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Technische Universität München
Lehrstuhl für Hydrologie und Flussgebietsmanagement
Bachelorarbeit
München, 30.09.2015
Interpretation von Schneemessdaten
mit Hilfe der Wavelet-Transformation
Name Name
Tobias Fraunholz
III
Bachelorarbeit
zur Erlangung des Grades eines Bachelor of Science (B.Sc.)
der Fachrichtung Umweltingenieurwesen
an der
Technischen Universität München
Lehrstuhl für Hydrologie und Flussgebietsmanagement
Prüfer: Univ. –Prof. Dr.-Ing. Markus Disse
Betreuer: Dr. rer. nat. Gabriele Chiogna
eingereicht am: 30.09.2015
von: Tobias Fraunholz
Interpretation von Schneemessdaten
mit Hilfe der Wavelet-Transformation
IV
Zusammenfassung
Die vorliegende Bachelorarbeit behandelt den Einsatz der Wavelet-Transformation als Werkzeug
zur Datenauswertung klimatologischer Zeitreihen. Das Ziel dieser Arbeit ist es, mit Hilfe der
Wavelet-Transformation Schneehöhen-Zeitreihen auszuwerten und auf periodisch oder episodisch
wiederkehrende Ereignisse zu überprüfen.
Es geht in dieser Arbeit einerseits um das grundlegende Verständnis und die
Anwendungsmöglichkeiten der Wavelet-Transformation und andererseits um deren Auswertung.
Die mathematischen Grundlagen für diese Arbeit lieferten im wesentlichen Torrence und Compo in
ihrem Werk über Wavelet-Transformationen und deren Anwendung in der Klimaforschung 1998.
Die gewonnenen Erkenntnisse dienen dem Forschungsprojekt „SnowPat“ des Lehrstuhls für
Hydrologie und Flussgebietsmanagement der Technischen Universität München, für weitere
Untersuchungen der Trentino Region im Nordosten Italiens und den dort auftretenden
Schneehöhen sowie Voraussagen über deren künftige Entwicklungen.
Als Besonderheit dieser Arbeit soll zum Schluss noch ein Abgleich der Ergebnisse mit
Erkenntnissen aus anderen Klimaforschungsprojekten stattfinden. Durch das sogenannte Cross-
Wavelet-Verfahren sollen Zusammenhänge der aufgenommenen Daten mit globalen Phänomenen
geprüft werden.
V
Abstract
This bachelor’s thesis discusses the use of the wavelet-transformation as a tool for climatologic
data analysis. The intention of this thesis is to evaluate time series of snow heights by using the
wavelet-transformation and check the time series for periodic and episodic events.
On the one hand this thesis is about the fundamental understanding and the possibilities of using
the wavelet-transformation. On the other hand it is about its evaluation. The mathematical
foundation is mainly provided by Torrence and Compo and their work about wavelet-
transformations and their appliance to climatologic questions in 1998. The gotten knowledge serves
the research project “SnowPat” which is organized by the chair of hydrology and river basin
management of the Technichal University Munich. The scientific findings will be used for further
studies of the Trentino region in northeastern Italy and the occurring snow heights in this region as
well as for predictions of future events.
As a special feature this thesis will compare the gathered data and knowledge to insight of other
climatic researches. With the so-called cross-wavelet connections between the given data and
global phenomena will be checked.
VI
Erklärung
Ich erkläre hiermit an Eides statt, dass ich die vorliegende Arbeit eigenständig ohne unzulässige
Hilfe Dritter und ohne Benutzung anderer als der angegebenen Hilfsmittel angefertigt habe. Die aus
anderen Quellen direkt oder indirekt übernommenen Daten und Konzepte sind unter Angabe des
Literaturzitats gekennzeichnet. Das gilt auch für Zeichnungen, Skizzen, bildliche Darstellungen
und dergleichen sowie für Quellen aus dem Internet und unveröffentlichte Quellen.
Die Arbeit wurde bisher weder im In- noch im Ausland in gleicher oder ähnlicher Form einer
anderen Prüfungsbehörde vorgelegt und war bisher nicht Bestandteil einer Studien- oder
Prüfungsleistung.
Ich weiß, dass die Arbeit in digitalisierter Form daraufhin überprüft werden kann, ob unerlaubte
Hilfsmittel verwendet wurden und ob es sich – insgesamt oder in Teilen – um ein Plagiat handelt.
Zum Vergleich meiner Arbeit mit existierenden Quellen darf sie in eine Datenbank eingestellt
werden und nach der Überprüfung zum Vergleich mit künftig eingehenden Arbeiten dort
verbleiben. Weitere Vervielfältigungs- und Verwertungsrechte werden dadurch nicht eingeräumt.
Anderweitige Vereinbarungen bleiben hiervon unberührt.
München, den 30.09.2015 ____________________________
VII
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung .............................................................................................................................. 8
1.1 Motivation .............................................................................................................................. 8
1.2 Ziel der Arbeit ........................................................................................................................ 9
1.3 Gliederung ............................................................................................................................ 10
2 Wavelet-Analyse ................................................................................................................. 10
2.1 Ursprung der Wavelet-Transformation ................................................................................ 11
2.2 Erläuterung der Wavelet-Transformation ............................................................................ 14
2.2.1 Mathematische Grundlagen .............................................................................................. 14
2.2.2 Anwendung auf Zeitreihen ............................................................................................... 18
2.2.3 Entfernen von Störungen durch statistische Testverfahren .............................................. 19
2.3 Anwendungen der Wavelet-Transformation ........................................................................ 21
2.3.1 Anomalien in den Drehimpulsfunktionen der Erde ......................................................... 21
2.3.2 Klimaveränderungen und Wasserwirtschaft .................................................................... 22
2.3.3 Veränderungen in der Nordatlantischen Oszillation ........................................................ 23
2.3.4 Weitere Anwendungen in Kürze ...................................................................................... 24
2.4 Wavelets in Matlab............................................................................................................... 25
3 Auswertung der Schneehöhen-Zeitreihen ........................................................................ 31
3.1 Anpassungen im Matlab-Skript für die Datenauswertung ................................................... 31
3.2 Betrachtung der Ergebnisse aus den Matlab-Grafiken ......................................................... 32
3.2.1 Rabbi 1335m .................................................................................................................... 32
3.2.2 Paneveggio 1540m ........................................................................................................... 34
3.2.3 Pampeago 1760m ............................................................................................................. 36
3.2.4 Malga Bissina 1780m ....................................................................................................... 37
3.2.5 Passo Valles 2032m ......................................................................................................... 38
3.3 Vergleich der Ergebnisse aus den Matlab-Plots ................................................................... 39
3.4 Zusammenfassung und Interpretation der Ergebnisse und Vergleiche ................................ 41
4 Erweiterung der Wavelets durch das Cross-Wavelet-Verfahren .................................. 42
4.1 Das Cross-Wavelet-Spektrum .............................................................................................. 42
4.2 Wavelet-Kohärenz ................................................................................................................ 43
4.3 Cross-Wavelets in Matlab .................................................................................................... 44
5 Anwendung des Cross-Wavelet-Verfahrens .................................................................... 44
5.1 Vorbereitung der Datensätze ................................................................................................ 45
VIII
5.2 Ergebnisse der Cross-Wavelet-Transformation aus Matlab ................................................. 45
5.2.1 NAO – Paneveggio ........................................................................................................... 46
5.2.2 NAO – Malga Bissina ...................................................................................................... 47
5.3 Zusammenfassung und Interpretation der Ergebnisse .......................................................... 49
6 Schluss ................................................................................................................................. 50
6.1 Vor- und Nachteile der Wavelet-Transformation ................................................................. 50
6.2 Fazit und nächste Schritte ..................................................................................................... 50
Literaturverzeichnis ....................................................................................................................... 52
Abbildungsverzeichnis ................................................................................................................... 54
Tabellenverzeichnis ........................................................................................................................ 55
Abkürzungsverzeichnis .................................................................................................................. 56
8
1 Einleitung
Sowohl in der Hydrologie als auch in der Meteorologie werden Zeitreihenanalysen angewandt, um
jeweilige Prozesse in Abhängigkeit der Zeit besser verstehen und interpretieren zu können. Dabei
hat sich die Anwendung der Wavelet-Transformation bewährt. Diese ermöglicht die Bestimmung
zeitlicher Abhängigkeit von wesentlichen Parametern, wobei verschiedene Frequenzen erfasst
werden können. Als Ergebnis können dem Zeit-Frequenz-Raum (wiederkehrende) Muster
entnommen werden, welche als Grundlage für weitere Analysen und Interpretationen dienen.
1.1 Motivation
Im Rahmen des Forschungsprojekts „SnowPat“ der Technischen Universität München werden
Datensätze in qualitativer Hinsicht geprüft sowie korrigiert und analysiert. Genannte Datensätze
wurden vom italienischen Wetterdienst Meteotrentino über Jahre hinweg gesammelt und liegen in
Form von Zeitreihen zu Schneehöhe und Schneedaten vor, welche von Stationen aus der gesamten
Region von Trentino im Nordosten Italiens aufgenommen wurden. Die zusammengetragenen
Daten wurden mittels drei Methoden erfasst. Es wurden Daten von automatisierten Instrumenten,
manuell gemessene und auch historische Daten aus diversen Quellen und Messarten verwertet.
(TUM 2015)
Neben verschiedenen Datenprüfungen und Rekonstruktionsaufgaben für fehlende Daten sollen die
Zeitreihen zu Schneehöhen der fünf Berge in Tabelle 1 aus der genannten Region auf
Schwankungen und Periodizität untersucht werden.
Tabelle 1 Bergnamen mit Höhenangaben
Bergname Berghöhe in Metern
Rabbi 1335
Paneveggio 1540
Pampeago 1760
Malga Bissina 1780
Passo Valles 2032
Bevor man nach einem geeigneten Tool zur Analyse und Interpretation der vorliegenden Daten
sucht, sollten zunächst Überlegungen zu sämtlichen Einflussfaktoren auf die Messdaten getroffen
werden.
Der gemessene Parameter ist die Schneehöhe. „Die Schneehöhe bezeichnet die absolute Höhe der
Schneedecke und wird in Zentimetern angegeben. Sie ist von mehreren Faktoren abhängig: von der
Menge des Neuschnees, des Altschnees und der Lufttemperatur. Auch Wind und Schneesenkungen
können die Höhenmessung beeinflussen“. (wetterdienst.de 2015) Außerdem ist zu beachten, dass
genannte Aspekte saisonalen Schwankungen unterliegen, welche sich ggf. gegenseitig verstärken.
Während Wind über ein gesamtes Jahr hinweg gleichmäßig auftreten kann, wird die
Lufttemperatur im Sommer stets höher sein, wodurch sich auch der Niederschlag ändert. Es wird
also in warmen Monaten bzw. Tagen kein Neuschnee fallen sondern Regen, welcher die
Schneehöhe ebenfalls negativ beeinflusst und somit zusätzlich zur erhöhten Temperatur und
einhergehenden Schmelzvorgängen einen Verlust in der Höhe der Schneedecke bewirkt.
9
Zur Datenanalyse der Schneemessdaten soll die kontinuierliche Wavelet-Transformation
herangezogen werden. Diese entstammt der Fourier-Transformation, weist dieser gegenüber jedoch
einige entscheidende Vorteile auf. Während die Fourier-Analyse - zusammengesetzt aus
orthogonalen Basisfunktionen, Korrelationen mit Sinus- oder Cosinus-Wellen bestimmt und eine
globale Charakterisierung vorsieht - lassen sich mit der Wavelet-Analyse lokale
Charakterisierungen in Form von „Wellchen“, die aus sogenannten „Mutter-Wavelets“
zusammengesetzt werden, vornehmen. (www.bayceer.uni-bayreuth.de 2013)
Die Entscheidung, die kontinuierliche Wavelet-Transformation der diskreten Wavelet-
Transformation vorzuziehen, resultiert aus den Kriterien der Überlappung und der Redundanz. Man
nimmt also aufgrund höherer Redundanz und stärkerer Überlappung einen erhöhten
Rechenaufwand in Kauf. Außerdem ist noch die Wahl des Mutter-Wavelets zu treffen. Diese wirkt
sich auf Auflösung im Zeit- bzw. Frequenzbereich aus und kann daher je nach gewünschtem
Ergebnis anders ausfallen.
Die Grundlage für die Anwendung einer derartigen Analyse im Bereich hydrologischer
Fragestellungen haben Torrence und Compo (Torrence und Compo 1998) mit ihrer Analyse des El
Nino geschaffen. Als Ergebnis erhielten sie aus Ihrer Zeitreihe von
Meeresoberflächentemperaturen beliebig filterbare Wavelet-Power-Spektren sowie globale
Wavelet-Spektren, aus welchen sie Periodizitäten im Verlauf dieses Naturereignisses feststellen
konnten. Jene wiederkehrenden Ereignisse ließen sich im Anschluss weiter interpretieren und mit
anderen Erscheinungen in Verbindung bringen.
1.2 Ziel der Arbeit
Das Ziel der Interpretation der vorliegenden Schneemessdaten mit Hilfe der kontinuierlichen
Wavelet-Transformation ist zunächst der Gewinn verschiedener Wavelet-Power-Spektren. Durch
das Anwenden unterschiedlicher Filter können bestimmte Wellenlängen ausgeblendet oder eben
gesondert analysiert werden. Dadurch soll es ermöglicht werden, neben den saisonal bedingten
Periodizitäten Zyklen zu identifizieren, welche sich in der Größenordnung mehrerer Jahre
wiederholen. Wünschenswert wäre ein Ergebnis vergleichbar mit den Entdeckungen von Torrence
und Compo (Torrence und Compo 1998), also ein Event mit einer Periodizität von etwa zwei bis
acht Jahren.
Außerdem sollen mittels Cross-Wavelet-Analysen Korrelationen der gewonnenen Ergebnisse mit
verschiedensten Ereignissen offengelegt werden. Dabei sind beispielsweise Zusammenhänge mit
der geodätischen Höhe sowie mit Klimaschwankungen aber auch mit spezifischen
Naturphänomenen - wie dem bereits untersuchten NAO oder dem El Nino - von Interesse und
sollen hier auch analysiert und interpretiert werden. Mögliche Übereinstimmungen in der
Wiederkehr solcher Events würden unter Umständen Schlüsse über hydrologische und
meteorologische Zusammenhänge auf globaler Ebene zulassen.
Des Weiteren könnte man auch andere hydrologische Parameter wie Abflüsse, Niederschläge und
eventuell Hochwasser mit den erhaltenen Erkenntnissen in Verbindung bringen und somit
Voraussagen über potentielle Hochwassergefahren, Existenzen von Skigebieten und Entwicklung
von Landschaften sowie deren Nutzung treffen.
10
1.3 Gliederung
Ausgehend von dem definierten Ziel der Arbeit und der gewünschten Vergleichbarkeit der
Ergebnisse mit den Erkenntnissen von Torrence und Compo (Torrence und Compo 1998) soll
zunächst das angewandte Verfahren näher beschrieben werden.
Im zweiten Kapitel wird zuerst die Bedeutung des Wortes „Wavelet“ sowie die Grundlagen der
Wavelet-Transformation - die Fourier-Transformation - erläutert. Dabei erfolgt eine Erklärung für
die Notwendigkeit von Wavelets und deren Entwicklung über die letzten Jahre hinweg, ausgehend
vom Haar-Wavelet. Als nächstes wird eine schrittweise Anleitung zum Aufstellen und Anwenden
der Wavelet-Transformation in der lokalen und globalen Frequenzanalyse nach Torrence und
Compo (Torrence und Compo 1998) gegeben, wobei relevante mathematische Begriffe erläutert
und im folgenden verwendete Verfahren vertieft betrachtet werden.
