I N G E N I E U R - A R C H I V Vii. BAND 5. HEFT 1936

Spannungsoptische Untersuchung ebener Schwingungsvorgfinge. Von Hans Meyer in Ztirich.

!. Einleitung. Wir besitzen bekanntlich in den photoelastischen Methoden ein Mittel zur Be-

stimmung ebener Spannungszust~inde. Da nun in der Technik den Schwingungs- pr(lblemen stets gr6flere Bedeutung zukommt, stellten wir uns die Aufgabe, die photo- elastische Methode ftir den Modellversuch yon schwingenden Teilen, insbesondere z.B. von Biegungssehwingungen eingespannter St~be, auszubauen. Damit muflten nieht nur versuehstechniseh neue Wege begangen werden, sondern es war auch vom theoretischen Standpunkte aus grundstLtzlich zu klfiren, inwieweit im dynamisehen Falle noch elastisehe _~hnliehkeitsgesetze existieren.

Die Arbeiten, tiber die irn folgenden berichtet werden soil, wurden in dem mit Unterstiitzung der Schweizerischen Volkswirtsehaftsstiftung eingerichteten photo- elastischen Laboratorium der Eidgen6ssischen Technischen Hochschule Ziirich aus- gefiihrt 1.

I!. Methodischer Tell. I. Anforderungen an die Methode. An die zu entwickelnde Methode stellen wir folgende

Anforderu ngen: a) Sie sell ermOglichen, sowohl die Riehtungen der Hauptspannungen, die Haupt-

spannungsdifferenz (e I -- e2), wie auch die Hauptspannungen einzeln zu bestimmen, und zwar naeh dem dureh die erreichte Genauigkeit sich auszeichnenden, yon H. Favre 2 am photoelastischen Laboratorium der E.T.H. Ztirich entwickelten, rein optischen Verfahren.

b) Die photoelastische Eichung soll mit einem statischen Versuch an einem Probe- stab vorgenommen werden k6nnen.

e) Die Sehwingungen der zu untersuchenden Sttibe sollen fremd erregt werden, so dab die M6gliehkeit besteht, Schwingungen belicbiger Ordnung untersuehen zu k6nnen. Die Anregungsfrequenz muff dabei so stabil sein, dab der sehwingende Stab w~hrend der Messung genau in der Resonanzlage verbleibt.

d) Zur Erzielung einer m6glichst grot3en Genauigkeit sind Nullmethoden vor- zuziehen.

2. iJbersicht/iber miigliche Methoden. a) K u r z e Z u s a m m e n f a s s u n g de r M e t h o d e y o n Favre. Die photoelastische Messung nach dem genannten, rein optischen Ver- fahren gliedert sieh in zwei Teile, n~imlieh erstens die Bestimmung der Haupt- spannungsrichtungen und der Hauptspannungsdifferenz, und zweitens die Bestimnmng der Hauptspannungen einzeln. Zum Aufsuehen der Hauptspannungsrichtungen a wird das Modell im Megpunkt in den Strahlengang zwisehen gekreuzte Nikols gebraeht. Die Schwingungsrichtungen der Nikols, ftir welehe Ausl6schung eintritt, geben die Hauptspannungsrichtungen. Die Messung der Hauptspannungsdifferenz grtindet sieh

1 Ich danke hier tier genannten Stiftung, wie auch insbesondere dem Leiter des Labora- toriums, Herrn Prof. Dr. Tank ffir die F6rderung dieser Arbeit.

2 H. Favre, Sur une nouvelle m~thode optique de d~termination des tensions intdrieures. Diss. E.T.H. Ztirich 1929. -- Rev. Opt. thdor, instrum. 8 (1929) S. 193, 241, 289. -- Schweiz. Bauztg. 90 (1927) S. 291, 3o7.

2 1

274 Meyer: Spannungsoptische Untersuchung ebener Schwingungsvorg/inge. Ingenieuv-arc~Jv

auf das Gcsetz yon Wertheim, wonach die beim Austr i t t aus dem Modcll sich zeigende Phasendifferenz zwischen zwei in den Richtungen der Hauptspannungen polarisierten Lichtstrahlen proportional zur Hauptspannungsdifferenz ist:

a s = c e (q -- o.,) (e = Modelldicke, c = photoelastisehe Konstante) .

Diese Phasendifferenz wird mit einem Kompensator yon Soleil-Babinet kompensiert und gemessen. Sowohl die Best immung der Hauptspannungsriehtungen, wie aueh die Messung der Phasendifferenz d a lassen sieh in ein und derselben optischen Apparatur vornehmen.

Am freien Rande ist stets eine Hauptspannung Null, so dab diese relativ einfaehe Messung yon (o 1 -- %) uns sehon unmit telbar die wichtigen Randspannungen liefert (vgl. hierzu die Bemerkungen von Rajnfeld 1).

Die Phasendifferenz zwisehen einem in Richtung einer Hauptspannung o t polari- sierten Lichtstrahl naeh Austr i t t aus dem Modell und dem ursprfingliehen Strahl steht in folgender Beziehung zu den Hauptspannungen:

~1 -- e (a o 1 2k b %) und entsprechend ftir 6s:

6s = e (a as + b ol).

Die Messung yon 61 und ~s geschieht an einem Interferometer naeh Maeh-Zehnder und wtirde allein schon gestatten, 01 und o~ zu best immen; die sehon erw~ihnte Messung yon 6s = c e (o 1 --o2) erlaubt die Ausgleichsreehnung naeh Gaug, welehe folgende Ergebnisse liefert:

o l = R n 6 1 + R s t ~ s + R a t ~ a , I ( c = a - - b ) as -- Rls (~, + Rss ~s -I- R~s ~a. I

Die Koeffizienten Rll , RI=, R=e, R~ 1, Ral, Rn~ sind Funkt ionen der Konstanten a, b, c. Ftir die eingehende Beschreibung des Verfahrens sei auf die Arbeit yon Favre ver- wiesen s.

b) M / S g l i c h k e i t e n z u r B e s t i m m u n g y o n ~ u n d 6 s im S c h w i n g u n g s f a l l . Unser Problem unterseheidet sich yon den bisher untersuehten dadurch, dab die Spannungen eine periodisehe Funkt ion der Zeit, insbesondere eine Sinusfunktion, darstellen.

Es stellt sieh daher die Aufgabe, yon dieser Funkt ion einen Momentanwert , z. B. den Maximalwert, herauszugreifen und zu messen. Diese Aufgabe l~it3t sich durch die Anwendung elner mi t der Schwingung synchronen stroboskopischen Beleuehtung lt~sen, wodurch die weitere Messung auf die Verh~iltnisse des statisehen Falles zuriiek- geffihrt wird. Die intermitt ierende Beleuchtung kann mit gesteuerten Liehtquellen wie gunkenstrecken oder Glimmlampen oder durch Steuerung einer konstant brennenden Lichtquelle mit HiKe yon elektromechanischen Blendensystemen, Oszillo- graphensehleifen, des Kerr- oder Faradayeffektes erfolgen. Ansta t t die Auswahl des Momentanwertes dutch intermittierende Beleuehtung vorzunehmen, kann auch stetig beleuchtet werden, so dab das austretende Licht eine periodisehe Funkt ion der Zeit ist yon der Art a

(6" )=Jos in=(Ks ino~t ) J = aosin~ T

Diese Funkt ion l~il3t sieh nun z. B. auf einer Braunschen R6hre darstellen, deren eines Pla t tenpaar v o n d e r austretenden Lichtintensit~it fiber eine Photozelle und einen Verstfirker, deren anderes von einer synchronen, beispielsweise sinusf6rmigen Spannung gesteuert wird. Auf dieser Kurve kann nun ein bestimmter Momentan- weft entweder ausgemessen oder kompensiert werden.

1 8. Rajnfeld, Studio di alcuni problemi elastici a due dimensioni. Diss. E.T.H. Zfirich I933. Vgl. Fugnote a, S. 273.

a Mtiller-Pouillet, Lehrbueh der Physik, 13d. 2.

vii. Band x936, Meyer: Spannungsoptische Untersuchung ebener Schwingungsvorg~nge. 275

Wtirdc man auf eine MomentanauswahI verzichten, und z. B. durch Gleichrichtung T

am Ausgang eines Photozellenverst~irkers den Integrationsmittelwert T-fJdt be- o

stimmcn, so kSnnte der Zusammenhang zwisehen diesem Mittelwert und dem Maximal- wert zufolge des komplizierten Zusammenhanges yon J mi t t nur dureh eine dynamisehe Eichung ermittelt werden.

e) M S g l i c h e A n o r d n u n g e n z u r M e s s u n g a m l n t e r f e r ~ Grundsiitzlieh lassen sich die im vorigen Abschnitt genannten Anordnungen mit stroboskopischer Beleuchtung aueh am Interferometer verwenden. Daneben ksnnte auch hier daran gedacht werden, mit Hilfc einer Photozelle und einer Braunsehen RShre die Momentan- auswahl vorzunehmen, indem man die Interferenzstrcifen auf einer Blende abbitdet und die durchtretende Lichtintensitfit auf die Photozelle wirken lfitlt. Praktisch ist aber diese Lichtintensitfit so gering, daft eine Verst~irkung der entsprechenden Photo- zellenstr6me nur sehwierig auszuftihren ist wegen des St6rspiegels und der Isolations- str6me. Es kfime hier nur die Gitteraufladungsschaltung mit einer ElektrometerrShre in Frage, jedoeh mit zu grof3en Zeitkonstanten, als dab die Gitteraufladung den Sehwingungsfrequenzen folgen kOnnte.

