Turfinsche und Forsythesche Funktionenfolgen Von

Lothar Kosehmieder, Tiibingen

(Eingegangen am 30. September 1959)

1. In der Analysis erscheinen auBer den Legendreschen Polynomen Pro(x) sell)st gelegentlich 1' 1) auch die Summen P,~(x) -~ P~+l(x) zweier benaehbarter yon ihnen, auf die mich Herr H. Kneser neulich aus einem das Folgende nicht betreffenden Anla~ hinwies. Die Pro(x) geniigen im Gebiete - - 1 < x < 1 der - - auf ihre Hankelschen Determinanten beziiglichen - - Tur~nschen Ungleichung 1' :)

(1 1) P~_l(x) PAx) I " PAx) P~+l(x) < o (re=l, 2 . . . . ).

Man kann fragen, ob die Summen P~,(x) + P~+l(x) ebenfalls in einem Gebiete mit einer yon m unabh~ngigen L~nge die Eigenschaft

P~(x) + P~+~(x) P~+l(x) + < o

besitzen. Um dies zu entscheiden, betrachten wir mit ~m(x) + ~m+l(x) = ~ ( x ) [oder den arithmetischen Mitteln ~ ~ ( x ) ] gleich allgemeiner die Hankelsche Determinante

(1.3) Am(x ) = I V~-I ~m : l qSn_1-6 ~,. r -~ ~m+l I

der Sunnnen benaehSarter Mitg]/eder einer Folge ~(x) yon Funktionen ~(x), fiber die wir alsbald passende Annahmen einf[[hren werden. Die

1, 1) Vgl. T. H. Gronwall, Math. Ann. 74 (1913), 223; 75 (1914), 340. - - E. W. Hobson, The theory of spherical and ellipsoidal harmonics (Cambridge 1931), S. 333.

1,~) Siehe dazu P. Turdn, ~asopis Mat. Fys. Praha 75 (1950), 113--122. Vgl. - - auch wegen der reichhaltigen Quellenangaben - - A. E. Danese, Ann. Mat. pura appl. (4) 38 (1954), 339--348.

264 L. Koschmieder

-- reelle -- unabhi~ngige Vers x bleibe, wo es angeht, un- bezeichnet. - - Man zerlegt (1.3) in

~~ ~~ @m+i ~~ ~m+i ~~ ~~

Die erste und letzte dieser vier Determinanten ist yon Hankelseher Art, die zweite null, die dritte sei - - wegen der Art der Zeigerfolge -- fiir die Zwecke dieser Mitteilung kurz eine au/steigende Determinante genannt. Eine solehe, mit der Folge {Pro(x)} in -- 1 < x < 1 gebildet, begegnet zuerst in einer Arbeit yon Forsythe i' 3). _ Naeh Vorstehendem grit

Sate 1: Wenn die Funktionen ~m(x) (m = 1, 2 . . . . ) eine Turs Folge bilden (d h. wenn alle

(1.4) Din(x) = qJm_l q~m+l - - q~i < 0

sind in einem yon m unabhi~ngigen Spielraum X der Ver~nderlichen x), ferner abet auch eine Forsythesche Folge, d. h. wenn ffir m z 0, 1, 2, . . . alle aufsteigenden Determinanten

(1.5) AAx) = ~m(x) ~m+~(x) - - ~m+l(x) ~m+~(x) < 0

sind in X, so sind dort anch alle Am(x) (1.3) negativ (m = 1, 2, . . . ) . Nun bilden ~m(x) ---- Pro(x) in -- 1 < x < 1, wie erws eine

Turs und in 0 < x < 1 eine Forsythesche Folge 1' 3); mithin er- gibt sich

Sate 2: Die Funktionen Pm(x)+Pm+i(X) bilden fiir m = 1, 2, . . .1, 4) in 0 < x < 1 eine Tu~nsche Folge.

In -- 1 < x < 0 gilt der soeben gezogene Schlul~ nicht, weft dort die aufsteigende Determinante der Pro(X) - - als ungerade Funktion -- positivist.

