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Dynamik

Gymnasium Untere Waid

INHALTSVERZEICHNIS 1

Inhaltsverzei hnis

1 Trägheitssatz (1. Newton-Axiom) 3

2 Masse 6

2.1 Masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2 Di hte (bei Bedarf) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3 Kraft (2. Newton-Axiom: Aktionsprinzip) 8

4 Überlagerungsprinzip 12

4.1 Kraft als Vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4.2 Überlagerungsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

5 Beispiele von Kräften 16

5.1 S hwerkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

5.2 Normalkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

5.3 Reibungskraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

5.3.1 Gleitreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

5.3.2 Haftreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

5.3.3 Rollreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.4 Federkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

6 Reaktionsprinzip (3. Newton-Axiom) 47

6.1 Ein Experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

6.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

INHALTSVERZEICHNIS 2

In der Kinematik haben wir uns mit der Bes hreibung der Bewegung von Objekten

befasst. Ursa hen der Bewegung haben uns ni ht interessiert. Die Dynamik su ht

na h den Zusammenhängen der Kräfte, die auf einen Körper wirken und den Bewe-

gungen, die er ausführt.

Eine Basis hierfür bilden die drei Newtons hen Axiome. Diese Axiome werden

dur h Experimente nahegelegt, sind aber mathematis h ni ht beweisbar. Der engli-

s he Physiker Isaa Newton hat sie in seinem Werk Philosophiae Naturalis Prin ipia

Mathemati a 1687 verö�entli ht.

1 TRÄGHEITSSATZ (1. NEWTON-AXIOM) 3

1 Trägheitssatz (1. Newton-Axiom)

Aristoteles (384-322 v. Chr.) lehrte, dass jeder Körper, auf den keine Kraft wirkt,

mit der Zeit zur Ruhe komme. Diese Ansi ht war fast 2000 Jahre lang Lehrmeinung.

Experiment: Ein auf einer Tis hplatte anges hubstes Bu h kommt bald zur Ruhe.

Besonders s hnell kommt das Bu h zur Ruhe, wenn die Tis hober�ä he rauh ist.

Würde man die Tis hober�ä he feiner s hleifen (mit S hleifpapier), käme das Bu h

später zum Stillstand (weil die Reibung zwis hen Tis h und Bu h abnehmen wür-

de). Würde man die ges hli�ene Tis hplatte zusätzli h mit Oel bestrei hen, käme

das Bu h no h später zum Stillstand. Könnte si h das Bu h auf einem Luftkissen

über den Tis h bewegen (wie ein Luftkissenboot), käme es längere Zeit ni ht zum

Stillstand. Könnte man die Reibung vollständig auss halten, hat unsere Vorstel-

lungskraft kein Mühe mit dem Gedanken, dass das Bu h ewig weitergleiten würde

(bei einem unendli h langen Tis h).

Dur h ähnli he Überlegungen kam Galileo Galilei (1564-1642) zur folgenden Er-

kenntnis, wel he tiefer gründet als obige von Aristoteles:

Trägheitssatz (1. Axiom): Ein Körper, auf

den keine Kraft wirkt, verharrt im Zustand

der Ruhe oder der glei hförmigen Bewegung

längs einer Geraden.

Der Gedanke eines kräftefreien Körpers ist re ht abstrakt, denn kräftefreie Kör-

per gibt es ni ht: Wir werden später im Skript Planetenbewegung und Gravitation

sehen, dass jeder Körper im Universum auf jeden anderen eine Kraft ausübt. Bei

sehr grossen Abständen der beiden betre�enden Körper wird diese Kraft sehr klein

(vers hwindet aber nie). Kräftefreie Körper gibt es also näherungsweise:

Beispiel: Auf einen Kometen, der weit weg vom nä hsten Himmelskörper dur h

das Weltall �iegt, wirken fast keine Kräfte. Also bewegt er si h fast glei hförmig

längs einer Geraden.

Ein Komet

Beispiel 1 Warum spürt der Autofahrer beim Bes hleunigen eine Kraft des Sitzes

auf seinen Rü ken?

Der Fahrer wird bes hleunigt. Also muss

na h dem Trägheitssatz eine Kraft auf ihn

wirken. Diese Kraft übt der Sitz auf ihn aus.


Aufgaben 1: Trägheitssatz

Aufgabe 1 (Autofahrer)

Warum wird ein Autofahrer

a) während des Bremsens zur Winds hutzs heibe hingezogen?

b) beim Dur hfahren einer Kurve na h aussen gedrü kt?

Aufgabe 2 (Eisenbahnwagen)

S hliessen oder ö�nen si h die Türen des Eisenbahnwagens

a) beim Anfahren?

b) beim Bremsen?

Bewegungsri htung

A B

Aufgaben wie Nr.1 und Nr. 2 werde i h an der Prüfung ni ht stellen, da die Ant-

worten s hwierig zu bewerten sind. Die nä hste Aufgabe könnte i h aber stellen.

Aufgabe 3 (Gesteinsbro ken im Weltall)

Ein Gesteinsbro ken ist im Weltall unterwegs, weit weg von allen Himmelkörpern

(wie Sonnen, Planeten, Monden, ...).

a) Wel he Form hat seine Bahn und warum?

b) Zu einem bestimmten Zeitpunkt sei er mit der Ges hwindigkeit v = 100m/sunterwegs. Wie s hnell ist er eine Stunde später unterwegs und warum?


Lösungen 1: Trägheitssatz

Aufgabe 1

a) Das Auto wird langsamer, der Autofahrer wegen des Trägheitssates ni ht,

ausser er wird von Gurten, Sitz, seinen Armen, ... zurü kgehalten.

b) Das Auto bewegt si h ni ht längs einer Geraden, der Fahrer s hon, ausser er

wird von den Gurten, den Türen, seinen Armen, ... daran gehindert, wel he

ihn dann na h innen drü ken. Der Fahrer fühlt si h na h aussen gedrü kt.

Aufgabe 2

a) Beim Anfahren: A ö�net si h, B s hliesst si h.

b) Beim Bremsen: A s hliesst si h, B ö�net si h.

Aufgabe 3

a) Seine Bahn ist eine Gerade. Wegen des Trägheitssates.

b) Seine Ges hwindigkeit ist unverändert v = 100m/s. Wegen des Trägheitssates.

2 MASSE 6

2 Masse

2.1 Masse

Wir messen die Masse von Objekten gewöhnli h mit Waagen. Beispielsweise wiegt

jemand 60 kg. Auf dem Mond würde die Waage bei derselben Person aber nur etwa

10 kg anzeigen (siehe später im Skript Planetenbewegung und Graviation). Wir wol-

len den Begri� der Masse so de�nieren, dass ihre Messung unabhängig vom Messort

im Weltall ist.

Experiment: Ein Wagen wird mit einer Federwaage auf waagre htem Boden ge-

zogen.

Die Federwaage soll eine konstan-

te Dehnung aufweisen, dur h einen

Stri h markiert.

Beoba htung: Unter dem Ein�uss einer konstanten Kraft

1

führt der Wagen eine

glei hmässig bes hleunigte Bewegung aus.

Wir beladen den Wagen jetzt mit einem zweiten, identis hen Gewi hststü k:

Die Federwaage soll die glei he Deh-

nung aufweisen wie im ersten Ver-

su h.

Ist die Wagenmasse im Verglei h zu den Gewi htsstü ken verna hlässigbar klein,

ma ht man folgende

Beoba htung: Ist a die Bes hleunigung mit einem Gewi htsstü k, so misst man

bei zwei Gewi htsstü ken die Bes hleunigung

a

2Mit drei Gewi htsstü ken misst man die Bes hleunigung

a

3Mit einem halben Gewi htsstü k misst man

2aund so weiter (immer den Kehrwert bilden).

Man kann nun theoretis h irgend einen Körper als �Urkilogramm� auswählen (ziem-

li h willkürli h), seine Masse als 1 kg de�nieren und die Masse jedes anderen Körpers

dur h Messen der Bes hleunigung bestimmen. Na h der Länge und der Zeit de�-

nieren wir so die dritte Basisgrösse der Physik, die Masse, und glei hzeitig ihre

Einheit:

1

Mit konstanter Kraft ist gemeint, dass die Federwaage eine konstante Dehnung aufweisen soll.

Den physikalis hen Begri� der Kraft führen wir erst im nä hsten Kapitel ein.

2 MASSE 7

Def: 1 Kilogramm ist die Masse des Platin-

Iridium-Zylinders, der in Paris aufbewahrt

wird.

Formelzei hen:m

Einheit: kg

Beispiel: Das Urkilogramm hat die Massem = 1 kg.Die Masse ist ein Mass für den Widerstand, den der Körper einer bes hleunigenden

Kraft entgegensetzt, ein Mass für seine Trägheit. Man spri ht deshalb au h von der

Trägemasse.

2.2 Di hte (bei Bedarf)

Wer mit dem Begri� der Di hte vertraut ist, kann diesen Abs hnitt überspringen.

Die Di hte eines Körpers gibt an, wieviel Masse, gemessen in kg, in einem Kubik-

meter des Körpers enthalten ist. Beispielsweise ist in einem Volumen von V = 1m3

Wasser die Masse m = 1000 kg enthalten, V = 2m3enthält m = 2000 kg usw. Beim

Wasser ist der Quotient ρ := mV = 1000 kg

1m3 = 2000 kg2m3 = ... = 1000 kg

m3 o�ensi htli h

konstant, d.h. unabhängig vom betra hteten Volumen und heisst die Di hte des

Wassers. Allgemein de�niert man:

Def: Die Di hte eines Körpers ist als Masse

pro Volumen de�niert:

ρ :=m

V

Einheit: [ρ] = 1 kgm3 . ρ (spri h �rho�) ist ein grie his her Bu hstabe.

Bemerkung:DieDi hte ist keine neue Basisgrösse, sondern eine abgeleitete Grösse,

da sie mithilfe der (Basis-)Grösse Masse und der (abgeleiteten) Grösse Volumen

(siehe Skript Kinematik) de�niert wurde.

3 KRAFT (2. NEWTON-AXIOM: AKTIONSPRINZIP) 8

Beispiel 2 (Masse einer Holzkugel)

Holz hat etwa die Di hte ρ = 500 kg/m3. Wel he Masse hat eine Holzkugel mit

Radius r = 0.5m?

Kugelvolumen:

V =4

3πr3 =

4

3π(0.5m)3 = 0.52m3

Masse:

ρ =m

V| aufloesen nach m

m = ρV

= 500kg

m3· 0.52m3

= 261.80 kg

3 Kraft (2. Newton-Axiom: Aktionsprinzip)

Wir haben den Begri� der Kraft no h gar ni ht de�niert (obwohl wir oben einen in-

tuitiven Begri� verwendet haben, um die Masse zu de�nieren). Wir erwarten von ihr

si her die beiden folgenden Eigens haften. Erstens: Je stärker ein Körper bes hleu-

nigt werden soll, desto grösser die aufzuwendende Kraft. Zweitens: Je grösser die

Masse des Körpers, desto grösser die aufzuwendende Kraft (bei fest vorgegebener

Bes hleunigung). Die folgende De�nition erfüllt diese beiden Erwartungen.

Aktionsprinzip (2. Axiom): Bewegt si h ein

Körper der Masse m mit der Bes hleuni-

gung a, so wirkt auf ihn die Kraft

F := ma

Der englis he Physiker Isaa Newton de�nierte die Kraft dur h diese Glei hung.

Isaa Newton (1642-1727)

Einheit: [F ] = 1 kg ms2= 1N (1 Newton).

