KRULL, W. Math. Zeitschr. Bd. 65, S. 76--90 (t956)

i)ber reelle Radikalk~irper Von

WOLFGANG KRULL

Die bier behandel ten Probleme gehSren zwar ihrer Na tu r nach in dell Rahmen der , ,e lementaren" bzw. ,,klassischen" Algebra, sie scheinen mir aber aus den folgenden Grt inden bemerkenswert :

t . W/ihrend m a n mi t Hilfe der Galoisschen Theorie die Radikalk6rper schlechthin in allgemein bekann te r Weise v611ig befr iedigend charakterisieren kann, findet sich tiber reelle Radikalk6rper (in Zukunf t kurz r .R.-K6rper) 1) in der algebraischen Lehrbuchl i teratur , im al lgemeinen nicht viel mehr als der folgende p-Konjugiertensatz: Ist der Grad des r .R . -K6rpers ~ tiber seinem Grundk6rper ~0 eine Pr imzahl p 4= 2, so sind alle echten Konjugier tenk6rper von ~ tiber ~0 komplexZ) �9 Indessen ist es, wie in w 2 gezeigt wird, leicht m6g- lich, die Klasse der r .R . -K6rper yon Pr imzahlgrad genau zu charakterisieren, und man st613t dabei auf zwei bemerkenswerte, meines Wissens bisher nicht

beachtete Tatsachen 8) : a) Die Gaul3schen Primzahlen, also die von der Form 2" + t, nehmen eine

Sonderstel lung ein. Nur bei ihnen liegen die Verh~iltnisse so einfach, wie ma n bei einer voreiligen Verallgemeinerung der bei den K6rpern d r i t t en Grades gemachten Erfahrungen allgemein erwarten k6nnte.

b) Will man bei einer nicht-Gaul3schen Pr imzahl p eine hinreichende Kennze ichnung ftir die r .R . -K6rper p- ten Grades erhalten, so mul3 man eine numerische Inva r i an te heranziehen, die un te r zahlentheoret ischen Gesichts- punk t en yon KUMMER bei der Entwick lung der Theorie der nach ihm b e n a n n t e n K6rper eingeftihrt wurde. Das heil3t abet, ma n mul3 in gewissem Sinne den

1) Unter einem reellen 1Radikalk6rper (fiber dem Grundk6rper .~0) verstehen wir einen K6rper, der aus dem im fiblichen Sinne reellen K6rper ~0 dutch Adjunktion einer reellen Radikalgr6i3e entsteht, wobei die reelle Radikalgr6i3e ihrerseits dadurch ausgezeichnet ist, dab zu ihrer Bildung aui3er den Elementen yon ~0 nur reelle Nullstellen reeller bino- mischer Gleichungen benutzt Werden. Vgl. im fibrigen die exakten Definitionen am Anfang yon w 1.

2) Ein echt konjugierter K6rper yon ~ ist natfirlieh ein zu ~ (fiber ~0) konjugierter K6rper ~'=~ ~. Gew6hnlich erscheint der p-Konjugiertensatz in der Form: Ist eine Nullstelle 0r des fiber dem reellen K6rper ~0 irreduziblen Polynoms P (x) yore Primzahl- grade p =I= 2 eine reelle Radikalgr6Be, so sind alle anderen Nuilstellen yon p (x) komplex. -- Abet es zeigt sich bei weitergehenden Untersuchungen, dab man in der Theorie derr. tZ.- K6rper zweckm~l~ig nut mit K6rpern und ihren Isomorphismen und Automorphismen, nicht aber mit den erzeugenden Polynomen und definierenden Gleiehungen der K6rper arbeitet.

8) Den Inhalt -con w 2 habe ich in den letzten 6 Jahren 6fters in Vorlesungen und Seminaren behandelt, du sich hier elne ausgezeiehnete M6glichkeit bietet, den Anf~nger an einem historisch interessanten nichttrivialem Problem in die Anwendung der Galois- schen Theorie einzuffihren.

~ber reelle Radikalk6rper 77

Rahmen der klassischen Galoisschen Theorie tiberschreiten, - - bei einem Problem, das letztell Endes vom ,,casus irreducibilis" der Gleichungei1 dritten Grades, also aus dem Gedankenkreis CARDANOs herstammt.

2. Es liegt ~ui3erst nahe zu fragen : Gibt es eine sinnvolle Verallgemeillerung des fundamentalell p-Konjugiertensatzes auf reelle Radikalk6rper beliebigen Grades 4) ? Hier ist das wichtigste Ergebn.is die Erkenntnis, dab nur durch eine ganz neue Begriffsbildung eine befriedigende Antwort gewonnen werden kann. Die Untersuchung beliebiger r .R.-K6rper ist vor allem deshalb schwierig, weil diese K6rper in der Regel nicht tiber ihrem Grulldk6rper ~0 normal sind. Um trotzdem vorw~rts zu kommen, mul3 mall beachtell, dab jeder tiber ~o llormale K6rper ~ einen eilldeutig best immten (mengentheo- retisch), maximalen r .R.-K6rper enth~lt. Beschr~nkt man sich auf maximale r .R.-K6rper, so kommt man zu einfachen und in ihrer pr~zisen Form be- friedigellden S~tzell, zu denen es, wie durch Beispiele gezeigt werden kann, bei beliebigen r .R.-K6rpern kein Gegensttick gibt. Zun~chst zeigt man leicht: Zu jedem maximalen r .R.-K6rper ~ existiert eine K6rperkette

bei der die Relativgrade [ ~ : ~ - 1 ] s~mtlich Primzahlell sin& Mit Hilfe dieses Satzes und der Theorie der r .R.-K6rper vom Primzahlgrad gelingt dalln welter dutch eillen etwas mtihsamen Induktiollsschlul3 die gewtinschte Ver- allgemeinerung des .p-Kolljugiertensatzes in der folgenden Form: Die zu einem maximalen r. R.-K6rper echt konjugierten K6rper sind alle komplex. - - Die Anzahl der Automorphismen eines maximalen r .R.-K6rpers ist stets eine Potenz yon 2.

3. Die Erkenntnis yon der Sonderstellung der maximalen r .R.-K6rper zeigt einen Weg, auf dem vielleicht das - - sicher schwierige - - Problem der Charakterisierung aller r .R.-K6rper ohne Gradbeschr~nkung erfolgreich an- gegriffen werden kann. Man wird voraussichtlich in erster Linie zu fragen haben: Welche Eigellschaften mul3 ein Normalk6rper ~ besitzell, wenn er der kleinste Normalk6rper sein soll, der den in ibm steckenden maximalen r. R.-K6rper umfal3t ? -- (In der vorliegenden Arbeit, in der der Konjugierten- satz ftir maximale r .R.-K6rper das Hauptergebnis ist, gehen wir auf dieses Problem llicht n~her ein.)

w Grundeigenschaffen reellef Radikalk6rper Alle auftretendell K6rper sollell ill den GauBschen K6rper aller komplexen

Zahlen eingebettet sein. Das Wort ,,reeller K6rper" hat also den klassischen Sillll, nicht dell formalell roll ARTIN ulld VAN DER WAERDEN s). Wir st~tzell uns auf dell folgenden wohlbekannten

4) Dabei ist nur an solche Stttze gedacht, die eine ~hnlich scharfe Eindeutigkeitsaus- sage enthalten wie der Konjugiertensatz selbst.

s) Allerdings k6nnte man start des K6rpers aller gew6hnlichen reellen bzw. aller komplexen Zahlen einen beliebigen geordneten, reell abgeschlossenen K6rper P bzw. den zugeh6rigen algebraisch abgeschlossenen K6rper P* w~hlen, ausschlielMich Unter-

78 WOLFGANG KRULL :

Hil[ssatz 1. a) Ist xP-- a (a E ~) ein giber dem Kdrper ~ irreduzibles Binom, und wird x p - a giber dem Kdrper ~ ) ~ reduzibel, so enthiilt ~ mindestens eine Nullstelle yon x p - a, es zerJiillt also speziell x p - a ]gir p = 2 giber ~ in Linear- ]aktoren. b) Sind ~ und ~ reell, so enthdlt ~ im Falle der Reduzibilitdt yon x p - a (p ~ 2) genau eine N'ullstelle von x ~ - a, ngmlich die einzige reelle.

