.15 kg/s

Als Arbeitsmedium kann mit Luft (ideales Gas: R = 287 J/kgK, κ = 1.4) gerechnet werden. Umgebungsbedingungen: T0 = 15°C, p0 = 1.013 bar 1. Skizzieren Sie das Schaltbild des Abgasturboladers (Ebenenbezeichnung I-IV).

2. Das Abgas expandiert in der Turbine von pIII = p4 = 3.32 bar auf den Umgebungsdruck pIV = p0 = 1.013 bar. Berechnen Sie die Temperatur TIV im Turbinenaustritt.

3. Berechnen Sie die Leistung PV , die dem Verdichter des Abgasladers zur Verfügung gestellt wird.

4. Wie hoch ist die Temperatur TII , die sich nach der Vorverdichtung der Umgebungs luft von pI = p0 auf pII durch den Verdichter ergibt?

5. Berechnen Sie das Kompressionsverhältnis IIIV pp=π des Verdichters des Laders.

6. Wie hoch ist der Druck pII , der sich nach der Vorverdichtung der Umgebungsluft von pI = p0 auf pII durch den Verdichter des Abgasturboladers ergibt?

7. Die Umgebungsluft wurde durch den Verdichter des Laders bereits auf den Druck pII und die Temperatur TII vorkomprimiert. Welcher Druck p2* und welche Temperatur T2* würde sich bei einer weiteren isentropen Verdichtung durch den Dieselmotor mit einem unveränderten Verdichtungsverhältnis von 1921 == vvε ergeben?

Technische Thermodynamik Kälteanlagen 157 _________________________________________________________________________

12 Kälteanlagen

12.1 Allgemeiner Kältemaschinenprozeß Eine häufige Aufgabe von Kältemaschinen besteht in der Aufrechterhaltung einer Temperaturdifferenz auf einem konstanten Temperaturniveau zwischen einem zu kühlenden Raum und der Umgebung von der wieder infolge unvollständiger thermischer Isolierung Wärme in diesen Raum zurückströmt. Eine weitere Aufgabe besteht in der Abkühlung eines Stoffes von einem höheren zu einem niedrigeren Temperaturniveau, z.B. bei der Luftverflüssigung. Die dem zu kühlenden Stoff bzw. Raum entzogene Wärme muß bei einer höheren Temperatur an die Umgebung abgegeben werden. Die prinzipiellen Zusammenhänge sollen anhand eines linksdrehenden Carnot-Prozesses, der zwischen der höheren Umgebungs-temperatur T und der niedrigeren Kühlraumtemperatur T0 betrieben wird, betrachtet werden (Abb. 12-1). Die Maschine wird mit einem Kältemittel betrieben, dem bei der tieferen Temperatur T0 die Wärme Q0 zugeführt wird und welches die Wärme Q wieder an die Umgebung mit der Temperatur T abgibt. Dazu muß in diesem Beispiel die Arbeit Gl. 12-1: 0QQW −= aufgebracht werden.

Abb. 12-1: Allgemeiner Kältemaschinenprozeß (Carnot)

Entropieänderungen Durch den Wärmeentzug Q0 bei der Temperatur T0 verringert sich die Entropie im Kühlraum um den Betrag

Gl. 12-2: 0

00 T

QS =Δ

Diese Wärme Q0 muß an die Umgebung mit der Temperatur T abgeführt werden. Dadurch vergrößert sich die Entropie der Umgebung um den Betrag

Gl. 12-3: T

QSu

0=Δ

Da die Umgebungstemperatur T über der Kühlraumtemperatur T0 liegt gilt

W


Gl. 12-4: T

QS

TQ

S u0

0

00 =>= ΔΔ

und somit für die gesamte Entropieänderung Gl. 12-5: ( ) 00 <−= SSS u ΔΔΔ d.h. die Entropie würde insgesamt abnehmen (Abb. 12-2).

Abb. 12-2: Entropieveränderung bei Kühlung

Dies ist gemäß dem 2. Hauptsatz nicht möglich, da die Wärme nicht von selbst von einem niedrigeren Niveau auf ein höheres Niveau übergehen kann. Die technische Realisierung einer Kältemaschine erfordert demnach noch einen Zwischenprozeß, der die Entropie-verminderung ΔS kompensiert. Entropieerhöhung läßt sich entweder durch beliebige reibungsbehaftete Prozesse erzeugen oder aber durch einen geeigneten Zusatzprozeß, der neben der Kälteleistung Q0 noch die zusätzliche Wärme ΔQ an die Umgebung abgibt. Zeichnet man die Entropieverhältnisse aus Abb. 12-2 übereinander, so ergibt sich die erforderliche zusätzliche Wärme ΔQ aus der Fläche 45ad (Abb. 12-3). Es muß also gelten:

Gl. 12-6: 0≥+ STQ ΔΔ

Abb. 12-3: Kompensationswärme ΔQ bei Kälteleistung Q0

Technische Thermodynamik Kälteanlagen 159 _________________________________________________________________________ Prinzipiell ist die Art der Erzeugung der zusätzlichen Wärme ΔQ frei wählbar, technisch relevant sind jedoch in Kältetechnik folgende Prozesse:

- Prozesse, bei denen mechanische Arbeit in Wärme umgesetzt wird (Kompressionskälteanlagen) - Prozesse, bei denen Heizwärme als Kompensationsprozeß eingesetzt wird (Absorptionsverfahren) - Thermoelektrische Prozesse, bei denen durch elektrische Energie Wärme von der kalten Lötstelle zur warmen transportiert wird (Peltier-Effekt)

Arbeitsaufwand Aus dem T,s-Diagramm (Abb. 12-3) ergibt sich sofort die für die Erzeugung der Zusatzwärme

STQ Δ⋅=Δ erforderliche Arbeit W. Diese Zusatzwärme soll aus dem linksdrehenden Kreis-prozeß stammen, der neben der Zusatzwärme ΔQ auch die Kälteleistung Q0 mittels eines Kältemittels an die Umgebung abführt. Da das Kältemittel sich am Ende des Kreisprozesses wieder in seinem Ursprungszustand befindet beträgt die Änderung seiner inneren Energie

012 =−UU . Gemäß dem ersten Hauptsatz muß dann die dem Kältemittel zusätzlich ent-zogene Wärme ΔQ gleich der aufgewendeten Arbeit W sein, also Gl. 12-7: STQW ΔΔ ⋅== Unabhängig von der Art des gewählten Kälteprozesses muß zum Anheben der Wärme Q0 von dem Temperaturniveau T0 auf das Temperaturniveau T mindestens die Arbeit

STQW ΔΔ ⋅== aufgewendet werden. Im T,s-Diagramm (Abb. 12-3) entspricht dies der Fläche 4-5-a-d oder auch der Fläche 3-5-1-2. Grundregel der Kältetechnik Aus Abb. 12-1 ist ersichtlich, daß für die gleiche Kälteleistung Q0 um so mehr Arbeit W aufgewendet werden muß, je größer der zu überbrückende Temperaturunterschied ΔT=T-T0 ist. Dadurch ergibt sich die Forderung, nie tiefer zu kühlen als unbedingt erforderlich und die Umgebungstemperatur nur so wenig wie möglich zu überschreiten. Als Maß der für den Kühlprozeß aufgewendeten Arbeit wird die Leistungsziffer ε definiert als das Verhältnis der abgeführten Wärme Q0 bezogen auf die aufgewendete Arbeit W.