Zur Verans hauli hung: 1N ist z. B. die Kraft, die einen Körper der Masse

m = 1 kg mit a = 1 ms2 bes hleunigt.


Bemerkungen:

a) Die Kraft ist keine neue Basisgrösse, sondern eine abgeleitete Grösse, da sie

mithilfe der (Basis-)Grösse Masse und der (abgeleiteten) Grösse Bes hleuni-

gung de�niert wurde.

b) Die abgeleitete Einheit kg ms2 der Kraft ist mit relativ viel S hreibaufwand

verbunden. Deshalb, und weil der Kraftbegri� sehr oft gebrau ht wird (und

natürli h zu Ehren Newtons) verwendet man meistens die Einheit N (New-

ton). Bei neuen abgeleiteten Einheiten werden wir no h oft so verfahren.

Beispiel 3 (Wagen ziehen)

Du ziehst einen Wagen der Masse m = 8 kg auf horizontaler, reibungsfreier Unter-

lage, so dass er mit a = 3m/s2 bes hleunigt. Mit wel her Kraft ziehst du?

F = ma = 8 kg · 3ms2

= 24N

Messung von Kräften

Kräfte misst man mit Federwaagen. Mit Bes hleunigungsexperimenten wie im Ab-

s hnitt 2 kann man Federwaagen skalieren (d. h. eine Skala anbringen), indem man

z.B. Körper der Massen 1 kg, 2 kg, 3 kg, ... mit a = 1m/s2 bes hleunigt und für

jedes Newton einen Stri h auf die Federwaage zei hnet.

Eine Federwaage, die bis 300 N skaliert ist.

Da Newton die Kraft mithilfe der Bes hleunigung de�niert hat, könnte man den

fals hen Eindru k erhalten, dass si h ein unter Kraftein�uss stehender Körper zwangs-

läu�g bes hleunigt bewegen müsse. Das ist aber ni ht so: Man kann zwar eine Fe-

derwaage mithilfe eines bes hleunigten Körpers skalieren. Na hdem sie aber einmal

skaliert ist, kann man mit ihr au h an Gegenständen ziehen (z.B. an einer Wand,

Lokomotive, ...), ohne eine Bes hleunigung auszulösen. Au h in diesem Fall zeigt

die Federwaage den Betrag der ausgeübten Kraft an.

Ob ein Körper unter Kraftein�uss bes hleunigt wird oder ni ht, untersu ht man mit

dem Überlagerunsprinzip (siehe nä hstes Kapitel).


Aufgaben 2: De�nition der Kraft

Aufgabe 4 (Handball Abs huss)

Ein Handballer wirft den Ball mit 110 km/h aus dem Stand, indem er ihn auf einem

1.5m langen Weg bes hleunigt.

a) Bere hne die Bes hleunigung des Balls.

b) Mit wel her Kraft bes hleunigt der Handballer den Ball der Masse m = 450 g?

Aufgabe 5 (Handball Pfostens huss)

Der Handball aus obiger Aufgabe tri�t auf den Pfosten des Tors und wird bis zum

Stillstand abgebremst, indem er auf drei Viertel seines Dur hmessers (d = 19 cm)

zusammengedrü kt wird (siehe Abbildung).

a) Bere hne die Bes hleunigung des Balls.

b) Mit wel her Kraft wird der Ball vom Pfosten abgebremst?

Aufgabe 6 (Velo)

Du bes hleunigst mit dem Velo in 5 s aus dem Stillstand auf die Ges hwindigkeit

20 km/h.

a) Bere hne deine Bes hleunigung.

b) Wel he Kraft muss du aufwenden, wenn deine Masse zusammen mit dem Velo

m = 75 kg ist?

Aufgabe 7 (Sprint)

Der Sprinter Usain Bolt legt die ersten 20 m na h dem Starts huss in 2.89 s inklu-

sive Reaktionszeit 0.146 s zurü k.

a) Bere hne seine Bes hleunigung.

b) Wel he Kraft muss er (m = 94 kg) dafür aufbringen?

Aufgabe 8 (Fallende Uhr)

Eine Uhr der Masse m = 150 g fällt aus 1.5m Höhe auf den Boden. Beim Aufprall

wird sie auf einer Stre ke von 0.5mm (infolge vorübergehender Deformation von

Boden und Uhr) zur Ruhe gebra ht.

a) Bere hne ihre Bes hleunigung während des Aufpralls.

b) Wel he Kraft wirkt während des Aufpralls auf die Uhr?


Lösungen 2: De�nition der Kraft

Aufgabe 4

a) v = 1103.6 m/s = 30.56m/s⇒ a = v2

2s = (30.56m/s)2

2·1.5m = 311.21m/s2

b) F = ma = 0.45 kg · 311.21m/s2 = 140.05N

Aufgabe 5

a) Der Bremsweg ist ein Viertel des Balldur hmessers, also

s =19 cm

4= 4.75 cm = 0.0475m.

Damit erhält man seine Bes hleunigung

a =v2

2s=

(30.56m/s)2

2 · 0.0475m = 9827.81m/s2

b) F = ma = 0.45 kg · 9827.81m/s2 = 4422.51N

Aufgabe 6

a) Die errei hte Endges hwindigkeit in m/s ist

v =20

3.6m/s = 5.56m/s2.

Die zugehörige Bes hleunigung ist

a =v

t=

5.56m/s

5 s= 1.11m/s2.

b) F = ma = 75 kg · 1.11m/s2 = 83.33N

Aufgabe 7

a) Die Bes hleunigungsszeit ist t = (2.89−0.146) s = 2.744 s, also seine Bes hleu-nigung

a =2s

t2=

2 · 20m(2.744 s)2

= 5.31m/s2

b) F = ma = 94 kg · 5.31m/s2 = 499.37N

Aufgabe 8

a) Die Uhr errei ht den Boden na h dem freien Fall mit der Ges hwindigkeit

v =√2as =

√

2gs =√2 · 9.81 · 1.5m = 5.42m/s.

Dur h Deformation von Boden und Uhr wird die Uhr auf dem Weg s =0.5mm = 0.0005m von dieser Ges hwindigkeit bis zum Stillstand mit der

Bes hleunigung

a =v2

2s=

(5.42m/s)2

2 · 0.0005m = 29′376.4m/s2

abgebremst.

b) F = ma = 0.15 kg · 10′849.88m/s2 = 4406.46N

4 ÜBERLAGERUNGSPRINZIP 12

4 Überlagerungsprinzip

4.1 Kraft als Vektor

Das Verhalten eines Körpers hängt ni ht nur vom Betrag der auf ihn wirkenden

Kraft, sondern au h von ihrer Ri htung ab. Es ist deshalb oft sehr zwe kmässig,

Kräfte als Vektoren darzustellen.

Beispiel: Curlingstein

~F1 ~F2

Unter der Wirkung der Kraft

~F1 wird si h der Curlingstein

anders bewegen als unter der Kraft

~F2.

Dabei gibt die Ri htung des Vektors die Ri htung der Kraft an und seine Länge den

Betrag der Kraft (mit vereinbartem Massstab, z. B. 1 cm ≡ 1N)

4.2 Überlagerungsprinzip

Oft wirken auf einen Körper mehr als nur eine Kraft. Wie verhält er si h dann?

Überlagerungsprinzip (Zerlegungssatz):

Greifen an einem Körper mehrere Kräfte

~F1, ... ,~Fn an, so kann man sie dur h ihre

Vektorsumme

~F := ~F1 + ... + ~Fn

ersetzen.

~F heisst die Resultierende der

Kräfte

~F1, ... ,~Fn.

Damit ist gemeint: Greifen an einem Körper mehrere Kräfte

~F1, ..., ~Fn an, so ver-

hält si h der Körper genau glei h wie wenn nur die einzige Kraft

~F angreifen würde.

Bemerkung: Das Überlagerungsprinzip wird oft als das 4. Newton-Axiom bezei h-

net. Man kann es ni ht beweisen.

Insbesondere folgt aus dem Überlagerungsprinzip folgende wi htige Erkenntnis:

Im 2. Newton-Axiom F = ma ist F im-

mer der Betrag der Resultierenden aller am

Körper angreifenden Kräfte.


Beispiel 4 (Curling)

Zwei Personen s hieben glei hzeitig eine gewisse Zeit lang an einem Curlingstein

(m = 18.16 kg), die eine Person mit der Kraft F1 = 10N , die andere re htwinklig

dazu mit F2 = 20N , wie in der Zei hnung darstellt.

~F1

~F2

Curlingstein

a) Unter wel hem Winkel zu

~F2 bewegt si h der Stein?

~F1

~F2

~Fα

tanα =F1

F2

=10N

20N=

1

2α = 26.6◦

b) Bere hne die Resultierende des Curlingsteins.

F =√

F 21+ F 2

2=√

(10N)2 + (20N)2 = 22.36N

) Bere hne die Bes hleunigung des Curlingsteins.

a =F

m=

22.36N

18.16 kg= 1.23

m

s2

Beispiel 5 (Seilziehen)

Ziehen beide Parteien glei h stark an einem Seil, d.h. mit der Kraft

~Z bzw. −~Z, soist die Resultierende

~F = ~Z + (−~Z) = ~0

~Z −~ZSeil

Wegen des Überlagerungsprinzips bewegt si h das Seil so, als ob an ihm nur die

einzige Kraft

~F = ~0 angreifen würde, also keine. Deshalb bewegt si h das Seil wegen

des Trägheitssatzes (oder au h wegen des Aktionsprinzips F = ma) ni ht.

Die am Ende des letzten Kapitels 3 aufgeworfene Frage, wann si h ein unter Kraftein-

�uss stehender Körper bes hleunigt bewegt und wann ni ht, können wir nun mithil-

fe des Überlagerungsprinzips beantworten: Er bewegt si h ni ht bes hleunigt, wenn

die Vektorsumme aller an ihm angreifenden Kräfte null ist, andernfalls bes hleu-

nigt. Da si h die am Ende von Kapitel 3 erwähnte Lokomotive ni ht bewegt, wenn

man mit einer Federwaage an ihr zieht, müssen o�ensi htli h no h andere Kräfte

auf sie einwirken: Diese Kräfte bespre hen wir im nä hsten Kapitel. (Es sind die

Gravitationskraft, die Normalkraft und die Reibungskraft).


Aufgaben 3: Überlagerungsprinzip

In allen Aufgaben verna hlässigen wir die Reibungskraft (siehe später) zwis hen Eis

und Curlingstein.

Aufgabe 9 (Curling, re hneris h)

Zwei Personen s hieben mit der Kraft F1 = 2N bzw. mit

der Kraft F2 = 3N eine gewisse Zeit an einem Curling-

stein (m = 18.16 kg), wie in der Zei hnung dargestellt.

Die beiden Kräfte stehen senke ht aufeinander.

a) Bere hne den Betrag der resultierenden Kraft.

b) Unter wel hem Winkel zu


) Bere hne die Bes hleunigung des Steins.

~F1

~F2

Aufgabe 10 (Curling, graphis h)

Drei Personen s hieben mit den Kräften

~F1 bzw.

~F2

bzw.

~F3 eine gewisse Zeit an einem Curlingstein (m =18.16 kg), wie in der Zei hnung dargestellt. Der Kräfte-

massstab ist 1 cm ≡ 10N .

a) Ermittle den Betrag der resultierenden Kraft zei h-

neris h.

b) Unter wel hem Winkel zu


(Miss den Winkel mit dem Transporteur. An der

Prüfung musst du keinen Transporteur dabeihaben.)

) Bere hne die Bes hleunigung des Steins aus dem

Resultat von a).

