Ungleichungen fiir die Minkowskische Summe und

Differenz konvexcr KSrper yon D. OI~IMAN~, Mailand

Vom Verfasser wurde gezeigt, dab zwischen den Fl~tcheninhalten der konvexen Bereiche A und B c A sowie deren Minkowskischen Summe A + B und Differenz A -- B die Ungleichungen

F ( A + B) + F ( A -- B) >~ 2F(A) + 2F(B) und

F ( A + B) ~ 3F(A) + F(B) -- 2F(A){ F ( A -- B)�89

bestehen, die mit den trivialen Ungleichungen F ( A ) >1 F ( A -- B) >~ 0 und F(B) >~ 0 ein vollsti~ndiges Ungleichungssystem bildenl). Diese Ungleichungen werden in der vorliegenden Note in folgender Form auf die Volumina konvexer K6rper des n-dimensionalen euklidischen Rau- rues fibertragen :

1 1 1 1 V (A + B) + V (A -- B) > (V (A)~ d- V (B)~) n + (V (A)~--- V (B)~)n

(V (A) >~ V(B)) , (1) 1 1 1 1

V(A + B ) - V(B) ~<(2 V(A)~ -- V(A -- B)~),~ _ (V(A)X -- V(A -- B)~) '~

( A - - B D L ) . (2)

Dabei steht L in der Ungleichung (2) flit die leere Menge, und es bedeutet A - - B D L , dal~ A - - B nicht leerseinsol l . I n d e r f f i r V(A) >/ V(B) gfiltigen Ungleichung (1) hat man V ( A - B ) = 0 zu setzen, wenn A -- B = L ist.

Ffir n >~ 3 stellen die beiden Ungleichungen (1) und (2) unter der Voraussetzung A -- B ~ L auch im Verein mit den triviMen Unglei- chungen

V(A) >/ V(A -- B) >/O, V(B) >~ 0 (3)

1) D . O h m a n n , E i n v o l l s t ~ n d i g e s U n g l e i c h u n g s s y s t e m f i i r d i e M i n k o w s k i - s c h e S u m m e u n d D i f f e r e n z . Comment. Math. Helv. 27, 151-156 (1953).

297

noeh kein vollsti~ndiges Ungleiehungssystem fiir die vier Gr6Ben V(A), V(B) , V(A + B) und V(A -- B) dar. Wie am Schlug in einer kurzen Bet rach tung gezeigt wird, besi tzt n~mlich nur Ungleichung (2) aueh in h6her dimensionierten Ri~umen die gleiche Bedeutung fiir das Voll- s t~ndigkeitsproblem wie in der Ebene. Dagcgen bildet das Ungleichungs- paar (1), (2) wiederum eine Versch~trfung des Brunn-Minkowskischen Ungleichungspaares

1 1 1 1 1 1 V(A § B) . >~ V(A)-,; § V(B) , , , V(A -- B)g ~ V ( A ) ~ - - V(B)~-. (4)

1. Vorbereitungen fiir den Beweis

(a) Minkowskische Summe und Differenz. Werden die Punk te des Raumes mit den zu ihnen hinweisenden Ortsvcktorcn identifiziert, so ges ta t ten die Minkowskische Summe A - ~ - B und Differenz A - B der konvexen Kiirper A und B die folgenden 1)efinitionen :

A -i- B stellt die Gesamthei t aller P u n k t e x -~- ~)(t c A ; ~) { B) dar. A -- B stellt die Gesamthei t der Punk t e t dar, ftir die x -~- B c A

besteht. Die (lurch diese Fest legungcn en t s tandenen K6rper sind wieder kon-

vex. Im folgenden wird beim Auf t re ten yon Differenzk6rpern stets vor- ausgesetzt, dab diese nicht leer sind.

