T10-Figuras Planas-3º ESO.pdf

¿En qué aspectos o puntos de esta unidad creo que podría ayudar amis compañeros?

El hombre utiliza figuras planas para crear bellos decorados, comolos que puedes observar en estas imágenes. Diseña tu propiodecorado y preséntaselo a tus compañeros.

Figuras planas

10 Figuras planasVolver

29/10/2015 Matemáticas académicas

https://edelvivesdigital.com/products/R1_EDELVIVES/version_web/index.html?package=../../108340_MATES_3E/version_web&session_id=2235a7d3f6a4… 1/3

A partir de la definición de lugar geométrico, lamediatriz de un segmento y la bisectriz de un ángulo sepueden definir de la siguiente manera:

Lugar geométrico01

Un lugar geométrico es el conjunto de puntosque verifican una determinada propiedadgeométrica.

El arco capaz es ellugar geométrico delos puntos que,unidos con losextremos delsegmento AB, formansiempre un mismoángulo.

Arco capaz

Mediatriz de un segmento, ABEs el lugar geométrico de los puntos queequidistan de los extremos del segmento.

Por tanto, se cumple que d1 = d2 y d3 = d4.

Recuerda que la mediatriz es la rectaperpendicular al segmento AB que pasa por supunto medio.




ACTIVIDADES

Dibuja en tu cuaderno la mediatriz correspondiente a unsegmento de 7 cm.

1

Dibuja en tu cuaderno la bisectriz correspondiente a un ángulo de80°.

2

Investiga en Internet el procedimiento para construir el arco capazde un segmento para un ángulo concreto. Aplícalo para dibujar entu cuaderno el arco capaz correspondiente a un segmento de 7cm y un ángulo de 80° de amplitud.

3

El arco capaz para un ángulo de 90° es un caso especial. ¿Quéfigura circular corresponde a este caso?

4

En un gimnasio rectangular se lleva a cabo un juego: dos alumnos5

Mediatriz de un segmento, ABEs el lugar geométrico de los puntos queequidistan de los extremos del segmento.

Por tanto, se cumple que d1 = d2.

Recuerda que la bisectriz de un ángulo es la semirrecta que lo divide en dos ángulosiguales.



a. ¿Qué punto de la pared B o D equidista de los dos participantes?

b. ¿Y de las paredes A o C?

se sitúan cada uno en un punto determinado para luego echar acorrer y tocar cierto punto de la pared antes que el compañero.



Si el polígono es regular, además se distinguen lossiguientes elementos:

En un polígono se establecen las siguientes relaciones:

Los elementos de un polígono son:

El número de diagonales

Elementos de un polígono02Un polígono es una figura plana limitada poruna línea poligonal cerrada.

El número de diagonales de un polígono de nlados es:




D =

La suma de todos los ángulos interiores

S = (n – 2) · 180°

La suma de todos los ángulos exteriores

La suma de los ángulos interiores de un polígonode n lados es:

La suma de los ángulos exteriores de cualquierpolígono siempre es 360°:



ACTIVIDADES

Si un polígono tiene en total 27 diagonales, ¿de qué polígono setrata?

6

La suma de los ángulos interiores de un polígono es 1080°.¿Cuántos lados tiene el polígono?

7



Los polígonos se clasifican según sean sus lados y susángulos:

Clasificación de los polígonos.Ejes de simetría03




Según el número de lados

Según su forma

Triángulos. Tiene tres lados.·Cuadriláteros. Tiene cuatro lados.·Pentágonos. Tiene cinco lados.·Hexágono, heptágono, etcétera.·

Equiláteros . Tienen todos sulados iguales.

·Equiángulos. Tienen igualestodos sus ángulos.

·Regulares. Todos sus ladosmiden lo mismo y todos susángulos son iguales. En casocontrario, son irregulares.

·

Según sean sus ángulos interiores

Convexos

Todos sus ángulosinteriores son menores

de 180°.

Cóncavos

Alguno de sus ángulosinteriores es mayor de

180°.



A su vez, según sus lados y sus ángulos, los triángulosse clasifican en:

Según sus lados

Equilátero

Tiene los tres ladosiguales.

Isósceles

Tiene dos ladosiguales.

Escaleno

Tiene los tres ladosdesiguales.

Según sus ángulos

Acutángulo

Tiene los tres ángulosagudos.

Rectángulo

Tiene un ángulo recto.

Obtusángulo

Tiene un ánguloobtuso.



