Inhalt (1. Semester) - hs-augsburg.dehorschem/medium/ingmaterial/FSIngMathe... · Prof. Dr. Elmar Müller-Horsche 1 FH Augsburg Formelsammlung Ingenieurmathematik Die blauen Formeln

Prof. Dr. Elmar Müller-Horsche 1 FH Augsburg Formelsammlung Ingenieurmathematik

Die blauen Formeln hat der angehende Ingenieur im Kopf!

Inhalt (1. Semester) Seite

Grundbegriffe 3 Trigonometrische Funktionen 3 Additionstheoreme 3 Halb- Doppelwinkelformeln 3 Verschiebungen und Dehnungen 4 Kreis und Kugel 4 Parabel 4 Vektoren, Skalar- und Vektorprodukt 4 Binomische Formel

Differenziation 5 Ableitung der elementaren Funktionen 6 Differenziationsregeln 6 Ableitung der Umkehrfunktion

Höhere Funktionen 6 Logarithmus 6 Exponentialfunktion 7 Logarithmische Auftragungen 7 Arcusfunktionen 7 Hyperbolische Funktionen 7 Areafunktionen

Taylorentwicklungen 8 Näherungen und Taylorreihe 8 Die wichtigsten Taylorreihen

Integralrechnung 9 Hauptsatz der Analysis 9 Stammfunktion und unbestimmtes Integral 9 Integrationsregeln 10 Substitution 10 Partielle Integration 11 Nullstellen von Polynomen 11 Partialbruchzerlegungen 12 kompliziertere Partialbruchzerlegungen 13 Integraltafen: Grundintegrale 13 Integrale mit rationalen Funktionen 13 Integrale mit Wurzelfunktionen 14, 15 Integrale mit Winkelfunktionen 15 Integrale mit Arcusfunktionen 15 Integrale mit Exponentialfunktionen 16 Integrale mit Hyperbelfunktionen

Anwendungen 16 Bogenlänge, Oberflächen der Integralrechnung 17 Volumen, Schwerpunkt, Moment, Arbeit

Matrizen und 18 Matrix, Matrixmultiplikation

lineare Gleichungs- 18 Rechenregeln, Definitionen, Determinante systeme 19 Gaußelimination

20,21 Rang einer Matrix, homogene, inhom. und allgemeine Lösung 22 Gauß-Jordan-Verfahren



Inhalt (2. Semester)

Seite Komplexe Zahlen 23 Kartesische und polare Darstellung

23 Rechenregeln 23 Komplexe Schwingungen 24 Komplexe Frequenzgänge

Fourierreihen, 25 Fourierreihen diskrete Fourier- 26 Anwendung der Fourieranalyse in der Schwingungslehre

Transformation 26 Diskrete Fouriertransformation 27 Schnelle Fouriertransformation

Kurven und Flächen 27 Parametrische ebene Kurven 28 Zylinder- und Kugelkoordinaten, 3D-Kurven 28 Tangente, Normale, Krümmung 28 Tangential- und Nomalbeschleunigung, 3D-Flächen

Partielle Ableitung 29 Partielle Ableitung, 29 Tangentialebene 29 Kettenregel, Gradient 30 Höhere Ableitungen, Extremwerte 30 Taylorreihen mehrerer Veränderlicher

Mehrfachintegrale 31 Flächenintegrale 31 Oberflächeninhalt 32 Statische Momente, Flächenschwerpunkt 32 Flächenmomente 2. Grades 32 Volumenintegrale 33 Massenträgheitsmomente

Laplace- 33, 34 Definition, Anwendungen, wichtige Bildfunktionen Transformation 34, 35 Rechenregeln, Transformationssätze

35 Rücktransformation durch Partialbruchzerlegung 35 Korrespondenztafeln

Differenzial- 38 Definition, einfache Lösungsverfahren gleichungen (DGL) 39 Lösung mit der Laplacetransformation

39 Gekoppelte DGL-Systeme



Grundbegriffe

Trigonometrische

Funktionen

2 2

1 2 3sin : sin 30 sin 45 sin 60

2 2 2

3 2 1cos : cos30 cos 45 cos60

2 2 2

sintan : tan 45 1

cos

sin cos 1 " "

Gegenkathete

Hypotenuse

Ankathete

Hypotenuse

Gegenkathete

Ankathete

x x trigonometrischer Pythagoras

= ° = ° = ° =

= ° = ° = ° =

= = ° =

+ =

Additionstheoreme

sin( ) sin cos cos sin

cos( ) cos cos sin sin

tan tantan( )

1 tan tan

α β α β α β

α β α β α β

α βα βα β

± = ⋅ ± ⋅

± = ⋅ ⋅

±± =⋅

∓

∓

Halbwinkelformeln

1 cossin

2 2

1 coscos

2 2

1 cos sin 1 costan

2 1 cos 1 cos sin

α α

α α

α α α αα α α

− = ±

+ = ±

− − = ± = = + +

Doppelwinkelformeln

2 2 2 2

2

sin(2 ) 2 sin cos

cos(2 ) cos sin 2 cos 1 1 2 sin

2 tantan(2 )

1 tan

α α α

α α α α α

ααα

= ⋅

= − = ⋅ − = − ⋅

⋅=−

Verschiebungen und Dehnungen

Veränderung des Graphen in Formel ersetzen

Verschiebung um a nach oben y durch y-a Verschiebung um b nach rechts x durch x-b Dehnung um Faktor c nach oben y durch y/c Dehnung um Faktor d nach rechts x durch x/d Bsp.: x2 + y2 = 1 Einheitskreis (x/d)2 + (y/c)2 = 1 Ellipse mit Halbachse d in x- und c in y-Richtung



Grundbegriffe

Kreis und Kugel Kreisumfang 2πR= πD (Radius, Durchmesser) Kreisfläche πR2 Kugelfläche 4πR2

Kugelvolumen 4

3πR3

Parabel allgemeine Parabelgleichung: y = ax2 + bx + c

Nullstellen („Mitternachtsformel“): 2

1/ 24

2

b b acx

a

− ± −=

Vektoren

Skalarprodukt

2 2 2 ˆ( ) : 1

: cos

: (0 )

x x x

y y y

z z z

x y z

x x y y z z

a a bBezeichnung a a Addition a b a b

a a b

Betrag Länge a a a a a Einheitsvektor a

Skalarprodukt a b a b a b a b ab

Winkel zwischen a und b

θ

θ θ π

+ = + = + +

= = + + =

⋅ = + + = ⋅

≤ ≤

��

�

��

��

Vektorprodukt

:

sin

, ,

y z z y

z x x z

x y y x

a b a bVektorprodukt c a b a b a b

a b a b

Eigenschaften a b ab

a b c bilden Rechtssystem

c steht senkrecht auf a und b

Vorsicht a b b a

θ

− = × = − −

× = ⋅

× = − ×

��

��

��

��

� ��

Binomische Formel Binominialkoeffizient

( ) ( )( )

0

1

0 1

!: :

!( )!

" "

0 11 1 12 1 2 13 1 3 3 14 1 4 6 4 1

!: ( 1) ... 2 1: ( )

nn n k k

k

n n

k k

nbinomischer Satz a b a bk

nnBinominialkoeffizient oderk k n k

Zeile n Spalte k im Pascalschen Dreieck

n

Fakultät n n n n k k

−

=

−

= =

+ =

=−

=

= ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ = − =

∑

∏ ∏



Differenziation

Ableitungen der wichtigsten

elementaren Funktionen

−

−

−−

⋅

−

⋅

+

+

−

−

⋅

2

2

2

2

2

2

2

2

1

( ) '( )

1arcsin

1

1arccos

1

1ar

sin cos

cos sin

1tan

cos

e e

ln

1ln

1log

ln

ctan1

sinh cosh

cosh sinh

1tanh

cosh

1arsinh

1

1arcosh

1

1artanh

1

x x

x x

r r

a

x r x r reell

x x

x x

xx

a a a

x

f x f x

xx

xx

xx

x x

x x

xx

xx

x

x

x

x

xa

x

x



Differenziation

Differenziations-regeln

( )

( )

( )

2

, : , :

' '

' '

' '

( ( ) '( ( )) '( )

f g Funktionen von x a b Konstante

dLinearität af bg af bg

dxd

Produktregel f g f g fgdx

d f f g fgQuotientenregel

dx

g x

Nachdiffere

g g

dKettenreg

nziere

el f g x f g xd

nx

+ = +

⋅ = +

−=

= ⋅

Ableitung der Umkehrfunktion

( ) ( )1 11

1 1' '( ) ( ( ))'( )'( ( ))

f x oder f f xf xf f x

− −−= =

Höhere Funktionen

Logarithmus

0

log

ln ln 1

12,7 1828 1828

log ln

..!

ln lnlg 10 lg10 1 lg

ln10 2,30

log(1) 0

log( ) log log

log log log

log lo

l

g

a

k

b

Logarithmus mit beliebiger Basis

natürlicher Logarithmus e

e Euler Zahlk

x xer Logarithmus x

ab a b

aa b

b

a b a

x x

∞

=

=

= = −

− = = =

== +

=

= −

=

⋅

∑

lnog

lnax

ea

=

Exponentialfunktion

( ) ( )

( ) ( )

1ln . .