Wir nennen ~ einen eigentlichen R-Kdrper (Radikalk6rper) fiber ~o( ~', wenn eine K6rperkette ~i = ~,-1 (c~) (i = t . . . . . m; ~ = ~) existiert, bei der ~i, jeweils Nullstelle eines tiber ~i-1 irreduzibeln Binoms x p~-a i (a i C ~i-1) vom Primzahlgrade Pi ist. Sind ~o und alle er also auch ~, reell, so wird ~ als eigentlicher r.R.-Kdrper (reeller Radikalk6rper) fiber ~0 bezeichnet. Wo einer Untersuchungsreihe ein fester Ausgangsk6rper ~0 zugrunde liegt, wird ,,tiber ~0" weggelassen. Ein R.-K6rper bzw. r.R.-Kdrper (fiber ~0) schlechthin ist jeder (~0 enthaltende) Unterk6rper eines eigentlichen R.-K6rpers bzw. eigent- lichen r.R.-K6rpers. Jedes Element eines R.-K6rpers bzw. r.R.-K6rpers heigt Radikalgr6fle bzw. reelle Radikalgr~fle fiber ~o. Eine erzeugende Radikal- kette des R.-K6rpers ~ fiber ~o ist eine Kette yon der Art, wie sie bei der Definition yon ~ benutzt wurde.

Satz 1. a) Ist ~ (eigentlicher) r.R.-Kdrper giber ~o, so ist es ~ auch giber jedem Kdrper ~o zwischen ~o und ~. b) Der Vereinigungskdrper ~ . ~ zweier (eigentlicher) r.R.-K6rper giber ~o ist selbst ein (eigentlicher) r.R.-KSrper giber ~o. c) Ist ~ dn (eigentlicher) r.R.-KSrper giber ~o, ~ ein (eigentlicher) r.R.-K6rper giber ~, so ist ~ auch ein (eigentlicher) r.R.-K8rper giber ~o.

a) und b) gelten ohne ,,eigentlich" trivialerweise, wenn sie mit ,,eigentlich" richtig sind. Um sie fiir eigentliche r.R.-K6rper zu beweisen, sei cq . . . . . ~ bzw. fl~ . . . . . fl~ eine erzeugende Radikalkette yon ~ bzw. g fiber ~o- Dann folgt leicht aus Hilfssatz ~, vor allem t b): a) Nach Weglassung aller der ei bei denen x~--a; tiber ~o" ~(cq . . . . . e~_~) reduzibel wird, wird die fibrig- bleibende Kette ei~, . . . . e~ eine erzeugende Radikalkette yon ~ fiber ~o! b) LN3t man die fl~ weg, ftir die x f - b~ tiber ~ �9 ~o (fl~ . . . . . fl~_~) reduzibel ist, so stellt die mit den tibrigbleibenden/5 gebildete Kette cq, . . . , ~ , fl~, . . . . fl~, eine erzeugende Radikalkette yon ~ . g fiber ~o dar. c) Behauptung c) ist nach Definition bei eigentlichen r.R.-K6rpern trivial. Im allgemeinen Fall gibt es sicher einen fiber ~o bzw. ~ eigentlichen r.R.-K6rper ~*__)~ bzw. g*~g , Nach a) ist ~* und nach b) auch ~* .g* eigentlicher r.R.-K6rper fiber ~. Nach a) folgt weiter, dab ~*. g* auch eigentlicher r.R.-K6rper fiber ~* sein mug, und da ~* seinerseits eigentlicher r.R.-K6rper tiber ~o, stellt ~* . g*~ g einen eigentlichen r.R.-K6rper fiber ~o dar.

k6rper yon P* be t rachten und die Elemente VOlt P a u f Grund der gegebeneI10rdnung als reell auszeichnen. Aber diese VerMlgemeinerung ist offenbar uninteressant . Der entscheideltde Punk t isf der, dab wir -- zum miltdesten dann, wenn unertrgglich lang- wierige Konjugier tenbet rachtungen vermieden werden sollen -- nicht allein yon eiltem reellen, d .h . ffir uns geordneten, Grundk6rper ~o ausgehen k6nnen. Wi t mtissen auch yon jedem auf t re tenden OberkOrper ~ yon ~0 yon vornherein wissen, ob er reell (also in For t se tzung der Ordllung yon ~0 geordnet) ist oder nicht.

?~ber reelle Rad ika lk6 rpe r 79

Um die Bedeutung yon Satz 1 zu wtirdigen, beachte man: Sind ~ und eigentliche R-KSrper i~ber ~o, so braucht ~ . ~ kein eigentlicher R-KSrper i~ber ~o

zu sein. Es sei etwa e = e x p 2=i eine siebte Einheitswurzei, ~o der K6rper 7

der rationalen Zahlen, ~ und g ' = e . ~ Nullstellen yon x 7 - 2. Dann sind zwar ~ -=-- ~o (~) und ~ = ~o (~'), nicht abet ~ �9 ~ ----- ~o (~, ~') eigentliche R-KSrper tiber ~o- Denn wir haben ~ . ~ = ~o (a, e), es ist ~ . ~ = 92 fiber ~o normal, und es gilt die Gradgleichung [92:~o] = 6 . W~ire also 92 ein eigentlicher R-KSrper fiber ~o, so mtiBte in einer erzeugenden Radikalkette ~1, ~2, ~3 ein ai auftreten, das tiber ~o(~1 . . . . . gi-1) Nullstelle eines Binoms x3--ai

w~tre. Wegen seiner Normalit~it mfiBte dann 92 auch exp 2 = i enthalten, 3

was nicht zutrifft. - - Der Satz, dal3 ~ . ~ ein R-KSrper tiber ~o sein mul3, wenn es ~ und B sind, ist zwar richtig, aber sein Beweis ist wesentlich um- st~indlicher als der yon Satz t b). Man mul3, da Hilfssatz I b) nicht benutzt werden kann, ztt mindesten einen neuen Hilfsbegriff einffihren, n~imlich den der ,,normierten Radikalketten"6). Aus Satz I b) folgt sofort: In jedem KSrper ~J~ ) ~o gibt es einen gr613ten r .R.-KSrper ~, n~mlich den VereinigungskSrper aller der ~ ' __( ~ , die r .R.-KSrper fiber ~o sind7) �9 Wit wollen nun ~ als einen maximalen r.R.-KSrper i~ber ~o bezeichnen, wenn ~ der grSl3te r .R.-KSrper in dem zu ~ tiber ~o gehSrigen NormalkSrper 92 (also in dem kleinsten, ~ um- fassenden tiber ~o normalen KSrper 92) ist. Neben Satz ~a) tr i t t dann erg~tnzend:

Satz la ' ) . Ist ~ maximaler r.R.-Kgrper iiber ~o, so ist es ~ auch i~ber ]'edem Kgrper ~'o zwischen ~o und ~.

Ist n~mlich 92 bzw. 92' der zu ~ fiber ~o bzw. ~o geh6rige NormalkSrper, so ist jedenfalls 92'=(92. Is t ferner ~=(92' r .R.-KSrper tiber ~o, so ist es auch tiber ~o [nach Satz ~c)], und aus ~_(_92 folgt ~ .

Satz 2. Ist ~ ein maximaler r. R.-K6rper i~ber ~o, so gibt es stets eine KSrper- kette ~o ~ ~ ( " " ( ~ = ~, bei der ~ : ~ _ ~ = p~ Primzahl (i = ~ . . . . . n).

Wegen Satz ~ a') gentigt es offenbar, zu zeigen : Es gibt einen K6rper ~1 ~ bei dem [~ :~o] = P Primzahl. Es sei 92 der zu ~ fiber ~o gehSrige Normal- kSrper, ~*=)~ ein eigentlicher r .R. -KSrper tiber ~o. Ferner sei ~1 . . . . . ~, eine erzeugende Radikalkette von ~* fiber ~o, und es sei/" so bestimmt, dab

"~ 92 = ~o, ~ (~j) c~ 92 ) ~o mit ~ = ~o (r . . . . . ~]--1)" Dann hat ~ (~]),~ 92 = ~ tiber ~o den gleichen Primzahlgrad wie ~(~]) tiber ~; ist etwa n~tmlich ~ = ~o(/5) und p (x) das fiber ~ irreduzible Polynom mit der Nullstelle /~, so mu{3 p (x) wegen der Normalit~t yon 92 und ~ c~ 92 = ~o auch tiber ~ irreduzibel

8) Zu den no rmi e r t en R a d i k a l k e t t e n vgl. e twa O. HAUPT, L e h r b u c h der Algebra, B a n d I I (2. Aufl. 1953). Mit zu s chwerem Geschi i tz schiei3en, hieBe es, wenn m a n bier den Satz yon der g ruppen t heo re t i s chen Charak te r i s i e rung der no rma len Rad ika lk6rpe r he ranz iehen wiirde.

7) Wir besch r~nken u n s s t i l l schweigend auf endl iche E rwe i t e rungen des gegebenen GrundkSrpe r s ~o, da auch der Begriff d e r r . R . -KSrpe r n u t fiir endl iche Oberk6rper yon ~o eingef t ihr t wurde .

80 WoL~aAsa K~U~L :

sein. ~1 ist als Unterk6rper von ~* ein r .R.-K6rper fiber fro und aus der Maximalit~it yon ff folgt ~1-(_ ~.