Im folgenden werde ich, nicht nttr zum Gebrauche des Satzes 1, aufsteigende Determinanten naheliegender Funktionenklassen, nament- lich elliptiseher Funktionen, ausreehnen und ihr Vorzeiehen erSrtern.

2. Von den Legendreschen gehe ich zu den Tsehebyscheffschen Polynomen erster Art Tm(x ) -= costa 0 und zweiter Art Um(x)---- sin(m -[- 1) 0/sin 0 mit cos 0 = x fiber (m ---- 0, 1, 2, . . . ) . Sie bilden in (-- 1, 1) je eine Tttr~nsche Folge ~' 1); es gilt abet aueh

Satz 3: Die Polynome Tm(x ), Um(x ) stellen in (0,1) je eine Forsy- thesche Folge dar.

1, ~) G. E. Forsythe, Duke ma~h. J. 18 (1951), 361--371, w 2. 1, 4) Gil~ mit; P-l(x) = 0 auch fiir m = 0.

Turhnsehe und Forsythesche Funktionenfolgen 265

Wie man leicht naehrechneg, gilt fiir m----0, 1, 2 , . . . ni~mhch

T m (cosO)Tm+l(COSO) costa0 cos(m-t-1)O 0 , Tin+2 (cos0) Tin+3 (cos0) = cos(m-~2) 0 cos(m-~3) = -- 2sin~0 cos 0;

diese aufsteigende Determinante ist also negativ in 0 < 0 < 7~/2. Entsprechend ist

U~ ('cos 0) Um+l(COS 0) 1 sin(m~-l) 0 sin (m+2) U~+:(cos0) U~+3(cos0) -- sin 2 0 sin(m+3) 0 sin(m~-4) = - 2cos0,

also auch negativ in 0 < 0 < ~/2. -- Satz 1 und 3 ergeben zusammen, dal~ die Polynome T~(x) ~ T~+I (x), Um(x)~ U,~+l(x) in (0,1) je eine Turs Folge bflden. Zu dieser Feststellung bediirfte es freilich der S/itze 1, 3 nicht, denn es ist

(2.1) Tin(x) -t- Tu+l(X)=cos m 0@cos (m-I-l) 0=2 cos (m~-~) 0 cos ~ 0,

sin ( re+l) 0 sin (m~-2) 0 sin (m+ a/~) 0 (2.2) Um(x)~-Um+l(x ) -- sin 0 ~- sin 0 -- sin �89 0 '

~ d {cos (~ + 1A) 0}~ {s~n (~ + �89 0} sina (auger f~r 0 = 0, ~) T u ~ - sche Folgen: als Weft von (1.4) ergibt sich nach ~' 1)b) bei beiden D~ (cos 0) = -- sin ~ 0.

Auf dem Geradenteil x > 1, x = ~of 0, auf dem T~(x) = ~o[ m O, U~(x) = ~il t (m -~ 1) 0/~in 0 ist, erhi~lt man

TAx) Tm+~(~), ---- ~in~ 0, I U~(~) U~+~(x) = - - ~'

r~(x) r,~+~(x) = 2 ~in~ 0 ~ i O, UAx) Um+~(x) -- 2 ~ O. r~+~(x) f~+~(~) U~+~(~) V~+~(~) =

Die Hankelschen (1.4) und die aufsteigenden Determinanten (1.5) der Fotge {T~(x)} sind also positiv ~' ~), die der Folge {U~(x)} negativ; daher sind fiir x > 1 auch die ttankelschen Determinanten der Folge {T~(x) ~- T~+~(x)} positiv, die der Folge {U~(x)@ U~+~(x)} negativ.

2, 1) Siehe a) Danese 1, ~), der dies (S. 342--344) aus den Ergebnissen tiber Gegenbauersche Polynome dutch Besonderung ihrer Parameter herleitet. -- b) L. Koschmieder, Boll Un. m~t. Ital. (3) 9 (1954), 266--270; dort ein unmittetbar auf die Tm, Um beziiglieher, dutch den Gebraueh der Veri~nder]iehen 0 (s~a~t x) besonders kurzer Beweis.