Gl. 12-8: WQ0=ε

Für den Carnot-Prozeß ergibt sich für die Leistungsziffer

Gl. 12-9: 0

00

TTT

WQ

−==ε


12.2 Dampf-Kompressions-Kälteanlage Der idealisierte Dampf-Kompressions-Kühlkreislauf (1-2-3-4-1 in Abb. 12-4) entspricht dem Clausius-Rankine-Kreisprozeß (Dampfturbinenprozeß), wobei lediglich die Durchlaufrichtung verändert wurde. Gesättigter Dampf wird mit niedrigem Druck p1 dem Kompressor zugeführt und adiabat-reversibel auf den Druck p2 verdichtet (1-2). Im Kondensator wird die Wärme QH isobar abgeführt (2-3) und das Arbeitsmedium verläßt in der flüssigen Phase den Kondensator (3). Durch eine adiabate Drosselung (Druckminderung ohne Arbeitsabgabe) entspannt das Arbeitsmedium von dem Druck p2 wieder auf den Druck p1. In dem Verdampfer wird das Arbeitsmedium isobar bei dem Druck p1 verdampft und nimmt dabei die Wärmemenge QL auf. Zusätzlich zu dem idealisierten Dampf-Kompressions-Kühlkreislauf (1-2-3-4-1) ist in Abb. 12-4 auch zum Vergleich der Carnot-Prozeß (1'-2'-3-4'-1') eingezeichnet. Die technische Umsetzung des günstigeren Carnot-Prozesses scheitert jedoch an dem Problem, daß in diesem Fall bei der Kompression von p1' auf p2' ein Zweiphasengemisch bei konstantem Dampfgehalt x komprimiert werden müßte. Die Kompression eines vollständig verdampften Stoffes gestaltet sich technisch wesentlich einfacher. Ebenso ist die irreversible Druckminderung durch ein Drosselventil leichter zu realisieren, als eine Expansion, bei der ein Stoff von der flüssigen Phase in ein Zweiphasengemisch isentrop entspannt wird.

Kompressor

Wc

Kondensator

Verdampfer

Drosselventil

Abb. 12-4: Dampf-Kompressions-Kühlkreislauf

In der Realität (Abb. 12-5) weicht der Dampf-Kompressions-Kühlkreislauf aufgrund von Druckverlusten und interner Wärmeübertragung etwas von dem in Abb. 12-4 skizzierten idealisierten Prozeß ab. Der Dampf könnte sich beim Eintritt in den Kompressor (1) bereits im überhitzen Zustand befinden. Die Annahme der isentropen Verdichtung läßt sich in der Realität nicht verwirklichen, d.h. die Entropie wird in Abhängigkeit von der übertragenen Wärme von bzw. an das Kältemittel zunehmen (2' = Wärmezufuhr) oder abnehmen (2 = Wärmeabfuhr). Weiterhin ist es schwierig eine isobare Kondensation zu realisieren. In der Regel wird der Druck nach der Kondensation geringer sein als im überhitzten Zustand und die Temperatur etwas unter der Sättigungstemperatur (4) liegen und kann anschließend in der Leitung zum Drosselventil noch etwas absinken (5). Im Verdampfer kommt es ebenfalls zu einem Druckverlust und die Temperatur kann in der Leitung zum Kompressor wieder etwas ansteigen.


Abb. 12-5: Realer Dampf-Kompressions-Kühlkreislauf

_________________________________________________________________________ Ü 12.1 Dampf-Kompressions-Kühlkreislauf

Kompressor

Wc

Kondensator

Verdampfer

Drosselventil

geg.: Kühlmittel Dichlordifluormethan (Freon-12) Temperatur des Kühlmittels im Verdampfer: T1 = -20°C Temperatur des Kühlmittels im Kondensator: T3 = +40°C Massenstrom: m& = 0.03 kg/s Stoffwerte für Freon-12 im Naßdampfgebiet: Ts [°C] ps [MPa] v' [m³/kg] v'' [m³/kg] h' [kJ/kg] h'' [kJ/kg] s' [kJ/kg⋅K] s'' [kJ/kg⋅K] -20 0.1509 0.000685 0.108847 17.8 178.61 0.073 0.7082 +40 0.9607 0.000798 0.018171 74.527 203.051 0.2716 0.682

Stoffwerte für Freon-12 im überhitzten Zustand: T [°C] p [MPa] v [m³/kg] h [kJ/kg] s [kJ/kg⋅K] +50 0.9 MPa 0.020912 211.765 0.7131 +60 0.9 MPa 0.022012 219.212 0.7358 +50 1.0 MPa 0.018366 210.162 0.7021 +60 1.0 MPa 0.019410 217.810 0.7254

ges: Kühlleistung QL und Leistungsziffer ε

Kondensator

Verdampfer

Technische Thermodynamik Kälteanlagen 162 _________________________________________________________________________ Ü 12.2 Zweistufige Kompressions-Kälteanlage Zweistufige Kompressions-Kälteanlage, die mit dem Kältemittel Ammoniak betrieben wird. Beide Kreisläufe sind voneinander getrennt und lediglich über einen Wärmetauscher miteinander gekoppelt. Kreislauf I nimmt Wärme im Verdampfer bei einer Temperatur des Kältemittels von -35°C aus dem Kühlraum, dessen Temperatur -25°C beträgt auf und gibt Wärme bei einem Kältemitteldruck von 5 bar über einen Wärmetauscher (Kondensator von Kreislauf I) an den Kreislauf II ab. Kreislauf II nimmt Wärme bei einem Kältemitteldruck von 4 bar im Wärmetauscher (Verdampfer von Kreislauf II) auf. Im Kondensator wird Wärme bei einem Kältemitteldruck von 18 bar an die Umgebung abgegeben. Die maximale Umgebungstemperatur beträgt 35°C und die geforderte Kälteleistung beträgt

[ ]kWQK 80= . Annahmen Ideale Verdichter Beide Verdichter arbeiten verlustfrei Vor der Kompression befindet sich das Kältemittel im Sattdampfzustand, die Kondensation erfolgt in den Siedezustand

geg.: Die spezifischen Enthalpien von Ammoniak im überhitzten Zustand betragen h2 = 1947.9 kJ/kg und h6 = 1979.7 kJ/kg ges.:

1. Zustandspunkte 1-8 (p, T, x, h), außer T2 und T6 2. Mengenströme des Kältemittels in beiden Kreisläufen 3. Die im Wärmetauscher übertragene Wärmeleistung 4. Wärmeleistungsabgabe an die Umgebung 5. Antriebsleistung der beiden Verdichter 6. Leistungszahl der Gesamtanlage 7. Leistungszahl eines reversiblen Carnot-Prozesses, der zwischen

T0 = -25°C und T = +35°C arbeitet _________________________________________________________________________

Technische Thermodynamik Kälteanlagen 163 _________________________________________________________________________ 12.3 Absorptionsverfahren Der in Abb. 12-6 skizzierte Ammoniak-Absorptionskühlkreislauf unterscheidet sich von dem Dampf-Kompressionskühlkrieslauf im wesentlichen durch die Art mit der die Verdichtung des Kältemittels erreicht wird. In dem Absorptionskreislauf wird Ammoniakdampf bei niedrigem Druck in Wasser absorbiert und der Druck der Lösung durch eine Pumpe erhöht.

Abb. 12-6: Ammoniak Absorptionskühlkreislauf

Der Niederdruck-Ammoniakdampf aus dem Verdampfer wird im Absorber in der schwachen Ammoniaklösung absorbiert. Dieser Prozeß läuft bei einer Temperatur ab, die etwas über der Umgebungstemperatur liegt und die Wärme QL an die Umgebung abgeführt werden muß. Die starke Ammoniaklösung wird durch einen Wärmetauscher zum Generator gepumpt, wodurch eine Temperatur- und Druckerhöhung erreicht wird. Infolge der Wärmezufuhr QH' im Generator durch eine externe Wärmequelle verdampft Ammoniak aus der Lösung. Dieser Hochdruck-Ammoniakdampf strömt zum Kondensator, wo er analog zum Dampf-Kompressionskreislauf, wieder verflüssigt wird und weiter durch das Drosselventil zum Verdampfer expandiert. Im Verdampfer wird aus dem Kühlraum die Wärme QL aufgenommen und der Niederdruck-Ammoniakdampf wird, zusammen mit der im Generator zurückbleibenden schwachen Ammoniaklösung wieder dem Absorber zugeführt. Der entscheidende Unterschied zum Dampf-Kompressionskreislauf besteht darin, daß sich das Kühlmittel bei der Verdichtung nicht in der dampfförmigen, sondern in der flüssigen Phase befindet. Durch das geringere spezifische Volumen (= höhere Dichte) der Flüssigkeit ist für die Druckerhöhung wesentlich weniger Arbeit aufzuwenden als bei der Kompression von Dampf. Gl. 12-10: ∫ ⋅= dpvWPumpe

Hochdruck Ammoniak Dampf

QH (zur Umgebung)

KondensatorGenerator

schwache Ammoniak-lösung

Wärmetauscher

starke Ammoniak- lösung

Absorber

Pumpe QL' (zur Umgebung)

flüssiges Ammoniak

Drossel-ventil

QH (starke Wärmequelle)

Niederdruck Ammoniak

Verdampfer

W QL (Kühlraum)

Technische Thermodynamik Kälteanlagen 164 _________________________________________________________________________ Andererseits muß eine externe Wärmequelle mit relativ hoher Temperatur (T = 100-200°C) zur Verfügung stehen. Der konstruktive Aufwand von Absorptionssystemen ist deutlich höher als bei Dampf-Kompressions-Systemen. Der Aufwand ist jedoch dann gerechtfertigt, wenn günstige externe Wärmequellen zur Verfügung stehen, z.B. geothermische oder solare Wärmequellen. Ein weiterer Vorteil des Absorptionssystems besteht in der relativ geringen Geräuschentwicklung.