' 'ln

yy

x

x y x y

xx y

y

yx xy

x x x

x

x

x

e x Exponentialfunkt Umkehrfunkt des Logarithmus

a a a

aa

a

a a

a a

a

a e e

a

−

+

−

= =

⋅ =

=

=

= ⋅ =

≠ =

Prof. Dr. Elmar Müller-Horsche

7 FH Augsburg Formelsammlung Ingenieurmathematik


Höhere Funktionen

Logarithmische Auftragungen

Funktionstyp Auftragung Steigung Punkt

( ) bxy x C a y log. x lin.

2

1

2 1

loglog

a

a

y

y yb

x x x

C=y(0)

( ) by x C x y log. x log.

2

1

2

1

lglg

lglg

y

y yb

xx

x

C=y(1)

Inverse Winkelfunktionen (Arcusfunktionen)

Hauptäste der Winkelfunktionen (eineindeutige Bereiche):

Definitionsbereich Wertebereich

sin -/2 .. /2 -1 .. 1 arcsin

cos 0 .. 1 .. -1 arccos

tan -/2 .. /2 - .. arctan

Wertebereich Definitionsbereich

Hyperbolische

Funktionen

2 2

sinh2

cosh2

tanh

cosh sinh 1

x x

x x

x x

x x

e ex

e ex

e ex

e e

x x

Inverse

hyperbolische Funktionen

(Areafunktionen)

2

2

arsinh ln 1

arcosh ln 1 1

1 1artanh ln 1

2 1

x x x

x x x x

xx x

x

3 2 1 0 1 2 35

4

3

2

1

0

1

2

3

4

55

5

sinh x( )

cosh x( )

ex

2

33 x

5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 52

1

0

1

22

2

tanh x( )

55 x



Taylorentwicklungen

Taylorreihe ( )

1

( ) ( ) '( )

( )( ) ( )

!

knk

k

lineare Näherung f x h f x f x h

f xNäherung n ten Grades f x h f x h

k

Taylorreihe n=

+ ≅ + ⋅

− + ≅ + ⋅

→ ∞

∑

alternative Schreibweise (Entwicklungszentrum sei jetzt nicht mehr x sondern b, Berechnungsstelle sei jetzt nicht mehr x+h sondern x):

( )

0

( )( ) ( )

!

kk

k

f bf x x b

k

∞

== ⋅ −∑

Die wichtigsten

Taylorreihen

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

0

2 1

0

2

0

1

1

0

!

sin 12 1 !

cos 12 !

ln 1 1 1

11

1

nx

n

nn

n

nn

n

nn

n

n

n

xe x

n

xx x

n

xx x

n

xx x

n

x xx

geometrische Reihe

∞

=+∞

=

∞

=

∞−

=∞

=

= < ∞

= − < ∞+

= − < ∞

+ = − <

= <−

∑

∑

∑

∑

∑



Integralrechnung

Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung

Hauptsatz der Analysis: ( ) ( )

x

a

df t dt f x

dx=∫

In Worten: Ableitung des bestimmten Integrals nach der oberen Grenze = Integrand, genommen an der oberen Grenze Integration ist die Umkehrung der Differenziation

Stammfunktion Damit kann man bestimmte Integrale so bestimmen: F(x) heißt „Stammfunktion“ von f(x), wenn F‘ = f F ist bis auf eine „Integrationskonstante“ C eindeutig

[ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( )b

b b

aaa

f x dx F b F a F x F x= − = =∫

Um eine Stammfunktion F vom Integrand f zu erhalten, müssen die Differenziertabellen nur von rechts nach links gelesen werden. Allerdings lässt sich analytisch (also mit Standardfunktionen) praktisch jede Funktion differenzieren, jedoch nicht notwendigerweise integrieren. Differenzieren ist Routine, Integrieren ist Kunst!

Unbestimmtes Integral

anderer Ausdruck für Stammfunktion, bedeutet genau dasselbe. Anderes Symbol: ( ) ( )f x dx F x=∫ (beim Integralzeichen werden die Grenzen

weggelassen)

Integrationsregeln - Linearität (gilt für bestimmte und unbestimmte Integrale) ( ( ) ( )) ( ) ( )a f x b g x dx a f x dx b g x dx⋅ ± ⋅ = ⋅ ± ⋅∫ ∫ ∫

- Vertauschen der Grenzen

( ) ( )b a

a b

f x dx f x dx= −∫ ∫

- Zwischenschieben einer Grenze

( ) ( ) ( )b c b

a a c

f x dx f x dx f x dx= +∫ ∫ ∫

- Mittelwert einer Funktion f(x) im Bereich a x b≤ ≤

1

: ( )b

a

f f x dxb a

=− ∫

- Differenziation nach einer Variablen in der oberen oder unteren Grenze

( )

( )

( ) ( ( )) '( ) ( ( )) '( )h x

g x

df t dt f h x h x f g x g x

dx= ⋅ − ⋅∫



Integralrechnung

Integration durch Substitution

( ( )) '( ) ( ( ))f g x g x dx F g x⋅ =∫

Grund: die rechte Seite differenziert nach der Kettenregel ergibt gerade den Integranden. In der Praxis nutzt man dies so aus: - Ein im Integrand (evtl. wiederholt) vorkommender Ausdruck g(x) wird

durch u ersetzt (u=g(x))

- Die Ableitung nach x '( )du

g xdx

= wird als Merkhilfe auseinander

gezogen, was ja eigentlich unkorrekt ist, da du

dx das Symbol für

Ableitung und keinen Bruch darstellt: du = g‘(x)dx - Mit dieser Beziehung wird dx in du umgewandelt, mit der Substitution

u=g(x) müssen außerdem alle x aus dem Integranden verschwinden (notfalls mit Hilfe der Umkehrfunktion x=g-1(u))

- Letztendlich entsteht ein neues Integral mit Integrationsvariable u. Die Substitution lohnt natürlich nur, wenn der neue Integrand einfacher als der alte ist.

2

22

2

: ( !)2

2 2 2

22 2

ux

u u xx

eBsp e dx du bleibt unlösbar

u

e e ee xdx du

du duu x du xdx dx

x u

−

−−

−

− −

=

= = − = −

= = = =

∫ ∫

∫ ∫

Mitsubstitution der Grenzen bei bestimmten Integralen:

( )( )

( )( )

( ( )) '( ) ( ) ( )g bb

u g b

u g aa g a

f g x g x dx f u du F u==⋅ = =∫ ∫

Partielle Integration

oder Produktintegration

[ ]

' '

' 'b b

b

aa a

u v dx u v u v dx

u v dx u v u v dx

⋅ = ⋅ − ⋅

⋅ = ⋅ − ⋅

∫ ∫

∫ ∫



Partialbrüche

Nullstellen von

Polynomen

- Polynome vom Grad n haben genau n Nullstellen 1... nx x . Diese sind

eventuell komplex und/oder mehrfach („Hauptsatz der Algebra“) - „Standardform“ eines Polynoms vom Grad n:

1 21 2 1 0( ) ...n n

nQ x x a x a x a x a−−= + + + + +

(kann durch Ausklammern des Koeffizienten bei xn immer erreicht werden!)

- Produktdarstellung eines Polynoms in Standardform mit Hilfe der

Nullstellen: 1 21

( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )n

n ii

Q x x x x x x x x x=

= − ⋅ − ⋅ ⋅ − = −∏

- Nullstellensuche: bis zum Grad 4 gibt es Formeln, ab Grad 5 gibt es prinzipiell keine Formeln mehr (Abel, 1820) n=2 Mitternachtsformel (1.Sem. Lektion 4) n=3,4 Cardanische Formeln, zu kompliziert für die Anwendung

- Polynomdivision: Ist eine beliebige Nullstelle xi von Q(x) bekannt, so lässt sich Q(x) ohne Rest durch (x - xi) teilen. Bsp:

3 2 2

3 2

2

2

2 23 60 : ( 3) 203

233

20 6020 60

0Rest

x x x x x xx x

x xx x

xx

+ − − + = − −+

− −− −

− −− −

Das resultierende Polynom ist dann im Grad um eins reduziert („Abspaltung einer Nullstelle“). Seine Nullstellen sind daher einfacher zu bestimmen als die vom ursprünglichen Q(x).