Aus den Definitionen folgen die Beziehungen ~)

(a) A § B== B - L A , (b) ( A - t - B ) + C = A § 2 4 7 (5)

(a) (A + B ) - - B = - A , (b) (A -- B) -a B_C A , (6)

(a) (A -- B) -- C = A -- (B -i- C), (b) ( A + B ) - - C _ ~ A - i - ( B - C ) (7)

und ).A • ~A = (;r ~ /~) A (2 > / ~ > 0 ) , (8)

wobei die Mengen ),A und/~A in (8) durch Dilatat ion aus A en ts tanden sein sollen. Wi~hrend sich die Formeln (5), (6) und (8) unmi t te lba r er- schliel3en lassen, bedtirfen die Relat ionen (7) eines kurzen Bewcises: Bei (Ta) benutz t man (5) und ( 6 ) u m zuni~chst

[(A -- B) -- CJ + (B -!-C) = {[(A -- .B) -- C] -~- C} + B C (A -- B) + B ~ A

herzulei ten und daraus dureh Subt rak t ion yon A + B die Ungleiehung (A -- B) -- C C _ A -- (B + C) zu gewinnen. Welter folgert man

A ~ _ [ A - - ( B - k C)] + ( B + C ) = {[A -- (B + C)] -k C} -_ B

2) Die Formcln (5) his (Ta) finden sich fiir boliebige Mengen bei H. ttadwiger, Min- k o w s k i s c h e A d d i t i o n u n d S u b t r a k t i o n b e l i e b i g e r P u n k t m e n g e n . . . Math. Z. 53. 210-218 (1950).

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ebenfalls aus (5) und (6) (A -- B ) - - C _ D A - - ( B - i - C ) von B und C. Damit ist (7a) und (Sb) in folgcnder Weise :

(A + B ) - C ~

--: {[A ~- (B -- C)]

Wir haben noch die Beziehung

und sodann die umgekehrte Ungleichung dureh aufcinanderfi)lgende Subtrakt ion schon crwicsen. (7b) crgibt sich aus (6)

{A ~-r(]/-- c) + c1} - c -; C} - C - A -J-(B - C ) .

A , - - B T - - :1 - - B

f l ) (9 ) (A~ =- A -- r t l ; B , -: B -- r B ; O ~- r .:~

anzumerken, (tie aus (7a) un(l (8) flieBt :

A , -- B T -~ A - [ r B i- ( B - - r B ) ] - - A - - ( r I - 1 -- r) B-- - A - - B .

(b) (;emisehle Volumina. Die Minkowskischen gemischtcn Volumina Vk(A;B)- - - V(A . . . . . . t ; / / . . . . B) definicren wir rekursiv (lurch das

Formelsystcm ~) " ~" ~

1 lira ! fVk(A ~-~:B,B) V~+,(A ; B ) _ - ~ _ - k . - I'~.(A ;B)] 6-->0 F, (10)

V o ( A ; !1).= V(A) ( ~ . > 0 ; k - - 0 , 1 . . . n - - 1).

Es ist dann V. fA ; 11) := V(B). Naehdem wir sodann (tie elementaren Eigenschaften der Monotonic und Homogenitiit (lurch

I:k(A'; B') ~. Vk(A; B) (A'C- A ; B ' C - B ) , (11)

V~(RA ;/~B) -- ) : - k .k Vk(A ; B) (2, p >0) (12)

ausgedriiekt !ruben, notieren wir die Entwieklung des Volumens der Minkowskisehen Summe V(A -!-11) naeh den gemischten Volumina:

n i'Tq. ~ V(A ~ ~) :-' ~.27o( k )V~(A', ~) (13)

und merken dic Minkowskischc Ungk, ichung /'t -- l 1

V,(A; B) ~ I'(A) . V(l l ) , , (14)

sowie das Brunn-Minkowskisehe Ungleiehungspaar an : 1 1 1

(a) Vt(A .~.. B ; C ) ~ - i ~ V , ( A ; C ) ~ - f I- V , ( B ; C ) . : ~ - , 1 1 1 ( 1 5 )

(b) V , ( A - - B ; C ) - " - ~ <~ V~(A ;C)-,,5 -- V ~ ( B ; C ) " - f .

a) VgL e twa T. Bonnesen, W. Fenchel, T h o o r i e d e r k o n v e x e n K 6 r t ) e r . Ergeb- nias(, tier Ma th~mat ik umi ihrer Grenzgebiete 3, 1-164, inches. 38-41 trod (.,1-93 (1935).

