Über einen Homomorphismus der rationalen Punkte elliptischer Kurven

Math. Nachr. 96,207-244 (1980)

Uber einen Homomorphismus der rationalen Punkte elliptischer Kurven

Von REINHARD BOLLING in Berlin

(Eingegangen am 14.9. 1979)

Iin Verlaufe nunierischer Berechnungen fand D. A. BUELL [ 11 einen Homonior- phismus der Gruppe der Q-rationalen Punkte von elliptischen Kurven der Forin

Y 2 = 4(X + A ) ( X 2 + BX + C ) + D .

( A , B, C - ganze rationale Zahlen, D - Diskriminante eines quadratischen Zahl- korpers, Q - Korper der rationalen Zahlen) in die Idealklassengrnppe des quadratischen Zahlkdrpers Q(f5). Uher Kern und Bild sind keine allgenieinen Aussagen bekannt. Die vorliegende Arbeit hat zuni Ziel, das Resultat von D. A. BUELL auf e k e gr613ere Klasse von Kurven zu verallgemeinern. Insbesondere werden dabei auch elliptische Kurven erfaBt, fiir die D nicht die Diskriminante eines quadratischen Zahl- korpers ist. SchlieBlich wird auf weitere, in der Arbeit von D. A. BUELL angesprochene offene Fragen eingegangen (darunter zum Bild in dem Spezialfall A = B = C = 0).

Zur Darstellung der Ergebnisse und Beweise verwenden wir durchweg Ideale (bei D. A. BUELL sind es binare quadratische Formen), wodurch die in [l] verwendeten Ergehnisse von H. S. BUTTS und G. PALL [2] zur Koniposition binarer quadratischer Fornien niit ungleichen Diskriniinanten entbehrlich sind.

Wir werden hier hyperelliptische Kurven der Form

init ganzen rationalen Koeffieienten A , A i (0 5 i 5 n - l), D und n 2 3 betrachten. Es sei

D = ds2

rnit qriadratfreiem d. Um das Hauptresultat forniulieren zu konnen, fuhren wir zu jeder Kurve c" eine (endliche) Menge S(8 ) von ,,Ausnahmeprimzahlen" ein.

Wir beschranken uns zunaohst nur auf Kurven 8 niit A = 0. Mit So(&) sei die Menge der Prinizahlen p bezeichnet, die durch folgende Bedingungen definiert ist :

208 Bolling, Uber einen Homomorphismus

fur d = 1 (niod 4):

2 6 So@) e

fur d f 1 (mod 4) :

'A i=O(mod2) , 1 Z i s n , A . An-2 + An-l (mod 8 ) falls A . = 0 (mod 8) gilt (dieser Fall wird unter der Bezeichnung - Sonderfall (9) - gefuhrt) oder An-l + 2An-, (mod 4)

A , An-2 = A,,-l = 0 (mod 4) und uberdies

fur n = 3 : es gilt k2 + 0 und wenigstens eine der Bedingungen - 3k2 5 ko, 2k2 S k1 - 3k2 5 ko, 2 I k1 - 3kl 5 2kO - 1, k1 2 2(k2 - l), 3k1 $. 2(ko - 1) fur k, = 1 (mod 3) aul3erdem noch: - ko < 3k2 - 2 , 3k1 2(ko - l), 2 I kl

2 E So(b) e

- ko 2 3k2 - 2, k1 5 2(k2 - l), 2 I k1 - ko = 3k2 - 2 , k1 = 2k2 - 1 fiir n > 3: 2 I (Ao, .. .) An-3); (k; = Exponent der 2 in A i , i = 0, 1, 2).

SchlieBlich bestehe S(8) aus den durch

hestimmten Primzahlen und der Zahl - 1. Damit kann nun die Definition fur beliebige Kurven d gegeben werden. Durch die

birationale Transformation X.+ A = X', Y = Y' geht 8 in eine Kurve 8' (niit A' = 0) iiber. Wir setzen S(&) = S(8').

In den folgenden Betrachtungen werden wir sehr oft ,,modulo S(8)" rechnen. Es werden folgende Bezeichnungen verwendet: fib eine Menge M von ganzen rationalen Zahlen soll (a, M) = 1 bedeuten, daB die Implikation

p 1 a + p % m furalle m E M

( p - Primzahl, a E 2) gilt. Weiterhin soll

a = b (a, b E Q*) M

besagen, daf3 ab-l in derjenigen Untergruppe von Q* liegt, die von den Primteilern der Elemente von hf und - 1 fur - 1 E M erzeugt wird. Entsprechend soll fur irgend- welche (von (0) verschiedenen) Ideale a, b eines (hier nur quadratischen) Zahlkorpers K die Bezeichnung

a = b M

Bolling, Uber einen Hornoniorphismus 209

eingefiihrt werden (wir lassrn zu, daO M (ganze) Elemente aus K enthiilt). AuBerdem sol1

n - 6 M

bcdeuten, dali a = ( y ) b fur ein gewisses y

%a hlkorpers K = Q (f5) = Q (fi) zu. Es sei

K* gilt. M

Jedeni Q-rationalen Punkt von 6' ordnen wir jetzt ein Ideal a(P) des quadratischen

wit ganzen rationalen Zahlen xi, yi (i = 0, l), (xl, xo) = (yl, yo) = 1. Dann setzen wir

(zur Bezeichnung der Ideale verwedden wir eckige Klammern, uin eine Verwechslung niit den1 gro13ten genieinsamen Teiler zu vernieiden).

Wir formulieren nun das Hauptergebnis.

Satz. Wenn alle n Schnittpunkte (rnit Vielfachheiten) Pi , 1 5 i 5 n, von 6 init einer Ceruden &-rational sind, so gilt

n

Arif Moglichkeiten der Verbesserung dieser Aussage, d. h. der ,,Verkleinerung"

Die von allen Primidealteilern der Priinzahlen von S(&) erzeugte Untergruppe von A'(&), wird am SchlulJ (Abschnitt 9) eingegangen.

in der Idelalklassengruppe Cl(K) von K werde mit [A!?(&')] bezeichnet.

Folgerung. Fur n = 3 liefert die obige Zuordnung einen Homomorphismus

+ ~w)/[s(al. Dazu ist nur zu bemerken, daO fur den zii P E E(&) inversen Punkt -P das Ideal

a(-P) gerade das zu a(P) (einzige) konjugierte Ideal ist und denizufolge a( -P) N a(P)-1 gilt.

Urn die Verbindung zu dein Resultat von D. A. BUELL [ l ] deutlicher werden zu lassen, notieren wir die Falle (niit n = 3), fur die [&(&)I trivial ist (fur A = 0). Be- zeichnet D die Diskriniinante eines quadratischen Zahlkorpers, SO sind dies folgende Kurven :

fur D G 1 (mod 4):

14 Math. Naclir. ]Id. 96

210

mit

Bolling, Vber einen Hornomorphialpus

(A: - ~ A ~ D S ' , A,) = 1, (2)

A, + 2A, (mod a ) , (s, A,) = 1;

611: Y 2 = 4X(AoX2 + A,X + A, ) + Ds' mit

(A: - ~ A ~ D s ' , A,) = 1, (8, A,) = 1, (2)

A, + A , (mod 2) falls A , = 0 (mod 2);

fiir D 0 (mod 4 ) :

8111: Y2 = 4X(A0Xa + AIX + A,) + Ds' mit

(A: - ArDs', A,) = 1, (8, A,) = 1 (2)

und es gilt 2 % A , oder keine der fur d + 1 (mod 4) angefiihrten weiteren Bedingungen ist erfullt.

Zur Illustration geben wir an, was diese explizit fur die ersten Werte von ko (ki = Ex- ponent der 2 in A ; , i = 0, 1,2) beinhalten:

k, = 0:

k, = 1: k, + 0 und (k,; k,) =/= (1; l),

k, = 2: k, += 1 und (k,; k,)+ (0; 1)

A,, A , beliebig,

odcr (k, ; k,) = (1 ; 1).

Fur elliptische Kurven dieser Form liefert die beschriebene Zuordnung einen Homo- niorphisnius der Q-rationalen Punkte in die Idealklassengruppe von K = Q(@)

a(&) +. CZ(K).

Die Kurven 811, 8111 treten bei D. A. BUELL niit A, = s = 1 auf (hierfur sind die obigcn Bedingungen stets erfullt), wiihrend die Kurven g I hier neu hinzukommen.

1. Vorbemerkungen

Bevor wir zu den Einzelheiten des Beweises kommen, stellen wir zwei Benierkungen voran. Es bezeichne oK den Ring der ganzen Elemente von K. Wir werden niehrfach von folgender Aussage Gebrauch machen.

Behauptung 1.1. Es sei { 1, w ) cine Qanzheitabusis von OK. Dann gilt

Norm [a, b + cw] = (a(., b, c), norniK,g (b + cw))

fur jedes urn (0) verschiedene Ideal (a, b, c E 8).

Be weis. Fur jedes ganze Ideal a $. (0) sei i , (a) der groIjte gemeinsame Teiler aller Koeffizienten bei w fur Elemente aus a und i(a) sei der kleinste positive in a enthaltene naturliche Zahl (beide Zahlen sind von der Konstruktion einer ,,kanonischen Dar-

Bolling, Ober einen Homomorphismus 21 1

stellung“ basis ab)) i2(a) = 1

fiir a wohlbekannt (und hangen ubrigens nicht von der Wahl der Ganzheits- . Es gilt Norm a = i(a) i2(a). Fur den Spezialfall (b , c) = 1 erkennt man sofort (da bw + ciijz E a fur das zu w konjugiertew). Offenbar gilt

i(a) I (a, normKlQ ( b + cw)) .

