Technische Schwingungslehre

Schwingungen linearer diskreter mechanischer Systeme

Bearbeitet vonPeter Hagedorn, Daniel Hochlenert

1. Auflage 2014. Taschenbuch. 240 S. PaperbackISBN 978 3 8085 5697 9

Gewicht: 369 g

Weitere Fachgebiete > Technik > Werkstoffkunde, Mechanische Technologie > Statik,Dynamik, Kinetik, Kinematik

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Technische SchwingungslehreSchwingungen linearer diskreter mechanischer Systeme

vonPeter HagedornDaniel Hochlenert

2., überarbeitete Auflage

VERLAG EUROPA-LEHRMITTEL · Nourney, Vollmer GmbH & Co. KGDüsselberger Straße 23 · 42781 Haan-Gruiten

Europa-Nr.: 56962

Autoren:Prof. Dr. Peter Hagedorn vertritt an der Technischen Universität Darmstadt das Gebiet Dynamikund Schwingungen in Lehre und Forschung.Dr.-Ing. Daniel Hochlenert ist in der Industrie und als Privatdozent an der TechnischenUniversität Berlin am Fachgebiet für Mechatronische Maschinendynamik tätig.Die Autoren halten Vorlesungen über Technische Schwingungslehre, Technische Mechanik undüber weitere Themen aus dem Gebiet Dynamik und Schwingungen.

2., überarbeitete Auflage 2015Druck 5 4 3 2 1

ISBN 978-3-8085-5697-9

Alle Rechte vorbehalten. Das Werk ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwendung außerhalbder gesetzlich geregelten Fälle muss vom Verlag schriftlich genehmigt werden.

c© 2015 by Verlag Europa-Lehrmittel, Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG, 42781 Haan-Gruitenhttp://www.europa-lehrmittel.deUmschlaggestaltung: braunwerbeagentur, 42477 RadevormwaldDruck: Medienhaus Plump GmbH, 53619 Rheinbreitbach

Vorwort

Das vorliegende Buch entspricht in etwa dem heutigen Stand einer einsemestrigenVorlesung über lineare Schwingungen diskreter mechanischer Systeme, wie sie an denmeisten deutschen Technischen Universitäten regelmäßig gehalten wird. Es bildetdie Nachfolge des 1987 beim Springer-Verlag erschienen Buches gleichen Titels vonHagedorn und Otterbein, unterscheidet sich jedoch von diesem wesentlich. Dieserkennt man schon am Umfang – die Seitenzahl hat sich in etwa halbiert – als auchan der Gliederung. Den heutigen Studenten und Ingenieuren stehen andere compu-tergestützte Hilfsmittel zur Verfügung, als das vor 25 Jahren der Fall war, und demwurde natürlich bei der Entwicklung der Vorlesung Rechnung getragen. Dementspre-chend hat sich auch die Matrizenschreibweise in der Technischen Schwingungslehreweiter durchgesetzt.

In den verschiedenen Abschnitten werden die Einflüsse der unterschiedlichenTerme in den Bewegungsgleichungen, die sich in Matrizen unterschiedlicher Bauartniederschlagen, im Detail untersucht und das Buch ist entsprechend gegliedert. Diesermöglicht eine knappe und gleichzeitig übersichtliche Darstellung.

Am Ende eines jeden Kapitels ist jeweils eine Reihe von Übungsaufgaben angege-ben. Viele dieser Aufgaben stammen aus unseren Vorlesungen, andere sind neu undgelegentlich nicht ganz elementar.Ein Anhang ist dem Aufstellen von Bewegungsgleichungen gewidmet. Dies soll

dem Leser helfen, die Herleitung der Bewegungsgleichungen der Beispielsystemein Kapitel 2 zu verstehen, auch wenn er diese Grundlagen nicht mehr parat hat.Natürlich soll dieser Anhang kein Lehrbuch der Technischen Mechanik ersetzen.

Die jetzt vorliegende zweite, korrigierte und erweiterte Auflage unterscheidet sichvon der ersten durch die Einarbeitung neuer Ergebnisse über zirkulatorische Systemesowie einige Korrekturen und Ergänzungen.Wir danken den Mitarbeitern, die über die vielen Jahre an der Vorlesung mit-

gewirkt haben, ganz besonders Herrn Dr.-Ing. Gottfried Spelsberg-Korspeter. DerErstautor hat einen Teil der Überarbeitung dieser Neuauflage während eines Gastauf-enthaltes am Department of Mechanical Engineering der University of Canterbury atChristchurch, Neuseeland, durchgeführt. Er dankt dem Department für die freundli-che Aufnahme und für die zur Verfügung gestellte Infrastruktur. Unser Dank giltauch den Mitarbeitern des Verlages Europa-Lehrmittel, insbesondere Herrn KlausHorn, für die gute Zusammenarbeit.