Paralelogramos (dos pares de lados paralelos)

Cuadrado

Tiene los cuatro lados y los cuatroángulos iguales y rectos.

Rectángulo

Tiene los cuatro ángulos iguales yrectos.

Rombo

Tiene los cuatro lados iguales, y susángulos son iguales dos a dos.

Romboide

Tiene los lados y los ángulos igualesdos a dos y ningún ángulo recto.



03.1 Ejes de simetría

Todos los polígonos regulares tienen tantos ejes desimetría como lados:

El eje de simetría de un polígono es la línea rectaque lo divide en dos partes iguales.

Si el número de lados es impar, los ejes de simetríason las rectas (mediatrices) que unen cada vérticecon el punto medio de su lado opuesto.

·

Si el número de lados es par, los ejes de simetría sonlas rectas que unen dos vértices opuestos

·

Trapecios (un par de lados paralelos)

Trapecio rectángulo

Tiene dos ángulosrectos.

Trapecio isósceles

Tiene dos ladosiguales.

Trapecio escaleno

TTiene todos sus ladosdesiguales.

Trapezoide

No tiene lados paralelos



a. b.

c. d.

a. Un polígono regular puede tener exactamente dos ejes de simetría.

b. El polígono de trece lados se llama trecedecágono.

c. En un hexágono regular, el lado y la apotema son iguales.

d. El ángulo interior de un polígono regular es el suplementario delángulo central.

(bisectrices) y también las que unen los puntosmedios de dos lados opuestos (mediatrices).

ACTIVIDADES

De los siguientes cuadriláteros indica cuáles son paralelogramos,cuáles trapecios y cuáles trapezoides:

8

Indica el nombre de los polígonos hasta el de veinte lados.9

Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas ycorrige estas últimas:

10



a. b.

e. Un polígono con un número par de lados tiene el mismo número deejes de simetría que de diagonales.

f. Un trapezoide puede tener los cuatro lados iguales.

Copia estos polígonos en tu cuaderno y dibuja sus ejes desimetría:

11

Todos los polígonos regulares tienen eje de simetría, pero ¿quécrees que sucede con los polígonos irregulares? Fíjate en estasfiguras:

12

Investiga algunos casos más, extrae conclusiones y dibujaejemplos que las ilustren.

Fíjate en esta figura y responde a las siguientes cuestiones:13



a. ¿Cuántos cuadrados aparecen en la figura?

b. Retira dos cerillas para dejar únicamente cuatro cuadrados iguales,que no compartan ningún lado.



El área de una figura es la medida de la superficie queocupa.

La unidad de superficie es el metro cuadrado, m2, quees un cuadrado de 1 m de lado.

Área de los polígonos04

El perímetro de unpolígono es la sumade las longitudes desus lados, y launidad de longitudes el metro. AB

Recuerda

El área del rectángulo es igual al producto dela longitud de su base, b, por la longitud de sualtura, h:Arectángulo = b · h

El área del cuadrado esigual al cuadrado de sulado, l:

Acuadrado = l · l = l 2

Mediante una transformación geométrica, elromboide puede transformarse en unrectángulo de igual área, pues la base, b, y de

Área del rectángulo

Área del cuadrado

Área del romboide




El área del romboide esigual al producto de lalongitud de su base, b,por la longitud de sualtura, h: Aromboide = b · h

rectángulo de igual área, pues la base, b, y de

la altura, h, son iguales:

El área del rombo esigual a la mitad delproducto de la longitudde sus diagonales, D y d:

A rombo =

Del mismo modo, es posible convertir elrombo en un rectángulo de igual área, al serla base una de sus diagonales y la altura lamitad de la otra diagonal:

Una transformación geométrica permitetransformar el trapecio en un rectángulo deigual área, cuya base es la suma de las basesdel trapecio y cuya altura equivale a la mitadde la del trapecio:

Área del rombo

Área del trapecio



a. b.

ACTIVIDADES

Halla el área y el perímetro de los siguientes polígonos:14

El área del trapecio es lamitad del producto de lasuma de las longitudesde sus bases, B y b, porsu altura, h:

A trapecio =

El área del triángulo es lamitad del producto de labase, b, por la altura, h :

A triángulo =

Si a un triángulo se le añade otro igual demanera que se solapen sus diagonales, seforma un romboide que tiene la misma base yaltura que el triángulo inicial. A continuación,mediante una transformación geométrica, elromboide se convierte en un rectángulo:

Área del triángulo



c. d.