12.4 Luftverflüssigung (Lindeverfahren) Die Besonderheit des Verfahrens nach C. Linde zur Luftverflüssigung besteht in der Realisierung der Drosselung in Form eines Gegenströmers, wodurch erst die technische Anwendung in großem Maßstab unter wirtschaftlichen Bedingungen möglich wurde. Der prinzipielle Aufbau einer Luftverflüssigungsanlage ist in Abb. 12-7 skizziert.

Abb. 12-7: Luftverflüssigungsanlage nach Linde, [ 3]

Der gekühlte Kompressor saugt die Luft unter Umgebungsbedingungen (1) an und verdichtet sie isotherm, d.h. T1 = T2 , vom Umgebungsdruck p1 (1 bar) auf p2 (50-200 bar). Die komprimierte Luft tritt mit dem Zustand (2) in den Gegenströmer ein und gelangt zum Drosselventil. Zur Verdeutlichung des Anlagenbetriebs ist das Verfahren im T,s-Diagramm in Abb. 12-8 dargestellt. Beim Anfahren der Anlage (d.h. Anlage ist noch warm) wird die Druckluft im Drosselventil vom Zustand (2) auf den Zustand (a) gedrosselt. Die Temperatur Ta liegt nur geringfügig unter der Umgebungstemperatur T. Die gesamte Luft wird durch den Gegenstromapparat zurückgeführt, wobei die neu ankommende Druckluft vom Zustand (2)

Technische Thermodynamik Kälteanlagen 165 _________________________________________________________________________ auf (2') abgekühlt wird. Durch Drosselung der vorgekühlten Druckluft erreicht man bereits eine tiefere Temperatur Ta'. Diese entspannt Luft kühlt die neu ankommende Luft auf den Zustand (2''), wodurch sich nach der Drosselung die noch tiefere Temperatur Ta'' einstellt. Mit zunehmender Betriebsdauer wird somit hinter dem Drosselventil eine immer tiefere Temperatur erreicht. Nach einer gewissen Zeit stellt sich vor dem Drosselventil der Zustand (3) und hinter dem Drosselventil der Zustand (4) ein. Da der Zustandspunkt (4) jedoch im Zweiphasengebiet, d.h. im Sättigungsgebiet liegt, zerfällt die Luft in trocken gesättigten Dampf (4'') und in siedende flüssige Luft (4'). Diese verflüssigte Luft kann an dem Entnahme-hahn aus der Anlage entnommen werden.

Abb. 12-8: T,s-Diagramm des Linde-Verfahrens, [ 3]

In erster Näherung hat die siedende Flüssigkeit die gleiche Zusammensetzung wie das Gas im Ausgangszustand unter Umgebungsbedingungen. Bei genauerer Betrachtung zeigt sich jedoch, daß die siedende Luft einen etwas höheren Sauerstoffanteil und der gesättigte Dampf einen etwas geringeren Sauerstoffanteil als Luft unter Umgebungsbedingungen aufweist. Aus diesem Umstand läßt sich z.B. die Zerlegung von Luft in seine Bestandteile, d.h. die Gewinnung von Stickstoff, Sauerstoff und Edelgasen erreichen.

Technische Thermodynamik Literaturverzeichnis 166 _________________________________________________________________________

13 Literaturverzeichnis [ 1] Abbott M.M., Van Ness H.C.:, Theory and Problems of Thermodynamics, Schaum’s Outline Series, McGraw-Hill Bock Company 1976

[ 2] Baehr H.D.: Thermodynamik, 5. Auflage, Springer Verlag Berlin 1981

[ 3] Bosnakovic F., Knoche K.F.: Technische Thermodynamik, 7. Auflage 1988, Steinkopff Verlag Darmstadt

[ 4] Drees, H.: Kühlanlagen, 14. Auflage, VEB Verlag Technik Berlin, 1987

[ 5] Doering, E., Schedwill H., Dehli M.: Grundlagen der technischen Thermodynamik, 6. Auflage, Vieweg+Teubner, Wiesbaden 2008

[ 6] Geller W.: Thermodynamik für Maschinenbauer, Springer-Verlag Berlin 2000

[ 7] Gerthsen, Kneser, Vogel: Physik, 12. Auflage Springer Verlag Berlin 1974

[ 8] Kuchling H.: Taschenbuch der Physik, VEB Fachbuchverlag Leipzig 1981

[ 9] Lee F.J., Sears F.W.: Thermodynamics - An Introductory Text for Engineering Students, Addison-Wesley Publishing Company, Inc. Reading, Massachusetts 1963

[ 10] Mayinger F., Straub J.: Arbeitsunterlagen zu Vorlesung und Übung, Lehrstuhl A für Thermodynamik TU München, 1984

[ 11] Milton B.E.: Thermodynamics, Combustion and Engines, Chapman & Hall, London 1995

[ 12] Pippert H.: Antriebstechnik - Strömungsmaschinen für Fahrzeuge, Vogel-Verlag, Würzburg 1974

[ 13] Stan, C.: Thermodynamik des Kraftfahrzeugs, Springer-Verlag, 2004

[ 14] Stephan K., Mayinger F.: Thermodynamik, Springer-Verlag Berlin 1990

[ 15] Van Wylen G.J., Sonntag R.E.: Fundamentals of Classical Thermodynamics, 3rd Edition, John Wiley and Sons Inc., 1985

[ 16] Walker G.: Stirling -Cycle Machines, Clarendon Press, Oxford 1973

[ 17] Weast R.C., Astle M.J.: Handbook of Chemistry and Physics, 60th Edition, CRC Press Inc., Boca Raton, Florida 1979

Technische Thermodynamik Anhang 167 _________________________________________________________________________

14 Anhang Größe Einheit Zeichen Definition Länge Meter [m] Länge, die das Licht im Vakuum in 1/299792458

Sekunden durchläuft Masse Kilogramm [kg] Masse des internationalen Kilogramm-Prototyps Zeit Sekunde [s] 9192631770fache Periodendauer der dem Übergang

zwischen den beiden Hyperfeinstrukturniveaus des Grundzustandes von Atomen des Nuklids 133Cs entsprechenden Strahlung.

Elektr. Stromstärke

Ampère [A] Die Stärke eines zeitlich konstanten elektrischen Stroms, der durch zwei im Vakuum parallel, im Abstand von 1 Meter voneinander angeordnete, geralinige, unendlich lange Leiter von vernachlässigbar kleinem kreisförmigen Querschnitt fließend, zwischen diesen pro 1 Meter Leiterlänge eine elektrodynamische Kraft von 2⋅10-7 N erzeugen würde.

Temperatur Kelvin [K] Der 273.16te Teil der Temperatur des Tripelpunktes von Wasser

Lichtstärke Candela [cd] Die Lichtstärke in einer bestimmten Richtung einer Strahlungsquelle, die monochromatische Strahlung von 540⋅1012 Hz aussendet und deren Strahlstärke in dieser Richtung 1/683 Watt pro Steradiant beträgt.

Stoffmenge Mol [mol] Die Stoffmenge eines Systems, das aus ebensovielen Teilchen besteht, wie Atome in 0.012 kg des Nuklids 12C enthalten sind.

