Fourier’sches Grundgesetz erlaubt makroskopische ... · Grundlagen der Wärmeübertragung 2 Wärmeleitung –analytische Methode q 2 O grad - Fourier‘schesGesetz der Wärmeleitung

Grundlagen der Wärmeübertragung

2 Wärmeleitung – analytische Methode 1

2. Wärmeleitung – analytische Methoden

Fourier’sches Grundgesetz erlaubt makroskopische Beschreibung der

mikroskopischen Vorgänge bei der Wärmeleitung:

Wärmestromdichte ist proportional zu dem

Temperaturgradienten in diese Richtung

nqn

~

n hat die Richtung der Flächennormalen

Wärmestromlinien senkrecht zu Isothermen



gradq Fourier‘sches Gesetz der

Wärmeleitung (allgemein)

Temperaturgradient: -Vektor, dessen Richtung identisch mit Richtung des

des größten Temperaturanstiegs in einem Körper ist

- Betrag dieses Vektors entspricht dem Wert des größten

Temperaturanstiegs

- steht senkrecht auf Niveaulinie (Isotherme)

nd

d

z

y

x

grad max

/

/

/

Wärmestromlinien senkrecht zu Isothermen



Minuszeichen stellt Richtung des Wärmestroms sicher.

Wärmeleitfähigkeit (Stoffwert wie z.B. Dichte, cp, etc.)

Km

W

xq

A

Qx

x

Für 1- dim. Fall:

ˆ

Da in Feststoffen die beste Wärmeleitung durch die freien Elektronen erzeugt

wird:

Analogie zwischen elektrischer und thermischer Leitfähigkeit.

hängt überwiegend vom Material, aber auch von der Temperatur ab.

Thermal conductivity

siehe Stoffwertesammlung





Fourier’sches Gesetz kann für alle Geometrien angewendet werden. Es gilt

auch wenn nichtlinear.dx

d

x1x x

an der Stelle x1:

1

1

x

xx

q



2.2 Herleitung der Grundgleichungen:

( Bestimmung der Temperaturfelder)

Hinweis: Taylor-Reihe

3

3

32

2

2

!3

1

!2

1dx

x

xTdx

x

xTdx

x

xTxTdxxT

da 𝒅𝒙 ≫ 𝒅𝒙 𝟐 ≫ 𝒅𝒙 𝟑 gilt näherungsweise im Folgenden:

dxx

xTxTdxxT



Gleichungen für Temperaturfelder

),,,,( *qtzyx

1. Eindimensionales, stationäres Temperaturfeld ohne Wärmequellen

2. Eindimensionales, instationäres Temperaturfeld ohne Wärmequellen

3. Dreidimensionales, instationäres Temperaturfeld mit Wärmequellen

ˆq Wärmesenke / -quelle

3m

W



2.2.1 Eindimensionales, stationäres Temperaturfeld ohne Wärmequellen

0;0;0:)( *

q

tzyx

dzdyqQ dxxdxx dzdyqQ xx

.constdzdydAx



2.2.1 Eindimensionales, stationäres Temperaturfeld ohne Wärmequellen

Wärmestrombilanz:

dxdx

d

dx

d

dx

ddxq

dx

dqq

dx

dq

dx

dq

dzdyqdzdyqQQ

QQ

xxdxx

dxxdxx

xx

dxxxdxxx

abzu

in Wärmestrombilanz:

für

0

dx

dx

d

dx

d

dx

d

dx

d

)(

)x(

0

dx

d2

2



2.2.2 Eindimensionales, instationäres Temperaturfeld ohne Wärmequellen

0;0;0:),( *

tq

zytx

dzdyqQ dxxdxx dzdyqQ xx

.constdzdydAx

dt

Ed akku




Wärmestrombilanz:dt

dEdzdyqdzdyq akku

dxxx

ct

dzdydxcdVtdt

dE

dxxxx

q

xq

akku

dxx

x

dV




xxt

c

ct

dzdydxdzdydxxxx

dzdyx

mit konstanten Stoffgrößen:

2

2

xtc

mit

ca

Temperaturleitfähigkeit

thermal diffusivity

)(,,

)(,,

fc

xfc

2

2

xa

t

für

s

ma

2

3m

kg

Kkg

Jcp

Km

W



2.2.3 Dreidimensionales, instationäres Temperaturfeld mit Wärmequellen /

Wärmesenken

),,,,( *qtzyx (allgemeiner Fall)

dydxqQ zz

dzdxqQ dyydyy

dzdyqQ dxxdxx

dzdxqQ yy

dydxqQ dzzdzz

dt

dEakku

dVq*

dzdyqQ xx



2.2.3 Dreidimensionales, instationäres Temperaturfeld mit Wärmequellen

Wärmestrombilanz:

dVqdt

dEdAqdAq

dt

dEdAqdVqdAq

akkuausauseinein

akkuausauseinein

*

*

entsprechend 2.2.1 und 2.2.2:

*)(

qdzdydxt

cdzdydx

zzdzdydx

yydzdydx

xxdzdydx zyx

mit konstanten Stoffgrößenc

q

zyxa

t

*2

2

2

2

2

2

+ Wärmequelle: z.B. durch exotherme Reaktion

- Wärmesenke: z.B. durch endotherme Reaktion



Zylinder-Koordinaten:

cos

sin,,

rx

ryzr

Stationär, ohne Wärmequellen „Laplace Gleichung

02

2

2

2

2

2

zyx

0*

2

2

2

2

2

2

q

zyx

Stationär, mit Wärmequellen „Poisson-Gleichung“



2.2.4 Zusammenstellung der Gleichungen für den allgemeinen Fall

eines Temperaturfeldes mit konstanten Stoffwerten

4.1 in kartesischen Koordinaten

pc

qa

t

*2

pc

q

zyxa

t

*2

2

2

2

2

2

4.2 in Zylinder - Koordinaten

pc

q

zrrrra

t

*112

2

2

2

22

2

4.3 in Kugel - Koordinaten

pc

q

rrrrrra

t

*

sin

1

sin

cos122

2

2222

2

22

2

OperatorLaplace :2



2.3 Randbedingungen

Zur Lösung der DGL benötigt:

a) für instat. Fall Anfangsbedingung (t = 0)

b) immer Randbedingungen an der Außenseite des Körpers.

3. Mögliche Randbedingungen:

• 1. Art: Temperaturen an der Außenseite sind bekannt.

• 2. Art: Wärmeströme an der Außenseite sind bekannt.

q

xBz

x

0

..

x = 0

q

00

xx

)adiabat(0q:Sonderfall

> waagerechte Tangente

Beheizung.elektr.constq

onKondensatigVerdampfunconstW ,.



• 3. Art:

0

0..

x

xdx

dBz

WanddieanUmgebungvonund

x = 0

0x

q

Konvektion Wärmeleitung



2.4 Dimensionslose Kennzahlen

dimensionsfrei

Anzahl der Variablen reduziert

physikalisches Verständnis wird vereinfacht

2

2

/

/Re

Lu

LuLu

Beispiel: Reynolds-Zahl

Wärmeleitung:

Wärmedäm-

mung

Lxq

dx

dq

Lx

L

q

x

ätheViskositkinematiscs

m

2

Viskositätdynamischems

kg

Osborne Reynolds

(1842-1912)

𝑩𝒆𝒔𝒄𝒉𝒍𝒆𝒖𝒏𝒊𝒈𝒖𝒏𝒈𝒔𝒌𝒓ä𝒇𝒕𝒆

𝑹𝒆𝒊𝒃𝒖𝒏𝒈𝒔𝒌𝒓ä𝒇𝒕𝒆



per DefinitionL

x

a

2L

ta

Fo >> 1 : d.h. lange Zeiten, hohe - Werte, kleines L

Annäherung an stat. Zustand

Fo in Größenordnung 1 : thermische Transienten von Bedeutung

Fo << 1 : Wärmeleitung hat das Innere des Körpers noch

nicht erreicht

Jean Baptiste Joseph Fourier

(1786-1830)