Halla el área y el perímetro de un heptágono regular de 9 cm delado y 10 cm de apotema.

15

Halla el área y el perímetro de un pentágono regular de 10 cm delado y 7 cm de apotema.

16

Halla el área y el perímetro del siguiente polígono regular:17

El área de un eneágono regular es 180 m2. Si su apotema mide 5m, ¿cuánto mide el lado?

18

El perímetro de un triángulo equilátero es igual al de un cuadradode 9 cm de lado. Halla el lado del triángulo equilátero.

19



a. Halla la longitud de los otros lados.

b. Calcula el área del trapecio si tiene una altura de 11,2 cm.

de 9 cm de lado. Halla el lado del triángulo equilátero.

El perímetro de un trapecio isósceles es de 90 cm. Si sus basesmiden 20 cm y 40 cm, respectivamente:

20

Determina el área del hexágono regular estrellado cuyos ladosmiden 4 cm y que tiene una apotema también de 4 cm. Observala relación existente entre todos los triángulos y el hexágono.

21

Halla el área de los siguientes polígonos irregulares dibujados enuna trama de cuadrados de 1 cm de lado. Para ello, copia estasfiguras en tu cuaderno y calcula sus áreas respectivas,descomponiéndolas en polígonos que conozcas:

22





Observa las dos figuras del margen. Son semejantesporque tienen la misma forma, pero distinto tamaño.

Dos polígonos son semejantes si:

Semejanza de polígonos05

Todos sus ángulos homólogos son iguales:

Sus lados homólogos son proporcionales, y elcociente de un lado entre su lado homólogo es larazón de semejanza, r:

Completo




05.1 Semejanza de triángulos

Al igual que ocurre con el resto de polígonossemejantes, dos triángulos son semejantes cuandotienen la misma forma. Por esta razón, se cumple enellos que sus ángulos homólogos son iguales y suslados homólogos son proporcionales:

Para que dos triángulos sean semejantes, basta concomprobar si cumplen alguno de estos tres criterios desemejanza de triángulos:

Criterio 1

Tienen los tres lados homólogos proporcionales.



Criterio 2

Tienen dos ángulos homólogos iguales.

Criterio 3

Tienen dos lados homólogos proporcionales e igual elángulo comprendido.

En el caso particular de los triángulos rectángulos, loscriterios de semejanza son:

Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienenun ángulo agudo igual.

·Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienenlos dos catetos proporcionales.

·Dos triángulos rectángulos son semejantes si sonproporcionales la hipotenusa y un cateto.

·



ACTIVIDAD RESUELTA

Halla la longitud de los lados desconocidos,sabiendo que los dos pentágonos del margenson semejantes:

Si realizamos el cociente entre dos ladoshomólogos conocidos, obtenemos que la razón

de semejanza de estos pentá pentágonos es

=1,5.

Al ser semejantes, el cociente de todos loslados homólogos es proporcional e igual a larazón de semejanza:

De esta relación se obtienen las longitudes delos lados: a = 1,5 · 2,2 = 3,3 cm b = 1,5 · 3,2 = 4,8 cm c = 1,5 · 2,2 = 3,3 cm d = 1,5 · 1,4 = 2,1 cm

ACTIVIDADES

Halla la longitud de los lados desconocidos para que ambasfiguras sean semejantes.

23



a. Halla la razón de semejanza de ambos cuadriláteros.

b. Calcula el perímetro de cada uno.

c. Establece la razón de semejanza entre los perímetros de loscuadriláteros. ¿Cómo es en relación con la razón de sus lados?

a. ¿Cuál es la razón de semejanza entre ambas figuras?

b. Halla cuánto miden los lados del segundo pentágono semejante.

a. Determina la razón de semejanza de ambos rectángulos.

Dibuja en tu cuaderno figuras semejantes a las siguientes conrazón de semejanza k = 2 y k = 3.

24

Las medidas de los lados de un cuadrilátero son 3 cm, 4 cm, 5 cmy 6 cm y las de otro cuadrilátero semejante a él son 9,6 cm, 12,8cm, 16 cm y 19,2 cm.

25

Se sabe que la medida de los lados de un pentágono son 2 cm,3,1 cm, 4 cm, 2,7 cm y 0,7 cm, y que el perímetro de otropentágono semejante al anterior mide 0,75 dm.

26

Las medidas de los lados de un rectángulo son 2 cm y 6 cm y lasde otro semejante a él son 6 cm y 18 cm.