Tab. 14.1: Defintionen der SI-Basiseinheiten, [ 6]

Boltzmann-Konstante k 1.38054⋅10-23 J/K Planck-Konstante h 6.6256⋅10-34 J⋅s Stefan-Boltzmann-Konstante σ 5.6697⋅10-8 W/(K4⋅m2) Avogadro-Konstante N 6.02252⋅1023 1/mol Molare Gaskonstante R 8.3143 J/(mol⋅K) Normdruck pN 1.01325⋅105 Pa Normtemperatur TN 273.15 K Normvolumen VN 22.4136 m3/kmol Erdbeschleunigung g 9.80665 m/s2

Tab. 14.2: Physikalische Konstante, [ 17]


Gas cp [kJ/kg⋅K]

M [kg/mol]

R [kJ/kg⋅K

]

κ [ - ]

Helium He 5.2380 4.003 2.0770 1.660Argon Ar 0.5203 39.950 0.2081 1.660Wasserstoff H2 14.2000 2.016 4.1250 1.409Stickstoff N2 1.0390 28.010 0.2968 1.400Sauerstoff 02 0.9150 32.000 0.2598 1.397Luft 1.0040 28.950 0.2872 1.400Kohlenmonoxid CO 1.0400 28.010 0.2968 1.400Stickstoffmonoxid NO 0.9983 30.010 0.2771 1.384Chlorwasserstoff HCl 0.7997 36.460 0.2280 1.400Wasser H20 1.8580 18.020 0.4615 1.330Kohlendioxid CO2 0.8169 44.010 0.1889 1.301Distickstofftmonoxid N20 0.8507 44.010 0.1889 1.285Schwefeldioxid S02 0.6092 64.060 0.1298 1.271Ammoniak (R717) NH3 2.0560 17.030 0.4882 1.312Azetylen C2H2 1.5130 26.040 0.3193 1.268Methan CH4 2.1560 16.040 0.5183 1.317Methylchlorid CH3Cl 0.7369 50.490 0.1647 1.288Ethylen C2H4 1.6120 28.050 0.2964 1.225Ethan (R170) C2H6 1.7290 30.070 0.2765 1.200Ethylchlorid C2H5Cl 1.3400 64.510 0.1289 1.106Propan (R290) C2H8 1.6670 44.100 0.1896 1.128

Tab. 14.3: Stoffdaten von Gasen bei 0°C, [ 14]


spezifisches Volumen spezifische Enthalpie spezifische Entropie p ϑ v' v'' h' h'' s' s''

[bar] [°C] [m³/kg] [m³/kg] [kJ/kg] [kJ/kg] [kJ/(kg K)] [kJ/(kg K)] 0.01 6.983 0.001000 129.2 29.3 2514 0.106 8.9770.02 17.513 0.001001 67.01 73.5 2534 0.2607 8.7250.03 24.1 0.001003 45.67 101.0 2546 0.3544 8.5790.04 28.98 0.001004 34.8 121.4 2554 0.4225 8.4760.05 32.9 0.001005 28.19 137.8 2562 0.4763 8.3960.06 36.18 0.001006 23.74 151.5 2568 0.5209 8.3310.08 41.53 0.001008 18.1 173.9 2577 0.5925 8.2300.10 45.83 0.001010 14.67 191.8 2585 0.6493 8.1510.20 60.09 0.001017 7.65 251.5 2610 0.8321 7.9090.30 69.12 0.001022 5.229 289.3 2625 0.9441 7.7700.40 75.88 0.001027 3.993 317.7 2637 1.0261 7.6710.50 81.35 0.001030 3.24 340.6 2646 1.0912 7.5950.60 85.96 0.001033 2.732 359.9 2654 1.145 7.5330.70 89.95 0.001036 2.365 376.8 2660 1.192 7.4800.80 93.51 0.001039 2.087 391.7 2666 1.233 7.4350.90 96.71 0.001041 1.869 405.2 2671 1.270 7.3951.00 99.63 0.001043 1.694 417.5 2675 1.303 7.361.10 102.32 0.001046 1.549 428.8 2680 1.333 7.3281.20 104.81 0.001048 1.428 439.4 2683 1.361 7.2981.30 107.13 0.001050 1.325 449.2 2687 1.387 7.2721.40 109.32 0.001051 1.236 458.4 2690 1.411 7.2471.50 111.4 0.001053 1.159 467.1 2693 1.434 7.2231.60 113.3 0.001055 1.091 475.4 2696 1.455 7.2021.80 116.9 0.001058 0.9772 490.7 2702 1.494 7.1622.00 120.2 0.001061 0.8854 504.7 2706 1.530 7.1272.20 123.3 0.001064 0.8098 517.6 2711 1.563 7.0952.40 126.1 0.001067 0.7465 529.6 2715 1.593 7.0662.60 128.7 0.001069 0.6925 540.9 2718 1.621 7.0392.80 131.2 0.001072 0.646 551.4 2722 1.647 7.0143.00 133.5 0.001074 0.6056 561.4 2725 1.672 6.9913.20 135.8 0.001076 0.57 570.9 2728 1.695 6.9693.40 137.9 0.001078 0.5385 579.9 2730 1.717 6.9493.60 139.9 0.001080 0.5103 588.5 2733 1.738 6.933.80 141.8 0.001082 0.4851 596.8 2735 1.757 6.912

4 143.6 0.001084 0.4622 604.7 2738 1.776 6.8944.5 147.9 0.001088 0.4138 623.2 2743 1.82 6.855

5 151.8 0.001093 0.3747 640.1 2748 1.86 6.8196 158.8 0.001101 0.3155 670.4 2756 1.931 6.7597 165 0.001108 0.2727 697.1 2762 1.992 6.7058 170.4 0.001115 0.2403 720.9 2768 2.046 6.6599 175.4 0.001121 0.2148 742.6 2772 2.094 6.62

10 179.9 0.001127 0.1943 762.6 2776 2.138 6.58311 184.1 0.001133 0.1774 781.1 2780 2.179 6.55012 188 0.001139 0.1632 798.4 2783 2.216 6.51913 191.6 0.001144 0.1511 814.7 2785 2.251 6.49114 195 0.001149 0.1407 830.1 2788 2.284 6.46515 198.3 0.001154 0.1317 844.7 2790 2.315 6.44116 201.4 0.001159 0.1237 858.6 2792 2.344 6.41817 204.3 0.001164 0.1166 871.8 2793 2.371 6.39618 207.1 0.001168 0.1103 884.6 2795 2.398 6.37519 209.8 9.001173 0.1047 896.8 2796 2.423 6.35520 212.4 0.001177 0.09954 908.6 2797 2.447 6.33722 217.2 0.001185 0.09065 931 2799 2.492 6.302

Tab. 14.4: Sättigungsdampftafel für Wasser (Drucktafel), [ 14]


spezifisches Volumen spezifische Enthalpie spezifische Entropie p ϑ v' v'' h' h'' s' s''

[bar] [°C] [m³/kg] [m³/kg] [kJ/kg] [kJ/kg] [kJ/(kg K)] [kJ/(kg K)] 24 221.8 0.001193 0.0832 951.9 2800 2.534 6.26926 226 0.001201 0.07686 971.7 2801 2.574 6.23928 230.1 0.001209 0.07139 990.5 2802 2.611 6.2130 233.8 0.001216 0.06663 1008.4 2802 2.646 6.18432 237.5 0.001223 0.06244 1025.4 2802 2.679 6.15934 240.9 0.001230 0.05873 1041.8 2802 2.71 6.13436 244.2 0.001237 0.05541 1057.6 2802 2.74 6.11238 247.3 0.001245 0.05244 1072.7 2801 2.769 6.0940 250.3 0.001252 0.04975 1087.4 2800 2.797 6.06942 253.2 0.001259 0.04731 1102 2799 2.823 6.04844 256.1 0.001266 0.04508 1115 2798 2.849 6.02946 258.8 0.001273 0.04304 1129 2797 2.874 6.0148 261.4 0.001280 0.04116 1142 2796 2.897 5.99150 263.9 0.001286 0.03943 1155 2794 2.921 5.97455 269.9 0.001303 0.03563 1185 2790 2.976 5.93160 275.6 0.001319 0.03244 1214 2785 3.027 5.89165 280.8 0.001335 0.02972 1241 2780 3.076 5.85370 285.8 0.001351 0.02737 1267 2774 3.122 5.81675 290.5 0.001368 0.02533 1293 2767 3.166 5.78180 295 0.001384 0.02353 1317 2760 3.208 5.74785 299.2 0.001401 0.02193 1341 2753 3.248 5.71490 303.3 0.001418 0.0205 1364 2745 3.287 5.68295 307.2 0.001436 0.01921 1386 2736 3.324 5.651

