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aber die Bestimmung der raumlichen Sterndichte Von F. SCHMEIDLER, Miinchen

Eingegangen 1944 Februar 15

Die Abschnitte I bis 3 geben Erganzungen und Verbesserungen zu der in einer vorhergehenden, mit (A) bezeichneten Arbeit entwickelten Auflosungstheorie der Integralgleichung der Stellarstatistik. Im vierten Ab- schnitt folgt dann eine nahere Untersuchung des Sternsystems in der Richtung zum galaktischen Nordpol, welche die Ungultigkeit der von van Rhijn abgeleiteten allgemeinen Leuchtkraftfunktion in gr8Deren Entfernungen wahrscheinlich macht.

1. Die Vieldeutigkeit der S&warzs&ilds&en Integralgleidmng Eine kurzlich erschienene Arbeit des Verfassersl) behandelte das Problem, aus den beobacht-

baren Sternzahlen und mittleren Parallaxen den raumlichen Aufbau des Fixsternsystems zu er- mitteln; der Abkiirzung halber sei sie im folgenden mit (A) bezeichnet. Den Ausgangspunkt bildete die Integralgleichung der Stellarstatistik in der erstmals von Schwarzschilda) aufgestellten Form

+ m

- m

dabei bedeutet A (m) die Zahl der Sterne der scheinbaren Helligkeit m, 9 ( M ) die Leuchtkraft- funktion, e = 5 log r - 5 den der Entfernung 7 entsprechenden Entfernungsmodul m - M , wahrend die Funktion f (e) die Dichte enthalt. Bildet man ferner aus den beobachteten mittleren Parallaxen die Funktion # (m) = A (m) Z (m), dann gilt fur sie eine analoge Integralgleichung

+ m

- m

Die Zusammenhange der Funktionen f (e) und g (e) mit der raumlichen Dichte sind in (A) in Formel (4) gegeben. Sieht man die Sternzahlen und die Leuchtkraftfunktion als bekannt an, dann erfordert die Ermittlung der Dichte die Auflosung der G1. (I) nach f (e). Durch Anwendung des Fourierschen Integralsatzes hat Schwarzschild diese Aufgabe formal ganz allgemein gelost . Als spezielles Beispiel seiner Theorie fand er den Satz, da13 f (e) ein Fehlergesetz befolgen muB, wenn sowohl die Sternzahlen als auch die Leuchtkraftfunktion diese Form haben. Dieser Ansatz galt damals fur die Verteilung der absoluten Helligkeiten unbestritten als richtig, und da man auch die Sternzahlen notwendigenfalls unter Verzicht auf letzte Genauigkeit durch logarithmisch qua- dratische Formeln darstellen konnte, hat in der Folgezeit dieser Spezialfall der Schwarzschildschen Theorie eine uberragende Rolle gespielt.

DaB dieser spezielle Ansatz zu erheblichen Fehlern AnlaD geben kann, zeigte 1926 Malm- quists) an Hand eines kiinstlichen numerischen Beispiels. Zwei durch eine Lucke getrennte Stern- systeme jeweils konstanter Dichte ergeben Sternzahlep, die mit guter Genauigkeit durch eine quadratische Formel dargestellt werden konnten. Das aus der Anwendung des Schwarzschildschen Formelschemas folgende Dichtegesetz zeigte einen von der Wirklichkeit stark abweichenden Verlauf. Da in diesem Fall zwei ganz verschiedene Annahmen uber die Dichte dieselben Sternzahlen gleich gut darstellen, schloI3 ich in (A), daR die Auflosung von GI. (I) uberhaupt vieldeutig sei, wie das bei Integralgleichungen erster Art haufig der Fall ist. Ich bin inzwischen darauf aufmerksam ge- macht worden, daR es sich sicher nicht urn eine Vieldeutigkeit im streng mathematischen Sinn handeln kann ; denn die Schwarzschildsche Auflosung der G1. (I) muB mathematisch ebenso ein- -

1) F. Schmeidler . Zur statistischen Verwertung von Sternzahlen und mittleren Parallaxen.

2, K. Schwarzschild: uber die lntegralgleichungen der Stellarstatistik. 3, K. G. Malmquist: Einige Bemerkungen uber die riiumliche Verteilung der Sterne.

Astron.

Astron. Nachr. 185.81 (1910). Vjschr. Astron.

Nachr. 273.1 (1942).

Ges. 61.244 (1926). Astron. Nachr. Bd. 274

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19 I 1:. SCHAIEIULER: ober die Uestitnniung der rtiumlichen Sterddichte

deutig sein wie der Fouriersche Integralsatz, auf dem sie beruht. In Wirklichkeit haftet der G1. (I) eine Unbcstimmtheit praktischer Natur an, die ich irrtumlich als mathematische Vieldeutigkeit interpretiert habe. Wenn die Leuchtkraftfunktion eine groRe Streuung aufweist, dann verteilen sich die in einer bestimmten Entfernung stehenden Sterne auf sehr verschiedene scheinbare Hellig- keiten; der Dichteverlauf wird in den durch G1. (I) gegebenen Sternzahlen nur sehr verwischt zu- tage treten. Umgekehrt muR sich die aus (I) errechnete Dichte erheblich andern, wenn man die A (m) nur wenig varriiert; die bei der beobachtungsmal3igen Bestimmung immer ubliche Aus- gleichung der statistischen Schwankungen ubertragt sich in vergroBertem Ma8 auf die ermittelte Dichte. So konnen bei genugend groBer Streuung der absoluten Helligkeiten sehr verschiedene Dichiefunktionen dieselben Sternzahlen innerhalb der Beobachtungsgenauigkeit darstellen.

Wegen dieser praktischen Unsicherheit der Dichtebestimmung wird man bei der Behandlung eines dem Malmquistschen Model1 entsprechenden Sternsystem nicht erwarten, daB der Dichte- verlauf aus der Rechnung exakt herauskommt; es ist zu vermuten, daR man zwei genahert gleich hohe Maxima erhalt und dazwischen einen Raum mit verhaltnismaRig niedrigen Werten. In Wirk- lichkeit geht aber bei Malmquist das innere Systems vollig verloren, die Dichte zeigt nur ein Maxi- mum, welches in eine Entfernung kurz vor Beginn des auReren Systems fallt. Der Ansatz eines Fehlergesetzes fur f (e) kann den Dichteverlauf uber groRe Entfernungen nicht mehr richtig dar- stellen. Die Streuung der Absoluthelligkeiten gibt fur diese Tatsache keine ausreichende Erklarung ; nach einer von mir in (A) ausgefuhrten Abschatzung verursacht unter den gegebenen numerischen Verhaltnissen die Anwendung eines Fehlergesetzes fur f (e) einen mit abnehmender Helligkeit der benutzten Sterne anwachsenden Fehler ; nur bei Verwendung der Zahlen von Sternen heller als 9 m kann man auf diesem Weg richtige Resultate erwarten, nicht aber fur die von Malmquist be- nutzten A (m) zwischen m = 12 und m = 19. Das Zusammenwirken dieses Umstands mit der goBen Streuung der Leuchtkraftfunktion bedingt den MiRerfolg des Schwarzschildschen Dichtegesetzes.

Auf diese Fehlerquelle muR immer geachtet werden, wenn die raumliche Dichte durch irgend eine Interpolationsformel dargestellt wird. Wenn eine formelmaBige Darstellung der A (m) fur einen gewissen Bereich scheinbarer Helligkeiten giiltig ist, dann gilt die daraus folgende Dichteformel immer nur in gewissen Entfernungen, und zwar fur alle die Gebiete, wo in merklicher Menge Sterne derjenigen scheinbaren Helligkeiten vertreten sind, fur welche die benutzte Interpolationsformel der A (m) noch gilt. Dagegen gibt die G1. (I) infolge der von --co bis +a, erstreckten Integration vor, daR die aus ihr ermittelten Interpolationsformeln allgemeine Gultigkeit haben sollen; im spe- ziellen Fall der Fehlergesetze werden aus den durch Ausgleichung bestimmten Koeffizienten der A (m) zusammen mit denen fur yj ( M ) rechnerisch solche fur f (e) aufgestellt, die damit den Anspruch erheben, ein allgemein gultiges Gesetz fur die Dichte zu reprasentieren. In Wirklichkeit erfordert die Anwendung von Interpolationsformeln eine zusatzliche Untersuchung uber den Gultigkeits- bereich dtr erhaltenen Losung etwa in.der Form, wie sie Pannekoek') 1924 ausgefuhrt hat.

Auch bei Einhaltung dieser VorsichtsmaRregel ist die Benutzung von vorgegebenen Formeln fur die Dichte ein bedenklichesverfahren; es wird ihr dadurch ein analytisches Gesetz aufgezwungen, welches ihrem wirklichen Verlauf gar nicht zu entsprechen braucht. Dem bisher am meisten be- nutzten Ansatz einer Fehlerkurve ist auRerdem auch die empirische Berechtigung entzogen, seit wir wissen, daR die Leuchtkraftfunktion gar nicht durch ein Fehlergesetz darstellbar ist ; auch wenn man das Beobachtungsmaterial nach Spektralklassen aufteilt, kann man nur fiir die fruhen Typen noch einfache GausscEe Kurven fur die Verteilung der Absoluthelligkeiten erhoffen.

Eine Auflosung der G1. (I) fur beliebige Verteilungsgesetze der raumlichen Dichte und der absoluten Helligkeiten ermoglicht die allgkmeine Schwarzschildsche Auflosungsformel; wegen der Umst andlichkeit der notwendigen Bildung der Fourier-Koeffizienten ist eine derartige Rechnung bisher noch nie explizit ausgefuhrt worden. Ein vom Verfasser in (A) entwickeltes Verfahren benutzt den auf Seeliger zuruckgehenden Ansatz, wonach die absoluten Helligkeiten der Sterne eine scharfe obere Grenze ,u haben sollen. Die Verfolgung dieser Annahme ermoglichte wesentliche Erweiterungen der Seeligerschen Stellarstatistik, die, historisch gesehen, als erste die vorhandenen Probleme in voller Allgemeinheit behandelte. Die Schwierigkeiten, an denen sie spater scheiterte, lassen sich entsprechend meinen Untersuchungen in (A) erklaren und beheben. Der von Seeliger benutzte komplizierte Formalismus lafit sich durch einfachere Zusammenhange ersetzen, der vie1 benutzte Satz uber das Auftreten von Sprungstellen in den Sternzahlen gestattet eine bemerkens-

l ) A . Pannekoek: Researches on the structure of the universe I : The local starsystem, deduced from the Durchmusterung Catalogues. Publ. Astron. Inst. Univ. Amsterdam Nr. I (1924).

F. SCHMEIDLER: ober die Bestimmung der rlumlichen Sterndichte 195

werte Erweiterung ; aus letzterer folgt, dal3 Seeligers Bestimmung der Grenze des Fixsternsystems scheitern muRte. Es zeigte sich, daR die Seeligerschen Gedankengange auch mit unserem heutigen Beobachtungsmaterial noch zu wertvollen Aufschlussen fuhren konnen. Fur die rechnerische Dichtebestimmung dient die Gleichung

welche durch die Formel

-m

gelost wird (s. G1. (9) in (A)). War auch Seeliger zur Auflosung seiner Integralgleichungen immer an einfache Funktionen gebunden, so ist das hier nicht mehr notig ; die erforderlichen Differen- tiationen und Integrationen konnen numerisch ausgefiihrt werden, die Auflosung ist fur beliebige Verteilungsgesetze moglich. Die nach obigen Darlegungen notwendige bereichsmaRige Zuordnung der Sternzahlen gewisser scheinbarer Helligkeiten zur Dichte in entsprechenden Entfernungen ist in der Formel selbst schon gegeben. Die A' (m) in der Nahe eines bestimmten Wertes m ergeben die Dichte in der NBhe des Wertes e = m - p, d. h. der Entfernung, wo die absolut hellsten Sterne ( M = ,u) die scheinbare Helligkeit m haben; das ist die groRte Entfernung, in der Sterne der Hellig- keit m noch vorkommen konnen. DaB diese Zuordnung auch statistisch sinnvoll ist, geht daraus hervor, daB infolge der Zunahme des Volumens mit der dritten Potenz der Entfernung die absolut hellen Sterne mit groRem Gewicht in die A (m) eingehen. Bei groRer Streuung der Leuchtkraft- funktion entsteht in (Ia) im zweiten Glied rechts eine ahnliche Verwischung der Dichte wie in der Schwarzschildschen G1. (I); das erste, integralfreie Glied in ( Ia) wird von dieser Wirkung nicht betroffen, und da das in (A) gegebene Auflosungsverfahren gerade an das erste Glied gebunden ist, ist die auf der grol3en Streuung der Leuchtkraftfunktion beruhende Unsicherheit hier geringer. Die Verhaltnisse liegen dabei um so gunstiger, je groRer in (Ia) das erste Glied rechts im Verhaltnis zum zweiten ist.

