ZEITSCHRIFT FOR ANGEWANDTE MATHEMATIK UND MECHANIK INGEN IEURWISSENSCHAFTLICHE FORSCHUNGSARBEITEN

Band 32 November/Dezember Heft 11/12

Theorie der Druckstabilitat der Sandwichplatte I. Von H. Neuber, Dresden

Fiir die Sandwichplatte (dreischichtige Plate) werden die Qrundlagen der elaatischen A'tabilittit in der vom Vf. 1943 aufgeatdlten verschiirften Forms) i n t p . Die Liieung kl& den Einflus der versehiedenen Parameter auf die Knicklaat und bsstatigl einwan frei die Existenz von zwei charakteristischen Imtabili- tiitabereichen.

The baaical qua ions of elastic stability are inlegrated or sandwich pWea in the exact form stated by the author 191P). The solution clears the influence of the di.t$erent pramelera on the buckling load and shows the ezistence of two characteristic 'regione of buckling.

Lea lqualions fondamentales de l'llaslique slabilitl sont inlegrles pour dea plaques d Sandwich dane leur form exacte, donnbe par l'auteur 191P). La solution montre l'influence des param&raa differentea. L'existence des deux domaines d'lcraacment eat ddmonelrle.

OCHOBM YnpyIUfi yCTOfi~UBOCTEI C&HABHqHOtt lln&CTkfHbI (TpeXCJlOfiHOfi llJI&CTWHH) EIHTerpy- PYRyrCfi B J'TOVHeHHOfi #PMBs), &&HHOfi &BTOPOM B 1943 r. PeIIIeHEIe BbIfiCHS?eT BIIIlSIHEIe p&3JlHqHHX Il&paMeTpOB H& YCEJXEIe IlpOAOJlbHOR3 riara6a, EI 6esycrro~~o IXOATBepNC~lbeT CyweCTBO- B&HUe ABYX X&P&KT0pHCTHPBCKUX o6nec~et HByCTOfiWBOCTH.

1. Ubersicht Der Begriff ,, Sandwichplatte" bezieht sich auf geschichtete Platten (auch Verbundplatten

genannt) ; man versteht darunter ebene Platten, die aus mehreren Schichten verschiedener Bau- stoffe hergestellt sind. Bei geeigneter Wahl der Abmessungen der einzelnen Schichten, sowie der Werkstoffe zeichnen sich solche Platten durch besonders geringes Gewicht bei verhaltnismal3ig hoher Steifigkeit aus.

Vorliegender Bericht, der als Fortsetzung meiner friiheren Arbeiten uber das Verbundstab- problem') entstanden ist, gibt im technisch besonders wichtigen Falle der Druckbeanspruchung uber die gunstigsten Abmessungen solcher Platten AufschluI3. Hierbei macht die naheliegende Frage der Konkurrenzfahigkeit mit entsprechenden Baugliedern der Blechbauweise eine besonders sorgfaltige Behandlung des Stabilitatsproblems erforderlich, urn so mehr, als eine Uber den Gegen- stand bereits vorhandene englische Arbeit2) weitgehende Vernachlassigungen enthalt, derart, daI3 sich dort u. a. der Grenzfibergang zum E u 1 e r -Verhalten des Gesamtquerschnittes, der fiir groI3e Knicklangen erfullt sein mul3, fur die dreischichtige Platte noch nicht herausstellte. Um dieser Forderung zu genugen, muI3te eine moglichst strenge Losung des Problems der Druck- stabilitat der Verbundplatte angestrebt werden. Wie im vorliegenden Bericht nachgewiesen wird, gelingt es im AnschluI3 an meine Arbeiten uber die Grundgleichungen der elastischen Stabilitat und ihre Integrations), die strenge Losung des Problems aufzustellen (genaue Formulierung der Randbedingung beim ubergang von einer Schicht zur benachbarten, Berucksichtigung der Druck- vorspannungen auch in der leichteren Schicht usw.) Die Rechnung vird fiir die beiden wichtigsten Falle der Zweistoffbauweise, die zweischichtige und die dreischichtige Platte durchgefuhrt ; sie liefert jeweils eine Beziehung fur den kritischen Wert der Zusammendriickung (Eigenwert) und damit fiir die Knicklast. Die Auswertung bestatigt einwandfrei die Existenz eines fur grol3e Knicklangen geltenden Eulerbereiches des Gesamtquerschnittes. Zur Unterscheidung vom Falle der selbstandigen Knickung oder Beulung der dunnen AuBenschicht (,,erst,er Eulerbereich") wird der erwahnte Bereich als ,,zweiter Eulerbereich" gekennzeichnet.