Um einen Überblick zu erhalten, in welchen naturwissenschaftlichen Bereichen die Wavelet-
Transformation bereits angewandt wurde, werden anschließend einige Beispiele aufgegriffen.
Dadurch wird die Anwendbarkeit auf die Zeitreihe der Schneemessdaten nochmals verdeutlicht
und gerechtfertigt. Außerdem werden bereits Interpretationsmöglichkeiten veranschaulicht.
Am Ende des zweiten Kapitels wird der Matlab Code von Torrence und Compo (Torrence und
Compo 1998) und dessen Gebrauch beschrieben. Dabei werden sowohl die verwendeten
Datensätze als auch Eingabeparameter erläutert und die notwendigen vorgenommenen
Veränderungen aufgezeigt und begründet. Zuletzt folgt noch eine Anleitung zu den
Interpretationsmöglichkeiten der erhaltenen Grafiken.
Das dritte Kapitel widmet sich der Datenauswertung und Interpretation der aufgenommenen
Zeitreihen für die fünf betrachteten Berge, wobei zunächst jeder Berg einzeln betrachtet wird. Im
Anschluss erfolgt eine gesammelte Erhebung der Ergebnisse.
Um die erhaltenen Ergebnisse mit anderen Events und Ereignissen in Verbindung bringen zu
können wird im vierten Kapitel die Cross-Wavelet-Analyse in ihrem Grundlagen erläutert.
Im fünften Kapitel soll letztendlich verdeutlicht werden, ob es Zusammenhänge zwischen den
analysierten Schneemessdaten und anderen geodätischen, hydrologischen oder meteorologischen
Beobachtungen gibt. Vergleichspartner sind hierbei zunächst der Index der NAO (National
Weather Service 2005) sowie die geodätische Höhe.
Zum Schluss wird ein Resümee über die gewonnenen Erkenntnisse sowie ein Ausblick über
weitere Verwendungs- und Interpretationsmöglichkeiten der Daten gegeben.
2 Wavelet-Analyse
Ebenso wie die Fourier-Transformation (FT) dient auch die Wavelet-Transformation (WT) als
Werkzeug zur Betrachtung und Verknüpfung von mathematischen Funktionen. Obwohl die
Fourier-Transformation gegenwärtig das Standarttool zur Lokalisierung wiederkehrender Muster in
Zeitreihenanalysen darstellt, ist es mit ihr nicht möglich, Auskunft über das zeitliche Verhalten der
Schwingung zu geben. Um auch Aussagen über zeitliche Entwicklungen des betrachteten
Wertefeldes geben zu können, verwendete man zunächst die sogenannte „windowed“ Fourier-
Transformation und letztendlich die Wavelet-Transformation, welche im Folgenden näher
beschrieben wird.
11
2.1 Ursprung der Wavelet-Transformation
Das Wort „Wavelet“ kommt aus dem Französischen und bedeutet zu Deutsch „Wellchen“.
Wavelets können, abhängig vom „Mutter-Wavelet“ sehr unterschiedliche Formen aufweisen. Ein
Mutter-Wavelet bezeichnet eine Funktionsschablone, die durch mathematische Umformungen wie
Stauchen, Strecken und Verschiebung eine Menge an Wavelets bildet, welche man mit Hilfe einer
Basisfunktion zusammenfasst.
Der Grundgedanke der Wavelet-Theorie ist auf den deutschen Mathematiker Alfred Haar (Haar
1910) zurückzuführen, der das erste Wavelet, das Haar-Wavelet, vorstellte. Anlass für
Bemühungen zur Entdeckung von Wavelets war der Wunsch, Signale möglichst gut zu
approximieren.
Abbildung 1 Graph einer Funktion 𝑓 (Bäni 2005)
Beim Versuch, die in Abbildung 1 dargestellte Funktion 𝑓 in komprimierter Form zu beschreiben,
stößt die Fourier-Approximation an ihre Grenzen, da auf Grund des plötzlichen Wechsels zwischen
Addition (Bereiche A,C) und Auslöschung (Bereiche B) der Koeffizienten sehr viele Koeffizienten
benötigt werden und somit keine zufriedenstellende Kompression möglich ist. Auch ein Nullsetzen
von einzelnen Koeffizienten ist aufgrund resultierender Fehler in der Darstellung von 𝑓 nicht
denkbar. Eine denkbare Rekonstruktion aus dem komprimierten Signal zeigt Abbildung 2:
12
Abbildung 2 Rekonstruktion von 𝑓 aus 100 Fourierkoeffizienten (Bäni 2005)
Das Problem der negativen Effekte lässt sich in der globalen Ausdehnung der Grundfunktion
wiederfinden. Da sich lokale Merkmale mit der Fourier-Reihe nur ungenügend darstellen lassen,
stellte man diese Forderungen an eine neue zu findende Basisfunktion:
a) Eine genügend große Menge an Funktionen ist darstellbar. Deren Analyse und Synthese ist
numerisch rasch sowie stabil durchführbar.
b) Zeitlich gute Lokalisierung der Grundfunktionen.
c) Gute Lokalisierung im Frequenzbereich (= gute Lokalisierung der Fourier-
Transformierten)
Allerdings begrenzen sich die Forderungen b und c aufgrund der Unschärferelation1 gegenseitig.
Die erste Funktion, die diesen Forderungen genügte war das in Abbildung 3 zu sehende Haar-
Wavelet (Bäni 2005):
Abbildung 3 Das Haarsche Mother-Wavelet (Tamm 2005)
1 Bei der Unschärferelation handelt es sich um eine „Beziehung zwischen zwei […] Größen, die sich darin
auswirkt, dass sich gleichzeitig immer nur eine von beiden Größen genau bestimmen lässt“. (duden.de 2015)
13
Dieses Wavelet wies wegen seiner Sprungstellen Nachteile bzgl. der Lokalisierung im
Frequenzbereich auf, sodass eine lange Suche nach neuen, besseren Wavelets begann. Die nächsten
Schritte gelangen dem französischen Mathematiker Y. Meyer (Meyer 1992) mit einem eigenen
Mother-Wavelet, wie es in Abbildung 4 zu sehen ist und dem Geophysiker Jean Morlet.
Abbildung 4 Ein Mother-Wavelet nach Meyer (Tamm 2005)
Morlet verfolgte dabei den Gedanken, eine Analysefunktion aus dem Signal einer Multiplikation
von harmonischen Funktionen mit einem Gauß-Fenster zu gewinnen und diese je nach den zu
analysierenden Frequenzen zu modifizieren. Es entstand das Morlet-Wavelet (siehe Abbildung 5),
sowie eine erste Zusammentragung verschiedener Quellen zu der Wavelet-Theorie (Morlet 1982).
Abbildung 5 Ein Morlet-Mother-Wavelet (Tamm 2005)
Andere Funktionen und deren Entdeckern, die nach Farge (Farge 1992) als Mother-Wavelets
bezeichnet werden können, zeigt Abbildung 6.
14
Abbildung 6 weitere Mother-Wavelets mit den Entdeckernamen (Tamm 2005)
Weitere Beiträge und Ergänzungen zur Wavelet-Theorie leistete unter anderem Daubechies
(Daubechies 1990), welche auch einen Geschichtsüberblick zu den Wavelets (Daubechies 1996)
gibt.
Den entscheidenden Ansatz zum praktischen Gebrauch der Wavelet-Transformation im
klimatologischen Bereich lieferten Lau und Weng (Lau und Weng 1995). Dieser Ansatz wurde von
Torrence und Compo aufgegriffen und mit der Anwendung wichtiger statistischer Testverfahren
verbunden.
Im kommenden Kapitel wird die Arbeit von Torrence und Compo als Hauptquelle dienen, da diese
das wichtigste wissenschaftliche Dokument zu Wavelets in Hinsicht auf klimatologische Zeitreihen
sowie deren statistische Auswertung und Interpretation darstellt. Zudem beinhaltet es empirisch
ermittelte Werte und Formeln, an denen sich die in Kapitel drei folgende Auswertung orientieren
wird.
2.2 Erläuterung der Wavelet-Transformation
Die Erläuterung erfolgt in drei Teilen. Zuerst sollen die erforderlichen Grundlagen gegeben und
Formeln definiert werden. Anschließend soll die Anwendung auf Zeitreihen erklärt werden, bevor
die Beschreibung von Bereinigungsmöglichkeiten durch statistische Testverfahren folgt.
2.2.1 Mathematische Grundlagen
Zu Beginn geht man von einem Signal aus, welches man sich als Verbindung einzelner, makelloser
Sinus- und Cosinus-Schwingungen veranschaulichen kann. Das Signal liegt als Funktion 𝑓(𝑡)
(Gleichung (2)) über die Zeit 𝑡 vor und kann durch die Fourier-Transformation in den
Frequenzraum transformiert werden. Das bedeutet, eine Zerlegung in die spektralen Anteile findet
statt, sodass �̂�(𝜉) (Gleichung (1)) als komplexe Amplitude der Frequenz 𝜉 aufgefasst werden kann.
𝑓(𝜉) ∶=1
√2𝜋∫ 𝑓(𝑡)𝑒−𝑖𝜉𝑡𝑑𝑡
∞
−∞
(1)
Eine Umkehrformel ermöglicht die Reproduktion von 𝑓(𝑡).
𝑓(𝑡) =1
√2𝜋∫ 𝑓(𝜉)𝑒𝑖𝜉𝑡𝑑𝜉
∞
−∞
(2)
15
Möchte man die Wavelet-Transformation verwenden, muss ein erweiterter Transformationsansatz
gewählt werden. Farge (Farge 1992) besagt, dass jede Funktion 𝜓(𝑡) als Mother-Wavelet in Frage
kommt, welche Gleichungen (3) und (4) erfüllt und damit wie folgt beschaffen ist:
∫|𝜓(𝑡)|2𝑑𝑡 ∶= ‖𝜓‖ ² = 1 (3)
2𝜋 ∫
|�̂�(𝑎)|²
|𝑎|𝑅\{0}
𝑑𝑎 ∶= ∁𝜔< ∞ (4)
Wobei oftmals die Zulässigkeitsbedingung (Gleichung (5))
∫ 𝜓(𝑡)𝑑𝑡 = 0 𝑏𝑧𝑤.
∞
−∞ �̂�(0) = 0 (5)
an Stelle von Gleichung (4) ausreicht, um eine Funktion als Wavelet zu identifizieren. Diese wird
neben der Triviallösung 𝜓 = 0 nur von Funktionen erfüllt, die mindestens eine Oszillation um die
Zeitachse aufweisen.
Das gefundene Mother-Wavelet dient nun als Ausgangsbasis zur Bildung einer Wavelet-Funktion,
welche aus dem Wavelet durch Stauchung, Streckung und/oder Verschiebung entlang der Zeitachse
entsteht.
Die allgemeine Form einer Wavelet-Funktion lässt sich entsprechend Gleichung (6)
folgendermaßen darstellen:
𝜓𝑠,𝜏(𝑡) =
1
√|𝑠|𝜓 (
𝑡 − 𝜏
𝑠) , 𝑠 ≠ 0 (6)
Die Parameter werden zum einen als dimensionsloser Skalierungsparameter 𝑠 und zum anderen als
Verschiebungsparameter 𝜏 bezeichnet, welcher im Prinzip den Analysezeitpunkt festlegt. Bei
genauerer Betrachtung von s erkennt man, dass |𝑠| < 1 eine Stauchung und |𝑠| > 1 eine Dehnung
zur Folge hat, während 𝑠 < 0 eine Spiegelung an der y-Achse zur Folge hat. Wählt man ein 𝜏 > 0,
verschiebt sich das Wavelet nach rechts, bei einem 𝜏 < 0 erhält man eine Linksverschiebung.
Deutlicher werden diese Transformationen durch das Betrachten der „Mexican hat“-Wavelet-
Familie in Abbildung 7.
16
Abbildung 7 Transformationen des „Mexican hat“-Mother-Wavelets.
Dabei entspricht der Vorfaktor von x dem Skalierungsparameter und der addierte/subtrahierte Wert dem
Verschiebungsparameter (ihr.uni-stuttgart.de 1998)
Der Vorfaktor, auch als Normierungsfaktor bezeichnet, modifiziert die Funktion derart, dass
Gleichung (3) erfüllt ist. Die Normierung dient der Vergleichbarkeit der einzelnen Signalstärken
für verschiedene Werte des Skalierungsparameters.
Die Wahl des Mother-Wavelets ist grundsätzlich dem Anwender überlassen. Die passende Wahl
hängt mit dem Analyseziel zusammen. Dabei sollten vier Aspekte bei der Entscheidung
berücksichtigt werden.
a) Orthogonalität
b) Komplexität
c) Weite der Wavelet-Amplitude
d) Profil der Zeitreihe
Während orthogonale Wavelets vor allem in der Komprimierung von Signalen Verwendung finden,
werden für Zeitreihenanalysen, wo sanfte Übergänge von Wavelet-Amplituden zu erwarten sind,
nicht orthogonale Wavelets bevorzugt.
Eine komplexe Wavelet-Funktion gibt sowohl Informationen über die Amplitude als auch die
Phase wieder und eignet sich daher in diesem Fall besser als eine reale Wavelet-Funktion, mit
welcher vor allem Unregelmäßigkeiten bestimmt werden können.
Die Weite ist ausschlaggebend in Hinsicht der Lokalisierung im Frequenz- bzw. Zeitraum, die sich
auf Grund der Unschärferelation nicht beide gleichermaßen gut bestimmen lassen.
17
Die Wavelet-Funktion sollte in ihrem Profil der Zeitreihe möglichst nahe kommen, sodass eine
Annäherung optimal möglich ist.
Wie man bereits erkennt und in Abbildung 8 verdeutlicht sieht, gibt es für verschiedene Fälle mehr
oder weniger gut geeignete Wavelets. Während beispielsweise das Haar-Wavelet eine gute
Zeitauflösung bietet, ermöglicht das Morlet-Wavelet eine sehr gute Frequenzauflösung. Soll ein
Kompromiss beider Auflösungen gefunden werden, kann das „Mexican-Hat“-Wavelet oder das
„Gaussian-Wave“-Wavelet herangezogen werden. (www.bayceer.uni-bayreuth.de 2013)
Abbildung 8 Vergleich von vier Mother-Wavelets in Hinblick auf deren Zeitauflösung (obere Reihe) und
Frequenzauflösung (untere Reihe) (www.bayceer.uni-bayreuth.de 2013)
Berücksichtigt man die vier erwähnten Kriterien, erkennt man, dass im vorliegenden Fall eine nicht
orthogonale komplexe Wavelet-Funktion die beste Wahl darstellt. Dabei hat sich nach Torrence
und Compo (Torrence und Compo 1998) das Morlet-Wavelet in der Praxis bewährt. Dieses ist das
Resultat der Modellierung einer Amplitude einer komplexen Exponentialfunktion mit einer Gauß-
Funktion:
𝜓(𝑡) = 𝜋−1 4⁄ 𝑒𝑖𝜔0𝑡𝑒−𝑡² 2⁄ (7)
Gleichung (7) stellt eine „Abtastform“ dar und kann nun mit einer Funktion 𝑓(𝑡) kombiniert
werden. Daraus ergibt sich Gleichung (8):
𝒲𝑓(𝑠, 𝜏) ∶= ⟨𝑓, 𝜓𝑠,𝜏⟩ =1
√|𝑠|∫ 𝑓(𝑡)𝜓∗
∞
−∞
(𝑡 − 𝜏
𝑠) 𝑑𝑡 , 𝑠 ≠ 0 (8)
wobei 𝜓∗ die komplex konjugierte Funktion zu 𝜓 ist. Dabei bleiben alle zuvor gestellten
Anforderungen erhalten. Bedingt durch die Wavelet-Transformation findet eine Übertragung des
Zeitsignals 𝑓(𝑡) in eine von zwei Parametern (𝑠, 𝜏) abhängige Funktion 𝒲𝑓(𝑠, 𝜏) statt. Auch hier
18
existiert - wie bei der Fourier-Transformation - für gut gewählte 𝜓 und geeignete 𝑓(𝑡) eine
Umkehrformel, auf die hier aber nicht weiter eingegangen werden soll.