2. Die obere Grenze der AbsoluthelIigkeiten

Die durch die Einfiihrung der oberen Grenze p der Absoluthelligkeiten gewonnene Auflosungs- formel ist an die Voraussetzung gebunden, daR v (p) + o ist, die Leuchtkraftfunktion an der Stelle p einen sprunghaften Abbruch aufweist ; andernfalls versagt die Formel. Diese Einschrankung erscheint zunachst unnaturlich, und es taucht die Frage auf, ob durch sie nicht eine zu starke Ver- gewaltigung des Beobachtungsmaterials bedingt ist. Fur die praktische Berechtigung des in (A) entwickelten Verfahrens ist diese Frage entscheidend und soll daher naher untersucht werden. Man wird bei der Behandlung einer beobachtungsmaRig vorgelegten Leuchtkraftfunktion immer versuchen, einen numerischen Wert p aufzustellen, fur den noch a (p) + o ist; dann sind unter Umstanden noch Sterne heller als p vorhanden, spielen aber statistisch keine Rolle mehr. Wenn die Leuchtkraftfunktion einigermal3en rasch gegen o abfallt, ist die Wahl eines solchen p stets moglich ; das wird unten aus einer einfachen Rechnung folgen. Aus den beobachteten Sternzahlen 1aBt sich ferner ein Hinweis darauf ableiten, daB die Annahme eines Abbruchs der Leuchtkraft- funktion zum mindesten dem Zahlenmaterial nicht widerspricht. Diese empirische Seite der Frage soll zunachst behandelt werden. Nach Seeliger tritt in den zweiten Ableitungen der N (m) ein Sprung auf, wenn die Leuchtkraftfunktion u n d die Dichte an je einer Stelle einen Abbruch zeigen; in (A) habe ich den noch allgemeineren Satz bewiesen, daD jede beliebige Unstetigkeit der Dichte eine ent- sprechende in den Sternzahlen nach sich zieht. Wenn aber die Leuchtkraftfunktion wirklich stetig gegen o geht, wie es einem Exponentialgesetz in aller Strenge entsprechen wiirde, dann werden die Sternzahlen immer einen glatten Verlauf zeigen. Gelingt es also, in den beobachteten Stern- zahlen wirklich eine Unstetigkeit nachzuweisen, dann muB auRer einer Diskontinuitat im Dichte- verlauf sicher auch ein Abbruch der Leuchtkraftfunktion vorhanden sein. DaD die von Seares und van Rhijn') abgeleiteten Sternzahlen in der Tat ein solches Verhalten zeigen, ist schon in (A) er-

1) F. H. Seares, P. I. van Rhijn, M. C. Yoyner and M. L. Richmond: Mean distribution of stars according Contr. Mt. Wilson Obs. Nr. 301 = Astrophys. J . 62.320 to apparent magnitude and galactic Ibtitude.

(1925).

25*

196 I?. SCHMEIDLER : tjber die Bestimmung der rsumlichen Sterndichte

8 9

I 0 ' I

12

wahnt worden und wird durch ein Rechenverfahren gezeigt werden. Der Beweis ist nicht absolut zwingend, da man durch eine Interpolationsformel mit genugend hohen Potenzen in m die Zahlen irmner noch darstellen kann ohne eine Unstetigkeit annehmen zu miissen ; die letztere Hypothese erscheint aber mindestens ebenso berechtigt, da ja in einem empirisch gegebenen Material wirklich vorhandene Unstetigkeiten nie ganz exakt nachzuweisen sind.

Das oben angekundigte Verfahren, wie das Vorhandensein eines Sprunges in den zweiten Ableitungen der Sternzahlen wirklich zahlenmal3ig nachgewiesen werden soll, wird im folgenden auf die Abzahlungen der verschiedenen galaktischen Breiten, wie sie in der oben zitierten Arbeit 17on Seares und van Rhijn gegeben sind, angewendet werden. Es zeigt sich dabei, wie schon in (A) erwahnt, dal3 die Sprungstelle eine deutliche Abhangigkeit von der galaktischen Breite besitzt, so dal3 die fruher 1) fur den Sprung gegebene Erklarung durch eine UngleichmaBigkeit der photometri- schen Skala sehr wenig wahrscheinlich wird. Es werden zunachst die Zahlen der sehr hellen, durch einen Sprung sicher noch nicht entstellten, Sterne durch eine quadratische Interpolationsformel

log N (m) = u -1 p m + y mz (3)

7 = ~ _ _ _ ~ - (4)

dargestellt. Wenn diese Formel fur alle Werte m gultig ist, dann miinten die nach log N (m) - a - p m

1122

gebildeten Werte y fur alle m denselberi Wert y liefern, der in Formel (3) steht; wenn jedoch von einer gewissen Stelle an die nach (4) gebildeten y von m abhangen, dann zeigt das eine Unregel- mal3igkeit in den zweiten Ableitungen der N (m) an. Die Zahlen der Tab. XVII2) zeigen in der Tat ein derartiges Verhalten. Da die Polzone bereits in (A) bearbeitet wurde, sollen hier die Breiten oo, 30" und 60" behandelt werden. Als Interpolationsformeln wurden benutzt :

11 = oo log N (m) = 6.315 t 0.478 m - 0.0021 m2 b = 30" log N (m) = 5.968 -t 0.486 m - 0.0027 m2 b = 60" log N (m) = 5.797 + 0.491 m - 0.0033 m2

m zwischen 4" und 9 m m zwischen 4" und 7 m m zwischen 4m und 7 m

( 5 )

Rechts neben den Formeln sind die Intervalle von m gegeben, die zur Ableitung der Konstanten benutzt wurden. Die Tab. I gibt nun fur alle drei Breitenzonen' die nach (4) gerechneten Werte fur alle m.

Die Zahlenwerte der Tab. I lassen folgende Schlusse zu:

-0.0027 -0.0028 -0.0028 -0.0029 -0.0031

1. Tabelle I

Werte von y nach Gle ichung (4)

7 8 9

10 11

1 2

~

9 I0

I 1 I 2

'3 '4 I 5 I 0

-0.0033 -0.0033 -0.0034 -0.0036 -0.0038 3. -0.0040

-- -0.OOZI -0.0021

- 0 . 0 0 2 1 -0.OOZI

-0.00 2 2 - 0 . 0 0 2 3 -0.0024 -0.00 2 5

Innerhalb des zur Ableitung der jeweiligen Kon- stanten benutzten Intervalls und noch einige GroRenklassen daruber hinaus stimmen die nach (4) errechneten y der Tab. I mit denen der Formeln ( 5 ) uberein. Von einer gewissen Stelle an andert sich das Ver- halten der y ; von dieser Sprungstelle an sind sie nicht mehr konstant, sondern genahert lineare Funktionen von m. Die Lage der Sprungstelle andert sich systematisch mit der galaktischen Breite ; in der MilchstraRe liegt sie bei 12m5, in 30" Breite und in 60" bei 8m5.

Diese Unstetigkeit in den zweiten Ableitungen der Sternzahlen N (m) hat schon Seeliger abgeleitet und ausgiebig benutzt. Sein Verfahren zur Ermittlung des Sprungs bestand darin, die log N (m) durch zwei quadratische Formeln darzustellen, die an der Sprungstelle m = n zusammen- stol3en ; setzt man fur n einen Naherungswert ein, dann 1aBt sich dessen notwendige Verbesserung durch eine Ausgleichung berechnen. An diesem Verfahren ist ausgesetzt wordens), dal3 die an sich noch nicht bewiesene Voraussetzung des Vorhandenseins eines Sprungs wesentlich in die Rechnung eingeht. Das oben geschilderte Verfahren ist von diesem Nachteil frei und hat damit eine vollig unabhangige Bestatigung der Uristetigkeit gebracht.

l ) P. J . van Rhijn: Bemerkung zu Dr. H. Seeligers letzten ))Untersuchungen fiber das Sternsystema.

2, loc. cit. FuDnote I, S. 195. 3, E . von der Pahlen, I;. Gondolatsch: Lehrbuch der Stellarstatistik. Leipzig 1935. S. 377, FuBnote I .

Astron. Nachr. 213.45 (1921).

F. SCHMEIDLER : Uber die Bestimmung der rhmlichen Sterndkhte 189

So erscheint die Annahme eines sprunghaften Abbruchs der Leuchtkraftfunktion bei der maximalen Absoluthelligkeit vom empirischen Standpunkt aus in der Tat als gerechtfertigt . Da- ruber hinaus zeigt eine theoretische Untersuchung, daR die Gultigkeit der in (A) entwickelten Theorie gar nicht so fest an einen unstetigen Abfall von q ( M ) gebunden ist, wie es zunachst scheinen konnte. Eine Uberschlagsrechnung zeigt, daR man die G1. (I) auch noch in vielen Fhllen verwenden kann, wo die Leuchtkraftfunktion zwar sehr rasch, aber immer noch stetig abfallt.

Es sei angenommen, daB die Funktion q~ (M) in ihrem numerischen Verlauf einem gewissen analytischen Ge'setz x ( M ) gehorcht; an einer gewissen Stelle ,uo soll dann ein sehr rascher Abfall einsetzen, d. h. die wirkliche Leuchtkraftfunktion soll vie1 schneller gegen o konvergieren, als es dem Gesetz x ( M ) entsprechen wurde. Dieses Verhalten 1aBt sich dadurch beschreiben, daB x ( M ) fur M < ,uo noch einen Zusatzfaktor von der Form einer Fehlerfunktion erhdlt ; die Leuchtkraft- funktion befolgt also das Gesetz

An der Stelle M = ,uo geben beide Formeln denselben Wert x (,uo), der Ubergang erfolgt also stetig. Je kleiner u ist, um so rascher erfolgt der Abfall gegen 0, der Grenzfall 0 = o entspricht einem un- stetigen Abbrechen. In allen Fallen, wo die Leuchtkraftfunktion dem Gesetz (6) mit u+ o ge- horcht, kann man zunachst die in (A) entwickelte Auflosungstheorie nicht verwenden. Man kann aber die folgende Frage stellen : LaBt sich die Leuchtkraftfunktion (6) mit geniigender Genauig- keit so behandeln, als ob sie uberall das Gesetz x ( M ) befolgte (auch fur M L ~ A J , dafur aber an einer gewissen, naturlich von po verschiedenen Stelle p sprunghaft auf o heruntergeht ? Man wurde also versuchen, die Funktion (6) durch eine andere von der Gestalt

zu ersetzen. Man uird einen%solchen Ansatz wohl immer dann als berechtigt ansehen konnen, wenn die beiden Leuchtkraftfunktionen (6) und (7), in die Integralgleichung der Stellarstatistik eingesetzt, dieselben Sternzahlen A (m) liefern. Diese Bedingung laBt sich uriter Verwendung der G1. (Ib) in (A) folgendermaaen schreiben

m I10 m

P U S --ID

Rringt man das erste Integral auf der linken Seite nach rechts, dann folgt aus (8)

r - m

G1. (9) ist also die Bedingung, die erfiillt werden mul3, um den Ansatz (7) als berechtigt nach- zuweisen. Man wird nun versuchen, den in (7) noch willkurlichen Wert ,u zu so wzhlen, daR (9) erfiillt wird. Selbstverstandlich wird sich stets ein solches p finden lassen, das der Beziehung (9) Geniige leistet ; da aber auch m in (9) noch vorkommt, so wird dieser Wert ,u im allgemeinen von m abhangen, und das widerspricht naturlich dem Sinn des Ansatzes (7). Dieser wird also nur dann als berechtigt erscheinen, wenn es gelingt zu zeigen, daB ,u in Wirklichkeit gar nicht oder zu min- desten nur sehr wenig von m abhangt. Wesentlich hierfur wird der Verlauf der Funktion f (e) sein. In dem einfachen Falle, daB f (e) dem Gesetz f (e ) = y el@ gehorcht, wird ,u in der Tat ganz unab- kangig von m; denn durch Einsetzen in G1. (9) entsteht auf beiden Seiten ein Glied y e", welches sich heraushebt, und es bleibt

P o No Pf - rJ*

S e - " ' x (M) e - 7 0 7 dM = j- e- l f i f x ( M ) d M .

r - m

In dieser Gleichung kommt m nicht mehr vor, also ist auch der aus ihr folgende Wert ,u davon unabhangig. Im Falle f (e) = y ele ist also der Ansatz (7) fur die Leuchtkraftfunktion stets be- rechtigt.

