Stoffumfang 1.Semester - Lektionenhorschem/medium/ingmaterial/material1/... · Prof. Dr. Elmar Müller-Horsche 3 Hochschule Augsburg Mathematik 1 Wie scha ffe ich die Ingenieurmathematik

Prof. Dr. Elmar Müller-Horsche

1 Hochschule Augsburg Mathematik 1

Stoffumfang 1.Semester - Lektionen

Grundbegriffe 1 2 3 4 5 6

Koordinaten, Gerade, Steigung Funktionen und Graphen, Umkehrfunktion Trigonometrische Funktionen Verschiebungen, Dehnungen, Parabel, Kreis Vektoren im Koordinatensystem, einfache Vektoroperationen Vektorprodukte

Differenziation 7 8 9

10

Steigung, Sekante, Tangente Differenziations-Regeln Geschwindigkeit, Beschleunigung, Änderungsraten, höhere Ableitungen Ableitung der trigonometrischen Funktionen

Höhere Funktionen 11 12 13 14

Exponential- und Logarithmus-Funktion Wachstums- und Zerfalls-Prozesse, logarithmisches Differenzieren Halb- und doppellog. Auftragungen Inverse Winkelfunktionen, hyperbolische Funktionen

Anwendung der Differenzialrechnung

15 16 17 18

Abhängige Raten, Extremwerte Optimierungsaufgaben Lineare und quadratische Näherung, Taylorpolynome Taylorreihen, Taylorrest

Integration 19 20 21 22 23

Bestimmtes Integral, Fundamentalsatz der Analysis Unbestimmte Integrale, Rechenregeln Substitution Partialbruchzerlegung kompliziertere Partialbruchzerlegungen

Anwendungen der Integralrechnung

24 25

Bogenlänge, Oberflächen und Volumina Schwerpunkt, Moment, Arbeit

Lineare Gleichungssysteme,

Matrizen

26 27 28 29 30

Statikprobleme und Drehungen in Matrizendarstellung Matrixoperationen und Rechenregeln, inverse Matrix Gaußsches Eliminationsverfahren Rang einer Matrix, freie Parameter Gauß-Jordan-Verfahren

Sep 2017



Wie schaffe ich die Ingenieurmathematik ?

Bestandsaufnahme Viele Studienanfänger im Maschinenbau oder in der Umwelttechnik tun sich schwer mit der Ingenieurmathematik. Die Ursachen sind vielfältig:

Einige haben z.B. auf der FOS den Wirtschaftszweig oder gar den Sozialzweig gewählt, weil sie u.a. mit der Mathematik nicht so vertraut waren und sich in diesen Schulzweigen bessere Noten erhofften. Dann wählen sie wegen der Berufsaussichten doch ein technisches Studium. Generell wird in den höheren Schulen nicht mehr viel Rechnen geübt. Man vertraut mehr auf die Hilfsmittel Taschenrechner und Formelsammlung. Seit es Taschenrechner mit Bruchrechnung und symbolischer Algebra gibt („Rechnen mit Buchstaben“), werden diese Disziplinen nicht mehr beherrscht. Ganz zu Schweigen vom Kopfrechnen!

Anforderungen Die technischen Wissenschaften haben nur deswegen unser modernes Leben so entscheidend beeinflussen können, weil sie mit Hilfe der Mathematik äußerst exakte Prognosen abgeben konnten. Angewandte Mathematik ist daher der Hauptinhalt des Kurses und diese ist erfahrungsgemäß noch unbeliebter bei den Studenten als das Durchrechnen von akademischen Übungsaufgaben, gibt es hier doch selten Standardrezepte zur Lösung. Es hilft nur viel eigenständiges Üben und selbstständiges Überlegen. Mathematik wird mehr als Handwerkszeug verstanden, die grundlegendenden Fähigkeiten: - Bruchrechnen - algebraische Gleichungen umformen und nach einer Größe

auflösen

- Rechnen mit Potenzen und Logarithmen

- geometrische Überlegungen, Rechnen mit Winkelfunktionen

- Differenzieren und Integrieren von Funktionen

sollten schon aus der Schule bekannt, geübt und reflexartig abrufbar sein. Die letzten 3 Punkte sind zwar auch Stoff der Vorlesung, sie werden aber dermaßen schnell behandelt, dass ein erstmaliges Erlernen erfahrungsgemäß schwer fällt.

Schule – Studium Der Hauptunterschied besteht im von außen unkontrollierten, eigenständigen Lernen, mit dem viele Studenten erst mal nicht zurecht kommen. Keine Kontrollen im Semester interpretieren viele mit: nix tun müssen mit entsprechendem Prüfungsmisserfolg. Pro Vorlesungs-doppelstunde sollten bei normal begabten Studenten zwei Nacharbeitungsstunden angesetzt werden, Studenten mit Mathematik-schwäche (sog. Dyskalkulie) können die Zahl ruhig um die Hälfte erhöhen. Für die Prüfungsvorbereitung sind dann nochmal ca. 20 Stunden angebracht.




Skript

Abk. im Skript: MÜ-HOme/ IngMathe/ Material1

Dieses Skript soll die häusliche Nacharbeit erleichtern, indem es Literaturhinweise, Zusatzmaterial und Hausaufgaben zur Verfügung stellt. Es ist in Lektionen gegliedert, wobei eine Lektion in den meisten Fällen einer Vorlesungsdoppelstunde entspricht. Es gibt Aufgaben in 3 Schwierigkeitsgruppen (1 bis 3 Sterne), die leichten und mittleren Aufgaben müssen selbstständig bearbeitet werden können. Für die Leistungsstarken gibt es dann noch einige wenige 3-Sterne-Knobel-aufgaben. In der Vorlesung sollte der Tafelanschrieb auf kariertem Papier mitgeschreiben werden. Es gibt dabei viele Graphiken, die die Gelegenheit bieten, sich in Handskizzen zu üben. Das alles hört sich zwar recht mittelalterlich an, Mitschreiben ist aber nach wie vor besser als nur Zuhören oder Zusehen. Die manuelle Tätigkeit unterstützt das Verständnis, das hat sich auch nach vielen multimedialen Experimenten immer wieder bestätigt. Außerdem wird die Handschrift geschult, was erfahrungsgemäß gerade bei den griechischen Buchstaben dringend nötig ist. Alle mit dem Beamer in der Vorlesung präsentierten Materialien finden Sie auch auf meiner homepage: http://www.hs-augsburg.de/~horschem/index.php?site=01.%20Ingenieurmathematik/03.%20Material%201.%20Semester

Bücher

Gut für Maschinenbauer geeignet sind: Brauch / Dreyer / Haacke (im Skript mit abgekürzt) Mathematik für Ingenieure Kompakte Darstellung fast des gesamten Stoffes in einem Buch. Viele auch anspruchsvolle Übungsaufgaben stammen aus dem Bereich Maschinenbau und geben einen Einblick in die Macht des Werkzeugs Mathematik in den Händen des gut ausgebildeten Ingenieurs. Es gibt Aufgaben in allen Schwierigkeitsgraden inklusive Lösungen. Nicht alle Themengebiete werden in der Vorlesung behandelt. Nehmen Sie sich also erst mal nur die zum Stoff passenden Kapitel vor. Koch / Stämpfle Mathematik für das Ingenieurstudium Modernes Lehrbuch, grafisch ordentlich gestaltet. Kann zur Ergänzung von hergenommen werden. Kann als ebook von der Bibliothek heruntergeladen werden: http://www.hanser-elibrary.com/doi/book/10.3139/9783446433885

BDH BDH

K S

BDH

http://www.hs-augsburg.de/~horschem/index.php?site=01.%20Ingenieurmathematik/03.%20Material%201.%20Semester



http://www.hanser-elibrary.com/doi/book/10.3139/9783446433885




Formelsammlung Die wichtigsten mathematischen Formeln muss man als Ingenieur und naturwissenschaftlich gebildeter Mensch im Kopf haben (besser noch: im Brustwirbelbereich des Rückenmarks). Sie werden in diesem Skript extra gekennzeichnet. Z.B.

store(BRAIN); cos sinjxe x j x

Nicht ganz so wichtige Formeln werden in einer kleinen Formelsammlung als Extradokument zusammengefasst, so dass eine weitere Formelsammlung eigentlich nicht nötig ist.

