Ueber quadratische Transformationen und rationale Flächen mit Kegelschnittschaaren

Ueber quadratische Transformationen and rationale l~'lftchen mit Kegelschnittschaaren,

Vo

'I?~. RE~ in St,rassburg i. E.

Die einfaehsten und wiehtigs~en a!gebraisehen Transforma6onen homogener Punkk~ordinaten siad nKehst den linearen die allgemeinen quadratisehen. Auf sie mSeht, e ieh die Aufmerksamkeit der Faeh- genossen, insbesondere der An~lytiker und Atgebraiker zu lenken mir erlauben. Sie warden bisher auff~llig vernaehl~ssigt~ obwohl sie zu manni~altigen geomeLrisehen Gebilden fiihrea and deren merkwfirdige Eigenschaf~en leieht erkennen tassen.

Im ianigsten Zusammenhange mit ihnen stehen das F~-Gebfisch oder das dreifach unendliehe lineare System yon Fl~chen zweiter Ord- nung und dessen projective Beziehung auf den Ebenenraum. Aus dieser projeetiven Beziehung ergiebt sich, wie ich schon 1868 nachgewiesen habe*), ohne Weiteres die beriihmte S t e i a e r ' s e h e Fl~che vier~er Ordnung, ~ugleich mi~ ihrer AbbiIda~g atff de~c Ebene. Gehen die Pl~ehen des Gebfisches alle dureh einen Kaotenpunk~, so ffihrt uns dieselbe projective Beziehung zu der geradlinigen Fl~che drifter Ordnung und ihrer Abbildang auf der Ebene, attsserdem abet zu fas~ allen dutch K u m m e r bekann~en S~rahlensystemen zweiter Clause mi~ Brennfl~iehen**) ~ ihrer eindeu~igen Beziehang auf einen StrahlenbfindeI und ihren wichtigeren Eigenschaften. Auch zu den Brennfl~ichen dieser Strahlensysteme, insbesondere zu der K nmmer ' schen J?l~ehe vier~er Ordnung mi~ 16 Doppelpunl~en und 16 singal~ren Berfihrungsebenen gelangen wir so mittelst quadratischer Substitutionen

Wit wollen in Kfirze nochmals naehweisen*~*), dass eine quadra- ~ische Transforamtion homogener Punktcoordina~en sieh geometa6seh

*) In meiner ,Geometrie der Lage" 1. &ufl.; vgl. die 3. Aufl. (1892) IH, S. 140 und 206.

~*) Diesen Str~hlensystemen ist meine Abhandlung yon 1878 in Crelle's Journal B& 86, 8. 8~ gewidme~.

***) Vgt. Crelle's Journal Bd~ 94, S. 312. ~athematische Annalem X LVIII . 8

114 T~. R~r~.

dutch die projective Beziehung eines/~'~-Gebfisches auf den Ebenenraum darstellen und ersetzen l~sst. Wie zu der S te iner ' schen F|iiche und der cubischen Regelflilche dutch Transformation der Eben% so gelangen wit sodann zu anderen rationalen Fliiehen mit Kegelschnittschaaren dutch Transformation yon Fliichen zweiter und hSherer Ordnung. Alle so abgetei~eten Fli~chen sind eindeutig auf die Flgchen bezogen, aus denen sie transformirt werden, und lassen sich zugleich mi~ ihnen leich~ auf der Ebene abbilden. Zu ihnen gehSren als Fl~chen niedrigster Ordnung die allgemeine cubische Fl~che, die Fli~che vierter Ordnung mit einer Doppelcurve zweiter Ordnung und diejenige mit einer Doppel- geraden. Die bekannten yon Clebsch angegebenen hbbildungen dieser drei Fl~hen auf der Ebene ergeben sich sehr einfach auf dem an- gedeu~e~en Wege.

Die erwilhnten friiheren Untersuchungen stellen wir, soweit sie hier in Betrach~ kommen~ mi~ einigen Zusii~zen in w 1 kurz zusammen.

w

Die quadratische Substitution und die projective Beziehung des F ~- Gebiisehes auf den Raum ~ .

1. Wit transformiren zwei l~ume 2~ 2~ 1 in einander dutch die quadratische Substitution:

(a) OYl ~ - f l , oY2 = f~, QY3 ~ f~, ~Y4 = / ' 4 .

Hieria bezeichaen f l , f~, f.a, L quatern~re quadratische Formen, deren Variable x~, x2, xa, x 4 die homogenen Coordinaten eines Punktes /) yon Z sind; Yl~ Y2, Y.~, Y4 sind die Coordina~en eines Punlr~es /)5 yon 2J1, und 0 ist ein unbcstimm~er Factor. Durch die Substitution wird jedem Punkte zP yon 2: dn bestimmter Punkt /)1 yon 2~ 1 als entsprechender zugewiesen; dagegen entaprechen einem beliebigen Punk~e P1 ~ (Yl, Y2, Ya, Y4) yon 2~ i. A. acht ,,assoeiirte" Punkte in Z , niimlich die reellen oder imagini~ren Schnit~unkte der drei Fl~chen zweiter Ordnung, die bei gegebenen y~ durch die Gleichungen:

Ytf~ = Y : f , , Y~f3 ----- Y~f , , Ylf4 -~ Y~fl darges~llt werden.

2. Wenn der Punkt zP in Z eine Curve /~ oder F~ehe ~' beschreibt, so beschreibt jeder seiner associirten Punkte eine associirte Curve/~" resp. Fl~ehe t7"; zugleich abet beschreibt sein homologer Punkt zo 1 in 2~ 1 eine entsprechende Curve k I resp. Ft~iche ~'1, die i. h. eindeatig anf 1~ resp. /~ bezogen is~. Nur dann entsprechen jedem Punkte yon k 1 resp. ~'~ zwei oder mehr Punk~e yon ~ resp./~, wenn diese Curve oder Flgche yon 2~ sich setbst assoc'~r~ ist. Jeder nieht siC~a se]bst associirten algebraischen Curve yon 2~ entspricht in

Quadr~ische Tr~nsformatlonen und rationale Fl~chen. 115

~l eine algebraische Curve g|eichen Geschlech~es, well die beiden Curven eindeu~g auf einander bezogen sind. Ist die eine dieser homologen Curven rational, d. h. vQm Geschlecht Null, so ist es auch die andere. Jeder nieht sich selbs~ associir~en Fl~che yon ~ entspricht in 2,1 eine eindeutig a~f sie bezogeae Fl~che; beide ]?liichen abet sind rational, wenn die eine und damit aueh die andere eindeutig auf eider Ebene abgebildet werden kanm

3. Dutch die Substitution (a) geht die Gleichung:

X~Yl -{- ~2Y2 -{- X3Y3 -{- ;t4Y4 ---- 0

einer beliebigen Ebene q01 yon 271 fiber in die G|eichang:

~f~ + ~:f~ + ~3f~ + ~4f~ = 0 einer Fli~che zweiter Ordnung - ~ yon ,X,, die der Ebene tp~ entspricht. Aendern sich die Ebenencoordinaten gi, so beschreibt ~o 1 den Ebenen- raum 2:~; zugleich aber beschreibt die Fliiche 2r im Raume 2~ ein /~-Gebiisch, wean die vier Flgchen f~ ~ -0 , wie wit voraussetzen, keinem ..F~-Biindel augehSren~ Jeder Ebene r yon 2~ 1 entspricht also eine Fliiche F ~ dieses Gebiisches, und umgekehrt. Das Gebfisch ist dureh die vier Fl~chen f~-~- 0 bestimmt und dnrch die Substitution (a) projectiv auf den Ebenenraum ,E 1 bezogen. Wenn der Punkt /) auf einer seiner Ft~chen liegt, so lieg~ der entsprechende Pankt ~Pl aaf der dntsprechenden Ebene yon 2~1; und umgekehrk

4. Den Ebenen eines Punktes ~P~ yon 2? 1 eatsprechen daher 0o 2 Fl~hen des ~,2. Gebiisches, die sich i. h. in ach~ associir~en, dem/) l entsprechenden Punkten /~ schneideu (1.) und einen ~ -Bf inde l bilden. Einem Ebenenbiischel yon 2~ und seiner Axe g~ entsprechen in 2~ ein zu ibm projectiver 2 ,~- Bfischel und dessen biquadratische Grund- curve C ~'~. Zwei resp. drei Grappen associirter Punk~e yon 2~ kSnnen allemal dutch eine Raumcurve C ~.~ resp. Fl'~che ~ des Gebiisches verbunden werden; denn die entst)rechenden zwei resp. drei Punkte yon ~l liegen in einer Geraden g~ rest. Ebene ep~. Dutch die 1oro- jective Beziehung des /~-Gebfisches auf den t~aum ,E~ wird jedem Punkte !) yon 2~ derselbe Pnnkt _P~ in ~ zugewiesen~ wie durch die quadrat~sehe Substitution (a).

Die vollstimdigen Beweise der folgenden S~tze dieses w 1 finden sich in den vorhin cit~r~ea Drucksc~hriften.

5. Unendlich kleine homologe Raum- oder Fi~k:henelemenCe yon 2: und ~E~ sind cotlinear, falls das Elemen~ yon 2~ keinen sich selbst associirten Punkt enth~lt; die quadratische Transibrmation (a) ist nach Herrn L i e ' s Bezeichnung eine Be~fihrungsfxansformat~on. Jeder sigh selbs~ associir*~e Punkt P yon 2~ ist Doppelptmkt eines Kegels des �9 '2-Gebiisches~ und umgekehrk .Die Ebene , l , die in ,Ui diesem Kegel en~sprich~, bertihr~ in dem zu /19 homologen Punkte ~P~ aUe

8"

116 ~ . Rzr~..

FlY.hen yon 2~, denen dutch P gehende Fl~chen in 2~ entsprechen. Der Oft der sich selbst associirten Punkte ist eine Flgehe vierter Ordnung ~:~, die J a c o b i ' s c h e oder Ker~fliiche des Gebfisehes. Dieser Fl~ehe ~:~ yon 2: entspricht in 2~ eine Fl~che O~ ~ vierter Classe und i. A. 16 te~ Ordnung~ und zwar entspreehen deren Berfihrungsebenen ~ und Punkte P~ den Kegeln des Gebfisches und deren Doppelpunkten. Aus den vier Gleichungen:

ergiebt sich die Gleichung yon X 4, wenn ~1, ~2, ~t~, ~4, und die Gleiehung yon O14 in Ebenencoordinaten ~ , wenn xj~ x. 2, x3, x~ eliminirt werden. Ich nenne O14 die ,,Brennfl~che" des Raumes ~l-

Einer nicht sich selbst associirten F1Rche oder Curve yon 2J~ die mit der Kernfl~che •4 beliebige Punkte gemein hat, entspricht in 2~ t eine Fl~che oder Curve, die in den entsprechenden Punkten die Brenn- fl~che r berfihrt.

6. Einer beliebigen Geraden 1 yon Z eni~prlch~ in ~l ein zu 1 projec~iver Kege]schnitt 11. Die entsprechende Linie ll liegt n~hnlich in der Ebene, welche irgend drei ihrer Punkte verbindet, weil dieser Ebene eine dutch 1 gehende Fl~che zweiter Ordnung entspricht (3.); mit jeder anderen Ebene aber hat Z L h5chs~ens zwei Punkte gemein. Analytisch beweist man den Sa~z~ indem man xi ~--Pl + ~q~ in (a) einsetzt und sodann 0 und 1 aus (a) eliminirt. Der Kegelschnitt l 1 berfihrt die Brennfi~che r in vier Punkten, denen die Schnittpunkte yon I mit der Kernfl~che ~ 4 entsprechen (5.).

