SvenBlankenburg

FrequenzanalyseI

Theorie1

Experiment 1

Entrauschen

Fourier

Moving Average

FrequenzanalyseII: STFT

Zebra-Fink

MATLAB Kurs 2010 Teil 2Eine Einfuhrung in die Frequenzanalyse via

MATLAB

Sven Blankenburg

26.11.2010&

03.12.2010

SvenBlankenburg

FrequenzanalyseI

Theorie1

Experiment 1

Entrauschen

Fourier

Moving Average

FrequenzanalyseII: STFT

Zebra-Fink

Inhaltsverzeichnis

1 Frequenzanalyse ITheorie1Experiment 1

2 EntrauschenFourierMoving Average

3 Frequenzanalyse II: STFTZebra-Fink

SvenBlankenburg

FrequenzanalyseI

Theorie1

Experiment 1

Entrauschen

Fourier

Moving Average

FrequenzanalyseII: STFT

Zebra-Fink

Ziele

Kurze Einfuhrung in die Fourier-Analyse

MATLAB Routinen fur FFT

Beispiele und Anwendungen

SvenBlankenburg

FrequenzanalyseI

Theorie1

Experiment 1

Entrauschen

Fourier

Moving Average

FrequenzanalyseII: STFT

Zebra-Fink

Ziele

Kurze Einfuhrung in die Fourier-Analyse

MATLAB Routinen fur FFT

Beispiele und Anwendungen

SvenBlankenburg

FrequenzanalyseI

Theorie1

Experiment 1

Entrauschen

Fourier

Moving Average

FrequenzanalyseII: STFT

Zebra-Fink

Ziele

Kurze Einfuhrung in die Fourier-Analyse

MATLAB Routinen fur FFT

Beispiele und Anwendungen

SvenBlankenburg

FrequenzanalyseI

Theorie1

Experiment 1

Entrauschen

Fourier

Moving Average

FrequenzanalyseII: STFT

Zebra-Fink

Ziele

Kurze Einfuhrung in die Fourier-Analyse

MATLAB Routinen fur FFT

Beispiele und Anwendungen

SvenBlankenburg

FrequenzanalyseI

Theorie1

Experiment 1

Entrauschen

Fourier

Moving Average

FrequenzanalyseII: STFT

Zebra-Fink

Theorie 1

Theorem

Jede stetige Funktion f kann als Superposition einer Reihe vontrigonometrischen Funktionen (Sinus, Kosinus) dargestelltwerden.

f (t) =a0

2+∞∑

n=1

an cos (n · t) +∞∑

n=1

bn sin (n · t) (1)

an =2

T

∫ +T/2

−T/2f (t) cos

(2π · nt

T

)dt (2)

bn =2

T

∫ +T/2

−T/2f (t) sin

(2π · nt

T

)dt (3)

SvenBlankenburg

FrequenzanalyseI

Theorie1

Experiment 1

Entrauschen

Fourier

Moving Average

FrequenzanalyseII: STFT

Zebra-Fink

Theorie 1

Theorem

Jede stetige Funktion f kann als Superposition einer Reihe vontrigonometrischen Funktionen (Sinus, Kosinus) dargestelltwerden.

f (t) =a0

2+∞∑

n=1

an cos (n · t) +∞∑

n=1

bn sin (n · t) (1)

an =2

T

∫ +T/2

−T/2f (t) cos

(2π · nt

T

)dt (2)

bn =2

T

∫ +T/2

−T/2f (t) sin

(2π · nt

T

)dt (3)

SvenBlankenburg

FrequenzanalyseI

Theorie1

Experiment 1

Entrauschen

Fourier

Moving Average

FrequenzanalyseII: STFT

Zebra-Fink

Theorie 1

Theorem

Jede stetige Funktion f kann als Superposition einer Reihe vontrigonometrischen Funktionen (Sinus, Kosinus) dargestelltwerden.