299

Zu (14) ist dabei zu bemerken, da6 dort nur im Falle der Homothet ie der KSrper A und B Gleichheit gelten kann. Die Ungleichung (15b) ergibt sich mit Rticksicht auf (6b) und (11) dutch Anwendung der be- kann ten Ungleichung (15a) auf (A -- B) + B .

Aus (10) li~l~t sich unter Beachtung yon (5b) noch die Differentiations- formel

V'(A + 3B) : n V I ( A + zB; B) ( 3 > 0 ) (16)

ffir die K6rper der Schar A + r B herleiten. V' gibt darin die Ableitung nach 3 an.

(e) Die Sehar der Relativparanelk6rper naeh innen. Die Haupthi lfe beim Beweis yon (1) stellt uns die yon G.Bol 4) als Beweismittel einge- ffihrte Betrachtung der RelativparallelkSrper nach innen, die in unserer Bezeichnungsweise die DifferenzkSrperschar A~ = A - - 3 B darstellen. Nach G. Bol ist

V ' ( A ~ ) : l i m l E V ( A ~ + ~ ) - - V ( A ) ] : - - n V ( A , ; B ) (O<z < l ; e > O ) . (17) 8---~ 0

Uns wird vor allem die Schar A~, + B , (A~ : A -- a r B ; B~ : B -- 3 B) bei festem ~ (0 ~ a ~ 1) beschi~ftigen. Aus (7) und (8) kann man fiir diese A~,(~+e ) + B~ + e c_ (A~,~ + B~)e(I + ~,) erschlieBen und daraus vermSge (17)

V~up(A~, + B,) < -- (1 + o~) n V, (A~, + B , ; B) (18)

folgern, wobei durch V~u p gekennzeichnet sein soll, dab der Limes in (17) durch den Limes superior zu ersetzen ist. Mit Hilfe yon (12) erhalten wit wegen B , -- (1 -- z)B die endgiiltigen Formeln

n V 1 (A~ ; B~) I (a) V'(A,) -- 1 -- 3

n V(B~) , [ ( 0 < 3 < 1 ) ( 1 9 ) (b) V'(B,) -- 1 -- 3 [ (c) V ~ . v ( A ~ + B ~ ) ~ ( l + a ) n V I ( A ~ + B ~ ; B , ) . [

!

2. Beweis der Ungleiehungen (1) und (2)

(a) Ungleiehung (1) fiir A -- B ~ L . Dutch Kombina t ion yon (19c) und (15a) finder man

2n 1 1 (VI(A~" B,)~--+ + V(BT)~-~) n-1 . V~up(A, + B~) ~ 1 - 3

4) G. Bol, B e w e i s e i n e r V e r m u t u n g y o n H . M i n k o w s k i . Abh. Math. Sere. Univ . H a m b u r g 15, 37-56 (1943).

300

Fiir die Ableitung des Funkt ionals

F ( A , ; B , ) = V(A~ d- B~) d- V (A~ -- B , )

1 1 1 1

- ( V ( A , ) n + V ( B , ) ~ ) ~ - - ( V ( & ) ~ - - V(B,)~:) ~ (0<~<1)

ergibt sich daher gemiB (19a, b) und (9) die Absch i t zung

n f~p(A~; B,) >~ ~(x)

( ) ( ' ) ' ' 1 i ) n - 1 X 1 i i x - - b E (aE--b ' ; ) ~2(XnZ_l @bnL 1 n~E@bn (a-i~_~_b~)~ 1 ~i - i - ,

