t ber die L6sbarkeit gewisser algebraischer Gleichungssysteme

Von W~I-LIA~O CHOW, Princeton (USA.)

In einer vor kurzem erschienenen Arbeit 1) hat Herr W. Habicht den folgenden interessanten Satz bewiesen:

K sei ein K6rper ; /1 . . . . . /n seien Formen aus dem Ringe K [x 1 . . . . . x,~]; n

zwischen ihnen bestehe die Relation ~ x i It ~ 0; es seien nicht gleich- i=1

zeitig n gerade und die Grade sdmtlicher [i gleich 1. Dann besitzen die For- men /t eine gemeinsame (nichttriviale) Nullstelle (in der algebraisch-abge-

schlossenen Hi$lle K yon K). Wie Herr Habicht bemerkt hat, k0nnen wir im obigen Satz ohne Be-

sehr~nkung der Allgemeinheit annehmen, dal~ die s~mtlichen Formen f~ yon demselben Grade sind. Wir werden in dieser Note zeigen, dab dieser Satz yon Habicht einen Spezialfall eines allgemeineren Satzes bildet, der wie folgt lautet :

Satz. K sei ein K6rper ; V sei eine (n--1)-dimensionale algebraische Mannigfaltigkeit im m-dimensionalen pro]ektiven Raume Sm; /l(X) . . . . . [~(x) bzw. gl(x) . . . . . g~(x) seien Formen h-ten bzw. Z-ten Grades aus dem

Ringe K Ix 1 . . . . . xm+l]; zwischen ihnen bestehe die Relation Z / i (~) gi (~) i= l

-~ 0 /l~r ]eden Punkt (~) in V; es seien nicht gleichzeitig n gerade und h -~ k . Dann besitzen entweder die Hyperfldchen f~ (x) • 0 (i : 1 . . . . . n) oder die Hyperfldchen gi(x) : 0 (i ~ 1 . . . . . n) einen gemeinsamen

Schnittpunkt in K mit der Mannig/altigkeit V.

Der Satz yon Habicht folgt daraus, indem man m = n -- 1, V : Sn_ 1 und g~ (x) ~-- x t (i = 1, . . . . n) setzt. Unsere Beweismethode, die wesentlich anders ist als die yon Habieht, ist auch etwas einfacher und weniger reclmerisch; dabei haben wir allerdings etwas st~rkere Hilfs- mittel aus der algebraischen Geometrie herangezogen.

1) W. Hablcht, ~ b e r die L S s b a r k e i t gewisse r a l g e b r a i s c h e r G le i chungs . sys teme. Comm. Math. Helv., vol. 18, S. 154--175.

76

Bewe i s des Sa t zes : Die Voraussetzung fiber V bedeutet, dab V die Ge- samtheit der gemeinsamen Nullstellen yon einem System endlichvieler Formen aus K [ x 1 . . . . . xm+l] bildet, und dab n -- 1 unabh~ngige all- gemeine Hyperebenen in Sm mit V endlichviele gemeinsame Schnitt- punkte haben. Ohne Beschr~nkung der Allgemeinheit kOnnen wir auch annehmen, dab die Mannigfaltigkeit V irreduzibel (in bezug auf K) ist ; denn sonst k0nnen wir die V durch irgendeinen ihren irreduziblen (n-- 1)- dimensionalen Bestandteil ersetzen. Es sei k ~ h ; und wir nehmen an, dab die Hyperfl~chen g i ( x ) - = 0 (i = 1 . . . . . n) keinen gemeinsamen Schnittpunkt mit der Mannigfaltigkeit V besitzen. Wir haben dann zu beweisen, daB die Hyperii~chen /i(x) = 0 (i -- 1 . . . . . n) mindestens einen gemeinsamen Schnittpun~t mit V besitzen.

