Ingenieurmathematik II - poe.userweb.mwn.depoe.userweb.mwn.de/Mathe_FB03_FA/Darstellende_Geometrie/Bach1904.pdf · Ingenieurmathematik II Kurven im Raum ℝ² Seite | 4 1. Kurven

Fakultät für Maschinenbau, Fahrzeug- und

Flugzeugtechnik

Ingenieurmathematik II

Semestergruppe 2. Semester Bachelor FA

Semester SS 2014

S.H

Ingenieurmathematik II Inhaltsverzeichnis

S e i t e | 2

Inhaltsverzeichnis

1. Kurven im Raum ℝ² .......................................................................................................... 4

1.1 Beispiel 1 – Kreis im Ursprung ............................................................................................... 4

1.2 Beispiel 2 – Schiefer Wurf ...................................................................................................... 4

1.3 Rollkurve – Zykloide ............................................................................................................... 5

1.4 Kreis rollt auf anderen Kreis ab – Epizykloide ....................................................................... 6

1.5 Ableitungen ............................................................................................................................. 7

1.5.1 Beispiel ........................................................................................................................ 7

1.6 Momentanpol ........................................................................................................................... 8

1.7 Rollkurve – Kreisevolvente ..................................................................................................... 8

1.8 Krümmung und Krümmungsradius ......................................................................................... 9

1.9 Parameterfreie Form, Beispiel ................................................................................................. 9

1.10 Bogenlänge einer ebenen Kurve .............................................................................................. 9

1.10.1 Beispiel 1 – Kreisumfang .......................................................................................... 10

1.10.2 Beispiel 2 – Hypotenuse im rechtwinkligen Dreieck ................................................ 11

1.10.3 Beispiel 3 – Spirale.................................................................................................... 11

1.10.4 Beispielaufgabe – Fläche unter dem Bogen einer spitzen Zykloide........................ 133

1.10.5 Beispielaufgabe – Ebene Kurve k ............................................................................. 13

1.11 Polarkoordinaten (Spezielle Parameterdarstellung) .............................................................. 16

1.12 Differentiation von Funktionen in Polarkoordinaten ............................................................. 16

1.12.1 Beispielaufgabe – Flächeninhalt einer Spirale (Archimedische Spirale) .................. 18

1.13 Zusammenfassung ................................................................................................................. 20

1.14 Evolute und Evolvente 20

2 Funktionen von mehreren Variablen............................................................................. 21

2.1 Beispiel – Gerades Konoid .................................................................................................... 22

2.2 Darstellungsformen von Funktionen mit mehreren Variablen ............................................ 233

2.2.1 Beispiel: Ebene ................................................................... 23

2.2.2 Beispiel: .................................................................................. 24

2.3 Tangenten und Ableitungen .................................................................................................. 25

2.3.1 Beispiel: .................................................................... 25

2.3.2 Funktion mit 2 Variablen – Tangentialebene ............................................................ 26

2.4 Extremwerte .......................................................................................................................... 27

2.4.1 Beispielaufgabe nach Papula E64 ............................................................................. 29

2.4.2 Beispielaufgabe: Fläche ................................... 30

2.5 Totales Differential ................................................................................................................ 34

2.5.1 Beispiel: – Richtungsableitung in (3,4) in Richtung ..... 36


S e i t e | 3

2.6 Anwendung des totalen Differentials bei impliziter Differentiation ..................................... 36

2.7 Fehlerrechnung ...................................................................................................................... 37

2.7.1 Beispiel nach Papula – ÜA, E48 ............................................................................... 38

2.7.2 Fehlerrechnung mit totalem Differential (Prüfungsaufgabe SS06) ........................... 39

2.7.3 Übungsaufgabe .......................................................................................................... 40

2.8 Extremwerte auf dem Rand eines Bereichs ........................................................................... 42

2.9 Ausgleichsgerade und Ausgleichsparabel ............................................................................. 44

2.9.1 Ausgleichsgerade....................................................................................................... 44

2.9.2 Ausgleichsparabel ..................................................................................................... 47

3 Integralrechnung im Raum ℝ ...................................................................................... 48

3.1 Beispiel – Volumen eines Halbzylinders............................................................................... 49

3.2 Beispiel: - Flächeninhalt des Dreiecks ABC ......................................................................... 51

3.3 Beispiel – Fläche zwischen 2 Funktionen ,z.B. g(x) = 2x2 und f(x) = x

3 . ............................ 52

3.4 Aufgabe – Man berechne ................................................................................... 53

3.5 Integrationsbereich in Polarkoordinaten ................................................................................ 54

3.5.1 Aufgabe – Doppelintegral eines Achtelkreises ......................................................... 54

3.6 Zylinderkoordinaten .............................................................................................................. 56

3.6.1 Beispiel – Masse eines Hohlzylinders ....................................................................... 56

3.6.2 Beispiel – Volumen Rotationskörper ........................................................................ 58

4 Vektorfeld und Kurvenintegrale .................................................................................... 59

4.1 Beispiel 1 - Vektorfeld in der Ebene (ℝ2) ............................................................................ 61

4.2 Beispiel 2 - Vektorfeld im Raum (ℝ ) ............................................................................ 62

4.3 Beispielaufgabe 3 .................................................................................................................. 65

4.4 Beispielaufgabe 4 .................................................................................................................. 66

4.5 Kraftfeld ................................................................................................................................ 68

4.5.1 Beispiele .................................................................................................................... 69

Differentialgleichungen ................................................................................................... 72

5.1 Gewöhnliche DGL erster Ordnung ....................................................................................... 73

5.1.1 Übungsblatt (Richtungsfelder zeichnen) ................................................................... 74

5.2 DGL durch Substitution lösen ............................................................................................... 80

5.2.1 Beispielaufgabe ......................................................................................................... 81

Ingenieurmathematik II Kurven im Raum ℝ²

Seite | 4

1. Kurven im Raum ℝ²

Funktion:

Parameterdarstellung

Parameter … zwei Funktionen x(t) und y(t).