7. Eine Gerade yon 2~ heisst eln ,,Hauptstrahl", wean mehr als eine Fl~che des ~2. Gebfisches dutch sie geht. Jedem Haupts~rahle s des Ge- bfisches en~spricht demnach in 2~ 1 eine Gerade sl; ibm ist in 2J eine cubische Raumcurve associirt~ die mit s zt~sammen eine Raumcurve C ~-2 des Geb~isches bildet (vgL 4.) and mi~ s zwei Punk~e der Kern- iL~che gemein ha~. Die Gerade s~ ber~hrt in den entsprechenden beiden Punkten die Brennfl~che O~ ~, is~ also eine Doppeltangente yon r Die Hauptstrahlen yon 2~ sind i. A. Trs yon ]nvolutionen associirter Punkte; sie schneiden die Fl~ehen des ~-Gebfisches in den Pankte- paaren dieser Involutionen. Die beiden Doppelpunkte einer solchen Involution sind sich selbs~ associirt, liegen auf der Kernfis K ~ (5.) und sind conjugir~ hez'~iglich aller F1Echen des Gebiisches. Jede Ver- bindungslinie associir~er Punkte is~ ein Hanptstrahl yon 2L

8. Einer beliebigen Ebene cp yon 2~ entsprich~ in ~ eine S t e i n e r - sche F i che ~ vierter Ordnung drifter Clause; den Schni~punkten yon ~r'lfli~e~ner Geraden yon 2~1 ents~rechen die vier Schni~punkte yon ~ mit tier homologen Raumcurve C ~-~ des Gebfisches. Die Fl~che ~

Quadra{ische Tr~nsforma~ionen u~ad rationale Flhchen. ] 17

ist eindeu~ig so auf der E[mne ~ abgebildet, dass den Geraden vor~ je ein Kegelsehnitt auf •4 entspricht (6.). Jedem Kegetschnit~ in ent~pricht auf .F4 eine Curve vierter Ordnung yore Geschtecht Null (2.); diese is~ eben oder gewunden, jenaehdem der Kegelschni~ auf einer Fl~ehe des Gebfisches lieg~ oder nicht. Die ebenen Schnittcurven yon ~,4 sind demnach yore Gesehlechte Null (oder rational), haben also je drei Doppelpunkte. Mit ihren Berfihrungsebenen hat die Steiner'sche Fl~che je zwei Kegelschnitte gemein, die sich in dem Berfihrungspunkte und in drei Doppelpunkten der Fl~che schneiden; denn die Ebene r hat mit den sie berfihrenden Fl~chen des _~2_ Geb~isches je zwei Gerade gemein. Jedem Doppelpunkte yon F 4 entsprechen in 9 zwei associirte Punkte, und ~ enth~lt daher (7.) drei Hauptstrah]en s yon 27, die sich in drei associirten Pankteu sehneiden. Die Steiner'sche Fl~iche enth~ilt demnach drei Doppelpunkts- gerade s 1, die durch e~nen dreifachen Punkt yon ~,4 gehen.

9. Einen Punkt A yon 2~ dutch welchen alle Fl~chen des ~'~- Geb~isches gehen, nenne i~h eiaen ~,KnotenpunkV' de~ Gebilsches Und der quadratischen Transformation (a). Jede dutch ihn gehende Gerade s ist ein ]=Iauptstrahl yon X (7.) und zu der entsprechenden Geraden s 1 von 27l projectiv. Auf s l giebt es demnach einen Pankt At, dessen homologer Punkt auf s mit A zusammenF~l]t; und den dutch A~ gehenden Ebenen yon 271 entsprechen in 27 Fl~ichen des Gebiisches, die in A die Gerade s berfihren. Wenn die Gerade s u m A sich dreht und eine Ebene ~ oder den Strahlenbfindel A beschreibt, so besehreibt A 1 eine Gerade a 1 resp. Ebene al- Den Ebenen durch a I entsprechen in 27 Fl~chen zweiter Ordnung, die in A yon ~ berfihr~ werden, und der Ebene ~1 entspricht der Punkt A and zugleich ein Kegel A ~ des Geb~isches mit dem Doppelpuakte A. Auf den B[indel A is~ die Ebene a~ collinear bezogea; jeder Fl~che yon 27, die im Punkte A irgend eine Ebene ~ ber~ihrt, entsprich~ in ~ eine Fl~che~ die mi~ u~ die entsprechende Gerade a~ gemein hat.

Die Strahlen des Kegels .A ~ tangiren in A die Kernfl~ehe ~ und A ist ein conischer Knotenpunk~ yon .K 4. Die Ebene ~t aber ist e~ne singul~re Berfihru~gsebene der Bre~nfl~che r sic berfihrt r l~ngs des Kegelsc~hnifl;es, tier in ~ jenem Tangentialkegel entspricht. Die Ordnung yon r wird durch die singul~ire Ebene a t u m zwei Einheiten ernied~4gt und ist i. A. ~erzehn.

10. Auch den durch den Knotonpunkt A gehenden Hauptstrahlen yon 27 entsprechen in 2:1 Doppeltangenten yon Ct ~ (vgl. 7.). Die Congmenz dieser Doppeltangenten ist yon der zweiten Classe; sie hat Ct 4 zur Brennfl~he und u t zur singul~ren Ebene, sie ist eindeutig auf den Strahlenb[indel 2t bezogen, ~nd ihr Schnit~ mit a~ ist za dem Bfindel collinear (9.). Wenn die Transib~ma~ion noch r ~ 1 andere

118 T,. 11z~m,

Knotenpunkte hat~ so ist die Congmenz yon der Ordnung 8 - r~ und ihre BrennflKche r yon der Ordnung 1 6 - 2r.

Einer Ebene ~ des Knotenpunktes A entspricht in 2~ t eine gerad- linige Fl~che ~,3 drit"eer Ordnung. Diese is~ eindeutig auf ~o abgebildet und kann zusammen mit g~ als eine S~einer 'sche Fl~che aufgefasst werden (8.); ihre geraden Erzeugenden s 1 entsprechen den Geraden s in r dutch A. Einer beliebigen Gera~en 1 yon ~ entspricht auf ~v,3 ein Kegelschnit~ l~ (6.); wenn aber l dutch A geht, so zerf~llt 11 in eine Erzeugende s~ und eine dem Punkte A yon ~ entsprechende Gerade a 1 yon e~ 1 (9.). Die Erzeugenden s I liegen paaxweise m i t a 1 in Ebenen, welche die Fl~che F 3 doppel~ ber~hren; sie schneiden sich auf einer Doppe]punktsgeraden yon ~ 3 der in ~ ein i .A. nicht dutch A gehender Hauptstrahl yon ~ entspricht. Die ebenen Schnitte yon F s sind yore Gescblecht Null (vgl. 8.).

11. Hat das 2'~-Gebfisch zwei Knotenpunkte A, B, so entspricht den Punkten der Geraden A B ein gewisser Punkt C~ in 2~, und den Ebenen dutch C~ entsprechen in 2~ Pl~chen des Gebiisches, die dutch A/? gehen. Die Punkte der Geraden A~B sind demnach mit einander und sich selbst associirt, liegen also auf der Kernfl~che ~:t (5.) und sind Doppelpunkte yon Kegeln des Gebtisches. Diesen Kegeln aber entsprechen in 2:~ Ebenen~ welche die Brennfl~che Ot 4 in C t bertihren (5.), uud C~ ist demnach ein Knotenpunkt yon r

Einer behebig durch A:B gelegten Ebene ~ yon 2: entspricht in 2~ eine e/ndeut/g auf ~ bezogene Regelfi~che zweiter 0rdnung F z. Die beiden Rege]schaaren yon ./~ entsprechen den Strahlenbtischeln .A und B yon ~p und sind zu ihnen projectiv; sie bestehen aas Doppel- tangenten der Brennfl~che O~ 4 (10.). Einer beliebigen Geraden ~ yon

entspricht auf ~'2 ein dutch C~ gehender Kegelschnit~; der Geraden A:B und zugleich den Punkten A, B entsprechen zwei dutch C~ gehende Gerade a~, b t auf F~. Die dutch A und B gehenden Kegel- schni~te in ~ entsprechen den ebenen Schaitten der Fl~che /?*, weiI sie auf je einer Fl~che des Gebfisches liegen, Ueberhaupt entspricht jedem dutch A und B gele~en Kegelschnitte yon 2~ ein zu ihm projectiver Kegelschnit~ in 2~, der viermal die Brennfl~che q ~ ber'~hrt. Die Fl~ichen 2 '~ und O~ ~ beriihren einander l~ngs einer biquadratischen Raumcurve.

w

Hcmologe r ~nd Fl~chen 6er P~ume ~ lind ~ .

12. Einer Fl~che ~t~ Ordnung ~ " yon ~j entspricht in ~ eine F l~he 2~ ~ Ordnung F~"~ man erh~lt deren Gleichung, wenn man in tier yon ~z" die Punktcoordinaten Yi dutch die quadratischen

Quadratische Transformationen und rationale Fl~hen. 119

Functionen ]~ ersetzt (vgl. 1.)~ Jeder Kno~enpunkt A der Transfor- mation ist ein n-faGher Pankt yon ~-,2~; ihm und seinem Tangential- kegel n t~r Ordnung entspdcht die Schnittlinie yon F~ ~ mit seiner homotogen Ebene ecI (9.). Die Fl~che F** ist sieh selbst assoGiirt und kann in ass~ciirte Flgchen zerfallen (vgl. 2.).

Einer Curve m t~" Ordnung C~ m yon "~L entspricht in 2~ eine Curve 4 ~ t.r Ordnung C4m; diese hat n~mlich mit einer Ebene r yon 2~ ebenso viele Punkte gemein, wie C~*~ mit der entspreehenden S t e i n e r - schen Fl~che vierter Ordnung yon 271 , also 4 m Punkte. Jeder Knoten- punkt A der Transformation ist ein m-faeher Punkt yon C4'~; er entsprich~ den m Schnittpankten yon CI" mit seiner homologen Ebene a 1. Die Curve C 4~' ist sigh selbst associir~ und kann in assoeiirte Curven zerfallen.

13. Einer night sigh selbst associirten Fl~ehe nt~r Ordnung ~ yon 2: entspriGht in ~ eine eindeatig auf sie [~zogene Fl~ehe $'14., die i. A. yon der 4n t~ Ordnung ist. Diese entsprechende Fl~che hat n~mlich mit einer Geraden gl yon ~ ebenso viele Punkte gemein, wie F * mit der entsprechenclen Raumcurve C ~.~ yon ~ , also 4~ Punkte. Da der FI~ ~ eine Fl~che 8n t~ Ordnung in 2: entsprieht (12.), so ist der ~'~ i. A. eine F l ~ h e 7n ter Orduung assoGiirt.. Diese schneider die F " in einer Curve yon der 0rdnung 'Tn~; die Schnitt- curve abet zerfgllt in die Darchdringungscurve yon ) ~ mit ~ '~ deren Punkte sigh selbst assoeiirt sind (5.), trod in eine Curve yon der Ordnung ( T n - 4 ) n , deren Punkte paarweise mit einander associirt sind. Dieser letzteren Curve entspricht eine [)oppelpunktscurve der Fl~che _F~*,, und zwar eine Curve yon derselben Ordnung ( 7 n - 4) (vgl. 14.). Die Fl~che F~ ~ hat i. A. auch dreifache Punk~ , din'oh welGhe die Doppeleurve je dreimal geht , z. B. einen ffir n ~ 1 (vgl, 8.).

14. Wenn die Fl~che F " yon 2: durch r Knotenpunkte A, ~ , . . - der Transformation geht, so entspricht ihr in 22~ ausser den r homologen Ebenen a~ fl~ . . . . (9.) eine Fl~iche (4n - - r) t~r Ordnung ~ ' ~ - ~ . Ihr ist deshalb in 2~ ein~e Flgche (7 n - - 2r) t"~ Ordnung associirt, die A, B , . . . zu ( 4 n - - r - - 1 ) - f a c h e n Punkten hat (12.). Auch die Sehnittlinie yon ~ mit der associirten Fl~iche hat A , . B , . . . zu (4n ~ r ~ 1)-fachen Ptmkten. Sie ist yon der Ordnung (7n ~ 2r) und zerf~llt in die Schnitteurve 4~ ter Ordnung yon F ~ mit K ~, die A , .B, . . . zu zweifachen Punkten hat~ und in eine Curve yon der Ordnung (7n ~ 2 r - - 4) n , die A , / ~ , . �9 �9 zu (4n - - r ~ 3)-fachen Punk~n hat , und deren Punkte paarweise associirt sind. Die letztere Curve hat mit einer beliebigen Fl~che des F-%Gebfisches ausser den r Knotenptmkten A, B , . . . nur: ( 7 ~ - - 2 r - - 4) 2~ ~ ( 4 n - - r - - 3) r ~ ( 7 n - - 4 ) 2 n - - ( 8 ~ - - r - - 3 ) r Punt~e gemein, die paarwe~se associirt sind. Ihr entspricht auf

120 T~. R ~ .

der Fliiche zvlt~--~ eine Doppelpunktscurve, die mit einer beliebigen Ebene yon 2:1:

1 ( 8 n - - r - 3 ) r (7 n - - 4) ~ - -

Punkte gemein hat~, also yon dieser Ordnung ist. ttat die Fl~che F " eineu Knotenpunkt des Gehfisches zum k-

fi~chen Punkte und r - - k andere Knotenpunkte zu einfaehe~ Punkten~ so en~pricht ihr in Z 1 eine Flliehe ( 4 n - r) ter 0rdmung mit einer Doppeleurve yon der Ordnung:

1 (k - - 1) k , 1 ( 8 n _ r _ _ 3 ) r_21_~ (7n -- 4) n - - 72

wie analog sieh ergiebt. 15. Einer nicht sich selbst associirten Curve m t~r 0rdnung C ~,

yon 22 entsprieht i. A. eine eindeu~ig auf sic bezogene Curve 2m ter Ord- nung C1 ~ in 2:1, und ihr ist daher i. A. eine C TM in 2: associirt (12.). Bare homologe Curve C1 ~' hat n~imlich mit einer Ebene yon 27 I ebenso viele Punkte gemein, wie C ~ mit der entsprechenden Fl~iche 2 '2 des Gebiisches, also 2m Punkte. Die Curve C12m bertihrt die Brennflgehe dp14 in 4m Pun~en , denen die Schnittpunkte yon C ~ mit K 4 ent- sl~rechen (5.).