Darmstadt und Friedrichshafen, im Oktober 2014

Peter HagedornDaniel Hochlenert

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 6

2 Bewegungsgleichungen mechanischer Systeme 92.1 Einfreiheitsgradsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.1 Der Einmassenschwinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.1.2 Mathematisches Pendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.1.3 Ein Reibschwinger: Dämpfung infolge Reibung . . . . . . . . 11

2.2 Mehrfreiheitsgradsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2.1 Schwingerkette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2.2 Maschine auf Blockfundament mit Unwuchterregung . . . . . 132.2.3 Rollendes Rad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2.4 Doppelpendel mit Belastung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2.5 Punktmasse auf rotierender Scheibe . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3 Freie Schwingungen linearer Einfreiheitsgradsysteme 313.1 Das Eigenwertproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.2 Ungedämpfte Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.3 Überkritisch gedämpfte Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.4 Kritisch gedämpfte Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.5 Unterkritisch gedämpfte Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.6 Dimensionslose Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.7 Bestimmung des Dämpfungsgrads, logarithmisches Dekrement . . . . 403.8 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4 Erzwungene Schwingungen linearer Einfreiheitsgradsysteme 454.1 Harmonische Erregung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.1.1 Harmonische Kraftanregung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.1.2 Leistung und Arbeit bei harmonischer Kraftanregung . . . . 534.1.3 Andere Arten harmonischer Erregung . . . . . . . . . . . . . 584.1.4 Schwingungsisolierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.1.5 Mechanische Impedanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.1.6 Strukturdämpfung und andere Dämpfungsarten . . . . . . . . 72

Inhaltsverzeichnis 3

4.2 Periodische Erregung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.2.1 Behandlung im Zeitbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.2.2 Behandlung im Frequenzbereich . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.3 Beliebige Erregung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.3.1 Sprungantwort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.3.2 Stoßantwort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864.3.3 Duhamel-Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894.3.4 Faltungsintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.3.5 Fourier-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4.4 Zusammenhang zwischen Zeit- und Frequenzbereich . . . . . . . . . 1054.5 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

5 Freie Schwingungen linearer Mehrfreiheitsgradsysteme 1095.1 Das Eigenwertproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

5.1.1 Normierung der Eigenvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . 1115.1.2 Allgemeine Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

5.2 M -K-Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1155.2.1 Eigenschaften der Eigenwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1155.2.2 Orthogonalitätsbeziehungen der Eigenvektoren . . . . . . . . 1165.2.3 Modale Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1185.2.4 Allgemeine Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1195.2.5 Eigenformen und Eigenschwingungen . . . . . . . . . . . . . . 1205.2.6 Energieintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1215.2.7 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1215.2.8 Der Rayleighsche Quotient und der Satz von Rayleigh . . 1255.2.9 Die Formeln von Dunkerley und Southwell . . . . . . . . 129

5.3 M -D-K-Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1335.3.1 Eigenschaften der Eigenwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1335.3.2 Allgemeine Lösung, Eigenformen und Eigenschwingungen . . 1345.3.3 Vollständige und durchdringende Dämpfung . . . . . . . . . . 1355.3.4 Modale Dämpfung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1375.3.5 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

5.4 M -G-K-Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1425.4.1 Eigenschaften der Eigenwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1435.4.2 Allgemeine Lösung, Eigenformen und Eigenschwingungen . . 1445.4.3 Gyroskopische Stabilisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1455.4.4 Gyroskopische Systeme mit Dämpfung . . . . . . . . . . . . . 1475.4.5 Energieintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1485.4.6 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

4 Inhaltsverzeichnis

5.5 M -K-N -Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1495.5.1 Eigenschaften der Eigenwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1495.5.2 Allgemeine Lösung, Eigenformen und Eigenbewegungen . . . 1515.5.3 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

5.6 M -G-K-N -Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1555.6.1 Eigenschaften der Eigenwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1565.6.2 Allgemeine Lösung, Eigenformen und Eigenbewegungen . . . 1575.6.3 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

5.7 M -D-K-N -Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1575.7.1 Allgemeine Lösung, Eigenformen und Eigenbewegungen . . . 1605.7.2 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

5.8 M -D-G-K-N -Systeme: Der allgemeine Fall . . . . . . . . . . . . . . 1605.9 Systeme mit halben Freiheitsgraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1615.10 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

6 Erzwungene Schwingungen linearer Mehrfreiheitsgradsysteme 1656.1 Harmonische Erregung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

6.1.1 Resonanz und Scheinresonanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1696.1.2 Tilgung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

6.2 Periodische Erregung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1796.3 Entkoppelbare Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1796.4 Beliebige Erregung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1806.5 Theoretische Grundlagen der experimentellen Modalanalyse . . . . . 1826.6 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

A Grundlagen zur Kinematik 189A.1 Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

A.1.1 Darstellung von Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189A.1.2 Vektorfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191A.1.3 Differentiation von Vektorfunktionen . . . . . . . . . . . . . . 191

A.2 Dyadisches Produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192A.3 Winkelgeschwindigkeit und Winkelbeschleunigung . . . . . . . . . . 193A.4 Ortsvektor, Geschwindigkeit und Beschleunigung . . . . . . . . . . . 195A.5 Geschwindigkeit und Beschleunigung beim starren Körper . . . . . . 195A.6 Zwangsbedingungen und verallgemeinerte Koordinaten . . . . . . . . 196

