Stoffumfang 2.Semester - Lektionenhorschem/medium/ingmaterial/material2/... · Prof. Dr. Elmar Müller-Horsche 2 FH Augsburg Ingenieurmathematik 2 Wie geht’s weiter im 2. Semester?

Prof. Dr. Elmar Müller-Horsche 1 FH Augsburg Ingenieurmathematik 2

Stoffumfang 2.Semester - Lektionen

Komplexe Zahlen 1

2 3 4

Definition, Rechenregeln, Polardarstellung, Eulerformel Komplexe Wurzel Komplexe Schwingungen Komplexe Frequenzgänge

Fourierreihen, diskrete Fourier-

Transformation

5 6 7 8

Fourierreihen Anwendung der Fourieranalyse in der Schwingungslehre Diskrete Fouriertransformation Schnelle Fouriertransformation

Kurven und Flächen 9 10 11 12

Parametrische ebene Kurven Zylinder- und Kugelkoordinaten, 3D-Kurven Tangente, Normale, Krümmung Tangential- und Nomalbeschleunigung, 3D-Flächen

Partielle Ableitung 13 14 15 16 17

Funktionen mehrerer Veränderlicher, partielle Ableitung, Tangentialebene Kettenregel, Gradient Höhere Ableitungen, Extremwerte Mehrdimensionale Optimierung Taylorreihen mehrerer Veränderlicher

Mehrfachintegrale 18 19 20 21 22

Doppelintegrale Oberflächen, Schwerpunkte Flächenmomente Volumenintegrale Massenträgheitsmomente

Laplace-Transformation

23 24 25

Definition, Anwendungen, wichtige Bildfunktionen Rechenregeln, Transformationssätze Rücktransformation durch Partialbruchzerlegung

Differenzial-gleichungen (DGL)

26 27 28 29

Aufstellen von DGL, einfache Beispiele und Lösungen Anfangs- und Randwertprobleme Lösung mit der Laplacetransformation Differenzialgleichungssysteme


Wie geht’s weiter im 2. Semester? Ähnlich wie im Ersten! Nur geht es jetzt häufiger in unbekanntes

Terrain. Die Grundlagen wurden im ersten Semester geschaffen. Auf sie wird bei den Funktionen mit mehreren Variablen zurückgegriffen. Sie zu differenzieren und zu integrieren, erfordert eigentlich keine neue Technik. Neu sind für viele Studenten sicher die komplexen Zahlen, die gleich am Anfang eingeführt werden. Grund: sie sind einfach so praktisch! Komplexe Rechnungen mögen zunächst etwas unanschaulich scheinen, nach einiger Übung erkennt man aber schnell ihre Eleganz und ihre Vorteile gegenüber den reellen Winkelfunktionen sin und cos. Die diskreten Fouriertransformationen bieten die beste Gelegenheit, noch einmal die komplexen Zahlen und die Matrizenrechnung zu üben und anzuwenden. Außerdem sind sie in der Messtechnik extrem wichtig und bilden die Grundlage der Schwingungsanalyse. Zum Schluss behandelt die Vorlesung das diffizile Gebiet der Differenzialgleichungen, zu deren Lösung die Laplace-Transformationen herangezogen werden. Mit diesen Methoden wird später im Hauptstudium in der Steuer- und Regelungstechnik intensiv weiter gearbeitet.

Hilfsmittel Es gilt weiterhin das Vorwort aus dem 1. Semester. Hier noch einmal eine kurze Wiederholung der verwendeten Symbole:

PM S. …

Brauch / Dreyer / Haacke Mathematik für Ingenieure Teubner Verlag Koch / Stämpfle Mathematik für das Ingenieurstudium http://www.hanser-elibrary.com/doi/book/10.3139/9783446433885 MATLAB installieren, für jeden eingeschriebenen Studenten kostenlos: https://www.hs-augsburg.de/rzservice/matlab/ Thuselt / Gennrich Praktische Mathematik mit MATLAB … http://link.springer.com/book/10.1007/978-3-642-25825-1

BDH

K S


Lektion 1: Komplexe Zahlen, Rechenregeln, Polarform, Euler-Formel

Kapitel 11.1 + 11.2

Kapitel 11.1 + 11.2 (wie BDH, Zufall!)

1a

*

Rechne um in kartesisch oder polar:

0,7188332 1131 1 2

2

jj je j e eππ

−− +

1b

*

Sei: 4 3 2 1a j b j c j= − = − = − + Berechne kartesisch:

* **

*2 2 3

a b a ca b a b c

c b c

⋅ +⋅ − +⋅

Zeichne a, b und c in die komplexe Zahlenebene ein und überprüfe geometrisch die Rechnungen

store(BRAIN);

� �

( )

Re Im

2 2

2

,

( , )

: :

, arg( ) : tan

cos sin

1

al aginärteil teil

j

komplexe Einheit

komplexe Zahl z x j y x y reell

Punkt x y in der komplexen Ebene

Betrag z x y r

yPhase Argument z mit

xPolardarstellung z r j

Euler Formel r e

konj

j

ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

− −

= + ⋅

=

= + =

= =

= +

− = ⋅

= −

*

( )

( )

:

( ) ( )

,

j

j j

j

j

ugiert komplex z x jy r e

Rechenregeln z x jy re w u jv se

Addition z w x u j y v

Vektoraddition

Multiplikation z w rs e

Beträge multiplizieren Phasen addieren

z rDivision polar e

w s

Division k

ϕ

ϕ θ

ϕ θ

ϕ θ

−

+

−

= − = ⋅

= + = = + =+ = + + +

⋅ = ⋅

= ⋅

≙

* *

* 2( )

z z w z wartesisch Nenner reell

w w w s

⋅ ⋅= =⋅

BDH

K S


Lektion 2: Komplexe Wurzel

Kapitel 11.2

Kapitel 11.3

2

*

Finde alle 3. Wurzeln von –1+j. Zeichne sie in die komplexe Zahlenebene ein.

store(BRAIN);

�

2

. !

0 .. 1j k

n nn n

pos reell n Lösungen

komplexe Wurzel z r e k nϕ π + ⋅ = ⋅ = −��

Lektion 3: Komplexe Schwingungen

Kapitel 11.2

Kapitel 11.4

Zeigerdiagramm.html: Die Projektion rotierender Zeiger führt zu Sinus- (oder Cosinus-) förmigen Schwingungen. Deshalb veranschaulicht man sich mechanische oder elektrische Schwingungen häufig mit Hilfe von Zeigerdiagrammen. Ein Vorteil: die Addition von Schwingungen läuft auf die Vektoraddition der entsprechenden Zeiger hinaus. Im Java-Applet kann man Schwingungen unterschiedlicher Amplitude und Phasenlage addieren und sich den Zusammenhang zwischen festem Zeigerdiagramm (nur die können in Lehrbüchern gezeigt werden!), daraus abgeleitetem rotierendem Zeigerdiagramm und zugehörigen Schwingungen klar machen.

3

**

Addiere die beiden Schwingungen: 2sin(ωt+π/6) und 3cos(ωt) einmal mit Hilfe der Additionstheoreme und dann komplex. Welche Methode ist schneller? Welche 2 Schwingungen werden außerdem bei der komplexen Rechnung quasi gratis addiert und welches Resultat erhält man?

store(BRAIN);

� � � �

{{

.

" "

ˆ( )

Re ( )( ) Im ( )

j t j j t

komplexer lässt pos AnfangsAnfangs Zeiger mit Amplitude phasewert rotierenZeiger

komplexe Schwingung s t b e x e e

s treelle Schwingung x t s t

HorizontaleZeigerprojektion auf Vertikale

ω ϕ ω

ω

−−

= ⋅ = ⋅ ⋅

=

≙

Komplexe Schwingungen lassen sich viel leichter addieren und differenzieren als reelle Schwingungen. Das ist der Hauptgrund für die Einführung der komplexen Zahlen in der Ingenieurmathematik. Der komplexe Anfangswert b beinhaltet Information über Amplitude x und Phasenlage ϕ.

