Summen von Reihenfolgezahlen — Vorgehensweisen von Viertkläßlern bei einer arithmetisch substantiellen Aufgabenstellung

Ulrich Schwatzer/Christoph Seiter

Summen von Reihenfolgezahlen - Vorgehensweisen von ViertklaBlern bei einer arithmetisch substantiellen Aufgabenstellung

Abstract

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The present paper describes how 18 forth graders dealt with the problem to find all sums of consecutive integers with a result not bigger than 25. The analysis of the nine interviews that were conducted indicates that all children gradually developed systematic approaches to solve the problem (almost) without intervention of the interviewer. The contribution puts the research project into a broader context (section I), presents the arithmetical problem (section 2) and describes the structure of the interviews (section 3). Apart from a general overview regarding the results of the study, one interview with two boys, Alex and Vincent, is discussed in detail (section 4). Finally, conclusions are drawn with respect to the classroom (section 5).

1 Der Ausgangspunkt

Wfihrend der letzten rund 20 Jahre haben sich in der mathematikdidaktischen Forschung neben stark quantitativ orientierten Datenanalysen die quaJitativen Methoden weltweit etabliert (vgl. Kilpatrick 1992; De Corte, Greer & Verschaffel 1996,491 ff.; Becker & SeIter 1996, 550 ff.). Vergleichsweise viele der dem qualitativen Paradigm a verpflichteten Forschungsvorhaben befassen sich mit der Arithmetik (vgl. Verschaffel 1996, 43). Sie beschreiben insbesondere, tiber welches Vorwissen Vor- und Grundschiiler verfiigen und welche Losungsstrategien sie bei (ungewohnten) Rechenanforderungen entwickeln bzw. benutzen (vgl. neb en vielen anderen beispielsweise Carpenter & Moser 1982; Hughes 1986; Schmidt & Weiser 1982). Diesen Studien verdanken wir wertvolle unterrichtsrelevante Einsichten dariiber, wie Kinder rechnen.

Nun besteht weitgehend Einigkeit dariiber, daB sich der Arithmetikunterricht - schon in der Grundschule - nicht auf das Erreichen der inhaltlichen Lernziele (Erwerb von Kenntnissen und Rechenfertigkeiten) beschrfinken sollte. Sowohl die allgemeinen Ziele des Mathematikunterrichts (argumentieren, entdecken, mathematisieren, darstellen) als auch die zentralen Zielsetzungen des schulischen Erziehungsauftrags (z.B. Ffihigkeit zur Mitbestimmung, Mitverantwortung, Selbstfindigkeit, Kooperationsfahigkeit) sollten - wo immer moglich und sinnvoll - mit beriicksichtigt werden (vgl. Faust-Siehl et al. 1996).

Substantielle Aufgabenstellungen, die auf mathematisch reichhaltigen Sinnzusammenhfingen (mit oder ohne Wirklichkeitsbezug) basieren und den Schiilern hinreichend viele Gelegenheiten bieten, auf eigenen Wegen und auf unterschiedlichen Niveaus mathematisch aktiv zu sein, bieten u. E. die Moglichkeit, diese verschiedenen Ziele integriert

(JMD 19 (98) 2/3, S. 123-148)

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anzusprechen (vgl. Wittmann 1995, 528; fllr Beispiele vgl. u. a. Steinbring 1995; Krauthausen 1995; SeIter & Scherer 1996; Walther 1985).

Wie Grundschtller mit substantiellen Aufgaben umgehen, ist bislang allerdings kaum erforscht worden. So beschreibt der vorliegende Beitrag ein Vorhaben, bei dem sich achtzehn ViertklaBler mit einer so1chen Aufgabenstellung auseinandersetzten. Worum es bei den ,Summen von Reihenfolgezahlen' geht, beschreiben wir im zweiten Abschnitt. 1m dritten Abschnitt umreiBen wir den Aufbau der von uns durchgeftlbrten neun Interviews. Wir diskutieren dann im vierten Abschnitt deren wichtigste Ergebnisse, bevor wir im fllnften Abschnitt Folgerungen fllr den Unterricht darsteUen.

2 Die Aufgabe

Die Aufgabenstellung fllr die SchUler bestand darin, aIle Summen aufeinanderfolgender natOrlicher Zahlen zu tinden, deren Resultat nicht grOBer als 25 ist (m. s. a. Bauersfeld 1978,254, bzw. Walther 1984; vgl. Tab. 1). Aus PlatzgrUnden mUssen wir auf Ausfllhrungen zum mathematischen Hintergrund verzichten.

Tabelle 1: Aile mllglicheo SummeD

Diese Aufgabe kann aus den folgenden GrUnden als substantiell bezeichnet werden (vgl. Wittmann 1995,528; Bauersfeld 1978,229 ff.):

• Wesentliche inhaltliche (Obung der mUndlichen Addition) und allgemeine Lemziele des Mathematikunterrichts (entdecken, argumentieren, darsteIlen) kOnnen durch eine vergleichsweise leicht verstllndliche, allerdings nicht triviale Probiemstellung gleichzeitig gefbrdert werden.

Sum men von Reihenfolgezahlen 125

• Die Aufgabe basiert auf einem mathematisch reichhaltigen Sinnzusammenhang. Somit unterscheidet sie sich einerseits von sog. Routine-Aufgaben mit bereits im Unterrieht behandeltem U~sungsweg und andererseits von sog. Problem-Aufgaben, zu deren L5sung man einen eng umrissenen, hiiutig pl5tzlichen Einfall ben5tigt. Aufgrund ihrer Vielschichtigkeit sind eine Reihe von Herangehensweisen auf verschiedenen Niveaus m5glich, so daB (prinzipiell) alle SchUler aufunterschiedliche Weise am Problem mathematisch akti:v sein k5nnen.

• Mit der Aufgabe ist zudem eine ganze Klasse verschiedener Aufgabenstellungen mit unterschiedlichem Schwierigkeitsgrad eng verwandt (vom Ausrechnen vorgegebener Summen von Reihenfolgezahlen im ersten Schuljahr bis zum Beweis des Satzes von Sylvester in der Lehrerbildung; vgl. hierzu MUller 1997).

BewuBt wurde das arithmetische Niveau in den von uns durchgefilhrten Interviews nicht sehr hoch angesetzt, urn den SchUlem das Erkennen von Zusammenhangen zu erm5glichen, ohne gleiehzeitig hohe Rechenanforderungen bewiiltigen zu mUssen.

3 Die Interviews

Die Interviews wurden im Juni 1996 mit 18 SchUlem eines vierten Schuljahres einer Dortmunder Grundschule durchgefilhrt. Hierzu wurde eine Interviewform gewiihlt, deren Prinzipien sich an die der klinischen Methode Piagets anlehnten (vgl. Wittmann 1982; Hasemann 1986; Selter & Spiegel 1997, 100 ff.). Wir entschieden uns bewuBt filr die (im Vergleich zu Einzelinterviews) unterrichtsnabere, aber immer noch (im Vergleieh zu Interviews mit drei odermehr Kindem) recht informative Form des Zweierinterviews. Urn den Kindem bei der Bearbeitung der Aufgabe nieht bestimmte Vorgehensweisen nahezulegen, erschien es uns sinnvoll, ihnen zuniichst lediglich Papier und Stifte zur VerfUgung zu stellen.

Jedes Interview bestand aus drei Phasen, die sich allerdings teilweise uberlappten (zu ausfilhrlicheren Hinweisen, vgl. Seiter & Spiegel 1997, 140 ff.).

1. Verstehen der Aufgabenstellung: Zuniichst wurde der Begriff ,Reihenfolgezahlen' eingefilhrt, und es wurde anhand von Beispielen mit den SchUlem erarbeitet, was als Summe von Reihenfolgezahlen verstanden werden sollte. AnschlieBend produzierten die Kinder mundlich selbst jew~ls eine, bei Bedarf auch mehrere solcher Summen. Dann erfolgte die Uberleitung zur eigentlichen Aufgabenstellung: "Gleich sollt Ihr ganz viele Plusaufgaben mit Reihenfolgezahlen tinden. Es gibt jedoch eine Bedingung: Das Ergebnis darf nieht gr5Ber sein als 25." Urn den SchOlem den Einstieg zu erleichtern, wurde: zu Beginn also nicht direkt die Aufgabe gestellt, aIle M5glichkeiten zu tinden. Dieses Problem sollten die Schiller nur bearbeiten, wenn sie die Einstiegsaufgabe ohne Schwierigkeiten bewiiltigen konnten, was - so zeigte sich - bei allen der Fall war.

Abhiingig vom Erkenntnisinteresse hiitte man natUrlich den Forschungsauftrag auch so formulieren k5nnen, daB die SchUler alle Zerlegungen in zwei, drei, vier usw. Summanden hatten tinden sollen, und so die Anzahl der Summanden zum Hauptordnungskriterium gemacht. BewuBt haben wir uns jedoch dagegen entschieden, die Aufgabe in dieser Variante zu stellen, urn den SchUlern nicht eine bestimmte Finde- oder Sortierstrategie nahezulegen.


2. Produktion von Losungen: Die SchUler notierten nun ihre Losungen. Wenn der Interviewer den Eindruck hatte, ihre Oberlegungen nicht zu stOren, fragte er nach, wie sie auf die jeweilige Losung gekommen waren.

Hatten die Kinder dann Schwierigkeiten, weitere Losungen zu tinden, regte der Interviewer eine Art Zwischenreflexion an. Hier wurden sie gefragt, ob sie sich sicher waren, daB es aBe seien, die es gabe. Hautig fanden sie daraufhin noch weitere Zerlegungen.