~F1

~F2

~F3

Aufgabe 11 (Curling, graphis h)

Fünf Personen drü ken mit der Kraft

~F1 bzw.~F2 bzw.

~F3

bzw.

~F4 bzw.

~F5 eine gewisse Zeit auf einen Curlingstein,

wie in der Zei hnung dargestellt.

a) Ermittle die resultierende Kraft zei hneris h.

b) Bewegt si h der Stein glei hförmig oder glei hmäs-

sig bes hleunigt?

~F1~F2

~F3

~F4

~F5


Lösungen 3: Überlagerungsprinzip

Aufgabe 9

~F1

~F2

~F

α

a) Pythagoras: F =√

F 21 + F 2

2 =√

(2N)2 + (3N)2 =√13N2 = 3.61N

b) Trigonometrie: α = tan−1(23 ) = 33.69◦

) Aktionsprinzip: a = Fm = 3.61N

18.16 kg = 0.19N

Aufgabe 10

~F2

~F1

~F3

~F

α

a) Dur h Aneinanderhängen der Vektoren

~F1,

~F2,~F3 erhält man zei hneris h die Resultie-

rende

~F (siehe Zei hnung links). Mit dem

Massstab misst man ihre Länge: a. 2 cm.

Also ist die Resultierende

F = 20N

b) Mit dem Transporteur (=Winkelmesser)

misst man den Winkel

α = 76◦

) Au�ösen des Aktionsprinzips F = ma na h a liefert

a =F

m=

20N

18.16 kg= 1.10m/s2

Bemerkung zu a): Es spielt keine Rolle, in wel her Reihenfolge man die Vektoren

aneinanderhängt: Man erhält immer das glei he

~F (du kannst es ausprobieren).

Aufgabe 11

~F1

~F2

~F3

~F4

~F5

a) Hängt man alle Vektoren aneinander, liegt der

Spitz des letzten Vektors (hier

~F5) beim An-

fang des ersten (hier

~F1), deshalb ist die Re-

sultierende der Nullvektor:

~F = ~0

b) Wegen des Überlagerunsprinzips bewegt si h

der Stein wegen

~F = 0 so, als ob keine Kraft anihm angreifen würde. Wegen des Trägheitssat-

zes bewegt si h der Stein daher glei hförmig.

(Falls er anfangs in Ruhe ist, bleibt er das.)

5 BEISPIELE VON KRÄFTEN 16

5 Beispiele von Kräften

Die meisten Kräfte, mit denen wir uns bis hierhin bes häftigt haben, wurden von

Mens hen ausgeübt. (Ausser in den Aufgaben: Beim Pfostens huss beim Handball

und bei der am Boden aufprallenden Uhr.) In der Natur sind aber die meisten Kräfte

ni ht von Mens hen erzeugt.

5.1 S hwerkraft

Erinnerung (Kinematik): Alle Körper fallen mit der glei hen Bes hleunigung g :=9.81m/s2 zum Boden. Auf einen Körper der Masse m wirkt na h dem Aktions-

prinzip also die Kraft G = mg. Diese Kraft wirkt au h dann, wenn der Körper am

Fallen gehindert wird.

Beispiel: Blumenvase auf Tis h

~G

S hwerpunkt

G = mg

Auf einen Körper der Masse m wirkt die

S hwerkraft G = mg. ~G zeigt zum Erdmit-

telpunkt und greift im S hwerpunkt an.

Synonyme zum Begri� S hwerkraft: Statt S hwerkraft sagt man au h Gravita-

tionskraft, Gewi htskraft oder kurz Gewi ht.

A htung: In der Umgangsspra he sind die Begri�e Gewi ht und Masse Synonyme,

in der Physik ni ht: Die Masse (siehe Kapitel 2) ist ein Mass für die Trägheit eines

Körpers und ist unabhängig vom Ort im Weltall, das Gewi ht ist die Kraft, mit

der die Erde, der Mond, ... diese Masse an si h zieht (siehe später) und hängt vom

Himmelskörper (Erde, Mond, ...) ab. Dazu folgendes Beispiel:

Beispiel 6 (Gewi htsunters hied auf Erde und Mond)

Wel he Kraft zeigt die Federwaage auf der Erde bzw. auf dem Mond an? (Gravita-

tionsbes hleunigung auf dem Mond: gM = 1.64m/s2)

m = 1 kg

~G

Erde: G = mg = 1 kg · 9.81 ms2

= 9.81NMond: G = mg = 1 kg · 1.64 m

s2= 1.64N


5.2 Normalkraft

Wäre die Gewi htskraft die einzige an der Vase angreifenden Kraft im obigen Bei-

spiel, so wäre die Vase ni ht in Ruhe, denn wegen des Trägheitssatzes muss die

Vektorsumme aller angreifenden Kräfte auf ein ruhendes Objekt

~0 sein.

Beispiel 7 (No hmals Blumenvase auf Tis h)

Zei hne alle Kräfte ein, die auf die Blumenvase wirken.

~G

~NNormalkraft

Gewi htskraft

Es ist die Tis hplatte, die diese Normalkraft auf die Vase ausübt. Sie greift an der

unteren Flä he der Vase an, ist glei h lang wie

~G und zeigt in die entgegengesetzte

Ri htung wie

~G. Die Vektorsumme, die Resultierende, ist der Nullvektor:

~G+ ~N = ~0.

Def: Jede Kraft, die senkre ht auf eine Flä-

he wirkt, heisst Normalkraft.

Beispiel 8 (Skifahrerin bergab)

Eine Skifahrerin (m = 60 kg) fährt reibungsfrei einen Hang mit Neigungswinkel

α = 20◦ hinunter.

a) Zei hne alle Kräfte ein, die auf sie wirken.

~G

~N Normalkraft

b) Bere hne den Betrag der Resultierenden.

Wir zerlegen

~G in eine Kraft

~G|| parallel

zum Boden und

~G⊥ senkre ht dazu:


~G

α ~G⊥

~G‖

~N

α

~G⊥ und

~N müssen glei h lang sein. (Die

Skifahrerin versinkt ni ht im Boden und

sie s hwebt ni ht davon.) Deshalb ist die

Resultierende

~F = ~G‖ + ~G⊥ + ~N︸︷︷︸

~0

= ~G‖

Ihr Betrag ist (Trigonometrie):

F = G‖ = G · sinα = mg · sinα= 60 kg · 9.81m

s2· sin 20◦

= 201.31N

) Bere hne die Bes hleunigung der Skifahrerin.

Aktionsprinzip: a = Fm = 201.31N

60 kg = 3.36 ms2

Zum Verständnis von Teil b): Wir haben

~G künstli h in zwei Kräfte

~G⊥,~G‖

zerlegt, deren Summe

~G ist, und dann

~G dur h

~G⊥,~G‖ ersetzt. Das darf man wegen

des Zerlegungssatzes. Genau genommen müsste man dana h

~G aus der Zei hnung

entfernen (weshalb sie nur no h gestri helt gezei hnet ist): Es greifen nun die drei

Kräfte

~G, ~G⊥,~G‖ an der Kiste an.

Der Zwe k dieser Zerlegung ist, die Resultierende auf einen Bli k erkennen zu

können (nur zei hneris h), in diesem Fall

~G‖.


Aufgaben 4: S hwerkraft und Normalkraft

Aufgabe 12 (Skifahrer am Hang bergauf)

Ein Skifahrer (m = 60 kg) fährt reibungsfrei einen Hang mit Neigungswinkel α =10◦ hinauf (ni ht hinunter, wie im Theorie-Beispiel).

a) Zei hne alle Kräfte ein, die auf den Skifahrer wirken.


) Bere hne die Bes hleungiung des Skifahrers.

d) Wie weit kommt der Skifahrer bis er stillsteht, wenn er am Anfang die Ge-

s hwindigkeit v = 54 km/h hat.

Aufgabe 13 (Curlingstein)

Ein Curlingstein (m = 18.16 kg) gleitet reibungsfrei über die Eis�ä he.

a) Zei hne alle Kräfte ein, die auf den Stein wirken.

b) Wie gross ist der Betrag der Resultierenden?

) Wie gross ist die Bes hleunigung des Steins?

d) Wie gross ist seine Ges hwindigkeit na h 7 s, wenn er anfangs die Ges hwin-

digkeit 2m/s hat?

e) Mit wel her Kraft muss man ihn abbremsen, damit er innerhalb eines Meters

zum Stillstand kommt?

Aufgabe 14 (Federwaage auf vers hiedenen Himmelkörpern)

m = 3 kg

Ein Stein (m = 3 kg) hängt wie abgebildet an einer Feder-

waage.

a) Zei hne alle Kräfte ein, die auf den Stein wirken.

b) Wel he Kraft zeigt die Federwaage auf der Erde (gE =9.81m/s2), dem Mars (gM = 3.72m/s2), dem Neptun

(gN = 11.15m/s2) und dem Jupiter (gJ = 24.79m/s2)an?

Aufgabe 15 (Lift)

Eine Liftkabine (m = 1000 kg) in einem Wohnhaus fährt

a) mit konstanter Ges hwindigkeit na h oben.

b) mit der Bes hleunigung a = 0.5m/s2 na h oben (beim Anfahren).

) mit der Bes hleunigung a = 0.5m/s2 na h unten (beim Anfahren).

d) mit der Bes hleunigung a = 9.81m/s2 na h unten (beim Anfahren).

Zei hne für jeden der vier Fälle alle Kräfte ein, die auf die Kabine wirken und

bere hne die Kraft, mit der das Seil an der Kabine ziehen muss.


Lösungen 4: S hwerkraft und Normalkraft

Aufgabe 12

a) Es sind die glei hen Kräfte wie in Beispiel 8:

~G

~N Normalkraft

b) Um die Resultierende zu bere hnen, zerlegen wir die Gewi htskraft

~G wie im

Beispiel 8 (was man wegen des Zerlegungsatzes darf):

~G

α ~G⊥

~G‖

~N

α

~G⊥ und

~N müssen glei h lang sein. (Die Skifahrerin versinkt ni ht im Boden und

sie s hwebt ni ht davon.) Deshalb ist die Resultierende

~F = ~G‖ + ~G⊥ + ~N︸︷︷︸

~0

= ~G‖

Ihr Betrag ist (Trigonometrie):

F = G‖ = G · sinα = mg · sinα

= 60 kg · 9.81 m

s2· sin 10◦

= 102.21N

) Die Bes hleunigung erhält man aus dem Aktionsprinzip F = ma:

a =F

m=

102.21N

60 kg= 1.70m/s2


d) Na h der entspre henden Formel im Kinematik-Skript ist

s =v2

2a=

(15m/s)2

2 · 1.7m/s2= 66.18m.

Aufgabe 13

a)

~N

~G

b) Der Betrag F der Resultierenden ist

F = N −G = 0

) Da die Resultierende Null ist, ist die Bes hleunigung wegen des Trägheitssat-

zes au h Null:

a = 0.

(Statt mit dem Trägheitssatz kann man das au h mit dem Aktionsprinzip

erklären: Setzt man in F = ma für die Kraft F = 0 ein und löst na h a auf,

erhält man a = Fm = 0

m = 0)

d) Wegen a = 0 ist die Ges hwindigkeit v konstant, also ist au h na h 7 s

v = 2m/s

e) Na h der entstpre henden Formel im Kineamatik-Skript muss der Stein mit

der Bes hleunigung

a =v2

2s=

(2m/s)2

2 · 1m = 2m/s2

abgebremst werden, also mit der Kraft

F = ma = 18.16 kg · 2m/s2 = 36.32N

gemäss dem Aktionsprinzip.