Es seien F l ( U 1, x) . . . . . F n ( u n, x) n unabh~ngige allgemeine Formen vom Grade h, wo die n Koeffizientenreihen (u 1) . . . . . (u n) unabhangige Unbestimmte sind. FaBt man die s~mtlichen Koeffizienten (u ~ . . . . . u n) zusammen a]s einen Punkt eines affinen Raumes auf, so wird jedes System yon n Formen h-ten Grades (wovon einige identisch verschwinden k(~n- nen) dureh einen Punkt in diesem Raume dargestellt. Die Bedingung,

dab die Relation ~ g~(~)F~(u ~, ~) == 0 ffir jeden Punkt (~) in V bestehe, i = l

ist offenbar linear in bezug auf die Koeffizienten (u ~ . . . . . u~); daraus folgt, dab die Gesamtheit aller Systeme yon n Formen h-ten Grades, die diese Bedingung erffillen, dureh eine lineare und folglieh irreduzible Man- nigfaltigkeit in dem affinen Raume yon den (u 1 . . . . , u n) dargestellt wird. Es sei nun (a I . . . . . a n ) ein allgemeiner Punkt dieser irreduziblen Mannig- faltigkeit. Wir kt~nnen dann ] i (x) = F i ( ~ ~, x) (i = 1 , . . . , n) setzen, wo (~1 . . . . . ~n) eine (relationstreue)Spezialisierung ~) yon (a 1 . . . . . a n) ist. Unsere Behauptung wird bewiesen sein, wenn wir zeigen, dab die n Hy- perfl~ehen F t(a ~, x) = 0 (i = 1 . . . . . n) mit V einen gemeinsamen Sehnittpunkt besitzen. Denn, das Vorhandensein eines solchen gemein- samen Schnittpunktes ist bekanntlich gleiehbedeutend mit dem Ver- schwinden der Resultanten Rj (u l , . . . , un), d ie man aus den n Gleiehun- gen F~ (u ~, x) = 0 (i = 1 . . . . . n) und den definierenden Gleichungen der Mannigfaltigkeit V dureh Elimination der Variabeln (x) gewinnt ; und aus Rj (a 1 . . . . . a ~) = 0 folgt offenbar R~(~I . . . . . ~ ) = 0.

z) (Od . . . . . an ) heii~t eine Spezialisiemang von (a 1 . . . . . an), wenn aus f ( a 1 . . . . . a n) = 0

immer f ( a 1 . . . . . ~ n ) = 0 folgt, wo f ( u 1 . . . . . u n) ein Po lynom aus dem Ringo K [ u 1 . . . . . u n]

ist . Dabei wird es zugelassen, dab einige von den (a i) oder eventuel l auch alle (a i) ganz verschwinden. Dasselbe gil t im folgenden auch fiir die Spezialisierung von ( a l , . . . , a n - I ) . Dagegen wird un te r e inem P u n k t in ~m oder einer Nullstelle yon Fo rmen oder einer Spezialisierung davon, immer ein n icht t r iv ia ler P u n k t oder Nullstelle ve r s t andem

77

Wir betrachten nun das System yon n -- 1 allgemeinen HyperflRchen F1 (u 1, x) ~- 0 , . . . , F . _ 1 (u n-l, x) ~-- 0. Bekanntl ich hat dieses System yon Hyperfli~chen mi t V eine endliche Anzahl yon gemeinsamen Schnitt- punkten (yl) . . . . . (y'), die zusammen ein vollstRndiges System yon kon- jugierten Punk ten fiber K ( u 1 . . . . . u n - l ) bilden. Bei der Spezialisierung (u 1 . . . . . u n-l) -> (a x . . . . . a s - l ) seien e twa die Punk te (r/1) . . . . . (~s) eine Spezialisierung der Punk te (y~) . . . . . (yS) ; die Punk te (~1) . . . . . (~) sind natfirlieh auch gemeinsame Schni t tpunkte yon den Hyperfliichen F 1 (a 1, x) = 0 . . . . . F ,_ I (a n- l , x ) = 0 mit V. Liegt einer yon diesen Punkten, e twa (71) nicht in der Hyperfl~che g,~(x) = 0, dann muB er auch der Bedingung n-z

- X g, (r?) ~ , (a~,,f) F , (a" , ~1) = i=l = 0

g. (~')

genfigen. Folglich ist 0/1) auch einen gemeinsamen Schni t tpunkt yon den n Hyperfl~chen F 1 (a 1, x) ----- 0 . . . . . F , ( a n, x ) = 0 mit V. Wir brauchen also nur zu zeigen, dab nieht die sRmtlichen Punk te (71) . . . . . (~s) in der Hyperfl~che g , ( x ) = 0 liegen k~nnen.