3. Begriindung der Vollstiindigkeit: Waren die Schiller dann schlieBlich der Meinung, aBe Moglichkeiten notiert zu haben, wurden sie gebeten, die VoBstandigkeit zu begriinden. Der Interviewer fragte: "Wie kann man sich denn jetzt sieher sein, daB man aBe gefunden hat?" Die Schuler wurden darauf hingewiesen, daB einige flir die weitere Bearbeitung moglicherweise hilfreiche Dinge bereitgelegt worden waren, wie verschiedenfarbige Stifte, Papier, Scheren oder Klebstoff; etwa urn ein beschriebenes Blatt auseinanderzuschneiden und die Schnipsel neu sortiert aufzukleben.

Da flir die Interviews jeweils knapp eine Schulstunde zur Verfligung stand, war es nieht moglich, weiter in den mathematischen Hintergrund der AufgabensteBung einzutauchen (etwa von den Ergebnissen her zu denken, in Richtung auf den Satz von Sylvester). Lediglich einer Gruppe konnte die weiterflihrende FragesteBung gesteBt werden, alle Zerlegungen zu einer vorgegebenen Zahl- der 45 - zu tinden. Es sei vorweggenommen, daB die beiden Schuler, Heiko und Stefan, lediglich die Zerlegung 22+23 angaben, obwohl sie uber hinreichend viel Zeit verfligten.

4 Ergebnisse

Unser Erkenntnisinteresse bei Durchftihrung und Analyse der Interviews war weder primar psychologisch noch vorrangig soziologisch ausgeriehtet. Insofem ging es uns nicht urn Detailanalysen, sondem urn das Aufzeigen derjenigen Muster, die wir als zentral fUr die Planung, Durchflihrung und Analyse von Unterricht ansehen (z. B.: Welche Hauptvorgehensweisen der Schiller sind prinzipiell zu erwarten?).

1m folgenden beschreiben wir zunachst, wie die Kinder in der zweiten Phase des Interviews (Produktion von Losungen) vorgi~gen und illustrieren unsere Aussagen durch die Analyse eines Interviewausschnitts (4.1), bevor wir uns in ahnlicher Weise mit der dritten Phase (Begriindung der VoBstandigkeit) befasseIf (4.2). Der Abschnitt schlieBt mit einem Kurziiberblick uber alle neun Interviews (4.3).

4.1 Produktion von Losungen

Es zeigte sich, daB die Schuler beimFinden neuer Moglichkeiten in den weitaus meisten Fallen nicht unstrukturiert vorgingen und neue Moglichkeiten zufallig entdeckten, sondem daB sie Summen in der Regel unter Bezugnahme aufbereits vorhandene produzierten. Dabei nutzten sie keineswegs immer nur die jeweils zuletzt notierte Aufgabe als ,Bezugssumme', sondem orientierten sich auch an Gleichungen, die sie einige Zeilen zuvor fixiert hatten.


1m einzelnen lieBen sich die folgenden Vorgehensweisen beobachten, die wir (als Mathematikdidaktiker) wie folgt umschreiben. Ob die SchUler allerdings die von uns angefUhrten mentalen Operationen tatsachlich auch so - wie von unsdargestellt - durchfiihrten, muB teilweise offen bleiben.

I. Hinten verliingern An eine Summe wird der ,folgende' Summand angehiingt (3+4+5 -> 3+4+5+6).

2. Vorne verliingern Einer Summe wird der ,vorangehende' Summand vorangestellt (3+4+5 -> 2+3+4+5).

3. Hinten verkiirzen Der letzte Summand einer Summe wird entfernt (3+4+5 -> 3+4).

4. Vorne verkiirzen Der erste Summand einer Summe wird entfernt (3+4+5 -> 4+5).

5. Aile erhOhen AIle Summanden werden urn I erhOht (3+4+5 -> 4+5+6).

6. Aile vermindern AIle Summanden werden urn I vermindert (3+4+5 -> 2+3+4).

7. Mit ,Nachfolger' beginnen Ais erster Summand wird der Nachfolger des gr6Bten Summanden einer bereits gefundenen Summe notiert (3+4+5 -> Summe mit 6 als erstem Summanden, z. B. 6+7+8).

8. Mit ,letzter Zahl' beginnen Ais erster Summand wird der letzte Summand einer bereits gefundenen Summe verwendet (3+4+5 -> Summe mit 5 als erstem Summanden, z. B. 5+6).

9. Mit Ergebnis beginnen Ais erster Summand wird das Ergebnis einer bereits gefundenen Summe verwendet (3+4+5 -> Summe mit 12 als erstem Summanden, also 12+ l3).

AuBerdem lieBen sich Kombinationen aus verschiedenen Vorgehensweisen beobachten. So haben einige Kinder beispielsweise zunachst ,hinten verlangert' und dann ,vorne verkiirzt' (3+4+5 -> 3+4+5+6 -> 4+5+6). Die Wirkung der HintereinanderausfUhrung dieser beiden Operationen unterscheidet sich zwar nicht von der Vorgehensweise ,aIle erhOhen'. Dennoch macht es u. E. Sinn, diese kombinierte Vorgehensweise gesondert aufzuziihlen, da ihr eine andere Denkweise zugrundeliegt.

Des 6fieren fUhrten die SchUler dieselbe Operation mehrfach hintereinander aus. Beispielsweise erzeugten sie durch zweimaliges Anwenden von ,vorne verlangern' aus 3+4+5 die neue Moglichkeit 1+2+3+4+5 oder durch zweimaliges DurchfUhren von ,hinten verliingern' aus 3+4+5 die Summe 3+4+5+6+7. Die wiederholte Nutzung einer Vorgehensweise erfolgte in der Regel so lange, bis die SchUler an eine ,Grenze' stieBen (,ausreizen'), also entweder das Ergebnis 25 erzielten bzw. iiberschritten oder Summen mit 1 als erstem Summanden erhielten.

Es ist ein Charakteristikum der bislang aufgezahlten V orgehensweisen, daB die SchUler sich jeweils auf eine bestimmte der bereits notierten Summen bezogen. Von einem iibergreifenden Motiv ist die zehnte Vorgehensweise bestimmt.


10. Durchmustern der ersten Summanden Es wird gepruft, ob samtliche Zahlen kleiner als 13 als erster Summand vorkommen. Sollte eine dieser Zahlen noch nicht berticksichtigt worden sein, so wird eine Summe gebildet, deren erster Summand gerade diese Zahl ist.

Weitere prinzipiell mogliche Vorgehensweisen haben wir in den Interviews nicht feststellen konnen. Denkbar ware beispielsweise ein Durchmustem der Ergebnisse gewesen, bei dem man pruft, ob aIle Zahlen kleiner gleich 25 (einmal) als Resultat vorkommen. Ein solches ergebnisorientiertes Vorgehen wurde allerdings durch die Aufgabenstellung nicht nahegelegt. Lediglich bei der Begrtindung der Vollstandigkeit wurde diese Strategie einmal herangezogen (vgl. 4.2).

1m weiteren wollen wir verschiedene Strategien und deren Wechselwirkungen anhand eines Interviewausschnitts illustrieren. Die Absatznummem des Interview-Transkripts mit Alex und Vincent (vgl. Anhang), auf die sich unsere Interpretationen beziehen, haben wir jeweils in runden Klammem angegeben (Eckige Klammern signalisieren Textauslassungen ).

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Alex und Vincent begannen zunachst mit 1+2+3 (1-10). Dann wendete Alex - wie sich weiter unten zeigt - aller Wahrscheinlichkeit nach die Vorgehensweise ,mit ,Nachfolger' beginnen' an. Er wollte - wie bei der ersten Aufgabe - drei Summanden notieren. Vincent, der die Aufgaben auf dem gemeinsam genutzten Blatt festhielt, setzte sich jedoch damit durch, daB man hier auch noch einen vierten Summanden anhangen konne (,hinten verlfingem'), ohne 25 zu Uberschreiten (,ausreizen'): 4+5+6+7 (11-20).

FUr die nachste Aufgabe favorisierte Alex emeut das Fortsetzen der Zahlreihe (21: "AIs nachstes 8."). Er merkte allerdings, daB die 25 tiberschritten wtirde, wenn er emeut drei Summanden benutzen wtirde, und strich 8+9 durch. Vincent griff diesen Ansatz auf. Moglicherweise wendete er die Vorgehensweise ,aIle vermindem' an und veranderte so 8+9+ 10 zu 7+8+9. Denkbar ist allerdings auch, daB er der Summe 8+9, deren Ergebnis fUr ibn nicht groB genug war, den Summanden 7 voranstellte (, vome verlfingem') (22-26). Die nachste Aufgabe (2+3+4+5+6) entstand dadurch (30-38), daB Alex emeut eine Summe aus drei Summanden (2+3+4) vorschlug, aller Wahrscheinlichkeit nach unter Bezug auf 1+2+3 (aIle erhOhen). Vincent schrieb direkt noch ,+5' dahinter. Alex rief daraufhin laut: "Stop, Stop!" - eine AuBerung, die die Drei-Summanden-Interpretation erhartet. Darauf konterte Vincent: "Warum sollen wir nicht we iter machen? Das sind


doch erst 9 .... Plus 6, komm, machen wir noch 6!" (,hinten verUingem', ,ausreizen' bis zur 25). Vincent erzeugte dann (39-44) mit der Strategie ,vome verlangem' die nachste Moglichkeit (1+2+3+4+5+6). Diese Ubertrug er auch auf das Ausrechnen des Ergebnisses, indem er lediglich die vome angehangte I zum bereits erhaltenen Resultat 20 hinzuziihlte.

Dann gab Alex 3+4+5+6+7 (46-57) an. 1m weiteren erkliirte er (62-71), wie er durch eine Kombination aus ,vome verkUrzen' und ,hinten verlangem' diese Summe erhalten hiitte: Bei 2+3+4+5+6=20 mUsse man nur die 2 weglassen und die 7 anhangen, dann seien es 25.

Abb. 2: Produktion von Lilsungen, Teil2

Warum Vincent nun im nachsten Schritt 11+12 (76-78) vorschlug, ist zu diesem Zeitpunkt noch nieht ersiehtlich, wird jedoch spater deutlieh werden. Mit den Worten "Wenn das 23 sind, dann kannst du doch 12+13 ... " benannte Alex die nachste Moglichkeit (79-89; aIle erhohen; Hervorh. d. d. Verf.).