Aufgabe 14

a)

~G

~F

F und G sind glei h lang.


b) Erde: GE = mgE = 3 kg · 9.81m/s2 = 29.43N

Mars: GM = mgM = 3 kg · 3.72m/s2 = 11.16N

Neptun: GN = mgN = 3 kg · 11.15m/s2 = 33.45N

Jupiter: GJ = mgJ = 3 kg · 24.79m/s2 = 74.37N

Aufgabe 15

a) Wegen des Trägheitssatzes muss

~Z glei h gross sein wie

~G, also

Z = G = mg = 1000 kg · 9.81 m

s2= 9810N

~G

~Z

b) Damit der Lift na h oben bes hleunigt, muss die Zugkraft

~Z des Seils an

der Kabine grösser sein als

~G (siehe Zei hnung). Die Resultierende ist

F = Z −G.

Für diese gilt bekanntli h (siehe Kap. 4.2) das Aktionsprinzip

F = ma = 1000 kg · 0.5 m

s2= 500N.

Also ist (obige Glei hung na h Z au�ösen und das F einsetzen)

Z = F +G

= F +mg

= 500N + 1000 kg · 9.81m/s2

= 10′310N

~G

~Z

) Damit der Lift na h unten bes hleunigt, muss die Zugkraft

~Z des Seils

an der Kabine kleiner sein als

~G (siehe Zei hnung). Die Resultierende ist

F = G− Z.

Für diese gilt bekanntli h (siehe Kap. 4.2) das Aktionsprinzip

F = ma = 1000 kg · 0.5 m

s2= 500N.

Also ist (obige Glei hung na h Z au�ösen und das F einsetzen)

Z = G− F

= mg − F

= 1000 kg · 9.81m/s2 − 500N

= 9310N

~G

~Z

d) Das Seil darf ni ht mehr an der Kabine ziehen, d. h. es ist Z = 0.

~G


5.3 Reibungskraft

In allen bisherigen Beispielen haben wir Reibungskräfte ausser A ht gelassen. Selbst

beim ges hobenen Culingstein wirken aber Reibungskräfte zwis hen Stein und Eis-

�ä he, sonst würde er ni ht zur Ruhe kommen. Man unters heidet drei Typen von

Reibungskräften: Gleitreibung, Haftreibung, Rollreibung.

5.3.1 Gleitreibung

Aus der Alltagserfahrung wissen wir: Ein über eine Tis hplatte gleitender Holzqua-

der kommt bald zur Ruhe, wenn niemand s hiebt oder zieht. Wegen des Trägheits-

satzes ist damit klar, dass die Gewi hts- und die Normalkraft ni ht die einzigen

Kräfte sein können, die auf das Quader wirken. Tatsä hli h wirkt eine dritte Kraft,

die Gleitreibungskraft

~RG, die von der Unterlage ausgeübt wird:

~G

~N

~RG ~G

~N

~RG

~v ~v

Die Gleitreibungskraft

~RG ist unabhängig

von der Grösse der

Au�age�ä he und der

Ges hwindigkeit.

Die Gleitreibungskraft

~RG wirkt entgegen-

gesetzt zur Bewegungsri htung und greift

an der au�iegenden Flä he des Körpers an.

Experimente zeigen:

Die Gleitreibungskraft ist nahezu unabhängig von (siehe obige Zei hnung)

• Ges hwindigkeit

• Grösse der Au�age�ä heDie Gleitreibungskraft hängt aber ab von

• Material (→ Tabelle)

• Ober�ä henbes ha�enheit (rauh oder glatt)

von Körper und Unterlage. Was die Materialabhängigkeit betri�t, hat man exmeri-

mentell einen Zusammenhang mit der Normalkraft gefunden:


RG = µGN

~N

~RG

Zum Verständnis: In der Zei hnung re hts ist

~RG etwa ein Viertel so gross wie

~N , also ist etwa µG = 0.25. Würde jemand den Klotz auf die Unterlage pressen, so

dass die Normalkraft

~N doppelt so gross würde, so würde si h au h die Reibungs-

kraft

~RG verdoppeln usw. Die Länge der Reibungskraft ist aber immer der glei he

Bru hteil der Länge der Normalkraft, ist hier also immer ein Viertel so gross wie

die Normalkraft. Man sagt, die Reibungskraft sei proportional zur Normalkraft.

Def. µG heisst Gleitreibungszahl. Sie ist ma-

terialabhängig (→ Tabelle).

Material Gleitreibungszahl µG Haftreibungszahl µH

Stahl auf Stahl, tro ken 0.1 ... 0.25 0.15 ... 0.3

Stahl auf Stahl, mit Fett 0.02 ... 0.08 0.1

Glas auf Glas 0.4 0.9

Stahl auf Eis, mit Wasser 0.014 0.03

Gummi auf Asphalt, tro ken 0.8 0.9

Gummi auf Beton, tro ken 0.6 0.65

Tabelle: Einige Gleit- und Haftreibungszahlen (Haftreibung siehe später). U.a. weil µG au h von

der Ober�ä henbes ha�enheit abhängt, unters heiden si h die Literaturwerte teilweise sehr.

Modell zur Entstehung der Gleitreibung:

Mikroskop

Selbst glatteste Flä hen sind mikroskopis h betra htet ziemli h rauh.

A htung: In vielen Fällen ist die Normalkraft glei h gross wie die Gewi htskraft,

oft aber au h ni ht, wie z.B. im folgenden Beispiel oder in Aufgabe 19.


Beispiel 9 (Skifahrerin von Beispiel 8: diesmal mit Reibung)

Eine Skifahrerin (m = 60 kg) fährt einen Hang mit Neigungswinkel α = 20◦ hinun-

ter. Der Gleitreibungskoe�zient sei µG = 0.06.

a) Zei hne alle Kräfte ein, die auf sie wirken.

~G

~N Normalkraft

~RG Gleitreibungskraft


Wir zerlegen

~G in eine Kraft

~G|| parallel

zum Boden und


~G

α ~G⊥

~G‖

~N

~RG

α

Resultierende:

~F = ~G‖ + ~RG + ~N + ~G⊥︸︷︷︸~0

= ~G‖ + ~RG

Betrag von

~F : F = G‖ −RG


G‖ = G · sinα = mg · sinα= 60 kg · 9.81m

s2· sin 20◦

= 201.31N

RG = µGN = µGG⊥ (Da N = G⊥)

= µGG cosα = µGmg cosα (G⊥ = G cosα)

= 0.06 · 60 kg · 9.81ms2

cos 20◦

= 33.19N

Einsetzen:

F = G‖−RG = (201.31−33.19)N = 168.13N

) Wird die Skifahrerin s hneller oder langsamer?

G‖ > RG ⇒ s hneller.

d) Bere hne die Bes hleunigung der Skifahrerin.

Aktionsprinzip: a = Fm= 168.13N

60 kg= 2.80 m

s2

e) Hängt die Bes hleunigung von der Masse der Skifahrerin ab?

a =F

m=

G‖ −RG

m=

mg sinα− µGmg cosα

m

=mg(sinα− µG cosα)

m= g(sinα− µG cosα)

⇒ Nein


Aufgaben 5: Gleitreibung

Aufgabe 16 (Deine Bes hleunigung als Skifahrer am Hang)

Du (m = 60 kg) fährst auf den Skis einen Hang mit Neigungswinkel α = 5◦ hin-

unter. Die Gleitreibungszahl sei µG = 0.1. (Für Interessierte: Die Gleitreibungszahlist bei kaltem S hnee grösser als bei wärmerem.)

a) Zei hne alle Kräfte ein, die auf di h wirken.


) Wirst du langsamer oder s hneller?

d) Bere hne deine Bes hleunigung.

Aufgabe 17 (Bestimmung von µG deiner S hlitts huhe auf Eis)

Du stehst mit den S hlitts huhen auf dem Eisfeld.

a) Wie könntest du (m = 70 kg) die Gleitreibungszahl µG zwis hen deinen Kufen

und dem Eis bestimmen, wenn du eine Federwaage dabei hast?

b) Ein Freund zieht di h mit der Federwaage mit der Kraft F = 13N mit kon-

stanter Ges hwindigkeit über das Eis. Bere hne die Gleitreibungszahl µG.

Aufgabe 18 (Auslaufen auf den S hlitts huhen)

Du ziehst eine Freundin (m = 55 kg) auf den S hlitts huhen, bis sie die Ges hwin-

digkeit v = 10 km/h hat.

a) Wie weit fährt sie, na hdem du sie loslässt, wenn sie si h ni ht bewegt? (µG =0.02)

b) Fährt eine mollige oder eine dünne Freundin weiter? (Den Luftwiderstand

berü ksi htigen wir ni ht.)

Aufgabe 19 (Zubringer-Skilift über gefrorenen See: Bestimmung von µG)

Ein Bügel-Skilift führt über einen zuge-

frorenen See. Das Zugseil des Liftbügels

bildet mit der See�ä he den Winkel α =40◦, während es di h auf den Skis über

den See zieht.

a) Zei hne alle Kräfte ein, die auf di h wirken.

b) Mit einer Federwaage misst du, dass di h (m = 70 kg) der Lift mit der KraftF = 50N zieht (in Seilri htung). Bere hne die Normalkraft, die der Boden

auf deine Skis ausübt.

) Bere hne die Gleitreibungskraft RG, die der Boden auf deine Skis ausübt.

d) Bere hne die Gleitreibungszahl µG.


Lösungen 5: Gleitreibung

Aufgabe 16

a)

~G

~N Normalkraft

~RG Gleitreibungskraft

b) Wir zerlegen

~G in eine Kraft

~G|| parallel zum Boden und


~G

α ~G⊥

~G‖

~N

~RG

α

Resultierende:

~F = ~G‖ + ~RG + ~N + ~G⊥︸︷︷︸

~0

= ~G‖ + ~RG

Betrag von

~F : F = G‖ −RG

G‖ = G · sinα = mg · sinα= 60 kg · 9.81 m

s2· sin 5◦

= 51.30N

RG = µGN = µGG⊥ (Da N = G⊥)

= µGG cosα = µGmg cosα (G⊥ = G cosα)

= 0.1 · 60 kg · 9.81 m

s2cos 5◦

= 58.64N

Einsetzen:

F = RG −G‖ = (58.64− 51.30)N = 7.34N


) RG > G‖ ⇒ langsamer.

d) Aktionsprinzip: a = Fm = 7.34N

60 kg = 0.12 ms2

e) Aus dem Aktionsprinzip F = ma folgt

a =F

m|Teil b) : F = G‖ −RG

=G‖ −RG

m|Teil b) : G‖ = mg sinα, RG = µGmg cosα

=mg sinα− µGmg cosα

m|mg ausklammern

=mg(sinα− µG cosα)

m| kuerzen

= g(sinα− µG cosα)

Der letzte Term enthält m ni ht mehr. ⇒ Nein

Aufgabe 17

a) Du kannst di h von jemandem mit konstanter Ges hwindigkeit mit der Feder-

waage ziehen lassen und die Kraft ablesen. So hast du alle Daten, um µG zu

bere hnen (siehe Teil b)

b) RG = µGN ⇒ µG = RG

N = RG

G = RG

mg = 13N70·9.81m/s2 = 0.019

Aufgabe 18

a) Die Resultierende ist die Gleitreibungskraft

RG = µGN = µGG = µGmg = 0.02 · 55 kg · 9.81m/s2 = 10.79N.

Aus dem Reaktionsprinzip F = ma (mit F = RG) folgt die Bes hleunigung

a =RG

m=

10.79N

55 kg= 0.20m/s2.