27



b. Halla el área de cada uno de ellos.

c. Calcula la razón de semejanza entre las áreas. ¿Cómo es en relacióncon la razón de sus lados?

Determina la longitud de los lados de estos triángulossemejantes:

28

De un triángulo conocemos su perímetro (12 cm) y su área (18

cm2). Considerando ahora otro triángulo semejante con una razón

de semejanza de 1

3 , ¿cuál será su perímetro? ¿cuál será su área?

29



Además, el teorema permite identificar varios

triángulos: , y . Estos triángulos

tienen un ángulo común, O, y los lados opuestos adicho ángulo, AA’, BB’ y CC’, son paralelos. Podemosdecir que los triángulos están en posición de Tales.

Dos triángulos en posición de Tales son semejantes, yaque se cumple que el cociente entre los ladoshomólogos es igual a la razón de semejanza, r:

Teorema de Tales. Escalas06Según el teorema de Tales, si dos rectassecantes son cortadas por rectas paralelas, lossegmentos originados en una de las rectassecantes son proporcionales a loscorrespondientes segmentos originados en laotra recta secante:

Tales de Mileto calculó laaltura de la pirámide deKeops usando la semejanzade triángulos.

Los ángulos quetienen ladosparalelos son

iguales: .

·

Los ángulosopuestos por elvértice son

iguales: .

·

Los ángulosadyacentessuman 180º:

.

·

Recuerda

Completo




Como cada cuadrado mide 1 cm, la escala indica que 1 cm en elplano son 5 m en la realidad. Equivale a una escala numérica de1:500.

La razón de semejanza en una escala se expresa como1:n. Esta expresión significa que a cada unidad deldibujo le corresponden n unidades de la realidad. Por lotanto, la escala es adimensional.

Así, por ejemplo, una escala de 1:1000 significa quecualquier longitud que en el mapa mida 1 unidadmedirá en la realidad 1 000 de esas mismas unidades.De este modo, si un elemento mide en el mapa 7 cm, enla realidad medirá 7000 cm o 70 m.

También puede emplearse una escala gráfica, queindica las distancias reales sobre un segmentograduado:

La escala numérica es la razón que existe entrelas dimensiones representadas (en el plano, elmapa, …) de una figura y sus dimensionesreales:

Escala = dimensiones representadas

dimensiones reales

ACTIVIDADES



a. b.

c. d.

ACTIVIDADES

Halla el valor de las incógnitas indicadas en cada apartado.30

Halla el valor de las incógnitas indicadas en el dibujo.31

Sobre un triángulo cuyos lados miden 7 cm, 9 cm y 13 cm, respectivamente,dibuja otro triángulo que esté en posición de Tales con él, con una razón desemejanza de 0,5.

32

Halla las longitudes que se indican en la figura.33



a. b.

Halla el valor de las incógnitas indicadas en cada figura.34



a. Dibuja en tu cuaderno los dos triángulos.

b. ¿Cuál es la relación de sus perímetros?

c. ¿Cuál es la relación de sus áreas?

ACTIVIDAD RESUELTA

A cierta hora del día, una persona que mide 1,80 m proyectauna sombra de 0,60 m. ¿Qué sombra arrojará en ese mismomomento una farola que mide 3,75 m?

35

En el mismo momento del día, las alturas de los objetos y sus sombrasforman triángulos que están en posición de Tales.

De este modo, se cumple que:

⇒ x = 1,25 m

La farola arrojará, pues, una sombra de 1,25 m.

A cierta hora del día, una señal de tráfico arroja una sombra de 2,53 m,mientras que, en ese mismo instante, la sombra de un poste que mide 1,40m es de 1,95 m. Averigua la altura de la señal de tráfico.

36

A partir de un triángulo rectángulo cuyas dimensiones son 3 cm, 4 cm y 5cm, se construye otro semejante con razón de semejanza 2.

37

En un mapa de escala 1:100 000, dos ciudades distan entre sí 12 cm. ¿Cuáles la distancia real que las separa?

38

En el plano de una vivienda, la longitud de un pasillo es de 6 cm, mientrasque en la realidad mide 12 m. ¿Cuál es la escala del plano?

39



Realiza un plano a escala de tu habitación. Primero elige la escala adecuada;para ello, compara las dimensiones de tu habitación con las de la hoja dondevayas a dibujarla. Representa en el plano los muebles principales que tengasen tu habitación.

40

Dibuja en tu cuaderno un segmento de 8 cm de longitud y divídelo en partesproporcionales a 2, 3 y 5 cm.