100 311 0.001453 0.01804 1408 2728 3.361 5.62110 318.1 0.001489 0.01601 1451 2709 3.43 5.56120 324.7 0.001527 0.01428 1492 2689 3.497 5.5130 330.8 0.001567 0.0128 1532 2667 3.562 5.441140 336.6 0.001611 0.0115 1572 2642 3.624 5.38150 342.1 0.001658 0.01034 1611 2615 3.686 5.318160 347.3 0.001710 0.009308 1651 2585 3.747 5.253180 357 0.001840 0.007498 1735 2514 3.877 5.113200 365.7 0.002037 0.005877 1827 2418 4.015 4.941220 373.7 0.002671 0.003728 2011 2196 4.295 4.58

221.2 374.2 0.00317 0.00317 2107 2107 4.443 4.443Sättigungsdampftafel für Wasser (Drucktafel) - Fortsetzung


spezifisches Volumen spezifische Enthalpie spezifische Entropie ϑ p v' v'' h' h'' s' s''

[°C] [bar] [dm³/kg] [m³/kg] [kJ/kg] [kJ/kg] [kJ/(kg K)] [kJ/(kg K)] 0.0 0.006108 1.0002 206.3 -0.04 2502 -0.0002 9.158

5 0.008718 1.0000 147.2 21.01 2511 0.0762 9.02710 0.01227 1.0003 106.4 41.99 2520 0.151 8.90215 0.01704 1.0008 77.98 62.94 2529 0.2243 8.78320 0.02337 1.0017 57.84 83.86 2538 0.2963 8.66825 0.03166 1.0029 43.4 104.77 2547 0.367 8.55930 0.04241 1.0043 32.93 125.7 2556 0.4365 8.45535 0.05622 1.006 25.24 146.6 2565 0.5049 8.35440 0.07375 1.0078 19.55 167.5 2574 0.5721 8.25845 0.09582 1.0099 15.28 188.4 2583 0.6383 8.16650 0.1234 1.0121 12.05 209.3 2592 0.7035 8.07855 0.1574 1.0145 9.579 230.2 2601 0.7677 7.99360 0.1992 1.0171 7.679 251.1 2610 0.831 7.91165 0.2501 1.0199 6.202 272.0 2618 0.8933 7.83270 0.3116 1.0228 5.046 293.0 2627 0.9548 7.75775 0.3855 1.0259 4.134 313.9 2635 1.0154 7.68480 0.4736 1.0292 3.409 334.9 2644 1.0753 7.61385 0.578 1.0326 2.829 355.9 2652 1.134 7.54590 0.7011 1.0361 2.361 376.9 2660 1.193 7.4895 0.8453 1.0399 1.982 398.0 2668 1.25 7.417

100 1.0133 1.0437 1.673 419.1 2676 1.307 7.355105 1.208 1.0477 1.419 440.2 2684 1.363 7.296110 1.433 1.0519 1.21 461.3 2691 1.419 7.239115 1.691 1.0562 1.036 482.5 2699 1.473 7.183120 1.985 1.0606 0.8915 503.7 2706 1.528 7.129125 2.321 1.0652 0.7702 525.0 2713 1.581 7.077130 2.701 1.0700 0.6681 546.3 2720 1.634 7.026135 3.131 1.075o 0.5818 567.7 2727 1.687 6.977140 3.614 1.0801 0.5085 589.1 2733 1.739 6.928145 4.155 1.0853 0.446 610.6 2739 1.791 6.882150 4.76 1.0908 0.3924 632.2 2745 1.842 6.836155 5.433 1.0964 0.3464 653.8 2751 1.892 6.791160 6.181 1.1022 0.3068 675.5 2757 1.943 6.748165 7.008 1.1082 0.2724 697.3 2762 1.992 6.705170 7.92 1.1145 0.2426 719.1 2767 2.042 6.663175 8.924 1.1209 0.2165 741.1 2772 2.091 6.622180 10.027 1.1275 0.1938 763.1 2776 2.139 6.582185 11.23 1.1344 0.1739 785.3 2780 2.188 6.542190 12.55 1.1415 0.1563 807.5 2784 2.236 6.504195 13.99 1.1489 0.1408 829.9 2788 2.283 6.465200 15.55 1.1565 0.1272 852.4 2791 2.331 6.428205 17.24 1.1644 0.115 875.0 2794 2.378 6.391210 19.08 1.1726 0.1042 897.7 2796 2.425 6.354215 21.06 1.1811 0.09463 920.6 2798 2.471 6.318220 23.2 1.1900 0.08604 943.7 2800 2.518 6.282225 25.5 1.1992 0.07835 966.9 2801 2.564 6.246230 27.98 1.2087 0.07145 990.3 2802 2.610 6.211235 30.63 1.2187 0.06525 1013.8 2802 2.656 6.176240 33.48 1.2291 0.05965 1037.6 2802 2.702 6.141245 36.52 1.2399 0.05461 1061.6 2802 2.748 6.106250 39.78 1.2513 0.05004 1085 2800 2.794 6.071255 43.25 1.2632 0.0459 1110 2799 2.839 6.036260 46.94 1.2756 0.04213 1135 2796 2.885 6.001

Tab. 14.5: Sättigungsdampftafel für Wasser (Temperaturtafel), [ 14]



[°C] [bar] [dm³/kg] [m³/kg] [kJ/kg] [kJ/kg] [kJ/(kg K)] [kJ/(kg K)] 265 50.88 1.2887 0.03871 1160 2794 2.931 5.966270 55.06 1.3025 0.03559 1185 2790 2.976 5.93275 59.5 1.3170 0.03274 1211 2786 3.022 5.895280 64.2 1.3324 0.03013 1237 2780 3.068 5.859285 69.19 1.3487 0.02773 1263 2775 3.115 5.822290 74.46 1.3659 0.02554 1290 2768 3.161 5.785295 80.04 1.3844 0.02351 1317 2760 3.208 5.747300 85.93 1.4041 0.02165 1345 2751 3.255 5.708305 92.14 1.4252 0.01993 1373 2741 3.303 5.669310 98.7 1.4480 0.01833 1402 2730 3.351 5.628315 105.61 1.4726 0.01686 1432 2718 3.400 5.586320 112.9 1.4995 0.01548 1463 2704 3.450 5.542325 120.6 1.5289 0.01419 11494 2688 3.501 5.497330 128.6 1.5615 0.01299 1527 2670 3.553 5.449335 137.1 1.5978 0.01185 1560 2650 3.606 5.398340 146.1 1.6387 0.01078 1596 2626 3.662 5.343345 155.5 1.6858 0.009763 1633 2599 3.719 5.283350 165.4 1.7411 0.008799 1672 2568 3.780 5.218355 175.8 1.8085 0.007859 1717 2530 3.849 5.144360 186.8 1.8959 0.00694 1764 2485 3.921 5.06365 198.3 2.016 0.006012 1818 2428 4.002 4.958370 210.5 2.2136 0.004973 1890 2343 4.111 4.814371 213.1 2.2778 0.004723 1911 2318 4.141 4.774372 215.6 2.3636 0.004439 1936 2287 4.179 4.724373 218.2 2.4963 0.004084 1971 2244 4.233 4.656374 220.8 2.8407 0.003458 2046 2155 4.349 4.517

374.15 221.2 3.17 0.00317 2107 2107 4.443 4.443Sättigungsdampftafel für Wasser (Temperaturtafel) Fortsetzung



[°C] [bar] [dm³/kg] [m³/kg] [kJ/kg] [kJ/kg] [kJ/(kg K)] [kJ/(kg K)] -80 0.0503 1.357 18.67 -153.7 1338 -0.527 7.195-75 0.075 1.368 12.83 -132.2 1347 -0.417 7.048-70 0.1094 1.378 9.01 -110.7 1356 -0.31 6.911-65 0.1563 1.389 6.449 -89.12 1365 -0.205 6.782-60 0.219 1.401 4.702 -67.43 1374 -0.102 6.661-55 0.3015 1.412 3.486 -45.66 1383 -0.001 6.547-50 0.4085 1.424 2.625 -23.8 1391 0.0979 6.439-45 0.545 1.436 2.004 -1.85 1399 0.1951 6.337-40 0.7171 1.449 1.551 20.19 1407 0.2906 6.24-35 0.9312 1.462 1.215 42.33 1415 0.3844 6.149-30 1.195 1.475 0.9626 64.56 1423 0.4767 6.062-25 1.515 1.489 0.7705 86.9 1430 0.5674 5.979-20 1.901 1.504 0.6228 109.3 1437 0.6567 5.9-15 2.362 1.518 0.5079 131.9 1443 0.7445 5.824-10 2.908 1.534 0.4177 154.5 1449 0.831 5.752-5 3.548 1.549 0.3462 177.2 1455 0.9161 5.6830 4.294 1.566 0.289 200.00 1461 1.0000 5.6165 5.158 1.583 0.2428 222.9 1466 1.083 5.552