[Norm a] = [a, b + c w ] [a, b + cw] Aus

liest man aber auch (a, normK/Q (b + c w ) ) I i (a) ab. Damit ist die Behauptung fur den Fall (b , c ) = 1 bewiesen.

Den allgemeinen Fall fuhrt man sogleich auf den speziellen Fall zuruck. Es sei

= (u, b, C) a‘,

b‘ = (b’, c‘) b”,

b = (a, b, C ) b ’ ,

C’ = (b’, c’) c”.

c = (a, b, C ) c ‘ ,

Wir haben [u, b + C W ] = (u, b, C) [a’, b’ + C ’ W ]

= (a, b, C ) [a’, (b’, c’) (b“ + ~ ” w ) ]

= (a, b, c) [a‘, b” + c ” w ] .

Daher ist nach den] Spezialfall

Norm [a, b + cw] = (a, b, c)2 (a’, normKlQ (b” + c”w))

= (a, b, c ) ~ (u’, (b’, c’)~ normKlg (b” + c ” w ) )

= (a, b, c)2 (a’, normKlg (b’ + c ‘w) )

= (a(u, b, c), norniKlQ ( b + c w ) ) . 0 Mit der oben eingefuhrten Bezeichnungsweise gilt

Behauptung 1.2. Es gil t

fiir beliebige (x, 8, y E oK und von (0) verschiedene Ideale.

Beweis. Offenbar gilt

Lrl[4 PI s [Y”, B1 G [a, 81

[Y., B1 = “ 9 B1 a und also

fur ein ganzes Ideal a niit a J [ y ] . 0

2. (frundgleichungen

Wir wenden uns nun den1 Beweis des Satzes zu. Offensichtlich genugt es, sich hierfur auf Kurven 6 iiiit A = 0 zu beschranken, wovon im weiteren stets ausgegangen wird. Da 8 zwar beliebig, aber fest gewiihlt zu denken ist, verwenden wir die Ab- kiirzung S = S(&).

14*

212 Boiling, Uber einen Homomorphismiis

Zur besseren Orientierung werden von jetzt an alle Stellen, an denen neue Symbole das erste Ma1 auftreten, durch das Zeichen (B) gekennzeichnet. Nach AbschluO eines Beweises steht das Zeichen 0.

Die n Q-rationalen Schnittpunkte P; einer Geraden niit G‘ mogen die Koordinaten

Behauptung 2.1. Es gilt

z? = y2z. (B) $0 $0 I

fur gewisse zi E 2, 1 5 i 5 n, mit der Implikution

P I zi + P I A0

f iir Primzahlen p .

Beweis. ,411s der Gleichung fur d folgt

woraus zi E 2 erhalten wird. Wegen (z;, xil) = 1 ergibt sich

n-1

i = O A;xY;~-~z:,, E 0 (mod z ; ) ,

was sofort den zweiten Teil der Behauptung liefert. 0 Fur spatere Zwecke notieren wir noch fur 1 5 i 5 n

Die Punkte P; mogen auf einer Geraden niit der Gleichung

Y = @ X + ‘ Y

liegen (der Fall der Geraden X = const. kann nur fur n = 3 eintreten und fuhrt auf a(P) a( -P) N 1, was offensichtlich ist (vgl. nuch oben)). Um zu Ganzheitsaussagen fur die rationalen Koeffizienten 0, !P zu kommen, definieren wir xo, to E 2, to > 0, die der Bedingung

n

i=l n x i o = %,ti, xo quadratfrei (B)

geniigen.

Bolling, Uber einen Homomorphismus 213

Bohauptung 2.2. Es gilt @to, Y't, E 2. Beweis. ZunBchst folgt aus

X"1

lSi<jgn ~r;v$n Xvo &A0 2 - = @ ' - A A n - * (2.2)

u=ki.j

zo(@to)2 c: Z rind also @to E 2. Ebenso folgt aus

(2.3)

so(Yto)2 2 und damit Yto E 2. u + A , fi 3 = y/2 - dsa

i = i Xi0

Deinzafolge hestehen die n Kongruenzen

(2.4.m) A , 2 n xi1 17 xi, = 0 (mod x,) , Kn iEKm j$Km

wobei die Summat,ion iiber alle , 1 5 m 5 R , Konibinrtt,ionen K , ails (1, 2, . . ., n) (: ) ZLI je m Elenienten erstreckt wird.

Behauptung 2.3. Es gi l t xo 1 A,.

Beweis. Es sei p irgendein I'riniteiler von x,, von den1 wir annehmen, daO er nicht in A , aufgeht. Es sei ohne Beschriinkung der Allgemeinheit p I xl0. Dann folgt aus

(2.4.1)

und damit ohne BeschrBnkung der Allgemeinheit p I xzo. Durch Fortsetzung dieses Vorgehens erhiilt man sukzessive aus (2.4.111) etwa p 1 q,,+l,o fur 1 5 m 5 n - 1. Daniit sind slimtliche xi,, 1 5 i 5 n, durch p teilbar. Das steht aber ini Widerspruch zu (2.4.n)

n

Aoxll lTxio f 0 [mod p ) 1'2

fl

A017 xi, E 0 (lllod p ) . i = l

Behauptung 2.4. Es gilt x;lA, 7 nu; nbit a, I to, no E 2, und

fur d = 1 (mod 4) :

4 im Sonderfall (9) 1 oder 2 sonst,

u = { (B)

fur d f 1 (mod 4) :

( I = 1 .

Beweis. Wir zeigen zanachst, da13 fur eine Primzahl p $. 2 aus p @ S und p I A,x;* die Teilbarkeitsaussagen

P I (to, @to, W,) und p 2 I xy1A0


folgen. Dazu nehnien wir an, daB p + to gilt. Aus (2 .2) , ( 2 . 3 ) folgt Yy2 = D (mod p ) . Aus

e An-z (modp),

n

AAOX,' ~;on~jl = A,-lt; - 2@toYto i = l j + i

(2 .5)

ergibt sich dann

= 4Qi2!P2 = 4An_,D (mod p )

im Widerspruch zu p 4 8. Aus p I to folgt sogleich p I (to, @to, Yto). Nun schlieBe man dieselben uberlegungen

wie beim Beweis der Behauptung 2.3 an und erhalt p 2 I A O x i l . Wiederholung dieser Schliisse ergiht die Behauptung.

Es sei p = 2 iind 2 4 S. Wir betrachten zrinachst den Fall d == 1 (niod 4) und unterscheiden hierbei entsprechend der Behauptung zwei Falle.

I. SonderfaZ2 (9). Dieser gliedert sich in zwei Teilschritte. I. 1. Es sei w2(Ao) = 2. Fur 2 .+ xo ist niche8 zu beweisen rind wir nehmen daher

Sollte 2 I to sein, so folgt 2 1 x0 und ohne Beschrankung der Allgemeinheit 2 I xl0 an.

A 2 2 n x i l n z i o = 0 (mod 4). X o Km i € K m j 6 K n

(2.6)

Nun verfahrt man wie beim Beweis der Behauptung 2.3 und erhalt, daW sanitliche xio, 1 5 i 5 n, durch 2 teilbar sind. Das steht aber iin Widerspruch zu 2 I xo.

Sollte 2 4 to sein, so folgt aus 4 I A ,

A0 - 2 x i , fl xi0 = 0 (mod 4)

A0 - xI1 U X , ~ xo 1*1

20 i = l j+i und also

0 (mod 4),

was untiioglich ist. Folglich kann 2 I xo nicht eintreten.

2 I A0(22x0)-1 die Teilbarkeitsaiissagen 1.2. Es sei wz(Ao) 2 3. Insbesondere ist stets A0(22x0)-1 € 2. Wir zeigen, daB ail8

2 I (to, @to, Yt,) und 22 I A0(22x0)-1 folgen.

Aus (2 .2) und (2.5) liest man

o=.-- @to An-z to (mod 2) 2 4

at0 to - - Yt0 (mod 2) An-1 O Z - 4 2

ab. Ware 2 to, so miifits An-2 = An-1 (mod 8) sein. Das ist aber nicht der Fall rind daher gilt 2 I to. Wir erhalten wieder Kongruenzen (2.6) und dieselhen Schliisse wie

Bolling, Uber einen Homomorphismus 21 5

dort ergeben den Rest. Durch Wiederholung dieses Verfahrens gelangt man schliel3lich zur Behauptung.

11. Es sei A,,.-l + 2A,-,(mod 4). Wir zeigen, daB aus 22 I A0xc1 wieder 2 I (to, @to, Yt,) folgt. Zuni Beweis nehmen wir 2 % to an. Dann liefern (2.5), (2.2) die Kongruenzen

0 = An-l - 2@Y (mod 4),

0 c @ - An-z (mod 2).

Unter Beachtung von !P = 2A,-, (mod 4) iin Widerspruch zur Voraussetzung. Aus 2 I to folgt sogleich 2 I (to, @to, Yt,). Widerholung dieser Schlusse ergibt die Behauptung.

s 3 1 (mod 2) bedeutet das

Wir wenden uns nun dem Fall d f 1 (mod 4) zu und nehmen a = 2 an. Zuniichst iiherzeugt man sich von

(w = 2-Exponent). Die Annahme liefert dann w(AOxc1) G 1 (mod 2). Sollte in (2.7) keine Gleichheit bestehen, folgt aus zu (2.6) analogen Uberlegungen, daB alle xio,

1 5 1 5 n, durch 2 teilbar sind, was schliefllich (nach (2.3)) auf den Widerspruch

n

i = l 2 n q l f 0 (mod 4)

fuhrt. Daher ist w(to) = - w(A,z;') . L: I Fur n > 3 erhalt man aus der Annahnie w(A,x;') G 1 (mod 2) unmittelbar

2 1 (A, , A , , ..., An-3) und damit 2 Fur n = 3 hat man offensichtlich w(xil ) = 0, 1 5 i 5 3. Die Untersuchung aller

Moglichkeiten fiir ei, = w(xio), i = 1, 2, 3, el, + e,, + e3 , = k, - 1, in den Gleichungen (2.2), (2.5) fiihrt genau auf diejenigen Tripe1 (k,, kl, kz), ki = 2-Exponent von Ai, die unter der Bedingung 2 6 S aufgefuhrt sind. Die entsprechenden Uberlegungen fuhren auf eine Reihe von Fallunte suchungen, die wir hier ubergehen wollen.

