A. Oberbeck. 271

Nach der Voraussetzung sind rorhanden 074910 PO, H, .

Wie aus diesen Releganalgsen zu ersehen ist , verur- sacht auch bei der Bestimmung der Phosphorsaure die nothwendig werdende Mnltiplication eine hedentende Ver- grijsserung kleiner Beobachtungsfehler, die den Werth der benatzten Methode herabsetzen konnen.

1. Bei ihrer Untersuchung iiber die Warmeleitung der Gasel) haben K u n d t und W a r b u r g den stiirenden Einfluss der Striimungen dadurch vollstandig zu vermeiden gewusst, dass sie die Gase hinreichend verdunnten. Die hierzu nothwendige Druckverminderung fanden sie ab- liangig von der Form cler angewandten Apparate nnd von der Natur der Gase. Insbesondere ergab sich bei den Apparaten I und 11, bei welchen das z u unter- suchende Gas sich zmischen zwei concentrisclien Kugel- schalen befand, von denen die innere eine hohere Teni- peratur, die aussere eine constante Temperatur von O o hatte, dass der Druck bei Kohlenskure und Luft bis auf etwa 20 mm vermindert werden musste, vahrend bei Wasserstoff schon eine Druckverminderung auf 150 mm genugte.

Da es sich bei den Striimungen einer Flussigkeit in- folge von Temperaturdifferenzen innerhalb derselben unl eine complicirte, bisher meines Wissens noch niclit unter- suchte Erscheinung handelt, so ist der Grund fiir die grosse Verschiedenheit in dem Verhalten der gensnnten

1) Pogg. Ann. CIA\*. p. 177-211. 1875.

2 72 A. Obedeck .

Gase nicht ohne weiteres anzugeben. Bei eingehendever Beschaftignng mit dieser Frage habe ich gefunden, dass man, wenigstens bei stark verdunnten Gasen, die Strii- lnungen infolge von Temperaturdifferenzen theoretisch ver- folgen ~ von dem Einflnsse derselben auf den gleichzeitigen Vorgang der Warmeleitung Rechenschaft geben und damit such die erwahnte Erscheinung erklaren kann.

Der folgenden Entwickelung dieses Problems liegen gewisse Voraussetzungen zu Grunde, welche ich zunachst zusammenstelle.

a) Es sol1 gestattet sein, aiif die Striimungen in der Gasmasse die Bewegungsgleichungen fur incompressibele Flussigkeiten mit Bcrucksichtigung der innern Reihung anzuwenden. Dies ist bei stationawn oder langsam ver- anderlichen Bewegungserscheinungen eines Gases jeden- falls dann zuliissig, wenn die 1 orkommenden Geschwindig- keiten klein sind. Es mag liierbei besonders an die Theorie der Schwingungen einer Pendelkugel in Luft erinnert werden, von welcher 0. E. M e y e r durch eine besondere Untersuchung I) die Zulassigkeit dieser Betrachtungsweise dargethan hat.

13) Die Constanten des Gases: Warmeleitungdahigkeit, ReibnngscoPfficient , specifische Warme sind vom Drucke unabhangig und sollen xuch als unabhangig von de1- Tem- peratur angesehen wcrden. Fur kleinere Temperaturdiffe- renzen ist dies jedenfalls zalassig.

c) F~ir die Veriinderung der Dichtigkeit p mit der Temperatur 9. gilt die Formel:

PO Q = 1 fT9’

wo u den Ausc1ehnungscoi;fficienten des Gases, 6 die Tem- peratur in dem betreff enden Punkte bedeutet. Rechnet man 9 von der niedrigsten Temperatur an, welche an einer Stelle der Gasmasse vorkommt (es mag diese der Einfachheit halber stets O o sein), so so11 A nur solche

1) Borch. Journ. LXXV. p. 336-347. 1872.