Wenn abet die Curve C '~ yon 22 dutch r Knotenpunkte des Ge- bfisehes je einmaI oder durch einen Knotenl0unkt r-real geht, so entsprieht ihr in 22~ eine Curve ( 2 m - ~)ter Ordnung C~ 2~-~, und ihr is~ in 2: eine Curve ( 7 m - 4r) t~ Ordnung associir~, wie analog sicla ergiebt. Die Curve C1~-~ beriihrt die Brennfl~iche (I)1 4 in 4 m - 2r Punkten, denen die von den Kno~enpunkten verschiedenen Schnitt- punkte yon C** mit K 4 entsprechen.

16. Die Schnittlinie einer Fl~che 2 '~ yon 2~ mit der Kernfliiche K ~ ist yon der 4n te~ Ordnung; ihr entspricht also i. h. eine Curve 8n t~ Ordnung in 2:1- L~ngs dieser Curve ist der Brennfl~ehe r 4 die Fl~che _~a** yon 2:1 eingeschrieben, die der 2'* entspricht (5.). Wenn abet die Fliiehe /~* durch r Knotenpunkte A , ?B, . . . des Gebfisehes geht und einer ~'t~*-~ entaprieht (14.), r geht ihre Schnittlinie mit ~ 4 je zweimal dutch A , / ~ , . . . , und die entspreehende Beriihrungs- curve yon ~'i~-~ und (P~* ist yon dot Ordnung 8 n - 2r.

17. Von besonderem lnteresse sind die Curven niedriger Ordnung, die in den R~men 22, 22~ eindeutig einander entsprechen. Wit wissen bereits (6., 8.), dass i. A. den Geraden yon 2~ Kegelschnitte in 22t entsprechea, and den Kegelsehnitten yon 2: rationale Curven vierter Ordnung. Der, Kegelsehnitten yon 22, die dutch zwei Knotenpunkte gehen, entspreehen in 2:~ Kegelschnitte (11.). Wenn ein Kegelschnitt dureh drei Knotenpunkte geht, so entsprieht ibm in 27t eine Gerade; enable er nut einen Knotenlaunkt , so entspricht ibm (15.) eine rationale

Quadra~isehe Transforma~ionen und rationale F1Nchen. 1~1

Curve drit~r Ordnung in 2~, und zwar eine ebene oder gewundene~ je nachdem er auf einer ~2 des Gebfisehes liegt oder nicht.

Einer eubischen Raumeurve yon ~ , die durch 5, 4, 3 oder 2 Knotenpunkte geht, entsprieht in ,2~ 1 eine Gerade, ein Kegelschnltt, eine rationale Curve drifter resp. eine solche vierter Ordnung (15.). Wenn eine rationale biquadrat~sche Raumcurve :in 22 dutch 6, 5 oder 4 Knotenpunkte geht, so entspricht ihr in ~Tj ein Kegelschni~, e~ne rationale Curve drifter resp. eine solche vi~r~er Ordnung (15.); geht sie durch 5 oder 4 Knotenpunkte und hat sie einen yon ihnen zam Doppelpunkt, so entspricht ihr in 22~ ein Kegelschnit~ bezw. eme rationale Curve drifter Ordnung. Diese homologen Curven der beideu R~ume sind projectiv auf einander bezogen. Ist die Curve in 22~ ein Kegelschnitt, so berfihr~ dieser die Brennfl~ehe Ot * viermal (15.).

Mehr als sechs Knotenpunkte, and zwar unendlieh viele, hat das /~'-%Gebiisch nur dann, wenn seine Fliichen eine Gerade oder einen Kegelschnitt mit einander gemein haben.

w

Rationale Fl~chen dritter bis achter 0rdnung mit KegelschnittsChaaren umd ebenen Schnittcurven vom Geschle~ht eins*).

18. Einer Regelfl~che zweiter Ordnung 2 ,2 yon 22, die durch r ~--- 0~ 1, 2, 3, 4, 5 Knotenpunkte A, B . . . . des F2-Geb~sches geht, entspricht in 221 eine rationale Fl~che ( 8 - - r ) t~ Ordnung ~'1 s--~. Diese ist eindeutig auf/~'~ bezogen und der Breonfl~che r l~ngs einer Curve (16- -2r ) t~ Ordnoug e[ngeschrieben (16-). lhre ebenen Schnitte sind i. A. yore Geschlecht eins, wie die ihnen entsprechenden biquadratischen Raumcurven erster Art, in denen 2'~ yon den Fl~ichea des Gebtisehes geschnitten wird (vgl. 2.). Diese ebenen Schnittcurven (8~r)~ ~ Oral- hung haben demnach je:

1 (7 - - r ) (6 - - r ) - - 1 ~- 2Q -- I ( 1 3 ~ r ) r

Doppelpunk~e. Die Doppelcurve der Fl~iche F~ s-~ ist also ~on der

I ( 1 3 - - r ) r ; ihr entspricht ~uf F ~ eine sich selbst Ordnung 20 ~

associirte Curve (20--4r) ~* Ordnung, die A, B, . . . zu ( 5 - r)-fachen Punkten hat (14.),

*) Zu diesen Fl~chen und ihrer Abbildung auf einer Ebene und einer Flliche zweiter Ordnung gelangfe Herr del .Pezzo sehon 1887 (in den Reodic. del Circolo mat. di Palermo I, p. 241--271)~ indem er Fl~ehen achter Ordnung im Raume yon 8 Dimenbionen aus 5 Cen~en auf unseren dreidimensionaIeu Raum projieirte. Er bestmnmte ihre Geraden und Doppeleu~ven und wies ~we/Kegelschnittschaaren ~uf ihnen nach. Benin Noether verdanke ich die~e IAtteraturangabe.

l i ~ Tm l%,~Ys.

Die Fl~che F , s-'~ ist i. A. yon der 12 ~ Classe. Dutch eine Gerade gl n~nlich gehen i. A. zwSlf Bertihrungsebenen der Fl~he, weft in der entsprechenden Raumcurve C 2"s des Gebiisches i. A. zwSlf Fl~chen zweiter Ordnung sich schneiden, welche die RegelflRche F ~ be~hren. Ausser der Doppelcurve kann E, s-~ noch vereinzelte Doppel- punkte haben, und diese erniedrigen die Classe der Fl~che um je zwei Einhei~en.

19. Den beiden Geraden a, a' yon F ~ die in einem Kno~enpunkte A sich schneiden, entsprechen auf /~s--~ zwei windschiefe Gerade a,, al"; diese aber treffen eine dritte Gerade al" yon /~l s-~, welche dem Punkte A yon / ~ und seiner Bertihrungsebene entspricht (9.). Mi~ je drei Geraden hi, bl", bl" , die ebenso einem anderen Knotenpunk~e /~ auf x ~'~ zugehSren, bilden jene drei ein windschiefes Sechsseit ala,"al'blbl"bl" auf F1 s-~, dem auf ~'2 das Vierseit aa'bb" mit den gegentiberliegenden Eckpunkten A, /~ en~spricht. Einem Kegelschnit~e auf /?~ dutch drei Knotenpunkte A, B~ C entspricht (17.) auf/~l s-~ eine Gerade dl"" , w~hrend den Punkten A , / ~ C je drei Gerade auf �9 '1 s-~ zugehSren. Jede dieser zehn Geraden der Fl~che/~s-~ schneider drei andere, und die 0bHgen sechs bilden ein windschiefes Sechssei~, wie aus ihrer Abbildung auf P~ sofor~ einleuch~e~. So schneide~ a," die Geraden al, al" , d~'", und b,b~"b~'clcl"c ~" bilden ein Seehsseit; b~ schneide~ hi", a~', c~', und a~b~'clcl"dl"a~" bilden ein Sechsseit;

. . . . . bl" und " w~hrend ' ' ' d 1 schneider a 1 , c~ , a~ b~ c~a I b~c t e i n Sechssei~ bilden.

Geht die Regelfl~che F z durch vier Kno~enpunl~e A,/~, C, D der Transformation, so enth~il~ die Fl~che F1 s-~ seehzehn ~erade, die wir bezeichnen mi~

ala,'a~"a~" ~ b~b(b~"b~'", c~c,'cl"cl"' , d~d~'dl"d,".

Die Geraden a~ , b~ , c 1 , d~ entsprechen den Kegelschnitten yon 2 '~, die in den resp. Ebenen .BCD, C.DA, D A B , A B C liegen; yon den iibrigen zwSlf gehSren je drei zu den Knotenpunlrten A, .B, C, 1). Jede der 16 Geraden schneider, wie aus ihrer Abbildung auf $': sich ergiebt, ffinf und nur s anclere, zu einander windsehiefe; z. B.

a~ schneicle~ a~"a~"b(c~" d~'; a~" schneide~ al"a~'"b~c ~ d~ ;

a~" schneideg a, al'b~'"c~'d~"'; ai" schneider a~a,'b~"cl"dl".

r ( r - - 1) ( r - - 2) Gerade g~, 20. Die Fl~ehe ~l s-~ en~h~It 3 r ~-

yon denen r den Kno~enpunk~en au~ ~'~ entsprechen, 2r andere den 2 r Geraden yon-~l ~, die sicb paarweise in den r Knotenpunkten

1 r ( r ~ 1) ( r - - 2) den Kegelschni~en auf schneiden, und die ~brigen ~

F ~ die dutch je drei tier Kno~enpunkte gehen (17., 19.). Is~ r ,= 5,

Quadra~sche Tra~sforma~ionen und ral~onal~ Fl~chen. 123

so enth~l~ Fls"~ noch zwei weltere Gerade gl; diese en~sl?rechen den eubischen Raumcurven, die a u f ~ durch die 5 Kno~enpunkte gehen.

Die Ebenen der Geraden gt beriihren die Fl~che 2'I 8-~ doppelt. Ihnen entsprechen n~mlich F]~ichen des /~e-Gebiisches, welche die Regelfliiche $,2 en~weder doppelt bei~iihren oder sie je in einer biquadratischen Raumcurve sehneiden, die zweimat dureh einen Knoten- punk~ geht. Jede Ebene durch zwei der Geraden gl beriihr~ die FlY, he _Fs--~ dreimal.

21. Die Fl~iehe E1 s-~ enth~lt: 1 2 + +

Kegelschnitischaaren~ yon denen je ein Kegelschniti dutch einen beliebigen Punkt dec Fl~che geht. Zwei dieser Sehaaren werden auf der Regelfi~che z ~" dargestell~ durch die beiden Schaaren yon 0eraden~

r(r andere dutch die Sehaaren Kegelsehnitten, welche 1) yon je

zwei der r Knoten]?unkbe enthal~en; die tibrigen ~2 r(r-- 1) (r--2) (r--3) Schaaren ent~prechen den Schaarea cubischer Raumcurven auf ~ 2 welche durch je vier Knotenpunkte gehen und je eine der beiden Geradenschaaren zu Sehnen haben. Iss r ~--5, so kommen noch fiinf Kegelschnittschaaren auf /7'1s--~ hinzu~ ihnen entsprechen auf ~2 Sehaaren biquadratiseher Raumcurven, die alle ffinf Knotenptmkte und zwar je einen doppelt enthalten.

Die Ebenen der ~ Kegelschnitte auf 1~ s--~ bertihren die Fliiche doppelt; denn die entsprechenden Fliichen des Gebiisehes beriihren die Regelfliiche F ~ ~heils doppelt theils in einem Knot,enpunkte. Z~ei Kegelschnitte yon einer und derselben Sehaar txeffen sich i. h. nieht, haben also mit der Schnittlinie ihrer Ebenen zwei verschiedene PunkCe- paare gemein. Wenn abet diese Ebenen und damit die beiden Kegel- schnitte einander unendlic[t nahe rficken, so fallen auch die beiden Punktepaare zusammen~ und die Schnits der bei(len Ebenen geh~ fiber in eine Doppelt~angente yon /7,s-~. Die Ebenen jeder Kegel- sehni~tschaar yon ~s--~ umhiillen demnach eine abwickelbare Fl~che, die eine Schaar yon DoppeliangenCen der Fl~,che ~,s-,. enth~l~ und ihr umsehrieben ist.