Mit x=t und y(x) = y(t) kann aus einer Funktion immer eine Parameterdarstellung gewonnen

werden. Die Umkehrung (die parameterfreie Darstellung) gelingt nur in Spezialfällen.

1.1 Beispiel 1 – Kreis im Ursprung

Kreis um Ursprung mit Radius r:

z.B.

1

0 -1

0

1 0

1.2 Beispiel 2 – Schiefer Wurf

Wurf mit Anfangsgeschwindigkeit im Winkel

Gleichförmig geradlinige Bewegung und Fallbewegung

Parameter

I:

II:

Hier ist eine parameterfreie Darstellung möglich:

I nach t auflösen

in II eingesetzt ergibt:


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1.3 Beispiel 3: Rollkurve – Zykloide

(Im Bild oben ist R=r).

Weitere Zykloiden r = Rollkreisradius, R = Abstand des Punktes zum Mittelpunkt

x(t) = Rt - Rsin(t)

y(t) = R – Rcos(t)


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1.4 Beispiel 4: Kreis rollt auf anderen Kreis ab – Epizykloide

Herleitung der Formeln (aus dem Internet übernommen, Quelle:

http://www.mathematische-basteleien.de/epizykloide.htm)

...

Wegen der Rollbedingung sind die Kreisbögen

über AB und AP gleich.

Es gilt b(AB)=(pi*alpha*R)/180° und

b(AP)=[pi*(90°-alpha+beta)*r]/180°.

Daraus folgt alpha*R=(90°-alpha+beta)*r oder

beta=(1+R/r)alpha-90°.

Im gelben Dreieck ODM gilt

sin(alpha)=MD/OM oder MD=(R+r)*sin(alpha)

und

cos(alpha)=OD/OM oder OD=(R+r)*cos(alpha).

Im grünen Dreieck EPM gilt

sin(beta)=EP/MP oder EP=r*sin(beta)

cos(beta)=ME/MP oder ME=r*cos(beta)

Weiter ist

x=OD+EP=(R+r)*cos(alpha)+r*sin(beta)=(R+r)*cos(alpha)+r*sin[(1+R/r)alpha-90°]

=(R+r)*cos(alpha)-r*cos[(1+R/r)alpha]

y=MD-ME=(R+r)*sin(alpha)-r*cos(beta)=(R+r)*sin(alpha)-r*cos[(1+R/r)alpha-90°]

=(R+r)*sin(alpha)-r*sin[(1+R/r)alpha].

Es ist üblich, die Winkel im Bogenmaß anzugeben. Man setzt also alpha=t und erhält

x=(R+r) cos(t)-r cos[((R+r)/r)t]

y=(R+r) sin(t) -r sin[((R+r)/r)t].

Bemerkung

Wenn

ganzzahlig genau n Bogen

Wenn 1 Bogen Herzkurve (=Kardioide)

Kreis rollt innen ab Hypozykloide siehe

Quelle: http://www.mathematische-basteleien.de/spirograph.htm Formeln:


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1.5 Ableitungen

Differentialquotient:

Insbesondere für Polarkoordinaten als eine spezielle Parameterdarstellung gilt:

sincos

cossin

sin)(

cos)()(

rr

rr

x

yy

ry

rxrr

, mit d

drr

.

1.5.1 Beispiel

1 0

0 1

0

Ableitungen

Punkte mit horizontaler Tangente


S e i t e | 8

1.6 Momentanpol

Begriffsbestimmung

Rollt eine Kurve K an einer festen Kurve F ab ohne zu gleiten, so berühren sich die beiden Kurven in

einem Momentanpol B.

Ein fest mit K verbundener Punkt P beschreibt bei der Bewegung die Kurve .

Die Bahnnormale im Punkt verläuft immer durch B.

1.7 Rollkurve – Kreisevolvente

Eine Kreisevolvente ist die Kurve, die beim Abwickeln eines Fadens von einem Kreis entsteht.

1.8 Krümmung und Krümmungsradius für Funktionen

a) für Funktionen (in der Vorlesung mitschreiben !)


S e i t e | 9

1.8 b) Krümmung und Krümmungsradius für Kurven (Parameterdarst.)

Krümmung:

Krümmungsradius:

1.9 Parameterfreie Form berechnen, Beispiel

Neilsche Parabel:

Also x(t) = t2 und y(t) = t

3.

Aus der zweiten Gleichung erhalten wir t =

oder x3 – y

2 =0. Man kann also t eliminieren.

Übung : Krümmung bei t=1 mit beiden Formeln (Funktion bzw. Kurve) berechnen!

1.10 Bogenlänge einer ebenen Kurve

Der Bogen sei durch den parametrisierten Weg ℝ , mit und

gegeben.

L = =

*( .


S e i t e | 10

Für n geht

(gleichabständige Unterteilung) gegen dt, aus der Summe

wird ein Integral und mit der Parameterdarstellung

des Weges folgt

Dabei ist t1 der Parameter der Kurve beim Anfangspunkt P0 und t2 der Parameter der Kurve beim

Endpunkt (oben in der Zeichnung P3 )

Für Funktionen y=f(x) In Parameterdarstellung

Bei Streifen

1.10.1 Beispiel 1 – Kreisumfang


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1.10.2 Beispiel 2 – Hypotenuse im rechtwinkligen Dreieck

1.10.3 Beispiel 3 – Spirale

0 0 0

0

0

0

0

Bild zeigt eine andere Spirale (Prinzipskizze)

z.B. Formel 116 in Formelsammlung Papula


S e i t e | 12

Übung : Berechne die Krümmung und der Krümmungsradius der Spirale bei

.

(0.69…. bzw. 1.45…..)

Übung: Man berechne die Bogenlänge der Parabel von x=0 bis x=1.2 (1.962359478)

Übung: Man berechne die Bogenlänge der logarithmischen Spirale x(t) =et * cos(t), y(t) = e

t * sin(t),

von t = 0 bis t =

. (Skizze, Wertetabelle) und die Tangentengleichung bei

. (5.388828791)


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1.10.4 Beispielaufgabe (zum Beisp.3)– Fläche unter einem Bogen einer spitzen Zykloide

1. Ableitungen bilden:

2. Flächeninhalt mittels Integration

dt =

dt

=

dt =

Übung: Man berechne die Bogenlänge der Kurve für einen Bogen.

