o o

Uber den Brunn-Minkowsklschen Satz yon D. OH.~IA~r162 F rank fu r t a. M.

Fiir die Quermal3integrale W~ (p ~- 0, 1 . . . n - - 1) der Minkowski- schen S u m m e zweier konvexer KOrper K 1 und K2 des euklidischen R n vera l lgemeiner t sich die Aussage des Brunn-Minkowskischen Satzes be-

1 1 1

kannt l i ch zu W~(K 1 ~- K2)n-p ~> W ~ ( K 1 ) ~ ~- Wv(K2)-nz~. Es soll in dieser Note zun~chst gezeigt werden, dal3 sich diese Ungleichung nicht nur - - wie schon oft bewiesen ~) - - ftir p = 0 (W0 f~llt mi t dem Mal~ z u s a m m e n !), sondern auch ftir p = 1 auf abgeschlossene Mengen iiber- t r agen lg]3t. Des wei teren ist bei Einbeziehung der Minkowskischen Differenz die Vollst~indigkeit des sich ergebenden Ungle ichungssys tems Gegens tand der Untersuchung. Die zu erzielenden Ergebnisse lassen sich folgendermal~en zusammenfassen :

Im euklidischen R n gelten /ar beschrankte, abgeschlossene Mengen A, B die Ungleichungen 2)

1 1 1

(a) W~(A§ ~_W~(A)~:~ -~-W~(B)n-p | 1 1 1 / p ~-- 0,1 (1)

(b) W~(A--B)n-v __~W~(A)n-~' --Wv(B)~-p ( A - - B ~ L )

die/ar/estes p und bei A -- B-~ L zusammen mit

(c) W~(B) >_o , W~(A -- B) >_O (1)

ein vollstandiges Ungleichungssystem bilden. L bezeichnet dabei die leere Menge, so dal3 A - - B ~ L bedeutet , dab

A - - B nieht leer ist. Der Beweis yon ( l a ) ftir p = 0, den wir auf einer geeigneten In tegra]dars te l lung fiir das MaI3 basieren, liefert uns ffir den Fall , dab die Mengen A und B in wenigstens einer Rich tung gleiches QuermaB besitzen, zwanglos die Versch~rfung zu ( I a )

W o ( ( 1 - - 2 ) A - [ - 2 B ) ~ ( 1 - - ~ t ) W 0 ( A ) § ( 0 < 2 < 1 ) (2)

die h interher zum Beweis yon ( l a ) ffir p = 1 gebrauch t wird.

1) Zuerst von Lusternik : Die Brunn-Minkowskische Ungleichung fiir beliebige mel3bare Mengen (C. R. Acad. Sc. URSS 1935 III, S. 55-58).

~) Ftir p = 0 siehe H. Hadwiger: Minkowskische Addition und Subt rakt ion beliebiger Punk tmengen . . . (Math. Z. 53 (1950-51) S. 210-218).

215

Es sei noch bemerkt, dab das Vollstiindigkeitsproblem durch die Ver- allgemeinerung yon konvexen K6rpern auf abgeschlossene Mengen wesentlich vereinfacht wird, da das System (1) -- wie vom Verfasser fiir n ~ 2 gezeigt 3) _ bei Beschr~nkung auf konvexe K6rper keines- wegs vollsti~ndig ist und daher durch ein versch~rfendes Ungleichungs- system ersetzt werden mull

w 1 u

Wir stellen die notwendigsten Definitionen und einfachsten Eigen- schaften zusammen.

Im euklidischen R n bezeichnen wir den Normalrifl der beschr~nkten, abgeschlossenen Menge A in der Richtung ~ (= Orthogonalprojektion yon A auf eine (n -- 1)-dimensionale Ebene der Normalenrichtung ~) symbolisch mit A t und legen das Quermafl yon A in der Richtung $ als dessen ( n - 1)-dimensionales Lebesgue-MaB M=_I(A~) lest. Die Quer- maflintegrale Wv(A) (p -~ O, 1 . . . n ) sind dann durch die Definitions- formeln

1 W ~ ( A ) - .f W~_x(A~)go) (p : 1 . . . . n - 1)

nvn_~ ~,~ (3)

Wo(A) : M .(A) , W~(A) -= v~

zu erkl~tren, in denen v~ das Volumen der n-dimensionalen Einheits- kugel ~r darstellt, und ~ unter dem Integral die ~uBere Normalenrich- tung des 0berfl~chenelements do yon t2 n angibt. Es ist dabei noch darauf hinzuweisen, dab die benutzten Lebesgue-Integrale bei ausschliel~- licher Betrachtung besehr~nkter, abgeschlossener Mengen tatsi~chlich existieren 4).