198 F. SCHMEIDLER : uber die Bestimmung der raumlichen Sterndichte

I)? 112

a e 2 Q (-aa) = I

Bei beliebigem Verlauf der Funktion f (e) 1aBt sich die Frage nur durch wirkliche Aus- fbhrung der in (9) enthaltenen Integrationen beantworten. Diese sollen nun unter gewissen verein- fachenden Annahmen durchgefiihrt werden. Fur einen festgehaltenen Wert m kommt in (9) der Verlauf von f (e) nur in einem sehr kleinen Intervall von Werten e > m - p, in Frage; auf der rechten Seite gehen nur die Werte von f (e) zwischen m - p, und m - p ein, auf der linken Seite sorgt der schnell konvergente Faktor e - 2 " ~ dafiir, daB die von p, sehr verschiedenen Werte von M in dem an sich bis -a zu erstreckenden Integral keinen EinfluIj mehr haben. Nun wird in unmittelbarer Nahe von e = m - p, ein gewisser Koeffizient 2, die Funktion f (Q) in der Form f (e) = y E A M ? darstellen konnen; dieses An hat offensichtlich den Wert

( M - P O ) *

riir u-c-o

fur a = o a

P o - / L

so daB also fur f (e) in diesem kleinen Intervall gilt - L,, (x ~ ~ t . 1

f (m - M ) = / (712 - ,u0) e

Auch fur x ( M ) gilt die Bemerkung, daR der Funktionsverlauf nur fur ein sehr kleines Intervall maRgeblich ist; dieses ist stets das in der Nahe von po gelegene Stuck, innerhalb dessen sich auch ein Koeffizient x finden lassen wird, der x ( M ) in der Form x ( M ) = key" darstellt; wahlt man die Konstante noch so, daR fur M - p o der strenge Wert x (po) herauskommt, d a m folgt

Damit sind fur f (e) und x ( M ) Formeln gegeben, die den Verlauf der beiden Funktionen innerhalb des f ur die Rechnung maRgeblichen Intervalls genahert wiedergeben. Die gewahlten Ansatze (10) u. (Ioa) erlauben es, die Integration der G1. (9) streng auszufiihren; setzt man sie namlich ein, dann wird die Gleichung:

- m P Die Abhangigkeit von m ist nun in dem Exponenten A,,, enthalten. Zur Abkurzung sol1 1c -I,?,% = a gesetzt werden, so daR also nun a die von m abhangige GroRe wird; la& man noch die auf beiden Seiten gemeinsamen Faktoren weg, dann lautet Gleichung

- m LL

Zur wirklichen Ausfiihrung der Integration dient die Einfuhrung der neuen GroBen

woliei fur die Konstanten a und b folgt

In. dieser Bezeichnunpsweise lautet die GI. (11) 0 0

- m 11 - 110

Fiilirt m a n die Funktion 2

(12)

F. SCHMEIDLER: Uber die Uestimmung der raumlichen Steriidichte 199

fur a zwischen -1.0 und +1.5 ausrechnet. 0 0 omoo Die Rechnung mu13 dann fur verschiedene 0 I -0.13 Werte von CT ausgefuhrt werden, und es ist zu -o.26

0.3 -0.38 erwarten, daB das Resultat um so gunstiger -o.51 wird, d. h. urn so weniger von a und damit 0.5 -0.66

omoo I OTPOO omoo om00 om00 -0.13 -0.12 -0.12 -0.12 -0.12 -'.*5 -'.'5 -'.'5 -'.'5 -'.'4 -0.37 -0.37 -0.37 -0.36 -0.35 -o.50 -o.50 -o.48 -o,47 -o,45 -0.64 -0.62 -0.60 -0.57 -0.55

3. Die numerische Auflosung der Integralgleichung

Durch Differentation wurde die G1. (I) in (A) auf die Form m - p

- m

gebracht und nachgewiesen, dal3 sie durch die Formel m - p

(14) f f (791 -p ) cp (p) = '4' (m) - / A ' ( p + x) y (,n - x ) dx - m

gelost wird; dabei gehorcht die ,,losende Funktion" y ( M ) ihrerseits wieder der Integralgleichung iu - ( 1

0

1) P. J. van Rijn: The absorption of light in interstellar galactic space and thc galactic density distri- bution. Publ. Kapteyn Astron. Labor. Groningen 47 (1936).

F. SCHMEIDLER: Uber die Uestimmung der raumlichen Steriidichte 199

Aus der G1. (IZ), in der noch die Falle a = o und a $5 o unterschieden werden mussen, 1aBt sich die GroRe ,u - ,u, ausrechnen; sie hangt von a und damit von m ab. Die numerische Ausrechnung der G1. (12) fur verschiedene a wird zeigen, ob die Abhangigkeit von m sehr erheblich ist oder nicht. Einen Uberblick uber die in der Praxis zu erwartenden Verhaltnisse gibt die folgende Uberlegung. Die Leuchtkraftfunktion verlauft nach der van Rijnschen Bestimmung') fur die absolut sehr hellen Sterne genahert wie 1o0.'jM, also wie e1.43f; es ist x = 1.4. Wenn die raumliche Dichte kon- stant ist, dann ist der Koeffizient A, fur alle m auch gleich 1.4, da ja dann f (e) = y I O ~ , ' ~ ? ist. Im Fall konstanter raumlicher Dichte ware also a = 0. Wenn die raumliche Dichte mit zunehmender Entfernung abnimmt, dann ist A,,, stets kleiner als 1.4, also a positiv; wenn die raumliche Dichte zunimmt, ist a negativ. Dem Fall f (e) = IOO.~~!', also A, = const = 0.4, wurde schon eine auRer- gewohnlich rasche Abnahme der Dichte ent- sprechen; in diesem Fall ware a = I. Man wird also einen fur alle praktisch vorkom- menden Falle ausreichenden Uberblick er- halten, wenn man aus (12) die Werte ,u - po fur a zwischen -1.0 und +1.5 ausrechnet. Die Rechnung mu13 dann fur verschiedene Werte von c ausgefuhrt werden, und es ist zu erwarten, daB das Resultat um so gunstiger wird, d. h. urn so weniger von a und damit von m abhangt, je kleiner u ist; denn der Fall c = o entspricht ja einem unstetigen Abbruch der Leuchtkraftfunktion, fur den der Ansatz (7) immer gerechtfertigt ist. Die Tab. z gibt das Resultat der Rechnung.

In der Tat variiert also p - po nur um wenige Hundertstel GroRenklassen mit a, solange G einigermaRen klein bleibt. Die empirische Bestimmung von p ist jedoch immer urn Betrage von derselben, wenn nicht noch hoherer GroBenordnung unsicher, so da13 man also p - p, als konstant ansehen kann, ohne die Beobachtungsgenauigkeit zu verletzen. Erst wenn u den Wert 0.5 wesent- lich iiberschreitet, erreicht die Variation der Werte ,u - p0 Betrage, die den Ansatz (9) fur die Leucht- kraftfunktion nicht mehr als gerechtfertigt erscheinen lassen. Der Grund dieses Resultats ist ein- fach der, daR man bei groReren Werten von G eben nicht mehr von einem sehr raschen Abfall der Leuchtkraftfunktion sprechen kann; dieselbe 1aBt sich dann eben durch einen Ansatz von der Ge- stalt (7) auch nicht mehr naherungsweise wiedergeben. Nur wenn die Funktion fur absolut sehr helle Sterne auch wirklich sehr plotzlich abfallt, ist der Ansatz eines unstetigen Abbruchs erlaubt. Das Wesentliche der vorstehenden Betrachtungen ist jedoch, daR die Darstellung der Sternzahlen A (m) durch die G1. (I) und die von mir in (A) gegebene Auflosungstheorie auch noch fur Falle anwendbar bleiben, wo die Leuchtkraftfunktion zwar sehr rasch, aber immer noch stetig abfallt.

3. Die numerische Auflosung der Integralgleichung

Durch Differentation wurde die G1. (I) in (A) auf die Form m - p

- m

gebracht und nachgewiesen, dal3 sie durch die Formel m - p

(14) f f (791 -p ) cp (p) = '4' (m) - / A ' ( p + x) y (,n - x ) dx - m

gelost wird; dabei gehorcht die ,,losende Funktion" y ( M ) ihrerseits wieder der Integralgleichung iu - ( 1

0

1) P. J. van Rijn: The absorption of light in interstellar galactic space and thc galactic density distri- bution. Publ. Kapteyn Astron. Labor. Groningen 47 (1936).

200 1’. SCHMEIDLER : Ober die Bcstiininung der rtiumlichen Sterndichte

Nach Einfiihrung der neuen Integrationsvariablen q durch x = m - p - - q

nimmt (14) die fur spater wichtige Gestalt P

f P - p ) v ( p ) = A ‘ ( m ) - - S 4 ’ ( m - - r l ) y ( p + r l ) d r l (16)

an. Die losende Funktion y ( M ) braucht fur eine bestimmte Leuchtkraftfunktion nur einmal

durch Auflosung der G1. (15) bestimmt zu werden und liefert nach (14) oder (16) sofort die Funk- tion / (@) und damit die raumliche Dichte. Zur Auflosung von (15) war in (-4) ein Verfahren sukzes- siver Naherung vorgeschlagen worden ; mit einer vorlaufigen Funktion y ( M ) wird das Integral auf der linken Seite berechnet und nach rechts gebracht; nach Division durch q.~ (p) ergibt sich ein verbesserter Wert y ( M ) . Die Fortsetzung des Verfahrens liefert schlieI3lich den endgiiltigen Funk- tionsverlauf. Ich hatte mich dann in (A) damit begnugt,.eine Funktion y aufzustellen, die die van Rhijnsche Leuchtkraftfunktion genahert, d. h. bis auf einige Einheiten der zweiten Dezimale im Logarithmus darstellt ; bei der allgemeinen Unsicherheit derartiger Rechnungen wird diese Ge- nauigkeit fur viele Zwecke ausreichen. Versucht man jedoch die G1. (15) wirklich streng aufzulosen, dann treten Schwierigkeiten auf, die mit dem numerischen Verlauf der Leuchtkraftfunktion ver- bunden sind. Diese steigt nanilich fur die absolut hellen Sterne sehr rasch mit M an, genahert wie

soluthelligkeit M eine kleine GroRe; die absolut bellsten Sterne sind eben sehr selten im Verhaltnis zu den durchschnittlich hellen. Diese kleine GroRe q~ (p) tritt aber bei der Auflosung von (15) als Nenner auf, wodurch die Berechnung einer strengen Auflosung sehr erschwert wird. Noch eine zweite Unsicherheit entsteht dabei. Im Integranden von (15) geht y~ (p + q) mit dem Faktor cy’ (M--1) multipliziert ein; ebenso wie y ( M ) wird naturlich auch p‘ ( M ) fur helleAbsoluthelligkeiten sehr klein und daher geht y ( M ) fur grol3e Werte von M nur mit sehr kleinem Gewicht in die G1. (15) ein. Deshalb werden selbst erhebliche FeNer im Verlauf von y (M) fur grol3e Werte M sich in der G1. (15) nicht sehr hemerklich machen, d. h. der Verlauf von p ( M ) fur die absolut schwacheii Sterne wird sich bei direkter Auflosung voii (15) nur unsicher bestimmen lassen.

Durch einen Kunstgriff ist es moglich, beide Schwierigkeiten auszuschalten. Statt p’ ( M ) wird in der Rechnung die Funktion

0

100.6~41. , infolgedcssen ist ‘p (p) gegeniiber dem Wert y ( M ) fur irgend eine relativ schwache Ab-

To’ ( M ) = I0

verwendet ; da p’(M) in der Nahe von M = p genahert wie I o O . ~ - ” ansteigt, bleibt hier qj0’ ( M ) nahezu konstant ; fur groRere Werte M steigt q.~‘ ( M ) langsamer als I O ~ . ~ ~ ’ ~ an, also wird v0‘ ( M ) sogar abnehnien. Die durch (17) eingefiihrte Funktion qo’ ( M ) hat also die oben erwahnten Un- annehmlichkeiten der Leuchtkraftfunktion nicht ; fur alle M ist po’ ( M ) mindestens von derselben GroWenorclnung wie qo‘ (yr). Man kann nun eine zu (15) ganz analoge Gleichung ableiten, wenn man (17) einsetzt

hi - Lt

0

Division durch IOO.~(-~~ -a) liefert Jl - , I

0

Setzt mail noch abkiirzend yo ( M ) = y ( M ) , dann ergibt sich hl - p

0

Die G1. (IS) ist von derselben Gestalt wie (IS), nur ist cp‘ ( M ) durch vo’ ( M ) und y ( M ) durch yo ( M ) zu ersetzen ; die auf dem raschen Abfall von rp ( M ) fiir M -+ ,LA beruhenden Schwierigkeiten fallen

F. SCHMEIDLEK : ober (lie Uestimmung der rLumlichen Sterndichte 20 1

also weg, die Auflosung la& sich ohne weiteres durchfiihren und liefert die Funktion yo ( M ) , aus der sich dann y ( M ) durch Anbringung des Faktors I O O . ~ ( ~ ~ - F ) berechnen la&.