BDH

BDH

K S

K S


Lektion 4: Komplexe Frequenzgänge

MATLAB

frequenzgang.m: In MATLAB wird die komplexe Einheit durch „1i“ eingegeben. Das Arbeitsblatt zeigt, dass sich komplexe Rechenoperationen wie die reelllen programmieren lassen. Die Umrechnung in die Polarform geschieht mit den Funktionen abs() und angle(). Außerdem zeigt das Skript eine komplexere Grafik mit 2 Untergrafiken.

feder.html, federdaempfer.html, unwucht.html, daempfer.html: Für 4 verschiedene Anregungsformen werden je eine physikalische Animation und ihr Zusammenhang mit den Zeigerdiagrammen und dem Frequenzgang dargestellt. Interaktiv lassen sich die Anregungsfrequenz und die Dämpfung verändern. Schaue Dir die Applets gut an und mache Dir die Zusammenhänge klar, sie sind später in der Schwingungslehre sehr wichtig! Es steckt ziemlich viel Information in der Animation, nimm Dir also Zeit.

4

**

Unwuchtanregung: eine auf Dämpfern (Dämpfungsgrad θ=0,2) gelagerte 7kg schwere Maschine wird mit 2800 U/min betrieben. Die Eigenfrequenz des Maschine-Auflager-Systems liege bei f0=30Hz. Die Gesamtunwucht betrage 13 Gramm in 7cm Abstand von der Drehachse. Bestimme:Komplexen Frequenzgang, Amplitudenfrequenzgang, Phasenfrequenzgang und reelle Schwingungsamplitude der Maschine bei Betriebsbedingungen (z.B. mit den oben beschriebenen Java-Applets oder mit obigem MATLAB-Skript oder von Hand!) Welche maximale Amplitude tritt beim Hochfahren auf? Zeichne: Unwuchtlage und Maschinenauslenkung als Funktion der Zeit über mindestens eine Schwingungsdauer

store(BRAIN);

( ) ( )

( )

( )

arg( )

komplexer Frequenzgang F s t F r t

r t komplexe Anregung

s t komplexe Schwingung

Amplitudenfrequenzgang F

Phasenfrequenzgang F

= ⋅

==

Eingeschwungene angeregte Schwingungen schwingen genau mit Anregungsfrequenz ω. Damit kann man Anregung und sich ergebende Schwingung durch unterschiedlich lange und unterschiedlich orientierte Zeiger darstellen, die aber synchron mit gleicher Drehzahl ω drehen! Vom Anregungszeiger kommt man zum Schwingungszeiger durch komplexe Multiplikation mit dem komplexen Frequenzgang F. Er beinhaltet sowohl die Zeigerverlängerung oder –verkürzung (= Amplitudenfrequenzgang) als auch die Zeigerdrehung (= Phasenfrequenzgang). F hängt von der Systemdämpfung und der Anregungsfrequenz ab, nicht aber von der Zeit. F kann sehr einfach algebraisch bestimmt werden.


Lektion 5: Fourierreihen

Kapitel 7.3.1 und 7.3.2 Kapitel 13.1

MÜ-HOme/ IngMathe/ Material2

Fourier.zip: In avi-Animationen werden immer mehr Oberwellen aufaddiert und ergeben eine immer besser Übereinstimmung mit: Dreieckfunktion, Rechteckfunktion und gleichgerichteter Wechselstrom-Funktion. Beim Rechteck ergeben sich allerdings an den Unstetigkeitsstellen immer Überschwinger (Gibbssches Phänomen).

5

**

Im folgenden wird eine 2π-periodische Trapezfunktion definiert:

02

( ) 2

2achsensymm. bzgl.

punktsymm. bzgl.

ax x

a xf x

x

x

παα

πα

π

π

⋅ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤=

= =

0

sin( )lim

nn

α

αα→

=

Skizze. Berechne sämtliche Fourierkoeffizienten.

Überlege zunächst, welche Koeffizienten aus Symmetriegründen von Null verschieden sind, dann, dass das Integral wiederum aus Symmetriegründen zwischen 0 und π/2 beschränkt werden kann. Zeige: für α = 0 ergibt sich die bekannte Rechteckreihe (verwende angegebenen Grenzwert), für α = π/2 die bekannte Dreieckreihe.

store(BRAIN);

2π – periodische Funktionen lassen sich wie folgt durch sin- und cos-Wellen darstellen („Fourierreihe“):

0

1 1

2

( ) ( 2 )

2cos sin

( cos sin )n nn

f x f x n

aDC Anteil

a x b x Grundwelle

a nx b nx Oberwellen

π

∞

=

= ± ⋅ =

+ −

+ + +

+ +∑

Die Fourierkoeffizienten an und bn lassen sich durch kompliziertere Integrale bestimmen:

} { } {2

0

1 cos 0,1,2..( ) 1,2,..sinn

n

a nxf x dx nb nx

π

π= =∫

Bei T-periodischen Funktionen ( ) ( )f t n T f t± ⋅ = wird einfach nur x

durch 2

2t f t tT

πω π= ⋅ = ⋅ ersetzt (f : Frequenz, ω : Kreisfrequenz).

BDH

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Lektion 6: Anwendung der Fourieranalyse in der Schwingungslehre

MATLAB

exzenter.m: die Exzenteranregung eines Federpendels wie im physikalischen Praktikum führt nicht genau auf eine harmonische Anregung des Aufhängepunktes. Die Anregungsfunktion ist komplizierter als ein Sinus oder Cosinus. Im Skript werden die Amplituden von Grund- und Oberwellen bestimmt, sowie die Reaktionen des Pendels auf diese Bestandteile der Anregung. Die Anordnung entspricht einer großen Exzenterscheibe mit dicht daneben liegender kleiner Umlenkrolle. Die Anregung erfolgt dann entsprechend einem gleichgerichteten Sinus.


AngerSwing.zip: In avi-Animationen werden einige Exzenteranregungen dargestellt. Die Pendelreaktionen werden immer dann besonders interessant, wenn eine Oberwelle resonant verstärkt wird. Im physikalischen Praktikum (Versuch: angeregte Schwingung) kommt das bei halber Resonanzfrequenz auch vor. Das Pendel bewegt sich dann in einem lustigen Dreivierteltakt.

6 **

Ein Federpendel (Eigenfrequenz f0 = 5Hz, Dämpfungsgrad θ = 0,1) wird am Aufhängepunkt mit der Trapezfunktion aus Lektion 5 hin und her bewegt (f = 1Hz, a = 1cm, α = π/3).

Bestimme mit Hilfe von Aufgabe 5 die 3 niedrigsten nicht verschwindenen Fourieranteile der Anregungsfunktion a(t).

Bestimme mit Hilfe der aus Lektion 4 bekannten Frequenzgänge die jeweilige Reaktion des Pendels auf diese 3 Anregungsanteile. Summiere die 3 Teilreaktionen auf und erstelle mit MATLAB o.ä. den Graphen der sich daraus ergebenden Näherung für die Pendelreaktion x(t).

store(BRAIN);

Aus der Schwingungslehre ist bekannt, wie ein System auf sin- oder cos-förmige Anregungen (= „harmonische Anregungen“) reagiert. Nichtharmonische Anregungen können aber mit der Fourierreihe durch die Überlagerung (= Aufsummation) einer Vielzahl von harmonischen Anregungen dargestellt werden. Die Reaktionen des System auf Grund- und Oberwellen werden dann einfach ebenfalls aufsummiert und man erhält die Systemreaktion bei nichtharmonischer Anregung.


Lektion 7: Diskrete Fouriertransformation (DFT)


DiskretFourier.pdf: Lerntext zu den diskreten und schnellen Fouriertransformationen. Auch in den moderneren Lehrbüchern kommt dieses wichtige Thema meistens etwas zu kurz, daher hier eine ausführlichere Ausarbeitung.