2.2.2 Anwendung auf Zeitreihen
Generell gibt es zwei Arten von Wavelet-Transformationen, die es zu unterscheiden gilt. Zum
einen die diskrete und zum anderen die kontinuierliche Wavelet-Transformation. Dabei ist zu
beachten, dass die beiden Transformationen sich lediglich in der Parameterwahl für 𝑠 und 𝜏 und
nicht in der Anwendbarkeit auf die Art der Zeitreihen unterscheiden. Dementsprechend können
beide Transformationen auf diskrete Zeitreihen - wie sie hier vorliegen - angewandt werden.
Im vorliegenden Fall wird auf die kontinuierliche Wavelet-Transformation und ihre annähernd
kontinuierliche Parameterwahl zurückgegriffen, da durch die spezielle Parameterwahl der diskreten
Wavelet-Transformation eine Art „Leck-Effekt“2 entsteht, welcher bei der Auswertung und
Bewertung von Signalverläufen unbrauchbar ist.
Da ein diskreter Datensatz für die Schneehöhen vorliegt, wählt man zunächst auch einen
entsprechenden Satz an diskreten Wavelet-Funktionen (vgl. Gleichung (8)) in Zeit- und
Frequenzskalen. Durch eine zufällige Skalenwahl verlieren diese jedoch ihre Orthogonalität und
der Leck-Effekt wird umgangen. Zugleich erhält man durch die entstehende Redundanz eine
feinere Auflösung. Es resultiert Gleichung (9):
𝒲𝑓(𝑠, 𝑛) ∶= ⟨𝑓, 𝜓𝑠,𝜏⟩ = √𝛿𝑡
|𝑠| ∑ 𝑓(𝑛′, 𝛿𝑡)
𝑁−1
𝑛′=0
𝜓∗ ((𝑛′ − 𝑛)𝛿𝑡
𝑠) (9)
Dabei entspricht 𝛿𝑡 den Zeitschritten der vorliegenden Zeitreihe. Nach Torrence und Compo
(Torrence und Compo 1998) ist eine logarithmische Skalierung der Einteilung von Vorteil.
𝑠𝑗 = 𝑠02𝑗𝛿𝑗 , 𝑗 = 0,1, … , 𝐽 (10)
mit 𝑠0 als kleinste auflösbare Skala, welche der Periode 2𝛿𝑡 gleich ist. Aus Gleichung (10) erkennt
man eine Hauptschrittweite von 2, welche durch den Faktor 𝛿𝑗 in kleinere Intervallschritte
unterteilt wird. Dies führt zu einer Verdoppelung der jeweils nächsten Hauptskala. Dabei entspricht
die längste Skala der Länge der Zeitserie.
Aus Gleichung (9) lässt sich nun mittels einer Umkehrformel eine Zeitserie und daraus eine
Varianz - wie in Gleichung (11) - rekonstruieren.
𝜎² =𝛿𝑗𝛿𝑡
∁𝛿𝑁∑ ∑
|𝒲𝑓(𝑠𝑗 , 𝑛)|²
𝑠𝑗
𝐽
𝑗=0
𝑁−1
𝑛=0
(11)
2 „Der Leck-Effekt […] ist ein Phänomen der Signalanalyse. Der Begriff beschreibt die Tatsache, dass sich,
bedingt durch den nur endlich langen Beobachtungszeitraum eines Signals, im Rahmen von Spektralanalysen
[…] in dem berechneten Frequenzspektrum auch Frequenzanteile finden, die bei einem nur theoretisch
möglichen unendlich langen Beobachtungszeitraum nicht vorkämen.“ (fremdwort.de 2015)
19
An dieser Stelle macht es Sinn, einige durch Torrence und Compo (Torrence und Compo 1998)
vorgegebene Parameter einzusetzen. Diese gehen z.B. von einer in der Praxis bewährten
Basisfrequenz von 𝜔0 = 6 aus. Des Weiteren bestimmen die Beiden die von jeweiligen Mother-
Wavelet abhängige Konstante ∁𝛿 empirisch mit 0,776. Außerdem benennen sie einen Faktor von
1,03, welcher die Unstimmigkeiten der gewählten Skala mit den physikalischen Perioden von
Schwingungen eliminiert und ebenfalls vom Mother-Wavelet abhängig ist.
Die aus der Umkehrformel resultierende Zeitserie ermöglicht neben der Betrachtung der gesamten
Varianz auch eine Frequenzfilterung und damit die Analyse einer reduzierten Varianz, indem bei
der Rekonstruktion ein bestimmter Teil an Skalen vernachlässigt wird.
Wenn man sich innerhalb der Wavelet-Transformation mit endlichen Zeitreihen beschäftigt, tritt
ein Fehler auf, der die Ergebnisse vor allem am Anfang und Ende der Reihe beeinflusst. Das
sogenannte „Padding“ wirkt diesem Effekt entgegen, indem die Zeitreihe vor der Wavelet-
Transformation mit Nullen aufgefüllt wird und diese anschließend wieder entfernt werden. Die
Randzonen, in denen ein periodisches Signal gedämpft erscheint, hängen von der gewählten Skala
ab und verhalten sich direkt proportional zu dieser. Der Zeitbereich, in dem die Diskontinuität auf 1
𝑒−2 abfällt, bezeichnet man als „Cone of Influence“ und beträgt für das Morlet-Wavelet √2𝑠 .
Das Ausmaß des „Cone of Influence“ kann mittels Vergleich mit den Höchstwerten im Wavelet-
Spektrum auch zur Unterscheidung von Ausreißern im Datensatz und passenden Komponenten der
Fourier-Frequenz beitragen.
2.2.3 Entfernen von Störungen durch statistische Testverfahren
Die Klimadaten - zu welchen auch die Schneehöhen zählen - werden durch zahlreiche Faktoren
beeinflusst, die man als Störungen bzw. Hintergrundrauschen zusammenfasst. Um aussagekräftige
Ergebnisse zu erhalten ist es also wichtig, gesuchte Signale von derartigem Rauschen zu
differenzieren. Dieses Hintergrundrauschen hat für zahlreiche geophysikalische Prozesse einen
„weißen“ oder „roten“ Charakter. Weißes Rauschen zeichnet sich durch ein konstantes
Leistungsdichtespektrum in einem bestimmten Frequenzbereich aus, während rotes Rauschen sich
durch einen Amplitudenverlauf umgekehrt proportional zur quadrierten Frequenz erkennen lässt
(wikipedia.org 2015). Das irdische Klimasystem weist dabei nach Hasselmann (Hasselmann 1976)
einen roten Charakter auf.
Ziel ist es, durch statistische Tests eine Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, dass ein betrachtetes
Signal nicht Teil des Hintergrundrauschens ist.
Der Markow-Prozess stellt ein einfaches Modell dar, das dem roten Charakter nahe kommt. Es
handelt sich dabei um einen autoregressiven Prozess erster Ordnung, bei dem das Spektrum
erzeugter Zeitreihen bei langen Perioden verstärktes Niveau aufzeigt.
𝑥𝑛 = 𝛼𝑥𝑛−1 + 𝑧𝑛 (12)
Obige Gleichung (12) beschreibt einen derartigen Markow-Prozess, der auf einem normalverteilten
weißen Rauschen 𝑧𝑛 aufbaut und auf den Erinnerungswert 𝛼 zurückgreift, welcher vom Betrag
20
kleiner 1 sein sollte (und für ein weißes Rauschen gleich 0 ist). Torrence und Compo (Torrence und
Compo 1998) verwenden einen Wert von 0,72.
Resultierend erhält man nach Gilman (Gilman, Fuglister und Mitchell Jr. 1963) Gleichung (13) -
das normierte Fourier-Spektrum
𝑃𝑘 =
1 − 𝛼²
1 + 𝛼² − 2𝛼 cos(2𝜋𝑘 𝑁)⁄ , 𝑘 = 0 … 𝑁/2 (13)
Nachdem die Erwartungswerte der einzelnen Frequenzen 𝜒² −verteilt sind, lassen sich
Konfidenzintervalle ermitteln, in welchen sich die zu einem Markow-Prozess gehörenden Spektren
mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit befinden. Im Fall der Schneedaten-Zeitreihe bedeutet das
also, dass man das Spektrum der gegebenen Zeitreihe mit den Konfidenzintervallen des Markow-
Prozesses abgleicht und nach Spektren durchsucht, die außerhalb dieser Intervalle liegen. Tritt
diese Problematik ein, so liegt eine eindeutige Abweichung vom Markow-Prozess vor und es ist
wahrscheinlich, dass das Signal nicht durch einen solchen erzeugt wurde.
Hierbei prüft man für jede einzelne Frequenz eine Nullhypothese. Das bedeutet, dass ein Wert, der
aus dem Konfidenzintervall (angenommen wird ein 95% Konfidenzintervall) herausfällt, mit einer
Wahrscheinlichkeit von 1 − 0,95 ein relevantes Signal ist, welches nicht dem roten Rauschen
zuzuordnen ist. Durch das separate Testen jeder Frequenz kann es auch passieren, dass die
jeweilige Hypothese fälschlicherweise verworfen wird, obwohl diese zutrifft. Diesen Fall
bezeichnet man als Fehler erster Art.
Basierend auf diesem Hypothesentest kreierten Torrence und Compo (Torrence und Compo 1998)
ein adäquates Verfahren für Wavelet-Spektren. Bei diesem geben sie das Konfidenzintervall
(Gleichung (14)) für ein komplexes Wavelet-Spektrum wie folgt an:
2
𝜒22(
𝑝2⁄ )
|𝒲(𝑠, 𝑛)|² ≤ 𝒲²(𝑠, 𝑛) ≤2
𝜒22(1 −
𝑝2⁄ )
|𝒲(𝑠, 𝑛)|² (14)
Die Konfidenzintervalle werden durch 𝑝 definiert, wobei ein Wert von 0,05 einem
95% −Konfidenzintervall entspricht. 𝑊𝑓(𝑠𝑗, 𝑛) bezeichnet das wahre Wavelet-Spektrum und die
Chi-Quadrat-Verteilung mit zwei Freiheitsgraden sowie kumulativer Wahrscheinlichkeit von 𝑝
2⁄ wird durch 𝜒22 dargestellt.
Durch ihre entwickelte Formel ermöglichen Torrence und Compo (Torrence und Compo 1998)
einen Test des Wavelet-Spektrums auf rotes Rauschen zu jedem Zeitpunkt bei entsprechenden
Fourier-Perioden.
Es wird in Fachkreisen darüber gestritten, ob Wavelet-Analysen nicht stationäre Signifikanztests
benötigen, was jedoch nach Überlegungen von Torrence und Compo (Torrence und Compo 1998)
nicht zwingend notwendig ist. Diese empfehlen die korrekte Anwendung eines stationären Tests
(wie oben beschrieben), welcher ggfs. bei starker Abweichung immer noch durch andere Tests
ersetzt oder ergänzt werden kann.
Es besteht die Möglichkeit, die Zahl der Freiheitsgrade in Gleichung (14) zu erhöhen. Dies
geschieht durch zeitliche Mittelung mehrerer lokaler Wavelet-Spektren. Ein relevanter Sonderfall
hierbei ist die Bildung des globalen Wavelet-Spektrums - bestehend aus sämtlichen lokalen
21
Wavelet-Spektren -, welches einem geglätteten Fourier-Spektrum sehr nahe kommt. Das globale
Wavelet-Spektrum dient dabei vor allem als Test von Spitzen der lokalen Wavelet-Spektren gegen
das Hintergrundrauschen. Sobald Werte aus dem Randbereich zur zeitlichen Mittelung
hinzugezogen werden, wirkt sich auch der „Cone of Influence“ auf die Freiheitsgrade der Wavelet-
Spektren aus, indem diese - verglichen zu den nicht betroffenen Spektren - reduziert werden.
Neben der Methode Wavelet-Spektren über die Zeit zu mitteln, besteht auch ein Verfahren der
Mittelung über den Maßstab. Um Schwankungen im Wavelet-Power-Spektrum zu untersuchen
verwendet man ein „Durchschnitts-Maßstab-Wavelet-Power-Spektrum“ aus gewichteten Summen
von Wavelet-Power-Spektren verschiedener Maßstäbe. Die daraus erhaltenen gemittelten Wavelet-
Spektren dienen der Untersuchung von Anpassungen oder Häufigkeiten einzelner Zeitreihen
gegenüber anderen einzelnen Zeitreihen innerhalb derselben Gesamtzeitreihe. Auch diese
Mittelung kann Einfluss auf die Freiheitsgrade ausüben.
Anhand der Vorgaben von Torrence und Compo (Torrence und Compo 1998) ist es möglich, die
Wavelet-Transformation sowie eine Interpretation der gewonnen Ergebnisse durchzuführen. Diese
wird im späteren Verlauf der Arbeit auf die gegebenen Schneehöhendaten von fünf Bergen im
Nordosten Italiens angewendet.
2.3 Anwendungen der Wavelet-Transformation
Nach der Anleitung von Torrence und Compo (Torrence und Compo 1998) wurden bereits mehrere
Untersuchungen diverser geophysikalischer und klimatologischer Prozesse durchgeführt. Im
Folgenden sollen einige Arbeiten kurz betrachtet und damit Anwendungsbeispiele aufgezeigt
werden. Dabei werden die Wavelets immer als Wavelet-Power-Spektren dargestellt.
2.3.1 Anomalien in den Drehimpulsfunktionen der Erde
In seiner Doktorarbeit „Einfluss der kontinentalen Wasserspeicherung auf das Rotationsverhalten
der Erde“ verwendet Rico Hengst hydrologische Modelle und Drehimpulsfunktionen, welche
monatsweise vorliegen. Um neben den durch den hydrologischen Drehimpuls bedingten
Halbjahresschwingungen zusätzliche Anomalien aufzudecken, wendet er die Wavelet-Analyse an.
Das gewählte Wavelet ist - wie nach Torrence und Compo (Torrence und Compo 1998) - das
Morlet-Wavelet mit entsprechender Parameterwahl. Es findet eine Filterung auf rotes Rauschen
statt.
Neben episodischen und quasiperiodischen Schwingungen lassen sich in Abbildung 9 Anomalien
mit einer 6- bzw. 14-monatigen Periode (weiß umkreist) erkennen, welche sich jedoch kleineren
Ursachen zuordnen lassen.