Das numerische Auflosungsverfahren fur die G1. (18) erfordert einen ersten genaherten Au- satz fur yo ( M ) . Wie in (A) gezeigt, lassen sich die Differentialquotienten yo (p) aus einem linearen Gleichungssystem berechnen; kennt man die n ersten dieser Werte, dann laRt sich eine bei der a-ten Potenz abbrechende Taylor-Reihe ansetzen, die yo ( M ) in der Nahe von p genahert darstellt (siehe (A) Seite 12). ,Man kann jedoch das Verfahren noch abkurzen. Ich betrachte G1. (IS), des- gleichen die durch Differentiation entstehende Gleichung (18a)

ill - ! l

(184

Setzt man M = ,LL in den Gleichungen (18) und (18a), dann verschwinden alle Integrale und man erhalt

v (Y) Y o ( / A ) = 90’ (P) v’ ( I 4

cp (Y) Yo’ ( P ) + Yo’ (Y) Y o (14 = Yo” (Y) . Auflosung nach yo (p) und yo‘ (p) ergibt

Man ersieht hieraus, daR die Funktion yo ( M ) an der Stelle M = ,u in ihrem Funktionswert und ‘P ‘ ( M ) ihrer ersten Ableitung genau mit der Funktion L-- ubereinstimmt ; daher wird der provisorische

Ansatz Y ( M )

die beiden ersten Glieder der fur yo ( M ) anzusetzenden Potenzreihe gut darstellen und kann in der Nahe von p als erste Naherung verwendet werden. Fur die von p sehr verschiedenen Werte von M wird man dann nicht den wegen des vernachlassigten Einflusses der hoheren Glieder erheblich falschen Ansatz (19) verutenden; man wird vielmehr erst die Berechnung von yo ( M ) fur kleine M wirklich zu Ende fuhren, so daR die Extrapolation auf die benachbarten M-Werte nicht schwer fallen wird; ob sie sehr genau getroffen wird, ist dann letzten Endes belangIos, da ja das ganze Ver- fahren eine laufende Verbesserung liefert.

Die Bestimmung der losenden Funktion wurde fur zwei Leuchtkraftfunktionen nach diesem exakten Verfahren durchgefuhrt ; einmal fur die allgemeine Leuchtkraftfunktion aller Sterne und fur diejenige der A-Sterne. Die allgemeine Leuchtkraftfunktion wurde entsprechend den von van Rhijn 1936~) veroffentlichten Werten angesetzt, die nur unwesentlich von der in (A) beriutzten, alteren Funktion abweichen. Die Leuchtkraftfunktion fur die A-Sterne wurde aus einer 1935 er- schienenen Veroffentlichung von van Rhijn und SchwaBmann2) entnommen. Was die Eestsetzung der oberen Grenze fur die absoluten Helligkeiten betrifft, so wurde fur die allgemeine Leuchtkraft- funktion an der schon in (A) gemachten Annahme p = -4 festgehalten; fur die A-Sterne wurden die drei Kataloge spektroskopischer Absoluthelligkeiten von W. S. Adams, A. H. Joy. Contr. Mt. Wilson Obs. Nr. 244 (1922); A. E. Douglas, Astrophys. J. 64,262 (1925) und H. C. Woods, Monthly Not. 87.387 (1927) herangezogen, ferner die von van Rhijn zu diesen Katalogen abgeleiteten Kor- rektionens). In allen drei Katalogen sind ubereinstimmend die hochsten vorkommenden Absolut- helligkeiten von A-Sternen zwischen -0% und - 0 ~ 6 ; da van Rhijn fur sie Korrektionen ableitet, die im Mittel bei AM = -om6 liegen, so erscheint die Annahme berechtigt, daR die Absoluthelligkeit der A-Sterne in keinem Fall groRer als -1m ist ; es ist also p = -I zu setzen.

1) loc. cit. FuDnote I , S. 199. 2, P. J. van Rhijn und A. SchwaDmann: Die Dichteverteilung der Sterne in hoheren galaktischen Breiten.

3, P. J. van Rhijn: Reduction of spectroscopic absolute inagnitucles to a uniform system. Monthly Z. Astrophys. 10.174 (1935).

Not. 92.744 (1932). Astron. Nachr. Bd. 274

26

202 F. SCHMEIDLER: uber die Bestimmung der rlumlichen Sterndichte

7.35 7.49 7.53

7.64

7.46 7.49

7.81 7.97

Da die Werte der Leuchtkraftfunktioii nicht geniigend regelmaDig verlaufen, ist es notwendig, fur die Durchfuhrung einer strengen Rechnung Interpolationsformeln zu benutzen. Am nachsten liegt die Verwendung eines Fehlergesetzes. Fur die A-Sterne ist ein solcher Ansatz in der Tat ausreichend, er genugt hingegen fur die allgemeine Leuchtkraftfunktion nicht, da dieselbe fur die absolut sehr schwachen Sterne ( M > t-8) nochmals ansteigt. Dieser zweite Anstieg wurde durch ein zweites Fehlergesetz erfafit, die gesamte Leuchtkrdftfunktion aller Sterne also durch die Summe von zwei GauBschen Funktionen dargestellt. Dieser Ansatz erhebt keinen Anspruch, etwa ein , ,Naturgesetz" fur die Verteilung der absoluten Leuchtkrafte zu reprasentieren, er will lediglich eine ertragliche interpolatorische Darstellung des beobachteten Zahlenmaterials geben. Daher wurden auch die Konstanten nicht durch eine umstandliche Ausgleichung bestimmt, sondern nach einigen numerischen Versuchen angesetzt, ohne die bestmogliche Darstellung anzustreben. Fiir die beiden behandelten Funktionen ergaben sich die folgenden Ausdrucke

(20)

(21)

( M ) = 105.748+0.4536f-O.O22M'_ 1 ~ 7 ~ 9 0 - 0 . 0 8 ( ~ ; 9 ) ~

fur die allgemeine Leuchtkraftfunktion und ~ ( M ) = 105.290i 0.8331 -0.20831'

7.396 -0.05 7.506 -0 .02 7.496 +0.03 7.415 +0.04 7,491 0.00

7.899 -0.09 7.729 , -0.09

7.948 +0.02

I

fur die A-Sterne. verwendet.

In beiden Fallen wurden die Funktionen fur photographische Helligkeiten Die Darstellung durch die beiden Ansatze (20) und (21) geben die Tabellen 3 und 4.

Die Darstellung durch die Formeln ist nur sehr T a b e l l e 3 Allgemeine L e u c h t k r a f t f u n k t i o n roh, doch wirdks wegen der Streuung der beob-

achteten Werte kaum moglich sein, wesentlich bessere Darstellungen zu erzielen. Sieht man die Leuchtkraftfunktionen nun durch die For- meln (20) und (21) als gegeben an, dann kann man nach (17) die jeweiligen Ausdrucke vo' ( M ) bilden; dabei wurde die notwendige Differen- tiation in beiden Fiillen formelmaBig nach (20) bzw. (zI), also nicht numerisch ausgefuhrt. Die Ermittlung der Funktion y ( M ) erfolgte dann entsprechend dem oben beschriebenen Ver- fahren unter numerischer Ausrechnung aller notwendigen Integrationen, Fur die allgemeine Leuchtkraftfunktion wurde die Rechnung in Schritten von je einer halben GroDenklasse, fur die A-Sterne von je eiiier viertel GriiDen- klasse ausgefuhrt. Die Resultate sind in den Tabellen 5 und 6 enthalten.

M B-R M log q (y !og f/' (1M:

3.65 3.584

I 4.75 4.754

5.68 5.748

6.77 ! 6.565

v . R h ~ p , n a c h ( r o j ~ _ _ _

I 4.25 ' 4.191

5.07 ' 5.273

6.34 ~ 6.179

6.86 6 903 7.19 ! 7:186

-4 -3 -2 -1

0

-1- I -t 2 +3 +4

+0.07 +0.06

0.00

-0.20 -0.07 t0 .16

-0.04 t0 .20

0.00

1 - 5 t 6 4 - 7 + 8 + 9 +TO

+ I I + I 2

T a b e l l e 4 L e u c h t k r a f t f u n k t i o n d e r A - S t e r n e

Tabe l l e 5 Die F u n k t i o n y ( M ) f u r a l l e S t e r n e -

M ~.

Diff. log lp (&I) 1% 91 (4 3.584 3.894 4,191 4.476 4.750 5.016

5.515 5.747 5.970 6.180 6.379 6.565 6.741 6.903 7.052 7.185

5.270

Difl. ~

0.000 0,000

-0,001 0,000 0.000

-0.00 I -0,002 -0.004 -0.003 - 0.004

1-0.003 -0,002 -0.oog -0.005 -0.OOL

0.000

1% 91 ( M ) nach (20)

7.303 7.396 7.465 7.506 7.518 7.496 7.454 7.4'5 7.423 7.491 7.608 7.729 7.831 7.899 7.937 7.948

--4.0 -3.5 - 3.0 ~ 2.5

-1.5

-0.5

-0.5

i-1.5

-i2.5 1-3.0 +3.5 +4.0

- 2 . 0

-1.0

0.0

'-1.0

'-2.0

0.160 0.140 0.086 9 968 9.725

0.042 0.516:

0.881, 0.924,

0.062 0.699" 1.355 I . 832 2.038

9.524,

0.783,

0.584,

3.584 3.894 4.191 4.478 4.754 5.020 5.273 5.516 5.748 5.970 6.179 6.378 6.565 6.741 6.903 7.053 7.186

0.000 0.000 0.000

t0.002 to.004 +0.004 to.003 10.001

+O.OOI 0.000

-0.001 -0.001 0.000 0.000 0.000

+O.OOI +O.OOI

+ 4.5 + 5.0 + 5.5 + 6.0 + 6.5 + 7.0 + 7.5 + 8.0 + 8.5 + 9.0 + 9.5

+10.5

+11.5

t IO.0

+ I I . O

+I2.0

2.234 2.410 2.555 2.500 2.305 2.99Zn 3.494, 3.845 4.060" n 4.182, 4.093, 3.954 4.64' 5.069 5.477 5.823

7.303 7.396 7.466 7.506 7.518 7.497 7.456 7.419 7.426 7.495 7.608 7.726 7.833 7.908 7.942 7.950

I;. SCHMEIDLER: Uber die Bestimmung der raumlichen Sterndichte 203

-1.00

-0.75 -0.50 -0.25

f 0 . 2 5 -i-0.50 +0.75

1 1 . 2 5 +1.50

0.00

i I .00

0.457 0.408 0.268 9.959

0.293, 9.443,

0.504, 0.513, 0.195, 0.420 0.840

1% p (MI nach (21)

4.252 4.551 4.823 5.069 5.290 5.485 5.653 5.791 5.902 5.997 6.067

~.

Tabelle 6 Die Funkt ion ly(h

4.252 4.551 4.823 5.070 5.291 5.487 5.655 5.795 5.906 5.999 6.070

. .

Diff.

0.000 0.000 0.000

-0.001 -0.001 -0,002 -0.002 -0.004 -0.004

-0.003 -0,002

f u r d ie A-Sterne

t I . 7 5

f 2 . 2 5 t 2 . 5 0 +2.75 +3.00 +3.25 t 3 . 5 0 t 3 . 7 5 t 4 . 0 0

+2.00 1.012 0.810

1 . 1 0 6 ~

n 1.482 1.130 1 . 0 5 6 ~ 1.747 1.880

-a

1.364,

6.105 6.118 6. 106 6.065 5.999 5.908 5.791 5.647 5.478 5.282

I

log p ( M ) ' Diff

6.107 6.116 6.106 6.066 6.000 5.910 5.790 5.645 5.478 5.287

-0.002 -i-O.O02

0.000 -0.001 -0.001

-0.002 f O . 0 O I

f0 .002 0.000

-0.005

Beide Tabellen geben in der zweiten Spalte den errechneten Wert log y ( M ) , in der dritten die ails den Interpolationsformeln (20) und (21) folgenden Werte der Leuchtkraftfunktion, wahrend in der funften Spalte deren Darstellung gegebeli ist; die schon in (A) als (27) abgeleitete Gleichung

M - ,p

v (A +Jv ( M -r) Y (P + 11) d v = pl ( M ) 0

ist auch hier zur Prufung der Richtigkeit der ganzen Rechnung verwendet worden; die aus ihr folgenden Werte fur log 91 ( M ) sind in der vierten Spalte der beiden Tabn. 5 und 6 gegeben und zeigen, daB die Fehler der Rechnung einige Einheiten der dritten Dezimale nicht ubersteigen.