22. Von jeder Kegelsehnittsehaar auf .F~ *--r zerfallen r Kegel- schnitr in je zwei der Geraden g~ (20., 21.); ihre iibrigen Kegelschnitte sind zu den en~sprechenden Linien auf ~'~ projeetiv. Zwei Keget- schnitte verschiedener Schaaren treffen sich, wie aus ihrer &bbildung auf ~'~- einIeuchtet, einmal, wenn r <: 4, ein- oder zweimal, wenn r ~ 4 oder 5 is~. Jede Schaar schneidet im Falle r ~ 4 die Curven und die tt~ilfte tier Geraden g~ einer beliebigen anderen Schaar in projectiven Punktreihen; denn das Gleiche gilt yon der eu~sprechenden

124 T~. R ~ .

Sehaar und den entmpreehenden Linien auf F -~. Die Kegelsehnit~e einer jeden Sehaar liegen folglieh in den Ebenen eines Ebenenbusehels (6 - - r ) t~r Ordnung, welcher erzeug~ wird dutch r Gerade 91 und 3 - - r Kegelschni~e, die projeetiv sind.

Im Falle r ~ 4 enth~l~ Fls-~ zehn Kegelsehnittsehaaren (21.), dis paarweise conju~o~ sind (Clebsch)i and zwar schneiden die Curvea einer betiebigen Schaar jeden Kegelschnit~ der eonjugirten Schaar in Punk~epaaren e]ner Involution, die Kegelschnit~e and Geraden gl der fibrigen Schaaren abet in projeetiven Punktreihen, wie die Abbildung auf E ~ lehrt. Die f~inf paar conjugirten Schaaren der Fl~che vierter 0Mnung ~14 liegen folglich in den Ebenen yon ffinf Bfiseheln zweiter Ordnung, und diese umh[illen die ffinf yon Kummer*) entdeckten Kegel zweiter Ordnung, deren Strahlen die Ft~iehe doppelt berfihren (21.). Ffir r ~ 5 erhalten wir die allgemeine eubisehe Fl~che Ft ~ mit 27 Kegelsehnit~schaaren, deren Ebenen durch je eine der 27 Geraden gt der Flgehe gehen. Wir schliessen den Fall r -~ -5 yon jetzt an vorl~ufig aus.

1 23. Die Fl~che /Fls-~ en~h~l~ r -~- ~ r ( r - - 1 ) ( r ~ 2 ) Netze yon je

~2 eubischen Raumcurven~ und zwar entsprechen r dieser t~ei~ze den Kegelschnit~en auf ~ , die dutch je einen der r Knotenpunkte gehen, und die fibrigen den cubischen Raumeurven durch je drei Knotenpunkte, die je eine Geradenschaar yon F ~ zu Sehnen haben (17.). Dazu kommen f~ir r ~-- 4 noch vier Netze cubiseher Raumcurven auf Fts-~; diesen entsprechen auf/~2 biquadratische Raumcurven, die alle vier Knoten- punkte und zwar je einen doppelt enthalten. Darch zwei beliebige Punkt~ der Fl~ehe geht yon jedem der Ne~ze eine Curve. Zwei Curven desselben Ne~zes treffen sich einmal, Curven verschiedener ~Netze ~reffen sieh thefts zwei- thefts dreimal.

r ( r - - 1) (r ~ 2) Sys~eme Die Fl~che ~ s ~ enth~lt 1 -~- r(r ~ 1) ~-

yon je oo ~ ra~ionaten biquadratischen Raumeurven. Diesen Raumeurven entsprechen auf /~'~ theils die Kegelsehnitte (17.), ~eils cubische Raumcurven durch je zwei tier r Knotenpunkte, theils biquadratisehe Raumcurven dutch je drei Kno~enpunk~e, die je einen yon diesen zum Doppelpunkt haben. Dazu kommen f[ir r ~ 4 noch 15 Systeme ratdonaler biquadratischer Raumcurven; ihnen entspreehen auf F~ rationale Raumcurven vierter, f~n~ter und sechster Ordnung, die dutch aUe vier Knotenpunkte gehen und zwar dutch resp. 0, 2, 4 Kno~en- punlr~e zweima|.

24. Die Regelfl~che /F ~ trifft unendlich viele Ft~ehen des 2 '~-

*) Monatsberiah~ der Berliner Akad. veto 16. Juli 1863 und Cre/te's Journal Bd. 64, $. 66--76~

Quadra~sche Transformafionen und rat,ionalr Fl~r 125

Gebiisches in je zwei Kegelsdhnitten and berfihrt sie zweimal in deren Schnittpunkten; die Fl~che .Fxs--~ abet beriihr~ die entsprechenden Ebenen des Raumes 2~ doppelt und schneider sie in je zwei rationalen Curvem Nun enth~l~ abet ein P~-Bfindel des Gebfisches i. A. zekn Fl~chen, die mit der Regelfl~che je zwei Kegelschnitte gemein haben i denn er lieg~ mit ihr in einem F2-Geb~sch, dieses enth~l~ i. A. zehn Ebenenpaare*), und in deren Ebenen liegen die zehn Kegel~chni~tpaare. Durch einen beliebigen Punkt yon 2: gehen demnach i. A. zehn yon jenen, die Fliiche ~1 ~--~ doppelt berfihrenden Ebenem Diese Ebenen schneiden die Fl~ehe, fails r == 0 oder 1 ist~ in je zwei rationalen Curven vierter bezw. vierter und drifter Ordnung. ]hr Bfischel 1() ter Ordnung zerfAllt, wenn r ~---2 ist, in zwei Bfischel 6 t~ und 4 ter OM- nung, deren Ebenen die Ft~iche in je zwei Curven dritter bezw. einer Curve zweiter und einer vierter Ordnung schneiden. Wenn r > 2 ist, so zerf~llt der Biischel zehnter Ordnung in mehrere der frfiher (20, 22.) besprochenen Bfisehel ~loppelt berfihrender Ebenen.

25. Zu einer Abbildung der Fl~iche ~v'~-~ auf einer Ebene ~/ gelangen wir~ indem wit die Regelfl~ehe ~ aus einem in ihr ge]egenen Punkte S auf die Ebene projiciren. Die ebenen Sehnitte yon /~,s-~ werden dann in ~ dargestellt dutch die Projec~ionen der biquadratisehen Raumcurven, in denen ~,2 yon den Fl~iehen des Gebfisches geschnitten wird (vgl. 18.). Diese Raumeurven gehen durch die r Knotenpunl~e des Gebfisches auf /;"-' und schneiden die beide- dutch S gehenden Geraden yon/P2 zweimal; ihre projectionen in ~/ gehen deshalb dutch die Spuren der be/den Geraden je zweimal and &Jreh die Projec~ionen der r Knotenpunkt:e je einmal. Die ebenen Schnit~e yon ~s -~ werden also in tier Ebene ~ abgebildet dur~,h Curven yielder Ordnung~ welehe 2 Doppelpunkte und r einfaehe Punkte gemein haben.

26. Die Abbildung yon ~s -~ auf der Ebene ~ wird, falls r > 0 ist, noch einfaeher, wenn das Projee~ionseentrum S in einem der

Knotenl~unkte angenommen wird. Die ebenen Schuitte der Fl~ehe werden dann in ~ dargestellt durch cubische Curven mit r + 1 gemeinsamen Punkten; und zwar sind r - . I dieser ,Hauptpunkte" die Pro- jectionen der iibrigen r - 1 Knotenpunkte, und zwei sind die Spuren der beiden dutch ~q gehenden Geraden yon -F z. Die Geraden g~ yon ~,s-~ werden (nach 20.) in ~ dargestell~ dutch die r + - 1 Hauptpunkte~ ihre Verbindungslinien uud die Kegelselmitte, die yon ihnen je fiinf enthalten. Die Kegelschnittschaaren auf ~'s-~ werden in ~ abgebildet dureh die r "4-1 Strahlenbiisehel der Haaptpunkte uad dutch die Kegelschni~tbfisehel, die dutch je vier Hauptpunkte gehen (21.); hierzu kommen fiir r -~- 5 noch seehs Bfisehel yon eabisehen Curven~ die alle

*) Vgl. Crelle's JournM Bd. 82, S. 76.

t26 Ta. R ~

sechs tiauptpunkte und zwar einen doppelt enthalten (21.). Den Punkten der Doppeleurve yon ~ s - ~ entspreehen in ~ Punktepaare eine~ Curve ( 1 5 ~ 3 r ) t~ Ordnung, welche die r + 1 Hauptpunkte zu (5--r)-fachen Punkten hat (14., 18.).

27. In den Fiillen r ~ 5 und r = 4 s~immt diese Abbildung mit den bekannten Abbiidungen iiberein, die C 1 e b s e h *) yon der allgemeinen eubisehen Fl~he _Pl 3 und yon der biquadratischen Flii~he Ft a mit einer Doppelcurve zweiter Ordnung zuerst angegeben hat. Die reichhaltige IAttera~r iiber die Fl~che Fl4 finder man in zwei 2kbhandlungen der Herren Segre**) und Berzolar i***) zusammengestellt. Die Fl~ehe x~'15 hat C a p o r a l i t ) mittelst der obigen Abbildung eingehend unter- such~, nachdem Clebseh '~ t ) zuerst auf s~e hingewiesen and Herr R. S t u r m t ~ t ) ihre wichtigeren Eigenschaften ohne Abbildung be- griindet hatte. In einer anderen Abhandlung gelangt C a p o r a l i *'~) u. a. auch zu der Fl~che 2"~ *, yon dem System der Bildcurven ihrer ebenen Schnitte ausgehend. Zu der eindeutigen Abbildung der eubisehen Fliiche ~v'~ auf einer Regelfli~che zweiter Ordnung gelangte Herr Cre- mona**j') schon 1871 mittetst einer rationalen Raum~ransformation zweiten Grades.

28. Von den rationalen Fl~chen (8~r) TM Ordnung 12 t~ Classe _~,s-~ stellen w~r einige bemerkenswerthe Eigenschaften aus den 1~rn 18., 20., 22., 23 fibersichttich zusammen.

Es ergeben sich f ~ r = 0 1 2 3 4 5 die rai~onalen FHiehen: ~ls ~ 7 _~,18 _~t5 ~14 _FI~" Ordnung ihrer Doppelcurven: 20 14 9 5 2 0; Anzahl ihrer Geraden: 0 3 6 10 16 27;

,, ihrer Kege]schniRsehaaren: 2 2 3 5 10 27 ; Ordnung von deren Ebenenbiiseheln: 6 5 4 3 2 1; Zahl ihrer Netze cub. P~aumeurven: 0 1 2 5 16 72.

Die ebenen SchniL~e aller dieser FL~chen sind vom Geschlecht eins. 29. Von den zahlreiohen Specia]f~]len der Fl~che PI s-r heben

wit tblgende hervor: Wenn die Regelfl~che l ~''~ durch i ~ 3, 4, 5, 6 assoeiirte Punkte geht, so hat die Ft~che Fls--~ einen i-fachen Pankt,

und dieser ist ein .~ ,(~-- 1)-father Punkt ihrer Doppelcurve. Liegen auf

*) Crelle's Journal Bd. 65 ~ d 69. **) Diese Annalen Bd. 24 (1884).

***) Aunali di Matem., Set. iX, t. 13 (1885). T) Annali di Matem., Ser. It, t. 7.

~ ) Diese Annaten Bd. 3, S. 75. ~'tt) Diese Annalen Bd. 4, S. 278,

~) Collecf~ea m~f.hematic~, 1881, S. 169. @*'~) Ann~li ~ MaMm.~ Ser, It~ t. 5, p. 147.

Quadratische Trar~forma~ionen und rationale Fl~chen. 127

~2 Hauptstrahlen yon 2~, die durch keinen Kno~enpunkt gehen, so enth~ilt ~'t s-~ ebenso vfele Doppelpunktsgerade; diese entspreehen den Hauptstrahlen (vgl. 8.)~ und auf jede yon ihnen reducirt sich ein Kegel- schnitt der Fl~iche (6., 21.); die Doppeleurve dieser speeiellen ~1 a-~ zerf~Ilt. Verbindet eine Gerade yon /~2 zwei der r Kno~enpunkte, so entspricht ihr auf F18-~ ein ausgezeichneter Doppelpunkt; durch diesen gehen die Kegelschnitte yon mindes~ens einer Schaar der Fl~i~he.

Liegen auf/i ,2 in den F~llen r ~- 4 oder 5 zwei windschiefe Ver- bindungslinien a, b yon Knotenpunkten, so hat die entsprechende Fl~che /~t 4 resp. JFt3 zwei Doppelpunkte A1, B 1 . Den mit a und b incidenten Geraden yon F 2 en~sprecben auf F~ 4 resp. ~t 3 Kegelschnit~e, die durch A~ und ~ gehen (11.); vier dieser Kegelschnitte aber zerfallen in je zwei durch resp. A~ und ~ gehende Gerade~ und wean r ~ 5 ist, so zer~,~llt ein ftinfter in At t~ ~ und e~ne andere Gerade.

