Unterdruckung von parasit¨ ¨aren Moden in FBAR-Resonatoren · Unfortunately, FBARs show many unwanted spurious modes beside their main resonance, which reduce FBAR ﬁlter performance

Unterdruckung von parasitarenModen in FBAR-Resonatoren

Der Technischen Fakultat der Universitat Erlangen-Nurnberg

zur Erlangung des Grades

DOKTOR-INGENIEUR

vorgelegt von

Andreas LINK

Erlangen - 2007

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Als Dissertation genehmigt vonder Technischen Fakultat der

Universitat Erlangen-Nurnberg

Tag der Einreichung : 17. November 2006

Tag der Promotion : 30. Januar 2007

Dekan : Prof. Dr.-Ing. Alfred Leipertz

Berichterstatter : Prof. Dr.-Ing. Dr.-Ing. habil. Robert Weigel

Prof. Dr. Leonhard Reindl

iii

Meinen Eltern,meinem Bruder,

Verena

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Danksagung

Die hier vorliegende Arbeit entstand im Rahmen einer Kooperation zwischen der Fir-ma EPCOS AG [6] und dem Lehrstuhl fur Technische Elektronik [7] der UniversitatErlangen-Nurnberg. Mein erster Dank gilt deshalb Prof. Dr.-Ing. Dr.-Ing.-habil. Ro-bert Weigel. Er gab mir die Moglichkeit, diese Arbeit unter seiner Leitung bei der Fir-ma EPCOS in Munchen anzufertigen. Auf der Seite von EPCOS setzte sich Dr. KarlWagner fur das Zustandekommen der Kooperation ein. Dr. Wagner und Dr. ThomasMetzger verhalfen mir daruber hinaus stets in einer sehr unkomplizierten Weise, allenotwendigen Arbeitsmittel fur meine Tatigkeiten zu erhalten. Dafur vielen Dank!

Weiterhin bin ich der gesamten FBAR-Gruppe fur die vielfaltige Unterstutzungzum Dank verpflichtet. Besonders hervorheben mochte ich dabei meinen BetreuerDr. Bernhard Bader, der stets offen fur Diskussionen war und dessen richtungsweisen-de Vorschlage zum Gelingen der Arbeit wesentlich beigetragen haben. In Grundlagen-und Entwurfsfragen standen mir Dr. Habbo Heinze, Dr. Markus Mayer, Dr. WolfgangSauer, Monika Schmidgen und Dr. Edgar Schmidhammer jederzeit zur Seite. Im Hin-blick auf viele erfolgreiche Versuche mochte ich auch die sehr gute Kommunikationmit den Mitarbeitern aus der FBAR-Fertigung herausstellen. Dazu gehoren RainerBraun, Dr. Christian Diekmann, Dr. Christoph Eggs, Anton Heiland, Gudrun Henn,Peter Keinath, Dr. Margot Linss, Dr. Stephan Marksteiner, Dr. Ansgar Schaufele undMartin Woelky.

Im Laufe der letzten zweieinhalb Jahre konnte ich mir auch immer wieder denRat von Dr. Clemens Ruppel einholen. Seine langjahrigen Erfahrungen waren mir beiVeroffentlichungen und Prasentationen eine große Hilfe.

Mein abschließender Dank gilt Barbara Fritsch, die das finale Korrekturlesen dieserArbeit ubernahm.

Munchen, im Oktober 2006 Andreas Link

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vi DANKSAGUNG

Abstract

Filters composed of FBARs are candidates to fulfill the latest cutting-edge require-ments for insertion loss, power durability, bandwidth, and filter skirts. They allowfrequencies as high as 10GHz and show good temperature stability. This makes themcomplementing common MWC and SAW filters.

Unfortunately, FBARs show many unwanted spurious modes beside their mainresonance, which reduce FBAR filter performance. So, there is a need for an efficientsuppression method. In the past, apodization and overlap method have been suc-cessfully applied to improve filters composed of FBARs. In case of membrane-typeresonators, it has been shown that apodization effectively reduces prominent modes inthe resonator’s admittance. It is based on the use of an irregular shape of the activearea of the resonator. In distinction, the overlap method helps to get rid of spuriousmodes by preventing their being coupled to the electric field. Thus, they do not ariseas additional admittance ripples.

In this work, I have investigated the effects of both methods on mirror-type FBARresonators comprising AlN as piezoelectric material. It was possible to directly applythe method of apodization. In contrast, the use of the overlap method additionallyrequested the change of the dispersion behavior of AlN-based layerstacks. Usually,the latter is anomal and so has to be altered to correspond to the demands of aworking overlap. During my researches, another previously unknown possibility tosuppress spurious modes was observed: TE1-steepness reduction. Here, decreasingthe TE1-curve reduces prominent spurious modes.

All methods have been successfully proven by experiments based on previous sim-ulations. Therefore, one of the most important objectives was to assemble a modelparameter set, which allowed precise predictions of resonator behavior.

Finally, all results have been applied to EPCOS’ first FBAR US-PCS duplexerB7633, which was shipped more than two millon times by the mid of October 2006.For future FBAR applications at higher frequencies, an experiment at 2.6GHz provedthe equivalent validity of what was shown in the US-PCS-band at 1.9GHz.

vii

viii ABSTRACT

Zusammenfassung

Bandpassfilter aus FBAR-Resonatoren haben das Potenzial, die hohen Anforderun-gen aktueller und zukunftiger Mobilfunksysteme zu erfullen. Durch ihre maximaleArbeitsfrequenz von etwa 10GHz und eine gute Temperaturstabilitat bieten sie eineAlternative zu etablierten mikroakustischen Filtertechnologien.

Neben der Hauptresonanz zeigen FBAR-Resonatoren weitere parasitare Nebenre-sonanzen. Diese sind unerwunscht und reduzieren die Qualitat von Filtern, die ausFBAR-Resonatoren aufgebaut sind. Daher ist es notwendig, Methoden zur Unter-druckung der Nebenresonanzen zu untersuchen. Aus der Literatur sind hierzu zweiMoglichkeiten bekannt: Apodisation und Uberlappmethode. Apodisation wurde in derVergangenheit bei Membrantyp-Resonatoren angewendet und basiert auf einer unre-gelmaßigen Form der aktiven Resonatorflache. Auf diese Weise wird die Intensitat vonNebenmoden in der Admittanz deutlich reduziert. Bei der Uberlappmethode hingegenverhindert ein Wulst am Rand der oberen Elektrode die elektromechanische Kopp-lung von parasitaren Moden zum elektrischen Feld und somit deren Auftreten in derAdmittanz. Voraussetzung fur die Anwendung der Uberlappmethode ist eine normaleDispersion des Resonatorlagenstapels.

In dieser Arbeit wurden Apodisation und Uberlappmethode bei Spiegeltyp-FBAR-Resonatoren mit AlN als piezoelektrischem Material untersucht. Dabei war es imFalle der Uberlappmethode notwendig, eine Moglichkeit zur Umkehr der anomalenDispersion von AlN-basierten Lagenstapeln zu finden. Weiterhin ergaben die Unter-suchungen eine bisher unbekannte Unterdruckungsmethode: Reduzierung der TE1-Steigung. Hier zeigt sich, dass eine flachere TE1-Dispersionskurve weniger stark aus-gepragte Nebenmoden verursacht als eine steilere. Alle drei Methoden wurden er-folgreich in Experimenten getestet, denen Simulationen vorausgegangen waren. Einwichtiger Meilenstein war deshalb die Erarbeitung eines Modellparametersatzes, derqualitativ korrekte Voraussagen mittels Simulation zuließ.

Die Ergebnisse dieser Arbeit sind in den ersten US-PCS-Duplexer B7633 der FirmaEPCOS eingeflossen. Er wurde bis Mitte Oktober 2006 bereits zwei Millionen Mal ge-fertigt. Die allgemeine Gultigkeit der fur das US-PCS-Band bei 1,9GHz untersuchtenAnsatze wurde durch einen Versuch bei 2,6GHz bestatigt.

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x ZUSAMMENFASSUNG

Inhaltsverzeichnis

Danksagung v

Abstract vii

Zusammenfassung ix

1 Einleitung 11.1 Stand der Technik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Ziel dieser Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Aufbau dieser Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Mobilfunksysteme 52.1 Mobiltelefonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Drahtlose Datennetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3 Ein Blick in die Zukunft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.4 Ubertragungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.4.1 Duplexmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.4.2 Multiplexmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.4.3 Kombination von Duplex- und Multiplexmethoden . . . . . . 12

2.5 Bandpassfilter aus Resonatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.5.1 Mikrowellenkeramikfilter MWC . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.5.2 Oberflachenwellenfilter SAW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.5.3 Dunnfilm-Volumenwellenfilter FBAR . . . . . . . . . . . . . . . 172.5.4 Notwendigkeit von FBAR-Filtern . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3 FBAR-Resonatoren 213.1 Geschichtlicher Ruckblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.1.1 Quarzresonatoren und Quarzfilter . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.1.2 Compositeresonatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.1.3 Membran- und Spiegeltyp-FBAR-Resonatoren . . . . . . . . . 25

xi

xii INHALTSVERZEICHNIS

3.2 Ideales FBAR-Verhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.3 Parasitare Moden in realen FBAR-Resonatoren . . . . . . . . . . . . . 31

3.3.1 Lamb-Moden einer Platte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.3.2 Dispersionsdiagramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.3.3 Energy-Trapping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.3.4 Ankopplung von Moden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.4 Unterdruckung von parasitaren Moden . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.4.1 Filter und parasitare Moden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.4.2 Apodisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.4.3 Uberlapp-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.5 Physikalische Maße zur Charakterisierung . . . . . . . . . . . . . . . 453.5.1 Effektive Kopplung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.5.2 Gute und Gutefaktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.5.3 Linearer Temperaturkoeffizient der Resonanzfrequenz . . . . . . 473.5.4 Mittlerer Radius und Abweichung von der idealen Kreisform . . 47

