Uber eine Klasse nichtlinearer Gleichungen mit monotonen Operatoren

Von HERBERT GAJEWsKI in Berliii

(Eingegangen am 24. 7. 196i)

Fur im reellen HILBERT-hum gegebene Gleichungen der Form (1) Pu = f * , bei nichtlinearem Potentialoperator P, hat LANGEKBACH [6] mit Variations- methoden Existeiiz- und Einzigkeitssatze bewiesen uiid ein Verfahren zur iterativen Losung begriindet.

In der vorliegenden Arbeit werden auf anderem Wege entsprechende Er- gebnisse fiir eine weitere Klasse nichtlinearer Gleichuiigen gewonnen.

1. Gleichungen mit monotonen Operatoren

Im reellen HILBERT-Enurn H mit dem Skalarprodukt (,) betrachten wir die Gleichung ( 2 ) AU + QU =f. Die Operatoren A und Q seien auf der linearen, in H dicliten RIenge Xu definiert. ( A { I l l o } , Q { X o ) C H ; E H . ) A sei linear und in l K o symmetrisch und positiv definit, d. h. (3) (Ah, h) 2 y ' (h , h ) , h E N,, . Durch Vervollstaiidigurig von M , bezuglich der dem Skalarprodukt

entsprechenden Norm

erzeugen wir den HILBERT-RaUm H , c H .

[u, v] = (Au, v)

I / u 112 = [u, u] = (Au, u )

Q sei ein monotoner Operatorl), d. h., es gelte die Beziehuiig

(4) (Qu -Qv. u - V) 2 0, U , v E 310.

1) Dirsen Begriff fuhrte unberes \17i~srns ZARA~TOXELLO [lo] rin. Sielie dazu z. B. auch [9].

35s Gajex ski, Siclitlineare Gleichuripen mit nionotoneri Operatoren

-4ul3erdem sei

( 5 ) ~ (Qu - Qv, h) I 5 211 1 1 u - II 1 ) 1 1 h 1 1 , u, 23, h E Xu; und - ohne Beschraiikung der Allgemeinheit - Q ( 6 ) = 0.

0 < ,lI = const

Fur beliebiges u E H,, existiert eine Folge {u,,] c X,, mit lim 1 1 u,, - u /I = 0 .

I l + M

Wegeii ( 5 ) koiivergiert die Folge (Qu,,, h) bei bel. festem h E H,. W7ir definiereii

uiid ordiien so jedem u E H,, ein, wegen ( 5 ) uiid Q ( 8 ) = 6, eindeutig be- stimmtes, lineares Funktioiial ll, ( h ) zu. I,, ( h ) hat nach dem bekannten KIEszscheii Satz die Darstellung

lt'(h) = [US, hl, h E Ho, mit eindeutig bestimmtem u* E H,. Auf diese Weise wird duvch die Vor- schrift (6) RU = U*

eiii Operator R erkliirt, der H o in sicb abbildet. PUr u E M, gilt

[Ru, hl = (QU, h) und daher, wegen (4) und ( 5 )

und ('7) [Ru - Rv, u - V ] 2 0

(8) ~ [ R u - R ~ , h ] j SJfI lu - ~ ~ ~ ~ ~ h ~ ~ ) u ,v ,hEHo.

Nach dem schon zitierten RiEszscheii Darstell~~ngssatz existiert wegen (3) ein f E H o mit

( f , h) = "L hl h E Bn. Satz 1. Jede Losung der Gleichung ( 2 ) ist Lijsuizg der Qleichung

(9) u + R u = f . Esistiert umgekehrt eine Losung der Gleichung (9), die dent Dejinitionsbereich XI, der Operatoren A und Q angehort, so ist diese Lijsung der Gleichung ( 2 ) .

Beweis. Es sei ug eine Losung voii ( 2 ) . D a m gilt fur beliebiges h E H o , 0 = (Au, + Quo - f , h) = [un + Ru, -f, hI,

d. 11.

1st uo Losung von (9) iind u0 E MI,, daiin gilt fur beliebiges h E ilIll, ug + Ru~ == f .

O = [u, + Ru,, -f, h] -= (Au,, + QUO - f , h) und, da H , in H dicht liegt, AZL, + Quo = f , 1x7. z. 73. \I-.

Gajen ski, Sichtlineare Gleichungen mit nionotonen Operatoren 359

Wir vereinbaren, everituell vorhandene Losungen von (9), die nicht zu N o gehoren, auch als (verallgemeinerte) Losungen von (2) anzusehen. Unter Be- riicksichtigung dieser Vereinbarung sind die Gleichungen (2) und (9) aqui- valent.

