Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 11 · R uckw artsverfahren im Beispiel 7.5 in SPSS III ANOVA a Modell Quadratsumme df Mittel der Quadrate F Sig. 1 Regression 707,309 9 78,590

Statistik II fur BetriebswirteVorlesung 11

Dr. Andreas Wunsche

TU Bergakademie FreibergInstitut fur Stochastik

07. Januar 2019

Dr. Andreas Wunsche Statistik II fur Betriebswirte Vorlesung 11 Version: 18. Dezember 2018 1

t−Test bezuglich der ganzen Regressionsfunktion

I Hypothesen: H0 : dTa = c , HA : dTa 6= c

mit gegebenem Vektor d und reeller Zahl c .

I Testgroße: T =dT a− c√

s2RestdT (FTF )−1d

.

Diese Testgroße ist unter H0 t−verteilt mit n − r Freiheitsgraden.

I Kritischer Bereich zum Niveau α :K = {t ∈ R : |t| > tn−r ;1−α/2 } .

I Setzt man insbesondere d = f (x) fur einen bestimmten Vektor xder Regressoren, so kann man damit testen, ob der Wert derRegressionsfunktion f (x) = aT f (x) an der Stelle x signifikantvon c abweicht.


Beispiel 7.3: Test auf optimale Skalenelastizitat

I Ein Produktionsprozess mit den Produktionsfaktoren xi werdedurch die Cobb-Douglas-Produktionsfunktion beschrieben:

y = eβ0 xβ11 · . . . · xβkk .

I Durch die Variablentransformation y = ln y , xi = ln xi , i = 1, ..., k ,erhalt man die Beziehung y = β0 + β1x1 + . . .+ βkxk .

I Die Großen β1, . . . , βk sind die Produktionselastizitaten undε = β1 + . . .+ βk ist die Skalenelastizitat. Eine Steigerung derProduktionsfaktoren um a % bewirkt dann eine Steigerung der

Produktionsmenge von y auf y ·(

1 +a

100

)ε.

I Dann interessiert die Hypothese H0 : ε = β1 + . . .+ βk = 1 (esliegen keine positive oder negative Skaleneffekte vor).

I Dazu verwendet man den Test von der vorigen Folie mitd = (0, 1, 1, . . . , 1)T und c = 1 .


F−Test zur Modelluberprufung

I Allgemein gilt, dass bei großen Werten der Restvarianz (derRestquadratsumme) das gewahlte Modell schlecht ist.

I Ist eine gute Anpassung aber moglich, dann interessiert oft dieFrage, ob auch schon ein

”kleineres“ Modell, d.h. ein Modell mit

einer geringeren Anzahl von Ansatzfunktionen adaquat ist. Dieseskann fur ein gewahltes

”großes“ Modell (rg Ansatzfunktionen,

Restquadratsumme SSRg ) und ein gewahltes”kleines“ Modell (rk

Ansatzfunktionen, Restquadratsumme SSRk) mit Hilfe einesF−Tests uberpruft werden.

I Hypothesen: H0 : kleines Modell ist ausreichend ,HA : kleines Modell ist nicht ausreichend .

I Testgroße: T =n − rgrk

SSRk − SSRg

SSRg.

I Kritischer Bereich zum Niveau α :K = {t ∈ R : t > Frk ;n−rg ;1−α } .


Beispiel 7.4 Produktionsmenge und Gesamtkosten

I Daten aus Bleymuller et al, Statistik furWirtschaftswissenschaftler, Aufgabe 24.3 .

I i Beobachtungszeitraumxi Produktionsmenge (in Tsd. Stuck)yi Gesamtkosten (in Tsd. e)

i 1 2 3 4 5

xi 3.2 4.1 10.7 8.7 6.5

yi 32.2 32.7 70.1 48.2 38.6

i 6 7 8 9 10

xi 9.4 11.2 1.4 6.0 4.2

yi 55.4 77.2 24.3 37.5 34.0

I Gesuchte Regressionsfunktion: y(x) = a1 + a2x + a3x2 + a4x

3

bzw. entsprechendes Polynom 2. Grades .