1.10.5 Beispielaufgabe – Ebene Kurve k (aus der Prüfung WS 2003_2004)

Es soll nun der Punkt P zum Parameterwert

bestimmt werden.

Hierzu wird der Parameterwert in die obigen Gleichungen eingesetzt:

Somit hat der Punkt die Koordinaten


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Nun soll die Steigung im Punkt P berechnet werden

Steigung:

Nun setzt man den Parameterwert

in die Ableitungen ein:

Die Steigung errechnet sich nun durch Einsetzen der Werte in o.g. Gleichung

Nun soll die Krümmung berechnet werden

=

=


S e i t e | 15


Seite | 16

1.11 Polarkoordinaten (Spezielle Parameterdarstellung)

Radiusvektor

Polarwinkel

Umrechnung:

im 1.

Quadranten. In den anderen Quadranten muss

Der Winkel angepasst werden.

1.12 Differentiation von Funktionen in Polarkoordinaten

Formeln für Bogenlänge, die zweite Ableitung y‘‘ und die Krümmung mitschreiben!


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Die (Leibnitz’sche) Sektorformel

Sektorformel für Polarkoordinaten und Beispiel (Kreisfläche) bitte mitschreiben!


Seite | 18

1.12.1 Beispielaufgabe – Flächeninhalt einer Spirale (Archimedische Spirale)

Sektorformel für einen allgemenen Parameter t (Herleitung mitschreiben!)

Man berechne den Inhalt der Fläche, die von der Kurve und der y-Achse eingeschlossen wird.

Übung: Wie könnte man das mit der Formel für Polarkoordinaten berechnen?

0 0 0

0


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Sektorformel für die allgemeine Lage der Kurve (Nullpunkt liegt außerhalb) bitte mitschreiben!


S e i t e | 20

1.13 Zusammenfassung

Funktionen

Explizit Parameterdarstellung Polarkoordinaten

Bo

gen

län

ge

Flä

ch

e

Sta

nd

ard

ber

eich

Sek

torf

läch

e

Krü

mm

un

g

Wenn sich ein negativer Wert ergibt, Betrag für die Fläche nehmen!

Wenn die Kurve Schleifen hat, muss man sich genau überlegen, welche Fläche berechnet

wird(Beispiel in der Vorlesung!

1.14 Evolute und Evolvente

(bitte mitschreiben !)

Ingenieurmathematik II Funktionen von mehreren Variablen

Seite | 21

2 Funktionen von mehreren Variablen

Motorhaube Audi 80 mit etwa 2500 Teilflächen.

Dieses CAD-beispiel lässt sich i.a. nicht mehr mit Funktionen darstellen, z.B. wenn Hinterschnitte

auftreten. In dieser Vorlesung werden nur Funktionen betrachtet, vor allem von 2 Variablen.

Unter einer Funktion von n unabhängigen Variablen versteht man eine Vorschrift, die jedem

aus einem Definitionsbereich D genau ein Element y aus dem Wertebereich W ( )

zugeordnet

Schreibweisen:

Zum Beispiel:

oder , das ist eine Fläche im Raum.


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2.1 Gerades Konoid

Ein gerades Konoid (harmonischer Umschwung) entsteht, wenn eine Gerade um z rotiert und

zusätzlich auf- und ab bewegt wird.

0 1 2 3

0 n.d 0 0 0

1 0 -2 -1,6 -1,2

2 0 -1,6 -2 ≈-1,8

3 0 -1,2 ≈-1,8 -2

y

x


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Im Punkt (0,0) ist die Funktion nicht definiert, also nicht stetig!

Man nähert sich aus verschiedenen Richtungen diesen Punkt. Man bildet also den Grenzwert

Dabei kann die Richtung frei gewählt werden.

1. Annäherungsrichtung

Nun setzt man für alle y Koeffizienten die gewählte Annäherungsrichtung ein!

2. Annäherungsrichtung

Daraus folgt:

ist unstetig in (0,0); bei Annäherung aus unterschiedlichen Richtungen erhält man unterschiedliche

Grenzwerte!

Definition: Stetigkeit von Funktionen mit mehreren Variablen

Eine Funktion ist an der Stelle stetig, wenn sie bei Annäherung an für

immer denselben Grenzwert ergibt und dieser mit dem Funktionswert

.

2.2 Darstellungsformen von Funktionen mit mehreren Variablen

2.2.1 Beispiel: Ebene

Schnittpunkt mit:

x-Achse:

y-Achse:

z-Achse:

Höhenlinie


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2.2.2 Beispiel:

Die Höhenlinien sind Kreise mit dem

Mittelpunkt (0,0).

Ingenieursmathematik Funktionen von mehreren Variablen

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2.3 Tangenten und Ableitungen

Die Tangentenrichtungen ergeben sich durch Festhalten einer Variablen (x-parallele oder y-parallele

Ebene) und differenzieren nach der anderen Variablen.

Geometrische Deutung siehe Vorlesung, bitte mitschreiben!

2.3.1 Beispiel:

1. Ableitung

Zuerst leiten wir einmal nach x ab

. Die y-Variable wird dabei wie eine „normale“ Zahl behandelt.

Nun leiten wir nach y ab

. Hier wird nun die x-Variable wie eine ganz „normale“ Zahl

behandelt.

Nun betrachten wir die Steigung im Punkt

2. Ableitung

nach x ableiten

nach y ableiten

nach x ableiten

nach y ableiten

Satz von Schwarz

Ist zwei Mal stetig differenzierbar, d.h. existieren und stetig sind (und damit

beschränkt), dann gilt: Reihenfolge der Differentiation ist vertauschbar.

Übung zum Satz von Schwarz bitte in der Vorlesung mitschreiben!


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2.3.2 Funktion mit 2 Variablen – Tangentialebene

Tangentengleichung: für y =f(x), Funktion einer Variablen,

oder umgestellt: mit y0 = f(x0).