Mit der betre�enden Formel aus der Kinematik erhält man den Bremsweg

s =v2

2a=

(10 : 3.6m/s)2

2 · 0.20m/s2= 19.66m

b) Wir führen die glei he Re hnung dur h wie in a), aber allgemeiner, ohne Zah-

len:

Die Resultierende ist die Gleitreibungskraft

RG = µGN = µGG = µGmg

Aus dem Reaktionsprinzip F = ma (mit F = RG) folgt die Bes hleunigung

a =RG

m=

µGmg

m= µGg

Mit der betre�enden Formel aus der Kinematik erhält man den Bremsweg

s =v2

2a=

v2

2µGg.

Dieses Ergebnis hängt ni ht von der Masse ab, also fahren mollige und dünne Freundinnen glei h weit.


Aufgabe 19

a)

~N

~G~RG

~Z

Damit die Grössenverhältnisse der

Kräfte stimmen, sollte man die

Zugkraft

~Z des Seils in Gedan-

ken in eine Komponente

~Z‖ parallel

zum Boden und in eine Komponen-

te

~Z⊥ senkre ht zum Boden zerle-

gen (siehe Zei hnung in b): Wegen

des Trägheitssatzes muss dann

~Z‖

glei h gross sein wie

~RG und

~Z⊥

zusammen mit

~N so gross wie

~G.~N ist also ein biss hen kürzer als

~G.

b)

~N

~G~RG

~Z‖

~Z⊥α

Für die Bere hnung von N erset-

zen wir

~Z dur h die oben bes hrie-

benen Komponenten

~Z‖ und

~Z⊥.

(Das darf man wegen des Zerle-

gungssatzes.) Man sieht, dass

~N

und

~Z⊥ zusammen glei h gross sein

müssen wie

~G. Also: N + Z⊥ = G.Wir lösen die Glei hung na h Nauf:

N = G− Z⊥ |G = mg

= mg − Z⊥ |Z⊥ = Z sinα (sieheZeichnung)

= mg − Z sinα

= 70 kg · 9.81 m

s2− 50N · sin 40◦

= 654.56N

) Wegen des Trägheitssatzes ist RG = Z‖:

RG = Z‖ |Z‖ = Z cosα (sieheZeichnung)

= Z cosα

= 50N · cos 40◦

= 38.30N

d) Aus der de�nierenden Glei hung RG = µGN für den Gleitreibungskoe�zien-

ten µG folgt

µG =RG

N|Resultate von b) und c) einsetzen

=38.30N

654.56N= 0.059


5.3.2 Haftreibung

Experiment: Zieht man an einem Klotz mit kleiner Kraft

~F , so bleibt er in Ruhe.

Grund: Die Unterlage übt eine Reibungskraft

~RH auf den Klotz aus.

~RH

~F

~G

~N

~RH

~F

~G

~N

~RHmax

~Fmax

~G

~N

~RG

~F

~G

~N

Zur Abbildung: Nur die Kiste ganz re hts bewegt si h und es ist RHmax> RG.

Solange si h der Körper ni ht bewegt, spri ht man von einer Haftreibungskraft:

Def.

~RH heisst Haftreibungskraft.

Vergrössert man die Kraft

~F ein wenig, und damit

~RH , bleibt der Körper weiterhin

in Ruhe usw. Es gibt eine maximale Kraft

~RHmax, bei der der Klotz gerade no h in

Ruhe bleibt.

Def.

~RHmax heisst maximale Haftreibungskraft.

Zieht man stärker als mit dem Betrag RHmax, beginnt si h der Klotz mit einem

Ru k zu bewegen und man beoba htet:

RHmax > RG. Maximale Haftreibung ist

grösser als Gleitreibung.

Ähnli h wie bei der Gleitreibung �ndet man mit Experimenten:

Die Haftreibungskraft ist nahezu unabhängig von

• Grösse der Au�age�ä he

Sie hängt aber ab von

• Material (→ Tabelle Kap. 5.3.1)

• Ober�ä henbes ha�enheit


Au h was die Materialabhängigkeit betri�t, ist die maximale Haftreibung analog

zur Gleitreibung (siehe Kapitel 5.3.1) proportional zur Normalkraft:

RHmax = µHN

~N

~RHmax

Def. µH heisst Haftreibungszahl. Sie ist ma-

terialabhängig (→ Tabelle Kap. 5.3.1).

Beispiel 10 (Skis am Hang)

Vreni (m = 70 kg) steht am Hang auf ihren Skis, die gegen das Tal zeigen. Der

Hang hat den Neigungswinkel α = 10◦ und die Haftreibungszahl zwis hen Ski und

S hnee sei µH = 0.1.

a) Bleibt sie stehen, wenn sie keinen Ru k gibt?

b) Hängt die Antwort in a) von Vrenis Masse ab?

) Löse Aufgabe a) ohne Verwendung der Masse.

~G

α ~G⊥

~G‖

~N

~RHmax

α

a)

RHmax = µHN

= µHG⊥= µHG cosα

= µHmg cosα


= 0.1 · 70 kg · 9.81ms2

cos 10◦

= 67.63N

G‖ = G sinα

= mg sinα

= 70 kg · 9.81ms2

sin 10◦

= 119.24N

G‖ > RHmax ⇒ Sie bleibt ni ht stehen.

b) G‖?

> RHmax

mg sinα?

> µHmg cosα | : mg

sinα?

> µH cosα | : cosα

⇒ Nein.

)

sinα

cosα

?

> µH | trigon.Identitaet

tanα?

> µH

tan 10◦?

> 0.1

0.18 > 0.1√

⇒ G‖ > RHmax ⇒ Sie bleibt ni ht stehen.


Modell zur Entstehung der Haftreibung (freiwillig): Das Modell ist das

glei he wie bei der Gleitreibung (Kapitel 5.3.1). Es bleibt zu erklären, warum die

Haftreibungskraft grösser ist als die Gleitreibungskraft: Der betre�ende Körper hat

die Tendenz, si h an die Unterlage zu pressen (z.B. aufgrund seines Gewi hts oder

weil ihn jemand gegen die Unterlage drü kt, usw.). Die Gleitbewegung wirkt die-

ser Tendenz entgegen, da die Unebenheiten wie Rampen wirken, an denen si h der

Körper von der Unterlage wegstösst. Der mittlere Abstand des gleitenden Körpers

von der Unterlage ist deshalb ein biss hen grösser als der des ruhenden. Um einen

Körper in Bewegung zu setzen, muss also zuerst dieser Abstand vergrössert werden

und das brau ht zusätzli h Kraft.


Aufgaben 6: Haftreibung

Aufgabe 20 (Lieferwagen: Möbel auf Lade�ä he)

Du zügelst ein Möbelstü k und stellst es, ohne es anzubinden, auf die Lade�ä he

eines Lieferwagens. Dann fährst du los und bes hleunigst mit 2m/s2. Der Haftrei-bungskoe�zient zwis hen dem Möbelstü k und der Lade�ä he ist µH = 0.2 (was einbiss hen klein ist).

a) Zei hne alle Kräfte ein, die auf das Möbel wirken, falls der Lieferwagen na h

links bes hleunigt.

b) Ruts ht das Möbelstü k na h hinten?

Aufgabe 21 (ABS: Antibo kiersystem

2

)

Zwei Autos fahren auf einer Teststre ke mit der Ges hwindigkeit 100 km/h neben

einander her. Dann ma hen sie glei hzeitig eine Vollbremsung. Das eine Auto ist

mit ABS ausgerüstet, das andere ni ht. Bere hne die Bremswege der beiden Autos.

(µG = 1.05, µH = 1.2)

Aufgabe 22 (Gleit- und Haftreibung)

Eine Kiste (m = 10 kg) steht auf horizontalem Boden (µH = 0.4, µG = 0.3).Bere hne die Reibungskraft zwis hen Kiste und Boden, wenn du die Kiste mit einer

horizontalen Kraft mit dem Betrag

a) F = 0N

b) F = 10N

) F = 38N

d) F = 40N

ziehst.

Verständnisfrage

Aufgabe 23 (Passfahrt im Winter)

Viele Mer edes der C-Klasse haben He kantrieb (=Hinterradantrieb), Volvo haben

hingegen Frontantrieb. Du willst bei s hneebede kter Strasse über den Brünig-Pass

fahren.

a) Wel hes Auto würdest du wählen?

b) Wie würdest du di h ents heiden, wenn du die Wahl zwis hen einem VW

Käfer und einem Mer edes der C-Klasse hättest?

2

In modernen Autos regelt das ABS bei einer Vollbremsung den Bremsvorgang so, dass die Rä-

der ni ht blo kieren. Damit wird errei ht, dass zwis hen Pneus und Strassenbelag Haftreibung und

ni ht Gleitreibung wirkt. Dies verkürzt den Bremsweg, da Haftreibung grösser ist als Gleitreibung.


Lösungen 6

Aufgabe 20

a)

~G

~N

~RH

~v

b) Damit das Möbel ni ht ruts ht, muss es mit der glei hen Bes hleunigung a =2m/s2 bes hleunigen wie der Lieferwagen. Die Resultierende aller auf das

Möbel wirkenden Kräfte ist die Haftreibungskraft RH , die die Lade�ä he auf

das Möbel ausübt (siehe Zei hnung in a)), also ist dies die bes hleunigende

Kraft, d.h. im Aktionsprinzip F = ma ist RH einzusetzen für F :

RH = ma.

RH kann hö hstens auf RHmaxanwa hsen, d.h. das Möbel ruts ht ni ht, wenn

RHmax

?≥ ma |RHmax

= µHN

µHN?≥ ma |N = mg

µHmg?≥ ma | : (mg) (Nach µH aufloesen)

µH

?≥ a

g|Zahlen einsetzen

0.2?≥ 2m/s2

9.81m/s2

0.2?≥ 0.203 | falsch

⇒ Das Möbel ruts ht.

Aufgabe 21

• Auto ohne ABS: Bei diesem Auto blo kieren die Räder, also ist die Gleitreibungs-

kraft RG die Resultierende Kraft auf das Auto. (Gewi htskraft und Normalkraft

heben si h auf.) Im Aktionsprinzip F = ma ist daher RG einzusetzen für F :

RG = ma.

Aufösen na h a liefert die Bes hleungiung

a =RG

m|RG = µGN

=µGN

m|N = G = mg

=µGmg

m|m kuerzen

= µGg |Zahlen einsetzen

= 1.05 · 9.81m/s2

= 10.30m/s2


Diese setzen wir in die entspre hende Formel der Kinematik ein, um den Bremsweg

s zu bere hnen:

s =v2

2a=

(100 : 3.6m/s2)2

2 · 10.30m/s2= 37.46m

• Auto mit ABS: Bei diesem Auto blo kieren die Räder ni ht, also ist die Haft-

reibungskraft RH die Resultierende Kraft auf das Auto. (Gewi htskraft und Nor-

malkraft heben si h auf.) Im Aktionsprinzip F = ma ist daher RH einzusetzen für

F :RH = ma.

Aufösen na h a liefert die Bes hleungiung

a =RH

m|RH = µGN

=µHN

m|N = G = mg

=µHmg

m|m kuerzen

= µHg |Zahlen einsetzen

= 1.2 · 9.81m/s2

= 11.77m/s2

Diese setzen wir in die entspre hende Formel der Kinematik ein, um den Bremsweg

s zu bere hnen:

s =v2

2a=

(100 : 3.6m/s2)2

2 · 11.77m/s2= 32.77m

Aufgabe 22

Die maximale Haftreibung ist

RHmax= µHN |N = G = mg

= µHmg |Zahlen einsetzen

= 0.4 · 10 kg · 9.81m/s2

= 39.24N

a) F = 0N ⇒ Es wirkt keine Reibungskraft.

b) 10N < 39.24N ⇒ Die Kiste bewegt si h ni ht. Wegen des Trägheitssatzes ist

deshalb RH = 10N .