Wenn die Phasenverschicbung 5 kleiner als eine Wellenlfinge ist, so kann aueh der Betrag gemessen werden, um den sieh ein Interferenzstreifen entsprechend dem wfihrend einer Periodc durchlaufenen d verbreitert, oder die Anregung, die der Stab braucht, um eine bestimmte Streifenverbreiterung zu erfahren; auch hier kommt man ohne eine zeitliche Momentanauswahl aus.

3. Ausgefiihrte Methode und Apparate. a) A l l g e m e i n e A n o r d n u n g . Fiir unsere Megapparatur haben wir nun das Prinzip der intermittierenden Beleuchtung gew~hlt, erstens well es sowohl in der Optik mit gekreuzten Nikols, wie auch am Interferometer unver~indert verwendbar ist, und zweitens well es den eingangs aufgestellten For- derungen am besten cntspricht. Da ferner die Methode auch ftir Frequenzen bis mehreren tausend Hertz anwendbar sein soil und die Beleuehtung nur einen Brueh- tell einer Periode dauern darf, so kommen nur die im Abschnitt 2b genannten Varianten mit Oszillographen oder Kerrzelle in Betracht. Fiir zuverlfissige Messungen ist nun vor allem zu beachten, daft ein System gewfihlt wird, das grOl3tmtigliehe Aus- trittshelligkeit erreichen l~iI3t. Eingehende Versuche haben gezeigt, daft die Kerr- zellenanordnung gr~l?ere Lichtstfirke liefert als die Oszillographenmethode mit einer handelstiblichen Sehleife Type II, S & H yon I I ooo Hertz Eigenfrequenz, o,5 • o,5 mm Spiegel, IOO mA Maximalstrom und maximater Amplitude yon 4o mm auf r m Zeiger- Kinge; so daft wir uns ftir das Kerrzellenventil entschlossen haben.

b) Optik. Die ganze Schwierigkeit der Methode liegt in der geringen Liehtst~irke, die am Austritt zur Messung noch vorhanden ist, u n d e s muffle mit allen Mitteln getrachtet werden, diese Lichtmenge grofl zu machen, um zuverlfissige Resultate erreiehen zu k6nnen. Die bisher verwendete Quecksilberdampflampe mit Prismen- monochromator konnte zufolge ihrer geringen Flfiehenhelle nieht mehr in Betraeht kommen, und wir wfihlten als Lichtquelle eine Gleiehstrom-Wolframpunktliehttampe, Fabrikat Osram, mit Glasfiltern zur Monoehromatisierung 1. Der leuchtende Wolfram- punkt hat einen Durchmesser von 5,2 mm und wird dureh die Optik jeweils auf o,4 mnt verkleinert, auf dem Modell abgebildet. Je grOfler nun die Fl~ichenhelle der Lieht- quelle ist, die wir zur Verftigung haben, desto grOfler wird die Liehtstfirke am Austritt und damit die mtigliche Genauigkeit der Messung.

1 Vielleicht wgren die neuestens entwickelten HOchstdruck-Quecksilberlampen hier gut am Platze ; wieweit sich diese den praktischen Anforderungen gegeniiber bewfi.hren, insbesondere hinsichtlich Lebensdauer, entzieht sich jedoeh bis jetzt unserer Kenntnis.

2 I *

276 Meyer: Spannungsoptische Untersuchung ebener Schwingungsvorg~nge. Ingenieur-Archiv

Die optische Anordnung zur Messung yon 63 ist in Abb. I dargestellt. Das Licht durehsetzt drei je um 900 verdrehte, in ihrer gegenseitigen Lage festgekoppelte Nikols. Die zwei ersten stellen mit der zwisehen ihnen befindlichen Kerrzelle, deren Feldrichtung

Mad KZ , Ko I . ~

--�9 I- L Lichtquelle, N I , ~, a Nikols, Mod Modell, B l Blende, K Z Kerrzelle, K o K o m p e n s a t o r ,

Abb. t . S c h e m a der o p t i s e h e n A n o r d n u n g zur Messung y o n 8,.

gegen die Schwingungsrichtung der beiden Nikols um 45 ~ verdreht ist, den optischen Momentversehlut3 dar. Die Kerrzelle wurde ffir diesen Zweck besonders von uns konstruiert mit tiugerst feinen Zwisehenwtinden, um m6glichst geringen Lichtverlust

Abb. 2a. Kerrze l l enkons trukt ion (Ma[3stab z : z). Abb. 2b, Einbau der Kerrze l l enopt ik .

zu erreichen. Das Plattensystem ist in Abb. 2a magst~blich dargestellt, den Einbau der Kerrzelle zeigt Abb. 2 b. Zwischen das Austrittsnikol dieses Kerrzellenverschlusses und das dritte Nikol wird das Modell und der Kompensator zur Messung yon 88 in den Strahlengang gebracht. Die ganze gekoppelte Optik, enthaltend die drei Nikols saint Kerrzelle, ist drehbar um die Achse des Liehtstrahles, da wit ja die Schwingungsriehtung des Liehtes nach den Hauptspannungsrichtungen einstellen mtissen. Als Indikator hinter dem letzten Nikol kann das mit einem Beobachtungsfernrohr bewaffnete Auge oder die Photozelle mit Versttirker und Galvanometer dienen. Der Kompen- sator yon Soleil-Babinet ist auf einer

s

- / . . . . . F ~ Hod.

, ' Q -ZY~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ~ . . . . .

I I ' ! i I I

Abb. 3. S c h e m a der o p t i s c h e n A n o r d n u n g m i t In ter ferometer .

Querschiene verschiebbar angeordnet und kann so leicht in oder aut3er den Strahlen- gang gebracht werden.

Ffir die Messung mit dem Interferometer dient derselbe Kerrzellenverschlufl wie in der vorigen Anordnung, seine optische Sehwingungsrichtung am Austritt wird hierzu vertikal gestellt. Mit totalreflektierenden Prismen und Linsen gemtifl dem

vii . Band x936. Meyer: Spannungsoptische Untersuchung ebener Schwingungsvorg~nge. 277

Schema yon Abb. 3 wird das polarisierte Licht durch das Interferometer geschickt, wo wieder das Modell yon einem auf nur 0,4 mm Durchmesser konzentrierten Licht- strahl durchsetzt wird. Die Interferenzstreifen werden yon Auge im Fernrohr F beobachtet, die Messung der Phasenverschiebungen 6 geschieht am Kompensator K (Nullmethode). Bezfiglich der eingehenderen Beschreibung der Optik des Interfero- meters sei wieder auf die Arbeit yon Favre verwiesenl.

Ganz besonders bei der Messung mit dem Interferometer ist gr6fltm6gliche Flfichen- helle der Lichtquelle und sorgf~ltiger Aufbau der Optik Grundbedingung, um trotz der unvermeidlichen Verluste im Kerrzellenverschlul3 und im Interferometer noch gentigende Lichtst~irke im Beobachtungsfernrohr zu erhalten, damit sich die Inter- ferenzstreifen noch deutlich vom Untergrund abheben. Um das letztere zu erreichen,

Kerrzelle flnregang

Abb. 4. Schaltsehema der elektri~hen Apparatur.

mut3 ferner darauf geachtet werden, daft auch beide Strahlen im Interferometer von gleicher Intensit/~t sind.

c) E l e k t r i s c h e r Teil. Die elektrische Apparatur dient zur Erregung der Schwin- gungen und zur Steuerung der Momentbelichtung, synchron und mit richtiger Phase. Das Gesamtschema des elektrischen Teiles zeigt Abb. 4.

Zur Erzeugung der Schwingungen dient ein sog. Tongenerator 3, dessen Frequenz yon I bis IOOOO Hertz stetig ver~ndert werden kann. Es ist vorteilhaft, ihn nach dem Llberlagerungsprinzip zu bauen, da der Materialaufwand klein wird und der n6tige grofle Frequenzbereich bei annfihernd konstanter Ausgangsspannung sich leicht erreichen l~if3t. Die zu untersuchenden Modelle (St~be) besitzen eine scharfe Resonanz- lage zufolge der bei idealer Einspannung 3 geringen Diimpfung. Sollen w~hrend der Dauer einer Messung einwandfreie Ergebnisse erhalten werden, so muff der Ton- generator so konstante Frequenz liefern, daft.die St~ibe nicht aus der Resonanz fallen. Im Falle yon lJberlagerungstongeneratoren wird dann die Anforderung an die Frequenz- stabilit~t der Oszillatoren sehr streng, besonders wenn die Betriebsspannungen und Heizungen der R6hren aus dem allgemeinen Wechselstromnetz entnommen werden sollen. Es war daher eine Hauptaufgabe, einen solchen frequenzstabilen Ober- lagerungstongenerator zu konstruieren.

Wir haben einen Oberlagerungstongenerator gebaut ffir den Frequenzbereich yon o bis IOOOO Hertz, dessen Frequenz bei .&nderung der Betriebsspannungen um :t: Io%

1 Vgl. Ful3note 2, S. 273. Das heiI3t ein Erzeuger elektrischer Wechselstr6me der genannten Frequenzen.

a Als ideale Einspannung sei der gedachte Fall verstanden, bei dem im Einspannquer- cchnitt absolut keine Deformationen vorhanden sind.