A.6.1 Holonome Zwangsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 196A.6.2 Verallgemeinerte Koordinaten und Geschwindigkeiten . . . . 197A.6.3 Nichtholonome Zwangsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . 197

A.7 Virtuelle Geschwindigkeiten und Winkelgeschwindigkeiten . . . . . . 198

Inhaltsverzeichnis 5

A.8 Skalarprodukt von Beschleunigung und virtueller Geschwindigkeit . 201

B Aufstellen von Bewegungsgleichungen 203B.1 Newton-Eulersche Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

B.1.1 Schwerpunktsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203B.1.2 Impuls, Drall und Drallsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

B.2 Prinzip der virtuellen Geschwindigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . 210B.2.1 Zwangskräfte und Zwangsmomente . . . . . . . . . . . . . . . 210B.2.2 Formulierung der Bewegungsgleichungen . . . . . . . . . . . . 211

B.3 Lagrangesche Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214B.4 Lineare Bewegungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

B.4.1 Linearisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220B.4.2 Direktes Aufstellen linearer Bewegungsgleichungen . . . . . . 222B.4.3 Klassifizierung linearer Bewegungsgleichungen . . . . . . . . . 230

Weiterführende und ergänzende Literatur 233

Index 235

1 Einleitung

Schwingungen können wir in unserer Umwelt in vielfältiger Form beobachten, so-wohl in der Natur als auch in der Technik. Zur Beschreibung und Berechnung derSchwingungen verwenden wir Ersatzsysteme (Modelle), die uns aus der TechnischenMechanik geläufig sind und die durch Vereinfachen und Idealisieren der Wirklichkeitentstehen. Diese Ersatzsysteme können dann durch Systemparameter (Längenab-messungen, Massen, Trägheitsmomente, Materialkennwerte und Federsteifigkeiten,elektrische Kenngrößen wie Induktivitäten, usw.) gekennzeichnet werden. Ihr je-weiliger Zustand wird durch Zustandsgrößen (Verschiebungen, Geschwindigkeiten,Drücke, Temperaturen, elektrische Spannungen, Stromstärken, usw.) dargestellt.Charakteristisch für die Schwingungen ist dabei, dass die Zustandsgrößen im Laufeder Zeit ihre Werte stark ändern. Die Gesetzmäßigkeit, mit der diese Veränderungvor sich geht, ergibt sich durch die Anwendung von grundlegenden physikalischenGesetzen auf die Ersatzsysteme, in der Mechanik aus den Grundgesetzen der Dyna-mik. Mit dieser Vorgehensweise erhält man schließlich ein mathematisches Modelldes realen Geschehens.

In der Schwingungslehre besitzen die mathematischen Modelle meist die Form vonDifferentialgleichungen, in denen, neben den zeitunabhängigen Systemparametern,die Zustandsgrößen als gesuchte Zeitfunktionen auftreten. Dabei unterscheidenwir zunächst zwischen gewöhnlichen und partiellen Differentialgleichungen. Beidiskreten Ersatzsystemen, d.h. bei Systemen mit endlich vielen Freiheitsgraden,wie sie ausschließlich in diesem Buch behandelt werden, ergeben sich Systeme vongewöhnlichen Differentialgleichungen. Kontinuierliche Ersatzsysteme führen dagegenauf partielle Differentialgleichungen. Dabei verwenden wir den Begriff Freiheitsgrad,wie er aus der Technischen Mechanik bekannt ist. Als Zustandsgrößen verwendetman in der Mechanik häufig Koordinaten, bzw. „verallgemeinerte Koordinaten“ undihre Zeitableitungen, so dass die Anzahl der Zustandsgrößen doppelt so groß wiedie Anzahl der Freiheitsgrade ist.Die Auswahl eines geeigneten Ersatzsystems bereitet dem Ingenieur oft große

Schwierigkeiten und bildet einen kritischen Schritt in der Behandlung von Problemen(Zitat nach A. Eddington1: „Wenn das Modell stimmt, ist der Rest leicht“). Dashängt damit zusammen, dass ein Ersatzsystem immer nur im Hinblick auf eine wohl1Nach dem britischen Astronom und Physiker Sir Arthur Stanley Eddington, *1882 in Kendal,†1944 in Cambridge.

