Ulrich Matthias Antauparثک olo “Inter la esperantistoj sin trovas proporcie pli da matematikistoj

  • View
    0

  • Download
    0

Embed Size (px)

Text of Ulrich Matthias Antauparثک olo “Inter la esperantistoj sin trovas proporcie pli da...

  • Ulrich Matthias

    FUNDAMENTOJ DE

    LINEARA ALGEBRO

    Eldonita de la aŭtoro Neckarhausen, 1995

  • Contents

    1 Enkonduko 4

    2 Aroj kaj bildigoj 4

    2.1 Aroj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

    2.2 Bildigoj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

    3 Grupoj kaj korpoj 6

    3.1 Grupoj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

    3.2 Korpoj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

    4 Vektorspacoj 13

    4.1 Difino de vektorspaco kaj ekzemploj . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

    4.2 Subspacoj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

    4.3 Lineara dependeco kaj bazoj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

    4.4 Interŝanĝo de bazaj vektoroj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

    4.5 La dimensia formulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

    5 Linearaj bildigoj 21

    5.1 Difino de lineara bildigo, bildo kaj kerno . . . . . . . . . . . . . . . 21

    5.2 La dimensia formulo por linearaj bildigoj . . . . . . . . . . . . . . . 23

    5.3 Konkludoj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

    6 Aldonoj 24

    6.1 Fontoj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

    6.2 Terminaroj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

    6.3 Periodâoj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

    6.4 Kelkaj terminoj en kvar lingvoj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

    Pro multaj valoraj konsiloj kaj korektoj la aŭtoro kore dankas al: Edmund Grimley-

    Evans, Konrad Hinsen, Horst Holdgrün, Jim Kingdon, Christer Kiselman kaj Marko

    Rauhamaa.

    Matthias, Ulrich: Fundamentoj de lineara algebro. Unua eldono, la aŭtoro, oktobro

    1995. Adreso de la aŭtoro: Frhr.-v.-Drais-Str. 53, 68535 Neckarhausen, Germanio;

    retpoŝto: umatthia@ix.urz.uni-heidelberg.de

  • Antaŭparolo “Inter la esperantistoj sin trovas proporcie pli da matematikistoj ol da filologoj”,

    konstatis la Enciklopedio de Esperanto jam en 1934. Multaj Esperanto-pioniroj

    estis matematikistoj, kaj same hodiaŭ, kiam junaj esperantistoj konatiĝas, ili ofte

    konstatas, ke mirige multaj el ili studas, studis aŭ intencas studi matematikon.

    Tamen la matematika publikigado en Esperanto neniam vere viglis. La Kata-

    logo 1994 de la Libroservo de UEA ofertas nur 10 tiajn titolojn, kaj sur la bretoj

    de la Germana Esperanto-Biblioteko en Aalen sufiĉas 30-centimetra spaco por la

    kolektitaj matematikaj verkoj. Preskaŭ tute mankas en nia lingvo modernaj enkon-

    dukoj en la plej gravajn matematikajn branĉojn. Tio estas tre bedaŭrinda, ĉar jam

    de almenaŭ du jardekoj Esperanto-aktivuloj precipe el Irano, Ĉinio kaj aliaj aziaj

    landoj forte pledas por pli abunda scienca publikigado en Esperanto. Ankoraŭ nun

    mi memoras la vortojn de Saeed Farani el Pakistano, kiu prelegis en la Internacia

    Junulara Kongreso de la jubilea jaro 1987 en Krakovo pri “Esperanto kaj la tria

    mondo”. “Se vi eŭropaj esperantistoj volas helpi al ni”, emfazis Farani, “tiam ne

    verku aŭ traduku beletron, sed sciencajn publikâojn. Eĉ se vi tradukas nur kelkajn

    paĝojn el matematika faklibro, tio utilas al ni pli ol tuta romano...”

    Malfrue, nur 8 jarojn poste, mi akceptis lian instigon, verkante tiun ĉi modestan

    broŝuron, kiu entenas proksimume tion, kion germanaj studentoj pri matematiko aŭ

    fiziko lernas en la unuaj ses semajnoj de sia studado en la lekciaro lineara algebro. Mi

    esperas, ke en la ne tro malproksima estonteco mi trovos tempon por pliampleksigi

    ĝin kaj por verki similan broŝureton pri la alia grava matematika branĉo, pri kiu

    studentoj okupiĝas ekde sia unua semestro, la analitiko. Mi ĝojus, se tiu ĉi broŝuro

    vere estus uzata ankaŭ en la tria mondo. Estas permesite multobligi ĝin en papera

    aŭ elektronika formo por nekomercaj celoj.

    Kiel celgrupon mi imagas unuavice gejunulojn ĉie en la mondo, kiuj ̂us komencis

    aŭ baldaŭ komencos studi matematikon aŭ parencan fakon. Enketo de Germana

    Esperanto-Asocio montris, ke almenaŭ en mia lando homoj eklernas Esperanton

    precipe en aĝo de 18 ĝis 22 jaroj. Ne malmultaj el ili proksimume samtempe

    konatiĝas kun la universitatnivela matematiko. Al ili tiu ĉi broŝuro ebligas pro-

    fundigi siajn sciojn pri Esperanto kaj pri matematiko samtempe.

    Fine mi rimarkigu, ke mi verkis tiun ĉi broŝuron ne laste pro tio, ke tio estis

    plezuro por mi. Esperanto same kiel la matematiko ĉiam ravis kaj plu ravas min

    pro sia klareco kaj logikeco. Estas agrable vidi ilin kune. Por mi la publikigado

    en Esperanto krome donas ion, kion hodiaŭ la publikigado de matematika verko en

    nacia lingvo ne ĉiam povas doni - la senton fari ion utilan al la homaro.