22
Abbildung 9 Aus den hydrologischen Modellen LaDW (links) und H96 (rechts) abgeleitete Wavelet-
Analysen (Hengst 2007)
Interessant sind also letztendlich die quasiperiodischen Schwingungen der Drehimpulsfunktionen
in der Größenordnung von 1,5 bis 4 Jahren (ebenfalls mit weißen Kreisen gekennzeichnet). Diese
werden nach weiteren Anwendungen von Wavelet-Analysen letztendlich dem indischen Monsun,
sowie den Phänomenen „El Nino Southern Oscillation“ (ENSO) und den atmosphärischen
Oszillationsmechanismen „quasi-biennial oscillation“(QBO) und „troposhperic biennial
oscillation“ (TBO) zugeschrieben. (Hengst 2007)
2.3.2 Klimaveränderungen und Wasserwirtschaft
In dem vom Arbeitskreis KLIWA herausgegebenen Bericht „Langzeitverhalten von
Grundwasserständen, Quellschüttungen und grundwasserbürtigen Abflüssen in Baden-
Württemberg, Bayern und Rheinland-Pfalz“ wird das Grundwasserverhalten aufgrund seiner
großen Bedeutung als Trinkwasserressource gegen verschiedenste Einflussfaktoren geprüft.
Darunter auch die Einwirkung durch Sonnenflecken, „Nordatlantische Oszillation“ (NAO) sowie
weitere Klimafaktoren, z.B. Schneeschmelze und Niederschlag.
Die Wavelet-Analyse dient dabei zunächst dem Aufzeigen von Periodizitäten einzelner Messtellen,
wie z.B. in Abbildung 10.
23
Abbildung 10 Wavelet-Powerspektren einer Messstelle in Hohenstadt (KLIWA 2011)
Dabei lassen sich verschiedene Wiederholungshäufigkeiten erkennen. Diese lassen sich auch nach
einer Überlagerung der Werte aller 127 verwendeten Messstellen - wie Abbildung 11 sie zeigt -
identifizieren, sodass gemeinsame Schlüsse gezogen werden können.
Abbildung 11 Anteil signifikanter Periodizitäten, ermittelt anhand von 127 Messtellen (KLIWA 2011)
Unter anderem wurden 4-, 8- und 15-jährige Periodizitäten in Wasserdargebot und Niederschlag
gefunden, welche sich jedoch auf bestimmte Zeiträume beschränken. Es konnte aber entgegen den
Erwartungen keine Verbindung mit den Sonnenflecken oder der NAO mit dem Niederschlag
festgestellt werden, welcher sein Maximum immer später im Jahr hat, während die Lufttemperatur
keine Phasenverschiebung über das Jahr aufweist. (KLIWA 2011)
2.3.3 Veränderungen in der Nordatlantischen Oszillation
Der Deutsche Wetterdienst hat 2008 einen Artikel namens „Variationen der NAO auf Basis von
langen Zeitreihen, Datenrekonstruktionen und Simulationen der letzten 500 Jahre“ veröffentlicht.
Darin werden anhand von Wavelet-Analysen die NAO-Indizes nach verschiedenen Indexen, z.B.
24
nach Modellsimulationen, nach historischen Simulationen und Kontrollsimulationen verglichen
und auf Periodizitäten untersucht. Sechs solcher Simulationsergebnisse zeigt Abbildung 12.
Abbildung 12 Wavelet-Analyse der NAO nach Cook-Index (a), Luterbach-Index (b), ERIK1 (c), ERIK2 (d),
ECHO-G 1990 Kontroll (e) und CCSM2 1990 Kontroll (f) (Spangehl und Raible 2008)
Dabei wird ein Zusammenhang zwischen geringen solaren Aktivitäten, vermehrten
Vulkanausbrüchen sowie wachsendem Treibhauseffekt und der NAO gesucht, welcher sich jedoch
nach Abgleich der verschiedenen Simulationen nicht finden lässt (Spangehl und Raible 2008).
2.3.4 Weitere Anwendungen in Kürze
Jürgen Rendtel verwendet die Wavelet-Analyse in seiner Dissertation „Oszillationen in der
Chromosphäre-Korona-Übergangsregion von Sonnenflecken“, um Perioden in den abgegebenen
Wellenlängen sowie plötzliche Wechsel in der gesendeten Strahlung zu erkennen (Rendtel 2001).
Petra Wahl bedient sich der Wavelet-Analyse als Höhen-Frequenz-Analyse in ihrer Doktorarbeit
„Messung und Charakterisierung laminarer Ozonstrukturen in der polaren Stratosphäre“ (Wahl
2002).
25
B. Schaefli, D. Maraun und M. Holschneider gehen der Fragestellung „Was verursacht hohe
Abflussereignisse in den Schweizer Alpen“ mit Hilfe der Wavelet-Analyse auf den Grund
(Schaefli, Maraun und Holschneider 2007).
2.4 Wavelets in Matlab
Zur Auswertung von Wavelet-Transformationen haben Torrence und Compo (Torrence und
Compo 1998) einen Matlab Code entwickelt. Dieser ist an die Analyse des ENSO angepasst
worden, kann jedoch mit einigen Modifikationen auch für die Auswertung anderer Zeitreihen als
die der Meeresoberflächentemperatur verwendet werden. Der Code besteht aus sechs Teilen – fünf
davon stellen Funktionen dar, während der letzte Teil die Auswertung ausgibt und in Form von vier
Grafiken – der Zeitreihe, dem Wavelet-Power-Spektrum der Zeitreihe, dem globalen Wavelet-
Spektrum und einer Zeitreihe über durchschnittliche Werte einer mehrjährigen Skala – anzeigt.
Zunächst sollen die Funktionen erklärt werden.
Die erste Funktion „chisquare_solve“ arbeitet mit einer gegebenen, unvollständigen Gamma-
Funktion, einer Überschreitungswahrscheinlichkeit von „P“ und der Anzahl an Freiheitsgraden
„V“. Daraus berechnet der in Abbildung 13 gezeigte Code den Unterschied zwischen einer
errechneten und der gegebenen Überschreitungswahrscheinlichkeit.
Abbildung 13 Funktion „chisquare_solve“ aus Matlab (Torrence und Compo 1998)
Die zweite Funktion „chisquare_inv“ greift auf die erste zurück. Sie gibt die umgekehrte
Summenverteilung der Chi–Funktion mitsamt Freiheitsgraden „V“ und
Überschreitungswahrscheinlichkeit „P“ aus. Den Code zeigt Abbildung 14.
Abbildung 14 Matlab-Funktion „chisquare_inv“ (Torrence und Compo 1998)
26
Die Funktion mit dem Namen „wave_bases“ legt schließlich das Mother-Wavelet fest, indem
sie die Wavelet-Transformation im Fourier-Raum anwendet. Dabei stehen vier Eingabeparameter
zur Verfügung: „MOTHER“ erfordert die Eingabe eines Textes in Form des Wavelet-Namens
(MORLET, PAUL, DOG). Bei „K“ handelt es sich um einen Vektor, der die Fourier-Frequenz, zu
der das Wavelet berechnet werden soll beschreibt. „SCALE“ gibt die Wavelet-Skala an und
„PARAM“ einen dimensionslosen Parameter der Wavelet-Funktion.
Abbildung 15 Matlab-Code zur Wahl des Mother-Wavelets (Torrence und Compo 1998)
Der in Abbildung 15 gezeigte Code zeigt nur den relevanten Teil für das Morlet-Wavelet an. Unter
„DAUGHTER“ gibt er einen Vektor aus, der die Wavelet-Funktion darstellt. Der
„FOURIER_FACTOR“ ist das Verhältnis von Fourier-Periode zu Fourier-Skala. Zudem werden
noch die Größe des COI unter „COI“ sowie die Anzahl der Freiheitsgrade an jedem Punkt der
Wavelet-Funktion unter „DOFMIN“ (= 2 für das Morlet-Wavelet) ausgegeben.
Der Signifikanztest ist Hauptbestandteil der vierten Funktion „wave_signif“. Mit Angabe einer
Zeitreihe oder deren Varianz „Y“, dem Abstand zwischen zwei Werten der Zeitreihe „DT“ und
einem Vektor bestehend aus Skalen-Angaben „SCALE“, berechnet diese Funktion das Signifikanz-
Niveau „SIGNIF“ als eine Funktion der Skala und das theoretische Spektrum eines Roten
Rauschens „FFT_THEOR“ entweder als Funktion oder als Periode. Für den Code von Funktion
vier, wie er in Abbildung 16 zu sehen ist, stehen weitere optionale Eingabeparameter zur
Verfügung. Es können z.B. verschiedene Signifikanztests gewählt oder das Signifikanzniveau
sowie die Freiheitsgrade angepasst werden. Auf die Darstellung dieser Optionen sowie die der
Voreinstellungen wird in Abbildung 16 jedoch verzichtet.
27
Abbildung 16 Signifikanztest in Matlab nach Torrence und Compo (Torrence und Compo 1998)
Die letzte Funktion „wavelet“ liefert letztendlich die Wavelet-Transformation „WAVE“ einer
Zeitreihe „Y“ mit der Abtastrate „DT“ in Form eines komplexen Wertefeldes. Zudem werden die
Wavelet-Amplitude „FLOT(WAVE)“, die Wavelet-Phase „ATAN(IMAGINARY(WAVE),
FLOAT(WAVE))“ und das Wavelet-Power-Spektrum „ABS(WAVE)^2“ ausgegeben.
28
Abbildung 17 Funktion „wavelet“ zur Berechnung eines solchen (Torrence und Compo 1998)
Auch für den Code dieser Funktion, wie ihn Abbildung 17 zeigt, stehen wieder optionale Input-
und auch Output-Parameter zur Verfügung. Auch hier soll auf diese nicht weiter eingegangen
werden, da die voreingestellten Werte für die Zwecke dieser Arbeit zielführend sind.
Zum Schluss bleibt noch die Erklärung des Skriptes „wavetest“, welches die verschiedenen
Funktionen vereint und letztendlich grafisch darstellt. Es besteht aus zwei Teilen, zum einen aus
der Eingabe auszuwertenden Daten bzw. Zeitreihen, deren Transformation und Auswertung sowie
Berechnung des globalen Wavelet-Spektrums und der Zeitreihe über durchschnittliche Werte einer
mehrjährigen Skala (siehe Abbildung 18).
29
Abbildung 18 Mathematische Vorbereitungen von 4 Grafiken für das „plotten“ (Torrence und Compo 1998)
Und zum anderen aus der grafischen Darstellung der berechneten Ergebnisse – dem sogenannten
„plotten“ (siehe Abbildung 19).
30
Abbildung 19 Einstellungen zum „plotten“ der vier Grafiken (Torrence und Compo 1998)
Das Ergebnis zeigt Abbildung 20. Es besteht aus vier Grafiken – der Zeitreihe (a), dem Wavelet-
Power-Spektrum (b), dem globalen Wavelet-Spektrum (c) und einem „Durchschnitts-Maßstab-
Wavelet-Power-Spektrum“ (= Scale-average Time Series) (d) –, die für die Auswertung und
Interpretationen dienen.
Abbildung 20 Darstellung der Ergebnisse von Torrence und Compo (Torrence und Compo 1998)
31
Um diesen Code für die Auswertung der Schneehöhen-Zeitreihen anwenden zu können, sind
lediglich kleine Modifikationen notwendig, wie sie zu Beginn des folgenden Kapitels beschrieben
werden.
3 Auswertung der Schneehöhen-Zeitreihen
Da der von Torrence und Compo gegebene Matlab-Code - wie oben beschrieben aus einem Skript
und fünf Funktionen - die jeweils mit den eingegebenen Parametern aus dem Skript arbeiten,
besteht müssen Veränderungen lediglich in diesem vorgenommen werden. Alle Parameter bzw.
Formulierungen, die im Folgenden nicht genannt werden, behalten den voreingestellten Wert nach
Torrence und Compo, da diese als beste Näherungen angenommen werden. Sämtliche Änderungen
werden nun kurz beschrieben und begründet.
3.1 Anpassungen im Matlab-Skript für die Datenauswertung
Die erste Änderung - wie sie in Abbildung 21 zu sehen ist - ist für jede auszuwertende Zeitreihe
etwas anders, jedoch selbsterklärend. Es handelt sich dabei um das Laden des entsprechenden
Datensatzes. Anschließend ist das Vorgehen wieder für alle Datensätze gleich: Die zweite Spalte
der geladenen Zeitreihe – welche die Schneehöhen beinhaltet – wird unter der Variable sh (=
Schneehöhe) gespeichert und alle Einträge mit NaN (= nicht aufgenommener Wert) werden durch 0
ersetzt, um eine Wavelet-Analyse sinnvoll durchführen zu können.
Abbildung 21 Laden und Modifizieren des Datensatzes
Es liegt auf der Hand, dass im weiteren Verlauf des ursprünglichen Codes die Variable sst durch
sh ersetzt werden muss, um in Formeln und Funktionen stets auf diese zurückzugreifen.
Da die Daten zu den Meeresoberflächentemperaturen bei Torrence und Compo im Abstand von
drei Monaten aufgenommen wurden und die Schneehöhen im Tagesabstand gemessen wurden,
bedarf es auch einer Anpassung der Parameter dt, time und s0. Am einfachsten ist es dabei, die in
Tagen gegebenen Abstände auf Jahre umzurechnen: Ein Tag entspricht in etwa 0,0027378509
Jahren (=dt). Der Parameter time erhält einen Wert von z.B. 1911,9363450078 – dieser ergibt
sich aus dem Starttag der Datenaufnahme, dem 8. Dezember 1911, angegeben als Dezimalzahl in
Jahren und ist bei jedem Berg unterschiedlich. Um auch in der Auswertung der Schneehöhen mit
einer passenden Skala zu arbeiten, wird schließlich noch s0 mit dem Wert 91,75 (Tagen) belegt,
sodass mit einem Maßstab von drei Monaten gestartet wird.
Nun muss nur noch die Zeitspanne auf der X-Achse der späteren Grafiken (a,b,c) (vgl. Abbildung
20) unter der Variable xlim dem Datensatz angepasst und die Beschriftung der Grafiken (a,b)
geändert werden.
Anschließend wird der Code auf jeden der fünf Datensätze angewandt und eine Interpretation der
resultierenden Grafiken kann erfolgen.
32
3.2 Betrachtung der Ergebnisse aus den Matlab-Grafiken
Zunächst werden die Grafiken aus Matlab für jeden Berg einzeln betrachtet und analysiert. Dabei
wird zuerst der niedrigste und zuletzt der höchste Berg, für den eine Zeitreihe mit Schneehöhen
vorliegt, untersucht.
3.2.1 Rabbi 1335m
Bei Rabbi handelt es sich mit einer Höhe von 1335m um den kleinsten zu untersuchenden Berg.
Beim Betrachten der Schneehöhen-Zeitreihe in Grafikform (Abbildung 22) fallen neben den
jährlichen kleineren Lücken sofort auch drei größere Lücken auf, in denen es laut Grafik keinen
Schnee gab.
Abbildung 22 normierte Schneehöhen-Zeitreihe Rabbi 1335m ab 1911
Wirft man einen genauen Blick auf die aufgenommenen Daten erkennt man unmittelbar, woraus
diese Lücken resultieren: Zum einen tauchen jährliche Perioden von Nullwerten auf – diese lassen
sich auf eine Schneehöhe von null zurückführen. Sie erstrecken sich von etwa Ende März bis
Anfang November und variieren jedes Jahr ein wenig. Zum anderen gibt es drei Perioden von
Nullwerten längerer Dauer. Diese sind sowohl von Frühling 1916 bis Herbst 1923 als auch von
Frühling 1925 bis Winter 1928 und von Frühling 1930 bis Jahresanfang 1975 erkennbar.