Indem wir den Punkten des Raumes die gleiche Bezeiehnung geben wie den yon einem festen Ursprung aus zu ihnen hinweisenden Orts- vektoren und unter A * die aus der Menge A durch Versehiebung um den Vektor x hervorgegangene Menge verstehen, k6nnen wir die fiblichen Definitionen fiir die Minkowskische Summe A + B und Differenz A -- B d e r Mengen A und B folgendermaBen fassen :

A + B stellt die Vereinigungsmenge aller Mengen B * ffir z e A bzw.

3) D. Ohmann, E i n v o l l s t ~ n d i g e s U n g l e i c h u n g s s y s t e m f i i r M i n k o w s k i s c h e S u m m e u n d D i f f e r e n z (Comment. Math. Helv. 27, S. 151-156).

4) Vgl. dazu D. Ohmann, U n g l e i e h u n g e n z w i s c h e n d e n Q u e r m a i 3 i n t e g r a l e n b e s c h r ~ n k t e r P u n k t m e n g e n I I (Math. Ann. 127, S. 1--7).

216

aller Mengen A ~ ffir ~ �9 B dar :

A + B = , ~ B * = , ~ A ~ . (4) ~ E A x E B

A -- B umfaBt alle Punk te ~, ffir die B x _c A besteht . Auch die dilatierte Menge hA (4 ~ 0) definieren wir wie fiblich durch

die Festsetzung, dag hA die Gesamthei t der Punk te h t ffir z �9 A an- gibt.

Aus diesen Definitionen ergeben sieh unmit te lbar die Formeln

(a) (A + B)$ = A~ + B~ , (b) (2A)~ = ~A~ (5)

(A -- B) + BC_A . (6)

Des weiteren erschlieBen wir aus dem Umstand, dab entsprechende Verh~ltnisse fiir das Mag vorliegen, mit Hilfe der Definitionsformeln (3) folgende Beziehung ftir monotone Folgen beschr~nkter, abgeschlossener Mengen AK+IC_A~ ( K = 1 , 2 , . . . ) :

lim W~(AK) = W~(,-, A,~) . (7)

Dies l~l]t sich bei Be t rach tung zweier monotoner Folgen A~+I__A~ und B,,+lC_B K ( K = 1 , 2 . . . . ) mit

oo oo oo

(A~ + B~) = (~ AK) + (~ BK) (8) K - - 1 K = I K = I

noeh unmit te lbar zu oo oo

lim W~(A~ -r B~) ~- W~[(~, A~) + (~ B , ) ] (9) K-~oo K = I K = I

zusammensetzen. ~ = Zum Beweis ffir (8) setzen wir A = ~ A ~ , B = ~ B~ und

oo K = I K ~ I

C = , - , ( A ~ q - B K ) . Is t dann ~ � 9 und 0 � 9 so ist auch 2EeA~, K = I

I) �9 B~ fiir jedes ~, und es folgt - - wie der Definition (4) zu en tnehmen ist -- x + 1 ) � 9 ( x = 1 , 2 , . . . ) und mithin ~ + I ? E C . Wir haben also A -~- Bc_C . Is t umgekehr t 3 � 9 so ist 3 � 9 B~ fiir jedes ~, und es exist iert stets �9 Punk t epaa r x~ �9 AK, tl~ �9 B~, so dab x K + l? ~ = 3 ist. Auf Grund der Abgeschlossenheit yon A und B gehOrt nun abet jeder H/~ufungspunkt ~* bzw. 1?* der Folge x~ bzw. tg~ zu A bzw. B . Andererseits ist wegen 2c~ + 1?~ = 3 aueh x* + tl* = 3, wo- mi t gezeigt ist, dab sieh zu jedem Punk t 3 e C ein Punk tepaa r x* �9 A , l}*�9 B zuordnen I/il]t, fiir das z * + t l * = 3 besteht . Daraus folgt A + B~_C, was sieh mit A + B~_C zu (8) zusammensetzt .