7

Arbeite den Text „Diskrete Fouriertransformationen“ (s.o.) sorgfältig

durch. Betätige die Java-FFT-Rechenmaschine (s. Lektion 8)

store(BRAIN);

Die diskrete Fouriertransformation ist eine numerische Näherung für die Koeffizienten an und bn der Fourierreihe. Die zur Berechnung notwendigen Integrale werden einfach mit der Treppenstufenmethode angenähert. an und bn werden dabei zu einem komplexen „Spektralwert“ cn zusammengefasst, wodurch die sin- und cos-Funktionen durch

jnxe± ersetzt werden können, was die Rechnung stark vereinfacht.

Lektion 8: Schnelle Fouriertransformation (FFT)


FastFourier.pdf: Übungsblatt mit 2-stufigem FFT-Schema für 8 Punkte

Applet für eine 3-stufige FFT. Die komplexen Spektralwerte werden wieder in reelle Amplituden und Phasen zurückverwandelt und in einem Balkendiagramm dargestellt. Sowohl die Funktionswerte als auch die Fourieramplituden und -phasen können interaktiv verändert werden.

8

**

Führe mit Hilfe des separaten Arbeitsblattes FastFourier.pdf die 8-Punkte-FFT für eine Trapezfunktion durch: a = 1, α = π/4. Skizze! yk = ?

Vergleiche die Koeffizienten der FFT mit denen der Fourierreihe. Plotte: die trigonometrische Interpolation mit Hilfe der FFT-Koeffizienten und die nach dem 2. Glied abgebrochene Fourierreihe

store(BRAIN);

Die schnelle Fouriertransformation ist ein geschicktes Rechenschema zur Durchführung der DFT mit möglichst wenig Rechenoperationen. Sie ist der am häufigsten eingesetzte mathematische Algorithmus in unserer heutigen Zeit und spielt bei so bekannten Anwendungen wie Musik-komprimierung in mp3 und Bilddkomprimierung in jpg eine wichtige Rolle.


Lektion 9: Parametrische ebene Kurven

Kapitel 8.1 Kapitel 9.1; 9.3; 9.5; 9.7


Zykloide.zip: avi-Film, ein Kreis rollt auf einer Geraden ab Wankel.zip: avi-Film, bei dem ein großer Kreis über einem kleineren Kreis abrollt (= Hypozykloide). Stimmt das Radienverhältnis, so kann man damit die Kontur eines Rotationskolbenmotor-Gehäuses mit 3 Arbeitskammern erzeugen.

9

** Zeige: die Parameterdarstellung

( ) cos cos2 ( ) sin cos2 0 45x yϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= ⋅ = ⋅ ≤ ≤ °

erfüllt die implizite Darstellung der Lemniskate: 2 2 2 2 2( ) 0x y x y+ − + = und stellt damit den Lemniskatenbogen im 1. Quadranten dar. Bestimme Punkte (x,y) im Abstand ∆ϕ=5° und mache eine Skizze.

An welchen Stellen ϕ treten horizontale und vertikale Tangenten auf? Bestimme die entsprechenden Punkte (x,y)

Welche Steigung besitzt der Lemniskatenbogen im Ursprung? Welche Fläche schließt der Bogen mit der x-Achse ein?

store(BRAIN);

Bei parametrische Kurven werden die Punktkoordinaten als Funktion einer

Hilfsgröße (= Parameter) dargestellt: ( )( )( ) ( )x tr t y t=�

.

Parameter können z.B. sein: Zeit t, Abrollwinkel ϕ, zurückgelegte Wegstrecke s usw.

Steigung: dy y

dx x=ɺ

ɺ (Punkt = Ableitung nach dem Parameter, auch wenn

dieser nicht die Zeit t ist!)

Bogenlänge: 2 2b

a

s x y dt= +∫ ɺ ɺ

BDH

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Lektion 10: Zylinder- und Kugelkoordinaten, 3D - Kurven

www. http://www-hm.ma.tum.de/integration/course/html/ch2/home.htm

10

**

Gegeben ist folgende Bahn auf der Erdoberfläche in Kugelkoordinaten (Erdradius R):

( ) ( ) ln tan2 42 2 2

v t v tt t

R R

π πθ ϕ ⋅ ⋅ = − = +

Die Bahn startet z.Zt. t = 0 am Äquator. Wann wird der Pol erreicht?

Wie oft wird dabei die Erde umrundet?

Zeige: Die Geschwindigkeit beträgt stets v = konst., der Kurs ist stets genau NO.

store(BRAIN);

Zylinderkoordinaten r, ϕ, z :

2 2cos

sin tan

:

r

z

Geschwindigkeiten

v r radial

v r tangential

v z

x r r x y

yy r

axi

z z

al

x

ϕ

ϕ

ϕ ϕ

ϕ== ⋅

=

= ⋅ = +

= ⋅ =

=

ɺ

ɺ

ɺ

Kugelkoordinaten r, ϕ, θ :

2 2 2sin cos

sin sin tan

cos cos

:

sin

r

x r r x y z

yy r

xz

z rr

Geschwindigkeiten

v r radial

v r tangential Süd

v r tangential Ostθ

ϕ

θ ϕ

θ ϕ ϕ

θ θ

θθ ϕ

= ⋅ = + +

= ⋅ =

= ⋅ =

=

= ⋅= ⋅

ɺ

ɺ

ɺ

x

y

z

z

r ϕ

P

x

y

z

θ r

ϕ

P


Lektion 11: Tangente, Normale, Krümmung

Kapitel 8.3.1 Kapitel 9.3; 9.4


Schmiegekreis.zip: avi-Film, der den Schmiegekreis an den verbogenen Kreisring zeigt (Aufgabe 11a). Die Bahnkurve seines Mittelpunktes heißt Evolute

MATLAB

klothoide.m erstellt zwei Graphen der in Aufgabe 11b behandelten Kurve. Die Konstante k beträgt 1 und 2 und erzeugt unterschiedlich eng gewickelte Spiralen. Die Klothoide dient heute im Straßen- und Schienenbau als Übergangsbogen von der Geraden zum Kreis.

11a

**

Betrachte den verbogenen Kreisring in kartesischen Koordinaten: cos

( ) sin

sin 2

r

ϕϕ ϕ

ϕ

=

�

Versuche eine kleine 3D-Skizze

Bestimme: ˆ ˆ( ) : ( ) ( )d v d

v r v v T Td v d

ϕ ϕ ϕϕ ϕ

= = =�

� � �

Bestimme bei ϕ=90°: Krümmung κ und Hauptnormaleneinheitsvektor N

11b

**

Klothoiden können folgendermaßen beschrieben werden (die vorkommenden Integrale lassen sich „elementar“ nicht lösen):

2 2

0 0

( ) cos ( ) sin .2 2

h hkt ktx h dt y h dt k konst= = =∫ ∫

Zeige: der Parameter h ist identisch mit der Bogenlänge s Zeige: die Krümmung der Kurve ist proportional zu ihrer Länge, je länger sie wird, desto stärker krümmt sie sich κ(s)=k·s (Bilder s. klothoide.htm)

BDH

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Lektion 11: Tangente, Normale, Krümmung (Fortsetzung)

store(BRAIN);

Verallgemeinerte Geschwindigkeit (t sei irgendein Parameter, nicht

notwendigerweise die Zeit): ( )

( ) ( ) ( )( )

x tv t r t y t

z t

= =

ɺ� �ɺ ɺɺ

Tangenteneinheitsvektor: ˆ vT

v=�

(Geschwindigkeit immer tangential)

Hauptnormale: ˆ

ˆˆ

TN

T=ɺ

ɺ

Krümmungsradius ρ, Krümmung κ : 1:

T

vκ

ρ==

ɺ

Krümmung einer ebenen Kurve, dargestellt durch Funktion y = f(x):

( )3

22

'': ''

1 '

ff

f

κ = ≅+

(Näherung für flache Kurven f ‘<<1)

κ ist hier Vorzeichen behaftet: pos., wenn nach oben gekrümmt.