DaB bei Satz 2 auf die Maximalit~it yon ~ fiber ~o nicht verzichtet werden kann, zeigt das Beispiel eines Polynoms vierten Grades p ( x ) = ( x - ~1)" (x- -e2) . ( x - - ~ ) . (x--~a) fiber dem K6rper ~o der rationalen Zahlen mit zwei reellen und zwei konjugiert komplexen Nullstellen cq, c% bzw. ~3, ~4, dessen Gruppe die symmetrische ist. Hier hat die t~bliche kubische Resolvente eine reelle Nullstelle 71 = (~ ~176 2 = fie (ill > 0) und zwei konjugiert komplexe Nullstellen ~2, Ya. Nach CARDANO ist also ~o (~1) ein r .R.-K6rper fiber ~o, und das gleiche gilt ffir ~o (gl, c%) ; denn ~o (~1, t l) bzw. ~o (cq, ~2) ist reell quadratiseh fiber ~o (~1) bzw. ~o (~1,11). -- Mit ~o (~1, c~2) ist auch ~o(~1) ein r .R.-K6rper fiber ~o. Aber man hat [~o (el):~o] = 4 u n d e s l~il3t sich zwisehen ~o und ~o (~1) kein echter Zwischenk6rper einschieben.

Beachtet man, dab ein analoger Satz zu Satz 2 ftir jeden fiber ~o normalen metazyklischen K6rper gilt, w~hrend er fiir die Unterk6rper yon metazykli- schen NormalkSrpern nicht immer richtig ist, so erkennt man: Die Maximalitdt ist bei den r.R.-K6rpern ein gewisser Ersatz/i~r die Normalitiit. (Auf normale r. R.-K6rper k6nnen wir uns nicht beschr~nken. Denn Hilfssatz 2 yon w 2 zeigt, dab ein r. R.-K6rper ~ nur dann t~ber ~o normal sein kann, wenn [~: ~o] = 2~.)

w Reelle Radikalk6rper yon Primz&hlgrad

Hil/ssatz ~. Is~ ~ r.R.-K&per i~ber ~o und [~: ~ol = P 4 = 2 eine Primzahl, so sind alle echt Kon{ugierten von ~ iiber ~o komplex.

HiIJssatz 8. Ein reeller Abelscher Oberk6rper des reellen K6rflers ~o yon ungeradem Grad ist niemals r.R.-Ki~rper ~ber ~o.

Hilfssatz 2, der p-Konjugiertensatz der Einleitung, ist wohlbekannt. Hilfs- satz 3 ist eine triviale Folgerung aus Hilfssatz 2. (Man beachte: Jeder Abelsche Oberk6rper von ~o entMlt einen zyklischen Oberk6rper mit [,~: ~ol = P.) -- Es sei ietzt ~ = ~ o ( e ) ein fester K6rper von ungeradem Primzahlgrad p fiber dem festen reellen Ausgangsk6rper ~o; P (~)=(X--mo) . . . (x--~#_l). Sei das fiber ~o irreduzible Polynom mit der reellen Ntillstelle ~ = c%, und es seien ~x . . . . . ~_~ komplex. ~t----~o(% . . . . . ~ -1) sei der zu ~ tiber ~o geh6rige metazyklisch angenommene Normalk6rper. Dann ist ~ sicher nicht zyklis.ch fiber ~o. Nach der bekannten Theorie der metazyklischen Glei- chungen yon Primzahlgrad entb~ilt ~lt einen tiber ~o zyklischen Unterk6rper ~, bei dem t = [~ : ~o] ein Teiler yon p -- 1, und ffir den ~ = ~ . ~o (~) -= ~" ~o (~) (i = 0 . . . . . p -- t ; [gt: ~] = ib) gilt. Stellen wir die nieht-Abelsche Galoisgruppe G(gt: ~o) als Permutationsgruppe in den passend numerierten ~i dar, und setzen wir wie t~blich ~ =c~,, wenn k ~ k'(p), so besitzt G (~: ~o) wie bekannt als Erzeugende die beiden Antomorphismen Z ~ {cq--~e~+l} und A ~ {c~-+~s. ~} ; dabei i s t s die kleinste positive Zahl mit den Eigenschaften s ~ - ~ ~ (p) und s ~= t (p). Der Invariantenk6rper yon Z bzw. A ist ~ bzw. ~o(~o)= ~. Der durch A induzierte Automorphismus A o von ~ erzeugt die Gruppe G(~:~o). Ist [~:~o] = t = 2 ~ . t 1, t~----2 (p), so besitzt ~ fiber ~o eine direkte Zerlegung

t3ber reelle Radika lk6rper 81

= 8g" 8 , ; [Sg: Eo] ----- 2", [ ~ : Eo] = tl. In entsprechender Weise l~13t sich der t 2 ~ i / direkt zerlegen: ~ = ~g. ~,; tiber Eo zyklische K6rper Eo (e) = ~ ~e = e x p - y j

E~g:~o]=2 r~', [~ , :Eo]= t [ ( t i l l ( p ) , p - - t ~ 0 ( t [ ) ) . Dabei sind ~ , und @~ reell; die M6glichkeiten 8 , = Eo, ~, = ~o sind nicht ausgeschlossen, w/ihrend sicher ~g und ~g komplex; also yon Eo verschieden sind.

Satz 8. Ist ~ = Eo(OC) ein r.R.-K6rpel, i~ber ~o, so gibt es einen reellen QuadratwurzelkorPer ~o iiber ~oS), derart daft ~'----~. ~o = ~o (e, ce); [~': ~o] = 2pt~ (tl ~ 1 (p)).

Den Beweis zerlegen wir in zwei Hauptabschnitte: a) Es ist 8~ = ~ . Es sei ~* ein eigentlicher r.R.-K6rper tiber ~o, der ~o (a) enth/ilt; f l . . . . . f , sei eine erzeugende Radikalkette yon ~* und es sei p (x) tiber ~ ~ ~ (fx . . . . . fi-x) irreduzibel, tiber g(fj) reduzibel. Dann mug nach einer bekannten Verall- gemeinerung yon Hilfssatz t eine Nullstelle yon p (x) in g (fi) liegen~) , und das kann aus Realit/itsgrtinden nur ~ sein. Welter ergibt sich sofort:

(f,.) = ~ (~), [~ (or :~] = p. Der zu ~ (~) = ~ (fi) tiber ~ gehSrige Normal- k6rper ~e ist einerseits gleich ~ �9 g, andererseits gleich g (e). Daraus folgt 2". t~.p--=0 ([~R. g:~]) , 2 'w. t ~ . # = 0 ( [ ~ , g:~]). Ftir den tiber ~o Abel- schen, reellen K6rper 8 , " ~ haben wit t~. t [ ~ 0 ([8,," ~:Ro]) . Nach Hilfs- satz 3 ergibt sich daraus g ~ ~ . ~ = Round damit [~- g:Ro] ----0 ([8,. ~ :~o] ) . Da nun [8~ �9 ~,:~e] durch das kleinste gemeinschaftliche Vielfache yon tx, t[ teilbar und t~. t[ zu 2p teilerfremd ist, sind die ftir [~ . g :g ] gefundenen Bedingungen nut dann miteinander ve~tr/iglich, wenn [8,:Ro] = [~,:Ro] =

b) E~ sei ~'o ~ '~ te r ~eener Unterk~per vo~ 3," *g. Da~n ist [8," ~ : ~'o] = wegen der Normalit/it yon ~o tiber dem reellen K6rper ~o, und da ~o fiber ~o Abelsch und reell, existiert fiir ~ tiber ~o eine erzeugende Radikalkette ~z . . . . . ~m, bei der [~o(ex . . . . . ~):~o(0~ . . . . . . 0~_~)] = 2 ( i = t . . . . . m). Von den komplexen K6rpern 8g, ~g ist keiner in ~o enthalten; es ist also 8g" ~ = ~g" ~ o - ~ g " ~g- -- Wir haben jetzt unter Berticksichtigung von ~ = 8 , :

~ ~o(~o). 3 = ~o. ~ = ~', ~o(,, ~) =c ~,; 8 ~ ~o(,) = ~o. e, ~ =c ~o (~, ~), ~ ' : ~o (e, or SchlieBlich ist [~R': ~o] = [~': ~o (e)]. [~o (e) :~o] = p- [~o (e) :~o] ;

= E~o- ~ " :~g: ~ " ~o] = [~o' ~g: ~o] -- [Sg" ~g: ~o] -- 2, also [~': ~o] = 2p t~.