-a i " a ,n

in der zur Abkiirzung V ( A , ) = a, V ( B , ) = b und V I ( A , ; B , ) = x

gesetzt ist. Da aus der Minkowskisehen Ungleiehung (14) und der Be- n-1 1

dingung A - - B D L wegen (11) auf x o = a - b- ~<x ~<a zu sehlie- 13en ist, kann die wiehtige Beziehung

F[u , (A, ; B,) ~< 0 (20)

der Ungleichung ~v(x) ~> 0 (Xo ~< x ~ a) en tnommen werden, die fiir n = 2 tr ivial ist, und for n >~ 3 wegen der K o n k a v i t i t von ~(x) (~v"(x) < 0 ) aus ~v(xo) = 0 und ~(a) ~> 0 folgt. Wahrend nun ~v"(x) < 0 und q(xo) -- 0 unmi t te lbar verifiziert werden kann, vere infacht man zum Nachweis yon ~(a)>~ 0 zun ichs t zu

, , 1 ~(a) = a - (2 - (1 ~- c,~-l)n-1-- (1 ~- cn)~ -- (1 -- c~)~) c =

und entwickel t nach dem binomischen Lehrsatz. Durch geeignete Zusam-

menfassung erh/~lt man

n ' r / n _ n - - 1 cn ~ _ ]

wobei n ' - - n - - 2 fiir gerades n und n ' - - n - - 1 ftir ungerades n zu 2 2

setzen ist. Als Anwendung der Ungleichung zwischen ar i thmet i schem und geometr ischem Mittel ergibt sich jedoch, dab jedes Glied der Summe nichtnegat iv ist und hSchstens ffir c - - - 0 und c = 1 null werden

kann. Setzt man v0 -= 1, womit sich B~0 auf einen P u n k t reduziert , so

wird V (A,o ~- B~o) = V (A~ o) und V (A,o - - B~o) ---- V (A~o), und es

301

ist mi th in F(ATo ; B,o ) -=-- O. Aus (20) erschlieBt man daher T O

F ( A ; B) ~ F(A~o ; B,o ) -- ~F:,,p(A T ; B,) d T ~ 0 , 0

was den Inha l t der Ungleichung (1) ausmach t . Zur Herlei tung yon sp~tter zu benutzenden Gleichhei tsbedingungen fiir

n ~ 3 stellen wir lest, dab ~(x)--~ 0 ftir n ~ 3 und b ~- V ( B T ) > O nur an der Stelle x -= x 0 bestehen kann. Falls nRmlich, wie es nach der obigen Entwick lung m6glich ist, e twa auch ~(a) := 0 w/ire, so ist

b c . . . . . . . 1 und daher a ==-x 0 Voraussetzung. I )a x - - : x 0 aber nichts

a n - I 1

anderes als V1(A T ; B,) ~-- V ( A , ) - ' ; - V ( B T ) - g bedeute t , ist der Gleich- he i t sbedingung fiir dic Minkowskische Ungle ichung (14) die folgende Aussage zu e n t n e h m e n : In Ungle ichung (I) kann ffir n ~ 3 und V(B) > 0 nur bei homothe t i sehen K6rpe rn ,4 und B Gleichheit eintreten.

(b) D e r F a l l A -- B : - L , V(A) ~ V ( B ) . Da nun V(A -- B)--: 0 ist, un t e r such t man das Verhal tcn des Funkt iona l s

1 1 1 1

G(A ;B~) = V(A -~- Br) -- (V(A)-;~ q- V ( B , ) ~ ) " - . (V(A)-~ -- V(B~)-,,-) n

Beri icksicht igt man, dab hier die zweite K l a m m e r mi t wachsendern z und daher a b n e h m c n d c m V(BT) zun immt , so ergibt sich ffir die Ablci- tung unter Beach tung yon (19)

n 1 1 1 G:,, , , (A'B,) ~ (7---~[V(A -r-' B T ; B , ) -- V ( B , ) i ' ( V ( A ) h V(BT)~)"- ']

n - 1 1

Mit Hilfe yon (14): V ~ ( A - ~ - B , ; B , ) ~ V(A + B T ) - , v - V ( B , ) , und der Brunn-Minkowskischen Ungleichung (4) :