278 Meyer: Spannungsoptische Untersuchung ebener Schwingungsvorg~Lnge. Ingenieur-Archivv

sich um weniger als etwa 1/5 Hertz verlindert. Bezfiglich der Einzelheiten, insbesondere der Fragen der Frequenzstabilisierung, sei auf eine yon mir bereits ver6ffentlichte MitteilungX verwiesen. Immerhin mag erw~ihnt werden, daff fiir die Stabilisierung nicht nur der schaltungstechnische Teil von Bede'utung ist, sondern dab man auch dem mechanischen Aufbau des Generators hinsichtlich Abschirmung, Steifigkeit der Konstruktion und thermischer Konstanz gr6tlte Aufmerksamkeit zu schenken hat.

Die im Tongenerator erzeugte Niederfrequenz geht nun fiber eine Verst~irkerstufe an ein Kerrzellenrelais, welches die Spannungsimpulse zum Offnen des optischen Momentverschlusses an die Kerrzelle legt. Diese ist bereehnet ffir eine maximale Aufhellung bei IlOO Volt. Die Erzeugung der Spannungsimpulse geschieht an einem Widerstand yon IOOOOO Ohm im Anodenkreis einer Sender6hre gem~iff der schema- tischen Darstellung in Abb. 5. Die Vorstufe ergibt eine Wechselspannung yon rund 600 Volt Scheitelwert. Das Gitter der Sender6hre ist nun soweit negativ vorgespannt, daft nur w~ihrend einer einstellbaren Zeitdauer ein Anodenstrom flieffen kann, der aber grot3 genug ist, um die n6tige Kerrzellenspannung zu erzeugen. Da die R6hre

Abb. 5. Skizze zur Erzeugung der Spannungsimpulse. Abb. 6. Vektordiagramm der Phaseudrehung.

vor allem den hohen Spannungen gewachsen sein muff, wurde eine Sender6hre gewiihlt. Die Anodenspannung liefert ein NetzanschluffgeF, it geniigender Leistung.

Ebenfalls vom Tongenerator aus wird nun fiber eine elektrische Phasenschiebungs- anordnung ein Endverst~irker in Klasse B Gegentaktschaltung gesteuert, welcher die Schwingungen der zu untersuchenden St~ibe erregt mit I-Iilfe yon zwei durch den Schwingstrom gesteuerten Magnetsystemen und am Glasstabe befestigter Eisenblech- pl~ttchen, analog einem elektromagnetischen Lautsprecher.

Die Phasendrehung kann leicht fiberblickt werden an Hand des Vektordiagrammes (Abb. 6) ; sie wfirde genau gleiche Amplitude ffir jede Phasenlage liefern, wenn hierbei die Eingangsspannung konstant bliebe. Da jedoch der Phasenschiebungskreis eine variable Last bedeutet, iindern sich die vorhergehenden Spannungsabf~ille naeh Gr6ffe und Richtung, und somit auch die Eingangs- und Ausgangsspannung. Um diesen Einfluff zu reduzieren, wurde die Phasenschiebungsanordnung am Eingang mit einem niederohmigen Shunt fiberbrfickt, was daffir die nachfolgende, mehrstufige Nieder- frequenzverstiirkung bedingte.

Der Betrieb der gesamten elektrischen Apparatur geschieht mit Netzanschluff- ger~iten ~ und Heiztransformatoren aus dem Wechselstromnetz. Sie wurde zur sicheren und raschen Bedienung fibersichtlich zusammengebaut, wie Abb. 7 zeigt.

"Wie schon frfiher erwlihnt wurde, kann als Indikator bei der Bestimmung yon und (53 entweder das Auge oder eine Yhotozelle mit Verst~irker und Galvanometer

dienen. Die photoelektrische Anordnung bietet dabei den Vorteil, daff bei flachem Minimaverlauf bequem interpoliert werden kann, und daff die Messung weniger

1 H. Meyer, Bull. schweiz, elektrotechn. Ver. 25 (1934) S. 49. Hierbei erweist sich die Verwendung "con Glimmlichtstabilisatoren oft sehr niitzlich. --

H. Meyer, Bull. schweiz, elektrotechn. Ver. 25 (I934) S. 516, hier weitere Literaturangaben.

VII. Band x936. Meyer: Spannungsoptische Untersuchung ebener Schwingungsvorg~nge. 279

ermfidend wirkt. Da die Eingangsintensit~it jedoch ausnehmend gering ist (mono- chromatisches Licht, intermittierende Beleuchtung, Verluste in den Nikols usw.), bieten sich groBe Schwierigkeiten, umbe i den Messungen hinreichend fiber den St6r- spiegel herauszukommen. Man hat daher alle Vorkehrungen zu treffen, um einerseits die primer eintreffende Energie zu vergr6flern, andererseits die St6reinflfisse zu ver- ringern. Zur Vermeidung akustischer und mechanischer Einwirkungen ist der ganze Photozellenverst~irker saint Photozelle an Gummibfindern in einem Eisenkasten auf- geh~ingt. Elektrische St6rungen lassen sich aber besonders bei NetzanschluB kaum ganz fernhalten.

d) G a n g der Messungen . Der Gang der Messungen vollzieht sich nun ganz entsprechend, wie er yon Favre z und Mtiller 2 ffir den statischen Fall eingehend dar- gestellt worden ist. Es werden somit zuerst mit einem Probestab durch einen statischen Druckversuch die Stoffzahlen bestimmt. Nachdem dann die Justierung der Optik

Abb. 7- Zusammenbau der Gesamtapparatur (eingestent zur Messung yon 6*).

kontrolIiert women ist -- wobei man darauf zu achten hat, dai3 insbesondere die aus der Kerrzellenoptik austretende Lichtstfirke sich nicht ~ndert bei Ver~nderung des Winkels ~ -- werden die zu untersuchenden Modellpunkte in den Strahlengang gebracht (Kompensator entfernt), die Schwingungen erregt und die Ausl6schrichtungen bestimmt. Darauf dreht man die Schwingungsrichtung des polarisierten Lichtes urn 45 ~ stellt die Amplitude und die Phase des Zeitmomentes richtig ein und miBt mit dem geeichten Kompensator 68. Nachdem man ffir s~mtliche Punkte 63 gemessen hat, bringt man das Modell in den Strahlengang des Interferometers, stellt die Polari- sationsrichtung beim Austritt aus dem KerrzellenverschluB vertikal und setzt das Ablenkprisma (Abb. 3) an Stelle des Kompensators ein. Dann kann die Messung am Interferometer genau wie im statischen Fall beendet werden.

Zur Fixierung der Meflpunkte verwendeten wir nicht mehr wie bisher die L6cher einer aufgekitteten Aluminiumblende, sondern wir benfitzten dazu Quadrate von o,5 mm Seitenlfinge, die wir yon einem auf das Glas aufgetragenen harten schwarzen Lack auskratzten, und deren Seiten auf der Teilmaschine gewissermaBen als Koordi- natensystem im Lack genau eingeritzt wurden. Dieses Verfahren ist nicht nur einfacher als die Verwendung einer aufgekitteten Aluminiumblende, sondern es gestattet auch, nachtr~iglich bei der Messung sich als wichtig erweisende Punkte ohne weiteres zu fixieren und zu untersuchen.

1 Vgl. FuBnote 2, S. 273. 2 j. MiMler, Rev. Opt. th~or, instrum. 9 (x93 o) S.439.

280 Meyer: Spannungsoptische Untersuchung ebener SchwingungsvorgAnge. Ingenieur-Archiv

ill. Theoretischer Teil. 1. Zweck des theoretischen Teiles. Die photoelastischen Untersuchungen dienen nicht

nut dazu, an praktischen Beispielen die Spannungsverteilung ebener Spannungs- zust~inde zu ermitteln, wobei gegebenenfalls noeh'die Abhfingigkeit der besonderen Formgebung studiert werden kann, sondern auch, um durch systematische Unter- suchung an Modellen bestimmte Berechnungstheorien auf ihre Berechtigung zu prfifen und deren Geltungsbereich festzulegen. Diese letztgenannte Art der photoelastischen Forschung besitzt den groflen Vorteil, dab mit wenigen Modellen und Messungen ein grofles Anwendungsgebiet erschlossen werden kann, dank dem zielbewuBten Zusammen- wirken von Messung und Theorie. Da aber a u s der/ Messungen an Glas auf die Spannungsverteilung in anderen Baustoffen geschlossen werden soll, ergibt sich als Zweck des theoretischen Tells einerseits die Behandlung der Abh~ingigkeit der Spannungsverteilung von den elastischen Stoffzahlen und andererseits die Er6rterung der zur Berechnung der Spannungen dienenden Theorien hinsichtlich Geltungsbereich und Voraussetzungen.

2. Die elastischen Orundgleichungen und die Spannungsfunktion. a) G r u n d g l e i - c h u n g e n 1,~,a. Betrachten wir ein parallelepipedfOrmiges Element mit den Seiten dx, dy und der Dicke I (Abb. 8), so liefern uns die Gleichgewichtsbedingungen ffir den Fall des ebenen Spannungszustandes bekanntlich folgendes Gleichungspaar:

co a~ CO~ ~ + - ~ - + X ~ o , I

(i) / ~ +-0~- + Y ~ o , coy wenn X und Y die Komponenten der auf ~ieses Massene|ement je Volumeneinheit wirkenden Massenkraft in der x- bzw. y-Richtung darstellen. Im a|lgemeinen Schwingungsfall haben wir als Massenkrfifte die d'Alembertschen TrfigheitskrMte einzusetzen :

coz~ ~2~ Y ~ - - v cot~ , X=- - -v cot2 ,

wo ~:, r/die Komponenten der elastischen Verschiebungen und v die Dichte ist, so dab sich die Gleiehungen (I) schreiben lassen als

--a~-+ coy - - v ~ = o, 0 % co~ 0*n (2) -~y- + ~ - - - ~ - = o.