Die in Tab. 5 gegebene losende Funktion fur die allgemeine Leuchtkraftfunktion mul3te mit der in (A) abgeleiteten einigermaRen ubereinstimmen, da ja auch fast dieselbe Leuchtkraftfunktion zugrundeliegt. Ein Vergleich mit der Tab. I in (A) zeigt fur die absolut hellen Sterne ( M < 0) eine gute Obereinstimmung; fur schwachere Sterne geht die in (A) abgeleitete Funktion rasch auf o herunter, wahrend die hier gegeberie stark anwachst. Nun war in (A) die Funktion y ( M ) durch direkte Auflosung der G1. (15) gefunden worden, welche nach den oben dargelegten Untersuchungen fur sehr schwache Helligkeiten unsicher ist ; offensichtlich ist diese Unsicherheit der Grund, warum die in (A) abgeleitete y-Funktion sich ganz anders verhalt als die richtige, in Tab. 5 gegebene. Sie ist ja auch nur in der Lage, die Darstellung der Leuchtkraftfunktion mit sehr eingeschrankter Genauigkeit, namlich einige Einheiten der zweiten Dezimale, zu leisten.

Von Wichtigkeit ist die Frage, ob die numerische Ausrechnung der Funktion f (p) aus G1. (16) wesentlich anders ausfallt, je nachdem ob man die in (A) oder die hier abgeleitete losende Funktion benutzt. In vollem Betrag kann die Differenz sicher nicht auftreten, denn in (16) geht y (p + q) mit dem fur groBe q sehr rasch gegen o konvergierenden Faktor A' (m - q) ein; infolgedessen wird der EinfluB auf die G1. (16) zwar kleiq, aber doch nicht ganz zu vernachlassigen sein. Mit Sicherheit 1aBt sich sagen, daB der EinfluB auf die Funktion g (e), die aus der zu (16) analogen Auflosungs- formel

m

g (m - P ) pl (iu) = fi' (m) -I$' (fit - r ) Y (P + r / ) dq (24

0

gewonnen wird [vgl. (A), G1. (II)], groBer sein wird als auf f (e); denn die Funktion fi (m) konver- giert fur abnehmende m langsamer als die A (m), aus denen sie ja durch Multiplikation mit den fur die hellen Sterne stark ansteigenden mittleren Parallaxen hervorgeht.

Ails dem starken Anwachsen der richtigen losenden Funktion der Tab. 5 ergibt sich bei der numerischen Anwendung eine rechnerische Schwierigkeit in der Ausrechnung der Formeln (16) und ( 2 2 ) . Die Konvergenz des Integranden fur anwachsende Werte von 7 ist oft recht langsam, so daB er also bis zu sehr groBen Werten q wirklich numerisch berechnet und bei der Ermittlung des Integralwertes berucksichtigt werden muB. Dadurch wird die zur numerischen Auflosung der Gleichungen erforderliche Rechenarbeit erheblich vergroBert. Das folgende Verfahren erlaubt aber

26*

204 F. SCHMEIDLER : Uber die Bestimmuiig der raumlichen Sterndichte

eine bedt ut ende Verringeruiig der notwendigen Kechnungen. Es benutzt die Auflosungsformelii (16) und (22) in den Formen

s

1 -pi ( i n -'/) y ( p + ?/) d7/ ( r6a) 0

rn

g (17l - p ) 9 (PI = P Pfl- d 71 (P + 17) dv ( 2 2 4

man erkeniit ohne weiteres, dal3 die Differentation der in den Klammern stehenden Ausdriicke wieder die ursprunglicheii Formeln liefert.

Nun sei zunachst der wichtige Spezialfall behandelt, daB die Sternzahlen A (m) genau durch ein Fehlergesetz

gegebeii sind.

u b tit - e i i i z .1 (112.) - I 0

Durch Einsetzeii in (16a) folgt 53

j (111 -

0

h i kurzer Ausdruck hierfur laat sich geberi, wenn man die neue Funktion JJ

0

cinfiihrt. Wollte man die Funktion aus dem bekannten Verlauf der losendeii Funktion ly ( M ) durch numerische Integration aufstellen, dann wiirde man bei gewissen Werten von x bzw. y wieder auf die oben erwahnte Konvergenzschwierigkeit stol3en. Die Berechnung k.Bt sich aber, wie unten gezeigt werdeii wird, auch ohne numerische Ausfiihrung dieser Integration durchfiihren. Auf Gruiid dessen kann man also Y ( x , y ) als eine berechenbare und damit bekannte Funktion ansehen. klit ihrer Verwendung kann man offensichtlich (23) schreiben

Y ( b - z c m , c ) u + 6 i it - c i l i P f (m -p) fp ( p ) =

iind hat damit eine geschlossene Auflosung' der Integralgleichung (13) fur den Fall, dal3 die Stern- zahlen einem Gaul3schen Fehlergesetz gehorchen ; Konvergenzschwierigkeiten koniien dabei nach obigen Auseinandersetzungen nicht auftreten.

Es wird in den allerwenigsten Fallen, moglich sein die i4 (nz) so einfach durch eiiie Fehler- kurve wiederzugebeii. Der allgemeine Fall ist aber jetzt leicht zii erledigen. Fur die Zahlen der hellen Sterne wird man namlich immer cine geniigend genaue quadratische Interpolationsformel finden, die aber die schwachen Sterne nicht mehr darstellt. Dann sei A , (m) diejenige Korrektion, die an das Fehlergesetz angebracht werden muB, um die wirklichen Sternzahlen zu erhalten ; es sol1 also gelten

Dan11 ist fiir die gaiiz hellen Sterne, deren Zahlen noch streng dem Fehlergesetz folgen, A , (m) streng gleich 0 , fur die schwacheren Sterne erreicht diese Funktion merkliche Werte. Setzt man die so dargestellten Sternzahlen in die Auflosungsformel(16) ein, so kann man den ersten Summanden, (das Fehlergesetz), nach dem oben entwickelten Verfahren behandeln, welches keine numerische Integration erfordert; eine solche ist also nur fur den zweiten Summandeii, die A , (m) notwendig. Es ergibt sich

(24) u + b Ill - c 111' &4 (In) = I0 -I- A , (m) .

?i

+ ' L ' ( W 2 ) - A,' (m - ' 1 ) y (p + ?/) d q ' s u + 6 in - c i iP j (m - p ) p.' ( p ) =

0

Die Integration iiber A,' (m - 7) kann keine Konvergenzschwierigkeiten mehr bieten, denn diese Funktion nahert sich iiicht iiur f i i r wachsende q dem Wert 0 , sondern verschwiiidet sogar streng. Kurzer ist freilich die direkte Integration der Formel (16) in allen Fallen, wo die Sternzahlen fur

F. SCHMEIDLER: Ober die Restimmung der riiurnlichen Sterndichte 205

die helleren Sterne so rasch abnehmen, daB eine genugend rasche numerische Konvergenz eintritt ; dann wird man den Umweg uber den oben entwickelten Ansatz als umstandlicher vermeiden.

Diese Entwicklungen gelten selbstverstandlich in ganz analoger Weise fiir die Ermittlung der Funktion g (e) aus G1. (22). Die ubertragung erfordert keine weitere Erlauterung mehr, so daR sich abschlieBend das folgende endgultige Formelschema aufstellen la&

+ A0 (m) a + b m - ern' A (m) = 10 + P o (m) a, + bl m - el mz p (m) = I0

m

W

Nun ist noch zu zeigen, wie man die eingehende Funktion Y ( x , y) wirklich aufstellt. Zu- nachst sol1 der Fall y = o behandelt werden, dann hangt die Funktion nur von x ab. Da y in der Auflosungsformel dem in den Sternzahlen auftretenden quadratischen Glied entspricht, sind diese, wenn y = 0, durch ein linerares Exponentialgesetz gegeben. Hier liefert das schon von Seeliger aufgestellte Theorem die Auflosung, daB die beiden Gesetze

A (m) = c 10~"~ und f (e) = y I O ~ ~

zusammengehoren; dabei ist x ein zunachst konstant zu haltender Parameter. In der Tat folgt aus der in (A) als ( rb) abgeleiteten Gleichung

(nz - A4) p ( M ) dM = y 10

m m

- x 'II A (m) = 10 y (M) dM = y R (x) 10 ' " * j t L J

I1 CD

R ( x ) =SIO-'.'~ p ( M ) dM ,

wobei hier p als untere Integrationsgrenze auftritt statt -cu, da ja unsere ganze Rechnung die Leuchtkraftfunktion fur M < ,u streng gleich o setzt. Um die hier entwickelte Auflosungstheorie anzuwenden, hat man die Ableitung der A (m)

i"

zu bilden und in die Auflosungsformel (16) einzusetzen. Nach einer elementaren Zwischenrechnung erhalt man

m

0

Der in der Klammer stehende Ausdruck ist aber gerade die gesuchte Funktion Y ( x , o), fur die man also erhalt

(26) mod

Y ( x , 0) = - x R (%) 9 l o - r r c '

Diese Formel gilt nun naturlich fur alle positiven Werte des Parameters x . Der Ausnahmefall x = o kann nie auftreten, denn dann wurden ja die Sternzahlen dem Gesetz A (m) = const folgen; mit der Bedingung, daR narh G1. (I) in (A) die A (m) verschwinden miissen fur m+ -m, lafit sich dieses Gesetz nur dann vereinigen, wenn die A (m) fur alle Werte m verschwinden; dann wird das ganze Problem gegenstandslos.

Die Berechnung von R ( x ) in Formel (26) kann man sehr einfach ausfuhren, wenn die Leucht- kraftfunktion dem Fehlergesetz

gehorcht; dann ist p + pbl-831' 9 ( M ) = I0

50 W

R ( x ) = J ' I o -'-lf y ( M ) d M = ~ ~ 0 ~ + ( ~ - * ) U - 6 J 1 ' dl11 *

Y P

206 F. SCHMIHDLER: Uber die Bestiminung cler raumlichen Sterndiclite

8.914 9.068 9.188

Die Auswertung dieses Integrals kann ahnlich geschehen, wie bei dem analog gebauten Ausdruck in G1. (11) und fuhrt schliefilich auf das Resultat

8.870 9.050 9.188

wo 2 sM, = q - x und Q (2) wieder die schon dort eingefuhrte Funktion ist. Nun sind alle Grundlagen gegeben, um aus (26) die Funktion Y fur y = 0 auszurechnen.

Die Berechnung fur, Werte y =/= 0 folgt d a m aus einer leicht aufstellbaren Differentialgleichung. Durch Ausfuhrung der Different ationen ist sofort ersichtlich, daB !P der Gleichung

~P!P I a~ 7 3 + a c = O (27)

geniigt. Dicse zuftillig mit der Warmeleitungsgleichung identische Beziehung 1aDt sich durch ein Naherungsverfahren integrieren ; die notwendigen Randbedingungen folgen aus (26). Als erste Naherung liegt der Ansatz

(x, Y) = !P (x, 0)

nahe. Aus dieser Annalime berechnet man dann nach (27) die Ableitungen

fur alle y

'u, (x, y ) = -mod YTz (x, y) und bestimmt daraus durch numerische Integration einen verbesserten Wert

2/

!P (x, y) = Y (x, 0) +s!P2/ (x, t ) dt , 0

der d a m mit deni Ausgangswert ubereinstimmen wird, wenn die gemachte Hypothese richtig war ; andernfalls ist das Verfahren so lange zu wiederholen, bis ffbereinstimmung erreicht ist. Die Rech- nung ist fur jeden in Frage kommenden Wert x eigens auszufuhren. Jeder Leuchtkraftfunktion ist eine derartige Funktion Y (x, y ) zugeordnet und braucht nur einmal aufaestellt zu werden. Die

'rabelle 7 l o g V ( X , 1,) f u r die a l l g e m e i i i c

Le u c h t k r a f t f u n 1c t i o 11 ~~

1 2 --

0 1 0

o 15

0 25 0 30 0 35 o 40 0 45 0.50 0 55 o Go

0 2 0

l U ~~

'\

x \ 7 ~

0 1 0

0 I5

0 25 0 30 0 35 0 40 0.45 0.50 0.55 0.60

0 2 0

0.0CK~ I 0.005 I , 0.010

0.7 7 1 7.148 7.5"'

8.111 8.36; 8.591 8.783 8.944 ~1.078 q.rSy

7.823

5zzz?z?

0.015 . 5.283 5.891 6.450

7.841

8.535

9.187

6.961 7.422

8.210

8.810 9.023

- ~

0.020 _ _ 4.291 5.049 5.749 6.386 6.965 7.490 7.957 8.360 8.704 8.974 9.186

T a be l l e-8 f u r d i e A-S te r i l e

0.020

8.517 8 530 8.559 8.600 8.648 8.700 8.754 8.810 8.865 8.918 8.967

- 0.040

8.473 8.484 8.513 8.556

8.723

8.904 8.956

8,609 8.665

8.786 8.848

- 0.060

8.408 8.423 8.456 8.504 8.561 8.624 8.691 8.762 8.829 8.890 8.944

Rechnung wurde fur die beiden obYn behandelten Leuchtl kraftfunktionen ausgefuhrt, fur die allgemeine Funktion und die der A-Sterne gesondert. Die Rechnung fur die allgemeine Funktion wurde bis zum Wert y = 0.020, fur die A-Sterne bis y = 0.060 getrieben; wird y noch groljer, dann erwies sich die Konvergenz der ursprunglichen Formel (16) als stark genug, um auf die Funktion Y' uberhaupt verzichten zu konnen. Die Resultate sind in den Tabn. 7 und 8 gegeben.