41

Dibuja en tu cuaderno un segmento de 5 cm de longitud y divídelo en sietepartes iguales (ayúdate de un segmento auxiliar).

42

Investiga sobre la vida y obra de Tales de Mileto. Descubre cómo calculó laaltura de las pirámides de Guiza.

43



En los triángulos rectángulos se verifica una propiedadmuy importante: el teorema de Pitágoras.

Según el teorema de Pitágoras, el área del cuadrado decualquier triángulo rectángulo construido sobre lahipotenusa, a, tiene el mismo valor que la suma de lasáreas de los cuadrados construidos sobre los catetos, by c:

Una demostración geométrica sencilla del teorema dePitágoras es la siguiente:

En los dos cuadrados iguales, cuyos lados son la sumade los dos catetos, b + c, hay cuatro triángulos iguales.Si se eliminan de los dos cuadrados, el área restanteserá igual entre ambos cuadrados y, por tanto, se

cumplirá el teorema a 2 = b 2 + c2.

Este teorema permite:

Teorema de Pitágoras07

Relación fundamental entre los lados de untriángulo rectángulo:

a2=b2+c2

Observa

Completo




Averigusssar el valor de uno de los lados si se conocen los otros dos.

Clasificar el triángulo si se conocen los tres lados, pues siempre secumple que:

–El triángulo es obtusángulo si a 2 > b 2 + c 2.

–El triángulo es acutángulo si a 2 < b 2 + c 2 .

–El triángulo es acutángulo si a 2 < b 2 + c 2.

a. 8 cm y 11 cm

b. 3 dm y 9 dm

c. 12 m y 15 m

d. 10 cm y 7 dm

a. 6 dm y 2 dm

b. 14 cm y 9 cm

c. 13 mm y 10 mm

d. 12 m y 80 dm

El triángulo quetiene los lados máspequeños(expresado ennúmeros enteros) esaquel cuyasmedidas son 3, 4 y5. Es el triángulopitagórico porexcelencia.

ACTIVIDAD RESUELTA

Comprueba si el triángulo cuyos lados miden 7 cm, 9 cm y11 cm, respectivamente, es rectángulo.

Se comprueba la relación del teorema de Pitágoras. Como

112 < 72 + 92, entonces 121 < 49 + 81 = 130, por lo queel triángulo es acutángulo.

ACTIVIDADES

Investiga sobre la vida y obra de Pitágoras de Samos y la escuela pitagórica.44

Calcula la hipotenusa de los triángulos rectángulos cuyos catetos miden:45

Halla la longitud del cateto que falta en estos triángulos rectángulos, cuya hipotenusay cuyo otro cateto tienen, respectivamente, las siguientes dimensiones:

46

Un tobogán tiene una altura de 3,20 m. Si su anchura es de 2,80 m, ¿cuánto mide larampa del tobogán?

47

Halla el área y el perímetro del cuadrado:48



Determina el área y el perímetro del triángulo isósceles.49

Halla el área y el perímetro del romboide.50

Calcula el área y el perímetro del rombo.51



a. 15 cm, 22 cm y 16 cm

ACTIVIDAD RESUELTA

Halla el área de un octógono regular de 8 cm de lado y 6 cmde radio.

52

En todo polígono regular, el lado, la apotema y el radio forman un triángulo rectángulo y,por tanto, verifican el teorema de Pitágoras:

Radio2 = (mitad del lado)2 + apotema2

Aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo sombreado dentro deloctógono regular:

r 2 = ap2 + → 62 = ap 2 + 42 → ap = 4,47 cm

Por tanto, el área es:

Aoctógono = = 143,04 cm2

Determina el área y el perímetro de un octógono regular de 6 dm de lado.53

Establece el perímetro y el área de los tres cuadrados54

El área de un cuadrado es 1 089 dm². Calcula el área del hexágono regular que tienesu mismo perímetro.

55

Conociendo las medidas de los lados de un triángulo, indica si son rectángulos,acutángulos u obtusángulos.

56



b. 14 m, 12 m y 9 m

Sean dos triángulos rectángulos, uno de los cuales tiene una hipotenusa de 11 cm yun cateto de 6 cm, mientras que del otro se sabe que la medida de los catetos es 3cm y 9 cm, respectivamente.

57

El círculo es la región encerrada dentro de la circunferencia.