A. Oberbeck. 273

Werthe erhalten, dass das Product a . 8 klein bleibt im Vergleiche zu 1. Man kann dann auch schreiben:

@ = Qo (1 - a@). d) An festen Wanden soll das Gas haften. e) Der Bewegungszustand der Fliissigkeit soll als

stationar angesehen werden. 2. Um die allgemeinen Differentialgleichungen des

vorliegenden Problems aufzustellen , hat man zuerst die Differentialgleichung der Warmeleitung fur ein bewegtes Medium zu bilden. Bezeichnet man mit I. die Warme- leitungsfahigkeit, mit c die specifische Warme des betref- fenden Mediums, so lautet , die gewohnliche Differential- gleichung :

Nach dem Vorgange van P o i s s o n ’ ) hat man bei einem bewegten Medium in derselben den partiellen Differential-

quotienten durch den vollstiindigen: 6’s

zu ersetzen. Fuhr t man die Bezeichnungen ein:

und allgemein: a y a y a y Af fur: - + - + - 8x2 ay2 8 - 2 ’

so lautet die Differentialgleichung : 6’3 as as a8 I ,

a t a x ay -++l . -+/ i -++LL‘-=-- - .d19- . a2 c . 9

Hiermit, sind die Bewegungsgleichungen der Hydro- dynamik zu verbinden, in welchen ,a der Reibungscoeffi- cient ist: -.

1) Trait6 de mkanique. Vebersetzt von S t e r n . Berlin 1836. 11. p. 523.

Ann. d. Php. U. Chem. S. F. VII. 18

274 A. Oberbeck.

Wegen der Veranderlichkeit von Q mit der Tempe- ratur ist die Gleichung der Continuitat in ihrer 1-ollstan- digen Form zu benutzen:

Hierzu kommt die Beziehung zwischen Q und 19: Q = Qo (1 - u8).

Das zu Grunde gclegte Coorainatensystem sei so gewahlt, dass die Richtung der positiven z-Axe der Schwere ent- gegengesetzt ist. Dann ist:

X = Y = O . z= - G. Ferner solltc der Bewegungszustand der Flussigkeit

ein stationarer sein. Dies muss dann auch fur die Be- wegang der Warme gelten. Man hat sich daher vorzu- stellen, dass die Grenzflachen der Fliissigkeit auf Tem- peraturen erhalten werden, welche von der Zeit unab- hangig sind.

Dann ist also: as - 9 - a l l - a? - cw - () dt- a t - 3 7 - a t - a t - *

Die Pundamentalgleichungen sind dann:

a P I , u d w = az + Q . G + Q

A. Oberbeck. 275

(4) 8 = e” (1 - a$). Differenzirt man die letzte Gleichung, so ist.:

Dies ist in Gleichung (3) einzusetzen.

(5) p = - QO G z + ppt7 sodass

ersetzt in allen iibrigen Gleichungen p durch p0 mit Ver- nachlassigung von m . 8 gegen 1 und fiihrt die abgekiirz- ten Bezeichnungen ein;

Setzt man ferner:

dl. a z + Q G = - @ 0 . G . L ? + p & , a P ’

so erhalt man das System:

(7)

Zu diesen Gleichungen kornrnen noch Grenzbedin- gungen, nach welchen an den Grenzflachen der Fliissigkeit 8. gegebene? unreranderliche Werthe haben muss, wahrend an denselben u , v , zu verschwinden.

3. Aus dem entwickelten Gleichungssysteme ist zu ersehen, dass die Fliissigkeit sicli nur in den beiden be- kannten Fallen in Ruhe befinden kann wenn entweder

1s *

376 A. Obeybeck.

die Temperatur innerhalb derselben constant oder eine lineare Function von z ist.

1st also: 9 . = a + b z ,

so hat man: 7L = 0 = I D = 0 , !2 = a P ( a + 62). 8.2

Daher mit Beriicksichtigung von (5) und (6):

P = P o - I 0 6

Q,, G \(1 - n a) z - - z’) 2

1st 6 positiv, so hat man stabiles, im entgegengesetz- ten Falle labiles Gleichgewicht.

Zu einer Losung der aufgestellten Gleichungen fiir den Fall der Bewegung gelangt nian durch die folgende Betrachtung. Bei einer Fliissigkeit, welche sich mit ZU-

nehmender Temperatur nicht ausdehnt, fiir welche also a den Werth Null hat, findet die Warmeleitung ohne Stro- mung, \vie bei einem festen Kiirper, statt. N a n kann zu- erst fiir diesen Fall die Temperaturvertheilung in der Fliissigkeit berechnen nnd dann untersuchen, welche Be- wegungen der Fliissigkeit eintreten, wenn a von Bull ver- schieden ist. Durch letztere erfolgen Veranderungen der Temperaturvertheilung in der Pliissigkeit, und diese be- dingen neue Veranderungen der Striimiing u. s. f. Ana- lytisch lasst sich dieser Gedanke leicht Liusfuhren. Man muss sich alle vorkommenden Functionen nach Potenzen von cx entwickelt denken, indellz man setzt:

9 = 19() + u .a, + @ A . ‘9,, + . . . . , (I = UICl + CL’ . ti2 + a3. 213 + . . . . , 2) = CCV, + d. ?I, + n3.

zu = awl + cx2. 2u2 + Cd3. w3 + . . . . , + . . . ., I

I p ’ = C 1 ; P 1 + 0 1 ~ . p ? + a 3 . p g + . . . , Setzt man diese Reihen in die Gleichungen (7) , (S),

(9) ein, so kann man nacheinander berechnen: a,, t i 1 , v l ,

7u1 9, etc. So einfach diese Methode zu sein scheint, so stellt sich doch bei dem Versuche ihrer Ausfuhrung heraus,

A. Oberbeck. 277

dass sie keineswegs in allen, mit Vortheil aber nur in wenigen, besonderen Fallen anzuwenden ist. Die Methode ist iiberhaupt nur zu brauchen, wenn sich nachweisen lasst, dnss die Reihen convergiren. Dies scheint. so weit sich das allgemein iiliersehen lasst, nur einzutreten:

a) wenn die urspriingliche Temperaturrertheilung in der Fliissigkeit, dieselbe als unbeweglich gedacht, nur sehr wenig abweicht \-on derjenigen. bei welcher stabiles Gleich- gewicht stattfindet,

b) bei stark verdunnten Gasen und kleinen Tempera- turdifferenzen innerhalb derselben.

Indem ich mir vorbehalte, auf das erste Problem. das von Interesse sein kann fur die Bestimmung der Leitungs- fahigkeit von Fliissigkeiten, spater zuriickzukommen ~ will ich hier den zweiten Fal l behandeln. Ich werde dabei nur die Berechnung der ersten Glieder ul, wl, wl, a, wirk- lich ausfiihren und dann mit Benutzung der Zahlenwerthe fiir die vorkommenden Constanten untersuchen, welchen Betrag die hiiheren Glieder annehmen konnen. Setzt man die Reihen (10) in die Gleichungen (7): (8): (9) ein, ordnet dieselben nach Potenzen yon cc und setzt die Factoren derselben einzeln gleich Null, so erhalt man das folgende Gleichungssystem fur die Factoren \-on ao, d, a?: (114 d9, = 0 ,

278 A. Oberbeck.

Zur Bestimmung von p1 und p , erhalt man nus G1. (12a) und (13%):

d p , = p. - - a $0 (14 a) 8.2 ' i'erner aus G1. (12b) und (13b):

mo zur Abkiirzung gesetzt ist:

und V,, W, eine ansloge Bedeutnng haben.

4. Die allgemeinen Gleichungen sollen nun fur das folgende specielle Problem aufgelost werden. Das Gas befinde sich zwischen zwei concentrischen Kugelschalen mit den Radien T, und r2. Die innere Kugel sol1 auf der constanten Temperatur To, die aussere auf der Tempera- tur O o erhalten werden. Man findet zunachst:

WO: r2 = x2 + y2 + 9 gesetzt, und der Anfangspunkt der C,oordinaten in den Mittelpunkt der Kugoln gelegt ist.

Nach (14a) ist dann:

Bezeichnet man noch den mehrfach wiederkehrenden 8 . T . P l Factor -+ mit F , so erhalt man zunachst die par- T? - v,

biculare Losung:

A. Oberbeck. 279

Zu derselben kann noch eine Function f hinzugefiigt werden, melche der Gleichung:

geniigt. Die meitere Rechnung lehrt, dass man sich auf zwei Glieder mit z und mit 5 beschriinken kann. Nennt

man A und B zwei noch weiter zu bestirnmende Constan- ten, so kann man schreiben:

d f = O

Die Gleichungen (12 a) ergeben hiernach :

Diesen Gleichungen geniigen die Werthe:

Zu jeder dieser Losungen kann man beliebige Func- tionen von 5, 2 , z hinzufiigen, welche der Gleichung: A f = 0, geniigen. Dieselben miissen so gewahlt werden, dnss die G1. (13a) erfiillt wird, und dass eine hinreichende Anzahl von Constanten vorhanden ist, um den Grenz- bedingungen u l , v l , w1 = 0, fur r = r1 und r = r2 , zu ge- niigen. Man erhalt danach die vollstiindigen Losungen:

worin C und D zwei neue, noch unbestimmte Constanten sind. Ordnet man die Qlieder in w1 passend und setzt man:

280 A. Oberbeck.

so kann man schreiben :

Die Grenzbedingungen werden erfiillt, wenn fiir r = r1 und r = r 2 , P und P verschwinden. Da diese Ausdriicke die vier willkiirlichen Constanten A . B , C, D enthalten, so reichen dieselben gerade zur Erfiillung der vier Glei- chungen hin.

