Über die lineare Unabhängigkeit von werten einer speziellen Reihe

Arch. Math., Vol. 56, 148-162 (1991) 0003-889X/91/5602-0148 $ 4.50/0 �9 1991 Birkh/iuser Verlag, Basel

Uber die lineare Unabhfingigkeit von Werten einer speziellen Reihe

Yon

M. HAAS

1. Einfiihrung. In der Arbeit [5] beweist Skolem ffir die Funktion

g(x)-= .=o (o+1) q 2

(q eine ganzrationale Zahl vom Betrag gr613er als Eins) die lineare Unabh/ingigkeit fiber Q der Werte yon 9 und der Werte von Ableitungen von 9 an gewissen rationalen Stellen. Er benutzt hierzu die yon Hermite entwickelte Methode zum Beweis der Transzendenz von e, in der von Perron [4] angegebenen Form.

Bundschuh und Shiokawa [2] sowie Stihl [6] haben dieses Resultat ffir den Fall, dab nur Funktionswerte, aber keine Ableitungen angegeben werden, auf rationales q erweitert und ein MaB ffir die lineare Unabh/ingigkeit angegeben. Ferner finden sich in den Arbeiten yon Katsurada [3] und V/ifingnen-Walliser [7] Unabh/ingigkeitsmaBe ffir die Funktionswerte und ihre Ableitungen an rationalen Stellen ffir rationales q, sowohl im archimedischen als auch im nichtarchimedischen Fall.

In dieser Arbeit sollen im archimedischen Fall entsprechende Ergebnisse ffir die Funk- tion

f (x ) := k x" ,=o n!q("2 I)

mit ganzrationalem q vom Betrag gr6Ber als Eins, gezeigt werden. Es werden ffir diese spezielle Funktion die Ergebnisse yon Skolem [5] und B6zivin [1] erweitert, da dort nur qualitative Resultate erzielt werden.

2. Ergebnisse. Aus der Funktionalgleichung

(1) qf' (q x) = f (x)

ist ersichtlich, dab Unabhfingigkeitsaussagen fiber Q ftir Werte yon f u n d Werte yon Ableitungen yon f an rationalen Punkten ~1,-.., c~. h6chstens dann erzielt werden

Vol. 56, 1991 Unabh/ingigkeit von Werten einer Reihe 149

k6nnen, wenn die Stellen die Bedingung

(2) --+ch q" 0~j

fiir alle n e ~g und i + j erffillen. Bezeichnet ffir eine rationale Zahl c~ 4 :0 und eine Primzahl p der vp-Wert yon c~ die

p-adische Bewertung yon e, d.h. es ist

v p ( e ) : = r , falls c ~ = p r b

mit r e ~g und p X a, p ~ b, a, b e Z gilt, so wird die lineare Unabh/ingigkeit von Werten von f u n d Werten von Ableitungen von f unter der zus/itzlichen Bedingung an die rationalen Stellen ~1 . . . . . ~a:

(3) V i, 1 vp, (oh)

gezeigt. F/Jr die quantitativen Ergebnisse wird eine nichttriviale Linearform

2

(4) L = hof (O ) + ~ 32 hk, lf(k)(ch) k = 0 i = 1

mit ganzzahligen Koeffizienten mit Hilfe der Funktionalgleichung in eine Linearforrn gleichen Wertes L iiberfiihrt, indem die rationalen Stellen c h durch qV, ~i, vi e No ersetzt werden, so dag ffir einen Primteiler p yon q und 1 _= 0

erfiillt ist. Dies kann durch folgende Schritte erreicht werden:

1.) In der Linearform (4) sei o.B.d.A h~, 1 4: 0. Nach (3) existiert ein Primteiler p von q mit

v,,(q) > v,,(oq).

Ffir diese Primzahl p und I - 0 gilt.

2.) Die Funktionalgleichung von f 1/il3t sich fiber einen Shift-Operator J beschreiben. Ist h: IE ~ tE, so setzen wir

(5) J (h (x)) : = h (q x).