Nun produzierte Vincent 6+7+8 (92; zu moglichen GrUnden, s. u.). Bevor er das Gleichheitszeiehen notierte, sagte er: "Mal ausrechnen, wie viele das sind. [ ... J 21. Ja dann reieht' s." Offenbar hatte er hier wiederum eine aus 3 Summanden bestehende Kette ,ausreizen' wollen.

1m nachsten Schritt wird deutlich, welche Vorgehensweise Vincent bei seinen zuletzt geauBerten Uberlegungen leitete: "Also ehm, wir hatten die 5 noch nicht am Anfang gehabt" (Durchmustem der I. Summanden). So erzeugte er 5+6+7. Daraufhin fragte er sieh, ob man noch eine 8 hinzuschreiben konnte, was er jedoch vemeinte (92-96).

Diese Vorgehensweise war fUr Vincent zu dieser Phase des Interviews zentral. Er sagte: "Uberleg mal scharf, was haben wir noch nicht gehabt? ... 5, 6, 12, 3, 1,2, 7, 4, 1 hatten wir schon am Anfang. [ ... J Jetzt mUss en wir mal mit 9 am Anfang". Somit notierte er 9+10 (96-102) und 10+11 (103-107).

Danach Uberpriiften die beiden - der Ubersicht wegen noch einmafbei 1 beginnend -, ob aIle Zahlen kleiner als 13 als erste Summanden aufgetreten waren. Bei der (noch nieht vorhandenen) 8 angelangt, produzierten sie zunachst die Dreiersumme 8+9+ 1 0, merkten

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jedoch, daB diese die 25 iibersteigen wiirde, striehen sie durch und verkiirzten sie hinten zu 8+9 (109-115).

Weiteres Durchmustem (115-131) flihrte Vincent zu der Erkenntnis, daB nun aIle moglichen Startsummanden von 1 bis 12 einmal beriicksiehtigt worden waren: "Ja, mit 13 konnen wir nicht anfangen" (117). Somit glaubte er, aBe Moglichkeiten gefunden zu haben. Nach anHinglichem Zogem schloB sich Alex dieser Meinung an (131).

Bis hierhin gaben Alex und Vincent ohne direkte Interviewer-Intervention 13 der 27 moglichen Summen an. Nun, da sie der Meinung waren, keine weiteren Zerlegungen mehr finden zu konnen, entschloB sich der Interviewer, eine AuBerung von Alex zu wiederholen (132: "Ich meine nur, wei I der Alex gesagt hat, 7+8 konnte man auch schreiben"). Ob Alex mit seiner kurz zuvor gestellten Frage "Haben wir schon 7 und 8?" (120) allerdings - wie der Interviewer vermutete - die Summe 7+8 meinte, oder aberwas aus dem Kontext im Nachhinein wahrscheinlicher ist - iiberlegte, ob die 7 und die 8 schon als erste Summanden aufgetreten waren, kann nieht endgiiltig gekUirt werden. Wie auch immer: Dieser Impuls flihrte zur Fortsetzung der Suche nach weiteren Moglichkeiten.

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Abb. 3: Produktion von Lllsungen, Teil3

Alex und Vincent ergiinzten im weiteren ohne groBe Probleme die fehlenden 14 Moglichkeiten. Dabei bezogen sie sich systematisch auf die bereits von ihnen gefundenen Summen. Sie lieBen deren erste Summanden in der Regel zuniichst einmal fest und wiihlten ein Wechselspiel aus ,hinten verkiirzen' und ,hinten verliingem' so lange, bis die 25 iiberschritten wurde (,Maximalvariante') oder bis sie eine Moglichkeit mit zwei Summanden (,Minimalvariante') gefunden hatten.

Aus 3+4+5+6+7 beispielsweise wurden so 3+4+5+6,3+4 und 3+4+5 (139-159). Vincent beschrieb diese Methode zu einem spiiteren Zeitpunkt, urn die Vollstiindigkeit der gefundenen Aufgaben zu rechtfertigen (208): "Wir haben jetzt aIle nochmal verkiirzt und verliingert."

Allerdings hielten sie sich nicht konsequent - so wie wir dies verstehen wiirden - an diese Vorgehensweise. Sie fanden nicht immer unmittelbar samtliche moglichen Summen flir einen bestimmten ersten Summanden, sondem befaBten sich zwischendurch auch mit anderen ,Startzahlen'. Die Summe 1+2 (160-163; wahrscheinlich bezugnehmend auf

Summen von Reihenfolgezahlen 131

1+2+ 3, m. s. a. 151) wurde zuntichst nicht systematisch verltingert, sondem es wurden anschlieBend 2+3, 2+3+4 und 2+3+4+5 angegeben (164-175). Zu Moglichkeiten mit 1 als erstem Summanden kehrten Alex und Vincent, wie sich weiter unten zeigen wird, erst zu einem sptiteren Zeitpunkt zuriick (182).

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Abb. 4: Produktion von Uisungen, Teil4

1m AnschluB an 2+3+4+5 fanden sie durch weiteres Verkurzen bereits notierter Summen die Moglichkeiten 6+7 (wohl bezugnehmend auf 6+7+8, Vincent), 5+6 (wohl bezugnehmend auf 5+6+7, Vincent), 4+5 (wohl bezugnehmend auf 4+5+6+7, Alex) und 4+5+6. Hierbei gaben sie mundlich einige weitere Summen an, die von ihnen schnell als doppelte erkannt wurden. Vermutlich war es Vincent und Alex deutlich, daB ein Verlangem der ursprunglich herangezogenen Dreiersummen 6+7+8 und 5+6+7 zu Ergebnissen groBer als 25 fiihren wurde, so daB sie diese Moglichkeiten nicht erkennbar in Betracht zogen.

Nach einer ltingeren Phase, in der sie keine weitere Aufgabe mehr fanden, produzierte Alex schlieBlich ausgehend von 1+2+3 durch ,hinten verHingem' die beiden fehlenden Summen: 1+2+3+4 und 1+2+3+4+5 (311: "Ach so, dann kann man noch welche dazu tun. ").

Alex und Vincent entwickeIten also zuntichst (bis zu der Summe 3+4+5+6+7) aller Wahrscheinlichkeit nach sechs verschiedene Vorgehensweisen, ntimlich ,hinten verltingem', ,vome verltingem', ,vome verkurzen', ,aIle erhohen', ,aIle vermindem' und ,mit ,Nachfolger' beginnen'. Fur die Produktion der ntichsten sieben Moglichkeiten (bis 8+9) beschrtinkten sie sich im wesentlichen auf die Vorgehensweise, bei der gepruft wird, ob saIDtliche mogliche Zahlen bereits als erster Summand vorkamen. 1m dritten Teil des Interviews, wtihrend dessen die restlichen 14 Summen notiert wurden, bedienten sich Alex und Vincent hauptstichlich der Strategien ,hinten verkurzen' und ,hinten verlangem'. Hierbei wurde in der Regel eine bereits gefundene Moglichkeit durch Weglassen der hinteren Summanden auf ihre ,Minimalvariante' reduziert (zwei Summanden) und dann schrittweise verltingert, bis die 25 erreicht bzw. uberschritten wurde.

Bei Alex und Vincent sind also acht der insgesamt zehn von uns in stimtlichen Interviews beobachteten Vorgehensweisen festzustellen. Ihre Herangehensweise kann in einem wichtigen Punkt als reprtisentativ gelten: Hatten die Kinder zuntichst verschiedene Methoden zur Produktion neuer Moglichkeiten entwickelt, begannen sie in der Regel im weiteren Verlauf der Findephase damit, systematischer und strukturierter die noch fehlenden zu such en.

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Indem wir diese Aussagen machen, sind wir uns dessen bewuBt, daB wir den Kindem -auch bei noch so ausgekliigeltem Versuchsdesign -, nicht ,in den Kopfhineinschauen' konnen. Das bedeutet, daB unsere Interpretationen nicht notwendigerweise die tatsachlichen Schiilergedanken abbilden. Selbst wenn die Kinder ihre Strategie verbalisierten, kann nicht zweifelsfrei entschieden werden, ob sie diese tatsachlich genutzt hatten oder vielleicht nicht doch im Nachhinein zur Erklarung (und zur ErfUllung der vermuteten Interviewer-Erwartungen) erfanden.

Des weiteren sollte man beachten, daB sich unsere Analyse hauptsachlich auf die von den Schiilem auch schriftlich notierten Moglichkeiten bezog. Die lediglich miindlich artikulierten Summen haben wir - aus Grunden der Nachvollziehbarkeit un serer Ausftihrungen und der Obersichtlichkeit - i. d. R. nicht mit einbezogen.

SchlieBlich sollte bedacht werden, daB moglicherweise existierende Zusammenhiinge der nur mUndlich angegebenen Zerlegungen mit von den Schiilem bereits notierten Moglichkeiten in der Regel nicht erfragt wurden, urn die Interviewsituation nicht mit ubermaBig vielen Riickfragen zu Uberladen. Insofem beziehen sich unsere Aussagen iiber die beobachteten Vorgehensweisen auf die insofem ,erfolgreicheren' Denkstrategien, die schlieBlich zur (manchmal abgebrochenen) Notation einer Summe fUhrten.

4.2 Begriindung der Vollstandigkeit

An die Produktion der Losungen schloB sich die Phase an, in der die SchUler begrunden sollten, warum sie aile Moglichkeiten gefunden hatten.' Dabei erwies es sich fUr sie in der Regel als ungiinstig, daB die verschiedenen Moglichkeiten in einer eher unstrukturierten Form auf dem Blatt notiert worden waren.