Statgraphics fur Beispiel 7.4 mit Polynom 2. Grades

Polynomial Regression - Gesamtkosten versus Produktionsmenge Dependent variable: Gesamtkosten (Tsd. Euro)

Independent variable: Produktionsmenge (Tsd. Stück)

Order of polynomial = 2

Standard T

Parameter Estimate Error Statistic P-Value

CONSTANT 29,8442 4,73334 6,30509 0,0004

Produktionsmenge -1,88066 1,6551 -1,13628 0,2932

Produktionsmenge^2 0,519501 0,123424 4,20907 0,0040

Analysis of Variance

Source Sum of Squares Df Mean Square F-Ratio P-Value

Model 2669,88 2 1334,94 121,06 0,0000

Residual 77,1925 7 11,0275

Total (Corr.) 2747,08 9

R-squared = 97,19 percent

Standard Error of Est. = 3,32077




Standard T


CONSTANT 13,779 1,50202 9,17365 0,0001

Produktionsmenge 9,69164 0,916095 10,5793 0,0000

Produktionsmenge^2 -1,66259 0,163631 -10,1607 0,0001




Model 2744,61 3 914,869 2224,47 0,0000

Residual 2,46765 6 0,411275

Total (Corr.) 2747,08 9




Polynom 2. Grades im Beispiel 7.4 (Statgraphics)


Statgraphics fur Beispiel 7.4 mit Polynom 3. Grades




Standard T


CONSTANT 29,8442 4,73334 6,30509 0,0004

Produktionsmenge -1,88066 1,6551 -1,13628 0,2932




Model 2669,88 2 1334,94 121,06 0,0000

Residual 77,1925 7 11,0275

Total (Corr.) 2747,08 9






Standard T


CONSTANT 13,779 1,50202 9,17365 0,0001

Produktionsmenge 9,69164 0,916095 10,5793 0,0000

Produktionsmenge^2 -1,66259 0,163631 -10,1607 0,0001




Model 2744,61 3 914,869 2224,47 0,0000

Residual 2,46765 6 0,411275

Total (Corr.) 2747,08 9




Polynom 3. Grades im Beispiel 7.4 (Statgraphics)


F−Test zur Modelluberprufung im Beispiel 7.4

I Mit Statgraphics geschatztes Regressionspolynom 3. Grades

y = 13.779 + 9.69164 x − 1.66259 x2 + 0.116513 x3

mit Restvariabilitat SSRg = 2.46765 .

I Mit Statgraphics geschatztes Regressionspolynom 2. Grades

y = 29.8442− 1.88066 x + 0.519501 x2

mit Restvariabilitat SSRk = 77.1925 .

I Wert der Testgroße t =10− 4

3· 77.1925− 2.46765

2.46765= 60.56 .

I Quantil der F−Verteilung F3;6;0.95 = 4.7571 .

I H0 :”kleines Modell (Polynom 2. Grades) ist ausreichend“ wird

abgelehnt.


7.3. Variablenselektion

I Ziel: Mit moglichst wenig unabhangigen Variablen eine guteVorhersage der abhangigen Variable zu erzielen.

I Prinzip: Untersuche wie sich durch Weglassen einzelner Variablendas Bestimmtheitsmaß B verandert.

I Typische Selektionsprozeduren:I Ruckwartsverfahren ,I Vorwartsverfahren ,I Schrittweise Verfahren .

I Beachte : Es handelt sich um explorative Verfahren, diehauptsachlich der Modellbildung dienen.


Beispiel 7.5 Arbeitsmotivation

Y : Motivation (Einschatzung der Arbeitsmotivation durch Experten)Einflußgroßen: Eigenschaften

I x1 Ehrgeiz (Fragebogen)

I x2 Kreativitat (Fragebogen)

I x3 Leistungsstreben (Fragebogen)

Einflußgroßen: Rahmenbedingungen

I x4 Hierachie (Position in der Hierachie des Unternehmens)

I x5 Lohn (Bruttolohn im Monat)

I x6 Arbeitsbedingungen (Zeitsouveranitat, Kommunikationsstrukturusw.)

Einflußgroßen: Inhalte der Tatigkeit

I x7 Lernpotential (Lernpotential der Tatigkeit)

I x8 Vielfalt (Vielfalt an Tatigkeiten)

I x9 Anspruch (Komplexitat der Tatigkeit)


7.3.1 Ruckwartsverfahren

I Betrachte das vollstandige Modell (mit allen unabhangigenVariablen) und berechne das Bestimmtheitsmaß B.

I Entferne sukzessive diejenigen Variablen, die zu dem geringstenRuckgang des Bestimmtheitsmaßes fuhren wurden.