Shift-Operator und Differentiation gen/igen der Vertauschungsregel

(;x) d x ~ Jo

150

und mit vollstfindiger Induktion:

(6) d ~ " = q 2 J"~ dxx

M. HAAS ARCH. MATH.

ffir n>__l.

Also folgt ffir die Funktionalgleichung (1) yon f :

(7) q ~1 J"~ dxx (f(x)) = f(x) m r n > 1.

3.) Nach (7) ist

(~,+l~ ~'kf(v'+k)(q~'ei)=f(ei) ffir k_>_0. qk 2 ] +

Einsetzen in (4) ergibt eine neue Linearform gleichen Typs (a ist durch a + max {vl,... , vz} zu ersetzen) und Werten an rationalen Stellen fii:= qV, ~i, die bei eventueller Umnumerierung der fil die Voraussetzungen des Satzes erffillt.

Ffir solche Linearformen erhalten wir das quantitative Ergebnis:

Satz. Es seien a, 2 nichtnegative ganze Zahlen, ~1, . . . , ~ rationale Zahlen ungleich Null, wobei

~x i q . - -4: fiir alle n ~ Z und alle i4 = j ~j

gilt und die fi~r einen Primteiler p yon q den Ungleichungen

9i:=Vp(ai) > 0 fiir I <-i<-2 und v p ( q ) > y l

geniigen. Ist

L = hof(O) + ~ ~ hk, lf(a)(ei) k=0 i=1

eine Linearform mit Koeffizienten ho, hk, i e 7Z, 0 <-- k <- a, I <- i <- 2, wobei ho, 1 4= 0 und die Ungleichung

(log H ) w vp(h~ logp 0 < w < l ,

mit

H : = max {Ihol, Ih,,vl}

erJ~llt isL Dann gibt es effektiv berechenbare und nur yon a, a t , . . . , ~ und q abhdingige positive

Konstanten Ctl und C12, so daft gilt:

ILl > Cll exp ( - C 1 2 (logH)4max{2'~}).


3. D i e Methode von H e r m i t e in der F o r m yon Perron. Sei

f ( x ) := ~ k.x" n=0

und

P(x) '= ~ 7. k.x" n=0

ein Polynom mit zun/ichst beliebig gew/ihlten Koeffizienten. Ausgehend von diesem Polynom setzt man ffir r > 0:

(8) Po (x) : = P (x), Pr (x) : = ~ ~. k._, x"-r n = r

und schlieglich

P* (x) : = ~ P, (x). r=O

Durch Umsummation folgt

P* (0) P*(x)= ~ 7. ~ kvx ~, = ~..

.=o ~=o f(O) .=o

Im Konvergenzbereich von f setzen wir

(9) P*(O)f( ) ~ "g. y~ k~x." A (x): = P* (x) f ~ ~ . x = -- .=o ~ =. +1

Aus der Linearform des Satzes:

L = hof(O ) + ~ ~ hkdf(k)(o~i) k=O i=1

folgt dann mit (9):

hoP*(O) + ~ ~ hk,ip*(k)(ei) k=O i=1

= h o P * (0) + k=0 ~- ,~2'= hk'' (k) (~i) + (ai

(lo) P* (o)

= h o P * ( 0 ) + ~ ~ hk, idtk)(O~i)+ (L-hof(O)) k=O i = 1 f ~ -

= ~ ~ hk, iA (k)(cq) + P*(O) L k=0i=l f (O) "

Ffir Irrationalit/itsaussagen sind an die Wahl yon P zwei Forderungen geknfipft. Erstens mul3

hoP*(0)+ ~ ~ hk, ip*(k)(ai) k=O i=1

152 M. HAAS ARCH. MATH.

eine ganze, von Null verschiedene Zahl sein und zweitens muB

k=O i=1

vom Betrag klein werden. Wir betrachten nun die Funktion

X n 1 (11) f ( x ) : Y~ = also k n - - -

Entsprechend der Funktionalgleichung yon f in (7) ergibt sich nach (8) ffir die Polynome P, die Rekursion

Po(x) := P(x ) , Pr+l ( x ) = q ( j ~

und mit vollst/indiger Indukt ion

(12) P ~ ( X ) = q C ' 2 1 ) , ] r ~ v dx (P (x)) ftir r > 0.

