Unabhiingige Einheiten fiir die KiJrper K= Q ( ~ d) mit d]D"

Yon FRANZ HALTER-KOCh, Essen und HANS-JOACHIM STENDER, K61n

Ftir reine algebraisehe ZahlkSrper Kn = Q(wn) n-ten Grades mit

o)~ ---- ~ / ~ • d, wobei d und D nattirliehe Zahlen sind, die der Teilbar- keitsbedingung

d i D

geniigen, haben BER~STEIN und HASSE [3] Einheiten e~, ~ dureh eine Formel angegeben. Sie lautet

(co n - - D ) k (E) e~. k = ~o~ - - D ~- '

wobei k alle nattirlichen Teiler von n durehliiuft. In weiteren Arbeiten [1], [2] beweist BERNSTEIN, dab en,~ auch dann

noch Einheit von Kn ist, falls an die Stelle von d Ausdriieke der Form duD s bei beliebigem n oder p d ' D ~ bei Primzahlpotenzgrad n----p~ (d ]D, r + s < n) treten.

Im ersten Teil dieser Arbeit wird nun gezeigt, dab die Formel /E) schon Einheiten fiir K , liefert, wenn start der Bedingung d [ D im Aus- druck D ~ • d nur die schwi~ehere Forderung

d i D ~

erfiillt ist. Bei Primzahlpotenzgrad n = p~ kann die Zahl d dureh pd mit d ] D ~ ersetzt werden. Die Einheiten e,, k (k In) liegen aber im all- gemeinen nicht mehr in der Ordnung Z[w,], wie es bei d i D der Fall ist. Diesem Ergebnis ordnen sich alle von BERNSTEIN behandelten Fiille unter.

Im zweiten Teil der Arbeit wird dann bewiesen, dal] die aus (E) resul- tierenden Einheitensysteme

(ES) { ~ n , ~ l k e ~ , k ! n , k ~ : l }

unabhiingig sind. AbschlieBend sei bemerkt, dab fiir n = 3, 4 und 6, wo die Anzahl der

Teiler von n mit dem Einheitenrang von K~ iibereinstimmt, durch (ES) in vielen F/~llen Grundeinheitensysteme von K~ angegeben sind. Fiir die TeflbarkeRsbedingung d 1 D liegen die Ergebnisse gedruckt vor (siehe [4], [5], [6]); der Fall d I D" wird in einer nachfolgenden Arbeit behandelt.

3 Hbg. Math. Abh., Bd. XLI I

34 F r a n z H a l t e r - K o c h u n d H a n s - J o a c h i m S t e n d e r

1. Eine Einheitenformel

Es seien n, d und D natiirliche Zahlen mit n ~ 2 und

d ! D n,

derart, dab a ~ D ~ •

f'fir keinen Primteiler p von n die p-te Potenz einer nattirlichen Zahl ist (fiir d I D ist die letzte Forderung yon selbst erftillt, siehe BER~STEIN- HASSE [3]). Dann hat die reelle algebraisehe Irrationaliti~t

den genauen Grad n.

Es bezeichne K , = Q (o~,) den yon ~, tiber dem K6rper der rationalen Zahlen Q erzeugten reinen algebraisehen ZahlkSrper n-ten Grades. tt ierin lassen sieh wie folgt Einheiten explizit angeben.

Satz 1. E8 sei n = lc 1 �9 lc2, k l , k~ e ~, 1 ~ kl , k~ <: n. Es sei /erner

Kkl -~ Q(c%l ) der yon o~1 yon K,,. Dann ist

(1) eine Einheit yon Kkl .

= co~'-~ k~f~ erzeugte TeilkSrper kl-ten Grades

8k~ - - d

Beweis . Zuni~ehst bereehne man die in K~I genommene (Absolut-) k 2 l"~k 2 Norm yon con - - ~ :

IVK~,~ (~.~ - - D~9 = (-- 0%%~,~ (D ~ - - ~Z) -~ ( - - 1)kl((Dk') h - - (oj~2)k~)

= ( - -~)~ , (~= d). Damit erhiilt man

1 im Plusfall, NK,,I~(e,,) : ((--1)~(~: d ) ) h = (--1) k' im MSnusfall.

Es muB also nur noch gezeigt werden, dab ek~ eine ganze Zahl des K6r- pers Kk, ist.

Nun ist kl

folglieh gentigt es, ftir jedes i (0 _~ i _~ kl)

(Dk,)~ (o~,)~-~ ( % - -

d

als ganze Zahl yon Kkl naehzuweisen.

U n a b h i ~ n g i g e E i n h e i t e n f i i r d ie K S r p e r K = Q ( ~ / ~ =L d) m i t d [ D ~ 35

Es ist

D i n ( D n • d)~l - i D . ~ d k l - i ( D . d - 1 :j- 1)kl - i O~ kl :

dkl dkl : (D.d-~),(D.d-~ • 1) *-'

wegen d ] D ~ eine ganzrationale Zahl und somit ~ in der Tat ganz, q.e.d.