Es sei t 6 2 der eindeutig bestimmte positive Teiler von t,a;' mit

S .

0

, ( t , S ) = 1 . t , t = - a0

Zur spateren Anwendung benatigen wir noch

Behauptung 2.4.1. Fur a = 2 gil t t G 1 (mod 2). Wiire t = 0 (mod 2), so erhalt man Kongruenzen (2.6) (mit 2 statt A0z;') und

Damit kominen wir zu folgenden Gleichungen, die den Ausgangspunkt fur alle init den dortigen Betrachtungen einen Widerspruch.

weiteren Betrachtungen bilden und entsprechend hervorgehoben werden sollen :

0

216 Bolling, fZber einen Homomorphismus

fur 1 5 m n - 3 falls n > 3 ist,

(G1n-z) a z n Z i i . f l X j 0 (at)' - An-2t2, Kn-a iEKn-n jeKn-2

n

(GIe-1) u 2 xi0 n xjl 7 An-lt' - 2(@t) (!Pi), i = l j*1

n

i = l a fl x,1 7 (Yt)Z - d ( S t ) 2 . (GI,)

Die Criiltigkeit dieser Gleichungen entnimnit man unmittelbar der Behauptang 2.4.

3. Einige groBte gemeirisame Teiler

Da in den weiteren Betrachtungen zum groBten Teil lediglich das Verhalten ,,modulo S" von Bedeutung ist, werden wiv aus technischen Grunden eine entsprechende Quotientenstruktur einfuhren.

Mit Z[S-l] 5 Q werde der Quotientenring hezeichnet, der aus allen rationalen Zahlen besteht, die hochst,ens fiir Prinizahlen p E S nicht p-ganz sind. Z[S-1] ist ein Hauptidealring. Jedes Hauptideal hesitzt genau eine Erzeugende d, die die Bedingungen d 2, d > 0, (d, S) = 1 erfullt.

Mit (ul, ..., ur)s, u; 6 Z[S-l], 1 5 i 5 r , werde die ausgezeichnete Erzeugende des von den ui erzeugten Ideals (in Z[S-1]) bezeichnet.

Aus (GI,-& (GI,) folgt trivialerweise

Behauptung 3.1. Es gilt @t, Yt E Z[S-l]. Diese Aussage wird im weiteren ohne ausdruckliche Erwiihnung haufig benutzt

werden.

Behauptung 3.2. Fur j e drei paarweise verschiedene Indizes i, j , k, 1 5 i, j , k 5 n, gi l t

(Silt xj1, 9 1 , st) = 1 * S

Beweis (hier ohne Beschrankung der Allgeineinhe8. fur i = 1, j = 2, k = 3). Wir nehmen an, da13 es eine Prinmzahl p $ S mit p I (xI1, xZ1, xSl, st) giht. Fur diese mu13 p j t sein. Denn aus (Gl,) folgt zunachst wp(Yt) > 0. Ware p + t (also p I s), SO erhielten wir aus (GIn+) p I und also p S im Widerspruch zur Wahl von p.

Aus unserer Annahme folgt insbesondere n > 3. Es gilt p I a. Zuni Beweis nehmen wir p + a und weiterhin ohne Beschrankung

der Allgemeinheit wp(zi0) 5 wp(xjo) fur heliebige Indizes i, j mit 1 2 i < j 5 n an. Offenbar gilt p I zn0. Aus den Kongruenzen

a 2 f l ~ ; ~ ~ z ~ ~ = 0 (modp) Km &Km i e K m

fur 1 5 m 5 n - 3 erhalt man mit m = 1 beginnend in bekannter Weise der. Reihe nach aus der Kongriienz fiir rn die Reziehung p I x,-,,~. Inshesondere folgt also p I xs0, was unniijglich ist.


Dieselberi uberlrgringen lassen sich noch einmal fur ap-1 anstelle von a wiederholen. Wir erhalten daher pz I a. Dieser Fall ist nur fur a = 4, p = 2 moglich. Aus (Gln-3) folgt wegen 2 I An-3 dann 2 I a4. Schrittweise erhrtlten wir aus (GI,,-i) wegen 2 I A,-i die Beziehung 2 1 aifl fur alle i niit 3 5 i < n. Demnach wiiren siinitliche a;, 1 5 i 5 n, durch 2 teilbar , was unnioglich ist.

Uni gewisse ganze Zahlen definieren zu konnen, benotigen wir folgende Teilbarkeits- ausssge. Fiir alle Indizes i, 1 5 i 5 n, gilt

(3.1)

Denri ails pw xil, f l x j l , Y t folgt wegen (GI,) auch wp(Yft) w. I ( jtl )S

Durch die Gleichungen

( X i 1 , yt, st)^ = U X , ~ , ~ t ) ~ Gio, ( j = i (B)

fur jeden Index i, 1 5 1 5 72, sind damit ganze rationale Zahlen Gi, definiert, fur die insbesondere (Gio, S ) = 1 gilt.

Wir gehen nun einige Eigenschaften dieser Zahlen an.

Uehaoptung 3.3. Es gilt f u r adle Indizes i #= j , 1 5 i, j 5 n

(Gio, Gjo) = 1 .

Beweis (hier fur i = 1, j = 2). Wir nehmen an, da13 eine Prinizahl p niit p I (G,,, G,,) existiert. Es sei

Offenbar ist w > 0. Wegen p[G,, folgt pw+ll(xll, Yt, st)s. Also 1nu13 wp ( tg~, l ) = w sein, woraus wp(x,,) 2 w folgt. Damit ist aber

Danach wiire p G,, ini Widerspruch zur Wahl von p . C Wir fiihren die Bezeichnung

n

0, = ri Q,, 1=1

(B) em.

Behauptung 3.4. Es gilt (Go, An-l) = 1.

Beweis. Es sei p ein Priinteiler von Glo. Wir setzen w1 = wp (PI, n x I 1 , st)). In 1 + 1 jedein Fall mu13 p ein Teiler von s sein. Andernfalls hiitten wir

(3.2) lnin ( w p ( d W p ( W , wp(t)) 2 w1 + 1 *

Wir halten noch

(3 .3) wp ( n.ril) = w, i l l

218 Bolling, Ober einen Homomorphismus

fest. Aus (3.2) und (Gln-l) folgt jedenfalls

wp (az,onzi,) L wp(2) + wp(W + ~1 + 1. t*l

Nach (3.3) gelangen wir zu

was unmoglich ist (man beachte (Gln-2)). Wegen p I s gilt nun p .+ An-l. In verschiedenen Teilbarkeitsbetrachtungen wird eine Rolle spielen, ob gewisse

Primteiler in Go aufgehen oder nicht. In diesem Sinne zerlegen wir folgende Zahlen. Es seien fur alle Indizes i + j , 1 5 i, j 5 n, natiirliche Zahlen g i j , Gi, durch

0

(B) (Xi19 zjl, st)s = g i j a i j , (gij, Go) = 1 ,

definiert, wobei in hochstens Primteiler von Go aufgehen. In vollig analoger Weise definieren wir natiirliche Zahlen t i j , Ti j durch

(B) (xi13 zjl, st)^ = tijTij, ( t i j , Go) = 1,

wobei in Tij hochstens Primteiler von I;r, aufgehen. AuSerdeni verwenden wir noch die Bezeichnungen

gi r J g i j , ai = U G i j , j + i j+i

t i = ntij, 1'; = fl T.. *I ' j + i j+i

(B)

9 = g i j , G = 17 Bij, T = 17 T;j. l S i < ] S n l S i < j S n l s i < j S n

Insbesondere sind alle neu eingefiihrten Zahlen prim zu S. Es gelten die Relationen

Als eine erste Eigenschaft notieren wir

Behauptung 3.6. Fur beliebige Indizes i, j , k , 1 mit 1 5 i, j , k, 1 5 n, i + j , k + I , 6 il $. Ik, 11 gi l t

(g i i , g k l ) = (Gij, QN) = 1,

(tij, a t ) = (Tij, Tkl) = 1.

Beweis. Nehmen wir an, daB irgendeine der fraglichen Zahlen einen Pritnteiler p besitzt. Unter den Indizes gibt es wenigstens drei paarweise versohiedene, etwa i, j , k. Dann gilt p I (zil, xi,, q,, st) und aus der Behauptung 3.2 folgt damit p I s, was unmoglich ist. 0


Als unmittelbare Folgerung gilt

fur alle i, 1 =( i 5 n. Denn trivialerweise sind qij, Qij hzw. t i j , T i j Teiler der jeweils links stehenden Zahlen. 0

Behauptung 3.3. Es sei p eine Primzuhl rnit p @ S . Dunn gilt die Implikation

jur ulle i, 1 S i 5 n.

Be we is. Wir rinterscheiden zwei Fiille.

1. Fall. Es sei wp(Qi) = w > 0. Dann ist ersteinmal

(3.6) wp(a) = 0.

Denn fiir p = 2, a = 2 hiitten wir sonst 2 I B (Bemerkung 2.4.1), also 2 t An-l und wegen (Gln-l) dann 2 1 t im Widerspruch zur Bemerkung 2.4.1. Fur p = 2, a = 4 inuB wegen Behauptung 3.4 sowieso 2 Q, gelten, so da13 dieser Fall hier nicht in Betracht kommt.

