Technische und Wirtschaftswissenschaftliche Universitt Budapest (BME) Lehrstuhl fr Strmungslehre

Dr. Tams LAJOS

Strmungslehre

Vorlesungsskript

zu den Vorlesungen der Deutschsprachigen Ingenieurausbildung

2005

Inhalt

Kapitel der Strmungslehre ..........................................................................................................5 1. Eigenschaften von Fluiden..........................................................................................................5

Vergleich von Festkrper und Fluiden .........................................................................................5 Viskositt ......................................................................................................................................6 Kompression von Wasserdampf ...................................................................................................6 Kavitation......................................................................................................................................7 Vergleich von Flssigkeiten und Gasen .......................................................................................7

2. Beschreibung des Strmungfeldes .............................................................................................8 Skalarfelder ...................................................................................................................................8 Vektorfelder ..................................................................................................................................8 Charakterisierung der Felder.........................................................................................................8 Potentialstrmungen ...................................................................................................................10

3. Kinematik und Kontinuitt ......................................................................................................10 Definitionen ................................................................................................................................10 Zeitverhalten der Strmungen.....................................................................................................11 Sichtbarmachung der Strmungen..............................................................................................11 Potentialwirbel ............................................................................................................................11 Die Bewegung kleiner Flssigkeitsteilchen................................................................................12 Kontinuittsgleichung.................................................................................................................14 Verwendung der Kontinuittsgleichung auf ein Stromfaden......................................................14 Bestimmung der Durchschnittsgeschwindigkeit in einem Rohr mit Kreisquerschnitt ...............15 Substantielle, lokale und konvektive Vernderung von Variablen.............................................15

4. Hydrostatik ................................................................................................................................16 Druckverteilung in einem ruhenden und in einem sich beschleunigenden Behlter ..................17

5. Euler und Bernoulli-Gleichung................................................................................................17 Beschleunigung der Flssigkeitsteilchen....................................................................................17 Euler - Gleichung........................................................................................................................18 Bernoulli Gleichung....................................................................................................................19 Statischer, dynamischer und Gesamtdruck .................................................................................19 Euler Gleichung in "natrlichem" Koordinatensystem...............................................................20

6. Anwendungen ............................................................................................................................21 Der rotierende Behlter...............................................................................................................21 Messung des Volumenstromes mit VenturiRohr......................................................................22 Instationrer Ausfluss aus einem Behlter..................................................................................23 Schwimmen von Krpern ...........................................................................................................24 Radialventilator, Eulersche Turbinengleichung..........................................................................25

7. Wirbelstze: Thomsonscher Satz und Helmholtzsche Stze.................................................27 Thomsonscher Satz (reibungsfreie Fluiden) ...............................................................................27 I. Helmholtzscher Satz ................................................................................................................28 II. Helmholtzscher Satz...............................................................................................................29

8. Oberflchenspannung...............................................................................................................29

9. Messungen..................................................................................................................................31 10. Der Impulssatz und seine Anwendung ....................................................................................33

Der Impulssatz ............................................................................................................................33 Drallsatz ......................................................................................................................................34 Anwendungen des Impulssatzes .................................................................................................34 Strahlen .......................................................................................................................................38

11. Strmung von reibungsbehaftete (viskose) Fluiden...............................................................42 Rheologie (Fliekunde) ..............................................................................................................42 Bewegungsgleichung ..................................................................................................................42 Navier-Stokes-Gleichung............................................................................................................43 Ausgebildete laminare Rohrstrmung (Hagen-Poiseuille Strmung) ........................................44 Laminare und turbulente Strmungen ........................................................................................45 hnlichkeit der Strmungen .......................................................................................................46

12. Grenzschichten ..........................................................................................................................48 Eigenschaften der Strmung im Grenzschicht............................................................................49 Grenzschichtablsung .................................................................................................................50

13. Hydraulik ...................................................................................................................................52 Erweiterung der Bernoulli Gleichung an reibungsbehafteten Strmungen ................................52 Moody-Diagramm.......................................................................................................................53 Kompressible Rohrstrmung ......................................................................................................54 Strmung in Kanlen mit freiem Wasserspiegel ........................................................................55 Reibungsverlust in Durchstrmteilen .........................................................................................55 Anwendungen .............................................................................................................................56

14. Aerodynamische Krfte und Momente ...................................................................................58 Die auf ein Zylinder wirkende aerodynamische Kraft................................................................58 Auftrieb und Widerstand von Tragflgeln..................................................................................59 Die auf ein Prisma (stumpfen Krper) wirkende Widerstandskraft ...........................................60

15. Gasdynamik ...............................................................................................................................62 Energiesatz..................................................................................................................................62 Statische, dynamische und Gesamttemperatur ...........................................................................62 Bernoulli-Gleichung fr kompressible Gase ..............................................................................62 Die Schallgeschwindigkeit..........................................................................................................63 Ausstrmung eines Gases aus einem Druckbehlter ..................................................................64

5

Kapitel der Strmungslehre

Hydrostatik Aerostatik Hydrodynamik Gasdynamik v Geschwindigkeit p Druck Dichte

ruhende Flssigkeit in Kraftfeld

ruhendes Gas in Kraftfeld (Atmosphere)

sich bewegende Flssigkeit

sich bewegendes Gas mit erheblicher Dichtevernderung

Bewegungszustand )t,r(vv = vx, vy, vz Druckverteilung )t,r(pp = p Dichteverteilung )t,r( = Temperaturverteilung )t,r(TT = T 6 Gren 6 Gleichungen Massenerhaltung (Kontinuittsgleichung) 1 (skalar) Krftegleichgewicht (Bewegungsgleichungen) 3 (vektoriell) Energiesatz 1 (skalar) Zustandsgleichung 1 (skalar)

1. Eigenschaften von Fluiden

Vergleich von Festkrper und Fluiden

AF= [Pa] Schubspannung Festkrper , Deformation ist proportional zur

Schubspannung Fluiden (newtonsche)

d/dt, Deformationsgeschwindigkeit ist proportional zur Schubspannung

nicht-newtonsche Fluiden Erfahrungen mit Fluiden

Haftbedingung Deformation verursacht keine Vernderung der inneren Struktur

6

kontinuierliche Deformation wenn Schubspannung wirkt keine Schubspannung bei ruhenden Fluiden

Viskositt

Geschwindigkeitsverteilung Verdrehung des Stbchens M in dt: d

.dydv

dtd x

=

.dtd

dydvx

xy == Newtonscher Viskosittssatz

[ ] [ ] ./22 sm

kgsm

mmsmkg

vy

x

==

= dynamische Viskositt

= [ ]s/m 2 kinematische Viskositt

Kompression von Wasserdampf

Wenn T Tkrit>> (O2 und N 2 Tkrit 154 [K] and 126 [K])

=pv RTp

=

ideale Gasgleichung

wo p[Pa], [kg/m3], T [K], M/RR u= , Ru = 8314.3 J/kg/K universelle Gaskonstante, M [kg/kmol] molare Masse, fr Luft: M=29 kg/kmol, so R=287 J/kg/K.