Zusatz. Fiir Primzahlpotenzgrade

n : p 5 v ~ l ,

kann auch pd mit d i D ~ an die Stelle yon d treten,

a = D ~ • pd.

Fiir jeden Teller ]~1 v o n pv hat man dann wieder eine Einheit ek~ der Form (1) mit pd anstelle yon d.

Zum Beweis dieser Aussage beachte man nut, da[~ bei kl : pv~,

1 ~ vl =~v der Binomialkoeffizient (P~) f i i r l ~ i _~ p . 1 - 1 stets durch p und

w~ + (__l)k~D. : { 2D" •177 pdPd beibei PP #: 22

durch pd teflbar ist.

Nun ergibt sich leicht

Satz 2. Im K6rper Kn : Q (co~) sind Einheiten e., ~ explizit dutch die Formel

( o ~ . - - D) k ( 2 ) ~ . , k - ~ _ D ~

gegeben, wobei k alle Teller des KSrpergrades n durchldu/t.

A n m e r k u n g . Die Einheit ~ aus Satz 1 ist durch k ---- n (e. = e~,,) in dieses Ergebnis einbezogen; fiir k ---- 1 ergibt sich die triviale Einheit

~n,1 = 1.

Ftir h l m l n erhglt man nattirlich durch entsprechende Ausdriicke e~,h Einheiten im KSrper K~ (siehe Lemma 2 im 2. Abschnitt).

B e w e i s . Es sei n = k 1 �9 k2 , 1 < k l , ]~2 < TM Dann sind nach Satz 1

(co n - - D) " u n d (O)nkl - - Dkl) kz en = d e k ~ - d

Einheiten in K~. Nun ist

(w~l -- Dkl)k2 -- en, k 1,

SO dab auch das KSrperelement e., kl eine Einheit yon Kn ist.

3"

36 Franz Halter-Koch und Hans-Joachim Stender

Zusatz. Die Formel (2) liefert aueh dann Einheiten fiir K . , wenn man bei Primzahlpotenzgrad n ---- p~, die Zahl d in oJ~ dureh pd mit d 1/9" ersetzt.

Man beaehte, dab die Einheiten s~, ~ im allgemeinen nieht - - wie bei d [D - - in der Ordnung Z [o~,] liegen. Ferner sei bemerkt, dab die Ein- heiten s~ aus (1) den genauen Grad k haben. Dies folgt leieht aus Rela- t ivnormbetraehtungen (siehe die Formel im folgenden Lemma 2). Sehon hieraus erh~lt man einfache Unabh~ingigkeitsaussagen ffir die Einheiten aus (2). Im nKehsten Absehnitt wird gezeigt, dab sieh aus (2) stets un- abh~ingige Einheitensysteme ffir K , ergeben.

2. Unabh~ngigkeit

Satz 3. {s~, k [ k e N, k ] n, k ~= 1} ist ein unabh~ngiges Einheitensystem des KSrpers K , .

Lemma 1. Sei n = p ~ l . . . p ~ , die Primzerlegung yon n, ~ > O, v = p l . . . p ~ und T ~ = { t e N ]tIv, t ~ 1, v}. Ist dann s ~ 2, so gilt

~) (3) ]e~,v[ > ~-[ ] s ~ t [ �9

t~Tv

Dabei ist ] . . . I der gewShnliche Absolutbetrag in der reellen Kon]ugierten des KSrpers K,,.

Beweis . Man setze

/ (~n A = ~ im Plusfall,

D im Minusfall. (9 n

Dann ist in jedem Falle 1 < A ~ ~ ~ ~f2 und

[ ~ . , k l - (A -- i)~ A k - - 1

ffir alle k In, also (3) gleiehbedeutend mit

(4) (~ -- ~)~ (~ -- i)o A~ 1 >~-[

t e T,, (A t _ _ 1)7

Es wird die Ungleichung (4) fiir alle reellen A mit 1 < A _~ V2 bewiesen.