Urn einen besseren Oberblick zu haben und urn leichter argumentieren zu konnen, ordneten die Kinder - in der Regel spontan, in zwei Fallen auf Impuls des Interviewers - die Ergebnisse. Dieses passierte entweder durch geordnetes Abschreiben der gefundenen Aufgaben oder durch Ausschneiden und Umsortieren der Zerlegungen. Lediglich bei Heiko und Stefan war ein solches Sortieren nicht erforderlich, da sie ihre Ergebnisse bereits strukturiert produziert hatten (s. u.).

Das Ordnen der Aufgaben ist prinzipiell auf (mindestens) drei verschiedene Weisen moglich, die wir auch samtlich beobachtet haben.

Erster Summand: Man sortiert nach GroBe des ersten Summanden (Hauptkriterium) und nach der Anzahl der Summanden (Nebenkriterium). So erhalt man die diagonale Lesart der Tab. 1, also zunachst die Summen mit 1 als erstem Summanden, von 1+2 bis 1+2+3+4+5+6, dann diejenigen mit 2 als erstem Summanden (von 2+3 bis 2+3+4+5+6) und so fort.

Diese Strategie zogen beispielsweise Alex und Vincent heran. Bereits bei der Produktion neuer Moglichkeiten hatte sich bei beiden die V orgehensweise durchgesetzt, den ersten Summanden konstant zu halten und weitere Losungen durch ,hinten verkUrzen' und ,hinten verlangem' zu erhalten. Wie dem Transkript entnommen werden kann (vgl. Anhang), entstand relativ schnell die Idee, diese Strategie zu benutzen, als der Interviewer nach einer Begriindung fur die Vollstandigkeit fragte. Nachdem das Blatt mit den gefundenen Summen zerschnitten worden war, ordneten sie die insgesamt 27


Papierschnipsel entsprechend an (im Original untereinander; in der Abb. 5 aus Platzgriinden spaltenweise von links nach rechts zu lesen).

1+2 = 3 2+3+4 = 9 4+5 = 9 7+8 = 15

1+2+3 = 6 2+3+4+5 = 14 4+5+6 = 15 7+8+9 = 24

1+2+3+4 = 10 2+3+4+5+6 = 20 4+5+6+7 = 22 8+9 = 17

1+2+3+4+5 = 15 3+4 = 7 5+6 = 11 9+10 = 19

1+2+3+4+5+6 = 21 3+4+5 = 12 5+6+7 = 18 10+11 =21

2+3 = 5 3+4+5+6 = 18 6+7 = 13 11+12 = 23

3+4+5+6+7 = 25 6+7+8 = 21 12+13 = 25

Abb. 5: Alex und Vincent sortieren nach der Strategie ,erster Summand'

AnschlieBend begriindeten Alex und Vincent die VollsUindigkeit dam it, daB sie an jede mogliche Startzahl so lange Zahlen angehangt hatten, "bis es nicht mehr ging", d. h. bis die 25 iiberschritten wurde.

Wie bereits angedeutet, stellen Heiko und Stefan eine Ausnahme dar, da sie als einzige Gruppe bei der Begriindung der Vollstandigkeit ohne Einschrankung auf ihre Produktionsstrategie zuriickgreifen konnten, die der Strategie erster Summand entspricht (vgl. Abb. 6). Der einzige Fehler, der ihnen unterlief, bestand darin, zunachst 7+8+9 zu ilberspringen. Sie fanden diese Moglichkeit jedoch im AnschluB an ihre systematische Produktion und notierten sie dazwischen.

Abb. 6: Llisungen von Heiko und Stefan

Anzahl der Summanden: Man sortiert nach der Anzahl der Summanden (Hauptkriterium) und nach der GroBe des ersten Summanden (Nebenkriterium). So er-


gibt sich die spaltenweise Lesart der Tab. 1, also zunfichst die Summen mit zwei Summanden, von 1+2 bis 12+13, dann die mit drei Summanden (1+2+3 bis 7+8+9) und so fort.

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Abb. 7: Ulsungen von Jens und Dominik

Diese Strategie wurde von Jens und Dominik fUr die Sortierung und die sich anschlieBende Vollstandigkeitsbegriindung herangezogen. Beide hatten bei der Produktion der verschiedenen Mogliehkeiten zunaehst eine Reihe von Vorgehensweisen entwiekelt. Eventuell dadureh beeinfluBt, daB sie zunfiehst zehn Zweiersummen gefunden hatten, begannen sie systematiseh - d. h. geordnet vom kleinsten bis zum groBten ersten Summanden - samtliche Zweiersummen auf ein anderes Blatt abzusehreiben. Sie waren sieh dabei sieher, aIle mogliehen Summen erfaBt zu haben, da 12+13 die grOBtmogliehe Zweiersumme darstellte. Dann sortierten sie analog die Dreier-, Vierer-, Ftinfer- sowie die Seehsersumme(n) und erklarten jeweils, warum keine weiteren Aufgaben mit der jeweiligen Anzahl von Summanden existieren wtirden.

Ergebnis: Man sortiert naeh der GroBe der Summe (Hauptkriterium) und naeh der Anzahl der Summanden (Nebenkriterium). In der Tab. 1 ist dieses Vorgehen dureh die zeilenweise Lesart reprfisentiert.

Lediglieh Angelina und Kathi gingen so vor. Dieses war allerdings stark dureh einen Fehler des Interviewers beeinfluBt, der eine AuBerung der Kinder miBverstand ("Wir konnten ja mal sortieren") und sie daraufhin in diese Richtung lenkte: Statt Angelina und Kathi den Impuls zu geben, die Aufgaben zu sortieren, regte er versehentlich an, dieses mit den Ergebnissen zu tun. Das Blatt mit den von ihnen gefundenen 25 Moglichkeiten wurde darauthin zerschnitten, und sie gruppierten diese wie foIgt neu:

Sum men von Reihenfolgezahlen

1+2 = 3 2+3 = 5 1+2+3 = 6

3+4 = 7 2+3+4 = 9 4+5 = 9 1+2+3+4 = 10 5+6 = 11 3+4+5 = 12 6+7 = 13 2+3+4+5 = 14 4+5+6 = 15 7+8 = 15

2+3+4+5+6 = 20 8+9 = 17 5+6+7 = 18 9+10 = 19 10+11 = 21 4+5+6+7 = 22

12+13 = 25

6+7+8 = 21 1+2+3+4+5+6 = 21 11+12 = 23 7+8+9 = 24 3+4+5+6+ 7 = 25

Abb. 8: Sortierung durch Angelina und Kathi

135

Auf diesem Wege konnten Angelina und Kathi allerdings die Ga aueh gar nieht vorhandene) V ollst!indigkeit versUindlieherweise nieht begrunden oder entdeeken, daB noeh weitere Zerlegungen fehlten. Dieses ist allerdings aueh sehwierig, wenn man die Summen nieht noeh zus!itzlieh naeh der Anzahl ihrer Summanden in Spalten ordnet (vgl. Tab. 1).

Angelina und Kathi wiesen allerdings darauf hin, daB man einige Ergebniszahlen nieht erreiehen konne (die 1, die 2, die 4, die 8, die 16). Naeh einem Impuls des Interviewers fanden sie dann noeh eine weitere, die 26. Mogliehkeit (3+4+5+6).

4.3 Uberblick

Die Tabelle 2 gibt einen Uberbliek tiber wiehtige Ergebnisse der Interviews. Zunaehst einmal ist festzuhalten, daB (bis auf eine Ausnahme) alle Gruppen samtliehe Mogliehkeiten angaben. Bei Angelina und Kathi ist das ,Ja' eingeklammert, weil die beiden ,nur' 26 Summen fanden. DaB sie die 27. Mogliehkeit nieht notierten, lag ganz wesentlieh daran, daB der Interviewer versehentlieh bereits naeh der Notation der 26. Zerlegung konstatierte, sie hatten nun alle gefunden. Da die beiden zudem zur Begriindung der Vollstandigkeit naeh Ergebnissen ordneten (s. 0.), also eine vergleiehsweise untibersiehtliehe Sortierstrategie anwendeten, fiel das Fehlen einer Aufgabe nieht auf.

Wie aus der Zeitspalte ersiehtlieh, untersehied sieh der Zeitbedarf der einzelnen Gruppen z. T. erheblieh. 1m Durehsehnitt wurden fUr die 1. Phase des Interviews seehs Minuten benotigt (Verstehen der Aufgabenstellung), so daB die Produktion von Losungen und die Begrundung der Vollstandigkeit bei Heiko und Stefan etwa 11 Minuten dauerte, wiihrend Laura und Steffi hierzu rund 50 Minuten benotigten.

Insgesamt ordneten flinf der neun Interviewgruppen die von ihnen gefundenen Mogliehkeiten mit Hilfe der Strategie ,erster Summand'. Diese Gruppen konnten aueh samtlieh deren Vollstandigkeit erklaren. Zwei Gruppen entsehieden sieh anders: Jens und Dominik sortierten zuerst naeh der Strategie ,Anzahl der Summanden' und konnten mit deren Hilfe ebenfalls die Vollst!indigkeit begrunden. Angelina und Kathi ordneten naeh der GroBe des Ergebnisses und konnten so verstandlieherWeise keine Begrundung entwiekeln.


Tabelle 2: lrberblick Uber Interviewergebnisse

Namen Zeit AIle Sortierstrategie Begrtindung

Marc & Frederic 50' Ja 1. Summand Ja

Angelina & Kathi 47' (Ja) Ergebnis

Zara & Nadine 36' Ja

Jens & Dominik 40' Ja Anzahl d. Sum. Ja

Alex & Vincent 41 ' Ja 1. Summand Ja

Max & Marc 35' Ja 1. Summand Ja

Katharina & Laura 45' Ja

Laura & Steffi 56' Ja 1. Summand Ja

Heiko & Stefan 17' Ja 1. Summand Ja

Lediglieh zwei Gruppen (Zara und Nadine; Katharina und Laura) versuehten nieht, die Vollstandigkeit naehzuweisen. Das Interesse an der Problemsituation war hier anseheinend mit dem Auffinden der 27 Mogliehkeiten ersehOpft.

