STKS Statistische Tests in kleinen Stichproben Tests für 2 unabhängige Stichproben

STKS

Statistische Tests in kleinen Stichproben

Tests für 2 unabhängige Stichproben

STKS

Fahrplan 5. EinheitUnabhängige StichprobenChi-Quadrat-Test (für 2 und mehr Stichpr.)

Anwendungsbedingungen und TestprinzipTestgrößen ZusammenhangsmaßeEingabe in SPSSFallbeispiel und SPSS-Printout

Mann-Whitney-U-TestAnwendungsbedingungen und TestprinzipFallbeispiel und SPSS-Printout

Weitere nichtparam. Tests für 2 unabh. Stichproben

STKS

Nichtparametrische Verfahren

1 Stichprobe("Anpassungstests")

3 und mehr Stichproben

2 Stichproben

nominal ordinal

unabhängig abhängig unabhängig abhängig

BinomialtestChi-Quadrat- Test für 1 Stpr.

Chi-Quadrat- Test

KS-Test

MediantestMann-Whitney U-TestKS-Test

FriedmanChi-Quadrat-Test

McNemar VorzeichenWilcoxon

MedianKruskal- Wallis

Cochran Qnominal ordinal nominal ordinalnominal nominal ordinalordinal

STKS

Unabhängige Stichproben

Stichproben aus zwei unterschiedl. Populationen (z. B. Frauen / Männer, Altersgruppen, SPÖ-/ÖVP-/FPÖ-/Grüne-/LIF-Wähler etc.

Experimenteller Split z. B. 100 Personen nach Zufallsprinzip in 2 Gruppen geteilt --> eine sieht Werbespot, die andere nicht

STKS

Nichtparam. Tests für 2 unabhängige Stichproben

Lokationstests Streuungstests Omnibustests (reagieren auf beide Formen der Abweichung)

testen, ob die beiden Stichproben aus der selben Population stammen --> Nullhypothese: sie stammen aus der selben Population Alternativhypothese: Es gibt Unterschiede. Diese Unterschiede können einerseits in der zentralen Tendenz ("Lokation") liegen, andererseits in der Streuung -->

parametrische Alternative für 2 unabhängige Stichproben: t-Test für unabh. Stichproben

STKS

Der Chi-Quadrat-Test für zwei und mehr Stichproben

anwendbar bei (zumind.) nominalem Datenniveau und ausreichend großen erwarteten Häufigkeiten (keine < 5)

Erstellung einer r (Zahl der Kategorien der ersten Variable) x k (Zahl der Kategorien der zweiten Variable)-Tafel

Testgröße: wie bei Chi-Quadrat-Test für eine Stichprobe --> Vergleich der erwarteten mit den beobachteten Häufigkeiten (über alle r x k Felder):

erwartete Häufigkeiten: (Zeilensumme x Spaltensumme) / NLiteratur: Backhaus et al. (1994), Multivariate Analysemethoden, 7. Auflage, S. 164-187

2

1

2

1

i

rij ij

ijj

k O E

E

( )

STKS

Fallbeispiel: Ordnen jüngere Mineralwasserkäufer den Begriff "innovativ" stärker auf RQ zu als ältere

Mineralwasserkäufer?

2 x 3 Tafel: bis 30 J. 31 - 50 J. über 50 J.Begriff "innovativ"

auf RQ:

Alter

nicht zugeordnet

zugeordnet

25 25

16

37

2750

87

52 53

93

75Spaltensumme

Zeilen- summe

N=180

STKS

Testgrößen (Test auf Signifikanz)--> Gibt es einen Zusammenhang?

Chi-Quadrat ("Pearson Chi-Square")Kontinuitätskorrektur Chi-Quadrat-Wert mit Kontinuitätskorrektur nach Yates (nur bei 2 x 2-Tafel), etwas konservativer als Pearson Chi-Quadrat, v. a. bei 20 < n < 60 einzusetzen

Likelihood Ratio ähnlich wie Chi-Quadrat-Wert, bei großen Stichproben identisch

Fisher´s Exact Test heranzuziehen, wenn zumindest eine der erwarteten Häufigkeiten kleiner als 5 (nur bei 2 x 2-Tafel)

Linear-by-Linear Association auch "Mantel-Haenszel Chi-Quadrat", bei nominalem Datenniveau nicht anwendbar!