Sei dazu A = 1 + 6, 0 < 6 < ~ / 2 - - 1; dann geht (4) fiber in v

( 5 ) 1 , ~e T [ t _~ ( : ) (~ _~_ , . , .AC ~t__I ] T > (~v . (2s 3) +1_o (V1

mit z(v) = ~ t. t e T ~

Unabh/~ngige E inhe i t en f i i r die K 6 r p e r K = Q ( ~/D ~ • d) mi t d [ D" 37

Es geniigt nun, zu beweisen, dab einerseits

(6)

und andererseits

v- (2 8 - 3 ) + 1 --o'(v) > 0

(7) v

+ < n [, + �9 ' ] ' t e T v

gilt. Delm dann ist wegen 5 < 1 in (5) die rechte Seite kleiner und die linke Seite grSl3er als 1. Wegen s ~ 2 ist

v ( r (v )= ~ t < ~ - ( 2 8 - 2 ) < v ( 2 8 - 3 ) + 1, t e T v

also (6) erfiillt. Ftir den Nachweis von (7) gentigt es,

1 (s) -~. [(x + a) ~ - ~] < v~'-~

zu beweisen, denn

v~ ' - ' ,= l - I e<FI tT<l - I t+ 2 t e T v t e T v t e T v

Betraehte t man die Funk t ion ](~) = ~--[(1 + 6) v - - 1], so ist ](0) = v

< v ~*-2 und ]' (6) > 0 fiir 6 > 0, es bleibt also

1 ~ V2S_2 1 ( ~ / ~ - ') - V~-~

zu zeigen. Nun ist aber sogar 1 < v 2. ( ~ 2 - - 1) fiir alle reellen v ~_ 2, denn die Ungleiehung s t immt ftir v = 2, und die rechte Seite ist monoton wachsend, q. e. d.

._o Fi ) o Lemma 2. F~tr m ln sei r = o~ = • d und K~ = Q (to~); ~at h ] m l n sei

~ m , h - -

Dann gilt /ar Ic In, m In :

( o ~ , . - D ~) __ ~o'2 - - Dm! ~-- ~ h ~ h "

w ~ - - D ' ~ o ~ - - D m

~ K n / K m ('8"0. k) : 'l~n, h

mit t = - ~ , k und h = - ) 7 .

38 F r a n z H a l t e r - K o c h u n d H a n s - J o a c h i m S t e n d e r

B e w e i s . Es ist NlgnlKm(O) n - - D ) k

N 1 Q / K m (e , , , k ) = _NKn/K,~( cok " _ _ D e ) �9

Sei ~ eine primit ive ~ - t e E inhe i t sw~ze l ; dann wird m

-N'K./K., (OJ~ - - D ~) ---- 1 - I [(~'k)~ 0~ - - D~ ] .

m n (* ist eine primit ive l-re Einheitswurzel, wobei l -- n - - - m-t' und

es wird ( ~ , k) z - t / ~ nh\t

NK,m~( ~ - - D~) = 1-[ [(r ~ - - D~'] t = ( c@t-- Dk') t = I ~ - - D ~ ] , ~ 0

insbesondere

woraus

n

t u r n - - _1

folg~, q . e . d .

B e w e i s d e s S a t z e s 3. I s t n e i n e Primzahl, so ist {e~,k ] k ~ N, k ] n , k # 1} = {e~,.}, und der Satz ist wegen e~,. # • 1 riehtig.

Sei nun n : p~ �9 �9 �9 T~' die Primzerlegung yon n, sei ~ > 0, n keine Primzahl und der Satz bereits fiir alle eehten Tefler yon n bewiesen; insbesondere ist dann fiir m [ n, m :# n, das Sys tem {e~, h [ h e N, h I m, h =~ 1} unabh/~ngig in K~ .

Jedes k In besi tzt eine eindeutige Darstel lung k = p ~ l p ~ . . , p~, m i t 0 ~ fli =< ~i, und man setze

8n, (/~1 . . . . . /~s) : 8n, k .

In gleieher Weise sei fiir k ]m ]n

8m, (,81 . . . . . ,Ss) = 8m , Ir

Man nehme nun an, es sei

(9) 1--[ o,(Pl . . . . . ~') =- 1 O ~ fli < eti

(ill . . . . . &) * (0 . . . . . O)

mit v ( f l l , . . . , f l , ) ~ 7/.

U n a b h a n g i g e E i n h e i t e n f i i r d i e K S r p e r K = Q ( ~/~n- =k d ) m i t d I D n 39

~b Fi i r 1 ~_ j < s sei ms = ~ # 1 ; d u r c h A n w e n d u n g v o n .N 'K, , /K, ,r

erh/ilg m a n

H I~Km/K% (Sn, (~1 . . . . . ~s)) ~(~1 . . . . . &) = 1,

(ill . . . . . 8s) * (o . . . . . 0)

u n d es is t n a e h L e m m a 2

a u f (9)

w o b e i

u n d

NK,,/If,~r (~1 . . . . . &)) = t

t = / pC' falls fit > 0 / 1, falls fl~. = 0

k [ P~ '" P ~ " �9 �9 Pf~-I �9 �9 �9 P,~', falls f j > 0 h

' - / v f l p f , . . v , , fa l l s = 0 ,

also i n s g e s a m t

N K n / K , ~ ( e n , (~1 . . . . . 8,)) = m~, (81 . . . . . 8~-~. 8J-~, Cj+l . . . . . ~ , ) , falls f~ > 0 t e m j , (~1 . . . . . 8j . . . . . ~,) , falls f~ = 0.