Wir untersuchen im folgeiiden die Gleichung (9) und setzen dabei stets voraus, daB der Operator R den Bedingungeii ( 7 ) und (8) geniigt. Es sei T der dixrch

definierte Operator, der H , in sicli abbildet.

Lemma 1. T ist in. H,, Kontruktionsoperator mit der Konstunten 1

?=I- ___ 2(1 + X ) f

Beweis. Fur u, V, h E H , gilt wegen ( 7 ) , (8)

+ [Ru - Re, u - v])

360 Gajewski, Nichtlineare Gleichungen mit ruonotonen Operxtorerl

Satz 2. Die Gleichung (9) hut genuzc eine Losung zc,)?). u,, ist in H , Grenzurt des Iterationsprozesses

1 u ~ + ~ = Tuj U . - -~ -~

* (u, + Ru, - j ) , i = 1, 2, . . . ' (1 + 1M)2

bei beliebigem Azcsgangsekement u l E H,, . Es gilt d ie Fehlerabschutxzcny

rl I / UO - ui+l / I 5 ~~ IITu, - ulI/. (1 - r )

B eweis. Die Behauptungen des Satzes folgen aus der offcnsichtlichen Aquivalenz der Gleichung (9) zu der Gleichung

(12) TU = u

und dem nach Lemma 1 auf (12) anwendbaren BANAcHschen Fixpunktsatz.

2. Das G~4LEl~KIs-~erfahrei i

Der Raum H o sei im weiteren separabel. Uaiin existiert ein in H,, voll- standiges System linear unabhangiger Koordinatenelemente {y??} C X O . Mrir bezeichnen durch H F ) die abgeschlossene. lineare Hiille der ersten YL

Elemente des Systems {q~??}.

Defin i t ion . ub") E H{Y) nenneri wir eine n-tc, nach dem GALWKIS- Verfahren gebildete Naherungslosung der Gleichung (9) (bzw. (2 ) ) , oder kurx n-te GALERKINSChe Naheruiig, wenn u:;) Losung der Fuilktionalgleichung

(13) [u"') + Ru"" -f, h] = 0. h E H!;" ist.

Bemerkung. Wegen ug'j I][:) C ,W,,ist u r ) auch Losung der Gleicliuiig

(AU02) + Qu("), h) = ( f , h ) , h E H p . Es sei @) der Projektionsoperator voii H o auf Hi,''). Es gilt

(14)

ITegeii (14) und Lemma 1 ist der Operator

j/IJ(")(I = I, n = I, 2 , . . .

T(") = n(") T

in H{Y) Kontraktionsoperator mit der Konstanten Y aus Lemma 1, d. 1 1 . es gilt

(15) 1 1 T ( n ) u ( T 1 ) - TT(J1) v ( t ~ ) 1 1 5 1 1 ,(a) - v( j ( ) l i , ,(,L) v('O E Hi;).

2) Diese Behaiiptung bewcist C. J. MIXTY [9] auf anderem Kege ohnc die Voraus- setzung (8).

Gajewski, Nichtlineare Gleichungen mit rnonotonen Operatoren 361

Satz 3. Fur .jedes n = 1, 2 , . . . existiert genau eine n-te GALREKINsChe Nuherung ur) . ur) ist in H o Grenzwert des Iterationsprozesses

bzw . U!n) = T(n)u!./l) L , i = 1 , 2 , . . . % + I

bei beliebigem Ausgangselement uy) E H , . Es gilt die Fehlerabschatzung ""1

Be w e i s. Die Behauptungen dieses Satzes folgen aus der Aquivalenz der Gleichung (13) zu der Gleichung

T(n) u(n) = u ( l t )

und dem wegen (15) auf diese anwendbaren BANAcHschen Fixpunktsatz.

B em e r k u n g. Wegen uj") E N o konnen wir die Iterationsvorschrift in der Form

1 (AU;:)~, h) = (AU;"', h) - ~ ~ (Au~") + QU:'" -f, h) , h E H t ' )

(1 + LU)? schreiben.