f (t) =a0

2+∞∑

n=1

an cos (n · t) +∞∑

n=1

bn sin (n · t) (1)

an =2

T

∫ +T/2

−T/2f (t) cos

(2π · nt

T

)dt (2)

bn =2

T

∫ +T/2

−T/2f (t) sin

(2π · nt

T

)dt (3)

SvenBlankenburg

FrequenzanalyseI

Theorie1

Experiment 1

Entrauschen

Fourier

Moving Average

FrequenzanalyseII: STFT

Zebra-Fink

Beispiel 1

f (x) =4

π

∞∑n=0

(sin ((2n + 1) · x)

2n + 1

)(4)

Welche Funnktion wird durch diese Fourier-Reihe wohlbeschrieben?

SvenBlankenburg

FrequenzanalyseI

Theorie1

Experiment 1

Entrauschen

Fourier

Moving Average

FrequenzanalyseII: STFT

Zebra-Fink

Beispiel 1

f (x) =4

π

∞∑n=0

(sin ((2n + 1) · x)

2n + 1

)(5)

Welche Funnktion wird durch diese Fourier-Reihe wohlbeschrieben?

SvenBlankenburg

FrequenzanalyseI

Theorie1

Experiment 1

Entrauschen

Fourier

Moving Average

FrequenzanalyseII: STFT

Zebra-Fink

Beispiel 1

f (x) =4

π

∞∑n=0

(sin ((2n + 1) · x)

2n + 1

)(6)

Welche Funnktion wird durch diese Fourier-Reihe wohlbeschrieben?

SvenBlankenburg

FrequenzanalyseI

Theorie1

Experiment 1

Entrauschen

Fourier

Moving Average

FrequenzanalyseII: STFT

Zebra-Fink

Beispiel 1

f (x) =4

π

∞∑n=0

(sin ((2n + 1) · x)

2n + 1

)(7)

Welche Funnktion wird durch diese Fourier-Reihe wohlbeschrieben?

SvenBlankenburg

FrequenzanalyseI

Theorie1

Experiment 1

Entrauschen

Fourier

Moving Average

FrequenzanalyseII: STFT

Zebra-Fink

Theorie 1

Theorem

Mit e iωt = cosωt + i sinωt (Euler-Identitat) wird dieFourier-Reihe zu:

f (t) =+∞∑

n=−∞cne int

Theorem

Die Koeffizienten (Amplituden) der komplexen diskretenFourier Transformation (DFT) lauten:

Fk =1

N

N−1∑n=0

fn · e−i 2πN

n·k

Wobei N die Anzahl der Messpunkte ist, und fn der jeweiligeMesswert an der Stelle n.

SvenBlankenburg

FrequenzanalyseI

Theorie1

Experiment 1

Entrauschen

Fourier

Moving Average

FrequenzanalyseII: STFT

Zebra-Fink

Theorie 1

Theorem

Mit e iωt = cosωt + i sinωt (Euler-Identitat) wird dieFourier-Reihe zu:

f (t) =+∞∑

n=−∞cne int

Theorem

Die Koeffizienten (Amplituden) der komplexen diskretenFourier Transformation (DFT) lauten:

Fk =1

N

N−1∑n=0

fn · e−i 2πN

n·k

Wobei N die Anzahl der Messpunkte ist, und fn der jeweiligeMesswert an der Stelle n.

SvenBlankenburg

FrequenzanalyseI

Theorie1

Experiment 1

Entrauschen

Fourier

Moving Average

FrequenzanalyseII: STFT

Zebra-Fink

Experimental 1

MATLAB benutz intern genau diese Formeln, jedoch wird eineandere Methode verwendet, die aus den Messpunkten diezugehorigen Frequenzen und Amplituden herausfiltert:

Fast Fourier Transformation (FFT): fft

SvenBlankenburg

FrequenzanalyseI

Theorie1

Experiment 1

Entrauschen

Fourier

Moving Average

FrequenzanalyseII: STFT

Zebra-Fink

Experimental 1: Signal

Signal:2 · sin (2π · 100 · t) + 2 · sin (2π · 150 · t) + 1 · sin (2π · 200 · t)