Wegen wp(Q,) > 0 folgt wP((q , , Yt, &)s) > w und damit wp(flxjl) = w (man

beachte (3.5)). Aus (3.6) ersehen wir, da13 w der genaue Exponent ist, niit dem p in der linken Seite von (Gln-l) aufgeht. Damit gilt aber

1 *’

w = wp(An-l12) = 2wp(t),

wenn man noch Behariptring 3.4 beriicksichtigt. Da stets w 2 wp(a) gilt (der Fall w = 1, wp(a) = 2 kann nach der letzten Gleichung

nicht eintreten), folgt w 2 wp(t) und damit wp(Ti) = wp(t). Damit ist der Beweis fur den angenornrnenen Fall beendet.

2. Fall . Es sei wp(Q,) = 0. Wir haben wp(t) = 0 zu zeigen. Zum Beweis sei p I t angenomtnen. Ails (Glna1) folgt damit p l a z i , ~ x i l , also pl a und demnach p = 2.

Nach der Bemerkung 2.4.1 inuB a = 4 sein. Aus (G1n-2) folgt aber w2(@t) > 0 und somit liefert (GIs-l) in dieseni Fall den Widerspruch 29 I 4zioflzjl.

j+i

0 j c i

Als unmittelbare Folgerung (unter Beriicksichtigung von (3.5)) erhalten wir

Behauptung 3.7. Es gi l t

Gi = Tt

fur alle Indizes i, 1 =( i 5 n. Zur spateren Verwendung halten wir noch

(3.7) Gio~’; I (Yt, st)si qi I (Yt, st)S

220 Bolling, uber einen Homomorphismus

fur alle Indizes i, 1 5 i 5 n, €est (man beachte (3.5)). Aus den Behauptringen 3.3 und 3.5 folgt dann auch

(3.8) GOT2 I (y’t, st)s, 9 I (ut, st)s.

Aus der Definition der t i i , qii, 1 5 i, j 5 n, folgt t i i I gii und wir haben daher 8ii Z niit

q . . - t .

und deinentsprechend s; Z mit

(W , $1 - rjSij

(J3 g ; = tisi.


si = s, -, t ; ( 7; ) fiir ulle Indizes i, 1 5 i 5 n.

In1 Hick auf (3.5) gilt t i 1 xil. Wir fiihren den Beweis in drei Schritt,en.

1. Schritt. Es gilt die Iniplikation

fiir Prinizahlen p . Zum Nachweis setzen wir w = w,(ti). Nttch (3.5) gilt wp(t) 2 w und daher

wp(st) 2 w + 1.

AuBcrdeni gilt

wp(x;J 2 w + 1.

Aus wp ( jcxj l ) 2 w folgt nach (GI,) 2wJY’t) 2 2w + 1 und daitiit

und daher nach den1 Vorangegangenen (und (3.5))

wJgd 1 w + 1.

Also gilt wP(si) 2 1, was zu zeigen war. 2 . Schritt. Es gilt

Bolting, uber einen Homomorphismus 22 1

Wir setzen v = w,(si) und nehnien v > 0 an. Es sei w = wp(ti). Zunaohst, stellen wir w > 0 fest. Denn aus p I si folgt p zil, nxil, Yt und aus (Gl,,-J damit p I A,-,t2, also p I t, woraus w > 0 folgt. Weiterhin gilt pU+"1 pl,nxjl). Wegen w > 0 mud dairiit wp(t) = w sein ((3.5)).

I ( j+i 1s

]+i

- AUS pufW 1 ~t folgt pu I S.

- AUS p"+'" 1 ~ i l folgt pu 1 ~ j 1 t ; l .

- Aus p u f w 1 (ril, fl zjl, Yt folgt nach j + i )S

v + w 5 2w,(t) = 210. Also gilt pu I t i . Die letzten drei 'Aussagen beeinhalten die Be- ha uptung.

3. Schritt. Es gilt

Fur den Nachweis behalten wir die Bezeichnungen des 2. Schrittes bei. Es sei an- genotiinien, daB pU+l den groaten gemeinsarnen Teiler (links) teilt. Dann gilt pUtWf1 I I (xil, st). AriWerdeiii gilt noch p U f w nxjl (das Produkt ist durch gi teilbar). Aus (Gl,)

erhiilt man dann aber wp(Yt) 2 v + w + 1. Wegen (3.9) heidt das wp(gi) 2 w + w + 1 = w,(siti) + 1, womit sich ein Widersprach ergeben hat.

j+i

Aus den drei Schritten folgt insgesamt die Behauptung.

4. Ganzheitsaussagen

Wie oben bezeichne oK den Ring der ganzen Elemente von K = Q ( i d ) . Wir setzen

(B) ~i = Y i l + syioi;

fur alle lndizes i, 1 5 t 5 n.

Behauptung 4.1. E8 gi l t

f u r ulle Indizes i, 1 5 i 5 n.

sie in Go aufgehen oder nicht. Zuni Beweis unterscheiden wir die Priinteiler p des obigen Nenners danach, ob

1. ba l l . Es sei w = wp(s;) > 0. Aus der Behauptung 3.8 entnehinen wir

wp(s) 2 w, ,wp(x;l) 2 2w.

Xns der Gleichung (2.1) liest man dann wP(yil) 2 w ab.


2. Fall. Es sei w = wp(Qio) > 0. Wir setzen noch v = wp(Ti) 2 0. Die Behauptung 3.6 liefert wp(t) = v und wp(Qi) = 2v. Da die Ungleichung

Wp(st) 2 wp(Qi) + wi(aio)

gilt, erhalten wir

(4.1)

Weiterhin ist

wp(s) 2 v + w.

inin (wp(zi l ) , wp(Ylt)) 2 2v + w. Wegen

(4.2)

folgt also

Xi1

Yio X i 0 y i l t = @t - + y t

wp(yi1) 2 v + W *

Zusammen niit (4.1) ergibt das die Behauptung. 0 Da der obige Nenner des ofteren auftreten wird, verwenden wir die Abkiirzung

(B) n; = siTiai,

fiir alle Indizes i, 1 5 i 5 n. Zur Behandlung des Sonderfalles (Einleitung) benotigen wir

Behauptung 4.1.9’. Im Sonderfall (9’) gilt

falls 2 I xil fur einen gewissen Index i, 1 5 i 5 n, gilt. Zuni Be weis hat man nach der vorangegangenen Behauptung nur zu bemerken,

da8 erstens yil = yi0 = 1 (mod 2 ) (nach (2.1)) und zweitens ni = 1 (mod 2 ) gilt. Denn wegen s; I s ist s; G 1 (mod 2 ) und aus der Behauptung 3.4 folgt Go = 1 (mod 2). 0


fur alle Indizes i, 1 5 i 5 n.

Beweis. Es sei angenouimen, daB eine Primzahl p 4 Sexistiert, fur die der fragliche Ausdruck nicht p-ganz ist. Dann gilt 0 5 w,(@t) < wp(zio) (nnd also ulP(xj1) = 0). Daher ist die rechte Seite von (4.2) nicht p-ganz, wonach ~ ~ ( y ; ~ ) > 0 sein mu13. Aus (4.2) folgt dann

wp(t) - wp(Yio) =z wp(@t) - W p ( Z i 0 )

und aus wp(t) 2 0 die Behauptung. u

Bolling, Ober einen Homomorphismus 223

Behauptung 4.2.9. Es sei a = 4 und 2 I xi1 (fur einen gewissen Index i, 1 5 i 5 n). Dann gilt

Zum Beweis (fur 2 6 S) hat man nach der vorangegangenen Behauptung nur zu bemerken, daB xio G 1 (mod 2) und wegen (GI,,+) w2(@t) > 0 gilt. [7

Behauptung 4.3. Es gi l t

fiir alle Indizes i, 1 5 i 5 n. Beweis. Aus der Behauptung 4.1 folgt

Nach Behauptung 3.4 gilt (Y,GI0, An-l) = 1 rind daher folgt insbesondere

TiG:o I X l i .

Aullerdeni gilt natiirlich gi [ x , ~ , woraus schliel3lich niit Berucksichtigung der Be- haupt ling 3.7

folgt. Uchituptung 3.8 liefcrt t i s i l c 2 und damit auch

fur alle Indizes i, 1 5 i n.

(fiir einen gewissen Index i) Be weis. Zunachst iiberzeugen wir uns davon, daB fur jede Primzahl p mit p I (x i l , t )

gilt. Aris (Ql,) etsieht nian wp( Yt) > 0 und aus (Gl,,-J daher p 1 miO 17 zjl. Fur p f 2

sind wir bereits fertig. Es sei p = 2. Wegeri der Bemerkung 2.4.1 muB dann a = 4 sein. Fur diesen Fall

2 % Go (Bheauptung 3.4). Der Rest folgt aus der Definitionsgleichung fur G;,. Damit ist (4.3) bewiesen.

j + i


Zuni Beweis der Behauptung unterscheiden wir zwei Falle. 1. Fall. Es sei wp(Go) = 0. Wegen- (4.3) ist w = w,(ti) > 0. Wir nehmen an, daB

p in dem zii betrachtenden gronten gemeinsamen Teiler aufgeht. Dann haben wir

(4.4)

Hiernach mu13

inin (wp(nil), wp(t)) 2 w + 1.

sein (Gleichung (3.5)), was nun aiich

(4.6) . wp(gl) = w

zur Folge hat. Aus (Gl,) folgt nach (4.4) und (4.5) 2wp(Yt) 2 2w + 1. Daniit erhalten wir wp((zil, Yt, ~ t ) ~ ) 2 w + 1 und wegen (4.6) dann wp(Gio) > 0, was der Annahme uber p widerspricht.