I n einer noch etwas eiiifachern Form erhalt man die Ausdriicke fur die Geschwindigkeit irgend eines Punktes der Fliissigkeit, wenn man beriicksichtigt, dass man die Componenten nach den drei Axen :

zu einer Geschwindigkeit in Richtung des Radius zusam- mensetzen kann. Man hat daher fur jeden Punkt des Gases eine Radialcomponente und eine Componente in Richtung der %-Axe, welche mit V, und V, bezeichnet werden sollen, sodass:

Bezeichnet man den Winkel von r mit der positiven Richtung der z-Axe mit y , so kann man auch schreiben:

&PI P-- rj

E P

4 V, = -1. cos y , z -

5. Die Bestimmung der vier Constanten A , B , C, D durch die Qrenzbedingungen kann in folgender Weise aus- gefuhrt werden. Die Ausdriicke fiinften Grades P und P miissen fiir r = r1 und r = r2 verschwinden. Dieselben kijnnen daher geschrieben werden:

(22) (23)

P= (r, - r ) (r - r l ) (ar3 + br2 + c r + CF), P'= (r2 - r) (r - r l ) (a'r3 + b'r2 + c'r + d).

A. Oberbeck. 281

Die acht neuen Constanten a, b, c, d, a', b', c', d' miissen einer Reihe von Gleichungen geniigen, welche zu ihrer Bestimmung ausreichen. Man erhalt dieselben, indem man die angedeuteten Multiplicationen ausfiihrt und die Fac- toren gleicher Potenzen von r den entsprechenden Factoren der Gleichungen (17) und (18) gleichsetzt. Aus den ent- stehenden zwolf Gleichungen kann man die zaolf Con- stanten berechnen.

Setzt man zur Abkiirzung:

hT= 4 (T , + T# - rl r 2 , so erhalt man:

Die Ausdriicke P nnd P' lassen sich hiernach folgender- massen schreiben:

* E l p = (,.e - T ) --L_- (r - Vl) . Q . (q + 7-2)

N-- (a 7)

(28) AT . R', p ,= ( rz - T ) . (i. - q) . YZ . (rl + T?) ~~~

worin R und R' die Bedeutung haben:

282 A. Oberbeck.

Die Ausdriicke R und R haben bemerkenswerthe Eigenschaften. F u r r = r1 ist:

r1 + Gr,).

(6 r1 + 4 TJ.

- R = R- r 1 2 ( ( r Z -(rd(4 (31) 8 (q + 9.3)

.R = - R = -bK+ r2)

Fur T = r, ist: , ''2 (r3 - ?'I)

(32)

Die Ausdriicke wechseln ihr Zeichen, wenn r von r1 bis r2 wachst. Fiir jeden derselben lasst sich also wenigstens ein Werth von I' ermitteln, fur welchen er verschwindet. Man erhalt dieselben durch Anflosung der Gleichungen dritten Grades: R = 0, R'= 0. Die hieraus gefundenen Werthe von r seien B und G', und findet man stets of> 0.

Hicmach lasst sich die Bewegung des Gases, insofern aie von den Gliedern erstcr Ordnung abhangt, vollstandig ubersehen, wenn man die Ansdriicke von P und P' aus den Glcichungen (27) und (28) in (21) einsetzt:

Die Hanpteigenschaften der Bewegung sind die fol- genden:

a) Es gibt zmei bemerkenswerthe Kugelschalen inner- halb des Gases, die erste hat den Radius G, fiir welchen R verschmindet. In allen Punkten derselben stromt daher die Flussigkeit vertical nach oben. Innerhalb derselben hat V, in der obern Halbkugel negative, in der untern positive, V, uberall positive Werthe. I n der zweiten Kugelschale mit dem Radius 6' ist V, Null. Durch die- selbe stromt daher die Flussigkeit radial. Da V, von COST abhangt, so striimt die Fliissigkeit durch die untere Halbkugel nach innen durch die obere nach aussen.

Es gibt daher in derjenigen Horizontalebene , melche durch den gemein- samen Nittelpunkt der Kugelschalen geht, einen Kreis

Fur y = 90° ruht die Fliissigkeit.