7

Kavitation

Sttigungsdruck (Dampfdruck) - Temperatur Wasser 15 0C, ps = 1700 Pa, 100 0C, ps = 1.013*105 Pa Standard-Druck der Atmosphre Kavitationserosion

Vergleich von Flssigkeiten und Gasen

Wechselwirkung von Moleklen (Anziehung und Abstoung)

d0 Molekldurchmesser

Flssigkeiten Gase

Abstand zwischen den Moleklen

klein d 0 gro 10d 0

Die Rolle der Wechselwirkung zwischen den Moleklen

wichtig freie Onberflche

kleine das Gas fllt das verfgbare Volumen aus

Einflu des Druckes auf das Volumen

klein 1000 bar verursacht 5% Abnahme von V

gro im Falle T=const V proportional zu 1/p

Grund der Viskositt Anziehungskraft zwischen Molekle

Impulsaustausch der Molekle

Beziehung zwischen Viskositt und Temperatur Viskositt und Druck

T nimmt zu, nimmt ab unabhngig

T nimmt zu, nimmt zu unabhngig

8

2. Beschreibung des Strmungfeldes

Skalarfelder

Dichte [ ]3V

v m/kgVmlim

3

=

, V Volumen Inkrement, >> (mittlere freie Weglnge)

Kontinuum =(r,t) =(x,y,z,t) Druck p =F/A [N/m2], [Pa]. p=p(r,t), p=p(x,y,z,t) Temperatur T=T(r,t)

Vektorfelder

Geschwindigkeitsfeld

( )t,rvv = Eulersche Beschreibung des Geschwindigkeitsfeldes Kraftfelder [ ] 2s/mkg/Ng == . Schwerekraftfeld: g kg g= gg = 9.81 N/kg, 1 kg 9.81 N Trgheitskraftfeld: sich beschleunigendes Koordinatensystem ( iaa = ) iag t = . Zentrifugalfeld: rotierendes Koordinatensystem 2c rg =

Charakterisierung der Felder

Charakterisierung der Skalarfelder:

rpk

zpj

ypi

xppgrad

=

+

+

= Gradientvektor

4 charakteristische Kennzeichen des Gradientvektores: Der gradp Vektor ist parallel mit der Richtung der schnellsten Vernderung von p, ist senkrecht auf p = Konst. Flche, zeigt in die Richtung der Zunahme von p. Seine Lnge ist proportional zu dem Grad der Vernderung von p.

9

Die Vernderung der Skalargre:

zzpy

ypx

xpspgradppp AB

+

+

==

Charakterisierung der Vektorfelder:

( )t,rvkvjvivv zyx =++= . Vektorfeld = 3 Skalarfeld

)t,z,y,x(vv ),t,z,y,x(vv ),t,z,y,x(vv zzyyxx === .

zz

vy

yv

xx

vrvgradv xxxxx

+

+

= .

++

++

++

zzvy

yvx

xv

zz

vy

yv

xxv

zzvy

yvx

xv

v

zzz

yyy

xxx

Divergenz: z

vy

vx

vvdiv zyx

+

+

= ,

[ ]s/mcosAdvAdvdq 3v ==

dVvdivAdvVA = Gauscher Integralsatz

Rotation

10

=

==

yv

xv

xv

zv

zv

yv

vvvzyx

kji

vvrot

xy

zx

yz

zyx

= 2vrot

AdvrotsdvAG == Stokesscher Integralsatz

Potentialstrmungen

= gradv Voraussetzung: 0sdvG

== , oder 0vrot = Beispiel: fr das Schwerekraftfeld g: 0sdg

G

= die Arbeit des Kraftfeldes U [m2/s2] Potenzial des Vektorfeldes

gradUg =

Schwerekraftfeld: g

g kg g= .konstzgU gg +=

Trgheitskraftfeld: sich beschleunigendes Koordinatensystem iag t = .konstxaU t +=

Zentrifugalfeld: rotierendes Koordinatensystem 2c

rg = .kost2

rU22

c +

=

3. Kinematik und Kontinuitt

Definitionen

Streichlinie verbindet die Flssigkeitsteilchen die einen Punkt des Raumes nacheinander passieren. Zb. Photo: (Momentaufnahme) Rauchfaden aus ein Schornstein, ldampffaden um ein Fahrzeugmodell im Windkanal.

Bahnlinie verbindet die aufeinanderfolgende Positionen eines Flssigkeitsteilchens (Zeitaufname). Stromlinie: die Kurve, die durch die Geschwindigkeitsvektoren tangiert wird. (v x ds = 0.)

Stromflche, Stromrgre: keine Strmung durch die Flche.

11

Zeitverhalten der Strmungen

Instationre Strmungen: v = v(r, t) Stationre Strmungen: v = v(r) In vielen Fllen kann die Zeitabhngigkeit der Strmung durch Koordinatentransformation aufgehoben werden. In stationren Strmungen fallen die Strom-, Bahn- und Streichlinien zusammen, in instationren Strmungen im allgemeinen nicht.

Sichtbarmachung der Strmungen

quantitative und/oder qualitative Informationen Durchsichtige Fluiden, reflektierende Teilchen, die sich zusammen mit dem Fluid bewegen: Teilchen von gleicher Dichte oder sehr kleine Teilchen (groer aerodynamischer Widerstand).

ldampf, Rauch, Wasserstoff-Blschen, Farbe, Kunststoffkugeln in Wasser, Wollfaden in Luft, PIV (Particle Image Velocimetry), LDA Laser Doppler Anemometry)

Potentialwirbel

Ebene (Zweidimensionale, 2D) Strmungen: 0.z

vz

v,0v yxz =

=

=

Aufgrund Kontinuittsberlegung: v = v(r) v(r) = ?

Bestimmung von rotv mit Anwendung des Stokesschen Integralsatzes: AdvrotsdvAG ==

12

0

1

4

4

30

3

2

2

1==

+++= sdvsdvsdvsdvsdvG Da vds im 2. und 4. Integral, und v und ds bilden 00 oder 1800 im 1. und 3. Integral

( ) ( ) ( )rvdrdrrvddrrsdvG

++=

Da ( ) ( ) drdrdvrvdrrv +=+

nach Substitution

( )0

++= drdrdvddrrvddrdrdrdvdrsdvG Bei ebenen Strmungen ist nur (rotv)z 0.

( ) =dA

z drdrvrotAdvrot

( )rv

drdvvrot z += .

Beispiel: v = r (rot v)z =2 Im Falle rotv = 0

+== constlnrlnvln

rdr

vdv

v Kr

= . Geschwindigkeitsverteilung in Potentialwirbel.

Die Bewegung kleiner Flssigkeitsteilchen

Die Bewegung von Teilchen kann als Superposition von Parallelverschiebung, Deformation und Rotation hergestellt werden.

In Potentialstrmungen gibt es keine Rotation.

13

Beispiele fr die Sichtbarmachung der Strmungen

0

0,8

0,9

1,01,1

1,2

1,41,6

14

Kontinuittsgleichung

[ ]s/mcosAdvAdvdq 3m == Integralform der Kontinuittsgleichung:

( ) 0dVtvAdv

VA

=

+ Differentialform: ( ) 0vdiv

t=+

, wenn die Strmung stationr ist: v = v(r) ( ) 0vdiv = , wenn die Fluiden inkompressibel sind: = const. 0vdiv =

Verwendung der Kontinuittsgleichung auf ein Stromfaden

Stationre Strmung, keine Strmung durch den Mantel des Stromrohres.

Integralform der Kontinuittsgleichung fr stationre Strmung: 0Adv

A

= . "A" enthlt den Mantel Ap (v dA), 1A und 2A , die Ein- und Ausflussquerschnitte. 0AdvAdv

21 AA

=+ . Da = cosAdvAdv , 0cosAdvcosAdv

21 AA

=+ Annahmen: ber 1A und 2A v A und ber A1 = 1 =const, ber 2A = 2 =const'.

Das Ergebnis ist: Av = const, wo v die Durchschnittsgeschwindigkeit ist. Bei sich vernderndem

Querschnitt einer Rohrleitung: 222111 AvAv = 222

211

12 DD

vv

=

15

Bestimmung der Durchschnittsgeschwindigkeit in einem Rohr mit Kreisquerschnitt

v=? Durchschnittsgeschwindigkeit

In dem Rohrquerschnitt von Durchmesser D lt sich die Geschwindigkeitsverteilung mit einem Paraboloid beschrieben. Der Unterscheid zwischen vmax und v(r) hngt von n. Exponent von r ab,

so ( ) ( )[ ]nmax R/r1vrv = . Durchschnittsgeschwindigkeit:

[ ]s/mD

q4v 2v

= wo [ ]s/mq 3v der Volumenstrom ist.