Lektion 12: Tangential-und Normalbeschleunigung, 3D - Flächen

12

**

Zum Kampf gegen die Langeweile in der Formel 1 plant Bernie die berühmte Parabolica in Monza als Vollgaskurve bremsfrei zu gestalten (v=300km/h=const.). Wie der Name schon sagt, hat die Kurve bei geschickter Koordinatenwahl die Form: y=ax2. Im Scheitel beträgt der Kurvenradius 50m. Bestimme: - a - Zentrifugalbeschleunigung z(x), z(0) - Gesamtbeschleunigung gz(x) (incl. Erdbeschleunigung), gz(0) - Kurvenneigung α(x) (0° flach, 90° senkrechte Wand), so daß die

Resultierende aus Zentrifugal- und Erdbeschleunigung senkrecht zur Oberfläche steht, α(0)

- Ab 9g Gesamtbeschleunigung wird Basti kurzfristig ohnmächtig („black out“). Wie lange dauert seine Bildstörung jeweils beim Durchfahren der Kurve?

store(BRAIN);

Beschleunigung �

�

2ˆ ˆ( ) :

tangential

normal

va t v v T N

ρ= = ⋅ + ⋅� �ɺ ɺ

3D – Flächen benötigen 2 Parameter


Lektion 13: Funktionen mehrerer Veränderlicher, partielle Ableitung, Tangentialebene

Kapitel 9.2.1 Kapitel 10.1; 10.3

13a

*

Zeichne die Höhenlinien z = 0, 0.5 .. 3 folgender Funktionen in die xy-Ebene und errechne jeweils die partiellen Ableitungen erster Ordnung:

2 2( , ) 3 1 ( , ) 92 4

x yz f x y z f x y x y

= = − − = = − −

13b

*

Skizziere die folgende Funktion („Affensattel“) perspektivisch im Bereich , 1x y ≤ (Symmetrie der x- und y-Schnitte? wie sehen die Randschnitte

aus?) und berechne die partiellen Ableitungen: 3 2( , ) 3z x y x xy= −

13c

*

Wie kann die im Ursprung zentrierte obere Halbkugel mit Radius 2 nahe den Punkten (0,0) (1,0) (2,0) (1,1) durch ebene Flächen approximiert werden?

store(BRAIN);

Partielles Differenzieren

( , )f x y

x

∂∂

(eigenes Symbol! Kurzform: xf )

bedeutet Berechnung der Steigung in x-Richtung der Schnittlinie y = konst. Man differenziert einfach nach x, behandelt y wie eine Konstante. Bsp.:

3 2 4 4

2 2 3

3 4 3

( , )

3 4 ( 1,1) 1

2 4 ( 1,1) 3

x x

y y

f x y x y x y y

ff x y x y f

xf

f x y x y fy

= + +∂ = = + − = −∂∂ = = + + − =∂

xf und yf geben die Steigung der Tangentialebene t(x,y) an die Fläche

( , )z f x y= in x- und y-Richtung an. Diese wäre im obigen Beispiel: ( , ) ( 1,1) ( 1,1) ( ( 1)) ( 1,1) ( 1)

1 ( 1) 3( 1) 3 3

x yt x y f f x f y

x y x y

= − + − ⋅ − − + − ⋅ − =

= − + + − = − − +

Dies ist dann auch gleich die lineare Näherung einer „mehrdimensionalen“ Funktion, hier in der Umgebung des Punktes (-1,1).

BDH

K S


Lektion 14: Kettenregel, Gradient

Kapitel 9.2.1 Kapitel 10.3

14a

**

Sei 2 2 2 1

sin( ) mit und z x y x st y st

= = = + . Berechne und z z

s t

∂ ∂∂ ∂

einmal durch direktes Substituieren und dann mit Hilfe der Kettenregel

14b

**

Berechne ( , )z x y∇�

der Halbkugel. Welche Richtung hat der Gradient in jedem Punkt? Wie ist sein Betrag?

store(BRAIN);

Abhängigkeitsbäume und Kettenregel: sämtliche zur Endvariablen führende Wege ergeben einen Term in der Kettenregel. Im Beispiel führen 2 Wege von f nach r (über x und y) aber 3 Wege nach s (über x, y und z).

f f x f y

r x r y r

f f x f y f dz

s x s y s z ds

∂ ∂ ∂ ∂ ∂= ⋅ + ⋅∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= ⋅ + ⋅ + ⋅∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

Gradient einer Funktion zweier Veränderlicher: ( , )

( , ) : ( , )x

y

f x yf x y f x y

∇ =

�

Die partiellen Ableitungen bilden einfach die Komponenten eines Vektors, der „Gradient“ heißt. Mit dem Gradienten kann man die Steigung der Fläche z=f(x,y) an beliebigen Stellen 0 0( , )x y in beliebige Richtungen der xy-Ebene

ausrechnen („Richtungsableitung“). Die Richtung sei durch den Einheitsvektor u gegeben. Die gesuchte Steigung ist dann:

0 0 ˆ( , )f x y u∇ ⋅�

(Skalarprodukt).

BDH

f(x,y,z)

y(r,s) x(r,s) z(s)

s r

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Lektion 15: Höhere Ableitungen, Extremwerte


15a

**

Sei ( , , ) lnzyg x y z x= Vereinfache den Ausdruck und berechne

sämtliche partielle Ableitungen bis zur 2. Ordnung. Bestätige am Beispiel den Satz von Schwarz.

15b

**

Sei

1 1 1 1( , ) 1 1f x y

x y x y

= + ⋅ + ⋅ +

. Bestimme die mögliche Lage

der Extremwerte und den Typ.

store(BRAIN);

Bezeichnungsweise: ( )

2

x xyy

f ff f

y x y x

∂ ∂ ∂ = = = ∂ ∂ ∂ ∂

Satz von Schwarz: die Reihenfolge bei höheren gemischten Ableitungen ist egal, z.B.: yx xyf f=

Extremwerte (horizontale Tangentialebene!) von z = f(x,y) treten nur an den Stellen auf, an denen die ersten partiellen Ableitungen verschwinden:

0x yf f= =

Die Kriterien für die Art der Extremstelle mit Hilfe der 2. Ableitungen sind jetzt komplizierter als bei Funktionen einer Variablen:

( )( )( )( )

2

2

2

2

0 0

0 0

0

0

xx xx yy xy

xx xx yy xy

xx yy xy

xx yy xy

Maximum f und f f f

Minimum f und f f f

Sattel f f f

unklar f f f

< ⋅ − >

> ⋅ − >

⋅ − <

⋅ − =

BDH

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y y

2x

z z

Lektion 16: Mehrdimensionale Optimierung

Kapitel 9.2.1

16a

*

Ein 48cm langer Draht wird in maximal 3 Stücke der Länge 4a, 4b und 4c zerschnitten. Aus den Stücken werden Quadrate mit Kanten a, b und c gebogen. Welche Aufteilung ergibt maximale und minimale Gesamtfläche der Quadrate? Verwende die 2. Ableitungen zur Typbestimmung und beachte mögliche Extremwerte an den Grenzen des Wertebereichs für a, b und c.

16b

**

Ein hausförmiges Fenster gem. Skizze soll maximale Fläche A bei gegebenem Umfang L aufweisen. Bestimme die optimalen Abmessungen für x, y und z. Typbestimmung mit 2. Ableitungen schwierig. Besser: mit MATLAB die Funktion A(x,z) als Gebirge darstellen lassen.

Lektion 17: Taylorreihen mehrerer Veränderlicher

Kapitel 9.2.2

17a

*

Schreibe die Taylorentwicklung für f(x+∆x, y+∆y, z+∆z) bei (x,y,z) bis zur 3. Ordnung Term für Term in Indexschreibweise hin (z.B. fxxy).