2. Fall. Es sei wp(Go) > 0. Die Behauptung 3.6 besagt dann wp(tTrl) = 0. Mit der Behandlung der beiden Flille ist die Behauptung bewiesen.

b. Normen

Uni den Beweis des Satzes nicht unnotig unterbrechen zu miissen, seien zuvor die Normen einiger Ideale berechnet.

Behauptung 6.1, Es bezeichne m eine der Zahlen

fur alle i, 1 i 5 n. Dann gilt

im Fall d = l(mod 4 )

fur An+ = 0 (mod 2) :

2m fur m f u r

fur An-l e l(mnod 2):

2m fur Norm [ m, z] 7 [

m sonst

im Fall d + l(mod 4)

m = 0 (mod 2) m f 1 (mod 2);

Norm m,- = m . [ ::Is

Boliing, Uber einen Homomorphismus 225

Beweis. Wir betrachten hier nur den Fall d l(mod 4) und A,,-l = O(mod 2). Die Beweise fur die ubrigen Falle verlaufen bis auf geringfugigen Modifikationen vollig analog.

Nach der oben angegebenen Forniel zur Berechnung der Norm (Behauptung 1.1) gilt

Norm m, 2 = mMo [ ::I iriit

Y i l - Yios 8Yi0 Xi1 j=1 ( ni ni mnjl zi M o = m, , 2 - , - .

(man beachte, da13 niit m auch alle xil(mn:)-l ganze rationale Zahlen sind). Hieraus liest man

2Ml fur m O(rnod 2) M , fur m G l(mod 2)

Mo = { init

und MI I M

I n-1 \

ab. Wir zeigen M = 1. Aus S

folgt Yil - Syio syi,

ni ’ mnf

Die rechte Seite der letzten Gleichung ist offenbar ein Teiler von

welcher seinerseits ein Teiler von

und also ein Teiler von

ist.

16 Math. Nadir. Bd. 96


Fur m = xilny2 ist die Behauptung bewiesen. Fiir x;l(gjG;G&)-l, t;sT1 beachtet man

(letzteres ist gerade die Aussage der Behauptung 3.8). Zur Behauptung des Sonderfalles (9) benotigen wir

Behauptung 5.1.9. Es sei a = 4 und 2 I xil fur einen gewissen Zndex i , 1 5 i 5 n. Dann gilt

Norm m, Ti - [ 2n;] m

(mit m wie in der Behauptung 5.1).

Behauptung 4 . 1 3 ) . Alles ubrige verlauft dann analog. Zum Beweis hat man in den obigen Formeln n; durch 2n; zu ersetzen (man beachte

6. Der erste Idealfaktor

Bei der Untersuchung der Ideale a(P) erhillt man im wesentlichen zwei Faktoren (modulo Aquivalenz, s. Abschnitt 8), die wir gesondert betrachten werden.


[", "1 ~ [A, "j [", "1 T i n4 n; g;GiG:,, n; s; ni

mit

[ [l] in allen ubrigen Fallen

fur jeden Index i, 1 5 i 5 n.

Be weis. Die Behauptungen 4.1 und 4.3 besagen zunachst, daB alle Erzeugenden der vorliegenden Ideale ganz sind. Bezeichnet m eine der Zahlen x;l(giG;G&)-l) tis;', so ist xil(mni)-l gerade die jeweils andere. Im Blick auf die Behauptung 5.1 unterscheiden wir zwei Palle.

1. Fall. Norm m, 2 2m tritt nicht zugleich fur beide Werte von m ein (der [ I;]- Fall 2 E S ordnet sich hier ein). Es gilt offenbar

def mnt n;

Balling, Uber einen Homomorphismus 227

Aus der Behauptung 5.1 entnimmt man

Norin .Y=Norni S

was auf die Behauptung fiihrt.

2. Fall . Norm m, 2 - 2m tritt fur beide Werte von m ein. Hier iniissen wir eine [ 3; weitere Aufteilung vornehmen.

und man uberzeugt sich von 2.1. Es sei A,,-' _= O(mod 2). Nach Behauptung 5.1 gilt m G xil(mnt)-l = O(niod 2)

mnf clef

Die Berechiiring der Norinen (Behauptung 5.1) ergibt

X i 1 Norin B = 2 m e 2 - - 2 = Norm S mni

was auf die Behaiiptung fiihrt. 2.2. Es sei An-l = 1 (mod 2). Nach Behauptung 5.1 gilt m = xil(mn;)-l = "in;'

0 (mod 2) und nian iiherzeugt sich von

man beachte 2 -, - = [F, 2 :I). Die Berechnung der Norinen (Behauptung [:! 5.1) ergibt

Norin Y = 2m - 2 - X i 1 = Norm k, :I}, S mn;

was auf die Behauptung fuhrt. Daiiiit sind alle nioglichen Faille betrachtet.

Behauptung 6.1.Y. In1 Sonderfall (9') gilt


Be wei s. Wir unterscheiden zwei Falle.

1. Fall. Es sei .ril = l(mod 2). Fur beliebiges ungerades u E 2 gilt hier

15*


rl' 2

17' 2

2. Fall . Es sei xil G O(mod 2). Man hat (Behauptung 4.1 .9 , Behauptung 4.3)

(fur Dk gilt 2 = [u, q i ] , fur 2 E o k sind beide Ideale identiach). Damit

laBt sich dieser Ball auf die Anwendung der Behauptung 6.1 zuruckfuhren.

Nun wende man die Behauptung 6 . 1 . 9 an. Wir gehen nun weiter so vor, daB die rechts in der Behauptung 6.1 (bzw. 6.1.9)

auftretenden Ideale naher betrachtet werden. Da sich hierbei die ganzzahligen Er- zeugenden nicht andern, fiihren wir die Abkurzung

[7

fur alle Indizes i, 1 5 i 5 n, ein.


fur alle Indizes i, 1 5 i 5 n.

Beweis. Wir setzen

Y t + st fi Ai = giaiQio

(B)

fur alle Indizes i, 1 5 i 5 n. Diese Eleniente sind ,,ganz modulo S", womit 1; 6 Z[S-l] OK gemeint ist (Gleichung (3.7) und Behauptung 3.7). Dann ist

Damit ist

Hiernach haben wir fur die Ideale

Bolling, tfber einen Homomorphismus 229

(wegen (x i l , y io) = 1). Also gilt

wobei Behauptung 4.2 zu beriicksichtigen und Behauptung 1.2 anzuwenden ist. SchlieB- lich erhalten wir aus der Behauptung 4.4 die getviinschts Aussage.

Beheuptung 6 . 2 . 9 . Es sei a = 4 und 2 I xil fur einen gewissen Index i, 1 5 i 5 n. Dann gi2t

Zum Beweis geht man analog von (6.1) aus und beriicksichtigt dabei die Behaup- tung 4.2.9. 0


fur alle Indizes i, 1 5 i 2 n . Beweis. Zuniichst stellen wir fest, daB

.-

gilt, (Gleichiing (3.8)), wobei noch a = T2 zu beriicksichtigen ist (Behauptung 3.7 und Gleichung (3.4)). Zum Beweis der Behauptung geniigt es, sich von der Gultigkeit der Relationen

zu uberzerigen. Denn wegen (6.2) hat man zum Beweis nur noch

(gQGo(giQiaio)-', 8) = 1

anzumerken. Die Relation (*) folgt schon aus der Behauptung 3.2. Zum Nachweis von (**) nehmen wir an, daB p ein Primteiler von (q, Ujo) fur einen

Index j $. i ist. Demnach ist w = wp(Qij) > 0. Offenbar gilt

niin (wp(xji) , wp(.st)) 2 w + 1

wonach wp(zi l ) = w sein mu0. Nun haben wir nur noch w = wp(G;) zu beriicksichtigen.

230 Bolling, Uber einen Homoinorphismiis

Behauptung 6 . 3 3 . Es sei a = 4 und 2 I x , , filr einen gewissen Index i , 1 S i _I n. Dann gi l t

Der Be we is verlauft vollig analog, wobei man sich noch von

iiberzeugt. 0

Element setzen wir Zur Abkurzung fiir das in der Behauptung 6.3 (Behauptrmg 6.3.Y) ariftretende

Die Gleichung (GI,) niniint dann die Gestalt

n

i = l (6.3) a f l l ; y normKlQ (A)

an. Dam beachte inan die Relationen (3.4). Fiir die Normen der Ideale [ l ; , A ] gilt


fur a = 1:

21; wenn 1; = l j O(tnod 2 ) fi ir weniggsteus ein j $- i; 1; in allen iibrigen Fallen

Norin [ Z i , A ] =

fiir a = 2 oder a = 4:

21; wenn 2; 3 O(mod 3) 1; wenn li l(niod 2 )

Norin [ l i , A] =


von (6 .3) ) Beweis. Mittels der Behauptung 1.1 findet inan fiir die Norm ( h i Beriioksichtigung

Die rcchte Seite ist aber wegen

(xi17 Ytyt, st)^ = giGiGio

!Pt - st (folgt atis (3.5)) ein Teiler von 1; abgelesen wird. 0 i i i s

, 2, a 17 l j) , woraiis die Uehaiiptung

Balling, Uber einen Homomorphismus 23 1

Bchauptung 6.4.Y. Fiir den Sonderfall (9) gilt

Norm l i , - = 1; I :I" f i i r jeden Index i, 1 5 i 5 n.

Beweis. Fiir 2 E S liest man das Notige aus der Behauptung 6.4 ab. Wir setzen da-

Fiir l i f l(inod 2 ) gilt her 2 S voraus.

1. 2. 2 2

Das folgt ails sOZi -, 3 - E [li, I.] fur ein gewisses so E 2, in das hachstens Primteiler von

S aiifgehen. Nun kann Behauptung 6.4 angewendet werden. Fiir Z. - O(mod 2 ) verfahrt man analog wie beim Beweis der Behauptung 6.4. Ilie folgeiide Aussage ist bereits voni Typ des zii heweisenden Satzes.