10 6.15 1.601 0.2053 245.9 1471 1.164 5.48915 7.284 1.619 0.1746 269.00 1475 1.244 5.42920 8.573 1.639 0.1494 291.4 1479 1.321 5.37225 10.03 1.659 0.1284 314.9 1482 1.399 5.31530 11.67 1.68 0.1108 338.5 1485 1.477 5.2635 13.5 1.702 0.09596 362.3 1488 1.554 5.20640 15.55 1.726 0.08347 386.3 1490 1.63 5.15445 17.82 1.75 0.07285 410.5 1491 1.705 5.10250 20.33 1.777 0.06378 434.9 1492 1.78 5.05155 23.1 1.805 0.05607 458.6 1492 1.851 5.00260 26.14 1.834 0.04933 483.9 1492 1.926 4.95265 29.48 1.866 0.04349 509.6 1490 2.001 4.90270 33.12 1.9 0.03841 535.7 1488 2.076 4.85275 37.08 1.937 0.03398 562.3 1485 2.15 4.80280 41.4 1.978 0.03011 588.8 1482 2.224 4.75285 46.08 2.022 0.02665 617.1 1476 2.301 4.69990 51.14 2.071 0.02359 646.3 1470 2.379 4.64695 56.62 2.126 0.02086 676.6 1461 2.458 4.59

100 62.52 2.189 0.01842 708.2 1451 2.54 4.532105 68.89 2.262 0.0162 742.0 1439 2.626 4.469110 75.74 2.348 0.01418 778.2 1423 2.718 4.400115 83.12 2.455 0.01229 818.1 1403 2.816 4.322120 91.07 2.594 0.0105 863.5 1376 2.927 4.23125 99.62 2.796 0.008703 918.6 1337 3.061 4.111130 108.9 3.186 0.006586 999.2 1264 3.255 3.911

132.4 113.5 4.227 0.004227 1119.0 1119 3.547 3.547Tab. 14.6: Sättigungsdampftafel Ammoniak, [ 6]


Mittlere spezifische isobare Wärmekapazität

ϑ

0pc in [kJ/(kg⋅K)]

ϑ [°C] Luft N2* N2 O2 CO2 H2O SO2

-60 1.0030 1.0303 1.0392 0.9123 0.7831 1.8549 0.5915-40 1.0032 1.0304 1.0392 0.9130 0.7943 1.8561 0.5971-20 1.0034 1.0304 1.0393 0.9138 0.8055 1.8574 0.6026

0 1.0037 1.0305 1.0394 0.9148 0.8165 1.8591 0.608320 1.0041 1.0306 1.0395 0.9160 0.8273 1.8611 0.613940 1.0046 1.0308 1.0396 0.9175 0.8378 1.8634 0.619660 1.0051 1.0310 1.0398 0.9191 0.8481 1.8660 0.625280 1.0057 1.0313 1.0401 0.9210 0.8580 1.8690 0.6309

100 1.0065 1.0316 1.0404 0.9230 0.8677 1.8724 0.6365120 1.0074 1.0320 1.0408 0.9252 0.8771 1.8760 0.6420140 1.0082 1.0325 1.0413 0.9276 0.8863 1.8799 0.6475160 1.0093 1.0331 1.0419 0.9301 0.8952 1.8841 0.6529180 1.0104 1.0338 1.0426 0.9327 0.9038 1.8885 0.6582200 1.0117 1.1035 1.0434 0.9355 0.9122 1.8931 0.6634250 1.0152 1.0370 1.0459 0.9426 0.9322 1.9054 0.6759300 1.0192 1.0401 1.0490 0.9500 0.9509 1.9185 0.6877350 1.0237 1.0437 1.0526 0.9575 0.9685 1.9323 0.6987400 1.0286 1.0477 1.0568 0.9649 0.9850 1.9467 0.7090450 1.0337 1.0522 1.0613 0.9722 1.0005 1.9615 0.7185500 1.0389 1.0569 1.0661 0.9792 1.0152 1.9767 0.7274550 1.0443 1.0619 1.0712 0.9860 1.0291 1.9923 0.7356600 1.0498 1.0670 1.0764 0.9925 1.0422 2.0082 0.7433650 1.0552 1.0722 1.0816 0.9988 1.0546 2.0244 0.7505700 1.0606 1.0775 1.0870 1.0047 1.0664 2.0408 0.7571750 1.0660 1.0827 1.0923 1.0104 1.0775 2.0574 0.7633800 1.0712 1.0879 1.0976 1.0158 1.0881 2.0741 0.7692850 1.0764 1.0930 1.1028 1.0209 1.0981 2.0909 0.7746900 1.0814 1.0981 1.1079 1.0258 1.1076 2.1077 0.7797950 1.0863 1.1030 1.1130 1.0305 1.1167 2.1246 0.7846

1000 1.0910 1.1079 1.1179 1.0350 1.1253 2.1414 0.78911050 1.0956 1.1126 1.1227 1.0393 1.1335 2.1582 0.79341100 1.1001 1.1172 1.1274 1.0434 1.1414 2.1749 0.79741150 1.1045 1.1217 1.1319 1.0474 1.1489 2.1914 0.80131200 1.1087 1.1260 1.1363 1.0512 1.1560 2.2078 0.80491250 1.1128 1.1302 1.1406 1.0548 1.1628 2.224 0.80841300 1.1168 1.1343 1.1448 1.0584 1.1693 2.24 0.81171400 1.1243 1.1422 1.1528 1.0651 1.1816 2.2714 0.81781500 1.1315 1.1495 1.1602 1.0715 1.1928 2.3017 0.82341600 1.1382 1.1564 1.1673 1.0775 1.2032 2.3311 0.82861700 1.1445 1.1629 1.1739 1.0833 1.2128 2.3594 0.83331800 1.1505 1.1690 1.1801 1.0888 1.2217 2.3866 0.83771900 1.1561 1.1748 1.1859 1.0941 1.2300 2.4127 0.84192000 1.1615 1.1802 1.1914 1.0993 1.2377 2.4379 0.84572100 1.1666 1.1853 1.1966 1.1043 1.2449 2.462 0.8493

Tab. 14.7: Mittlere spezifische isobare Wärmekapazität idealer Gase, [ 2] N2* ist das Gemisch aus Stickstoff und den in der Luft enthaltenen Spurengasen (Luftstickstoff)


Stoff ϑ ρ cp λ 106⋅a λρ ⋅⋅ pc

Metalle und Legierungen

[ ]C° ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡3m

kg ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅ Kkg

kJ

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⋅mKW

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

sm2

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⋅

⋅2mKsW

Aluminium 99.99% 20 2700 0.945 238.4 93.27 24663Antimon 0 6690 0.209 230.23 164.5 1794.1Beryllium (gesintert) 20 1877 1.779 154.88 46.41 22741Blei 20 11341 0.131 35.25 23.55 7236Bronze (6Sn, 9Zn, 84Cu, 1Pb) 20 8800 0.377 61.7 18.6 14307Chrom 20 6900 0.457 69.07 21.88 14757Duraluminium (94-96Al 3-5Cu 0.5Vg) 20 2700 0.912 165 67.0 20156Cr-Ni-Stahl (X 12CrN 18.8) 20 7800 0.502 14.65 3157 7573Cr-AI-Stahl (X 10Cr Al 24) hitzebeständig

20 7600 0.50 16.74 4.41 7975

V2A-Stahl vergütet 20 8000 0.477 15 3.93 7565Cr-Stahl ( X 8Cr 17) rost- und säurebeständig