Hilfsmittel

Wie gesagt, wichtigstes Hilfsmittel sollte das eigene Hirn sein. Taschenrechner werden nur selten mal gebraucht, um numerische Ergebnisse mit höherer Genauigkeit zu erhalten. Für komplexere Berechnungen und zum Erstellen von Funktionsgraphen nimmt man heute natürlich PC-Programme. Bei den Maschinenbauern hat sich da Matlab/Simulink wegen der überragenden Möglichkeiten im Bereich Steuern und Regeln als Standard entwickelt. Im Hauptstudium werden Sie mit diesen Programmen gezwungenermaßen in Berührung kommen, Sie können aber auch jetzt schon mal in die MATLAB-Welt rein schnuppern, wenn es z.B. darum geht, Funktionen darzustellen oder Vektor- und Matrizenrechnungen auszuführen!

MATLAB

PM S. …

Das Programm kann jeder eingeschriebene Student kostenlos mit allen Zutaten auf dem privaten PC installieren. Wie’s geht, findet man hier: https://www.hs-augsburg.de/rzservice/matlab/ Eine gute Möglichkeit, das Programm im Selbststudium kennen zu lernen, bietet folgendes ebook aus der Bibliothek: Thuselt / Gennrich Praktische Mathematik mit MATLAB … http://link.springer.com/book/10.1007/978-3-642-25825-1

Für den Prüfungserfolg ist MATLAB nicht notwendig. Es sollen hier dem interessierten Studenten schon im ersten Semester Anreize gesetzt werden, sich mit diesem für alle Ingenieure so wichtigen Hilfsmittel zu beschäftigen.

https://www.hs-augsburg.de/rzservice/matlab/

http://link.springer.com/book/10.1007/978-3-642-25825-1



Lektion 1: Koordinaten, Gerade, Steigung

1a

* Zeige: eine Gerade mit x-Achsenabschnitt a und y-Achsenabschnitt b

kann so beschrieben werden: x/a + y/b = 1

1b

* Zeichne die Geraden C = 5/9(F-32) sowie C = F in ein Achsenkreuz

(Celsius Hochachse, Fahrenheit Rechtsachse). Gibt es eine Temperatur, bei der die Celsius-Grade gleich den Fahrenheit-Graden sind? Wenn ja, welche?

Installiere MATLAB und zugehöriges ebook auf deinem Rechner, falls du einen hast. Falls nicht: auch nicht schlimm, das Programm wird in den Mathe-Vorlesungen nicht unbedingt benötigt. https://www.hs-augsburg.de/rzservice/matlab/ http://link.springer.com/book/10.1007/978-3-642-25825-1

Lektion 2: Funktionen und Graphen, Umkehrfunktion

Kapitel 2.4

Kapitel 5.1, 5.3, 5.7

PM S. 25

Versuche in MATLAB, die in 2b gegebene Funktion darzustellen samt Umkehrfunktion. Überprüfe grafisch das Ergebnis

MÜ-HOme/ IngMathe/ Material1

Funktionspuzzle.htm: ordne verschiedene Funktionsgraphen den zugehörigen Funktionsformeln zu

2a

** Ein Kraftwerk, das 5km flussaufwärts einer Aluminiumhütte liegt, soll

dieser elektrische Energie liefern. Kraftwerk und Aluminiumhütte liegen an entgegengesetzten Ufern des 200m breiten Flusses. Die Kabelkosten betragen 700€/m an Land und 1200€/m im Fluss. Zur Kostenoptimierung wird das Kabel vom Kraftwerk weg schräg durch den Fluss gelegt und kommt auf der anderen Seite x Ufermeter flussabwärts vom Kraftwerk an.

Skizziere die Situation

Bestimme die Funktion K(x) (Kabelkosten in € als Funktion von x)

Zeichne den Graphen von K(x) im Bereich 0 .. 500m

Wo ist das Optimum (graphisch, Ableiten kommt später)?

2b *

Finde die Umkehrfunktion f -1(x) von:

2( )

3

xf x

x

BDH

K S

https://www.hs-augsburg.de/rzservice/matlab/

http://link.springer.com/book/10.1007/978-3-642-25825-1



Lektion 3: Trigonometrische Funktionen

Kapitel 3.4

Kapitel 5.4


SinusCosinus.avi: die Projektion des rotierenden Zeigers mit Länge 1 auf die Vertikale ergibt den Sinus, auf die Horizontale den Cosinus

3a

* Berechne ohne Taschenrechner (Periodizität, Symmetrie, Halbwinkel-

formeln ausnutzen): 3 3 2 7 5 11

cos , tan , sin , sin , cos , sin4 4 3 12 12 12

3b

** Wandle die Ausdrücke in solche, die nur noch sin x und cos x enthalten

und vereinfache, falls möglich:

3 3cos( ), sin(2 ), sin( ), cos( )

2 2

tan cottan cot ,

tan cot

x x x x

x xx x

x x

3c

**

Zeige: 4 4cos sin cos(2 )

1 cos sintan

sin 1 cos 2

x x x

x x x

x x

store(BRAIN);

2 2

1 2 3sin : sin 30 sin 45 sin 60

2 2 2

3 2 1cos : cos30 cos 45 cos60

2 2 2

sintan : tan 45 1

cos

sin cos 1 " "

Gegenkathete

Hypotenuse

Ankathete

Hypotenuse

Gegenkathete

Ankathete

x x trigonometrischer Pythagoras

BDH

K S



Lektion 4: Verschiebungen, Dehnungen, Parabel, Kreis

Kapitel 2.5

Kapitel 5.1.6, 5.1.7, 5.2.1

MÜ-HOme/ Zirkel und Lineal/

Klassische Probleme des …/

Mitternacht ..

Lösung der quadratischen Gleichung mit Hilfe einer Kreiskonstruktion

4

* Zeichne freihand auf kariertes Papier (5mm) die angegebenen Funktionen

sowie ihre markanten Punkte oder Asymptoten ein. Skaliere dazu die Achsen möglichst geschickt. Gleiche Skalierung in x und y ist nicht gewünscht:

1,5 cos( )3

x

tan( )2

x

store(BRAIN);

Veränderung des Graphen in Formel ersetzen

Verschiebung um a nach oben y durch y-a Verschiebung um b nach rechts x durch x-b Dehnung um Faktor c nach oben y durch y/c Dehnung um Faktor d nach rechts x durch x/d Bsp.: x2 + y2 = 1 Einheitskreis (x/d)2 + (y/c)2 = 1 Ellipse mit Halbachse d in x- und c in y-Richtung

Kreisumfang 2R= D (Radius, Durchmesser)

Kreisfläche R2

Kugelfläche 4R2

Kugelvolumen 4

3R3

allgemeine Parabelgleichung: y = ax2 + bx + c

Nullstellen („Mitternachtsformel“): 2

1/ 2

4

2

b b acx

a

BDH

K S



Lektion 5: Vektoren im Koordinatensystem, einfache Vektoroperationen

Kapitel 4.2

Kapitel 3.1, 3.2

5a

** Ein Manta fährt 50 Sachen Richtung Nord. Der Fuchsschwanz an der

Antenne zeigt Richtung Ost. Der Mantafahrer gibt nun Gas und fährt 100 (weiter Richtung Nord). Der Fuchsschwanz zeigt jetzt nach Südost. Bestimme Windrichtung und –stärke.