Rationale Funtionen

( )( ) ,

( )

P xf x P Polynom vom Grad m Q vom Grad n

Q x=

„Echt gebrochen“ m < n, sonst „unecht gebrochen“. Unecht gebrochene rationale Funktionen lassen sich durch Polynomdivision in ein Polynom plus eine echt gebrochene rationale Funktion verwandeln.

Partialbruch-

zerlegung (PZ) einfache reelle

Nullstellen

f(x) sei echt gebrochener rational, Nenner besitze Standardform und n reelle einfache Nullstellen:

1 2

( )( ) ... (*)

( ) n

P x A B Zf x

Q x x x x x x x= = + + +

− − −

Zur Bestimmung der reellen Konstanten A ... Z wird Gleichung (*) mit Q(x) durchmultipliziert. Die entstehende Polynomgleichung wird entweder durch Koeffizientenvergleich gelöst (lineares Gleichungssystem) oder durch Einsetzen der Nullstellen für x (schneller, führt direkt auf die gesuchten A ... Z).



Partialbrüche Stammfunktion der PZ (einfache reelle

Nullstellen)

1 2( ) ln ln ... ln nf x dx A x x B x x Z x x= ⋅ − + ⋅ − + + ⋅ −∫

(Integration der Partialbruchzerlegung ist einfach)

PZ (mehrfache reelle

Nullstellen)

Mehrfache reelle Nullstellen, z.B. ( )31( )Q x x x= − :

( ) ( )1 2 3

2 31 1 1

( )( )

( )

A A AP xf x

Q x x x x x x x= = + +

− − −

Stammfunktion der PZ (mehrfache reelle

Nullstelle)

( ) ( ) ( ) 11 1

1

1n n

dx

x x n x x−=

− − ⋅ −∫

PZ (komplexe Nullstellen)

- Komplexe Nullstellen können immer zu einem reellen quadratischen Ausdruck zusammengefasst werden, der den Ausgangspunkt für die reelle Partialbruchzerlegung liefert:

2 2 4 0x bx c mit Diskriminante b c+ + − < - Reeller Partialbruchansatz für komplexe Nullstellen:

( ) ( ) 22

( )( ) ...

...

P x Bx Cf x

x bx cx bx c

+= = ++ ++ + ⋅

- Mehrfache komplexe Nullstellen, z.B.

( ) ( ) ( )1 1 2 2

2 2 22 2

( )( ) ...

...

P x B x C B x Cf x

x bx cx bx c x bx c

+ += = + ++ ++ + ⋅ + +

Die Konstanten 1 2 1 1, ,..., , ,..., , ,...A A B C B C können wieder entweder durch Koeffizientenvergleich oder durch Einsetzen einfacher Zahlen für x (0, ±1, ±2, reelle Nullstellen) bestimmt werden.

Stammfunktion der PZ (einfache

komplexe Nullstelle)

22

2

2 2ln arctan

2

: 4

Bx C B C Bb x bdx x bx c

x bx c

mit c b

+ − += ⋅ + + + ⋅∆ ∆+ +

∆ = −

∫



Integraltafeln

Grundintegrale +

= −

= ⋅ ≠ −+

=

=

= ⋅ ≠

∫

∫

∫

∫

∫

1

ln (ln 1

1 1

1

1l

)

1 wobei

n

e e

>0, 1ln

n n

x x

x x

x dx x x

a

x dx x nn

dx xx

dx a a

x

a

d

a

=

= −

−

=

∫

∫

∫

sin cos

cos sin

tan ln cosx d

x dx x

x dx x

x x

Rationale Funktionen

=

+

<+ = = − − >

∫

∫

2 2

2 2

1 1arctan

1artanh für

1 1ln

2 1artanh für

xdx

a x a a

xx a

a aa xdx

a x a a x ax a

a x

Wurzelfunktionen ( )( )

( )

+ = + + + +

= + +

− = − − + −

− = − + > <

∫

∫

∫

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

1ln

2

1arsinh

2

1ln

2

1arcsin wobei 0,

2

x a dx x x a a x x a

xx a x a

a

x a dx x x a a x x a

xa x dx x a x a a x a

a

( )2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

1ln arsinh

1ln arcosh

1arcsin

xdx x x a

aa x

xdx x x a

ax a

xdx

aa x

= + + =+

= + − = −

=−

∫

∫

∫



Integraltafeln

Winkelfunktionen

2

2

2

2

1 1sin tan

1tan

cos

cos 1sin sin

sin 1cos cos

dxx x

dx xx

xdx

x x

xdx

x x

= −

=

= −

=

∫

∫

∫

∫

− +−

+ −−

⋅ =

⋅ −− + ⋅

+ +⋅ =

⋅ −+ ⋅

+ +

∫

∫∫

∫

2

1 12

1 12

sinsin cos

2

sin cos 1sin cos

( )sin cos

sin cos 1sin cos

( )

beide Formeln

m nm n

m n

m nm n

axax ax dx

a

ax ax max ax dx

m n a m nax ax dx

ax ax nax ax dx

m n a m n

≠ −nur für m n

π

− −

− −

− = =

−= + >− −

+ = = +

−= + >− −

∫

∫ ∫

∫

∫ ∫

1 2

1 2

1 1 cosln ln tan

sin sin 2

1 cos 2 1 wobei 1

sin ( 1)sin 1 sin

1 1 sinln ln tan

cos cos 2 4

1 sin 2 1 wobei 1

cos ( 1)cos 1 cos

n n n

n n n

x xdx

x x

x ndx dx n

x n x n x

x xdx

x x

x ndx dx n

x n x n x

−−

−−

= −

⋅ −= − + − >

= +

⋅ −= + − >

∫

∫ ∫

∫

∫ ∫

2

12

2 2

2

12

2 2

sin cossin

cos sin ( 1)sin sin 0

cos sincos

sin cos ( 1)cos cos 0

n nn n

n nn n

ax x axx ax dx

a a

x ax n x ax n nx ax dx x ax dx n

a a a

ax x axx ax dx

a a

x ax n x ax n nx ax dx x ax dx n

a a a



Integraltafeln

Winkelfunktionen (Fortsetzung)

12

12

12

sin cos 1sin sin wobei 1

cos sin 1cos cos wobei 1

tantan tan wobei 1

( 1)

sin( ) sin( )sin sin

2( ) 2(

−−

−−

−−

⋅ −= − + >

⋅ −= + >

= − >−

− +⋅ = −−

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫

nn n

nn n

nn n

ax ax nax dx ax dx n

na n

ax ax nax dx ax dx n

na n

axax dx ax dx n

n a

a b x a b xax bx dx

a b a )

sin( ) sin( )cos cos

2( ) 2( )

cos( ) cos( )sin cos

2( ) 2( )

≠+

− +⋅ = + ≠− +

− +⋅ = − − ≠− +

∫

∫

wobei a bb

a b x a b xax bx dx wobei a b

a b a b

a b x a b xax bx dx wobei a b

a b a b

Arcus- und

Areafunktionen

( )

2 2

2 2

2 2

arcsin arcsin

arccos arccos

arctan arctan ln2

x xdx x a x

a a

x xdx x a x

a a

x x adx x x a

a a

= + −

= − −

= − +

∫

∫

∫

2 2

2 2

2 2

arsinh arsinh

arcosh arcosh

artanh artanh ln2

x xdx x a x

a a

x xdx x x a

a a

x x adx x a x

a a

= − +

= − −

= − −

∫

∫

∫

Exponential-

funktionen und Logarithmen

( )

( )

( )

−

+

= −+

= ++

= −

= + − ≠ −+

∫

∫

∫ ∫

∫

2 2

2 2

1

1

2

ee sin sin cos

ee cos cos sin

ee e

ln ( 1)ln 1 wobei 1( 1)

axax

axax

n axn ax n ax

nn

bx dx a bx b bxa b

bx dx a bx b bxa b

x nx dx x dx

a a

xx x dx n x n

n



Integraltafeln

Hyperbolische Funktionen

sinh cosh

cosh sinh

tanh ln(cosh )

x dx x

x dx x

x dx x

=

=

=

∫

∫

∫

2

2

2

2

1 1sinh tanh

1tanh

cosh

cosh 1sinh sinh

sinh 1cosh cosh

dxx x

dx xx

xdx

x x

xdx

x x

= −

=

= −

= −

∫

∫

∫

∫

( )