Satz 4. Die Folge {u!,@},( ~ I ?, , , , der GALERKINschen Nuherungen konvergiert

Be w e i s. Wegen der Vollstiindigkeit des Koordinatensystems {p,,} gibt es

in H , gegen die Losung u,) der Gleichung (9).

zu jedem E > 0 ein no derart, da13 fur n 2 n,, eiii dn) E Hi;) mit

362 Gajemski, Kichtlineare Gleichungen I n i t iiionotoncn Operatoren

Satz 5 . Das Iterationsverfahren

n vu lL- l , n = 1 , 2 , . . . 2, ~ Tc"'

konvergiert bei beliebigem vo E H , in H,, gegen d i e Losung U.0 con (9).

Beweis. Satz 5 folgt aus den Satzeli 3 uiid 4. Zum ausfuhrlichen Be- weis siehe [ 5 ] .

3. Gleichungen niit Potentialoperatoren

betrachten im reellen HILBERT-Raum ff, mit dem Skalarprodukt die Gleichung (1). Der Operator P aus (1) besitze [,I1 und der Korm 1 1

die folgeiideii Eigenschaften :

A. P(61) = ; bei beliebigen u, g, h E HI, , existiert der Grenzwert"'

dieser Greiizwert ist additiv und homogeii in g und fur u == suI + t u1 stetige Fuiiktion der reellen Parameter s und t.

B.

C. Durcli Einfuhrung des Operators

[P'(u) h, g]l = [P'(u) g, hli, a' 1 1 h 11; 2 [P'(u) h, hll 2 p' 1 1 h 111,

u, g, h E Hlo. U , h E H1o.

1 R - - P - I ( I sei der in Hi, , identisclie Operator) - p'

fl = f " I P 3 ,

u + xi u =f1

und der Bezeichnung

geht (1 ) in die offensichtlich aquivalente Gleichung

(16)

tiber. Aus den Eigenschaften A, B, C folgeii die ( 5 ) uild (8) entsprechelideii Absch btznngen

(17) [R, u - Rl V , ZL - 2111

l 1 p' = ~ J [ P ' ( t u + (1 - t ) v ) ( u - c ) , u -z l ] l d t - [ u - v , u - V ] t

. 2 - [u - ? i l l u - 2111 - [u - Z', u - r]L = 0;

#) Dzmit ist gemeint, da8 der folgende Grerizn ert cxistiert und die angegebene Forin hat.

Crajen ski, Sic1 itlineare Gleichungen init inorlotonen Operatoren Xi1

Wir bezeichneii durch K , die Klasse der Gleichungen der Form (1). mit den Bediiigungen A, B. C geiiiigendem Operator P und durch K , die Klasse der Gleicliungen, die sicli auf die Form (9), mit ( 7 ) wid (8) geiiugendem Ope- rator R (aquivalent) zuruckfiihreii lassen. Aus dem oben Bewiesenen folgt . ,Jede Gleichuiig der Klasse I<, gehort zu K l . Die Umkehrung dieser He- hauptung gilt iiicht, da aus der Gultigkeit von (7) und (8) fur den Operator f: im allgemeinen nicht die Eigenschafteii A, B, C fur den Operator P I + R hergeleitet werdeii koiineii.

Fur Gleichuiigen der Klasse K , liabeii LANGENRACH [6] und der Ver- fasser [3] niit \'ariatioiisniethodeii dpii Stitzen 2-5 im wesentlichen eiit- sprechende Ergebnisse erhalten. FTalireiid jedoch in den zitierteii Arbeiteii Fehlerabschitzungeir. wie sie die Satze 2 und 3 liefern, fehleii, geheii folgende, dieseii Arbeiteii zu eiitnehmende Tatsachen uber das hier Gesagte hinaus :

1. Bei Beschrankung auf Gleichmgeii der Klasse K , koiineii die Ite- ratioiisverfahren der Satze 3, 3 und 3 als Modifikationen der Aletliode des steilsten Abstieges - aiigeweiidet anf ein geeignetes Funktional, desseii Existenz die Eigenschaften A uiid B des Operators P garantiereii - ge- deutet werden.

2 . Die Konvergeiizaussage bleibt dnbei auch dann besteheii. Uenn die Koiistante 1 (1 + JI)' durch die griiI3ere 2 , (1 + M ) ersetzt wird. Die Konvergenzgeschwiiidigkeit mird hierdurch im allgemeinen erhoht .