Jetzt für z = f(x,y) mit z = x4 + x

2 y + xy

2

Tangentialebenengleichung

Oder umgestellt: mit z0 = f(x0,y0).

Z.B. Tangentialebene im Punkt (1,2)

Der Vektor der partiellen Ableitung einer Funktion heißt Gradient der Funktion

Andere Schreibweise

Bemerkung:

Der Gradient zeigt immer in die Richtung des stärksten Anstieges

Der Gradient ist senkrecht zur Höhenlinie

Übung 1: Tangentialebene für z = x2 + y

2 im Punkte (1,2) berechnen!

Übung 2: Tangentialebene für z =

+ y

2 im Punkte (2,1) berechnen!

Übung 3: Tangentialebene für z = ex (y+2) im Punkte (0,1) berechnen


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2.4 Extremwerte

Hat in einen Extremwert, so ist die Tangentialebene parallel zur xy-Ebene

, Dies ist nur für und möglich.

Notwendige Bedingung

Mit den ersten beiden partiellen Ableitungen und erhält man die sog. extremwertverdächtige

Stelle, indem man beide Ableitungen gleich 0 setzt. Dies ist also die notwendige Bedingung für die

Untersuchung der Funktion auf Extremwerte.

ist dabei als konstant zu betrachten und die Tangentialebene ist für die berechneten Werte von

und parallel zur -Ebene.

Die 2. Partiellen Ableitungen geben Auskunft über die Art der Extremwerte, also ob es sich um ein

Minimum, Maximum oder Sattelpunkt handelt.

Dies erfolgt mit der Hessematrix

dort werden für die berechneten Werte in die 2.

partiellen Ableitungen eingesetzt.

Sattelpunkt bei P1

Die Art des Extremwertes bestimmt sich durch Einsetzen des Relativen Extrempunktes in oder

.


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Beispiel:

1. Partielle Ableitung nach x und y:

und = 0 setzen

Extremwertverdächtige Stelle bei (-1, 0)

2. Partielle Ableitungen bilden.

In Hessematrix einsetzen und die Determinante der Hessematrix berechnen:

Somit liegt in (-1, 0,-1) ein Minimum vor

Übung: Gegeben sei die Fläche z = 3x +8xy -3x2

- 6y2 .

a) Extremwerte gesucht (sofern vorhanden)! (4.5, 3)

b) Gradient gesucht im Punkte (2,3)

c) Tangentialebenengleichung in (2,3) gesucht!


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2.4.1 Beispielaufgabe nach Papula E64

Untersuchen Sie folgende Funktion auf relative Extremwerte:

1. Man bildet zuerst die partiellen Ableitungen 1. und 2. Ordnung

2. Partielle Ableitungen 1. Ordnung gleich Null setzen

Gleichung II in Gleichung I eingesetzt ergibt:

Aus ergeben sich die x-Werte:

Einsetzen in Hesse-Matrix

Hierzu werden die x und y-Werte in eingesetzt, soweit dies erforderlich ist!

Kein Extremwert! Sondern (Sattelpunkt!)in(0,0,0)

Relativer Extremwert

Extremum in

Art des Extremums wird durch Einsetzen des relativen Extrempunkts in fxx geprüft:

somit liegt ein Minimum in

vor!

Ingenieurmathematik Funktionen von mehreren Variablen

Seite | 30

2.4.2 Beispielaufgabe: Fläche

a) Typ der Höhenlinie ggf. Mittelpunkt

b) Maxima, Minima?

c) Gradient in (1,2)

d) Tangentialebene in (1,2)

e) Schnittkurve mit der Ebene x=konst. = k in Abhängigkeit von k, deren Typ, Maxima und

Minima soweit vorhanden


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a) Typ der Höhenlinie ggf. Mittelpunkt

Höhenlinien sind Ellipsen mit dem Mittelpunkt

Halbachsen

wird größer

Halbachsen werden größer


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b) Maxima und Minima

Notwendige Bedingung

Hesse Matrix untersuchen (2. Ableitung) siehe Kapitel 2.4

Extremwertverdächtige Stelle einsetzen in die Urfunktion

Minimum in

c) Gradient in (1,2)

d) Tangentialebene in (1,2)

Die Koeffizienten in der Ebenengleichung sind die Komponenten des Gradientenvektors

(oder Vielfache davon).

Extremwertverdächtige Stelle


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e) Schnittkurven, die beim Schnitt der Fläche mit den Ebenen x=k=const. entstehen

für alle x gleich k setzen, da x=k=const.

Parabel mit Scheitel bei

,


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2.5 Totales Differential

Welche Änderung erfährt der Funktionswert (z.B. z), des Flächenpunktes P beim Verschieben auf der

Fläche selbst bzw. beim Verschieben auf der Tangentialebene von P.

Das totale Differential der Funktion ist die Größe

Das totale Differential ist ein Maß für die Veränderung der Funktion , wenn wir im

Punkt P ein Stück in die Richtung gehen

Verallgemeinerung auf Funktionen dreier Variablen

Im Falle einer Funktion wird das totale Differential ausgedrückt durch:

Auch hier ist das totale Differential ein Maß für die Änderung der Funktion .

Bewegt man sich um ändert sich der Funktionswert annähernd um den durch das

totale Differential gegebenen Wert

Im Falle einer Funktion wird das totale Differential ausgedrückt durch:

bzw.

Bemerkung:

ist die Änderung der Höhenkoordinate z bei Verschiebung des Punktes um dx und dy auf der

zugehörigen Tangentialebene

Anwendung: Fehlerfortpflanzung, implizite Differentiation

Beispiel: Funktion: Totales Differential:

Beispiel: Funktion:

Totales Differential:

Beispiel: Funktion: Totales Differential:


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Richtungsableitung (Definition bitte mitschreiben)

Unter Richtungsableitung versteht man das Skalarprodukt des Gradienten mit dem jeweiligen

normierten Richtungsvektor.

Beispiel :

Punkt:

Richtungsvektor:

Welchen Anstieg hat die Tangente im Punkt (1,1,z0) wenn man sich in Richtung in der x,y-

Ebene bewegt.