Zur bequemen Ermittlung der optimalen Knicklast bzw. der giinstigsten Wandstarken wurden besondere Diagramme entwickelt, in welchen ein der Knicklast entsprechender dimensions- loser Kennwert iiber der reziproken Lange aufgetragen ist. Dieser Teil des Berichtes geht wesent- lich iiber die bereits in einem friiheren Bericht') gebrachten Ergebnisse hinaus. Eine im AnschluI3 an jenen Bericht erschienene Arbeit von F 1 ii g g e und M a r g u e r r e6) gibt zur Ermittlung

1) 11. Neuber, Jb. dteoh. Luftfahrtforsch. (1941), 8. I 491; ferner: T e c h Berichte 11 (1944), Nr. 2.

*) Cough-Elam-de Bruyne, J. Roy. Aeron. SOC., April 1940. a) H. Neuber:, Z.angew. Math. Meoh. 23 (1943), 8.321. 4) H. Neuber, Druokstabilitllt der Verbundplatte; Vorbericht (LFA) 1844. 6) Flilgge-Marguerre: Untereuohungen und Mitteilungen, Nr. 1360.

ID 022.

22

2. angew. Math. Mech. 1962 326

der optimalen Knicklast ein Naherungsverfahren an. AnlaBlich eines Gastvortrages, den Herr M a r g u e r r e uber das vorliegende Problem an der TH. Dresden im September 1951 hielt, teilte mir Herr M a r g u e r r e mit, daB eine neue Veroffentlichung dieses Dimensionierungsverfahrens in Frankreich beabsichtigt ist. Jenes Verfahren hat zum Ziel, die Vielzahl der auftretenden Para- meter durch Naherungsbetrachtungen unter Ausnutzung funktionaler Zusammenhange soweit zu verringern, darJ sich eine fur praktische Zwecke geeignete Methode ergibt. Die Grundlage der hierbei benutzten Betrachtungsweise bildet jedoch die von mir bereits im Jahre 1944 aufgestellte strenge Losung des Problems4), insbesondere der exakte funktionale Zusammenhang zwischen der Stauchung und der sogenannten reduzierten Wandstarke (Verhaltnis der n-fachen Wandstarke zur Knickhalbwelle).

Diese Losung, welche in den Jahren 1945 und 1946 weiter vervollkommnet wurde, wird nun- mehr mit der vorliegenden Arbeit veroffentlicht. Dabei sind die verschiedenen Grade der Ideali- sierung klar herausgestellt. Bei der 1. Idealisierung handelt es sich um die Ausnutzung der Tat- sache, daB die Stauchung wesentlich kleiner als 1 ist. Bci der 2. Idealisierung wird die reduzierte Wandstarke der AuBenhaut kleiner als 1 und kleiner als die reduzierte Gesamtwandstarke vor- ausgesetzt. Bei der 3. Idealisierung wird aul3erdem auch die reduzierte Gesamtwandstarke kleiner als 1 angenommen. Die exakten Formeln werden im vorliegenden Bericht innerhalb jedes Ideali- sierungsbereiches explizit aufgestellt. Fiir die zweischichtige und dreischichtige Platte wird der Zusammenhang zwischen Stauchung und reduzierter Wandstarke einerseits, sowie zwischen der Knicklast und dem Verhaltnis von Wandstarke zu Baulange in Diagrammen wiedergegeben. In den Knicklastdiagrammen sind auBerdem die Kurven fur konstantes Baugewicht eingezeichnet, so daB damit bereits eine exakte Optimallosung gefunden werden kann, die fur die praktische An- wendung von grundlegender Bedeutung is t.

N e u b e r , Theorie der Druolcstabilitat der Eandaichplatte I Bd, 32 Nr. .-

2. Die Grundgleichungen des Problemes Als Ausgangsgleichungen des Druckstabilitatsproblemes dienen die G1. (50) der Arbeit des

Verfassers iiber die Grundgleichungen der elastischen Stabilitat3). In kartesischen Koordinaten 2, y, z ohne Massenkraft lauten diese Gleichungen

Hierin ist K,, der Spannungstensor nach der De vektor. Die s-Achse moge entsprechend der auf

I

:formation und V, der elastische Verschiebungs- Bild 1 ersichtlichen Skizze parallel zur Platten- ebene und in Richtung der Druckkrafte liegen, wahrend die y-Achse senkrecht zur Platten- ebene orientiert ist.