Das Hooksche Gesetz gibt uns noeh die folgenden drei Gleichungen:

ferner gilt noch

-By =-E- ay'-- ~ ' r / I

co~ +_0_x_ c_r; 0y

( m ) G ---- i) - E (3)

oF i

Das System der ftinf Gleichungen (2) und (3) bestimmt in Differentialform die ffinf Gr613en ~, r/, a,, ay, z in Funktion der Gr6Ben x, y, t. Seine mathematische Auf- 16sung unter Berticksichtigung der Rand- und Anfangsbedingungen w0rde erlauben, das Schwingungsproblem theoretisch vollkommen zu erfassen. Da uns hier nur die

1 A. F6ppl, Technische Mechanik, 13d. 3, S. 14f. Coker-Filon, Photoelasticity. Cambridge 1931.

a L. F6ppl u. H. Neuber, Festigkeitslehre mittels Spannungsoptik. Mfinehen 1935.

VII. Band x936. Meyer: Spannungsoptische Untersuchung ebener Schwingungsvorggnge. 281

Spannungen interessieren, so kann es oft zweckm/iBig sein, das Problem etwas anders zu formulieren, indem man aus den Gleichungen (2) und (3) die Versehiebungen eliminiert. Dann ergibt sich ffir die Spannungen das Gleiehungspaar

v ( 3 m - - I) 02 2 v ~ ( m - - I ) 040x I m ~ E V 4 o,. + V ~ o , - - = o ( m + ~)~ ~ z + : u 0t~ m E a t ' ' [ (4)

m 2 E V 4 0 y _ j _ v ( 3 m - - I ) 02 V 2 2 v 2 ( m - I ) 04o'y [ - ( r e + I ) ~ m + I Ot 2 oy m E Ot ~ - - 0 .

b) S p a n n u n g s f u n k t i o n be i b e k a n n t e n M a s s e n k r f i f t e n . Im Falle des ebenen Spannungszustandes ohne Massenkrfifte existiert eine Spannungsfunkt ion F (Airysche Spannungsfunktion) so, dab sich a., oy und �9 als partielle Ablei tungen yon F folgendermaBen darstellen lassen:

0 ~ F 02 F 0 ~ F O x - Oy 2 , ay--- Ox ~ , " c - O x O y

Als I3edingungsdifferentialgleichung ffir F ergibt sieh

OaF ~ F cO4 F a x* + 2 a x ~ y---r + - ~ = o

oder kfirzer 1 V~F = o . (5)

Da die Spannungsfunkt ion den grot3en Vorteil bietet, dab man nur eine Grdfie F an Stelle der drei Grdf3en a,, ay, z zu best immen hat, so soll im folgenden nun unter- sueht werden, ob und in welchen Ffillen von Massenkrfiften es ebenfalls eine Spannungs- funktion gibt. Zu diesem Zweek nehmen wit vorers t an, daft die Massenkr/ifte als Funkt ion des Ortes x, y bekannt seien, und wir erhalten rein formal folgende Fiille:

F a l l I. Sollen o, und ay als partielle Ableitungen einer Funkt ion F darstellbar sein in der Form

~2 F 0* F O x - - ~ y 2 , O y - - O x 2 '

so muB die Bedingung erfiillt sein 02 ax ~2 ay

o ~ = o y" " (6)

Dureh einmalige Ableitung nach x bzw. y ergibt sieh aber aus den Gleiehungen (I)

O~ a x 0 ~ -~ o X

Ox 2 - - e x O y e x ' ( 7 )

82 ay 02 z r9 y Oy 2 O x O y Oy

Die Gleiehungen (6) und (7) liefern Fall I der Spannungsfunkt ion bei Massenkfiiften, der durch die Bedingung ausgezeielmet ist:

~ X 3 Y Ox Oy

oder X = - O T a T (8 )

o y ' Y - Ox 02 F

Die obigen Ansfitze ffir o., oy, X, Y zusammen mit z - O x a y + T eingesetzt

in die Gleichungen (3) und daraus ~ und ~ eliminiert, ergeben die Differentialgleichung ffir F im bet rachte ten Fall I:

V~FI 2 ( r e + I ) 02T m 0 �9 0 y - o . (9)

Ebenfalls gilt bei Anwesenheit yon Massenkriiften die ]3eziehung V ~ (ax + ay )= o, worauf sich einige Verfahren zur Trennung der I-Iauptspannungen grfinden. -- H. Meyer u. F. Tank, Heir. phys. Acta 8 (1935) S. 315, hier weitere Literaturangaben.

282 Meyer: Spannungsoptische Untersucllung ebener Sehwingungsvorggmge. Tn~enieur-Archiv

F a l l II. Wir k6nnen allgemein setzen

X - - ~ V V = - - ,cOW ( IO) O x ' cOy '

und schreiben die Gleichungen (I) in der Form cO cOT

0 . ( o , - v) = o, cO~

a ( o ~ - W) + -~-~ = o. 0y Dann wird

cO2 0~ o ( o . - v) = ( o . - w ) ,

so daft wir den Ansatz machen kOnnen: 02/7

a , = Oy~ -b-V,

cO2 F oy = ~ + W ,

. O2F O x O y

Wenn diese Ans~itze wiederum in die Gleichungen (3) eingesetzt und ~, r/ eliminiert werden, ergibt sich als Differentialgleichung der Spannungsfunkt ion _F ffir den all- gemeinen Fall II:

(II)

F a l l I Ia . Der yon Coker 1 behandelte Fall, wo X und Y als partielle Ableitungen einer Potent ia l funkt ion U naeh x und y darstellbar angenommen sind:

x - ON g _ o u (~2) O x ' 3 y '

ergibt sich als Sondcrfall aus dem eben behandel ten Fall II durch Gleiehsetzung yon V und W mit U. Dana wird n~imlich

02F o, = -g~- + U,

O~ F oy = ~ + U,

OaF O x O y '

und die Differentialgleichung fiir F n immt die Form an ~ t , - - I V 4 F l I o + - g 2 U = o . (I3)

m

c) T r f i g h e i t s k r ~ i f t e a ls M a s s e n k r i i f t e . Sobald wir nun aber als Massenkriifte

cO2~ - - v 02,/ cinsetzen, so verlieren die Funk- die Trfigheitskr~ifte X = - - v - - - ~ - , Y -~- Oy 2

t ionen F ihre Bedeutung als Spannungsfunktionen, da die Spannungen o,, ay, ~ j a nur aus F best immt sind mit tels t det: Gr6/3en T, U, V, W, welch letztere nun ihrer- seits wieder yon den Versehiebungen und damit den Spannungen abh~ingen. Auch die Bestimmungsdifferentialgleichungen ftir F selbst verlieren ihren Charakter als solche, da ja dieselben Gr6flen T, U, V, W als Funkt ionen von F darin vorkommen.

Zufolge des neuen Zusammenhanges erhal ten nun auch die behandel ten Ffille I und I I a ihre besondere Bedeutung, wie im folgenden gezeigt werden m6ge:

Im Fall I war X ~--- 0 T 0~ 0 T Oa~/

Oy O t 2 ' O x ~ t 2 "

Wir k6nnen nun sehreiben / 0* T ' \

T = v i - W ) ,

1 Vgl. Ful3note 2, S. 28o.

v n . Band *936. Meyer: Spannungsoptische Untersuchung ebener Schwingungsvorg~knge. 283

dann wird

woraus folgt

oder

und schlieglich

oder

0 ( 0 n T ' ' ) = 0 2 l O T ' \ 0"-

o, (oo:,) Y ---- - - v - ~ - - = - - v -O K '

O T ' O T ' ~-- Oy ' ~ l - - Ox

O ~ OaT " O~ a x - - a x O y Oy

O'y O" x - - - - : O y ~ - - Ox ~

X

Setzen wir wieder

Ox : Oy .

Dies bedeutet nur einen sehr speziellen Spannungszustand (vgl. z .B. 3b). Im Falle I Ia war

_ _ 0 2 ~ 0 U 0 2 71 O x Ot 2 ' ~ - y Or"- "

so ergibt sich

oder

0 2 U ' U = v d t 2 ,

0 U" OU" ~ : O x ' ~ l - - Oy

a~ o~ Oy o x ,

d.h. die Verschiebungen sind ebenfalls als Ableitungen einer Potentialfunktion U' darstellbar, die Verzerrung ist w i r b e l f r e i .

Aus dem in diesem Absehnitt Gesagten geht hervor, dab im Schwingungsfalle keine eigentliehe Spannungsfunktion zur Beschreibung des Spannungsfeldes existiert, und wir dieses daher an Hand der Grundgleichungen bestimmen mfissen.