Eine erneute Berechnung des in (,A) behandelten, dem Malmquistschen Fall nachgebildeten Nodells mit der verbesserten losenden Funktion wird nun entscheiden, ob die seinerzeit benutzte, nur genahert richtige Funktion erheblich verfiilschte Resultate lieferte. Die in (A), S. 17 gegebenen, fur das Modellsystem theoretisch errechneten Sternzahlen wurden ohne Abanderung fur die neue Rechnung verwendet; nach Bildung der Werte A' (m) wurden diese in die Auflosungsformel (14) eingesetzt. Die Konvergenz des Integranden war so rasch, da13 eine Anwendung des im Vorangehenden entwickelten Verfahrens mit Hilfe der Funktion Y (x, y) nicht not- wendig war. Die Tab. 9 gibt nun in der dritten Spalte die Resultate- mit der neuen losenden Funktion, in der vierten die in (A) mit der rohen Funktion abgeleiteten Dichtewerte, die dort in Tab. 3 gegeben waren, zuletzt schliel3lich die wahren Werte.

Im ganzen zeigen die neuen Werte eine vie1 groljere Ahnlichkeit mit den wirklichen ; zwar erfolgt zwischen

F. SCHMEIDLER: Uber die Bestimmung cler raumlichen Sterndichte 207

1000 ps und 2000 ps ein in Wirklichkeit nicht vorhandener rascher Abfall der Dichte, dafiir wird aber in der L u c k bei 3ooops der wahre Wert o der Dichte fast erreicht und im

Tabelle g Dichtewerte i m Modell-Svstem

;weiten :System steigt sie fast wieder bis I an, was in der alten Rechnung nicht der Fall war. Die in (A) abgeleitete losende Funktion kann also infolge ihrer beschriinkten Ge- nauigkeit nur ein rohes Bild vom wirklichen Dichteverlauf im Sternsystem liefern; wenn man grooere Genauigkeits- anspruche stellt, mu13 man die in der vorliegenden Arbeit aufgestellte Funktion verwenden, die in der numerischen Berechnung allerdings manchmal weniger bequem ist , wenn man auftretende Konvergenzschwierigkeiten nur durch Aus- rechnung des Systems (25 ) vermeiden kann.

e

10.5

11.5

12.5 13.0 13.5 14.0

14.5 15.0

- 10.0

11.0

12.0

- r

1000 I 231 I580

2 500 3 160 4 000 5 000 6310 8 000

2 000

I0 000

- D(neu - 1.01 0.92

0.74 0.46

0.08 0.47 0.72 0.82 0.63

0. I2

0.11

4. Das Sternsystem in der Rihtung zum galaktishen Pol

Dalt

0.98 0.84 0.61

0.37 0.32

0.44 0.59 0.63 0.52

0.25

1.01

= Dpirklich

I .oo 1.00 1.00 1.00 0.00 0.00 0.00 1.00 1.00 1.00 0.00

In (A) war mit den damals gegebenen Rechengrundlagen eine Behandlung des auf die ga- laktische Polzone bezuglichen Beobachtungsmaterials durchgefuhrt worden. Da sich die dort benutzte y-Funktion inzwischen als unzureichend fur hohere Anspriiche an Genauigkeit erwiesen hat, erscheint es notwendig, auch diese Rechnung zu wiederholen. Die in Tab. (6) von (A) gegebenen Werte der Funktionen A (m) und 9 (m) wurden unverandert ubernommen, desgleichen die fur m < 8 giiltigen Interpolationsformeln. Extrapoliert man diese fur m > 8, dann konnen sie die wirk- lichen Werte der beiden Funktionen nicht mehr darstellen, die Differenz zwischen Formel und Wirklichkeit ist das in (25 ) auftretende Korrektionsglied A , (m) bzw. #o (m). Die Konvergenz der Werte A (m) und fi (m) fur abnehmende Helligkeiten ist namlich nicht stark genug, um eine direkte Berechnung der Formeln (14) und (22) zuzulassen, die Konvergenzschwierigkeiten muBten durch das obige Verfahren umgangen werden, das in Formel (25 ) gipfelt. So ergaben sich die Funk- tionen f (@) und g (@), welche ihrerseits nach den in (A) als (4) abgeleiteten Beziehungen die fiktiven raumlichen Dichten A , und A , ergeben. Aus G1. (3) in (A) folgt dann die Absorption. Fur Ent- fernungen unter 631 ps wurde das schon seinerzeit benutzte Schwarzschildsche Gesetz zur Darstellung der raumlichen Dichte beibehalten. Auf diesem Wege ergaben sich die in Tab. 10 mitgeteilten Zahlen. -

Tabelle 10 Dichte u n d Absorpt ion

a m galakt ischen Pol

Wiedeium bedeuten die Querstriche diejenige Stelle, wo ein Sprung in der Dichte zu erwarten war; auch dies- ma1 ist fiir groBere Entfernungen die Dichte praktisch 0. Gegenuber den in (A), Tab. 7 gegebenen Resultaten ist jedoch ein entscheidender Unterschied; die Funktion d, ist erheblich grol3er und damit auch die Absorption, die bis zur Grenze des Systems gleichmaDig ansteigt und dort den unmoglich hohen Wert von vier GroBenklassen erreicht. Am galaktischen Pol ist eine derartige Absorption denkbar unwahrscheinlich, denn beim senkrechten Durchblick durch die absorbierende Schicht kann niemals so vie1 Licht ver- loren gehen ; selbst in MilchstraBenfeldern sind derartige Verhiiltnisse selten.

e 5 6 7 8 9 9.5 10.0 10.5

11.5

12.5 13.0

11.0

12.0

- - __ YO

158 250 400 63 1 Boo

1280 I 580

2500

3170 4000

- I00

1000

2000

-

- A 1(YO) - 1.00 0.69 0.46 0.30 0.19 0.14

0.08 0.06 0.05 0.03

0.11

-

0.02 0.01

- Adyo)

1-45 1.18

0.94 0.73 0.61 0.54 0.48

0.43 0.38 0.30 0.10

0.00 0.00

-

F

a (4 0.8

1.6

2.6

2.9 3.2 3.6 3.9 4.0 2.8

I .2

2.0

- - -

Unter diesen Umstanden bleibt nur die Erklarung ubrig, daB in den Beobachtungsgrund- lagen ein Fehler steckt, der die starke Absorption vortauscht. Folgende zwei Moglichkeiten kommen in Betracht:

I. Die benutzten mittleren Parallaxen sind systematisch entstellt, 2. Die verwendete Leucht kr af t f unktion ist f alsch .

Eine Entscheidung zwischen beiden Annahmen ist auf Grund des vorliegenden Beobachtungs- materials allein nicht moglich. Die mittleren Parallaxen werden durch ein Verfahren der Mittelbildung erhalten und beruhen auf der Voraussetzung, daB die Pekuliarbewegungen sich bei einer genugend gro13en Zahl von Einzelsternen aufheben. Diese Annahme muB nicht notwendig erfiillt sein, ja nachdem wir sogar heute wissen, daB die Bewegungen der Sterne gewissen GesetzmaBigkeiten

208 F, SCHMEIDLEK : ttber die Bestimmung der raumlichen Sterndichte

gehorchen, ist sie geradezu unwahrscheinlich. Allerdings kann einer der wichtigsten systematischen Effekte; die galaktische Rotation, die hier benutzten Eigenbewegungen nicht wesentlich verfalschen, denn diese ist am galaktischen Pol nicht vorhanden. Was obige Moglichkeit 2. betrifft, so sind Unstimmigkeiten in der van Rhijnschen Leuchtkraftfunktion durchaus denkbar ; man braucht nur zu beriicksichtigen, daB die Forschung der letzten Jahre eine standig steigende Zahl von Sternen schwacher und schwachster Absoluthelligkeit geliefert hat, die in der Leuchtkraftfunktion sicher nicht in geniigend grol3er Zahl erfaBt sind. Wenn man annimmt, daD die obige Untersuchung die Zahl der absolut schwachen Sterne zu klein angesetzt hat, dann wurde dementsprechend die mittlere Absoluthelligkeit aller Sterne als zu hell angenommen sein ; da die wirklich beobachteten Sternzahlen und mittleren Parallaxen einer geringeren mittleren Absoluthelligkeit entsprechen, so wiirde also die Rechnung diese Differenz einer in Wirklichkeit nicht vorhandenen Absorption zuschreiben ; die Annahme, daB die absolut schwachen Sterne haufiger sind, als der van Rhijnschen Leuchtkraftfunktion entspricht, konnte also den Sinn des oben erhaltenen Fehlresultats gut er- klaren. Ein weiterer Faktor kommt aber noch hinzu, der wohl mindestens ebenso wichtig ist. Alle ausgefiihrten Rechnungen beruhen auf der Annahme, daB die in der Nahe der Sonne gultige Leucht- kraftfunktion auch auf groRere Entfernungen iibertragen werden kann. Ob diese Hypothese all- gemein unrichtig ist, konnen wir beim heutigen Stand der Untersuchung noch nicht entscheiden : fur die vorliegende Untersuchung der galaktischen Polgegend ist sie aber sicher nicht erfiillt, denn die absolut sehr hellen Sterne werden zu einem erheblichen Teil von den B-Sternen geliefert und diese horen in der Richtung zum galaktischen Pol schon in relativ geringen Entfernungen fast vollstandig auf. Die zahlenmaBige Abnahme von sehr hellen Sternen wiirde auch bewirken, daB die angenommene Leuchtkraftfunktion die mittlere Absoluthelligkeit aller Sterne zu hell ansetzt und in der Rechnung eine Absorption vortauscht, um die Abnahme der absoluten Helligkeiten zu erklaren. Die beiden diskutierten Effekte konnen zusammenwirken und zum mindesten einen Teil des in der Rechnung erhaltenen unwahrscheinlichen Resultats erklaren.

Eine gewisse Teilentscheidung der ganzen Erage laRt sich treffen, wenn man eine Gruppe von Sternen untersucht, fiir die die Gestalt der Leuchtkraftfunktion sicher bekannt ist und auch mit einiger Wahrscheinlichkeit als ortsunabhangig angenommen werden kann. Am geeignetsten fiir eine solche Bearbeitung erschienen mir die A-Sterne ; in allen spateren Klassen bringt die Tren- nung in Riesen und Zwerge unkontrollierbare Schwierigkeiten, wahrend die noch fruheren Klassen zu wenig zahlreich vertwten sind, um noch statistische Untersuchungen zuzulassen. Es wurden daher Sternzahlen und mittlere Parallaxen fur alle A-Sterne mit galaktischer Breite iiber 70" aufgestellt .

Benutzt wurden die drei Eigenbewegungskataloge : General Catalogue of 33342 stars for the epoch 1950 von Boss, Trans. Astron. Obs. Yale Univ. Bd. g und 10.

Aus dem Boss-Katalog wurden alle die A-Sterne benutzt, deren Koordination fur 1900 zwischen den Grenzen 11h40m und 13h4om in Rektaszension und +IO' und +45" in Deklination liegen. Nimmt man die Koordination des galaktischen Pols zu 12h40m und +28" (1900) an, dann zeigen die von Ohlssonl) gerechneten Tafeln, daB das so abgegrenzte Gebiet an den Eckpunkten die 7oO-Kalotte ein wenig uberschreitet, sie dafur an anderen Punkten nicht ganz erreicht. Fur die Yale-Kataloge sind entsprechend den Ohlssonschen Tafeln die Grenzen bei Band g zwischen I I ~ I O ~ und 14h10m, bei Band 10 zwischen I I ~ Z O ~ und 14hom in Rektaszension; alle Angaben beziehen sich auf 1900. An die in den Katalogen gegebenen Eigenbewegungen ist noch eine Reihe von Korrektionen anzubringen, um sie auf einheitliches System, und zwar das desFK3 zu reduzieren. Die EB des Boss-Katalogs erforderten die folgenden Verbesserungen :

I. Nach Wilson und Raymonda) sind die EB des General Catalogue pro Jahrhundert wegen

Zur Gewinn'ung der mittleren Parallaxen wurde folgendermaRe-n vorgegangen.

verbesserter Prazession urn die Betrage

zu korrigieren. Die Korrektion wurde generell fur die Mitte des bearbeiteten Feldes (AR = 12h40m, 6 = +28") berechnet und ergab dort zufallig fur die resultierende w-Konponente der E H null. Die Vernachlassigung der ganzen Korrektion ist also berechtigt.