A. Oberbeck. 283

mit dem Radius o’, dessen Punkte in Rnhe bleiben. Da V, positiv ist fur T < c’ und negativ fur .r > d, so beschreiben die Fliissigkeitstheile um die ruhende Kreislinie geschlossene Bahnen. E s entsteht also in der Fliissigkeit ein kreis- formiger Wirbelring.

b) Zerlegt man V, in Componenten in Richtung des Radius r und senkrecht zu demselben, so ist die ganze Radialcomponente:

& (1.1 + ?“2) (9.2 - T ) (?* - PI) . cos . (R + 22’)

Dieselbe verschwindet fur 3. = r1 und T = r 2 , nicht allein wegen den in diesen Ausdriicken vorkommenden Factoren r2 - r und r - r l , sondern auch, weil nach den Gleichungen (31) und (32) in diesen beiden Fallen R+R’ verschwindet, Man kann daher schliessen, dass an den beiden begrenzenden festen Kngelflachen die Fliissigkeit sich tangential, wenn auch mit unendlich kleiner Ge- schwindigkeit bewegt.

Diese Eigenschaften der Bewegung geniigen voll- standig, um die Stromungslinien zu construiren, deren Berechnung zwar durchfiihrbar ist, aber jedenfalls sehr complicirte Ausdriicke liefert.

D a die Richtung der Stromung von der Natur der benutzten Fliissigkeit unabhhgig ist, wofern man von den Gliedern hoherer Ordnung absehen darf, so habe ich die Rechnung fur ein einfaches Zahlenbeispiel durchgefiihrt. Es sei r1 = 1 cm, r2 = 5 em.

v, + v, . cos $G = __ 1.9

Dann ist:

Die Auflosung der Gleichungen R = 0, R‘= 0, gibt: CT = 2,175, o‘= 2,958.

llit Riicksicht auf die friiher angestellten Betrachtungen erhalt man hiernach die Stromungslinien, mie sie Taf. I1

2 84 A. Oberbeck.

Fig. 7 dargestellt sind. Dieselben reprasentiren die Stro- mungen in einer Meridianebene. A und B sind Punkte des oben erwahnten Ringes, in welchem die Flussigkeit in Ruhe ist.

6. Wi r kommen nun zur Berechnung yon 9,. Setzt man zu dem Zwecke in Gleichung ( l l b ) die Werthe von 6, nach Gleichung (15) und von ul, vl, w1 nach Gleichung (19) ein. so ist:

e . T . q ~ c - fP+ p':. = - y (r3 - rl) rG . Setzt inan mit Berucksichtigung, dass E = B T

(34)

zur l'p - T 1 ,

Abkurzung :

(35) r ~2 - ~1

und fiihrt die Werthe von P und P' ein, so ist:

?/ = f i . r2 (---): ir, q

(36) dB1 = -!dA7-5 - r2 1 r4 + D . r 3 + 2 B . r ' - - 2 C l . r6 1 4 3 /

Die particulare Losung von 9, , welche dieser Glei- chung genugt, ist jedenfalls von der Form:

z . 17(r). Bei Ausfuhrung der einzelnen Rechnungen findet man zunachst :

Die vollstandige Losung erhalt man durch Addition einer Function f , welche d f = 0 gibt. 8, muss den Grenz- bedingungen genugen, d. h. es muss verschwinden fur r = r1 und r = r2. Hiernach ist es leicht die willkurliche Function zu bestimmen, welche zwei neue Constanten enthalten muss. Man erhalt:

Die beiden ncuen Constanten lassen sich leicht finden. Setzt man:

A. Oberbeck. 285

und bezeichnet diesen Ausdruck mit resp. Q1 und Q2, wenn man in demselben 7 = r1 oder r = r, setzt, so muss:

H H Qi + G + rl Q2 + G + r2 = 0.

Daraus ergibt sich:

1st es gestattet, von den hoheren Gliedern in der Reihe fur B abzusehen, so konnte man hiernach die Ver- anderung bestimmen , welche die Elachen gleicher Tem- peratur durch die Stromung der Fliissigkeit erleiden. F u r die unbewegte Fliissigkeit sind dieselben concentrische Kugelschalen nach der Gleichung :

a0 = const.

F u r die bewegte Fliissigkeit erhiilt man dagegen: a0 + u . 9, = const.

