Übungen zu Geostatistik 1

Theoretische Verteilungen

Normalverteilung und Standardnormalverteilungals Beispiel einer theoretischen Verteilung

- Normalverteilung (Gaußverteilung) kann auf sehr viele Zufallsprozesse angewendet werden.

- Stetige (kontinuierliche), symmetrische (Schiefe=0), “glockenförmige” Verteilung.

- Mittelwert = Median = Modus- Schiefe = 0- Exzeß = 0

- Annahme der NV als Verteilungsmodell dort, wo die mittleren Werte eines Datenkollektivs gleichzeitig die häufigsten (wahrscheinlichsten) sind.

- Standardisierte Normalverteilung (zV) bei = 0 und = 1μ σ

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Theoretische Verteilungen

Theoretische Verteilung und empirische Häufigkeitsverteilung

7.00 8.00 9.00 10.00

Jahresmittel

0%

5%

10%

15%

Pro

zen

te

7.00 8.00 9.00 10.00

Jahresmittel

0%

25%

50%

75%

100%

Pro

zen

te

Beispiel:JahresmitteltemperaturMitteleuropäischer Stationen

KumulativeempirischeHäufigkeitsverteilung

Empirische Häufigkeitsverteilung

Beispiel:Normalverteilung

Verteilungsfunktion

Wahrscheinlich-keitsdichtefunktion

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Theoretische Verteilungen

Anpassung einer empirischen Häufigkeitsverteilung an eine theoretische Verteilung

Schritte:

- Suche nach einer, der empirischen HV ähnlichen theoretischen Verteilung

(- Visuelle Prüfung (Histogramm, Stem- and Leaf Plot, Boxplot - Deskriptive Parameter)

- Anpassung der gewählten theoret. Verteilung (Umrechnung der theoret. Verteilung auf Datenwerte der empirischen Verteilung)

- Überprüfung der Güte der Anpassung mittels graphischer Verfahren oder durch spezielle Anpassungstests

SPSS-Menü-> Deskriptive Statistik

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Theoretische Verteilungen

Prüfung der Güte der Verteilungsanpassung

Graphische „Tests“:

(1) Histogramm mit (angepasster) theoretischer Wahrscheinlichkeitsdichte- bzw. Verteilungsfunktion

7.00 8.00 9.00 10.00

Jahresmittel

0%

5%

10%

15%

Pro

zen

te

7.00 8.00 9.00 10.00

Jahresmittel

0%

25%

50%

75%

100%

Pro

zen

te

SPSS-Menü-> Deskriptive Statistik -> Häufigkeiten

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Theoretische Verteilungen

Prüfung der Güte der Verteilungsanpassung

Graphische „Tests“:

(2) Visuelle Prüfung der Anpassungsgüte mit QQ- (Quantile-Quantile) bzw. PP- (Probability-Probability) Plots

6 7 8 9 10 11

Beobachteter Wert

6

7

8

9

10

11

Erw

arte

ter

Wer

t von

Nor

mal

Q-Q-Diagramm von Normal von Jahresmittel

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

Beobachtete Kum. Wahrsch.

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0E

rwar

tete

Kum

. Wah

rsch

.

P-P-Diagramm von Normal von Jahresmittel

SPSS-Menü-> Deskriptive Statistik -> Explorative Datenanalyse

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Theoretische Verteilungen

Prüfung der Güte der Verteilungsanpassung

Statistische Anpassungstests (Beispiele):(Vergleich einer empirischen (SP) mit einer theoretischen (GG) Verteilung)

Zur Erinnerung: Statistische Test- und Prüfverfahren

Das Signifikanzniveau:

● Si = Signifikanzniveau (Sicherheitswahrscheinlichkeit) = Wahrscheinlichkeit eines richtigen Testentscheids

● = Irrtumswahrscheinlichkeit (1 – Si) = Wahrscheinlichkeit eines falschen αTestentscheids

● grobe (und willkürliche) Einteilung:

Si = 90% = „signifikant“Si = 95% = „sehr signifikant“Si = 99% = „hochsignifikant“

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Theoretische Verteilungen

Prüfung der Güte der Verteilungsanpassung

Statistische Anpassungstests (Beispiele):(Vergleich einer empirischen (SP) mit einer theoretischen (GG) Verteilung)

Zur Erinnerung: Statistische Test- und Prüfverfahren

Testentscheid:

In SPSS: Ausgabe der Wahrscheinlichkeit p für das Eintreten des empirisch festgestellten Ereignisses (ermittelter Wert der Prüfgrösse) bei Gültigkeit von H0

Ablehnen (Verwerfen) der Nullhypothese auf dem gewählten Signifikanzniveau

wenn p > α

(Synonyme für p in SPSS: Sig., Asymptotische Signifikanz)

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Theoretische Verteilungen

Prüfung der Güte der Verteilungsanpassung

Statistische Anpassungstests (Beispiele):(Vergleich einer empirischen (SP) mit einer theoretischen (GG) Verteilung)

Zur Erinnerung: Statistische Test- und Prüfverfahren

Anwendungsvoraussetzungen versch. Prüfverfahren:

● Testparameter zur Berechnung der Prüfgrösse (Übernahme von SP-Kenngrößen möglich oder modifizierte Berechnung?)

● Stichprobenumfang (Mindestumfang bei einer SP, Gleichheit der SP-Umfänge bei SP-Vergleichen?)