I Das Verfahren wird abgebrochen, falls sich bei dem Entfernen einerVariablen das Bestimmtheitsmaß

”signifikant“ verkleinert.


Ruckwartsverfahren im Beispiel 7.5 in SPSS I

Eingegebene/Entfernte Variablena

Model

l

Eingegebene

Variablen Entfernte Variablen Methode

1 Anspruch, Lohn,

Kreativität,

Leistungsstreben,

Arbeitsbedingungen,

Vielfalt,

Lernpotential,

Hierarchie, Ehrgeizb

. Aufnehmen

2

. Arbeitsbedingungen

Rückwärts (Kriterium:

Wahrscheinlichkeit von F-Wert für

Ausschluss >= ,100).

3

. Lohn




4

. Leistungsstreben




5

. Anspruch




a. Abhängige Variable: Motivation

b. Alle angeforderten Variablen wurden

eingegeben.


Ruckwartsverfahren im Beispiel 7.5 in SPSS II

Modellübersicht

Model

l R R-Quadrat

Angepasstes

R-Quadrat

Standardfehler der

Schätzung

1 ,964a ,929 ,887 1,891

2 ,963b ,928 ,892 1,851

3 ,963c ,926 ,896 1,814

4 ,961d ,923 ,897 1,803

5 ,957e ,916 ,894 1,837

a. Prädiktoren: (Konstante), Anspruch, Lohn,

Kreativität, Leistungsstreben, Arbeitsbedingungen, Vielfalt, Lernpotential,

Hierarchie, Ehrgeiz

b. Prädiktoren: (Konstante), Anspruch, Lohn, Kreativität, Leistungsstreben,

Vielfalt, Lernpotential, Hierarchie, Ehrgeiz

c. Prädiktoren: (Konstante), Anspruch, Kreativität, Leistungsstreben, Vielfalt,

Lernpotential, Hierarchie, Ehrgeiz

d. Prädiktoren: (Konstante), Anspruch, Kreativität, Vielfalt, Lernpotential,

Hierarchie, Ehrgeiz

e. Prädiktoren: (Konstante), Kreativität, Vielfalt, Lernpotential, Hierarchie,

Ehrgeiz


Ruckwartsverfahren im Beispiel 7.5 in SPSS III

ANOVAa

Modell Quadratsumme df

Mittel der

Quadrate F Sig.