Normierter Richtungsvektor

Bemerkungen:

a)

ist die Steigung, die in Richtung des Vektors

vorliegt.

b) In Richtung einer Höhenlinie ist die Richtungsableitung 0, weil der Gradient senkrecht auf der

Höhenlinie steht.


Seite | 36

2.5.1 Beispiel: – Richtungsableitung in (3,4) in Richtung

2.6 Anwendung des totalen Differentials bei impliziter Differentiation

Funktion in impliziter Darstellung

)

Beispiel:

Problem:

Funktion lässt sich nur schwer nach y auflösen

Funktion als Funktion von 2 Variablen auffassen

Beispiel (siehe oben): 1. Ableitung für (1,y0)


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2.7 Fehlerrechnung

Betrachte die Funktion einer Variablen

Tatsächlicher Fehler

Wähle infinitesimal klein, somit verschwindet der Fehler des Fehlers

Bei Funktionen mit 2 Variablen:

Bei Funktonen mit :

Beispiel Rechteck, absoluter und relativer Fehler bei der Flächenberechnung bitte mitschreiben!

x


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2.7.1 Beispiel nach Papula – ÜA, E48

Ein Dreieck hat die Seitenlängen

Der Flächeninhalt errechnet sich aus:

Man berechne für

a) den exakten Flächeninhalt

b) den absoluten und den relativen Fehler des Flächeninhaltes, wobei hier die

tatsächliche Änderung berechnet wird (ohne Betragsbildung). Dabei können

sich Einzelfehler teilweise aufheben.

a) Exakter Flächeninhalt

= 10

b) Absoluter Fehler

1. Bestimmung von

2. Partielle Ableitungen von

In der rein mathematischen Anwendung errechnet sich der Fehler mit dem totalen Differential:

3. Fehler berechnen

In der Praxis ist jedoch folgende Schreibweise üblich:

4. Relativer Fehler

=

= 0.0402

Bogenmaß umrechnen


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2.7.2 Fehlerrechnung mit totalem Differential (Prüfungsaufgabe SS06)

Meist interessiert man sich für den „worst case“, wenn sich alle Fehler ihn die gleiche Richtung

addieren. Dann nimmt man überall die Beträge, wie in nachstehendem Beispiel:

Der Innendurchmesser D eines dünnen Rohres der Länge l kann wie folgt bestimmt werden. Das Rohr

wird mit Quecksilber der Dichte befüllt. Die Masse m des benötigten Quecksilbers wird gewogen.

Daraus kann der Durchmesser berechnet werden (siehe Formel unter a).

Folgende Werte werden gemessen:

Dichte:

mit der Messungenauigkeit

Masse: mit einer Messungenauigkeit

Länge des Rohres: mit der Messungenauigkeit

Der Durchmesser berechnet sich nach der Formel

a) Berechnen Sie den Durchmesser mit den gemessenen Werten

b) Berechnen Sie die partiellen Ableitungen von D nach , m und l

c) Berechnen Sie den absoluten und relativen Fehler mit den oben gegebenen

Messungenauigkeiten unter Verwendung des totalen Differentials

a) Berechnung des Durchmessers

b) Partielle Anleitungen

Vorüberlegungen

2 vor die Wurzel ziehen

Ableitungen von Wurzeln

Mit Kettenregel und

abgeleitet =


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c) Absoluter Fehler

d) Relativer Fehler

2.7.3 Übungsaufgabe

1. Welche Steigung hat die implizit gegebene Kurve im Punkt ?

Zuerst y berechnen indem man 1 von einsetzt

Die Steigung errechnet sich aus der 1. Ableitung


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Für die Steigung setzt man nun den Punkt mit dem errechneten y ein

2..7.4. Übungsaufgabe: Gegeben sei z = 2x3 + 4xy +8y

2.

Man berechne in (1,1) mit den Abweichungen x = 0.01 und y = 0.02 die

Änderung z (absolute Änderung) mit dem totalen Differential (14.504602).

Satz: Bei der Multiplikation oder Quotientenbildung von Messgrößen

addieren sich die relativen Fehler.

Übung 1: Widerstände (mitschreiben)

Übung 2: Kugelförmiger Öltank (mitschreiben)


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2.8 Extremwerte auf dem Rand eines Bereichs

Mit dem Bereich , der durch die 3 Geraden

begrenzt wird.

Man skizziere !

Gesucht ist das Maximum !

Mögliche Extrema

Punkt (-1/-1) liegt nicht im Definitionsbereich!

Es gibt keinen Punkt innerhalb des Definitionsbereiches, für den die Tangentialebene die Fläche

parallel zur xy-Ebene ist

Extremum liegt auf dem Rand!


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Betrachtung der Ränder

Hierzu setzt man die oben angegebenen Ränder in die Urfunktion ein.

Das jeweilige Maximum ist durch den Definitionsbereich gegeben

Rand

Maximum vom Definitionsbereich:

x = 3 eingesetzt in ergibt

Rand

Maximum vom Definitionsbereich:

y=1 eingesetzt in ergibt:

7

dies ist dasselbe Maximum wie oben.

Rand

z am größten wenn x am größten x=3

z =

z = 23

Somit liegt das Maximum bei (3,5,23)


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2.9 Ausgleichsgerade und Ausgleichsparabel

2.9.1 Ausgleichsgerade

Ausgleichsgerade

Lineare Funktion der Form:

Messwerte (xi,yi) i = 1…n

Der Fehler beträgt: im Punkte (xi,yi).

Allgemein formuliert:

Summe der Fehlerquote

Notwendig für das Minimum ist:

und


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Inhomogenes Lineares Gleichungssystem mit den Variablen a und b in Matrixschreibweise

, Lösung z.B. mit Hilfe der Cramerschen Regel:

Beispiel Messung

Nr. 1 -2,2 -1,1

2 -1,3 0,3

3 0,2 1,4

4 2,4 2,9

5 3,3 4,3

∑ 2,4 7,8

Übung: Weitere Rechenbeispiele in der Vorlesung

Nr.