=

=

∫

∫

1ln tanh

sinh 2

12arctan e

coshx

xdx

x

dxx

Anwendungen der Integralrechnung Das bestimmte Integral liefert nicht nur die Fläche unter dem

Funktionsgraphen, sondern es kann für eine Vielzahl von Summieraufgaben angewandt werden, bei denen viele unterschiedlich kleine Teile zusammengezählt werden müssen:

Bogenlänge

Bogenlängenelementchen 2 2 21 ( ')ds dx dy y dx= + = +

Bogenlänge 21 ( ')b

a

s y dx= +∫

Oberfläche

Oberflächenelementchen eines Rotationskörpers mit Drehachse x und

Kontur y(x): 22 2 1 ( ')dS y ds y y dxπ π= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ +

Oberfläche 22 1 ( ')b

a

S y y dxπ= ⋅ +∫



Anwendungen der Integralrechnung

Volumen eines

Rotationskörpers

Volumenelementchen (= dünne Scheibe mit Dicke dx, Aufschnitt senkrecht zur x-Achse) eines Rotationskörpers mit Drehachse x und Kontur y(x): 2dV y dxπ= ⋅ ⋅

Volumen 2b

a

V y dxπ= ∫

Volumen

Volumen einer dünnen Scheibe mit Fläche A(x) und Dicke dx, die senkrecht zur x-Achse steht: ( )dV A x dx= ⋅

Gesamtvolumen ( )b

a

V A x dx= ∫

Moment

Gewichtskraftmoment dM (im Uhrzeiger pos.) einer bei x liegenden Teilmasse dm bezüglich eines Drehpunktes mit x-Koordinate x (Erdbeschleunigung g in Richtung –y):

( )dM g x x dm= ⋅ − ⋅ Damit lassen sich alle möglichen Flächen- und Linienschwerpunkte durch Integration berechnen, deren Konturen durch Funktionen y(x) gegeben sind. Bezüglich des Schwerpunktes verschwindet das Gewichtskraft-Gesamtmoment.

Arbeit

Teilarbeit (=Teilenergie) dW, die bei Verrückung um dx

�� von Kraft

F�

geleistet wird:

dW F dx= ⋅��

(Skalarprodukt!)

Damit lassen sich alle möglichen Gesamtenergien durch Integration ausrechnen, bei denen sich entweder die Kraft längs des Weges verändert, oder bei denen komplizierte, gekrümmte Wege ausgeführt werden, oder bei denen viele unterschiedlich große Teilarbeiten verrichtet werden müssen.



Matrizen

Matrix, Matrixmultiplikation

n x m Matrix A: rechteckiges Zahlenschema mit n Zeilen, m Spalten aik: Element von A , also die Zahl in der i-ten Reihe und k-ten Spalte Matrixmultiplikation: A(n x m)·B(m x p) = C(n x p) nach dem Schema Zeile · Spalte (Spaltenzahl von A muss gleich sein Zeilenzahl von B!):

{1

4 5 53 2 0 11 2 . 1. .

6

3 42

1

224

m

ik il lkl

i noder c a bx x x k pxx x x x

=

≤ ≤= ⋅ ≤ ≤∑

Vektoren können als einspaltige Matrizen aufgefasst werden. Bei der

Multiplikation b⋅A�

muss also die Spaltenzahl von A mit der

Komponentenzahl von b�

übereinstimmen.

Rechenregeln - Multiplikation Matrix mit Zahl geschieht elementweise - Addition Matrix mit Matrix geschieht elementweise - Multiplikation A·B ist nicht kommutativ: ⋅ ≠ ⋅A B B A . Bei nicht-

quadratischen Matrizen kann eines der beiden Produkte gar nicht gebildet werden

- ( ) ( )⋅ ⋅ = ⋅ ⋅A B C A B C

- ( )⋅ + = ⋅ + ⋅A B C A B A C

- ( ) ( ) ( )r r r r⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅A B A B A B A B

Definitionen - transponierte Matrix AT: Zeilen und Spalten werden vertauscht. - quadratische n x n Matrix: Zeilenzahl = Spaltenzahl - symmetrische Matrix: AT = A - inverse Matrix: A-1: A-1·A = A·A-1= 1 (Einheitsmatrix). Die Inverse

ist nur bei quadratischen Matrizen definiert und spielt bei der Lösung linearer Gleichungssysteme eine entscheidende Rolle. Die Berechnung ist aufwendig.

Determinante det A einer quadratischen

Matrix (= Zahl)

- 2x2 Matrix: 11 22 12 21det : a a a a= −A - 3x3 Matrix: Sarrusregel - nxn Matrix: Rückführung auf (n-1)x(n-1)-Unterdeterminanten

(„Laplacescher Entwicklungssatz“), sehr rechenaufwendig - Mit Determinanten und Unterdeterminanten (sog. Adjunkten) kann die

Inverse A-1 berechnet werden. Das Verfahren ist jedoch vom Rechenaufwand her inakzeptabel.

- Ist det A = 0, so existiert die Inverse A-1 nicht. Die Zeilen oder Spalten von A sind dann nicht linear unabhängig.



Lineare Gleichungssysteme

Gaußelimination 1. Bringe A b�

durch Elementarumformungen (= Addition oder

Subtraktion des Vielfachen einer Zeile mit dem Vielfachen einer anderen Zeile) in obere Dreiecksgestalt (Vorwärtselimination): – Suche Zeile, die nicht mit Null beginnt und markiere sie – Nulle durch Elementarumformungen mit markierter Zeile die

1. Spalte aller anderen Zeilen (sofern nötig) – nach n-1 Schritten ist obere Dreiecksform erreicht (bestehend aus

den markierten Zeilen) 2. Löse entstandenes „gestaffeltes“ Gleichungssystem von unten nach

oben (Rückwärtssubstitution) Beispiel:

1 2 3 1

2 3

3

0 1 2 8

6 6 7 391

2 3 13

:

3 4 5 26 3 26 4 5 ; 18 2 21 2 8 32

1 33 22 2 1

a

b aa

c b

Lösung

x x x xx x

xab

− − − − ⋅+ ⋅

= − − == − =

=




Rang einer Matrix, freie Parameter,

allgemeine homogene Lösung,

spezielle inhomogene Lösung,

allgemeine inhomogene Lösung

Bei der Gaußelimination eines allgemeinen Gleichungssystems

( ) ( ) ( )A m n n mx b× ⋅ =��

(Hochindex = Dimension n,m beliebig) kann es vorkommen, dass in einem Schritt alle Zeilen mit Null beginnen. Es ergibt sich dann eine unterbrochene Diagonalreihe, einige Treppenstufen werden breiter (rote Blöcke im unteren Bild). Außerdem können mehr oder weniger Zeilen als Unbekannte vorkommen. Das Resultat der Gaußelimination wird in jedem Fall so aussehen:

Das Gleichungssystem ist nur dann widerspruchsfrei, wenn der grüne Block lediglich aus Nullen besteht. Die Lösung kann dann in 2 Schritten erfolgen:

allg. homogene Lösung spez. inhomogene Lsg. - Allgemeine Lösung der „homogenen Gleichung“ 0A Ox⋅ =

��. Dazu

werden die roten Blöcke mit Vorzeichenumkehr nach rechts gestellt, der schwarze Block wird gestrichen und es erfolgt wie gewohnt die Rückwärtssubstitution. Die sich ergebende „allgemeine homogene Lösung“ Ox

� ist n-komponentig und enthält die freien Parameter:

1 1 2 2 ...O n r n rx c c cλ λ λ − −= ⋅ + ⋅ + + ⋅� � � �

- Eine spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung A Sx b⋅ =

��. Dazu

werden alle λs Null gesetzt (die roten Blöcke werden gestrichen), auf der rechten Seite wird nur der Schwarze Block berücksichtigt. Sx

� ist

wie Ox�

n-komponentig (die zu Null gesetzten freien Parameter λ

werden in die Lösung hinein geschrieben, z.B. an die Stelle x3 und x4). - Die allgemeine Lösung der ursprünglichen inhomogenen Gleichung ist

dann einfach: O Sx x x= +� � �




Rang einer Matrix Beispiel

5 Gleichungen mit 4 Unbekannten

1 2 3

1 2 43

40

2 3 1 5 203 7 1 5 200 1 1 1 4 01 1 1 0 1 45 5 5 20 13:5 5 5 20

43 1 0 1

0 00 0

1

1 4 21 1

2

1

2

01

00

1

3

4 2 0

1 1

3

003

oderzusammen

gefa

x

x

ss

x x

x x x

t

x−

− −

−−

− − − −− − −

− − −− −−− −− −

− − −−

−

Rang der Matrix ist nur 3, nur so viele unabhängige Informationen stecken im Gleichungssystem, da die Zeilen 2 und 3 aus anderen Zeilen durch Linearkombination folgen (z.B. Zeile2 = 2·Zeile1 + 5·Zeile4). Also kann man auch nur 3 Unbekannte x1, x2 und x3 bestimmen, x4 bleibt unbestimmt und wird zum „freien Parameter“ λ umgetauft. Das Gleichungssystem ist widerspruchsfrei, da der grüne Block aus Nullen besteht.