) 30N < 39.24N ⇒ Die Kiste bewegt si h ni ht. Wegen des Trägheitssatzes ist

deshalb RH = 30N .

d) 40N > 39.24N ⇒ Die Kiste bewegt si h und deshalb wirkt Gleitreibung.

Also

RG = µGN

= µGmg

= 0.3 · 10 kg · 9, 81m/s2

= 29.43N

(Zum Verständnis: Die Kiste bewegt si h in d) bes hleunigt, obwohl sie mit

der kleineren Kraft gezogen wird als in der Situation in ), in der die Kiste

stillsteht!)


Aufgabe 23

a) Sowohl beim Mer edes als au h beim Volvo liegt der Motor vorne (unter der

Motorhaube, etwa auf der Höhe der Vorderräder), wel her sehr viel Masse hat. Die

Normalkraft auf die Vorderräder ist daher deutli h grösser als die Normalkraft auf

die Hinterräder und deshalb wegen RHmax= µHN au h die maximale Haftreibungs-

kraft. Wer es no h genauer wissen will:

~RH

~Nvorne

~Nhinten

~G⊥

~G‖

Volvo: Die Normalkraft auf das ange-

briebene Vorderrad ist gross und daher

au h die Haftreibungskraft

~RH , wel he

deshalb bei Bes hleunigungsbedarf grösser

werden kann als die Parallelkomponente

~G‖

der Gewi htskraft, wel he den Volvo na h

hinten zieht.

(Zur Resultierenden: Es gilt Nvorne +Nhinten = G⊥, d.h. die Resultierende auf

den Volvo ist RH − G‖. Sie zeigt na h vor-

ne.)

~RH

~Nvorne

~Nhinten

~G⊥

~G‖

Mer edes: Die Normalkraft auf das ange-

briebene Hinterad ist klein und daher au h

die Haftreibungskraft

~RH , wel he deshalb

bei Bes hleunigungsbedarf ni ht so gross

werden kann wie die Parallelkomponente

~G‖ der Gewi htskraft, wel he den Mer edes

na h hinten zieht.

(Zur Resultierenden: Es gilt Nvorne +Nhinten = G⊥, d.h. ist die Resultierende auf

den Mer edes ist G‖ − RH . Sie zeigt na h

hinten.)

b) Der VW Käfer hat He kantrieb und der Motor liegt hinten, also ist er dem Mer-

edes vorzuziehen.

Bemerkung zur Aufgabe 23: Die Rollreibungskraft, die im nä hsten Kapitel

bespro hen wird, haben wir hier ni ht berü ksi htigt.


5.3.3 Rollreibung

Au h wenn ein runder Körper (Rad, Kugel, Zylinder ..) auf einer ebenen Unterlage

rollt, treten Reibungskräfte auf. Analog zu den anderen Reibungstypen gilt:

RR = µRN

~N

~RR

Die Erfahrung lehrt: Rollreibung ist wesentli h kleiner als Gleitreibung. Insgesamt

ist also:

µR < µG < µH

Überbli k Reibungstärken

Keine Tabelle zu µR : Die Rollreibungszahl µR hängt ebenfalls von Material und

Ober�ä henbes ha�enheit ab. Im Unters hied zur Gleit- und Haftreibung hängt sie

aber no h von einem weiteren Faktor ab: vom Radius des Rollkörpers. (Bekanntli h

fährt es si h mit einem Velo mit grossen Rädern lei hter als mit kleinen.) Deshalb

ist hier keine Tabelle mit µR-Werten eingefügt.

Beispiel 11 (Wagen ziehen)

Du ziehst einen Wagen (m = 70 kg) auf horizontaler Strasse (µR = 0.1) mit derKraft Z = 100N in horizontaler Ri htung. Wie gross ist die Bes hleunigung des

Wagens?

~Z

~RR ~G

~N

Rollreibungskraft:

RR = µRN = µG = µmg

= 0.1 · 70 kg · 10ms2

= 70N


Resultierende:

F = Z −RR

= 100N − 70N

= 30N

Bes hleunigung:

a =F

m=

30N

70 kg= 0.43

m

s2

Modell zur Entstehung der Rollreibung:

Erstens: Beim Abrollen werden Roll-

körper und Unterlage ständig defor-

miert. (Ein biss hen vereinfa ht ge-

sagt, fährt der Rollkörper ständig

einen Hang bergauf, der von der vor-

deren Hälfte der Berührungs�ä he ge-

bildet wird.) Dazu ist eine Kraft nö-

tig, um den Körper in Bewegung zu

halten.

Zweitens: Zwis hen den Ober�ä henmolekülen der Unterlage und des Rollkörpers

wirken (elektris he) Anziehungskräfte. Damit si h der Körper vorwärts bewegen

kann, muss er si h von der hinteren Hälfte der Au�age�ä he lösen und dort diese

zwis henmolekularen Kräfte überwinden.


Aufgaben: Rollreibung

Aufgabe 24 (Vorteil Rollreibung)

Eine Holzkiste (mK = 30 kg) wird einmal auf einem Wagen (µR = 0.02,mW =10 kg) transportiert und einmal direkt über den Boden gezogen (µG = 0.3). Wel he

Masse m dürfte die Kiste haben, damit man si h beim Ziehen mittels Wagen ni ht

mehr anstrengen muss als beim direkten Ziehen über den Boden (in beiden Fällen

mit konsanter Ges hwindigkeit)?

Verständnisfrage

Aufgabe 25 (Velo: Hart oder wei h pumpen?)

a) Ist es deiner Erfahrung gemäss mit hart gepumpten oder mit nur wei h ge-

pumpten Pneus anstrengender beim Velofahren?

b) Su he eine Erklärung mithilfe des Models für die Rollreibung im Kapitel 5.3.3.


Lösungen: Rollreibung

Aufgabe 24

Die Gleitreibungskraft beim über den Boden s hleifen der Kiste ist

RG = µGN = µGG = µGmKg.

Die Rollreibungskraft beim über den Boden Rollen mit der Kiste auf dem Wagen

ist

RR = µRN = µRG = µR(m+mW )g.

(Dabei haben wir in der ersten Glei hungskette die glei hen Symbole N , G benützt

wie in der zweiten, obwohl sie für unters hiedli he Kräfte stehen.)

Bei glei her Anstrengung sind diese Reibungskräfte glei h gross:

RR = RG | obige Gleichungen einsetzen

µGmKg = µR(m+mW )g

Diese Glei hung müssen wir na h m au�ösen. Wir dividieren als Erstes dur h g:

µGmK = µR(m+mW ) | ausmultiplizieren

µGmK = µRm+ µRmW | − µRmW

µGmK − µRmW = µRm | : µR

µGmK − µRmW

µR= m |Zahlen einsetzen

m =0.3 · 30 kg − 0.02 · 10 kg

0.02= 440 kg

Aufgabe 25

a) Mit wei h gepumpten Pneus.

b) Beim Abrollen auf dem Boden wird der Pneu ständig deformiert, der wei-

he Pneu stärker als der harte. Diese �Deformationsarbeit� muss der Velo-

fahrer verri hten. (Den pyhsikalis hen Begri� der Arbeit bespre hen wir erst

im Skript Energie, die Begründung sollte aber intuitiv einleu hten.) Oder mit

dem vereinfa hten Bild des Modells: Mit wei hem Pneu fährt man am steileren

�Hang� als mit hartem.


5.4 Federkraft

Betra htet man eine bestimmte Feder, stellt man experimentell fest: Um die um sEinheiten gedehnte Feder gespannt zu halten, ist die Kraft F = ks nötig, wobei keine feste Zahl ist und von Feder zu Feder variieren kann. Sie heisst Federkonstante.

F

s s

~F

F

entspannte Feder

gespannte Feder

Man sagt, F sei proportional zu s:

Hooks hes Gesetz: Die Federkraft F ist pro-

portional zur Auslenkung s:

F = ks

k heisstFederkontante.

Einheit: [k] = 1 Nm. Je härter die Feder, desto grösser k.

Verbindung zum Mathematikunterri ht: Lineare Funktionen haben die Form

y = mx + q. F = ks ist also eine lineare Funktion mit q = 0 (die jeder Dehnung

s die nötige Kraft F zuordnet), d.h der Graph ist eine Gerade und verläuft dur h

den Ursprung. (Lineare Funktionen mit q = 0 heissen au h Proportionen.)

Beispiel 12 (Feder spannen)

Du willst eine Feder dehnen (k = 800N/m) und weisst, dass

du maximal mit der Kraft F = 200N ziehen kannst pro

Hand. Wie weit kannst du die Feder dehnen?

F = ks ⇒s =

F

k=

200N

800N/m= 0.25m


Aufgaben 7: Federkraft

Aufgabe 26 (Gewi ht an hängender Feder)

An eine Feder mit der Federkonstanten k = 10N/m wird die Masse m = 60 ggehängt. Um wie viel wird die Feder gedehnt

a) auf der Erde?

b) auf dem Mond? (gM = 1.64m/s2)


Hängt man an eine Feder 50 g, so wird sie um 5 cm länger.

a) Um wie viel ist die Feder insgesamt gedehnt, wenn sie mit 80 g belastet ist?

b) Wie viele Gramm hängen an der Feder, wenn sie um 3 cm gedehnt ist?


Eine Feder ist mit 50 g belastet. Hängt man weiter 20 g daran, dehnt sie si h um

weitere 3 cm. Bere hne die Federkonstante.


Lösungen 7: Federkraft

Aufgabe 26

a) Die an der Feder ziehende Gewi htskraft G hängt mit der Auslenkung s na hdem Hooks hen Gesetz gemäss

G = ks

zusammen. Au�ösen na h s:

s =G

k|G = mg

=mg

k

=0.06 kg · 9.81m/s2

10N/m

= 0.0589m

≈ 6 cm

b) Analog zu a) ist

s =G

k|G = mgM

=mgMk

=0.06 kg · 1.64m/s2

10N/m

= 0.0098m

≈ 1 cm

Aufgabe 27

a) Wir bere hnen zuerst die Federkonstante. Na h dem Hooks hen Gesetz ist

G = ks. Au�ösen na h k:

k =G

s|G = mg

=mg

s

=0.05 kg · 9.81m/s2

0.05m= 9.81N/m.

Wieder aus G = ks erhält man dur h Au�ösen na h s und Einsetzen des

gerade bere hneten k:

s =G

k|G = mg

=mg

k

=0.08 kg · 9.81m/s2

9.81N/m

= 0.08m

= 8 cm


b) Setzt man in G = ks für die Gewi htskraft G = mg ein, erhält man

mg = ks.

Au�ösen na h m:

m =ks

g

=9.81N/m · 0.03m

9.81m/s2

= 0.03 kg

= 30 g

Aufgabe 28

Wir setzen ins Hookss he Gesetz G = ks wieder G = mg ein und erhalten die

Glei hung

mg = ks.

Für die Belastung mit 50 g = 0.05 kg gilt die Glei hung

0.05 · 9.81 = ks.

Leider sind k, s beide unbekannt. Da wir es also mit zwei Unbekannten zu tun

haben, müssen wir ein zweite Glei hung �nden: Für die Belastung mit weiteren

20 g = 0.02 kg, also mit 0.07 kg gilt die Glei hung

0.07 · 9.81 = k(s+ 0.03).