3. Die Abhiingigkeit der Spannungsverte i lung yon elastischen Konstante . . a) S t a t i s c h e r Fal l ; a l l g e m e i n e E r O r t e r u n g der R a n d b e d i n g u n g e n . Die Untersuchung der Spannungsverteilung in bezug auf ihre Abhfingigkeit yon elastisehen Konstanten gliedert sich in zwei Teile: erstens sind dig Differentialgleichungen ffir die Spannungen oder die Spannungsfunktion in bezug auf eine Abhfingigkeit von den genannten Konstanten zu untersuehen, und zweitens sind die Randbedingungen zu diskutieren, ob und in welehen Ffillen sie eine solehe Abh~ingigkeit verursachen, selbst wenn die Differentialgleichungen davon unabh~ingig sind.

Im statisehen Fall enthSlt die Differentialgleiehung der Spannungsfunktion V ~ F -= o keine elastischen Konstanten, die Spannungsverteilung ist also unabhfingig davon, solange nicht die Randbedingungen diese Konstanten einffihren.

Als Randbedingungen sind allgemein die folgenden zu betrachten: e) Die Spannungen am Rand k6nnen gegeben sein. g) Die Verschiebungen am Rand k6nnen gegeben sein. ~) Jeder im unbelasteten Zustand ffir sieh gesehlossene Rand mug aueh naeh

der Belastung (Deformation) geschlossen sein. Randbedingungen der Art e) ffihren keine elastischen Konstanten ein, sie bedingen

also keine Abh~ingigkeit der Spannungsverteilung von diesen Konstanten. Es ist aber zu beaehten, dab wir hierbei eigentlich immer K6rper vergleichen,

die n a c h erfolgter Deformation geometrisch fibereinstimmen. Da nun in den betrach- teten F~illen meist der Elastizitfitsmodul so grog ist, dab die Deformationen gegenfiber

284 Meyer: Spannungsoptische Untersuchung ebener SchwingungsvorgAnge. In~enieur-Arehiv

den Abmessungen des Modelles klein sind, so wird diese Voraussetzung kaum beachte t ; es gibt aber F~ille, wo die Form des Rartdes beispielsweise bedingt, daft selbst diese kleinen Deformationen berfieksichtigt werden mtissen, soll nicht die Abh~ingigkeits- untersuchung zu Trugsehltissen ftihren 1. Dasselbe gilt nattirlich in noeh ve rmehr tem Mal3e ftir Baustoffe mit kleinem Elastizit~itsmodul.

Randbedingungen der Art fl) ftihren elastisehe Kons tan ten ein, da die Deforma- tionen fiber diese Kons tan ten mit den Spannungen zusammenhlingen. In jedem Problem mit Deformationsbedingungen (geometrisch definierte Einspannung usw.) ist die Spannungsvertei lung yon den genannten Kons tan ten abh~ingig.

Die Randbedingung ),) muB ftir jeden geschlossenen Rand erftillt sein, sic schrtinkt die F~ille mit von den elastischen Kons tan ten unabh~ingiger Spannungsvertei lung noeh

idY d~ f ~ _ _ ~ . . . . . . .

-d,z' ~r [

Abb. 8. Spannungen am Randelement.

§

weiter ein, Es ist

0~ i ( a , ) m + , o O x - = E- o x - - ~ = - m E Y + - - - -

Nach Coker-Filon 2. a setzt man 0~o .

o~ + aj, = V2F =- Oxay '

dann l~iflt sich sehreiben

05 m + I 0 I F I 02~ Ox -- m E Ox 2 +-_E- OxOy

wie im folgenden gezeigt werden soll.

O" x -~- O'y E

(14)

und integrieren (die Integrat ionskonstanten in die Funkt ion ~ einbezogen) W/, -}- I cqF I 01/) I

= m E Ox -~ E Oy ' I (15) und analog m + I OF

i 0 9 J *]-= m E Oy + E Ox '

wobei fiir ~ die Bedingung V2~v = o erftillt sein muB. Soweit nach Coker-Filon, welche ~v die Dehnungsfunkt ion nennen.

Wir miissen nun ausdrticken, daft ein gesehlossener Rand wghrend der Deformat ion geschlossen sein soll:

f O~d , ~00~ (16) -as s = o ds = o,

wobei ds dos Wegelement l~ings des Randes bedeutet . F a r die Ableitung irgendeiner Funkt ion S von x, y gilt (vgl. Abb. 8)

O S d s = aS -y2.,~ S o S d x + a-g~-y d y as - - ~ x - d s c ~ + ~y d s s i n ~ ax (17) I

Mit (15) schreibt sieh die Bedingung (16)

oS- -m-E--yOS- 0~- d S + E y ~ - \ o y /

On d s - ~ m + i f O ( O F ) I f 0 (0~ / / ) Ks m-E Ks ~-r d s + E- ~ - O x- d s .

Unter Berticksichtigung der Beziehung (17) liit3t sich der erste Ausdruck der rechten Seite umformen wie folgt:

as ~ Ox ~ - d x + ~ y \ a - x - / d Y 02 F . -- 02F d x + - a ~ a y

1 Ebenso ist ouch bei ]3ertihrungsproblemen stets zu tiberlegen, ob der untersuchte Modell- zustand hinsichtlich dieser Voraussetzung mit dem Zustand bei anderen ]3austoffen tiberein- stimmt. Dies ist insbesondere ouch der Grund, warum z. ]3. dos yon Rajnfeld (vgl. FuBnote I, S. 274 ) behandelte ;Beriihrungsproblem zweier Kreiszylinder yon den elastischen Konstanten abh~Lngig ist.

2 Sinngem~13 bei Abwesenheit yon Massenkr~ften. a Vgl. FuBnote 2, S. 28o.

VII. Band x936. Meyer: Spannungsoptische Untersuchung ebener Schwingungsvorggnge. 285

Da ferner aus den Gleichgewichtsbedingungen des Pr ismas dx, dy, ds die Beziehungen sieh ergeben

p. d s = o . d y - i - z d x , ] (I8) p y d s = a y d x + r d y , J

so wird

und entsprechend

Es ist aber ferner

as ~ d s = - - p y d s

O ( O F ) d s = p , ds.

~ p, d s = ..,~ P , und ~ py d s = .-,~ IOr , o o

so dab sich nun die Bedingungsgleichungen (16) folgendermaBen sehreiben:

O~ d m + I Z . p y q_ I ~,o

o (I9) gods ~ E ~ . , + ~ - ~ ~ d s = o -g7

0

Die Gleichungen (I9) sind Randbed ingungen ftir die Funk t ion W und wegen

V = F = b~-@- aueh ftir F. Sie entha l ten keine elastischen K o n s t a n t e n mehr, wenn

die Miehellsehe Bedingung erftillt ist, dab i

~ P x = O , v ' p - ~ y ~ O 0

ist; denn sie reduzieren sich dann zu

a 'OW d s = o , -Os -g7 d s = o ~r ~7

(20)

Diese Ablei tung scheint mir tibersichtlicher und einfacher als diejenige yon Miehell, M e s n a g e r , C o k e r u. a . 2, 3, 4, 5

b) S c h w i n g u n g s f a l l . In dynamisehen Ffillen (vgl. Absehni t t 2e) wird durch die yon den Deformat ionen abh~ingigen Massenkrfifte in die Gleichgewichtsbedingungen des Volumelementes ein weiterer Zusammenhang mi t den Deformat ionen und elasti- schen Kons tan ten eingeftihrt. Dadurch wird cs nicht mehr m6glich, eine eigcntlichc Spannungsfunkt ion aufzustellen, und die Frage der Abhfingigkeit von elastischen Kons tan ten muff auf Grund der Fundamenta lg le iehungen des Absehni t tes 2a unter- sucht werden.

Wir sehen vorlfiufig von den Randbedingungen ab und be t raehten zwei K6rper gleieher Dimension, aber mi t verschiedenen Stoffzahlen E, m, ~ und E' , m', ~,'. Wenn nun die Spannungsver te i lung unabh~ingig von den genannten Kons tan ten sein soll, so mtissen folgende Beziehungen gelten:

p t t

1 Die Bedingungen v P , = o, v py = O sagen nach obiger Ableitung noch nicht aus, 0 0

dab dann der Rand geschlossen ist, sondern Bur, dab dann die bleibende ~Bedingung des geschlossenen Randes keine elastischen Konstanten mehr enth~lt. ]:3ei K6rpern mit nur e inem Rande ist diese ]3edingung wegen tier Gleiehgewichtsbedingungen am starren K6rper selbst- verstgndlich erffillt.

Miehell, Proc. Lond. math. Soe. 31 (I899) S. Ioo. a A. Mesnager, Techn. mod. Paris 14 (1924) S. 161. 4 Vgl. Ful3note e, S. 28o. 5 Eine analoge ]3eweisfiihrung unter Zuhilfenahme funktionentheoretischer Sgtze geben

F6ppl und Neuber (vgl. Ful3note 3, S. 28o). Da aber die obige Ableitung weniger mathematischen Aufwand erfordert, glaube ich sie hier belassen zu dfirfen.