Das Star tpolynom wird in/ihnlicher Weise gew/ihlt wie bei Skolem:

(-)

( ,4 , +o+ ,

und schlieBlich

(ls) P(x):= r (x)

(v + ~r)! p(~(v + ~ + l) + (" + lhg, q~(V + ~)~ + (v + l) - v2

~(x) p(V + a + 1) (g + (v -- Jo) (g2 + "'" + gz)) '

wobei Jo die kleinste natfirliche Zahl mit der Eigenschaft

V j > j o , Vi 2 _ < i < 2 : v p ( ~ l q J - o : i ) = g i (16)

ist und

(17) g : = Vp iH=2 (cq qJ - oq j=O

bezeichnet. Die Konstante v wird spater festgelegt. Fiir den Grad m des Polynoms P gilt damit m = (2 + 1)v 2 + ()~(G + 2) + 2)v + 2(a + 1).


4. Teilbarkeitsbetraehtungen fiir die Werte p~k) (0), p~t,) (~i).

Hilfssatz 1. Sind jo, 9 wie in (16) bzw. (17) und bezeichnet j~ die kleinste natiirliche Zahl mit der Eigenschaft

(18) Vj > J l , Vi 2 Jo und

al (al, b ~ ) = l , 1 max {(a, 2(491 + (Jl + 1 + 9) (a + 2))}"

(20) P(,k)(ei) = O ffir 2 <-- i < , 1. r < v, k < a

P~k)(cq)=0 fiJr r < v, k <= a

V ~ ( ~ ) = 0 far k <

pjk) (O) = O fi~r r < v, k <

0 =[= bmp(vr , p X b ' P ~ ) ( ~ l ) m i t m = G r a d P .

(v + ~)! - - b" P~ (x) e 2g [x] fiir r >_ v + 1 (v + 1)!

V 2 und der vp-Wert jedes Koeffizienten ist gr6J3er als ~ .

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

B e w e i s. Nach der Leibniz-Regel erh/ilt man fiir die Ableitungen von P bzw. ~ und mit (13):

~(~)(x) = 32 ,I, Io - cq) ~+~+1 u~,o+'"+,l,v+ # 1 , o ! ' " # 1 , , , ! # v + 1 ! ' :

+/Zv+ 1 =~

d = 57

.~,o+'"+.~,~+ #1 ,o ! ' "#1 ,~[#~+1 t +//v+ 1 ='~

(26) FI cq)~+,~+l_.l,j v + a + 1 T �9 - #l , j . q-Jul,j j = O # l , j

#v+l! q - ~ ' / \ #1,~ / ' \ m+

= Z "c! q j~o / q , o + " ' + / t l , v + k J = 0 #l, j \ # l , v . , / \ # v + l / /

-I-fry + 1 =z

154

Entsprechend ergibt sich mit (14):

(27) ~(~) (x) =

M. HAAS ARCH. MATH.

v + . + 1 - z 2,_zoj.,,j Y~ z! q . . . . lzi,j,2<=i<=2,0<=j<v [ / = 2 j = 0 #i,j #2,o + ... + #;~,v=~

/ X X~ v + ~ /li ' j f i fl i=2 j=O

Mit der Def ini t ion yon P in (15) u n d (26), (27) folgt

+rk j r t_~_ u # p(V+~+ l)(9+(V-jo)(02+'"+9~.))