(Die Feder wird jetzt ni ht um s, sondern um s+0.03 Meter gedehnt.) Wir müssen

also das (ni ht lineare) Glei hungssystem

∣∣∣∣

0.05 · 9.81 = ks0.07 · 9.81 = k(s+ 0.03)

∣∣∣∣

in den beiden Variablen k, s lösen. Dazu darfst du den Tas henre hner verwenden,

wenn du di h auskennst. Wir lösen es hier ohne Tas henre hner. Dazu formen wir

die re hte Seite der zweiten Glei hung zuerst um, indem wir k ausmultiplizieren.

Das Glei hungssystem wird dann

∣∣∣∣

0.05 · 9.81 = ks0.07 · 9.81 = ks+ k · 0.03)

∣∣∣∣

Wir subtrahieren die erste von der zweiten Glei hung (Additionsverfahren) und

erhalten

0.02 · 9.81 = 0.03 · k.Au�ösen na h k liefert s hliessli h

k = 6.54N/m

6 REAKTIONSPRINZIP (3. NEWTON-AXIOM) 47

6 Reaktionsprinzip (3. Newton-Axiom)

Für das physikalis he Verständnis ist au h das 3. Newtons he Axiom von grundle-

gender Bedeutung.

6.1 Ein Experiment

~F −~FDie beiden Rollbrettfahrer haben die glei-

hen Massen und stehen zunä hst still. Zieht

der Fahrer re hts mit der Kraft

~F (via Seil)

am Fahrer links, so fahren sie aufeinander

zu und tre�en si h in der Mitte.

Der Fahrer links übt o�ensi htli h, au h wenn er ni ht �aktiv� zieht, die entgegen-

gesetzt glei h grosse Kraft − ~F (via Seil) auf den re hten Fahrer aus.

Unabhängig von der Natur der Kräfte (Seilkraft, Reibungskraft, Gravitationskraft,

...) fand Isaa Newton das folgende Gesetz:

Raktionsprinzip (3. Newton-Axiom): Übt

ein Körper auf einen zweiten Körper die

Kraft

~F aus, so übt der zweite Körper die

entgegengesetzt glei h grosse Kraft −~F auf

den ersten Körper aus.

Man kann dieses Gesetz kurz dur h den lateinis hen Satz �a tio est rea tio� ha-

rakterisieren.

6.2 Beispiele

Beispiel (Normalkraft)

~N

− ~N

Die Kiste fällt ni ht na h unten, weil der Bo-

den die Kiste (an ihrer Au�age�ä he) mit

der Normalkraft

~N na h oben drü kt. We-

gen des Reaktionsprinzips drü kt die Kiste

mit der entgegengesetzten Kraft− ~N auf den

Boden zurü k.

Beispiel (Gewi htskraft)

−~G

~G Die Erde zieht einen Apfel mit der Kraft

~G an. Wegen des Reaktionsprinzips zieht

au h der Apfel die Erde mit der Kraft − ~Gan.


Beispiel (Fortbewegung dur h Rü kstosskräfte: Rakete)

~N − ~N Vreneli wirft über das He k Steine aus dem

Boot. Dabei übt ihre Hand eine Kraft

~N(Normalkraft) auf den betre�enden Stein

aus. Wegen des Reaktionsprinzips wirkt der

Stein mit der Kraft − ~N auf ihre Hand. − ~Ns hiebt Vreneli zusammen mit dem Boot

voran.

Freiwillig: Na h dem glei hen Rü kstossprinzip funktioniert der Raketenantrieb.

Raketen stossen si h an ihren eigenen Verbrennungsgasen ab. So können sie si h

au h im Luftleeren Weltall fortbewegen, was gewöhnli he Flugzeuge ni ht können

(da sie si h an ihrer Umgebungsluft abstossen, die es im Weltall ni ht gibt).

Beispiel (Fortbewegung dur h Reibungskräfte: Fussgänger)

~RH

−~RH

Übt ein Fussgänger die Haftreibungskraft

~RH auf den Boden aus, übt der Boden we-

gen des Reaktionsprinzips die Haftreibungs-

kraft − ~RH auf den Fussgänger aus, wel he

ihn vorwärts s hiebt.

Beispiel (Fortbewegung dur h Reibungskräfte: Auto)

~RH

−~RH

Der Automotor bringt das Rad zum Drehen.

Das Rad übt deshalb eine Haftreibungskraft

~RH auf den Boden aus. Wegen des Reakti-

onsprinzips übt der Boden die Haftreibungs-

kraft − ~RH auf das Rad aus. − ~RH s hiebt

das Auto vorwärts.


Beispiel 13 (Sprungturm im S hwimmbad)

Eine Frau der Masse 100 kg springt vom einem Springturm ins Wasser. Sie fällt

na h unten, weil sie von der Erde angezogen wird.

a) Mit wel her Kraft wird sie von der Erde angezogen?

b) Na h dem Reaktionsprinzip muss au h die Erde von der Frau angezogen wer-

den. Wie gross ist diese Kraft?

) Mit wel her Bes hleunigung fällt die Erde auf die Frau zu? (Masse Erde: M =6 · 1024 kg)

d) Wie würdest du die kleine Bes hleunigung in ) in Worten begründen?

a) G = mg = 100 kg · 10 ms2= 1000N

b) G = 1000N

) Aktionsprinzip: F = ma. ⇒

a =F

m

=G

M

=1000N

6 · 1024 kg= 1.6 · 10−22

m

s2

d) Auf die Erde wirkt zwar die glei h grosse

Kraft wie auf die Frau. Die Erde hat aber

eine sehr viel grössere Masse und ist deshalb

sehr viel Träger als die Frau.


Aufgaben 8: Reaktionsprinzip

Aufgabe 29 (Sprungturm im S hwimmbad)

Eine 100 kg s hwere Frau springt im S hwimmbad vom 10m-Turm.

a) Mit wel her Bes hleunigung fällt die Erde der Frau entgegen während ihres

Sprungs? (Masse Erde: M = 6 · 1024 kg)

b) Bere hne die Fallzeit der Frau.

) Wie viele mm �iegt die Erde der Frau entgegen, bis sie ins Wasser eintau ht?

Aufgabe 30 (Gewi htskraft)

Fritz steht auf der Waage und sie zeigt 60 kg an.

a) Wie gross ist sein Gewi ht?

b) Mit wel her Kraft zieht er die Erde an si h?

Aufgabe 31 (Gewi ht anheben)

Vreni (m = 55 kg) hat unendli h viel

Kraft und will eine Kiste (m = 35 kg)anheben, indem sie horizontal am Seil

zieht (siehe Zei hnung). Der Haftrei-

bungskoe�zient zwis hen ihren S hu-

hen und dem Boden ist µH = 0.6.

a) Zei hne alle Kräfte ein, die auf die Kiste und auf Vreni wirken würden, wenn

sie die Kiste mit konstanter Ges hwindigkeit na h oben ziehen würde.

b) S ha�t es Vreni überhaupt?

Verständnisfragen

Aufgabe 32 (No hmals das Auto vom obigen Beispiel)

Das Auto habe Vorderradantrieb und sei am

Bes hleunigen. Zei hne alle Reibungskräfte

ein, die zwis hen dem Vorderrad und der

Strasse bzw. zwis hen dem Hinterrad und

der Strasse wirken.

Berü ksi htige dabei bei der Wahl der Kräfteverhältnisse, dass der s hwere Motor

vorne liegt im Auto.

Aufgabe 33 (Frontalkollision Lastwagen mit Sportwagen)

Ein Lastwagen kollidiert frontal mit einem kleinen Sportwagen.

a) Wel hes Fahrzeug erfährt die grössere Aufprallkraft?

b) Wel hes Fahrzeug erfährt die grössere Bes hleunigung?

) Wer wird mit der grösseren Kraft abgebremst, der Lastwagen hau�eur oder

Sportwagenlenker? (Nimm an, dass die Fahrzeuglenker die glei he Masse ha-

ben und die glei he Bes hleunigung erfahren wie ihr Fahrzeug.)

Aufgabe 34 (Sumpf)

Warum kann man si h ni ht an den eigenen Haaren aus dem Sumpf ziehen?


Aufgabe 35 (S hlitten ziehen)

Du ziehst einen S hlitten aus dem Stillstand, der dadur h glei hmässig bes hleunigt

werde.

~Z−~Z

a) Die Kraft

~Z, die du auf den S hlitten ausübst hat na h dem Reaktionsprinzip

die Reaktionskraft −~Z zur Folge (siehe Zei hnung). Die Vektorsumme dieser

beiden Kräfte ist o�ensi htli h Null. Müsste der S hlitten ni ht stehen bleiben

gemäss dem Trägheitssatz?

b) Zei hne alle Kräfte ein, die auf di h wirken. Dabei sollen die Angri�spunkte

stimmen und die Längenverhältnisse realistis h sein.

) Drü ke deine Bes hleunigung dur h die in b) eingezei hneten Kräfte aus (und

natürli h dur h deine Masse m).


Lösungen: Reaktionsprinzip

Aufgabe 29

a) Aus dem Aktionsprinzip G = Ma mit der Gewi htskraft G der Frau und

Erdmasse M folgt

a =G

M|G = mg (m = Masse der Frau)

=mg

M

=100 kg · 9.81m/s2

6 · 1024 kg= 1.635 · 10−22 m/s2

b) Mit der betre�enden Formel

t =

√

2s

a

der Kinematik erhält man mit der Bes hleunigung a = g = 9.81m/s2 und der

Fallhöhe s = 10m

t =

√

2s

a=

√

2 · 10m9.81 m

s2= 1.43 s

) Wieder aus der entspre henden Formel

s =a

2t2

der Kinematik folgt mit der in a) bere hneten Bes hleunigung a und der in

b) bere hneten Fallzeit t

s =a

2t2 =

1.635 · 10−22 m/s2

2· (1.42 s)2 = 1.67 · 10−22m = 1.67 · 10−19mm

(Dieser Weg ist etwa 100'000 mal kleiner als der Dur hmesser des Kerns eines

Wassersto�atoms.)

Aufgabe 30

a) G = mg = 60 kg · 9.81m/s2 = 588.6N

b) Na h dem Reaktionsprinzip ebenfalls mit G = 588.6N .


Aufgabe 31

a) Damit si h die Kiste mit konstanter Ges hwin-

digkeit na h oben bewegt, muss die Zugkraft

~Zdes Seils (na h oben) glei h gross sein wie die

na h unten ziehende Gewi htskraft

~GK der Ki-

ste (wegen des Trägheitssatzes). Vreni muss al-

so mit einer glei h grossen Kraft (sie ist ni ht

eingezei hnet) am Seil na h links ziehen. (Ihre

Kraft wird an der Seilrolle umgelenkt und er-

zeugt so

~Z an der Kiste.) Wegen des Reaktions-

prinzips zieht das Seil mit der entgegengesetzt

glei h grossen Kraft

~F an Vreni na h re hts. Damit

Vreni ni ht na h re hts ruts ht, muss der Boden

auf ihren S huhsohlen die entgegengesetzt glei h

grosse Reibungskraft

~RG = − ~F na h links aus-

üben (Trägheitssatz). Und s hliessli h müssen die

Normalkraft

~N und die Gewi htskraft

~G auf Vreni

glei h gross sein.