s) Also e in reeller Oberk6rper ~ yon ~o, zu dem eixle Ke t t e ~o ( ~1 ( "'" ( ~m ~ ~ mi t [~i: ~ i -~ ] = 2 (i = ~ . . . . . m) exist iert , so dal3 j ewefls ~ i = ~ i - x (V~i) (ai ~ ~ i -~ , ai > 0). Man beachte : a) Ein r ee l l e r Quadra twurze lk6rper ~ fiber ~o ist s te ts ein r . Q . - K 6 r p e r fiber ~o mi t [~ :~o] = 2m; abe t ein r . R . - K 6 r p e r ~ mi t [~ :~o] ~ 2m braueh t nieh• immer ein reeller Quadra twurze lk6rper fiber ~o zu sein (vgl. das im AnschluB an Satz 2 yon w t angegebene Beispiel). b) Ein maximale r r . R . - K 6 r p e r ~ mi t [~: ~o] ----- 2"~ ist nach Satz 2 s te ts ein reeller Quadratwurzelk6rper . c) Ein reeller Quadra twurzelk6rper fiber ~o kann auch charakter is ier t werden, als ein reeller Unte rk6rper eines Normaloberk6rpers von ~o, bei dem [~ :~o ] = 2n. (Unsehwer einzusehen, wenn m a n beaehte t , dab bei e inem ~ mi t [~ :~o ] ~ 2n wegen der Hyperauf l6sbarke i t der Gruppe zu j edem Unte r - k6rper ~ eine K e t t e ~a ( ~1 ( "'" ( ~m = ~ mi t [ ~ i : ~ i _ i ] = 2 existiert .)

a) Folg t aus der Tatsache, dab jede in t rans i t ive U n t e r g l u p p e yon G ( ~ : ~ o } min- des tens ein cq fas t lassen muB.

Mathematische Zeitschrift. Dd. 65 6

'8 9~ WOLFGANG KRIILL:

92' baut sich fiber ~'o nach dem gleichen Schema auf wie 92 fiber ~o. Der wesentliche Unterschied ist nur der, dab an Stelle yon 3 der K6rper 3 ' = ~o (~) tritt, und dab [3' : ~o] = 2 tl, s tat t E3 : ~o] = 2'~" tl gilt. Wir betrachten nun unter Weglassung der ' und unter vorl~ufigem Verzicht auf die Gradbedingung allgemein den Fall, dab 92---- ~o (~)" 3 = ~o (e, ~), 3 = ~o (e) wird. Um bier eine notwendige und hinreichende Bedingung daffir zu erhalten, dab ~o(~) einen r.R.-K6rper tiber ~o darstellt, ffihren wir eine Zahlinvariante k yon 92 fiber ~o ein, die aus historischen Grfinden als die Kummersche Invariante bezeichnet werden kannl~ Da 92 fiber 3 zyklisch ist und e in ~ liegt, gibt es ffir 92 fiber S ein erzeugendes Binom x p - b (b E ~), es wird also 92 = ~ (fl), flP=b. Bilden wit flA mit dem oben eingeffihrten Automorphismus A, so mug wegen der Normalit~t Yon ~ fiber ~0 aueh 92=~(/5 A) werden, und daraus folgt eine leichte Rechnung flA =C. f lh (t ~ k ~ p - - t ) in 92, also b A~ c t'. fl~ (c E 3) in ~. Der Exponent k, yon dem man mtihelos zeigt, dab er nicht v o n d e r speziellen Wahl von b, sondern nur von 92 und ~o abh~ingt, ist die Kummersche Invariante yon ~ = ~0 (~, e) fiber ~0. Aus der Definition yon k folgt sofort:

Ist ~'o ) ~ o und ~o ~ 92 = ~o, so hat 92'= Wo " 92 = Wo (~, e) aber Wo dieselbe Kummersche Invariante k wie ~ i~ber ~o.

Man beachte: Wegen 92 ~ ~'o - ~o sind die Gruppen G (92: Ro) und G (92' : Ro) isomorph und es ist die A zugeordnete Fortsetzung A' yon A auf 92' ffir die

t Berechnung der Kummerschen Invariante k bei ~' , ~o genau so brauchbar wie A bei 92, ~o. Ist ferner 92 = 3 (fl), f i r= b C ~, so ist fft '=3'(fl ' ) ( ~ ' = 3 " Wo) und aus fl = c . flA= C . fla', C C ~ C= 3' folgt sofort die Behauptung.

Satz 4. a) Hat 92 = ~o (o~, e) i~ber ~o die Kummersche Invariante k----1, so ist ~o (~) eigentlicher r .R.-Kdrper i~ber ~o. b) Ist 92 = ~o(~, ~), ~92: ~o] = 2p t~ (t I - - t (2)) und ist ~o (~) r .R.-K 6rper iiber ~o, so hat 92 i~ber ~o die Kummer- sche Invariante I.

Wir beginnen mit b). Ist ~o (~) r. R.-K6rper fiber ~o, so gibt es nach einer schon beim Beweise yon Satz 3 benutzten ~berlegung einen r .R.-K6rper ~'o fiber ~o, derart, dab [~o (~) : ~o] ---- P und gleichzeitig ~o (~) = Wo (fl), wobei fl Nullstelle eines fiber ~o irreduziblen Binoms x ~ - b (b ~ ~o). Aus [~o (c~) : ~o] = P, d.h. der Irreduzibilit~t yon p ( x ) = ( x - ~o) . . . . . ( x - ~_~) tiber ~o folgt nach der bekannten Theorie der metazyklischen Gleichungen ~'o ~ 92 = ~o c~ ~. Wegen E3:~o] : [~g" ~ : ~ o ] = 2t~ mnl~ aber ~ o ' ~ = ~o sein; denn es ist j a ~o ~ , , = ~o nach Hilfssatz 3, nnd ~o ~ ~g = ~o, well ~ ein komplexer Ober- k6rper zweiten Grades yon ~o. Wegen ~o ~ 92 = ~o sind G (92: ~o) nnd G(9~. ~o:~o) isomorph und die Kummerschen Invarianten von 92 fiber und 92' tiber ~o gleich. Die Kummersche Invariante von 92' fiber ~o schlieBlich ist offenbar gleich 1, da b ~" = b, flA" ___ to. fl, ~ E ~ C=~ . Wo.

Zum Beweise yon a) genfigt es, zu zeigen, dab ein reelles ~ 6 ~ existiert, derart dab ~ = b ~ ~o und x~--b irrednzibel fiber ~o . Denn dann muB

lo) Zur Kummerschen Invari~nte vgl. etwa HILBERT, Zahlbericht (Gesammelte Abhand- lungen I, 7-) w t25, Satz 147.

~ b e r reelle Radikalk6rper 8~

p ( x ) = ( x - - o b ) . . . . . ( x - - ~ _ i ) tiber ~o(2) reduzibel werden; nach einer bereits bei Satz 3 benutzten Verallgemeinerung yon Hilfssatz I muB also ~o (~) eille Nullstelle yon p (x) enthalten, und wegen der Real i t i t von ~o (2) kann das nur ~ =,% seinn). -- Wit bilden nun bei der zu Beginn des Para- graphen festgelegten Anordnung der ~i die Lagrangeschen Resolventen

p--1 (t) 2 q = g o + ~ , d ' k . ~ a (2q--2r ftir q----q'(p)).

k=l

Ohne Beschr~nkung der Allgemeinheit dtirfen wir 21 ~: 0 annehmenl*). �9 Wegen ---- ~o (e) ist e z= e, ea~ e A = es', wobei s't-1 = s' 2 t , - 1 . I (p), s ' t = s'*t,-- t (p),

well A o erzeugender Automorphislnus yon G (8: ~o)- Mit r- s ~ 1 (/5) ergibt sich:

#- -1 p - -1

(2) 2~ a = ~ o + E d ~ d ' ~ - - �9 ~ , . ~ = ~ o + 2 . .~k 2 , , . , . /~=i k=l

(Man darf ja s - k durch k ersetzen, wenn man gleichzeitig r . k an Stelle yon k schreibt.) Wegen 2z- - - e -q und (2) haben wir: (2 A. ~ - k ) z = ~ a . 2i-,, $1 a �9 21 ~ E ~ ftir k ---- s ' - r (p), d.h. : Die Kummersche Invariante k yon ~ tiber ~o ist charakterisiert dutch t ~ k ~ p -- t , k ---- s' �9 r (p). Da nun k = 1 nach Vor- aussetzung, muB s ' . r----t(p), ~a _--2i sein. Ffir 2{----b ergibt sich weiter: b a = b, b z--- b; b ~ ~o. Weil schlieBlich x ~ - 2{ = x # - b irreduzibel fiber ~o ist und ~ als Normalk6rper fiber ~o gleichzeitig mit 2i auch die reelle Null- stelle 2 yon x p - b enth~ilt, ist nach einer Bemerkung yon welter oben mit der Feststellung b E ~o der Beweis von Satz 4a) abgeschlossen. -- Aus Satz } und Satz 4 zusammen ergibt sich unmittelbar:

I. Hauptsatz der r.R.-K6rpe~ yon Primzahlgrad. Ein Oberk6rper ~o (~.) des reellen K6rpers ~o yon ungeradem Primzahlgrad p ist dann und nur dann ein r.R.-K6rper i~ber ~o, wenn sich ein reeller Quadratwumelk6rper ~o ~ber ~o so bestimmen ltiflt, daft fiir den zu ~o(~) ~ber ~o geh6rigen Normalk6rper ~' die

Gleichungen ~ ' = ~o (~, e) exp 2 ~ i (e = ~ ) , [~': ~o] = 2p t i (t i ---- t(2)) gdten, und I

wenn dabei auflerdem ~' i~ber ~o die Kummersche Invariante k = t besitzt.