SvenBlankenburg

FrequenzanalyseI

Theorie1

Experiment 1

Entrauschen

Fourier

Moving Average

FrequenzanalyseII: STFT

Zebra-Fink

Experimental 1: Fourier-Spektrum

Signal:2 · sin (2π · 100 · t) + 2 · sin (2π · 150 · t) + 1 · sin (2π · 200 · t)

SvenBlankenburg

FrequenzanalyseI

Theorie1

Experiment 1

Entrauschen

Fourier

Moving Average

FrequenzanalyseII: STFT

Zebra-Fink

Experimental 1: Fourier-Spektrum

Nyquist-Frequenz: Sampling-Rate dividiert durch 2

Frequenzen im Signal sind durch Peaks im Spektrumidentifiziert.

SvenBlankenburg

FrequenzanalyseI

Theorie1

Experiment 1

Entrauschen

Fourier

Moving Average

FrequenzanalyseII: STFT

Zebra-Fink

Experimental 1: Fourier-Spektrum

Signal:2 · sin (2π · 100 · t) + 2 · sin (2π · 150 · t) + 1 · sin (2π · 200 · t)

SvenBlankenburg

FrequenzanalyseI

Theorie1

Experiment 1

Entrauschen

Fourier

Moving Average

FrequenzanalyseII: STFT

Zebra-Fink

Experimental 1: Rucktransformation

Signal:2 · sin (2π · 100 · t) + 2 · sin (2π · 150 · t) + 1 · sin (2π · 200 · t)

SvenBlankenburg

FrequenzanalyseI

Theorie1

Experiment 1

Entrauschen

Fourier

Moving Average

FrequenzanalyseII: STFT

Zebra-Fink

Experimental 2: Anwendung

Fourier-Transformation erlaubt:

Analyse der Grundfrequenzen in einem Signal

Bearbeitung im Fourier-Raum (K-Raum) undanschliessende Rucktransformation kann als Filter benutztwerden, um bestimmte Frequenzbereiche zu unterdrucken..

SvenBlankenburg

FrequenzanalyseI

Theorie1

Experiment 1

Entrauschen

Fourier

Moving Average

FrequenzanalyseII: STFT

Zebra-Fink

Experimental 2: Anwendung

Fourier-Transformation erlaubt:

Analyse der Grundfrequenzen in einem Signal

Bearbeitung im Fourier-Raum (K-Raum) undanschliessende Rucktransformation kann als Filter benutztwerden, um bestimmte Frequenzbereiche zu unterdrucken..

SvenBlankenburg

FrequenzanalyseI

Theorie1

Experiment 1

Entrauschen

Fourier

Moving Average

FrequenzanalyseII: STFT

Zebra-Fink

Experimental 2: Entrauschen (1/4)

file: fourierdata.mat

SvenBlankenburg

FrequenzanalyseI

Theorie1

Experiment 1

Entrauschen

Fourier

Moving Average

FrequenzanalyseII: STFT

Zebra-Fink

Experimental 2: Entrauschen (2/4)

hohe Frequenzen = Rauschen

SvenBlankenburg

FrequenzanalyseI

Theorie1

Experiment 1

Entrauschen

Fourier

Moving Average

FrequenzanalyseII: STFT

Zebra-Fink

Experimental 2: Entrauschen (3/4)

Idee: unterdrucke hohe Frequenzen via single-sidedGauss-Funktion

SvenBlankenburg

FrequenzanalyseI

Theorie1

Experiment 1

Entrauschen

Fourier

Moving Average

FrequenzanalyseII: STFT

Zebra-Fink

Experimental 2: Entrauschen (3/4)

Idee: unterdrucke hohe Frequenzen via single-sidedGauss-Funktion

SvenBlankenburg

FrequenzanalyseI

Theorie1

Experiment 1

Entrauschen

Fourier

Moving Average

FrequenzanalyseII: STFT

Zebra-Fink

Experimental 2: Entrauschen (4/4)