STKS

Zusammenhangsmaße für nominale DatenWie stark ist der Zusammenhang?

Phi auf Basis von Chi-Quadrat, nicht normiert, zwischen unterschiedlichen Chi-Quadrat-Tests nicht vergleichbar, Faustregel: > 0,3 nichttrivialer Zusammenhang

Kontingenzkoeffizient auf Basis von Chi-Quadrat, normiert zwischen 0 (kein Zs.hang) und 1 (perfekter Zs.hang), nicht direkt vergleichbar

Cramer´s V auf Basis von Chi-Quadrat, normiert zwischen 0 und 1, zwischen unterschiedlichen Chi-Quadrat-Tests vergleichbar

Lamda prozentuelle Reduktion der Fehlerwahrscheinlichkeit bei Prognose von Variable 1 auf Variable 2 und umgekehrt (asymmetrisch) oder Prognose in beide Richtungen gleichzeitig (symmetrisch), setzt an jeweils häufigster Kategorie an

tau wie Lamda, berücksichtigt allerdings alle Kategorien

Unsicherheitskoeffizient ähnlich tau, auf logarithm. Basis

STKS

Eingabe in SPSS

Variablen auch mehrere Tests gleichzeitig anforderbarTip: Variable mit der größeren Zahl an Kategorien als Zeilenvariable definieren

Statistiken Achtung: wenn keine Statistik ausgewählt, erzeugt SPSS nur die Kreuztabelle

Informationen zu den Zellen beobachtete und erwartete Häufigkeiten, verschiedene Prozentuierungen, Residuen

Weitere Optionen aufsteigende oder absteigende Reihenfolge, Graphiken

(Achtung: nicht unter Nonparametric Tests, sondern unter "Summarize / Crosstabs")

STKS

CROSSTABS

/TABLES=rq9 BY alterkat geschl

/FORMAT= AVALUE TABLES

/STATISTIC=CHISQ CC PHI LAMBDA UC

/CELLS= COUNT EXPECTED ROW COLUMN TOTAL RESID SRESID ASRESID

/BARCHART .

Kreuztabellen

Verarbeitete Fälle

180 100,0% 0 ,0% 180 100,0%

180 100,0% 0 ,0% 180 100,0%

neue, gute Ideen,innovativ * Alter(kategorisiert)

neue, gute Ideen,innovativ *Geschlecht der APN

N Prozent N Prozent N Prozent

Gültig Fehlend Gesamt

Fälle

STKS

Kreuztabelle

25 25 37 87

36,3 25,1 25,6 87,0

28,7% 28,7% 42,5% 100,0%

33,3% 48,1% 69,8% 48,3%

13,9% 13,9% 20,6% 48,3%

-11,3 -,1 11,4

-1,9 ,0 2,2

-3,4 ,0 3,7

50 27 16 93

38,8 26,9 27,4 93,0

53,8% 29,0% 17,2% 100,0%

66,7% 51,9% 30,2% 51,7%

27,8% 15,0% 8,9% 51,7%

11,2 ,1 -11,4

1,8 ,0 -2,2

3,4 ,0 -3,7

75 52 53 180

75,0 52,0 53,0 180,0

41,7% 28,9% 29,4% 100,0%

100,0% 100,0% 100,0% 100,0%

41,7% 28,9% 29,4% 100,0%

Anzahl

Erwartete Anzahl

% von neue, gute Ideen,innovativ

% von Alter (kategorisiert)

% der Gesamtzahl

Residuen

Standardisierte Residuen

Korrigierte Residuen

Anzahl

Erwartete Anzahl



% der Gesamtzahl

Residuen



Anzahl

Erwartete Anzahl



% der Gesamtzahl

keine Angabeoder weiß nicht

Begriff zugeordnet

neue, guteIdeen, innovativ

Gesamt

bis 30 Jahre 31 bis 50 J. über 50 Jahre

Alter (kategorisiert)

Gesamt

neue, gute Ideen, innovativ * Alter (kategorisiert)

STKS

Chi-Quadrat-Tests

16,549a

2 ,000

16,925 2 ,000

16,279 1 ,000

180

Chi-Quadrat nachPearson

Likelihood-Quotient

Zusammenhanglinear-mit-linear

Anzahl der gültigen Fälle

Wert df

Asymptotische Signifikanz

(2-seitig)

0 Zellen (,0%) haben eine erwartete Häufigkeit kleiner 5. Dieminimale erwartete Häufigkeit ist 25,13.

a.