4

1 2 3

1 3

2 3

3

2 14 20 0,5

0,5 1,1 4 2

1 5113 1,5

12

O

allg. homogene Lsg.xx x x x

x x

x x

x

x

λλ λλ λ

λ

= =− − = −== + = − −

− = − −

�

In Ox�

wird der freie Parameter 4xλ = mit hineingeschrieben.

1 2 3

1 2 3

2 3

3

34 2 30 2,5

4 2,5 6,54013 6

1 4 21 1

,52S

spez. inhomogene Lsg.x x x xx x

x x

x

x − = − = − == − =−

=

−−

�

In Sx�

wird ebenfalls der freie Parameter 4 0xλ = = mit

hineingeschrieben. Gesamtlösung ist O Sx x x= +� � �



Berechnung der inversen Matrix nach Gauß-Jordan

Gauß-Jordan-Verfahren zur

Berechnung von A-1

1. Schreibe rechts neben A die entsprechende Einheitsmatrix 1 2. Eliminiere A 1vorwärts, mache jedes Diagonalelement auf der linken

Seite zu Eins, wende alle Elementarumformungen auch auf die rechte Seite an

3. Eliminiere rückwärts, bis links die Einheitsmatrix 1 erscheint. Die rechte Seite ist dann das Ergebnis A-1

Beispiel:

2 2 1 13 3 2 1

2 5 2 1 0 2 23 7 3 0 1 3 3

1/( 2)0,5 0 11 0 3 2

1

1 0 1 7 5

,5 1 2 32 22,5

1 2 0 1 9 6 31

11 0 0 1 5 4 1

2 3 1

11

1 2,5 1 0,5 0

1

2

1

12

a

b aa

c bb

dd

de

aa

cc

e

f

cae

− − − − ⋅− − − − ⋅

−− + ⋅

⋅−

−−

−

⋅− − ⋅

− ⋅−

−

Ergebnis und Kontrolle:

1 0 0 1 5 41 0 1 7 5

1 0

1111 1 2 3 12 2 2 1 13 3 3

3 2

2 1

fedaaa

− −−

−

Im oberen roten Block sind die Ergebniszeilen der Rückwärtselimination nur so sortiert, dass links die Einheitsmatrix entsteht. Im unteren Block wurde die Ausgangsmatrix links hingeschrieben. Wenn man den Block links unten mit dem rechten oberen nach dem Falk-Schema multipliziert muss unten rechts die Einheitsmatrix erscheinen.



Komplexe Zahlen

kartesische und polare Darstellung

� �

( )

Re Im

2 2

2

,

( , )

: :

, arg( ) : tan

cos sin

1

al aginärteil teil

j

komplexe Einheit

komplexe Zahl z x j y x y reell

Punkt x y in der komplexen Ebene

Betrag z x y r

yPhase Argument z mit

xPolardarstellung z r j

Euler Formel r e

konj

j

ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

− −

= + ⋅

=

= + =

= =

= +

− = ⋅

= −

* : jugiert komplex z x jy r eϕ−= − = ⋅

Rechenregeln

( )

( )

* *

* 2

( ) ( )

,

( )

j j

j

j

z x jy re w u jv se

Addition z w x u j y v

Vektoraddition

Multiplikation z w rs e

Beträge multiplizieren Phasen addieren

z rDivision polar e

w s

z z w z wDivision kartesisch Nenner reell

w w w s

ϕ θ

ϕ θ

ϕ θ

+

−

= + = = + =+ = + + +

⋅ = ⋅

= ⋅

⋅ ⋅= =⋅

≙

�

2

. !

0 .. 1j k

n nn n

pos reell n Lösungen

komplexe Wurzel z r e k nϕ π + ⋅ = ⋅ = −��

komplexe

Schwingungen

� � � �

{{

.

" "

ˆ( )

Re ( )( ) Im ( )

j t j j t

komplexer lässt pos AnfangsAnfangs Zeiger mit Amplitude phasewert rotierenZeiger

komplexe Schwingung s t b e x e e

s treelle Schwingung x t s t

HorizontaleZeigerprojektion auf Vertikale

ω ϕ ω

ω

−−

= ⋅ = ⋅ ⋅

=

≙

Komplexe Schwingungen lassen sich viel leichter addieren und differenzieren als reelle Schwingungen. Das ist der Hauptgrund für die Einführung der komplexen Zahlen in der Ingenieurmathematik. Der komplexe Anfangswert b beinhaltet Information über Amplitude x und Phasenlage ϕ.



Komplexe Schwingungen

komplexer Frequenzgang

( ) ( )

( )

( )

arg( )

komplexer Frequenzgang F s t F r t

r t komplexe Anregung

s t komplexe Schwingung

Amplitudenfrequenzgang F

Phasenfrequenzgang F

= ⋅

==

Eingeschwungene angeregte Schwingungen schwingen genau mit Anregungsfrequenz ω. Damit kann man Anregung und sich ergebende Schwingung durch unterschiedlich lange und unterschiedlich orientierte Zeiger darstellen, die aber synchron mit gleicher Drehzahl ω drehen! Vom Anregungszeiger kommt man zum Schwingungszeiger durch komplexe Multiplikation mit dem komplexen Frequenzgang F. Er beinhaltet sowohl die Zeigerverlängerung oder –verkürzung (= Amplitudenfrequenzgang) als auch die Zeigerdrehung (= Phasenfrequenzgang). F hängt von der Systemdämpfung und der Anregungsfrequenz ab, nicht aber von der Zeit. F kann sehr einfach algebraisch bestimmt werden.

fester Dämpfer, Anregung der Feder

0

0

0

( )

( / )

( / )

( ) (1/ )

( , 1/ )

(1/ )2

m schwingende Masse kg

D Federkonstante N m

k Dämpfungskoeffizient Ns m

Anregungs kreis frequenz s

DEigenfrequenz ungedämpft s

mk

Abklingkoeffizient sm

Frequenzverhältnis

Dämfungsgrad

ω

ω

δ

ωηωδθω

=

=

=

=

2

1

1 2F

jη θη=

− + ⋅

Gleichzeitige Anregung von

Dämpfer und Feder

2

1 2

1 2

jF

j

θηη θη+ ⋅=

− + ⋅

feste Feder, Anregung des

Dämpfers

2

2

1 2

jF

j

θηη θη

⋅=− + ⋅

Unwuchtanregung

2

21 2F

j

ηη θη

=− + ⋅

ˆ ˆ ˆ :

ˆ :

x F a a Anregungsamplitude

Ma M Unwuchtmasse im

mAbstand von Drehachse

ε

ε

= ⋅

= ⋅



Fourierreihen

Satz von Fourier

2π – periodische Funktionen lassen sich wie folgt durch sin- und cos-Wellen darstellen („Fourierreihe“):

0

1 1

2

( ) ( 2 )

2cos sin

( cos sin )n nn

f x f x n

aDC Anteil

a x b x Grundwelle

a nx b nx Oberwellen

π

∞

=

= ± ⋅ =

+ −

+ + +

+ +∑

Die Fourierkoeffizienten an und bn lassen sich durch kompliziertere Integrale bestimmen:

} { } {2

0

1 cos 0,1,2..( ) 1,2,..sinn

n

a nxf x dx nb nx

π

π= =∫

Bei T-periodischen Funktionen ( ) ( )f t n T f t± ⋅ = wird einfach nur x

durch 2

2t f t tT

πω π= ⋅ = ⋅ ersetzt (f : Frequenz, ω : Kreisfrequenz).