Der Volumenstrom durch den Elementarquerschnitt eines Kreisringes (Radius r, Dicke dr, Querschnitt 2rdr) ist

dqv = 2r v(r) dr ( )[ ] drR/r1vr2q R0

nmaxv = .

Die Integration ergibt: 2n

nvRq max2

v += , so ist die Durchschnittsgeschwindigkeit:

maxv2nnv+

= .

Im Fall eines Paraboloids von n = 2 ist die Durchschnittsgeschwindigkeit die Hlfte der Maximalgeschwindigkeit.

Substantielle, lokale und konvektive Vernderung von Variablen

( ) 0vdivt

=+ ( ) 0vdivgradv

t=++

16

Die Geschwindigkeit in Punkt P ist v, die rtliche Vernderung der Dichte kann durch grad beschrieben werden. Instationre Strmung: 0t/ . Gesucht ist die Dichtevernderung d in der Zeit dt.

Zwei Ursachen der Vernderung von :

a) Die Zeitabhngigkeit der Dichte ( 0t/ ) die Vernderung der Dichte in der Zeit dt in Punkt P: dt

td l

=

b) Das Flssigkeitsteilchen hinterlsst in dt Zeit einen Elementarweg dtvsd = und erreicht Punkt P', wo die Dichte sich von der Dichte in Punkt P mit dtvgraddsgradd k == unterscheidet.

y ld ist die lokale Vernderung der Dichte (nur bei instationren Strmungen) y kd ist die konvektive Vernderung der Dichte, die durch die Bewegung der

Flssigkeitsteilchen und die rtliche Vnderung der Dichte verursacht wird.

Die substantielle Vernderung der Dichte in der Zeit dt ist: dtgradvdtt

ddd kl +=+=

Die Vernderung pro Zeiteinheit: .gradvtdt

d

+= Die Kontinuittsgleichung kann umgeformt

werden: ( ) 0vdivt

=+ ( ) 0vdivgradv

t=++

0vdiv

dtd

=+

4. Hydrostatik

Ruhende Fluiden: Die Kraft die auf die Masse wirkt (z.B. Gewicht), wird von den Krften die auf der Oberflche wirken (Druckkrfte und die Krfte infolge der Schubspannung) ausgeglichen.

0dxxp)x(pdzdy)x(pdzdygdzdydx x =

++

xpg x

= gpgrad = Grundgleichung der Hydrostatik.

Annahme: Ugradg = (Potentialkraftfeld). Da Ugradpgrad = p = const Ebenen fallen mit der U = const (quipotentialflche) zusammen. Die Oberflche (Wasserspiegel) einer Flssigkeit fllt mit der U = const quipotentialflche zusammen die Flssigkeits-Oberflche ist senkrecht auf den Kraftfeld-Vektor. Annahme: Ugradg = (Potentialkraftfeld), = const (inkompressible Fluiden)

Ugradpgradpgrad1 =

=

0Upgrad =

+

constUp =+

22

21

1

1 UpUp +

=+

: unvollstndige Bernoulli-Gleichung.

17

Druckverteilung in einem ruhenden und in einem sich beschleunigenden Behlter

Aus der Grundgleichung der Hydrostatik: kgg

g= , wo kgN81.9g = . kgk

zpj

ypi

xp =

+

+

gdz/dp = , = const constzgp += . In 0z = , 0pp = . 0p.Const = zgpp 0 += . In z = H (Punkt 2) Hgpp 02 += Bernoulli-Gleichung 2

2

21

1

1 UpUp +

=+

.

Punkt 1 auf der Oberflche (z = 0), Punkt 2 am Behlterboden (z = H). Wenn die Koordinate z nach unten zeigt: gzU = , Hz?,p,0z,pp 22101 ==== .

Hgpp 02 = . Wenn der Behlter sich nach oben beschleunigt, ist das Wasser nur in dem Koordinatensystem in Ruhe, das sich nach oben beschleunigt. In diesem Fall muss eine zustzliche (Trgheits-) Kraftfeld bercksichtigt werden: kag i = :

zaUi = ( )zagUUU ig +=+= ( )Hagpp 02 += .

5. Euler und Bernoulli-Gleichung

Beschleunigung der Flssigkeitsteilchen

Die Vernderung von vx pro Zeiteinheit, d.h. die Beschleunigung der Flssigkeitsteilchen in x Richtung ist :

.gradvvt

vdt

dvx

xx +

=

Das erste Glied auf der rechten Seite der Gleichung ist die lokale Beschleunigung, das zweite Glied die konvektive Beschleunigung.

dvdt

vt

vvx

vvy

vvz

x xx

xy

xz

x= + + +

dvdt

vt v

vx v

vy v

vz

y yx

yy

yz

y= + + +

dvdt

vt

vvx

vvy

vvz

z zx

zy

zz

z= + + +

Bestimmung des Differentiales von v(r,t): dttr

rvdt

tvvd

+= .

18

dv kann auf Zeiteinheit bezogen werden, dh. mit dt dividieren:

tr

rv

tv

dtvd

+

= , wo vtr = .

Wenn die Strmung instationr ist, ist die lokale Beschleunigung ungleich 0. Die konvektive Beschleunigung existiert, wenn die Gre und/oder die Richtung der Geschwindigkeit sich in die Richtung der Bewegung des Fssigkeitsteilchens verndert. Der Ausdruck fr die Beschleunigung kann transformiert werden:

vrotv2vgrad

tv

dtvd 2

+

= .

Euler - Gleichung

Reibungsfreie Strmung: = 0 Die Resultierende der Krfte = Masse Beschleunigung Reibungsfreie Strmung: die Krfte werden durch den Druck und das Kraftfeld verursacht (keine Schubspannung). Die Beschleunigung eines Wrfels von Kantenlngen dx, dy, dz in x Richtung und die Krfte die auf den Wrfel in x Richtung wirken knnen in einer Gleichung in Zusammenhang gebracht werden:

dzdy)dxxpp(dzdypgdzdydx

dxdvdzdydx xx

++=

xp1g

dxdv

xx

=

pgrad1gvrotvvgradtv

dtvd

=+

= : Euler-Gleichung

Wenn = (p), =p

p0)p(

dpgradgradp)p(

1

Wenn = const die unbekannte Variablen sind: vx, vy, vx, p

vt v

vx v

vy v

vz g

px

vt v

vx v

vy v

vz g

py

vt v

vx v

vy v

vz g

pz

xx

xy

xz

xx

yx

yy

yz

yy

zx

zy

zz

zz

+ + + =

+ + + =

+ + + =

1

1

1

0z

vy

vx

v zyx=

+

+

Vier unbekannte Variablen, vier Gleichungen.

19

Bernoulli Gleichung

Reibungsfreie Strmung: = 0

V

2

1IV

2

1III

2

1II

2

1

2

I

2

1

sdgradp1sdgsdvrotvsd2vgradsd

tv =+

a) Da 122

1

ffsdfgrad = Integral II = 2 vv21

22

b) Wenn g = - gradU Integral IV = (U2 U1)

c) Wenn die Strmung stationr ist: ( 0tv

=

) Integral I =0

d) Intergral III = 0, wenn a. v = 0 ruhende Fluiden b. rotv = 0 Potentialstrmung c. ds fllt in die Ebene bestimmt durch v und rotv Vektor d. ds || v (Integrieren entlang Stromlinie) e. ds || rotv (Integrieren entlang Wirbellinie)

e) Wenn const= , Integral V = p p2 1

, wenn )p(= , Integral V = ( ) 2

1

p

p pdp

Im Fall von reibungsfreier stationrer Strmung von inkompressiblen Fluiden ( .const= ), wenn g = - gradU und wenn das Integrieren entlang Stromlinie erfolgt:

22

22

11

21 Up

2vUp

2v

+

+=+

+

Die Bernoullische Summe = const entlang der Stromlinie.