20 7700 0.46 25.11 7.09 9430

Kesselblech HIII 20 7900 0.47 52.3 14.1 13935Gold (rein) 20 19290 0.128 295.11 119.46 26993Iridium 20 22400 0.133 146.51 49.0 20892Kadmium 100 8640 0.246 94.19 44.22 14149Kalium 20 860 0.766 196.30 297.5 11371Kobalt 26 8780 0.427 69.06 18.27 16090Konstantan (Cu Ni 44) 20 8900 0.410 22.6 6.03 9081Kupfer (rein) 20 8960 0.385 393.9 114.21 36861Kupfer (Handelsware) 20 8300 0.419 372 107 35968Magnesium 20 1740 1.046 159.07 87.36 17015Mangan (α-Mn) 20 7430 0.477 20.93 5.64 8612Mangenin (84 Cu, 4 Ni, 12 Mn) 20 8400 0.406 21.86 6.33 8634Messing (MS58) 20 8440 0.376 113.02 35.29 18938Messing (MS 60) 20 8400 0.376 113.02 35.77 18893Molybdän 20 10200 0.272 146.51 53.2 20161Monel 505 20-100 8360 0.544 19.67 4.18 9458Natrium 20 970 1.234 133.9 111.11 12660Nickel 98.7% 0 8847 0.418 69.06 la.67 15980

Niob 20 8570 0.267 52.33 22.72 10942Palladium 20 11970 0.242 71.16 24.51 14357Palladium (sehr rein) 20 21500 0.133 71.16 24.82 14264Rhenium 20 21020 0.138 48.14 16.54 11817Rhodium 20 125000 0.246 150.7 48.78 21526Silber 20 10497 0.234 407.72 165.69 31646Tantal 20 16500 0.142 54.4 23.2 11289Titan 20 4505 0.522 15.49 6.38 6035Uran 238, gesintert 99.9% 500 18000 0.174 30.3 9.67 9741UO2 600 11000 0.313 4.18 1.21 3793UO2 1400 10900 0.339 2.3 0.62 2915UO2 1000 10960 0.326 3.05 0.85 3301Vanadin 0-100 6120 0.498 -30.97 10.16 9715Wismut 20-100 9798 0.125 7.62 5.72 3054Wolfram 20 19000 0.138 129.76 49.2 18445Wood'sche Legierung 50Zn, 25Pb, 12.5Cd, 12.5Se

20 1056 0.1473 12.77 82.0 1407

Zink 20 7130 0.385 113.02 41.16 17.603Tab. 14.8: Stoffwerte von Feststoffen, [ 10]


ϑ ρ cp λ 106⋅a λρ ⋅⋅ pc Stoff

[ ]C° ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡3m

kg ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅ Kkg

kJ

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⋅mKW

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

sm2

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⋅

⋅2mKsW

Metalle und Legierungen Zinn (weißes β-Zinn) 20 7290 0.221 62.79 39.1 10057Zirkonium 20-125 6490 0.290 16.74 8.83 5613 Bau- und Isolierstoffe Kiesbeton (lufttrocken) 20 2200 0.879 1.279 0.661 1572Mörtel 20 1900 0.8 0.93 0.612 1189Ziegelmauerwerk (lufttrocken) 20 1400 -

18000.836 0.58-0.81 0.495-

0.538 823.9-1104

Verputz 20 1690 0.8 0.793 0.586 1035Asphalt 20 2120 0.92 0.70 0.358 1168Asbestplatten 20 2000 0.79 0.7 0.443 1051Ziegelstein (trocken) 20 1600-

18000.84 0.38-052 0.28-

0.34 714-886

Gips 20 1000 1.09 0.51 0.468 745Buche (längs der Faser, 20% H2o) 30 700 2.021 0.35 0.247 703.6Kork (roh) 0 240 1.67-

2.090.16-0.30 0.399-

0.598 253.2-387.9

Zement (Portland, trocken) 20 3100 0.75 0.298 0.12 845Eiche (radial) 20 600-

8002.39 0.17-0.25 0.11-

0.13 493-691

Tanne (Fichte, radial) 20 410-420

2.72 0.14 0.12 395

Asbestpappe 30 770 0.815 0.116 0.184 269.8Asbestfaser 50 470 0.815 0.11 0.287 205.3Schlackenwolle 25 200 0.8 0.05 0.312 89.4Mineralwolle 50 200 0.92 0.046 0.250 92KorkpIatten 30 190 1.88 0.041 0.114 121.0Glaswolle 0 200 0.66 0.037 0.280 69.88Mineralien und Gläser Erdreich (grobkiesig) 20 2040 1.84 0159 0.157 1488Schamottesteine 100 1700-

20000.84 0.5-1.2 0.33-

0.69 844-1419

Tonboden 20 1450 0.88 1.28 1.0 1277Quarz 20 2100-

25000.78 1.40 0.717-

0.854 1514

SiC-Steine (85% SiC) 700 2720 1.05 1.56 0.564 2110Schiefer (senkrecht zur Schichtung) 20 2700 0.75 1.83 0.903 1925Sandstein 20 2150-

23000.71 1.6-2.1 1.0-1.3 1562-1851

Kalkstein (CaCO3, Kreide) 20 2000-3000

0.741 2.2 0.989-1.48

1805-2211

Marmor 20 2500-2700

0.808 2.8 1.28-1.38

2378-2471

Granit 20 2750 0.892 2.9 1.18 2667Schiefer (parallel zur Schichtung) 20 2700 0175 2.9 1.43 2423Steinsalz 0 2100-

25000.917 6.98 3.46-

3.62 3666-4000

Spiegelglas 20 2700 0.8 0.76 0.35 '1281Bleiglas 20 2890 0.679 0.70-0.93 0.347-

0.461 1172-1350

Stoffwerte von Feststoffen - Fortsetzung



[ ]C° ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡3m

kg ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅ Kkg

kJ

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⋅mKW

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

sm2

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⋅

⋅2mKsW

Mineralien und Gläser Thermometerglas (Jena 16III)

20 2580 0.779 0.965 0.480 1392

Pyrexglas 20 2240 0.774 1.058 0.610 1354Fensterglas 20 2480 0.70-

0.931.163 0.504-

0.669 1420-1673

Quarzglas 20 2210 0.728 1.395 0.867 1498 Kunststoffe

Aminoplaste 20 1500 1.67 0.348 0.138 933Polyäthylen (Lupolen) 20 920 2.3 0.348 0.164 858Polyurethan 20 1200 2.09 0.324 0.129 901Polyamide 20 1130 2.3 0.278-

0.30 0.106-0.115

850-883

Polyvinylcarbazol (Luvican) 20 1190 1.25 0.255 0.171 615Bakelit 20 1270 1.59 0.233 0.11 685Buna 20 1150 1.967 0.23 0.101 721Zelluloid 20 1380 1.67 0.23 0.099 722Polytetrafluoräthyylen (Teflon) 20 2200 1.04 0.23 0.1 725Gummi (weich) 20 1100 1.67 0.16-0.23 0.087-

0.125 542-650

Palatal (ungesättigte Polyesterharze) 20 1100 1.75 0.185 0.096 596Acrylglas (Plexiglas) 20 1180 1.44 0.184 0.108 559Phenolgießharze 20 1330 1.46 0.174 0.089 581Vulkanfiber 20 1100 1.67 0.174 0.07 565Hartgummi (Ebonit) 20 1150 1.42 0.16 0.098 511Polyvinylchlorid (PVC) 20 1380 0.96 0.15 0.113 445Polystyrol 20 1050 1.25 0.139 0.105 427Anilinpreßharz 20 1200 1.67 0.116 0.058 482Schaumgummi 20 400-

5001.67 0.07-0.92 0.104-

0.112 216-277

Iporka - Schaumstoffe 20 5-15 1.37 0.031-0.042

2.04-4.52

14.6-29.4

Styropor - Schaumstoffe 20 15-100 1.25 0.029-0.045

0.36-1.54

23.3-75

Verschiedene Stoffe

Wolle 20 100 1.72 0.036 0.209 78.7Rohseide 35 100 1.33 0.049 0.368 80.7Baumwolle 30 81 1.15 0.059 0.633 74.1Baurinde 25 337 1.26 0.074 0.174 177Kohlenstaub 30 730 1.3 0.12 0.13 337Papier (gewöhnlich) 20 700 1.2 0.12 0.142 317Leder (trocken) 20 860 1.49 0.12-0.15 0.09-