3.6 Computersimulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.6.1 Uberblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.6.2 1D-Transfer-Matrix-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.6.3 Berechnung von Dispersionskurven . . . . . . . . . . . . . . . 543.6.4 2D-Finite-Elemente-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.7 Analysemethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.7.1 Elektrische Messung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.7.2 Optische Interferometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.7.3 Schichtdickenbestimmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.8 Prozessierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.8.1 Materialien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.8.2 Prozessfuhrung bei EPCOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.8.3 Freiheitsgrade fur den Entwurf und Optimierungen . . . . . . 69

4 Modellparameter fur 2D- und 3D-Simulationen 714.1 Material- und Modellparameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724.2 Messungen an einem Test-Resonator . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.2.1 Wahl eines geeigneten Resonators . . . . . . . . . . . . . . . . 734.2.2 Laser-Interferometrie-Messung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.2.3 Schichtdickenbestimmung mit TEM und Profilometer . . . . . 78

4.3 Erstellen eines Basis-Modellparametersatzes . . . . . . . . . . . . . . 784.3.1 Annahme von Kristallstrukturen . . . . . . . . . . . . . . . . 794.3.2 Vorgegebene 1D-Parameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794.3.3 Literaturdaten fur alle fehlenden Parameter . . . . . . . . . . 80

4.4 Anpassen des Basis-Modellparametersatzes . . . . . . . . . . . . . . . . 81

INHALTSVERZEICHNIS xiii

4.4.1 Einfluss der unabhangigen Steifigkeitsparameter . . . . . . . . . 814.4.2 Systematische Annaherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5 Mehrdimensionale Simulationen 875.1 Verifikation des Modellparametersatzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 875.2 Kippen der TE1-Dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

5.2.1 US-PCS-RX-Stapel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 925.2.2 US-PCS-TX-Stapel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.3 Abflachen des TE1-Astes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

6 Experimentelle Ergebnisse 1016.1 Veranderung der AlN-Dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

6.1.1 US-PCS-RX-Band . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1026.1.2 US-PCS-TX-Band . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

6.2 Flache TE1-Dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1116.3 Apodisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1136.4 Aufgebauter US-PCS-Duplexer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1196.5 WCDMA-Band VII-Resonatoren und -Filter . . . . . . . . . . . . . . 120

7 Schlussfolgerung und Ausblick 123

A Grundlagen der Mikroakustik 127A.1 Verschiebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127A.2 Elastische Dehnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127A.3 Elastische Spannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128A.4 Verknupfung von Spannung und Dehnung . . . . . . . . . . . . . . . 128A.5 Piezoelektrizitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130A.6 Bewegungsgleichung der Translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

B Laser-Interferometrie-Messungen 133B.1 Auslenkungsprofile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133B.2 Großflachige Messungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

Abkurzungen 137

Objekte, Operatoren und Formelzeichen 141

Literaturverzeichnis 146

xiv INHALTSVERZEICHNIS

Kapitel 1

Einleitung

1.1 Stand der Technik

Moderne funkbasierte Kommunikationssysteme stellen immer hohere Anspruche andie elektrischen Komponenten in den Sendeempfangerschaltungen von Basisstatio-nen und mobilen Handgeraten [8]. Das liegt einerseits daran, dass neue Systemeim Hinblick auf hohe Datenraten stets leistungsfahiger entworfen werden und an-dererseits werden immer mehr Systeme in dem fur Mobilfunksysteme geeigneten Fre-quenzbereich untergebracht. Fur Bandpassfilter fordert dies immer hohere Flanken-steilheiten bei gleichzeitig hoher Stoppbandunterdruckung und moglichst niedrigerEinfugedampfung. Dabei ist eine geringe Einfugedampfung fur eine lange Batterie-laufzeit in mobilen Geraten von großer Bedeutung. Bei Basisstationen hingegen spieltsie eine untergeordnete Rolle. Entsprechendes gilt fur die Filterdimensionen: Wahrenddie Handgerate stets kleiner entworfen werden und deswegen heute Bauteilhohen klei-ner 1,5mm erfordern, ist eine Filterhohe von 5 mm in einer Basisstation akzeptierbar.

Fur den gesamten Mobilfunkbereich stehen heute Filter aus Mikrowellenkeramik(MWC-Filter) [9] zur Verfugung. Sie besitzen einige herausragende Eigenschaften wiegute Temperaturstabilitat und sehr hohe Leistungsvertraglichkeit, bringen aber gleich-zeitig ein großes Bauteilvolumen mit sich. Fur mobile Gerate kommen deshalb vor-zugsweise Filter in Oberflachenwellentechnik (SAW-Filter) [10] zum Einsatz. Sie erlau-ben Bauteilhohen unter 1,5mm. Allerdings konnen SAW-Filter aus fotolithografischenGrunden nur bis zu Frequenzen von ca. 2,5GHz großtechnisch hergestellt werden undzeigen eine relativ geringe Temperaturstabilitat. Das bereitet insbesondere im gepaar-ten US-PCS-Band bei 1,9GHz Probleme.

In das Feld der Mobilfunkfilter drangte sich in den 1980er-Jahren die FBAR-Tech-nologie, welche 2002 Marktreife erreichte [11]. Sie basiert auf der Ubertragung desPrinzips klassischer Quarzschwinger hin zu sehr viel hoheren Frequenzen [8] und

1

2 KAPITEL 1. EINLEITUNG

ermoglicht Resonatoren und Filter aus Resonatoren im Bereich zwischen 500MHzund 10GHz. Bis dato werden ausschließlich FBAR-Filter kommerziell hergestellt. ImVergleich zu Filtern in SAW-Technologie zeigen diese eine bessere Temperaturstabi-litat und eine bessere Leistungsvertraglichkeit. Die Herstellung erfolgt mit wenigenAusnahmen mit Standard-Prozessschritten aus dem Halbleiterbereich und ermoglichtwie die SAW-Technologie kleine, niedrige Gehause mit Bauteilhohen zwischen 1 und1,5mm. FBAR-Filter haben damit das Potenzial, in all denjenigen Fallen eingesetztzu werden, in denen SAW-Filter aufgrund zu hoher Frequenz oder mangelnder Tem-peraturstabilitat ungeeignet sind. Beispielhaft seien WLAN im 5GHz-Bereich unddas gepaarte US-PCS-Band bei 1,9 GHz genannt. Hier kann durch den Einsatz vonFBAR-Filtern auf keramische Filter mit großem Volumen verzichtet werden.

Ein realer FBAR-Resonator ist ein begrenzter Korper. Deswegen sind neben dergewunschten Hauptmode noch weitere, genau genommen unendlich viele akustischeModen physikalisch moglich [12, 13]. Ist eine solche Mode energetisch im Resonatorlokalisiert und koppelt daruber hinaus uber den Piezoeffekt mit dem elektrischenFeld, dann tritt sie neben der Hauptmode als zusatzliche Spitze in der Admittanzdes Resonators in Erscheinung. FBAR-Filter werden dadurch deutlich in ihrer Qua-litat gemindert: Sie zeigen eine ausgepragte Welligkeit im Passband und eine gerin-gere Bandbreite, da Passbandflanken im oberen Bereich einbrechen. Deshalb sind dieNebenresonanzen unerwunscht und man bezeichnet sie als parasitare Moden oder(engl.)

”spurious modes“. Besonders storend sind dabei die Nebenresonanzen vom

Wellentyp der Hauptmode TE1, welche relativ ausgepragt sind und frequenzmaßigin der unmittelbaren Nachbarschaft zur Hauptresonanz liegen. Das hat zur Folge,dass sie sich direkt auf das Passband von FBAR-Filtern auswirken. Es ist daher not-wendig, insbesondere diese TE1-Nebenresonanzen effektiv mit massenfertigungstaug-lichen Methoden zu unterdrucken. Aus der Literatur sind dazu bisher zwei Methodenbekannt: Apodisation [14, 15] und die Uberlappmethode [16]. Apodisation basiert aufder Verwendung einer unregelmaßigen Form der oberen Resonatorelektrode. Sie wur-de bisher erfolgreich bei Membrantyp-FBAR-Resonatoren eingesetzt und bewirkt eineMinderung der Intensitat aller parasitaren Moden in der Resonatoradmittanz. Bei derUberlappmethode hingegen verhindert ein Wulst am Rand der oberen Resonatorelek-trode die elektrische Ankopplung der TE1-Nebenmoden und damit deren Auftretenin der Admittanz. Die Uberlappmethode wurde ursprunglich fur ZnO-basierte FBAR-Resonatoren entwickelt und setzt normale Dispersion des FBAR-Lagenstapels voraus.

Fur FBAR-Resonatoren kommen nach dem jetzigen Stand der Dinge ausschließ-lich ZnO und AlN als Piezomaterial in Frage [17]. Beide konnen großtechnisch inder Qualitat der zugehorigen ausgedehnten Festkorper abgeschieden werden [18] undermoglichen Resonatoren im Frequenzbereich von 500MHz bis 10GHz. Wegen derhoheren Temperaturstabilitat von AlN wird dieses aber in praktisch allen Fallen ein-gesetzt [19]. Allerdings zeigen FBAR-Lagegenstapel mit AlN ohne geeignete Maßnah-

1.1. STAND DER TECHNIK 3

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

1800 1850 1900 1950 2000 2050 2100 2150

|S21

| [d

B]

frequency [MHz]

(a) Passband und Stoppband

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

1900 1925 1950 1975 2000 2025

|S21

| [d

B]

frequency [MHz]

(b) Oberer Passbandbereich

Abbildung 1.1: Als Motivation ist ein US-PCS-RX-Duplexfilter gezeigt. Da als pie-

zoelektrische Schicht AlN verwendet wird, scheitert die Uberlappmethode und para-sitare Moden werden nicht unterdruckt. So kann eine typische Passbandspezifikation(αIL = −3,5 dB, B−3,5 dB = 60 MHz) nicht erfullt werden.

men keine normale TE1-Dispersion. Deshalb kann die Uberlappmethode im Fall vonAlN-basierten FBAR-Resonatoren nicht ohne weitere Maßnahmen angewendet wer-den. Dies ist als Motivation in Abbildung 1.1 anhand eines US-PCS-RX-Duplexfiltersillustriert.