Al trazar radios, cuerdas o circunferencias concéntricas en uncírculo, cabe distinguir distintas figuras circulares:

La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos queequidistan de un punto fijo llamado centro.

Los elementos de la circunferencia son:

Circunferencia, círculo y figurascirculares08

La longitud de una circunferencia de radio r es lalongitud de la línea curva cerrada que forman suspuntos. Se obtiene multiplicando π por el doble delradio:

l = 2 · π · r

Sector circular

Es la zona del círculo limitada por dos radios y el arcocorrespondiente.

Figuras circulares

Completo


Segmento circular

Es la zona del círculo limitada por una cuerda y su arcocorrespondiente.

Zona circular

Es la zona del círculo limitada por dos cuerdasparalelas.

Corona circular

Es la zona comprendida entre dos circunferenciasconcéntricas.

Trapecio circular

Es la zona de una corona circular limitada por dos

ACTIVIDAD RESUELTA

Halla la longitud de un arco de circunferencia que ocupaun cuarto de una circunferencia de radio 7 dm.

La longitud del arco será la cuarta parte de la longitudde la circunferencia, es decir,

l = = 10,99 dm.

ACTIVIDADES

En grupos, elaborad una presentación en PowerPoint sobre las figurascirculares en el arte (pintura, escultura y arquitectura) y en la naturaleza(animales y plantas).

58

Copia la figura en tu cuaderno e indica cada uno de los elementos de lacircunferencia.

59

Es la zona de una corona circular limitada por dosradios.

a. b.

c. d.

a. Radio: 6 dm.

b. Diámetro: 10 cm.

a. Una circunferencia de 5 cm de radio.

b. Un sector circular de 145° de amplitud y 4 cm de radio.

c. Un segmento circular de 80° de amplitud y 7 cm de radio.

d. Una zona circular de 1 cm de anchura y 3 cm de radio.

e. Una corona circular de 6 cm y 9 cm de radio.

f. Un trapecio circular de 35° de amplitud y de 4 cm y 5 cm de radio.

Halla la longitud de las circunferencias que tienen las siguientesdimensiones:

60

Halla el radio de una circunferencia que tiene una longitud de 50,24 m.61

Escribe el nombre de cada una de las figuras circulares que aparecen enestas imágenes:

62

Dibuja en tu cuaderno las siguientes figuras:63

Halla la longitud de los arcos representados en esta circunferencia de 1064

a. ¿Cuál es la longitud de la circunferencia?

b. ¿Cuál es su radio?

a. ¿Cuál es la longitud de la circunferencia?

b. ¿Cuál es su radio?

a. ¿Cuánto mide la longitud de la pista del circo?

b. ¿Cuánto mide la longitud de la franja habilitada para minusválidos en suparte exterior?

cm de radio:

Si en una circunferencia un arco de 120° de amplitud tiene una longitudde 22 cm:

65

Si un arco de circunferencia de 62° de amplitud tiene una longitud de 13cm:

66

Alrededor de la pista circular de un circo se ha dejado una franja circularpara acomodar a las personas minusválidas. Las dimensiones son lassiguientes:

67

Halla la longitud de las zonas coloreadas teniendo en cuenta que estándibujadas sobre una trama de cuadrados de 1 cm de lado.

68



Veamos, a continuación, el área del círculo y de lasfiguras circulares más importantes.

Área del círculo y de las figurascirculares09

Área del círculo

El área de un círculo de radio r es el producto de π porel radio al cuadrado:

Acírculo = π · r 2

Área de la corona circular

El área de una corona circular limitada por dos círculoscuyos radios son R y r, respectivamente, es ladiferencia entre las áreas de los dos círculos que ladeterminan:

Acorona circular = π · R 2 – π · r 2 = π · (R 2 – r 2)

Área del sector circular

El área de un sector circular de radio r, y cuyo ángulo

central es , se obtiene mediante una proporción

entre dos magnitudes del círculo y del sector circular,el área y el ángulo central de cada uno de ellos:

Completo




Área del segmento circular

Cabe distinguir dos casos en función del valor del

ángulo, , del segmento circular:

Si el ángulo es menor de 180°, elárea es Asegmento circular = Asector –

Atriángulo.

·

Si el ángulo es mayor de 180°, elárea es Asegmento circular = Asector +

Atriángulo.

·

Área del trapecio circular

El área de un trapecio circular se obtiene mediante unaproporción entre dos magnitudes de la corona circulary el trapecio circular, el área y el ángulo central decada uno de ellos:



a. b.

a. b.