~Z

~GK

~N

~RH

~F

~G

b) Vreni brau ht minimale Kraft, wenn sie den Stein mit konstanter Ges hwin-

digkeit na h oben zieht. (Eine Bes hleunigung brau ht zusätzli h Kraft.) Es gelten

also die in a) eingezei hneten Kräfte. Da die Zugkraft von Vreni auf das Seil (sie

ist ni ht eingezei hnet) immer glei h gross ist wie die Haftreibungskraft des Bodens

auf Vrenis S huhsohlen, kann sie hö hstens mit der maximalen Haftreibungskraft

ziehen:

F = RHmax

= µHN

= µHG

= µHmg

= 0.6 · 55 kg · 9.81m/s2

= 323.73N

Diese Kraft ist kleiner als die Gewi htskraft

G = mg = 35 kg · 9.81m/s2 = 343.35 kg

der Kiste. ⇒ Sie s ha�t es ni ht

Aufgabe 32

~RH

−~RH~RR

−~RR

~RR

−~RR

Erklärung: Zum Vorderrad: Der Motor

bringt das Vorderrad zum Drehen. Da-

dur h übt es die Haftreibungskraft

~RH auf

den Boden aus und dieser na h dem Re-

aktionsprinzip die Haftreibungskraft − ~RH

auf das Vorderrad. Sobald das Auto in

Bewegung ist, wirkt die Rollreibung

~RR

auf das Vorderrad, entgegengesetzt zur

Bewegungsri htung, und deshalb übt das

Rad, wegen des Reaktionsprinzips, die

Rollreibungskraft − ~RR auf den Boden aus.

(Die Minuszei hen sind bei den Kräftepaa-

ren wie immer vertaus hbar; siehe Bemer-

kung unten.)


Zum Hinterrad: Hier gilt für die Rollreibung das glei he wie bei den Vorderrädern:

Der Boden übt auf das Hinterrad die Rollreibungskraft

~RR aus und als Reaktion

das Rad auf den Boden die Rollreibungskraft − ~RR.

Zu den Kräfteverhältnissen: Erstens: Da der Automotor vorne montiert ist, ist die

Normalkraft

~N auf die Vorderräder grösser als auf die Hinterräder und deshalb we-

gen RR = µRN au h die Rollreibungskraft, wel he daher hinten kürzer gezei hnet

werden soll als vorne. Zweitens: Die resultierende Kraft auf das Auto erhält man,

indem man von RH die Rollreibungskraft der Vorderräder und der Hinterräder sub-

trahiert. Also muss RH grösser sein als diese beiden Rollreibungskräfte zusammen.

(Andernfalls würde das Auto ni ht vorwärts fahren.)

Bemerkung zur Wahl des Vorzei hens bei Reaktionskräftepaaren: In der

obigen Aufgabe mit dem Auto wurde mit

~RH die Reibungskraft bezei hnet, die der

Pneu auf die Strasse ausübt und mit − ~RH die Reaktionskraft, die die Strasse auf den

Pneu ausübt. Die Verteilung der Vorzei hen wurde willkürli h so gewählt und dür-

fen au h umgekehrt gewählt werden. Und das gilt allgemien bei Reaktionskräften.

Anders ausgedrü kt: Wel he Kraft als Aktionskraft und wel he als Reaktionskraft

angesehen wird, ist Ansi htsa he, immer.

Aufgabe 33

a) Die beiden Aufprallkräfte sind glei h gross wegen der Reaktionsprinzips.

b) Formal:Aufgrund der kleinerenMasse erfährt das Auto die grössere Bes hleunigung

wegen des Aktionsprinzips F = ma: Ist mL die Masse des Lastwagens und mS

die des Sportwagens, und bezei hnet F die Aufprallkraft auf den Sportwagen

aus Teil a), also au h die Aufprallkraft auf den Lastwagen (wegen a), so ist

die Bes hleunigung

aS =F

mS

des Sportwagens grösser als die Bes hleunigung

aL =F

mL

des Lastwagens, da mL > mS .

Intuitiv: Man kann das au h ohne Glei hungen, intuitiv verstehen, indem

man si h eine Extremsituation vorstellt: Satt des Sportwagens kollidiere eine

Mü ke mit dem Lastwagen. Das wird die Ges hwindigkeit des Lastwagens

überhaupt ni ht beein�ussen, d.h. seine Bes hleunigung ist null. Die Mü ke

aber wird, sobald sie auf den Lastwagen prallt, innert extrem kurzer Zeit von

ihrer Ges hwindigkeit auf die des Lastwagens gebra ht und damit eine riesige

Bes hleunigung erfahren.

) Bezei hnen m, aS die Masse und die Bes hleunigung des Sportwagenlenkers

und m, aL die Masse und die Bes hleunigung des Lastwagen hau�eurs, so ist

wegen des Aktionsprinzips die Kraft

FS = maS

auf den Sportwagenlenker grösser als die Kraft

FL = maL

auf den Lastwagenlenker, da aS > aL ist wegen b).


Aufgabe 34

Zieht mit der Hand mit einer Kraft

~F an seinen Haaren na h oben, so üben die

Haare wegen des Reaktionsprinzips die Kraft − ~F na h unten auf die Hand aus und

damit auf den Körper.

Aufgabe 35

a) Nein. Der Trägheitssatz handelt von den Kräften, die an ein und demselben

Körper angreifen. Die beiden Kräfte

~Z und −~Z greifen ni ht am glei hen

Körper an:

~Z greift am S hlitten an (und wird von dir ausgeübt) und −~Zgreift an dir an (vom S hlitten ausgeübt).

b)

~G

−~RH

~N−~Z

Erklärung: Die Gewi htskraft

~G ist klar, sie wirkt auf jeden Körper. Die

Normalkraft

~N hindert di h daran, na h unten zu fallen und muss glei h gross

sein wie

~G. Die Zugkraft −~Z ist die Reaktionskraft des S hlittens auf deine

Zugkraft

~Z, mit der du an ihm ziehst. Die Haftreibungskraft

~RH ist die Reak-

tionskraft des Bodens auf die Haftreibungskraft − ~RH , die du auf ihn ausübst,

um di h an ihm abzustossen. (− ~RH ist ni ht eingezei hnet. Ausserdem spielt

es spielt keine Rolle, wel he der beiden Kräfte

~RH , − ~RH man mit einem Minus

versieht; siehe obige Bemerkung.)

) Da si h

~N und

~G aufheben, ist der Betrag der Resultierenden die Di�erenz

F := RH − Z.

Setzt man dieses F in das Aktionsprinzip

F = ma

ein (2. Newton-Axiom), und löst na h a auf, erhält man

a =F

m=

RH − Z

m.


Aufgaben 9: Vermis hte Aufgaben

Aufgabe 36 (S hlitts huhläufer ziehen)

Du ziehst einen S hlitts huhläufer (m = 70 kg, µG = 0.02) mit der konstanten ho-

rizontalen Kraft F = 30N vorwärts.

a) Zei hne alle Kräfte ein, die auf den S hlitts huhläufer wirken.

b) Bere hne seine Bes hleunigung.

Aufgabe 37 (Zugfestigkeit Seil)

Du ziehst eine Kiste der Masse m = 50 kg an einem Seil bes hleunigt senkre ht

na h oben.

a) Zei hne alle Kräfte ein, die auf die Kiste wirken.

b) Mit wel her Bes hleunigung kann die Kiste maximal gehoben werden, damit

das Seil ni ht reisst, wenn die Zugfestigkeit des Seils 1000N ist?

Aufgabe 38 (Obere Bes hleunigungsgrenze Auto)

Angenommen, es gäbe ein Auto mit unbegrenzter Motorenleistung.

a) Könnte es dann beliebig stark bes hleunigen?

b) Ist die Bes hleunigung des Autos maximal, wenn der Fahrer das Gaspedal so

bedient, dass die Räder �dur hdrehen� oder so, dass sie knapp ni ht dur hdre-

hen?

) Bere hne die maximale Bes hleunigung

3

, falls µH = 1.2 und µR = 0.02.

Aufgabe 39 (Strassenlampe)

a) Zei hne alle Kräfte ein, die auf die Lampe wir-

ken.

b) Die beiden Seilstü ke sind je um 4◦ gegen die

Horizontale geneigt. Bere hne die Seilkraft.

m = 5 kg

3

Wir nehmen an, dass das Auto Allradantrieb hat. Denn andernfals müsste man berü ksi h-

tigen, dass auf den Vorderrädern das grössere Gewi ht lastet als auf den Hinterrädern, weil der

s hwere Motor meistens vorne eingebaut ist. Ausserdem verna hlässigen wir den Luftwiderstand,

was bei kleinen Ges hwindigkeiten au h realistis h ist.


Lösungen 9

Aufgabe 36

a)

~G

~Z~N

~RG

b) N , G heben si h auf, die Resultierende F ist also

F = Z −RG

= Z − µgN |N = G

= Z − µGG |G = mg

= Z − µGmg

= 30N − 0.02 · 70 kg · 9.81 m

s2

= 16.27N

Diese Resultierende F setzen wir zusammen mit der Masse m = 70 kg in das

Aktionsprinzip F = ma ein und lösen na h a auf:

16.27N = 70 kg · aa = 0.22

m

s2

Aufgabe 37

a)

~G

~ZDamit die Kiste bes hleunigt, muss die Resultierende na h oben

zeigen, deshalb muss

~Z grösser sein als

~G.

b) Der Betrag der Resultierenden ist F = Z −G. Diesen setzen wir in das Akti-

onsprinzipt F = ma ein und lösen na h a auf:

Z −G = ma | : mZ −G

m= a |G = mg

Z −mg

m= a |Maximale Zugkraft : Z = 1000N


a =1000N − 50 kg · 9.81 kgm/s2

50 kg

a = 10.19m/s2

Aufgabe 38

a) Nein: Übt der Motor eine zu grosse Kraft auf die Räder aus, drehen sie dur h.

In diesem Fall ist die Gleitreibungskraft RG zwis hen Pneu und Strasse die

Kraft, wel he das Auto vorwärtss hiebt und diese ist ni ht beliebig gross (son-

dern dur h RG = µGN gegeben).

b) Die Räder sollen knapp ni ht dur hdrehen, weil dann zwis hen Pneu und Bo-

den Haftreibung wirkt, wel he grösser ist als Gleitreibung, die bei dur hdre-

henden Rädern wirksam ist.

) Folgende vier Kräfte wirken auf das Auto: Gewi htskraft

~G (na h unten),

Normalkraft

~N (na h oben, glei h gross wie

~G), Rollreibungskraft ~RG (na h

hinten), Haftreibungskraft

~RH( na h vorne, grösser als

~RG). (RH ist die Re-

aktionskraft auf die Haftreibung, die die Räder auf den Boden na h hinten

ausüben.)

Der Betrag der Resultierenden ist F = RH − RG und sie zeigt na h vorne.

Wir setzen ihn in das Aktionsprinzip F = ma ein und lösen na h a auf:

RH −RG = ma |RH = µHN, RG = µGN

µHN − µGN = ma |N = G = mg

µHmg − µGmg = ma |mg ausklammern

mg(µH − µG) = ma | : ma = g(µH − µG)

a = 9.81m/s2(1.2− 0.02)

a = 11.57m/s2

Aufgabe 39

a) ~S1~S2 ~G

Zu den Kräfteverhältnissen:

Die Summe von

~S1 und

~S2

zeigt senkre ht na h oben und

muss glei h gross sein wie

~G.

b) Wegen des Trägheissatzes muss die Summe der drei Kräfte null sein:

~S1

~S2

~G

Im zugehörigen glei hs henkligen Dreie k zei hnen wir die Höhe ein,

S1

S2

G α


wel he au h Seitenhalbierende ist. Im grauen re htwinkligen Dreie k gilt na h

De�nition des Sinus folgende Glei hung, die wir na h S1 au�ösen:

sinα =G/2

S2| · S2 : sinα

S2 =G/2

sinα|G = mg

S2 =mg/2

sinα

S2 =5 kg · 9.81 m

s2 /2

sin 4◦

S2 = 351.58N

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