4 KAPITEL 1. EINLEITUNG

1.2 Ziel dieser Arbeit

Die vorliegende Arbeit soll den Wissensstand auf dem Gebiet der Unterdruckungvon parasitaren Moden in FBAR-Resonatoren voranbringen. Ziel ist, neben der Ent-wicklung neuer Unterdruckungsmethoden die bereits bekannten Mechanismen so ab-zuandern, dass sie in einem gegebenen Prozess fur Spiegeltyp-FBAR-Resonatoren mitAlN als piezoelektrischem Material verwendet werden konnen. Dabei wird besondererWert auf eine geringe Sensitivitat der Unterdruckungsmethoden gegenuber von Pro-zessschwankungen gelegt. Nur so wird die Massenfertigungstauglichkeit von FBAR-Resonatoren und FBAR-Filtern erhalten.

1.3 Aufbau dieser Arbeit

Die vorliegende Arbeit ist in sieben Kapitel unterteilt. Kapitel 2 gibt zunachst einenUberblick zum Thema Mobilfunksysteme und stellt die heute ublichen Filtertechno-logien fur Bandpassfilter mit kleinem Gehausevolumen vor: MWC, SAW und FBAR.Kapitel 3 beschaftigt sich anschließend detailliert mit FBAR-Resonatoren und richteteinen besonderen Augenmerk auf parasitare Nebenmoden und bekannte Mechanismenzu deren Unterdruckung. Weiterhin wird ein geschichtlicher Ruckblick gegeben, eswerden Simulationsmethoden diskutiert und die quantitative Analyse erlautert. ZumAbschluss des Kapitels grenzt ein Blick auf den EPCOS-FBAR-Prozess die Optimie-rungsmoglichkeiten, die im Rahmen dieser Arbeit zur Verfugung standen, ein. Darauffolgt die Erarbeitung eines Modellparametersatzes fur 2D- und 3D-Simulationen inKapitel 4. Hier wird zunachst ein Basis-Datensatz aus Literaturdaten zusammenge-stellt und anschließend mit den Ergebnissen einer Laser-Interferometrie-Messung anden gegebenen FBAR-Prozess angepasst. So ist es in Kapitel 5 moglich, das physi-kalische Verhalten von FBAR-Resonatoren mit Dispersions- und FEM-Simulationensystematisch zu untersuchen und den Einfluss einzelner Resonatorschichten zu iden-tifizieren. Es stellt sich heraus, dass durch eine geeignete Dimensionierung des aku-stischen Spiegels das TE1-Dispersionsverhalten beeinflusst werden kann, sodass dieUberlappmethode auch im Fall von AlN-basierten FBAR-Resonatoren funktioniert.Weiterhin ergeben bei diesen Untersuchungen sehr flache TE1-Dispersionskurven we-niger stark ausgepragte TE1-Nebenresonanzen als steilere Kurven. Experimente inKapitel 6 bestatigen die in der Simulation gefundenen Ergebnisse. Zusatzlich wirdgezeigt, dass Apodisation auch im Falle von Spiegeltyp-Resonatoren angewendet wer-den kann und dass die fur das 1,9GHz US-PCS-Band entwickelten Methoden ebensoim 2,6 GHz WCDMA-Band VII funktionieren. In Kapitel 7 werden schließlich die Er-gebnisse dieser Arbeit zusammengefasst und weitere Arbeiten zur Verbesserung desKenntnisstandes vorgeschlagen.

Kapitel 2

Mobilfunksysteme

Heute stehen fur den gesamten Mobilfunkmarkt drei ausgereifte Technologien zurVerfugung, mit denen Bandpassfilter großtechnisch hergestellt werden konnen: MWC,SAW und FBAR. Dabei hat jede Technologie ihre Vorzuge, aber auch ihre Nachteile.In diesem Kapitel wird deshalb die Notwendigkeit von FBAR-Filtern herausgestelltund es werden die typischen Einsatzgebiete dieser Filter abgesteckt.

Die Abschnitte 2.1 und 2.2 gehen zunachst auf die heute wichtigsten Mo-bilfunksysteme ein. Erganzend wirft Abschnitt 2.3 einen kurzen Blick in Rich-tung der zukunftigen Systeme der 4. Generation. In Abschnitt 2.4 werden dannUbertragungsverfahren erlautert, die den verschiedenen Mobilfunksystemen zu Grun-de liegen. Abschließend stellt Abschnitt 2.5 das Prinzip der verschiedenen Filtertech-nologien jeweils kurz vor. Dabei kristallisieren sich die typischen Einsatzgebiete vonFBAR-Filtern heraus.

2.1 Mobiltelefonie

In den funfziger Jahren war es wegen der hohen Unterhaltskosten nur wenigen vorbe-halten, die ersten kommerziell erhaltlichen Mobilfunkgerate fur Telefonie zu benutzen.In Deutschland [20] bot zu dieser Zeit die Deutsche Bundespost unter dem NamenOffentlicher Mobiler Landfunk ab 1952 eines der weltweit ersten zusammenhangendenoffentlichen Netze an. Es war fur maximal 10 700 Teilnehmer ausgelegt und basierteauf einem analogen Ubertragungsverfahren im 200MHz Band. Daten konnten nichtubermittelt werden und die Mobilfunkgerate waren so groß und schwer, dass man sieim Kofferraum eines Kraftfahrzeugs unterbringen musste. Die Gesprache waren hand-vermittelt! Man konnte sich nicht ohne Abbruch der Verbindung vom Bereich einerLandfunkstelle (Basisstation) in den der nachsten begeben (Handover) und Telefonie-ren auf auslandischem Gebiet (Roaming) war nicht moglich. Ahnliche Systeme gab es

5

6 KAPITEL 2. MOBILFUNKSYSTEME

auch in wenigen anderen Landern. Es seien beispielhaft MTS und AMTS genannt,welche in Amerika bzw. Japan eingesetzt wurden [21].

Weltweit wurde in der folgenden Zeit stetig an der Verbesserung dieser er-sten kommerziell erhaltlichen Mobilfunksysteme gearbeitet. In immer mehr Landernwurden erstmals Netze installiert und diese nach und nach wieder durch neueTechnologien ersetzt, welche meist in immer hoher liegenden Frequenzbandern mitgroßerer Bandbreite arbeiteten. So kam es 1986 in Deutschland zur Inbetriebnahmedes C-Netzes [20]. Die maximale Teilnehmerzahl stieg sprunghaft auf 800 000 undviele Leistungsmerkmale, welche heute selbstverstandlich sind, wurden eingefuhrt:Selbstwahlverbindungen, Handover, Datenubertragung mit 2 kBit/s und anderes.Technologiefortschritte bei elektronischen Bauteilen machten akkubetriebene Hand-gerate moglich und die Authentifizierung im Netz erfolgte bereits mit einer Chipkar-te. Die Ubertragung im C-Netz war nach wie vor analog. Deswegen und wegen deserstmals moglichen Zugangs einer breiten Bevolkerungsschicht zu mobilen Kommuni-kationsgeraten zahlt es zur ersten Generation (1G) zellularer Mobilfunkstandards.

In den anderen westeuropaischen Landern gab es zur gleichen Zeit dem C-Netzahnliche 1G Netze im 450 und 900MHz Bereich: TACS, NMT und andere [22]. Sie allewaren zueinander inkompatibel. Roaming war so nicht moglich. Das gab den Anstoßzur Entwicklung eines europaweit einheitlichen Standards, GSM, dem erstmals ein di-gitales Ubertragungsverfahren im 900MHz und spater im 1800MHz Band zu Grundeliegen sollte. Neben der Telefonie war eine Datenubertragung mit bis zu 9,6 kBit/s vor-gesehen. In Deutschland gingen die ersten GSM-Netze (D-Netz) 1992 an den Start.Im Rahmen der Deregulierung erhielten erstmals private Unternehmen eine Mobil-funklizenz. Das brachte Mitte der 1990er-Jahre einen erheblichen Preisverfall [20, 23]mit sich und offnete, wie in anderen Landern auch, den Mobilfunkmarkt fur ein Mil-lionenpublikum. Das GSM-System blieb aber keineswegs auf den europaischen Raumbeschrankt. Vielmehr wurde es zum Exportschlager. Heute (Stand Mai 2006 [24]) istes mit einem Weltmarktanteil von uber 75 % und 1,8 Mrd. Teilnehmern das wichtig-ste System uberhaupt und taglich kommen 1Mio. neuer GSM-Kunden hinzu. Es gibt670 GSM-Netze in 200 Landern [25] und Abkommen zwischen den Providern machenweltweites Roaming moglich.

In außereuropaischen Landern gibt es keinen einheitlichen 2G-Standard, also Mo-bilfunksysteme mit digitaler Ubertragung und Datenraten von etwa 10 kBit/s. NebenGSM existieren dort weitere 2G-Systeme [21, 26]. Die wichtigsten sind cdmaOne (IS-95), iDEN, DAMPS (IS-54/IS-134) und PDC. Wahrend die ersten beiden in vielenLandern rund um den Globus zu finden sind, trifft man auf die letzten zwei ausschließ-lich auf dem amerikanischen Kontinent bzw. in Japan.