Statischer, dynamischer und Gesamtdruck

t

22

22

11

21 Up

2vUp

2v

+

+=+

+

Im Staupunkt v = 0, deshalb t2 pv

2p =+

2d v2

p

= : dynamischer Druck

p : statischer Druck pt Gesamtdruck, Staudruck

20

Im Fall von reibungsfreier, stationrer Strmung von inkompressiblen Fluiden und bei Vernachlssigung der Kraftfelder ist der Gesamtdruck entlang Stromlinien konstant.

Euler Gleichung in "natrlichem" Koordinatensystem

Stationre Strmung reibungsfreier (=0) Fluide.

e (Bahnrichtung) Koordinate ist Tangente der Stromlinie (in stationrer Strmung auch Bahnlinie), n (Hauptnormalenrichtung) steht senkrecht auf die Stromlinie und passiert den Krmmungsmittelpunkt der Stromlinie, b (Binormalenrichtung) ist senkrecht auf e und n.

Bahnrichtung e

Die Kraft die auf ein infinitesimales Flssigkeitsteilchen mit Kantenlngen db, dn und de (Masse: dedndbdm = ) in die e Richtung wirkt:

ee gdedndbdndbdeeppdndbpdF +

+= ,

wo ge die e Komponente des Kraftfeldes ist.

Da die Strmung stationr ist, existiert nur konvektive Beschleunigung, und da

0vv bn == , evva conv

= .

egdedndbdndbdeep

evvdedndb +

=

.

egep1

evv +

=

Hauptnormalenrichtung n

Rvdm

2

Zentripetalkraft ist ntig, wenn sich die Masse dm mit Geschwindigkeit v entlang einer

Stromlinie mit dem Krmmungsradius R bewegt:

n

2

gdndbdededbdnnppdedbp

Rvdndbde +

+=

21

n

2

gnp1

Rv

+

= .

Binormalenrichtung b bgbp

+=

10 .

Falls in der Gleichung der Hauptnormalenrichtung gn unbercksichtigt ist:

np

Rv

12

=

Folgerungen: a) wenn die Stromlinien parallele Geraden sind (R=), verndert sich der Druck senkrecht auf

die Stromlinien nicht, b) wenn die Stromlinien gekrmmt sind, nimmt der Druck senkrecht auf die Stromlinien und

auswrts vom Krmmungsmittelpunkt zu.

Pkw Regentropfen

6. Anwendungen

Der rotierende Behlter

In absolutem Koordinatensystem rotiert das Wasser als Starrkrper mit Winkelgeschwindigkeit [ ]s/1 .

pA p0 =?

22

3 verschiedene Lsungsmglichkeiten: a) im mitrotierenden Koordinatensystem: Hydrostatik b) im absoluten Koordinatensystem: Bernoulli-Gleichung; c) im absoluten Koordinatensystem: Euler Gleichung in natrlichem Koordinatensystem

ad a) = 0A pp ( ) =

= 0

2RUU

22

0A 2R 22

ad b) VIVIIIIII

sdgradp1sdgsdvrotvsd2

vgradsdtv A

0

A

0

A

0

A

0

2A

0 =+ .

stationre Strmung: Integral I =0, Integral II = ( ) 2/vv 202A , Integral III 0 da vrot 0 und Punkte 0 und A liegen nicht auf der gleichen Stromlinie. Integral IV =0, da g sd Integral V =

( ) /pp 0A , da = const.

2vv

sdvrotvpp20

2A

A

00A

= .

rv = und ( ) r/vdr/dvvrot z += ( ) = 2vrot z . v , vrot und sd Vektoren stehen senkrecht aufeinander, und drsd = , weiterhin 0vundRv 0A == :

= 0A pp ( ) == 2RR2Rdr2r22

2222R

0 2R 22 .

ad c) n2

gnp1

Rv

=

R = r, dn = dr (Stromlinien sind konzentrische Kreise), ng = 0

== R0

2p

p

2R

0

drrdrr

vdpA

02

Rpp22

0A=

Messung des Volumenstromes mit VenturiRohr

h [m]= f(qv) = ? und Hg: Dichte des Wassers und Quecksilbers

23

22

22

11

21

22UpvUpv ++=++

U-Rohr Manometer:

gh)Hm(gp)hH(gp Hg +++=++ 21 gmgh)(pp Hg += 21 .

ghgmpp1vv

2v

2v

2v Hg21

2

21

22

21

21

22

=

=

=

Kontinuittsgleichung: v1A1 = v2A2 v2 /v1 =(d1 /d2)2

1dd

gh21v 4

2

1

Hg

1

=

Volumenstrom: hKv4

dq 1

21

v =

=

Instationrer Ausfluss aus einem Behlter

.

VIVIIIIII

sdgradp1sdgsdvrotvsd2

vgradsdtv 2

1

2

1

2

1

2

1

22

1 =+

0Up2

vsdtv

2

1

2

1

2

=

+

++

In Punkt 1 01 pp = , z H= , v = 0. In Punkt 2 02 pp = . z = 0, die Geschwindigkeit ist ( )tvv 2 = .

+=2

1

1

1

2

1 1

'

sdtvsd

tvsd

tv .

wo t/v ist der Beschleunigungsvektor, | t/v | ist mit a bezeichnet, t/v || sd , die Vektoren t/v und sd zeigen in die gleiche Richtung.

24

2211 AvAv = 2211 AaAa = Ladsasd

tv2

1

2

'1

==

Hgpp

2vL

dtdv 002 +

=

++

Im Falle stationrer Strmung )0dtdv( = Hg

2v 2st

=

L2dt

vvdv

22st

=

. =

tst

st

st dtL

v

vv

vvd

stvv

002 2

1

.

L2vt

vvarth stst

= stvL2

=

=

tthvv

st

wo gH2vst = .

Schwimmen von Krpern

Volumen des Krpers: V, die Druckverteilung in der Flssigkeit ist durch pgrad charakterisiert. Druckkraft: V p gradF , VgF = . Der hydrostatische Auftrieb im Schwerekraftfeld = Gewicht der verdrngten Flssigkeit. Der hydrostatische Auftriebsvektor passiert den Mittelpunkt des verdrngten Volumens. Ein Krper schwimmt, wenn seine Durchschnittsdichte ist gleich oder kleiner als die Dichte der Flssigkeit. Stabilitt des schwimmenden Krpers: Unterseeboote und Schiffe. Wenn der Schwerpunkt S unter dem Mittelpunkt des verdrngten Volumens K liegt, entsteht ein Drehmoment M, das den Neigungswinkel reduziert. Das U-Boot ist in stabilem Zustand.

25

Falls ein Drehmoment M entsteht, das den Neigungswinkel reduziert, Schiffe knnen bis einem gewissen Neigungswinkel stabil bleiben auch dann, wenn sich der Schwerpunkt S ber dem Mittelpunkt des verdrngten Volumens K befindet.

Bei der Neigung des Schiffes verndern sich die Gre des Gewichtes und Auftriebes nicht, aber die Angriffslinie des Auftriebes verschiebt sich. (Als Folge der Neigung taucht ein keilfrmiger Teil des Schiffskrpers (A) empor, und Volumen B versinkt. So entsteht ein Krftepaar, das den Auftriebsvektor verschiebt.) Die neue Angriffslinie passiert die Symmetrieebene des Schiffes in Punkt M (Metazentrum). Wenn der Schwerpunkt S unter dem Metazentrum M liegt, entsteht ein Drehmoment M, das den Neigungswinkel reduziert. So ist das Schiff in stabilem Zustand.

Radialventilator, Eulersche Turbinengleichung

sz: Saugstutzen, k: Saugtrichter, j: Laufrad, l: Schaufel, cs: Spiralgehuse, ny: Druckstutzen, t: Achse, m: Elektromotor, M: Drehmoment, : Winkelgeschwindigkeit.