Die ersten Ableitungen des Verschie- bungsvektors liefern den Formanderungstensor

welcher durch das H o o k e sche Geselz mit dem Tensor tr8 der bei der Knickdeformation geweckten Spannungen verknupft ist;

I e Bild 1. Bezeiohnnngen be1 der Blld 2. Bezeichnungen be1 t,, = 2G(d,,+d,, ----) . . . (3).

dreischlchtigen Platte der zwelnchichtlgen Platte m-2

Hierbei ist

e = 2 s= 2 d,, . . . . . . . . . . . . t -5,y.z at t . .5,y,z

die Volumdehnung, wahrend

. . . (4)

11 fur r = s 1 0 fur r + s

dem K r o n e c k e r s c k n Symbol enlspricht. Fur schmale, d .h . stabartige Platten gill der ebene Spannungszustand mit t,, = 0. wobei

die Spannungskoniponenten nur von x und y abhangen, wenn von kleinen Zusatzgliedern mit zp abgesehen wird. Aus G1. (3) folgl hier

. . . . . . . . . . . . . . 4 8 = . (5 )

e m - 2

. . . . . . . . . . . . . . . . (6). d I.? -

337 2. angew. a t h . Yech. Nr. 11112 Noo.lDer. 1B52 N e u b e r , Theorie der huckstebilitllt der Sendwichplette I -

Wird die Summe der Dehnungen in der Plattenebene mit e* bezeichnet, d. h. . . . . . . . . . . e+ = 4, i- duu , e = e * + d z t , . (7),

so ergibt sich aus GI. (6) nach Elimination von d z z : e e*

m--2 m - 1 ___ - - . . . . . . . L . . . . . .

Danach lautet das H o o k e sche Gesetz fur die ebenen Spannungskomponenten

Die entsprechend G1. (2) an sich noch auftretenden Schubkomponenten t z r und t,, werden hierbei vernachlassigt .

Fur breite Platten, die hier den eigentlichen Gegenstand der Untersuchung bilden, gilt der ebene Formanderungszustand, bei welchem vorausgesetzt wird, daI3 die dritte Verschiebungs- komponente verschwindet und die Spannungen im ubrigen wieder nur von x und y abhangen. Die Schubspannungen t,, und t y z verschwinden dann exakt, wahrend fur die ebenen Spannungs- komponenten G1. (3) mit e* statt e bestehen bleibt :

. . . (9a).

lXe beiden Formulierungen des Hoo keschen Gesetzes (Gl. (9) bzw. (9a)) konnen bei Einfuhrung einer GroBe c entsprechend der Festsetzung

fur breite Platten (ebener Formanderungszustand), 1 c = -

m bzw.

* 1

c= __ fur Sttibe und schmale Platten (ebener Spannungszustand), m + l

in der gemeinsamen Form

geschrieben werden, die nachstehend weitere Verwendung finden soll. In G1. (1)ist zu beachten, daB Kr8 den Spannungstensor nach der Deformation kennzeichnet.

Da beim praktischen Problem stets nur der Vorspannungstensor vor der Deformation bekannt ist, welcher hier mit T,, gekennzeichnet werden soll, so mu0 noch eine Beziehung zur Ermittlung von K , , eingeschaltet werden. Der exakte Weg wiirde 6, eine eingehende Untersuchung der Vor- deformation erforderlich machen, wobei es auf sehr kleine, kaum mefibare Groljen ankame. Fur praktische Zwecke ist es zu empfehlen, diese Schwierigkeit durch Einschaltung einer physikalisch sinnvollen Annahme zu umgehen, wie es auch in der Literatur (meist unbewuI3t) geschehen ist.

Verf. empfiehlt folgende Beziehung

x r a = T r # + t r a - 2 (d,tT8h+d,tT,t) . . . . . . . . . . . (121, t =z, y,z

welche auf der Tatsache beruht, daB die mit dem Knickvorgang verknupfte Deformation fur ein, die (quasi-starre) Drehung des Materials mitmachendes Koordinatensystem einer Transformation entspricht, welche aus den Ableitungen des Verschiebungsvektors hervorgeht, wenn die Drehungen

. . . . . . . . . . . . . . . (13) or,= - __ - - a7. 2 * (avr as av8)

unberiicksichtigt bleiben, wenn also in der Gleichung

nur das erste Glied der rechten Seite Berucksichtigung findet. Dann setzt sich K,, additiv aus dem urspriinglichen Vorspannungstensor T, ,, dem bei der elastischen Deformation geweckten Tensor t,, und den infolge der Dehnungstransformation hinzukommenden Anteilen von T,, zusammen, und man erhlilt G1. (12).

8 ) Siehe Anm. 9). 22.