17b

**

Ein Dehnungsmessstreifen hat den Widerstand R

A

ρ= ℓ (spezifischer

Widerstand ρ, Länge l, Querschnitt A). Zeige durch Taylorentwicklung bis zur 2. Ordnung: wenn sich die Eingangsgrößen ρ, l, A um ∆ρ, ∆l und ∆A ändern, so ändert sich R gemäß:

1R A A

R A A

ρ ρρ ρ

∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ = + − ⋅ − + ⋅

ℓ ℓ

ℓ ℓ

Betrachte konkret folgende Änderungen:

0 0 000 00 001,50 ( ) 2,30 2 1,53

A

A

ρ ε νερ

∆ ∆ ∆= = = − = − =ℓ

ℓ

Die Querschnittsänderung entspricht einer freien Dehnung mit Querdehnzahl ν=1/3. Bestimme ∆R/R in linearer und quadratischer Näherung.

Taylorreihe einer

Funktion mit 3 Variablen

Für eine Funktion f(x,y,z) mit 3 Variablen gilt z.B. (Entwicklungspunkt sei (a,b,c), Schrittweiten seine h, k und l ):

0

1( , , ) ( , , )

!

n

n

f a h b k c l h k l f a b cn x y z

∞

=

∂ ∂ ∂+ + + = ⋅ + ⋅ + ⋅ ∂ ∂ ∂ ∑

BDH

BDH


Lektion 18: Doppelintegrale

Kapitel 9.3.1


18a

**

( )P

x y dA P+∫∫ : Parallelogramm mit Ecken (2,2) (1,-1) (-2,-2) (-1,1)

18b

**

2 2

2 3

1

(4 5)x y

x y x dA+ ≤

− +∫∫

18c

**

2 2 2

2 2( )x y a

a x y dA+ ≤

− +∫∫

18d

**

(1 )D

x y dA D− −∫∫ : Dreieck mit Ecken (0,0) (1,0) (0,1)

store(BRAIN);

Mehrfachintegrale werden schrittweise von innen nach außen integriert. Es wird immer nur „ganz normal“ mit einer Integrationsvariablen integriert, die weiter außen stehenden Integrationsvariablen werden dabei als konstant angesehen:

.: ( )

( , ) ( )

( , )

b d b

a c a

äußeres Iinneres Integral A x

b d

a c

f x y dy dx A x dx

dx dy f x y alternative Schreibweise

=

= =

=

∫ ∫ ∫

∫ ∫

��

Ergebnis der inneren Integration ist eine Funktion A(x), die die Fläche im Schnitt x = konstant zwischen der Funktion f und der xy-Ebene im Bereich c<y<d darstellt. A(x)dx ist als Scheibenvolumen zu interpretieren, Scheibendicke ist dx. Alle Scheiben des Aufschnittes werden bei der äußeren Integration zusammengezählt. Das Ergebnis ist damit das Volumen zwischen der Funktionsfläche z = f(x,y) und der xy-Ebene im rechteckigen Bereich a<x<b und c<y<d. Die Integrationsreihenfolge darf vertauscht werden. Bei konstanten Grenzen des Integrationsbereiches ist dies unproblematisch. Bei abhängigen Grenzen müssen diese aber beim Vertauschen von innerer und äußerer Integration verändert werden! Obwohl das Ergebnis als Volumen interpretiert werden kann (s.o.), spricht man beim Doppelintegral von einem Flächenintegral, da das Integrationsgebiet ein flächiger Bereich der xy-Ebene ist. dy·dx ist dort das Flächenelementchen, das gelegentlich auch mit dA abgekürzt wird.

BDH


Lektion 19: Oberflächen, Schwerpunkte


19

**

Berechne die Fläche des in Aufgabe 13b betrachteten Affensattels im Bereich 2 2 2 1r x y= + ≤ . Benutze Polarkoordinaten.

store(BRAIN);

Das Freiform-Oberflächenelementchen (Freiformfläche durch z=f(x,y) gegeben) kann folgendermaßen bestimmt werden:

2 2 2 21 1x y x ydS f f dA f f dx dy= + + = + + ⋅

Die Integration über einen Bereich der xy-Ebene ergibt dann die entsprechende Gesamtoberfläche. Flächenelement dA in der xy-Ebene mit Polarkoordinaten berechnet: dA r dr dϕ= ⋅ ⋅ Statische Momente Sx, Sy ebener Querschnitte bezüglich x- oder y-Achse:

x y

G G

S y dA S x dA= ⋅ = ⋅∫∫ ∫∫

Der Querschnitt sei durch Gebiet G in der xy-Ebene gegeben. Entscheidend ist immer der Abstand des Flächenelementchens dA von der jeweiligen Achse. Der Abstand von der x-Achse ist z.B. y! Schwerpunkt ( , )x y ebener Querschnitte:

( , ) ,y xS S

x yA A

=

A: Querschnittfläche

Lektion 20: Flächenmomente

20

**

Bestimme das axiale Flächenmoment Ix eines viertelelliptischen Querschnittes im ersten Quadranten mit Halbachse 1cm in x-Richtung und Halbachse 2cm in y-Richtung durch Flächenintegration in kartesischen Koordinaten (Ellipsenmittelpunkt im Ursprung).

store(BRAIN);

In der Biegetheorie werden die Flächenmomente 2. Grades benötigt: 2

2

2 2

.

.y

x

x ypG

xy

I axiales Flächenmoment bzgl y AchsexI axiales Flächenmoment bzgl x Achsey dA polares Flächenmoment I IIx y

DeviationsmomentIxy

− −= = ++

∫∫


Lektion 21: Volumenintegrale

Kapitel 9.3.1


21

**

Gegeben sei neben stehender Schnitt durch ein Drehteil (Drehachse z, alle Maße mm). Gebe den funktionalen Verlauf r(z) des oberen Halbkreis-Bogens an (in mm). Runde im Folgenden bei der Ergebnisangabe stets genau auf 5 signifikante Stellen, nicht mehr und nicht weniger (Bsp.: 1,2345 oder 1234500).

- Berechne das Volumen des Ringes 2

- Berechne durch Volumenintegration in Zylinderkoordinaten das Volumen von Halbtorus 1

- Berechne das Gesamtgewicht (Dichte Stahl ρ=7,8311)

- Berechne den Abstand a des Flächenschwerpunktes des gezeigten Querschnitts von der Drehachse (aus der Vorlesung ist vielleicht noch

bekannt, dass der Flächenschwerpunkt des Halbkreises 4

3

R

π von der

geraden Linie entfernt liegt

- Berechne nochmal das Gesamtvolumen nach der 2. Guldinschen

Regel. Die früheren Ergebnisse sollten natürlich bestätigt werden

store(BRAIN);

Volumenintegrale sind 3-fach Integrale und bestehen aus innerem, mittlerem und äußerem Integral:

( , , ) ( , , )

( , , )

f fb d b d

a c e a c e

inneres Integral

mittleres Integral

äußeres Integral

G

f x y z dz dy dx dx dy dz f x y z

f x y z dV

= =

=

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫∫∫

��

Die Integrale werden wieder schrittweise von innen nach außen berechnet, wobei die weiter außen stehenden Integrationsvariablen jeweils als konstant angesehen werden. dx·dy·dz ist dabei das Volumenelementchen dV in kartesischen Koordinaten. dV in Zylinderkoordinaten: dV r dr d dzϕ= ⋅ ⋅ ⋅ dV in Kugelkoordinaten: 2 sindV r dr d dθ θ ϕ= ⋅ ⋅ ⋅

BDH

1

2

r

z

832

1614


Lektion 22: Massenträgheitsmomente

Kapitel 9.3.1


22

***

Eine Betonsäule mit Radius a verlaufe in z-Richtung. Mit einem Kernbohrer wird aus ihr konzentrisch zur x-Richtung ein Kern mit Radius b<a gebohrt. Bestimme vom Bohrkern Masse m und Massenträgheits-moment Jx:

Skizze

Führe die notwendigen Integrationen in kartesischen Koordinaten durch. Überlege zunächst, welche Salami-Schnittrichtung die einfachsten Scheiben ergibt.