26

Die Aufgabe der Ventilatoren ist den Gesamtdruck des Gases zu erhhen:

s

2

d

2sgdgg v2

pv2

pppp

+

+==

nutzbare Leistung: gv pqP = , wo qv [kg/m3] der Volumenstrom ist. Bernoulli Gleichung im relativen Koordinatensystem (stationre Strmung inkompressibler und reibungsfreier Fluide) zwischen den Punkten 1 und 2 die auf der gleichen Stromlinie liegen:

VIVIIIIII

sdgradp1sdgsdwrotw2

wwsdtw 2

1

2

1

2

1

21

22

2

1 =+ .

++=+= w2)UU(gradggg cgCorc , ,0Ug 2rU

22

c

=

+

=

2

1

221

222

2

1

sdw22

r2

rsdg ,

Da uwv += , if 0vrot = urotwrot = , und = ru rot u = 2 .

( ) sdw2sd2wsdwrotw2

1

2

1

2

1

== Schlielich:

2rp

2w

2rp

2w 2222

22

2211

21

+=

+

vu2uvwuvw 222 +==

.ppruvuvruvuv 0222222

1222

111

21

21

222

22

22

22

=

++++

= 11 ru

( ).uvuvvpvpppp ggg 112221122212 22 =

+

+==

27

2222 uvuv u= ,

)uvuv(p 1u12u2idg = Wenn 01 =uv 22 uvp uidg = .

7. Wirbelstze: Thomsonscher Satz und Helmholtzsche Stze

Thomsonscher Satz (reibungsfreie Fluiden)

Zirkulation: sdvG= . Zeitliche Vernderung der Zirkulation entlang einer geschlossenen flssigen

Linie ?sdvdtd

dtd

G

==

Falls gradUg = und =const, oder =(p), mit Euler Gleichung:

0sdvdtd

G

=

In der Strmung von reibungsfreien und inkompressiblen Fluiden in potentialem Kraftfeld entsteht keine Rotation. Anwendungen: Anfahr- und Stoppwirbel (Wirbelbildung), Erstellung gleichmigeren Geschwindigkeitsverteilungen, Strmung in Wasserbehlter.

28

AdvrotsdvAG ==

1

2

2

1

1

2

DD

AA

)vrot()vrot(

=

=.

yv

xv

)vrot( xyz

= , vy/x

29

II. Helmholtzscher Satz

Flssiges Wirbelrohr (Wirbelfaden)

021

=+= sdvsdvsdvSSS

sdvsdvSS =

21

,

AdvrotAdvrotAA =

21

.

AdvrotA ist konstant in allen Querschnitten entlang des Wirbelrohres und verndert sich nicht in der Zeit.

Konsequenz: Das Wirbelrohr ist entweder eine geschlossene Linie (ein Ring) oder es endet an der Grenze des Strmungsfeldes. Andernfalls A 0, rotv .

Induzierter Wirbel am Flgelende. Fliegen der Wildgnse in V-Formation. Wirbelfaden nach Erffnung des Ablaufes. Tornado.

8. Oberflchenspannung

CL2F = , wo C[N/m] Kapillarkonstante. For Wasser gegen Luft ]m/N[072.0C = .

30

12212121 ddsCddsCdsds)pp( += .

+==21

21 R1

R1Cppp ,

Fr einen kugelfrmigen Tropfen RRR 21 == R/C2p = , fr kugelfrmige Blase: R/C4p =

Wenn 131223 CCC +> , die Flssigkeit 1 breitet sich auf der Oberflche von Flssigkeit 2 aus. (z.B. l ber Wasser).

dscosCdsCdsC 131223 += . 131223 C/)CC(cos = . 90CC 1223 , > 90 (Quecksilber) Wenn 131223 CCC +> , die Flssigkeit breitet sich auf der Oberflche Des Festkrpers aus. (z.B. Petroleum "kriecht" aus der geffneten Flasche).

31

Kapillarerhebung

r/cosC2R/C2pp 1313A0 == , mgpp A0 = = cos

rgC2m 13

Bei Quecksilber erfolgt Kapillarsenkung.

9. Messungen

Manometer (fr Messung des Druckunterschiedes), Mikromanometer U-Rohr Manometer p1 - p2 =(m - t) g h, "umgekehrtes" U-Rohr Manometer p1 - p2 =(w - a) g h, Schrgrohrmanometer L=H/sin, relativer Fehler: e = s/L = (s/H)sin, Mikromanometer mit gekrmmten Rohr (e = const.):

.gh)(pp tm21 =

32

Betz-Mikromanometer

Druckbohrungen ( b, c falsch)

33

10. Der Impulssatz und seine Anwendung

Der Impulssatz

AdpdVgdVvdtd

)t(A)t(V)t(V = = 0

( ) ( )

= +

+)t(V

t)tt(V

tt0t)t(V

dVvdVvt

1limdVvdtd

( ) ( ) =+ AVAV AdpdVgAdvvdVvt wo V der Kontrollbereich ist. Festkrper im Kontrollbereich

( ) ( ) ( ) =++bkbk AAVAAV

AdpAdpdVgAdvvAdvvdVvt

( ) ( ) RAdpdVgAdvvdVvt AVAV

=+

]N[R ist die Kraft die auf den im Kontrollbereich befindlichen Krper wirkt.

Bei stationrer Strmung:

( ) RAdpdVgAdvvAVA

=

34

( ) ( ) SRAdpdVgAdvvdVvt AVAV

+=+ wo S die Reibungskraft ist.

Drallsatz

( ) ( ) sAVAV

MMAdprdVgrAdvvrdVvrt

+=+

Anwendungen des Impulssatzes

Ruhende und sich bewegende ebene Platte

u

Schritte der Anwendung des Impulssatzes 1. Bestimmung des Kontrollbereiches: Festkrper im Kontrollbereich, die Flche des

Kontrollbereiches sind entweder oder || zu den Geschwindigkeits-vektoren. 2. Vereinfachung der Gleichung

( ) ( )VIV IV IIIIII

SRAdpdVgAdvvdVvt AVAV

+=+

( ) RAdvvA

= 3. Bestimmung der Integrale

( ) ( )111

21

A1 v/vAvAdvvI

1

== ,

2

22

222 v

vdAvId =

AvI 2= . 4. Krftegleichgewicht in Koordinatenrichtungen

RRAvazazRI x121x1 ===

1

21 AvR =

35

Wenn die Platte sich bewegt: u > 0 anstatt 1v uvw 11 = ( ) 121 AuvR = . Borda-Mndung, Kontraktion des Flssigkeitstrahles

p-p0

A/AS= Hg2v = Kontraktionsziffer

P'PI = ( ) ApAHgpAv 00s2 += AHgAHg2 s = 5.0A/A s ==

Pltzliche Querschnittsnderung (Borda-Carnot-bergang) Druckvernderung in einem pltzlichen Borda-Carnot bergang.

2121 PPII =+ , 21222

221

21 ApApAvAv +=+ .

2211 AvAv = , ( ) ( )212BC12 vvvpp = , ( ) ( )2221id12 vv2pp

=

( ) ( ) ( ) ( )2122221BC12id12BC vvvvv2pppp'p

==

Carnotsche Stoverlust

( )221BC vv2'p

=

Die auf Borda-Carnot Erweiterung wirkende Kraft

36

( )( ) ( )( )122121210 AAvvvAAppR ==

Die Pelton-Turbine

uu21 RII =+ , == cosAvI,AvI 222u21211 , 2211 AvAv =

( )u2111u vvAvR = , wo = cosvv 2u2

= sinwuv 2u2 , 12 ww = , uvw 11 = , ( )( )+= sin1uvAvR 111u

( )( )+= sin1uvAvR 111u , = 90 ( )[ ] 0uuvAv2uP

111 == , 2/vu 1=

2/vAvP 2111max =

Die auf ein Element des unendlichen Flgelgitters wirkende Kraft,

Satz von Kutta und Joukovsky

yy2y1x21x2x1 RII,RPPII =+=+

1x1 vtvI = , 2x2 vtvI = , tpPtpP 2211 == ,

( ) ( )2211x21x cosvcosvtvtppR += ( )y2y1xy vvtvR = .

