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Stetige Verteilungen. Das Uhrenbeispiel Dichtefunktion Verteilungsfunktion Interpretationen Mittelwert und Streuung Ende. die Tick -Tack – Uhr. Das Uhrenbeispiel. die Summ - Uhr. Menü. die Tick -Tack – Uhr. Das Uhrenbeispiel. die Summ - Uhr. auf einem Ziffernblatt - PowerPoint PPT Presentation
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Stetige VerteilungenStetige VerteilungenDas Uhrenbeispiel
Dichtefunktion
Verteilungsfunktion
Interpretationen
Mittelwert und Streuung
Ende
Das UhrenbeispielDas Uhrenbeispiel
die Tick -Tack – Uhrdie Tick -Tack – Uhr
Menü
die Summ - Uhrdie Summ - Uhr
Das UhrenbeispielDas Uhrenbeispiel
die Tick die Tick -Tack-Tack – Uhr – Uhr
Menü
die Summ - Uhrdie Summ - Uhr
auf einem Ziffernblattauf einem Ziffernblatt
mit 60 Unterteilungenmit 60 Unterteilungen(zwischen 0 und 59)(zwischen 0 und 59)
springt ein Sekundenzeigerspringt ein Sekundenzeigervon Sekunde zu Sekundevon Sekunde zu Sekunde
auf einem Ziffernblattauf einem Ziffernblatt
mit 60 Unterteilungenmit 60 Unterteilungen
läuft ein Sekundenzeigerläuft ein Sekundenzeiger
stetig umstetig um
Uhr
die Tick – Tack – Uhrdie Tick – Tack – Uhr
60
1)20(20 ukW
60
305022)21(5021 uuukW
60
40391)0(39 uuuU
Menü
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem zufälligen Blick auf diese Uhr
der Sekundenzeiger genau auf 20 steht?
es gibt die Möglichkeiten 0 bis 59, 20 ist eine davon, daher
der Sekundenzeiger höchstens auf 39 steht
es gibt die Möglichkeiten 0 bis 59, 0 bis 39 sind 40 davon, daher
der Sekundenzeiger zwischen 21 und 50 steht
es gibt die Möglichkeiten 0 bis 59, 21 bis 50 sind 30 davon, daher
60
1)( kukW
gibtdieesweilk
kU 060
1
k
i
k
i
iukU00 60
1
Uhr
die Summ - Uhrdie Summ - Uhr
60
302050
5020
UU
xW
60
4040)40( UxW
Menü
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem zufälligen Blick auf diese Uhr
der Sekundenzeiger genau auf 20 steht?
die überstreichbare Fläche geht von 0 bis 60, 20 ist ein Punkt davon, daher ???
der Sekundenzeiger höchstens auf 40 steht
die überstreichbare Fläche geht von 0 bis 60,höchstens 40 heißt zwischen 0 und 40,das sind 40/60 dieser Fläche, daher
der Sekundenzeiger zwischen 20 und 50 steht
die überstreichbare Fläche geht von 0 bis 60,20 bis 50 sind 30 Einheiten dieser Fläche, daher
?????0
20
xW
Uhr
die Summ - Uhrdie Summ - Uhr
60
302050
5020
UU
xW
60
4040)40( UxW
?????0
20
xW
Menü
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem zufälligen Blick auf diese Uhr
der Sekundenzeiger genau auf 20 steht?
der Sekundenzeiger höchstens auf 40 steht
der Sekundenzeiger zwischen 20 und 50 steht
60,060
xfürx
xU
was ist jetzt u(20) ?????
Uhr
die Dichtefunktion u(x)die Dichtefunktion u(x)
dttuxUx
0
dx
)x(dU)x(u
60
1
36020
6023
3
20U23U
3
20,23W
chkeithrscheinlimittlereWa
Menü
x
xUxxUlimxu
0x
was ist jetzt u(20) ????? wir wissen:
U(x) ist die Verteilungsfunktionund
gibt die Wahrscheinlichkeit an,dass der Zeiger
zwischen 0 und x steht
bei uns ist U(x) = x / 60
wir ziehen jetzt das Intervall auf die Länge 0 zusammen und schauen was geschieht:
he, das kennen wir schon, das ist: und daher:
stetige Verteilungstetige Verteilungf(x) ist eine f(x) ist eine
WahrscheinlichkeitsdichteWahrscheinlichkeitsdichteim reellen Intervall [a, b]im reellen Intervall [a, b]
d.h. jeder beliebige reelle Wert d.h. jeder beliebige reelle Wert zwischen a und b ist für x möglich.zwischen a und b ist für x möglich.f(x) hat einen Wert, der nicht als f(x) hat einen Wert, der nicht als Wahrscheinlichkeit interpretiert Wahrscheinlichkeit interpretiert
werden kannwerden kann
F(x) ist die Verteilungsfunktion F(x) gibt die WahrscheinlichkeitF(x) gibt die Wahrscheinlichkeit an,an,dass die Zufallsvariable einen Wert dass die Zufallsvariable einen Wert
zwischen a und x annimmt.zwischen a und x annimmt.oder höchstens x beträgtoder höchstens x beträgt
InterpretationenInterpretationen
Menü
diskrete Verteilung stetige Verteilung
f(k) gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass genau k Ereignisse eintreffen
f(x) ist die Wahrscheinlichkeitsdichte und kann nicht als Wahrscheinlichkeit interpretiert werden. f(x) ist die 1. Ableitung der Verteilungsfunktion F(x).
k stammt aus einer abzählbaren Menge {0, …, b} mit n Elementen
x stammt aus einem reellen Intervall [a, b]
F(k) gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass zwischen 0 und k Ereignisse eintreffen
F(k) ist die Summe aller Einzelwahrscheinlichkeiten f(i), wobei i von 0 bis k läuft
F(x) gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass der Wert der Zufallsvariable zwischen a und x liegt
F(x) ist das Integral über f(x) mit der Normierung:F(a) = 0 und F(b) = 1
Mittelwert und StreuungMittelwert und Streuung
Menü
diskrete Verteilung stetige Verteilung
EndeEnde
Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit
Mag. Wolfgang Streit