1 2,42 4,89

2 -0,39 1,96

3 0,28 0,04

4 6,96 5,76

5 14,19 10,89

∑ 23,46 23,22


S e i t e | 46


Seite | 47

2.9.2 Ausgleichsparabel

Messwerte

Summe der Fehlerquadrate

Daraus lässt sich wieder ein lineares Gleichungssystem (hier der Größe 3 mal 3)

ableiten.

(Siehe z. B. Papula Formelsammlung S.310).

Matrixgleichung in der Vorlesung (mitschreiben!)

Ingenieurmathematik Integralrechnung im Raum ℝ

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3 Integralrechnung im Raum ℝ

Einführung in der Vorlesung bitte mitschreiben!

Beispiel 1: Rotationsparaboloid bitte mitschreiben!

Integration über Normalbereiche:

Betrachte: Integral über einen Bereich ℝ

Integral

- Normalbereich

– Normalbereich


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3.1 Beispiel 2: – Volumen eines Halbzylinders

x-Normalbereich

Zuerst Integration nach z:

Integration nach y:

enthält kein y. somit ergibt sich folgendes Integral


S e i t e | 50

Integration nach x:

nachschlagen im Papula

Regel:

Wenn für

Aufgabe:


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3.2 Beispiel 3: - Flächeninhalt des Dreiecks ABC

A(0,0); B(2,0); C(0,1)

x – Normalbereich

y – Normalbereich

Bemerkung:

Bei Rechtecksbereichen ist die Integrationsreihenfolge vertauschbar.

Bei anderen Bereichen müssen die Grenzen angepasst werden.

Es wird von der unteren zur oberen und von der linken zur rechten Integrationsgrenze

integriert

Das Gebiet muss in den Integrationsgrenzen konvex sein

Konvex heißt: Werden zwei Punkte des Gebiets miteinander verbunden, muss die

Verbindungsstecke vollständig innerhalb des Gebiets liegen.


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3.3 Beispiel 4: – Fläche zwischen 2 Funktionen ,z.B. g(x) = 2x2 und f(x) = x

3

.

Schnittpunkte:

x-Normalbereich

Beispiel 5: Der Integrationsbereich sei die Fläche zwischen zwei Parabeln, bitte mitschreiben


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3.4 Beispiel 6: Aufgabe – Man berechne

1. Möglichkeit – x-Normalbereich:

2. Möglichkeit – y-Normalbereich

Satz von Fubini (bitte mitschreiben)

Satz: Zerlegung eines Doppelintegrals in zwei Einfachintegrale für Funktionen f(x,y) = g(x)*h(y)

(bitte mitschreiben!)


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3.5 Integrationsbereich in Polarkoordinaten

Wiederholung Polarkoordinaten:

Das Bereichselement hat dann die Form: dB = r d dr

(Herleitung in der Vorlesung, bitte mitschreiben!)

3.5.1 Beispiel 7: Aufgabe – Doppelintegral über der Grundfläche „Achtelkreis“

Welchen Wert hat das Doppelintegral

, wenn B ein Achtelkreis mit dem Radius r=1 ist?

r(ϕ1)


S e i t e | 55


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3.6 Zylinderkoordinaten

„Polarkoordinaten + Höhenkoordinate z“

z ist in diesem Fall eine kartesische Koordinate.

Volumenelement:

3.6.1 Beispiel 8: – Masse eines Hohlzylinders

Gesucht ist die Masse eines Hohlzylinders dessen Achse die z-Achse ist.

Mit dem Innenradius und dem Außenradius

Der Zylinder ist in z-Richtung durch begrenzt.

Zusätzlich ist die Dichtefunktion gegeben durch:


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Integration nach

Integration nach r

Integration nach z


Seite | 58

3.6.2 Beispiel 9: – Volumen Rotationskörper

Parabel: rotiert um z.

Der Körper ist von der rotierenden Parabel

durch die xy-Ebene begrenzt.

Jetzt in Polarkoordinaten:

Kugelkoordinaten (Bitte mitschreiben!)

Ingenieursmathematik Vektorfeld und Kurvenintegrale

Seite | 59

4 Vektorfeld und Kurvenintegrale

im Raumpunkt

im Raumpunkt :

Definition:

Ein n-dimensionales Vektorfeld ist eine Funktion mit dem Definitionsbereich ℝ und dem

Wertebereich ℝ

KURZ:

Bemerkung

sind Funktionen von n-Variablen

Das Vektorfeld wird stetig / stetig differenzierbar genannt, wenn alle stetig / stetig

differenzierbar sind

Eine Funktion ist total differenzierbar, wenn es für jeden Punkt aus dem

Definitionsbereich den Gradienten gibt .

Dieser Gradient definiert ein Vektorfeld

Ingenieursmathematik Vektorfeld und Kurvenintegrale

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Definition:

Ein Vektorfeld ℝ heißt Gradienten- oder Potentialfeld wenn es eine total differenzierbare

Funktion gibt. ℝ mit .

Bemerkung:

Komponentenweise ;

für

Der Funktionswert heißt Potential von

Es ist wichtig zu wissen, ob ein Vektorfeld ein Potential hat oder nicht.

Es sei ℝ stetig differenzierbar, dann gilt nach Definition:

Gemischte partielle 2.Ableitung bilden:

Nach dem Satz von Schwarz muss gelten:

Dies ist das notwendige Kriterium dafür, dass ein Potential vorliegt.

Dieses Kriterium heißt Integrabilitätsbedingung.

Diese Bedingung ist genau dann erfüllt, wenn beide partiellen Ableitungen gleich sind!

Aber:

Es gibt Vektorfelder, die die Integritätsbedingung erfüllen, aber kein Potential besitzen!

Ingenieurmathematik II Vektorfeld und Kurvenintegrale

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4.1 Beispiel 1 Vektorfeld in der Ebene ℝ

Sei ℝ und

oder

Für welche a existiert kein Potential?