Richtungsmaße

,172 ,066 2,440 ,015

,241 ,073 2,954 ,003

,114 ,071 1,534 ,125

,092 ,042 ,000c

,048 ,023 ,000c

,053 ,025 2,121 ,000d

,068 ,032 2,121 ,000d

,043 ,020 2,121 ,000d

Symmetrisch

neue, gute Ideen,innovativ abhängig

Alter (kategorisiert)abhängig



Symmetrisch



Lambda

Goodman-und-Kruskal-Tau

Unsicherheitskoeffizient

Nominal- bzgl.Nominalmaß

Wert

Asymptotischer

Standardfehler

aNäherungsweises T

b

Näherungsweise

Signifikanz

Die Null-Hyphothese wird nicht angenommen.a.

Unter Annahme der Null-Hyphothese wird der asymptotische Standardfehler verwendet.b.

Basierend auf Chi-Quadrat-Näherungc.

Chi-Quadrat-Wahrscheinlichkeit für Likelihood-Quotienten.d.

STKS

Symmetrische Maße

,303 ,000

,303 ,000

,290 ,000

180

Phi

Cramer-V

Kontingenzkoeffizient



Wert

Näherungsweise

Signifikanz


Unter Annahme der Null-Hyphothese wird der asymptotischeStandardfehler verwendet.

b.

neue, gute Ideen, innovativ

Begriff zugeordnetkeine Angabe oder we

An

zah

l

60

50

40

30

20

10

Alter (kategorisiert

bis 30 Jahre

31 bis 50 J.

über 50 Jahre

STKS

Kreuztabelle

31 56 87

35,3 51,7 87,0

35,6% 64,4% 100,0%

42,5% 52,3% 48,3%

17,2% 31,1% 48,3%

-4,3 4,3

-,7 ,6

-1,3 1,3

42 51 93

37,7 55,3 93,0

45,2% 54,8% 100,0%

57,5% 47,7% 51,7%

23,3% 28,3% 51,7%

4,3 -4,3

,7 -,6

1,3 -1,3

73 107 180

73,0 107,0 180,0

40,6% 59,4% 100,0%

100,0% 100,0% 100,0%

40,6% 59,4% 100,0%

Anzahl

Erwartete Anzahl


% von Geschlecht derAPN

% der Gesamtzahl

Residuen



Anzahl

Erwartete Anzahl



% der Gesamtzahl

Residuen



Anzahl

Erwartete Anzahl



% der Gesamtzahl

keine Angabeoder weiß nicht

Begriff zugeordnet

neue, guteIdeen, innovativ

Gesamt

männlich weiblich

Geschlecht der APN

Gesamt

neue, gute Ideen, innovativ * Geschlecht der APN

STKS

Chi-Quadrat-Tests

1,693b

1 ,193

1,321 1 ,250

1,698 1 ,193

,225 ,125

1,684 1 ,194

180

Chi-Quadrat nachPearson

Kontinuitätskorrektura

Likelihood-Quotient

Exakter Test nach Fisher

Zusammenhanglinear-mit-linear


Wert df


(2-seitig)

ExakteSignifikanz(2-seitig)

ExakteSignifikanz(1-seitig)

Wird nur für eine 2x2-Tabelle berechneta.

0 Zellen (,0%) haben eine erwartete Häufigkeit kleiner 5. Die minimale erwartete Häufigkeitist 35,28.

b.

