t - Test

Prüfung des Mittelwerteunterschieds bei abhängigen und unabhängigen

Stichproben

Aufbau

1. Praktische Problemstellung

2. Logik der Schlussweise bei der Prüfungeines Mittelwertsunterschieds

3. Praktische Durchführung am Beispiel

Problemstellung

Anzahl der gefundenen Zielelemente in einem Konzentrationsleistungstest

(verhältnisskaliert)

Gruppierungsvariable Messgröße

Gibt es Unterschiede in der Leistung von Mädchen und Jungen?

Frage

Geschlecht

M J

Problemstellung

26.7 17.2

Geschlecht

M J

Wir untersuchen 20 Jungen und 20 Mädchen und berechnen Mittelwerte

Mx Jx M Jx x x

26.7 – 17.2 = 9.5

Gibt es „wirkliche“ Unterschiede in der Leistung von Mädchen und Jungen oder ist der gefundene Unterschied rein zufällig?

Frage

ModellvorstellungPopulation der Jungen

Stichprobe des Umfangs N

Jx

Population der Mädchen

Stichprobe des Umfangs N

Mx

Bilde Mittelwertsdifferenz

M Jx x x

Tue dies k - mal: 1 1 1M Jx x x

2 2 2M Jx x x k Mk Jkx x x

Verteilung der Differenzen von Mittelwerten

1 2 i kx x x x

Modellvorstellung

Verteilung der Differenzen von Mittelwerten

Annahme:

J M

Die Populationsmittelwerte von Jungen und Mädchen sind gleich

0x

Der Erwartungswert der Differenzen von Mittelwerten ist Null

1 1 0:H 0 1 0:H (ungerichtet)

Verteilung der Differenzen von Mittelwerten

-15 -10 -5 0 5 10 15

0.00

0.05

0.10

Wah

rsch

ein

lich

keits

dic

hte

f (x)

x0x

x

x

3 Festlegungen für die Verteilung:

2. Die sind normalverteilt (für NM+ NJ 50)

x1. Sie hat den Mittelwert 0

x 3. Sie hat eine Standardabweichung („Standardfehler“)

Wir können die Wahrscheinlichkeitsbestimmung vornehmen,wenn der Standardfehler bekannt istx

Bestimmung des Standardfehlers x

Annahme:

Ist die Messvariable eine in beiden Populationen unabhängige ZV:

2 2M J

xM JN N

Jungen und Mädchen kommen aus derselben Population2 2 2M J

2 1 1x

M JN N

Schätzung des Standardfehlers x

Für die Populationsvarianz verwendet man eine Schätzung aus den Daten beider Stichproben:

2 22ˆ

2M M J J

M J

N s N s

N N

wobei und die Stichprobenvarianzen sind2Ms 2

Js

2 2 1 1ˆ

2M M J J

xM J M J

N s N s

N N N N

Dann gilt

als beste Schätzung des Standardfehlers der Mittelwertsdifferenz

Prinzip der Testung

xTestung der Gültigkeit der „Nullhypothese“ über die Bestimmung der Auftretenswahrscheinlichkeit von in der theoretischen Verteilung der Differenzen vonMittelwerten mit dem Erwartungswert 0x

Fall 1: NM + NJ 50

x

x

xz

(standardnormalverteilt)

Fall 2: NM + NJ < 50

x

x

xt

(t – verteilt mit NM + NJ - 2 Freiheitsgraden)

Fall 2: NM + NJ < 50

Prinzip der Testung (zweiseitig)

f t

-4 -2 2 4

0.1

0.2

-4 -2 2 4 t0

2.5%2.5%

95%x

xt

Prüfgrösse

Testen zum Signifikanzniveau : Ist |t| > t1-/2?

0.05 Signifikanzniveau

1 / 2P t t

1 / 2t 1 / 2t Annahmebereich

1 / 2t t Ablehnungsbereich

1 / 2t t Ablehnungsbereich

1 / 2t t

-3 -2 -1 1 2 3

0.1

0.2

0.3

0.4

-3 -2 -1 1 2 3

0.1

0.2

0.3

0.4

Die t- Verteilung

Kritische Werte sind bei der t- Verteilung im Vergleich zur N- Verteilung größer

1 / 2 2.23t

Normalverteilung

t- Verteilung mit df = 10

1 / 2 1.96z

Ablehnung der H0 erst bei größeren Werten der Prüfgröße

Prüfgröße und Entscheidung

Gilt die Nullhypothese M = J (bzw. = 0)

so ist

t - verteilt mit NM + NJ -2 Freiheitsgraden.

x

xt

Ist die Wahrscheinlichkeit einen extremeren Wert als den empirischent - Wert zu erhalten, kleiner oder gleich 5%, so sehen wir die Nullhypothese als zu unwahrscheinlich an und vermuten, dass ein wirklicher Mittelwertsunterschied in den Populationen besteht.