37

v vx x1 2= ( ) ( )2y12y2212221 vv2vv2pp == ( ) ( )y1y2y1y2x vvtvv2R +=

( )y2y1 vvt = R v v R vx y y y x= + = 1 22 , , 2

y2y12x

2y

2x 2

vvvRRR

+

+=+= [ ]m/NvR =

t , 0vv y2y1 ( ) .llvvt y2y1 == vvv 12

[ ]m/NvR =

Satz von Kutta und Joukovsky

Der Propeller

v1 = u, Geschwindigkeit v1 v2 ( ) ( )

VIVIVIIIIII

SRAdpdVgAdvvdVvt AVAV

+=+

2

221

21xx21 AvAvRRII ==+

Mit Verwendung der Kontinuitt: )vv(vAR 21x = Bernoulli-Gleichung 1 - 1 und 2- 2

+=

+ '1

2'11

21 p

2vp

2v

+=

+ 222'2

2'2 p

2vp

2v

.

Da p1= p2 und v1= v2 =v ( )2221'2'1 vv2pp

= .

)vv(vAA)vv(2

R 2122

21x =

= ,

2vv

v 21+

= A)vv(2

R 2221x

=

Pu= v1R ist die Nutzleistung, Pi= v R ist die eingefhrte Leistung

12

11p v/v1

2vv

vRRv

+=== : der Propulsionswirkungsgrad.

38

Windmotor, Windgenerator

)vv(2

vvAP 2221

21

+= maximale Nutzeistung P/v2 =0

12 v31v = 31Av27

16P =

Strahlen

rh z, r1/2 = k1z, r1/2/r0 = k1z/r0

( ) 0AdvvA

= drr2vrv 2A

20

20 = = 2/1h

r/r

0 2/12/12max

22

2/12max

20

20 r

rdrr

vv2rvrv

0

2/10

max

rr

constv

v=

0

0

max

rz

'constv

v=

== 2/1hhr/r

0 2/12/1max

22/1max

r

0v r

rdr

rvv2rvdrvr2q 2

0

22/1

0

max

0v

v

rr

vv

constqq

= 00v

v

rz'const

qq

=

39

Luftschleier

np1

Rv 2

=

=h

h

k

b

y

y

2p

p

dyRvpd

==h

h

y

y

2bk dyvR

1ppp

=h

h

y

y

20

20 dyvsv

Rsv

p 020 =

psv

R

020= ,

40

b=2 Rt sin.

= sinpsv

2b 020 ,

20

0 v2

pD,sbB

== , = sin

DKB

teorethisch: K=4, experimentell: K=1.71+0.0264 B (25045 and 10B40)

Allievische Theorie

Rohrdurchmesser d d+d Verkrzung der Wassersule: durch Zusammendrckung des Wassers: s1 und durch Dehnung der Rohrwand: s2 s = s1+s2

sE

psv

1

= , Ev = 2.1109Pa, 2dsd

4ds

2

2

=

aa E2dp

Edd;

2dp

=

=

=

Est = 21011Pa sE

dps

a2

=

rav

21

Ep

Ed

E1p

ss

ss

ss

=

+=+=

Impulssatz:

),AA)(pp(A)pp(pAa)AA(a)()va(A)va(

++++==+++++

Kontinuitt: )AA(a)(A)va( ++=+

)va(vp += v

41

42

11. Strmung von reibungsbehaftete (viskose) Fluiden

Rheologie (Fliekunde)

Der Zusammenhang zwischen Schubspannung und Deformationsgeschwindigkeit

Kurve 1: Newtonsche Flssigkeiten: .dtd

dydv x

yx==

Nicht- Newtonsche Flssigkeiten:

Kurve 2: ,dtd

h+=

plastische Flssigkeit

Kurven 3 and 4: ( )ndt/dk = .

Bewegungsgleichung

Fgdtvd

+= , Bei reibungsfreien Flssigkeiten: gradp1F

=

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]{( ) ( )[ ] }dydxzdzz

dzdxydyydzdyxdxxdzdydx

1F

zxzx

yxyxxxx

++

+++

=

Da ( ) ( ) dxx

xdxx xxx

+=+

+

+

=

zyx1F zxyxxx

43

=

zyzxz

zyyxy

zxyxx

= 1F k

zj

yi

x

++= += 1g

dtvd

+++=+++zyx

gz

vv

yv

vx

vv

tv zxyxx

xx

zx

yx

xx

1

Zusammenhang zwischen Spannungen und Deformationen

dtyvdt

xv

ddd xy

+

=+= . yxxyxy yv

xv

=

+

= . ( )zyx31p ++= .

xv

2dtd x

x1 ==

vdiv32

xv

2p xx += .

.x

vz

vzy

vx

vy

vdiv32

xv

2x

1xp1g

zv

vy

vv

xv

vt

v

zxxy

xx

xz

xy

xx

x

+

+

+

+

+

+

=

+

+

+

Navier-Stokes-Gleichung

.const= and .const=

44

+++=+++

+++=+++

+++=+++

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

1

zv

yv

xv

zpg

zv

vy

vv

xv

vt

v

zv

yv

xv

ypg

zv

vy

vv

xv

vt

v

zv

yv

xv

xpg

zv

vy

vv

xv

vt

v

zzzz

zz

zy

zx

z

yyyy

yz

yy

yx

y

xxxx

xz

xy

xx

x

0zv

yv

xv zyx

=

+

+

vgradp1gvrotv2

vgradtv

dtvd 2 +

=+

= Navier-Stokes-Gleichung

vrotrotvdivgradv = .

Da 0=vdiv vrotrotpgrad1g

dtvd

= wenn rotrotv = 0, (z.B. weil rotv = 0 ist) spielt die

Viskositt keine Rolle.

Ausgebildete laminare Rohrstrmung (Hagen-Poiseuille Strmung)

Rotationssymmetrische, ausgebildete Rohrstrmung: 0vr = , ( ) 0z

=

(2D Strmung)

( ) 0dzr2dpprpr 22 =++ . dprdz2 = dr

dvdzdpr

21 z==

dp/dz= const.

.llrdzdp

41vdrr

dzdp

21dv 2zz +

=

=

Wenn r=R 0vz = [ ]22z rRdzdp

41v

= 0vz > if 0dzdp

<

Reibungsverlust ber l: [ ]Pa'p l

'pdzdp

= [ ]22z rRl4'pv

= rl2'p

=

lR'pv maxz

4

2

= 2maxzvv = 2

81 R

l'pv

=

45

2Rlv8

'p

= . Wandschubspannung: l2R'p

0

= 0lR2 = 'pR2

Laminare und turbulente Strmungen

Eigenschaften der turbulenten Strmungen

Der laminar-turbulente bergang (Umschlag) hngt von der Gre der Reynoldszahl ab:

=

dvRe Umschlag bei Re 2300

zeitgemittelte Geschwindigkeit: , = T0

dtvT1v Schwankungsgeschwindigkeiten: 'v

( 0dt'vT1'v

T

0

== ) 'vvv += . 'ppp += .

Turbulenzgrad: ( )

vvvv

v'v

Tu2,

z2,

y2,

x2 ++

==

Scheinbare Spannungen ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) .z

'v'vy

'v'vx'v

zv

yv

xv

xpg

zvv

yvv

xv

tv

zxyxx

xxxx

zxyxxx

+

+

+

=

+

+

+

2

2

2

2

2

2

22 1

Ad'v'vdVgAdpAdvvAVAA +=

46

=A

ntA

nnA

dA'v'vdA'v'vAd'v'v

( )[ ] ( ) Ad'v'vdVgAd'vpAdvvA

ntVA

2n

A ++=

( )2n'vp =l : scheinbare Druckerhhung, ( )nt 'v'v=l : scheinbare Schubspannung ( ) ( ) ( )

+

+

=

zyx1

z'v'v

y'v'v

x'v zxtyxtxtzxyx2x

hnlichkeit der Strmungen

Charakteristische Geschwindigkeit, Lnge, Zeit bei Groausfhrung und Modell:

v0 and v0m, l0 and l0m,m0

m0m0

0

00 v

tandv

tll

== .