1 1 1

V(A -!- B~),, ~ V(A)~ § V (B~) ,

folgt schon, dab G:u p(A ; B,) ~ 0 ausfallcn mui3. Man ha t nun z, nur noch so groB zu wi~hlen, daI] A -- B, , zwar nicht leer ist, aber doch verschwindendes Volumen besitzt . D a m i t gewinnt man AnschluB an den Fall (a). Es ist dann n~tmlich G(A ; B, , ) -- F ( A ; BT, ) ~ O. Daraus folgt

G(A ; B) ~ G(A ; B , , ) -- ~ G:up(A ; B,) d, ~ O . 0

(e) Die Ungleiehung (2). Durch En twick lung yon V(A q- B) nach der n- l / ' n \

Formel (13) erhiflt m a n V(A + B ) - - V (B) = . X o ( k ) V ~ ( A ; B - , Auf

Grund der Monotoniee igenschaf t (11) k a n n V ( A '~ B) -- V ( B ) daher nicbt abnehmen , wenn man A - - B mi t C bezeiehnet und B sodann

3 0 2

durch A -- C_D B ersetzt. (2) folgt mithin aus der Ungleichung 1 1 1 1

(2 V (A)~-- V (C)~)"-- VIA +(A--C)]~ ( V (A )~-- V (C)~) n - V (A-- C) ,

die abet sicher richtig ist, wenn die Funktion 1 1

y~(~) = (V(A + ~A)~-- V(C)~) ~ -- V[~A + (A -- C)]

fiir ~ ~ 0 monoton zunimmt. Um dies zu zeigen, bilden wir unter Be- achtung von (16) die Ableitung

V~'(~l:-n V:(A§ ;A! (V(A-~ vA):,~-- V(C)i)~-~--n V~FvA§ V (A + ~A)~-

n--1 1 N u n i s t V~(A § ~ A ; A ) : V(A-+- ~A) ~ V(A)n ; u n d e s f o l g t w e i t e r VI[~A -~ (A - -C) ;A] ~ V:[(A § ~ A ) - - C ; A ~ aus (Tb) und (11).

Mit Riicksicht auf (14) ergibt sich daher

1 1

~' ('~)~ n[V~ (A § ~A ; A)~- f - - V~ (C; A) n- -1 i n - - 1 __ n V:[(A § ~A) -- C; A],

so dal~ ~p~(~) g e m ~ (15b) nich~ negativ sein kann.

3. Das Vollst~tndigkeitsproblem Setzt man

V ( A ) = u , V ( B ) = v , V(A + B ) = x , V ( A - - B ) = y , (21)

so gehen die Ungleichungen (3) und (4) bzw. (1) bis (3) in die Unglei- chungssysteme

1 1 1 1 (22) x ~ ( u ~ - ~ v ~ ) n, y ~ ( u ~ - v ~ ) ~

bzw. 1 1 1 1

(a) x ~ y ~ ( u ~ ~-v~)n E - ( u : - - v ~ ) ~ u ~ y ~ 0 , v ~ 0 1 1 1 I (23)

(b) x -- v ~ ( 2 u ~ - - y~)~ -- ( u~ - - y~)~

fiber. Wird nun v > 0 und u ~ v fest vorgegeben, so bezeichne F, (u, v) bzw. T'~(u, v) den durch die Ungleichungen (22) bzw. (23) bestimmten Bereich der (x, y)-Ebene und F3(u, v) die Menge der Punkte (x, y), denen sich derart konvexe K6rper A, B zuordnen lassen, dab (21) erffillt ist. Wir zeigen, dab fiir n ~ 3

~I("I~, V ) ~ tP2(U, U)~ r3(U, V ) (U > v > O ) ( 2 4 )

besteht, was die Folgerung zuli~f~t, dai~ das Ungleiehungssystem (1) bis

303

(3) wohl eine Versehi~rfung des Ungle ichungssys tems (3), (4) darstel l t , jedoch noeh nicht vollsti~ndig ist.