Z. ahger. Math. Mech. Bd. 92 Nr. 11,12 Nov.,Der, lgso N e u b e r , Theorie der Druckstabilitiit der Sandwichplette I

-~ 328

Werden die Komponenten des Vorspannungstensors TT8 als von den Koordinaten unab- hlngig vorausgesetzt, d. h.

* (IS),

so ergibt sich durch Einsetzen von G1. (12) in G1. (1) folgende Gleichgewichtsbedingung:

oder

Bei dem hier zu untersuchenden ebenen Problem ist nur uber x, y zu summieren (Drehungen aus der 2, y-Ebene heraus bleiben unberucksichtigt) und der Vorspannungstensor T,, hat die einzige Komponente a

Die Einfuhrung der GroI3e S ist in dieser Form bei der weileren Rechnung vorteilhaft. Die GI. (17) gehen so uber in

T x , = 2 G S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (18).

Aus den C1. (11) ergibt sich

C e * ), t,,= 2 6

Durch Addition der ersten beidep Gleichungen folgt

e * . (21),

so daI3 die Auflosung nach den Dehnungen auf die in anderer Schreibweise bekannlen Beziehungen

2 6 . . . . . . . . . . . . . . t,,+ t , , =

y y - c(hz + t Y Y ) * * * * * (22) av, - t 2 6 - - a Y

a vl? ax 2 G - = tz, - c (tzz + tvv)

fiihrt. Demnach wird

und entsprechend

. . . . . . . . I a a v , a v , - 1 [atxv at, ay 2 ax2 a x a y G ax a Y

+ c--(t,, + t,,) (24).

Nunmehr lassen sich in den GI. (19) alle Verschiebungskomponenten eliminieren, und es folgen

(1 -GAS) - at, 2 + (1- 8)- at, + ( 1 - c ) s ~ -

( l + c S ) - + ( l + S ) - - - ( l - c ) S - - = o , at, Y at, 11 at, z a Y - o 1 (25). ax

a Y ax a Y

. . . . . . . .

Diese Gleichungen stellen die endgiiltigen Gleichgewichtsbedingungen des Problems dar. Zur vollstandigen Behandlung des Problems ist noch eine weitere Gleichung erforderlich,

die sog. Kompatibilitatsbedingung. Sie folgt allein aus den Formanderungsbedingungen und wird z. B. erhalten, wenn die erste der G1. (22) zweimal nach y, die zweite zweimal nach 2 differenziert wird und hiervon die mit 2 multiplizierte und nach x und y differenzierte dritte der Gleichungen (20) subtrahiert wird, und lautet

Hierbei ist A der Laplacesche Operator in der x, y-Ebene:

. . (26).

a 2 a 2

ax a g A +- . . . . . . . . . . . . . . . . (27).

329 2. anger. Math. Meeh. 82 Nr. 11,12 N e u b e r , Theorie der Drucketabilitat der hndwichplstte I

3. Die Integration der Gmdgleichungen Die Grundglejchungen (25) lassen sich durch Einfuhrung einer Spannungsfunktion inte-

grieren. Werden die Spannungskomponenten namlich entsprechend folgendem Ansatz aus einer Spannungsfunktion hergeleitet, so sind die Grundgleichungen identisch erfiillt :

a 2 F a2 F 1. (28). a 2 2

t v v = ( 1 + ~ ) ( 1 - c S ) - - + ( 1 - c ) S ( 1 - . . . . . .

Durch Einsetzen dieser Ausdriicke in die GI. (25) ist die Richtigkeit des Ansatzes ohne weiteres ersichtlich.

Andererseits fuhrt die Kompatibilifatsbedingung (26) durch Einsetzen der Ausdriicke fur die Spannungskomponenten auf die Differentialgleichung der Spannungsfunktion F und damit des Problems. Unter Umgehung einer kurzen Zwischenrechnung ergibt sich

oder mit Einfiihrung der GroBe

' f=$ . . . . . . . . . . . . . . . . (30): 1-8

A ( z + m ) = o . a2F aaF . . . . . . . . . . . . . (31).

Hieraus geht hervor, daB F sich aus zwei Arten harmonischer Funktionen aufbaut, und zwar solchen des $x, y-Systems und solchen des x, (ey)-Systems; d. h. es kann gesetzt werden:

wobei

gilt. Es konnte auch eine Substitution durch komplexe Funktionen vorgenommen werden, was hier jedoch nicht lohnt, da schon einfache Funktionen zur Losung des Problems ausreichen. Es genugt namlich zur Losung bereits der folgende einfache Ansatz, wobei zu beachten ist, da13 fur jede Schicht der Platte eine besondere Spannungsfunktion definiert werden mu13.