In aller gebotenen Ktirze wollen wir absehlieBend noeh etwas tiber das Sozialverhalten wahrend der Interviews sagen. So ist zu hinterfragen, ob nieht vielleieht in einigen Hillen ein Kind allein die Denkleistungen erbraehte und das andere Kind zu allem wohlwollend, aber ggf. verstandnislos seine Zustimmung gab. Wir sind der Auffassung, einen derartigen Fall wahrend der Interviews nieht beobaehtet zu haben. Das bedeutet nieht, daB wiihrend einzelner Phasen nicht auch einzelne Kinder dominant waren (vgl. Transkript im Anhang).

So steuerten Schiller derselben Gruppe durehaus unterschiedliche Ideen bei. Wie wir in 4.1 beschrieben haben, brachte beispielsweise Alex zuniichst die Vorgehensweise ein, Summen mit jeweils drei Summanden zu bilden, wiihrend Vincent vor allem die ,Ausreizen'-Strategie favorisierte (hinten verliingem). Wie dann im weiteren Interviewverlauf deutlich wird, gelingt es beiden, die Vorgehensweisen des anderen in ihr Repertoire zu integrieren und gemeinsam in denselben ,Strategiebahnen' zu denken. Genauere Analysen von Prozessen des Lemens von- und miteinander (vgl. hierzu Rohr 1995) auf der Basis des vorhandenen Datenmaterials anzustellen, bietet allerdings gentigend Stoff flir eine eigene Arbeit.

5 Foigerungen ffir den Unterricht

Mathematikdidaktische Forschung sollte u. E. nieht vorrangig urn ihrer selbst willen betrieben werden, sondem im wesentlichen, urn die Qualitat des Unterrichts zu verbessem. Guter Unterricht hangt nattirlich _ von einer iOrderliehen Unterriehtskultur ab (Hiebert et al. 1996), aber ganz wesentlieh auch von guten Aufgaben (Gravemeijer 1996). Fragen der Unterrichtsqualitat konnen, so unsere Oberzeugung, kaum unabhiingig von Inhalten diskutiert werden (de Lange 1997).


Insofem ging es uns bei unserem Vorhaben nicht vorrangig urn allgemeine Einsichten oder Theorien Ober das Lehren und Lemen von Mathematik, die wir am vorliegenden Problemfeld exemplarisch aufdecken wollten. Statt dessen haben wir bewuBt den Umgang von ViertklaBlem mit dem Problemfeld ,Summen von Reihenfolgezahlen' ins Zentrum gestellt. Es ist natOrlich nicht unwahrscheinlich, daB Ergebnisse oder SchluBfolgerungen auf lihnliche Problemfelder Obertragbar sind.

Selbstverstandlich sind die folgenden Aussagen mit der Einschrankung zu sehen, daB es sich fiir die SchOler urn eine Sondersituation handelte, in der sich (anders als im normalen Unterricht) ein Erwachsener mit zwei Kindem befaBte. Dieses trug sicherlich zu deren konzentriertem Arbeiten bei. AuBerdem steuerte trotz seiner BemOhungen urn Minimierung seines Einflusses die Anwesenheit des Interviewers sicherlich auch die Gesprachsstruktur. Was beispielsweise als Begrundung angesehen wurde, wurde maBgeblich auch durch die (unbewuBte) Reaktion des Erwachsenen mit bestimmt. Ob wirklich alle SchOler die Begrundung aus sachlichen Grunden als richtig ansahen oder weil sie das Gefiihl hatten, der Interviewer wOrde sie darin unterstOtzten, konnten wir nicht niiher untersuchen.

1m Sinne des von uns - bei dies em Vorhaben - vertretenen qualitativen Paradigmas beanspruchen die nun folgenden Aussagen keine Reprasentativitat, sondem verweisen auf Moglichkeiten. Dem augenblicklichen Stand des Wissens Ober das mathematische Denken von Grundschulkindem in der Auseinandersetzung mit arithmetisch substantiellen Aufgabenstellungen angemessen, haben wir eine Erkundung durchgefiihrt, die das Vorgehen der von uns interviewten ViertkliiBler erheben sollte. Die dort zu beobachtenden Muster sensibilisieren u. E. fur die potentiellen Denkweisen von SchOlem bei der Auseinandersetzung mit der Aufgabenstellung ,Summen von Reihenfolgezahlen' (und wohl auch daruber hinaus). Deren Kenntnis ist fiir die Unterrichtsplanung nach unserem Empfmden genauso unerlaBlich wie eine mathematische Analyse des zu behandelnden Aufgabenfelds. Denn eher allgemein gehaltene, in der Regel entwicklungs- oder lempsychologische Befunde sind dort unbedingt durch inhaltsbezogene Erkenntnisse Ober das Denken von Kindem zu erganzen, wenn nicht gar in manchen Fallen zu ersetzen.

Welche Folgerungen sehen wir nun - trotz der zu machenden Einschrankungen - fiir den Unterricht?

• Das Problemfeld ,Summen von Reihenfolgezahlen' scheint sich fiir den Mathematikunterricht in den oberen Jahrgangen der Grundschule bzw. in den unteren Jahrgangen der Sekundarstufe I zu eignen, urn inhaltliche (Ubung des Kopfrechnens mit mehreren Summanden) und allgemeine Lemziele (entdecken, darstellen, argumentieren) zu erreichen. Es ist mit Blick auf Kompetenz und Motivation der SchOler u. E. kein Wagnis, die beschrieben'"e Aufgabenstellung bereits in einem vierten Schuljahr zu behandeln. Allerdings war der Zeitbedarf der einzelnen Gruppen in den Interviews recht unterschiedlich, so daB wir vorschlagen, sich und den SchOlem fiir die Behandlung der hier diskutierten Kemaufgabe Zeit zu lassen.

Auf den ersten Blick wirken die Aktionen einiger SchOler zu Beginn des Interviews wie zufiilliges Herumprobieren. Was wirr und konfus erscheint, erweist sich bei genauerem Hinsehen als durchaus von einer gewissen (nicht unbedingt fiir andere direkt erkennbaren) Systematik gelenkt. FOr den Unterricht hat das u. E. die Konsequenz, die SchOler ihre eigenen Denkwege gehen zu lassen und dabei deren Denken zunachst einmal als vemonftig anzusehen - auch wenn es nicht so zu sein scheint. Vorausset-


zung hierfur ist die Haltung, die SchUler nicht belehren, sondem die Weiterentwicklung ihrer Kompetenzen anregen zu wollen.

• Die gezeigten SchUlerleistungen stimmen uns optimistisch, daB SchUler der Klassen 4 & 5 prinzipiell in der Lage sind, durch die eigenaktive Auseinandersetzung mit der Aufgabe zunehmend (im Erwachsenensinn) strategischer zu denken und ohne direkte Lehrerintervention Zusammenhange zu entdecken, zu benutzen und zu beschreiben. In fast allen Interviews wurden zunachst verschiedene V orgehensweisen entwickelt, urn weitere Summen zu finden. Diese Vielfalt ist insbesondere vor dem Hintergrund Uberraschend, daB Erwachsene nach unseren Erfahrungen haufig mit einer einzigen Methode zum Ziel zu kommen versuchen. Nach einer gewissen Zeit setzte sich in den Zweiergruppen haufig jeweils eine Hauptstrategie durch. Diese muB anscheinend zunachst im Individuum reifen. Zudem muB wohl auch in der Zweiergruppe erst ein gemeinsam geteiites Verstandnis entstehen. Mit Blick auf den Unterricht ware es u. E. schiidlich, eine Systematik vorzugeben oder diese den Kindem durch methodische Kniffe mehr oder weniger nahe zu legen. So wUrde die Strategienvielfalt der SchUler im Keirn erstickt. Das betrifft insbesondere die Momente, in denen bei den Kindem noch kein BedUrfnis nach Strukturen zu bestehen scheint oder sie zwischen verschiedenen Vorgehensweisen ,hin- und herspringen'.

• Es wurde jedoch auch deutlich, daB die Lehrperson auch dann nicht Ubertlussig ist, wenn man SchUlem Raum und Zeit zum Gehen eigener Wege gibt. So waren zum Ende der Produktionsphase die meisten Gruppen der Meinung, es gebe keine weiteren Summen mehr und sahen (verstandlicherweise) keine Notwendigkeit zu weiteren Begriindungen ("Es gibt keine mehr, weil wir keine mehr finden."). So etwas wie ein ,Beweisbedurfnis' muB sich anscheinend zunachst entwickeln. Genau hier war die Frage des Interviewers von zentraler Bedeutung, wie man zeigen konne, daB es sich urn alle Moglichkeiten handelte, die in zwei Fallen durch den verbalen Impuls des Ordnens erganzt wurde. Problematisch konnte es im Unterricht allerdings sein, dies en Zeitpunkt so abzupassen, daB moglichst viele SchUler davon profitieren.

Der (gelungene) Verlauf der Interviews veranlaBte uns, deren Autbau und die dort gewonnenen Erkenntnisse fur die Planung einer Unterrichtsreihe zu Ubertragen. Es fehlt der Platz, urn Uber den Verlauf der Unterrichtsversuche und weitere Konsequenzen zu berichten (vgl. Schwatzer & Seiter, in Vorb.). Statt dessen wollen wir mit einigen eher grundsatzlichen Gedanken zu unserem Verstandnis mathematikdidaktischer Forschungs- und Entwicklungsarbeit schlieBen.

Verschaffel (1996, 42) sieht es als eine vielversprechende Entwicklung an, daB in der Mathematikdidaktik die ,konstatierend-analysierende' in zunehmendem MaBe durch ,konstruierende' Forschung erganzt wird. Ais beispielhaft fuhrt er das niederlandische Paradigma der Entwicklungsforschung an (Gravemeijer 1994; Streetland 1991; De Jong & Wijers 1993).