(v + ~) [ pO,(~(~ + ,, + 1) + (v + 1r + 1) 2 + ~

Jeder S u m m a n d von ~(r+k) in (27) enth/ilt wegen

(20) # i4<r+k<=v+a, 2 < i _ < 2 , O < j < v

X fiir r < v den F a k t o r - - - ~i u n d folglich gilt qr

(X--Oti) lJr~(r+k-#)(X) ftir O<=ff <r + k und 2 _ < i _ < 2 .

Mi t (28) und (29) folgt die Behaup tung (20) in Hilfssatz 1.

Ft i r die Able i tungen von ~ der O r d n u n g r + k < v + ~ (also stets #1,j < v + ~r ftir 0 < j < v in (26)) gilt:

(X - - oq)l J r ~y(r+k) (X) fiir r < v.

Da raus folgen die B e h a u p t u n g e n (21), (22) in Hilfssatz 1.

Die Aussage (23) ist wegen v > cr klar. Z u m Beweis von (24): In der Able i tung der O r d n u n g r = v + ~r von ~ (und dami t auch von P) enth/ilt nach

(26), (28) genau der S u m m a n d zu #1.o . . . . . #1,~-1 = # v + l = 0, # 2 , 0 . . . . . ['/~,,v = 0,

X #1.~ = v + a nicht den F a k t o r ~ a 1. U n d dami t

J~ ( ~ ( x ) �9 (x)) (v +~ . . . . = J " ~e (x)(" +~) �9 (x) l . . . .

= (v + a)! [(el q~ - cq) - -- (el q -- e l ) ] '+~+ 1 (0~1 q~)(~+ a)~ q-~(v+~) 2

(30) " I ] [ (elq ~ - e i ) " " (et - 0 ~ i ) ] v + ~ + l i=2

= (v + a)! (~i) (~+ i)~ + ~(~+~+ i) q~(~+ i)~-~(~+~)

�9 " f l ' ( q i _ _ l ) ' + " + ' I~ I f l ( e , q - i _ _ o : y + ~ ' + ' " j = l i = 2 j = O

Vol. 56, 1991 Unabh~ingigkeit von Werten einer Reihe 155

Aus der Nebenbedingung q" fiir alle n E ~g und i =# j folgt zun/ichst mit (28) der erste C~j

Teil yon (24): 0 + bm P~")(cq). Ffir den Rest yon (24) werden die genauen Potenzen yon p und q bestimmt, die in der

rechten Seite yon (30) auftreten: at

In der Voraussetzung des Satzes ist c h = ~ , (a i, bi) = 1 und qXag ffir 1 -< i -< 2.

Also folgt ffir die Potenzen yon q:

b m (31) q~(~+ 1)2-~(~+,)11--J~(~(x)q)(x)) (~+ '~) l .... ~Z. (v + a)!

Berficksichtigt man (28) also hier

p~'O(x) = q(~+ ')+~v J~(p(~+~

so gilt

qV(V+ l)2-v(v+a)+(v+21)+av b m +1 +1

Das ist die genaue q-Potenz, die in der Definition des Polynoms P in (15) im Nenner steht. Nach Voraussetzung des Satzes ist g i : = v,(al) >_- 0 und somit

(32) v,(c~? +l):+~(~+~+i)) = gi ((v + 1) 2 + v(v + cr + 1)).

Aus der Definition der natfirlichen Zahl Jo in (16), bzw. g in (17), ergibt sich der vp-Wert ffir das Doppelprodukt auf der rechten Seite in (30):

vp ( ~=2 j~=o (CZl qJ- ~,) ~+~+1)

(33) =up(i=2 I~I j=O f i (~1 q ' - - a i ) ~+'~+i i=2I~ j=jo+iI~ (aa qJ-- oh) ~+'~+a)

2 =g(v+a+ l)+(V--jo)(V+a+ 1) S~ gi.

i = 2

(32) und (33) ergeben zusammen genau die p-Potenz, die in der Definition des Polynoms P in (15) im Nenner stehen. AuBerdem gilt nach (19) wegen vp (al) __> 0 stets p ~/b. Damit ist (24) gezeigt.