Gebe das Ergebnis folgendermaßen an: m=mzyl·f(h), J=Jzyl·g(h), wobei für die zylindrischen Werte von Radius b und Länge 2a auszugehen ist und h=a/b bedeutet. Weil der Bohrkern etwas kleiner als der zugehörige Zylinder ist, sind f(h) und g(h) <1. Für großes h sollte sowohl f(h) als auch g(h) gegen 1 streben, da dann die Stirnflächen sich immer mehr ebenen Kreisflächen annähern. Beide Funktionen sind durch nicht mehr elementar berechenbare Integrale gegeben. Bestimme ihre Werte für h=1,5 und h=5 mit MATLAB (function „integral“) oder mit der Treppenstufenmethode in EXCEL.

store(BRAIN);

Viele Formeln für Drehbewegungen kann man durch Modifikation der entsprechenden Formeln für linearen Bewegungen erhalten. Die Geschwindigkeit v wird durch die Kreisfrequenz ω ersetzt und die Masse m durch das Massenträgheitsmoment J:

( )

( )

2

2

:Drehachse

G

G

J Abstand von Drehachse dm

Abstand von Drehachse dVρ

= ⋅ =

= ⋅

∫∫∫

∫∫∫

Falls die x-Achse Drehachse ist, gilt also beispielsweise:

( )2 2x

G

J y z dm= + ⋅∫∫∫

dm ist dabei das Massenelementchen, das durch ρ·dV oder in kartesischen Koordinaten durch ρ·dx·dy·dz bestimmt werden kann (ρ: Dichte). Das Integrationsgebiet G erstreckt sich über den gesamten Drehkörper und ist im Allgemeinen durch abhängige Grenzen in einem möglichst günstigen Koordinatensystem anzugeben. Darin besteht meistens die Schwierigkeit bei der konkreten Berechnung!

BDH


Lektion 23: Laplace-Transformation

Kapitel 13.1 Kapitel 16.1

23a

**

Bestimme durch Integration die Bildfunktionen F(p) folgender Funktionen:

( ) cos , ( ) sinh , ( ) cosh , ( ) atf t t f t kt f t kt f t teω= = = =

23b

*

Wie lauten die Zeitfunktionen zu folgenden Bildfunktionen?

5

1 1 24( ) , ( ) , ( )

5 2F p F p F p

p p p= = =

− +

store(BRAIN);

Mit der Laplace-Transformation (LT):

� { } �0

( ) ( ) : ( ) pt

Bildfunktion Originalim Bildbereich funktion im

Zeitbereich

F p f t f t e dt∞

−

−

= = ⋅∫L

wird aus der ursprünglichen Zeitfunktion f(t) eine andere Funktion F(p). Man spricht von der Bildfunktion, deren Variable p den Bildbereich bildet.

p hat die Dimension 1

s und wird in vielen Lehrbüchern auch mit s

abgekürzt. Um die Verwechslungsgefahr mit der Sekunde zu vermeiden, verwenden wir hier aber p. Der große Vorteil der LT ist folgender: aus komplizierten mathematischen Operationen im Zeitbereich (z.B. Differenzieren) werden einfache algebraische Operationen im Bildbereich (Multiplikation mit p). Häufig kann man dann schnell die Lösung einer Differenzialgleichung im Bildbereich finden und braucht nur noch deren Rücktransformation. Hin- und Rücktransformation geschieht meist mit Hilfe von Tabellen („Korrespondenztafeln“). Hier die wichtigsten Korrespondenzen:

1

2 2

2 2

( ) ( )

1

1

!

1

sin

cos

nn

at

F p f t

Einschaltfunktionp

Impulsfunktion

nt

p

ep a

tp

pt

p

ω ωω

ωω

+

→←

−

+

+

-1L

L

BDH

0

1 f

t

0

1/a f

t

Fläche = 1

a

0lima→

K S


Lektion 24: Laplace-Transformation: Rechenregeln, Transformationssätze

Kapitel 13.2 Kapitel 16.2; 16.3


faltung.zip: In der Physik tauchen Faltungen im Zusammenhang mit Filterfunktionen auf. Das tatsächliche Sonnenspektrum f1 wird z.B. durch die Filterfunktion f2 des Spektrometers verschmiert und ergibt ein modifiziertes Messergebnis. In der Animation wird an einem weiteren Beispiel diese Verschmierung veranschaulicht.

24a

*

{ }71 2 3 1

t

t t U e τ− + + −

L L

24b

**

Lösung Y(p) der Integrodifferenzialgleichung im Bildbereich:

( )

( ) ( ) ( )0

3 7 13 2sin 5

0 0 0 1 0 2

t

y y y y d t

y y y

τ τ+ − + =

= = =

∫iii i

i ii

24c

**

( ) ( ){ }32

cosh 1cost t

e te

πω ϕ

− −

L L

store(BRAIN);

Linearität der LT:

{ }1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )a f t b f t a F p b F p⋅ ± ⋅ = ⋅ ± ⋅L

Differenzieren im Zeitbereich:

{ }{ } { }2 ( )

( ) ( ) (0)

( ) ( ) (0) (0) ( ) .n

f t p F p f

f t p F p p f f f t usw

= ⋅ −

= ⋅ − ⋅ − =

ɺ

ɺɺ ɺ

L

L L

Integrieren im Zeitbereich:

0

( )( )

t F pf d

pτ τ

= ∫L

Verschiebung im Zeitbereich um a nach rechts (Vorsicht, die verschobene Funktion wird im Bereich 0<t<a Null gesetzt!):

{ }( ) ( )paf t a e F p−− = ⋅L

Dämpfungssatz:

{ }( ) ( )ate f t F p a− ⋅ = +L

Ähnlichkeitssatz:

{ } 1( )

pf at F

a a =

L

Faltungssatz: { }1 2 1 2

1 2 1 20

( ) ( )

: ( ) ( ) ( ) : ( ) ( )t

f f F p F p

Faltungsintegral f t f t f t f f t dτ τ τ

⊗ = ⋅

= ⊗ = ⋅ −∫

L

BDH

K S


Lektion 25: LT-Rücktransformation durch Partialbruchzerlegung


25a

**

Berechne die Faltung cos cost tω ω⊗ und zeige damit:

( )2

122 2

sin cos

2

p t t t

p

ω ω ωωω

−

+ = +

L

25b

**

Berechne durch reelle Partialbruchzerlegung:

21

3 2

3

5 8 4

p p

p p p− − − + + +

L

25c

**

Berechne durch komplexe Partialbruchzerlegung: 1

2

1

2 2p p− − +

L

store(BRAIN);

Rationale Funktionen kommen häufig als Lösungen von DGL im Bildraum vor. Sie lassen sich mit der Partialbruchzerlegung, der Linearitätsregel und den Korrespondenztafeln leicht zurück transformieren.

Lektion 26: Aufstellen von Differenzialgleichungen (DGL), einfache Beispiele und Lösungen


26a

***

Durch das nebenstehende Modell soll ein Auto simuliert werden, das z.Zt. t=0 einen 10 cm hohen Bordstein überfährt. m1 ist die Karosse, m2 sind die Räder. Stelle die Differenzial-gleichungen für x1(t) und x2(t) auf unter Verwendung der üblichen Abkürzungen:

{2 21 2

1/ 2 1/ 2 31/ 2 1/ 2 2

2

2

2 ; ;

0,1 0 0; ( ) 1 0

k D D

m m m

D m ta t tm

δ ω ω

σ

= = =

⋅ <= = ≥

Gebe das DGl-System auch als reine Zahlengleichung an (in MKS-Einheiten)

BDH

BDH

m1= 1000 kg

0,1 m

m2= 50 kg

D1= 40 k= 16 to/s

D2= 50 kN/m

x1(t)

x2(t)

K S

K S


Lektion 26: Aufstellen von Differenzialgleichungen .. (Fortsetzung)

26b

**

Stelle die Differenzialgleichung für die Geschwindigkeit v(t) einer frei fallenden Masse m auf und löse sie durch Trennung der Variablen. Der Luftwiderstand sei:

2

2vw wF c A

ρ= ⋅ ⋅

cw Widerstandsbeiwert (≅ 1)

ρ Luftdichte (≅ 1,2) A angeströmte Fläche (Fallschirmspringer ≅ 0,6 m2)

Verwende die Abkürzung: 2

w

mgv

c Aρ∞ =⋅ ⋅

Wie schnell wird der Springer (m = 75 kg)?

store(BRAIN);

Versucht man in der Bewegungslehre, in der Biegelehre oder in der Statik konkrete Problemstellungen in die mathematische Formelsprache zu übersetzen, so gelangt man häufig zu sog. Differenzialgleichungen (DGL). Die gesuchte Funktion (Bahn-Zeit-Funktion, Biegelinie oder Seilzug-Umschlingungswinkel-Funktion) ist mit ihren Ableitungen in einer Gleichung verknüpft:

( )( , , ',..., ) 0 : ( )nf x y y y gesucht y x= Dies stellt die allgemeine Form einer DGL n-ter Ordnung dar. Diese sind nicht eindeutig lösbar sondern besitzen n unabhängige Integrationskonstante, die über Anfangs- oder Randbedingungen bestimmt werden müssen („wo befand sich die Masse z.Zt. t=0 und wie schnell war sie da“ ist z.B. eine typische Anfangsbedingung in der Dynamik). Lösungsmethode: Trennnung der Variablen bei DGL vom Typ:

1 2

1 2 1 2

1 2

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( !)