D a m i g e rh~ l t m a n aus (9)

1 = H [ov(81 . . . . . ~J--l, 0, 8~+1 . . . . . 88) + VJ" V(~l . . . . . ~j--1, 1, 8j+l . . . . . ~s) L~ (~1 . . . . . 8J-1, 0, flJ+l . . . . . fls)

0 _~/~i < ai

at

�9 1 - [ e ~ j l ,(~1 . . . . . 8~-~, ~, 8J+1 . . . . . 8,) 1 (~I . . . . ~J--1, 8it -1 , 8j+1 . . . . . ~S)J ' 8~ = 2

u n d n a c h I n d u k t i o n s v o r a u s s e t z u n g is t d a n n

( 1 0 ) ~ ' ( f l , ' ' ' , ~ J - 1 , 0 , ~ J + l , ' ' ' , f s ) - ~ - P j ' ~ ) ( f l , ' ' ' , f J - -1 , 1, f J + l . . . . . f s ) = 0

f t i r al le (ill . . . . , flJ-1, flr �9 � 9 ft,) u n d

PJ " ~ ( J ~ l ' " " " ' f J - - l ' f i , f i + 1 , " " " ' f s ) = 0

f i i r alle (ill . . . . . fl,) m i t fl~. > 2.

L/iBt m a n n u n ~" laufen , so erh/fl t m a n

v @ l , . . . , f s ) = o

f i i r alle (ill, �9 � 9 fiB) m i t m i n d e s t e n s e i n e m fli ~_ 2. Die v ( f l , �9 � 9 ~s ) m i t 0 ~_ Hi ~ 1 gen i igen d e m l i nea r en h o m o g e n e n G l e i c h u n g s s y s t e m (10);

dieses h a t eine e i n d i m e n s i o n a l e L S s u n g s m a n n i g f a l t i g k e i t , g e g e b e n d u r c h

v ( f l l , . . . , f l s ) : - - ( 1 - - [ P i ) " v(1, 1 , . . . , 1) fli = 0

f t ir alle (fix, �9 �9 -, ft,) ~= (1, 1 . . . . , 1 ) m i t 0 g fli ~ 1 f i i r alle i.

40 Franz Halter-Koch und Hans-Joachim Stender

Is t nun ~(1, 1 . . . . . 1) = 0, so ist aueh 1'(fll . . . . ,fl,) = 0 ftir alle ( f i x , . . . , fls) und die Relat ion (9) trivial.

I s t aber ~(1, 1 . . . . . 1) ~= 0, so erh~ilt man aus (9)

v

t I - I gn, t 8n,v tlv

t :i: l ,v

mit v ~ p ~ �9 p ~ �9 �9 �9 p . . I m FaUe s ---- 1 erh~lt man daraus e , , , ~ = 1 mit v ~ 1, im Falle s ~ 2 einen Widerspruch zu L e m m a 1. Daher kann die Relat ion (9) nu t trivial bestehen.

~ D ~ Z u s a t z . I m FaUe n - - - - p ~ , o~ . = • pd mit d ] D~" bleibt der Unabhiingigkeitsbeweis richtig, da wegen s ~ 1 L e m m a 1 gar nicht be- nStigt wird.

L i t e r a t u r

[1] L. B~.~NSTEI~, The Jacobi-Perron Algor i thm-- I t s Theory and Application. Lecture Notes in Mathematics, Berlin-Heidelberg-New York 1971.

[2] L. BER~STEI~, On units and fundamental units. Journal f. d. reine u. angew. Math. 257 (1972), 129--145.

[3] L. BER~ST~IN-H.~ssE , Einheitenbereetmung mittels des Jaeobi-Perron- schen Algorithmus. Journal f. d. reine u. angew. Math. 218 (1965), 51--69.

[4] H.-J. S~-D~R, l~Tber die Grundeinheit ffir spezielle unendliche Klassen reiner kubischer ZahlkSrper. Abh. Math. Sere. Univ. Hamburg 38 (1969), 203---215.

[5] H.-J . S~NDV.R, Grundeinheiten f'ur einige unendliche Klassen reiner biqua- dratischer ZahlkSrper mit einer Anwendung auf die diophantische Gleiehung x a - a ya = • c (c = 1, 2, 4 oder 8). Journal f. d. reine u. angew. Math. 264 ( 1973 ), 207--220.

[6] H.-J. STENDER, ~ber die Einheitengruppe der reinen algebraisehen ZahlkSrper sechsten Grades. Journal L d. reine u. angew. Math. 268/269 (1974), 78--93.

Eingegangen am 23.7. 1973