' S

Behauptung 6.5. Mit Ausnahitre des Snnderfalles (Y) gilt

Beweis. Ails (6.3) folgt

n

i-1 [a,, A]n[Zi, A] g [A] in Z[S-l] o K ,

woinit gemeint ist, daB alle auftretenden Ideale als Ideale im Ring Z[S-1] oK zii lesen sind (A E Z[S-l] 0~0. Also gilt

fiir ein gewisses ganzes ldeal C.

sofort Norm c = 1 und daniit die Behauptiing fur diesen Fall folgt. Fiir 2 E S hat man nach Behauptung 6.4 in allen Fdlen Norm [ I z , A] 7 li , woraiis

8:s sei 2 tj S. Wir unterscheiden niehrere Ftille.

1 . Es sei rr. = 1. Zunachst stellen wir fest, daB hochstens fur zwei verschiedene Indizes I, gerade sein kann. Ware nanilich etwa 1, G Z2 G l3 = O(mod 3) , so iiiiifltc

st l(inod 2 ) sein (Behaiiptung 3.2). Aus (GI,) folgen die Kongriienzen @ E A,,-, (niod 3) , !P = 1 (mod 2 ) . Ails (GI,,-]) hatten wir 0 e An-l - 2An-2(inod 4 ) . Da ahcr d == l(mod 4) gilt (folgt ails (GI,,)), hedeiitet dies 2 E S, in i Wirlerspriich ztir Ailnithtne.

S

232 Bolling, Ober einen Hornomorphismus

Wir kommen nun xuni Beweis der Behauptung. 1.1. Es seien zwei der 1; gerade, etwa 1, E lZ = O(mod 2). Nach der Vorbemerkung

gilt 1; = l(mod 2) fur i =/= 1, i =/= 2. Offenbar gilt die Inklusion

Fur die Normen haben wir nach Behauptung 6.4 und Gleichung (6.3)

11 12 Norni ([2]-2 9) = - - 17 1; = Norm s 2 2 ;=3 s

und damit

9 7 [2A].

1.2. Es sei hochstens ein l i gerade. Offenbar gilt

n[Z;, A] (A) in Z[S-1] o K . 11

i=l


n Norm B 7 17 li = Norm [ A ]

;=I s und daniit

B 7 [A].

2. Es sei a = 2. Dieser Fall kann nur fur d G l(mod 4) auftreten (2 1 A,,). Zunachst iiberzeugen wir uns davon, daB genau ein li gerade ist. Aus (6.3) entnimnit man, daB wenigstens ein I;, etwa I,, gerade ist. Aus (Gl,,) folgt 2 I A,,-, und daher 2 t s, was mit der Behauptung 2.4.9' insgesanlt 2 % st ergibt. Unter der Annahme, daB ein weiteres Zi, i =/= 1, gerade ist,, schlieBe man wie im Fall u = 1 weiter und gelangt so zii den1 Widerspriich 2 E 8.

Wir kommen zum Beweis der Behauptung. Offenbar gilt die Inklusion


und also

9 y [A].

Dainit sind alle moglichen Falle betrachtet. 0


Behauptung 6 .6 .9 . Fur den Sonderfall (9') gi l t

Beweis. Offenbar gilt die Inklusion (nach (6.3))

Fur die Norinen hahen wir nach Behauptung 6 .4 .9

unddamit@==[+]. 0

7. Der zweite Idealfaktor

In diesem Abschnitt wenden wir uns dem Idealfaktor 2, 2 zu, der in der Zerle- [:I 3 gung auftritt, die die Behauptung 6.1 angibt.

Behauptung 7.1. Fur beliebige Indizes i $: j , 1 5 i, j 5 n, gilt

(*) ~ / i ? / j E [ ~ i j l .

t; Falls Norm -, - = 2 -, so gi l t [: ::I s i

(**) qiqj E [ 2 ~ i j l )

wobei der Index j durch die Bedingung 2 I t i j eindeutig bestimmt ist.

(i, j ) = (1, 2)). Beweis. Die zwei Teilaussagen beweisen wir der Reihe nach (jeweils fur das Paar

Nachweis von (*). Es sei w = wp(glz) > 0. Zur Abkiirzung setzen wir

91% = XI + XOSP.

Aus der Ausgangsgleichung fiir die Kurve € findet man

Also ist

(7.2) wp(@) + WP(X0) I %((%, %?11 4 . 1 ) ) .

AuDerdem gilt p J t (Behauptung 3.8). Wir zeigen nun

(7.3) wp(@t) = 0 .

234 Bolling, Uber einen Honiomorphismus

Uin das einzusehen, nehnien wir wp(@t) > 0 an. Ohne Beschriinkung der Allgenieinheit sei wp(cil) 2 wp(zjl) fur beliebige Indizes 3 5 i 5 j 5 n. A m folgt dann

p2 I azlozzoflz; l und daher I, ] zS1. Schrittweise erhalten wir aus (GIn-i) dann p I zi+l,l

fiir alle i < n. Das steht aber im Widerspruch zu p I t.

n

i = 3

ALIS (7.2), (7.3) folgt damit

(7.4) wp(X0~) 2 wp("t) + ~ u p ( ( ~ l l , ~ 2 1 , An-1))

2 w + wp((41, %?l, A"4))

Au13erdeni gilt (nach (2.1)) noch

wp(norm,,g (q i ) ) 2 wp(xi1) 2 w

Wp(X1) 2 w

fiir i = 1; 2. Das zieht

nach sich. Damit ist (*) bewiesen.

Nachweis von (a*). Iin Hinblick auf (*) haben wir die dort getroffenen uber- legringen nur fur p = 2 zu verfeinern (den Sonderfall (9) schlieBen wir hier aus, da fiir ihn eine weitere Verschiirfung bewiesen wird (Behauptung 7.13')). Nach Behauptiing 5.1 mu13 neben d = l(mod 4) auch 2 1 t 1 q 1 sein, also ohne Beschriinkung der All- gemeinheit 2 I t12&'.

1. Fall . Es sei An-.l z O(mod 2). Nach (7.4) haben wir

w2(Xo) 2 w + 1 *

AuBerdein gilt (nach (2.1)) noch

wz(norlll,,Q (7;)) 2 ~ ~ 2 ( 4 1 ) + 1 2 w + 1

fiir i = 1; 2. Das zieht aber

wz(X1) 1 w + 1

nach sich.

2. Fall . Es sei An-z = l(inod 2). Die Behauptung 5.1 liefert zuniichst noch

Damit folgt nach (2.1) aber

wZ(nornlK/Q (71%)) = wZ(zl1) f wZ(z21) 2 2w + Nach (7.4) ist stets wz(Xos) 2 w. Aus den letzten heiden AbschBtzungen entnimmt man

w,(X, - X,S) 2 w + 1 .


Behauptung 7 .1 .9 . Fur den Sonderfall (9’) gilt

qit/j E [22gi j l ,

falls gii EZ O(mod 2). Heweis. Es sei w,(g,,) = w > 0. Nach Behauptung 7.1(*) haben wir nur noch

V I V 2 E [2w+21

zii zeigen. Ails (7.1) ersehen wir

(7-5) W d @ ) + W , ( X o ) 2 2 .

Wir zeigen nun

(7.6) w2(@t) = 1.

Ohne Beschrankung der Allgenieinheit sei W Z ( . C ~ ~ ) 2 w2(zAI) 2 2 w2(zn1). Aus (Gln_z) folgt wp(@t) 4 1. Es sei angenoinmen, da13 wz(@t) > 1 gilt. Dann folgt wegen

2 [ t (Behauptung 3.8) ails (G1n-2) 8 1 4 z , , z , , ~ x i l und daher 2 1 z31. Schrittweise

erhaken wir aus (Gln-i) dann 2 1 fiir alle i < n,, Das steht aher im Widerspruch zii

S

i = 3

2 1 t . i\us (7.5), (7.6) folgt, damit

W,(X,) 2 w2(t) + 1 2 10 + 1.

AiiOerdem gilt (nach (2.1)) noch

w2(norlllx/e (Ili)) 2 ~ z ( ~ i 1 ) + 2 I w + 2

fiir i = 1; 2. Das zieht

WZ(X1) 2 + 1

uiid w 2 ( X I - X,s) 2 w + 2 nach sich. 0 Behauptung 7.2. E8 gi l t

fur jeden I n d e x j f i rnit (ul 1 t,,, 1 5 i, j 5 n, wobei (0, durch die Uleichung

Norm [$, 31 = w , - 4 n: 8:

dejirLiei t ist.

Beweis. Arts der Behauptung 7.1 folgt


(das Hauptideal ist ganz (Behauptung 3.8)). Nun beachte man, daB 7, f O(mod nis;') gilt,. Aus (n;s<', sii) = 1 (Behauptung 3.5) folgt dann der Rest.

Behauptung 7.2 .9 . Im Sonderfall (9) gilt --€[%I 'Vi ?li 2ni 2nj

falls gii = O(mod 2). Der Beweis ergibt sich analog aus der Behauptiing 7.1.9'. Als unmittelbare Folgerungen notieren wir noch


p

(mit denselben Bezeichnungen wie in der Behauptung 7.2).

Behauptung 7.3.9. Im Sonderfall (9) gilt

falls gij = O(mod 2).

Aussage fur den zweiten Idealfaktor beweisen. Nach diesen Vorbereitungen konnen wir eine der Behauptung 6.5 entsprechende

Behauptung 7.4. Mit Ausnahme des Sonderfalles (9') gilt

Beweis. Die betreffenden n Ideale werden zur Abkiirzung mit ci bezeichnet. Wir unterscheiden zwei Fiille.