7

umrissene Problemstellung ausgewählt werden kann. Für einen einzelnen realenGegenstand können also durchaus mehrere Ersatzsysteme herangezogen werden, diesich in der Anzahl der Freiheitsgrade wesentlich unterscheiden können. Ein klassi-sches Beispiel hierzu ist die Planetenbewegung: Ist man nur an der Bahnbewegunginteressiert, so bietet sich als Ersatzsystem für den Himmelskörper der Massenpunktan; will man aber beispielsweise erklären, warum der Mond der Erde stets dasselbeGesicht zeigt, so kann man als Ersatzsystem den starren Körper heranziehen. Imebenen Problem hat sich damit die Anzahl der Freiheitsgrade verdoppelt.Im vorliegenden Buch gehen wir auf die Problematik der Modellbildung nicht

weiter ein. Wir behandeln ausschließlich diskrete mechanische Systeme mit einerbeliebigen endlichen Anzahl von Freiheitsgraden. Die Dynamik dieser Systeme wirdvon Differentialgleichungen (den „Bewegungsgleichungen“) beschrieben. Die sind na-türlich in der Regel zunächst nichtlinear und so einer analytischen Behandlung kaumzugänglich. Allerdings sind in vielen technischen Anwendungen die Verformungenso klein, dass die um eine Gleichgewichtslage linearisierten Differentialgleichungenwichtige Aspekte des Systemverhaltens richtig wiedergeben. In der TechnischenSchwingungslehre, und auch in diesem Buch, werden daher ausschließlich lineareSchwingungen, d.h. Lösungen linearer Differentialgleichungen behandelt. Die Grund-begriffe der Schwingungslehre, wie Frequenz, Eigenfrequenz, Resonanz, usw. setzenwir dabei als aus der Technischen Mechanik bekannt voraus.

Die numerische Behandlung linearer Differentialgleichungen, d.h. hier im Wesentli-chen die Lösung von Eigenwertproblemen und die Bestimmung der Eigenfrequenzenund Eigenvektoren, ist heute meist kein Problem mehr. Der Schwerpunkt des vorlie-genden Buches ist dementsprechend ein anderer. Wir legen Wert darauf, die Einflüsseder verschiedenen Terme der Bewegungsgleichungen, wie sie in mechanischen Sys-temen auftreten, zu diskutieren. Das heißt, dass die Einflüsse der verschiedenenMatrizen auf das Eigenwertproblem getrennt behandelt werden (Massenmatrix M ,Dämpfungsmatrix D, Matrix der gyroskopischen Terme G, Matrix der Rückstell-kräfte K und Matrix der zirkulatorischen Terme N). Dabei gehen wir systematischvor und betrachten in unterschiedlichen Kapiteln jeweils Systeme vom Typ M -K,sowie solche der Typen M -D-K, M -G-K, M -K-N , M -G-K-N , M -D-K-Nund schließlich Systeme des allgemeinen Typs M -D-G-K-N . Dies hilft oft, dasqualitative Verhalten komplizierter mechanischer Systeme zu erkennen. Eigenwerteund Eigenvektoren sind in der Regel komplexwertig, und der Normierung komplexerEigenvektoren wird mehr Aufmerksamkeit gewidmet als sonst üblich. Natürlichwerden nicht nur freie sondern auch erzwungene Schwingungen behandelt und zwarsowohl im Zeit- als auch im Frequenzbereich.Um dem Leser zu vergegenwärtigen, durch welche physikalischen Effekte die

unterschiedlichen Matrizen entstehen, ist das Kapitel 2 den Bewegungsgleichungen

8 1 Einleitung

mechanischer Systeme gewidmet. Dabei werden für eine Reihe unterschiedlicherMehrfreiheitsgradsysteme die zunächst nichtlinearen Differentialgleichungen ange-geben und zum Teil auch hergeleitet. Sie werden dann linearisiert, wobei man dieEntstehung der verschiedenen Matrizen gut nachverfolgen kann. Auf die verschiede-nen Beispielsysteme wird im gesamten Buch in den verschiedenen Kapiteln immerwieder Bezug genommen.

Im Anhang werden Grundlagen zur Kinematik und Verfahren zum Aufstellen derBewegungsgleichungen besprochen. Dieser Anhang ist eine Zusammenstellung derGrundlagen für Kapitel 2 und kann als Nachschlagewerk für Details der verwen-deten Notation angesehen werden. Er lässt sich auch als eigenständige kompakteEinführung in die mathematischen sowie mechanischen Grundlagen verwenden undkann bei Bedarf vorab gelesen werden.

2 Bewegungsgleichungen mechanischerSysteme

In diesem Kapitel werden die Bewegungsgleichungen einiger mechanischer Syste-me unter Verwendung der Methoden aus Anhang B aufgestellt. In den folgendenKapiteln werden wir immer wieder auf diese Beispiele zurückgreifen und die Bewe-gungsgleichungen dann im Detail analysieren.