30. Wenn die Regelfl~iche 2 '2 in einen Kegel zweiter Ordnung iibergeht, so fallen gewisse Gerade und Kegelschntttschaaren yon ~b-'~--~ paarweise zusammen, und dem Doppelpunkte des K~gels entspricht a u f / ~ - ~ ein Doppelpunkt, der auf den Kegetschnitten yon mindestens e~ner Schaar~ abet i. A. nieht auf der Doppelcurve der Fl~che lieg~ Hat der Kegel einen der r Knotenpunkte, des ~2-Geb~isches, die auf ihm liegen, zum Doppelpunkt% so entspricht ihm in 2~ eine gerad. linige Fl~che (7--~.)t~ Ordnung~ deren ebene Schnitte yore Geschlecht :Null sind; z. B. flit r-~-=3 eine biquadratisehe Regelfl~iche mit cubischer Doppelcurve und e/net Kegelschnit~schaar.

Beil~ufig sei noch erw~ihn~ dass mindes~ens 2r Gerade g~ und zwei Kegelschnittsehaaren auf ~ts - r imagin~r werden, wenn ~ in ein zweitheiliges Hyperboloid, ein eltiptisches Paraboloid oder Ellipsoid ~ibergeht (vgl. 20., 21.).

w

Rationale Fl~chen vierter his achter 0rd~ung mit je einer Kegelschnitt- schaar un~l ebe~len Schnittcm~en veto 6eschlecht zwei.

31. Nachdem schon Herr N o e t h e r * ) gewisse rationale Fl~chen fiinfter und sechster Ordnung auf solche drifter Ordnung zur~ckgefiihrt hatte, leite~e Herr Cremona**) aus den cubischen Fl~chen andere rationale Fl~chen vierter his achier Ordnung ab, darunter solche mit Kegelschnittschaaren. Die yon den beiden Autoren benutzten Raum- transformationen sind aber rational (d. h. eindeutig nmkehrbar) und veto dritten Grade. Wit wollen dutch quadratiseh% nicht eindeutig

*) Diese AnnM0n ~ 3, S. 568 und 573. ~*) Die~e A~al~n BtL 4, S. 213--2~0.

128 T~. R ~ .

umkehrbare Transformationen eine specielte eubische Fl~che z-m~ in rationale Fl~ehen h5herer Ordnang mit je einer Kegelschnittschaar umwandeln. Zun~ichs~ abet s~ellen wir die in Betxaeht kommenden Eigenschaften der Fl~iche F 3 in Kiirze zusammen.

Wenn eine enbische Fl~che P~ einen Doppelpunkt A hat~ so fallen bekanntlich zwSlf ihrer 27 Geraden paarweise mit sechs durch A gehenden reellen oder imaginiiren Geraden zusammen ~ and ~,3 ent- hs nur noch 15 andere Gerade. Jene 6 Geraden liegen auf dem Tangentialkegel yon A, der yon der zweiten Ordnung ist und die erste Polare yon A nach _F~ darstellt. Ihre 15 Verbindungsebenen schneiden F 3 noch in je einer der iibrigen 15 Geraden.

32. Hat die cubische Fl~ehe $,3 zwei Doppelpunk/m A, B , so enth~lt sic die Gerade A~B und hat mit deren Ebenen noch je einen dutch A and ~ gehenden Kegelschnitt gemein (vgl. 29.). Der Kegel- schni~ zerf'Allt in AJ~ und eine andere Gerade s, wenn seine Ebene die Fl~che in einem Punkte C yon A:B beriihrt. Die Ebene hat aber dana mit 2 'a zwei in A,B zusammenfallende Gerade gemein and beriihrt /~'~ in allen Punkteu yon A:B. Auch die Tangentialkegel der Doppelpunkte A, B enthalten diese beiden zusammenfallenden Geraden (31.); sic berfihren sieh und die eubische Fl~che l~ings A B und haben mit $,3 nur noch je vier andere Gerade a resp. b gemein.

33. Die vier Geraden a dutch A schneiden je eine der vier Ge- raden b dutch /7 und bitden mit ihnen vier Kegelsehnitte der Sehaar (32., 29.); die vier Schnittpunk~e ab liegen auf dem Kegelsehnitt, den die Tangentialkegel yon A und /3 ausser ihrem Beriihrungss~rahle mit einander gemein haben~ and welcher die eubische Fl~che in einem Punkte yon A/~ berfihr~.

Die Verbindungsebene yon zwei der vier Geraden a schneider die Fl~che ~'~'~ noeh in einer Geraden ]~, and diese trifle die Gerade s (vgl. 32.) und die beiden zu den 2a windschiefen Geraden b. Auf $,3 Iiegen demnach sechs Gerade k, die mit s, mit je 2a und je 2b in- cident sind und paarweise mit s in drei Ebenen liegen. Damit sind alle 27 Geraden der cubischen Fl~iche nachgewiesen~ denn mit A ~ fallen vier~ mit den 4a und 4b abet je zwei yon ihnen zusammen. Eine Ebene hat mi~ /7'~ nur dann einen Kegelschnitt gemein~ wenn sie durch eine der 16 Geraden A.B~ s, 4a~ 4b und 6k gehl.

34. Fiinf Kegelschnitte der cubischen Flache verbinden einen behebigen Punkt 2O yon ~ s mit dem Doppelpankte A; einer yon ihnen geht zugleich durch B , die Ehenen der vier fibrigen ] gehen dureh je eine der vier Geraden-a. Yerbindet man vier Punkte 2O def. Fl~che mit einem ihrer Kegelschniite dutch eine Flii~he zweiter Ordnung, so Jaa~ diese mi~ ~ noeh eine die 42 ~ en~altende biquadratische Raum- curve erster Ar~ gemein. Mit den Kegelschnit~en yon 2~'~ deren Ebenen

Quadra~che Transforma/~onen und ra~onale Fl~hen. t29

dutch eine bes~mmte yon den 16 Geraden gehen, kann diese Raum- curve durch Fl~chen zwei~er Ordnung verbunden werden.

Die Fl~che F 3 enth~l~ sechs Ne~ze yon je ~ cubisehen Raum- curven, die dutch beide Doppelpunkte gehen; sie schneide~ die ~ Fl~chen zwei~er Ordnung, welche je eine der sechs Geraden ~ mit s und A ~ verbinden, in den Curven dieser paarwe~se conjugir~en Ne~e. Zwei Raumcurven aus conjugfr~en Ne~zen liegen allemal au~ einer Fl~che zwei~er Ordnung. Zwei beliebige Punk~e der Fl~che k5nnen mi~ .4 und B durch sechs cubische Raumcurven m verbunden werden, die je einem dieser Ne~ze angehSren. Jede dieser sechs Curven m ~ifft eine der 6 Geraden k zwefmal, die mit dieser incidente gar nicht, die fibrigen 4k aber und die Gerade s einmal; sie ~riff~ nur die zwei Geraden a und die 2b, welche jene erste k nicht schneiden, in je einem yon A und B verschiedenen Pankte.

35. Wit w~hlen nun die beiden Doppelpunkt;e A, B und r ~--0~ 1, 2, 3, 4 beliebige einfache Punkte P der cubischen Fl~iche F:* zu Knoten- punkten des F2-Gebtisches in 2:. Dann entspricht (11.) jedem dutch A und B gehenden Kegelschnitt yon F ~ ein zu ibm projectiver Kegel- schnitt in 271; der Fliiche ~,3 aber entspricht in Z 1 eine etndeutig auf sie bezogene rationale Fliiche F2s-~ , die eine Schaar yon Kegelschni~,en enthiil~. Die Fliiche _~s-~ ist yon der (8--r) te'~ 0rdnung und i. A. yon der 24 ~t~ Classe; denn eine beliebige Gerade yon 2~ triff~ sie ~n 8 - - r Punkten, und dutch die Gerade gehen an sie i. A. 24 Beriihrangsebenen, weil F s mit der ent~prechenden biquadratis~hen Raumcurve C ~'~ des Gebtisches ausser den Doppelpunk~n A, B und den r Punkten :P noch 8 - - r Punk~e gemein hat, und weil dutch C "~'2 i. A. 24 Fl~chen des F 2- Gebiisches gehen, welche 2'.~ bertihren. Die Schnit~curven yon ~s -~ mit beliebigen Ebenen sin(] yore Geschtech~ zwei wie die entsprechenden Raumcurven sechs~er 0rdmmg, in denen F ~ yon den FI~ichen des Oebtisches geschnit~en wird, und die aus dem Dolopelpunk~ A durch bicluadragsche Kegel mi~ dem Doppelstrahl A.B und 4 + r einfachen gemeinsamen Strahlen ~ und A/? projicirt wer~len. Die ebenen Schnit~- curven yon ~s--~ haben demnach je

(7 - - r ) ( 6 - - r ) - - 2 -~- 19 - - ~ (13---r)'r

Doppelpunkte, und die Doppelcurve yon -F~ s-'r is~ yon tier 0rdnung

1 ( 1 3 - - r ) r . Ihr ent~pricht;, beiliiufig bemerk~, auf .F ~ eine sich 19 - -

selbs~ associir~ Curve ( 2 8 - - 2 r ) t~r 0rdnung, welche A und B zu (9- - 2 r)-fachen und die r Knotenpunkte :P zu (5--r)-fachen Punk~en hat.

36. Die Fl~iche _F~ s-* enth~ilt; 8 n t- 2r Gerade g~, die paarweise sich schneiden. Ach~ diesel" Geradea, 4a, und 4b~, ent~prechea den ach~ Geraden 4a und 4b auf F~, die paarweise mi~ A]~ in vier Ebenen

Mat~em&~iaehe ~ e m XLVIII,

130 T~. R,~.

liegen lind dutch resp. A und B gehen (33., 10.); die 2r fibrigen enb sprechen den r Knotenpunkten P und den ~" Kegelschnitten auf ! '3, die je einen der Punkte P mit A und B verbinden (9., 17.). Die Kegelschnit~schaar auf 2'2s-~ enth~lt demnach 4 -}- r Kegelschnit~e, die in je zwei der 8 + 2r Geraden #2 zeffallen. Die Ebenen der Ge- raden gl sowohl wie die der Kegelschnittschaar berilhren die Fl'~che 2~ s-r doppelt (vgl. 20., 21.). Die 8 -]- 2r Geraden ~reffen, wie hieraus folg~, die Doppelcurve yon ~ e - r je (5- - r ) real; die Kegelschnitte der Schaar treffen (lie Doppelcurve je (10- -2r ) mal. Die Ebenen der Schaar umhfillen eine abwickelbare Fl~che, die eine Schaar yon Doppel- t~ngenben der ~,s--~ enth~l~ (21.). Der Geraden s en~spricht ein Kegel- schni~t der Schaar, der Geraden A B entspricht (11.) ein Punlr~ C 1 dieses Kegelschni~s auf/v2e--~.

Bei besonderen Lagen der Knotenpunkte B kann die Fliiche Fe s-~ mehr als 8 -~-2r Gerade enthalten. Wenn n~mlich eine tier 6 Ge- raden k auf/~3 dutch einen Knotenpunkt B geht, so enbprich~ ihr eine Gerade auf !'28-~; dasselbe gil~ yon einem Kegelschnitt der F ~, welcher dutch A oder B und zwei Knotenpunkte 2O oder dutch drei B geht. Bei passender Annahme der r Pankte .P kann die Fliiche/~2 s-r bis zu 8 + 4 r einfache Gerade enthalten, yon denen aber nut 8 + 2 r der Kegelschnittschaar angehSren. Wit sehen yon diesen besonderen F'~llen der Fl~che bier ab.

ST. Ausser der Kegelschnitbchaar enth~lt die Fl~che F2 s-" noch 2~P ~ einzelne Kegelschni~te kl, ll, m~ n1,~1. Und zwar entsprechen auf der cubischen Fliiche 2'3:

1) den 8 Kegelschnit~en k 1 yon F2s-~ die 6 Geraden k und die beiden Doppelpunkte A, 2~ oder vielmehr deren Tangential- kegel zweiter 0rdnung (9.);

2) den 8r Kegelschnitten l I die Kegelschnitb ~, die zu achten je einen Pankt B mit A oder :B verbinden (34.);

8 r(~'- 1) 3) den ~ Kegelschnitten m s die cubischen Raumcurven m

durch A, B and je zwei Punkte 2O (34.) and die ebenen Ourven drifter Ordnung dutch A oder B und je 21>;

4) den 8 r(r--1)(r--2) Kegelschni~en n 1 die biquadra~ischen 1 . 2 . 3

Raumcurveu dutch A, B und je 3/>, die A oder :B zum Doppelpunlr~ haben~

r(r--l) (r--2) (r--~) 5) den 8 i : V:. ~ : ~ Kegelschni~en p~ die Raumcurven

ffinf~r Ordnung dutch A, B und 42 ~ die entweder A oder B zum dreifachen Puukte oder A und B zu Doppelpunk~en haben.