286 Meyer: Spannungsoptische Untersuchung ebener Schwingungsvorginge. Ingenieur-Arehiv

wo ~. ein fester Fak to r ist. Wir nehmen Ierner stehende Schwingungen an und setzen

= ~ s i n ~ o t , also O~ _ ~o ~ . Dann folgt aus (2) 013

0% a~ + v ~ o ~ = 0 ' o } + ~ T

ox + - b 7 +v ' (~ = o , und somit

vo~9-~ ____- 2~'~o'2~ ' oder ~ , v~:

und analog ,~, O j 2

Es ist aber andererseits nach (3)

Ox - - E - ox - - p

und durch Einsetzen des oben erhal tenen Wertes ftir ~'

es folgt aber auch aus (3)

und somit

Analog folgt

Beide Gleichungen

Gleichung gilt

mfissen aber ftir o: denselben Wer t ergeben, so dab f.O t 2

die

oder ~ ,__~ , v ~ o z _ 0

daraus folgt wieder m v' E - - - -

o# G v" m + I ta - - G t v t1r s

v E t . . . . . . m ' --7 I

G { ~ , o,~). = ~- = -T \ ~ ; + ~ - ,

Diese Bedingung ist nur ftir e , - - - - - - av gleich der oben ausgedrfickten (21). Der Fall o, = oy setzt aber, wie erwlihnt, z = o voraus, so daft dann die letzte Gleichung dahinffillt.

(~I a)

- - ( 2 I ) - .

Bei m ' + m kann diese Gleiehung nur erffillt sein fa r o~ = oi, d. h. ffir o,----- + oy oder a, = - - ay, und zwar unabh~ingig v o m Koord ina tensys tem (x, y), so dab aus o, = ay notwendigerweise aueh ~ = o folgt.

Ferner muff ja ebenfalls naeh (3) gelten

~ = G - ~ - + ~ - ,

~'=G'{O~'\ay + ~ )

vii . Band I936. Meyer: Spannungsoptische Untersuchung ebener Schwingungsvorglinge. 287

Der Wert des Faktors ;L spielt in obiger Ableitung keine Rolle; dies ist selbst- verstfindlich, weil ja der MaBstab der Spannungen beliebig ist und keinen EinfluB auf die Spannungsverteilung haben kann.

Die beiden Ffille o~ = i oy, die nach obigem auch im Schwingungsfall eine yon elastisehen Konstanten unabhfingige Spannungsverteilung ergeben, bedeuten nur sehr spezielle Spannungszustfiinde. Wir wollen sie noeh etwas nfiher betraehten.

Far den reinen Schub, o~ = -- oy (= o), reduzieren sieh die Gleiehungen (4) auf 02a

g2~ G Ot 2 -~- O,

welehe Gleichung bekanntlich keine Abhfingigkeit der Spannungsverteilung yon elastischen Konstanten bedingt, wie ja auch oben abgeleitet wurde.

Ffir den Fall o , = ay (----a), ~ = o gelten nach (2) noch folgende Beziehungen: 02a a s / 0 ~ \

ay 2 - - v - ~ - ~ - , also nach (3)

O2a 02a __ ! ( m - - I) a2~ O x ~ , - O y ~ m E Ot 'a "

Da aber anderseits naeh (3) aueh gilt

~ axay~'~ + o x - ~ T o y = ~ o~- -l-T~rx~\ay/ mE - g T + a y * / ,

so folgt notwendigerweise, d a m -~ I nach fraherem die Bedingungen nicht erffillt, dab

a 2 a 8 2 a a ~ a ( 2 2 ) O x 2 - - O y 2 - - ~ " - 0

sein muff. Mit dem Ansatz far Schwingungen o = o sin o) t folgt dann

o - - a2a0t 2 -- w2iisino)t = - - o ) 2 0 , d.h. far 04=o notwendigerweise ~ o = o

Seb_wingungen sind also bei diesem Spannungszustand nieht mOglich. Ein Beispiel, das diesen Bedingungen genagt, ist eine Membran konstanter Spannung; diese ist in ihrer Ebene nicht schwingungsf~ihig.

Es zeigt sich also, dab im allgemeinen Sehwingungsfall keine streng herleitbare Ahnliehkeitsbeziehung ftir die Spannungsverteilung existiert. Betrachten wir uns aber die Gleichungen (4), so k0nnen wir sie durch Division mit E und Einftihren des Ansatzes o,-----o= sin to t in die Form bringen

m ~ 3 m - - I " t o 2

Man entnimmt daraus, dab stets bei einer Verfinderung der Konstanten E sowic v eine entsprechende Maflstabsfinderung der Zeit (o)) die Differentialgleichung erhalten bleiben lfiBt. Die Gr6Ben E, v haben demnach auf die Spannungsverteilung keinen EinfluB, sondern nur auf die Frequenz der Schwingung. Die Spannungsverteilung wird allein durch die Konstantc m beeinflugt, wie abrigcns aueh den frtihcrcn Ableitungen dieses Abschnittes entnommen werden kann. Die Konstanten m sind nun aber far verschiedene Baustoffe wie z.B. Glas und Eisen nicht so stark ver- schieden, als dab die an Glasmodellen erhaltenen grgebnisse far andere Baustoffe ihre Bedeutung und Gfiltigkeit verlieren magten, aueh wenn die Aufstellung mathe- matisch formulierter Modellregeln an der Unl6sbarkeit der Gleichungen (4) und (23) seheitert.

Ferner lfiBt sich aus den Grundgleiehungen (2) und (3) ersehen, dab in den Gebieten der Bewegungsknoten, wo die Verschiebungen und somit die Massenkr~ifte zu Null werden oder mindestens versehwindend kleine Werte annehmen, die Spannungs- verteilung gleiehen Gesetzen gehorcht wie in einem entsprechenden statisehen Fall,

288 Meyer: Spannungsoptische Untersuchung ebener Schwingungsvorg/inge. Ingenieur-hrchiv

und dab somit fttr diese Gebiete auch die Ahnlichkeitsbeziehungen der statischen Elastizit~it anwendbar sind (vgl. Absehnitt IV).

4. Die Schwingungsgleichungen auf Orund der Balkentheorie. Weder Biegungs- noch Dehnungsschwingungen geh6ren nun zu dem im vorlgen Absehnitt genannten einfaehen Fall einer yon den elastisehen Konstanten unabh~ingigen Spannungsverteilung. Es mfiflte ja sonst an jedem Orte und zu jeder Zeit die Bedingung a, = 4- ay erffillt sein, also auch in jedem freien Randelement, was sicher nieht der Fall sein kann.

Die L6sungssehwierigkeiten der allgemeinen Theorie lassen sich nun in den F~illen der Biegungs- und Dehnungsschwingungen umgehen, wenn wir die gleichen Voraus- setzungen (d. h. Vernaehlfissigungen) annehmen, w i e sie die statische Theorie des gebogenen Balkens verwendet. Auf dieser Grundlage sind die bekannten Sehwingungs- differentialgleichungen abgeleitet worden, ohne daft vielleieht tiberall genfigend auf diese zugrunde liegenden vereinfachten Annahmen hingewiesen wurde, so dab oft yon den L6sungen dieser Gleichungen mehr erwartet wird, als sie ihrer Natur nach geben kOnnen. Wir wollen hier daher die Ableitungen und LOsungen dieser Sehwin- gungsdifferentialgleiehungen kurz zusammenfassen; um so mehr, als wir sie als Ver- gleiehsgrundlage zu den im Abschnit t IV mitgeteilten Meflergebnissen benfitzen werden.

a) B i e g u n g s s e h w i n g u n g e n p r i s m a t i s e h e r S t f i be 1,2. Es m6ge x die Ko- ordinate in der Stabachse, y die Koordinate senkrecht zur Stabachse, J das Tfiigheits- moment des Stabquersehnitts q, # = v q die Masse je L~ingeneinheit des Stabes sein; dann ist ftir ein Stabelement v o n d e r L~inge d x die anzubringende d'Alembert-

sehe Trfigheitskraft --/z d x O~l Ot 2 �9

Wenn wir nun wie in der statisehen Theorie des gebogenen Balkens die Bernoulli- sehe Biegungsannahme von der fiber den Querschnitt l i n e a r e n S p a n n u n g s v e r - t e i l u n g zugrunde legen, so gilt als Gleichung ffir die elastisehe Linie mit dem Biege- moment M

J F. a%l 22 a x 2 - = - - M .

Es ist welter mit der Querkraft V a 2 M a V a~t/

O x 2 = O x = # - a t r"

Daraus folgt die allgemein verwendete Differentialgleiehung der Bicgungssehwingungen J E 04, I o ~ + - o . (24)

O t x /* O x 4

Diese Differentialglcichung hat bekanntlieh 1,2 die LOsung ~ : (C l sin .(2 x + C~ cos D x + C a | ~2 x + C4~v I D x) sin ~o t, (25)

worin

.(2 = [ J E " (25a)

Ffir den bei x = o eingespannten, sonst freien Stab yon der L~inge l ergeben sieh die Randbedingungen

x = O : , ~ = o , x = l : M = o

x = o : ax = O , x = l : V-~-O

Somit reduziert s i ch Gleiehung (25) auf

oder 0~1 O x ~ ~ - 0 ,

oder 0371 ~ o . x 3

~7 = [C~ (cos .O x -- (~ol .O x) + C4 (sin .O x -- Sin .(2 x)] sin m t mit der Bedingung ffir .O, und damit wegen (25a) aueh ffir co:

c o s D l ~ 0 I D l = -- I . Diese Gleiehung (27) besitzt die L6sungen 2

D l ~ 1,875 , 4,694, 7,855, l-&_i~@pl, Technische Mechanik, Bd. 4, S. 242. Berlin 1921.

$. Timoshenko, Sehwingungsprobleme der Technik. Berlin 1932.

(26)

(27)

vn. Basil ~9~. Meyer: Spannungsoptische Untersuchung ebener Schwingungsvorggnge. 289

womit ftir jede L~inge l die Gr613e .(2 und aus (25 a) auch co und damit die Schwingungs- go

frequenz /----= ~ - gegeben ist.