: ( ( )) ( ) :

dyf y f x

dx

f y dy f x dx f y dy f x dx Merkhilfe

Lösung F y x F x C F Stammfunktion von f

⋅ =

⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅

= +∫ ∫

Lösungsüberlagerung bei Linearer DGL vom Typ:

�( )

2 1 0( ) ... '' ( ) ' ( ) ( ) ( )nn

Störfunktion

y f x y f x y f x y f x g x⋅ + + ⋅ + ⋅ + ⋅ =

1) Finde allgemeine Lösung yh(x) der „homogenen Gleichung“ (rechte Seite = 0). Diese Lösung beinhaltet i.A. n unabhängige Integrations-konstante (s.o.).

2) Finde eine spezielle Lösung ys(x) der „inhomogenen Gleichung“ (incl. Störfunktion auf der rechten Seite). Diese Lösung ist nicht eindeutig. Man versucht, die einfachste Lösung zu finden. Die Lösung beinhaltet keine Anpassparameter (Integrationskonstante).

3) Komplettlösung ist dann einfach die Summe: y(x) = yh(x) + ys(x). Die Integrationskonstanten der homogenen Lösung müssen dann noch aus Anfangs- oder Randbedingungen bestimmt werden.


Lektion 27: Anfangs- und Randwertprobleme


27a

**

Die homogene Schwingungsdifferenzialgleichung lautet:

202 0x x xδ ω+ + =ɺɺ ɺ

Zeige durch einsetzen:

( )( ) tx t A t B e δ−= ⋅ + ⋅ ist eine Lösung falls 0δ ω= . A, B beliebige

Konstante

( )( ) sin cos td dx t A t B t e δω ω −= ⋅ + ⋅ ⋅ ist eine Lösung falls 0δ ω< mit:

2 20dω ω δ= −

27b

***

Gebe die DGl und die Randbedingungen für den Knickfall IV (s.u.) an. Verwende die Beziehungen:

2'' E EM F w M EI Mw a b

EI EI F F

⋅ −= − = − = =

ME ist dabei das vom Lager auf den Stab (Länge l) ausgeübte unbekannte Biegemoment beim Ausknicken (gepunktet). Man bekommt 4 Rand-bedingungen. Für welche Integrationskonstanten der homogenen Lösung und für welches a gibt es von Null verschiedene Lösungen?

BDH

x

w ME F

K S


Lektion 28: Lösung mit der Laplacetransformation

Kapitel 13.4 Kapitel 16.6

PM S. 391

Hier kann man sich schon mal in SIMULINK üben und damit z.B. 28a simulieren. Die benötigte Datei heißt Einschwing.slx und steht unter „Material 2.Semester“ zum download zur Verfügung stehen. Mit dem verwendeten Block „transfer func“ können allerdings nur Anfangsbe-dingungen = 0 verarbeitet werden, was in der Aufgabe aber der Fall ist.

28a

**

Löse '' 2 ' 5 3 (0) '(0) 0y y y y y+ + = = =

28b

**

Löse die angeregte Schwingungs-DGl 2 20 0 ˆ2 sinx x x a tδ ω ω ω+ + = ⋅ɺɺ ɺ

mit folgenden Werten und Anfangsbedingungen: 1 1

0ˆ 2 ; 4 ; 5 ; (0) 1; (0) 0a cm s s x xω ω δ− −= = = = = =ɺ

28c

**

Löse das System:

' 6 0 (0) 1

' 5 2 0 (0) 0

y z y y

z z y z

+ + = =+ + = =

store(BRAIN);

Die Lineare DGL mit konstanten Koeffizienten und Anfangs-bedingungen:

( )2 1 0

( 1) ( 2)

... '' ' ( ) (*)

( 0), (0), ... , '(0), (0) :

nn

n n

a y a y a y a y g t

y t y y y vorgegebene Werte− −

⋅ + + ⋅ + ⋅ + ⋅ =

=

(Variable jetzt mal die Zeit t) kann nach Schema f mit Hilfe der Laplace-Transformation gelöst werden. Dazu werden einfach linke und rechte Seite von (*) Laplace transformiert :

( ){ } { }

11 ( )

0

1 0

( ) (0) ... (**)

( ) (0) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

nn n i i

ni

a p Y p p y

a p Y p y a Y p G p

Y p y t G p g t

−− −

=

⋅ ⋅ − ⋅ + +

+ ⋅ ⋅ − + ⋅ =

= =

∑

L L

(**) kann dann nach Y(p) (= Lösung im Bildraum) aufgelöst werden. Es ergeben sich dabei oft rationale Funktionen. Um die gesuchte Lösung y(t) im Zeitbereich zu erhalten, muss man nur noch mit Partialbruchzerlegung zurück transformieren. Diese Lösung enthält dann keine freien Integrationskonstanten mehr und erfüllt sämtliche vorgegebenen Anfangsbedingungen. Das Verfahren ist auch bei gekoppelten DGL-Systemen anwendbar. Man bekommt im Bildraum ein algebraisches Gleichungssystem, das nach Y1(p), Y2(p) usw. aufgelöst werden muss.

BDH

K S


Lösungen der etwas schwierigeren Aufgaben

1a / 42 1 3 4 3,5j jj e e j jπ π + −

1b 16-24j -9+3j 2-10j j

2 24 36 2 0,1,2

j n

e nπ π + ⋅ =

3

( )( )

419 sin( ) arctan

3

Im 3 4

2cos( / 6) 3sin 19 cos( )

j t

t

j e

t t t

ω

ω ϕ ϕ

ω π ω ω ϕ

+ =

+

+ − = +

4

0

2

2

maxmax

28001,56

60 30

( , )1 2

(1,56 / 0,2) 1,42 0,62

1,56 arg( ) 156

0,013 7ˆ ˆ 1,56 203

7

ˆ( 0,2) 2,55 332

f

f

Fj

F j

F F

kg cmx F a m

kg

F x m

η

ηη θη θη

µ

θ µ

= = =⋅

=− + ⋅

= − −= = − °

⋅= ⋅ = ⋅ =

= = =

5 2

20

4 4 sin( )( ) sin( )

1,3,5,7...

4 sin(3 ) sin(3 )( ) sin sin

9

sin(5 ) sin(5 )...

25

na n

b f x nx dxn

n

a xf x x

x

π απ πα

ααπα

α

= ⋅ = ⋅

=⋅= ⋅ ⋅ + +

⋅ + +

∫


6

0

2

5 7

( )

0, 2 1, 0408 2, 4 1, 0960sin(2 0, 0419)

1 5 90 0, 2106sin(10 2)

1, 4 1 163, 7 0, 0215sin(14 2,

6 3 sin10 sin14( ) sin 2 ..