Da indess 9; den Factor enthalt, welcher wesentlich von den verschiedenen Constanten des Gases abhangt, SO

ist zunachst die Grosse desselben fur besondere Faille zu ermitteln und kann damit am besten die %rage nach den hi5heren Gliedern der Reihen (10) verbunden werden. XTir werden daher spater anf die Veriinderungen der Flachen gleicher Temperatur zuruckkommen.

Die Berechnung der nzchst hoheren Glieder der Reihen (10) fuhrt zuerst auf die Bestimmung p , nach Gleichung (14b). X i t Hulfe von p , konnen nach (12b) und (13b) t i2 , v 2 , tu2 gefunden werden. Ohne die Rechnung im einzelnen auszufiihren, lasst sich ubersehen, mit welchen Constanten, d. h. yon der Katnr des Gases abhangenden Factoren die betreffenden Grassen rersehen sind. Es werden Glieder auftreten:

r

7 .

1) mit Clem Factor - 9 P2 2) mit dem Factor /3, 9’

3 ) mit dem Factor !Iz. P ‘

286 A. 06erbec.C.

Die Glieder 1) und 3) kann man zusammenfassen, da:

und nach der neuern Gastheorie:

i=f . p . c

wo f ein Zahlenfactor ist, der sich wenig \-on 1 (nach 0. E. N e y e r l ) i s t f = 1,53), unterscheidet. Es moge dalier

Wach Gleichnng (12c) werden daher in 8, Glieder auftreten

diesen Gliedern der gemeinsame Factor - BZ zuertheilt werden.

mit -- B und andere mit fz.

1'

r r2 Die Temperatur T kommt in p z , u?, v2, w2 im Quadrate

und in 8, in drr dritten Potenz vor. Endlich ist in dem speciellen Probleme, mit dem wir uns bisher beschaftigt haben, T stets mit dein Factor 2'- verbunden.

i'$ - T'

Die Reihen (10) lassen sich hiernach schreiben:

v und ?u sind analog;

Die Bedentung der hier neu eingefuhrten Ausdrucke ull, uzl, uaz, to, zl, tzl, tz2 ist einfach. Dieselben hangen nur von x, y, z, r1 und r2 ab und sind theils nur andere Ausdrucke fur fruher berechnete Functionen, theils reprasentiren sie noch nnbekannte Grossen. Es kommt nun vor allem darnuf an, festzustellen, welche Zahlen- werthe in besonderen Fallen die Constanten in der Reihen- entwickelnng annehmen.

1) Kinetisohe Theorie der Gxse, Breslau 1S77, p. 193.

A. Oberbeck. 287

Ich hahe diese Berechnung durchgefuhrt fur den Fall. dass das angewandte Gas atmospharische Luft unter dem Drucke von 760 inm ist. Erinnert man sich, dass:

benutzt die Zahlenwerthe:

G = 981 cm, ct = 0,00367, c = 0,169, po = 0,001 293, I. = 0,00005, p = 0,00019

und setzt ferner:

B - = 29000. y

so findet man:

Hieraus kann man zunachst schliessen, dass in den Aus-

B B drucken: u21 + 7 u22 und z21 + - z.22 Y

jedenfalls die ersten gegen die letzten Glieder zu ver- nachlassigen sind, sodass man erhalt:

Es kommt daher jetzt hauptsachlich auf die Grosse des Factors - ~ . -;--l- an. Derselbe ist bei den zu Grunde

gelegten Zahlen: = 532,5.

Man wird schwerlich annehmen durfen. dass in diesem Falle die Reihen convergiren. Jedenfalls reprasentiren die nachst hiiheren Glieder Werthe. welche die ersten an Grosse ubertreffen.

Zu ganz anderen Schliissen gelangt man aber, menn man die Luft als stark rerdunnt ansieht. Da der Reibungs- cogfficient und die Warmeleitungsfahigkeit vom Drucke unabhangig sind, so rerandert sich bei Druckl-erkleinerung

a@ T T

y T ~ - - rl

288 A. 06erbeck.

nur po, welches in - B im Quadrate vorkommt. 1st also die Y

Dichtigkeit nur & der gewohnlichen, so ist der gefundene Zahlenwerth durch 2500 ZLI dividiren. Es ist in diesem Falle:

Es lasst sich erwarten, dass diese Reihe schnell con- vergirt, und dass schon die nachst hoheren Glieder klein sind im Vergleiche zu den ersten.