    Ulrich Matthias

    3

  • 1 Enkonduko

    En lernejoj oni instruas, ke vektoro estas “io, kio havas direkton kaj longon”. Oni

    imagas la vektorojn kiel sagojn. En la universitatnivela matematiko oni uzas alian,

    pli abstraktan difinon: Vektoro estas elemento de vektorspaco. Kompreneble per

    tio la problemo difini vektoron reduktiĝis nur je la problemo difini vektorspacon.

    Montriĝas, ke tiu ĉi difino fakte signifas, ke vektoroj estas matematikaj objektoj,

    kiuj lige kun du operacioj, la adicio kaj la multipliko per “skalaroj”, plenumas

    certajn regulojn, kiujn oni nomas “aksiomoj”. Nur en kelkaj tre specialaj kazoj oni

    vere povas imagi la vektorojn kiel sagojn.

    La malfacilâoj de multaj studentoj kompreni lekcion pri lineara algebro rezultas

    el la granda abstrakteco kaj ĝeneraleco de ĝiaj difinoj kaj teoremoj. Oni ne tuj

    vidas la sencon starigi tian abstraktan teorion, kaj tio malpliigas la emon kompreni

    ĝin. Studkomencanto eble interesiĝas pri la solvoj de lineara ekvaciaro kun reelaj

    variabloj kaj koeficientoj, sed por tio malpli ĝenerala teorio sufiĉus. La plej multaj

    aliaj problemoj, pri kiuj okupiĝas la lineara algebro, aspektas iom artefarite. Ilia

    graveco montriĝos nur poste dum plua studado. Ekzemple vektoroj, kiujn oni ne

    povas imagi simple kiel sagojn, estas tre utilaj en la teorio de la Furieraj serioj.

    Tiu ĉi teorio pri la elvolvo de periodaj funkcioj laŭ la funkcioj sin kx kaj cos kx

    (k ∈ Z) fariĝas esence pli eleganta kaj pli bone travidebla kiam oni konsideras “vektorspacon” de integreblaj funkcioj kaj aplikas rezultojn de la lineara algebro.

    La leganto estas invitita simple kompreni la difinojn, rimarkojn, konkludojn,

    teoremojn kaj korolariojn, eĉ se li aŭ ŝi ankoraŭ ne plene komprenas, por kio tio

    utilas.

    2 Aroj kaj bildigoj

    2.1 Aroj

    La fondinto de la aroteorio, Georg Cantor, klarigis aron kiel “kunigon de certaj

    distingitaj objektoj de nia percepto aŭ pensado al tutâo”. Pli preciza enkonduko

    de tiu ĉi termino ne estas bezonata en la lineara algebro.

    Finiajn arojn ni povas skribi en la formo X = {x1, . . . , xn}. La plej simpla ekzemplo de nefinia aro estas N = {0, 1, 2, . . .}, la aro de la naturaj nombroj. Pliaj ekzemploj estas Z = {0, 1,−1, 2,−2, . . .}, la aro de la entjeroj, kaj Q = {p

    q : p, q ∈ Z

    kaj q 6= 0}, la aro de la racionalaj nombroj. La aron R de la reelaj nombroj la EK- vortaro de matematikaj terminoj enkondukas jene:

    4

  • Sur la aro F de koŝiaj vicoj de racionalaj nombroj oni enkonduku la

    ekvivalentrilaton R difinitan per (xi)R(yi) ⇔ limi→∞(xi − yi) = 0. La kvocientaro F/R estas la aro de la reelaj nombroj kiu faras korpon R.

    Bonŝance ne necesas kompreni tion por okupiĝi pri lineara algebro. Sufiĉas imagi

    R ekzemple kiel aron de “ĉiuj” nombroj, kiuj troviĝas sur rekto tra la entjeroj (aŭ

    tra la racionalaj nombroj).

    Difino 2.1.1 Se X kaj Y estas aroj, ni difinas

    • la intersekcon X ∩ Y per X ∩ Y := {x : x ∈ X kaj x ∈ Y },

    • la kunigâon X ∪ Y per X ∪ Y := {x : x ∈ X aŭ x ∈ Y },

    • la diferencon X\Y per X\Y := {x ∈ X : x 6∈ Y },

    • la kartezian produton X × Y per X × Y := {(x, y) : x ∈ X kaj y ∈ Y }.

    La kartezia produto de n faktoroj estas aro de n-opoj:

    X1 × . . .×Xn := {(x1, . . . , xn) : x1 ∈ X1, . . . , xn ∈ Xn}

    X nomiĝas subaro de Y se x ∈ X ⇒ x ∈ Y , t.e. se ĉiu elemento de X estas entenata ankaŭ en Y . Oni skribas tiam X ⊂ Y .

    2.2 Bildigoj

    Ni komencas tiun ĉi paragrafon per abstrakta, formala difino, kiu tamen rapide

    fariĝas travidebla.

    Difino 2.2.1 Subaro F de la kartezia produto X × Y de du aroj X kaj Y nomiĝas bildigo se por ĉiu x ∈ X ekzistas unu kaj nur unu y ∈ Y tiel ke (x, y) ∈ F .

    Anstataŭ (x, y) ∈ F oni skribas ankaŭ y = F (x). Bildigo F do atribuas al ĉiu x ∈ X unu kaj nur unu elementon F (x) ∈ Y . Oni skribas

    F : X → Y x 7→ y

    y nomiĝas la bildo de x per la bildigo F , dum x nomiĝas malbildo de y. La bildo de

    aro X per F estas F (X) := {f(x) : x ∈ X}.

    5

  • Difino 2.2.2 Estu F : X → Y bildigo. F nomiĝas

    • surjekcia, se F (X) = Y