Neben Mathematikdidaktikern, die Lehr-/Lernprozesse analysieren, sollten, so Verschaffel, im Interesse des Fortschritts unserer Disziplin diejenigen gleichberechtigte Partner sein, die theoretisch wie empirisch fundierte Unterrichtsvorschlage entwikkeln, die sich in globale (z. B. in Treffers 1987; Wittmann 1981) und lokale (z. B. Streefland 1991; Scherer 1995) Theorien von Mathematikunterricht einordnen. Idealerweise sind allerdings die analysierenden und die konstruierenden Komponenten in


einem Forschungsvorhaben vereint; d. h. die Resultate der Analysen wirken auf die Konstruktionsarbeit ein, deren Produkte werden wieder der Analyse unterworfen, usw.

Solche Arbeit fUhlt sich dem Paradigma von Mathematikdidaktik als design science verpflichtet (Wittmann 1995a; zur internationalen Einordnung, vgl. Sierpinska & Kilpatrick 1997). In dies em Sinne haben wir versucht, die Resultate un serer Forschungen fUr den Unterricht fruchtbar zu machen. Wir haben Konsequenzen aus den Interviews gezogen, dann Unterrichtsstunden gepJant und durchgefUhrt (im Sinne der design experiments etwa von Greeno et al. 1996, 15, oder Lampert 1986) und deren Verlauf wiederum analysiert.

FUr die Zukunft teilen wir den Optimismus de Langes (1997), daB die mathematikdidaktische Forschung sich vermehrt auch in diese Richtung orientieren wird. Ein solches Wechselspiel zwischen Analyse und Konstruktion verspricht insbesondere fUr die zentralen Themen - wie das Einmaleins oder die Bruchrechnung - viel lohnenswerte Arbeit, insbesondere wenn auch die allgemeinen Lernziele des Mathematikunterrichts sowie die generellen Erziehungsziele von Schule verstarkt in den Blick genommen werden sollen.

Anmerkungen

Eine frtihrere Version dieses Textes haben wir anla13lich der Paderborner Grundschulgesprache (PGG) im Kreise von Kolleginnen und Kollegen diskutieren konnen. Allen Beteiligten mochten wir fur die hilfreichen RUckmeldungen herzlichst danken. Auch den Gutachtern des JMD danken wir fUr ihre Anregungen. SchlieBlich sei Frau Maja Wiprachtiger sei fUr die Transkription der Interviews recht herzlich gedankt.

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Anschriften der Autoren: Ulrich Schwtitzer, Westermannstr. 29, 44388 Dortmund Christoph Seiter, P!idagogische Hochschule Heidelberg, Fakulttit III, 1m Neuenheimer Feld

561, 69120 Heidelberg

Anhang

Transkript des Interviews mit Alex und Vincent

Vorangegangen ist die Erkl!lrung der Aufgabenvorschrift

1. V: Was soli ich schreiben? 2. I: So, daB man es schon noch le

sen kann!

3. V: Gut, was soli ich schreiben? 4. A: 1+2+3. 5. V: (schreibt 1+ ... ) Ein bif3chen

klein. 6. I: Kann man sehen, ja. 7. V: (schreibt weiler 2+ 3, flustert

dazu)

8. I: 9. V: 10. I:

11. V: 12. I: 13. A: 14. V:

15. A: 16. V: 17. A: 18. V: 19. A: 20. V:

21. A: 22. V: 23. A:

24. V:

25. I: 26. V: 27. A:

Und dann schreibt ihr ... Gleich 6. (schreibt =6) Genau, gleich 6, da bin ich mal gespannt, wie viele ihr findet. Und darunter geht es weiter. Mhm. Darunter machen wir 4, 5, 6. 4+5+6 (schreibt dabei 4+ 5+ 6), sollen wir noch die 7 machen, oder? Na komm! Von mir aus. (schreibt + 7) plus 7 gleich ... Das macht ... 9, 15 ... 22. Ja. (schreibt = 22, flustert dazu) Ais ntichstes 8. (schreibt 8+ 9+) 8+9+ ... Nee, das geht gar nicht, du kommst schon driiber. (streicht 8+ 9 durch) Dann machen wir das so .... Konnen wir die gleiche Zahl mehrmals brauchen? Ja (schreibt die 7+8+ 9) 12 auf jeden Fall.


28. V: Ja, 24. (schreibt = 24) Kann 56. V: 1st doch ganz leicht. 3+4 sind man auch mal eine Zahl dop- 7, und das hier (zeigt auf 7) pelt nehmen? Namlich sind 14, das dazu (zeigt auf 6) 5+5+5+5? (lacht verlegen und sind 20. schaut zu A) 57. I: Dann die 6 dazu sind 20 ...

29. I: Das sind aber dann keine nochmals 5. Reihenfolgezahlen. 58. V: Genau! (jlilstert)

30. A: Wir konnen auch noch 2+3 59. I: Mhm. nehmen. 60. V: Ich bin gut, ne?

31. I: Mhm. 61. I: Ja, ihr seid be ide gut. 32. A: 2+3. 62. A: Ich hab das da oben einfach. 33. V: (schreibt 2+ 3+ 4+ 5) Da steht ja schon ...

2+3+4+5 ... 63. V: WeiB ich! 34. A: Stop, stop! 64. I: Was steht da schon? 35. V: Warum sollen wir nicht wei- 65. A: Ja, 3, 4, 5, 6.

termachen? Das sind doch erst 66. I: Mhm. 9 .... Plus 6, komm, machen wir 67. V: (schreibt 3+ 4+ 5+ 6) Dann noch 6! plus 7. (notiert + 7) Tja, wenn

36. A: (nickt) man schlau ist! 37. V: (schreibt +6 =, rechnet 6+5 ... 68. I: Wo steht denn 3, 4, 5, 6?

+4 ... +3+2) II ... 15 ... 18, 20! 69. A: Da, wenn man die 2 wegnimmt. (schreibt 20) 70. V: Dann hat er das ausgerechnet

38. A: Genau. und dann hat er geguckt, ob 39. V: Wart mal, jetzt mliBten doch I, das plus 7 geht, und dann hat

2 ... (schreibt 1+ 2 ... ) er es plus 7 genommen. 40. A: (lacht) 1+2+3 ... 71. I: Mhm. 41. V: +4+5+6 = 21 (schreibt 72. V: Noch welche?

1+2+3+4+5+6 = 21) 73. I: Ja, so viele wie ihr findet! 42. I: Wie hast du das denn so

schnell ausgerechnet? 43. V: 1st doch klar, 6, 5, 4, 3, 2 ist da

oben. 20 und dann noch die I. 44. I: Ach so, gut. (aile lachen) 45. V: Ehm, babab. Was jetzt?

(schaut zu Alex) Nehmen wir-unter 25 kann man ja nichts mit Tausendern nehmen. 1st ja bJ(id.

46. A: 3+4+5+6+7 ... geht. 47. V: (schreibt 3+ 4+ 5+ 6+ 7)

3+4+5+6+7= 48. I: Woher weiBt du das? 49. A: (zuckt mit der Schulter) 50. I: Ausgerechnet oder wie? 74. V: Mhm .... Nee, nicht wieder I.

51. A: Ja, das mliBte gehen. (schreibt 1+, streicht es wie-

52. V: Wenn du meinst... der)

53. I: Hast du mal so geschatzt? 75. A: Warum machst du nicht 7+9?

54. V: Ehm 14 ... 14,20 ... 25. '" Geht auch.

(schreibt 25) 76. V: 11+12+ 13 (schreibt 11+ 12 = )

55. I: Mhm. 14,20,25. Wie hast du 13 ist ja schon vorbei ...

das denn gerechnet? 77. A: Sind 23. 78. V: (schreibt 23) .Dann ...


79. A: Wenn das 23 sind, dann 104. A: 11 ... kannst du doch 12+ 13 ... 105. V: (schreibt 11 =) Gleich 21

80. I: Mhm. Das kann man auch. (schreibt 21) 81. V: Ach 13 doch nicht, dann sind 106. A: Haben wir das nicht schon?

wir Uber 30! 107. V: Nee, keine 10 am Anfang .... 82. A: (iiberlegt) Nein. Wart' mal, also 10, 9, 5, 6, 12, 83. V: Wenn du von denen die 3, 1,2, 7, 4, 1. Was haben wir

Zehner nimmst, dann sind's ja noch nicht am Anfang? Haben schon Uber 30. wir schon die 7 am Anfang?

84. A: Dann mach 12+13. Und die 3? 85. V: Ach so, 12+13, sind zusammen 108. A: Ja

25. Ich dachte 11+ 12+ 13 ... 109. V: Wollen wir mal schauen: 1, ... 86. I: Mhm. 2, ... 3, ... 4, ... 5, ... 6, ... 87. V: (schreibt 12+ 13=, jliistert 110. A: Da oben die 7. 8 hatten wir

dazu) noch nicht, 8, 9 ... 88. I: Mhm. Ill. V: +9 (schreibt 8+ 9) + 1 0, ach 89. A: 25. nee. 90. V: (schreibt 25) Haben die ande- 112. A: Doch geht!

ren mehr gefunden, ja? (/. 113. V: (schreibt + 10 =) Das sind nickt) Viel mehr? (1. nickt) dann 10 ... 19 ... 17 ... 27. Geht Komm, dann mUssen wir uns gar nicht! mal anstrengen. 114. A: Nee, das geht nicht, gibt nam-

91. A: Mach doch 3+6 - ach nee, geht lich 27! ja gar nicht. 115. V: (streicht Rechnung durch,

92. V: (schreibt 6+ 7+8 = ) Mal aus- schreibt darunter 8+ 9) rechnen, wieviel das sind. Das Machen wir's lieber so, ne. sind dann ... ehm 13 ... 13, 21. (schreibt = 17) Wart mal, ... Ja, dann reichl's. (schreibt 21, jetzt haben wir 8, 9, 10. 11 am 10 sec Pause) Also ehm, wir Anfang haben wir noch nicht. hatten die 5 noch nicht am 11 + 12. (schreibt 11+) Die ha-Anfang gehabt. ben wir schon mal andersrum.