ACTIVIDAD RESUELTA

Calcula el área coloreada de la figura del margen.

El área del trapecio circular es:

Atrapecio = = 3,05 cm2

ACTIVIDADES

Halla el área de estas coronas circulares:70

Halla el área de los siguientes sectores circulares en estascircunferencias de 8 cm de radio:

71



a. b.

a. b.

a. b.

Calcula el área de estos segmentos circulares en las siguientescircunferencias de 10 cm de radio:

72

Determina el área de estos trapecios circulares:73

Halla el área de las siguientes figuras circulares:74



c. d.

a. b.

a. b.

Establece el área de la región coloreada en el interior de estoscuadrados de 10 cm de lado:

75

Halla el área de la región coloreada, si el lado de estos cuadradosmide 10 cm:

76

Calcula el área de la región coloreada en el interior del triánguloequilátero cuyo lado mide 6 cm.

77



Halla el área de la región coloreada en el interior del hexágonoregular de 8 cm de lado.

78

Indica cuánto vale el área de las siguientes figuras dibujadas enuna trama de cuadrados de 1 cm de lado:

79

El diámetro del círculo central de un DVD mide 12 mm, y el círculototal, 12 cm. ¿Qué área queda para poder grabar en él?

80



Vamos a dibujar un sector circular y a calcular su áreacon el programa GeoGebra.

Para ello, hay que seguir estos pasos:

Área de un sector circular con GeoGebra

HERRAMIENTAS TECNOLÓGICAS

1. Abre un archivo del programa GeoGebra y prescinde de los ejes dela ventana gráfica; para ello, tienes que hacer clic con el botón

derecho y elegir del menú contextual.

De esta manera, quedan dos ventanas: a la derecha está la gráfica,que ocupa la mayor parte de la pantalla, mientras que a la izquierdapermanece la algebraica, que usaremos más adelante.

2. Dibuja una circunferencia cualquiera. Con este fin, selecciona de la

barra de iconos el siguiente: .

3. Sobre la circunferencia se traza un sector circular, utilizando para

ello la herramienta: . Para dibujar el sector,

debes pinchar en tres puntos: el primero, en el extremo del sector enla circunferencia; el segundo, en un punto cualquiera del arcocorrespondiente al sector, y el tercero, en el otro extremo del sectoren la circunferencia.( A )




Para modificar el color del sector circular y otras propiedades, abre elmenú contextual haciendo clic con el botón derecho del ratón. Emergeasí una ventana que dispone de una columna a la izquierda en la queestán todos los elementos creados hasta ahora.( B )

También aparece un menú de pestañas, las más usadas de las cualesson:

Básico: para modificar la visibilidad de los objetos.

Color: para modificar el color de los objetos.·Estilo: para modificar el trazo de los objetos.·



Elige el color azul con una opacidad del 50 %, un grosor de 9 en eltrazo con líneas punteadas en los extremos y, como relleno, un fondode rayas oblicuas. El resultado es el que puedes ver en el margen.( C )

4. Para calcular el área del sector circular, utiliza el icono En laventana algebraica aparecen todos los elementos dibujados.Selecciona en ella el sector circular que aparece en el grupo de lascónicas junto a la circunferencia y en la herramienta Área pulsaencima del sector circular. Aparecerá un cuadro de texto que indica elárea del sector.( D )

Así, el área del sector circular es A = 7,28.



De igual forma, es posible calcular el área de un círculoo de una corona circular como la diferencia entre lasáreas de dos círculos.

Copia, completa e ilustra en tu cuaderno el siguiente mapaconceptual y después contesta las preguntas. También lopuedes realizar en el ordenador con el programa CmapTools.

APRENDO A APRENDER

ACTIVIDADES

Indica las diferencias existentes entre los tres tipos de cuadriláteros.1

Escribe en los recuadros verdes un rasgo propio de cada grupo, como,por ejemplo, un tipo de órgano que no tenga el resto.

2

Explica qué es la bisectriz de un ángulo.3

Indica una fórmula para hallar el número de diagonales de cualquierpolígono.

4

Indica una fórmula para saber la suma de los grados de los ángulos5


interiores de cualquier polígono.

Explica cuáles son los ejes de simetría de los polígonos regulares enfunción del número de lados.

6

Escribe la fórmula para calcular el área de los diferentes cuadriláteros.7

¿Cuál es la fórmula del área de un polígono regular?8

Explica brevemente los teoremas de Tales y Pitágoras.9

Escribe las fórmulas para calcular el área de las figuras circulares másimportantes.