Entscheidung

1. Berechnex

xt

A. Gilt 1 / 2t t Ablehnung von H0

(die Mittelwerte der J. und M. sind signifikant verschieden)

3. Entscheide

B. Gilt Beibehalten von H0

(die Mittelwerte der J. und M. unterscheiden sich nur zufällig)

1 / 2t t

2. Ermittle kritischen t - Wert nach der t - Verteilung 1 / 2( )t

Praktische Berechnung

26.7 17.2

173 106

Mx Jx M Jx x x

26.7 – 17.2 = 9.5

2 2 173 106ˆ 2 2 3.83

2 2 38M J

x

s s

N

2Ms 2

Js

GeschlechtM J

20M JN N N

Praktische Entscheidung

1. Berechne9.5

2.483.83x

xt

Es gilt 1 / 2 : 2.48 2.02t t

Ablehnung von H0:

Die Wahrscheinlichkeit der gefundenen Mittelwertsdifferenz ist kleiner als 5%.

3. Entscheide

2. Ermittle kritischen t - Wert nach der t- Verteilung: ( = 0.05;df = 38)

1 / 2 2.02t

Der Mittelwertsunterschied der Jungen und Mädchen ist signifikant

Voraussetzungen

des t- Tests für unabhängige Stichproben

1. Für N1 + N2 < 50 müssen die Werte aus normalverteilten Populationen stammen(Prüfung der Stichprobenwerte auf Normalverteilung)

2. Die Populationsvarianzen, die beiden Stichproben zugrundeliegenmüssen gleich (homogen) sein (Prüfung der geschätzen Populationsvarianzen auf Gleichheitmit F- Test.)

3. Die Stichproben müssen unabhängig sein. (Messeinheiten untereinander und zwischen den Stichproben)

t- Test ist relativ robust, selten progressive Entscheidungen

Abhängige Stichproben

Eine Gruppe von Schülern wird trainiert.Vorher und nachher wird ein Leistungstest gemacht.

Sind die Schüler nach dem Training besser als vorher?

Frage

1 89 89 0

2 93 94 1

3 98 100 2

4 102 100 -2

5 99 102 3

6 106 110 4

7 117 112 -5

8 99 104 5

9 92 100 8

10 94 103 9

Nr Test 1 Test 2

2.5x 2 16.65s

2 1 Testung der H0:

10N (Messwertpaare)

x

Verteilung der Mittelwerte von Differenzen

0

x

-15 -10 -5 0 5 10 15

0.00

0.05

0.10

Wah

rsch

ein

lich

keits

dic

hte

f (x)

x

x

3 Festlegungen für die Verteilung:

2. Die sind normalverteilt (für N 30)

x1. Sie hat den Mittelwert 0

x

3. Sie hat eine Standardabweichung („Standardfehler“)

Standardfehler x

muss bestimmt werden

Schätzung des Standardfehlers x

Es gilt:

Aus Stichprobendaten:

ˆˆ x

N

2

21ˆ

1 1

N

ii

x xN s

N N

Standardfehler aus Stichprobendaten: ˆ1

x

s

N

Wobei N die Anzahl der Messwertpaare ist.

(Direkt aus Messwertpaaren)

Schätzung des Standardfehlers x

Es gilt:

Aus Stichprobendaten:

ˆˆ x

N

2 2 21 2 1 22 Cov ,s s s x x

Standardfehler aus Stichprobendaten: ˆ1

x

s

N

Wobei N die Anzahl der Messwertpaare ist.

(Aus Einzelwerten)

2

ˆ1

N s

N

Prüfgröße und Entscheidung

Gilt die Nullhypothese 2 = 1 (bzw. = 0)

so ist

t - verteilt mit N - 1 Freiheitsgraden.

x

xt

Interpretation wie im Fall des t – Tests für unabhängige Stichproben

Voraussetzungen

des t- Tests für abhängige Stichproben

1. Für N < 30 müssen die Werte aus normalverteilten Populationen stammen(Prüfung der Stichprobenwerte auf Normalverteilung)

2. Die Populationsvarianzen, die beiden Stichproben zugrundeliegenmüssen nicht gleich (homogen) sein. (Allerdings verliert der Test an Teststärke für stark verschiedene Varianzen)

3. Bei hohen Korrelationen der beiden Stichproben und gleichenVarianzen ist der t- Test für abhängige Stichproben weit mehr teststark als der t- Test für unabhängige Stichproben.

[Tafelbeispiel für 2 und 3]