A pa = +or016 - 0:025 sin u tg 6 A ,us = - 0 ~ 3 8 cos a

l ) J. Ohlsson: Tables for the conversion of equatorial coordinates into galactic coordinates. .4nn. Obs. Lund Nr. 3 (1932).

?) R. E. Wilson and H. Raymond: Solar motion, precessional constants and galactic rotation derived from the proper motions of the General Catalogue. Astron. J. 47.57 (1938).

F. SCHMEIDLER: uber die Bestimmung der raumlichen Sterndichte 209

2 . Die galaktische Rotation wurde ebenfalls nicht beriicksichtigt, da sie am galaktischen Pol verschwindet .

3. Die Reduktion auf den FK3 wurde entsprechend den in General-Catalogue, Bd. I, S. 330-331 gegebenen Korrektionen abgeleitet unter Mitberucksichtigung der dort angegebenen Hellig- keitsgleichung O?OOIO (m - 3.5) sec 6. Entsprechend der Verteilung der benutzten Sterne wurde bei der Ableitung des der Feldmitte entsprechenden Betrags ApU, die Deklinations- zone +30" to -20' mit doppeltem Gewicht berucksichtigt ; der so abgeleitete Verbesserungs- betrag der v-Komponenten der Eigenbewegung wurde dann generell an alle Sterne ohne Rucksicht auf ihre Lage innerhalb des Feldes angebracht .

Auch die Eigenbewegungen der Yale-Kataloge erforderten gewisse Korrektionen I. Mit Hilfe der in Bd. 9. S. (33) bzw. Bd. 10, S. (3) gegebenen Differenzen wurden die EB zu-

nachst auf das System des PGC reduziert. 2. Die Reduktion vom System des PGC auf den F K 3 geschah auf Grund der Angaben im F K 3

selbstl). Die Tafel4, Seite 88, gibt die Ortsdifferenzen von zehn zu zehn Jahren; die jahrliche hde rung dieser Differenzen ist die an die EB des PGC anzubringende Reduktion auf das System des FK3.

3. Zur Ableitung der Eigenbewegungen benutzten die Bearbeiter der Yale-Kataloge die AG- Zonenbeobachtungen von Cambridge und Berlin B. Diese sind durch Helligkeitsgleichungen entstellt, welche in den Yale Transactions Nr. 9 und 10 nicht angebracht sind. Die Betrage der Helligkeitsgleichungen sind in PGC S. 304 gegeben. Da es sich urn Fehler der beobachteten Urter handelt, erhalt man die entsprechenden Korrektionen der EB, wenn man durch die Epochendifferenz dividiert, die zu 50 Jahren angesetzt wurde.

Auch hier wurden alle eingehenden Korrektionen generell fur die Mitte des jeweils betrachteten Feldes berechnet und an alle Sterne in gleichem Betrage angebracht. Ein Versuch etwaige Schnell- laufer im Material auszuschlieBen, wurde nicht unternommen, da nach den Resultaten von Mi- czaikaa) unter den A-Sternen Schnellaufer nur ganz selten vorkommen.

Nach Anbringung aller dieser Korrektionen folgen aus den Eigenbewegungen die mittleren Parallaxen nach der Formel

2 v sin I. Zsin2 il

32 (nz) = c Fur die Konstante wurde der Wert 0.292 angenommen; er entspricht der von Nordstrom3) ab- geleiteten Sonnengeschwindigkeit von 16.3 km/sec in bezug auf die A-Sterne. Als Koordinaten des Apex wurden angenommen A = 270°, D = +34", da die von Smart gerechneten Tafeln4) sich auf diesen Wert beziehen. Da das betrachtete Feld einen Apexabstand

T a b e l l e 11

M i t t l e r e P a r a l l a x e n der A - S t e r n e a m ga lak t i schen P o l

von fast 90" hat, kann eine falsche An- m I G 1 n ( m ) B o s s 1 n ( m ) Y d e 1 Mittel nahme iiber den Apexnur geringen EinfluB 5 ~ o o - 5 t ~ 9 g 5m5 o~oI15 ( 2 2 ) 1 ol'o117 (IC) 1 ol'or16 ( 3 2 ) haben. Tab.11 gibt die resultierenden mitt- 6.00-6.99 6.5 O . O O ~ I (40) O . O O ~ O (24) 0.0091 (64)

den Boss-Katalog und die Yale-Kataloge, ~ : ~ ~ ~ : ~ ~ I dann das Mittel aus beiden. Die wenigen Sterne im General Catalogue, die schwacher als 8Fo sind, wurden nicht mit

verwendet, da ihre Helligkeiten meist unsicher sind. Daher enthalt die Tab. 11 fur m > 8 keine Boss-Sterne mehr. Bei den helleren Sternen ist die obereinstimmung mit den aus den Yale- Katalogen folgenden Parallaxen im Verhiltnis zu der geringen Zahl der benutzten Sterne uber- raschend gut.

leren Parallaxen, zunachst getrennt fur 7.00-7.99 1 '7:: 1 0.0061 (I]! ' 0.0057 (21) i

Die jeweilige Zahl der Sterne ist in Klammern gegeben.

1 ) Dritter Fundamentalkatalog des Berliner Astronomischen Jahrbuchs.

%) G. Miczaika: Die Sterne groBer Geschwindigkeit. a) H. Nordstrom: A study of stellar motions based on radial velocities. Medd. Lunds Astron. Obs. (11),

I . Teil ' Die Auwers- Sterne Nr. 54 ( 1 9 3 7 ) . fiir die Epochen 1925 und 1950. Veroff. Astron. Rechen-Inst. Berlin-Dahlem.

Astron. Nachr. 270.249 (1940).

Nr. 79 (1936). 4, W. Smart: Charts giving the angular distances of stars from, and the position angles relative to the

Ant-Apex of the solar motion (1923) Astmn. Nachr. Bd. a74

2 7

210 F. SCHMEIDLER : ober die Bestimmung der rgumlichen Sterndichte

Zur Ermittlung der Zahlen der A-Sterne liegt fur die hellen Sterne der Draper-Katalog vor, fur den Charlier Abzahlungen durchgefiihrt hat1). Es kommen fur den vorliegenden Zweck die zu den beiden Arealen GAI und GAz gehorigen Zahlen in Frage, welche die galaktische Polkalotte bis zur Hreite b = 66?44 erfassen. Fur die schwacheren Sterne wurden mir die statistischen Re- sultate der Bergedorfer Spektraldurchmusterung fur die Felder 55-58, ferner die eines z g Quadrat- grad groBen Feldes im Sternbild Coma von Herrn Prof. A. SchwaDmann freundlicherweise iiber- lassen; hinzugenommen wurden die im Bd. 2 bereits veroffentlichten Felder 31 mit 33, nicht da- gegen die mir ebenfalls iiberlassenen Felder 81 und 82, da dieselben nur mit einer vorlaufigen

Helligkeitsskala bearbeitet waren. Fur die vorzeitige uber- lassung der noch unveroffentlichten Spektralstatistiken mochte ich den Herrn Prof. Heckmann und SchwaBmann an dieser Stelle meinen herzlichen Dank aussprechen ; erst dadurch ist

Bergedorf mir die eingehende Untersuchung der A-Sterne am galak-

Tabelle 12 Zah len d e r A-Sterne a m ga lak t i schen P o l -

ni

1 . 5 3.5 4.5 5.5 6.5 7.5 8.5 9.5

10.5 11.5 12.5 13.5

I tischen Pol moglich geworden. Sterne ~ Sterne Die Sternzahlen sind nun in Tab. 12 einzeln mitgeteilt, -

- - -

wobei stets die Zahl der Sterne gemeint ist, deren Hefiigkeit zwischen m + + und m - + liegt; die Zahl A (m) fur m = 5.5 bedeutet also die Zahl der A-Sterne, deren scheinbare Hellig- keit zwischen 5 ~ 0 und 6mo liegt. Als A-Sterne sind dabei alle Sterne mit Typus zwischen AO und Ag angesehen. Die Zahlen der helleren Sterne nach Charlier sind mit denen von Table IV, 4 der erwahnten Arbeit identisch.

Daneben sind dann die Zahlen aller Sterne (d. h. aller 1670 Spektralklassen) gegeben. Man erkennt, daB es sich bei den

A-Sternen um sehr kleine Zahlen handelt, deren statistische

- - - 114 212

485 1068

Verwertung nicht ganz einfach ist. Daher wurden zunachst einmal die Bruchteile gebildet, mit denen fur die einzelnen Helligkeiten die A-Sterne am Gesamtbild beteiligt sind, d. h. also die Ouotient en Zahl der A-Sterne der Helligkeit m

Zahl aller Sterne der Helligkeit m a (m) =

Diese Quotienten wurden dann durch Mittelbildung auf die vollen GroDenklassen iibertragen ; das Mittel der Werte fiir m = 6.5 und 7.5 ergibt also den Wert fur 7.0, wahrend die Einzelwerte fur die halben GroDenklassen nun nicht mehr weiterverwendet wurden; dadurch wurde schon eine gewisse Glattung der stark unregelmafiig verlaufenden a (m) erreicht. Die nun fur jede volle GroDen- klasse vorliegenden Werte erfuhren durch Bildung ubergreifender Mittel zu je drei eine weitere Ausgleichung und dann wurden durch Interpolation in die Mitte auch wieder Werte a (m) fur halbe Groljenklassen hergestellt. All diese Operationen wurden fur die Charlierschen und die Berge- dorfer Abzahlungsresultate getrennt ausgefuhrt. Beiden Reihen gemeinsam war dann nur der Wert ( x (m) fur m = 10.0, fur ihn wurde der Mittelwert als endgultig angenommen. Die so ge- wonnenen Werte a (m) von halber zu halber GroDenklasse erhielten durch eine nochmalige Bildung ubergreifender Mittel zu je drei ihre als endgiiltig angenommenen Betrage.

Multipliziert man die so erhaltenen a (m) mit den bekannten Zahlen A (nz) aller Sterne, so ergeben sich die Zahlen der A-Sterne. Fiir die Zahl der Sterne aller Spektralklassen wurden dann aber nicht die Zahlen der Tab. 12 genommen, sondern die schon in (A) von Seares und van Rhijn ubernommenen Werte (s. Tab. 6 in (A)). Diese haben bereits einen geniigend gleichmaoigen Gang und sind auDerdem auf die Flache von ein Quadratgrad bezogen. Wie aus Tab. 12 hervor- geht, sind in der ganzen Pdkalotte nur 6 A-Sterne heller als funfte GroBe vorhanden; daher wurden die gewonnenen Resultate nur fur m > 5 als statistisch reprasentativ angesehen. Die auseinander- gesetzte Behandlungsweise zerstreut die Bedenken, die man gegen die Mitverwendung des oben erwahnten mir aus Bergedorf zur Verfugung gestellten Beobachtungsmaterials aus dem Coma- Feld haben kann. Nach Mitteilung von Herrn Prof. SchwaDmann ist das Feld durch den Coma- Haufen eines von auflergewohnlicher Sternverteilung ; die hellen Sterne sind haufiger, die schwachen seltener als es der Normalverteilung entspricht. Da aber nach Trumplers Resultaten2) die Verteilung

1) C. V. L. Charlier: Statistical notes on the Draper-Catalogue. Medd. Lunds Astron. Obs. (IT), Nr. 36

2) R. J. Trumpler: The star cluster in Coma Berenices. (1927).

Lick Obs. Bull. Nr. 494 (1938).

F. SCHMEIDLER: uber die Bestimmung der raumlichen Sterndichte 21 1

auf die verschiedenen Spektralklassen im Coma-Haufen einigermaBen normal zu sein scheint , und die obige Bearbeitungsmethode ia nur den Prozentsatz der A-Sterne dem Beobachtungs- material entnimmt, ist eiie Verfalschung der Resultate nicht zu erwarten.

Die resultierenden Werte A (m) sind nun in Tab. 13 mitgeteilt. Sie gibt zunachst die endgiiltigen a (m), dann die durch Multiplikation mit den Zahlen der Tab. 6 in (A) folgenden A (m) und schlieBlich die aus der Interpola- tionsformel

log A (m) = 7.988 + 0.384 (m - 6) - 0.056 (m - 6)* folgenden Werte. Diese Formel wurde dann wieder jiber eine GroRenklasse, d. h. fur m =4, extrapoliert ; der Grund dieses Vorgehens wird unten ersichtlich. Die Formel stellt die Sternzahlen bis zur Helligkeit 8m5 geniigend dar, wie aus den Resten der letzten Spalte hervorgeht.