Sind n~imlich die Voraussetzungen des Hauptsatzes erftillt, so ist ~o(~') nach Satz 4 r. R.-K6rper fiber ~o und damit auch tiber ~o, da ja ~'o seinerseits r .R.-K6rper fiber ~o- Als Unterk6rper von ~o(~) ist also ~o (a) r .R.-K6rper tiber ~o. -- Ist andererseits ~o(c~) r .R.-K6rper fiber ~o, so existiert nach Satz 3 ein Quadratwurzelk6rper ~o der im Hauptsatz geforderten Art und es ist ~o (x) nach w t r .R.-K6rper fiber ~o. Nach Satz 4b) muB also ~ ' fiber ~0 die Kummersche Invariante k = 1 haben. -- Am interessantesten ist beim ersten Hauptsatz die Feststellung, dab ~o(~) auch im Falle ~ = ~ o ( ~ , e)

il) Da~ auBer ~o keine weitere NullsteUe reell sein kann, folgt ohne Zusatzvoraus- se tzung aus der Tatsache, dal3 ~ komplex ist. Denn nach einem bekann ten Satz wird

= ~0(~o, ~i), falls cr beliebig aus der Reihe ~ . . . . . Cr 1 gewghlt.

i~) Wi t miissen dann aUerdings un te r U m s t i n d e n ffir e s t a t t exp (~-)2~i eine andere

pr imi t ive p-re Einhei t swurzel wghlen; doch is t das v611ig nebens ichl ieh .

6*

84 WOLFGANG KRULL :

keineswegs immer r .R.-K6rper tiber ~o zu sein braucht. (Man kann mit zahlentheoretischen ~lberlegungen leicht Beispiele konstruieren, in denen

= ~o (~, ~), [~1: ~o] = 2p t~, aber k =~ l.) Einen wichtigen Sonderfall gibt es, in dem sich die Bedingungen von Hauptsatz ~ auBerordentlich vereinfachen lassen. Es sei p eine Gauflsche Primzahl, also p-----2N+ ~. Dann wird t~ = t, ~ , ~ o - - ~ o , und es ist die Existenz des Quadratwurzelk6rpers ~o" nach dem Beweis yon Satz 3 gesichert, sofern nur ~ = ~o (~o, ~ . . . . . ~_~) komplex. Welter mul3 abet bei einer Gaul3schen Primzahl die Kummersche Invariante k yon ~ ' tiber ~o stets gleich ~ sein. Denn wir haben hier s ~ ~ (p), s '~ ~ (p), s ~ s ' ~ ( p ) , also s=--s'~--~(p), u n d a u s s. r ~ ( p ) folgt s ' . r~k -~ t (p ) . Ftir Gaul3sche Primzahlen gilt also:

II. Hauptsatz der r.R.-KSrper yon Primzahlgrad. Ist ~o (o~) reeller meta- zyklischer OberkSrper yon ~o und ist [~o (~):~o~ eine Gauflsche Primzahl 9, so ist ~o (c~) dann und nur dann ein r.R.-KSrper i~ber ~o, wenn der zu ~o (o~) iiber ~o gehi~rige NormalkSrper ~ komplex ist.

(Zu unserer Formulierung der notwendigen Bedingung -- im Vergleich zu Hilfssatz 3 -- beachte man: Ist ~ komplex, so mfissen nach einem bekannten, auch weiter oben gelegentlich benutzten Satz n) alle echt Konjugierten yon komplex sein.) Hauptsatz II zeigt, dab 7 die kleinste Primzahl ist, bei der die eigentliche Problematik der r. R.-K6rper von Primzahlgrad erkennbar wird.

w Beliebige maximale r.R:-KSrper. Der Konjugiertensatz Ein reeller Quadratwurzelk6rper fiber ~o s) m6ge kurz als r .Q.-K6rper

fiber ~o bezeichnet werden. Man beachte: Ist a r. Q.-K6rper tiber ~o, ~J~ ein beliebiger reeller Oberk6rper y o n ~o, so ist ~ auch r. Q.-K6rper fiber ~ .

Satz 5. Ist ~ ein maximaler r.R.-KSrper i2ber ~o mit dem zugeh6rigen Normalk6rper ~, und sind Pl . . . . . Pl die in [~:~o] au/gehenden ungeraden Primzahlen, so gibt es einen r.Q.-K6rper ~* i~ber ~, derart daft s ~ . ~* ( 2 ~ i ' k = l , l) s k ~ e x p ~ , . . . , .

Nach Satz 2 existieren ffir jede Primzahl Pk zwei K6rper ~1~, ~2k, derart daB ~ o ~ l k ( . ~ k = ( ~ , [ ~ : ~ l ~ = P k . Da dabei ~ k r .R.-K6rper fiber ~lk, gibt es nach Satz 3 einen r. Q.-K6rper ~ fiber ~1~, derart daB s~C ~Y~,~. ~*, falls ~R~ der zu ~2~ fiber ~ k geh6rige, in ~ enthaltenr Normalk6rper. Setzt man nun ~*---- ~* . . . . . ~*, so ist ~* ein r. Q.-K6rper fiber [R und e ~ ~R. ~* (~ = ~; . . . . ~).

Satz 6. Zu ~edem maximalen r.R.-KSrper ~ i~ber ~o gibt es einen r.Q.- KSrper ~* i~ber ~, derart daft ~* eigentlicher r.R.-KSrper i~ber ~o.

Ffir [~: ~o] = 2 ist die Behauptung trivial, ftir ~ : ~o] = P :4 = 2 (p Primzahl) folgt sie aus Satz 2 und Satz 3a) yon w 2. [Man beachte: Ist ~o ein r.Q.- K6rper fiber ~o, ~o (or eigentlicher r .R.-K6rper fiber ~o, so ist ~o(~) eigent- licher r .R.-K6rper fiber ~o und r.Q.-K6rper fiber ~'o.] -- Im allgemeinen Fall gibt es nach Satz 2 jedenfalls einen K6rper ~ , derart dab [~ : ~o] Prim- zahl (gerade oder ungerade). Wie bereits besprochen, existiert ein ~*, der r. Q.-K6rper fiber ~ und eigentlicher r .R.-K6rper fiber ~o. Da ferner ~ ein

13ber reelle Radikalk6rper 85

maximaler r .R.-K6rper fiber ~1 und da [~:~11 weniger Primfaktoren entMlt als [~: ~o], diirfen wir nach Induktionsprinzipien annehmen, dab es einen r .Q.-K6rper ~* tiber ~ gibt, der eigentlicher r .R.-K6rper tiber ~1 ist. ~*. ~* = ~* ist r .Q.-K6rper tiber ~, und die beim Beweise yon Satz t c) benutzten 13berlegungen zeigen, dab ~* ein eigentlicher r .R.-K6rper fiber ~o sein muB. -- DaB bei Satz 5 und 6 die-Beschr~inkung auf maximale r .R.- K6rper wesentlich war, folgt aus der Bemerkung, dab das entscheidende Beweishilfsmittel der nur ftir maximale r .R.-K6rper gtiltige Satz 2 war.

Satz 5 und Satz 6 legen den Gedanken nahe, es mtil3ten sich wenigstens die maximalen r. R.-K6rper ohne zus~itzliche Einschr~inkung ebenso ersch6pfend charakterisieren lassen wie die r. R.-K6rper yon Primzahlgrad, Indessen zeigt es sich rasch, dab dieses Zentralproblem der r.R.-K&per sicher keine einfache Aufgabe ist, und dab man jedenfalls nicht mit so primitiven Induktions- schltissen zum Ziel kommt, wie bei Satz 5 und 6. Die Hauptschwierigkeit liegt darin, dab ein durch Ubereinanderttirmung relativer Normalk6rper ent- stehender KSrper nicht mehr tiber dem ursprtinglichen Ausgangsk6rper normal zu sein brauchtla). Wir mtissen uns daher damit begntigen, wenigstens ein erstes, allgemeines Theorem zu beweisen:

Satz 7. Konjugiertensatz /iir maximale r.R.-Kdrper. Ist ~ ein maximaler r. R.- Kdrper i~ber ~o, so sind die zu ~ iiber ~o echt konjugierten K&per 2) alle komplex.