Die Strmungen sind hnlich wenn sie durch die gleichen dimensionslosen Funktionen beschrieben werden knnen.

=

=

00002000000 t

t,z,y,xFvpand

tt,z,y,xf

vv

llllll .

Die Bedingungen der hnlichkeit:

+++=+++2

2

2

2

2

21zv

yv

xv

xpg

zv

vy

vv

xv

vt

v xxxx

xz

xy

xx

x

multipliziert mit

20

0

vl ,

+

+

=+

+

..x

vv

vx

vpp

vg

..x

vv

vv

v/t

vv x

x

x

x

x

2

0

0

2

00

0

20

0

20

0

0

0

0

00

0

ll

l

l

ll

dimensionslose N-S Komponentengleichung

Zwei Strmungen sind hnlich, wenn

47

a) beide durch die gleiche dimensionslose Differentialgleichung beschrieben werden knnen, z.B.

20

020

0

m

mxmx

vg

vg ll

= 0

0

lgv

Fr = Froude Zahl, mm

m

vv 0000 ll

=

00lvRe = Reynolds Zahl,

ReRem = FrFrm = b) gleiche dimensionslose Anfangs- und Randbedingungen vorherrschen (z.B. geometrische hnlichkeit des Modells und der Groausfhrung).

t0 =l0/v0, 0

0

0

0

00 llvtvt

.e.itt

tt p

m

mpmp

m

pm== .

f1tp = , wo f[1/s] die Frequenz

0

0

vfStr l= Strouhal Zahl

Die dimensionslose Parameter als Quotienten der Krfte, die auf 1 kg Fluid wirken

Trgheitskraft: 0

20

Tv~F l

Kraftfeld: g~FG

Druckkraft ( ) ( )0

030

200

Ppppp~F ll

l

=

Reibungskraft: 20

030

20

0

0S

vv~F lll

l =

Oberflchenspannungskraft: 20

30

20

0F

CC~F lll

l =

Reynolds-Zahl:

=

00

200

020

S

T v/v

/v~

FF

~Rel

ll

Froude-Zahl: 0

0020

G

T

gv

g/v

FF

~Frl

l==

Euler-Zahl: ( )

20

0

020

00

T

P

vpp

/v//pp

~FF

~Eu

=

l

l

Weber-Zahl: 0

200

20

20

T

F

vC

/v//C

~FF

~Well

l

=

48

12. Grenzschichten

( ) 0z

,0vz =

= , v vy x

49

Geschwindigkeits- und Schubspannungsverteilung in einem Rohr bei laminarer und turbulenter Strmung

Eigenschaften der Strmung im Grenzschicht

*uyy =+

y+=2,7 y+=101 y+=407 Verdrngungsdicke

=

0

x1 dyV

v1 .

50

Reibungsbeiwert 2

0f

V2

'c

=

Grenzschichtablsung

51

Ablseblase

Umstrmung eines Zylinders

2

0

2V

ppcp

= Druckkoeffizient

Strmung in einem Diffusor

52

Hufeisen-Wirbel

Ablsung der laminaren und turbulenten Grenzschicht

Sekundrstrmung

13. Hydraulik

Erweiterung der Bernoulli Gleichung an reibungsbehafteten Strmungen

l 'pUp2

vUp

2v

22

22

11

21 +++=++

Dimensionsanalyse

( )v,d,,,f'p = l

53

[ ] = smkgQ n21 Q......,,Q,Q . ( ) 0Q......,,Q,QF n21 = ,.....,,, rn321 dimensionslose Gren ( ) 0,.....,,,F rn321 =

654321 kkkkkk vd'p = l .

===

= dvRe,d/,

v2

'p32

21 l . ( ) 0,,F 321 =

l ( )321 ,f =

( )d

Rev

2

'p2

l= ( )Re

dv

2'p 2 = l wo der Reibungsbeiwert ist.

Bei laminarer Rohrstrmungen vR8

'p 2l

= , wo 2dR =

dv64

dv

2'p 2

= l ,

Da Redv =

lam2 dv2'p

= l Re64

lam =

Wandrauhigkeit

[ ]mk Durchmesser der Sandkrner, relative Wandrauhigkeit kr

4 = , wo r=d/2 Rohrradius.

Re > 2300 hReRe ( ) 55.0Relg95.11 turbturb

=

510Re4000 Blasius Formel 4turb Re

316.0=

Moody-Diagramm

fr Bestimmung des Reibungsbeiwertes von Rohre

54

Wandschubspannung

ll == d4

dd

v24

d'p 02

22

4

v2

20

=

Nichtzylindrische Rhre: KA4de = , wo [ ]2mA Querschnitt, [ ]mK benetzter Umfang

( )Red

v2

'pe

2 = l , wo

=edvRe

Kompressible Rohrstrmung

=Ddxv

2dp 2 ,

Aqv m

= ,TR

p= dx

DAp2TRqdp 2

2m

= dxDA2TRqdpp

L

02

2m

p

p

2

1

= Da

=

=

=

ADq

ADqDvRe mm , = f(T) und T const. Reibungsbeiwert const.

21

21

2

2m

22

21

DA2LTRq

2pp

=

=DLv

2p

2pp 2

11

1

22

21 ink1

22

21 'pp

2pp =

55

Strmung in Kanlen mit freiem Wasserspiegel

=e

2

dg2v'h l , wo

KA4de = , mit der Einfhrung von l

'hi = , der Neigung des Kanalbodens.

==

=

g2Cwo,idCi

dg2v e

e Chzy Gleichung, mit 03.0~02.0=

Chzy-Koeffizient 28C .

Reibungsverlust in Durchstrmteilen

Verlust bei Ausbildung der Rohrstrmung

dev2

dev v2'p =

Laminare Strmung: Widerstandsbeiwert 2.1lam,dev , turbulente Strmung: 05.0torb,dev

Verlust in Borda-Carnot Erweiterungen (Carnotscher Stoverlust):

( )221BC vv2'p

=

Einlauf-Verlust

in'p ( )21 0v2

=21v2

= .

Verlust in Ventile, Schieber und Drosselklappe

2

1

2v

2

2

122v 1A

A,1

vv

v2

'p

56

Diffusorverlust

diff'p ( ) ( )val12id12 pppp = ( ) ( )2221d vv21 = mit dem

Diffusor-Wirkungsgrad d Verlust in Krmmern

b2

b v2'p =

Anwendungen

Wasserversorgungsanlage

Bekannte Parameter: d 21 ,ll 21 h,h D

s

mq3

v , aus der Literatur: kszl ,, d .

Berechnung der Frderhhe und der Nutzleistung der Pumpe ( )szny zzgp

H +

= HgqP vh =

Zwei Bernoulli-Gleichungen:

1) szszsz

2sz

11

21 'pUp

2v

Up2

v+++=++ wo

+= 1112,sz dv2p l

2) ny2222

nyny

2ny 'pUp

2v

Up2

v+++=++ , wo

( ) ( ) .v

2vv

21

ddddv

2p

2D

2D

2d

55

k44

k33

szk222,

ny

+

+

+

+++++++= llll

Da 0vv 21 == , ( )sznyszny zzgUU = , ( )1212 hhgUU = , 01 pp = , t2 pp = === ....21 .

57

( ) ( )( ) ( ) .vvv

dv

zzghhgppppp

DDdi

kszl

sznytszny

2222

120

2213

2

++

++++

++==l

Kontinuttsgleichung: 22 Dvdv D= .