Zum Beweis von (25): Aufgrund der Rekursion

Pr (x)= q(j~

1 5 6 M . HAAS ARCH. MATH.

genfigt es, (25) ffir den Fall r = v + 1 zu zeigen. Berficksichtigt man (12), also bier

~ ) ),(~), so sind Potenzen von q und p zu bestimmen, die mindestens in den Koeffizienten yon

(34)

(34.1)

lq,j,l<=i<~.,O<=j<=v t_j=O ]AI,j g l , o + ,.- + /12,v+/lv+ t = v + 1

\ # 1 , ~ / \ #~+a / i = 2 j = o /~i,j

. q(V22)-2=lj~oJ,,.J q(~+ ~)((~+ a?-uv. l ) , x(.+ ~)~-u~+.

(34.2) . t~hl (xqV+ l-J - oq)~+~+ l-ul,J} (xq - cq) = o

(34.3) " ~I f i (xq v + l - j - cq) v+~+l-u''j i = 2 j = 0

aufgehen. Mit der Definition yon b in (19) und m = Grad P folgt

(35) b"J~+l(T(x)O(x))(v+a)q( v+ 2) e Z[x] . (v + l)!

Mit der Nebenbedingung

(36) ~ ~ ] , / i , j ~ - ~ 2 V + I = V ~ - 1 i = 1 j=O

k6nnen in (34.1) die Potenzen yon q nach unten abgesch/itzt werden durch:

(37)

,v+,,3 ~+ , , . v+ i ~ ,=1 .~o ~j~,j+(v+2) 2

=(~+ ~)~- ~ + ~)~+ ,=~ ~=o~ • ~+~-~, ~<~+ ( ~ ~t =~v+,,3,v+,,2+(~+2)=v,v+,,2+(v+2) 2 2


Ftir den vp-Wert der Koeffizienten des Faktors (34.2) ergibt sich mit (36) und vp(q) > Vp(Cq) = ga die untere Schranke

(38) (vL 1 }

g l (V 4- O" 4- 1 - - # l , j ) 4- V 4- 0 - - - # l , v l j = 0

>=gl(v(v 4- ff + l) 4- v + G--(v 4-1)) > gl(v(v 4-~r 4-1)-- l).

Ffir die untere Grenze des vp-Wertes der Koeffizienten in (34.3) wird das Doppelprodukt an der Stelle j = v - J l (Jl wie in (18)) aufgespalten:

t i f f (xq v+ l - j _ O~i)v+~+ l - t ~ i , j i = 2 j = O

.Z v - j 1 - 1 2 v

= l-I l~ (xq ~ + l - j - ~i) ~+'+l-~'''j I~ FI i = 2 j=O i = 2 j = v - - j l

(x qV+ I - j _ ~ i ) v + o - + 1 - u,i,./

Die vp-Werte der Koeffizienten des ersten Doppelprodukts auf der rechten Seite besitzen die untere Grenze

} o, ( ~ + ~ + 1 - # , , ~ ) = ( v - ; ~ l ( v + ~ + a ) ~,-__Eo, _E ~ ~,, i = 2 i = 2 i j

2 2

(39) > ( v - - j o ) ( V + a + l ) Y~ g~-- ~, g~ { j l - j o ) ( V + a + l ) + ( v + l ) } i = 2 i = 2

-> (v + a + 1) Y'. gi{v --Jo --(Jl + 1)}. i = 2

Aus (37), (38) und (39) folgt, dab jeder Koeffizient des Polynoms in (34) teilbar ist durch

(40)

v + 2 ) ( v + l ) ! q ~ +~(v+l)2p (v+'+t)~g'{~-j~ 01+l)}+ol(~(v+~+l)-*)

= ( v + l ) ! q 2 + v ( v + a + l ) i~=2 gi(v J o - - ( J l + l ) ) + g l - - O r "

(v + a)! Die Potenzen von p und q, die in den Koeffizienten von ~ b 'Pv+ 1 mindestens

aufgehen, ergeben sich aus der Differenz der entsprechenden Potenzen in (40) und den Potenzen, die in der Definition von P in (15) im Nenner stehen.