~, ~) •olgt (mit entspreehender Aussage fiir x ~ - - 1) auch aus Ergebnissen yon E. F. Bec~enbach, W. Seidel und O. Szdsz, Duke m~th. J. 18 (1951), 1--10 (dor~ Satz 4, w167 7, 9).

3~ona~hefIe fiir Mathemat~ik. ]~d. 6,113. 19

266 L. Koschmieder

0 0 Ihre Werte 4 Gin s 0 ~o[ ~ ~, -- 4 ~o[ s ~- lassen sich natiirlich am ein-

fachsten aus den Ausdriicken Girt (m+ 3 /~) 0

T.~(z)+T.,+l(x)=2~o~(m+�89 0~oi�89 Vm(x)+U~+l(z)= Gin �89 0

entnehmen. - - An die entsprechende Darstellung hiflt man sich auf dem Geradenteil x < -- 1 ; mit x ---- -- ~o~ 0 lautet sie

r,~(x) = ( - 1)" ~oi m o, urn(x) = ( - 1) ~ Gin (m + 1) o/Gin o,

Tm(x)+T,~+I(x)=2(--1) m+l Gin(m+�89 0 Gin �89 O,

(m + Sl~) 0 Um(x)+U,~+~(x) = ( - 1) '~+~ ~~ i �89 0

Aus ihnen folgt, dal~ auf x < -- 1 die Hankelschen Determinanten der Folge {TAx ) + T~+,(x)} negativ, die der Folge {VAx ) + Um+~(x)}

0 0 positiv sind. Sie haben die Werte -- 4 Gin ~ 0 Gin s ~-, 4 Gin s ~.

3. Mit (2.1), (2.2) streifte ich schon die Polynome

sin (2 m + 1) 0/2 (3.1) V,,,(:~) = sin (0/2) '

cos (2 m + 1) 0/2 (3.2) W,~(x) = cos (0/2)

in x = cos 0, die his auf je einen nor yon m abh/ingigen Malteil mit den Jacobischen Polynomen/x-z. '/')(x), tx~/'' -'/')(z) iibereinstimmen 3' 1). Wegen des sp/iteren ~oergangs zu elliptischen l~unkCionen (w 6) lasse man den allen Vm(x) [W,~(x)] gemeinsamen Nenner sin (0/2) [cos (0/2)] weg, betrachte also die Funktionen

(3.3) ~ ( 0 ) = sin (m + �89 0, (3.4) ~ m ( 0 ) = c o s ( m + � 8 9 0

yon 0. Beide bilden, wie schon nach (2.1), (2.2) erwahnt, TurAnsche Folgen. Ms Wert yon (1.5) ergibt sich fiir m = 0, 1, 2, . . . nach einiger Rechmmg

t ~ ( 0 ) ~.,+~(0) I ~ ( 0 ) ~ + 1 ( 0 ) I ~+~(0) ~+3(0) = ~+~(0 ) ~ + 3 ( 0 ) = -- 2 sin s 0 cos 0,

also Satz 4: Die ~'anktionen ~m(O), ~ ( 0 ) bilden in den Gebieten (4 l-- l) vr/2 < 0 < (4 l + l ) ~r/2 mit ganzen I jeweils eine Forsythesche

3, ]) Siehe G. Szeg6, 0rthogonal polynomials (New York 1939), S. 59.

Tur/~nsehe und Forsythesehe Funktionenfolgen 267

Folge. DaB die Summen !Sin , ~m+l, ~m ~- ~m+i (auBer fib 0 = l~) Turs Folgen bilden, sieht man tmmittelbar, denn es ist

!~_i (0)+!8~(0)=2 sin m 0 cos ~ 0, ~ _ i ( 0 ) + ~ ( 0 ) = 2 cos m 0 cos ~ 0,

and yon den Folgen {sin m 0}, {cos m 0} wei$ man [2, ~) b)], dab sie yon Turs Art sind.