25 49Grundwellemit f Oberwellen mit f und f

f f AF PF z t

t

t

t

t ty t t

η

π

π π

π

π πππ

=

− ° −

− ° − −

− ° + −

= − +

��

8571)

8 FFT Fourierreihe

c0 = 0

12 1

4c j

+= − 12 1

1,20712

b+= = 1 2

8 21,1463b

π= =

c2 = 0

32 1

4c j

−= − 32 1

0,20712

b−= = 3 2

8 20,1274

9b

π= =

c4 = 0

9 hor.: x‘ = 0 bei ϕ=0 Punkt (1,0)

vert.: y‘ = 0 bei ϕ=30° Punkt 3 1

,2 2 2 2

Steigung im Ursprung: 1 Fläche: 1/4

10

Pol (θ = 0):

2

Rt

v

π= Erde wird dabei unendlich oft umrundet.

2 2sin

:Nord Ost Nord Ost

Nord Ost

v R v R v v v

NO v v

θ θ ϕ= − ⋅ = ⋅ ⋅ = +=

ɺ ɺ

0 0.2 0.4 0.6 0.8 11.5

1

0.5

0

0.5

1

1.5

y t( )

z t( )

t

Pendelreaktion(Grund- und 2 Oberwellen)

trapezförmige Anregung(genähert durch Grund-und 2 Oberwellen)

0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 21.5

1

0.5

0

0.5

1

1.5

ff x( )

ff xx( )

f x( )

x

π

xx

π,

x

π,

nach 2.Glied abgebrocheneFourierreihe

trigonometrische Interpolationmit FFT-Koeffizienten

Aufgabe 6 Aufgabe 8


11a

Skizze s. avi-file „Schmiegekreis und Evolute eines verbogenen Kreisringes“

32

sin

cos 3 2cos 4

2cos 2

sin cos4sin 4 1ˆ cos sin

3 2cos 4(3 2cos 4 ) 2cos 2 4sin 2

0ˆ(90 ) 0,2 (90 ) 1

0

v v

dT

d

N

ϕϕ ϕ

ϕϕ ϕ

ϕ ϕ ϕϕ ϕϕ ϕ ϕ

κ

− = = +

− − = ⋅ + ⋅ − + + −

° = ° = −

�

11b

2 2

2

2

1

cos2ˆ

sin2

ˆ

dx dyds dh dh s h

dh dh

dx khd dhT r

dyds khdh

dT k h k s

dhκ

= + ⋅ = ⋅ → =

= = =

= = ⋅ = ⋅

�

12

( )

22

32 2 2

2 2

2

4 2

32

(9 )

0

1 1

2 50 100

2( ) , (0) 14,15

1 4

( ) ( ) , (0) 14,19

tan , (0) 85,96

120

(9 ) 29,932

( 9 ) 2 63,25 0,76x g

am m

v az x v z g

a x

gz x g z x gz g

v

g

v a

gx g m

as

s gz g ds m t sv

ρ

α αρ

= =⋅

= = ⋅ =+

= + =

= = °

−= =

> = = = =∫

13c

(0 ,0 ) 2 (1 ,0 ) 33

(2 ,0 ) 00

(1 ,1 ) 22 2

(horizontale Ebene),

(Ebene x-Achse, x=2)

xz x y z x y

xz x y

x yz x y

⊥

∆+ ∆ + ∆ ≅ + ∆ + ∆ ≅ −

∆+ ∆ + ∆ ≅ −

∆ ∆+ ∆ + ∆ ≅ − −

14a

3 4 3 4 4 2 3

4 3 2 2 4 4 2 3

(4 2 )cos( )

(4 3 )cos( )

zs t st s t s t

sz

s t s t s t s tt

∂ = + +∂∂ = + +∂


14b

2 2

2

1( , )

( , )

( , ) :4

(immer zum Nullpunkt hin)x

z x yyz x y

rz x y r x y

r

∇ = −

∇ = = +−

��

��

15a

( ) ( )

1

1 1

ln , , ln , ln ln

. . ln ln 1 , ln 1 ln

z z z zx y z

z zzy yz

g y x g y x g zy x g y y x

z B g y x z y g y x z y

−

− −

= ⋅ = = ⋅ = ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ ⋅ + = ⋅ ⋅ + ⋅

15b

1 2 1

0 1 1 0

1 2 10 1 1 0

x

y

fy x y

fx y x

= → + ⋅ + + =

= → + ⋅ + + =

Lösung: (-3,-3) (-1,-1) (1,-1) (-1,1) Erster Punkt Minimum, Rest Sattel

16b

3

2 4 2 3 3 2 3

L Lx z x z= = =

+ +

17b (∆R/R)lin= -2,33O/OO

(∆R/R)quad= -2,3299O/OO

18a 0 18b 5π 18c πa3/3 18d 1/6

19 ( )3 10 ln(3 10) 5,9196

π + + =

20 π/2

21 2( ) 30 256r z z= + −

V2=17693mm3 V1=92956mm3 m=1,0050kg a=31,037mm V=128340mm3

22 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

12 2 2

0

2 2,

12 2 2 2

0

( )

4( ) 1

( ) ( )

8( ) 1 (2 1)

3

( ) ( )

1,5 0,940 0,918

5 0,993 0,990

b y a yb

zyl

b b y a y

b y a yb

x x zyl

b b y a y

V dy dz dx V f h

f h h u u duh

J dy dz y z dx J g h

g h h u u u duh

h f h g h

π

ρ

π

− −

− − − − −

− −

− − − − −

= = ⋅

= − ⋅ −

= + = ⋅

= − ⋅ − ⋅ +

∫ ∫ ∫

∫

∫ ∫ ∫

∫

23a s. FS 23b 5 2 4( ) , ,t tf t e e t−=


24a

( )2 8

1 2 15120

1

U

p p pp p τ+ +

+

24b 4 3 2

6 4 3 2

3 6 75 160( )

3 82 13 176 325 25

p p p pY p

p p p p p

+ + +=+ − + − +

24c

( ) ( )( )2

2 22 2

1

3 3

pp

e pp pe

ϕωπ

ωπ

− ⋅ ⋅ + − − −

25a sin cos

2

t t tω ω ωω

+

25b 2 22 3t t te e te− − −− + − 25c sinte t 26a ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( )

21 1 1 2 1 1 2

2 22 2 2 1 2 2 1 3 2

1 1 2 1 2

2 2 1 2 1

2 0

2 ( )

16 40 0

320 1800 800 100 ( )

x x x x x

x x x x x x a t

x x x x x

x x x x x t

δ ω

δ ω ω σ

σ

+ − + − =

+ − + − + = ⋅

+ − + − =

+ − + − = ⋅

ɺɺ ɺ ɺ

ɺɺ ɺ ɺ

ɺɺ ɺ ɺ

ɺɺ ɺ ɺ

26b 2

1

( ) tanh (0) 0!

45,6 164

v v

g v

gtv t v v

v

m kmv

s h

∞

∞∞

∞

+ =

= ⋅ =

= =

ɺ

27b 2

2

'' ( ) sin cos

(0) '(0) 0 ( ) (1 cos )

( ) '( ) 0 2

2Knick

x xa w w b w x A B b

a ax

w w w x ba

lw l w l

a

F EIl

π

π

+ = → = + +

= = → = −

= = → =

→ = ⋅

28a ( )2

2

( ) 2 5

3 1 2( )

5 2 5

3 sin 2(

3!

) 1 cos 25 2

t

Y p p p

pY p

p p p

ty t

p

e t−

⋅ + + = →

+= − + +

= − +


28b ( )22

2

2 8

128( ) 10 16 10

16

2,4 0,6 0,8( )

2 8 16

( ) 2,4 0,6 0,8cos 4(t in s, x in cm) t t

X p p p pp

pX p

p p p

x t e e t− −

⋅ + + = + ++

= − −+ + +

= − −

28c 7 73

4 4

t t t te e e ey z

− −+ −= =

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Stoffumfang 2.Semester - Lektionenhorschem/medium/ingmaterial/material2/... · Prof. Dr. Elmar Müller-Horsche 2 FH Augsburg Ingenieurmathematik 2 Wie geht’s weiter im 2. Semester?