93. A: Achja 116. A: Ja und? 94. AIV:5+6+7 (sprechen gemeinsam) 117. V: Guck da ... Ach doch, die ha-95. A: Gleich 28 ben wir schon. (zeigt auf 96. V: 28? G1eichI8! (schreibt 11+12 = 23, streicht ange-

5+6+ 7 =) 18? Dann konnen fangene Aufgabe durch) 11 ... wir noch 8 dazu tun? Nee, 12 ... Ja, mit 13 konnen wir kann nur die 7 dazu, das sind nicht anfangen. Geht nicht. Ja, 18. (schreibt 18) ... Ehm, was das war's. noch? OberJeg mal scharf, was 118. I: Mhm. Keine anderen mehr? haben wir noch nicht gehabt? Oder. was meint ihr? ... 5,6, 12,3, 1,2,7,4, 1 hatten 119. V: Doch, glaub' schon, da gibl's wir schon am Anfang. noch welche .... Da gibl's noch

97. I: Mhm. irgendwo welche. 98. V: Jetzt mUssen wir mal mit 9 am 120. A: Haben wir schon 7 und 8?

Anfang. 121. V: Ja .... Mehr kann es ja gar nicht 99. A: 9,10 ... geben, wenn wir schon mit al-100. V: 9+ 1 0 (schreibt 9+ 10 =) len angefangen haben. 101. I: Mhm. 122. I: Mhm. 102. A: Gleich 19 123. V: Doch, 25 selbst. Nein ... 103. V: (schreibt 19, jliistert dazu) 124. A: Ne.

10+ (schreibt 10+) tschmm. 125. I: 1st ja keine Plusaufgabe, ne?


126. V: Nee, gibfs keine mehr .... 144. V: la, aber 3+4, dann 3+4+5, Gibf s noch welche? 3+4+5+6. Soli ich das jetzt al-

127. I: Naja, ich fragja nur. Was les nochmals aufschreiben? meinst du denn, Alex? 145. A: Wir konnten eigentlich auch

128. A: Ich glaube nicht. (schuttelt anders anfangen. 1+2, 1+3, 1+ den Kopf, 15 sec Pause) - ach nee, geht ja gar nicht!

129. V: Wir haben mit allen schon an- 146. I: Mhm. gefangen, also kann' s gar nicht 147. V: (rechnet aus, schreibt 18) Soli mehr geben. ich jetzt alles aufschreiben?

130. I: Mhm. (5 sec Pause) 148. I: Der Alex kann ja auch mal 131. A: Stimmt. (5 sec Pause) schreiben, wenn es dir zu vie! 132. I: lch meine nur, weil der Alex wird.

gesagt hat, 7+8 konnte man 149. V: (ubergibt A das Papier) auch schreiben. 150. I: Alex, rlick noch ein biBchen

niiher. 151. V: Dann konnten wir die noch

verklirzen, (zeigt auf den Bildschirm) 1+2+3+4.

152. A: Haben wir die schon? ... 3+4 hatten wir noch nicht. (schreibt 3+ 4)

153. V: 3+4, ist das eine Baby-Aufgabe! Gleich wieviel ist es denn? (ironisch)

154. A: (schreibt = 7) 155. V: Konnten wir noch 5 machen?

letzt kannst du 3+4+5 machen. 156. A: (schreibt 3+ 4+ 5) 157. V: 3+4+5+6 haben wir schon

133. V: Das haben wir doch schon ... 158. A: Gleich 12 (schreibt = 12) (flustert und beugt sich dabei 159. V: Die niichste 3+4+5+6 haben uber das Blatt) wir schon. letzt kannst du al-

134. A: Doch klar, geht doch! les nochmal, immer nochmal 135. V: Haben wir doch schon hier. von vorne.

(zeigt auf 7+8+ 9) Ach so, nee. 160. A: 1+2, mal sehen. 1+2 hatten wir Haben wir noch nicht. noch nicht.

136. I: Mhm. 161. I: Mhm. 137. V: (schreibt 7+8 =) 162. A: (schreibt 1+ 2 = 3) 138. A: 15 163. V: Was flir eine schwere Aufgabe! 139. V: (schreibt /5) Mhm .... Wir (flustert, ironisch)

konnen auch noch verklirzen. 164. A: 2+3 hatten wir auch noch (unverstiindlich) 3+4+5+6, nicht. (schreibt 2+ 3 = 5) das war's dann aber auch 165. V: 2+3 ... Darunter kannst du ja schon. schreiben 2+3+4.

140. I: Mhm. 166. A: Haben wir das? 2 ... +3 ... +4. 141. A: Haben wir schon 3+4? (schaut oben nach) 142. V: (schreibt 3+ 4+ 5+ 6) 3+4+5+6 167. V: Nee. (schaut eben/ails nach)

... da gibf s ja tausende. Soli 168 . A: (schreibt 2+ 3+ 4= 9) ich die jetzt aile aufschreiben? 169. V: Danach kannst du 2+3+4+5 ...

143. I: la, tausende vielleicht nicht, 170. I: Warum verklirzt ihr die ne? Aufgaben da oben?


171. V: Wir mUssen ja. Du hast ja ge- 195. A: 13? sagt, wir mUssen alles auf- 196. V: Ja, mach' 13. Mhh, bist du doof. schreiben! 197. A: (schreibt = 13)

172. A: Also, das (zeigt auf 2+ 3) wa- 198. V: Jetzt sind wir bei ... 5+6 haben ren schon 5, dann (4+ 5) sind's wir schon? Nee, haben wir 9 noch nicht. Sind 11, das sind

173. I: Mhm. namlich 11. 174. A: Also, was war das? 2+3+4+5 199. A: (schreibt 5+ 6 = 11)

sind ... 14. (schreibt 200. V: 9+1 0 haben wir schon. Das 2+ 3+4+ 5= 14) haben wir schon, das haben

175. V: Da fehlt eine 9. (zeigt auf wir schon, das haben wir 2+ 3+ 4, nimmt das Blatt und schon. (zeigt auf einzelne ergiinzt die 9, gibt das Blatt Rechnungen) ... Haben wir zuruck; dann nicht zum schon 3+4? Thema) 201. A: Ja

176. V: 7+8, haben wir das schon? 202. V: Das haben wir schon. Wir ha-Nee, haben wir noch nicht. ben alles durch.

177. A: Doch klar! 203. A: Haben wir 1+2+3? Ja. 178. V: Wo? 204. V: Wir haben alles durch. Von 179. A: 7+8 hatten wir. oben bis unten. 180. V: Na gut, dann ist es auch ega!. 205. I: Mhm' 181. A: Haben wir 7+8+9? 206. V: MUssen wir jetzt alles nochmal 182. V: Ja, haben wir auch schon. durchgehen oder was?

Dann machen wir jetzt 1+2. 207. I: Mhm. Ihr sollt so viele auf-183. A: Hatten wir schon. schreiben, wie ihr findet. 184. V: 1+2+3+4+5 208. V: Ja, danach gibt es keine mehr. 185. A: Hatten wir schon! 1+2+3 ... Guck mal hier: 2+3+4. Wenn 186. V: Hatten wir schon 3+4+5+6? ... wir die jetzt hier (deckt die 2

Ja, haben wir auch schon. ab) verkUrzen, kommt wieder 187. A: Ja das gleiche raus. Das war's. 188. V: 1st da auch schon - ne, da Wir haben jetzt alle nochmal

konnen wir nichts machen verkUrzt und verlangert. (zeigt auf 11+12=23). 209. A: Wie war's denn 4+5, haben wir

189. A: Hatten wir 1+2+3? die schon? (schaut nach) 210. V: Ja, glaub schon, oder? Nee,

oder, nee haben wir nicht. Da oben ist sie verlangert. Nee, haben wir noch nicht. 4+5! (laut)

211. A: (schreibt 4+ 5 = 9) 212. V: Haben wir schon 4+5+6? 213. A: Ja, glaub' ich schon. 214. V: 4+5+6, nee, haben wir noch

nicht. 215. A: (schreibt 4+ 5 ... )

190. V: Hast du auch schon 6+7? 216. V: Das war's. (/lustert) Haben wir 191. A: (schaut oben nach) 6+7 hatten schon 1+2? Ja, haben wir

wir noch nicht. schon. 192. V: Gut, dann schreib mal aufl 217. A: Warte, warte, warte! (schreibt 193. A: (schreibt 6+ 7) Also, 6+7 sind weiler + 6 = 15) Dann hatten

wir '" 5+6 hatten wir schon? 194. V: 11, ne, das sind ja 5+6.


218. V: Wir passen nicht mehr auf's 246. A: 3+4+5 ... Bi!d. (schweift ab) 247. V: Haben wir schon. Aah, ich

219. A: Hatten wir 5+6, ja? (Beide glaub wir haben alles. schweifen ab) 248. I: Hm.

220. A: 5+6 hatten wir noch nicht, 249. V: Und du, was denkst du? (zu J) (schreibt 5+ 6) sind II. 250. I: Ich hab da jetzt nicht ganz den (schreibt = 11) Uberblick.