(a) Wie aus (22) zu folgern ist, s tel l t F 1 den Halbs t re i fen der (x, y ) -Ebene dar, der von Teilen der Geraden y z 0, y = Yo und

1 1

x--~ x o begrenzt wird, wobei zur Abki i rzung x 0 _ - - (un -+ V~) ~ und 1 1

Yo ~- ( u ~ - v~) n gesetz t ist. Dureh die Ungle iehungen (23) wird F~ als ein dreiecksfSrmiger Bereich beschrieben, dessen Begrenzung durch die beiden Geraden y = 0 und x + y = x o + y o und die fiir 0 < y < u

1 1 1 1

m o n o t o n fallende K u r v e x - - v ~ (2u~ - - yn-)~ - - ( U ~ - - y~)n gegeben wird. Als Ecken e rmi t t e l t m a n unschwer die P u n k t e P o ( x o ; Y o ) ,

PI(Xl = Xo ~- Yo ; Yl : 0 ) und P ~ ( x ~ : (2 ~ - 1) u § v ; Y2 ~ 0). Es ist dahe r u n m i t t e l b a r F 1 D F2 zu erschlieBen.

(b) Da ftir KSrper A , B posi t iven Volumens in Ungle ichung (1) nur im Falle ihrer H o m o t h e t i e Gleichheit bes teht , d .h. aber fiir x ~ xo und

Y ~ Yo, gehSrt yon der Rands t r ecke P o P 1 des Bereiches I'2 nur der P u n k t Po auch zu F~. Die t r iviale Beziehung F 2 2 / ' 3 versch~rf t sich daher zu F~ D F 3 .

Zur wei teren Un te r suchung des Durchschn i t t s des Randes yon F 2 mi t F. 3 sei A ' ein gerader Kegel des Grundfl~chenradius r 0 und der HShe

n h o ~-- - - r o (K --~ Volumen der (n - - 1)-dimensionalen Einhei tskugel) , und

K

B' stelle einen zu A ' paral lelen K e g e l s t u m p f dar, d .h. einen geraden Kege l s tumpf , der aus e inem zu A ' homothe t i schen Kegel durch Ab- schneiden seiner Spitze e n t s t a n d e n ist. Bezeichnen r I u n d r~ ~ r I dabei die Rad ien der Deckfli~chen yon B ' , so li~Bt sich V ( A ~) ~ - r o und V ( B ' ) = r ~ - - r'~ errechnen. Da sieh A ' + B ' bzw. A ~ - B ' a l s e i n zu A ' paralleler K e g e l s t u m p f bzw. Kegel ergibt, finder m a n zudem V ( A ' + B ' ) ~-- (r o -[- r l ) ~ - - r~ und V ( A ' - - B ' ) -~ (r o - - T1) n , Ftir A ' , B ' t r i t t daher in (2) Gleichheit ein, wie sich durch Einse tzen verifizieren li~Bt. Man k a n n die Rad ien nun aber offenbar noch so wi~hlen, dab die KSrpe r A ' , B ' der Beziehung (21) bei Vorgabe eines beliebigen Qua- drupels u , v, x, y gentigen, fiir das (23) erfiillt ist und speziell in (23b)

Gleiehheit grit. Der Randbogen P o P s gehSrt mi th in ganz zu F3. Dies besagt aber, dab sich Ungle iehung (2) nicht mehr verseh~rfen li~Bt.

E ingegangen den 17 .Oktober 1955

304