2.1 Einfreiheitsgradsysteme

2.1.1 Der Einmassenschwinger

Als Prototyp des Einfreiheitsgradsystems wird sehr häufig der sogenannte „Ein-massenschwinger“ aus Bild 2.1 herangezogen. Im Hinblick auf die Benennung derMehrfreiheitsgradsysteme, sprechen wir vom m-d-k-System mit Kraftanregung.Die Bewegungsgleichung des Systems folgt unmittelbar aus dem Schwerpunktsatz.Ausgewertet in der horizontalen Richtung ergibt sich aus Bild 2.1

mq̈ = f(t)− kq − dq̇ (2.1)

und schließlich in der üblichen Anordnung der Terme

mq̈ + dq̇ + kq = f(t). (2.2)

Dabei gehen wir hier und im Folgenden stets davon aus, dass die gezeichneten Feder-bzw. Dämpfersymbole lineare Eigenschaften aufweisen, d.h. Kräfte bewirken, diemit den Proportionalitätsfaktoren k bzw. d linear in q bzw. q̇ sind.

q

d

k

mf(t)

q

f(t)kq

dq̇

Bild 2.1: m-d-k-System mit Kraftanregung: System (links) und Skizze für den Schwer-punktsatz (rechts)

10 2 Bewegungsgleichungen mechanischer Systeme

2.1.2 Mathematisches Pendel

In Bild 2.2 ist ein mathematisches Pendel dargestellt. Die Bewegungsgleichung wirdmit Hilfe der Lagrangeschen1 Gleichungen aufgestellt. Aus der Geschwindigkeitdes Massenpunkts P im Inertialsystem N

N IIv P = −lq̇ sin q IIn1 + lq̇ cos qII

n2 (2.3)

ergibt sich die kinetische Energie des Systems

T =1

2mN

II

v P · N IIv P = 12ml2q̇2 (2.4)

und zusammen mit der potentiellen Energie des Systems

U = −mgl cos q (2.5)

folgt die Lagrange-Funktion

L =1

2ml2q̇2 +mgl cos q. (2.6)

Die Bewegungsgleichung erhält man mit der Lagrangeschen Gleichung

d

dt

∂L

∂q̇− ∂L∂q

= 0, (2.7)

was schließlich auf

ml2q̈ +mgl sin q = 0 (2.8)

führt. Für kleine Bewegungen um die lotrecht hängende Position des Pendels ist

ml2q̈ +mglq = 0 (2.9)

die entsprechende linearisierte Bewegungsgleichung. Dies hätte man mit (B.108)auch direkt aus den Energieausdrücken des Systems ablesen können.

q

g

P(m)

lIIn1

II

n2

Bild 2.2: Mathematisches Pendel

1Nach dem italienischen Mathematiker und Astronom Joseph-Louis Lagrange, *1736 in Turin,†1813 in Paris.

2.1 Einfreiheitsgradsysteme 11

2.1.3 Ein Reibschwinger: Dämpfung infolge Reibung

Das Bild 2.3 zeigt eine Punktmasse P (Masse m), die sich in einer Führung auf einerrauen Oberfläche (Coulombsche2 Reibung, Reibbeiwert µ) bewegt. Die Normalkraftzwischen der Punktmasse und der rauen Oberfläche ist N . Die Punktmasse istelastisch (Federsteifigkeit k) in der mit konstanter Geschwindigkeit v0 bewegtenFührung gelagert.

Wir leiten die Bewegungsgleichung des Systems mit Hilfe des Schwerpunktsatzessowie dem Freikörperbild (Bild 2.3, rechts) her und betrachten dazu lediglich dieKräfte in der IIn1-

II

n2-Ebene. Dort wirken auf die Punktmasse die Kraft Z (Zwangskraftinfolge der bewegten Führung) in IIn1-Richtung, die Federkraft kq in negative

II

n2-Richtung sowie die Reibkraft

II

R = −µNN IIvP

|N IIvP|, (2.10)

wobei

N IIvP = v0II

n1 + q̇II

n2 (2.11)

die Geschwindigkeit der Punktmasse im Inertialsystem N ist. Die Reibkraft wirktalso entgegen der Relativgeschwindigkeit der Reibpartner und hat gemäß Coulombden Betrag µN . Mit der Beschleunigung von P in N

N IIaP = q̈II

n2 (2.12)

liefert der Schwerpunktsatz

mq̈II

n2 = ZII

n1 − kqII

n2 − µNv0

II

n1 + q̇II

n2|v0

II

n1 + q̇II

n2|(2.13)

Pµ

m

k q

NN

kv0t

m

qII

n3II

n1

II

n2II

n2

P

II

n2

II

n1

N

kq

Z R=µN

N IIvP

Bild 2.3: Punktmasse in bewegter Führung auf rauer Unterlage: Seitenansicht und Drauf-sicht (links), Freikörperbild (rechts)

2Nach dem französischen Physiker Charles Augustin de Coulomb, *1736 in Angoulême, †1806 inParis.