Die mittleren Parallaxen der Tab. 11 und die Stern- zahlen der Tab. 13 stellen nun das Material dar, welches der Rechnung zugrundeliegen soll. Da die nur aus geringer Anzahl von Sternen ermittelten Parallaxen sehr unsicher sind und nur ein kleines Helligkeitsintervall iiberbrucken, wurde auf die scharfe Ermittlung der raumlichen Dichte aus der Funktion fi (m) = A (m) 5 (m) verzichtet ; die er- haltenen Einzelwerte wiirden kaum reelle Bedeutung be- anspruchen konnen. Zur Ermittlung der Absorption wird dann das Verfahren anaewendet werden. daB die aus den

- ~

?It

___ 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0 7.5 8.0 8.5 9.0 9.5

10.5

11.5

12.5 13.0

10.0

1 1 . 0

12.0

Tabelle 13 Die Zahlen A (m) -

a (m)

0.249 0.252 0.245 0.225 0.194 0.155 0.1168 0.0888 0.0640 0.0497 0.0433 0.0399 0.0376

0.0284

0.0182

0.0331

0.0234

1% A (m)

7.55' 228 7.779 7.986 '07

8.169

8.520 8.603

8.741

56 8.659 g2

8.869 9.016 147 9.166 150 9.281 "5

9.497

- ogA (m)

6.996

7.548 7.782 7.988

8.438 8.532 8.598

nach Formel

7.286

8.166 8.316

8.636 8.646 8.628 8.582 8.508 8.406 8.276

- B-R

to .003 -0.003

4-0.003 +0.004 -0.004

+0.005 t-0.023

+0.241 3-0.434 t-o.658 4-0.875

-0.002

-0.012

4-0.095

+I.102

Sternzahlen ermittelte Yaumliche Dichte mit einigen willkurlich gewahlten Absorptionskoeffizienten kombiniert zur theoretischen Berechnung mittlerer Parallaxen benutzt wird ; mit einer gewissen Annahme wird sich dann die groBte Annaherung an die wirklich beobachteten Parallaxen ergeben. Fur die Ermittlung der Dichte aus den Sternzahlen benutzte ich das von mir in (A) entwickelte Verfahren unter Benutzung der in der vorliegenden Arbeit abgeleiFeten losenden Funktion fur die A- Sterne.

Das System der A-Sterne ist schon friiher von Malmquist und Hufnagel') untersucht worden ; benutzt wurden ebenfalls die Charlierschen Abzahlungen aus dem Draper Katalog. Eine Ver- gleichung der Methoden bietet an dieser Stelle ein gewisses Interesse. Mit den bis zur achten GroRe statistisch reprasentativen Charlierschen Abzahlungen konnten Malmquist und Hufnagel bis in die Entfernung 140 ps vordringen und innerhalb dieses Gebietes die Dichteverteilung der A-Sterne ableiten. Sieht man die Abzahlungen nur fur m > 5 als zuverlassig an, dann liefert die Anwendung meiner Methode auf die Sterne des Draper-Kataloges allein (also die Sterne zwischen 5m und 8m) die Dichte fiir Entfernungsmoduln e zwischen 5 -,u und 8 -,u; da fur die A-Sterne die hochste vor- kommende Absoluthelligkeit y = -I zu setzen ist (vgl. S. ZOI), so entspricht das Entfernungen zwischen 160 und 631 ps, also gerade Bereichen, die die Malmquistsche Methode nicht mehr erfassen kann ; hingegen bleiben die kleinen Entfernungen der vorliegenden Methode unzuganglich. Um a ber wenigstens in einem kleinen Bereich eine Oberdeckung zu erreichen, wurden oben die Zahlen A (m) auch noch bis m = 4.0 durch Extrapolation hinzugenommen; auf diese Weise 1aBt sich die Rechnung bis in die Entfernung IOO ps an die Sonne heran ausfuhren. Fur die Gebiete iiber 631 ps Entfernung ergibt sich die Dichte dann aus den Zahlen der schwachen A-Sterne der Bergedorfer Spektraldurchmusterung .

Ehe man an die rechnerische Verwertung der in Tab. 13 gegebenen Zahl geht, kann man ohne jede Rechnung schon einige Voraussagen treffen, wenn man den in (A), Seite 7-8 abgeleiteten Satz iiber den EinfluB von Unstetigkeiten der Dichtefunktion auf die Sternzahlen anwendet. Nach ihm entspricht einer UnregelmaRigkeit von f (e) an der Stelle el in den: A' (m) eine solche an der Stelle 1~ = y + el. Die in Tab. 13 ebenfalls gegebenen ersten Differenzen der log A (m) zeigen nun zunachst einen gleichmaRigen Abfall, bei m = 8.5 einen schwachen Anstieg, der bei etwa 10.5 wieder in einen gleichmaBigen Abfall ubergeht ; entgegen der Erwartung fallt also die Zahl

K. G. Malmquist, L. Hufnagel: The distribution in space of the stars of type A as derived from the Draper Catalogue. Astron. Jaktt. Unders. Stockholms Obs. 11, Nr. 9 (1933).

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212 1'. SCHMEIDLER: uber die Bestimmung der raumlichen Sterndichte

der A-Sterne am galaktischen Pol fur schwachere Helligkeiten nicht rapide ab, sondern zeigt um die zehnte Grol3e herum nochmals einen wenn auch nur schwachen Anstieg. Dementsprechend hat man auch in der raumlichen Dichteverteilung in den zwischen e = 8.5 - ,U und e = 10.5 - ,U gelegenen llntfernungen eine Unterbrechung des bis dahin vorhandenen Dichteabfalls zu erwarten ; das entspricht den Entfernungen zwischen Boo ps und 2000 ps.

Die Ausfuhrung der Rechnung erfolgte nun auf Grund der Formel (25). Die quadratische Formel stellt die A (m) bis zu 8m5 sehr gut dar, so daR also das auftretende Korrektionsglied A,' (m) hier verschwindet und die Rechnung mit Hilfe der in Tab. 8 gegebenen Hilfsfunktion !P ( x , y ) entsprecheiid der Formel sehr rasch durchfiihrbar ist. Fur m > 8.5 werden die Korrektionsbetrage merklich und mussen durch numerische Integration gesondert berucksichtigt werden. Eine zweite unabhangige Rechnung wurde daneben unter der Voraussetzung ausgefuhrt, daB alle A-Sterne dieselbe Absoluthelligkeit haben ; in diesem Fall sind die beobachteten Sternzahlen direkt gleich der raumlichen Dichte multipliziert mit dem entsprechenden Volumen. Der Grund lag in folgendem: Die benutzte van Rhijnsche Leuchtkraftfunktion fur die A-Sterne hat eine relativ bedeutende Streuung, welche moglicherweise in Wirklichkeit kleiner ist. Es ist von Interesse festzustellen, wie sich die raumliche Dichte andern wiirde, wenn man eine geringere Streuung der Leuchtkraft- funktion annimmt. Die extremste Annahme in dieser Richtung ist eben die, allen A-Sternen die gleiche Absoluthelligkeit zuzuerteilen ; diese an sich sicher unrichtige Hypothese gibt einen gewissen

Aufschlul3 uber den Sinn, in dem sich das erhaltene Resultat T a b e l l e 14

Kauml iche D i c h t e d e r A - S t e r n e t l ak t i s chen Nordpo l -

A _ _ _ _

~

-~

16 I 1

7 . 3 4.3 2.4

0.5 0.4 0.3 0.4

1.2

0 . 2

0 . 2 0. I 0.0

0.0

0.0 0.0

A lit M = const

andern wurde. Bei Ausfuhrung dieser Rechnung wurde als mittlere Helligkeit der Wert +I&[ angesetzt. Zwar gibt die van Rhijnsche Leuchtkraftfunktion als Mittelwert +2M, doch werden beim Zustandekommen der Sternzahlen die absolut hellen Sterne wegen ihrer grol3eren Entfernung, die auch groBerem Volumen entspricht, bevorzugt.

Die Resultate dieser Rechnungen gibt nun die Tab. 14. In ihr sind die Dichtewerte fur Entfernungen unter 128 ps nach der oben erwahnten Veroffentlichung von Malmquist und Hufnagel') gegeben; fur Entfernungen uber IOO ps sind sie nach der hier entwickelten Methode errechnet, wobei den resultierenden Dichtewerten ein Faktor beigegeben wurde, der bei den beiden gemeinsamen Werten fur IOOPS und 128 ps die Obereinstirnmung mit den Malmquistschen Zahlen herstellte. Fiir die letzteren wurde jeweils das Mittel von den vier, in Table I der Arbeit gegebenen Einzelwerten ge- nommen. Zuletzt folgen in Tab. 14 noch die Dichtewerte, die aus dem Ansatz konstanter Absoluthelligkeit aller A-Sterne sich ergeben wiirden.

Die Zahlen von Tab. 14 sind als endgultige Dichte- verteilung der A-Sterne in Richtung zum galaktischen Nordpol anzusehen ; in dem von Malmquist untersuchten Rereich ist der Verlauf unregelmaaig ; fur die Entfernungen

zwischen IOO ps und 1600 ps ist sie einmal mit der im Vorangehenden entwickelten Methode und aul3erdem unter der Annahme konstanter Absoluthelligkeit berechnet. Die genaue Rechnung zeigt his etwa 400ps einen gleichmaBigen Abfall, von da bis 1600ps sehr kleine, im wesent- lichen konstante Werte ; bei Vernachlassigung der Streuung der absoluten Helligkeit erhalt man die Werte der letzten Spalte, die ein ahnliches Bild ergeben. Im Entfernungen uber 1600 ps, die nur noch der in der vorliegenden Arbeit entwickelten Methode zuganglich sind, stehen uberhaupt keine A-Sterne mehr. In unmittelbarer Nahe der Sonne sind also zwei starke Konzentrationen von A-Sternen, die den Raum bis etwa 400 ps Entfernung erfullen; hier beginnt das allgemeine Feld, das unter fast konstanter Dichte bis 1600 ps reicht. Wegen der Unsicherheit des zugrunde- gelegten Zahlenmaterials kann man das Resultat noch nicht als endgiiltig ansehen.

Das eigentliche Problem der Untersuchung, die Frage der Absorption am galaktischen Pol, laBt sich nun auf dem folgenden Weg behandeln. Mit dem in Tab. 14 gegebenen Dichteverlauf,

1) luc. cit. l'uDnote I, S. 211.

P. SCHMEIDLER: Uber die Bestimmung der raumlichen Sterndichte 2 i 3

kombiniert mit verschiedenen Annahmen uber einen Koeffizienten gleichmafiiger Absorption, wurden mittlere Parallaxen theoretisch ausgerechnet und mit den beobachteten der Tab. 11 ver- glichen. Selbstverstiindlich kann sich so nur ein schematischer Uberblick ergeben; es ist unwahr- scheinlich, daB die Absorption wirklich gleichmaBig erfolgt und man wird daher nur sagen konnen, daB die wirklichen Verhaltnisse effektiv am meisten dem aus der Rechnung folgenden Koeffizienten ahneln. Die Unsicherheit der mitt- -

Die Rechnung wurde mit den drei Koeffizienten y = om,

Werte der Tab. 15.

Tabel le 15 Mittlere Para l laxen u n d

Absorpt ion

leren Parallaxen gestattet keine zuverlassigeren Schliisse. log R (m)ber. llog 5 (m)beob]ly=om, y= I m , y= 2m

y = ~m und y = zm pro 1000 ps ausgefuhrt und ergab die

Der Vergleich mit den wirklich beobachteten Par- allaxen zeigt, daB jedenfalls der Wert y = zm pro 1000 ps eine wesentlich schlechtere Darstellung liefert als die ande- ren; die Annahme der Absorptionsfreiheit ( y = om) scheint sogar noch etwas wahrscheinlicher als y = ~ m . Sicher ist aber die Tatsache, daB eine etwa vorhandene Absorption bestimmt kleiner als I" pro 1000 ps ist.

Wenn demgegenuber die Rechnung mit . der allgemeinen Leuchtkraftfunktion der Sterne aller Spektralklassen Absorptionsbetrage bis zu vier Groaenklassen ergeben hatte, so ist durch die vorliegende Rechnung, die auf A-Sterne beschrankt war, die Unrichtigkeit dieses Resultats nach- gewiesen worden. Da die benutzten mittleren Parallaxen fiir die A-Sterne nach denselben Prin- zipien abgeleitet wurden wie die der Sterne aller Spektralklassen, so kann auch der begangene Fehler nicht auf Fehlerhaftigkeit der den mittleren Parallaxen zugrundeliegenden Hypothesen beruhen ; er ist zum mindesten zum grooten Teil der van Rhijnschen .Leuchtkraftfunktion aller Sterne zuzuschreiben. Sowohl die groBere Haufigkeit der absolut schwachen Sterne als auch die Abnahme der absolut hellen Sterne in groBen Entfernungen verandern die Gestalt der Leucht- kraftfunktion derartig, daJ3 sie in groBeren Entfernungen kein richtiges Bild der Sternverteilung mehr liefern kann. Die Annahme, daB die Verteilung der absoluten Helligkeiten uberall irn Raum dieselbe sei, ist also fur die Gesamtheit der Sterne aller Spektralklassen sicher nicht richtig.