5b

** Eine Wasserleitung zeigt Richtung Norden und steigt mit 10% (tan!). Sie

macht dann einen Knick nach Osten und steigt mit 20%. Skizze. Welchen Winkel hat das Knie? (Skalarprodukt und arccos)

store(BRAIN);

2 2 2ˆ( ) : 1

: cos

: (0 )

x x x

y y y

z z z

x y z

x x y y z z

a a bBezeichnung a a Addition a b a b

a a b

Betrag Länge a a a a a Einheitsvektor a

Skalarprodukt a b a b a b a b ab

Winkel zwischen a und b

Lektion 6: Weitere Vektorprodukte

Kapitel 4.2

Kapitel 3.2, 3.3

6a

** Finde einen Vektor, der senkrecht auf der durch die 3 folgenden Punkte

aufgespannte Ebene steht: (a,0,0) (0,b,0) (0,0,c). Welche Fläche hat das durch die 3 Punkte aufgespannte Dreieck?

6b

** Zeige:

( ) ( ) ( )u v w u w v u v w

Hinweis: ohne Beeinträchtigung der Allgemeinheit (oBdA) kann angenommen werden, daß v auf der x-Achse und w in der xy-Ebene liegt

store(BRAIN);

:

sin

, ,

y z z y

z x x z

x y y x

a b a b

Vektorprodukt c a b a b a ba b a b

Eigenschaften a b ab

a b c bilden Rechtssystem

c steht senkrecht auf a und b

Vorsicht a b b a

BDH

BDH

K S

K S



Lektion 7: Steigung, Sekante, Tangente

Kapitel 5.1

Kapitel 6.1

7

*

Leseübung:

7

0

337!

!

i

i

dx

dx i

= ?

store(BRAIN);

0

1

0 1

1

!: :

!( )!

" "

!: ( 1) ... 2 1: ( )

( ) '( )

nn n k k

k

n n

k k

r r

nbinomischer Satz a b a b

k

nnBinominialkoeffizient oder

k k n k

Zeile n Spalte k im Pascalschen Dreieck

Fakultät n n n n k k

Ableitung der Potenz f x x f x rx oder

dx

dx

1 :r rrx r reell

Lektion 8: Differenziationsregeln

Kapitel 5.2

Kapitel 6.2

8a

**

4

(3 2 ( ))d

f f xdx

(überprüfe Ergebnis mit f(x) = x2)

8b

** 2

2

2

1

1x

d x

dx x

store(BRAIN);

2

, : , :

' '

' '

' '

( ( ) '( ( )) '( )

f g Funktionen von x a b Konstante

dLinearität af bg af bg

dx

dProduktregel f g f g fg

dx

d f f g fgQuotientenregel

dx

g x

Nachdiffere

g g

dKettenreg

nziere

el f g x f g xd

n

x

BDH

BDH

K S

K S



Lektion 9: Änderungsraten, höhere Ableitungen

Kapitel 5.1

Kapitel 6.15, 6.4


ESt_2014.htm: die Steuerformel S(E) ist eine abschnittsweise definierte, stetig differenzierbare Funktion, die die zu zahlende Einkommensteuer S in Abhängigkeit des zu versteuernden Jahreseinkommens E angibt. Man

unterscheidet zwischen Durschnittsbelastung S

E(mittlerer Steursatz) und

Grenzbelastung dS

dE, die die zu zahlende Steuer für jeden zusätzlichen

Euro Mehrverdienst angibt (was bleibt von der Gehaltserhöhung übrig?). Die Steuerformel wird ständig von der Politik geändert. Die angegebene stammt aus dem Jahr 2014.

9a

* 13 12

130

337!

(337 )! !

m

m

dx

m mdx

9b

* 99 99

990 !

m

m

d x

mdx

Lektion 10: Ableitung der trigonometrischen Funktionen

Kapitel 5.2

Kapitel 6.13


AbleitungSinus.htm: gezeigt werden die für die Sandwichmethode

benötigten Funktionen zur Bestimmung des Grenzwertes 0

sinlim

.

Außerdem sieht man den Sinus über x aufgetragen, wobei x einmal als Bogenmaß (rot) und dann als Gradmaß (blau) interpretiert wird. Nur die Steigung der roten Kurve ist im Ursprung 1, die blaue Kurve steigt viel

flacher mit /180 pro Grad an! Genauer sollte es also heißen: Ableitung des Sinus an der Stelle 0 ist: 1 pro Rad.

10

*

Betrachte Funktion:

0( )

2sin 3cos 0

ax b xf x

x x x

Bestimme a und b so, dass f(x) knick- und sprungfrei wird und zeichne die

Funktion im Bereich –2 x 2

store(BRAIN);

2

sin' cos

cos' sin

1ta

s

!

n'co

x x in Radi

x

a

x

xx

nx

BDH

BDH

K S

K S



Lektion 11: Logarithmusfunktion

Kapitel 3.5.2 + 5.2.2

Kapitel 5.7.4

11a

*

Vereinfache: 2

3 22 2 2 1

3

log 10 log 12 log 15 log log 3 x

aa

11b

*

Löse nach x auf: 13 2x x

11c

**

Differenziere nach x:

1ln tan

cosx

x

store(BRAIN);

0

log

ln ln 1

12,7 1828 1828..

!

ln lnlg 10 lg10 1 lg

ln10 2,30

log(1) 0

log( ) log log

log log log

log log

loglog'

k

b

Logarithmus mit beliebiger Basis

natürlicher Logarithmus e

e Euler Zahlk

x xer Logarithmus x

ab a b

aa b

b

a b a

ex

x

1

1ln'

ln . .

' 'ln

yy

x

x y x y

xx y

y

yx xy

x x

xx

x x

xx

e x Exponentialfunkt Umkehrfunkt des Logarithmus

a a a

aa

a

a a

a

a

e

a

a a e

BDH

K S



Lektion 12: Exponentialfunktion, Wachstums- und Zerfallsprozesse, log. Differenzieren

Kapitel 3.5.1 + 5.2.5

Kapitel 5.6.1, 6.2.3

12a

*

Vereinfache:

3(3ln9) / 2

2,305

1lg

x

ee

ee

12b

**

Berechne f ‘(0) durch log. Differenzieren:

1

3

4

5

1 (1 )( )

(1 5 )

x xf x

x

12c

**

Zeige durch Induktion: 1( ) ( )

nax n n ax

n

dxe na a x e

dx

12d

*** 2

2: 2 ?a (unendlicher Exponentialturm)

BDH

K S



Lektion 13: Logarithmische Auftragungen

Kapitel 3.5.3


LogAchsen.htm: Funktionen sollen verschiedenen logarithmischen Netzen so zugeordnet werden, dass ein gerader Graph entsteht.


Dampfdruck.htm: die für die Dampfturbinen wichtige Dampfdruckkurve ist ein Beispiel für die sog. Aktivierungsauftragung, bei der eine log. Hoch-achse und eine 1/T Auftragung nach rechts verwendet wird (T = Kelvin-Temperatur). Dies ist immer dann empfehlenswert, wenn sog. Aktivierungsenergien thermisch überwunden werden müssen, im Beispiel ist es die Verdampfungswärme.


Doppellog.htm: Beispiel aus der Vorlesung, Leonardo da Vinci untersucht den Zusammenhang zwischen Spannweite und Gewicht bei Vögeln.

Ergebnis:Gewicht Spannweite , das bedeutet, dass die sog.

Flächenbelastung bei den untersuchten Vögeln ungefähr gleich ist.