Gesamtamplituden

und Phasen

Anstelle der sin- und cos-Koeffizienten a und b verwendet der Ingenieur häufiger die Gesamtamplituden A und Phasen ϕ:

2

0

1

2

(

arctan

) cos( )2

n

n n

n n n nn

n

af

b

x

A

A

ba

nx

a

ϕ

ϕ

∞

== + −

= + =

∑

Anwendung in der Schwingungslehre

Aus der Schwingungslehre ist bekannt, wie ein System auf sin- oder cos-förmige Anregungen (= „harmonische Anregungen“) reagiert. Nichtharmonische Anregungen können aber mit der Fourierreihe durch die Überlagerung (= Aufsummation) einer Vielzahl von harmonischen Anregungen dargestellt werden. Die Reaktionen des System auf Grund- und Oberwellen werden dann einfach ebenfalls aufsummiert und man erhält die Systemreaktion bei nichtharmonischer Anregung.



Diskrete Fouriertransformation

Diskrete

Fouriertrans-formation (DFT)

Die diskrete Fouriertransformation ist eine numerische Näherung für die Koeffizienten an und bn der Fourierreihe. Die zur Berechnung notwendigen Integrale werden einfach mit der Streifenflächenmethode angenähert. an und bn werden dabei zu einem komplexen „Spektralwert“ cn zusammengefasst, wodurch die sin- und cos-Funktionen durch

jnxe± ersetzt werden können, was die Rechnung stark vereinfacht.

21

0 2

0

2 ,

:

2: ; : ; : ( ); , 0,1.. 1

2

1; : ( ) :

1

,

k k

n nn k k k

N jn k Nn k

k

n knk

N

f sei periodisch

N Signalwerte y an äquidistante Stützstellen x

a j bc x k y f x k n N

N

c w y w e Drehfaktor oderN

c y mit Fouriermatrix F wN

c c sind re

π

π

π

− − ⋅⋅

=

⋅

−

− ⋅= = ⋅ = = −

= ⋅ ⋅ =

= ⋅ ⋅ =

∑

F� �

*2 2

2

( )

1.. 12

( , " ")

2

arg 1.. 2 1

N m N m

N

n n

n n

ell DC Anteil und Oberwellenrest

Nc c m

ab c keine weiteren Informationen Abtasttheorem

Gesamtamplituden A c

Phasen c n Nϕ

+ −

−

= = −

== − = −

Trigonometrische

Interpolation

12

0 /21

( )

:

( ) : cos( ) cos2

2: ; 0... 1; " "

:

( ) (

N

n n Nn

k

k k

Trigonometrische Interpolationsfunktion g x

mit den DFT Spektralwerten

Ng x c A nx c x

x k k N StützstellenN

Eigenschaft der Interpolationsfunktion

g x y g geht d

ϕ

π

−

=

−

= + − + ⋅

= ⋅ = −

=

∑

)urch die Signalwerte exakt durch

IDFT Die Inverse Diskrete Fouriertransformation mit dem Konjugiert Komplexen

der Fourier-Matrix (elementweise!) berechnet aus den Spektralwerten wieder die Signalwerte:

( )1

* *

0

2

:

N n k

k nn

jN

y c oder

y w c w eπ− ⋅

=

+ ⋅

= ⋅

= ⋅ =∑

*F� �



Schnelle Fouriertransformationen

Schnelle

Fouriertrans-formation (FFT)

Die schnelle Fouriertransformation ist ein geschicktes Rechenschema zur Durchführung der DFT mit möglichst wenig Rechenoperationen. Sie ist der am häufigsten eingesetzte mathematische Algorithmus in unserer heutigen Zeit und spielt bei so bekannten Anwendungen wie Musik-komprimierung in mp3 und Bilddkomprimierung in jpg eine wichtige Rolle.

Parametrische ebene Kurven

Definition Bei parametrische Kurven werden die Punktkoordinaten als Funktion einer

Hilfsgröße (= Parameter) dargestellt: ( )( )( ) ( )x tr t y t=�

.

Parameter können z.B. sein: Zeit t, Abrollwinkel ϕ, zurückgelegte Wegstrecke s usw.

Steigung: dy y

dx x=ɺ

ɺ (Punkt = Ableitung nach dem Parameter, auch wenn

dieser nicht die Zeit t ist!)

Bogenlänge: 2 2b

a

s x y dt= +∫ ɺ ɺ

- 45°

-135°

- 45°

-135°

- 22,5°

- 45°

- 67,5°

-112,5°

- 135°

-157,5°

w(16) = e - j·22,5° w(8) = e - j·45°

w(4) = e - j·90°=-j

0000 y0

1000 y8

0100 y4

1100 y12

0010 y2

1010 y10

0110 y6

1110 y14

0001 y1

1001 y9

0101 y5

1101 y13

0011 y3

1011 y11

0111 y7

1111 y15

16·c0

16·c1

16·c2

16·c3

16·c4

16·c5

16·c6

16·c7

16·c8

16·c9

16·c10

16·c11

16·c12

16·c13

16·c14

16·c15



Zylinder- und Kugelkoordinaten

Zylinderkoordinaten r, ϕ, z :

2 2cos

sin tan

:

r

z

Geschwindigkeiten

v r radial

v r tangential

v z

x r r x y

yy r

axi

z z

al

x

ϕ

ϕ

ϕ ϕ

ϕ== ⋅

=

= ⋅ = +

= ⋅ =

=

ɺ

ɺ

ɺ

Kugelkoordinaten r, ϕ, θ :

2 2 2sin cos

sin sin tan

cos c

:

sin

os

r

Geschwindigkeiten

v r radia

x r

l

v r tangential Süd

v r tangential

r x y z

y

O

y rxz

zr

s

r

tθ

ϕ

θθ ϕ

θ ϕ

θ ϕ ϕ

θ θ

=

= ⋅= ⋅

= ⋅ = + +

= ⋅ =

= ⋅ =

ɺ

ɺ

ɺ

Tangente, Normale, Krümmung Verallgemeinerte Geschwindigkeit (t sei irgendein Parameter, nicht

notwendigerweise die Zeit): ( )

( ) ( ) ( )( )

x tv t r t y t

z t

= =

ɺ� �ɺ ɺɺ

Tangenteneinheitsvektor: ˆ vT

v=�

(Geschwindigkeit immer tangential)

Hauptnormale: ˆ

ˆˆ

TN

T=ɺ

ɺ (zeigt zum Krümmungsmittelpunkt)

Krümmungsradius ρ, Krümmung κ : 1:

T

vκ

ρ==

ɺ

Krümmung einer ebenen Kurve, dargestellt durch Funktion y = f(x):

( )322

'': '

1

'

'

ff

f

κ = ≅+

(Näherung für flache Kurven f ‘<<1)

κ ist hier Vorzeichen behaftet: pos., wenn nach oben gekrümmt.

Tangential- und Normal-

beschleunigung

Beschleunigung �

�

2

,

ˆ ˆ( ) :tangential

normal zentripetal

va t v v T N

ρ= = ⋅ + ⋅� �ɺ ɺ

x

y

z

z

r ϕ

P

x

y

z

θ r

ϕ

P



Partielle Ableitung

Partielles Differenzieren ( , )f x y

x

∂∂

(eigenes Symbol! Kurzform: xf )

bedeutet Berechnung der Steigung in x-Richtung der Schnittlinie y = konst. Man differenziert einfach nach x, behandelt y wie eine Konstante. Bsp.:

3 2 4 4

2 2 3

3 4 3

( , )

3 4 ( 1,1) 1

2 4 ( 1,1) 3

x x

y y

f x y x y x y y

ff x y x y f

xf

f x y x y fy

= + +∂ = = + − = −∂∂ = = + + − =∂

Tangentialebene

xf und yf geben die Steigung der Tangentialebene t(x,y) an die Fläche

( , )z f x y= in x- und y-Richtung an. Diese wäre im obigen Beispiel: ( , ) ( 1,1) ( 1,1) ( ( 1)) ( 1,1) ( 1)

1 ( 1) 3( 1) 3 3

x yt x y f f x f y

x y x y

= − + − ⋅ − − + − ⋅ − =

= − + + − = − − +

Dies ist dann auch gleich die lineare Näherung einer „mehrdimensionalen“ Funktion, hier in der Umgebung des Punktes (-1,1).