Bequemer als durch die Integrationskonstanten C, und C 4 drticken wir r/ aus in Funkt ion der am Ende maximal auftretenden Amplitude rlm,~ = u o. Man berechnet sich leicht C ~ u~ s ins ' /

2 sin s l Eo[ s 1 -- cos s l ~in s l = u~ C~, C4 = uo cos s 1 + ~0[ Q l , [ (28)

2 s i n s 1 6 3 1 6 3 1 6 3 = u ~

und durch Einsetzen der LSsung yon Gleichung (27) folgt z .B . ftir die Grund- schwingung

u o ' ,/a~ o C , = -- I ,OOOI.~-, C4---- + o ,734I . -~- .

Die gew6hnliche Schwingungsdifferentialgleichung (24) kann noch verfeinert werden, wenn der Einflufi der Sehubspannungert auf die Verbiegung, sowie die Trag. heit des Massenelementes gegen Rotat ion mitberficksichtigt wird. Nach Timoshenko 1 ergibt sich dann bei Mitberticksichtigung der Durchbiegung durch die Schubspannungen

ox~ 7 E or" - g ~ y ~ = o, (29) 6

worin z.B. ffir Reehteckquerschnit t k = 5Gb~- bedeutet. Berticksichtigen wir dazu

noeh die Rotationstr~igheit des Massenelementes bei der Durchbiegung, so bekommen

wir mit k ' = die Differentialgleiehung ~

J t~ ~ - ~ + t~ at ~ ~-~a-P \ k--7-O - + J r + k" G at, - - �9

Die Gleichungen (29) und (3 o) kOnnen dutch den Ansatz

r / = (CxsinQ x + C~ cos D x + Cs ~in v / x + Ca~o~ ~o x) sino~ t (31)

allgemein gel6st werden. Zwischen m, % .Q besteht an Stelle der frtiheren einfachen Gleichung (25a) ftir Gleichung (29) der Zusammenhang

- (29 a) 0 .1 ~ - p

ebenso ftir Gleichung (30)

r ----- a + b s 4- g(a2 +Cb s _ 4 C s __ a -- b ~v* 4- 1/(a2--C b ~o~)* " 4 C W' , (30 a)

worin v q b = + , c ----- - - . a = d E ' k ' G E

Diese Gleichungen sind nattirlich wesentlich umst~indlicher zu handhaben als die gew6hnlichen Schwingungsgleichungen. Es zeigt sich jedoch, daft beispielsweise ftir die Grundschwingung bei St~iben, deren Lfinge l kleiner oder gleich der HOhe h ist, ,Q und ~v erst um 1% differieren. Wenn aber $2 ~-W gesetzt werden darf; so geht Gleichung (31) tiber in (25), und es gelters die gew6hnlichen Schwingungsgleichungen. Bei so kurzen Stliben, bei denen wir ftir die Grundschwingung die Gleichungen (29) und (30) verwenden mtit3ten, oder bei l~ngeren St~iben f'tir hOhere Oberschwingungen, bei denen das Verhfiltnis V ~ halber Knotenvunktsabstand fihnlich kleine Werte annimmt,

Stabh6he ist aber unter Umstlinden die Anwendbarkeit aller dieser Schwingungsgleichungen fraglich, denn vort linearer Spannungsverteilung, insbesondere an der Einspannstelle, kann dann ja keine Rede mehr sein (vgl. Abschnitt IV).

1 Vgl. Ful]note 2, S. 288. 2 Timoshenko leitet cliese Diiferenti3.1gleichung ab, gibt jedoch die L6sung nur ffir einen

Sonderfall. 2 2

290 Meyer: Spannungsoptische Untersuchung ebener SchwingungsvorgAnge. Ingenieur-Archlv

Auf Grund der gleichen Voraussetzungen, wie sie ffir die Herleitung der Sehwin- gungsdifferentialgleichungen verwendet wurden, berechnen sich die Spanrmngen folgendermaBen, wenn mit y der Abstand des betrachteten Punktes yon der Neutral- achse bezeichnet wird. Aus

M M ~2~ 0~ oder a, = ~ y und . . . . J E O x * folgt ox = - - E 7 0x*

o,=Ey-Q~uo[C'~(cosf2x+~o[f2x)+C',(sinf2x+~irt~x)]sina~t. (32 ) Aus der Balkentheorie ist ferner ffir rechteckigen Quersehnitt bekannt:

6 ( ~ ) O M j E e % I z = - ~ - --y~ V, V = bx = ox*; dies gibt

b) D e h n u n g s s c h w i n g u n g e n y o n p r i s m a t i s c h e n St f iben. "Wir betrachten wieder ein Stabelement voil der L~inge d x, dann gilt x

. ~'8 - - v q a x - ~ - + d S = o ,

worin 0$ S = qE bx

ist. Daraus wird mit Eft_ ___ aS

0 t 2 0 x 2 "

Als L6sung kann angesetzt werden

-~-- + C~sin sinmt. (35)

Ffir den Fall des bei x = o eingespannten, sonst freien Stabes hat man o~ x = o : ~ = 0 , x = l : -~-~- = 0

und also COS ~--- 0

sowie ~ = u 0 s i n ( - ~ ) s i n c o t (3 6 )

mit ( , O ~ . . . . a , ~--.

2 1 ~ 2 t ~ J

Ffir die Spannungen folgt wegen o ~---E ~ 0x

~176 c~ } (37)

7 : ~ O .

e) S e h l u B b e m e r k u n g e n zu A b s e h n i t t 4. Betraehtet man die Ergebnisse dieses Absehnittes im Zusammenhang mit den vorher allgemein diskutierte~ Fragen der elastisehen.~hnliehkeitsgesetze, so zeigt sieh folgendes : Die aus den Gleiehungen (32), (33) und (37) bereehnete Spannungsverteilung ist unabh~ngig yon elastisehen Kon- stanten; dies riJhrt daher, dab in den diesen Gleiehungen zugrunde liegenden Voraus- setzungen die Querdehnungen unberfieksiehtigt bleiben. Der EinfluB der Konstanten m, die im allgemeinen Fall die Aufstellung einer Ahnliehkeitsbeziehung verhindert hat (vgl. Absehnitt 3b), ist eben in den Ableitungen dieses Absehnittes einfaeh vernaeh- l~issigt women. Die Tatsaehe aber, dab die obengenannten Gleiehungen trotz dieser Vernaehl~issigung des Einflusses yon m im allgemeinen doeh reeht brauehbare Ergeb- nisse liefern, ist zugleieh eine neue Reehtferfigung unserer Bemerkung im Absehnitt 3 b fiber die allgemeine (Jbertragbarkeit von Modellmessungen auch im Sehwingung~falle.

x V g l . F u B n o t e i , S . 288 .

Vll. Band 1936. Meyer: Spannungsoptische Untersuchung ebener Schwingungsvorggnge. 291

Die Gleichungen (32) und (33) zeigen ferner, dab die Spannungen a und ~ in Phase schwingen, die Spannungsellipse w~ihrend der Schwingung sich nicht dreht, sondern nur ihre Gr613e ~indert. Dieses Ergebnis gilt abet nicht nur unter den Voraussetzungen des Abschnittes 4, sondern ganz allgemein; denn energetisch betrachtet erscheint bei einer bestimmten Schwingungsart stets die unverzerrte Ausgangslage als Schwin- gungsmittellage (potentielle Energie = o), so dab allgemein die zeitlichen Nulldurch- g~nge der Spannungen und Dehnungen gleichzeitig erfolgen mtissen.

IV. Teil. Me6ergebnisse. !. Allgemeine Bemerkungen. Die im Teil II beschriebene Methode wurde nun an-

gewendet zur Untersuchung des Spannungsfeldes von Biegungssehwingungen ein- gespannter St~ibe. Bevor wir jedoeh auf die Diskussion der Ergebnisse eingehen, sind noch einige Punkte zu erwlihnen.

So ist es klar, dab die dynamische Messung nicht die groBe Genauigkeit der statisehen Messung erreichen kann, da neu hinzugekommene Einflfisse neue Un- genauigkeiten einffihren. Als solehe zus~ttzliche Fehler- quellen seien genannt:

I. Die ,,Belastung" des Stabes, gemessen an der Amplitude, kann nicht so konstant gehalten werden wie bei einer statisehen Last.

2. Die Zeitdauer des Lichtdurehganges kann wegen eintretenden Lichtmangels nieht beliebig kurz gehalten werden. Insbesondere am Interferometer gestalten sieh die Messungen bei geringer Liehtst~rke sehr mfihsam.

3- Die Gefahr des Ermfidungsbruehes bedingt ein Arbeiten mit an und ftir sich kleinen Spannungen und demzufolge MeBwerte mit gr6fleren relativen Fehlern.

Es ist ferner aueh gr6Bte Sorgfalt auf die Kon- stanthaltung der meehanischen Resonanzbedingungen zu verwenden, da Anderungen der Resonanzverh/ilt- nisse insbesondere auf die Phasenlage yon Einflut3 sind. Die Resonanzlage ist aber sehr empfindlieh auf die Art der Einspannung, und kleinste Verwindungen des Ein- spannrahmens sind sehon von grol3em EinfluB und daher zu vermeiden.

~35~B5~ ,i

Mode/Id/oka = m mw~ Abb. 9. Dimensionen des Model]s I. a theoret i~her Randspannungsverlauf, dy- namisch, b theoretischer Randspannungs-

verlauf statisch.