Quadra~sche Transforma~ionen trod rationale Fl~chen. 131

Da r ~ 4 is~, so wird

-a r(r r (~ - I ) (r--2) (r--~) ~- (1 - - / -1 ) '~ 2 ~, 1 4 - r _ . ~. + ' " 4 - ~ . 2 . a . 4

und 2 s4~ ist die Anzahl tier vereinzel~en Kegelschni~te auf ~.2 ~--~. Diese 2~+ ~ Kegelschni~te werden dutch die Kegelschnittschaar der

Fl~ehe E~ *'-~ projec~iv so auf einander bezogen, dass sie ihre Schnitt- punkte entsprechend gemein haben; denn ihre homologen Geraden~ Tangenifialkegel und.Curven auf ~,s sind zu ihnen projectiv und werden durch den Ebenenbiischel A 2~ und die entsprechende Kegelschnit~schaar der cubischen Fl~che auf einander 10rojectiv bezogem Jeder der 2 s4-~ Kege]schnitte trifft also alle Kegelschnitte der Schaar und insbesondere (36.) die H~lfte der 8 - ~ - 2 r Geraden yon ~ s - ~ .

38. Aus der Abbildung der 2 s+r Kegelsehnitte k~, ll, ~n,, n~, 10~ yon Fs--~ auf der cubischen Fliiehe E~ ergiebt sich u. a. Folgendes (vgl. 33, 34.). Jeder der 8 Kegelse.hnit~e kl wird gar ni(~ht getroffen

I r ( r - - l ) yon 6 der iibrigen /~l, yon 4 r der Kegelschnitte l~ und yon ,~

der ~ni; er wird einmal getroffen yon einem tier fibrigen kl~ yon 4 r 2 der li, yon 3 r ( r - - l ) der ~nl, yon ~ r ( r ~ l ) ( r - - 2 ) d e r ni und, wenn

1 r ~ 4 ist, yon einem der pl ; zweimal yon ~ r ( r ~ l ) der ~h, yon

~ r ( r - - 1 ) (~- -2) der nl und, wenn r~---4, yon sechs tier ~oi; er ~r~fft,

wenn r ~ 4 ist, dreimal einen der Kegelschni~te 2~- 39. Beliebige drei der 2~§ ~ projectiven Kegelschnitte voa /~s-~

erzeugen durch ihre homologen Punkte die Ebenen der Kegelschnitt- schaar dieser Fl~che (37.). Die drei Kegelsehnitte abet lassen sich so ausw~hlen, dass sie zu zweien r .-[-1 Pank~e entsprechencl gemein haben. Man wiihle zwei sioh treffende ki und ffige ffir r =: 0, 1 oder 2 einen Kegelschnit'~ ki , li resl0, rnl hinzu~ der einen der beiden k~ gar nicht, einmal resl?, zweimal trifft; fiir r ~ 3 oder 4 abet w~hle man einen Kegelschnitt kl, einen ihn zweimal treffenden ml und einen ihn zwei- resp. dreimal treffenden n~ resp. 21-

Die Ebenen der Kegelsehnittsehaar auf F~ s-~ bilden demnach einen rationalen Ebenenbiischel ( 5 ~ r ) t~ Ordnung; dieser wird erzeugt dutch drei projective Kegefschnitte, die zu zweien r -~- 1 Punk~e enb- sprechend gemein haben*).

*) Drei projective rationale Carven yon d~n Or~lnungen ~, 1o, ~ erzeugen L A. einen ra~ionalen Ebenenbfischel (~q-~o-~-~) ter Ordnung. Denn die homogenen CoordJnaten ihrer homologen Punkt~ lassen sich durch ganze Functionen ~t~, ~e~ resp. qt~ Gra~es eines Parameter~ ~ darstellen, die Gleichung der u ebene homologer Punk~e wird also for ;t yore Grade ~-~-Io-J-q, und hieraus folg~ tier Satz. Wenn a~r drei homologe Cnrvenpunkte in einer Geraden

9=

132 TH. R ~ .

40. Die Fl~che :F~ s-r enfl~lt 2~+ ~ Schaaren cubischer und 2 ~+~ Netze rationaler biquadra~ischer Raumcurven. Den Netzen biquadrafischer Raumcarven entsprechen auf •3 die sechs Netze eubischer Raumcurven dutch A und :B (34.)~ zwei Netze ebener cubischer Curven dutch A oder /3 , 8 r Netze biquadratischer Raumcurven dutch A, :B und je einen der r Knobenpunkte P m~ einem Doppelpunkt in A oder

8 ~ l~etze yon Raumcurven 5 ~r Ordnung durch A, B und je 21P~ die en~weder A oder :B zum dreifachen Pun]~e oder A und :B zu Doppelpunkten haben; u. s. w. Den eubischen Raumcurven der 23+~ Schaaren en~prechen auf F 3 die Kegelsehni~e durch A oder B, deren Ebenen dnrch je eine der 8 Geraden a, b gehen, die eubischen Raum- curven dutch A m :B und je einen Knotenpunkt iP, die ebenen Carven 3 ~ Ordnung dureh 21 oder :B und je einen :P, die biquadratischen Raumcurven dutch A, J~ und je 2~P mit e~nem Doppelpunkt in A oder ~ ; u. s .w . Den KegelschniHschaaren auf _~, deren Ebenen dutch je eine der sechs Geraden /: gehen, entsprechen 6 Schaaren rationater biquadrafischer Raumcurven, ihren durch je einen Pankt ~P gehenden Kegelschnitt~n entsprechen 6r cubische Raumeurven auf ~ s - ~ Alle diese cubischen und biquadra~chen Raumcurven der Fl~che ~s--~ werden durch deren Kegelschnittschaar projectiv auf einander bezogen (vgl. 37.); jede yon ihnen trs die Kegelschnitte der Schaar und 4 ~ - r Gerade der Fl~che einmal.

41. Wird die cubische Fl~che 2'~ aus ihrem Doppelpunkte A auf eine Ebene ~' projicirt, so wird zugleich mit ihr d~e Fl~che _Fs-~ eindeut~g auf ~' abgebildet. Den ebenen Schni~enrven yon _~s-r en~- sprechen in ~' biquadratische Curven yore Geschlecht zwei, die einen Punk~ :B' zum Doppelpunkt haben und noch durch 4 -~- r andere Punkte ~" gehen. Vier dieser ,Bauptpunl~e" P ' s~nd (35.) die Spuren clef 4 Geraden a, d~e r iibrigen abet und /~' sind die Pro- jectionen der r Punlr~e P und des Doppelpunktes :B. Die Kegelschnitte der Sehaar auf ~,s-~ werden in y' dargestell~ dutch die Geraden des Hauptpunktes :B', die 4 -~ - r Geradenpaare aber dutch je einen der 4 - } - r Haupi~unkte P" und seine Verbindungslinie mit :B'. Den 2~ -~ einzelnen Kege|schnitten auf ~,s-r en~sprechen in y" der Punl~ :B'~ die Verbindungslinien der r Punkt~e ~P'~ die Kegelschnitte dutch ~ ' und je 4P ' , die Carven drifter 0rdnung durch je 6 2 ' mit einem

liegen, und insbesondere wenn zwei der Curven einen Punlr~ en~prechend gemein haben, so zeri~Jlt der Ebenenbfischel in einen Bfischel ~ erster und einen B~mhel (~ -~-p-~-~-- I}~ Ordnung, und nut der letzte~e gil~ als das Erzeugniss der projectiven Curven. In dem vorliegenden Fall verminder?~ aich die Ordnung 2 -~- 2 -~- 2 des er~eugten Ebenent~ischels um 3-]-~r Einhei~en.

Quadratische Transformationen und rafdona[e Ft~chen. 133

Doppelpunkt in B' und hn FaUe r ~ 4 die Curve vier~er Ordmmg durch alle 8 P ' mit einem dreifachen Punkte in :B' (vgl. 37.).

F~ir die Fl~ichen vier~r und ffinfter Ordnung ~,4 und ~ 5 wurde diese bezw. die reciproke Abbitdung schon yon C 1 e b s c h*) entdeck~ und zu ihrer eingehenden Untersuehung benutzt. Auf 1~ 4 ist Herr S t a r m*~), und auf ~ s sind die Herren N o e t h e r , C r e m o n a und S t u r m *~*) gelegentlich zurfickgekommen. Auch C a p o r a l i t ) erw~ihn~ die Fl~hen F24 und 2'2s , sowie ~6 . Alle Fl~iehen dieses und des folgenden Para- graphen sind implicite unter den yon C,'a s t el n U o v o '~) untersuchten F1Kch~n mt~ Orchmng enthalten, welche das ,,Fl~hengeschlecht" Null und ebene hyperell~pt[sehe Sehnittcurven yore Oeschlecht ~r ~ 1 haben. Herr C a s t e l n u o v o beweist u. a., dass diese Fl~ehen m t~ Ordnung alle rational sind und je eine Kegelschnit~sehaar eutha]ten, yon welcjaer i. A. 4 ~ - ~ - 4 - m Kegelsehmtte in Gerade zerfallen. Er fasst sie auf als Projeeti0nen yon Fl~chen in R~umen yon mehr als drei Dimensionen.

42. Wit erhalten (hath i~'r. 35., 36., 37., 39.)

wenn gesetz~ wird: r ~-- 0 1 2 3 4, die rationalen Fl~chen~ (8 - - r) t~ Ordnung: .F~ s ~v, 7 ~,2~ F ~ t ~ mi~ Doppelcurven yon der resp. Ordnung: 19 13 8 4 1. Anzahl ihrer einfachen Geraden: 8 10 12 14 t6; Anzahl ihrer einzelnen Kegelschnitte: 8 16 32 64 128; Ordnung des Ebenenbiisehels ihrer~-Sehaar: 5 4 3 2 1. In 2~'~ 8-~ bezeichne~ der un~ere Index 2 das Geschtecht der ebenen Schnitteurven, der obere 8 - r die Ordnung der Fl~che.

43. Wenn die cubische Fl~ehe ~3 dureh i associate Punkte geht, so ha~ die Fl~che ~,s--, einen /-fachen Pankt~ und dieser is~ ein

i(i--~)-facher Puakt ~hrer Doppeleurve. Enth~lt eine der 6 Geraden k 2

yon ~'~ zwei Knotenpunk~e 2 , so entsprieht ihr auf F~ s-r ein drei- faeher Punk~, durch welchen die Kegelsehnit~schaar der Fl~che geht; enth~It sie associlrte punkte, so entspricht ihr eine Doppelgerade auf F~ s-~. Einem yon A und ~ verschiedenen Doppelpunkte yon 2 '~ ent- sprieh~ auf/~'2 s-~ ein Doppelpunl~, der i. A. nich~ auf der Doppelcurve liegt. Is~ ~-3 eine eubische Regelfl~che und A B ihre Doppelgerade,

*) Diese Annalen Bd. 1, S. 264 uad Bd. S, S. 71--75; Abhaudlungen tier GStt. Soc. 1870, Bd. 15.

**) Diese Annalen Bd. 4~ 8. 263. ***) Noether ebenda Bd. 3, S. 199--203 und 568; Cremona ebenda Bd. 4,

S. 115 und 1t8; R. t~tmrm ebenda Bd. 4, S. 275--278. J-) Collect~mea ma~em., 1881, S. 169.

J~) Rendie. di Palermo IV, p.73--88. Diese und die vorhergehende Litteratur- angabe verdanke ich Herrn Noether.

134 T~. Rszs.

so entsprieht ihrer Geradenschaar die Schaar yon Kegelschniiten auf F~ s--r, der Gexaden A ~ abet entspricht ein dregacher Punkt ~lieser Ft~che, in welchem alle Kegelschnitte der Schaar sich treffen.

44. In einem beachtenswerflaen Specialfalle hat die Fl~che/v2 s-~ eine (6 - - r)-fache Gerade d I und eine Sehaar yon Kegelschnitten, deren Ebenen dutch d~ gehen. Sie entspricht einer cubiscben Fl~che ~s, die eine (durch A, ~ und die r Punkt~e P gehende) biquadratische Raumcurve d des ~-%Gebfisches enth~lt. Den Punkten der Geraden d~ entsprechen je 6 - - r associirte Punlrte der Raumcurve d~ und den Ebenen yon dj entsprechen Fliichen zweiter Ordnung~ die mit /~,s je einen dutch A und ~ gehenden Kegelschnit~ gemein haben. Die Gerade d 1 triirt die 8 -~ -2 r einfachen Geraden und die 2s+ r einzetnen Kegelschnitte der Fl~che F~ s'-r je einmal, die Kegelschnitte der Schaar aber je zweimah Die Doppelcurve der Ft~che zerf~llt in die (6--r)- faehe Gerade d~ und 4 ~ r Doppelgerade*), welche d I schneiden, und denen je ein sich selbst associirter Kegelschnitt a u f / ~ entspricht.