Lösung

2. Ableitung bilden:

für

Für ℝ hat das Vektorfeld kein Potential

Die Integrabilitätsbedingung ist hinreichend, wenn (Definitionsbereich) einfach zusammenhängend

ist. Dies ist in folgenden Fällen der Fall:

1. ℝ

2. Halbebene oder Halbraum

3. Inhalt eines Kreises oder Kugel

4. Gebiet (oder Fläche), das man durch „Verbiegen“ aus der Kugel, oder dem Kreis

gewinnen kann (ohne Selbstüberschneidung).

5. sternförmiges Gebiet

6. ℝ2 und hat keine Löcher

7. Jede Kurve läßt sich in auf einen Punkt zusammenziehen.


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4.2 Beispiel 2 - Vektorfeld im Raum ℝ

Andere Schreibweise:

Partielle Ableitungen bilden für

8. Wie man erkennt ist der Satz von Schwarz erfüllt, die gemischten partiellen Ableitungen

sind gleich.

Somit ist die Integrabilitätsbedingung erfüllt und das Potential existiert, weil ℝ gilt.

Potential berechnen:

Um das Potential zu berechnen, müssen mehrere Integrationen und Ableitungen durchgeführt werden.

Die Stammfunktion, die man dadurch erhält, ist das Potential. Jedoch entstehen hierbei

Integrationskonstanten, da man unbestimmte Integrale bildet!

Diese Integrationskonstanten sind von einer Variablen abhängig und können somit nicht durch das

symbolische C, sondern müssen durch eine Funktion ausgedrückt werden.

Diese Integrationskonstanten lassen sich durch folgende Bedingungen bestimmen.


S e i t e | 63

Mit der folgenden Methode kann man das Potential (d.h. die Stammfunktion) eines Vektorfeldes

berechnen, falls es existiert.

Hierzu nehmen wir obiges Beispiel:

1. Ansatz:

2. Löse durch unbestimmte Integration nach x ( und werden wie eine

Konstante behandelt)

Beachte, dass „Integrationskonstante“ c von und abhängt.

3. „Integrationskonstante bestimmen:

Differenziere aus Schritt 2 partiell nach und leite mit dem Ansatz eine Gleichung

für

her. (Ableitung von aus Schritt 2 muss entsprechen Satz

von Schwarz)

Allgemein lässt sich folgende Gleichung aufstellen:

Nach

aufgelöst ergibt:

4. Integriere da diese als Ableitung vorliegt und setze diese wieder in aus

Schritt 2 ein.


S e i t e | 64

5. Bestimme durch partielle Differentiation von nach und dem Ansatz eine

Gleichung für . (Die partielle Ableitung nach z von aus Schritt 2 mit der neuen Integrationsfunktion

) muss entsprechen Satz von Schwarz)

Nach

aufgelöst ergibt:

6. Man integriere nach z da diese als Ableitung vorliegt

7. Man fasse das Potential zusammen und setze aller Integrationskonstanten ein:


S e i t e | 65

4.3 Beispielaufgabe 3

, ℝ

somit ist die Intigrabilitätsbedingung erfüllt:

Potential berechnen:

Integrieren:

Nach y Ableiten

Dann mit gleichsetzen und Integrationskonstante bestimmen.

Es muss gelten:

Nach y integrieren

Die zuletzt berechnete Funktion wird wieder in die Funktion

eingesetzt:


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4.4 Beispielaufgabe 4

a) ℝ

b) ℝ

c) ℝ

Berechnung des Potentials:

nach x integrieren:

g(y,z) bestimmen:

Ableitung von ergibt

Die partielle Ableitung

integrieren:


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Funktion g(y,z) in f(x,y,z) einsetzen und partiell nach z ableiten:

Ableitung

muss gleich sein!

Berechnete Konstante c in einsetzen


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4.5 Kraftfeld und Kurvenintegrale

Arbeit berechnen, wenn sich ein Körper entlang einer Kurve (von im Kraftfeld bewegt.

Kraftfeld = Vektorfeld ℝ

Weg, der zurückgelegt wird:

Skalarprodukt

parametrisiert

Zeitintervall in n Teilintervalle zerlegen

mit

dann bilden wir den Grenzwert und erhalten

Definition

Es sei ein stetiges Vektorfeld auf ℝ ein verlaufender Weg, der durch eine stetig

differenzierbare Parametrisierung gegeben ist. Dann definiert man das

Kurvenintegral:

(Skalarprodukt im Integranden)


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Bemerkung:

Ist ein geschlossener Weg (Anfangspunkt = Endpunkt), so schreibt man

und bezeichnet das

Integral als Ring oder Kurvenintegral.

Man kann zeigen, dass der Wert des Kurvenintegrals von der Parametrisierung unabhängig ist.

Wichtig ist jedoch die Umlaufrichtung

4.5.1 Beispiele

1. ℝ Vektorfeld

Kurve : Winkelhalbierende zwischen (0,0) und (1,1)

Kurve D: Normalparabel zwischen (0,0) und (1,1)

Aufgabe: Arbeit im Kraftfeld bzw. Energie im Potentialfeld

Kurvenintegral:

Nun das Integral über D

Einsetzen:


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Definition:

Gegeben sei ein Vektorfeld ℝ . Man nennt konservativ, wenn das Kurvenintegral für

jeden beliebigen Weg zwischen zwei fest gewählten Punkten A und B in den gleichen Wert hat

(wegunabhängig ist)

Bemerkung:

1. ist genau dann Konservativ, wenn

für jeden geschlossenen Weg gilt.

2. Vektorfelder mit Potential sind konservativ

(hier wird die mehrdimensionale Kettenregel verwendet)

2. Beispielaufgabe – Normalparabel

, ℝ

a) Weg: von x=0 bis x=2.

Somit ergibt sich die Parametrisierung: und die zugehörige Ableitung

Auf diese Parametrisierung kommt man durch folgende Überlegung:

Gegeben ist der Weg: .Bewege ich mich auf der x-Achse um t nach rechts, so lautet der

zugehörige y-Wert t².

Nun lässt sich das Kurvenintegral bilden:

Wir bewegen uns in x-Richtung, also sind die Grenzen durch 0 und 2 gegeben.