Fiir E~:~o] = 2 ist Satz 7 trivialerweise richtig; denn dann ist ~ tiber ~o normal und es gibt tiberhaupt keine echt konjugierten K6rper zu ~. Is t [~ : ~o~ eine ungerade Primzahl p, so folgt die Richtigkeit yon Satz 7 aus Hilfs- satz 2. Im allgemeinen Fall sind wir am Ziel, wenn wir zeigen k6nnen: Gibt es einen echt konjugierten K6rper zu ~, so existiert stets ein tiber ~o nicht

t! Pt

normaler K6rper ~o =( ~ mit der Eigenschaft, dab alle zu ~o tiber ~o echt konjugierten K6rper komplex sind. Denn dann ist, falls 9~ der zu ~ tiber ~o geh6rige Normalk6rper, tier Normalisator von G(gt: ~o) wegen der Nicht- normalitttt yon ~o eine echte Untergruppe von G (~R: ~o), es ist also der In- variantenk6rper ~'o dieses Normalisators ein echter Oberk6rper von ~o. Ferner ist klar, dab in unserem Falle alle zu a' tiber ~o echt konjugierten K6rper komplex sind, wenn nur die zu ~ tiber ~'o echt konjugierten K6rper diese Eigenschaft haben. Das aber dtirfen wir nach Induktionsprinzip als gesichert annehmen, da ~ auch ein maximaler r .R.-K6rper tiber ~o und [~:~'o] ein echter Teiler yon [~:~o]. - - Bei der Konstruktion yon ~o unter- scheiden wir mehrere F~ille:

a) Es sei ~ ein Quadratwurzelk6rper tiber ~o, also [~: ~ol = 2g und es sei 9~ o der gr613te in ~ enthaltene, tiber ~o normale K6rper. Ftir g t o = ~ = g t ist Satz 7 trivial richtig. Sei also ~o < ~; da ~ ein maximaler r .R.-K6rper

la) DaB man m6glicherweise diese Schwierigkeit dadurch umgehen kann, dab man yon den maximalen r.R.-K6rpern zu den zugeh6rigen Normalk6rpern fibergeht, wurde am SchluB der Einleitung angedeutet. Allerdings dtirfte auch die Charakterisierung dieser Normalk6rper keineswegs einfach sein. Am besten beginnt man vielleicht mit der Betrachtung yon Spezialf/~llen, etwa mit dem Studium der komplizierteren Normal- k6rper, die unter e) bei dem Induktionsbeweis yon Satz 7 auftreten.

8 6 WOLFGANG KRULL :

fiber ~o, existiert ein K6rper ~1 mit ~o (~1_- ( ~ ; [~l:~ol = 2 . Der zu ~1 fiber. ~o geh6rige Normalk6rper ~1 ist das Produkt yon endlich vielen fiber ~o quadratischen K6rpern ~1 = ~ ' , ~ " , . . . und es ist ~1 sicber komplex, weil ~1 im Falle der Realit~it wegen der Maximaleigenschait yon ~ in ~ enthalten sein mfiBte, was der Definition von ~o widerspricht. Es seien nun etwa ~1 = ~', . . . . ~(o) reell, ~(~+1), ~(~+~) . . . . komplex, ~o= ~' �9 ~" �9 . . . . ~(~). Da jeder Automorphismus A 1 von ~1 fiber ~o einen Automorphismus A o yon ~o induziert, vertausehen sich bei jedem A 1 die K6rper ~', ~", ... untereinander und mall hat zwei M6glichkeiten: Entweder es geht bei A 1 jedes ~(") (v~ 0) wieder in ein ~(~) (#--~0) fiber; dann induziert A 1 einen Automorphismus yon ~o. Oder es hat ffir mindestens ein v ~ ~ das Bild yon ~(") relativ A 1 einen Index # > 0; dann bilden A 1 den K6rper ~o auf einen komplexen K6rper ab. Die echt Konjugierten yon ~o fiber ~o sind also alle komplex. Aul3erdem ist ~o als Produkt von r. Q.-K6rpern selbst eiI1 r. Q.-K6rper fiber ~o und damit auch ein r.R.-K6rper fiber ~o.

b) Offenbar gibt es in ~ einen gr6Bten r. Q.-K6rper ~q, den Vereinigungs- kSrper aller der ~ _( ~, die fiber ~o r.Q.-K6rper sind. Ist ~q = ~o, so ent- h~ilt ~ einen K6rper ~ , dessen Grad fiber ~o eine ungerade Primzahl p ist. Hilfssatz 2 yon w 2 zeigt, dab ~1 fiber ~o nieht normal sein kann, und dab alle echt konjugierten K6rper yon ~ komplex sind. Wir k6nnen also ~o= ~'~ setzen und sind am Ziel.

c) Es sei ~ ) ~ o , aber yon dem zugeh6rigen Normalk6rper ~q (fiber ~o) verschieden. Dann ist, wie sofort zu sehen, der Grad [~:Ro~ eine Potenz yon 2. Der gr61lte in ~ enthaltene r.R.-K6rper ~'~ ist also ein r. Q.-K6rper fiber ~o. Aus der Maximalit~it yon ~'~ folgt ~'~ ~ ~ und aus der Maximalit~it yon ~ sowie ~q ergibt sich ~'~ _(_ ~, ~'r ~ ~ . Es ist also ~ ein maximaier, nicht-normaler r.R.-KSrper fiber ~o und die lJberlegungen yon a) zeigen, dab bereits in ~ ein K6rper ~o der gewfinschten Art enthalten ist.

�9 d) Es sei jetzt ~ = ~ r fiber ~o normal und ~ o ( ~ ( ~ . Nach Satz 2 gibt es in ~ einen K6rper ~ , ) ~ , bei dem I~q, :~1 = P eine ungerade Primzahl. Ist der zu ~q, fiber ~q geh6rige Normalk6rper ~ auch fiber ~o normal, so ist ~ = ~ o ein KSrper des gesuchten Typs. Denn ~ , ist als r.R.-K6rper vom Relativgrad p nicht einmal fiber ~ normal, und es mul3 jeder zu ~ , fiber ~o konjugierte K6rper ein in ~ , enthaltener Oberk6rper von ~r vom Relativgrad p fiber ~q sein. Die einzigen derartigen K6rper sind aber die Konjugierten von ~ , fiber ~r und dab unter diesen ~r selbst der einzige reelle K6rper ist, zeigt Hilfssatz 2. -- Es bleibt also nut noch ein letzter schwierigster Fall fibrig, n~imlicb: ~o ( ~r = ~r ( ~; zu dem Normalk6rper ~ der zu dem K6rper ~q, fiber ~ geh6rt, gibt es fiber ~0 mehrere konjugierte

t !

K6rper ~q,, ~ . . . . . . ~ , . Hier erfordert die Konstruktion yon ~o mehrere Schritte.

e) ~) Nach w 2 enth~ilt ~ einen fiber 91~ zyklischen K6rper ~i; wie in w 2 zerlegen wir ~ in zwei Faktoren: ~i = ~ " ~ [~g~: ~ ] = 2~ [~,,~:~] ~ 0 (2) ( i = ~ . . . . . l). Natfirlich sind die ~gi und ebenso die ~,~. fiber ~o konjugiert. Da ~r ein r.R.-KSrper fiber ~ , ist ~, 1 nach Satz 3 der VereinigungskSrper

~3ber reelle RadikalkSrper 87

von ~R~ und dem grSBten UnterkSrper yon ~o (~), der fiber ~o ungeraden Grad besitzt. Das heiBt aber: ~ 1 ist als Produkt zweier fiber ~o normaler KSrper selbst fiber ~0 normal, und wir haben daher: S, ,z=~2 . . . . . ~ u z = ~ . Welter zeigen wit: Es ist auch ~gz=~ ,~ . . . . . ~gz=~g und fiberdies [~g:~q] = 2. Es ist n/imlich jedenfalls ~g 1 " ~g2 . . . . . ~gl----91 tiber ~Rq Abelsch und E91:~q] = 2 .0 ( ~ 1 ) . W/ire nun ~ > t , so w/ire nach einer im wesentlichell schon in w 2 bentitzten ~lberlegung der grSBte reelle Unterk6rper 91' yon 91 vom Grade 2-~ fiber ~q und aul]erdem ein r.Q.-KSrper fiber ~q. Das aber widerspricht tier Maximaleigenschaft von ~Rq. Wir haben also : [91: ~ql = 2 und das ist gerade die zu beweisende Behauptullg.