Fo

𝝉 =𝑾ä𝒓𝒎𝒆𝒍𝒆𝒊𝒕𝒖𝒏𝒈 ü𝒃𝒆𝒓 𝑳

𝒈𝒆𝒔𝒑𝒆𝒊𝒄𝒉𝒆𝒓𝒕𝒆 𝑾ä𝒓𝒎𝒆 ü𝒃𝒆𝒓 𝑳

𝝉 = 𝒅𝒊𝒎𝒆𝒏𝒔𝒊𝒐𝒏𝒔𝒍𝒐𝒔𝒆 𝒁𝒆𝒊𝒕 (= 𝑭𝒐𝒖𝒓𝒊𝒆𝒓 − 𝒁𝒂𝒉𝒍 𝑭𝒐)

http://www.sci.hkbu.edu.hk/scilab/math/Fourier.jpeg

http://www.sci.hkbu.edu.hk/scilab/math/Fourier.jpeg



L

Lx

Lxdx

dqund mit

dt

d

ax

12

2

aus Gl. für instationäre

1d-WL:

d

d

2

2

folgt:

L

Vc

At

Vc

LLtL

L

L

L

t

cL

taFo

ppp

22

xAQ

tQQ



Bsp: instationäre Wärmeleitung

0

t

L

ngWärmeleitu

portWärmetransrkonvektiveZahlBiot

LBi

per Definition

Bi >> 1 : große Temperaturgradienten

Bi << 1 : homogene Temperaturverteilung

Jean Baptiste Biot

(1774-1862)

WärmestromgeleiteterKörperim

Wärmestromgeführterzuabkonvektiv

LA

A

LA

A

L

LLLBi

/

tandangswidersWärmeüberg

iderstandWärmeleitwBi



2.5 eindimensionale Wärmeleitung im stationären Zustand

2.5.1 Ebene Platte:

2

1

s

eQ

aQ

x

QQQ ae

dx

dAQ

2

10

ddxA

Qs

xf ,

21

As

Q

aus Vergleich mit AQ sw

folgt:



2.5.2 Zusammengesetzte ebene Wände (anhand eines Beispiels):

0,15 0,15

0,04

Km

Wi 2

10

mK

W5,0

QKm

Wa 2

30

Ca 10

mK

W05,0

i

1

2

3

4

a

x

Innen Aussen

.constdx

dq

Stationär

dx

d

dx

d

Wärmedämmung:

Backstein:

Ci 20



2111)( iiaikqA

Q

aa 4433322

aaii AAAAAkA

111111

332211

26,19

m

Wq

3

33

2

22

1

11

s;

s;

s

mit

Cq ii 04,1811 Wandtemperatur:

Km

W652,0k

2

aaq 4 C

q

a

a 3,930

6,19104

Innenseite

Aussenseite

k Wärmedurchgangskoeffizient (overall heat transfer coefficient)

„scheinbare 𝛂“ für

Wandschichten



2.5.3 Wärmeleitung in radialer Richtung (stationär)

2.5.3.1 Zylindrische Wände

z.B. Rohre, Reaktoren.

1

2

aQiQ

ir

ar

Skizze

L

QQQ ai Bilanz:

Kinetik an der Stelle r:r

rrdr

dAQ



LrAr 2rdr

dLrQ

2

2

1

2

dQ

L

r

dra

i

r

r

12

2ln

Q

L

r

r

a

i

21

ln

2

i

a

r

r

LQ

mit folgt:

AQvgl.:

i

a

r

r

LA

ln

2



2.5.3.2 Kugelschalen

24 rAmitdr

dAQ r

r

r

rdr

drQ

24

2

1

42

dQr

dra

i

r

r

2111

4

ai rr

Q

1

2

Q



21min 4 ia rQrfür

Beachte: Auch wenn , hat man immer noch einen minimalen

Wärmedurchgang. Bei der ebenen Wand und dem Zylinder ist

das nicht so . 0Qda

2.6 Formkoeffizienten F*

21* FQ

ad

• stationär

• mehrdimensional

• = const.



Formkoeffizienten



2.7 Kontaktwiderstände

bisherige Annahme:

• perfekter Kontakt zwischen

z.B. Zylinderschalen

Rauhigkeit, Luft,

Kontaktwiderstand

tatsächlich:



4

43,

3

32,

2

21,

1

11111

KKK RRR

k

RK hängt ab von Materialpaarung,

Oberflächenbeschaffenheit und

Anpressdruck

Bsp: Al – Al – Platten

Pa10p 5W

Km0005,0...00015,0R

2

K

K

KR

k1

Beachte:

Pa10p 7W

Km00004,0...00002,0R

2

K

– 11 2 3 4

Q

in dem folgenden Diagramm





2.8 Temperaturabhängige Wärmeleitfähigkeit

In den meisten Fällen ist

2

)()( 21 TT

Näherung

Tλλ

Im stationär, 1-dimensionalen Fall gilt dann:

dx

dbq

)1(0

besser )1(0 b

)(2

)( 2

1

2

2120 b

Lq

)(2

1)(

12120

b

Lq

L

x

b > 0b < 0



2.9 Interne Wärmequellen und -senken

Beispiel: radiale Wärmeleitung in einem Zylinder mit innerer Wärmequelle

pc

q

dz

d

d

d

rdr

d

rdr

da

dt

d

*

2

2

2

2

22

2 11

Brennstäbe in Kernreaktoren, Abbinden von Beton, elektrische

Widerstandsheizung, heizbare Heckscheibe, etc.

pca

q

dr

d

rdr

d

*

2

2 10

3m

Win

+ für Wärmequellen

- für Wärmesenken

r

R

W0

dt

d

0

d

d

dz

d

Stationär Eindimensional

r- Richtung

Poisson-Gleichung



pca

drrq

r

u

dr

du

0

drrq

drudur

rud

)(

0

q

drrrud

)(

udr

d

Substitution:

rCqr

ru :2

1

2

Integration:

dr

d

r

Cqru

1

2

Simeon-Denis Poisson

(1781-1840)

Produktregel

Rücksubstitution: (2.1)



21

2

ln4

CrCqr

00:0 1 Cdr

dr

1. RB:

2. RB: konvqqRr : (thermische RB 3. Art)

(2.2)

)(dr

dW

Rr

mit Gln. (2.1) rCqr

ru :2

1

2

q

RqRW

2

1

2

Symmetriebedingung

(2.3)



aus Gln. (2.2) mit r = R:dr

d

r

Cqru

1

2

Gln. (2.3) + (2.4):24

2

2Rq

CqR

1

2

4

2

2R

RqC

(2.4)

22* 21

2 R

r

R

Rq

1

2

44

22

R

qRqr einsetzen der

Konstanten:

parabolischer Temperaturverlauf



Egal wie gut man kühlt, die Temperaturdifferenz

ist immer gleich groß ( Gefahr von Spannungsrissen im

Material)

Wr 0

R

Rqra r

21

2:0)

2

0

2:)

RqRrb W

2

02

)

Rqc Wr

Von Wärmeleitfähigkeit bestimmt

𝜶 beeinflusst nur gesamtes Temperaturniveau



2.10 Berippte Heizflächen

min

AkA

332211

1111

AAAkA allgem. gilt:

Möglichkeiten um den Wärmeübergang zu verbessern:

nicht immer ohne weiteres möglich

A Rippen

Rippen (Oberflächenvergrößerung) auf der Seite des niedrigsten

Wärmeübergangskoeffizienten



Rippenrohre





𝑸𝑮 über unberippte Grundfläche

𝑸𝑹 über Rippenoberfläche

𝑸 = 𝑸𝑮 + 𝑸𝑹 = 𝜶 𝑨𝑮 𝝑𝟎 − 𝝑∞ + 𝜼𝑹 𝜶 𝑨𝑹 𝝑𝟎 − 𝝑∞= 𝜶 (𝑨𝑮+𝜼𝑹 𝑨𝑹) 𝝑𝟎 − 𝝑∞

∙

𝑸𝑹

𝝑

𝒙

𝝑𝟎

𝝑∞𝝑𝑹(𝒙)



𝜼𝑹 = 𝑸𝑹

𝑸𝒎𝒂𝒙

= 𝜶 𝝑𝑹 − 𝝑∞ 𝒅𝑨𝑹

𝜶 𝑨𝑹 𝝑𝟎 − 𝝑∞

Definition: Rippenwirkungsgrad

Maximaler Wärmestrom 𝑸𝒎𝒂𝒙 wird erreicht, wenn Wärmeleitwiderstand der

Rippe unendlich klein bzw. 𝝀 → ∞ bzw. 𝝑𝑹 = 𝝑𝟎

Durch Rippenoberfläche übertragender Wärmestrom 𝑸𝑹 hängt vom

Temperaturverlauf 𝝑𝑹 in der Rippe ab

Berechnung von 𝜼𝑹 nur für einfache Bauformen analytisch möglich

𝑨𝑹: Rippenoberfläche



Ansatzellerdifferenti

xf

konvQd

xQ dxxQ

dx

xein QE

konvdxxaus QdQE

)(0 stationärdt

dEakku

L

x

b

sdx

dt

dEEE akku

ausein

Einfachster Fall: Wärmeabgabe über Längsrippe

s

b

0 konvdxxx QdQQ

aus Energiebilanz folgt:



Rkonv dxUQd

Da die Wärmeleitung in der Rippe wesentlich besser als der konvektive Wärmeübergang

an der Rippenoberfläche ist, kann die Temperaturverteilung im Rippenmaterial quer zur

Rippenlängsachse vernachlässigt werden.

01: dy

dsΒigroßAnnahme R

R

R

2

2

2

!2

1dx

x

Qdx

x

QQQ xx

xdxx abbrechen

(2.7)dx

dAQ R

Rx

0

konv

x Qddxx

Q

Über den Rippenquerschnitt konstante Temperatur

(2.5)

(2.6)

kinetischer Ansatz für Wärmeleitung:

einsetzen in Energiebilanz

kinetischer Ansatz für Konvektion: Umfang 𝑼 = 𝟐 (𝒔 + 𝒃)



aus Gln. (2.5) bis (2.7) folgt:

0

dxUdx

dx

dA

dx

dR

RR

02

2

R

R

R

A

U

dx

d

Definition: R

A

Um

R

2

02

2

2

mdx

d(Dgl. 2. Ordnung)

)(2 bsU bsA mit

𝑨: Querschnittsfläche

der Rippe

allgemein: 𝑚 =𝛼 𝑈

𝜆𝑅𝐴

Rechteckrippe: 𝑈

𝐴=

2 (𝑠+𝑏)

𝑏 𝑠

Vereinfachung für 𝑠 ≪ 𝑏:

𝑈

𝐴=2 + 2

𝑠𝑏

𝑠=2

𝑠

𝑚 =2 𝛼

𝜆𝑅 𝑠



0

Lxdx

d

00)0( x1. RB:

)](sinh[)](cosh[)( 2121 xLmCxLmCeKeKxmxmx

Lösung:

aus 2. RB: 20 C

aus 1. RB:)cosh(

0

1mL

C

)(cosh

)]([cosh)()( 0

mL

xLmxx R

Temperaturverlauf in der Rippe

2. RB:

(2.8)

adiabate Stirnfläche

Rippenfuß



Berechnung Rippenwirkungsgrad für Längsrippe mit Hilfe der Definition

𝜼𝑹 = 𝑸𝑹

𝑸𝒎𝒂𝒙

= 𝜶 𝝑𝑹 − 𝝑∞ 𝒅𝑨𝑹

𝜶 𝑨𝑹 𝝑0 − 𝝑∞

𝑸𝑹 = 𝜶 𝝑𝑹 − 𝝑∞ 𝒅𝑨𝑹 =𝜶 𝑼 𝜽𝟎

𝒄𝒐𝒔𝒉(𝒎𝑳)−𝒔𝒊𝒏𝒉 𝒎 𝑳 − 𝒙

𝒎𝟎

𝑳

= 𝚯𝟎 𝜶 𝑼 𝝀 𝑨 𝒕𝒂𝒏𝒉(𝒎𝑳)

Mit Gleichung (2.8) kann 𝑸𝑹 berechnet werden: 𝒅𝑨𝑹 = 𝑼 𝒅𝒙

𝜼𝑹 =𝒕𝒂𝒏𝒉 𝒎𝑳

𝒎 𝑳

Eingesetzt in die Definitionsformel für den Rippenwirkungsgrad folgt



mLA

LAnLängsrippebei

R

R

~

~:

.RippenhöhegleicherbeinLängsrippefürnKreisrippefür RR

Grund: Querschnitt der Kreisrippen nimmt zum Rohr hin ab.