Vermutlich wurden zu diesen Zeiten keine Daten aufgenommen oder gefunden. Dieser Schluss
folgt einer Betrachtung der Art und Weise, wie die Daten zu jener Zeit aufgenommen wurden.
Daten bis einschließlich Frühjahr 1981 wurden ausschließlich aus historischen Quellen und
Interpolationen zwischen solchen Werten gewonnen. Entsprechende Nullperioden sind also einem
Datenmangel zuzuschreiben. Ab dem folgenden Winter im Jahr 1981 wurden die Schneehöhen
hauptsächlich durch manuelle Messungen von Beobachtern sowie vereinzelt durch Interpolationen
zwischen durchgeführten Messungen aufgenommen. Erst ab 2011 wurden auch Schneehöhen von
null als gemessene Werte eingetragen, was bei der Auswertung jedoch keinen Unterschied macht,
da alle nicht vorhandenen Werte ohnehin gleich null gesetzt werden.
Um undefinierbare und irrelevante Erscheinungen in den Wavelet-Spektren zu vermeiden, wird der
Datensatz reduziert und erst ab dem Zeitpunkt, für den kontinuierlich Daten vorliegen – das Jahr
1975 – untersucht (siehe Abbildung 23).
s0
33
Abbildung 23 Matlab-Plot Rabbi 1335m
Betrachtet man das Wavelet-Power-Spektrum von Rabbi (Abbildung 23 b)) ist sofort auffällig, dass
ein Großteil der aufgezeichneten Wavelet-Energie als signifikant gekennzeichnet ist. Dabei ist zu
beachten, dass – nicht wie man eventuell erwarten würde – die Bereiche mit den farbigen Linien
die signifikanten Bereiche darstellen, sondern dass die weißen Flächen als signifikant gelten.
Das Wavelet-Power-Spektrum bildet also die Signalstärke durch ein farbig gekennzeichnetes
Energieniveau ab. Dabei besteht folgender Zusammenhang: Jahre bzw. Zeiten mit vergleichsweise
geringer Signalstärke weisen ein geringes, nicht signifikantes Energielevel (blau bis grün) vor,
während Jahre mit stärkeren Signalen und damit höherem Energieniveau gelb gekennzeichnet sind.
Signifikante Jahre weisen stets ein hohes Energieniveau auf – sie liegen außerhalb der umkreisten
Bereiche und haben in der Regel die gleiche Signalstärke wie die äußersten gelben Linien – welche
das höchste vorhandene Energieniveau darstellen.
Geht man nun von der Betrachtung des Energielevels zur Analyse der Periodizitäten über findet
man Wiederholungen mit geringem Energieniveau – umkreist von höheren, immer noch
unsignifikanten Energieniveaus – sowohl in einer Wiederholungshäufigkeit von etwa drei bis zwölf
Monaten als auch im Bereich von zwei bis fünf Jahren. Zu nennen sind hier die Zeiträume 1981-
1984, 1990-1992, 1994-1996, 2002-2004, 2010-2013, die jeweils ein besonders niedriges
Energieniveau im Halbjahresbereich verzeichnen. Außerdem sind Periodizitäten geringer Energie
im Bereich von zwei bis fünf Jahren von 1980-1987 und von 1992-2006 sowie 1983 und 1995 der
Grafik zu entnehmen. Zusätzlich ist auch eine Periodizität von acht Jahren um 1999 mit sehr
niedrigem Energieniveau zu erkennen. Nicht erwähnte Bereiche innerhalb des Cone of Influence
gelten folglich als signifikant.
Sieht man sich nun noch das globale Wavelet-Spektrum in Abbildung 23 c) an, lässt dieses ein
besonders hohes Energieniveau im Wiederholungsbereich von einem Jahr und ein erhöhtes
Potential im Bereich von fünf Jahren erkennen. Dies stimmt mit dem Wavelet-Power-Spektrum
überein, da in diesen Bereichen größtenteils hohe, signifikante Energieniveaus verzeichnet sind.
Umgekehrt bedeutet das auch, dass bei den Minima des globalen Wavelet-Spektrums die
geringsten Energieniveaus auftreten, welche laut diesem in einem Wiederholungsbereich von etwa
34
3,5 sowie 0,75 und 0,3 Jahren zu finden sind. Das in Abbildung 23 d) zu sehende Durchschnitts-
Maßstab-Wavelet-Power-Spektrum zeigt bis 1994 eine weitgehend konstante Varianz an, bevor
diese zunächst merklich abfällt und ab 2002 eine starke Steigung mit einem Höhepunkt in 2008
aufweist. Auch hierdurch wird das Wavelet-Power-Spektrum bekräftigt, da in den beiden
Varianzhöhepunkten 1994 und 2002 große, als signifikant gekennzeichnete Flächen zu sehen sind.
3.2.2 Paneveggio 1540m
Der zweitniedrigste Berg, für den eine Schneehöhen-Zeitreihe vorliegt – zu sehen in Abbildung 26
- heißt Pangeveggio und ist mit knapp 1540m etwa 100m höher als der Berg Rabbi.
Abbildung 24 normierte Schneehöhen-Zeitreihe Paneveggio 1540m ab 1911
Ebenso wie bei der Zeitreihe vom Berg Rabbi sind hier jährlich Abschnitte mit einer Schneehöhe
von null zu erkennen, welche den wärmeren Monaten zugeordnet werden können. In der Zeit
zwischen Ende Oktober und Mitte April sind Messwerte zu Schneehöhen meistens vorhanden.
Ausnahme bildet eine größere Lücke zwischen April 1915 und Neujahr 1950. Auch diese Lücke ist
- wie beim ersten betrachteten Berg - fehlenden Daten zuzuschreiben. Genau wie bei der
vorherigen Zeitreihe wurden sämtliche Daten bis einschließlich Frühjahr 1981 nur durch
historische Quellen und Interpolation gewonnen. Ab diesem Zeitpunkt dienten manuelle
Messungen der Datenaufnahme – erst ab November 2012 wurden zunächst vereinzelt und ab 2013
verstärkt Werte von festen Messstationen mit einbezogen. Dabei fällt auf, dass diese stets geringer
ausfallen als manuell gemessene Werte. Außerdem liefern die Messstationen genauere Werte (mit
einer Nachkommastellen) für jeden Tag, zu allen Jahreszeiten, bis zum Ende der Datenaufnahme.
Wie auch beim ersten Berg wird im Folgenden lediglich der Zeitraum, für den durchgängig Daten
vorliegen, betrachtet.
35
Abbildung 25 Matlab-Plot Paneveggio 1540m
Wie bei dem zuvor betrachteten Wavelet-Power-Spektrum ist es auch im Spektrum des Berges
Paneveggio (Abbildung 25 b)) einfacher die nicht signifikanten Bereiche, mit geringem
Energieniveau zu beschreiben, deren Negativ wiederum die signifikanten Flächen darstellt.
Während sich unsignifikante Niveaus nahezu im gesamten Bereich mit einer Periodizität von einem
halben Jahr und weniger, sowie von vier Jahren finden lassen, treten vereinzelt auch nicht
signifikante Signale mit einer Periodizität von zwei und acht Jahren auf. Besonders niedrige
Energielevels lassen sich mit einer Periodizität von null bis acht Monaten in den Jahren 1956-1958,
1962-1963, 1966-1968, 1970-1971, 1973, 1979, 1981-1982, 1987.1988, 1990-1993, 1995-1998,
2001-2003, 2006-2007 und 2001-2013 finden. Weitere auffällige Events mit geringem
Energieniveau und einer Periodizität von zwei Jahren ereigneten sich 1987 und 1997. 1963, 1977-
1978 sowie 1997 sind zudem niedrige Energielevel bei einer Wiederholungszeit von vier Jahren zu
erkennen. Außerdem sind die Jahre 1998-2003 im Bereich einer achtjährigen Periodizität durch ein
besonders niedriges Energielevel auffällig.
Das globale Wavelet-Spektrum in Abbildung 25 c) zeigt neben zwei kleineren Spitzen bei den
Periodizitäten von 0,5 und 3,5 Jahren eine besonders große Spitze im Energieniveau bei etwa
einem Jahr an. Auch hier stimmen die Minima wieder mit den Bereichen niedriger Energieniveaus
überein, welche sich im Wiederholungsbereich von 0,3 und 0,75 sowie drei bis fünf und fünf bis
sechs Jahren finden lassen. Betrachtet man zuletzt noch die Grafik 25 d) des Durchschnitts-
Maßstab-Wavelet-Power-Spektrums so beginnt diese mit einer Steigung, welche allerdings
außerhalb des Cone of Influence liegt. Im Anschluss fällt die Varianz bis zum Jahr 1957, bevor ein
wellenartiger Verlauf mit zwei Höhepunkten (1964, 1970) bis etwa 1980 zu sehen ist. Ab da fällt
die Varianz annähernd linear ab, bis sie 1999 ihr Minimum erreicht. Diesem folgt nach stetiger
Steigung ein Maximalwert im Jahr 2009. Gleicht man sowohl Grafik 25 c) als auch Grafik 25 d)
mit dem Wavelet-Power-Spektrum ab erkennt man deutlich, dass bei den jeweiligen Maxima der
Grafiken 25 c) und 25 d) vorwiegend signifikante Flächen - also Bereiche mit hohem
Energieniveau - vorliegen.
36
3.2.3 Pampeago 1760m
Als nächstes wird der 1760m hohe Berg Pampeago und dessen Schneehöhen-Zeitreihe in
Abbildung 26 a) betrachtet.
Abbildung 26 Matlab-Plot Pampeago 1760m
Auffällig ist hierbei, dass nicht - wie bei den ersten beiden Bergen - die Datenaufnahme 1911
beginnt, sondern dass erst ab Dezember 1981 Daten zu den Schneehöhen vorliegen. Diese liegen je
nach Jahr von etwa Anfang Dezember bis Mitte April vor und entstammen bis zum Ende der
Datenaufnahme ausschließlich manuellen Messungen sowie vereinzelt aus Interpolationen dieser
Daten. Durch den späten Start der Datenaufnahme und den Verzicht auf lückenhafte historische
Quellen sind hier nur periodisch bedingte Abschnitte mit Nullwerten bzw. nicht gemessenen
Schneehöhen zu finden.
Geht man nun zur Analyse des Wavelet-Power-Spektrums (Abbildung 26 b)) über, erkennt man
zunächst wieder, dass Events mit geringem Energieniveau als hervorgehoben erscheinen, welche
aber im Gegenteil zu den unauffällig aussehenden weißen Flächen nicht signifikant sind. Auch das
Energiespektrum von Pampeago zeigt Periodizitäten mit besonders niedrigem Energieniveau,
welche unter einem Jahr liegen. Diese sind vor allem in den Jahren 1983, 1987, 1990, 1993-1994,
1996, 2000-2004, 2006-2007 und 2011-2012 zu sehen. Zudem sind neben mehreren Periodizitäten
mittleren Energieniveaus im Bereich zwischen 1,5 und fünf Jahren auch noch Periodizitäten
vorheriger Niveaus um die acht Jahre aufgezeichnet. Weitere, besonders niedrige Energieniveaus
lassen sich jedoch nur von 1996-2000 mit einer Wiederholungsperiode von drei bis vier Jahren
finden.
Vergleicht man nun wieder das globale Wavelet-Spektrum aus Abbildung 26 c) mit dem Wavelet-
Power-Spektrum (Abbildung 27 b)), so findet man dessen Maxima innerhalb des Cone of Influence
in den Bereichen mit den signifikanten Energieniveaus. Umgekehrt sind die Minima in den
Periodizitäten von kleiner 0,5 sowie 0,75 und 1,5 bis drei Jahre lokalisiert. Betrachtet man das
Durchschnitts-Maßstab-Wavelet-Power-Spektrum (Abbildung 26 d)), so erkennt man eine
37
Wellenform mit einem lokalen Maximum im Jahr 1960 sowie einem globalen Maximum im Jahr
2009, wo jeweils große signifikante Bereiche im Wavelet-Power-Spektrum verzeichnet sind.
Zwischen diesen Maxima findet sich das globale Minimum um das Jahr 1997, welches mit den
niedrigen Energielevels im Wavelet-Power-Spektrum mit einer Periodizität von drei bis vier Jahren
korreliert.
3.2.4 Malga Bissina 1780m
Die vierte Schneehöhen-Zeitreihe liegt für den Berg namens Malga Bissina vor. Er ist mit 1780m
nur 20m höher als der zuvor betrachtete Pampeago. Auch diese Zeitreihe unterscheidet sich in
ihrem Aufnahmezeitraum von den vorherigen. Die Aufzeichnungen begannen 1960 zunächst mit
Werten aus historischen Quellen. Dabei erstreckt sich der Aufnahmezeitraum im Wesentlichen von
Anfang November bis Ende Mai. Erst ab Dezember 1983 werden die Werte aus diversen Quellen
durch manuelle Messungen ergänzt und/oder ersetzt, wobei diese erstaunlich zueinander passen.
Interpolationen wurden erst ab Ende des 20. Jahrhunderts zur Hilfe genommen und auch Nullwerte
wurden als gemessen eingetragen. Letztendlich wurden ab Oktober 2005 auch Daten aus fest
installierten Messstationen in der Zeitreihe integriert. Sprünge in der Schneehöhe zwischen
Folgewerten aus verschiedenen Quellen sind dabei vermutlich auf verschiedene Messpunkte
zurückzuführen. Diese fallen auf Grund der hohen Datendichte jedoch nicht zu stark ins Gewicht
und sind daher auch in der Schneehöhenzeitreihe - die in Abbildung 27 a) zu sehen ist - nicht zu
erkennen.
Abbildung 27 Matlab-Plot Malga Bissina 1780m
Auch das in Abbildung 27 b) zu sehende Wavelet-Power-Spektrum weist gehäuft nicht signifikante
Periodizitäten im Bereich von 0,25-0,75 Jahren vor. Dabei stechen Events in den Jahren 1964,
1966-1968, 1970-1975, 1979-1982, 1986, 1988, 1990-1991, 1993, 1995, 1997-1999, 2002-2005,
2007-2008 und 2012 aufgrund ihres besonders geringen Energieniveaus hervor. Außerdem sind
auch wieder unsignifikante Signale zwischen 1,5 und fünf Jahren über beinahe die gesamte
Messzeit zu finden. Auffällig niedrige Energielevels sind dabei mit einer Periodizität von 1,5
38
Jahren im Jahr 1966 und mit einer Periodizität von etwa vier Jahren um 1974 und 1983 zu
verzeichnen. Hinzu kommt ein Event mit einem schwachen Signal und einer
Wiederholungshäufigkeit von sechs bis acht Jahren um die Jahrtausendwende.
Ein Abgleich von Abbildung 27 b) mit dem Wavelet-Power-Spektrum in 27 c) zeigt, dass große
Flächen signifikanter Energieniveaus mit Periodizitäten von etwa einem sowie größer fünf Jahre
identifiziert werden können. Eine Anhäufung nicht signifikanter Events liegt dagegen im
Wiederholungsbereich von 0,75 Jahren und weniger sowie zwischen 1,5 und 3,5 Jahren – wo die
Minima in Abbildung 27 c) verzeichnet sind – vor. Zum Schluss zeigt ein Blick auf das
Durchschnitts-Maßstab-Wavelet-Power-Spektrum in Abbildung 27 d), dass innerhalb des Cone of
Influence bis 1972 eine geringe Varianz und entsprechend wenig signifikante Energieniveaus in
Abbildung 27 b) verzeichnet sind. Gleichartige Werte liegen von 1994 bis 1996 vor. In dem
Zeitraum zwischen 1972 und 1994 lassen sich zwei lokale Maxima (1976 und 1981) lokalisieren,
welche mit den vorzüglich signifikanten Energieniveaus im Wavelet-Power-Spektrum der kurz
zuvor bzw. kurz darauf liegenden Jahre zusammenhängen können. Außerdem ist ein globales
Maximum im Jahr 2001 verzeichnet. Dieses und das folgende Plateau mit einer Varianz
entsprechend den lokalen Maxima 1976 und 1981 am Anfang des 21. Jahrhunderts lassen sich auch
durch entsprechend große signifikante Flächen im Wavelet-Power-Spektrum wiedererkennen.