Zu den q-Potenzen:

2 2 -- v2) = v2 + v + 1.

158 M. HAAS

Zu den p-Potenzen:

( v + a + l ) g i ( v - j o ) - ( j l + l ) + g t v - g l i

= - - { g l ( v + 1) 2 + 9 ( v + a + l ) + ( j l + l ) ( v + ~ + l ) + g l }

= - -{91(v 2 + 2v + 1 )+ (Jl + 1 )v+( J l + 1 ) ( a + l ) + v g + g ( a + 1)+91}

= - - { g l v 2 + ( 2 9 1 + j ~ + l + 9 ) v + 2 0 1 + ( j l + l ) ( a + l ) + 9 ( a + l ) }

- " {alv2 + My + N}.

Beriicksichtigt man vp(q) = : f > 9~, so erfiillen al lev mit

> 2 (m + N) = 2(291 + j l + 1 + 9 + 291 + (Jl + 1)(or + 1) + 9(a + 1))

= 2(491 + (Jl + l ) (a + 2) + 9(a + 2))

= 2(401 + (ix + 1 + 9)(or + 2))

die Ungleichung

V 2

f ( v 2 + V + 1) -- (gl v2 + Mv + N) > -- 2

und daraus folgt mit (41) die letzte Behauptung (25) in Hilfssatz 1.

5. Das Nicht-Verschwinden einer Linearform.

A R C H . M A T H .

B e w e i s. DaB in (42) eine ganze Zahl steht, folgt sofort aus Hilfssatz 1, wenn man

P* (x): = Z P,(x) r = O

beriicksichtigt. Bezeichnet

und

/(~ + ~)!~ h : = v p ~ ) (also h __< 4tr logv)

do := vp(ho), dk, i:= vp(hk, i), (Vp(0):= oO)

Hilfssatz 2. Fiir v > Max {a, 2 (49 t + (Jl + 1 + g)(a + 2)), 4, 1 2 ~ ( l o g H) w/z} ist

(42) 0 * (v + 1)! k = 0 i = l

Vol. 56, 1991 Unabhfingigkeit yon Werten einer Reihe 159

so folgt mit Hilfssatz I ffir die vp-Werte der Summanden in (42):

((v + a)! b, , )) v 2 (43) v p \ ~ h oP*(O > d o+ 2

(44) vp \~((v q- a)!bm hk ,iP . (k) (a i => dk,i q- ~ ,

((v + a)! b" h. 1 P* (') )) , (45) v p \ ( v + l ) [ ' (~1 = d , ~ l + h .

Beriicksichtigt man die obere Schranke

(k, i) :1: (a, 1)

(log H) TM

d~,a = vp(ha, t) < l o g p ' 0 < w -< 1,

in der Voraussetzung des Satzes, so sind mit obiger Schranke fiir v die vp-Werte in (43) und (44) gr613er als in (45). Damit ist Hilfssatz 2 gezeigt.

6. Obere Absch~itzungen fiir A (*) (0q) nach einem Hilfssatz von Skolem.

Lemma 3. Sei

Dann gilt:

2 Ik.lx" u,d P,(x):= n=O n=O

IA(~)(Ixl)l e ~" g(Ixl)P,(Ixl)

(Ixl; fiir 0 < z <- a, x + 0 und v > c 2 .

B e w e i s. Nach Definition der Koeffizienten k, in (11) ist ffir j > n:

(46) k_j = n!q = q - i (j(j+ 1)-n(n+ 1)) _ kj_.

und die Definition von P in (15) liefert

q-n(j-n)

n = 0 j = n + l

mit 7, = 0 ffir 0 < n < (v + 1) 2. Somit folgt

(47) A(~)(x)= - ~ 7 . k . x "-~ ~. j ( j - l ) ' " ( j - ~ + l ) ~ x j -" . n = ( v + 1) 2 j = n + l

1 6 0 M . HAAS ARCH. MATH.

