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Uber eine Verallgemeinerung der Hadamardsdmn Ungleidmng

Herrn Professor H. K~ESER zum 60. Geburtstag gewidmet

Yon WOLFOaNt~ KRULL in Bonn

I s t (g,~) (i, k = 1 . . . . . n ; g~ = g~t) die Matrix einer 'positiv definiten Hermiteschen Form, so ]i*i~t sieh die Ungleichung von H a d a m a r d versehgrfen zu:

(1) g11" g22" . . . " gnn > [glk l ( i , k = 1 . . . . . n ) .

Diese Ungleichung folgt fast unmit te lbar aus der allgemeineren, gleichfalls bekannten Ungleichungl) :

(2) Ig,~ I~,+e.~+..I ~ [gtk[ ( 0 , ~ = 1 . . . . . r ; o ' , c r ' = l . . . . . n - - r ; i , k = 1 . . . . n ) .

Merkwfirdigerweise findet sich die z. B. ffir die Korrela t ionsrechnung wichtige For- mel (2) in keinem der gebrguehliehen Lehrbficher der Determinantentheorie2). Es dfirfte sich daher lohnen, ffir sie einen Beweis anzugeben, der seines elementaren Charakters wegen unmit te lbar in jedes Lehrbuch eingebaut werden kann. Wir be- nStigen aul~er den allereinfachsten Eigenschaften der Determinanten nur die fol- genden beiden Tatsachen:

a) Bei einer positiv definiten Hermitesehen Matrix (gtk) gilt stets:

(3) Ig~Qkal > 0 ( 0 , ~ = I . . . . . r ~ n ; 1 < = i l = k l < i 2 = k 2 < . . . < i r - - k r < = n )

(d. h. also, es sind die Determinanten aller Haup tminoren positiv).

b) Bedeute t (hier, wie immer im folgenden) (G~ r2) die Adjungier te von (ffqo) (~, (~

= 1 . . . . . r) (d. h. also (G(0r2) = I g~o I (geo)-l) , so ha t man nach den elementaren Sgtzen

fiber die Unterde te rminanten der Adjungier ten:

l.*(r ) l.*(r) (4) ~11 ~12 , . . . , e ' , a ' . , ~_(,) ~_(,) = I g ~ - I " I g " + ~ ' . 2 + ~ ( e ~ = 1 , ~ ; = 1 , . . ~ - ' 2 ) .

~ 2 1 ~ 2 2

Wir griinden den Beweis der Formel (2) auf den einer noch allgemeineren Ungleichung, ffir deren bequeme Formulierung einige Abkfirzungen zweckmgBig sind: r, ~, t be- deuten Untermengen {~1 . . . . . Or}, {(ri . . . . . qs}, {T1,. . . , Tt} der Menge { 1 , 2 , . . . , n},

1) C. E. BONrERRO~I, Una disuguaglianza sui determinante e il teorea di Hadamard. Boll. Un. mat. Ital., II. Set. 4, 158--165 (1942).

2) Vgl. etwa W. GRSB~CER, Matrizenrechnung. Miinehen 1956; G. KOWALEWSKI, Einftihrung in die Determinantenthcorie. Leipzig 1909 ; F. NEISS, Determinanten und Matrizen. Berlin 1955.

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Wobei r, ~, t stets elementefremd sein sollen, wenn sie in ein und demselben Symbol aUftreten, f0 bezeichne die leere Menge, ~ u ~ die Vereinigungsmenge der elemente- freraden Mengen r, 2. Unter (~) bzw. I ~1 soil die Haup tun te rmat r ix (90,,) (~, a e r) yon (g~k) bzw. ihre Determinante verstanden werden 0: =~ to), auBerdem werde It0] ~- 1 gesetzt. SchlieBlich definieren wir:

N a c h dieser ]3efinition wird insbesondere:

�9 tO =- ] ~ L ) �9 �9 .

Wir kommen also gerade auf einen Determinantenquotienten, wie er in (2) auftr i t t .

Da wit es nur mit H~uptunterdeterminanten zu tun haben, ist ~'~ unabhi~ngig

Yon der Anordnung der Elemente in r, 2, f. Ebenso trivial ist die Giiltigkeit yon:

(7) ~21 = 2i~. Schliel~lieh gilt die fundament~le l~ekursions/ormel:

(]~eweis dureh Ausreehnung beider Seiten nach (5) und Kfirzen). Aus (7) und (8)

ergibt sieh fiir jedes r't2 mindestens eine Produktzerlegung:

k=l t~

I)abei l~ftt sich offenbar stets erreiehen, dal] tw = t wird und p(:~) bzw. a(: k) je ein beliebig vorgesehriebenes Element aus r bzw. 2 ist.

V~ir beweisen jetzt die Haupt /ormel:

(Io) o < I~'t 2 =< 1.

