aaaaa Nachr., Ed. 294, 1-1. 4 (1073)

Uber die Kontinuitatsmethode zur Auffindung periodischer Losungen 1;. Sc H AI E I L, I. fi K , M iinchen

(J3ngcga11~e11 1972 Juni 30)

Die uon POIKCARE angegebcncn Bedingumgen fiir die Existenz periodischer Liisutigeii \;on Systemen von Diffcrcntialglcicliungen werdeii dui-ch gccigctc Koordi~lntentraiisforiiiationcn i n ciiic cinfachere I’orm Re- bracht.

POINCARE’S conditions for tlic csistence of periodic solr~tions of systems of clillcrcntial equations are sirnpli- ficd by usc of transformations of coordinates.

1. Kanonische Systeme von Differentialgleichungen

Das von H. P U I N C . ~ U ~ B [I] entwickelte, yon C. L. SIEGEL 131 als Iioiitinuitatsmethode bezeichnete Verfahren zur Bestiminung periodischer Losungen \Ion Systemen \:on Differentialgleichungen klart die Bedingungen auf, unter denen es in der Nahe ungestorter Bahnen periodischer Art auch noch bei Beriicksichtigung kleiner StGrungen periodische Bewegungen gibt. Die fur die Existenz solcher Bewe- guiigen entscheidenden Parameter ergeben sich durch Lijsung eines Systems von linearen Gleichungen. Die Liisbarkeit dieses Systems hiingt voni Verhalten seiner Determinante ab, welche gleich der HESSE- sclien Determinante desjenigen Teils der HamLTonischen Funktion ist, der der ungestorten Bewegung nntspricht. Die naliere Diskussion der Losungsmogliclikeiteii fiihrt in manchen Fallen zu wenig uber- siclitlichen Entwicklungen.

In den folgenden Zeilen sol1 gexeigt werden, da13 c l m entscheidende System linearer Gleichungen durcli Wahl eines geeigneten I<oordinatensystenis auf eine sehr einfache Normalform gebracht werden kann. Die Deterniinante des Systems verschwindet in dieser Normalform und die sachliclie Aussage, die dtni Sj.stem entspricht, kann begrifflich sehr einfacli ausgedriickt werden. Zugleich ergibt sich eine unmittclbar einlcmhttnde Formulierung der Eedingungen fiir die Existenz periodischer Losungen.

Es sei zunaclist 1-orausgesetzt, da13 die Be\?~egungsgleicliuii~r~~ w n kanonischer Gestalt sincl und die Form

(I)

haben. Dabei sol1 p cine kleine GriiBe sein, die iiian sic11 als klein von der Groflenordnung storender RIassen vorzustellen hat. Lveiter ist i n (I) angenomnien, clafl der L h t e i l Fo der HARrlLToNschen Funktion nur \.on den Koordinaten x,. abhiingt; dn das Problem der ungestorten Bewegung als esakt losbar vorausgesetzt wird, kann tliese Gestalt \ u i (I) nvtfalls durch eine geeignete Transformation in jedem Fall liergestellt wrrden. Setzt man p = o uiid entsprechend F = F,, d a m ergibt sich die ungestorte Bewegung, deren Differentialgleicliungen

BF 2’. = - -. i = I, 2 , . . . , ~r iiiit F ( x Y , y,,) = Fo(xy) + p Fl(xv, jiy)

. S F . 8Xj ’ .’ I

x . 1 - * 2 J i ’

( 2 )

unmittelbar intc:grierbar sincl; dit: Liisung lautct

(3) y . = & . ’\!. = 1 + c .

wobei fii uiid ti die Integrationskonstanten sind. Die GroBeii ~i~ sind konstant, weil sie nur von den N, ab- hangen und diese nach ( 3 ) konstant sind.

Falls die durch ( 3 ) gegebene ungestiirte Bewegung fur gewisse Zalilenwerte der Integrations- konstanten von periodischer Natur ist, entsteht die Frage, ob es in ihrer Nahe gestorte Bahnen gibt, die ebenfalls periodisch niit der Zeit verlaufen. Wir wollen der Einfachheit halber nur solche Bahnen betrachten, deren Periode T im gestorten Fall gleich lang wie bei ungestorter Bewegung ist. Dann sind nach POINCARE [I] die Anfangswrte hi der Koordinaten xi durcli oli + pi zu ersetzen, wobei die pi aus dem System

1 ) L ) , I

0

11 Astron. Naclir., Bd. 294, H. J

1.50 F. SCHRIEIULER : Uber die Iioiitinuitatsniethode zur Xuffiridung periodisclicr Losungei~

zu bestimmen sind; in ihm bedeutet der Index 0 , daI3 die betreffenden GroRen in der Weise zu bestimmen sind, daR die Koordinaten xy, yl, durch die der ungest6rten Bewegung entsprechenden Werte ( 3 ) ersetzt werden. AuRerdem iniissen die Relationen

(g)o = O

erfiillt sein. Wenn es moglich ist, die beiden Systeme (4) uiid ( 5 ) zu erfullen, existieren periodisclie Losungen mit der Periode T auch fur ,u + 0.