3.2.5 Passo Valles 2032m
Zuletzt wird auch noch die Zeitreihe der Schneehöhen des höchsten Berges betrachtet. Dieser ist
mit 2032m mit Abstand der größte der fünf Berge und heißt Passo Valles. Die Datenaufnahme für
die Zeitreihe begann im November 1981 und ist in Abbildung 28 a) zu sehen.
Abbildung 28 Matlab-Plot Passo Valles 2032m
Die aufgenommenen Schneehöhen wurden bis 1985 im Zeitraum zwischen November und Mai
ausschließlich manuell gemessen. Von da an wurden diese durch historische Daten – welche über
das ganze Jahr hinweg vorliegen – ergänzt; Messwerte über 0 sind zwischen Oktober und Juni zu
39
finden. Interpolierte Werte lassen sich erst in jüngeren Jahren finden; Werte von festen
Messstationen liegen ab 2012 vor.
In Grafik 28 b) sieht man das Wavelet-Power-Spektrum des höchsten Berges. In diesem stechen
vor allem die Jahre 1985, 1991, 1994-1996, 1999-2001, 2003, 2005-2006 sowie 2012 durch sehr
geringe Energieniveaus in der Periodizität von drei bis neun Monaten hervor. Markant ist neben
einer weniger auffälligen etwa achtjährigen Periodizität mittleren Energieniveaus zwischen 1995
und 2000 noch ein Event im Jahr 2001 mit einem sehr geringen Energielevel und einer
Wiederholungsperiode von fünf Jahren sowie Events in den Jahren 1984 und 1985 mit
Wiederkehrdauer von 1,5 bzw. drei Jahren. Daneben sind noch weitere Ereignisse gleicher
Wiederholungshäufigkeiten zu finden, welche jedoch nicht ein derartig geringes Energieniveau
aufweisen. Wie auch bei den zuvor betrachteten Bergen stellen diese Bereiche nicht signifikante
Signale und deren Negativ die für die Analyse relevanten Bereiche dar.
Minima im globalen Wavelet-Spektrum (Abbildung 28 c)) sind bei den Wiederholungsperioden
von kleiner einem Jahr und von 3,5 Jahren verzeichnet, während die Maxima um die Bereiche von
einem Jahr sowie von sechs Jahren angesiedelt sind. Hier sind bevorzugt signifikante Werte in
Grafik 28 b) zu finden. Das in Abbildung 28 d) zu sehende Durchschnitts-Maßstab-Wavelet-
Power-Spektrum beginnt zunächst mit einem Minimum, welches mit den Events der Jahre 1984
und 1985 zusammenhängt. Danach folgt einem Maximum um 1991 ein weiteres Minimum um
1996 welches aus mehreren Events mit Periodizitäten von 1,5 bis 5 bzw. von 7-8 Jahren (und mehr)
resultiert. Diesem folgen zunächst ein lokales Maximum um 2001 und schließlich das globale
Maximum im Jahr 2005.
3.3 Vergleich der Ergebnisse aus den Matlab-Plots
Nachdem jede Grafik einzeln betrachtet wurde, sollen nun die Ergebnisse verglichen und
Ähnlichkeiten aufgezeigt sowie Zusammenhänge zwischen den Zeitreihen hergestellt werden.
Zu Beginn sollen die Schneehöhen Zeitreihen verglichen werden. Dabei macht es auf Grund der
unterschiedlichen Länge der Zeitreihen Sinn den Vergleich in drei Teile zu gliedern. Zunächst
werden die normierten Schneehöhen von 1960 bis 1974 der Berge Paneveggio (1540m) und Malga
Bissina (1780m) verglichen. Als Gemeinsamkeiten lassen sich hier zum einen der Betrag der
normierten Schneehöhe – welcher stets unter 5m liegt – sowie die halbjährigen Nullperioden und
zum anderen ähnliche Trends in den Werten der jeweiligen Jahre nennen, wobei diese bei dem
240m niedrigerem Pangeveggio extremer ausfallen. Bestimmte Perioden lassen sich hierbei jedoch
nicht identifizieren. Außerdem kann bei beiden Zeitreihen ein auffällig hoher Wert im Jahr 1960
verzeichnet werden.
Als nächstes werden die Schneehöhen der beiden oberen Berge sowie des kleinsten Berges Rabbi
(1335m) im Zeitraum 1975 bis 1981 betrachtet. Neben der Tatsache, dass die normierten
Schneehöhen von Rabbi noch prägnanter ausfallen als die von Paneveggio, stechen zwei Jahre
(1976, 1981) mit einer besonders niedrigen Schneehöhe hervor. Dieser Event lässt sich bei allen
drei betrachteten Bergen feststellen. Geht man nun wegen des Abstandes von fünf Jahren der
beiden Events in den Zeitreihen der zuerst betrachteten Berge um weitere fünf Jahre zurück, lässt
sich jedoch kein ähnliches Event identifizieren. Auch im Zeitraum ab 1981, der im Folgenden
analysiert wird, lässt sich im selben Abstand kein solches Niedrigwert-Ereignis finden. Ebenfalls
40
signifikant ist ein Ereignis mit besonders hohen Schneehöhen im Jahr 1978. Dieses ist umso
deutlicher, je niedriger der Berg ist und fällt damit bei Rabbi am stärksten auf.
Wie eben erwähnt, wird als letzter Schritt der Zeitreihenanalyse der Zeitraum von 1982 bis 2013
für alle fünf Berge untersucht. Betrachtet man diesen Zeitraum für alle Berge, so lassen sich zwar
Ereignisse, die für alle Berge parallel geschehen, identifizieren, allerdings nehmen diese
verschieden starke Ausmaße an. Als erstes sind die Jahre 1982-1983 zu nennen, welche - ähnlich
wie das Jahr 1981 - durch besonders niedrige Schneehöhen auffallen. Dieses Ereignis sticht umso
mehr ins Auge umso niedriger der Berg ist. Ein ebenfalls bei allen Bergen markantes Jahr ist 1986.
Dieses weist - gleich nach dem schneereichsten Jahr in 2009 - die höchste Schneehöhe auf. 1989
hat die Schneehöhe einen besonders konzentrierten Höhepunkt – lediglich die höheren Berge
weisen eine längere Periode mit messbaren Schneehöhen auf – und 1990 kann man der Grafik
erneut ein besonders schneearmes Jahr entnehmen, welchem das bis zur Jahrtausendwende
schneereichste Jahr folgt. Zum Ende des 20. Jahrhunderts und auch noch danach lässt sich ein
längerer Zeitraum mit vergleichsweise geringen Schneehöhen erkennen, welcher seinen Höhepunkt
in den Jahren 2002-2003, welche besonders schneearm ausfallen, hat. Die Jahre 2004 und 2006
rahmen ein ebenfalls schneearmes 2005 ein und werden gefolgt von einem wieder besonders
schneearmen 2007 und 2008. Wie bereits erwähnt, sticht das Jahr 2009 mit einer auffällig großen
Schneehöhe bei allen Bergen gleichermaßen hervor. Während in den folgenden vier Jahren bei den
beiden niedrigsten Bergen zwei schneearme von zwei relativ schneereichen Jahren umrahmt
werden, fällt bei den höheren Bergen lediglich 2012 schwach aus, wobei die anderen Jahre große
Schneehöhen aufweisen.
Nachdem der Vergleich der jeweiligen Grafik a) aus den Matlab-Plots abgeschlossen ist, folgt das
Abgleichen der Wavelet-Power-Spektren. Das Vorgehen erfolgt dabei chronologisch, indem jedes
Signal, das bei mindestens einem Berg als besonders niedrig (blau) ausfällt, betrachtet und bei den
anderen Bergen gesucht und verglichen wird. Dabei werden zunächst nur Periodizitäten größer
einem Jahr betrachtet. Das erste auffallende Event tritt im Jahr 1963 beim Berg Paneveggio mit
einer Wiederholungshäufigkeit von 3,5 Jahren auf, liegt jedoch bei Malga Bissina außerhalb des
Cone of Influence. Als nächstes ist ein schwächeres Event 1969 erkennbar. Dieses hat eine
vierjährige Periodizität und ist bei Paneveggio gut, bei Malga Bissina jedoch kaum erkennbar.
Besser erkennbar ist eine vierjährige Periode welche bei Malga Bissina in den Jahren 1974-1975 zu
verzeichnen ist und in ähnlicher Ausprägung 1976-1977 bei Paneveggio sowie etwas schwächer
um 1981 bei Rabbi auftritt. Die jeweils anderen Berge weisen in den Zeiten stärkere Signale auf.
Auch die 3,5-jährige Periodizität von Malga Bissina um 1982, 1983 lässt sich bei keinem anderen
Berg in gleichem Maße wieder finden. Rabbi weist stattdessen eine markante 1,5-jährige
Periodizität auf. Als erstes nennenswertes niedrig-Energie-Event von Passo Valles kann man 1984
eine 1,5-jährige Wiederholungshäufigkeit nennen. Das nächste Jahr mit markanten Ereignissen ist
das Jahr 1985. Während bei Rabbi ein Ereignis mit 3,5-jähriger Wiederholungsperiode erkennbar
ist, zeigt Pampeago ein Event mit 1,5-jähriger und Malga Bissina und Passo Valles ein stärkeres
Signal mit 2,5-jähriger Periodizität. Eine nächste Anhäufung auffälliger Signale ist neben einigen
stärkeren (1986, Paneveggio 1,5-jährig; 1988, Passo Valles, zweijährig; Pampeago 1993,
zweijährig) erst ab dem Jahr 1995 zu finden. Rabbi weist als nächstes 1,5- bis zweijährige niedrig-
Energie-Events um 1995 auf, welche sich auch bei Malga Bissina finden lassen. Im Jahr 1996
findet sich ein solches 3,5-jähriges Event bei Pampeago, Malga Bissina und auch Passo Valles. Ein
Ereignis, das sich bei den drei kleineren Bergen in ähnlichem Ausmaß finden lässt, hat eine
Periodizität von 1,5 bis 3,5 Jahren und erstreckt sich über den Zeitraum 1997 bis 2002, wobei es
41
umso ausgeprägter ausfällt, je niedriger der Berg ist. Um 2000 sind zudem niedrig-Energie-Signale
für Malga Bissina (siebenjährig) und Passo Valles (vierjährig) zu identifizieren. Danach folgen
noch niedrig-Energie-Ereignisse für Rabbi (2005, 1,5-jährig), Pampeago (2002 und 2007, 1,5-
jährig), Malga Bissina (2003 und 2007, 1,5-jährig) und Passo Valles (2004, zweijährig). Zu den
Periodizitäten größer 1,5 Jahre weist jeder Berg auch zahlreiche unsignifkante Periodizitäten
kleiner einem Jahr auf.
Widmet man sich nun noch den Grafiken c) und d) aller Berge so lässt das globale Wavelet-
Spektrum im Gegensatz zu dem Wavelet-Power-Spektrum unmittelbar Gemeinsamkeiten
erkennen. Während Periodizitäten kleiner einem halben Jahr teilweise schon unter dem
Signifikanzniveau liegen, lassen sich bei allen fünf Bergen globale Maxima bei einem Jahr sowie
lokale Maxima bei einem halben und (mit Ausnahme von Paneveggio) bei etwa fünf bis sechs
Jahren finden. Minima finden sich bei 0,75, zwei und 3,5 Jahren. Vergleicht man nun noch die
Grafiken d), so lassen sich ebenfalls rasch Gemeinsamkeiten finden: Zum einen der wellenartige
Verlauf bis 1991 mit einem kleineren Maximum am Ende. Zum anderen das Minimum, das
zwischen 1995 und 2000 auftritt und von einem unterschiedlich ausfallenden Maximum in den
Folgejahren begleitet wird.
3.4 Zusammenfassung und Interpretation der Ergebnisse und Vergleiche
Betrachtet man das Gesamtbild der Schneehöhen Zeitreihen, so stellt man vielerlei gleiche Trends
sowie Spitzenwerte fest. Es lässt sich also sagen, dass alle Berge weitgehend den gleichen
klimatischen Bedingungen ausgesetzt sind, was auf Grund deren Lage sinnvoll erscheint. Die
extremer ausfallenden Events bei den niedrigeren Bergen lassen sich auf die geodätische Höhe
zurückführen. Da die Höhe unmittelbar mit der Temperatur und damit auch mit Art und Menge des
Niederschlages zusammenhängt, kommt es in höheren Regionen (über 1700m) öfter zu Schneefall,
während es in den tiefer liegenden Gebieten regnet. Außerdem bleibt Schnee in zuerst genannten
Gebieten länger liegen, sodass sich die Schneehöhendaten über weitere Zeiträume innerhalb eines
Jahres verteilen und damit weniger extreme Ausschläge in den Zeitreihen verursachen.
Bei der Analyse der Wavelet-Power-Spektren lassen sich signifikante Periodizitäten in zwei
Gruppen – etwa einjährig und vier- bis achtjährig - einteilen. Erstgenannte sind saisonalen
Schwankungen bzw. dem Jahreszyklus zuzuordnen und können je nach Dauer des Winters
variieren. Zuletzt genannte Perioden sind anderen Ursachen zuzuschreiben. Sie beschreiben
episodische oder quasi-episodische Events, welche offenbar für jeden Berg unterschiedlich
ausfallen. Dabei lassen sich bei allen Bergen niedrig-Energie-Signale um 1985 sowie um 1995 und
um 2000 in verschiedener Ausprägung identifizieren. Generell lässt sich dabei sagen, dass
signifikante Signale umso lokaler ausfallen, je höher der Berg ist. Das liegt an der - auch zuvor
schon erwähnten - Schneegrenze, die im Trentino-Gebiet bei 1700m liegt. Diese hat zur Folge, dass
Schneesignale in tiefer liegenden Gebieten stärker ausfallen, da diese sich deutlicher vom globalen
Rauschen abheben.
Betrachtet man das globale sowie das Durchschnitts-Maßstab Wavelet-Spektrum, welche eine Art
Reihen- bzw. Spaltenintegral bilden, zeigen diese durch die sehr ähnliche Gestalt für alle Berge,
dass trotz der verschieden auftretender Periodizitäten ein Zusammenhang der aufgezeigten Events
naheliegt. Gemeinsam haben die globalen Wavelet-Spektren das globale Maximum bei einem
sowie ein lokales Maximum bei vier bis acht Jahren. Die Durchschnitts-Maßstab Wavelet-Spektren
42
weisen alle ein ähnliches Minimum um 1995 und ein ähnliches Maximum zu Beginn des 21.
Jahrhunderts auf. Eine Erklärung für Gemeinsamkeiten dieser Spektren kann zu dem Zeitpunkt
noch nicht gegeben werden, soll jedoch im Folgenden durch eine Erweiterung der Wavelet-
Transformation und den damit verbundenen Vergleich mit globalen Klimaereignissen ermöglicht
werden.