4. Hier und weiterhin seien u, v, w reell. -- Von der Stelle v = 0 abgesehen, bilden die Funktionen E6 mv eine Turhnsehe Folge ~' 1); es ist sogar allgemeiner

~(u--v) ~g u [ ~ v(1 - - ~ 4 u) (4.1) ~ (u ,v )= ?ggu ~ 9 ( u § 1-L~~v < 0 ,

wenn v 4: 0. Ieh beweise jetzt, daft dann auch

] ~ g ( u - - 3 v ) ~ ( u - - ; ) v (4.2) 9 / ( u , v ) = ~ g ( u + v ) ~ ( u + ) < ~

ist. Nach dem Summensatz der Funktion ~6 w finder man nimlich zua~ichst

( ~ 2 v - - ~:6~ 3 v) (1 - - ~:~4 u) 9/(u, v) = (1__~2 u ~g~ v) (1--~$2u ~ 2 3 v) "

Ihre Verdreffachungsformel 4' ~) fiihrt den ersten Malteil des Zihlers in

1 -- E64 v ( ~ v -}- ~ 3 v) ( ~ v -- ~ 3 v) ----- -- 8 ~:~2 v (1 -~ 3 ~ v) ~

fiber; aus seinem stets negativen Zeichen folgt (4.2). -- Setzt man dots

(~ .3) ~ = ( ~ + % ) ~ , v = �89 so erh/ilt man den

Satz 5: Mit Ausnahme des Wertes w = 0 bilden die Fanktionen ~ mw (m ---- O, 1, 2, . . . ) aueh eine Forsythesche, die Funktionen

| (2 m + i) Eg m w -}- ~:6 (m + I) w = ~ [ m w ~o[ (m -}- 1) w

mithin eine Ttlrinsche Folge. 5. Die Fuaktionen | v (mit ~ec z---- 1/~0[ z) bilden, auf~er fiir

v----0, eine T ~ n s c h e Folge 4' i); es gibt ein Seltenstitck zu (4.1) Is. die

4, 1) L. Koschmieder, a) J.-Ber. Deutseh. Ma~h.-Verein. 60 (1957), 3--6, w 5. - - b) Arch. der Math. 9 (1958), 183--185. Der Grenzfall dortiger Gleiehung (4.1) ftir k = 1 ist die folgende obige Formel.

4, ~) Vgl. z. B. E. Jahnke un4 Y. Erode, Funktionentafeln mit Formeln und Kurven (Leipzig 1909), S. 9.

19 ~

268 L. Kosch~nieder

letzte Formel von 4,1) b)], abet aueh zu (4.2), and zwar

(51 ) 9~(u, v) = l Gec (u -- 3 v) Gee (u -- v) 1 �9 GeC (u § v) Gee (u § 3 v) < 0, wenn v ~= 0.

Die Anwendung des Summensatzes der Funktion ~ [ z liefert n~mlich

Gin 2 v - - Gin ~ 3 v

9/(u, v) = (~f2 u § Gin ~ v) ( ~ u § Gin ~ 3 v);

nach ihrer Verdreifachungsformel 4'~) wird abet der ZiiMer

(Gi~ v § Gin 3 v) (Gin v - - Gin 3 v) --- - - 2 Gin s 2 v goi 2 v

als negativ erkannt, womit (5.1) bewiesen ist. - - Bei der Annahme (4.3) folgt

Satz 6: Vom Werte w ---- 0 abgesehen, bilden die Funktionen Gec m w auch eine Forsythesche, die Funktionen

gol + �89 w G e c m w § 1 6 2 2 4 7 w - - - - 2 g o [ � 8 9 go[mwgo( (m § l) w

mithin eine Tur~nsche Folge. 6. Die Funktionen sin w, cos w; ~:6w, Gecw sind die Grenzfalle

k = 0, k ----- 1 der elliptischen Funktionen $aeobis mit echtem positivem Modul k. Die Tatsache, dal~ sowohl sin m w § sin (m § 1) w, cos m w § c o s ( m § 1) w (w als auch ~ : g m w § 2 4 7 w (w 4), Gecw § Gec (m § 1 ) w (w 5) Turs Folgen bilden, las t erwarten, dab dies auch auf die Funktionen sn mw § sn (m § w, cn mw § (m § ] ) w zutrifft. Es soil jetzt gezeigt werden. - - Da]3 {sn row} eine Turs Folge ist, habe ich friiher bewiesen ~' 1). Der Nachweis, dal3 {sn row} in gewissen Gebieten auch eine Forsythesche FoOe ist, erfordert eine etwas liingere Betrachttmg, in die ich jetzt eintrete. Ieh werde allgemeiner zeigen, dab flit aUe u die Determinante