F ( ~ , y ) = @ ~ ( x , y ) f @ ~ ( x , e y ) . . . . . . . . . . . ' (31 a),

A@,(z ,y)=O und A@,(x, y)= 0 - (32) . . . . . . . . . .

F u r d ie d icke Sch ich t (Ful l - o d e r S tu t z sch ich t ) :

F u r d ie AuBenschich t (,,Blech", I n d e x 1): P=sin(qx)[AGin(qy)+BGin(eVy)+CQDr ( q y ) + D Q o [ ( e q y ) . . . . (33).

(34). F1= sin ( ~ 4 [A, Gin ( ~ 9 1 ) + B16h (elvyl) + G Q o i ( v y d + D1Qoi(elg,ydl.

Mit Bezug auf GI. (18) ist

S=-= *,, ( I + - :). . . . . . . . . . . . 26 . . (35).

Hierbei stellt E die fur alle Schichten gleich grol3e negative Vordehnung dar. Demnach nimmt auch S fur jede Schicht einen anderen Wert an, sofern die Poissonsche Konstante einen anderen Wert besitzt. Da dieser EinfluB jedoch nicht wesentlich ist und nur die Rechnung erschweren wiirde, sol1 zur Vereinfachung l /m= l/ml und damit o= cl, S=S1, e= el angenommen werden. Die Koordinate y1 wird bei der dreischichtigen Platte (Bild 1) zweckmaI3ig mit y--h/2 festgelegt, wahrend sie bei der zweischichtigen Platte (Bild 2) mit y identisch ist. Die Funktion sin (v s) be- deutet eine sinusformige Durchbiegung der Platte beim Knicken. Wird die Knickhalbwelle mit 2 bezeichnet, so entspricht ql der halben Periode der Sinusfunktion, d. h. es gilt tp=n/Z.

4. Aufstellung der Randbedingungen An der ubergangsstelle (Verbundstelle) von einer Schicht zur benachbarten halten sich die

an der Grenzflache angreifenden Spannungskomponenten das Gleichgewicht. Zugleich ist bei absolutem Haften der Flachen aneinander eine ubereinstimmung der Verschiebungskomponen-

2. anuew. Math. Mech. Bd. 92 Nr. ll,ls Nov.,Dez. 1952 N e u b e r , Theorie der Druckstabilitiit der hndwichplatte I - 330

11. (1 + (1 - 26) S2) (--AGinP + C,) + (1-S2) (-BGin e/?+ Dl ) = 0 , III. (1 + (1 - 2c) 8 2 ) ( A H Gin P-Cc,) + (1 + 8) (1 + (1 - 2c)S) (BH Gin eP-D,) = 0 ,

IV. (1+(1-2c)S’) ( A H ~ o ~ ~ - A , ) + ( l - S ) ( 1 - ( ( r - - ‘ . , c ) S ) e(BHQofeP-B,)=O,

ten zu erwarten. An den freien Oberflachen verschwinden andererseits die Randspannungen. Es gelten daher folgende Randbedingungen :

I . K X u - K:, = 0 , 11. K V V - K;, = 0 ,

An der Verbundstelle : . . . . . . . . (36). I ::’: ;:; I:*] Freie Oberflache der AuBenschicht :

V. K: , = 0 , YI. K i , = O . . . . . . . . . . . . (37). Freie Oberflache der Stutzschicht :

VII. K z l l = O , VIII. K, ,=O . . . . . . . . . . . (38). Bei der dreischichtigen Platte genugt infolge der Symmetrie die Beschrankung auf eine Seite des Systems, so da13 nur eine Auoenschicht betrachtet wird; die G1. (38) treten nicht auf. Ferner sind beim gegensymmetrischen Knickfall die KonstanLen C und D, beim symmetrischen Knick- fall A und B in G1. (33) Null zu setzen. Die restlichen 6 Konstanten sind alsdann aus den sechs Bedingungen ( I bis VI) zu ermitteln. Bei der zweischichtigen Platte sind samtliche Gleichungen zu berucksichtigen und aus ihnen die 8 Konstanten zu bestimmen. Da das System der Bestim- mungsgleichungen in jedem Falle homogen ist, existiert nur dann eine von Null verschiedene Lo- sung, wenn die Determinante verschwindet. Aus dieser Bedingung folgt mithin jeweils der kri- tische Wert von S bzw. E.

Der Rechnungsgang besteht zunachst darin, die in den Randbedingungen auftretenden Spannungs- und Verschiebungskomponenten auf die Spannungsfunkt ion zuruckzufuhren.