1mL

1

5,0

1 2 3 4

R

mLR

mL

VorteilegeringenochnurmLfür 2

RippeQ

In der Praxis:



L

x

b

s

𝜗0, 𝐴

∙ 𝜗𝑎𝑚𝑏

𝛼

∙ 𝜗𝑎𝑚𝑏

𝛼

𝐴

Wärmestrom über unberippte

Fläche 𝑨:

𝑸𝟎 = 𝜶 𝑨 𝝑𝟎 − 𝝑𝒂𝒎𝒃 = 𝜶 𝑨 𝜣𝟎

𝑄0

Θ0 = (𝜗0 − 𝜗𝑎𝑚𝑏)

𝑄𝑅

Wärmestrom über berippte Fläche

𝑸𝑹 = 𝜶 𝝑𝑹 − 𝝑∞ 𝒅𝑨𝑹 = 𝚯𝟎 𝜶 𝑼 𝝀 𝑨 𝒕𝒂𝒏𝒉(𝒎𝑳)

Rippenleistungszahl/ Effektivität:

𝜺 = 𝑸𝑹

𝑸𝟎

=𝚯𝟎 𝜶 𝑼 𝝀 𝑨 𝒕𝒂𝒏𝒉(𝒎𝑳)

𝜶 𝑨 𝜣𝟎=

𝑼 𝝀

𝜶 𝑨𝒕𝒂𝒏𝒉(𝒎𝑳)

Für 𝒔 ≪ 𝒃: 𝜺 =𝟐 𝝀

𝜶 𝒔𝒕𝒂𝒏𝒉(𝒎𝑳)

Je niedriger 𝛼,

Je größer 𝜆,

desto mehr lohnt

sich Rippe

Rippenleistungszahl/ Effektivität



Beachte: Rippen bringt man nur dann an, wenn der Wärmeübergang an

der gegenüberliegenden Seite wesentlich besser ist.

Auswahl von Rippenrohren:

*

1111

FAAAkA GRRaii

Zusätzlich konstruktive Gesichtspunkte beachten

(Strömung, Gewicht, Kosten).

iiGRRa AAA

Beste Lösung, wenn:



2.11 Instationäre Wärmeleitung

Erwärmung / Abkühlung

Anfahrvorgänge

ohne innere Wärmequellen:tazyx

12

2

2

2

2

2

Exakte Lösung nur für einfache Fälle möglich

2.11.1 Eindimensionale Näherung für einfache Geometrien:

Annahme: Ebene Platte

Konstante Stoffwerte

Wärmestrom nur in x-Richtung

Konvektion an Umgebung

pc,,



Q Q

0

L

xL

L2tax

12

2

mit :L

xX

0

2L

taFo

Fo

2

2



10, tx

0

0

X

X

Randbedingungen:

1

1

X

X

iX

Lx

Lxdx

d

0)0,( tx

Symmetrie

LBi

Anfangsbedingung:

RB1:

RB2:



Näherungslösung durch Reihenentwicklung (siehe Incropera und DeWitt)

XFoA n

n

nn cosexp1

2

nn

nnA

2sin2

sin4

n = Eigenwerte von ( )Binn tan

Ähnliche Lösungen sind auch für Zylinder und Kugel vorhanden.

Für weitere Geometrien siehe Buch von Carslaw and Jaeger.

Annäherung einer konstanten Anfangstemperatur: sehr viele Glieder,

Fehler in den Ecken groß, Temperaturverteilung nach einiger Zeit:

weniger Glieder

(2.8)