9~(u, v) = I sn (u - - 3 v) sn (u - - v) (6. 1) s n ( u § s n ( u § < 0 ist in I

(6.2) ( 4 1 - - 1 ) K / 2 < v < 2 1 K , 2 l K < v < ( 4 1 § K/2,

wo 1 ganz, und 2(u, 2 l K) ---- 0; dagegen

(6.3) 9~(u,v)>O in (6.4) ( 4 1 § K / 2 < v < ( 4 1 §

attfler 93[u, (2 1 § 1) K] = 0.

6, D Siehe 4, 1) a). - - Wie dort benutze ich die bei der verwendung der Jaco- bischen Funktionen feststehenden Zeiehen.

Turgmsche und Forsythesche Funktionenfolgen 269

Die Anwendung einer Folgerung aus dem Summensa tze r ~) der

Funk t i on sn w auf die beiden Glieder yon (6.1) hefer t

sn 2 u - sn 23 v sn ~ u - sn 2v

9 / ( u , v ) = 1 - - k s sn ~ u sn 23 v - - 1 - - k s sn ~ u sn s v '

vereinigt

(sn u v - - sn ~ 3 v) (1 - - k s sn 4 u)

(6.5) 9~(u, v) = (1 - - k s sn 2 u sn s v) ( 1 - -k ~ sn ~ u sn s 3 v)"

Beide Malteile des Nenners und der zweite des Z/ihlers sind posi t iv; es ble ibt also n~r das Vorzeichen seines ers ten Malteiles M(v) = R(v) S(v) zu erSrtern, wo

(6.6) R ( v ) = s n v + s n 3 v , (6.7) S ( v ) = s n v - - s n 3 v .

Die Zus/itze za (6.2), (6.4) bewahrhe i ten sich du tch die Wer te

(6.8) R(l K) = 0, (6.9) S(2 1 K) = S[(l + 1/2) K] = O.

I s t jenes Vorzeichen in dem Gebiete 0 < v < K/2, das ~ hell]e,

gefanden, so gilt es, weft M(v) eine gerade, mi t 2 K periodische Funk t ion ist, auch in (6.2), - - und, wenn m a n es im Gebiete K/2 < v < K, kurz in i*, kennt , auch in (6.4). - - Wei terh in seien sn v, cn v, dn v durch s, c, d abgekiirzt . Nach der Verdrei fachungsformel ~' ~) der Funk t i on sn w ist

(6.10) R ( v ) = 4 s ~ ( s ) ' (6.11) S ( v ) = - - 2 s ~ ( s ) '

wo

(6.12)

(6.13)

(6.14)

(6.15)

~(8) = 1 -- 6 k~# + 4 k2(1 + k s) 8 ~ - - 3 kas s,

~ d s ) = 1 - - (1 + k S) s 2 + ks(1 + k s) s 6 - k 48 s,

~ ( s ) = 1 - - 2(1 + k s) s 2 + 6 k 2s ~ - 2 k2(1 + k S) s 6 + k ~s 8,

a n d

l(s) M ( v ) = R ( v ) S ( v ) = - - 8 s s

N u n ist bei allen Wer t en yon v

(6.16) ~ ( s ) = (1 - - k s # ) c 2 d ~ > 0,

so aueh in L U m zu zeigen, daft dor t auch

6, 2) Vgl. A. G. GreenhlU, The applications of elliptic functions (London 1892), S. 138, (7).

6, 8) Greenhill 6, 3), S. 121.