217

w Die Ungleichung (2)

1. Der lineare Fall. Es seien A und B zwei beschr~nkte, abgeschlossene und auf der gleichen Geraden gelegene Mengen, und es bezeichne (.~A, 19A~ bzw. (tB, 19B~ die konvexe Hfille yon A bzw. B. Wegen der Abgeschlos- senheit yon A und B geh0ren die Punkte tA, 1)A sodann zu A und •B, 19B ZU B. Se tzenwirzurAbkf i rzung C---- ( 1 - - 2 ) A q - 2 B , t*---- ~ B und 19"---- (1 --2)19A, s o i s t gem/~fl (4) [ (1 - - ~)A] ~*C__C, (2B) ' * C C und mithin auch

[(1 -- 2)A]~* ~ (2B)"*~_C . (10)

Wit haben nun nur noch zu beachten, dab die Mengen [(1 -- )~)A] ~* und (2B) ~)* nur den einen Punkt ~* q- 19" gemeinsam haben konnen, um die sich daraus ergebende Beziehung

M1[((1 -- 2)A) ~* ~ (2B) ~*] ---- (1 -- 2)MI(A) q- 2M~(B)

mit (10) zu (2) zusammensetzen zu k6nnen.

2. Der Fall n ~ 1. Wir ben6tigen zu seiner Erledigung eine geeignete Integraldarstellung ftir das MaB. Ist zu deren Herleitung 14 (~) der Durch- schnitt der beschr/~nkten, abgeschlossenen Menge A mit der Geraden der festen Richtung $, die dutch den Punkt t e A t hindurchgeht, so hat man zun/~chst

i n ( A ) = .[ MI[A ( t)]dt . A~

Aus der Abgeschlossenheit yon A folgern wir nun, dab sich zu jedem nicht negativen # ~_ M,,_x(A~) derart eine abgeschlossene Menge A(~) _c A t mit zugeh6riger Gr0Be /(A;/~) angeben li~Bt, dab ftir die Punkte ~ yon A~ nach der Gr6Be yon M~[A (t)] die Einteilung

Mx[A(t)] ~_ / (A; I~) fiir teA( ,) , MI[A(t)] ~ / (A; /~) ftir tcA(~)

besteht. Mig dieser Einf'ffhrung gewinnt die Integraldarstellung die yon uns gewiinschte Gestalt

Mn --1 (A2 )

M,(A) = ~ f (A ;/~)d# . (11) 0

Zum Beweis der Ungleichung (2) greffen wir auf das Ergebnis des Paragraphen 3 vor, dab (la) ftir p = 0 aus (2) folgt, und fiihren die In- duktionsvoraussetzung ein, dab (2) und damit aueh (la) ffir p = 0 in den R/~umen geringerer als n-ter Dimension giiltig sei. Sind A und B sodann zwei beschr~nkte, abgesehlossene Mengen, fttr die M,,_I(A~) ---- M,,_,(B~) in der festen Richtung ~ besteht, so haben wir nut noch

218

notig, der Induktionsvoraussetzung unter Benutzung der Abkfirzung C ~ (1 -- ~) A + 2B und Beachtung yon (5)

Mn_I(C~) ~_~ i (M : Mn_I(A~) ~- M,,_I(B~) )

zu entnchmen und die Richtigkeit yon

/(C ; ~) > (1 -- ~) / (A ; ~) + ~ / ( B ; ~) (12)

darzutun, um aus der Mai~darstellung (11) M

M,,(C) >--S [(1 -- 2)/(A ;/z) + 2 / ( B ; #)]d# --~ (1 -- ,~)M,~(A) 27 ,~M,,(B) o

folgern zu k0nnen. Um (12) zu beweisen, erschlief]en wir aus der leicht einzusehenden

Beziehung

C(tA)~_(1 -- ~)A(t~) + ~B(~, ) (tA ~- (1 -- ~)t~ + 2~2)

mit Hiffe der Induktionsvoraussetzung, dab ffir t l e A(,), t2 E B(,)

/ I [ C ( t ~ ) ] > (1 -- Z)/(A;/~) + ~I/(B; t*)

s ta t tha t . Aus der Ungleichung Mn_ 1 [(1 -- ~)A(t~)2 7 ~U(~)] ~ / , , die wegen Mn_x(A(~,)) ---- # und M~,_~(B(~,)) = ,u ebenfalls aus der Induktionsvoraus- setzung folgt, ergibt sich daher, da~ M~[C(2r ~ (1 --~)/(A ; lu) 27 ~t](B ; [~) auf einer Untermenge yon C$ bestehen muB, deren MaB nicht geringer als # ausf/illt. Das kann aber gemg~ der Definition von C(,) und /(C;/~) nur dann m6glich sein, wenn (12) richtig ist.