Nach (9) geniigt es, den Fall r, = {p}, 2 = {a} zu erledigen. Zuni~ehst ha t man fiir t ~ to wegen g~ = gla:

(ll) {~}~o {~} (go~" goo - ~ ~o~)" (goo g~)-: ,

Woraus wegen (e}~{ a} > 0 sofort (10) folgt. Fiir t=~ to werde (sebreibtechniseh

hequem, abet o.B.d.A.) e = 1, a = 2, t = {3 . . . . . r} angenommen. Wegen (4) und der aus g~ = g~t folgenden Gleiehung G(I~ = G ~ ergibt sich:

(l~) I {1} , {~} i = (a(') ~ ' ) - a (~) c~'('), �9 (a l : ) . (-~(')~-~ { z , . . . , ~) : : . ~ , , ~o. ~ .~ , ~ . , , .

4 4 W.I~RuLL ARCH. MAT~.

Damit ist wie bei t = to alles bewiesen. - - Die Haupt /ormel enthdlt natiirlich (2) a/s Spezial/all .

Bekanntl ieh lassen sich (1) und (2) so erganzen:

E. (1). Es ist dann und n u t dann g l t . . , gna = I g~kl, w e n n (gtk) Diagonal,matrix ist.

E. (2). Es ist dann und n u t dann I gqa]" ]gr+o',r+a'] ----]gik], wenn gQ, r+a' = 0 ( ~ = 1 . . . . . r ; a ' = 1 . . . . . n - - r ) .

Dabei folgt natfirlich wieder E. (1) aus E. (2). - - Auch fiir E. ( 2 ) i n der Form:

E. (2) ' . ~ : = 1 dann und n u t dann, wenn stets ge, = 0 (~ e r, r ~), ist der Be-

~' ~ = 1 sein, so muff in jeder Produktzer legung (9) jeder Fak tor weis tr ivial: Soll to

gleich 1 sein, d. h. es mu8 angesichts der Zusatzbemerkung zu (9) fiir jedes Paar

{~)~r}-- = 1 gelten, und daraus folgt sofort gqa = 0 nach ( 1 1 ) . - ~ e ~, a e 6 stets

Fiir die allgemeine Haupt formel (10) erhi~lt man keine derar t elegante Erg~nzung wie

E. (2)'. Aus der Tatsaehe, dab ~:~ dann und nu t dann gleich 1 ist, wenn in jeder

Produktzer legung (9) reehts jeder Fak to r gleich 1 wird, ergibt sich zun~ichst nu t :

E. (10). Es ist dann und n u t dann I r, 6 = 1, w e n n ]iZr ]ede echte Untermenge ~' to [

yon ~ bzw. ~' yon 6 und iedes Q e ~ - - ~' bzw. ~edes a e ~ - - ~' die]enige Determinante verschwindet, die entsteht, w e n n m a n ] ~' u ~' u t ] mi t der Zeile gq,, gQa (~ �9 ~' U ~' U t) und der Spalte gQo, g~(be �9 ~' u ~' u t) rgndert.

Dean jeder Fak to r rechts in einer Zerleguag ( 9 ) h a t die Gestal t l:,{~'~!au} i uades

t r i t t jeder derart ige Fak to r in mindestens einer Zerlegung (9) auf. Die beim Beweis yon (10) fiir e : 1, a - - 2, v' u 6' u f = {3 . . . . . r} durchgefi ihrte ~ber legung zeigt

weiter, dab dann und nu t dann {e}, {a} = 1, wenn die in E. (10) besehriebene ~ U ~,' U t

geriinderte Determinante gleieh 0 ist. Natiirl ieh liegt es nahe zu fragen, ob man nicht an Stelle yon E. (10) eine einfaehere Bedingung setzen kann, bei d e r n u r yon einem Tefl der in E. (10) beschriebenen Dete rminan ten das Versehwinden gefordert wird. Hierzu ist zu sagen, daft man ffir t 4:t0 sieher kein so elegantes Resul ta t erwarten

~' ~ = 1 nach E. (2)' kurz und ansehaulich gesagt das daft , wie f i i r t = to, wo to

, ,Zerfal len" der Matr ix (~ u ~) in die Matr izen (~), (~) nach sieh zieht. Denn es wird z. B. bei der Matr ix

= - ,

wie sofort nachzurechnen, {1},{3}{2} j _-- 1, obwohl in (g{k) kein einziges E lement gleieh

0 ist, und auch bei der adjungier ten Matr ix

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(i~ (G~) = (G~ ~) = 2 1

Wird ZWar G12 ~- 0, wie nach (12) nStig, es t r i t t aber kein Zerfallen in Untermatrizen ein.

Trotz dieses SchSnheitsfehlers diirfte aber auch die allgemeine Hauptformel (10) flir gewisse Anwendungen, z. B. fiir die Theorie der Mehrfachkorrelation, niitzlich sein.

Eingegangen am25.10.1957