/~) Nach e, ~) enthalten die fiber ~q llormalen K6rper ~q~ alle ein und denselben grSBten fiber ~q zyklischen UnterkSrper S = ~g" ~q ulld aus dem

I Beweis yon Satz 3 in w 2 folgt: Es gibt einell r. Q.-KSrper ~Rq fiber ~q, derart

dal3 ~ q i = ~ q " ~q~=~q(e, ~(0) e = e x p - ~ , falls e(i) jeweils in ~ so ge-

w~hlt, dab [gtq (~(~/) : ~q] = p. (Man beachte, dab die Existenz des. kritisehen r. Q.-K6rpers bei Satz 3 allein auf Grund der Speziellen Struktur yon ~ be- wiesen wurde.) Wir zeigen nun: gt'~ ist normal ~ber ~o. -- Es sei wie in w 2 ~g der gr6Bte Unterk6rper yon ~o(e) mit [~ :~o]=2 '~ ; ~'g sei der grSBte

t t t reelle Unterk6rper yon ~ . Dann ist jedenfalls ~ = @g. ~ als Produkt zweier fiber ~o normaler Unterk6rper selbst fiber ~o normal und es ist ~,~ llach dem Beweis yon Satz 3 der gr6Bte reelle UnterkSrper yon ~g-@~, woraus wegen [@~: @'~] = [~:~Rql = 2 sofort zu schlieBen, dab entweder [~g. ~ g : ~ ] = 2 , ~q=~'q oder [~g" ~ g : ~ ] = 4 , [~;:~R~]=2. Im ersten Fall sind wir fertig. Im zweiten kann man so schlieBen. Es ellthiilt ~g. ~g drei tiber ~ quadratische K6rper. Von ihnen sind zwei ll~tmlich ~ . ~'~ und ~ . ~ , Produkte fiber ~o normaler KSrper und damit selbst normal; also muB auch ~'~, der dritte, tiber ~o normal sein.

y) Da ~ql r.R.-KSrper fiber ~o und fiber ~Yl~, existiert llach w 2 ein Billom xP--bl (b~ ~'~) mit der reellen Nullstelle fl~, derart dab ~q~'~(fl~) und es gibt dalln ffir ~ede Nullstelle fl'z yon x ~ - bl in ~R'q (fl~) einen Unterk6rper yon ~qz vom Grade p tiber ~q. Es sei jetzt A~ ein Isomorphismus fiber ~o

t ! . yon ~qz auf ~q~, A~ sei eine Fortsetzullg yon A~, die ~ql=~Rq ~qz in ~R'q~=~R'q. ~q~ fiberffihrt. Bei A~ geht x~--bz in ein Binom x~--b~ (b~'q) fiber und aus Isomorphiegrtinden muB ffir jede Nullstelle fl~ yon x~--b~ ill ~'q(fl~) ein Ullterk6rper ~q~ yon 92q~ enthalten sein. W/ihlen wir ftir fl~ speziell die reelle Nutlstelle von x~--b~, so erweist sich ~q~ als r.R.-K6rper tiber ~R'q und damit auch tiber R0. Damit ist nach Hilfssatz 2 gleichzeitig gezeigt: Alle zu ~q~ fiber ~q echt konjugierten K6rper (und das sind alle yon Rq~ ver- schiedellell Unterk6rper voll ~q~, die tiber ~q den Grad p haben), sind kom- plex. Aus der letztell ]3emerkung folgt sofort, die s/imtlichen zu dem K6rper ~O=~qz . . . . . ~.0z tiber ~o eclat konjugierten K6rper silld komplex. Denn bei jedem Automorphismus A des zu Ro fiber ~o geh6rigell Normalk6rpers ~qz . . . . . ~q~ vertauschen sich die ~q~ nur untereinander, und da ~q fiber ~o normal, muB bei A jeder der K6rper ~ ill einen K6rper tibergehell, der in

88 WOLFG.A-NG I{RULL :

einem gtek enthalten ist und tiber 9%q den Grad p besitzt. I m fibrigen ist ~o nicht normal und ein r .R.-K6rper fiber ~o, also in dem maximalen r .R.- K6rper ~ enthalten. Wir haben also auch im schwierigsten Fall die Kon- struktion yon ~'o durchgeffihrt und damit den Beweis des Konjugiertensatzes abgeschlossen.

w Der Automorphismensatz. Erg~inzungsbemerkungen Der Konjugiertensatz ffir maximale r .R.-KSrper wird erg~inzt durch den

Automorphismensatz :

Satz 8. Die Anzahl ~ der Automorphismen eines maximalen r.R.-Kgrpers r seinem Grundk6rper ~o ist stets eine Potenz yon 2 : o r = 2 ~ (0_~ m)14).

Es sei ~ der zu ~ fiber ~o geh6rige Normalk6rper und es werde ffir 9~ _> g ) ~o kurz G~ = G (gt: ~) gesetzt; N~ (Gs0 sei der Normalisator yon G~ in G~ (~ => ~ __> ~o). Die zu bestimmende Automorphismenzahl ist dann gleich dem Index INto (G~) :G~] von G~ in Ns~ ~ (G~). -- Ffi r ~ = ~o wird G~ = N~, (G~) ---- Ga o, ~ = 1 = 2 ~ Wir dtirfen also die Induktionsvoraussetzung machen, dab far ~ __) ~ > &o bereits [N~I (G~) : G~] = 2 ~1 bewiesen sei. Es sei dabei &i nach Satz 2 insbesondere so gew~ihlt, dab [&i: &0] Primzahl. Dann unterscheiden wir zwei F~ille:

a) [&i: &o~ = i b 4 = 2. Hier besitzt der K6rper ~i, der ja nach Hilfssatz 2 nicht fiber ~o normal ist, nnr den identischen Automorphismus, und es wird daher N~o (G~) = N ~ (G~), a = [N~I (G~) :Gs~] = 2 ~.

b) [ ~ : ~o] = 2. Hier gibt es einen einzigen echten Automorphismus A i yon ~x fiber ~o. Wir haben daher [Ns~o(G~):N~, (G~)] = 2 bzw. = t, je nach- dem ob sich A~ zu einem Automorphismus A v o n ~ fiber ~o fortsetzen l~tBt oder nicht. Mit der Voraussetzung [N~,(Ga):Ga7 = 2 ~* erhalten wir somit ftir cr die beiden M6glichkeiten ~ = 2 ~*+i bzw. o = 2 '~1. -- Nennen wir P(x) ein erzeugendes Polynom yon ~ fiber ~o, falls ~ zUm RestklassenkSrper ~o [x~/P(x) isomorph ist, so ist die Anzahl der Automorphismen von ~ fiber ~0 gleich der Anzahl aller der Nullstellen 0~ eines erzeugenden Polynoms Q (x), ffir die ~ = ~ o ( ~ ) wird. Aus dieser Bemerkung ergibt sich mfihelos, dab Satz 7 und Satz 8 zusammengenommen gleiehwertig sind mit dem folgenden Theorem :

Satz 9. Ist P(x) ein erzeugendes Polynom des maximalen r.R.-K&pers ~, so ist die Anzahl der reellen Nullstellen vo~r P(x) eine Potenz yon 2 und es wird

= ~o(O~) /i~r ]'ede reelle Nullstelle ~ yon P(x).

1~) i3ber den Exponen ten m l~Bt sich vermu~clich keine genauere Aussage machen, abgeseherl davon, dab trivialerweise re=O, wenn [~:~o] ~ 0 ( 2 ) und ~ n ~ l , wenn [~ : ~o] ~ 0 (2). Sicher ist nicht allgemein 2 m gleich der h6chs ten in [~ : ~o] aufgehenden Potenz

yon 2. Beispiel: ~o der K6rper der ra t ionalen Zahlen, ~ = + V 1 ++V 3, / ~ = + V t - - + ] / 3 -

Hier ist, da fl komplex, ~o(c~) = ~ der maximale r . R . - K 6 r p e r des NormalkSrpers 9%=~o(~,fl) , - - ( [~o(~ beachtenl) - - , und es ist [~o(C~):~o]=4. Abet h a t tiber ~o nur zwei Automorph ismen (charakterisiert durch cc-+ ~ und ~--~ --c~) und daneben zwei I somorphismen auf einen echt konjugier ten K6rper (charakterisiert durch ~ - ~ una ~- - -~) .

lJber reelle Radikalk6rper 89

Mit Satz 9 ist der AnschluB an die ~iltere Ausdrucksweise hergestellt, die lieber mit den erzeugenden Polynomen bzw. definierenden Gleichungen als mit den K6rpern operiert. Man beachte aber, dab die Beweise dutch die Hereinziehung der erzeugenden Polynome nut unn6tig schwerf~illig wiirden. -- Aus Satz 9 folgt insbesondere : Ein erzeugendes Polynom P(x) des maximalen r .R.-K6rpers ~ besitzt dann und nut dan~l genau eine reelle Nullstelle, wenn [~: ~o] ungerade ist. -- Bei ungeradem Grad kann man iibrigens die For- derung der Maximalit~it etwas abschw~ichen. Wir wollen kurz sagen, der K6rper ~ besitze (tiber seinem Grundk6rper ~o) eine Primkette, wenn eine K6rperfolge ~o ( ~1 C ".. ( ~ , = ~ existiert, bei der alle Relativgrade [~i: ~i-~] Primzahlen sind. Nach Satz 2 hat jeder maximale r .R.-K6rper Primketten, aber nattirlich gibt es auch r .R.-K6rper mit Primkette, die nicht maximal sind. Eine nicht triviale Erg~inzung von Satz 9 ist daher Satz 10:

Satz 10. Besitzt der r.R.-K6rper ~ eine Primkette und ist auflerdem [~:~0] ungerade, so hat jedes erzeugende Polynom P(x) yon ~ genau eine reelle Nullstelle.