10

¿Qué dos elementos tienen igual longitud en un hexágono regular?11

Realiza una presentación a tus compañeros. Puedes hacer un documentoPowerPoint, usar Glogster…

12



a. b.

LUGAR GEOMÉTRICO

ELEMENTOS DE UN POLÍGONO

a. ¿Cuál es su perímetro?

b. ¿Cuántas diagonales tiene?

CLASIFICACIÓN DE LOS POLÍGONOS. EJES DE SIMETRÍA

a. Rombo y cuadrado.

b. Rectángulo y romboide.

c. Rombo y romboide.

REPASO FINAL

Dibuja en tu cuaderno un arco capaz correspondiente a unsegmento de 4 cm y un ángulo de 45°. Comprueba tu resultadocon GeoGebra.

1

Calcula los ángulos de estos polígonos regulares:2

La suma de los ángulos interiores de un polígono regular es 1440°. Si su lado tiene una longitud de 9 dm:

3

Indica las diferencias entre los siguientes cuadriláteros:4




a. b.

a. b.

ÁREA DE LOS POLÍGONOS

SEMEJANZA DE POLÍGONOS

Copia en tu cuaderno estas figuras y traza los ejes de simetría5

Halla el área de las siguientes figuras:6

Halla el área de la zona sombreada dentro de estos cuadrados de10 cm de lado:

7

Halla la longitud de los lados del polígono semejante a este con

una razón de semejanza r = Comprueba tus resultados con

8



TEOREMA DE TALES. ESCALAS

TEOREMA DE PITÁGORAS

una razón de semejanza r = Comprueba tus resultados con

GeoGebra.

A cierta hora de la mañana, Rodrigo, que mide 1,72 m, proyectauna sombra de 2,14 m de longitud. ¿Cuánto medirá, en esemismo instante, la sombra de Julieta, que tiene una estatura de1,61 m?

9

Halla los lados desconocidos en estos triángulos:10

Determina el área y el perímetro de este triángulo equilátero:11

Calcula el área y el perímetro de un rombo cuya diagonal mayormide 14 dm y que tiene un lado de 9 dm.

12



a. b.

c. d.

CIRCUNFERENCIA, CÍRCULO Y FIGURAS CIRCULARES

a. Un sector circular con un ángulo central de 60°.

b. Una corona circular con un radio interior de 2 cm.

c. Un trapecio circular con un ángulo central de 225°.

d. Un segmento circular con un ángulo central de 90°.

ÁREA DEL CÍRCULO Y DE LAS FIGURAS CIRCULARES

Halla el lado de un heptágono regular que tiene 70 dm2 de área y4 dm de apotema.

13

Traza en tu cuaderno una circunferencia de 4 cm de radio y dibujasobre ella:

14

Un triángulo rectángulo inscrito en una circunferencia tiene unahipotenusa de 10 cm. Halla la longitud de la circunferencia y elárea del círculo.

15

Determina el área de las siguientes figuras circulares:16



a. b.

Calcula el área de la zona coloreada en estos cuadrados cuyo ladomide 8 m:

17



a. 27

b. 44

c. 121

d. 88

a. 40 °

b. 70 °

c. 140 °

d. 90 °

a. 46,5 m 2

b. 93,53 m 2

c. 81,49 m 2

d. 120,7 m 2

EVALUACIÓN

1 El número de diagonales de un endecágono es:

2 El ángulo interior de un eneágono regular mide:

3 El área de un hexágono regular de 6 m de lado es:

4 Halla el área de la zona coloreada en este círculo de 5 dm de radio:




a. 78,54 dm 2

b. 48,72 dm 2

c. 29,45 dm 2

d. 9,82 dm 2

a. 4 cm 2

b. 3,31 cm 2

c. 2,49 cm 2

d. 2,27 cm 2

a. 10

b. 14

c. 15

d. 18

5 El área de un sector circular de 2 cm de radio y 65° de amplitud es:

6 ¿Cuánto mide la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos

miden 12 cm y 9 cm?

7 El área de la figura coloreada es:



a. 56 cm 2

b. 48 cm 2

c. 64 cm 2

d. 72 cm 2

a. 1,45 cm

b. 1,84 cm

c. 1,26 cm

d. 1,67 cm

8 El valor del segmento a es:

¿Qué partes de la unidad me han exigido más tiempo de trabajo?

Documents

T10-Figuras Planas-3º ESO.pdf