PM S.28

Versuche die doppellog. Darstellung der obigen Messreihe (Gewicht über Spannweite) in MATLAB (Befehl: loglog)

13

**

Konstruiere auf kariertem Block doppellog. Achsen: in x und y je eine Dekade (=10cm). Einteilung zwischen 1 und 3 in 0,2er Schritten, dann in 0,5er Schritten. Trage folgende Messreihe ein und bestimme die Parameter a und b des vermuteten Potenzgesetzes y=axb. x 13 15 19 22 29 34 51 55

y 0,15 0,19 0,26 0,31 0,44 0,54 0,89 0,98

Welchen Wert y würde man demnach für x=200 erwarten?

store(BRAIN); Funktionstyp Auftragung Steigung Punkt

( ) bxy x C a y log. x lin.

2

1

2 1

loglog

a

a

y

y yb

x x x

C=y(0)

( ) by x C x y log. x log.

2

1

2

1

lglg

lglg

y

y yb

xx

x

C=y(1)

BDH



Lektion 14: Inverse Winkelfunktionen, Hyperbolische Funktionen

Kapitel 3.4.4 + 3.5.4 + 3.5.5

Kapitel 5.7.3, 5.6, 5.7.5


ArcSinCosTan.htm: Graphen der Arcusfunktionen samt Ableitungen


tractrix.avi: eine Anwendung des Arcosh ist die sog. Hundekurve (Traktrix), die in der Flugnavigation oder bei der Kurvenfahrt eines Sattelschleppers eine Rolle spielt. Sie kommt anschaulich durch Ziehen eines störrischen Hundes zustande, wobei das Herrchen entlang der y-Achse läuft und der an der Leine befestigte Hund anfangs auf der x-Achse liegt. Die sich ergebende Schleifspur ist gerade die Tractrix (trahere = ziehen).


catena.avi: die Kurve des schweren, durchhängenden Seiles kann mit Hilfe des cosh beschrieben werden (Kettenkurve oder Catena). Im Film werden die Enden des Seiles auseinander gezogen, was immer größere horizontale Kräfte erfordert.

14a

**

Vereinfache / berechne:

2 2

1cos arctan cos(arcsin ) arccos

2

d ax

dx a x

14b

**

Zeige: 21

( ) arcosh 1y x xx

löst die Differenzialgleichung

21dy x

dx x

(Hundekurve)

BDH

K S



Lektion 15: Abhängige Raten, Extremwerte

Kapitel 5.3.3

Kapitel 6.4.4, 6.6.2

15

**

Eine 10m lange Leiter lehne an einer 3m hohen Mauer. Der Leiterfuß sei gerade 4m rechts von der Mauer entfernt und wird mit 1,5m/s horizontal nach rechts weggezogen. Skizze. Mit welcher Geschwindigkeit bewegt sich momentan das in der Luft schwebende Leiterende horizontal und vertikal?

Lektion 16: Optimierungsaufgaben

Kapitel 5.3.3

Kapitel 6.6.2


Windmühle.htm: Historisches Schmankerl für die Umwelttechniker. Albert Betz fand 1918: Die maximale Leistung, welche wir mit einem Windrade von D m Durchmesser bei einer Windgeschwindigkeit v m/s dem Winde

entziehen können, ist demnach 2

3max

16

27 2 4

D mkgL v

s

Wie er darauf kam, wird im Arbeitsblatt erklärt


OptFestSteif.htm: Gelegentlich muss man genauer spezifizieren, was optimal bedeuten soll. Beim Biegebalken z.B. kann man darunter minimale Durchbiegung (= optimale Steifigkeit) oder maximale Belastbarkeit (= optimale Festigkeit) verstehen. Im ersten Fall muss das Flächen -moment im zweiten das Widerstandsmoment optimiert werden. Rechnungen wie in der Vorlesung, nur mit entsprechenden Graphiken.

16

**

Wie im Bild gezeigt treffen ein 1m breiter Gang und eine 8m breite Halle rechtwinklig aufeinander. Es soll die größtmögliche Länge L eines Balkens

ermittelt werden, den man in horizontaler Lage aus der Halle in den Gang tragen kann. Die Balkendicke soll vernachlässigt werden. Berechne

zunächst l(), die Länge der gezeigten Geraden AB (alles in Meter), die die Ecke C berührt. Was hat diese Größe mit der gesuchten Länge L zu tun? (war mal bayerische Abituraufgabe und Prüfungsaufgabe MA1)

BDH

BDH

A

B

C

K S

K S



Lektion 17: Lineare und quadratische Näherung, Taylorpolynome

Kapitel 7.2

Kapitel 8.3, 8.4

17a

*

Linearisiere die Funktion x bei x=25 und berechne damit 26

17b

**

Berechne das Taylorpolynom 4.Ordnung von x an der

Entwicklungsstelle b=25

store(BRAIN);

( )

1

( ) ( ) '( )

( )( ) ( )

!

knk

k

lineare Näherung f x h f x f x h

f xNäherung n ten Grades f x h f x h

k

Taylorreihe n

alternative Schreibweise (Entwicklungszentrum sei jetzt nicht mehr x sondern b, Berechnungsstelle sei jetzt nicht mehr x+h sondern x):

( )

0

( )( ) ( )

!

kk

k

f bf x x b

k

Lektion 18: Taylorreihen, Taylorrest

Kapitel 7.2

Kapitel 8.3, 8.4


Taylor.avi: das Taylorpolynom verschiedener Funktionen wird bis zu immer höheren Ordnungen bestimmt. Beim Cosinus (Entwicklungsstelle 0) wird der Übereinstimmungsbereich zwischen Näherung und Funktion immer größer, ab Näherung 100 kommt es aber zu numerischen Instabilitäten. ln x (Entwicklungsstelle 1) und 1/(1-x) (Entwicklungsstelle 0) haben offensichtlich nur einen Konvergenzradius von 1. Außerhalb kommt es bei immer höheren Näherungen zu dramatischen Abweichungen. Am gutmütigsten verhält sich die e-Funktion (entwickelt bei 0). Selbst in halblogarithmischer Auftragung gibt es immer weitreichendere Übereinstimmung, je höher die Ordnung wird. Numerische Instabilitäten treten im positiven x-Bereich nicht auf, da alle Summenglieder positiv sind.

18

**

kombiniere die Taylorreihe von ln(1+x) und ln(1-x), um die Taylorreihe von 1 1

artanh ln2 1

xx

x

zu erhalten (entwickelt bei 0). Überprüfe das

Ergebnis durch mehrmaliges Differenzieren (mindestens 3x) des artanh. Die Taylorreihe des ln (entwickelt bei 1) kam in der Vorlesung vor.

BDH

BDH

K S

K S



Lektion 19: Bestimmtes Integral, Hauptsatz der Analysis

Kapitel 6.2.1 und 6.2.2

Kapitel 7.1, 7.2

www. http://www-hm.ma.tum.de/integration/course/html/ch2/home.htm

19a

*

Berechne

1

0

xe dx einmal mit dem Hauptsatz Analysis und einmal

experimentell durch Kästchen auszählen auf kariertem Papier (1cm = 2 Kästchen = 0,2 Einheiten in x und y)

19b

*

Leseübung: bestimme

2 2

04 sgn( 1)x x dx rein geometrisch.

Skizziere die zu integrierende Funktion im Integrationsbereich und berechne die Fläche (sgn(x) = Vorzeichenfunktion: +1 für positives Vorzeichen, -1 für neg. Vorzeichen, 0 bei 0).

store(BRAIN);

Hauptsatz der Analysis: ( ) ( )

x

a

df t dt f x

dx

In Worten: Ableitung des bestimmten Integrals nach der oberen Grenze = Integrand, genommen an der oberen Grenze Integration ist die Umkehrung der Differenziation Damit kann man bestimmte Integrale so bestimmen: F(x) heißt „Stammfunktion“ von f(x), wenn F‘ = f F ist bis auf eine „Integrationskonstante“ C eindeutig

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

bb b

aa

a

f x dx F b F a F x F x

Um eine Stammfunktion F vom Integrand f zu erhalten, müssen die Differenziertabellen nur von rechts nach links gelesen werden. Allerdings lässt sich analytisch (also mit Standardfunktionen) praktisch jede Funktion differenzieren, jedoch nicht notwendigerweise integrieren. Differenzieren ist Routine, Integrieren ist Kunst!