4. Anwendungen

Auf Gleichuiigen der Klasse K , fiihren zahlreiclie Probleme der nicht- linearen Elastizitats- und Plastizitdtstheorie. Eine Reilie derartiger Pro- Heme (u. a. das Torsions- und das ebene Spannungsproblem bei jeweils iiichtlinearem Rlaterialgesetz) findet man z . B. in den Arbeiten [3, 4, 5 , 6, 71 ausfuhrlich dargestellt. IYir geheii hier auf eine Gleichung ein, die nicht der Iilasse K I , wohl aber der in den Abschiiitten 1 und 2 behandelten Klasse K 2 angehort. - Dazu betrachteii wir eiiieri stationar an einer ebeneii Wand herabflieBenden Flussigkeitsfilm. in deli der Bestandteil B eines angrenzen- den Gasgemischs diffundiert. ITie FORSTE [I, 21 gezeigt hat, reduziert sich

364 Gajewski, Xchtlineare Gleichungen init inoiiotoiieii Operatoren

das Problem der Bestimmung der Konzentratioii c des Stoffes B im Fliissig- keitsfilm auf die Losung der Diffusioiisgleichung

(9= { x , y : O < x < a , O < y < h ) )

bei den Randbedingungen

2 C ac aY ax

(10) c (x , 0) = 0, c(0, y) = 0, - (x, b ) = 0, ~ (a, y) = 0 .

Dabei ist : y E L, (Q) ; g eine im Interval1 [ O , cc] definierte, stetige und nickitnegative Funktion; f ( E , y) eine fiir - 00 < 5 < 00, 0 5 y 5 b definierte, stetige Funktion, fur die man die Giiltigkeit der folgenden Beziehungen annehmen darf: f ( 0 , Y) = 0 ,

(21) ( f ( E l Y) - f ( E 2 , Y)) ( E l - 5 2 ) 1 0 ,

( 1 2 ) I f (E l2 Y) - f ( t 2 > Y) I 5 161 - E'2 I . (g beriicksichtigt die Veranderlichkeit der Geschwindigkeit v des Films zwischen der Wand (v = 0) und der Trennflache Film-Gasgemisch ( c = vo > 0) ; f berucksichtigt eventuelle Reaktionen, die der Bestandteil B mit einem chemisch aktiven Bestaiidteil der Plussigkeit eingeht).

Es sei: H = A = L2(R); Jf,, = B0 die Menge der in B 2mal stetig diffcrenzierbaren Funktionen, die den Randbedingungen (20) geniigen.

-I?,) ist bekanntlich dicht in I?. Der Operator

ist auf N o definiert, dort symmetrisch und positiv-definit. (Sielie z. B. [S] S. 139.) Es gilt also

IYir definieren durch

i?C Qc = &C = q ( x ) ~ + f ( ~ , y), c E

d.!J

auf X, , den Operator & und weisen fur diesen (4) und ( 5 ) entsprecheiide Beziehungen nach. Wegen (21) uiid ( 2 2 ) gilt, wenn S den Rand von 9 be-

Ciajewski, Kichtlinearr Gleichungen mit monotonen Operatoren 365

zeichnet, fur c, , c2, h N o :

= /"'2"! (cl - c2)2 cos (12, y) as

s

= J- @$ (CI(X, b ) - cz(x, b))2 ax 2 0;

0

Damit sind die in den Abschnitten 1 und 2 durchgefuhrten Betrachtungen urieingeschr5,nkt auf die Qleichung

( 2 3 )

heziiglich A und ~ 6 ! ~ , d. h. auf das Randwertproblem (19), (20) anwendbar. Die Sake 2-4 liefern u. a. folgende Aussagen:

1. Das Problem (1 9), (20) hat in I?, C Wi') (Q) genau eine (verallgemeinerte) Losuiig Go; diese kann man durch Iteration, als Grenzwert von Losungen h e a r e r Randwertprobleme erhalten.

A c + $c = c p ,

366 Gajewski, n'ichtlinwre Gleicliungen niit itionotoiien Operatoren

2 . Go ist Grenzwert dar fur jedes n = 1, 2. . . . eiadeutig bestimmteii GALER- Kmschen Naherungen i i{{') bezuglich der Sorm des Raumes w ~ ' ) ( ~ ~ ) . $;') kann iterativ, durch Auflosung linearer algebraischer Gleichungssystcme er- hnlten werden.

lliese Resultate erweiterii Ergebnisse, die roil FORSTE [I, 21 crzielt wurden.

Wir bemerken nocli, daB der Operator im allgemeinen nedei, diffe- renzierbar noch symmetrisch ist urid demzufolge die Gleichung (23) in der Regel nicht einer Gleichung der Hlasse K , iiquivalent ist.

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