Die Losung des Systems (4) stoRt auf die Schwierigkeit, daR dessen Determinante, die gleicli der HEssEschen Deterrninante

der Funktion Fo(xl, x2, . . . , x,,) ist, in vielen praktiscli vorkommenden Fallen verschwiiidet. Es ist dann eine gesonderte Dishussion erforderlich, ob uiid unter welchen Eedingungen das System (4) &bar ist.

Durch eine einfache Koordinatentransformation konnen die Eewegungsgleichuiigen in eine solche Gestalt gebracht werden, daR in der HEssEschen Determinante (6) samtliche Glieder auRer eineni einzigen Diagonalglied verschwinden. Es sei vorausgesetzt, da13 die partielle Ableitung von Fo nach x1 nicht identisch verscliwindet ; falls das nicht zutrifft, sind die Variablen derart uiiizuiiuineriereii, da15 die genannte Voraussetzung erfiillt ist. Das ist immer moglicli, aul3er es verscliwinden samtliche par- tiellen Ableitungen von Fo nach den x,; dieser Fall liegt vor, wenn die Losung ( 3 ) der Gleichungen der ungestorten Bewegung eine Gleichgewiclitslosung ist, ein Fall, der nach C. L. SIECEL [ z ] eine besondere Behandlung erfordert und aus der Diskusion ausgeschlossen werden soll. Unter dieser Voraussetzung lautet die auszufuhrende Koordinatentransforination

. . . . . . . { f l ,

"I , ! = Y n - Y I - f l

E,, = x, >

f . = - - . aF0 axi mit

Da13 der Ubergaiig (7) zu den neuen Koordinaten l,,, 1 1 ~ eine kanuiiische Transformation ist, verifiziert man leicht, wenn man die POISSONSCllen Klamniersymbole bildet ; es ergibt sic11

was nacli bekannten Satzen (s. z. B. E. T. WHITTAKER [ 3 ] ) Bedingung fur eine kanonische Trans- formation ist. Folglich sind die Bewegungsgleichungen in den neuen Koordinaten wieder von kano- nisclier Gestalt und lauten

Dabei gilt fur den der ungestorten Bewegung entsprechenden wegeii (7) die einfache Bezieliung

(9) I; = l=, + p l;, .

Anteil Fo der HAMrLToNsCllen Funktion

I F - - t I

O - 2

F. SCHMEIJJLEK: Ubvr die Kontiiiuitatsrnetho~lc ziir Auffindu~ig pcriodischer Losungcil 151

Fur Systeme der Gestalt (9) und (10) nehmen die Bedingungen (4) fur die Existenz periodischer Liisungen eine einfache Form a n ; sie lauten

Da auBerdeni die Beziehungen ( 5 ) bestehen, mu13 gelten

Die Gleichungen (11) und (12) stellen die angekundigte Forni der Bedingungen fur die Existenz perio- discher Losungen von (I) dar, die vom Verhalten der HEssEschen Determinante (6) unabhangig ist.

Die Bedingungen (11) und (12) haben einen einfachen begrifflichen Sinn. Nach (9) und (10) sind alle Koordinaten ty, vv mit Ausnahme von q1 in1 Fall der ungestorten Bewegung konstant. Im Fall der gestorten Bewegung ist nach (4) die linke Seite voii (12) gleich dem zeitlichen Mittelwert von ii, analog die linke Seite der (n - I) letzten Gleichungen (11) gleich dem zeitlichen Mittelwert von - qi. Folglicli bedeuten die Bedingungen (11) und (IZ), daB die zeitlichen Mittelwerte der Differentialquotienten derjenigen GroOen, die ini Fall der ungestorten Bewegung konstant sind, verschwinden mussen, wenn aucli die gestorte Bewegung periodisch sein soll. AuBerdeni mu0 die ungestorte mittlere Bewegung von '17, zwecks Erzielung einer periodischen gestorten Bahn um einen gewissen Betrag verandert werden, der aus der ersten Gleichung (11) folgt. In dieser Formulierung sind die Bedingungen fur die Existenz <liner gestiirten periudisclicw Losung aucli anschaulich unmittelbar einleuclitend.