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Lektion 20: Unbestimmte Integrale, Rechenregeln

Kapitel 6.1.2, 6.2.1 und 6.2.2

Kapitel 7.2, 7.3


20a

**

Leite folgende Funktionen nach x ab: 3

2 2 2

2

3 52

4( ) ( ) ( )

x xt t t

x xF x e dt G x x e dt H x e dt

20b

**

Zeige durch gliedweises Integrieren der Taylorentwicklung:

ln(1 )1

dxx

x

(die entsprechenden Taylorreihen kamen in der Vorlesung oder in den Hausaufgaben vor)

store(BRAIN); „Unbestimmtes Integral“: anderer Ausdruck für Stammfunktion, bedeutet

genau dasselbe. Anderes Symbol: ( ) ( )f x dx F x (beim

Integralzeichen werden die Grenzen weggelassen) Integrationsregeln: - Linearität (gilt für bestimmte und unbestimmte Integrale)

( ( ) ( )) ( ) ( )a f x b g x dx a f x dx b g x dx

- Vertauschen der Grenzen

( ) ( )

b a

a b

f x dx f x dx

- Zwischenschieben einer Grenze

( ) ( ) ( )

b c b

a a c

f x dx f x dx f x dx

- Mittelwert einer Funktion f(x) im Bereich a x b

1

: ( )

b

a

f f x dxb a

- Differenziation nach einer Variablen in der oberen oder unteren Grenze

( )

( )

( ) ( ( )) '( ) ( ( )) '( )

h x

g x

df t dt f h x h x f g x g x

dx

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Lektion 21: Integration durch Substitution

Kapitel 6.3.2

Kapitel 7.3


21

**

Berechne:

4ln

3

32 23

ln4

(1 )

t

t

e dt

e

1.Schritt: augenfällige Substitution, Grenzen mitsubstituieren!

2.Schritt: substituiere sin

tan , tan =cos

u

, Grenzen mitsubst.

3.Schritt: Mit trigonometrischer Formel noch vereinfachen und im Kopf ausrechnen.

store(BRAIN); ( ( )) '( ) ( ( ))f g x g x dx F g x

Grund: die rechte Seite differenziert nach der Kettenregel ergibt gerade den Integranden. In der Praxis nutzt man dies so aus: - Ein im Integrand (evtl. wiederholt) vorkommender Ausdruck g(x) wird

durch u ersetzt (u=g(x))

- Die Ableitung nach x '( )du

g xdx

wird als Merkhilfe auseinander

gezogen, was ja eigentlich unkorrekt ist, da du

dx das Symbol für

Ableitung und keinen Bruch darstellt: du = g‘(x)dx - Mit dieser Beziehung wird dx in du umgewandelt, mit der Substitution

u=g(x) müssen außerdem alle x aus dem Integranden verschwinden (notfalls mit Hilfe der Umkehrfunktion x=g-1(u))

- Letztendlich entsteht ein neues Integral mit Integrationsvariable u. Die

Substitution lohnt natürlich nur, wenn der neue Integrand einfacher als der alte ist.

Mitsubstitution der Grenzen bei bestimmten Integralen:

( )( )

( )

( )

( ( )) '( ) ( ) ( )

g bbu g b

u g a

a g a

f g x g x dx f u du F u

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Lektion 22: Partialbruchzerlegung

Kapitel 6.3.3

Kapitel 5.2.2, 5.2.3, 7.3.4

PM S.65 ff

In MATLAB gibt es komfortable Befehle zum Thema Polynome (Nullstellen, Polynomdivision, Partialbruchzerlegung). Teste sie am unteren Beispiel! Teste die Funktion residue (s. MATLAB documentation)

22

**

2

4 3 2

5,2 10 9,6( )

0,4 4,6 1,6 2,4

x xf x

x x x x

Bestimme die erste Nennernullstelle x1 mit dem Newton-Verfahren (Startwert x = -1), die weiteren Nullstellen durch Abspaltung des Faktors (x – x1) mittels Polynomdivision und Hingucken. Führe die Partialbruchzerlegung durch und bestimme die Stammfunktion von f(x).

store(BRAIN);

- Polynome vom Grad n haben genau n Nullstellen 1 ... nx x . Diese

sind eventuell komplex und/oder mehrfach („Hauptsatz der Algebra“)

- „Standardform“ eines Polynoms vom Grad n:

1 21 2 1 0( ) ...n n

nQ x x a x a x a x a

(kann durch Ausklammern des Koeffizienten bei xn immer erreicht

werden!) - Produktdarstellung eines Polynoms in Standardform mit Hilfe der

Nullstellen: 1 2

1

( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )n

n i

i

Q x x x x x x x x x

- Nullstellensuche: bis zum Grad 4 gibt es Formeln, ab Grad 5 gibt es prinzipiell keine Formeln mehr (Abel, 1820) n=2 Mitternachtsformel (1.Sem. Lektion 4) n=3,4 Cardanische Formeln, zu kompliziert für die Anwendung

- Polynomdivision: Ist eine beliebige Nullstelle xi von Q(x) bekannt, so lässt sich Q(x) ohne Rest durch (x - xi) teilen. Bsp:

3 2 2

3 2

2

2

2 23 60 : ( 3) 20

3

23

3

20 6020 60

0 Rest

x x x x x x

x x

x x

x x

xx

Das resultierende Polynom ist dann im Grad um eins reduziert („Abspaltung einer Nullstelle“). Seine Nullstellen sind daher einfacher zu bestimmen als die vom ursprünglichen Q(x).

BDH

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Lektion 22: Partialbruchzerlegung (Fortsetzung)

store(BRAIN);

- „Rationale Funktion“

( )( ) ,

( )

P xf x P Polynom vom Grad m Q vom Grad n

Q x

- „Echt gebrochen“ m < n, sonst „unecht gebrochen“. Unecht gebrochene rationale Funktionen lassen sich durch Polynomdivision in ein Polynom plus eine echt gebrochene rationale Funktion verwandeln.

- Partialbruchzerlegung echt gebrochener rationaler Funktionen (nur

solche werden im Folgenden betrachtet !), Nenner besitze Standardform und n reelle einfache Nullstellen:

1 2

( )( ) ... (*)

( ) n

P x A B Zf x

Q x x x x x x x

- Zur Bestimmung der reellen Konstanten A ... Z wird Gleichung (*) mit Q(x) durchmultipliziert. Die entstehende Polynomgleichung wird entweder durch Koeffizientenvergleich gelöst (lineares Gleichungssystem) oder durch Einsetzen der Nullstellen für x (schneller, führt direkt auf die gesuchten A ... Z).

- 1 2( ) ln ln ... ln nf x dx A x x B x x Z x x

(Integration der Partialbruchzerlegung ist einfach)



Lektion 23: kompliziertere Partialbruchzerlegungen

Kapitel 6.3.3

Kapitel 5.2.2, 5.2.3, 7.3.4

23

**

4 3 2

2 2

4 8 13 9 3( )

( 1)

x x x xf x

x x x

Führe die Partialbruchzerlegung

durch und bestimme 2

1

( )f x dx

store(BRAIN);

- Mehrfache reelle Nullstellen, z.B. 3

1( )Q x x x :

1 2 3

2 31 1 1

( )( )

( )

A A AP xf x

Q x x x x x x x

- Komplexe Nullstellen von Q(x) treten immer paarweise auf: ist

1x r js Nullstelle, dann ist auch das konjugiert Komplexe

1*x r js Nullstelle. 1 1 *x x x x kann dann aber immer

zu einem reellen quadratischen Ausdruck zusammengefasst werden, der den Ausgangspunkt für die reelle Partialbruchzerlegung liefert:

2 2 2 21 1

2 2

* 2 ( ) :

4 4 0

x x x x x rx r s x bx c

Diskriminante b c s

- Partialbruchansatz für komplexe Nullstellen:

22

( )( ) ...