● Voraussetzungen bzgl. des Verteilungstyps der betr. Kollektive (verteilungsgebundene / parametrische bzw. verteilungsfreie / nonparametrische Verfahren?)

● Skalenniveau der Kollektive

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Theoretische Verteilungen

Prüfung der Güte der Verteilungsanpassung

Statistische Anpassungstests (Beispiele):(Vergleich einer empirischen (SP) mit einer theoretischen (GG) Verteilung)

Generell gilt für Anpassungstests („Goodness of Fit“ Tests) die Nullhypothese:

H0 = Die empirische Häufigkeitsverteilung stimmt mit einer

(gewählten) theoretischen Häufigkeitsverteilung überein.

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Theoretische Verteilungen

Prüfung der Güte der Verteilungsanpassung

Statistische Anpassungstests (Beispiele):(Vergleich einer empirischen (SP) mit einer theoretischen (GG) Verteilung)

(1) Kolmogoroff-Smirnoff-Anpassungstest(Modifizierter Test nach Lilliefors: Parameter der TV werden aus SP geschätzt)

Berechnung der Prüfgrösse:

SHk(SP): Summenhäufigkeit der empirischen Verteilung

SHk(TV): Summenhäufigkeit der theoretischen Verteilung

K: Anzahl der Klassenn: Stichprobenumfang

Voraussetzungen: Klassenorientierung der SP, n > 50, nk ≥ 4, kumulative Häufigkeiten, verteilungsfreier Test

Pr=∣Max SHk SP−SHk TV k=1

K ∣n

SPSS-Menü-> Deskriptive Statistik -> Explorative Datenanalyse-> Normalverteilungs- diagramme mit Tests

bzw.-> Nichtparametrische Tests-> K-S bei einer Stichprobe

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Theoretische Verteilungen

Prüfung der Güte der Verteilungsanpassung

Statistische Anpassungstests (Beispiele):(Vergleich einer empirischen (SP) mit einer theoretischen (GG) Verteilung)

(2) X2-Anpassungstest

Berechnung der Prüfgrösse:

Hk: Klassenhäufigkeit der empirischen (SP), der theoretischen (TV) Verteilung

K: Anzahl der KlassenΦ = K-Z: Zahl der Freiheitsgrade, Z: Zahl der Parameter der theoretischen Verteilung

Voraussetzungen: Klassenorientierung der SP, n > 50, nk ≥ 4, verteilungsfreier Test

X2=∑

k=1

K Hk SP−Hk TV 2

Hk TV

SPSS-Menü-> Nichtparametrische Tests -> Chi Quadrat

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Theoretische Verteilungen

Prüfung der Güte der Verteilungsanpassung

Statistische Anpassungstests (Beispiele):(Vergleich einer empirischen (SP) mit einer theoretischen (GG) Verteilung)

(3) Shapiro-Wilk-Anpassungstest

Berechnung der Prüfgrösse:

Anwendung: - Nur für Prüfung auf NV anwendbar!- Insbesondere bei Vorliegen kleiner Stichprobenumfänge (<50) zuverlässiger als KS-Test und X2-Test

SPSS-Menü-> Deskriptive Statistik -> Explorative Datenanalyse-> Normalverteilungs- diagramme mit Tests

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Theoretische Verteilungen

Wahrscheinlichkeitsschätzungen auf Grundlage der angepassten Verteilungsfunktion

Beispiel Normalverteilung u. Standardnormalverteilung

(2) Intervallschätzung

(a) Mutungsbereiche (Konfidenzintervalle), für Verteilungskenngrößen der GG (In SPSS z.B. Konfidenzintervall des Mittelwerts -> Deskriptive Statistik -> Explorative Datenanalyse)

(b) Ereignisschätzungen<- Schätzung des Intervalls, in dem auf Grund eines angepassten theoretischen Verteilungsmodells künftige SP-Daten mit definitiver Wahrscheinlichkeit vermutet werden.

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Theoretische Verteilungen

Wahrscheinlichkeitsschätzungen auf Grundlage der angepassten Verteilungsfunktion

Beispiel Normalverteilung u. Standardnormalverteilung

(b) Ereignisschätzungen

2 Vorgehensweisen:

- Wahrscheinlichkeit F(a) ist vorgegeben, zugehöriger Wert/Wertebereich (Werteintervall ∆a) wird geschätzt

- Wert/Wertebereich (Werteintervall ∆a) ist vorgegeben, zugehörige Eintrittswahrscheinlichkeit F(a) wird geschätzt

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Theoretische Verteilungen

Wahrscheinlichkeitsschätzungen auf Grundlage der angepassten Verteilungsfunktion

Beispiel Normalverteilung u. Standardnormalverteilung

(b) Ereignisschätzungen

In SPSS: (-> Transformieren -> Berechnen -> Funktionen)

(1) CDF.Verteilung(Zahl, Parameter der Verteilung)– ergibt die Wahrscheinlichkeit, mit der eine Zufallsvariable (ZV), die der angegebenen Verteilung folgt, einen Wert kleiner oder gleich Zahl annimmt (Unterschreitungswahrscheinlichkeit).

(2) IDF.Verteilung(Wahrscheinlichkeit, Parameter der Verteilung)– liefert den Wert, den eine der angegebenen Verteilung folgende ZV mit einer kumulierten Wahrscheinlichkeit von Wahrscheinlichkeit annimmt.

SPSS berücksichtigt nur Unterschreitungswahrscheinlichkeiten!