12 2 Bewegungsgleichungen mechanischer Systeme

die beiden skalaren Gleichungen

0 = Z − µN v0√v20 + q̇

2, (2.14a)

mq̈ = −kq − µN q̇√v20 + q̇

2. (2.14b)

Die erste Gleichung liefert bei bekanntem q̇ die erforderliche Zwangskraft Z, um dieFührung mit v0 in

II

n1-Richtung zu bewegen. Die zweite Gleichung ist die nichtlineareBewegungsgleichung des Systems. Linearisiert man für kleine q̇ folgt

mq̈ +µN

v0q̇ + kq = 0, (2.15)

also ein „gewöhnliches“ m-d-k-System, wobei die lineare Dämpfung mit der Dämp-fungskonstanten

d =µN

v0(2.16)

aus der Coulombschen Reibung resultiert. Dieser Effekt wird nur deshalb korrektberücksichtigt, weil die Bewegungsgleichungen am ausgelenkten System formuliertwurden. In diesem Zusammenhang sei auf den Abschnitt B.4.2 und die dort gemach-ten Bemerkungen zum direkten Aufstellen linearer Bewegungsgleichungen verwiesen.Von praktischer Relevanz kann dieser Effekt in all solchen technischen Systemen sein,bei denen reibungsbehaftete Kontakte mit einer Vorzugsbewegungsrichtung (hier dieII

n1-Richtung, gegeben durch v0) vorliegen und Schwingungen der Kontaktpartnerquer zu dieser Vorzugsbewegungsrichtung auftreten. Wir werden auf dieses spezielleBeispiel eines m-d-k-Systems nicht explizit zurückkommen. Es soll uns in ersterLinie zur Verdeutlichung des Effekts der linearen Dämpfung infolge Reibung dienen.

2.2 Mehrfreiheitsgradsysteme

2.2.1 Schwingerkette

Ähnlich wie das m-d-k-System mit einem Freiheitsgrad aus Bild 2.1 werden uns dasM -D-K-System aus Bild 2.4 und Sonderfälle davon häufig als Grundlage für die

k1

d1

m1 k2

d2

m2 k3

d3

kn

dn

mn

kn+1

dn+1

f1(t) f2(t) fn(t)

q1 q2 qn

Bild 2.4: Schwingerkette mit n Freiheitsgraden

2.2 Mehrfreiheitsgradsysteme 13

dr(q̇r−q̇r−1)kr(qr−qr−1)

dr+1(q̇r−q̇r+1)kr+1(qr−qr+1)

fr(t)

qr

Bild 2.5: Skizze für denSchwerpunktsatz einesKörpers der Schwinger-kette aus Bild 2.4

Veranschaulichung von Begriffen und Effekten dienen. Wir betrachten den r-tenWagen aus der Kette und formulieren mit der Skizze aus Bild 2.5 den zugehörigenSchwerpunktsatz

mr q̈r = fr(t)− kr(qr − qr−1)− dr(q̇r − q̇r−1)− kr+1(qr − qr+1)− dr+1(q̇r − q̇r+1). (2.17)

Diese Gleichung gilt für r=1, . . . , n, wobei für r=1 bzw. r=n aufgrund der Ränderq0 =0 bzw. qn+1 =0 zu setzen ist. Die Bewegungsgleichungen für die gesamte Kettekönnen dann mit

M =

m1 0

m2. . .

0 mn

, D =

d1 + d2 −d2 0−d2 d2 + d3 −d3

−d3. . . . . .. . . . . . −dn

0 −dn dn + dn+1

,

K =

k1 + k2 −k2 0−k2 k2 + k3 −k3

−k3. . . . . .. . . . . . −kn

0 −kn kn + kn+1

, f(t) =

f1(t)

f2(t)...

fn(t)

, q =q1q2...qn

in der Form

Mq̈ +Dq̇ +Kq = f(t) (2.18)

geschrieben werden. Wir werden in den Kapiteln 5 und 6 immer wieder Sonderfälleund Abwandlungen dieser allgemeinen Schwingerkette untersuchen.

2.2.2 Maschine auf Blockfundament mit Unwuchterregung

In Bild 2.6 ist das mechanische Ersatzmodell einer Maschine mit Unwuchterregungauf einem Blockfundament dargestellt. Das Blockfundament ist über Federn und

14 2 Bewegungsgleichungen mechanischer Systeme

S

a

h

a c

k3

k1 k2

d3d1 d2

II

n1

II

n2

Ωt

m2e

m1, Θ

2b

Bild 2.6: Maschine auf Blockfun-dament mit Unwuchterregung

Dämpfer gelagert und kann nur Bewegungen in der Zeichenebene ausführen. DieUnwucht rotiert mit der Drehgeschwindigkeit Ω. Alle Größen, Maße und Trägheits-eigenschaften sind dem Bild zu entnehmen. Ergänzend zum Bild 2.6 sei angemerkt,dass die Federn und Dämpfer so befestigt sind, dass sie stets lotrecht bzw. waa-gerecht stehen, auch wenn sie Druckkräfte auf das Blockfundament ausüben. Wirwerden nun die Bewegungsgleichungen mit Hilfe der Lagrangeschen Gleichungenaufstellen.