Idee: Rucktransformation (ifft) des gefaltetenFrequenz-Spektrums

SvenBlankenburg

FrequenzanalyseI

Theorie1

Experiment 1

Entrauschen

Fourier

Moving Average

FrequenzanalyseII: STFT

Zebra-Fink

Experimental 2: Entrauschen (4/4)

Idee: Rucktransformation (ifft) des gefaltetenFrequenz-Spektrums

SvenBlankenburg

FrequenzanalyseI

Theorie1

Experiment 1

Entrauschen

Fourier

Moving Average

FrequenzanalyseII: STFT

Zebra-Fink

Experimental 2: Entrauschen (4/4)

Fazit:

Technologie (Fourier-Analyse) funktioniert in diesemBeispiel sehr gut

An den Randern wird das Signal sehr schlecht rekonstruiert

SvenBlankenburg

FrequenzanalyseI

Theorie1

Experiment 1

Entrauschen

Fourier

Moving Average

FrequenzanalyseII: STFT

Zebra-Fink

Experimental 2: Entrauschen (4/4)

Andere Verfahren zum Entrauschen bzw. glatten von Daten ?

moving average

SvenBlankenburg

FrequenzanalyseI

Theorie1

Experiment 1

Entrauschen

Fourier

Moving Average

FrequenzanalyseII: STFT

Zebra-Fink

Experimental 3: moving average

SvenBlankenburg

FrequenzanalyseI

Theorie1

Experiment 1

Entrauschen

Fourier

Moving Average

FrequenzanalyseII: STFT

Zebra-Fink

Experimental 3: moving average

SvenBlankenburg

FrequenzanalyseI

Theorie1

Experiment 1

Entrauschen

Fourier

Moving Average

FrequenzanalyseII: STFT

Zebra-Fink

Experimental 3: moving average

SvenBlankenburg

FrequenzanalyseI

Theorie1

Experiment 1

Entrauschen

Fourier

Moving Average

FrequenzanalyseII: STFT

Zebra-Fink

Experimental 3: moving average

SvenBlankenburg

FrequenzanalyseI

Theorie1

Experiment 1

Entrauschen

Fourier

Moving Average

FrequenzanalyseII: STFT

Zebra-Fink

Experimental 3: moving average

SvenBlankenburg

FrequenzanalyseI

Theorie1

Experiment 1

Entrauschen

Fourier

Moving Average

FrequenzanalyseII: STFT

Zebra-Fink

Experimental 3: moving average

SvenBlankenburg

FrequenzanalyseI

Theorie1

Experiment 1

Entrauschen

Fourier

Moving Average

FrequenzanalyseII: STFT

Zebra-Fink

Experimental 3: moving average

SvenBlankenburg

FrequenzanalyseI

Theorie1

Experiment 1

Entrauschen

Fourier

Moving Average

FrequenzanalyseII: STFT

Zebra-Fink

Experimental 3: moving average

SvenBlankenburg

FrequenzanalyseI

Theorie1

Experiment 1

Entrauschen

Fourier

Moving Average

FrequenzanalyseII: STFT

Zebra-Fink

Experimental 3: moving average

SvenBlankenburg

FrequenzanalyseI

Theorie1

Experiment 1

Entrauschen

Fourier

Moving Average

FrequenzanalyseII: STFT

Zebra-Fink

Experimental 3: moving average

SvenBlankenburg

FrequenzanalyseI

Theorie1

Experiment 1

Entrauschen

Fourier

Moving Average

FrequenzanalyseII: STFT

Zebra-Fink

Experimental 3: moving average

SvenBlankenburg

FrequenzanalyseI

Theorie1

Experiment 1

Entrauschen

Fourier

Moving Average

FrequenzanalyseII: STFT

Zebra-Fink

Experimental 3: moving average

SvenBlankenburg

FrequenzanalyseI

Theorie1

Experiment 1

Entrauschen

Fourier

Moving Average

FrequenzanalyseII: STFT

Zebra-Fink