45. Eine specielle Fliiche fiinfter Ordnung ~2 ~ ergiebt sich~ wenn ffir r ~ 3 die drei Knotenpunkte P a u f einem Kegelschnitte h yon ~,3 liegen, dessen Ebene durch die mit A ~ incidente Gerade s geht (vgl. 32.). Dem Kegelschnitt h entspricht niianlich auf ~'2 ~ eine zu ibm projective Gerade/h; diese abet trifft die Kegelschnitte der Schaar auf ~v'2s in je einem Punktepaare einer Involution~ weft h die Ebenen der Geraden A ~ und die entsprechenden Kegelschnitte auf F s in Punktel0aaren einer Involution schneider. Auf dieser speciellen Fl~che :F25 liegen also die Kegelschnitte der Schaar in den Ebenen clef aus- gezeichneten Geraden h~ und zwar paarweise; ihre Ebenen beriihren die Fl~che in je vier Punkten yon hi. Die Gerade ]h schneider die iibrigen 14 Geraden gl der Fl~che~ denn in diese 14g~ zerfaJlen je 7 Kegelschnitte der Schaar.

46. Das ~-Gebfisch besteht, wenn r ~ 4 ist, aus den dutch A, :B und die 4 Punkte P gehenden Fl~ichen zweiter Ordnung; es enth~lt also auch die Fl~chen 2, O., welche die 4 P mit einem durch A und :B gehenden Kegelschnitt der cabischen Fl~che 2 P~ verbinden. Diese Fli~chen aber haben mi~ ~ s eine biquadra~ische Raumcurve des Geb~isches gemein (34.); der Raumcurve abet entspricht auf der bi- quadratSs~hen Fl~che ~'~ eine Doppelgerade d~ darch welche alle Ebenen der Kegelschnit~schaar gehen (44.).

Die Fl~che vierter Ordnung ~ 4 hat auf ihrer Doppelgeraden t/i zwei dreifache Punkte Kl~ in denen alle Kegelschnitte ihrer Schaar sich treffen~ falls zwei der sechs Geraden k yon .F~ dutch je zwei der 4 Punlrte P gehen (43.). Diese specielle/~e~ enth~lt nut 14 einfache

�9 ) Diese Bemexkung verdanke ich Herrn Noether.

Quadratische Transformat~ionen uud rat~nale FIRchen. 135

Gerade; denn sie wird l~ugs der Gexaden d I yon zwei Ebenen beriihrt (vgl. 32.), und zwei Kegetschnitte ihrer Schaar bestehen aus d l und je einer mit d 1 incidenten Geraden. Sechs andcre Kegelschnttte zeffallen in die 12 iibrigen Geraden g~ yon ~2�89 die zu sechsen dutch die beiden dreifachen Punlr~ :K 1 gehen. Von den ach~ Hauptpunk~en P ' der Bildebene ~/" liegen in diesem Specialfalle sieben auf zwei Geraden ]:', den Projectionen der beiden Geraden k, die je 2 / ) enthalten (vgl. 41.), and diese 2k" enf~prechen den dreifaehen Pauk~en Xt . Durch jeden der beiden Pankte Kj gehen 15 Kegelschnit~e yon $~4, die nicht der Schaar angehBren; ihre EbeneiL verbinden je zwei der sechs Geraden g, des Punktes. Ausser diesen 30 e n t h ~ die Fl~i~he noch 40 einzelne Kegelschnitte~ die~ paarweise in 20 dreifach berfihrenden Ebenen liegen, sowie 20 paarweise conjugirte Schaaren cubischer Raumr dutch beide Punkte K~, wie aus der Abbildung auf ~' leicht sich ergiebt. Die Ebenen der ]2 Geraden g, schneiden die Fliiche/v4 in 12 Sehaaren yon Curven drifter Ordnung, die je einen der Punkte X 1 zum Doppel- punkte haben.

w Rationale Fl~ichen fihfftor and hithorer 0rdnung mit je einer Kegel-

schnittschaar und ebsnon Sclmittcurven vom 6eschlocht 3, 4 . . . . . n. 47. Bevor wir noeh andere Reihen rationaler Fl~ichen ableiten,

besprechen wir kurz die quadratisehen Transformationen, welche eine gerade Basis- oder Knotenlinie b haben*). DQrch diese Gerade b gehen alle Fl~ichen des ~'~-Gebfisches in 2~, jeder Punkt yon b ist ein Knotenpunkt der Transformation, und die mit b incidenten Geraden s sind fiauptstrahlen yon ~ und zu den entslarechenden Geraden s I yon 2~ projectiv (9.). Den Ebenen yon 2~ entsprechen (10.) i. A. cubische Regelfliichen in 2~ l. Die biquadratischen Raumcurven des Gebiisches zeffallen in die Knotenlinie b und je eine cubisehe Raumcurve, die b zur Sehne hat; diese Raumcurve kann ihrerseits zeffallen in eine Gerade s und einen mit s associirten Kegelschnitt, welche b treffen. Einem beliebigen Punkte yon 2~ sind ausser den Pankten yon b nur drei andere Punk~e associirt; das Gebtisch enth~lt alle Fl~chen zwei~er Ordnung, welehe die vier associirten Punkte mi~ b verbinden, unter ihnen abet vier Ebenenpaare.

48. Jeder Ebene ~ dutch b is~ demnadh eine Ebene ~' associirt, die mit ~ eine Fl~che des Gebfisehes bilde~. Dem Ebenenpaare ~r entspricht im Raume 2:1 eine Ebene r die zu ep collinear ist; denn den Geraden s in r die dutch irgend einen P~mk~ Q gehen, en~sprechen in ~ die Geraden S~ des homologen Punlr~es Q, (47.). Ein beliebiger zu b

*) Vgl. R. Kraase, fiber ein specietles Gebiisch yon Fltichen 2. O., Inaug.- Diss., Strassburg 1879~ Reye~ Geom. d. Lage~ 3. Aufl., III, S. 168.

136 'i'm ~Y~.

windschiefer Haupf~brahl yon 2~ sehneide~ die Fl~chen ~2 und Ebenen- paare ~0~" des Geb~isches in Punk~paaren einer Involution (7.). Fotglich beschreibt die Ebene ~0; wenn ~0 um b sieh dreht~ einen cubischen Ebenenbiischel~ der zu dem Bfischel b projectiv is~, und dessen Axen die zu b windschiefen tIauptstrahlen sind. Zugleich beschreibt die 8chnitfJinie der assoeiirten Ebenen ~0~ ~o" die Kernttiiche ~ 4 des Ge- bfi.sches~ die entsprechende Ebene ~ol abet beschreibt einen ra~ionalen biquadratischen Ebenenbtischel. Die zu b windschiefen Geraden 1 yon

schneiden den Btisehel b in projeetiven Punktreihen; die ihnen entspreehenden Kegelschni~te 11 yon 2~ t werden folglich dureh den biquadratisehen Bfischel der Ebenen ~l projectiv auf einander bezogen. Dieser Btischel wird erzeug~ dutch drei projective Kegelschnitte ti, die zu zweien zwei Punkte en~sprechend gemein haben.

49. Hat das ~'~-Geb~isch ausser den Pank~en yon b noch einen Knotenpunkt iP~ so ist die Ebene b P allen Ebenen einer Geraden q yon 2: associir~ und ihren dutch t) gehenden Geraden en~sprieht in 2~ 1 je ein Punkt einer Geraclen ~/1 (vgl. 11.). Der cubische Biischel der Ebenen ~" zerf'~llt dann in den Bfischel q erster und einen Bfischel zweffer Ordnung mi~ dem Mit~e]punkt t); der biquadra~ische B~sche] der Ebenen ~1 aber besteht aus dem Bfischel q~ erster und einem Biischel dri~er Ordnung. Die Geraden des Punktes P in 2~ werden dutch den Ebenenbfisehel b, die ihnen entsprechenden Geraden yon 2~ werden dutch den cubischen Biisehel der Ebenen ~ projectiv auf einander bezogen.

Komm~ zu P noeh ein Kno~enpunkt Q~ so is~ einer beliebigen Ebene rp der Kno~enlinie b eine Ebene ~" der Geraden PQ assoeiir~. Die en~spreehende ]~bene 91 yon ~l aber geht durch den Punkt, welcher der Geraden P Q entsprich~ (11.); sie beschreibt~ wenn rp um b sich dreht, einen Ebenenbiischel zweiter Ordnung.

Hat das ~'~-Gebtisch ausser den Punk~en yon b noch drei Knotem punk~e _P~ Q, ~ , so ist deren Ebene q~' allen Ebenen q~ der Kno~enlinie b associir~. Den Kegelschnit~en in ~' dutch P~ Q und ~ welche b ~effen~ entspricht~ in ~ je ein Pank~ einer Geraden b 1 , den Ebenen ~o der Knotenlinie b abet en~spreehen in 2~1 die Ebenen ~ol dieser Ge- raden bi in lOrojee~iver Weise. Die quadratische Transformation is~ in diesem Falle eindeutig umkehrbar, weil einem beliebigen Punk~ yon 2~ oder ~ nut ein Pnnkf in 271 resl o. 2~ entsprich~. Sie wird dar- gestellf dutch:

ey~ = x~x~, Oy~ ~-- x~x~, ey~ ~ x l (x~--x~) , ~y~ --~ x~(x~--x t ) ,

und zwar sind

( ~ x ~ - x ~ o ) , ( x ~ x ~ = ~ o ) nn~ (x~----~-~, ~-0)

Quadra~ische Transformat~onen und rationale Fl~chen. 137

die drei Knotenpunkte und ( x l~ - - - x~O)~ ( y l -~y2~-O) die Geraden b~ b~. Die Umkehrung dieser Subs~ution is~ yore dritten Grade~ n~mlich:

�9 x~ ~- YL(Y2Y3 - - Y4Y~), ~x2 ~ Y2(Y~Y3 - - Y4Y~), ~Y3 ~ YlY2(Y3--Y~),

Y4 = Yi Y2 (Yl - - Y 2 ) .

Diese Formeln hat schon Cayley angegeben*). 50. Die quadratischen Transformationen mi~ gerader Knotenlinie

b nun wenden wit an auf die biquadratische Fl~che F~�89 indem wir b mit deren Doppelgeraden zusammenfallen lassen und noch r ~ 0 , 1 , 2 , 3 Knotenpunkte :P auf _F4 annehmen. Die Fl~che /;'24 wird durch sie in eine rationale Fl~che 2'3s-" verwandelt so, dass jedem Kegelschnitt ihrer Schaar ein zu ihm collinearer Kegelschnitt auf /~3 s-~ entsprich~ (48 0. Die Ebenen der Kegelschnitte auf ~ - - ~ bilden einen rationalen Ebenenbfischel ( 4 - - ~ ' ) ter Ordnung (48., 49.). Die Fl~che 2'3s-r ist yon der ( 8 - r) TM Ordnung; sie ha~ n~.mlich 8 - r Punkte mit einer Ge- raden yon 2J I gemein, well ~,4 mit der entsprechenden cubischen Raumcurve yon 2~ (vgl. 47.) ausser zwei Doppelpunkten auf b und den r Punkten ~P nur 12 ~ 4 - - r ~ 8 - - r Punkte gemein hat.

51. Die ebenen Schnittlinien der Fl~chen ~ s - ~ sind i. A. yore Geschlecht drei. Ihnen en~sprechen n~mlich die Sch~ittlinien yon 2'~ mit den Fl~ichen des ~-Gebiisches, also Raumcurven sechster Ord- nung, abgesehen yon der Doppelgemden b; diese Raumcurven abet haben je eine Schaar yon viermal sie treffenden Geraden, werden also aus ihren Punkten dutch Kegel fiinfter Ordnung yore Geschlechte drei projicirt, die je eine dreifache Gerade haben. Die Doppelcurve yon

1 r ( 1 3 ~ r ) . Sie reducirt sich im .F3 s-~ ist yon der Ordnung 1 8 - - ~

F a l l e r ~---3 auf eine dreifache Gerade b~ dutch welche die Ebenen der Kegelschnittschaar yon ~ gehen (49.). Zugleich mit ~ t wird die Fl~iche _ F ~ auf der Ebene ~' abgebildet (vgl. 41.); ihren ebenen Schnitten entsprechen in ~' Curven filnfter Ordnung, die einen dreifachen Punkt ~ ' und 8 -~- r einfache Pankte ~P' gemein haben.**)

52. Die Fl~che ~ s - ~ enth~lt t6 -~- 2 r einfache Gerade, in welche 8 -~ - r Kegelschnitte der Schaar zeffallen. Von diesen Geraden entsprechen "16 den einfachen Geraden yon ~'~, und die 2 r fibrigen den r Punl~en ~ und den r Kegelschnitten yon /~'~t dutch je einen Punk~ ~P. u Kegelschnitte giebt es i. A. nicht auf /~a ~-', wohl abet 2~+ ~ cubische Raumcurven, die jeden Kege]schnitt der Schaar

�9 ) Proceedings of the London Math. Society, vol S, p. 171. Vgl. Cremona in den Annali di Maim., Serie II, t. 5, p. 148.