Fur K,,, und K , , gilt mit Bezug auf GI. (11). (12) und (18)

K%, = t,, - a,,, T , ~ = (1 - S) t X V ,

a 2 F K, , = (1 -8) [-1 - (1 - 2c) 8 2 1 .~ axay ’

a 2 F a 2 F r i , , ,=( l+S) ( 1 - c S ) - - - - +(1-c) S(1-S)- a x2 a Y 2

K,?( = t,, . . . . . . . . (39). Aus den G1. (28) folgt dann weiter

. . . . . . . (40). 1 Um die in den Randbedingungen I11 und IV auftretenden Verschiebungskomponenten gleichfalls auf die Spannungsfunktion zuruckfuhren zu konnen, ist es erforderlich, nach 2 zu differenzieren (dies ist zulassig, da die Randbedingungen fur einen konstanten y-m‘ert gelten). Mit Bezug auf die GI. (22) und (28) folgt fur die erste Ableitung von V,:

’ (43).

Entsprechend ergibt sich fur die zweite Ableitung von V,:

I. A-A1+e(B-BB, )=O, I I. (1 + (1 - 2 G ) 8 2 ) (C- C,) + ( 1 -82) ( D- 0,) ='o,

111. (1+(1-2c)s~)(CH-cl)+(l+S)(1+(l-2G)S)(DH-D,)=0,

V. A,QorP,+ Ble(SofePl-Cl GinP,--D,e GineP1=O,

1V. ( 1 + (1 -2 C) 8') ( A H - -1) + (1 -8)( 1 - ( 1 - 2~)s) e( BH - B1) = 0,

V I . ( 1 + ( 1 -2c)S2) ( -Al Gin p1 + C, 601 P1) + ( 1 --S2)(- B, Gin ePl + D1W ePl) = 0, VII. AQor2P + Bego 12 eP + C Gin2P + D e Gin2 eP = 0,

, VI 11. (1 + ( 1 - 2 ~ ) s ~ ) ( A Gin2P+ CQor2P) + (1 -S2)(B Gin2 eP+D 6012 eP) = 0

6. Die StrabilitatsbedinguxiS I)ie wcitcre Rechnung besteht in der Auflosung der Gleichungssysteme (43) und (44), bzw.

in der Aufstellung der aus dem Verschwinden der zugehorigen Koeffizientendeterminanten her- vorgehenden Eigenwertgleichungen. Hierbei ist die Einfuhrung folgender Abkurzungen von Vorteil :

1 - 8 2

i+ (1 - 2 4 s2 (1-8) [ 1- (1- 2c)SI

1+(1 -2c )82

= 2 - p ( 1 + 8) E 1 + ( 1 T 2 c ) 1 . . . . . . (45).

= y, bzw.

1 + ( 1 - 2 c ) 5 2

I

, (44).

Bei der d rc i sch ich t igen P l a t t e , die zunachst behandelt werden soll, ergibt sich nach Di- vision der Gleichungen IT, 111, IV und VI durch (1 +(1-2c)S2) folgende Koeffizientendeter- minante :

I

I1

111

I v V

VI

= 0 (46).

,

die Reihen Hierbei sind die Spalten durch die zugehorigen Konstanten gekennzeichnet, wahren entsprechend den Gleichungen mit romischen Zahlen versehen sind. Da die Auflosung der De- terminante auf einen Ausdruck fuhrt, der H bis zur zweiten Potenz enthalt, ist es vorteilhaft, von vornherein die Berucksichligung des Parameters H dadurch zu erledigen, daI3 eine Zerlegung in die drei Falle H = O , H = 1 und H= 03 vorgenommen wird. Wird der Wert der Determinante rnit 9 bezeichnet, so erfullt der Ansatz

6 = (1 - H ) 6, + H 6 , + H ( H - 1) 8' . . . . . . . * . * . (47) die Bedingung, dal3 nur bis zur zweiten Potenz auftritt; zugleich wird

Der Vorteil dieser Zerlegung besteht in der einfachen Berechnung von 8,,, 6, und 82, da der Para- meter H hierbei nicht mehr stort.

N e u b e r , Theorie der Druckstabilitiit der Sandwichphtte I Bd. Nr. Z. 11,12 aagew. Nov.,Dez. Math. Yech. 1952 - 332

Fiir H= 0 folgt ein Zerfall der Delerminante in ein Produkt von zwei Delerminanten:

I 8m =

I 1

( A ) (B) -----i---

QoTP e Qoi eP = eGinPQor eP-YQorP GineP . . . . (50)

-GinP -yGineP

Die Ausrechnung ergibt :

111

IV 4 l l = v

V I

(4 (Bd (GI (01)

0 0 -1 P--2

-1 - P e 0 0

BOfPl eQoTeP1 G M eGineP,

GinP1 wGineP1 goiP1 lu6.0ieP1 I * (51) . . . . .