Ende der 1980er-Jahre [23], noch bevor der bahnbrechende Erfolg von GSMund einiger anderer 2G-Systeme wie cdmaOne absehbar war, machte man sichbereits erste Gedanken uber sehr viel leistungsfahigere Systeme der dritten Ge-

2.1. MOBILTELEFONIE 7

Abbildung 2.1: Frequenzbander der wichtigsten Mobilfunksysteme zusammen mit denvon der ITU vorgeschlagenen Bereichen fur 3G-Systeme [27].

neration (3G). 3G sollte im Gegensatz zur Vorgangergeneration fur eine schnelleUbertragung von Daten im 2GHz Bereich optimiert werden und mit spektral effizi-enten digitalen Ubertragungsverfahren wie WCDMA [28] Datenraten bis zu 2 MBit/sermoglichen [29]. Ursprunglich war ein weltweit einheitliches Mobilfunksystem geplant.Hierzu rief die ITU [30], ein internationales Standardisierungsgremium, 1998 auf, ver-schiedene Vorschlage einzureichen. Deren Auswertung zeigte aber, dass es wegen derbestehenden 2G-Systeme nicht moglich war, einen solchen einheitlichen 3G-Standardzu schaffen [31]. So wurde 1999 schließlich eine Familie von Standards unter demDachnamen IMT-2000 beschlossen, welche von den verschiedenen 3G-Systemen je-weils zum Teil verwendet werden sollen: IMT-DS, IMT-MC, IMT-TC, IMT-SC undIMT-FT. IMT-DS und IMT-TC sind die Basis des europaischen und japanischenUMTS, welches zunachst in Koexistenz GSM ablosen soll. Entsprechend ist IMT-MC die Basis des amerikanischen cdma2000, das die Nachfolge von cdmaOne antritt.IMT-DS, IMT-TC und IMT-MC basieren alle auf WCDMA [32]. Daher wird es mitgeringem technischem Aufwand moglich sein, Mobilfunkgerate zu entwerfen, welchemit UMTS und cdma2000 zurechtkommen. Trotz der verschiedenen IMT-2000 Stan-dards existiert also eine Basis fur internationales Roaming und WCDMA kann als dasin Zukunft wichtigste Ubertragunsverfahren angesehen werden.

In Japan startete das erste 3G-System, UMTS, bereits am 1. Oktober 2001 [33].Osterreich und Deutschland zogen 2002 bzw. 2004 nach. Sud-Korea fuhrte als erstesLand das konkurrierende CDMA2000 1xEV-DO im Jahre 2002 ein. Hier folgte dieUSA zusammen mit Japan im Jahre 2003. Im Mai 2006 gab es weltweit 101 UMTS-


Abbildung 2.2: Weltweite Aufteilung der Mobilfunkkunden im April 2006 nach derTechnologie ihrer Engerate [24].

Provider und 33 Provider, welche CDMA2000 1xEV-DO anboten.

Sowohl fur 2G- als auch bereits fur 3G-Standards existieren Erweiterungen, welchein der Literatur ublicherweise mit 2,5G bzw. 3,5G bezeichnet werden. In allen Fallenkann eine hohere Datenrate erzielt werden. Genannt seien an dieser Stelle EDGE furGSM, CDMA2000 1x fur cdmaOne und HSDPA fur UMTS.

Abschließend zeigt Abbildung 2.1 die frequenzmaßige Lage der wichtigsten Mo-bilfunksysteme zusammen mit den von der ITU vorgesehenen Frequenzbereichen fur3G-Systeme. Abbildung 2.2 stellt daruber hinaus die derzeitige weltweite Verteilungder Mobilfunkkunden, geordnet nach den Technologien ihrer Endgerate, dar. AktuelleZahlen finden sich auf den regelmaßig aktualisierten Webseiten [24,33,34].

2.2 Drahtlose Datennetze

Neben den Mobilfunksystemen gibt es weitere sehr verbreitete Funknetze zur drahtlo-sen Ubertragung von Daten mittels elektromagnetischer Wellen: WPAN, WLAN undWiMAX. Sie alle basieren auf Ubertragungsverfahren, die wahrend der Evolution derMobilfunksysteme erarbeitet wurden.

Unter WPAN versteht man lokal sehr begrenzte Funknetze mit Reichweiten von 0,2bis 100m. Diese Netze sind dazu gedacht, vor allem kleine batteriebetriebene Gerateschnurlos miteinander zu verbinden und erlauben nur geringe Mobilitat. Neben vielenproprietaren Ubertragungsprotokollen hat sich mehr und mehr der offene Standard

2.2. DRAHTLOSE DATENNETZE 9

Bluetooth durchgesetzt, welcher von Anfang an dazu gedacht war, die Landschaftelektronischer Kleingerate zu einen. Bluetooth arbeitet im lizenzfreien 2,4GHz ISM-Band, verwendet eine maximale Sendeleistung von 20 dBm und basiert auf einemCDMA-Ubertragungsverfahren.

WLAN-Netze werden dazu verwendet, bestehende Ethernet-Rechnernetze zu er-setzen, zu erganzen oder gar neu aufzubauen. In praktisch allen Fallen sind Funknetzenach dem IEEE Standard 802.11 [35] gemeint, welche bei der Verwendung von hoch-wertiger Hardware im Innenbereich Reichweiten von bis zu 80m und im Außenbereichvon mehreren hundert Metern zulassen. Die verbreitetsten Varianten sind die Netzenach 802.11b und 802.11g. Sie arbeiten wie Bluetooth im 2,4GHz ISM-Band, habenmaximale Sendeleistungen von 20 bis 25 dBm und Ubertragungsraten von 11 bzw.54MBit/s. Fur das 5,2GHz ISM-Band sind das weniger verbreitete 802.11a und daszukunftige 802.11n vorgesehen. Dort darf mit bis zu 30 dBm gesendet werden und802.11a bzw. 802.11n ermoglichen Ubertragungsraten von 54 bzw. 540MBit/s.

WiMAX ist durch den IEEE Standard 802.16 [36] spezifiziert und fur kabello-se Breitbandverbindungen von bis zu 50 km gedacht. Solche Funkstrecken wurdenbisher ausschließlich mit proprietaren Systemen aufgebaut und die notwendigen Kom-ponenten waren entsprechend teuer. WiMAX soll dies durch einen einheitlichen, of-fenen Standard andern. Zwar steckt es momentan noch in den Kinderschuhen, aberdie Unterstutzung durch viele große Unternehmen [37–39] lasst kunftig auf einenhohen Verbreitungsgrad und geringe Hardwarepreise hoffen. Der ursprungliche Stan-dard 802.16 war in erster Linie fur stationare Punkt-zu-Punkt-Richtfunkstrecken mitSichtkontakt im lizenzpflichtigen Bereich zwischen 10 und 66 GHz gedacht. Damitkonnen Backbones mit hohen Datenubertragungsraten in entlegene Gebiete realisiertwerden. Ubertragungsrate und Reichweite hangen von der verwendeten Kanalband-breite ab, wobei die Reichweite deutlich uber der von WLAN liegt. Im Hinblick aufeinen Massenmarkt sollte man allerdings seine Aufmerksamkeit auf den neueren Sub-standard 802.16d lenken. Er ist eine Ubertragung der ursprunglichen Spezifikation inden Bereich zwischen 2 und 11GHz. Hier sind Sichtverbindungen zwischen Senderund Empfanger nicht unbedingt notwendig und die Hardware kann von jedermannselbst installiert werden. Die Hauptanwendung von 802.16d liegt in erster Linie beider Versorgung von Haushalten mit Breitband-Internet. WiMAX uberbruckt hierbeiwie DSL die

”letzte Meile“ zwischen einem Provider und seinen Kunden. Der wich-

tigste Unterschied zu WLAN ist, dass sich nicht mehrere Kunden eine maximaleUbertragungsrate teilen, sondern dass jedem eine feste Bandbreite zugeordnet ist. Invielen Landern steht fur WiMAX neben den 2,4 GHz und 5GHz ISM-Bandern daslizenzpflichtige 3,4GHz Band [38–40] zur Verfugung.


2.3 Ein Blick in die Zukunft

Systeme fur mobile Telefonie bieten durch Erweiterungen und Neuentwicklungen im-mer hohere Datenraten und sind mehr und mehr auf mobile Breitbandverbindungenzur Datenubertragung ausgelegt. Die Telefonie ruckt dabei aus technischer Sicht eherin den Hintergrund: Sie basiert auf der digitalen Datenubertragung und nimmt vonder maximal moglichen Datenrate nur wenig in Anspruch. Andererseits sind reine Da-tennetze wie WLAN und WiMAX bei geringer Mobilitat der Mobilfunkstationen auchzur Telefonie geeignet. Und das ist der Trend hin zu den 4G-Systemen: Systeme, diesowohl Telefonie als auch hohe Datenraten bis in den GBit/s-Bereich bieten, viele ver-schiedene Typen von Systemen und Mobilfunkgerate, die mit den unterschiedlichenSystemen zurecht kommen und mittels Handover zwischen ihnen wechseln konnen:Multiband-Multimode-Gerate. Ein weltweit einheitlicher Standard ist nicht in Sichtund es ist zudem fraglich, ob ein solcher den Mobilfunkkunden preisliche Vorteilebringen wurde.

Eine Sache kristallisiert sich allerdings bereits jetzt heraus: In Zukunft werdendie CDMA-Ubertragungsverfahren dominieren, welche gleichzeitig senden und emp-fangen. Mit ihnen lassen sich spektral effiziente Systeme realisieren [28, 29, 41], diedaruber hinaus unanfallig gegen Storungen sind. Praktisch alle Mobilfunksystemewerden im Bereich zwischen dem 400MHz und und dem 6GHz arbeiten. Nur hierstehen ausreichende Bandbreiten zur Verfugung und die Ausbreitungseigenschaftender elektromagnetischen Wellen erlauben die Mobilitat der Mobilfunkstationen, oh-ne dass dabei eine Sichtverbindung zu einer Basisstation notwendig ist. Weiterhinwerden Bander, in denen ursprunglich andere Systeme gearbeitet haben, fur neuereTechniken wie UMTS(WCDMA) wiederverwendet. Als Beispiele seien das 850MHzund das 1800 MHz GSM-Band genannt, welche als WCDMA-Band V bzw. III vorge-sehen sind [42].