Aus diesen Grfinden haben die Messungen trotz aller aufgewendeten Sorgfalt durchschnittlieh einen Fehler yon etwa 5 %; an Stellen mit an und ffir sich kleinen Spannungen ist die relative Genauigkeit natfirlich noch kleiner, aber dies ist dann ja auch yon geringerer Bedeutung.

Das zu den Modellen verwendete Glas hatte folgende Stoffzahlenl: E = 5540 kg/mm 2, I / m = 0,202, a = 0,0666 ~/kg/mm, b = o, I227 2 / k g / m m ,

c = -- o,o56I ,~/kg/mm.

2. MeBergebnisse. a) Mode l l m i t k r e i s f 6 r m i g e m Q u e r s c h n i t t s f i b e r g a n g . Untersucht wurde ein Glasmodell naeh Abb. 9. Die gefundenen Werte sind in der Abb. IO eingezeichnet. Da ja an der vor allem wiehtigen Einspannstelle die Deforma- tionen und damit die Massenkriifte gering sind, so ist vorauszusehen, dab die Spannungs- verteilung dort nicht wesentlich yon derjenigen im statisehen Fall abweichen wird. Diescr Umstand, welcher sieh aueh durch die Messungen best~tigte, erleichterte die

1 Ffir die ]3estimmung dieser Konstanten vgl. Rajnfeld (vgl. Ful3note I, S. 274 ). Die

Formel fiir E enth~lt dort einen Druckfehler, sie soll lauten E = _321//12 2 f b d 3 "

2 2 *

29 2 Meyer: Spannu.ngsoptische Untersuchung ebener Schwingungsvorg&nge. Ingenieur-Archlv

Untersuehungen sehr, weil der Vergleich der Spannungsverteilung im dynamischen Fall mit derjenigen bei statischer Biegung erlaubte, das Spannungsfeld mit relativ wenigen MeBpunkten auszuwerten. Dies war um so mehr erwfinscht, als sich die Messungen ftir den Fall der Schwingungen zufo'Ige der geringen Liehtst~irke ins- besondere am Interferometer ~uflerst mtihsam gestalten. Der vergleiehsweise zuge- zogene statische Fall der Biegung durch sine Einzelkraft wurde schon von Favre 1 ausgemessen und von uns an unserem Modell kontrolliert.

Als Ergebnis ist in Abb. IO der Verlauf der Spannungen am Rande und fiber einigen als Beispiel dienenden Quersehnitten eingetragen, und zwar fiir den Fall der Schwingungen und der statisehen Biegung durch eine Einzelkraft, wobei in beiden Fiillen das Moment am ideellen Einspann- punkt P gleich angenommen wurde. Man ersieht daraus, wie im Gebiet der Einspann-

I i ,

t . 17 ~ . ~ V"

2J l c n z r l ~ 2

A b b . I x . P r o f i l I I konstanter Randspannung. B e . z e i c h n u u g e n w i e i n A b b . xo .

A b b . xo. Gemesseae Spannungen an M o d e l l I . - - - d F n a m i s c h e r F a l l , -- s t a t i s c h e r F a l l . a und b sind d i e entspre~hend~n theoretisohen

Randspannungen flit glelcbes ideeUes Moment im Punkte P.

stelle die Randspannung gcnau dcm statischen Verlauf folgt, und nachhcr ent- sprechend dem Verlauf des Momentes, gerechnet nach Gleichung (26), abnimmt. Auch die Spannungsverteilung fiber den Stabqucrschnitt entspricht innerhalb der Meggenauigkeit dem statischcn Verlauf, wie aus dcn beispielsweise eingezeichneten Schnitten I, / / u n d l l I zu entnehmen ist.

Da Mso in der N~he der Einspannstelle die Spannungsverteilung nicht wesentlich yon derjenigen bei statischer Biegung abweicht, und diese unabh~ingig ist yon elasti- schen Konstanten, so gilt dasselbe dort auch in gleichem Mat3e ffir die Schwingungen, trotzdem wit ja im Teil Ill gesehen haben, dab dies ftir dynamische Probleme im allgemeinen nieht zutrifft.

b) M o d e l l m i t P r o f i l k o n s t a n t e r R a n d s p a n n u n g a l s Q u e r s c h n i t t s f i b e r - gang. Im weiteren wurde noch ein Stab gleicher Dimensionen untersueht, bei dem abet als Querschnittsfibergang das yon Baud 2 ermittelte Profil konstanter Rand- spannung ffir Biegung verwendet wurde. Der Randspannungsverlauf ist in Abb. II eingetragen. Wie daraus ersichtlich, ist dabei aueh im Schwingungsfall die Rand- spannung in der N~he der Einspannstelle im wesentliehen konstant, was ja auf Grund der mit dem ersten Modell erhaltenen Ergebnisse bereits zu erwarten war. DaB die Randspannung gegen das freie Ende zu rascher abnimmt als bei Biegung durch sine Einzelkraft oder noch mehr durch sin reines Moment, ist die Folge des anderen Momentverlaufes (vgI. Abb. 9).

1 Vgl. Fuflnote 2, S. 273. R. V. Baud, Beitr/~ge zur Kenntnis der Spannungsverteilung in prismatischen und keil-

f6rmigen Konstruktionselementen mit Querschnittfiberg&ngen. Diss. E.T.H. I934.

VII. Band x936. Mudrak : Emittlung der Eigenschwingzahlen yon durchlaufenden Tr/~gern. 293

3. Zusammenfassung. Zusammenfassend kann gesagt werden: I. Die Spannungsverteilung bei Biegungsschwingungen ist bei idealer Einspannung

innerhalb unserer MeBgenauigkeit nicht versehieden yon derjenigen bei statischer Biegung, soweit es die Einspannstelle betrifft; in grO~erer Entfernung vom Einspann- querschnitt gelten die Gleichungen (26), (32) und (33)(vgl. unter 3.).

2. Die bei den Schwingungen auftretende erh6hte Bruchgefahr ist also nicht als Folg e einer anderen Spannungsverteilung, sondern rein nut als eine Eigenschaft des Baustoffes zu erkl~ren.

3. Die den Schwingungsdifferentialgleichungen (vgl. Abschnitt lIl, 4) zugrunde liegende Bernoulli-Naviersche Hypothese v o n d e r fiber den Querschnitt linearen Spannungsverteilung gilt in der N~he der Einspannstelle nicht mehr. Entsprechend I. gelten bier aflch im Schwingungsfall die yon Favr.e 1 abgegrenzten Gtiltigkeitszonen (vgl. Abb. IO).

4. Aus dem unter 3. genannten Grunde konnen selbst bei idealer Einspannung die aus den Schwingungsdifferentialgleiehungen (24), (29), (30) gerechneten Resonanz- frequenzen unter Umst~nden betr~chtliche Abweichungen yon dell gemessenen Werten aufweisen 2 je nach Schlankheitsgrad und Quersehnittsform des Stabes 3

1 Vgl. Ful3note 2, S. 273. E. Miiller, ]Bull. Oerlikon I933'S. 8o7. Fiir unser unter a) beschriebenes Modell berechnet sich die ]Eigenfrequenz der ]Biegungs-

schwingung erster Ordnung zu 346/Sek. ; gemessen wurde sie zu 345/Sek. ; die ~bereinstimmung ist also in unserem Fall recht gut.

(Eingegangen am 27. Juni 1936.)

Ermittlung der Eigenschwingzahlen von durchlaufenden Triigern mit feldweise ver/inderlicher L/ingskraft.

Von W. Mudrak in Graz.

1. Einleitung. Die zur exakten Berechnung der Eigensch~vingzahlen durchlaufen- der Tr~iger mit feldweise festem Querschnitt und von Feld zu Feld wechselnder L~ingskraft n6tigen Gleichungen wurden erstmalig yon Cowley und Levy1 aufgestell t und in die ffir die praktische Verwertung besonders gfinstige Form einer erweiterten Dreimomentengleichung gebracht, die ftir je zwei Nachbarfelder aufgestellt werden mul3. Das Endergebnis l~flt sich in einer dort angegebenen Determinantenform schreiben, die auch bei den dort angeftihrten Beispielen von Tr~gern fiber zwei und drei Felder verwendet wurde. Eine allgemeine Anwendung bei gr6flerer Felderzahl konnte dieses Verfahren abet von vornherein wegen seiner Langwierigkeit nicht erwarten, denn jedes Glied der Determinante mut3 erst aus transzendenten Funk- tionen berechnet werden, deren Argument, das im wesentlichen yon der gesuchten Schwingzahl abh~ingt, so lange veFandert werden mut3, his die Determinante ver- schwindet. Die geschilderten Umst~nde haben ShSgenji ~ zur Ausarbeitung eines N~herungsverfahrens auf der Grundlage des Rayleighsehen Prinzips veranlaflt. Im folgenden soll nun, einer Anregung Professor K. Federhofers folgend, gezeigt werden, wie mit einem v o n d e r exakten L6sung der Bewegungsgleiehung ausgehenden Ver- fahren, das sich in Aufbau und AnwendUng an das vom Verfasser in dieser Zeitschrift

z W. L. Cowley u. H. Levy, Proc. Roy. Soc., Lond. (A) 95 (1919) S. 44 o. 2 K. Sh6genji, Mem. Coll. Engng., Kyushu 3 (1924) S. x43.