1. Fall. Fur irgendeinen Index i moge Norm ci = 2tis;' gelten. Dann tritt dies fur genau zwei Indizes, ohne Beschrankung der Allgemeinheit i = 1 ; 2, ein (Behauptung 5.1 und Behauptung 3.6). Nach der Behauptung 7.2 haben wir die Teilbarkeitsrelationen

fur alle Indizes i, j , 1 5 i, j 5 n. Aus der Behauptung 3.5 folgt damit auch

Da aber die Normen beider Ideale wegen der offensichtlichen Relationen f l n

i=l n tij e =n ti; n ( lSi<jSn ) i=l

ubereinstimmen, sind sie identisch.

Bolling, Uber einen Hornomorphiamus 237

2. Fall. Es gelte stets Norm c; = tie;’. Unter Verwendung der Behauptung 7.2 zeigt man wie oben

und erhlilt die Behauptung.

Behauptung vollstandig bewiesen. Nach der Behauptung 5.1 konnen keine anderen Falle auftreten. Daniit ist die

Bchauptung 7.4.9. Im Sonderfall (9) gi l t

Beweis. Wir setzen

fur alle Indizes i, 1 i 5 n. Fur die ganzen Ideale c; (Behauptung 4.1 .9) gilt

Aus der Behauptung 5.1 bzw. 5.1.9’ folgt Norm c; = t;sT1.

Nach der Behauptung 7.3 bzw. 7.3.9’ gilt

fur alle Indizes i =# j , 1 5 i, j 5 n. Also haben wir

Da aber die Nornien beider Ideale ubereinstimmen, sind sie identisch. 0

8. Beweis des Satzes

Eine erste Transformation der den rationalen Punkten Pi yon 6 zugeordneten Ideale


a(Pi) gibt die

fur jeden Index i, 1 5 i 5 n, und beliebiges w Z

238 Bolling, nber einen Homomorphismus

Beweis. Wir haben niimlich

Um sich hiervon zu iiberzeugen, verwende man n;lqi E oK (Behauptung 4.1) und

Letzteres folgt aus (ni, An-l) = 1, was man au8 den Behauptungen 3.4 und 3.8 ab- liest.

Beweis des Satzes. Es sei w = 2 im Sonderfall(9') und ansonsten w = 1. Wir haben nach der Behauptung 8.1

und daher nach Behauptung 6.1 bzw. Behauptung 6.1.9

Weiter gilt nach Behauptung 6.2 (6.2.9) und Behauptung 6.3 (6.3.9)

Aus der Behauptung 6.5 (6.5.9) und der Behauptung 7.4 (7.4.9) folgt

Fur 2 E S ist damit der Satz bewiesen. Wir nehmen jetzt 2 @ S an und haben also lediglich noch den Fall zu betrachten, wo fur wenigstens einen Index r; + [I] gilt. Dann tritt dieser Fall fiir genau zwei Indizes ein (Behauptung 3.5), ohne Beschriinkang der Allgenieinheit fiir i = 1, i = 2. Setzen wir (wie beim Beweis der Behauptung 7.1) qlq2 = X, + Xos id , so folgt aus (7.4) die Kongruenz X,s = O(mod 4). Da aus ti + [ 13 stets xi,/nj = O(niod 4) folgt, muB d =r l(mod 4) (Gleichung (2.1)) und 7;/2?ii E oK sein (i = 1; 2). Aus (2.1) folgt 2 I X,s/4 (niod 2) nach sich zieht. Jedenfalls ist

(7i/2ni), was sogleich X1/4

-- ?I] € [2]. 2n, 2n2

Damit ist aber auch

rlr2 S P I gezeigt. Durch Vergleich der Normen erkennt man, daB aus der Inklusion sogar die Gleichheit folgt. Damit ist der Satz vollsthndig bewiesen. n


9. Bemerkungen zur Menge S(8)

Es sollen hier einige Angaben dariiber geniacht werden, ob die Menge S(G) der ,,Ausnahmeprim.zahlen" verkleinert werden kann, so dab inimer noch die Aussage des Satzes erhalten bleibt. Wir wollen diese Frage fur den hauptsachlich interessierenden Fall n = 3 naher betrachten. Die folgenden Aussagen zeigen, daB eine Verkleinerung von S(8 ) in gewisser Hinsicht nicht moglich ist.

Wir betrachten elliptische Kurven der Form

fur quadratfreies d (Ao, A, , A2, d E 2). Fiir einen Q-rationalen Punkt P = (x,/zo, y,lyo) E d(Q) mit xo, xl , xo, Y, E Z , (xo, 5,) = (yo, Y,) = 1 setzen wir

~ b . 1) a,(P) = [x,, y1 + yo 1'4 (Abb. 11) a,,(P) = z,, [ y1 +:"I.

Die Bedingung 2 E S

Behaiiptung 9.1. Es sei d = l(niod 4). Z u jedem Tripel (ko, k,, k2) nichtnegativer ganzer rationaler Zuhlen existieren elliptische Kurven d uber Q mit w2(Ai) = k;, i = 0, 1, 2, und der Eigenschaft: fulls 2 S(d) gilt, wird weder nach der durch die Abbildung I noch nach der dureh die Abbildung I1 definierten Zuordnung ein Homomorphismus

erhalten (d . h. als Bildgruppe tritt eine echte Faktorgruppe auf). Insbesondere lapt sich erreichen, dap eine Gerade existiert, deren drei Schnittpunkte P; mit d samtlich Q-rational sind und fur die

(* = I ; 11) gilt, wobei pF* kein Iiauptideul ist (m* E 2, pz = Primidealteiler der Prim- zahl2).

Der Beweis 1aBt sich ohne Schwierigkeiten fiihren, zieht sich aher durch eine Viel- zahl von ausgedehnten Fallunterscheidungen sehr in die Lange und sol1 daher nicht aus- ge f iihrt werden.

Wir beschlieben die Angahen zur Priinzahl 2 rnit einigen Bemerkungen fur den Fall d + l(niod 4). Fur alle Tripel, die 2 S nach sich ziehen, findet nian in entsprechender Weise Gegenbeispiele zurn Satz bezuglich der Abbildung I (in einer Reihe von Fallen ist dies nur fur d = O(niod 2) inoglich, fur ungerade d ergibt sich daher eine Verminderung der Ausnahiiiefiille). Ob sich auch hinsichtlich der Abbildung I1 stets derartige Beispiele finden lassen, niiif3 hier offen bleihen. Eine genauere Untersuchung fiihrt schnell auf eine


Vielzahl sich verzweigender Fallunterscheidungen. Bis auf die Fiille

k, = 3k2 - 2

k, > 3k, und k, > 2k2,

Lo = 3k2 + 1 und k, = 2k2

und k, = 2k2 - 1,

hahe ich auch fur die Abbildung I1 Gegenbeispiele (mit w,(A;) = ki, i = 0, 1 , 2 ) gefunden. Ob fur einige der obigen Tripe1 (k,, k,, k,) - oder keines oder alle - die Aussage des Satzes beziiglich der Abbildung I1 erhalten bleibt, bedarf einer weiteren Unter- suchung. Weiterhin wiire zu untersuchen, ob eins Verbindung von S(8) Zuni Reduktions- verhalten von & besteht, um eventuell zu einem besseren Verstiindnis der einzelnen Bedingungen zu gelangen.

Die Teiler won s

Wir zeigen nun, daB fur die Aussage des Satzes in der Tat Einschrankungen iiber die Teiler von s notwendig sind (wir hatten die Teiler von (8, AnJ ausgeschlossen).

Fur jede ganze rationale Zahl m E Z definieren wir die eindeutig bestimmte ganze rationale Zahl m(d) als den groBten Teiler von m, in dem nur Primzahlen aufgehen, die in Q (f;) nicht triige sind.

Mit [mid bezeichnen wir die Bquivalenzklasse der Ideale mit maximaler Norm m(d).

Behauptung 9.2. Fur jeden Teiler so won s existieren elliptische Kurven d: Y2 = X(Xa + A,X + A,) + ds4 (iiber &) die rationale Punkte Pi E .at’(&), i = 1 , 2, 3, PI + P, + P , = 0 , besitzen, fur die

3

f l a I ( p i ) E [sold i = l

gilt . Be weis. Zuniichst stellt man fest, daB die Kongruenz

T2 = d(mod so(d))

in 2 losbar ist. Es sei s2 E 2 irgendeine Losung ( f i r d = 6(mod 8) gilt offenbar 2 s,(d) und wir nehmen in diesem Fall zusiitzlich noch 2 I s2 an). Fur s = sosl und irgendein p E 2, p + 0, sei f ( X ) - (pX + ss2)2 das eindeutig bestimmte normierte kubische Polynom mit den Nullstellen c1 = so, z2 = -sOsl, x3 = -sl(si - d). Dann besitzt die elliptische Kurve Y2 = f ( X ) die gewiinschten Eigenschaften. Auf ihr befinden sich niimlich die Punkte P; = (xi, yi) mit yi = pxi + 882, i = 1, 2, 3. Wir haben offenbar

aAP1) - aAP2) - 1 und

s; - d a,(P,) = [-s,(s: - d) , ss2 + s f d ] -

Wegen ((si - d)/so(d), so/so(d)) = 1 folgt

Bolling, Uber einen Homomorphismtis 241

Fiir die Behauptung hat ninn nun noch

zu berucksichtigrn. [7

Bcmcrkmig. Fur jedes so init [sold rc. 1 gilt daher die Aussage des Satzes nicht, was iiherhaupt nur dann moglich Rein kann, wenn die Primteiler von so(d) gleichzeitig in A , niifgchen. T h s tritt aher tatsachlich ein.