w 3 Die Ungleichungen ( la) und ( lb)

1. Ungleichung ( la) liir p ~ 0. Besitzt wenigstens eine der wieder als besehriinkt und abgeschlossen vorauszusetzenden Mengen A und B verschwindendes Mal~, so ist ( la) ftir p ---- 0 trivialerweise erffillt. Wir setzen also Wo(A) > O, Wo(B) > 0 voraus, woraus offenbar

M,,_I(A ~) > O, M,~_I( Bi) > 0

gefolgert werden kann. Alsdann besitzen die Mengen A'----Q~A und 1 1

B' -~ QBB(eA ---- M,,_~(A$) n-x, ~B : Mn-i(B$)-~:i-~) in der beliebig herausgegriffenen Richtung ~ gleiches QuermaB, so dab die Versch~rfung (2) giiltig wird, und wir

W0[(1 -- ,I)Q.~A + 2~BB] > (1 -- ~)~]Wo(A) 27 Jt~"nWo(B)

219

notieren kOnnen. VermOge der Konkavit/~t der n4en Wurzel folgt daraus 1 1 1

W0[(1 -- ~)o~A + ~oB]~ ~ (1 -- 2)o.~Wo(A)~ § 2OBWo(B)~.

l~ach Multiplikation mit ex + QB ergibt sich (la) schon durch die ~A 0B

Spezialisierung 2 _ 0~ 0~ -k 0~

2. Ungleiehung (la) fiir p ---- 1. Um die Gew/~hr zu haben, dab die gleieh zu betraehtenden riehtungsabh/~ngigen Funktionale positiv blei- ben und stetig mit der Riehtung variieren, m6gen die Mengen A und B zun/~ehst die Vereinigungsmengen yon endlieh vielen Kugeln positiver Radien darstellen. Nun betrachten wir die mit A~.~ und B~ ,, zu bezeich- nenden Orthogonalprojektionen yon A bzw. B auf eine zu den nicht parallelen Richtungen ~ und ~ orthogonale (n -- 2)-dimensionale Ebene und merken an, dab diese nichts anderes darstellen als die Normalrisse von AS bzw. B~ in der zu ~ senkrechten Richtung $, die zu der durch

und ~ bestimmten zweidimensionalen Ebene E($, ~) parallel ist:

A~,, = (A~); , B~,, : (B~)g (~ _k ~, ~ [I E(~, ~)) . (13)

[ Mn-2(B$,~) ] 1 Sodann untersuchen wir den Quotienten q($; ~)~- M~_2(A~,n ) ,~2

und dessen Grenzen bei festem ~ und variablem r] : q (~) ~- rain q (~ ; ~]), (~) ~-- max q(~; ~). Ftir zwei nicht parallele Richtungen ~1 und ~2 folgt

a u s q ($1 ; $2) = q ( ~ 2 ; ~1) unmittelbar q(~l) ~ q(-~ l ; ~2) --~ q(~2), w o r a u s

sich max q(~) ~ min q(~) (14)

herleitet. Man erkennt, dab sich jeder Richtung ~ auf Grund der Stetigkeit yon

q(~ ; ~) wegen (13) und (14) wenigstens eine Richtung ~ A_ ~ zuordnen 1/~Bt, in der bei Benutzung der Abktirzung 0 : �89 [max q(~) q- min q(~)] die Beziehung q ( ~ ; ~ ) ~ 0 gtiltig ist. Es folgt, dab die Normalrisse (0A)~ und B~ in der Richtung ~ gleiches Quermafl besitzen :

Mn_2[((eA)~),~] = Mn_2[(B~),~],

womit die Ungleichung (2) zur Anwendung gebraeht werden kann :

Wo[(1 -- 2)eA ~ Jr ~B$] ~_ (1 - - 2)on-lWo(A$) -~- ,~Wo(U$) .

Die Festlegung ~ -- ~ fiihrt nach einfacher Umformung zu 1-~-0

Wo(A~ + B~) 2 (1 -% O)n-~Wo(A2) -~- 1 + Wo(B~) .

220

Durch Integrat ion fiber /2n gewinnt man daraus unter Beachtung der Definitionsformel (3)

WI(A + B) ~ (1 + O)~-~W~(A) + 1 + W I ( B ) .