Zum Beweise von Satz t 0 beachte man: a) Die Behauptung l~iBt sich auch so formulieren: Alle echt konjugierten K6rper yon ~ sind komplex und es gibt keinen echten Automorphismusvon ~ tiber ~o. b) Unsere Behauptung ist nach Hilfssatz 2 richtig, wenn [~: ~o] Primzahl. Is t daher ~o ( ~1 (- "'" ( ~,~ = eine Primkette yon @ tiber @o, so dtirfen wit nach Induktionsprinzipien an- nehmen, dab sie [in der Fassung a)l sowohl ffir @1 tiber @o als auch ftir fiber ~ zutrifft. Daraus ergibt sich aber sofort die Gfiltigkeit der Behauptung ftir ~ tiber @0. Satz t0 ist eine unmittelbare Verallgemeinerung yon Hilfs- satz 2, der den Fall erledigt, dab eine nur aus zwei Gliedern (@o und @) bestehende Primkette existiert. Dagegen l~iBt sich Hitfssatz 2 nur mit einigem Zwang als Spezialfall yon Satz 9 auffassen -- ein r. R.-K6rper yore Primzahl- grad tiber dem Grundk6rper braucht j a nicht maximal zu sein. Da aber der direkte Beweis yon Hilfssatz 2 ~iul3erst einfach ist 1~) brauchen wir auf diesen Punkt nicht n~iher einzugehen. - - Nattirlich liegt es nahe, zu fragen: Gilt etwa Satz 10 auch dann noch, wenn man auf die Existenz einer Primkette verzichtet und nur [@:@o] ~= 0(2) fordert? Ehe man hier eine unmittelbare Entscheidung anstrebt, wird man am besten zuerst ein Beispiel ftir einen r .R.-K6rper @ suchen, der keine Primkette besitzt, obwohl der Grad [~':~0] ungerade ist. Ein solches Beispiel dtirfte wesentlich miihsamer zu bilden sein, als das in w 1 angegebene Beispiel ftir einen r .R.-K6rper ohne Primkette

15) Es verdien~c Erwghnung , da[3 beim Beweise yon Hilfssatz 2 keine speziellen Eigen- schaften der t3inome und vor allem nicht die Einhei tswurzeln gebraucht werden. Man fiberlegt so: Es sei P ( x ) ein irreduzibles Polynom tiber dem reellen I46rper ~0 vom Primzahlgrad p4= 2 mi t aufl6sbarer Gruppe und es sei P (x) noch fiber dem reellen K6rper ~1__)~o irreduzibel, w~ihrend P(x) fiber ~1(/5o) reduzibel wird, wobei /50 fiber ~1 reelle Nullstelle des irreduzibeln Polynoms Q(x) vom Primzahlgrade q is~ und Q(x) au[3er ~, nur komplexe Nullstellen /31 . . . . . ~q-1 besitzt. Dann spal tet P ( x ) wegen der Aufl6sbarkeit seiner Gruppe fiber ~1(~o) einen reellen Linearfaktor ab und man ha t daher : p = q ; ~o = ~ = o . . . . . p - 1 Ok" ~0 k = C (fi0) (6]~ ~ ~1)' wahrend o~ i = c (fli) ( i = 1 . . . . . q --- 1) die fibrigen Nullstellen yon P (x) sind. W~tre nun etwa ~ reell, ~1 = K1 und/31 = / ~ (i 4= t l),

ao hiitte man cq = c (/31) = a-1 = c (~) = c (/5/) = o: i , was unm6glich.

90 WOL~A~G KRULL: ~ b e r reelle l~adikalk6rper

mit E~:~o~ = 4. Auch besteht immerhin die entfernte M6glichkeit, dal3 man bier auf eine Ausnahmestellung der Primzahl 2 st6Bt, wie sie bei unseren bisherigen Betrachtungen schon 6fters hervortrat. Hier k6nnen wir dicse Fragen auf sich beruhen lassen. Denn ein Vergleich des Beweises yon Satz ~0 mit dem Beweis voI1 Satz 7 zeigt, dab man durch die Forderung E~: ~o~ ~ 0 (2) den wirklich interessanten, in der allgemeinen Theorie der r .R.-K6rper auf- tretenden Schwierigkeiten aus dem Wege geht.

Dagegen soll kurz durch ein Beispiel gezeigt werden, dab ohne einschr~in- kende Annahmen tiber E~:~ot Satz 7 und 9 nur ftir maximale r .R.-K6rper ausgesprochen werden k6nnen. Wir betrachten fiber dem K6rper ~o der rationalen Zahlen das Polynom p (x) = x s + 6. x 3 - 63" x 2 + 9. ~ber ~1---- ~o (~/~)

zerf~illt p (x) in die Faktoren Pl (x) = x ~ + 3' V7. x + 3, p~ (x) = x 3 - 3. V ~-. x + 3. Da in der Hauptordnung aller ganzen algebraischen Zahlen des K6rpers ~1 das Hauptideal (3) keinen Primidealfaktor in h6herer als erster potenz ent- h~ilt, sind Pl (x) und P2 (x) nach SCHONEMANN-EIsENSTEIN tiber ~1 irreduzibel, und daraus folgt sofort die Irreduzibilit~it yon p (x) fiber ~o. Das Polynom dritten Grades pl(x) besitzt genau eine reelle Nullstelle 0, und es ist daher ~o(~,V ~) r .R.-K6rper tiber ~1=~o(V7) und damit auch tiber ~o. Ferner hat man: E~o (e) : ~ol ---- 6, E~I (e) : ~ol -- E~l (Q) : ~1~ " E~I: ~ol -- 3 " 2 = 6, also ~ (Q) ~-- ~o (e, V ~) ~- ~o (e). Es ist also ~o (~) ein r .R.-K6rper tiber ~o mit Primkette. Aber p~ (x) hat drei reelle Nullstellen ~1, as, ~8 und es sind daher nach Hilfssatz2 die zu ~o(e) fiber ~o konjugierten reellen K6rper ~o(a;) keine r .R.-K6rper tiber ~1 und damit auch keine tiber ~o. Wir k6nnen daher feststellen:

Es gibt r.R.-K6rper mit Primkette, die echt kon~ugierte reelle K~rper besitzen, und zwar sogar solche, die ihrerseits keine r.R.-K~rper ~ber dem gegebenen Grundk~rper sind 16).

Der letzte Teil dieses Resultats ist besonders wichtig. Denn d~r Beweis des Konjugiertensatzes 7 w~ire trivial gewesen, wenn man h~itte zeigen k6nnen : Jeder zu einem r.R.-K6rper konjugierte K6rper mul3 selbst ein r .R.-K6rper sein. -- Nachdem aber diese Vermutung widerlegt ist, hat mall dell Eindruck, dal3 der Beweis yon Satz 7 kaum wesentlich abgektirzt werden kann, und dab vor allem ein sorgf~iltiger InduktionsschluB nicht zu vermeiden ist.

1,) DaB in unserem Beispiel die Anzahl der reellen Nullstellen yon p (x) 4 = 2 ~ is~ uninteressant , da es ja auf die Zahl tier reellen Nullstellen ankomlnt , die den K6rper erzeugen. Es w~Lre iibrigens wohl n ich t schwer, eilf Beispiel zu konstruieren, in dem die Zahl aller reellen Nullstellen keine zweier Po tenz wfirde. Man mii~te d a z u fiber dem K6rper ~o der ra t ionalen Zahlen das irreduzible Po lynom p(x) vom Grade l0 so be- s t immen, dab p(x) fiber ~o (V ~) (d > O) in zwei irreduzible Fak toren p~(x), p2(x) des Grades 5 zerf~,llt, wobei Pl (x) eine, pa (x) dagegen ffinf reelle Nullstellen besitzt . ~Eine rectlnerische Erschwerung fiir die Kons t ruk t ion liegt' nur darin, dab man hier p~ (x) und p~(x) nich~ t r inomisch annehmen kann.~

Bonn, Mathematisches Insti tut tier Universitat

(Eingegangen am ~4. Oktober 1955)