Benutzt man zun/ichst die Ungleichung

j ( j - - 1 ) ' " ( j - - z + l)__<e cln (48) h ( j , z ) : = (~)qn(j-n)

mit einer Konstanten cl, dann folgt aus n =< m = Grad P, (46) und (47) die Behauptung in Lemma 3.

Zum Beweis yon (48) werden ff i r j zwei F/ille betrachtet: n + I < j =< en:

log (h (j, z)) __< z logj - n (j - n) log I ql ---- (a - log I q l) n

j > en: Mit n > (v + 1) 2 ist

log (h (j, z)) =< a logj - n i log I ql < 0,

falls v > c2 mit geeignet gewfihltem c2. Setzt man q : = max {0, a-log Iql}, so folgt auch (48).

7. Beweis des Satzes. Die auftretenden Konstanten C1, C2, ... sind nut abh/ingig yon a, ct I . . . . , cq sowie q, aber unabh/ingig von v. Ffir die Konstante v gelten die unteren Schranken aus Hilfssatz 1, 2 und Lemma 3.

Mit der Abkfirzung

f 2 : - ( v - - + a ) ! b ~ also I t 21<C~ 2 (v + 1)!

(wegen m : = Grad P = (2 + 1)v 2 + (2(a + 2) + 2)v + 2(a + 1)) und aus (10), Hilfssatz 2 und Lemma 3 folgt

P* (0) L (49) 1 <12 ~ ~ hk, i A(k'(cq)+ = k = 0 i = 1

o

Nach Lemma 3 gibt es eine Konstante C4, so dab

(50) f2 ~ ~ hk,,A(k)(~Z,) <__2(a + 1)Y2HC'2 max {P,(I~,[)} k = 0 i = 1 1 =<i~'~

gilt. Nach Definition yon P in (15) folgt die Abschfitzung

P, (Ixl) _-< (Ix[ + I~IlF ~§247247 Ixl (~§ 2

i = 2

Damit kann (50) welter nach oben abgesch/itzt werden durch

hk, i A(k) < HC5 Iql �9 k=O i = 1


W/ihlt man nun

(52) v := max {C6, C7 [(log H)1/3], Ca [(log H)W/2]},

mit natiirlichen C6, C7, Ca, so dab

er ). (k) 1

(53) f2 k~=o ,~=1 hk'iA (e') =2<-

gilt und die Voraussetzungen fiir v in Lemma 3, Hilfssatz 1 und 2 erfiillt sind, so folgt aus (49) die Ungleichung

1 e * (0) L . (54) - < / 2 2 f(O)

Also ist jetzt P* (0) nach oben abzusch~tzen. Mit

c~:= max {1,1chl } l_<i_<.~

und (51) ergibt sich

v,(Ixl) < Iql-V3(Ixf + ~)m

Mit (12) ist

m = Grad P .

+ 1 P~(Ixl) ~ q( m2 )m! Iql-V~J'(lxl-4- c0 m

[m + 1~ 2 < Iql~, 2 )+m m! lq l -~ ( Ix l + ~)m

ffir 0 _< r _< m. Aus

folgt

P * ( x ) : = f i P,(x) r=O

IP*(O)l < IP~(O)I < Iql 2 +m2(m + 1)t Iql-**(~) m < Iq( 9"4. r=O

Wegen ]Q] < C~ 2 und f (0) = I folgt ffir (54)

1 - < I(P* (0)1 ILl ~ ILl Iql r176 �9 2

Die Schranken ffir v in (53) ergeben dann die Behauptung des Satzes.

Literaturverzeichnis

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Anschrift des Autors:

M. Haas Mathematisches Institut der Albert-Ludwigs-Universitfit D-7800 Freiburg i. Br.

Eingegangen am 24. 5. 1989")

*) Eine Neufassung ging am 16. 10. 1989 ein.

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Über die lineare Unabhängigkeit von werten einer speziellen Reihe