Experimental 3: moving average

SvenBlankenburg

FrequenzanalyseI

Theorie1

Experiment 1

Entrauschen

Fourier

Moving Average

FrequenzanalyseII: STFT

Zebra-Fink

Experimental 3: moving average

SvenBlankenburg

FrequenzanalyseI

Theorie1

Experiment 1

Entrauschen

Fourier

Moving Average

FrequenzanalyseII: STFT

Zebra-Fink

Experimental 3: moving average

SvenBlankenburg

FrequenzanalyseI

Theorie1

Experiment 1

Entrauschen

Fourier

Moving Average

FrequenzanalyseII: STFT

Zebra-Fink

Experimental 3: moving average

SvenBlankenburg

FrequenzanalyseI

Theorie1

Experiment 1

Entrauschen

Fourier

Moving Average

FrequenzanalyseII: STFT

Zebra-Fink

Experimental 3: moving average

SvenBlankenburg

FrequenzanalyseI

Theorie1

Experiment 1

Entrauschen

Fourier

Moving Average

FrequenzanalyseII: STFT

Zebra-Fink

Experimental 3: moving average

SvenBlankenburg

FrequenzanalyseI

Theorie1

Experiment 1

Entrauschen

Fourier

Moving Average

FrequenzanalyseII: STFT

Zebra-Fink

Experimental 3: moving average

SvenBlankenburg

FrequenzanalyseI

Theorie1

Experiment 1

Entrauschen

Fourier

Moving Average

FrequenzanalyseII: STFT

Zebra-Fink

Experimental 3: moving average: final

SvenBlankenburg

FrequenzanalyseI

Theorie1

Experiment 1

Entrauschen

Fourier

Moving Average

FrequenzanalyseII: STFT

Zebra-Fink

Frequenzanalyse II: nicht stationare Spektren

Fourier Analyse bisher nur moglich, wenn Spektren stationarsind, d.h. zeitlich konstant.

Dies ist jedoch in den meisten interessanten Fallen nicht derFall: Beispiele:

Audio: Gesang eines Vogels

EEG : REM- und NREM-Schlaf-Phasen

SvenBlankenburg

FrequenzanalyseI

Theorie1

Experiment 1

Entrauschen

Fourier

Moving Average

FrequenzanalyseII: STFT

Zebra-Fink

Frequenzanalyse II: nicht stationare Spektren

Idee:analog zum moving average wird wahrend eines kleines

Zeitraumes (time window) das Signal als stationarangenommen (engl. short-time Fourier Transform, STFT).

Zeitfenster jedoch etwas ausgereifter:Hamming Window

w(n) = 0.53836 − 0.46164 cos

(2πn

N − 1

)Wobei: N die Anzahl der Intervalle und n von Intervall zu

Intervall variiert.

SvenBlankenburg

FrequenzanalyseI

Theorie1

Experiment 1

Entrauschen

Fourier

Moving Average

FrequenzanalyseII: STFT

Zebra-Fink

Frequenzanalyse II: Zebra-Fink

Beispiel: Spektrum eines Zebra-Finken

SvenBlankenburg

FrequenzanalyseI

Theorie1

Experiment 1

Entrauschen

Fourier

Moving Average

FrequenzanalyseII: STFT

Zebra-Fink

Frequenzanalyse II: Zebra-Fink

MATLAB: [amp, fs, nbits] = wavread(’song1.wav’)

SvenBlankenburg

FrequenzanalyseI

Theorie1

Experiment 1

Entrauschen

Fourier

Moving Average

FrequenzanalyseII: STFT

Zebra-Fink

Frequenzanalyse II: Zebra-Fink

MATLAB: spectrogram(amp, 256,’yaxis’)

SvenBlankenburg

FrequenzanalyseI

Theorie1

Experiment 1

Entrauschen

Fourier

Moving Average

FrequenzanalyseII: STFT

Zebra-Fink

Ende des Vortrages

Vielen Dank fur die Aufmerksamkeit und viel Freude beiweiteren Experimenten mit MATLAB.