The main technical function of research design is to … · Das Ergebnis ist ein p‐Wert pro Einzelvergleich methodenlehre ll – ALM und Mehrfaktorielle ANOVA ... Was ist neu bei

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methodenlehre ll – ALM und Mehrfaktorielle ANOVA

• Das Allgemeine lineare Modell

• Post‐hoc Tests bei der ANOVA

• Mehrfaktorielle ANOVA

Thomas Schäfer | SS 2009 1


Das Allgemeine lineare Modell (ALM) ‐Varianz als Schlüsselkonzept

"The main technical function of research design is to controlvariance."

(Kerlinger, 1973)

4,00

5,00

6,00

7,00

pine

ss

Die Logik des Experimentes:

Varianz künstlich erzeugen

z.B. bei Befragungen: oder bei Experimenten:


material experience0,00

1,00

2,00

3,00

happ

Experimental‐ vs. KontrollgruppeTreatment vs. Nicht‐Treatment

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Das Allgemeine lineare Modell



Was Sie schon kennen: einfache lineare Regression


Bei mehreren Prädiktoren: multiple Regression

Prädiktor 1 Prädiktor 2 usw.


Schätzwert

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Und nun die Verallgemeinerung zum ALM


FehlerKonkreter Wert





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Die Variable, die die Gruppen definiert, dient als Prädiktor!(z.B. Exp.‐Gruppe: 1, KG: 0)


Das Allgemeine lineare Modell ‐ Grundaussage

Das bedeutet: Alle Verfahren (Varianzanalyse, t‐Test, Korrelation) beruhen auf ein und derselben Grundlage – der Multiplenberuhen auf ein und derselben Grundlage der Multiplen Regression

...if you were going to a desert island to do psychology researchand could take only one computer program with you to do

i i l ld h l i l i


statistical tests, you would want to choose multiple regression.(Aron & Aron, 2002)

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Ziel: Überprüfung spezifischer Mittelwertsunterschiede bei Faktoren mit mehr als zwei Gruppen

Problem: nach einer signifikanten ANOVA mit mehr als 2 Gruppen wissen Sie

Post‐hoc Tests (Einzelvergleiche) bei der ANOVA

g ppnicht, welche Gruppen sich voneinander unterscheiden; Sie haben lediglich ein overall‐Ergebnis vorliegen

Bei der Berechnung einzelner t‐Tests würde sich aber der Alphafehler aufaddieren („kumulieren“)

Lösung durch die post‐hoc Tests: Kontrolle des Gesamt‐α (für alle durchgeführten Tests) (man spricht von Alphafehler‐Korrektur)

Thomas Schäfer | SS 2009

Verfahren (Beispiele):BonferroniSchefféNewman‐KeulsTukeyDunkan

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Das Ergebnis ist ein p‐Wert pro Einzelvergleich


Beispiel: ein Faktor mit 3 Stufen

Es gibt 3 mögliche Einzelvergleiche

Post‐hoc Tests (Einzelvergleiche) bei der ANOVA

Placebo Einfache D. Doppelte D.

1

32


18 17 25

18 9 24

20 16 16

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Rekapitulation ANOVA

Untersuchte Fragestellung: Unterscheiden sich zwei oder mehr Gruppenmittelwerte signifikant voneinander?

F‐Test: Ist die Varianz der Gruppenmittelwerte höher, als rein durch Zufallsabweichungen zu erwarten? (je unterschiedlicher Werte sind, desto höher ist ihre Varianz)



Die Idee des F‐Tests

Die gesamte Varianz der AV wird aufgeteilt in:

• Varianz zwischen den Gruppen ‐ Abweichung der G itt l t G t itt l t üb llGruppenmittelwerte vom Gesamtmittelwert über alle Gruppen

= systematische Varianz, erklärte Abweichung

• Varianz innerhalb der Gruppen ‐ Abweichung der einzelnen Messwerte innerhalb der Gruppen vom Gruppenmittelwert

= unsystematische Varianz, nicht erklärte Abweichung,


y , g,Fehlervarianz, Restvarianz

Der F‐Test drückt ein Varianzverhältnis aus:

• systematische Varianz /Fehlervarianz 2

2

inn

zw

ˆˆFσσ

=

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Die Idee des F‐Tests

65

Beispiel: Wirkung eines Medikamentes

60

55

50

55

Gesamtmittel

2σ̂

Besserun

g

xA

xB


40

35

30Placebo Medikament

2inn

zw

ˆF

σσ

=


Berechnung des F‐Wertes

QSdfQS

ˆˆF zw

zw

zw == 2

2

σσ

∑∑ −=+=j i

ijGesamtinnzwgesamt )xx(QS,QSQSQS 2 wobei

kdf

)xx(nQS

wobeidfQS

zw

k

jjjzw

inn

inninn

−=

∑ −=

1

2

σ QS: Quadratsumme

k: Anzahl der Gruppen

: Mittelwert der Gruppe j

nj: Anzahl der Messwerte in Gruppe j

N: Gesamtanzahl der

jx


kN)n(df

)xx(QS

und

k

jjinn

k

j

n

ijijinn

j

−=∑ −=

∑∑ −=

1

2

N: Gesamtanzahl der Messwerte

: Gesamtmittelwertx

QS in Gruppe j

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Die Gesamtvarianz wird aufgeklärt durch die Wirkung mehrererFaktoren (man spricht von Haupteffekten) und dem spezifischen Zusammenwirken der Faktoren untereinander

Was ist neu bei der mehrfaktoriellen ANOVA?

spezifischen Zusammenwirken der Faktoren untereinander (Interaktion genannt)



Die Anzahl von Faktoren (also UVs) und die Anzahl der jeweiligen Faktorstufen (also Ausprägungen) wird durch das faktorielleDesign angegeben

Was ist neu bei der mehrfaktoriellen ANOVA?