0.12 392-438

Fett 20 910-960

1.93 0.17 0.09-0.096

546-561

Steinkohle 20 1200-1500

1.26 0.26 0.1-0.2 626-700

Schwefel 20 2070 0.723 0.265 0.177 629Stoffwerte von Feststoffen - Fortsetzung



[ ]C° ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡3m

kg ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅ Kkg

kJ

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⋅mKW

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

sm2

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⋅

⋅2mKsW

Verschiedene Stoffe Paraffin 30 870-

9252.9 0.24-0.27 0.09-

0.10 778-851

Schnee 0 560 2.09 o.464 0.396 730Zucker (fein) 0 1600 1.25 0.58 0.290 1077Hochafenschlacke 20 2500-

30000.836 0.57 0.227-

0.274 1091-1195

Porzellan 95 2400 1.08 1.03 0.397 1633Ton (wenig Sand, 49% feucht) 20 1450 0.88 1.28 1.0 1277Eis 0 917 1.93 2.2 1.243 1973Carborund SiC 100 1500 0.62 58.20 62.58 7357Graphit (fest, Natur) 20 2000-

25000.6094 155 101.7-

127 13740-15361

Stoffwerte von Feststoffen - Fortsetzung


Stoff ϑ ρ cp λ 103⋅α 106⋅η 106⋅ν 106⋅a Verschiedene Flüssigkeiten [ ]C°

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡3m

kg ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅ Kkg

kJ

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⋅mKW

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

K1

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ⋅2msN

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

sm2

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

sm2

Ammoniak (NH3) 20 610 4.77 0.494 2.44 220 0.361 0.17Frigen 22 (CHF2Cl), Ps=5.0 bar 0 1285 1.18 0.098 242.9 0.189 0.06Frigen 12 (CF2Cl2), Ps=3.08 bar 20 1394 0.934 0.084 292.62 0.209 0.064Aceton (C3H6O) 20 790.4 2.21 0.180 1.43 322 0.407 0.103Frigen 13 (CF3Cl), Ps=19.7 bar 20 1119 1.21 0.058 220 0.193 0.042Chloroform (CHCl3) 20 1489 0.979 0.121 1.26 570 0.383 0.085Frigen 11 (CFCl3) ), Ps=0.402 bar

20 1534 0.879 0.098 541.5 0.353 0.073

Frigen 114 (CF2Cl.CF2Cl), Ps=0.86 bar

0 1530 0.94 0.076 470.3 0.307 0.053

Wasser 20 998.2 4.183 0.598 0.20 1002 1.006 0.142Toluol (C6H5CH3) 20 866 1.70 0.140 1.08 586 0.676 0.095Benzol (C6H6) 20 879.1 1.738 0.154 1.06 650 0.740 0.1Tetrachlorkohlenstoff (CCI4) 20 1595 0.841 0.105 1.22 970 0.608 0.077Frigen 113 (C2F3Cl3), Ps=0.15 bar

0 1621 0.909 0.080 928.8 0.573 0.054

Äthylalkohol 20 789.2 2.432 0.180 1.1 1190 1.508 10.092Terpentin 0 860 1.719 0.14 0.90 1460 1.69 0.094Äthylenglykol C2H4(OH)2 20 1113 0.382 0.250 0.64 21317 19.15 0.094Äthylenglykol C2H4(OH)2 100 1056 2.742 0.263 0.67 2403 2.27 0.091Spindelöl 60 845 2.02 0.142 0.75 4179 4.94 0.083Schwefelsäure, (H2S04) 10 1834 1.414 0.544 0.57 27000 14.7 0.215Diphyl (73.5 Diphenyloxid, 26.5 Diphenyl)

20 1061.5 1.59 0.140 5835.2 5.5 0.080

Sole (20% MgCl2) -20 1184 2.99 0.392 1.0 12959 10.94 0.11Paraffin (liquid) 20 870-

9302.13 0.26 0.76 12800 14.22 0.135

Transformator-Öl 60 842 2.09 0.122 0.70 7318 8.7 0.069Glycerin C3H5(OH)3 20 1260.4 2.43 0.27 0.49 14990 11.89 0.0916Olivenöl 60 920 1.97 0.16 0.68 80800 87.82 0.088Flugmotorenöl (Rotring) 60 868 2.01 0.141 0.70 71240 81.89 0.081Siliconöl, AK250 25 970 1.465 0.168 242500 250 0.118 Flüssige Metalle und Legierungen

Kallium 200 795 0.791 45.82 0.29 341.7 0.429 72.86Rubidium 0.39 1475 0.382 21.57 484.4 0.328 38.3Caesium 28.5 1840 0.251 13.57 475.3 d.258 29.4Natrium 100 927 1.385 85.84 0.280 705 0.760 66.85Zinn 300 6940 0.255 31.55 0.100 1672 0.241 17.52Wismut 300 10030 0.150 14.61 1662 0.!66 9.71Na-K-Legierung, 22% Na 100 847 0.941 23.2 529 0.624 29.1Blei 400 10590 0.147 15.08 0.120 2116 0.199 9.69Quecksilber 20 13550 0.139 8.02 0.181 1550 0.114 4.25Blei-Wismut Legierung 44.5% Pb

200 10486 0.146 11.71 2548 0.243 7.6

Lithium 200 515 4.14 45.93 0.18 569.4 1.10 21.51Tab. 14.9: Stoffwerte von Flüssigkeiten, [ 10]


Gase ϑ ρ cp λ 106⋅η 106⋅ν 106⋅a Reine anorganische Gase (Dämpfe)

[ ]C° ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡3m

kg ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅ Kkg

kJ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⋅mKW

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ⋅2msN

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

sm2

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

sm2

Ammoniak (NH3) 100 0.551 2.232 0.030 13.0 23.6 24.9Argon 0 1.78 0.524 0.018 22.2 16.1 24.8Chlor 0 3.22 0.502 0.008 12.3 3.82 4.96Kohlendioxid (CO2) 50 1.648 0.875 0.0178 16.2 9.8 12.6Helium 20 0.1785 5.238 0.1436 18.6 104.2 Kohlenmonoxid (CO) 0 1.250 1.051 0.022 16.6 13.28 16.74Luft (760 mbar) 20 1.2045 1.005 0.0257 18.2 15.11 21.19Neon 0 0.90 1.03 0.046 29.8 33.5 50.2Sauerstoff (O2) 0 1.428 0.915 0.026 20.3 18.4 25.7Schwefeldioxid (S02) 0 2.139 0.624 0.0084 11.6 4.0 4.76Stickstoff (N2) 0 1.25 1.042 0.024 16 6 13.26Stickstoffoxyd (NO) 0 1.34 1.009 0.023 17.9 13.38 17.3Wasserdampf 100 0.589 2.135 0.029 12.85 21.7 19.61Wasserstoff (H2) 50 0.075 14.36 0.202 9.42 126 191 Reine organische Gase (Dämpfe)

Aceton (C3H6O) 0 0.792 1.45 0.0096 6.6 8.33 8.36Acetylen (C2H2) 0 1.17 1.641 0.018 9.6 8.2 9.38Äthan 0 2.05 1.667 0.018 8.6 4.19 5.27Benzol (C6H6) 20 4.0 1.09 0.01 7.4 1.85 2.29Chloroform (CHCl3) 0 5.28 0.607 0.007 10 2.45 2.82Frigene (bei Sättigungsdruck) Frigen 11 (CFCl3) 0 2.481 0.549 0.0077 10.2 4.1 6.0 Frigen 12 (CF2Cl2) 0 17.65 0.547 0.0097 11.9 o.68 0.99 Frigen 13 (CF3Cl) 0 134 0.620 0.0115 13.6 0.1 0.16 Frigen 22 (CHF2Cl) 0 21.45 0.587 0.0107 12.0 0.56 0.8 Frigen 114 (CF2Cl. CF2Cl) 20 9.59 0.653 0.0109 11.2 1.17 2.5Methan (CH4) 20 0.55 2.25 0.033 10.8 19.47 26.67Tab. 14.10: Stoffwerte von Gasen, [ 10]


Abb. 14-1: h,x -Diagramm von feuchter Luft

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Skript zur Vorlesung - hakenesch.userweb.mwn.dehakenesch.userweb.mwn.de/thermodynamik/skript_thermo.pdf · Abb. 10-5: Schema einer geschlossenen Gasturbinenanlage, ... Arbeitsprinzip