2.4 Ubertragungsverfahren

In der Nachrichtentechnik dienen Multiplexmethoden im Allgemeinen dazu, meh-rere Signale gleichzeitig in einer Richtung uber ein Medium wie einen Funkkanalzu ubertragen. Die Ubertragungsverfahren der Mobilfunksysteme aus Abschnitt 2.1und 2.2 nutzen dies, um eine Vielzahl von Benutzern uber einen einzelnen FunkkanalK der Bandbreite BK mit einer Basisstation zu verbinden. Telefonie und Datenver-bindungen erfordern daruber hinaus eine bidirektionale Kommunikation, bei der jederKommunikationspartner gleichzeitig oder quasi-gleichzeitig sendet bzw. empfangt. Da-zu dienen Duplexmethoden. Die ublichen Multiplex- und Duplexmethoden werden indiesem Abschnitt kurz vorgestellt.

2.4. UBERTRAGUNGSVERFAHREN 11

P

tf

P

tf

P

tf

(a) (b) (c)

Abbildung 2.3: Aufteilung eines Funkkanals mit gegebener Bandbreite unter mehrerenBenutzern mit Hilfe verschiedener Multiplexverfahren. (a) Frequenzmultiplex FDMA,(b) Zeitmultiplex TDMA und (c) Codemultiplex CDMA

2.4.1 Duplexmethoden

Fließen Signale zwischen zwei Kommunikationspartnern in beide Richtungen, so ar-beiten diese im Duplexbetrieb: Beide konnen sowohl senden als auch empfangen.Wahrend beim klassischen Handfunkgerat dies im Halb-Duplex geschieht, wo ent-weder gesendet oder empfangen werden kann, fordern die Mobilfunksysteme aus Ab-schnitt 2.1 und 2.2 ein gleichzeitiges oder quasi-gleichzeitiges Senden und Empfangenim Vollduplexmodus. Dieser wird entweder durch Zeitduplex TDD oder Frequenzdu-plex FDD realisiert [20,32,43].

Beim TDD erfolgt Senden und Empfangen auf demselben Ubertragungskanal undzwar nicht gleichzeitig, sondern so schnell abwechselnd hintereinander, dass es fureinen Benutzer gleichzeitig erscheint. TDD hat seine Starke bei asymmetrischen Da-tenverbindungen mit stark unterschiedlichen Datenraten in Sende- und Empfangsrich-tung, da der Zeitabschnitt des Empfangens bzw. der des Sendens dynamisch angepasstwerden kann.

FDD hingegen verlagert Senden und Empfangen in zwei verschiedene FunkkanaleK1 und K2 mit unterschiedlichen Mittenfrequenzen fK,1 und fK,2 und in der Re-gel gleicher Bandbreite BK,1 = BK,2, wobei fK,1 und fK,2 einen ausreichenden Ab-stand |fK,2 − fK,1| zueinander haben mussen. Senden und Empfangen finden wirklichgleichzeitig statt. Im Gegensatz zu TDD wird die zur Verfugung stehende Bandbrei-te BHF,1 + BHF,2 effektiver ausgenutzt. Nachteilig ist jedoch, dass beide Funkkanalewegen ihrer unterschiedlichen Frequenzlage unterschiedliche Eigenschaften aufweisen.

2.4.2 Multiplexmethoden

Mobilfunknetze sind zellular organisiert. Damit wird eine hohe Anzahl an Teilneh-mern, also Mobilfunkstationen, im Gesamtsystem ermoglicht [20, 32, 44, 45]. Jeder


Basisstation ist im einfachsten Fall bei TDD ein gegebener Frequenzkanal K oder beiFDD ein gepaarter Frequenzkanal K1/K2 zugewiesen, welcher unter mehreren Mo-bilfunkteilnehmern mit Multiplexverfahren aufgeteilt wird. Abbildung 2.3 stellt dasPrinzip von Frequenzmultiplex FDMA, Zeitmultiplex TDMA und Codemultiplex CD-MA gegenuber. Bei FDMA wird BK in Unterkanale aufgeteilt. Jeder Mobilfunkstation,welche mit der Basisstation verbunden ist, wird genau ein solcher Unterkanal zugeteilt.Bei TDMA kann hingegen jede Mobilfunkstation die gesamte FunkkanalbandbreiteBK nutzen, aber nicht die ganze Zeit. Die Aufteilung erfolgt entlang der Zeitachse.Das dritte Verfahren, CDMA, teilt die Teilnehmer entlang der Leistungsachse auf.Dazu wird jeder Mobilfunkstation ein binarer, rauschartiger Code zugewiesen undalle senden gleichzeitig. Die Daten werden vor der Modulation im Sender entwedermit dem individuellen Code multipliziert, DS-CDMA, oder die Tragerfrequenz wirdinnerhalb der Kanalbandbreite periodisch auf Basis des Codes variiert, FH-CDMA.Der Empfanger kennt diese Codesequenz und kann mittels Korrelation das ihm zuge-wiesene Sendesignal aus dem Signalgemisch herausfiltern.

2.4.3 Kombination von Duplex- und Multiplexmethoden

Die Ubertragungsverfahren von Mobilfunksystemen mit bidirektionaler Kommuni-kation und mehreren Teilnehmern bzgl. einer Basisstation basieren stets auf ei-ner Kombination eines Duplex- und eines Multiplexverfahrens. Jede Kombinationhat dabei ihre Vor- und Nachteile. Reines GSM benutzt z. B. Zeitmultiplex undFrequenzduplex. Die ubliche Abkurzung dafur ist: TDMA-FDD. Weitere wichtigeKombinationen stellt Abbildung 2.4 gegenuber. Fur den Fall eines heterodynenUberlagerungsempfangers1 bzw. -senders ist zusatzlich der jeweilige prinzipielle Auf-bau einer Sendeempfangerschaltung gezeigt.

Diejenigen Kombinationen von Duplex- und Multiplexverfahren, bei welchen nichtdie ganze Zeit gesendet und empfangen wird, erlauben den Einsatz eines einfachenAntennenschalters. Hier wird die Antenne alternierend mit dem Empfangs- und Sen-depfad verbunden. In der Zeit, in der die Antenne mit dem Empfangspfad verbundenist, kann der Leistungsverstarker im Sendepfad abgeschaltet werden und man gewinntbei einem akkubetriebenen Mobilfunkgerat deutlich an Standbyzeit. Ein Antennen-schalter hat zudem den Vorteil einer geringen Einfugedampfung kleiner 1 dB, einerpraktisch vollstandigen Isolation des Sendepfades vom Empfangspfad und eines re-lativ geringen Preises. Am Ausgang des Leistungsverstarkers ist nur ein einfacherTiefpassfilter mit minimaler Einfugedampfung notwendig. Wird hingegen die ganzeZeit gesendet und empfangen, so muss ein Duplexfilter verwendet werden. Dieser hat

1Wegen der vielen notwendigen Einzelkomponenten geht der Trend weg von heterodynen zuhomodynen Konzepten. Diese eignen sich besser fur Multimode-Multiband Mobilfunkgerate [32,46].

2.4. UBERTRAGUNGSVERFAHREN 13

TX−Zwischen−filter

Spiegelfrequenz−unterdrückung

TX−Leistungs−verstärker

TX−Vor−verstärker

DA

A

D

Träger−generator

RX−Vor−verstärker

digitale Signal−verarbeitung

RX−Ein−gangsfilter

"einfacher"Tiefpassfilter

Duplex−schalter

(ZF−Filter)Mischer

Mischer

Takt−Steuerung

Kanal−Filter

Frontend Backend

Kombination: Beispiele:

TDMA-FDD GSM, DAMPS, NADC

CDMA-TDD IMT-TC, Bluetooth, WiMAX, WLAN

(b) Antennenschalter

TX−Zwischen−filter

Spiegelfrequenz−unterdrückung

TX−Leistungs−verstärker

TX−Vor−verstärker

DA

A

D

Träger−generator

RX−Vor−verstärker

digitale Signal−verarbeitung

Duplex−filter

(ZF−Filter)Mischer

Mischer

Kanal−Filter

Frontend Backend

Kombination: Beispiele:

CDMA-FDD cdmaOne, IMT-DS, IMT-MC

FDMA-FDD C-Netz, AMPS

(d) Duplexfilter

Abbildung 2.4: Je nachdem welche Kombination aus Duplex- und Multiplexverfahren

ein Ubertragungssystem benutzt, kann in der Sendeempfangerschaltung vereinfachendein Antennenschalter eingesetzt werden.

eine Einfugedampfung von ca. 3 dB, gehort zu den großten und teuersten Bauelemen-ten in einem Mobilfunkgerat und isoliert den Sende- vom Empfangspfad nur um etwa40 bis 50 dB.


2.5 Bandpassfilter aus Resonatoren

Fast alle Filter in den Sendeempfangerschaltungen aus Abbildung 2.4 sind Bandpassfil-ter2. Sie halten das Kanalubersprechen klein und verhindern, dass Sendeleistung inden eigenen Empfangspfad gelangt. [48]. Dabei wurden in der Vergangenheit sowieauch heute noch die Qualitatsanforderungen an Bandpassfilter im Mobilfunkbereichstetig nach oben geschraubt. Zum Einen hat dies seine Ursache darin, dass nachwie vor in dem fur Mobilfunksysteme relevanten Frequenzbereich immer mehr Syste-me installiert werden, welche sich gegenseitig storen, und zum Anderen werden neueSysteme immer leistungsfahiger entworfen, sodass ein großeres Signal-Storleitungs-Verhaltnis notwendig wird. Abbildung 2.5 fasst die wichtigsten Qualitatsmerkmaleeines Bandpassfilters zusammen.