Nun setzt man für x und y die parametrisierten Werte ein. In der rechten Klammer steht die Ableitung

der parametrisierten Weges .


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Nun bildet man das Skalarprodukt

b) Weg: von x=0 bis x=2.

Somit ergibt sich die Parametrisierung: und die zugehörige Ableitung

Auf diese Parametrisierung kommt man durch folgende Überlegung:

Gegeben ist der Weg: .Bewege ich mich auf der x-Achse um t nach rechts, so lautet der

zugehörige y-Wert 2t.

Nun lässt sich das Kurvenintegral bilden:

Wir bewegen uns in x-Richtung, also sind die Grenzen durch 0 und 2 gegeben. Beachte x-Wert = 2

Nun setzt man für x und y die parametrisierten Werte ein. In der rechten Klammer steht die Ableitung

der parametrisierten Weges .

Nun bildet man das Skalarprodukt

Das Kurvenintegral scheint folglich wegunabhängig zu sein. Um die allgemeine Behauptung

zu beweisen, muss zusätzlich die Integrabilitätsbedingung erfüllt sein..

Ingenieurmathematik II Differentialgleichungen

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5 Differentialgleichungen

Problem: Abkühlung eines Körpers

Newton‘sches Abkühlungsgesetz:

Gesucht ist die Lösung der Differentialgleichung:

Zuerst muss auf beiden Seiten der Gleichung integriert werden:

Definition:

Eine Gleichung die neben den unabhängigen Variablen und auch Ableitungen von nach

enthält, heißen Differentialgleichungen (DGL, DGI, Dgl)

Bemerkung:

Kommen partielle Ableitungen vor, also mehrere Variablen liegt eine Partielle DGL vor.

Die höchste Ableitung ist die n-te Ableitung

Liegen keine partiellen Ableitungen vor spricht man von einer gewöhnlichen DGL

Darstellungsformen:

Implizite Form:

Explizite Form:

Definition:

Eine Funktion heißt Lösung der DGL, wenn sie mit Ihren Ableitungen die DGl erfüllt.


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Bemerkung:

Die allgemeine Lösung einer DGL enthält Parameter

Spezielle Lösung (=partikuläre Lösung) enthält keine Parameter, zusätzliche Informationen bzw.

Anforderungsbedingungen werden benötigt

5.1 Gewöhnliche DGL erster Ordnung

Implizite Darstellung:

Explizite Darstellung: | =Anstieg der Tangente

Richtungsfeld:

Jedem Punkt (x,y) ist eindeutig die Steigung zugeordnet. Das Tripel lässt sich als

Linienelement deuten.

Alle Linienelemente bilden das Richtungsfeld

Beispiel:

Aufgabe:

Sind folgende Funktionen Lösungen der DGL?

NEIN ℝ NEIN JA

Um das zu überprüfen setzt man die Werte in die DGL ein.

ACHTUNG: für y' muss die Funktion abgeleitet

eingesetzt werden!


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5.1.1 Übungsblatt Richtungsfelder zeichenen

1. Richtungsfelder Zeichnen

a)

b)

c)

d)


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3. Halbwertszeit Radium bestimmen

Berechnen Sie die Halbwertszeit von Radium. Die Geschwindigkeit beim Zerfall ist proportional

seiner Menge. Der Proportionalitätsfaktor sei –k und wird aus der Beobachtung bestimmt. Bei Radium

ist der Betrag der Zerfallskonstante

. Die Zerfallsgeschwindigkeit ergibt sich zu

. Zum Zeitpunkt 0 liegt die Masse vor.

Zuerst erfolgt das Aufstellen der Differentialgleichung!

„Geschwindigkeit v beim Zerfall ist proportional seiner Menge m“:

„Die Zerfallsgeschwindigkeit ergibt sich zu

“:

ist die Ableitung von m nach t, proportional zu m.

Mit dem Proportionalitätsfaktor k ergibt das:

oder

ACHTUNG: Der Proportionalitätsfaktor ist deshalb negativ, weil die Masse mit der Zeit

abnimmt.


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Vorgehensweise beim Lösen der DGL: Allgemeine Lösung für:

1. Trennung der Variablen. Man trennt die Variablen und bringt sie jeweils auf die andere Seite. Dazu schreibt man die

Ableitung in der Form

(In diesem Fall:

)

Nun die Variablen trennen:

2. Integration auf beiden Seiten:

3. Delogarithmieren: Um den ln zu eliminieren muss man nun beide Seiten mit e multiplizieren.

4. Nun muss man noch die Konstante C aus der Potenz herausziehen.

Dies erfolgt durch Anwendung der Potenzgesetze

Mit mit C 0.

Die Auflösung des Betrages kann man in einer Konstante verrechnen, die

auch negativ sein darf . für C=0 schließlich ergibt sich m=m‘=0, was

auch eine Lösung der DGL ist. Es ergibt sich daher indssgesamt

Mit C ℝ


S e i t e | 77

Nun ist jedoch auch die Anfangsbedingung gegeben, d.h. die Masse zum

Zeitpunkt .

Somit ergibt sich die Spezielle Lösung:


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Nun erfolgt sie exakte Lösung:

Es soll die Zeit berechnet werden bis die Hälfte des Radiums zerfallen ist!

Logarithmieren:

4.

a)

Trennung der Variablen:

Integration beider Seiten:

(Produktregel & Kettenregel beachten!)

Es ist hier nur eine implizite Darstellung der Lösung möglich.


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b)

Trennung der Variablen: Nebenrechnung

Integration auf beiden Seiten:

Delogaritmieren:

mit ℝ


S e i t e | 80

5.2 DGL durch Substitution lösen

Beispiel: Trennung der Variablen nicht möglich

Substitution:

1. Ableitung bilden:

Nach y umstellen:

In DGL einsetzen:

Trennung der Variablen:

Beide Seiten Integrieren:

Delogaritmieren:

mit ℝ

Rücksubstitution


Seite | 81

5.2.1 Beispielaufgabe

Substitution einsetzen

Trennung der Variablen

Substitution:

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