270 L. Kosohmieder

(6.17) ~ ( s ) = (1 - - k s~) 4 - - 2(1 - - k) 2 s~(1 + k s s a) > 0

isg, berechnet man die Ableitung dieser Funktion yon v,

ds ( 6 . 1 8 ) ~2' ( s ) d v = - - 4[2 k(1 - - k s2) 3 + (1 - - k) 2 (1 + 3 k 2 s4)] s c d;

sie ist in 0 < v < K immer negativ, ~2(s) nimmt dort also best~tndig ab. Nun ist ~ 2 ( 0 ) = 1; (6.17) wird daher bewiesen sein, wenn sich herausstellt, dal~ ~ ffir v = K / 2 verschwindet, also ~ 2 ( ~ ) = 0 ist, we ~ = s n K / 2 = (1 + k') - ~ ist 6'4). Das trffft abet zu, denn nach (6.15) is~

(6.19) M ( K / 2 ) --~ - - 2 K s. ,

da M ( K / 2 ) = 0 is~ nach der zweiten Gleiehung (6.9) ffir l ~ 0, und da ~1(~) > 0 ist nach (6.16), so mull ~2(~) = 0 sein, was sich aueh un- mittelbar bestiitigen liil]t. - - Aus Vorstehendem geht hervor, daI~ (6.15) und daher auch (6.5) in ~ negativist . - - Im Bereich K / 2 <~ v <~ K

nimmt ~2(s) yon 0 bis - - k '4 ab; folglieh is~ (6.15) und also aueh (6.5) in 3" positiv. - - Hiermit is~ alles fiber (6.1) Behauptete bewiesen. (6.1), (6.2) liefern bei dem Ansatz (4.3) - - aui~er bei w = 4 1 K -

Isn ~nw sn(m+l )w (6.20) A m ( w ) : sn(m+2)w sn(m+3)w < 0 in

(6.21) (4l--1) K < w < (4 l + 1) K,

d. h. dell Satz 7: In dem Gebiete (6.21), seine Mitre ausgenommen, bilden die Flmktionen sn mw auch eine Forsythesche, die Summen sn m w + sn (m + 1) w also eine Tur~nsche Folge. In seiner Mitre und an seinem Rande versehwindet (6.20).

7. Zum Sehlul3 werde ieh entsprechend die - - nach 4,1) a) gleichfaUs Turs (cn row} behandeln und zuerst zeigen, dab fiir alle u in (6.2)

c n ( u - - 3 v ) o n ( u - - v ) / (7.1) 2(u, v) ---- cn (u + v) cn (u + 3 v) j < 0

und 9~(u, v) > 0 ist in (6.4). Aus G, 5), S. 138, (10) finder man

Oil 2 U 1 - - d n 2 u I s n 2 u 2

( 7 . 2 ) on (u 1 + u2) cn (u 1 - - ua) = 1 - - k ~ sn 2 U 1 S n 2 U 2 '

6, 4) Greenhill 6, 2), S. 120.

Tur&nsche und Forsythesehe Funktionenfolgen 271

mi t u 1 ~ u, u 2 = 3 v und us ~- v angewandt , ergibt (7.2) nach einigen

Umformungen mi t Hilfe der Gleichheit

dn s u - - k s sn s u cn ~ u -~ dn ~ u + k s k '~ sn ~ u

ffir ~ den We~t

(sn s v - - sn s 3 v) (dn 4 u ~- ~s k,2 sn 4 u)

(7.3) ~(u, v) ----- (1 - - k 2 sn s u sn s v) (1 - - k 2 sn s u sn s 3 v)"

Beide Malteile des Nenners a nd der zweite des Zghlers sind posit iv;

der erste ist die in w 6 behandel te Funkt ion M(v) (6.15). I h r dor t fest-

gestelltes Vorzeichen - - in ~ negativ, in ~* posit iv - - erweist die Be-

haup tung (7.1) fiber 9~ als richtig. - - Mit den Wer ten (4.3) folgt daraus

aul~er bei w ~ 4 1 K, dal~

I cnmw e n ( m + l ) w l ~ 0 i s t i n ( 6 . 2 1 ) , a l s o A,~(w): c n ( m - ~ 2 ) w c n ( m - ~ 3 ) w

Satz 8: Die Funkt ionen cn mw bilden dor t mi t Ausnahme der Werte

A m (4 1 K) ~ 0 auch eine Forsythesche, die Summen cn raw -~ cn (m -~ 1) w also eine Tur~nsche Folge.