Bandpassfilter gehoren zu den großten und teuersten Bauelementen in Mobilfunk-geraten und beeinflussen wesentlich deren Akkulaufzeit. Deswegen versucht man ihreZahl klein zu halten. Bereits heutige Halbleitertechnologien ermoglichen Schaltungs-konzepte [31,43], die immer weniger Filter erfordern und die Analogdigitalumsetzungnaher zur Antenne rucken lassen. Dabei wird aber weiterhin der Duplexer an der An-tenne notwendig sein: je nach Ubertragungsverfahren ein Duplexfilter oder ein RX-Bandfilter in Kombination mit einem einfachen Tiefpassfilter. Wahrend solche Tief-passfilter mit flachem Ubergang ins Stoppband durch die Verschaltung weniger dis-kreter Spulen und Kondensatoren platzsparend aufgebaut werden konnen, ist dies beiBandpassfiltern nicht der Fall. Bei Frequenzen uberhalb 500MHz stehen keine Spulenhoher Gute zur Verfugung und eine klassische LC-Schaltung mit steilen Filterflankenhatte Bandpassfilter mit schlechter Gute zur Folge. Zur Realisierung solcher Filterstehen aber die MWC- und SAW- bzw. FBAR-Technologie zur Verfugung, welche inden folgenden Unterabschnitten kurz vorgestellt werden. Ein Vergleich der Eigenschaf-ten grenzt dabei die typischen Einsatzgebiete nach Bauteilgroße, Frequenzbereich undLeistungsvertraglichkeit ab.

2.5.1 Mikrowellenkeramikfilter MWC

Der verbreiteste Typ eines MWC-Filters [9, 49, 50] ist je nach Filterfunktion ausuberwiegend induktiv bzw. uberwiegend kapazitiv gekoppelten λ

4-Leitungsresonato-

ren aufgebaut, siehe Abbildung 2.6. Im Gegensatz zu Leitungsresonatoren mit Luftals Dielektrikum ermoglichen keramische Materialien durch ihr hohes εr von typischer-weise 40-80 eine deutliche Reduktion der Resonatorlange l. Trotz allem sind MWC-Filter sehr große Bauelemente, insbesondere wenn hohe Steilheiten der Filterflankengefordert werden. Andererseits haben MWC-Filter einige hervorragende Eigenschaf-

2Ein Duplexfilter ist aus zwei Bandpassfiltern und einer λ/4-Leitung aufgebaut [47].

2.5. BANDPASSFILTER AUS RESONATOREN 15

fRfL

S21

ILmin

fC

ILα

α ILB

αS

Passband[log]

0 dB

SR

∆α

f [lin]

(a) Filterpassband

Eigenschaft: Auswirkunggeringe Einfugedampfung αIL -lange Akkulaufzeitgroße Bandbreite BαIL

-Eignung fur gegebenes Frequenzbandhohe Flankensteilheit SR -hohe Selektion im RX-Band

-kleiner Bandabstandgeringer Temperaturkoeffizient TCf -kleiner Bandabstandgeringe Welligkeit im Passband ∆α -gleichmaßige Eigenschaft des Passbandeshohe Sperrdampfung αS -hohe Selektion im RX-Pfad

-Reduktion von Storungen im TX-Pfadgeringes Stehwellenverhaltnis SWR -geringer Reflexionsfaktorhohe Leistungsvertraglichkeit Pmax -Einsatz am Ausgang des Leistungsverstarkers

(b) Eigenschaften

Abbildung 2.5: Charakterisierung eines Bandpassfilters bei einer Einfugedampfungvon αIL.

ten, sodass nicht uberall auf sie verzichtet werden kann. Dazu gehoren Temperatur-koeffizienten kleiner 5 ppm/K, eine geringe Einfugedampfung, eine hohe Leistungsver-traglichkeit, hohe Bandbreiten und kostengunstige Herstellungsverfahren.

2.5.2 Oberflachenwellenfilter SAW

Seit der Entdeckung des Interdigitalwandlers [10] ist es technisch moglich, mit ei-ner leitenden Kammstruktur auf einem piezoelektrischen Substrat Oberflachenwellenanzuregen und umgekehrt wieder zuruck in ein elektrisches Signal zu wandeln. Da-


εr( )

Kurzschluss

MetallKeramik

Abbildung 2.6: Prinzip eines MWC-Fil-ters: gekoppelte λ/4-Resonatoren

InterdigitalwandlerReflektor Reflektor

Abbildung 2.7: SAW-Resonator: Interdi-gitalwandler und Reflektoren

mit [10, 51–53] konnen neben vielen anderen Bauteilen auch Resonatoren und Filteraufgebaut werden. Die Fertigung solcher Oberflachenwellen- oder SAW-Bauelemen-te besteht im einfachsten Fall aus dem Aufbringen einer Metallschicht auf ein pie-zoelektrisches Substrat wie Quarz, LiNbO3 oder LiTiO3 und einer anschließendenatztechnischen Strukturierung.

Eine Moglichkeit, einen Bandpassfilter in SAW-Technik zu realisieren, ist die DMS-Struktur [53]. Sie ist sehr klein, erlaubt die Umwandlung eines auf Masse bezoge-nen Signals in ein symmetrisches Signal und wird wegen der geringen Leistungsver-traglichkeit vor allem im RX-Pfad eingesetzt. Ist eine großere Leistungsvertraglichkeitwie im TX-Pfad erforderlich, so verschaltet man mehrere SAW-Resonatoren, sieheAbbildung 2.7, in einer Laddertypeschaltung. Hier konnen Resonatoren nach Bedarfaufgedoppelt werden, was die maximal erlaubte Leistung, aber auch den notwendi-gen Platzbedarf erhoht. Abbildung 2.8 zeigt beispielhaft eine 3,5-stufige Laddertype-schaltung aus seriellen (s) und parallelen (p) Resonatoren. Die Resonanzfrequenzender p-Resonatoren sind bei diesem Schaltungstyp i. Allg. kleiner als die der seriellenund die erreichbare Bandbreite hangt in erster Naherung von der Resonatorkopplung,also dem Abstand zwischen Resonanz und Antiresonanzfrequenz der Resonatoren,ab. Abhangig von der Lange der Resonatorkette sind sehr hohe Flankensteilheitenund eine sehr hohe Fernabunterdruckung moglich, wobei eine langere Kette mit einerwachsenden Einfugedampfung einhergeht. Fur Filter, bei denen die rechte Filterflankesteiler sein muss als die linke, kommt die gezeigte Kombination zum Einsatz, im um-gekehrten Fall eine Schaltung, welche mit parallelen Resonatoren beginnt und endet.Ersteres ist typischerweise bei TX- und zweiteres bei RX-Duplexfiltern der Fall.

Die Massenfertigung von SAW-Filtern ist mit herkommlichen Belichtungsver-fahren bis ca. 2,5GHz moglich. Daruber werden die notwendigen Fingerstruktu-ren so klein, dass nicht mehr im sichtbaren Bereich belichtet werden kann. Wei-terhin ist bei vorgegebener Filtergroße mit solch kleinen Fingerabstanden die Lei-stungsvertraglichkeit eines SAW-Filters eingeschrankt, ohmsche Verluste erhohen dieEinfugedampfung und elektrostatische Entladungen von weit weniger als 1 kV konnen


s

p

s s s

pp

OUTIN

Abbildung 2.8: 3,5-stufiger Laddertype-filter aus seriellen (s) und parallelen (p)Resonatoren.

L

Piezo

untere Elektrode

obere Elektrode

y x

z

dk

Abbildung 2.9: Die FBAR-Technik ist

die Ubertragung des Prinzips von Quarz-resonatoren in den GHz-Bereich.

die Metallstrukturen zerstoren [49].

2.5.3 Dunnfilm-Volumenwellenfilter FBAR

Dunnfilm-Volumenwellenresonatoren, im Englischen abgekurzt FBAR, sind eine Wei-terentwicklung des Prinzips klassischer Schwingquarze hin zu hoheren Frequenzen. Derprinzipielle Aufbau besteht aus der Schichtabfolge Elektrode-Piezo-Elektrode, sieheAbbildung 2.9, und ist im Idealfall mit Vakuum zu einem Substrat isoliert. Genaueresfolgt im Abschnitt 3.

Bandpassfilter in FBAR-Technologie lassen sich analog zur MWC-Technik mitwenigen, akustisch gekoppelten Resonatoren realisieren. Moglich sind so genannteStacked-Crystal-Filter oder Coupled-Resonator-Filter [8], welche relativ große Band-breiten ermoglichen, da der Resonanz-Antiresonanz-Abstand keine Rolle spielt. Aller-dings reicht die erreichbare Flankensteilheit fur die hohen Anforderungen im Mobil-funkbereich nicht aus. Deswegen werden FBAR-Bandpassfilter durch eine Ladderty-peschaltung wie in Abbildung 2.8 aus Resonatoren aufgebaut. Weiterhin sind Latti-ceschaltungen und eine Kombination aus Lattice- und Laddertypeschaltung moglich.

Als piezoelektrisches Material kommt bei FBAR praktisch ausschließlich AlN zumEinsatz, da es technisch aufgewachsen werden kann und eine hohe Kopplung bei nied-rigem Temperaturgang aufweist. Im Vergleich zur SAW-Technologie ist die Anzahlder notwendigen Prozessschritte um ein Vielfaches hoher. Allerdings konnen FBAR-Filter auf relativ großen 200mm Standard-Si-Substraten gefertigt werden. Es findenso pro Wafer mehr Filter Platz und die Bauteilkosten sind in der Massenfertigung ver-gleichbar. Dazu tragt auch die Tatsache bei, dass mit Ausnahme des Piezoabscheide-prozesses alle Prozessschritte aus der CMOS-Fertigung stammen und die zugehorigenFertigungsmaschinen keine Sonderanfertigungen sind. In massenfertigungstauglichenProzessen lassen sich FBARs bis etwa 10GHz reproduzierbar fertigen. Oberhalb dieserFrequenzen wird die AlN-Schicht zu dunn und zeigt schlechtere Eigenschaften.