4 Erweiterung der Wavelets durch das Cross-Wavelet-Verfahren
Um Wavelet-Power-Spektren diverser Klimaereignisse mit anderen Ereignissen in Verbindung
bringen zu können und somit Zusammenhänge offenzulegen besteht die Möglichkeit, zwei
Wavelet-Power-Spektren verschiedener Ereignisse übereinander zu legen. Dieses Verfahren nennt
sich Cross-Wavelet und soll im Folgenden – beruhend auf den Werken von Schaefli et al.
(Schaefli, Maraun und Holschneider 2007) und Torrence und Compo (Torrence und Compo 1998)
- erklärt und im Anschluss angewendet werden.
4.1 Das Cross-Wavelet-Spektrum
Gleichung (15) definiert ein Cross-Wavelet-Spektrum, welches sich aus zwei Zeitreihen 𝑋, 𝑌 und
deren Wavelet-Transformationen 𝒲𝑋(𝑠, 𝑛), 𝒲𝑌(𝑠, 𝑛) zusammensetzt.
𝒲𝑋𝑌(𝑠, 𝑛) = 𝒲𝑋(𝑠, 𝑛)𝒲𝑌∗(𝑠, 𝑛) (15)
Bei Cross-Wavelet-Spektren handelt es sich um komplexe Funktionen, sodass die Cross-Wavelet-
Power als |𝒲𝑋𝑌(𝑠, 𝑛)| geschrieben werden kann. Das Konfidenzintervall kann mittels der
Bootstrap-Methode3 bestimmt werden. Während das echte Cross-Wavelet-Spektrum für
unabhängige Prozesse gleich Null ist, nimmt – bedingt durch einen Effekt der bei endlichen Reihen
auftritt - ein Cross-Wavelet-Spektrum aus zwei gegebenen Zeitreihen immer einen Wert größer
Null an. Dabei müssen Werte größer Null nicht zwingend einen Zusammenhang signalisieren. Da
es sich bei dem Cross-Wavelet-Spektrum nicht um eine normalisierte Messung handelt, treten
signifikante Werte nicht nur auf wenn Zusammenhänge zwischen den beiden Zeitreihen bestehen,
sondern auch wenn in einer oder beiden einzelnen Zeitreihen besonders markante Events auftreten,
ohne dass ein Zusammenhang besteht. Durch Aufzeigen dieses Verhaltens widerlegten Maraun und
Kurths (Maraun und Kurths 2004) den von Torrence und Compo (Torrence und Compo 1998),
sowie Huang (JP, Higuchi und Shabbar 1998) vorgestellten Signifikanztest für Cross-Wavelets und
kamen zu dem Schluss, dass ein solcher Test für Cross-Wavelets nicht existiert.
Um die Frage „besteht ein Zusammenhang der beiden Zeitreihen oder nicht“ zu beantworten, wird
das Cross-Wavelet-Spektrum normiert und gegen Null-Kohärenz getestet.
3 Die Bootstrap-Methode beschreibt ein Verfahren aus der Statistik das auf dem wiederholten Ziehen aus
beobachteten Daten beruht. (Efron und Tibshirani 1993)
43
4.2 Wavelet-Kohärenz
Das Quadrat der Wavelet-Kohärenz (Gleichung (16)) ist das Ergebnis des normierten und
quadrierten Cross-Wavelet-Spektrums.
𝐶𝑂𝐻2(𝑠, 𝑛) =
|𝒲𝑋𝑌(𝑠, 𝑛)|2
𝒲𝑋(𝑠, 𝑛)𝒲𝑌(𝑠, 𝑛) (16)
Sie kann Werte zwischen 0 und 1 annehmen und gibt dadurch ein Maß dafür an, wie sehr die zwei
Zeitreihen zusammenhängen.
Aufgrund der Tatsache, dass die Kohärenz zu jeder Zeit und bei jeder Periodizität den Wert 1
annimmt, ist es zwingend notwendig die Wavelets für die Kohärenz zu mitteln bzw. anzugleichen.
Im Gegensatz zu den Cross-Wavelets ist es bei der Wavelet-Kohärenz möglich Signifikanztests
durchzuführen. Diese gleichen weitestgehend den Signifikanztests der normalen Wavelet-
Transformation. Es bedarf unter Umständen lediglich der Einstellung einzelner Parameter.
Bei der Interpretation der Wavelet-Kohärenz ist jedoch zu beachten, dass nicht nur Werte
fälschlicher Weise als signifikant angenommen werden können, sondern auch, dass zwischen als
Kohärenz angezeigten Werten unterschieden werden muss. Neben den tatsächlicher Kohärenz
besteht die Möglichkeit, dass sich zwei Extremereignisse in den einzelnen Zeitreihen
überschneiden und somit angezeigt werden, ohne dass es sich um zusammenhängende Ereignisse
handelt. Außerdem muss noch zwischen tatsächlichen Zusammenhängen und Zusammenhängen
aufgrund zufällig gleicher Frequenzen unterschieden werden. Um hier die richtigen Schlüsse zu
ziehen, ist es ratsam, neben statistischen Verfahren auch die Physik bzw. Systemdynamik des
angeblichen Zusammenhangs zu betrachten. Einen Überblick und Details zu dem weiteren
Vorgehen in einem solchen Fall geben Holzschneider, Kurths und Maraun (Holzschneider, Kurths
und Maraun 2007).
Es ist zudem möglich, die Phasenverschiebung der beiden Zeitreihen sowie deren Richtung
(dargestellt durch Pfeile) zu berechnen und in Grafiken der Cross-Wavelet-Transformation und der
Wavelet-Kohärenz anzuzeigen. Die Anzahl der Pfeile bzw. Winkel, 𝑎𝑖 , 𝑖 = 1 … 𝑛, deren zyklischer
Mittelwert nach Zar (Zar 1999) mittels Gleichung (17) berechnet werden kann, hängt dabei von
dem Maßstab ab.
𝑎𝑚 = arg (∑ cos(𝑎𝑖) , ∑ sin(𝑎𝑖) ,
𝑛
𝑖=1
)
𝑛
𝑖=1
(17)
Die Abweichung der Winkel vom Mittelwert kann über die zyklische Standardabweichung4
bestimmt werden. Da die Phasenverschiebung und damit deren Winkel nicht unabhängig
voneinander sind, ist es schwierig ein Konfidenzintervall zu bestimmen. Nichts desto trotz wird die
4 Der Unterschied zur linearen Standartabweichung liegt darin, dass die zyklische Werte zwischen 0 und 1
annimmt.
44
Phasenverschiebung letztendlich durch die Pfeile bzw. deren Ausrichtung dargestellt. Diese bzw.
deren Winkel können außerdem für die bessere Analyse in Jahren gewichtet werden (Grinsted,
Moore und Jevrejeva 2004). Eine einfache Interpretation ist möglich, wenn die Pfeile eindeutig zu
einer Seite zeigen. Deuten die Pfeile nach rechts bedeutet das, die beiden Signale sind
phasengleich, während nach links zeigende Pfeile einen gegenphasigen Verlauf signalisieren. Sind
die Pfeile anders ausgerichtet, handelt es sich um Zeitverzögerung bzw. Zweitvorsprünge eines
Signals gegenüber dem anderen. Dabei gibt es stets zwei Interpretationsmöglichkeiten, da z.B. ein
Vorsprung von 270 Grad auch eine Verzögerung von 90 Grad darstellen kann und umgekehrt.
4.3 Cross-Wavelets in Matlab
Wie zur Wavelet-Transformation haben sich auch zur Cross-Wavelet-Transformation bereits
mehrere Mathematiker um eine Umsetzung in Matlab bemüht. Im Folgenden wird die „Wavelet-
Coherence“ -Toolbox – geschrieben von Aslak Grinsted – in Matlab verwendet. Sie basiert auf den
Ausführungen von Torrence (Torrence und Compo 1998), (Torrence und Webster 1999) und
Grinsted (Grinsted, Moore und Jevrejeva 2004), (Jevrejeva, Moore und Grinsted 2003).
Die genannte Toolbox besteht neben einigen Textdateien aus zwölf Funktionen, welche Daten für
das Skript wtcdemo.m bereitstellen und in diesem direkt oder indirekt aufgerufen werden. Die
Funktion ar1nv.m berechnet Parameter für einen Markow-Prozess (ein AR(1)-Modell), welche in
der Funktion ar1.m auf eine Zeitreihe angewandt werden. Der weiteren Datenvorbereitung dient
die Funktion formatts.m, welche den Datensatz in eine zweispaltige Form (Datum, Wert) bringt.
Auch der Code namens normalizepdf.m, in dem die Zeitreihe normiert wird sowie die Funktion
boxpdf.m, die die Zeitreihe und deren Werte in Prozentsätze umwandelt, dienen der
Datenaufbereitung. Im Anschluss wird in wt.m bereits die Wavelet-Transformationen der
einzelnen Zeitreihen und in xwt.m auch die Cross-Wavelet-Transformation bestimmt. Letztere
kann ebenso wie die Wavelet-Kohärenz – berechnet in wt.m – noch um eine Phasenverschiebung
ergänzt werden. Für diese werden in anglemean.m alle notwendigen Parameter berechnet, sodass
durch die Funktion phaseplot.m die Winkel (dargestellt mittels Pfeilen) in die Grafiken geplottet
werden können. Für die Wavelet-Kohärenz bedarf es noch einer Glättung der Wavelets – Funktion
smoothwavelet.m – sowie der Berechnung der Signifikanz, welche in wtcsignif.m
durchgeführt wird.
Das Skript wtcdemo.m muss am Ende lediglich mit den zwei zu vergleichenden Zeitreihen –
Parameter d1 und d2 – gespeist werden und gibt anschließend dreierlei Plots aus. Zum einen
werden die Wavelet-Power-Spektren der beiden Zeitreihen ausgegeben, zum anderen die Cross-
Wavelet-Transformation und zusätzlich die Wavelet-Kohärenz. In den beiden zuletzt genannten
Plots werden Phasenverschiebungen durch Pfeile dargestellt.
5 Anwendung des Cross-Wavelet-Verfahrens
Da die Ergebnisse der Wavelet-Transformationen für alle Berge ähnlich ausgefallen sind, wird im
Folgenden die Cross-Wavelet-Transformation auf die beiden längsten Schneehöhen-Zeitreihen -
jeweils in Kombination mit dem NAO-Index - angewendet. Der NAO-Index ist auf der Homepage
des „National Weather Service“ zu finden und wird von dieser übernommen (National Weather
Service 2005). Die Analyse wird je für einen Berg der über die Schneegrenze hinaus geht (Malga
45
Bissina) und einen Berg der kleiner als 1700m ist (Paneveggio) durchgeführt, sodass man
vergleichen kann wie sehr das Signal durch die Schneegrenze in seiner Stärke beeinflusst wird.
5.1 Vorbereitung der Datensätze
Um die Daten der Schneehöhen und des NAO-Index in dem Matlab-Code verwenden zu können,
werden diese zuvor in eine zweispaltige Form (Datum, Wert) gebracht und auf jeweils gleiche
Zeiträume gekürzt. Während die Anpassung der Zeiträume manuell durch Löschen von
überflüssigen Aufnahmewerten bzw. Daten am Anfang und Ende der Zeitreihen erfolgt, zeigt
Abbildung 29 wie die Umformung auf zwei Spalten in Matlab umgesetzt wurde.
Abbildung 29 Umformungen im Matlab-Skript wtcdemo.m
Zuerst werden die Aufnahmedaten der jeweiligen Zeitreihe zu je einer Spalte zusammengefasst und
als Dezimalzahl in Jahre umgerechnet. Diese Werte wurden extern in einer Excel-Tabelle
berechnet und danach wieder in einer Textdatei (z.B. Datum_Jahre_NAO.txt) abgespeichert. Im
Anschluss werden diese mit den jeweiligen Spalten der Werte des Indexes bzw. der Schneehöhe zu
einer zweispaltigen Matrix zusammengefügt. Obwohl in dem verwendeten Matlab-Code alle
Parameter vorgegeben sind oder innerhalb des Codes mit Hilfe eingebauter Funktionen aus den
Eingabedaten berechnet werden, werden am Ende noch die Parameter dj=0.25, s0=91.75,
j1=7/dj und AR1 bzw. Args.AR1=[0.72 0.72] in den jeweiligen Funktionen für die
Wavelet-Transformation, die Cross-Wavelet-Transformation und die Wavelet-Kohärenz sowie in
der Signifikanzberechung – entsprechend den Werten der Wavelet-Transformation aus Kapitel drei
– angepasst. Auf diese Weise wird durch das Maltlab-Skript eine Erweiterung für bereits
analysierte Grafiken realisiert ohne dabei Parameter zu verändern, welche zu anderen – noch nicht
betrachteten - Ergebnissen führen könnten. Man erreicht somit die beste Vergleichbarkeit mit
vorherigen Ergekentnissen.
5.2 Ergebnisse der Cross-Wavelet-Transformation aus Matlab
Da das verwendete Matlab-Skript sowohl die Cross-Wavelet-Transformation als auch die Wavelet-
Kohärenz ausgibt, werden beide Grafiken betrachtet und ausgewertet. Dabei ist zu beachten, dass
ein signifikanter Wert in der Cross-Wavelet-Transformation nicht zwingend auf einen
Zusammenhang der beiden Signale hinweist. Es macht daher Sinn, die Wavelet-Kohärenz sowie
die Phasenverschiebung ebenfalls für die Analyse heranzuziehen.
46
5.2.1 NAO – Paneveggio
Zuerst wird die Matlab-Projektion der Cross-Wavelet-Transformation von der NAO zusammen mit
den Schneehöhen von Pangeveggio und damit einem Berg unterhalb der Schneegrenze von 1700m
betrachtet. Diese ist in Abbildung 30 zu sehen. Betrachtet man die Periodizität der signifikanten
Bereiche, so sind diese durchgehend bei einer Periodizität von einem Jahr zu finden. Diese zeigen
in den Jahren 1964-1968 sowie 1978-1980 ein gegenphasiges, in den Jahren 1987-1988, 1093-
1994, 1999-2001 und 2006-2009 ein gleichphasiges und sonst ein phasenverschobenes Event an.
Außerdem sind signifikante Signale mit zwei- bis vierjähriger Periode in den Zeiträumen von
1955-1978 (phasenverschoben), 1982-1995 (phasenverschoben) und ab 2000 (phasenverschoben)
zu sehen. Ereignisse mit einer Periodizität von sechs bis acht Jahren sind von 1962 bis zum Ende
der Aufnahmen in verschiedener Ausprägung und mit einer Phasenverschiebung auffindbar. Bei
einer acht- bis zehnjährigen Periodizität von 1976-1986 lässt sich ein gegenphasiges Verhalten
erkennen, ebenso wie bei Periodizitäten über 16 Jahren. Zudem sind noch phasenverschobene
Periodizitäten von 13-16 Jahren und zahlreiche Periodizitäten kleiner einem Jahr erkennbar.
Abbildung 30 Cross-Wavelet-Transformation NAO - Schneehöhe Paneveggio
Im Gegensatz zum Spektrum der Cross-Wavelet-Transformation zeigt die Wavelet-Kohärenz in
Abbildung 31 nicht durchgehend zusammenhängende Signale mit einer Periodizität von einem Jahr
an. Zu nennen sind einjährige Periodizitäten in den Jahren 1950-1953 (phasenverschoben), 1963-
1965 (gegenphasig), 1993-1994 (gleichphasig), 1999-2001 (gleichphasig) 2003-2004
(phasenverschoben) und 2007-2008 (gleichphasig). Zwei- bis dreijährige Events sind von 1971-
1973 (phasenverschoben), 1976 (gegenphasig) und ab 2009 (phasenverschoben) identifizierbar.