�9 *) Eine der Fl~chen F~ ~'-r, n~alich F~ ~ mit einer Doppelcurve 7. O., erwli~nt Caporali mi~ diese~ ihrer Abbildung in CoUectanea mat. p. 170.

138 TH. I~YE.

mad 8 Jr-r einfache Gerade der Fl~ehe ~reffen und dutch die Sehaar projeefiv auf einander bezogen werden. Von diesen cubischen Raum- curven werden 2 ~ 128 auf /724 dargestellt durch die 128 einzelnen Kegelschnitte (42.), welche b treffen; andere 128r dutch cubische Raumcurven~ die je einen der r PunkCe /9 enthalten und b zweimal

r (vgt. 40.); noeh 128 ~ andere dutch biquadratisehe Raum-

curven~ die je 2 P enthalten und b dreimal treffen; endlich~ wenn r ~ 3 ist, die tibrigen 128 dutch Raumcurven fiinfter Ordnung~ die alle 3 P enthalten und b viermal treffen. Auf/7s s--~ liegen 2z-~ Schaaxen rationaler biquadratiseher Raumcurven und 27-i r Netze yon rationalen Raumcurven ffinfter Ordnmag~ wie gleichfalls aus der Abbildung auf /724 sieh ergiebt, und auch diese Raumcurven werden dutch die Kegel- sehnitt,schaar projeetiv auf einander bezogen.

53. Die Fl~iche fiinfter Ordnung /735 insbesondere enth~ll eine dreifache Gerade bt, eine K.-Sehaar~ deren Ebenen dureh b I gehen~ und 22 mit b I incidente einfaehe Gerad% die paarweise eilf Kegel- schnitte der Sehaar bilden. Auf ihr liegen 21~ =-~ 1024 cubische Raum- curven, welche jeden Kegelscbnitt der Schaar und je 11 der 22 Ge- raden einmal~ die Gerade b 1 abet zweimal ~reffen; ferner 21~ Schaaren biquadratischer Raumeurven und 21~ Netze yon [~aumeurven ftinf~er Ordnung, die jeden Kegelschnitt der Sehaar und je 11 der 22 Geraden einmal und die Gexade b~ drei- resp. viermal treffen. Die F1Kche ~'3 ~ ist i. A. yon der 36 ~te" Classe, mad ebenso t'.~ s-~ (vgl. 35.).

54. Dic Fl~chen E24 und/7~ sind besondere F.~lle der rafionalen FiChe (n-~-2) ter Ordnung E : +~ mit einer n-fachen Geraden b und einer Kegelschnittschaar, deren Ebenen durch b gehen, und welche 3n -~- 2 paar einfache Gerade en~[ilt. Auf diese Fl~che wenden wir jetzt eine quadratische Transformation an, welche b zur Knotenlinie und r ~--- 0, 1, 2~ 3 Punk~e P der Fl~che zu Knotenpunkten hat. Dann verwandelt sich /7:+~ in eine rationale Fl~che /7~.~6-r, die mit einer beliebigen Geraden ~ @ 6 ~ r Punkte gemein hat. Denn der Geraden entspricht (47.) eine cubische Raumcurvc, die mit E~ +~ ausser den r Pmak~n P und zwei n-fachen Punkten auf b nut

Punkte gemein hat. Die ebenen Schnitte yon /7~+'~1 ~ sind i. A. yore Geschlecht n - ] -1 . Ihnen entsprechen n~mHch die Schnittlinien yon /7:+s mit den Ft~chen des _F 2- Gebfisches, also Ranmcurven (n-~-4) t~ 0rdnmag, da yon der n-fachen Geraden b abzusehen ist; jede dieser Raumcurven aber hat eine Schaar yon (~-[-2)-real sie schneidenden Geraden, wird also aus ihren Punk'~en dutch Kegel (nq-3) t~ Ordnung projicir~ die je eine (n~t-I)-faehe Gerade enthalten, mad ist wie diese

Quadrat~sche Tra~forma~ionen unet ra|$onalr FlY,hen. 1~9

Kegel yore Geschlecht n ~. 1. Die Fl~c~e F : ~ - ' enth~lt eine Kegel- schnittschaar mit $~ -~- 2 --~ r paar Geraden (vgl. 52.); die Ebenen der Schaar bilden einen ra~ionalen B~is~hel (4 - - r ) t~ Ordnung (48., 49.). Die Fl~iche F,~t.-~l insbesondere hat eine (n-}-t)-fache Gerade bl, eine K.-Schaar, deren Ebenen dutch b i gehen, und in der Schaar 3 (n-~ 1)-J~2 paar Gerade.

Jede der Fl~ehen 27'18, 2'~, F ~ 5 , . . . , ~ + ~ , F ~ ~, . . . l~.~st sieh also dureh quadratische Transformation aus der vorhergehenden ableiten, und sie alle sind rational*). Ausser ihnen aber erhalten wir flit

r ~ 0, 1, 2 die rationalen Fl~ehen F~-5-r , die keine n-fache Gerade,

sondern eine Doppeleurve wmder Ordnung ~ (n-~ 4 - - r) (n-~- 3 -- r) -- n

haben. 55. Noeh andere rationale Ft~ehen mit je einer Kegelschni~tschaar

ergeben sich dutch quadratische Transformation yon F'l~ehen n* ~ 0rd- nung mit zwei (n ~ 1)-faehen Punkten. Von der hierher gehSrigen speeiellen F1Kehe F~ 4 vierter Ordnung (46.) w~alen wit die beiden dreifaehen Punkte ~:~ die wir jetzt mit A und B bezeiehnen, und s ~ 0, 1, 2, 3, 4 einfache Ptlnkte 2 > zu Knotenpunkten der Transforma- tion. Dann geht 3~ ~ fiber in eine rationale Fl~che ~-~3 :~ yon der Ordnung 16 -- 2 . 3 ~ s ~- 10 ~ s (vgl. 50.), die eine K.-Schaar und darht 6-~-s paar Gerade enth~lt. Jedem Kegelschnitte der Schaar entsprieht auf ~2~ ein dutch A und t~ gehender Kegelsehnitt, den 6 -I- s paar Geraden abet entsprechen auf ~ die 6 paar Geraden dm,eh A und ~ (46.) uad die s Puakte ~ nebst den Kegelschnitten, die sie mi~ A und ~ verbinden, Die ebenen Sehnitte yon/~ ~o--~ sind i. A. yore Geschlecht drei; denn ihnen entsprechen die Schnitteur~en 8 ter Ordnung yon ~'~ mit deu Fl~ehen de~ F2.,Gebiiseh~s, diese Curven abet gehen je dreimal dutch A und t l , und werden aus A dareh Kegel ffinfter Ordnung projicir~, welehe A ~ zur dreifaeben Geraden haben, also yore Gesehleeh~ drei sind. Die Fl~iehe Fz ~~ hat demnaeh (vgh 35.) eine Doppellinie yon der 0rdnung:

( 9 ~ s ) ( 8 - - s ) - - 3 = 33 - - ~ ( 1 7 - - s ) s .

56. Der Doppelgeraden A ~ yon _Fe~ entsprieht ein ausgezeichneter Doppelpunkt C~ der Fl~ehe F xo-,; den eubisehen Tangentialkegeln ihrer dreifachen Punkte .4, ~B en~preehen auf ~s x~ zwei ebene Curven drifter Ordnung mit dem Doppelpunkt C~ (vgl. 9.). Die Fl~che Fzxo-* enthiilt ausser diezen zwei ebenen noeh 32. "2' ~ 2 ~- 2 ~'~ - - 2 Raum-

*) Dass die FIRche n ~r Ordnung mi~ einer n - 2-fachen Geraden eindeu~g auf der Ebene abgebilde~ werden kann~ ha~ schon Herr Noether (in diesea A ~ l e n Bd. 3~ S. 175) bewiesen.

140 Tm Rs~.

curven drifter Ordnung. Und zwar entsprechen 30 dieser Raumcurven den 30 einzelnen Kegelschnitten auf .F~ ~ dutch A und ~B (46.), andere 32s den 20s cubischen Raumcurven dutch A, :B und je einen Punkt P und den 12s ebenen Curven drifter Ordnung dutch A oder ~ und je

1 einen P .(46.); noch anderen 3 2 . ~ s ( s ~ l ) en~sprechen auf 2'~ bi-

quadrat~sche Raumcurven dutch A, B und je 2/~, die A oder/~ zum Doppelpunkte haben; u. s. w. Alle diese ~ rationalen cubischen Curven auf ~ o - ~ werden dutch die K.-Schaar der Fl~che projectiv so auf einander bezogen, dass sie ihre Schnit~punkte entsprechend gemein haben (vgl. 97.). Jede yon ihnen t r o t alle Kegelschni~e und die H~lfte der 12- ] -2s Geraden der Fl~che. Die Ebenen der K.-Schaar abet bilden einen Btischel ( 6 ~ s ) t~ 0rdnung; denn sie werden erzeugt dutch drei der projectiven cubischen Curven, die zu zweien 3-~-s Punkte gemein haben (vgl. 39.).

57. Wit erhalten demnach~ wenn s ~ 0 die rationalen FIRchen (10~s) t~r Ordnung: E3 i~ mit Doppelcurven yon der resp. Ordnung: 33 Anzahl ihrer einfachen Geraden: 12 Anzahl ihrer rationalen eubischen Curven: 32

1 2 3 4 ,

25 18 12 7; 14 16 18 20; 64 128 256 512;

5 4 3 2. Ordnung des ]~benenbfischels ihrer K.-Schaar: 6 Die Zahlen der letzten drei Spalten gelten zagleich fiir die frtiher

(50.) abgeleiteten Fl~chen ~38--~ in den F'~lIen r ~ 0, 1, 2. Diese drei Fl~chen 2Ps s-r sind etwas allgemeiner als die Fl~chen ~'3 l~ for s ~--- 2~ 3, 4; denn unter ihren 27-~ rationalen cubischen Curven kommen i. A. keine ebenen vor, wie bei /e31~ F t i r r ~ 3 kommt hinzu die Fl~che f'tinfter Ordnung •35 mit einer dreifachen und 22 einfachen Gersden (53.).

Projiciren wit die Fl~he /~4 aus ihrem dreifachen Punkte A auf eine Ebene ~, so wird zugleich mit ihr die Fr~J~e/~3 ~ ~ auf ~" abgebilde~. Den ebenen Schnitten yon ~1o-~ en~sprechen in ~' Curven ffinfter Ordnung, die einen dreifachen Punkt J~" und 6-~-s einfache Punl~e P" gemein haben (55.)~ trod zwar sind B" und s tier Punkte _P' die Projec~ionen yon B und den s Kn0t~npunkten iP~ und die iibrigen 6:P' sind die Spuren der 6 einfachen Geraden yon ~24, die durch A gehen (46.).

58. Wie aus tier speciellen F~ 4 die Fl~che F31~ , so kann aus einer Fl~.che nt~ Ordnung ~'~_~ mit zwei ( n ~ 1)-fachen Punk~en A, :B eine rationale Fl~che (2n -~ 2 ~ s) t~ Ordnung abgeleitet werden (s ~ 0, 1, 2, 3~ 4), die eine Kegelschni~tschaar und darin 2(n - - 1) -~- s paar Gemde enth~lt, and deren ebene Schnitte i. A. yore Geschlecht

- - 1 sin& Diese Fl~he l~sst sich dureh Projection yon ~ _ ~ aus dem Pun l~ A so auf der Ebene ~" abbilden, dass ihre ebenen Schnitte

Quadrat~ische Transforma~ionen und rationale Fl~i~hen. 141

dargestellt werden dure, h Curven (n-~- 1) t~ Ordnung, die einen (n - - l.)- fachen Punkt B" und 2 ( n - - 1 ) - ~ - s einfaehe Punkte :P~ gemein haben. Die Fl~che hat einen n---2-fachen Punk~ C 1, weleher der Geraden A ~ entsprich~, und e n ~ l t 2~-s+ ' ratdonale Curven (n.-- 1)~ ~ Ordnung, darunter zwei ebene Carven, die C~ zum (n--2)-fachen Punkte haben. Dutch die K.-Schaar der Fl~iche werden diese rationalen Curven projectiv auf einander bezogen. Die Ebenen der Schaar bilden einen Biischel (~ -[- 2 -- s) t~r Ordnung.

Mit dem .F2-Gebtisch sind auch alle yon uns abgeleiteten rationalen Fls der synthetischen Geometrie zug~inglieh, da die projective Beziehung des (]ebtisches auf den Ebenenraum und damit die quadratische Transformation rein geome~risch herges~llt werden kann.

S t r a s s b u r g ~ den 4. Mai 1896.

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Ueber quadratische Transformationen und rationale Flächen mit Kegelschnittschaaren