Keramik SAW(LiTaO3) FBAR(AlN)

Frequenzbereich 1 MHz bis 26 GHz 400MHz bis 2,5 GHz 500 MHz bis 10 GHzLeistungsvertraglichkeit À 1W < 1W < 2WTemperaturkoeffizient < 5 ppm/K −40 ppm/K −20 ppm/KGute 200 bis 400 200 bis 700 1000 bis 1200Herstellungspreis + o o

Große US-PCS-Duplexer 20 x 6 x 4mm [54] 5,0 x 5,0 x 1,5 mm [55] 3,8 x 3,8 x 1,1mm [47]Große UMTS-Duplexer 7,7 x 3,5 x 2mm [56] 3,8 x 3,8 x 1,35 mm [57] 3,8 x 3,8 x 1,4mm [58]

Tabelle 2.1: Vergleich der MWC-, der SAW- und der FBAR-Filtertechnik

2.5.4 Notwendigkeit von FBAR-Filtern

Tabelle 2.1 stellt einige Eigenschaften der MWC-, der SAW- und der FBAR-Filter-technik gegenuber. Die gegebenen Zahlenwerte beziehen sich dabei auf Bandpassfilterfur aktuelle Mobilfunksysteme.

SAW-Filter stellen heute wegen ihrer geringen Große und einem Preis, der nurwenig uberhalb dem der MWC-Filter liegt, die verbreitetste Filtertechnik dar. Siewerden unterhalb von 2,5 GHz in Massenfertigung hergestellt und wegen der kleinerenGroße uberall dort als Bandpassfilter eingesetzt, wo es ihre Leistungsvertraglichkeitund Temperaturstabilitat zulasst. Sind, wie im Fall von Basisstationen, sehr hohe Lei-stungen von bis zu 50 dBm und mehr im Spiel, dann kommen allerdings ausschließlichMWC-Filter in Frage. In diesen Anwendungsgebieten hat deren nachteilige Bauteil-große meist eine untergeordnete Rolle. Genau so ist es bei hohen Frequenzen wieim 6GHz ISM-Bereich, oder aus Temperaturstabilitatsgrunden bei kleinen TX-RX-Bandabstanden wie im gepaarten 1,9GHz US-PCS-Band. In beiden Fallen ist SAWkeine Alternative. Allerdings drangte sich in diese bisher ausschließlich der MWC-Technik vorbehaltenen Gebiete vor einigen Jahren die noch sehr junge FBAR-Tech-nik [11, 47, 59, 60]. Mit guter Temperaturstabilitat und Leistungsvertraglichkeit vonetwa 30 dBm sind zu SAW vergleichbar kleine und vor allem niedrige Gehause moglich.Somit ist FBAR eine bemerkenswerte Neuerung, die in Zukunft neben MWC und SAWdie Grundvoraussetzungen fur einen hohen Verbreitungsgrad hat. Das Hauptanwen-dungsgebiet liegt in folgenden Frequenzbandern:

Frequenzbander und gepaarte Frequenzbander zwischen 2,5 und 10GHz

Gepaarte Bander mit kleinem Frequenzabstand uberhalb von 500MHz

Auch heute noch werden die klassischen Filtertechnologien MWC und insbesonde-re SAW bestandig weiterentwickelt [9, 61–65]. Fur einige Anwendungsgebiete stehen


heute alle genannten Technologien zur Verfugung und es wird der geringste Herstel-lungspreis bzw. die Gehausegroße entscheiden, welche Technologie sich jeweils durch-setzen wird. Allerdings ist es fraglich, ob bei Frequenzen von mehr als 2,5 GHz dieWeiterentwicklungen mit FBAR in Hinblick auf Fertigungskosten und Gehausegroßekonkurrieren konnen. So ist abzusehen, dass FBAR insbesondere bei Frequenzenuberhalb von 2,5GHz eine dominierende Rolle einnehmen wird und die einzig prakti-kable Losung bei geringer Bauteilgroße ist. Einige typische FBAR-Einsatzgebiete derGegenwart und nahen Zukunft sind:

Gepaartes 1,9GHz US-PCS-Band

2,4GHz ISM-Band

2,6GHz WCDMA-Band VII

WiMAX 3 GHz-Bereich

WLAN im 5GHz-Bereich


Kapitel 3

FBAR-Resonatoren

In diesem Kapitel werden die im Abschnitt 2.5.3 bereits angesprochenen FBAR-Reso-natoren genauer betrachtet. Ein geschichtlicher Ruckblick in Abschnitt 3.1 geht dazueinleitend auf die Entwicklungschritte von der Entdeckung des Piezoeffekts bis hinzum heute gebrauchlichen Membrantyp- und Spiegeltyp-FBAR-Resonator ein. An-schließend wird in Abschnitt 3.2 und 3.3 ein ideales FBAR-Verhalten definiert undder reale Fall mit parasitaren Resonatormoden diskutiert. Letztere sind unerwunschtund deshalb beschreibt Abschnitt 3.4 zwei bekannte Mechanismen zu deren Unter-druckung: Apodisation und Uberlapp-Methode. Weiterhin ist Abschnitt 3.5 der Cha-rakterisierung von FBAR-Resonatoren und deren parasitarer Moden mit physikali-schen Großen gewidmet. Darauf folgend erlautert Abschnitt 3.6 die Modelle wichtigerComputerprogramme, welche das Verhalten von FBAR-Resonatoren nachbilden. Mitihnen ist es moglich, die Resonatorphysik besser verstehen zu lernen, geeignete Unter-druckungsmaßnahmen zu entwickeln und optimale Arbeitspunkte zu finden. Fur quan-titative Vergleiche mussen FBAR-Resonatoren vermessen werden. Die wichtigstenMessmethoden sind in Abschnitt 3.7 aufgefuhrt. Abschließend wird in Abschnitt 3.8die FBAR-Fertigung der Firma EPCOS vorgestellt und damit der mogliche Spielraumfur Optimierungen in dieser Arbeit abgesteckt.

3.1 Geschichtlicher Ruckblick

3.1.1 Quarzresonatoren und Quarzfilter

Es war in den Jahren 1880 und 1881, als von den Brudern Curie der direkte undindirekte Piezoeffekt als linearer Zusammenhang zwischen mechanischer Kraft undelektrischem Feld entdeckt wurde [66–68]. Allerdings zeigte sich erst Jahre spater,nachdem der Franzose Langewin 1917 den Piezoeffekt zur Unterwasserortung mit

21

22 KAPITEL 3. FBAR-RESONATOREN

uz

L

Piezo

(a)

(b)

z

untere Elektrode

obere ElektrodeResonanzpfad

x

y

z

d

(Draufsicht)

aktiveFläche

Abbildung 3.1: Klassischer Quarzreso-nator. (b) zeigt die mechanische Aus-lenkung im Falle eines Dickendehnungs-schwingers bei Grundtonresonanz.

uz

(b)

(a)(Draufsicht)

Substrat

x

y

z

z

Abbildung 3.2: Bei einem Compositere-sonator werden Elektroden und piezo-elektrisches Material als dunne Schichtauf einem Substrat abgeschieden.

Ultraschall einsetzte, das Interesse einer breiteren Masse an Wissenschaftlern, diejetzt nach weiteren Anwendungsfeldern [69,70] suchte. Schließlich war es 1919 Cady,welcher als erster einen Schwingquarz mit zwei Elektrodenpaaren zur Frequenzstabi-lisierung seines Rohrenoszillators benutzte. Der darauf aufbauende Pierce-Oszillatorist die Grundlage fur die meisten der heute verwendeten Oszillatoren und enthalteinen Quarzresonator mit nur einem Elektrodenpaar, siehe Abbildung 3.1 unten. DasPrinzip eines solchen Resonators ist folgendes: Wird an die Metallisierung auf beidenSeiten des Piezokristalls, den Elektroden, eine elektrische Wechselspannung angelegt,so erfolgt uber den Piezoeffekt im Bereich zwischen den Elektroden die Anregungeiner akustischen Welle. Diese hat die Frequenz f der elektrischen Anregung. Im ein-fachsten Fall ist es eine longitudinale oder transversale Welle mit Ausbreitung in z-Richtung parallel zum elektrischen Feld. Betragt die Dicke d der piezoelektrischenSchicht ein Vielfaches der Wellenlange der akustischen Welle, dann kommt es zurResonanz. Bei Annahme unendlich dunner Elektroden, keinerlei Verlusten, einer un-endlichen Ausdehnung des Aufbaus in horizontaler Richtung und der Anregung einerlongitudinalen Welle in z-Richtung mit Ausbreitungsgeschwindigkeit vL ist dies bei

fr,n = nvL

2dmit n ∈ N (3.1)

der Fall. Mechanisch sind Moden mit beliebigem n moglich, elektrisch werden nur diemit ungeradem n angeregt: n = 1 ist der Grundton, n = 3 der 1.Oberton usw. Jede

3.1. GESCHICHTLICHER RUCKBLICK 23

s s

p

Massenbelag1

1 4

43

2

3

2

(c)

(b)

(a)

(Draufsicht)

Abbildung 3.3: Bei einem monolithischen Filter sind mehrere Resonatoren auf demsel-ben Substrat zu einem Filter verschaltet. Hier ist ein 1,5-stufiger SPS-Laddertypefilterin klassischer Quarztechnik gezeigt. Ein zusatzlicher Massenbelag verringert die Re-sonanzfrequenz der parallelen (p) gegenuber der der seriellen Resonatoren (s).

Resonanz außert sich im frequenzmaßigen Verlauf der Impedanz des Resonators undkann so fur elektrische Schaltungen wie Oszillatoren ausgenutzt werden. In der Regelist nur eine Resonanz, meist der Grundton, gewunscht.

Damit es uberhaupt zu einer stehenden Welle und damit zur Resonanz kommt,darf moglichst wenig Energie aus dem Resonator entweichen. Dies ist in vertikalerRichtung durch den Ubergang der Elektroden zu Luft gewahrleistet. Hier werden imFalle von Al-Elektroden 99,995 % der akustischen Energie reflektiert. In horizonta-ler Richtung verhindert das so genannte Energytrapping [71, 72] ein Entweichen vonEnergie: Die Elektroden sind in der Realitat endlich und so ist die mechanische Re-sonanzfrequenz außerhalb des Uberlappungsbereiches der beiden Elektroden und derPiezoschicht hoher als innerhalb der aktiven Resonatorflache. Auf diese Weise kannsich die akustische Welle außerhalb der aktiven Resonatorflache nicht ausbreiten. Sieklingt exponentiell ab und die akustische Energie bleibt lokalisiert.