Außerdem ist ein phasenverschobenes Ereignis von 1960 bis 1971 mit einer Periode von vier
Jahren zu erkennen.
47
Abbildung 31 Wavelet-Kohärenz NAO - Schneehöhe Paneveggio
Es werden zudem mehrere verschiedene Periodizitäten kleiner einem Jahr und größer 16 Jahre
(gegenphasig) – die aber Großteils außerhalb des Cone of Influence liegen – angezeigt.
5.2.2 NAO – Malga Bissina
Betrachtet man nun in Abbildung 32 das Cross-Wavelet-Spektrum der NAO und der Schneehöhe
von Malga Bissina – einem Berg, der über die Schneegrenze der Trentino-Region ragt – erkennt
man wieder signifikante Signale mit einer Periodizität von einem Jahr über die gesamte
Aufnahmezeit, die wiederum verschiedene Phasenverhältnisse aufweisen. Während die Signale in
den Jahren 1987-1990, 1993-1994, 2000 sowie 2007-2008 phasengleich verlaufen, weisen die
Ereignisse der Jahre 1978-1980 einen gegenphasigen Charakter auf. Nicht genannte Zeiträume
weisen einen gegenphasigen Verlauf vor. Periodizitäten von zwei bis vier Jahren sind
phasenverschoben und können der Grafik 32 in den Jahren 1967-1978 sowie 1983 bis Ende der
Datenaufnahme entnommen werden. Ausnahmen bilden dabei zwei zweijährige Ereignisse mit
gegenphasigem Verhalten in den Jahren 1977-1978 und 2000-2001. Auch fünf- bis achtjährige und
größere, phasenverschobene Periodizitäten können identifiziert werden. Gegenphasige Events der
Periodengröße von acht Jahren lassen sich von 1971-1977, gleichartige Events mit zehnjähriger
Periode von 1985-1993, finden.
48
Abbildung 32 Cross-Wavelet-Transformation NAO - Schneehöhe Malga Bissina
Außerdem sind verschiedenste Ereignisse mit einer Periodizität kleiner einem Jahr als signifikant
gekennzeichnet.
Abbildung 33 Wavelet-Kohärenz NAO - Schneehöhe Malga Bissina
Sieht man sich nun wieder die Projektion der Wavelet-Kohärenz in Abbildung 33 im Vergleich zu
der der Cross-Wavelet-Transformation an, so erkennt man wieder vereinzelt auftretende
signifikante Events von einjähriger Periode in den Jahren 1963-1966 (phasenverschoben), 1969-
1971 (phasenverschoben), 1988-1991 (phasenverschoben), 1992-1993 (phasengleich), 1998-2003
(phasenverschoben) sowie 2007 (phasenverschoben), von zwei- bis dreijähriger Periode in den
49
Jahren 1967-1968 (phasenverschoben), 1988-1992 (phasenverschoben), 1999-2001 (phasengleich)
und ab 2009 (phasenverschoben), von vierjähriger Periodizität in den Jahren 1965-1970
(phasenverschoben) sowie ab 2001 (phasenverschoben), von achtjähriger Periodizität bis 1980
(phasenverschoben) und mit zwölfjähriger Periodizität ab 1992. Auch hier treten wieder
verschiedene Periodizitäten kleiner einem Jahr auf. Einige als signifikant markierte Bereiche
höherer Periodizitäten (vier- bzw. achtjährig und zwölfjährig) befinden sich dabei am Rand oder
außerhalb des Cone of Influence.
5.3 Zusammenfassung und Interpretation der Ergebnisse
Im weiteren soll nur die Wavelet-Kohärenz der beiden Kombinationen untersucht werden, da diese
eine geglättete Version der Cross-Wavelet-Transformation darstellt und mehr Infos über mögliche
Zusammenhänge beinhaltet.
Betrachtet man zunächst das Gesamtbild der Auswertung in Form der Wavelet-Kohärenzen der
beiden Berge mit der NAO, so lässt sich feststellen, dass man für beide Kombinationen ähnliche
Ergebnisse erhält. Die Ergebnisse von Malga Bissina in Kombination mit der NAO unterscheiden
sich von der Kombination von Paneveggio und NAO vor allem bei den Signalen höherer
Periodizitäten. Dies kann an der Tatsache liegen, dass derartige Periodizitäten nicht unbedingt mit
der NAO, sondern mit anderen Klimaereignissen, zusammenhängen.
Als Gemeinsamkeiten lassen sich bei beiden Kombinationen die einjährigen Periodizitäten 1963-
1966, 1993, 1999-2001 und 2007 sowie die zweijährige Periodizität 2009 und die vierjährige
Periodizität von 1965 bis 1970 identifizieren. Allerdings unterscheiden sich diese in den Wavelet-
Kohärenzen oftmals durch das Phasenverhältnis auch wenn diese ähnliche Tendenzen aufzeigen.
Lediglich die Events 1993 (phasengleich) und 2009 (phasenverschoben) sind auch im
Phasenverhältnis identisch.
Signifikante Ereignisse mit einer Periodizität kleiner einem Jahr werden stets vernachlässigt, da
diese saisonalen Schwankungen zuzuschreiben sind. Potentielle Zusammenhänge sind den
Wavelet-Kohärenzen vor allem in den Jahren von 1960 bis 1975 sowie von 1990 bis 2005 zu
entnehmen.
Auch wenn die Cross-Wavelet-Spektren große signifikante Bereiche aufweisen und damit eine
Verbindung der NAO mit der Schneehöhe nahelegen weist die Wavelet-Kohärenz nur vereinzelt
signifikante Signale auf, die zudem nicht immer für beide Berge übereinstimmen. Das führt zu dem
Schluss, dass die signifikanten Signale aus den Cross-Wavelet-Spektren aus Spitzenwerten der
einzelnen Wavelet-Power-Spektren resultieren. Folglich kann aus den gemachten Untersuchungen
kein eindeutiger Zusammenhang zwischen NAO und der Schneehöhe hergestellt werden.
Dennoch liegt der Verdacht nahe, dass ein Zusammenhang zwischen den beiden
Klimaerscheinungen besteht, zumal ein Vergleich der Wavelet-Power-Spektren der einzelnen
Signale - vor allem bei Malga Bissina und der NAO - durchaus überlappende Signale in gleichen
Bereichen zeigt, welche auch das Cross-Wavelet-Spektrum und stellenweise auch die Wavelet-
Kohärenz erkennen lässt. Leider befinden sich gemeinsame signifikante Signale – vor allem im
Bereich von vier- und achtjähriger Periodizität - oftmals am Rand oder außerhalb des Cone of
50
Influence, sodass es längerer Zeitreihen bedarf um endgültige Aussagen über eine Verbindung der
Schneehöhe mit der NAO zu treffen.
6 Schluss
6.1 Vor- und Nachteile der Wavelet-Transformation
Die Anwendung der Wavelet-Transformation ist eine durchaus praktikable Methode um
klimatologische Ereignisse in graphischer Form darzustellen. Da bereits fertigte Toolboxen – z.B.
in Matlab – vorliegen ist es einfach, anschauliche Ergebnisse zu erhalten. Es ist möglich, aus nur
einer Zeitreihe Erkenntnisse über sowohl die Periodizität als auch die Stärke und Relevanz eines
Klimasignals zu gewinnen. Zudem kann dieses gegen verschiedene Nullhypothesen getestet sowie
mit diversen Filtern unterlegt und in unterschiedlichen Maßstäben dargestellt werden. Mit der
Erweiterung der Wavelet-Transformation durch die Cross-Wavelet-Transformation und die
Wavelet-Kohärenz besteht zudem die Möglichkeit, Verbindungen zwischen zwei Klimaevents zu
veranschaulichen.
Es ist jedoch zu beachten, dass nicht jedes gewonnene Ergebnis unfehlbar und repräsentativ ist.
Auch wenn man tiefer in die Mathematik der Wavelets einsteigt ist es noch nicht garantiert, dass
man die richtige Parameterwahl trifft. Da es eine Vielzahl an Stellschrauben in der Wavelet-
Transformation gibt kann es immer vorkommen, dass Ergebnisse zwar richtig interpretiert werden,
aber der vorherige Ansatz falsch gewählt ist. Besonders aufpassen muss man bei der Interpretation
der Cross-Wavelet-Transformation, da diese mehrere Arten an Signalen anzeigt und damit noch
anfälliger für falsche Interpretationen ist. Es bedarf daher nicht nur der Interpretation der erhaltenen
Grafiken, sondern auch einem Abgleich mit bekannten physikalischen bzw. klimatologischen
Events um eine treffende Analyse durchzuführen und richtige Schlüsse über Verbindungen
herzustellen.
6.2 Fazit und nächste Schritte
Obwohl im Rahmen dieser Arbeit kein eindeutiger Zusammenhang zwischen der NAO und der
Schneehöhe im Trentino-Gebiet hergestellt werden konnte, muss das nicht bedeuten, dass ein
solcher nicht besteht. Es bedarf weiterer Untersuchungen und dem Vergleich weiterer Datenreihen
sowie deren Cross-Wavelet-Spektren und Wavelet-Kohärenzen um eine endgültige Aussage über
die Verknüpfung der beiden Signale herstellen zu können. Auch andere Auflösungen bzw. Skalen
oder eine Umstellung einzelner Parameter – z.B. für das Hintergrundrauschen – sowie längere
Zeitreihen könnten bereits weitere, wertvolle Erkenntnisse liefern.
Neben der NAO sollten in Zukunft auch weitere Klimaphänomene, wie z.B. ENSO, mit den
Schneehöhen-Signalen abgeglichen und auf Zusammenhänge untersucht werden um ein
verbessertes und tiefer reichendes Verständnis der globalen Klimasituation zu erhalten.
51
52
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Abbildungsverzeichnis
Abbildung 1 Graph einer Funktion 𝑓 (Bäni 2005) .......................................................................... 11
Abbildung 2 Rekonstruktion von 𝑓 aus 100 Fourierkoeffizienten (Bäni 2005) .............................. 12
Abbildung 3 Das Haarsche Mother-Wavelet (Tamm 2005) ........................................................... 12
Abbildung 4 Ein Mother-Wavelet nach Meyer (Tamm 2005) ........................................................ 13
Abbildung 5 Ein Morlet-Mother-Wavelet (Tamm 2005) ................................................................ 13
Abbildung 6 weitere Mother-Wavelets mit den Entdeckernamen (Tamm 2005) ........................... 14
Abbildung 7 Transformationen des „Mexican hat“-Mother-Wavelets. Dabei entspricht der
Vorfaktor von x dem Skalierungsparameter und der addierte/subtrahierte Wert dem
Verschiebungsparameter (ihr.uni-stuttgart.de 1998) ........................................................................ 16
Abbildung 8 Vergleich von vier Mother-Wavelets in Hinblick auf deren Zeitauflösung (obere
Reihe) und Frequenzauflösung (untere Reihe) (www.bayceer.uni-bayreuth.de 2013) .................... 17
Abbildung 9 Aus den hydrologischen Modellen LaDW (links) und H96 (rechts) abgeleitete
Wavelet-Analysen (Hengst 2007) .................................................................................................... 22
Abbildung 10 Wavelet-Powerspektren einer Messstelle in Hohenstadt (KLIWA 2011) ................ 23
Abbildung 11 Anteil signifikanter Periodizitäten, ermittelt anhand von 127 Messtellen (KLIWA
2011)................................................................................................................................................. 23
Abbildung 12 Wavelet-Analyse der NAO nach Cook-Index (a), Luterbach-Index (b), ERIK1 (c),
ERIK2 (d), ECHO-G 1990 Kontroll (e) und CCSM2 1990 Kontroll (f) (Spangehl und Raible 2008)
.......................................................................................................................................................... 24
Abbildung 13 Funktion „chisquare_solve“ aus Matlab (Torrence und Compo 1998) .......... 25
Abbildung 14 Matlab-Funktion „chisquare_inv“ (Torrence und Compo 1998) .................... 25
Abbildung 15 Matlab-Code zur Wahl des Mother-Wavelets (Torrence und Compo 1998) ........... 26
Abbildung 16 Signifikanztest in Matlab nach Torrence und Compo (Torrence und Compo 1998) 27
Abbildung 17 Funktion „wavelet“ zur Berechnung eines solchen (Torrence und Compo 1998)28
Abbildung 18 Mathematische Vorbereitungen von 4 Grafiken für das „plotten“ (Torrence und
Compo 1998) .................................................................................................................................... 29
Abbildung 19 Einstellungen zum „plotten“ der vier Grafiken (Torrence und Compo 1998) ......... 30
Abbildung 20 Darstellung der Ergebnisse von Torrence und Compo (Torrence und Compo 1998)
.......................................................................................................................................................... 30
Abbildung 21 Laden und Modifizieren des Datensatzes ................................................................. 31
Abbildung 22 normierte Schneehöhen-Zeitreihe Rabbi 1335m ab 1911 ........................................ 32
Abbildung 23 Matlab-Plot Rabbi 1335m ........................................................................................ 33
Abbildung 24 normierte Schneehöhen-Zeitreihe Paneveggio 1540m ab 1911 ............................... 34
Abbildung 25 Matlab-Plot Paneveggio 1540m ............................................................................... 35
Abbildung 26 Matlab-Plot Pampeago 1760m ................................................................................. 36
Abbildung 27 Matlab-Plot Malga Bissina 1780m ........................................................................... 37
Abbildung 28 Matlab-Plot Passo Valles 2032m ............................................................................. 38
Abbildung 29 Umformungen im Matlab-Skript wtcdemo.m ....................................................... 45
Abbildung 30 Cross-Wavelet-Transformation NAO - Schneehöhe Paneveggio ............................ 46
Abbildung 31 Wavelet-Kohärenz NAO - Schneehöhe Paneveggio ................................................ 47
Abbildung 32 Cross-Wavelet-Transformation NAO - Schneehöhe Malga Bissina ......................... 48
Abbildung 33 Wavelet-Kohärenz NAO - Schneehöhe Malga Bissina ............................................ 48
55
Tabellenverzeichnis
Tabelle 1 Bergnamen mit Höhenangaben .......................................................................................... 8
56
Abkürzungsverzeichnis
ggfs. gegebenenfalls
z. B. zum Beispiel
vgl. vergleiche
d.h. das heißt
bzw. beziehungsweise
FT Fourier-Transformation
WT Wavelet-Transformation
COI Cone of Influence
ENSO El Nino Southern Oscillation
QBO Quasi-Biennal Oscillation
TBO Troposhperic Biennal Oscillation
NAO Nordatlantische Oszillation
![WAVELETS - Peopleblatter/Wavelets.pdf · bekannten Wavelet-Buch in deutscher Sprache, und im ,,Friendly guide to wavelets\ von Kaiser [K]. Fur weitere Quellen der Inspiration verweise](https://img.pdfslide.org/doc/110x75/5d5730af88c9935a158b5fcc/wavelets-people-blatterwaveletspdf-bekannten-wavelet-buch-in-deutscher-sprache.jpg)
![Multidimensional wavelet bases in Besov and Triebel ... · of theory of function spaces following [40]. In Chapter 2 we concern weights and weighted function spaces. Classical Mucken-houpt](https://img.pdfslide.org/doc/110x75/60300b97578cd93462553c2e/multidimensional-wavelet-bases-in-besov-and-triebel-of-theory-of-function-spaces.jpg)