=

dvRe

Strmung in einem Rohr, das zwei Wasserbehlter verbindet

Bekannte Parameter: d l t . Berechnung von

s

mq3

v

l

'pUp2

vUp

2v

22

22

11

21 +++=++

Da 02t1 ppundpp == , zgU = und ,0z 2 = Hz1 = , 0vv 21 ==

+++= 1

dv

2'p tbe

2sz

l

+++=+ 1

dv

2Hgpp tbe

20t

l

( ) ++++

=

d1

Hgpp2vtbe

0t

l

+=

CBAv

Annahme fr ' 'v

=

d'vRe' t'' . 4

dvq2

v

= .

58

14. Aerodynamische Krfte und Momente

Reibungsbehaftetes Fluid:

12pp = Da

== ppp 12 , 12 vv = , 12 II = . x2121 RPPII =+ ,

0R x =

Die auf ein Zylinder wirkende aerodynamische Kraft

( ) 0,d,,,v,Ff d = l Dimensionslose Gren: 1 =dv

2

Fc

2

dd

l

= Widerstandsbeiwert,

2 =

=

dvRe Reynolds Zahl,

d3l

= relative Lnge

==d3l 2D Strmung ( )21 f = , ( )Refcd =

Wenn Re klein ist:

v~Fd , im Falle grer Re: 2d v~F

Die Wirkung des laminar-turbulenten berganges.

59

Karmansche Wirbelstrasse

l

2D Strmung, tl 2cd = . ( ) tppF bfd l= pbpf

2

b

2

fd cc

v2

pp

v2

ppc =

=

1c maxp = pfc 0.7 3.1cpb 3D Effekt: 1,10,

d=

l cd = 2, 1.3, 1.1. Im Falle von Kreiszylinder =dc 1.2, 0.82 und 0.63 (Re=10

5).

Auftrieb und Widerstand von Tragflgeln

60

= m

NvR Av

2

Fc

2

ll

= Auftriebsbeiwert, Av2

Fc

2

dd

= Widerstandsbeiwert

hAv2

Mc

2

pMp

= Nickmomentenbeiwert

Auftriebs- und Widerstandskoeffizient als Funktion des Anstrmwinkels

l

ce cD, cf cL

8.1~2.1c maxL , dcL/d=2[rad], Die Druckzunahme in Strmungsrichtung (Abnahme der Geschwindigkeit) kann zur Grenzschichtablsung fhren.

Die auf ein Prisma (stumpfen Krper) wirkende Widerstandskraft

l

fpbpfD 'ct4ccc l+=

. Widerstand = Bugwiderstand + Heckwiderstand +Seitenwandwiderstand 0t =l und 5t =l : ce = 1.1 and 0.8.

61

Druckbeiwert am Heck als Funktion des Winkels zwischen der Anstrmrichtung und Tangente der Scherschicht bei der Ablselinie.

cpb0

-1

Reduzierung des Bugwiderstandes mit Abrundung der Eintrittskanten:

2.00tr = 0.2 0.8=cD

62

15. Gasdynamik

Energiesatz

reibungsfreies Gas, stationre Strmung, kein Kraftfeld, keine Wrmebertragung

=

+AV

v

2

AdpvdVTc2v

dtd , wo

KkgJcv spezifische Wrme bei unvernderlichem Volumen

TchpTc pv ==+ , mit h [J/kg]: Enthalpie, cp [J/kg/K]: spezifische Wrme bei konstantem Druck.

constTc2

vp

2

=+ entlang der Stromlinie

Statische, dynamische und Gesamttemperatur

constTc2

vT tp

2

==+

mit T (orTst )[K] statische Temperatur, ]K[c2vT

p

2

d = dynamische Temperatur,

]K[Tt Gesamttemperatur. Energiesatz Gesamttemperatur ist konstant entlang der Stromlinie (bei stationre Strmung von reibungsfreien Gasen)

Bernoulli-Gleichung fr kompressible Gase

Kein Reibungseinfluss und Wrmebertragung isentrope Zustandsnderung:

==

11p.constp ,

v

p

cc

= Isentropenexponent

Bernoulli Gleichung: ( ) =2

12

21

22

p

p pdpvv .

ppp

vv

+=

1

1

2

1

121

22 11

2

63

Geschwindigkeit entlang der Stromlinie:

+=

1

1

21

212 p

p1RT1

2vv *

==

22

1

1 p.constp

und 1

11 TR

p= =

=

12

12

1

2

1

2

pTRRTp

pp

=

1

1

2

1

2

pp

TT

=

1

1

2

1

2

pp

, 1

1

1

2

1

2

TT

=

. Nach Einsetzen

=

1

1

2

1

2

pp

TT

in Gleichung * bekommt man:

+=

1

21

21

22 T

T1TR1

2vv . v

pp c

c,c2

1R2

==

( )21p2122 TTc2vv +=

und so den Energiesatz: 2vTc

2vTc

22

2p

21

1p +=+ .

Ausstrmung aus einem Behlter:

=

1

t

et p

p1TR1

2v

Die Schallgeschwindigkeit

A

A e

A e

Impulssatz ( )( ) ( ) pAAdppAdvadAa 22 +=+ dpdadva2 2 = , Kontinuitt: ( )( ) =+ addva = dadv . Geschwindigkeit der Druckwellen (Schallgeschwindigkeit):

=

ddpa

Im Falle von isentroper Zustandsnderung: 10

0

0

0 pddp,

pp

=

=

So ergibt sich die Schallgeschwindigkeit: =d

dp TRa =

Zustzliche Bedingungen der hnlichkeit fr Strmungen von kompressiblen Medien:

m0

m0m

0

0m a

vMa =

av

= Ma :Mach Zahl und = =

64

Verbreitung von Druckwellen

Machscher Kegel, Machsche Linie und Machscher Winkel: Ma1

va

tvta

sin ===

Ausstrmung eines Gases aus einem Druckbehlter

=

1

tt p

p1TR1

2v .

tmax TR12v

= die Tangente der Kurve: ege

p1evv +

=

v

dvdp = .

max dvdp- ( ) 0

dvdv

dvvd

=+= 0av1

d/dpv1 2

22

=

=

im Inflexionspunkt v = a, d.h. 1=Ma

Da .constAdvdpAvq m === bei 0=dv

dp (bei 0=v und 0=p ) A .

Fr dvdp

= max ist der Querschnitt A hier der engste: Lavaldse.

*

p

vpvp*

p

**

p

2**

t T21

c2)cc(c/c

1Tc2TR

Tc2

aTT +=

+=

+=+=

( )833.01

2TT

t

*

=

+= , ( )53.0

12

TT

pp 11

t

*

t

*

=

+

=

=

( )63.01

2TT 1

11

1

t

*

t

*

=

+

=

=

.

65

Einfache Dse

te pp <

wenn te p/p > 0.95 const. ( )et pp2v =

wenn te p/p < 0.95 const.

=

1

tt p

p1TR1

2v

wenn te /pp = 0.53 (in Falle = 1.4 ), *** TRav == wo T Tt* .= 0 833 .

wenn te /pp < 0.53 der Vorgang ist wie im Falle te /pp = 0.53. ( .p 0.53=p t* )

Strmung in einer Lavaldse

ea1

ep1

ep1

evv 2

=

=

=

.

0dAvAdvAvd =++ 0A

dAv

dvd=++

=

dadvv 2 .

+=

=

AdA

vdvadadvv 22 .

AdA

vdv

vdv

av

2

2

+= ( )A

dAv

dv1Ma2 =

/ wenn 1 < Ma , im Falle von 0 > dv/v 0 dA/A / wenn 1>Ma , im Falle 0 > dv/v 0 >dA/A / wenn 0=dA/A und 0 > dv/v 1=Ma . / wenn 0=dA/A und 1Ma Geschwindigkeitsextremwert.

66

Kontinuitt kikiki***

m AvAvq ==

=

1

t

et

1

t

etki

*tt p

p1TR1

2ppAAT83.0R63.0

Zwei isentropische Lsungen: Punkt B und D.