10. Zu einer offenen Frage iiber die Kurven Y2 = 4x3 + 1)

Wir koniinen in diesent Ahschnitt arif cine in [l] aufgeworfene Frage von D. A. BUELL zuriick. Dazu beschranlten wir uns wie dort anf solche Kurven der angegebenen Gestalt, wo D die Diskritiiinante eines qriadratischen Zahlkorpers ist. Zunachst stellt tnan fcst, da13 die den rationalen Punkten zugeordneten Ideale entweder die Ordnung 3 hnhen oder schon Haliptideale sind. In allen von D. A. BUELL untersuohten Fallen zeigte sich, daB der Hoiuot~iorphismus ails dem Hauptsatz eine Surjektion auf die S-Torsionsiintergriippe der zugehtjrigen Idealklassengruppe liefert. So ergab sich die Frage, oh dies stcts der Fall ist. Das nachfolgende Beispiel zeigt jedoch, dalJ das nicht ininier gilt.

Ilehauptnng. Die elliptische Kurae

1-2 = x 3 - 241 (*I besitzt keinen (nichttriiiialen) Q-rationalen Punkl.

Daniit ist in der Tat ein Gegenbeispiel gefunden, da der quadratische Zahlkorper Q(f=) die Klassenzahl 12 besitzt.

Zuni Bewcis der Behauptung verwenden wir einen Trick von J. W. S. CASVELS [3]. Wir hetraohten den kubischen Korper K = &(O), 19~ = 241. Es sei angenoinnien, daIJ die vorgelegte Kurve einen (nichttrivialen) rntionalen Punkt besitzt. D a m gibt es ganze rationale Zahlen x, y, t 6 2, (2, y) = ( x , t ) = (y, t ) = 1, tnit

(10. I ) y2 = x3 - 241p,

alS0 y2 = normKiQ (z - 1 % ) .

Hicxraus erhalt man in hekannter Weise

[ x - t V ] = a2

fur ein gewisses Ideal n von K . Da aber K die Klassenzahl h ( K ) = 3 besitzt, 11lulJ a hereits ein Hauptideal Rein und wir gelangen so zii einer Oleichung

L - t26 = 1 p 2

fiir cine gewisse Einheit 71 E K und ein gewisses ganzes Elenient o( E K.

16 Math. Nadir. Rd. 96

242 Bolling, Vber einen Homomorphismus

Der Korper K besitzt genau eine Grundeinheit E. Wir konnen dann ohne Be- schrankung der Allgemeinheit annehmen, da13 entweder q = 1 oder 17 = E gilt. Das folgt daraus, da13 17 > 0 sein mu0 (x > 0, normK,Q (x - t26) > 0). Nun konnen wir uns sogar auf q = E beschranken. Denn fur 17 = 1 findet namlich ein ,,Ahstieg" statt : zu der Losung (2, y, t ) von (10.1) finden wir eine weitere Losung (ul, wr't, wl) von (10.1) niit u = ui, w = - 2 4 aus dem Ansatz

x - t 2 6 = (u + v 6 + w82)2, u > 0 .

Fiir einen geeigneten Begriff der Hohe (z. B. h(P) = x + t ) gelangt man so zu Punkten mit strikt abnehniender Hohe. Wenn also unsere Ausgangskurve iiberhaupt rationale Punkte besitzt, so gibt es auch rationale Punkte mit q = E . Wir sindsozueiner Gleichung

x - t26 = &a2

gelangt. Fur einen derartigen Punkt ist E kein quadratischer Rest modulo 4. Andernfalls

ware E = &:(mod 4), E~ oK (= Ring der ganzen Elemente von K ) und der Modul

oK + oK[, 6 = (E,, + fi), hatte die Diskriminante E , wonach die Erweiterung

K ( f i ) / K unverzweigt ware und nach der Klassenkorpertheorie h ( K ) = O(mod 2) sein miiBte.

Es sei q2 der Priniidealteiler des Hauptideales [2] vom Grad 2. Dann gilt eine der Kongriienzen

(10.2) c ~ l - 6 , 2 - 6 , 1 - 2 8 (niodqt).

Nach (10.1) ist genau eine der Zahlen x, y, t gerade. Davon scheidet 2 I x offensichtlich Bus. Aus 2 I t folgt sofort, da13 E quadratischer Rest modulo 4 ist. Also gilt 2 I y. Dies zieht x F l(niod 4) und damit

1 2

E = (1 - 8) (Quadrat) (mod qi) nach sich, was auf die drei genannten Moglichkeiten fuhrt.

Ninimt man zusatzlich an, daB auch die Kurve

(**)

einen (nichttrivialen) rationalen Punkt besitzt, so erhalten wir analog, daB e k e der Kongruenzen

(10.3) ~ = - l + & ' , 2 + 6 , - 1 + 2 6 (modqi)

erfiillt sein muB. Da die in (10.2), (10,3) aufgefiihrten Restklassen modulo qi paarweise inkongruent sind, erhalten wir, daB hochstens eine der beiden Kurven (x), (**) einen (nichttrivialen) rationalen Punkt besitzen kann.

Y 2 = X 3 + 241

Da nun

5' = (-6)3 + 241

gilt, kann die Kurve (*) keinen rationalen Punkt besitzen.


Be iiierkung. Fur den obigen SchluB wird keine explizite Kenntnis der Grind-

einheit in K = Q fm) benotigt, was in diesern Fall nicht unwesentlich sein diirfte, da wir es hier init

= 1010320852597992917321596786624 + + 162350502016341453OO170~057210 6 + + 2608843065762775471 1967317353 6'

zu tun haben [ 5 ] . Wir wollen mit einer Benierkung ZII einem weiteren Punkt in der Arbeit [l] von

D. A. BUELL schliefien. Zur Konstruktion des Homoniorphismus wird dort die Neben- bedingung benotigt, daB fiir die rationalen Punkte der elliptischen Kurve

Y 2 = 4(X + A ) (X' + RX + C) + D

im Falle D < 0, die GroBen X + A und X' + BX + C beide positiv sind (um positiv definite binare quadratische Formen zu erhalten). Durch die Verwendung von Idealen tritt eine solche Bedingung in der vorliegenden Arbeit nicht in Erscheinung (bei D.A. BUELL tritt als Bildgruppe die Idealklassengruppe im engeren Sinn auf). In [l] blieb offen, inwieweit Punkte, die zu negativ definiten Fornien fiihren, eine Rolle spielen. Als Kommentar hierzu fuhren wir ein Beispiel an, wo die Bildgruppe durch Hinzu- nahme von Punkten dieses Typs echt erweitert wird.

Beispiel. Die einzigen Q-rutionulen Punkte der elliptischen Kurve

Y 2 = X(X' + 14X + 23) - 110

sind die 2-Torsionspunkte (2,0), (-5,0), (- 1 l ,O) , 0.

Die diesen Punkten zugeordneten Idectle sind gerade die Primideale, die zu den drei verzweigten Primzahlen gehoren. A1s Bildgruppe tritt die KLEINsche Vierergruppe a u f ( Q ( f T 0 ) hat die Klassenzahl 12). Ohne die Punkte (-5,0), (-11,O) (denen bei der Zuordnung von BUELL die negativ definiten binaren quadratischen Formen [ -5, 0, -221, { - 11,0, - lo] entsprechen) ist die Bildgruppe kleiner.

Wir geben einige Hinweise zum Beweis der obigen Behauptung. Die vorgelegte Kurve ist birational isomorph zur Kurve

Y' = X(X + 7) ( X + 13).

Zunachst sieht man leicht, daB es keine weiteren rationalen Torsionspunkte gibt : sonst gabe es x, y E Z mit

y2 = X(Z + 7.3') (Z + 13.3')

mit y I 36.6.7.13 ([4], Theorem 22.1), was ohne Schwierigkeiten Zuni Widerspruch fuhrt (siehe auch unten).

Es wird nun vorausgesetzt, daB P ein rationaler Punkt unendlicher Ordnung ist, wobei ohne Beschrankung der Allgemeinheit noch angenommen wird, daB fur alle 2-Torsionspunkte E die Summen P + E in der Gruppe der rationalen Punkte nicht durch 2 teilbar sind. Man erhalt dann Oleichungen

x = a,$, x + 7t' = d,v,2, z + 13t' =

16*

244 BBlling, Uber eiricri Hon~omorphisniiis

niit quadratfreien di Z

d, 17.13, dd 12.3.7, d3 I2.3.13,

d,d2d3 = d2, (x, t ) ==- 1

f u r gewissc rl, v,, v3, t , d C_ Z. Durch Addition eines geeigneten ~-Torsionsl,iinliten kanii ohne Beschranl<iing der Allgerneinheit iiberdies z > 0 rind 1 3 % .r voriliisgesctzt wcr(kr1. Einfilche Korigriienzbetraehtungen rcichen am, iiin alle von (1, 1, 1) ver- sctiietlcne PBlle (dl, d,, d3) nusztischlieBen. Die Gleichungen d, = d, = d3 = 1 sind aher gleichbcdeutend init, der Teilbarkeit von P durch 2 ([4] p. 370), in1 Widerspruch ziir Wahl von P.

Literatur

Ll] 1). A. BUELL, Elliptic ciirves and class groups of quadratic fields. J. London M<itIi. Soc.

[2] H. S. BUTTS, G. PALL, Modules and binary quadratic forms. Acta Arith. 15, 0:1:44 (1968). [:I] , I . LV. 8. Cassms, The rational solutions of the diophantino equation 1.: = S3 - D. Acta

[4] -, Survey article. Diophantine equations with special reference to elliptic curves. J. London

[ 3 ] H. WADA, A table of fundamental units of purely cubic fields. Proc. Jupin Acitd. 4G, 1135 bis

(2) 15, 19-25 (1977).

111dtll. 84, 243-273 (1950).

Illath. SOC. 21, 393-291 (1966).

1140 (1970).

Documents

Über einen Homomorphismus der rationalen Punkte elliptischer Kurven