1 Regression 707,309 9 78,590 21,972 ,000b

Residuum 53,651 15 3,577

Gesamtsumme 760,960 24

2 Regression 706,120 8 88,265 25,752 ,000c

Residuum 54,840 16 3,427


3 Regression 705,000 7 100,714 30,596 ,000d

Residuum 55,960 17 3,292


4 Regression 702,422 6 117,070 35,999 ,000e

Residuum 58,538 18 3,252


5 Regression 696,852 5 139,370 41,306 ,000f

Residuum 64,108 19 3,374



b. Prädiktoren: (Konstante), Anspruch, Lohn, Kreativität, Leistungsstreben,

Arbeitsbedingungen, Vielfalt, Lernpotential, Hierarchie, Ehrgeiz

c. Prädiktoren: (Konstante), Anspruch, Lohn, Kreativität, Leistungsstreben,

Vielfalt, Lernpotential, Hierarchie, Ehrgeiz

d. Prädiktoren: (Konstante), Anspruch, Kreativität, Leistungsstreben, Vielfalt,

Lernpotential, Hierarchie, Ehrgeiz

e. Prädiktoren: (Konstante), Anspruch, Kreativität, Vielfalt, Lernpotential,

Hierarchie, Ehrgeiz

f. Prädiktoren: (Konstante), Kreativität, Vielfalt, Lernpotential, Hierarchie,

Ehrgeiz


Ruckwartsverfahren im Beispiel 7.5 in SPSS IV

Koeffizientena

Modell

Nicht standardisierte

Koeffizienten

Standardisi

erte

Koeffiziente

n

t Sig. B

Standardfe

hler Beta

1 (Konstante) -3,842 5,052 -,760 ,459

Ehrgeiz ,193 ,081 ,337 2,381 ,031

Kreativität ,153 ,049 ,234 3,127 ,007

Leistungsstreben ,049 ,065 ,095 ,761 ,458

Hierarchie ,246 ,148 ,235 1,664 ,117

Lohn -,001 ,001 -,077 -,589 ,564

Arbeitsbedingungen -,031 ,054 -,045 -,576 ,573

Lernpotential ,165 ,098 ,199 1,683 ,113

Vielfalt ,206 ,052 ,354 3,973 ,001

Anspruch ,053 ,058 ,124 ,920 ,372

2 (Konstante) -4,737 4,706 -1,007 ,329

Ehrgeiz ,187 ,079 ,326 2,376 ,030

Kreativität ,157 ,048 ,239 3,285 ,005


Hierarchie ,240 ,144 ,228 1,660 ,116

Lohn -,001 ,001 -,073 -,572 ,575

Lernpotential ,157 ,095 ,190 1,655 ,117

Vielfalt ,205 ,051 ,352 4,040 ,001

Anspruch ,052 ,057 ,121 ,914 ,374


Ruckwartsverfahren im Beispiel 7.5 in SPSS V

3 (Konstante) -7,154 2,027 -3,529 ,003

Ehrgeiz ,193 ,076 ,338 2,540 ,021

Kreativität ,159 ,046 ,244 3,431 ,003


Hierarchie ,172 ,081 ,164 2,113 ,050

Lernpotential ,142 ,089 ,171 1,588 ,131

Vielfalt ,206 ,050 ,355 4,168 ,001

Anspruch ,067 ,049 ,156 1,354 ,193

4 (Konstante) -7,065 2,013 -3,510 ,002

Ehrgeiz ,247 ,046 ,432 5,402 ,000

Kreativität ,156 ,046 ,238 3,382 ,003

Hierarchie ,185 ,080 ,176 2,314 ,033

Lernpotential ,137 ,088 ,166 1,551 ,138

Vielfalt ,201 ,049 ,346 4,117 ,001

Anspruch ,064 ,049 ,149 1,309 ,207

5 (Konstante) -6,761 2,036 -3,320 ,004

Ehrgeiz ,239 ,046 ,419 5,181 ,000

Kreativität ,146 ,046 ,223 3,158 ,005

Hierarchie ,218 ,077 ,208 2,839 ,010

Lernpotential ,217 ,066 ,262 3,305 ,004

Vielfalt ,228 ,045 ,392 5,037 ,000



7.3.2 Vorwartsverfahren

I Bestimme diejenige unabhangige Variable, die mit der abhangigenVariable am starksten korreliert ist und berechne dasBestimmtheitsmaß B.

I Ist das Bestimmtheitsmaß B”signifikant“, wird diese Variable in das

Modell aufgenommen.

I Fuge sukzessive diejenigen Variablen zu dem Modell hinzu, die zudem großten Anstieg des Bestimmtheitsmaßes fuhren.

I Das Verfahren bricht ab, falls sich bei Hinzunahme einer neuenVariable das Bestimmtheitsmaß

”nicht signifikant“ vergroßert.


Vorwartsverfahren im Beispiel 7.5 in SPSS I


Model

l

Eingegebene

Variablen

Entfernte

Variablen Methode

1 Ehrgeiz .

Vorwärts (Kriterium: Wahrscheinlichkeit von F-Wert

für Aufnahme <= ,050)