...

P x Bx Cf x

x bx cx bx c

- Mehrfache komplexe Nullstellen, z.B.

1 1 2 2

2 2 22 2

( )( ) ...

...

P x B x C B x Cf x

x bx cx bx c x bx c

- Die Konstanten 1 2 1 1, ,..., , ,..., , ,...A A B C B C können wieder

entweder durch Koeffizientenvergleich oder durch Einsetzen

einfacher Zahlen für x (0, 1, 2, reelle Nullstellen) bestimmt werden. Die Partialbrüche lassen sich auch jetzt relativ einfach mit Standardintegralen integrieren

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Lektion 24: Bogenlänge, Oberflächen, Volumina

Kapitel 6.4.1 und 6.4.2

Kapitel 7.4


24a

*

Bestimme die Bogenlänge des Cosinushyperbolicus zwischen x=0 und x=1.

24b

**

Bestimme das Volumen eines Fasses: der Fassbauch sei im Schnitt parabolisch mit Durchmesser D an der dicksten Stelle, d am Fassboden, Fasshöhe sei H. Rotationsachse sei x, dickste Stelle bei x=0, Schnitt sei symmetrisch zur y-Achse (Skizze!). Bei der Interpolationsparabel fällt der lineare Term dann weg.

store(BRAIN);

Das bestimmte Integral liefert nicht nur die Fläche unter dem Funktionsgraphen, sondern es kann für eine Vielzahl von Summieraufgaben angewandt werden, bei denen viele unterschiedlich kleine Teile zusammengezählt werden müssen:

- Bogenlängenelementchen 2 2 21 ( ')ds dx dy y dx

Bogenlänge 21 ( ')

b

a

s y dx

- Oberflächenelementchen eines Rotationskörpers mit Drehachse x und

Kontur y(x): 22 2 1 ( ')dS y ds y y dx

Oberfläche 22 1 ( ')

b

a

S y y dx

- Volumenelementchen (= dünne Scheibe mit Dicke dx, Aufschnitt senkrecht zur x-Achse) eines Rotationskörpers mit Drehachse x und

Kontur y(x): 2dV y dx

Volumen 2b

a

V y dx

- Volumen einer dünnen Scheibe mit Fläche A(x) und Dicke dx, die

senkrecht zur x-Achse steht: ( )dV A x dx

Gesamtvolumen ( )

b

a

V A x dx

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Lektion 25: Schwerpunkt, Moment, Arbeit

Kapitel 6.4.1

Kapitel 7.6

25

**

Welche Hubarbeit ist nötig, um den Fuijama aufzuschütten? (Annahme: kegelförmig 3780m hoch, 18,9 km Radius an der Basis, Gesteinsdichte 3,20 to/m3). Kann dies je von Menschenhand geschehen?

- Jahresrohöl-“Produktion“ 2014: 34 GigaBarrel, 159 l /barrel, Heizwert grob 10 kWh/l, Wirkungsgrad Motor grob 20%

- Größte je detonierte thermonukleare Bombe: „Zar-Bombe“, erbaut vom späteren Regime-Kritiker Sacharow für den damaligen Präsidenten Chruschow, Entwicklungszeit 16 Wochen, Explosion am 23.10.1961 über Halbinsel Novaja Zemlya. Sprengkraft 50 MegaTonnen TNT, 1 kg TNT setzt (nur) 1,2 kWh Explosionsenergie frei.

- LEW-Strom: 28 Cent/kWh (vielleicht gibt’s Rabatt bei größeren Abnahmemengen), Bundeshaushalt 2014: 300 Giga€

- Gotteshand: geschätzte Energie des Ries-Meteoriten: 5GigaTonnen TNT

store(BRAIN);

Gewichtskraftmoment dM (im Uhrzeiger pos.) einer bei x liegenden Teilmasse dm bezüglich eines Drehpunktes mit x-Koordinate

x (Erdbeschleunigung g in Richtung –y):

( )dM g x x dm

Damit lassen sich alle möglichen Flächen- und Linienschwerpunkte durch Integration berechnen, deren Konturen durch Funktionen y(x) gegeben sind. Bezüglich des Schwerpunktes verschwindet das Gewichtskraft-Gesamtmoment.

Teilarbeit (=Teilenergie) dW, die bei Verrückung um dx von Kraft

F geleistet wird:

dW F dx (Skalarprodukt!)

Damit lassen sich alle möglichen Gesamtenergien durch Integration ausrechnen, bei denen sich entweder die Kraft längs des Weges verändert, oder bei denen komplizierte, gekrümmte Wege ausgeführt werden, oder bei denen viele unterschiedlich große Teilarbeiten verrichtet werden müssen.

Lektion 26: Statikprobleme und Drehungen in Matrixdarstellung

Kapitel 4.3

PM S.53 ff

In MATLAB gibt es komfortable Befehle zum Thema Vektoren und Matrizen. Teste sie mit Aufgabe 26b

BDH

BDH

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Lektion 26 (Fortsetzung): Statikprobleme und Drehungen in Matrixdarstellung

26a

**

Formuliere das lineare Gleichungssystem für unten stehendes Statikproblem in Matrixschreibweise (Rahmen quadratisch). Gegeben: Kraftkomponenten Px, Py, Qx, Qy der Belastungen auf die Knoten 2 und 3 (Vorzeichen behaftet!) Gesucht: Stabkräfte F1 .. F5 (positiv bei Zug) und Kraftkomponenten Ax, Ay, Bx von den Lagern auf die Knoten 1 und 4 (Vorzeichen behaftet!)

26b

**

Berechne die Drehmatrizen D1=Dz90·Dx90 und D2=Dx90·Dz90 sowie die Quaderdrehungen D1·Q und D2·Q mit:

cos sin 0 1 0 0

sin cos 0 0 cos sin

0 0 1 0 sin cos

0 0 0 0 4 4 4 4

0 2 2 0 0 2 2 0

0 0 1 1 0 0 1 1

z xD D

Q

Überprüfe mit kleiner 3D-Skizze die Richtigkeit der Rechnung

store(BRAIN); n x m Matrix A: rechteckiges Zahlenschema mit n Zeilen, m Spalten

aik: Element von A , also die Zahl in der i-ten Reihe und k-ten Spalte

Matrixmultiplikation: A(n x m)·B(m x p) = C(n x p) nach dem Schema Zeile · Spalte (Spaltenzahl von A muss gleich sein Zeilenzahl von B!):

1

4 5 53 2 0

11 2 .

1. .

6

3 42

1

224

m

ik il lk

l

i noder c a bx x x

k px

x x x x

Vektoren können als einspaltige Matrizen aufgefasst werden. Bei der

Multiplikation bA muss also die Spaltenzahl von A mit der

Komponentenzahl von b übereinstimmen.

1

2 3

4

5

1 2

3 4

PP

Q

P

AP

BP

y

x



Lektion 27: Matrixoperationen und Rechenregeln, inverse Matrix, Determinante

Kapitel 4.1 und 4.3

Kapitel 4.1, 4.2, 4.3, 4.4

27a

**

Löse das 2x2 Gleichungssystem A x b durch Einsetzen nach x auf

und zeige damit : 1 adj

det

AA

A

wobei

22 12

21 11

11 22 12 21adj deta a

a aa a a a

A A

27b

**

Zeige durch Matrixmultiplikation: 1

D D mit

cos sin

sin cos

D (2-dimensionale Drehmatrix um Winkel gegen

den Uhrzeiger)

store(BRAIN); Rechenregeln

- Multiplikation Matrix mit Zahl geschieht elementweise - Addition Matrix mit Matrix geschieht elementweise - Multiplikation A·B ist nicht kommutativ: A B B A . Bei nicht-

quadratischen Matrizen kann eines der beiden Produkte gar nicht gebildet werden

- A B C A B C

- A B C A B A C

- r r r r A B A B A B A B

Definitionen - transponierte Matrix AT: Zeilen und Spalten werden vertauscht. - quadratische n x n Matrix: Zeilenzahl = Spaltenzahl - symmetrische Matrix: AT = A - inverse Matrix: A-1: A-1·A = A·A-1= 1 (Einheitsmatrix). Die Inverse

ist nur bei quadratischen Matrizen definiert und spielt bei der Lösung linearer Gleichungssysteme eine entscheidende Rolle. Die Berechnung ist aufwendig.