Design angegeben

Beispiele:

• Ein 2 x 3 Design hat 2 Faktoren, der erste Faktor hat 2 Faktorstufen, der zweite 3

• Ein 2 x 2 x 2 Design hat 3 Faktoren, alle mit 2 Faktorstufen

Daraus ist auch die Anzahl der resultierenden


Versuchsbedingungen ersichtlich (z.B. 2 x 3 = 6, 2 x 2 x 2 = 8)

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Mehrfaktorielle Varianzanalyse

Analyse einzelner Faktoren (Haupteffekte) wie bei einfaktoriellerVarianzanalyse, z.B. bei zwei Faktoren A (mit k Ausprägungen), und B (mitmAusprägungen):

Analyse von Interaktionen (bei zwei Faktoren, A und B):

dfA = k‐1 dfB= m‐1

Über alle k ×m Gruppen berechnet

2

2

inn

AA ˆ

ˆFσσ

= 2

2

inn

BB ˆ

ˆFσσ

=


dfA×B = (k‐1)(m‐1)

(QStotal = QSA + QSB + QSA×B + QSwithin)

2

2

inn

BABA ˆ

ˆFσσ ×

× =


Zweifaktorielle Varianzanalyse: Berechnung der QS

QS: Quadratsumme

k: Anzahl Ausprägungen, Faktor A

)xx(QS

k

k

j

m

l

n

iijltotal ∑∑∑ −=

2

2

m: Anzahl Ausprägungen, Faktor B

: Mittelwert der Gruppe jl

njl: Anzahl der Messwerte in Gruppe jl

N: Gesamtanzahl der Messwerte

: Gesamtmittelwert

: Zusammenfassung von Faktorstufen

jlx

xmdf

)x.x(knQS

kdf

)x.x(mnQS

A

m

llB

A

jjA

−=

∑ −⋅=

−=

∑ −⋅=

1

12

2


. : Zusammenfassung von Faktorstufen

innBAgesamtBA QSQSQSQSQS −−−=×

mkN)n(df

)xx(QS

und

k

j

m

ljlinn

k

j

m

l

n

ijlijlinn

⋅−=∑∑ −=

∑∑∑ −=

1

2

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• Notation (am Beispiel der )

Zweifaktorielle Varianzanalyse: Berechnung der QS

innQS

∑∑∑ −=k

j

m

l

n

ijlijlinn xxQS 2)(

ein beliebiger Messwert

weicht ab vom Mittelwert inseiner Gruppe (davon gibt es k • m)


pp ( g )

Diese quadrierte Differenz bilden Sie für:jeden Messwert i (davon gibt es immer n)jede Faktorstufe l des 2. Faktors (davon gibt es m)jede Faktorstufe j des 1. Faktors (davon gibt es k)


Beispiel: 2 × 3 Design

2. Faktor

Placebo Einfache D. Doppelte D.

Männer

18 17 2518 9 24


20 16 16

Frauen

13 15 1715 17 129 22 18

1. Faktor

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Beispiel: 2 × 3 Design

24

22

Arten von Interaktionen

Dep

ress

ivitä

t"

20

18

16

14

12

10

Geschlecht

weiblich

männlich


Psychopharmakon

doppelte Dosiseinfache DosisPlacebo

" 10 männlich

Die Interaktion versteckt sich im nicht‐gleichsinnigen Verlauf der Linien


F‐Verteilung


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F‐Werte in Statistiksoftware


Schreibweise: FA(..,…) = … (p = …)


Effektgröße Eta‐Quadrat: Anteil der Gesamtvarianz, der durch einen Effekt (Haupteffekt bzw. Interaktion) aufgeklärt wird

Effektgrößen bei der mehrfaktoriellen ANOVA

Partielles Eta‐Quadrat: Anteil der möglichen aufzuklärenden Varianz, der auf einen Effekt zurückgeht (alle anderen Effekte sind auspartialisiert)

2

QSQS

gesamt

Effekt=η QSQSQSQSQS innBABAgesamt +++= ×


p )

24

innEffekt

EffektP QSQS

QS+

=2ηInterpretation: Konvention nach Cohen

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Powerbestimmung bei der zweifaktoriellen ANOVA



ANOVA als Spezialfall des ALM

Wissen wir nichtsWissen wir nichts über eine Person, dann ist der Mittelwert auf Y der beste Schätzer für ihren Y‐Wert.Der Fehler ist


natürlich sehr groß.

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ANOVA als Spezialfall des ALM

Kennen wir den Wert der Person auf der Variable XPerson auf der Variable X (Faktor 1), können wir ihren Wert auf der Variable Y durch die Regression von Y auf X genauer schätzen.Der Fehler wird kleiner.(Mit den Residuen kann diese


X1

(Mit den Residuen kann diese Vorhersage für den nächsten Faktor wiederholt werden, usw.)


• F‐ Test für Messwiederholungen

Varianzanalyse – einige Variationen

• Fixed – vs. Random Factors(random factors: Faktorenstufen werden zufällig gezogen)

• Multivariate ANOVA (MANOVA)

• Kontrastanalyse


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