2. Nichtkanonische Systeme

Das gefundene Resultat kann leicht auf den Fall ausgedehnt werden, daI3 das die Bewegung bestimmende Systeiii vori Differentialgleichungen nicht von kanonischer Gestalt ist. Es kann ohne Uesclirankung der Allgenieinheit in dcr 1;orni

ii = @;(x,, x 2 , . . . , X , ! ) -1- EL y:i(.U1, X?, . . . , x,) , 1 = = 1 , 2 , . . . ) 11 (13)

geschriebeii werden; dabei sullen die @,, y i beliebige Funktionen der Koordinaten xl, x2, . . . , x,, sein, von der Zeit t aber explizit unabhangig sein. Der Fall ,u = o SOU wieder der ungestorten Bewegung entsprechen, dessen exakte Losbarkeit vorausgesetzt wird; nach bekannten Satzen entsprechen dieseni la11 1z - I von der Zeit unabhangige Integrale

.lIe(;U1, x,, . . . , X,!) = const., p = 2, 3, . . . , 1 1 . (14)

Das letzte der %z Intetrale der ungestorten Bewegung erhalt man, indem man 11 - I der Variablen x , mit Hilfe der Gleichurigen (14) aus (13) eliniiniert und die so entstehende Differentialgleichung zwischen der letzten Variablen und t integriert. Lost man die so erhaltenen Relationen nach den x, auf, dann ergebeii sich diese als Funktionen

x; = 0 a ( ( Y 1 , 0 2 , . . . , &,', 1 ) , a = I, 2 , . . . , PL (15)

der 1.5 Iiitegrationskon~tanten L X ~ und der Zeit t . Es soll n u n wieder vorausgesetzt werden, da13 es Zalilen- werte der Integrationskonstanten gibt, fur welche die uiigestorte Eewegung periodisch n i t der Periode T verlauft. Dann ist nach POINCARE [I] die gestorte Bewegung ebenfalls periodisch mit der Periode T , wenn die a, durch Werte C X ~ + ersetzt werden und die pi den Gleichungen

r

gehorchen ; dabei bedeutet wiedcr der Index 0, daW bei Ausfulirung der Integrationen die Variable11 xi durch die Werte (15) zu ersetzen sind, die sie in der ungestorten Bewegung annehmen.

Die Losbarkeit des Systems (16) hangt vom Wert der aus den A i j gebildeten Determinante ab; wenn diese verschwindet, was sehr haufig der Fall ist, existiert eine Losurig von (16) nur unter gewissen zusatzlichen Bedingungen. Ahnlich wie im Fall kanonischer Systeme kann durch eine geeignete Trans- formation auf andere Koordinaten erreicht werden, daB alle Glieder dieser Determinante mit Ausnahnie eines einzigen Diagonalgliedes, etwa A,,, 1:erschwinden. Als qz - I neue Koordinaten sind die n - I Funktionen up von (14) zu verwenden, welche die Eigenschaft haben, im Fall der ungestorten Bewegung konstant zu sein; als n-te neue Koordinate ist eine beliebige Funktion u,(x,, xz, . . . , xp) zu wahlen, die nur die Bedingung erfiillen muB, von den n - I Funktionen up unabhangig zu sein; die Transfor- niationsformeln lauteii also

Id, = yl(xl, x2, . . . , X,!) , y e = U Q , 0 = 2 , 3 , . . . , I t . . (17)

11*

152 F. SCHMEIDLER: Ubcr die Kontinuitatsniethocle zur Auffindung periodischer L6sungen

Schreibt man die Bewegungsgleichungen in den durch (17) definierten neuen Koordinaten yy an, dann sind auBer fur n = I alle Qi = 0, weil alle zt, = yo nach Voraussetzung Integrale der ungestorten Bewegung sind; daraus folgt nach (16), daI3 bei Verwendung der Koordinaten (17) alle A i j auBer A, , verschwinden. Das System (16) reduziert sich also auf die einfache Form

I 1

4 1 PI + P s ( d o dt = 0 9 P s ( ( P J O dt = 0 p = 2 , 3 , . . . , n . (18) 0 0

Dabei sind mit tpi diejenigen Funktionen bezeichnet, die auf den rechten Seiten der Gleichungen (13) als Faktoren der klejnen GroDe ,u auftreten, wenn man das System in den neuen Koordinaten (17) schreibt.

Das System (IS) stellt in gleicher Weise die vereinfachte Form der Bedingungen fur eine perio- dische Losung der Gleichungen (13) dar wie die Gleichungen (11) und (12) fur das kanonische System (I). In entsprechender Weise kann man den Gleichungen (I 8) eine ahnlich einfache Interpretation wie dem System (11) und (12) geben. Sie lautet, daB die uber eine volle Periode erstreckten zeitlichen Mittelwerte der Differentialquotienten derjenigen GroBen, die im Fall der ungestorten Bewegung konstant sind, verschwinden miissen; hingegen mu13 die mittlere Bewegung der Koord,inate y,, die im Fall der unge- storten Bewegung veranderlich ist, eine Korrektion PI erhalten, deren Betrag durcli die erjte Gleichung (18) gegeben ist. Dieser Satz kann also allgemeine Gultigkeit sowohl fur kmonische als auch fur nicht- kanonische Systeme beanspruchen.

Literatur

[I] H. P O I N C A R ~ , Les m6thodes nouvelles de la niCcanique clleste, Band I . Paris 1892. [z] C. L. SIEGEL, Vorlesungen uber Himinelsmechanik. Berlin-Gijttingen-Heidelberg 1956. [3] E. T. WHITTAKER, A treatise on the analytical dynamics of particles and rigid bodies. 4 t h edition. Edinburgh

1936, P. 300.