Θ =𝜗 − 𝜗∞𝜗0 − 𝜗∞



Θ

0,0

0,5

1,0

1,5

1. Glied 2 Glieder 3 Glieder4 Glieder 5 Glieder =1

Dicke 2X

Θ0 = 1

Annäherung der

Anfangstemperatur

Θ0 schwierig: viele

Glieder notwendig,

Fehler v.a. in Ecken

groß

0,0

0,5

1,0

1,5

1. Glied 2 Glieder 3 Glieder Parabel

Dicke 2X

Θ

Annäherung der

Temperaturverteilung

nach z.B. 5 ℎ: Fehler

deutlich geringer



Grafische Lösung der transzendenten Gleichung: 𝜎𝑛 tan 𝜎𝑛 = 𝐵𝑖

→1

tan 𝜎𝑛= cot(𝜎𝑛) =

𝜎

𝐵𝑖

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

𝒚𝟏 = 𝐜𝐨𝐭 𝝈

𝒚𝟐 =𝝈

𝑩𝒊

𝝈𝐵𝑖 → ∞

𝐵𝑖 = 1𝐵𝑖 = 0,1 𝐵𝑖 = 2

𝜋/2 3𝜋/2 5𝜋/2 7𝜋/2

𝐵𝑖→0



Bi 1 2 3 4 5 6

0 0 2 3 4 5

0,1 0,31 3,17 6,3 9,43 12,57 15,71

1,0 0,86 3,42 6,43 9,53 12,64 15,77

3,0 1,19 3,81 6,70 9,72 12,8 15,9

10,0 1,43 4,3 7,23 10,2 13,21 16,26

∞𝝅

𝟐𝟑𝝅

𝟐𝟓𝝅

𝟐𝟕𝝅

𝟐𝟗𝝅

𝟐𝟏𝟏

𝝅

𝟐

Eigenwerte der Gleichung Binn tan Platte



Äquivalent zu Gleichung (2.8) können die Diagramme im

Vorlesungsumdruck S.11-12 verwendet werden

𝚯𝐰

𝚯𝟎=𝝑𝒘 − 𝝑∞𝝑𝟎 − 𝝑∞

𝑩𝒊

𝑭𝒐

𝟏 𝟏𝟎 𝟏𝟎𝟎



Beispiel 1:

Eine Stahlplatte mit einer Dicke von 30 mm und einer Anfangstemperatur von

600 °C wird in eine Flüssigkeit mit 20 °C eingetaucht.

Der konvektive Wärmeübergangskoeffizient zwischen Platte und Flüssigkeit

beträgt 3200 W/m2K.

Berechnen Sie die Temperatur in der Mitte der Platte nach 𝟓𝟎 𝒔.

Stoffwerte für Edelstahl:

• Dichte = 7850 kg/m3

• Spezifische Wärmekapazität cp = 445 J/kgK

• Wärmeleitfähigkeit = 16 W/mK



Für Plattenmitte 𝑿 = 𝟎: 𝒄𝒐𝒔 𝝈𝒏 𝑿 = 𝟏30 mm

?

3200

20

600

50,0

2

0

stx

Km

W

C

C

XFoA n

n

nn cosexp1

2

nn

nnA

2sin2

sin4

(2.8)

Lösung: Annahme: 1D-Wärmeleitung

1

2expn

nn FoA

mit 𝑛 = 1 𝑏𝑖𝑠 ∞

Welche Anzahl an Gliedern 𝑛 der Reihe ist sinnvoll ?

Θ =𝜗 − 𝜗∞𝜗0 − 𝜗∞



s

m

ca

p

2

6106,4

ms

L 015,02

1cos0 XX n

022,12

L

taFo 3Bi

Binn tan 19,11 21,1A1

81,32 288,0A2

7,63 115,0A3

72,94 014,0A4

8,125 035,0A5

9,156 023,0A6

Eigenwerte Koeffizienten der Fourierreihe

16

015,03200

LBi

Plattenmitte X=030 mm

?

3200

20

600

50,0

2

0

stx

Km

W

C

C



233,0exp2

1 Fo

72

2 106,3exp Fo

202

3 101,1exp Fo

422

4 101,1exp Fo

A

0x2n

2

1nn 282,0Foexp

C184s50t,0x

In der Plattenmitte sind hier bereits die ersten beiden Reihenglieder ausreichend



11

LBi

L

2.11.2 Näherungslösungen für niedrige Biot – Zahlen:

Widerstand der Wärme-

leitung in der Platte.

Widerstand der konvekt. Wärme-

übertragung auf der Außenseite.

tcM

A

pe

0

A

dt

dcM p

Temperaturgefälle im Innern vernachlässigbar klein einheitliche Temperatur 𝝑(𝒕)

FoBie

0

für ebene Platte

pp cV

tA

A

A

cL

t

L

taLFoBi

2

konvQdt

dU

Praxis: 𝑩𝒊 < 𝟎, 𝟏



Beispiel 2:

Die Schaufel eines Axialverdichters ist aus einer Titanlegierung

hergestellt. Die Dicke der Schaufel ist 10 mm und die Anfangstemperatur

𝝑𝒔,𝟎 = 𝟔𝟎 °𝑪.

Die Schaufel kommt in Kontakt mit einer Gasströmung mit 600 °C, wobei

der Wärmeübergangskoeffizient 500 W/m2K beträgt.

Berechnen Sie die mittlere Schaufeltemperatur nach 1, 5, 20 und 100 s.