221. V: Hatten wir schon 4+5? 251. V: Ja, dann guck' mal! 222. A: Ja, wir hatten 5+6 doch schon! 252. A: (lacht; V schweift ab)

(streicht es durch) 253. I: Wie viele sind's denn insge-223. V: Wir konnten alles auch von samt, die Ihr gefunden habt?

hinten nehmen. 13+ ... nee. 254. A: Also, ich zahle! (zahlt laut Jetzt k6nnen wir von hinten von 1 bis 25) nehmen. Jetzt konnen wir 8+9 255. V: (versucht wahrenddessen A zu nehmen. verwirren, indem er Zahlen

224. I: Mhm. wie z. B. 68 hineinruft) LaB 225. V: 8+9 haben wir schon, dann mich mal zahlen, 25! Wow,

konnen wir 6+7 ... cool! (zieht das Blatt weg) 25. 226. A: Wir konnen auch 9+8 ... 256. A: Es gibt aber 27! (taut, will ihm 227. V: 6+7 haben wir auch schon. das Blatt wegziehen) 228. A: Wir konnen auch ... 257. I: W oher weiBt du das denn? 229. V: Haben wir auch schon. 258. A: Hm, wei13 nicht. 230. A: Konnen wir auch 9+8 neh- 259. V: Nee, 25, wir sollen bis 25 ma-

men? chen, und jetzt haben wir 25. 231. V: 2+3, haben wir die schon? 260. A: Nee, warte, warte, es muB noch

(laut) 2 geben, das weiB ich! 232. A: Ja. Nein. Doch. 261. I: Ja, woher denn? 233. V: Haben wir schon 5+6? 262. A: Wei! mir mein Vater das gesagt 234. A/V: Ja hat. 235. V: Haben wir schon 7+8 und im- 263. I: Hat dir dein Vater gesagt?

mer so weiter. Guck, da kann 264. A: Ja man 5+6, dann 4+5 und immer 265. V: Tja, wenn man schlau ist, dann so weiter. Da kommen tausend weiB man's! Na dann schau noch. Wie viele sollen wir. mal, es gibt keine mehr! denn noch aufschreiben? 266. I: (unverstandlich)

236. I: Vielleicht habt ihr ja jetzt aile 267. A: 7+8 haben wir das schon ... gefunden! 268. V: Ich wei13, das waren aile. Schau

237. A: Was? mal, wir sollten bis 25 rech-238. I: Vielleicht habt ihr ja schon nen. 25 Aufgaben haben wir.

aile gefunden! 269. I: Mhm. 239. V: Nein, haben wir nicht. 270. V: Dann waren das aile. 240. A: Das konnen noch nicht aile 271. I: Mhm.

sein! Das Blatt muB voll sein. 272. V: Das waren aile. Weil da sind 241. V: Es gibt auch noch 3+4, oder? 25 Aufgaben, und bis 25 soll-

Ja! Guck mal nach, Alex! ten wir rechnen. Sollten wir 242. A: 3+4 ... haben wir schon. bis 28 rechnen, wette ich, wir

(gedehnt) hatten 28 Aufgaben. (5sec 243. V: MUssen wir ... Pause) Wenn wir bis 27 rech-244. A: 5+6 ... Wo ist das denn? nen wUrden, wie er meint, dann

(Vincent schweift ab, wahrend wUrden wir auch 27 Aufgaben Alex weiler uberlegt) haben!

245. V: Haben wir schon 3+4+5? 273. I: Mhm.


274. A: (uberlegt wahrenddessen die doch klar! (ungeduldig, 15 sec ganze Zeit, sucht weiter auf Pause) Oje, hmhm. (5 sec dem Blatt) Pause) Wart mal 10+11,9+10,

275. V: Das war's Alex! 8+9,7+8, ... mm babababababa. 276. A: Nein ... Also ich sag, da gibt es keine 277. V: Doch! mehr. (legt den Stift auf den 278. A: (schaut weiter auf das Blatt Tisch)

und uberlegt) 294. A: (sucht immer weiter, zeigt mit 279. V: 1st doch klar. Bei 27 hatten wir dem Stift auf das Blatt. 20 sec

2 Aufgaben mehr. Also ich Pause) glaub, daB das alles war. (wirft 295. V: Haben wir auch schon. Stift auf den Tisch; V schweift 296. I: Was haben wir schon? ab; 5 sec Pause) 297. V: Ich habe da oben die ganzen

280. A: Haben wir 8,9,1O? ... Da ist es. Aufgaben mal alle durchge-(10 sec Pause) guckt. ... Hier oben ist schon

281. V: Es gibt keine mehr, glaub's mal nichts. mir! 298. I: Da hast du immer so geschaut,

282. I: Tja, dann muBt du das dem ob du vome oder hinten noch Alex irgendwie beweisen, daB etwas wegl1if3t, oder wie? Bei das alle sind. den Aufgaben da oben.

283. V: Das ist doch so. Wenn man bis 299. V: Mmmm, hm. (atmet hOrbar aus, 25 rechnen soll, dann haben 10 sec Pause, schlagt auf das wir 25 Aufgaben. Blatt) Ich habe eine! 5+6+7,

284. I: Hm. haben wir die schon? (geht die 285. V: Wenn wir bis 27 haben, dann Aufgaben von unten her

gibt es 2 mehr. durch) Hm, haben wir schon. 286. I: Kann ja Zufall sein, daB es ge- (schiebt Blatt von sich weg)

nau so viele sind, wie die Zahl 300. I: Wie bist du denn darauf ge-seiber ist. kommen? Hast du oben etwas

287. V: Nee, kann kein Zufall sein, so weggelassen wieder? vie I gibt's nur. Also ich 30\. V: Ja, dann hab ich da unten ge-glaube, es gibt 25. schaut, da war nichts, da

288. I: Vielleicht kann man mit den dachte ich, da das war. (schaut Aufgaben dem Alex beweisen, auf den Monitor, langweilt daB es alle sind. sich)

289. V: Konnte man ausrechnen. 302. A: 1+2+3+4 (redet,ganz ruhig 290. A: (beugt sich uber das Blatt, und macht dabei den Stift auf)

uberlegt und sucht nach wei- 303. I: Mhm. teren Aufgaben, 10 sec Pause) 304. A: Hahen wir noch nicht.

291. V: Ich sag', das waren alle. (spie/t (schreibt 1+2+3+4) mit dem Stift, 25 sec Pause) 305. V: Wo denn? (schaut oben nach) Na, ... findest du noch wel- 306. A: Sind namlich 10 (schreibt =

che? 10) 292. I: Also ganz iiberzeugt den Alex 307. I: Wie bist du da jetzt darauf ge-

das nicht, daB Du einfach kommen? Auf 1+2+3+4? sagst, das sind 25, weil 25 das 308. A: Da steht I, 2, 3. groBte Ergebnis ist. 309. I: Mhm.

293. V: Ja, sind denn da noch welche? 310. A: Dann ... Findest du noch welche? 311. V: Ach so, dann kann man noch (schaut jetzt ebenfalls auf das welche dazu tun. Blatt, 15 sec Pause) Wir ha- 312. I: Mhm. Super. Klasse Alex! ben doch alles. (flustert) 1st


313. A: Da gibt's noch - nee, die hat- (J 5 sec Pause) ten wir schon ... 1, 2, 3, 4, 5 ... 341. V: Ja, shit. Das da unten sind nur

314. V: Ja, haben wir schon, oder? die nachgemachten, braucht 315. A: 1+2+3+4+5 hatten wir ... noch man gar nicht zu schauen.

nicht! 342. A: I, 2, 3 haben wir auch. 316. 1: Mhm! 343. I: Mhm. 317. V: Wir hatten nur bis 6. 344. V: 6+7 ... 5+6 haben wir das? Ja, 318. A: 1+2+3+4+5 (schreibt II. 7+8, was denkst du? (leise,

1+2+3+4+5) 20 sec Pause) BlMes Ding. 319. V: Rechne doch da einfach 6 ab! (flustert leise, 5 sec Pause)

(zeigt auf diese Aufgabe) 345. I: Hm. Dann sind es niimlich 15. 346. V: Nichts mehr, ja.

320. I: Mhm. 347. A: Nee. (schuttelt den Kopf) 321. A: (schreibt = 15) Ich glaub', das 348. I: Tja, wie kann man sich denn

sind jetzt aile. klarmachen, daB das jetzt aile 322. I: Mhm. sind? Konnt ihr mir das mal 323. A: Puuh. (schliej3t den Stifi) erkHiren? Ihr habt da jetzt ge-324. I: Vielleicht gibt es ja noch mehr, rade nachgeschaut.

vielleicht hat dein Vater ja 349. V: WeiB ich doch nicht! ... LaB auch eine vergessen, eine ihn das erklaren .. ,. Einfach mal Moglichkeit oder zwei. manchmal Zahlen drangehangt

325. A: Mal sehen. und immer geguckt, ob's viel-326. V: 3+4+5+6+7, haben wir die leicht ...

schon? (flustert) 350. A: Man konnte ja auch 1+2 mal 327. A: (zeigt darauf) aufschreiben, dann 1+2+3 auf-328. V: Haben wir schon ... (flustert) schreiben, dann 1+2+3+4 und

ScheiBe ist das! (J 5 sec Pause; das dann mit jeder. beide beugen sich aber das 351. V: 1+2 haben wir, 1+2+3 ... Blatt.) 352. I: Mhm, ja. Wollt ihr das ma-

329. V: Nee, ich glaub, jetzt gibt's chen? keine mehr. 353. V: Wart mal, 1+2, haben wir ei-

330. A: Hm. (1.20 min Pause) gentlich 1+2? 331. I: Was probiert ihr denn da jetzt 354. VIA: Ja! (zusammen)

immer aus? 332. V: Alles Mogliche, ne. V und A schneiden dann die einzelnen 333. I: Mit Verlangern? Moglichkeiten aus, sortieren sie wie aus 334. A: Ich bin bei der Zahl jetzt. Abschnitt 4.2 ersichtlich und begrUnden

VerkUrzen, verlangem. schlieBlich die Vollstandigkeit so, wie 335. V: Man konnte auch was dran- dort angedeutet.

hangen vielleicht. 336. I: Mhm. 337. A: An die 7, da kann man doch

nichts mehr dranhangen. 338. 1: 1st zu groB, ne. 339. V: 9+ 1 0, haben wir das schon? 340. A: Mhm.

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Summen von Reihenfolgezahlen — Vorgehensweisen von Viertkläßlern bei einer arithmetisch substantiellen Aufgabenstellung