Nach den Rcchnungsgangcn :

V

VI 8 0 , =

. (55)

(56).

(BT ) (=:I __ e QoT eP1 - P eQoiP1

y Gin& - p e E M 1

e GineP1+ (P - 2) Gin&

Y QoiePl + (P - 2)QoiPl * . . . . (53).

kann auf zwei Reihen reduziert werden, und cs folgt

1

IV

V

\'I

6, = (P + w - 2) '

bzw. nach Ausrechnung

( A *> (B*) (4) (Bl)

QoiP e W e P -1 - e QojP P egoi eP -1 ---iue

GinP Gin& e Gin eP Gin ePl Gorp, ego 1 eP1 G n P QorPl y Gin eP Qof eP1 GinPI y Gin eP,

333 Z. anger. Math. Yeoh. Bd, 82 Nr, lllls Nov.lDez. 1952

Fiir H= co ist GI. (46) zunachst durch H2 zu dividieren, indem die Spalten (A) und (B) je durch H dividiert werden. Dann folgt mit H = 00 ein Zerfall in eine zweireihige und eine vierreihige Determinante :

N e u b e r , Theorie der Druckstebilitiit der Sandwichplatte I -

6, = 620 * @21. . . . . . . . . . . . . . . . . (60), wobei

I11

IV @*o =

und

reduziert sich 1 9 , ~ auf die zweireihige Form

. . (61)

. . (62)

. . (64)

und erhalt den Wert

@21 = 2 ey - 2 ey QoiPl 601 eP1 + (e2 + y2) GinP1 Gin eP1 . . - . . (65).

Im Fa l l e d e r zweischich t igen P l a t te folgt aus dem Gleichungssystem (44) die acht- reihige Koeffizientendeterminante :

I

I1

111

IV

V

VI

1 e 0 0 -1 -e 0 0

0 0 1 v 0 0 -1 -Y

0 0 H (2-p)H 0 0 -1 p-2

H H p e 0 0 -1 -P e 0 0

0 0 0 0 &fP1 eQofeP1 - G h 4 -eGineP1

0 0 0 o -GinP, -yGineP1 QoTP1 yQoieP1

Wieder fiihrt das Auftreten des Parameters H bis zur zweiten'Potenz auf den Ansatz (47), (48). Fiir H=O zerfallt die Determinante in zwei vierreihige, und es wird:

@oo= @m. @ol . . . . . . . . . . . . . . . . . . (67).

Z. angew. Math. Moch. lslD 334 N e u b e r , Theorie der Druckstabilitat der Sandwichplatte I Bd. se Nr.

wobci

I

I1

VII

VIII

90, =

und

111

IV

V

V I

901 =

1 e 0 0

0 0 1 W . . . .

1 e 0 0

0 0 1 W . . . .

. ,

. . . (68)

. . . (69)

wird. Fur am fuhrt der Rechnungsgang (D ) - y ( C ) = (D*) . . . . . . . . . . (70). (B)-e(A) = (B*) 1

auf die zweireihige Form

. . . (71),

wahrend aO1 durch die Operation (4) -Pe(AJ= ( B 3 ( I l l ) + ( p - 2 ) ( C I ) = ( D : ) . . . . . . , (72)

zwrircihig wird : (B3 (D:)

Die Ausrechnung liefert :

&,,, = 2ey(- 1 + Bof2DBof2eP)- (e2 + y') Gin2P Gin2eP . . . . . . (74),

~ ~ l = e ( y + ' L ~ - , u 2 ) f e ( ~ - ~ - ~ y ) ) & o ~ P l Q o i e P I + (e2p + 2 y -py)GinP1GineP1. . (75).

(D)+ (01) = (D*) (76)

Fur H= 1 kann man durch die Rrchnungsgange

( A ) + ( A , ) = (A*) 9 ( B ) + (4 ) = (B*) 9 (C) + (el) = (C') 9

gleichfalls einen Zerfall in zwei vierreihige Determinanten erreichen. Es wird . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6, = 610 a,, . (77)

mit

. . . . . . * (78)

333 Z. anger. &th. Me&. Bd. 32 Nr. ll/le Nor.lDea. 1952 N e u b e r , Theorie der Druckstabilitiit dar Sandwichplstte I

I

I1

I11 191, =

und (4 (Bl) ((71) (01)

-1 -e 0 0

0 0 -1 -Y

0 0 -1 P -2 . . . . . . . . (79).