Kinematik

Aus Bild 2.7 können wir die Ortsvektoren vom Ursprung O zum Schwerpunkt S desSystems mit Blockfundament (ohne die Unwucht der Masse m2)

II

p S/O = (q1 + a+ b)II

n1 + (q2 + a+ h)II

n2, (2.19)

vom Ursprung zu den Punkten P1 und P2II

pP1/O =II

p S/O − bII

b1 − hII

b2, (2.20a)II

pP2/O =II

p S/O + bII

b1 − hII

b2 (2.20b)

sowie vom Ursprung zur Unwucht QII

pQ/O =II

p S/O + e sin ΩtII

b1 + (c+ e cos Ωt)II

b2 (2.21)

ablesen. Zur Berechnung der kinetischen Energie benötigen wir die Geschwindigkeitvon S in N

N IIv S =Nd

dtII

p S/O = q̇1II

n1 + q̇2II

n2 (2.22)

2.2 Mehrfreiheitsgradsysteme 15

O

q1+a+b

q2+a+h

q3

II

b1

II

b2

Ωt

P1

P2

Q

S

II

n1

II

n2

Bild 2.7: Kinematik zur Maschineauf Blockfundament mit Unwuch-terregung aus Bild 2.6

und von Q in N

N IIvQ =Nd

dtII

pQ/O = NII

v S + eΩ cos ΩtII

b1 − eΩ sin ΩtII

b2

+ NII

ωB ×(e sin Ωt

II

b1 + (c+ e cos Ωt)II

b2). (2.23)

Mit der Winkelgeschwindigkeit von B in N

N IIωB = q̇3II

n3 = q̇3II

b3 (2.24)

und dem Zusammenhang der Basisvektoren

II

n1 = cos q3II

b1 − sin q3II

b2, (2.25a)II

n2 = sin q3II

b1 + cos q3II

b2 (2.25b)

folgt schließlich

N IIvQ =(q̇1 cos q3 + q̇2 sin q3 − q̇3(c+ e cos Ωt) + eΩ cos Ωt

) IIb1

+(q̇2 cos q3 − q̇1 sin q3 + q̇3e sin Ωt− eΩ sin Ωt

) IIb2. (2.26)

Um die Dämpferkräfte selbst sowie deren verallgemeinerten Kräfte anzugeben,berechnen wir noch die Geschwindigkeiten der Punkte P1 und P2

N IIv P1 = NII

v S + NII

ωB × (−bII

b1 − hII

b2)

= (q̇1 cos q3 + q̇2 sin q3 + q̇3h)II

b1 + (q̇2 cos q3 − q̇1 sin q3 − q̇3b)II

b2, (2.27)N IIv P2 = N

II

v S + NII

ωB × (bII

b1 − hII

b2)

= (q̇1 cos q3 + q̇2 sin q3 + q̇3h)II

b1 + (q̇2 cos q3 − q̇1 sin q3 + q̇3b)II

b2. (2.28)

16 2 Bewegungsgleichungen mechanischer Systeme

O

P1

P2

S

II

n1

II

n2

F1

F2F3

Bild 2.8: Kräfte in der Lagerung zur Ma-schine auf Blockfundament mit Unwuch-terregung aus Bild 2.6

Daraus folgt dann (vgl. Abschnitt A.7)

N IIuP11 = cos q3II

b1 − sin q3II

b2,N IIuP21 = cos q3

II

b1 − sin q3II

b2,

N IIuP12 = sin q3II

b1 + cos q3II

b2,N IIuP22 = sin q3

II

b1 + cos q3II

b2, (2.29)N IIuP13 = h

II

b1 − bII

b2,N IIuP23 = h

II

b1 + bII

b2 .

Feder- und Dämpferkräfte

Mit Hilfe der Skizze aus Bild 2.8 und unter Verwendung der üblichen linearen Feder-und Dämpfergesetze berechnen sich die Kräfte der Lagerung aus

II

F1 = −[(k1(

II

pP1/O − a IIn1 − aII

n2) + d1N IIv P1

)· IIn2]

II

n2, (2.30a)II

F2 = −[(k2(

II

pP2/O − (a+ 2b) IIn1 − aII

n2) + d2N IIv P2

)· IIn2]

II

n2, (2.30b)II

F3 = −[(k3(

II

pP3/O − a IIn1 − aII

n2) + d3N IIv P3

)· IIn1]

II

n1. (2.30c)

Kinetische Energie und generalisierte Kräfte

Die kinetische Energie des Systems setzt sich aus den kinetischen Energien vonMaschine mit Blockfundament (Masse m1) und Unwucht (Masse m2)

T =1

2m1N IIv S · N IIv S + 1

2ΘN

II

ωB · N IIωB + 12m2N IIvQ · N IIvQ (2.31)

zusammen. Natürlich kann man die Federkräfte in der potentiellen Energie desSystems berücksichtigen, wir wählen aber hier den Weg, sowohl Feder- als auchDämpferkräfte über die generalisierten Kräfte

Q1 = (II

F1 +II

F3) · NII

uP11 +II

F2 · NII

uP21 , (2.32a)

Q2 = (II

F1 +II

F3) · NII

uP12 +II

F2 · NII

uP22 , (2.32b)

Q3 = (II

F1 +II

F3) · NII

uP13 +II

F2 · NII

uP23 . (2.32c)

einzubeziehen.