Richtungsmaße

,031 ,064 ,484 ,629

,057 ,115 ,484 ,629

,000 ,000 ,c

,c

,009 ,014 ,194d

,009 ,014 ,194d

,007 ,011 ,653 ,193e

,007 ,010 ,653 ,193e

,007 ,011 ,653 ,193e

Symmetrisch


Geschlecht derAPN abhängig



Symmetrisch



Lambda

Goodman-und-Kruskal-Tau

Unsicherheitskoeffizient


Wert

Asymptotischer

Standardfehler

aNäherungsweises T

b

Näherungsweise

Signifikanz


Unter Annahme der Null-Hyphothese wird der asymptotische Standardfehler verwendet.b.

Kann nicht berechnet werden, weil der asymptotische Standardfehler gleich Null ist.c.

Basierend auf Chi-Quadrat-Näherungd.

Chi-Quadrat-Wahrscheinlichkeit für Likelihood-Quotienten.e.

STKS

Symmetrische Maße

-,097 ,193

,097 ,193

,097 ,193

180

Phi

Cramer-V

Kontingenzkoeffizient



Wert

Näherungsweise

Signifikanz


Unter Annahme der Null-Hyphothese wird der asymptotischeStandardfehler verwendet.

b.

neue, gute Ideen, innovativ

Begriff zugeordnetkeine Angabe oder we

An

zah

l

60

50

40

30

20

Geschlecht der APN

männlich

weiblich

STKS

Der Mann-Whitney-U-Teststarker nichtparametrischer Lokationstest: 95,5% Stärkeeffizienz des t-Tests

anzuwenden bei zwei unabhängigen Stichproben und zumindest ordinalem Datenniveau

Testprinzip: alle Apn. in eine Rangreihenfolge gebracht --> Testgröße U: Summe der Anzahl der Werte aus der zweiten Gruppe, die einem Wert aus der ersten Gruppe vorangehen (s. Beispiel)

Verbundwerte --> Zuordnung von Durchschnittsrängen

STKS

Fiktives Beispiel zur Berechnung von U

Annahme: Experimentalgruppe, Kontrollgruppe Werte in der Experimentalgruppe: 9, 11, 15; Werte in der Kontrollgruppe: 6, 8, 10, 13 -->

Gemeinsame Rangreihung

U = 0 + 0 + 1 + 2 = 3 --> anhand von Tabelle (bzw. von Computer) p-Wert ermittelt

6 1098 13 1511

K KK KEE E

STKS

NPAR TESTS

/M-W= flnr1 BY geschl(1 2)

/MISSING ANALYSIS.

Nichtparametrische Tests

Mann-Whitney-Test

Ränge

73 89,01 6498,00

106 90,68 9612,00

179

Geschlecht der APNmännlich

weiblich

Gesamt

Fl.Nr. 1, Römerquellezu 5,20

N Mittlerer Rang Rangsumme

Statistik für Testa

3797,000

6498,000

-,212

,832

Mann-Whitney-U

Wilcoxon-W

Z

AsymptotischeSignifikanz (2-seitig)

Fl.Nr. 1,Römerquelle

zu 5,20

Gruppenvariable: Geschlecht der APNa.

STKS

Weitere nichtparam. Tests für zwei unabhängige Stichproben (I)

Mediantest Lokationstest für ordinales Datenniveau: testet, ob die beiden Stichproben aus Populationen mit unterschiedlichem Median stammen. Deutlich schwächer als M-W-U-Test --> nur einzusetzen, wenn sich die Beobachtungen nicht sinnvoll in eine vollständige Rangreihenfolge bringen lassen.

KS-Test für zwei Stichproben Omnibustest für Daten ab Ordinalniveau: testet, ob die beiden Stichproben aus Populationen mit der selben Verteilung stammen, daher nicht einzusetzen, wenn Hypothese - wie üblich - nur auf zentrale Tendenz gerichtet.

Moses-Test Streuungstest für Daten ab Ordinalniveau, der die beiden Stichproben auf Unterschiede in der Extremheit der Werte untersucht. Beispiel: In einem Experiment wird erwartet, daß sich in der Experimentalgruppe im Vergleich zur Kontrollgruppe mehr extreme Werte (positiv oder negativ) und weniger neutrale Werte finden.