V I I 9.,, = GoIP1

VIII

eQoi2eP Gin2P e Gin2 eP . . . (81 -e6* GofZP fZgPIGor2P +@Zg@P,QofaeP

-e- Go'QPl Gin 2~ + xgP1 ~ i n 2 ~ + y %g eP1 ~ i n 2 e ~

Qor P 1

y Gin2 eP Go/ 2P Y QoT 2 eP

W P 1

. . . . (82)

I11

IV 611 =

(0:) I - (B:)

0 p + y -2 . . . . . . . . . . . * (86)

e(p-11) 0

Z. anger. Math. Yeoh. s2 Nr. ll/lg Nor./Der. lB52 N e u b e r , Theorie. der Druckstabilitat der Sandwichplatte I

_______ 336

mit der Losung

iiber.

dann folgt fur H = m wieder ein Zerfall in zwei vierreihige Determinanten:

. . . . . . . . . . . . 7911 = @ (p - 1) (2 - p- ?/J) . (87)

Ini F a l l e H = 00 werden in GI. (66) zunachst die Reihen I11 und IV durch Hdividiert;

(B: ) (D:)

v - e 601 eP1 + e 601 p1 - e Gin eP1 + y in p1

VI y Gin eP1 - e Gin P1 y %of eP1- Y QoT P1

6*1 =

= t9z = . 7921 . . . . . . . . . . . . . . (88),

. . . . . . * (95)

wobei

und

wird.

I11

IV

VII

VII I

7920 =

I

I1

v VI

7921 =

- 1 -e 0 0

0 0 -1 --w 601 PI e 601 eP, - Gin P, - e Gin eP1

- Gin P, - y Gin eP1 &of PI Y w eP1

. . . . . * (89)

. . . . . - (90)

Zur Vereinfachung von 7920 dient die Umformung

( B ) - / & @ ( A ) = ( B * ) , ( D ) + ( p - 2 ) ( C ) = (D*) . . . . . . . (91), welche auf die zweireihige Form

337 Z. mgew. Math. Mech. Bd. 82 Nr. 11,12 Nor.,Del. 1g52 Pi R. u b e r , Theorie der Druckatabilitiit des hdwichplatte I -

Der zwcite Faktor stclll dieselbe Funktion dar, die bereits beim gegensymmetrischen Knickfall der drcischnittigen Platte in und 6, auftrat, wahrend der erste Faktor mit der entsprechenden Funktion bei symmetrischer Knickverformung identisch ist (Vertauschung von Gin rnit go[). Dadurch lassen sich die im Endergebnis vorkommenden Funktionen auf die folgenden funf Basisfunktionen reduzieren :

- Q ~ ( P ) = (5 (,ti - 2) - p c ) Gin 2 P Gin 2 eP + p 2 - 2 p - y

Nunmehr laat sich das Stabilitatskriterium auf ubersichtliche 'Weise darstellen. Wird noch der dreischichtigen Platte durch (--*), bei der zweischichtigen durch 4 es dividiert, so kann das Endergebnis in folgender Form geschrieben werden :

+(P (Y - 1) + 2) 601 2 P Q d 2 eP

Stsbilitiitskriterium der druekbesnspruchten Verbundplatte A. D re is cli i c h t ige P1 a t t e mi t ge ge ns y mme t r i s c he r Ve rf o r m u n g :

B. Dre isch ich t ige P l a t t e rnit s y m m e t r i s c h e r Verformung:

C. Zweischich t igc P l a t t e :

Wie erwtihnt, entstelit Fall B aus Fall A durch.Vertauschung von Gin f i mit 601 P und Gin efl rnit Goi efl. Man erkennt leicht aus der Darstellung, daB in den dreiExtremfallen H= 0; 1 ; co stets die gleichen Funktionen namlich @, und !D2, das Endergebnis beherrschen: Fur H= 0 (Stutzstoff tragt allein) rnit dem Argument P, fur H=l (Platte aus einheitlichem Werkstoff) mit dem Argument (p+P,) bzw. (P+,f?J2), fur H = co (AuBenschicht tragt allein) mit dem Argument &/2. Andererseits ist ersichtlich, wie die Stabililalsbedingung der zweischichtigcn Plattc bei Ver-

tauschung der Schichten, d. h. Vertauschung von H rnit - und P rnit 2 in sich selbst uber-

geht, was schon anschauungsmaoig zu fordern ist. Auch diese Tatsache zeigt -ebenso wie andere Kontrollen -, daB die gewonnene Losung in der Tat fur beliebige Schichtdicken gilt.

Eingegangen am 20. November 1951.

1 P H 2

Teil 11 folgt im niichsten Heft dieser Zeitechrift.