J edenfalls ist &us den angestellten Betrachtungen ersichtlich, dass man bei Gasen stets Dichtigkeit, Tem- peratur und Dimensionen des Apparates so gewahlt denken kann , dass die auftnetenden Reihen schnell convergiren. Ob dies bei gegebenen Werthen der betreffenden Grossen wirklich der Fall ist, davon kann man sich noch in anderer Weise iiberzeugen.

8. Ergibt sich namlich, dass durch die Stromung der Fliissigkeit, insoweit dieselbe durch die Glieder erster Ordnung dargestellt wird, eine wesentlich andere Tem- peraturvertheilung hervorgebracht wird , als bei ruhender Pliissigkeit eintreten wiirde, so muss man erwarten, dass hierdurch auch die Stromungen erhebliche Veranderungen erleiden. Es sol1 daher zunachst die Berechnung der Flachen constanter Temperatur ausgefuhrt werden, wobei die in Abschnitt 7 angenommenen, speciellen Werthe zu Grunde gelegt werden sollen. Zu dem Zwecke sind in die Gleichung:

9. = B, + u tFl = Const., fur a0, 8, die Werthe nach Gleichung (15), (35), (37), (38) einzusetzen.

Xan erhalt:

Man erhalt die gesuchten Flachen, wenn man 9. einer Constanten gleichsetzt, welche zwischen 0 und T liegt. Da a,, fur T = r1 und T = r2, verschwindet, so fallt die

A. Oberbeck. 289

erste und letzte Flache 9. = T und 9. = 0 mit den be- grenzenden Kugelschalen zusammen. Setzt man zui- Ab-

so ist: T . r ro 1

9.1- T$ - p1 r - { ~ - - + k . c o s y J r r, oder :

Fiihrt man statt der Constanten 17 eine neue Constante c durch die Gleichung ein:

T . rlr?-- ,

- _ ' +k.cosgo ,

c = 8 (r2 - q) + T . rl

so ist:

oder: - -

c 1"

I n dieser Gleichung ist k eine ziemlich complicirte Func- tion von r , deren Werthe aber leicht zu ermitteln sind. Fur I' = rl, ist k = 0; erreiclit mit wachsendem r schnell ein Maximum und nimmt dann langsam zu Null ab, welcher Wer th fur r = r2 eintreten muss.

Eine angenaherte Vorstelliing von der Lage der E'lachen gleicher Temperatur erhiilt man, wenn man in dem Ausdrucke fur k = f ( r ) , r durch c ersetzt. Es ergibt sich dabei, dass das Product c . i~ fur die mittleren Werthe yon c nur menig veriinderlich ist, wie die folgende Zu- sammenstellung zeigt:

C 1. 2. 3. 4. 5. c . k 0 0,307 0,274 0,225 0

Ds die Gleichung: P

fiir den Fal l , dass k constant ist , verlangerte Rotations- ellipsoide ergibt, deren einer Brennpunkt der Kugel-

Ann. d. Phgs. u Chew. N. F. 1-11, 19

290 A. Oberbeck,

mittelpunkt ist, so kann man scliliessen, dass die Tem- peraturflachen von densclben nur wenig abweichen. Sie schneiden die entsprechenden Temperaturflachen der un- bewegten Fliissigkeit P = c in Kreisen, welche in der mittlern Horizontalehene liegen. I n Taf. I1 Fig. S be- deuten die punktirten Curven die Temperaturilachen der ruhenden, die ausgezogenen diejenigen der bewegten Flussigkeit.

9. Es bleibt nocli eine wichtige Frage zii beantworten. Welches ist diejenige Warmemenge, welche in der Zeit- einheit in der bewegten Flussigkeit von der innern zu cler aussern Kugelschale fliesst?

Wird urn die innere Kugel innerhalb der Flussigkeit eine Flache gelegt, welchr dieselbe vollstandig einschliesst.

d:, ist do ein Oberflachenelement derselben, und bedeutet dn eine Differentiation in lZichtung ihrer Normale, so ist die- jenige Warmemenge , wrlche durch Leitung infolge cler gegebenen Temperaturvertheilung in der Zeiteinheit durcli die Flache von innen nacli aussen fliesst:

Ausserdem aber striimt darch einen Tlieil der Flache marinere Flussigkeit nach aussen , kaltere nach innen. Auch hierdurch wircl eine gewisse Warmemenge aus den1 Innern der Flache nacli aussen iibergefiihrt. Die Gestalt und Lage der nmschliessenden Flache ist willkiirlich, man kann dieselbe daher auch so legen, dass sie der innem. festen Kugelschale uberall unendlich nahe bleibt. Dann fallt der zweite Theil der besproclienen Warmemenge fort. da die Fliissigkeit an der fester1 Kugelschale ruht. Die gesammte, hindurchflirssende Wirmemenge ist also dar- gestellt durcli den Ausdruck:

morin der Index 1 andeuten soll, dass die hetreffende FlUche der Kugelschale init dein Radius r1 iiberall un-

A. Oberbeck. 291

cndlich nahe ist. I n Clem gefundenen husdrncke bedeutet

das erste Glied - A s d o !?% die dnrch Leitung allein in der unbewegten Flussigkeit sich fortpflanzende Wiirine-

inenge. Das zweite Glied -?, do ~ vcrschwindet mit Rucksicht auf Gleichung (37) bei der Integration iiber die Kugelschale. V e n n es daher gestattet ist, yon hiiheren G liedern der Entwickelung abzusehen, so reprasentirt :

d921

s 1%:

diejenige Wsrmemenge, welche infolge der Stromungen zu der geleiteten Warme hinzu kommt. Ich will dieselbe kurz als ,,getragene Warme" im Gegensatze zu der ge- leiteten bezeichnen. Kach, Gleichuiig (43) ist:

wo zZ2 eine bisher noch nicht bestimmte Function ist. Man kann daher in erster Annalierung schliessen. dass die getragenen Warmemengen bei verschiedenen Gasen unter sonst gleichen Umstanden proportional sind init dem Ausdrucke:

Bei der Vergleicliung kann man noch die bei allen Gasen gleiche Grosse G2, sowie die nnhezn gleiclie u2 fortlassen und findet dann den Ausdrucli fiir die getragene Wiirineinenge, insoweit dieselbe von der Nntur des Gases abhiingt :

Berechnet man hiernach die relativen, getragenen Wiirme- inengen fur die drei mit gleichen Apparaten (I uncl 11) ron K u n d t und W a r b u r g untersuchten Gase, bei gleicheni Drucke und gleicher Temperatur, so erhalt inan:

fur atmospharische TAnft . . . 1 ., Kohlensgure . . , . . . 11 ,, Wasserstoff . , . , . . 0.003.

1 D *

292 v. 2). Lung.

Da c , A, p bei Verdiinnung der Gase unverandert bleiben, so nehmen diese Warmemengen schnell ab. Stellt man umgekehrt die Frage, bei welchem relstiven Drucke die getragenen Warmemengen in allen drei Gasen die gleichen sind, so findet man:

fur ntmospharische Luft . . . 1 ,, Kohlensaure . . . . . . 0,549 ,, Wasserstoff . . . . . . 4,273.

Die durch Striimnngen fortgefiihrten Warmemengen miissen daher beim Wasserstoff schon bei vie1 hoherem Drucke yerschwindend klein werden, als bei atmospharischer Luft, bei Kohlensgure dagegen erst bei etwas niedrigerem Drucke, als bei Luft, ganz wie es die Versuche von K u n d t nnd W a r b n r g wirklich zeigen.

H a l l e a/S., im M & r z 1879.

VI. Xeezce Beobcichtzcnyei% an tiinende*a Luftsuulen : von ?Tif i tor u. Zrcmg.

(Aus den Wien. Ber. Bd. LXXVIII. mitgetheilt vom Hrn. Verf.)

I. Bei den nachfolgenden Versuchen wurde die Luft einer Glasrohre auf die von H o p k i n s I) angegebene Weise in‘s Tiinen gebracht. Die hierbei zumeist benutzte Platte war aus ;Messing, 2 , l mm dick, hatte die Gestalt eines Quadrates von 195 mm Seitenlange und mar in cler Mitte an einem schweren Dreifusse hefestigt. Beruhrte man sie an den Stellen it uncl b und strich sie bei c mit dem Bogen, so gab sie clie in Taf. I1 Fig. 9 gezeichnete Klangfigur. Der dieser Figur entsprechende Ton ist sehr nahc eine kleine Terz hijher als eine Kiinig’iche Stimmgabel c3 yon 1024 Schivingnngen (71t~, 2048 v. s.). Hieraus folgt, dass dem Plattentone nahezu 1229 Schivingungen entsprechen.

1) Pogg. Ann SLIV. p. 246, 603. 1838.