Kettenregel

Sämtliche zur Endvariablen führende Wege ergeben einen Term in der Kettenregel. Im Beispiel führen 2 Wege von f nach r (über x und y) aber 3 Wege nach s (über x, y und z).

f f x f y

r x r y r

f f x f y f dz

s x s y s z ds

∂ ∂ ∂ ∂ ∂= ⋅ + ⋅∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= ⋅ + ⋅ + ⋅∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

Gradient

( , )( , ) : ( , )

x

y

f x yf x y f x y

∇ =

�

Die partiellen Ableitungen bilden einfach die Komponenten eines Vektors, der „Gradient“ heißt. Der Gradient gibt die Richtung der steilsten Steigung an. Sein Betrag ist die steilste Steigung. Mit dem Gradienten kann man die Steigung der Fläche z=f(x,y) an beliebigen Stellen 0 0( , )x y in beliebige

Richtungen der xy-Ebene ausrechnen („Richtungsableitung“). Die Richtung sei durch den Einheitsvektor u gegeben. Die gesuchte Steigung ist dann: 0 0 ˆ( , )f x y u∇ ⋅

� (Skalarprodukt).

f(x,y,z)

y(r,s) x(r,s) z(s)

s r



Partielle Ableitung

Höhere Ableitungen

Bezeichnungsweise: ( )2

x xyy

f ff f

y x y x

∂ ∂ ∂ = = = ∂ ∂ ∂ ∂

Satz von Schwarz

Die Reihenfolge bei höheren gemischten Ableitungen ist egal, z.B.:

yx xyf f=

Extremwerte

Extremwerte (horizontale Tangentialebene!) von z = f(x,y) treten nur an den Stellen auf, an denen die ersten partiellen Ableitungen verschwinden:

0x yf f= =

Die Kriterien für die Art der Extremstelle mit Hilfe der 2. Ableitungen sind jetzt komplizierter als bei Funktionen einer Variablen:

( )( )( )( )

2

2

2

2

0 0

0 0

0

0

xx xx yy xy

xx xx yy xy

xx yy xy

xx yy xy

Maximum f und f f f

Minimum f und f f f

Sattel f f f

unklar f f f

< ⋅ − >

> ⋅ − >

⋅ − <

⋅ − =

Taylorreihen

Für eine Funktion f(x,y,z) mit 3 Variablen gilt z.B. (Entwicklungspunkt sei (a,b,c), Schrittweiten seien h, k und l ):

0

2

2 2 2

1( , , ) ( , , )

!

( , , ) . . :

2 2 2

( ,

n

n

xx yy zz xy xz yz

f a h b k c l h k l f a b cn x y z

h k l f a b c z B ist dabei eine Abkürzung fürx y z

h f k f l f hk f hl f kl f

alle Ableitungen ausgewertet an der Stelle a

∞

=

∂ ∂ ∂+ + + = ⋅ + ⋅ + ⋅ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂⋅ + ⋅ + ⋅ ∂ ∂ ∂

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

∑

, )b c



Flächenintegrale Mehrfachintegrale werden schrittweise von innen nach außen integriert.

Es wird immer nur „ganz normal“ mit einer Integrationsvariablen integriert, die weiter außen stehenden Integrationsvariablen werden dabei als konstant angesehen:

.: ( )

( , ) ( )

( , )

b d b

a c a

äußeres Iinneres Integral A x

b d

a c

f x y dy dx A x dx

dx dy f x y alternative Schreibweise

=

= =

=

∫ ∫ ∫

∫ ∫

��

Ergebnis der inneren Integration ist eine Funktion A(x), die die Fläche im Schnitt x = konstant zwischen der Funktion f und der xy-Ebene im Bereich c<y<d darstellt. A(x)dx ist als Scheibenvolumen zu interpretieren, Scheibendicke ist dx. Alle Scheiben des Aufschnittes werden bei der äußeren Integration zusammengezählt. Das Ergebnis ist damit das Volumen zwischen der Funktionsfläche z = f(x,y) und der xy-Ebene im rechteckigen Bereich a<x<b und c<y<d. Die Integrationsreihenfolge darf vertauscht werden. Bei konstanten Grenzen des Integrationsbereiches ist dies unproblematisch. Bei abhängigen Grenzen müssen diese aber beim Vertauschen von innerer und äußerer Integration verändert werden! Obwohl das Ergebnis als Volumen interpretiert werden kann (s.o.), spricht man beim Doppelintegral von einem Flächenintegral, da das Integrationsgebiet ein flächiger Bereich der xy-Ebene ist. dy·dx ist dort das Flächenelementchen, das gelegentlich auch mit dA abgekürzt wird.

dA in Polarkoordinaten

dA r dr dϕ= ⋅ ⋅

Freiformoberflächen

Das Freiform-Oberflächenelementchen (Freiformfläche durch z=f(x,y) gegeben) kann folgendermaßen bestimmt werden:

2 2 2 21 1x y x ydS f f dA f f dx dy= + + = + + ⋅

Die Integration über einen Bereich der xy-Ebene ergibt dann die entsprechende Gesamtoberfläche.



Flächenintegrale

Statische Momente Statische Momente Sx, Sy ebener Querschnitte bezüglich x- oder y-

Achse:

x y

G G

S y dA S x dA= ⋅ = ⋅∫∫ ∫∫

Der Querschnitt sei durch Gebiet G in der xy-Ebene gegeben. Entscheidend ist immer der Abstand des Flächenelementchens dA von der jeweiligen Achse. Der Abstand von der x-Achse ist z.B. y!

Flächenschwer-punkte ebener Querschnitte

Schwerpunkt ( , )x y ebener Querschnitte:

( , ) ,y xS S

x yA A

=

A: Querschnittsfläche

Flächenmomente

2.Grades

In der Biegetheorie werden die Flächenmomente 2. Grades benötigt: 2

2

2 2

.

.y

x

x ypG

xy

I axiales Flächenmoment bzgl y AchsexI axiales Flächenmoment bzgl x Achsey dA polares Flächenmoment I IIx y

DeviationsmomentIxy

− −= = ++

∫∫

Volumenintegrale Volumenintegrale sind 3-fach Integrale und bestehen aus innerem,

mittlerem und äußerem Integral:

( , , ) ( , , )

( , , )

f fb d b d

a c e a c e

inneres Integral

mittleres Integral

äußeres Integral

G

f x y z dz dy dx dx dy dz f x y z

f x y z dV

= =

=

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫∫∫

��

Die Integrale werden wieder schrittweise von innen nach außen berechnet, wobei die weiter außen stehenden Integrationsvariablen jeweils als konstant angesehen werden. dx·dy·dz ist dabei das Volumenelementchen dV in kartesischen Koordinaten.

dV in Zylinder-koordinaten

dV r dr d dzϕ= ⋅ ⋅ ⋅

dV in Kugelkoordinaten

2 sindV r dr d dθ θ ϕ= ⋅ ⋅ ⋅



Volumenintegrale

Massenträgheits-momente

Viele Formeln für Drehbewegungen kann man durch Modifikation der entsprechenden Formeln für linearen Bewegungen erhalten. Die Geschwindigkeit v wird durch die Kreisfrequenz ω ersetzt und die Masse m durch das Massenträgheitsmoment J:

( )

( )

2

2

:Drehachse

G

G

J Abstand von Drehachse dm

Abstand von Drehachse dVρ

= ⋅ =

= ⋅

∫∫∫

∫∫∫

Falls die x-Achse Drehachse ist, gilt also beispielsweise:

( )2 2x

G

J y z dm= + ⋅∫∫∫

dm ist dabei das Massenelementchen, das durch ρ·dV oder in kartesischen Koordinaten durch ρ·dx·dy·dz bestimmt werden kann (ρ: Dichte). Das Integrationsgebiet G erstreckt sich über den gesamten Drehkörper und ist im Allgemeinen durch abhängige Grenzen in einem möglichst günstigen Koordinatensystem anzugeben. Darin besteht meistens die Schwierigkeit bei der konkreten Berechnung!

Laplace-Transformation

Definition Mit der Laplace-Transformation (LT):

� { } �0

( ) ( ) : ( ) pt

Bildfunktion Originalim Bildbereich funktion im

Zeitbereich

F p f t f t e dt∞

−

−

= = ⋅∫L

wird aus der ursprünglichen Zeitfunktion f(t) eine andere Funktion F(p) gebildet. Man spricht von der Bildfunktion, die von der Variablen p im

Bildbereich abhängt. p hat die Dimension 1

Sekunde und wird in vielen

Lehrbüchern auch mit s abgekürzt. Um die Verwechslungsgefahr mit der Sekunde zu vermeiden, verwenden wir hier aber p. Der große Vorteil der LT ist folgender: aus komplizierten mathematischen Operationen im Zeitbereich (z.B. Differenzieren) werden einfache algebraische Operationen im Bildbereich (Multiplikation mit p). Häufig kann man dann schnell die Lösung einer Differenzialgleichung im Bildbereich finden und braucht nur noch deren Rücktransformation.




die wichtigsten Bildfunktionen

Hin- und Rücktransformation geschieht meist mit Hilfe von Tabellen („Korrespondenztafeln“). Hier die wichtigsten Korrespondenzen:

1

2 2

2 2

( ) ( )

1

1

!