Stoffwerte für Titan:

• Dichte = 4500 kg/m3

• Spezifische Wärmekapazität cp = 520 J/kgK

• Wärmeleitfähigkeit = 25 W/mK



11,025

2

01,0500

Bi

FoBi

s eaus

s

ma

26

1068,10

2

sL

tL

taFo 427,0

2

C9,163 s5t s

C0,370 s20t s

C0,592 s100t s

958,0e:s1tfür 0427,0 C6,82s

s

L

Fo=0,427

2,137

8,547

42,735

5204500

25

pc

m3

105

t↑

𝚯 =𝝑𝒔 − 𝝑∞𝝑𝒔,𝟎 − 𝝑∞



2.11.3 Näherungslösungen für sehr große Biot-Zahlen

Annahme:

1Bi

emperaturUmgebungstdergleichsofortaturWandtemperL

A

0

t

A

0

t

s

QQ

für Bi

Siehe z.B. Diagramm für Temperatur in der Achse

in Vorlesungsumdruck S.13.



Bilanz Volumenelement dV = A dx

dt

dEQQ akku

dxxx

dt

ddxAc

dt

dEp

akku

dxdx

QdQQ xdxx

abbrechen

AqQmit dt

dc

dx

qdp

txfdt

d

adx

d,

12

2

dx

dqmit

dt

dc

dx

dp

2

2

dx

A

Qx Qx+dx

(2.9)



Gln. (2.9) kann nicht exakt gelöst werden.

a) Näherungslösung für 𝒕 → 𝟎 (Kurzzeitlösung) bzw. den halbunendlichen Körper

(Umdruck S.14)

)(2

00

2

erfde

w

w

)´(ˆ)(

tionFehlerfunkscheGauß

FunctionErrorerf 𝜼 =

𝒙

𝟐 𝒂𝒕

Anfangsbedingung:

Randbedingungen:

0)0,( tx

0),( tx

wtx ),0(

Lösung:

halbunendlich

(2.10)



0

22deerf

Werte der Fehlerfunktion können

aus Tabellen entnommen werden

(Umdruck S.16)𝜼 erf(𝜼)0 0

0,2 0,22270259

0,4 0,42839236

0,6 0,60385609

0,8 0,74210096

1 0,84270079

1,2 0,91031398

1,4 0,95228512

1,6 0,97634838

1,8 0,9890905

2 0,99532227

2,2 0,99813715

2,4 0,99931149

2,6 0,99976397

2,8 0,99992499

3 0,99997791

𝜼 =𝒙

𝟐 𝒂𝒕

0,0

0,5

1,0

0,0 1,0 2,0 3,0𝜼

𝐞𝐫𝐟(𝜼)



Wärmestrom von/an Umgebung:

0

xx

AQ

aus der Lösung für den halbunendlichen Körper (2.10) folgt mit der Kettenregel:

tae

xx

ta

x

w2

12 4

0

2

allgemein

WandderanQtfürhd 0..

.ˆ ientingkoeffizWärmeeindrcb p

w

p

wt

cA

taAtQ

00

1

2

12

und damit für x=0

KmsWb 221

(2.11)



mK

W372

3m

kg8930

kgK

J385cp Kupfer:

Holz:

Styropor:

Fleisch:

mK

W185,0

3m

kg700

kgK

J2380cp

mK

W003,0

3m

kg20

kgK

J1380cp

mK

W52,0

3m

kg950

kgk

J3400cp

Beispiel: Kontakttemperatur für kurzzeitigen Kontakt von Hand (37 °C) und

Festkörper (20 °C)



1) Skizze:A

0

BB

Hand

Kontrollelement

0, da des Kontrollelements

dt

dEEE akku

ausein

ausein QQ

BA qq

2) Bilanz:

Aq

Bq

0M

A



0A

Ap

At

c1q

B0

Bp

Bt

c1q

3) Kinetik: aus Gln. (2.11) (Kurzzeitlösung)

4) Kopplung: 𝒒𝑨 = 𝒒𝑩

Bp

Ap

Bp

ApAB

0

c

c1

c

c



5) Lösung:

24

2

p

Km

sW

c

C

0

20,6

31,9

36,6

1 679 600

1 278 954 600

308 120

8 280

A Fleisch

B Kupfer

Holz

Styropor

Material

Hand A=37°C

Festkörper B=20°C

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