2 Anspruch .



3 Kreativität .



4 Vielfalt .



5 Hierarchie .




Modellübersicht

Model

l R R-Quadrat

Angepasstes

R-Quadrat

Standardfehler

der Schätzung

1 ,708a ,501 ,479 4,065

2 ,863b ,744 ,721 2,973

3 ,906c ,820 ,795 2,552

4 ,944d ,891 ,869 2,039

5 ,955e ,913 ,890 1,869

a. Prädiktoren: (Konstante), Ehrgeiz

b. Prädiktoren: (Konstante), Ehrgeiz, Anspruch

c. Prädiktoren: (Konstante), Ehrgeiz, Anspruch,

Kreativität

d. Prädiktoren: (Konstante), Ehrgeiz, Anspruch,

Kreativität, Vielfalt

e. Prädiktoren: (Konstante), Ehrgeiz, Anspruch,

Kreativität, Vielfalt, Hierarchie


Vorwartsverfahren im Beispiel 7.5 in SPSS II


Model

l

Eingegebene

Variablen

Entfernte

Variablen Methode

1 Ehrgeiz .



2 Anspruch .



3 Kreativität .



4 Vielfalt .



5 Hierarchie .




Modellübersicht

Model

l R R-Quadrat

Angepasstes

R-Quadrat

Standardfehler

der Schätzung

1 ,708a ,501 ,479 4,065

2 ,863b ,744 ,721 2,973

3 ,906c ,820 ,795 2,552

4 ,944d ,891 ,869 2,039

5 ,955e ,913 ,890 1,869

a. Prädiktoren: (Konstante), Ehrgeiz

b. Prädiktoren: (Konstante), Ehrgeiz, Anspruch

c. Prädiktoren: (Konstante), Ehrgeiz, Anspruch,

Kreativität

d. Prädiktoren: (Konstante), Ehrgeiz, Anspruch,

Kreativität, Vielfalt

e. Prädiktoren: (Konstante), Ehrgeiz, Anspruch,

Kreativität, Vielfalt, Hierarchie


Vorwartsverfahren im Beispiel 7.5 in SPSS III

ANOVAa

Modell

Quadrat

summe df

Mittel der

Quadrate F Sig.

1 Regression 380,968 1 380,968 23,059 ,000b

Residuum 379,992 23 16,521


2 Regression 566,456 2 283,228 32,035 ,000c

Residuum 194,504 22 8,841


3 Regression 624,244 3 208,081 31,962 ,000d

Residuum 136,716 21 6,510


4 Regression 677,797 4 169,449 40,751 ,000e

Residuum 83,163 20 4,158


5 Regression 694,596 5 138,919 39,773 ,000f

Residuum 66,364 19 3,493



b. Prädiktoren: (Konstante), Ehrgeiz

c. Prädiktoren: (Konstante), Ehrgeiz, Anspruch

d. Prädiktoren: (Konstante), Ehrgeiz, Anspruch, Kreativität

e. Prädiktoren: (Konstante), Ehrgeiz, Anspruch, Kreativität, Vielfalt

f. Prädiktoren: (Konstante), Ehrgeiz, Anspruch, Kreativität, Vielfalt, Hierarchie


Vorwartsverfahren im Beispiel 7.5 in SPSS IV


Koeffizientena

Modell

Nicht standardisierte

Koeffizienten

Standardisierte

Koeffizienten

t Sig. B Standardfehler Beta

1 (Konstante) 9,088 2,406 3,778 ,001

Ehrgeiz ,404 ,084 ,708 4,802 ,000

2 (Konstante) ,063 2,642 ,024 ,981

Ehrgeiz ,320 ,064 ,560 4,983 ,000

Anspruch ,221 ,048 ,515 4,580 ,000

3 (Konstante) -2,101 2,380 -,883 ,387

Ehrgeiz ,319 ,055 ,558 5,776 ,000

Anspruch ,203 ,042 ,474 4,862 ,000

Kreativität ,183 ,061 ,279 2,979 ,007

4 (Konstante) -6,502 2,263 -2,873 ,009

Ehrgeiz ,253 ,048 ,442 5,286 ,000

Anspruch ,150 ,037 ,350 4,101 ,001

Kreativität ,192 ,049 ,293 3,908 ,001

Vielfalt ,190 ,053 ,327 3,589 ,002

5 (Konstante) -6,833 2,080 -3,285 ,004

Ehrgeiz ,271 ,045 ,474 6,076 ,000

Anspruch ,116 ,037 ,271 3,147 ,005

Kreativität ,177 ,045 ,271 3,903 ,001

Vielfalt ,181 ,049 ,311 3,706 ,001

Hierarchie ,181 ,083 ,173 2,193 ,041


7.3.3 Schrittweise Verfahren

I Ruckwarts- und Vorwartsverfahren werden kombiniert!

I Man fuhrt ein Vorwartsverfahren durch, wobei in jedem Schrittuntersucht wird, ob bei Entfernen einer bereits aufgenommenenVariable das Bestimmtheitsmaß B signifikant abnehmen wurde.


Bemerkungen

I Achtung: Verschiedene Verfahren liefern meistens verschiedeneErgebnisse.

I Im Beispiel 7.5 (Arbeitsmotivation)I Beim Ruckwartsverfahren sind beim Ergebnis als unabhangige

Variable Ehrgeiz, Kreativitat, Hierachie, Lernpotential und Vielfaltenthalten und das Bestimmtheitsmaß ist B = 0.916.

I Beim Vorwartsverfahren sind beim Ergebnis als unabhangige VariableEhrgeiz, Kreativitat, Hierachie, Anspruch und Vielfalt enthalten unddas Bestimmtheitsmaß ist B = 0.913.

I Im Beispiel 7.5 liefert das schrittweise Verfahren das gleicheErgebnis wie das Vorwartsverfahren.


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