Determinante det A einer quadratischen Matrix (= Zahl)

- 2x2 Matrix: 11 22 12 21det : a a a a A

- 3x3 Matrix: Sarrusregel - nxn Matrix: Rückführung auf (n-1)x(n-1)-Unterdeterminanten

(„Laplacescher Entwicklungssatz“), sehr rechenaufwendig - Mit Determinanten und Unterdeterminanten (sog. Adjunkten) kann die

Inverse A-1 berechnet werden. Das Verfahren ist jedoch vom Rechenaufwand her inakzeptabel.

- Ist det A = 0, so existiert die Inverse A-1 nicht. Die Zeilen oder Spalten von A sind dann nicht linear unabhängig.

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Lektion 28: Gaußsches Eliminationsverfahren

Kapitel 4.4.1

Kapitel 2.2, 2.3

.xls gaußeli.xls: Aufgabe 26a kann nur durch Zeilen und Spaltentausch in Dreiecksgestalt gebracht werden. Mit dem Excel-file kann man das relativ leicht üben. Wichtig ist:

- Beim Zeilentausch muss die rechte Seite (gelb, rechts) mitgetauscht werden. Dem Zeilentausch entspricht nur eine andere Reihenfolge der Gleichgewichtsbedingungen an den Knoten (gelb, links, k4y ist die Gleichgewichtsbedingung in y-Richtung am Knoten 4).

- Beim Spaltentausch werden die unbekannten Stab- und Lagerkräfte umgeordnet. Deswegen wurden sie über die Matrix geschrieben und grün markiert. Jeder Spalte ist eine Kraftkomponente zugeordnet. Diese grünen Zellen müssen beim Tausch mitgenommen werden, damit man die richtige Reihenfolge der Unbekannten bekommt.

In Excel gibt es keinen Befehl für Vertauschen. Man muss also z.B. Spalte ax erst an eine freie Stelle hinräumen, den freigewordenen Platz mit Spalte f1 besetzen und zum Schluß ax in die erste Spalte kopieren, um f1 mit ax zu tauschen. Im Excel-Blatt ist oben links und rechts die Ausgangs-situation, unten die Lösung. Versuche es mit einer der oberen Matrizen!

28

*

Löse Aufgabe 26a mit dem Eliminationsverfahren ohne Spaltentausch.

store(BRAIN); Gaußelimination

1. Bringe A b durch Elementarumformungen in obere Dreiecksgestalt

(Vorwärtselimination): – Suche Zeile, die nicht mit Null beginnt und markiere sie – Nulle durch Elementarumformungen mit markierter Zeile die

1. Spalte aller anderen Zeilen (sofern nötig) – nach n-1 Schritten ist obere Dreiecksform erreicht (bestehend aus

den markierten Zeilen) 2. Löse entstandenes „gestaffeltes“ Gleichungssystem von unten nach

oben (Rückwärtssubstitution) Beispiel:

1 2 3 1

2 3

3

0 1 2 8

6 6 7 391

2 3 13

:

3 4 5 263 26 4 5 ; 1

8 2 21 2 8

32

1 33 22 2 1

a

b aa

c b

Lösung

x x x xx x

xab

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Lektion 29: Rang einer Matrix, freie Parameter

store(BRAIN); Bei der Gaußelimination eines allgemeinen Gleichungssystems

( ) ( ) ( )A m n n mx b (Hochindex = Dimension n,m beliebig)

kann es vorkommen, dass in einem Schritt alle Zeilen mit Null beginnen. Es ergibt sich dann eine unterbrochene Diagonalreihe, einige Treppenstufen werden breiter (rote Blöcke im unteren Bild). Außerdem können mehr oder weniger Zeilen als Unbekannte vorkommen. Das Resultat der Gaußelimination wird in jedem Fall so aussehen:

Das Gleichungssystem ist nur dann widerspruchsfrei, wenn der grüne Block lediglich aus Nullen besteht. Die Lösung kann dann in 2 Schritten erfolgen:

allg. homogene Lösung spez. inhomogene Lsg.

- Allgemeine Lösung der „homogenen Gleichung“ 0A Ox . Dazu

werden die roten Blöcke mit Vorzeichenumkehr nach rechts gestellt, der schwarze Block wird gestrichen und es erfolgt wie gewohnt die Rückwärtssubstitution. Die sich ergebende „allgemeine homogene

Lösung“ Ox ist n-komponentig und enthält die freien Parameter:

1 1 2 2 ...O n r n rx c c c

- Eine spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung A Sx b . Dazu

werden alle s Null gesetzt (die roten Blöcke werden gestrichen), auf

der rechten Seite wird nur der Schwarze Block berücksichtigt. Sx ist

wie Ox n-komponentig (die zu Null gesetzten freien Parameter

werden in die Lösung hinein geschrieben, z.B. an die Stelle x3 und x4). - Die allgemeine Lösung der ursprünglichen inhomogenen Gleichung ist

dann einfach: O Sx x x



Lektion 29: Rang einer Matrix, freie Parameter (Fortsetzung)

Beispiel 5 Gleichungen mit 4 Unbekannten

1 2 3

1 2 43

4

02 3 1 5 203 7 1 5 200 1 1 1 4

01 1 1 0 1

45 5 5 20

13:5 5 5 20

43 1 0 1

0 00 0

1

1 4 21 1

2

1

2

01

00

1

3

4 2 0

1 1

3

003

oderzusammen

gefa

x

x

ss

x x

x x x

t

x

Rang der Matrix ist nur 3, nur so viele unabhängige Informationen stecken im Gleichungssystem, da die Zeilen 2 und 3 aus anderen Zeilen durch Linearkombination folgen (z.B. Zeile2 = 2·Zeile1 + 5·Zeile4). Also kann man auch nur 3 Unbekannte x1, x2 und x3 bestimmen, x4 bleibt unbestimmt

und wird zum „freien Parameter“ umgetauft. Das Gleichungssystem ist widerspruchsfrei, da der grüne Block aus Nullen besteht.

4

1 2 3

1 3

2 3

3

2 14 20 0,5

0,5 1,1 4 2

1 5113 1,5

12

O

allg. homogene Lsg.xx x x

x

x x

x x

x

x

In Ox wird der freie Parameter 4x mit hineingeschrieben.

1 2 3

1 2 3

2 3

3

34 2 30 2,5

4 2,5 6,54013 6

1 4 21 1

,52

S

spez. inhomogene Lsg.x x x

xx x

x x

x

x

In Sx wird ebenfalls der freie Parameter 4 0x mit

hineingeschrieben. Gesamtlösung ist O Sx x x

29a

**

Gegeben sei:

1 2 3 1 3

4 9 13 0 13

1 0 0 11 1

x

1. Vorwärtselimination ohne Zeilentausch 2. allgemeine Lösung der homogenen Gleichung 3. spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung 4. allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung

29b

***

Es sollen mit 100€ 100 Flaschen gekauft werden: - x Flaschen Schnaps (10 €/Fl.) - y Flaschen Wein (3 €/Fl.) - z Flaschen Bier (0,5 €/Fl.) Bestimme die allgemeine Lösung

Bestimme die vernünftigen Lösungen (x,y,z 0, ganzzahlig)



Lektion 30: Gauß-Jordan-Verfahren zur Bestimmung der Inversen

PM Kap.4

Falls vor der Prüfung noch genug Zeit und Muße vorhanden ist, kannst du dir ja mal die in MATLAB vorhandenen Werkzeuge zur Lösung von LGS anschauen. In Kapitel 4 werden auch die Grundzüge der Theorie nochmals recht anschaulich dargestellt!