Nehmen wir ffir einen Augenblick an, dal~ es ein System yon n -- 1 Hyperfl~ehen F1 (ill, x) ~ 0, . F -1 . . , ,_l(fl ~ , x ) ~ - 0 gibt, wo (ill . . . . . fl"-~) eine Spezialisierung yon (a 1 . . . . . a n - l ) ist, mi t der Eigenschaft , dab dieses System mi t V einen isolierten, nieht in der Hyperfl~ehe g~ (x) = 0 liegenden gemeinsamen Schni t tpunkt (~) besitzt. Da dann der P u n k t (~) eine isolierte Spezialisierung irgendeines yon den Punk ten (yl) . . . . . (yS) bei der Spezialisierung (u 1 . . . . . u~-l) (~(f l l . . . . . fl~-l) ist, so muI33) er in jeder Spezialisierung der Punk te yl) . . . . . (yS) bei der Spezialisierung (u 1 . . . . . un-1) ._> (ill . . . . . f in- l) immer vorkommen (zwar genau so oft wie seine Multiplizit~t, die immer posi t iv is t ) . Nun ist jeder Spezialisierung yon den Punk ten (~1) . . . . . (~') bei der Spezialisierung (a 1 . . . . . an- l ) _.> (ill . . . . . f in- l) a fort iori auch eine Spezialisierung yon den Punk ten (yl) . . . . . (yS) bei der Spezialisierung (u 1 . . . . . un-1) ___> (ill . . . . .

fin-l) ; folglich muB mindestens einer yon den Punk ten (~t), e twa der (71) bei der Spezialisierung (a 1 . . . . . an- l ) _..> (ill . . . . . f in- l ) in den P u n k t (~) fibergehen. Da der P u n k t (~) nicht in der Hyperfl~che g~(x) = 0 liegt, so kann (vl) aueh nieht in ihr liegen.

Das erwiinschte Sys tem yon Hyperfli~ehen

$ ' ~ ( ~ , x) = o . . . . . ~ ' . _ ~ ( ~ - ~ , x) = o

s) Siehe etwa A. Weil, F o u n d a t i o n o f A l g e b r a i c G e o m e t r y , S. 62, Theorem 4.

78

kann man wie folgt konstruieren. Im Falle von einem ungeraden n ~- 2r ~- 1, setzt man

F2t_l(f121-1, x) -~ g2~(x) p ( x ) ,

F, j ( f l~J , x ) = - a ~ _ l ( x ) p ( x ) ~j = l . . . . , r ) ,

wo p ( x ) eine Form (h -- k)-ten Grades ist, deren Nullstellen die end- lichvielen gemeinsamen Schnittpunkte yon V mit den Hyperit~chen gl (x) ~ 0 . . . . . g ~ ( x ) ~ 0 nicht enthalten. Man kann dann fiir den Punkt (~) irgendeinen yon diesen endlichvielen gemeinsamen Schnittpunkten nehmen. Im Falle yon einem geraden n -~ 2r ~- 2, definiert man die ersten 2r Formen genau so wie oben, wo p ( x ) jetzt eine Form (h -- It)- ten Grades bedeutet, deren Nullstellen die endlichvielen gemeinsamen Schnittpunkte yon V mit den Hyperfl~chen gl (x) ~ 0 . . . . , g2r(x) ~ O,

g,(x) ~ 0 nicht enthalten. Ffir die (2r ~- 1)-te Form setzt man dann

F~.+~(/~.+I, x) = g . ( x ) q (x ) ,

wo q(x) eine Form (h -- k)-ten Grades ist, deren Nullstellen weder die endlichvielen gemeinsamen Schnittpunkte yon V mit den Hyperfl~chen g~(x) : 0 . . . . . g ~ ( x ) : 0, gn(x) : 0, noch die endlichvielen gemein- samen Schnittpunkte von V mit den Hyperfl~chen g ~ ( x ) - ~ 0 . . . . . g~(x ) - - - - -0 , p ( x ) - - - - -0 enthalten. Dabei ist es zu beachten, daB, laut unserer in diesem Falle gemachten Voraussetzung h -- ]c > 0, die Glei- chung q ( x ) ~ - 0 (und ebenso die Gleichung p ( x ) : 0) wirklich eine Hyperfl~che darstellt. Man kann dann fiir den Punkt (~) irgendeinen yon den endlichvielen gemeinsamen Schnittpunkten yon V mit den Hyper- fl~chen g l ( x ) = 0 . . . . . gz~(x) ---- 0, q ( x ) -~ 0 nehmen.

(Eingegangen den 28. Juni 1948.)

79