STKS

Weitere nichtparam. Tests für zwei unabhängige Stichproben (II)

Wald-Wolfowitz-Test Omnibustest für Daten ab Ordinalniveau und zugrundeliegender stetiger Verteilung. Für Test auf Unterschiede in der zentralen Tendenz deutlich schwächer als der M-W-U-Test.

Randomisierungstest Lokationstest für kleine Stichproben ab Ordinalniveau. Kann eingesetzt werden, wenn Daten intervallskaliert, t-Test aber wegen zu kleiner Stichprobe (n < 30) nicht angewendet werden darf.

STKS

ZusammenfassungNichtparam. Tests für zwei unabhängige

Stichprobenunabhängige Stichproben: Ziehung aus zwei unterschiedlichen Populationen oder experimenteller Split

Lokationstests - Streuungstests - Omnibustests

wichtigster Test für nominales Datenniveau: Chi-Quadrat-Test

wichtigster Test für ordinales Datenniveau: Mann-Whitney-U-Test

STKS

Statistische Tests in kleinen Stichproben

Mehr als 2 Stichproben: Tests für k abhängige und unabh. Stichproben

STKS

Fahrplan 6. EinheitNichtpar. Tests für 3 u. mehr abh. Stichproben

Cochrans Q-TestAnwendungsbedingungen und TestprinzipFallbeispiel und SPSS-Printout

Friedmans RangvarianzanalyseAnwendungsbedingungen und TestprinzipFallbeispiel und SPSS-Printout

Nichtp. Tests für 3 u. mehr unabh. StichprobenChi-Quadrat-TestKruskal-Wallis-Test

Anwendungsbedingungen und TestprinzipFallbeispiel und SPSS-Printout

Mediantest

STKS

Nichtparametrische Verfahren

1 Stichprobe("Anpassungstests")

3 und mehr Stichproben

2 Stichproben

nominal ordinal

unabhängig abhängig unabhängig abhängig

BinomialtestChi-Quadrat- Test für 1 Stpr.

Chi-Quadrat- Test

KS-Test

MediantestMann-Whitney U-TestKS-Test

FriedmanChi-Quadrat-Test

McNemar VorzeichenWilcoxon

MedianKruskal- Wallis

Cochran Qnominal ordinal nominal ordinalnominal nominal ordinalordinal

STKS

Cochrans Q-TestAnwendungsbedingungen: 3 und mehr abhängige Stichproben, nominales Datenniveau (dichotom!)

Nullhypothese: Es gibt keine Unterschiede in den Verteilungen der Stichproben auf die beiden Antwortkategorien

Testprinzip: Erweiterung des McNemar-Tests, vergleicht wiederum beobachtete und erwartete Häufigkeiten --> Testgröße Q (annähernd Chi-Quadrat-verteilt mit df = k-1)

Parametrische Alternative: Varianzanalyse für abhängige Stichproben

STKS

NPAR TESTS

/COCHRAN = rq6 vo6 ju6 wa6

/MISSING LISTWISE.


Cochran-TestHäufigkeiten

99 81

100 80

142 38

153 27

Kohlensäuregehaltger. richtig




0 1

Wert

Statistik für Test

180

57,918a

3

,000

N

Cochrans Q-Test

df


0 wird als Erfolg behandelt.a.

STKS

Friedmans Rangvarianzanalyse

Anwendungsbedingungen: 3 und mehr abhängige Stichproben, ordinales Datenniveau

Testprinzip: Bildung einer Rangreihenfolge der zusammengehörigen Werte (d. h. innerhalb der 3 und mehr Werte einer Auskunftsperson bzw. innerhalb der 3 und mehr zusammengehörigen Auskunftspersonen), danach Vergleich der durchschnittlichen Ränge für die einzelnen Fragen, Bedingungen etc. --> annähernd Chi-Quadrat-verteilte Testgröße

parametrische Alternative: Varianzanalyse für abhängige Stichproben

STKS

1. Rangplatz der vier Angebote unter allen 20 Angeboten:

Apn Rangplatz von Römerquelle zu

öS 4,50

Rangplatz von Vöslauer zu öS

4,50

Rangplatz von Juvina zu öS

4,50

Rangplatz von Waldquelle zu

öS 4,50 1 12 11 13 14 2 11 12 15 13 3 11 12 13 14 2. Bildung einer Rangreihenfolge der vier Angebote für jede Apn.:

Apn Rangplatz von Römerquelle zu

öS 4,50 (innerhalb dieser vier Angebote)

Rangplatz von Vöslauer zu öS

4,50 (innerhalb dieser vier Angebote)

Rangplatz von Juvina zu öS

4,50 (innerhalb dieser vier Angebote)

Rangplatz von Waldquelle zu

öS 4,50 (innerhalb dieser vier Angebote)

1 2 1 3 4 2 1 2 4 3 3 1 2 3 4 3. Berechnung des durchschnittl. Rangs der vier Angebote

1,33

1,66

3,33

3,66

diese Durchschnittsränge der vier Angebote bilden die Basis für den Friedman-Test.

Fallbeispiel Friedman-Test

(auf die ersten 3 Apn. beschränkt)

STKS

NPAR TESTS

/FRIEDMAN = flnr2 flnr6 flnr10 flnr14

/MISSING LISTWISE.


Friedman-TestRänge

1,86

1,98

3,02

3,15

Fl.Nr. 2, Römerquelle zu4,50

Fl.Nr. 6, Vöslauer zu 4,50

Fl.Nr. 10, Juvina zu 4,50

Fl.Nr. 14, Waldquelle zu4,50

Mittlerer Rang

Statistik für Testa

179

146,645

3

,000

N

Chi-Quadrat

df


Friedman-Testa.

STKS

Chi-Quadrat-Test für 3 und mehr unabhängige Stichproben

s. Chi-Quadrat-Test für 2 Stichproben

Unterschied: weniger als 20% der erwarteten Häufigkeiten sollen kleiner als 5 sein, keine kleiner als 1

df (Zahl der Freiheitsgrade) = (k-1) * (r-1)

parametrische Alternative: Varianzanalyse (für unabh. Stichproben)

STKS

Der Kruskal-Wallis-Test (H-Test)starker nichtparam. Lokationstest: 95,5% Stärkeeffizienz der Varianzanalyse

Anwendungsbedingungen: 3 und mehr unabh. Stichproben + mind. Ordinalniveau + zugrundeliegendes Merkmal stetig verteilt

Testprinzip: Über alle Auskunftspersonen hinweg Werte in eine Rangreihenfolge gebracht (ähnlich M-W-U-Test), bei Verbundwerten wie üblich durchschnittl. Rangplatz --> dann für jede Gruppe Summe der Rangplätze ermittelt --> diese Summen bilden die Basis für die Testgröße H (annähernd Chi-Quadrat-verteilt mit df = k-1)

parametrische Alternative: Varianzanalyse (für unabh. Stichproben)

STKS

NPAR TESTS

/K-W=flnr2 BY alterkat(1 3)

/MISSING ANALYSIS.


Kruskal-Wallis-TestRänge

75 95,10

51 81,27

53 91,18

179

Alter (kategorisiert)bis 30 Jahre

31 bis 50 J.

über 50 Jahre

Gesamt

Fl.Nr. 2, Römerquellezu 4,50

N Mittlerer Rang

Statistik für Testa,b

2,229

2

,328

Chi-Quadrat

df


Fl.Nr. 2,Römerquelle

zu 4,50

Kruskal-Wallis-Testa.

Gruppenvariable: Alter (kategorisiert)b.

STKS

Mediantest für 3 und mehr unab. Stichproben

Anwendungsbedingungen und Testprinzip: wie Mediantest für 2 unabh. Stichproben

auch hier gilt: ist deutlich schwächer als Vergleichstest (hier: KW-Test) --> nur einzusetzen, wenn sich die Beobachtungen nicht sinnvoll in eine vollständige Rangreihenfolge bringen lassen.

STKS

ZusammenfassungNichtparam. Tests für 3 und mehr Stichproben

abhängige StichprobenCochrans Q-Test (Erweiterung des McNemar-Test, dichotome Daten)Friedmans Rangvarianzanalyse (ordinal)

unabhängige StichprobenChi-Quadrat-Test für 3 und mehr Stichproben (nominal)Kruskal-Wallis-Test: mind. Ordinalniveau

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