30

**

Bilde die Inverse der Matrix A mit Gauß-Jordan-Verfahren

1 3 1 4

2 5 1 3

0 4 3 1

3 1 5 2

A

store(BRAIN); Gauß-Jordan-Verfahren:

1. Schreibe rechts neben A die entsprechende Einheitsmatrix 1

2. Eliminiere A 1vorwärts, mache jedes Diagonalelement auf der linken

Seite zu Eins, wende alle Elementarumformungen auch auf die rechte Seite an

3. Eliminiere rückwärts, bis links die Einheitsmatrix 1 erscheint. Die rechte Seite ist dann das Ergebnis A-1

Beispiel:

2 2 1 13 3 2 1

2 5 2 1 0 2 23 7 3 0 1 3 3

1/( 2)0,5 0 11 0 3 2

1

1 0 1 7 5

,5 1 2 32 22,5

1 2 0 1 9 6 31

11 0 0 1 5 4 1

2 3 1

11

1 2,5 1 0,5 0

1

2

1

12

a

b aa

c bb

dd

de

aa

cc

e

f

cae

Ergebnis und Kontrolle:

1 0 0 1 5 41 0 1 7 5

1 0

1111 1 2 3 12 2 2 1 13 3 3

3 2

2 1

fedaaa

Im oberen roten Block sind die Ergebniszeilen der Rückwärtselimination nur so sortiert, dass links die Einheitsmatrix entsteht. Im unteren Block wurde die Ausgangsmatrix links hingeschrieben. Wenn man den Block links unten mit dem rechten oberen nach dem Falk-Schema multipliziert muss unten rechts die Einheitsmatrix erscheinen.



Lösungen der etwas schwierigeren Aufgaben

2

2 2( ) 1200 200 700(5000 )K x x x

x=150m, K=3,70 Mio € (3,74 bei rechtwinkliger Verlegung)

2b 1 2 3

( )1

xf x

x

3a

2 3 2 3 2 3 2 3, 1, , , ,

2 2 2 2 2

3b

21cos , sin , cos , sin , , 1 2cos

sin cosx x x x x

x x

5a

SW mit 71km/h

5b cos 0,0195 91,1

6a

2 2 21( ) ( ) ( )

2

bc

ac bc ac ab

ab

7 6

0

337!

!

i

i

xi

8a 3

8 ( ) (3 2 ( )) (3 2 ( ))f x f f x f f x

8b 2

25 3

9a 0

9b 1

10

a=2, b=3

11a 3 3/2 -2x

11b ln3/ln(3/2)

11c 1/cos x

12a 27e x

12b 5

36



12d

Bestimmungsgleichung für die Lösung: 2a

a . Mögliche Lösungen sind a = 2 oder

4. Wenn man die Rechnung näherungsweise mit TR oder Computer durchführt kommt 2

raus (Startwert 2a , dann Schleife mit 2neu

alta

a ). Die 2. Lösung ist ein

„abstoßender Fixpunkt“ (kommt später noch in der Vorlesung).

13 a=0,0065 b=1,25 y=4,9

14a 2

2 2

1 02 sgn1 sgn( ) :

1 05

: ( )

für xa xx x

für xa x

gesprochen Signum Vorzeichen

15 0,42 m/s nach rechts, 1,44 m/s nach unten

16 5 5

17a 25 26 25

5 5 5.110 10

xx

17b 2 3 425 ( 25) ( 25) ( 25)

510 1000 50000 2000000

x x x x

18

1

1

1

2 1

0

1ln 1

ln 1

artanh 2 1

i i

i

i

i

i

i

xx

i

xx

i

xx

i

19a

1e

19b

33

20a

2

2 2

6 4

5 2 25

4

2

( )

( ) 2 5

( ) 3 2

x

x t x

x x

F x e

G x x e dt x e

H x x e xe

21

43

332 24

4 4arctan arctan3 333 arctanarctan 44

2

(1 )

cos sin

tan 1sin

51 tan

du

u

d



22

3 1 1 3( )

0,6 1 2 2

( ) 3ln 0,6 ln 1 ln 2

3ln 2

f xx x x x

f x dx x x x

x

23

2 2 2

2

2

2

1

3 1 2 2

1 ( 1)

1( ) 3ln ln( 1)

2

7 2 1 2 1arctan

3 13 3 3

( ) 2,854

x x

x x x x x

f x dx x x x

x x

x x

f x dx

24a

1 2e e

24b

2 2

0

2

2 2

2 ( )

2

2 2

2

(8 4 3 )60

h

M

L M R

V A Cx dx

A y D

Ch y y y d D

h H

HV D dD d

25

2 2 19 134,2 10 1,2 10

12gR h J kWh

Hubarbeit entspricht 1,1 Rohöl-Jahresproduktionen Hubarbeit entspricht der Explosionsenergie von 200 Zar-Bomben Strom würde 3,4 Tera€ kosten, entsprechend 11 Bundeshaushalten Hubarbeit entspricht 2 Ries-Meteoriten

26a

z.B:

1

2

3

4

5

01 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 1 0 0 1 0 0

1 0 1 2 0 0 0 0 0

0 1 1 2 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0 0 0

0 1 0 0 0 0 0 0

0 0 1 2 0 1 0 0 1 0

0 0 1 2 1 0 0 0 0 0

x

y

x

x y

y

x

F

F

F P

F P

QF

A Q

A

B



26b

1 1

2 2

0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1

1 0 0 0 0 0 0 4 4 4 4

0 1 0 0 2 2 0 0 2 2 0

0 1 0 0 2 2 0 0 2 2 0

0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1

1 0 0 0 0 0 0 4 4 4 4

D D Q

D D Q

27a 1x b A

27b D D 1

28

Eine Möglichkeit ist unten angegeben. Das Gaußsche Eliminationsverfahren ist nicht eindeutig, da in jedem Schritt eine beliebige nicht mit Null beginnende Zeile zum Weiterechnen hergenommen und markiert werden kann. Das Ergebnis ist allerdings eindeutig.

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

01 0 0 0 0 1 0 0

1 0 0 0 0 0 0

1 2 0 0 0 0 0

1 0 1 0 0

1 0 0 1

1 1 0

1 1

1

y

y y

x

y y

x xx

y yx

x xy y x

F F

QF F

P QF F

F FP

F FP Q

A AP

A AQ

B BP Q Q

2

x y y

y

y y

y y

x

x y y

y y

y y x

P P Q

Q

P Q

P Q

Q

P P Q

P Q

P Q Q

29a

1 2 3 1 3

1 1 4 1

1 2 0

0 0

11 1

2 1

2 0

1 0

S Sx x x x x

29b

z.B. 400 51

1800 1914 0 14

xyz

freier Parameter = z gewählt

x(z): steigende Gerade mit Nullstelle bei z= 80 y(z): fallende Gerade mit Nullstelle bei z=94,74 also können die „vernünftigen Werte“ nur im Bereich z=80, 81 .. 94 auftreten und da kommen nur (0, 20, 80) und (5, 1, 94) in Frage

30

1

2, 5 22 29 13, 5

1 11 15 7

1, 5 15 20 9, 5

0, 5 1 1 0, 5

A

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Stoffumfang 1.Semester - Lektionenhorschem/medium/ingmaterial/material1/... · Prof. Dr. Elmar Müller-Horsche 3 Hochschule Augsburg Mathematik 1 Wie scha ffe ich die Ingenieurmathematik