1

sin

cos

nn

at

F p f t

Einschaltfunktionp

Impulsfunktion

nt

p

ep a

tp

pt

p

ω ωω

ωω

+

→←

−

+

+

-1L

L

Linearität { }1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )a f t b f t a F p b F p⋅ ± ⋅ = ⋅ ± ⋅L

Differenzieren im Zeitbereich

{ }{ } { }2 ( )

( ) ( ) (0)

( ) ( ) (0) (0) ( ) .n

f t p F p f

f t p F p p f f f t usw

= ⋅ −

= ⋅ − ⋅ − =

ɺ

ɺɺ ɺ

L

L L

Integrieren im Zeitbereich

0

( )( )

t F pf d

pτ τ

= ∫L

Verschiebung im Zeitbereich

Verschiebung im Zeitbereich um a nach rechts (Vorsicht, die verschobene Funktion wird im Bereich 0<t<a Null gesetzt!):

{ }( ) ( ) ( )pat a f t a e F pσ −− ⋅ − = ⋅L

Dämpfungssatz { }( ) ( )ate f t F p a− ⋅ = +L

Ähnlichkeitssatz { } 1

( )p

f at Fa a

=

L

0

1 f

t

0

1/a f

t

Fläche = 1

a

0lima→




Faltungssatz { }1 2 1 2

1 2 1 20

( ) ( )

: ( ) ( ) ( ) : ( ) ( )t

f f F p F p

Faltungsintegral f t f t f t f f t dτ τ τ

⊗ = ⋅

= ⊗ = ⋅ −∫

L

Rücktransformation rationaler

Funktionen

Rationale Funktionen kommen häufig als Lösungen von DGL im Bildraum vor. Sie lassen sich mit der Partialbruchzerlegung, der Linearitätsregel und den Korrespondenztafeln leicht zurück transformieren.

Korrespondenztafeln

( ) ( )F p f t→←-1L

L

Elementare Funktionen

1

2 2

2 2

1( )

1 ( )

!

1

sin

cos

nn

at

t Einschaltfunktionp

t Impulsfunktion

nt

p

ep a

tp

pt

p

σ

δ

ω ωω

ωω

+

−

+

+

Partialbrüche 1

p a− ate

( )1

np a−

( )

1

1 !

n att e

n

− ⋅−

( )2 2

1

p a ω− − sin att eω

ω⋅

( )2 2

p a

p a ω−

− − cos att eω ⋅



Korrespondenztafeln

( ) ( )F p f t→←-1L

L

Modifizierterer Sinus und Cosinus

2 2

sin cosp

p

ϕ ω ϕω

⋅ + ⋅+

( )sin tω ϕ+

2 2

cos sinp

p

ϕ ω ϕω

⋅ − ⋅+

( )cos tω ϕ+

( )2

2 2

2

4p p

ωω+

2sin tω

( )2 2

2 2

2

4

p

p p

ωω

++

2cos tω

( )22 2

2 p

p

ω

ω+ sint tω⋅

( )2 2

22 2

p

p

ω

ω

−

+ cost tω⋅

Hyperbolische

Funktionen

2 2

a

p a− sinhat

2 2

p

p a− coshat

Wurzeln

p

π

1

t

1

2p p

π⋅ t

2

3

4 pp

π⋅ t t

Logarithmen 0,57722γ = ln p

p p

γ− − ln t

ln

p a

p

−

1 ate

t

−

2 2

2ln

p

p

ω +

( )2 1 cos t

t

ω−

Arcusfunktionen

arctanp

ω

sin t

t

ω



Korrespondenztafeln

( ) ( )F p f t→←-1L

L

Ein - Aus ap bpe e

p

− −−

Treppe

( )1

1 app e−−

Rampe - Plateau ( )

2

1 apk e

p

−−

Rechteck tanhap

p

Ständig Ein - Aus

( )1

1 app e−+

Dreieck

2

tanh

2

ap

ap

Gleichgerichteter Sinus

2 2

coth2

a p

ap a

π+

a

1

t b

a 1

t 2a

2 3

a t

kt

1 t

2a -1

4a 6a

1

t a 2a 3a

1 t

2a 4a 6a

1 t

π/a



Differenzialgleichungen (DGL)

Definition Versucht man in der Bewegungslehre, in der Biegelehre oder in der Statik

konkrete Problemstellungen in die mathematische Formelsprache zu übersetzen, so gelangt man häufig zu sog. Differenzialgleichungen (DGL). Die gesuchte Funktion (Bahn-Zeit-Funktion, Biegelinie oder Seilzug-Umschlingungswinkel-Funktion) ist mit ihren Ableitungen in einer Gleichung verknüpft:

( )( , , ',..., ) 0 : ( )nf x y y y gesucht y x= Dies stellt die allgemeine Form einer DGL n-ter Ordnung dar. Diese sind nicht eindeutig lösbar sondern besitzen n unabhängige Integrationskonstante, die über Anfangs- oder Randbedingungen bestimmt werden müssen („wo befand sich die Masse z.Zt. t=0 und wie schnell war sie da“ ist z.B. eine typische Anfangsbedingung in der Dynamik).

Trennung der

Variablen

Lösungsmethode: Trennnung der Variablen bei DGL vom Typ:

1 2

1 2 1 2

1 2

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( !)

: ( ( )) ( ) :

dyf y f x

dx

f y dy f x dx f y dy f x dx Merkhilfe

Lösung F y x F x C F Stammfunktion von f

⋅ =

⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅

= +∫ ∫

Lösungsüber-

lagerung bei linearen DGLs

Lösungsüberlagerung bei Linearer DGL vom Typ:

�( )

2 1 0( ) ... '' ( ) ' ( ) ( ) ( )nn

Störfunktion

y f x y f x y f x y f x g x⋅ + + ⋅ + ⋅ + ⋅ =

1) Finde allgemeine Lösung yh(x) der „homogenen Gleichung“ (rechte Seite = 0). Diese Lösung beinhaltet i.A. n unabhängige Integrations-konstante (s.o.).

2) Finde eine spezielle Lösung ys(x) der „inhomogenen Gleichung“ (incl. Störfunktion auf der rechten Seite). Diese Lösung ist nicht eindeutig. Man versucht, die einfachste Lösung zu finden. Die Lösung beinhaltet keine Anpassparameter (Integrationskonstante).

3) Komplettlösung ist dann einfach die Summe: y(x) = yh(x) + ys(x). Die Integrationskonstanten der homogenen Lösung müssen dann noch aus Anfangs- oder Randbedingungen bestimmt werden.



Differenzialgleichungen (DGL)

Lösung mit Laplace-Transformation

Die Lineare DGL mit konstanten Koeffizienten und Anfangs-bedingungen:

( )2 1 0

( 1) ( 2)

... '' ' ( ) (*)

( 0), (0), ... , '(0), (0) :

nn

n n

a y a y a y a y g t

y t y y y vorgegebene Werte− −

⋅ + + ⋅ + ⋅ + ⋅ =

=

(Variable jetzt mal die Zeit t) kann nach Schema f mit Hilfe der Laplace-Transformation gelöst werden. Dazu werden einfach linke und rechte Seite von (*) Laplace transformiert :

( ){ } { }

11 ( )

0

1 0

( ) (0) ... (**)

( ) (0) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

nn n i i

ni

a p Y p p y

a p Y p y a Y p G p

Y p y t G p g t

−− −

=

⋅ ⋅ − ⋅ + +

+ ⋅ ⋅ − + ⋅ =

= =

∑

L L

(**) kann dann nach Y(p) (= Lösung im Bildraum) aufgelöst werden. Es ergeben sich dabei oft rationale Funktionen. Um die gesuchte Lösung y(t) im Zeitbereich zu erhalten, muss man nur noch mit Partialbruchzerlegung zurück transformieren. Diese Lösung enthält dann keine freien Integrationskonstanten mehr und erfüllt sämtliche vorgegebenen Anfangsbedingungen.

Gekoppelte DGL-

Systeme

Das Verfahren (Laplace-Transformation) ist auch bei gekoppelten DGL-Systemen anwendbar.

Bsp.: ' 6 0 (0) 1

' 5 2 0 (0) 0

y z y y

z z y z

+ + = =+ + = =

Man bekommt im Bildraum ein algebraisches Gleichungssystem, das nach Y(p), Z(p) usw. aufgelöst werden muss.

Documents

Inhalt (1. Semester) - hs-augsburg.dehorschem/medium/ingmaterial/FSIngMathe... · Prof. Dr. Elmar Müller-Horsche 1 FH Augsburg Formelsammlung Ingenieurmathematik Die blauen Formeln