2.2 Mehrfreiheitsgradsysteme 17

Bewegungsgleichungen

Die Bewegungsgleichungen des Systems folgen mit Hilfe der Lagrangeschen Glei-chungen im vorliegenden Fall (keine potentielle Energie) aus

d

dt

∂T

∂q̇i− ∂T∂qi

= Qi, i = 1, 2, 3. (2.33)

Die nichtlinearen Gleichungen sind recht lang. Wir wollen sie deshalb nicht angeben,sondern kümmern uns um die linearisierten Bewegungsgleichungen

(m1 +m2)q̈1 −m2(c+ e cos Ωt)q̈3 + d3q̇1 + (hd3 + 2m2eΩ sin Ωt)q̇3+ k3q1 + (hk3 +m2eΩ

2 cos Ωt)q3 = m2eΩ2 sin Ωt, (2.34a)

(m1 +m2)q̈2 +m2e sin Ωt q̈3 + (d1 + d2)q̇2 +(b(d2 − d1) + 2m2eΩ cos Ωt

)q̇3

+ (k1 + k2)q2 + (b(k2 − k1)−m2eΩ2 sin Ωt)q3 = m2eΩ2 cos Ωt, (2.34b)

−m2(c+ e cos Ωt)q̈1 +m2e sin Ωt q̈2 +(Θ +m2(e

2 + c2 + 2ce sin Ωt))q̈3

+ hd3q̇1 + b(d2 − d1)q̇2 +(b2(d1 + d2) + h

2d3 − 2m2ceΩ sin Ωt)q̇3

hk3q1 + b(k2 + k1)q2 +(b2(k1 + k2) + h

2k3)q3 = −m2ceΩ2 sin Ωt. (2.34c)

Anzumerken ist, dass die Unwucht in allen drei Gleichungen sowohl als zeitabhängigerKoeffizient und auch als harmonische Erregung in Erscheinung tritt.Wird die Drehbewegung der Maschine beispielsweise durch eine Führung unter-

bunden, vereinfachen sich die ersten beiden Bewegungsgleichungen zu

(m1 +m2)q̈1 + d3q̇1 + k3q1 = m2eΩ2 sin Ωt, (2.35a)

(m1 +m2)q̈2 + (d1 + d2)q̇2 + (k1 + k2)q2 = m2eΩ2 cos Ωt, (2.35b)

die auch mit

M =

[m1 +m2 0

0 m1 +m2

], D =

[d3 0

0 d1 + d2

], K =

[k3 0

0 k1 + k2

]

und

f(t) = m2eΩ2[sin Ωt cos Ωt

]T, q =

[q1 q2

]Tin der Form

Mq̈ +Dq̇ +Kq = f(t) (2.36)

geschrieben werden können. Die Unwucht tritt nun ausschließlich in der harmonischenErregung auf und alle Koeffizienten sind konstant.

18 2 Bewegungsgleichungen mechanischer Systeme

Als weiteren Sonderfall unterbinden wir noch zusätzlich die horizontale Bewegung.Mit k=k1+k2, d=d1+d2 und q2(t)=q(t) folgt dann

(m1 +m2)q̈ + dq̇ + kq = m2eΩ2 cos Ωt. (2.37)

Dieses System mit einem Freiheitsgrad werden wir in Abschnitt 4.1.4 genaueruntersuchen. Dabei wird es insbesondere darum gehen, die von der Maschine in denBoden eingeleitete Kraft

fZ(t) = −(II

F1 +II

F2) ·II

n1 = kq(t) + dq̇(t) (2.38)

möglichst klein zu halten.

2.2.3 Rollendes Rad

Das Bild 2.9 zeigt eine homogene Kreisscheibe (Masse m, Radius r, körperfestesBezugssystem R), die auf der waagerechten IIn1-

II

n2-Ebene rollt. Die Fallbeschleuni-gung g wirkt entlang der negativen IIn3-Achse. Das Bezugssystem B geht aus denInertialsystem N durch zwei aufeinander folgende Drehungen um IIn3 mit dem Winkelq1 und um

II

b1 mit dem Winkel q2 hervor. Die Scheibe selbst dreht sich in B mit derWinkelgeschwindigkeit Ω

II

b2, wobei Ω=konst. gilt. Das Bezugssystem B ist also nichtkörperfest mit der Scheibe verbunden. Aufgrund ihrer Rotationssymmetrie, ist Bdennoch ein Hauptachsensystem der Scheibe. Wir leiten die Bewegungsgleichungendes rollenden Rads nun mit dem Prinzip der virtuellen Geschwindigkeiten her.

Kinematik

Aus Bild 2.9 können wir die Winkelgeschwindigkeit des scheibenfesten BezugssystemsR im Inertialsystem NN IIωR = q̇1

II

n3 + q̇2II

b1 + ΩII

b2 (2.39)

II

n1 IIn2

II

n3

II

b1

II

b2

II

b3 g

q1

q2

Ω

m, r,R

P

S

Bild 2.9: Rollendes Rad