Die Benutzung der KonkavitStseigenschaft der ( n - 1)-ten Wurzel liefert schliet31ich die gesuchte Ungleichung (1 a) fiir p - - 1.

Sind A und B beliebige beschri~nkte und abgeschlossene Mengen, so approximieren wir sie derar t durch Mengen A~ _~ A, B~ _D B (A~+ 1 _CA~, B~+ 1 ~ BK; ~ - - - -1 ,2 . . . . ), die sich jeweils als Ver- einigungsmenge endtich vieler Kugeln posit iven Inhal ts darstellen, dal~

oo oo

A ~- ~ A~, B ---- ~ B~ besteht. Die Gfiltigkeit von ( la) (p ~ 1) ftir K = I K - ~ I

die Mengenpaare A=, B= fibertri~gt sich dann vermit tels der Formeln (7) und (9) auch auf die Mengen A und B selbst.

3. Ungleiehung ( lb) H a t man (1 a) ffir die Mengen A -- B ~ L und B notiert , so folgt ( lb ) in bekannte r Weise 5) daraus durch Anwendung der Beziehung (6).

w 4 Die Vollstiindigkeit des Ungleichungssystems (1)

Das System (1) ist dann vollstiindig, wenn sich jedem Quadrupel zl, z2, z3, z4, das den Ungleichungen

Z 3~>z 1 -~ Z 2 , Za~Z 1 -- Z 2 , (15) z ~ 0 , z4~0

genfigt, derar t beschri~nkte, abgeschlossene Mengen A, B zuordnen lassen, daI~

W~(A) = z~ -~, W~(B) = z~ -p t W ~ ( A -~ B) : Z 3 n - - p , W~(A -- B) z~ -p ~ p ----- (0, 1) (16)

bei festem p besteht. U m die Moglichkeit einer solchen Zuordnung zu zeigen, beziehen wir

den R a um auf das kartesische Koord ina tensys tem x l, x2 . . . . . x n und b

denken uns die Menge B durch den Wtirfel I xv I ~ ~- (~ ~- 1 . . . . , n)

repr~sentier t und die Menge A durch die Vereinigungsmenge aus dem

( ~ ) ( a ~ < aK ) Wtir fe lA 0 [xv[<_ , d e n k H o h l w f i r f e l n A K ~ - ] x , [ < _ ~ - ; K = l , . . . k

�9 �9 �9 #v 0~ und den Gl t t e rpunk ten mlt den Koordma ten x ~ : m " 2 (#~=0, :L 1 . . . . ~ m)

s) H. Hadwiger a. a. O.

221

dargestellt . Dabei m(~gen die vorkommenden Gr0Ben so gew/~hlt sein, dab f ! dieBedingungen a 0 > b > 0 , 2 m b > a > a k , 2 b > a K - - a , ~ > O , 2 b > a K -

0 - -

iX 2 0 0 0 0

0 g 0 0 0 0 0

A

o

~ 2 ,~.

F i g . 1

k)(~2

B

a~_l > 0 (K : 1 . . . . . k) eingehalten werden. (Fig. 1 zeigt ein solches Mengenpaar in der Ebene fiir k = 2 und m = 3 .)

Man erkennt nun sofort, dab A A- B und A -- B u n t e r diesen Vor- aussetzungen Wfirfel der Kantenl / ingen a + b bzw. ao -- b abgeben.

1

I 1 (P ~- O) { in(A)n (P ~- O) Mit c~ = 1 und a =

2 ~ - 1 ( p - 1) a k (p = 1)

ergibt sich daher, wie man leicht best/~tigt :

W~,(A) -~ (%a) ~-p W v ( B ) = (%b)~-" (p ~-- O, 1). W~,(A + B ) = ( % ( a -f- b)) n-p W~,(A - - B ) = ( % ( a o - - b)) •-p

Die dami t aus den Zuordnungen (12) folgenden Beziehungen z I = % a ,

z~ -= % b , z a ~ % ( a + b), z 4 ~ % ( a o - - b) liefern mi t den Bedingungen (11) die Ungleichungen

a > a > a o > b > O .

Da diese gem/~B Kons t ruk t ion aber aueh die einzigen Ungleiehungen sind, dureh die die vier GroBen a, a , a0, b eingesehri~nkt sind, lassen sieh jedem (15) geniigenden Quadrupel zl, z~, z3, z~ Paare der eben besehrie- benen Mengen A, B angeben, fiir die (16) erfiillt ist.

(Eingegangen den 6. November 1953.)

222