Bei den fruhen Arbeiten zu Quarzschwingern erkannte man, dass durch die elektri-sche Verschaltung mehrerer Resonatoren monolithische Bandpassfilter realisiert wer-den konnen [73]. Dazu werden auf ein und demselben Substrat mehrere Resonatorenmeist in der Lattice- oder Laddertypekonfiguration zu einem Filter verschaltet, ver-gleiche Abschnitt 2.5. Moglich ist dies, da der oben beschriebene Energytrappingme-chanismus verhindert, dass sich die einzelnen Resonatoren gegenseitig beeinflussen.Zur Illustration ist in Abbildung 3.3 ein 1,5-stufiger Laddertypefilter aus drei Quarz-resonatoren zu sehen.


In der Zeit nach Cadys Entdeckung trieben vor allem Funkamateure und der2.Weltkrieg die Forschungsarbeiten an Quarzresonatoren und Quarzfiltern voran.Nach und nach begann deren großindustrielle Herstellung. Die Quarzplattchen furResonatoren und Filter wurden anfangs aus Bergkristallen durch Schneiden undDunnschleifen gewonnen. Fortschritte machten spater auch das kunstliche Heranzie-hen von SiO2-Einkristallen moglich und man erkannte, dass geeignete Kristallschnit-te [70, 71] einige ausgezeichnete Eigenschaften haben. Der am weitesten verbreiteteSchnitt ist der AT-Schnitt, welcher neben einer guten Stabilitat der Resonanzfrequenzuber einen großen Temperaturbereich Grundtondickenscherschwinger weit uberhalbvon 10MHz ermoglicht. Andere Schnitte werden fur Dickendehnungs-, Flachenscher-und fur Biegeschwinger bzw. auch fur Stimmgabelquarze bei niedrigeren Resonanz-frequenzen verwendet. Dabei bestimmt der Schnitt und die Elektrodenkonfiguration,welcher Wellentyp angeregt wird.

3.1.2 Compositeresonatoren

Quarz wird wie alle Kristalle bei kleinen Dicken bruchig und somit schwerer zu ver-arbeiten. Bei der großindustriellen Herstellung von klassischen Quarzresonatoren undQuarzfiltern stieß man deshalb schon bald auf eine obere Grenze fur Resonanzfre-quenzen bzw. Filtermittenfrequenzen. Diese Grenze liegt in etwa bei 60MHz [8, 74].Auch ein Betrieb der Filterresonatoren im n-ten Oberton ist keine echte Abhilfe, denndie Resonatorkopplung und damit die Filterbandbreite nehmen mit 1/n ab [75]. DieAnforderungen moderner Mobilfunksysteme an Bandpassfilter, welche typischerweiseeine relative Filterbandbreite von 5% verlangen, konnen damit nicht erfullt werden.In der Vergangenheit wurden deshalb immer wieder Versuche unternommen, Quarz-plattchen fur Grundton-Resonatoren chemisch weiter zu dunnen [76–78]. Dabei zeigtesich allerdings, dass Quarz im GHz-Bereich auch im Grundton eine fur Bandpassfil-ter viel zu geringe Kopplung aufweist [8]. So begannen Wissenschaftler schon in den1970er-Jahren, einen ganz anderen Weg einzuschlagen: Man vermied es, einen Piezokri-stall von großen zu kleineren Dicken zu dunnen, und ließ piezoelektrische Materialienmit hoher Kopplung in einem geeigneten Prozess hin zur Solldicke aufwachsen, sieheAbbildung 3.2 (a) und (b). Solche Resonatoren werden in der Literatur als Compo-siteresonatoren bezeichnet. Hier waren von Anfang an Resonanzfrequenzen bis zu1GHz moglich [74]. Als Substrat kam bei der Pionierarbeit von Sliker, Robertsund Page ein moglichst dunnes Quarz- [74] oder Si-Plattchen [79] zum Einsatz undals Piezomaterial wurde CdS verwendet, welches man im Vakuum aufdampfte. Zwargeht durch diese Vorgehensweise die Moglichkeit der Wahl eines beliebigen Kristall-


Substrat(Si)

p+

uz

z

uz

(b)

(a)

z

entfernte Opferschicht

Membran

dickes Substrat

Abbildung 3.4: Die Isolation der ste-henden Welle erfolgt beim Membrantyp-FBAR durch beidseitige Ubergange zuLuft: (a) Atzvorgang von der Ruckseite;(b) Entfernen einer Opferschicht.

z

großes Z

großes Z

kleines Z

kleines Z

kleines Z

kleines Z

großes Z

großes Z

uz

dickes Substrat

Abbildung 3.5: Eine alternierende Folgevon akustisch hoch- und niederimpedan-ten Lagen verhindert beim Spiegeltyp-FBAR ein Entweichen von Energie indas Substrat.

schnittes fur besondere Eigenschaften verloren1, aber man vermeidet so mechanischesDunnen und kann durch ein geeignetes Verhaltnis von Substrat- und Piezodicke eineTemperaturkompensation erreichen. Zunachst wurde vor allem CdS als Piezomaterialverwendet, spater praktisch ausschließlich ZnO und AlN. Beide Materialien konnen ineinem Sputterprozess auf Wafern2 mit einer sehr homogenen Schichtdicke aufgetragenwerden und die dunnen Schichten erreichen ahnlich gute physikalische Eigenschaftenwie die jeweils zugehorigen ausgedehnten Festkorper [18, 80]. Roberts zeige kurznach den ersten Veroffentlichungen uber Compositeresonatoren auch Ergebnisse vonmonolithischen Filtern [75], welche mit dieser Technik realisiert wurden.

3.1.3 Membran- und Spiegeltyp-FBAR-Resonatoren

Die ersten Compositeresonatoren wurden gezwungenermaßen bei einem Oberton ho-her Ordnung betrieben, denn das Substrat eines solchen Resonatoraufbaus ist Teildes Resonanzpfades. Abbildung 3.2 (b) illustriert hierzu beispielhaft den Betrieb im

1Abhangig vom Untergrund wachsen piezoelektrische Materialien in einem Aufdampf- oder Sput-terprozess entlang der einen oder anderen Kristallachse auf, meist aber entlang der c-Achse. Es ist ineiner Fertigung eine Herausforderung an die Prozessingenieure, dies reproduzierbar zu gewahrleisten.

2Die Prozessierung von vielen Bauteilen auf einem einzelnen Wafer, welcher spater zersagt wird,ist die Grundvoraussetzung fur eine Massenproduktion und somit fur die Herstellung von billigenBauteilen fur den Mobilfunkmarkt.


Membrantyp-FBAR [81–86]

Alternative Namen: â FBARâ TFBARâ Compositeresonator

Vorteile: â Stehende Welle ist im Piezo lokalisiert:â Hohe Guteâ Hohe Kopplung

â Wenige Prozessschritte:â Billiger Prozessâ Einfache Integration in Halbleiterprozesse

Nachteile: Ø Herausforderung, eine stabile Membran reproduzierbarzu fertigen

Ø Luft reflektiert frequenzmaßig uberall gleich gut =⇒ un-erwunschte Wellentypen bilden ebenfalls ungedampft ste-hende Wellen

Spiegeltyp-FBAR [87–91]

Alternative Namen: â SMRâ SBAR

Vorteile: â Unkomplizierte Standardhalbleiterprozessschritteâ Robuster Aufbauâ Gute Warmeableitung uber das Substrat =⇒ erhohte Lei-

stungsvertraglichkeitâ Reflektivitat des Spiegels ist frequenzabhangig =⇒ Un-

terdruckung von ungewollten Modentypen moglichâ Physikalisches Verhalten kann uber die Dimensionierung

der Spiegelschichten beeinflusst werdenNachteile: Ø Stehende akustische Welle dringt in den oberen Teil des

Spiegels ein:Ø Verringerung der Gute, da zusatzliche VerlusteØ Verringerung der Kopplung, da stehende Welle nicht

im Piezo lokalisiertØ Viele Prozessschritte =⇒ hohere Prozesskosten

Tabelle 3.1: Vergleich von Membran- und Spiegeltyp-FBAR

5.Oberton, wobei der Piezo als Dickendehnungsschwinger arbeitet. In ihm selbst stehteine akustische λ/2-Welle. Die restlichen Halbwellen sind im Substrat lokalisiert. Da-mit befindet sich auch ein Großteil der gespeicherten Energie der stehenden akusti-schen Welle in diesem Substrat unterhalb des Resonators und es wird nicht die mitdem verwendeten Piezomaterial maximal mogliche elektromechanische Kopplung er-reicht. Aus diesem Grund arbeiteten zu Beginn der 1980er-Jahre mehrere Forschungs-gruppen um Lakin [92], Grudkowski [93] und Nakamura [94] daran, das Substrat


unterhalb des eigentlichen Piezoresonators dunner zu machen und den Aufbau in Rich-tung Grundtonschwinger zu verbessern. Sie nutzten dabei die jungsten Fortschritteaus der IC- und MEMS-Technik: Man dotierte zunachst ein Si-Substrat, sodass aufdessen Oberflache eine dunne p+-Schicht entstand. Anschließend baute man daraufden Piezoresonator auf und beseitigte mit einem selektiven Atzprozess das Si unter-halb des Resonators. Der Piezo mit dem Elektrodensystem sitzt auf einer dunnenMembran und arbeitet im 2. oder 3.Oberton bzw., wenn die Membran sehr dunngemacht wird, praktisch im Grundton. Diese Weiterentwicklung des Compositereso-nators ist in Abbildung 3.4 gezeigt und war die Geburtstunde der FBAR-Technologie.Heute nennt man einen solchen Compositeresonator mit Membran kleiner λ/2 Mem-brantyp-FBAR. Je dunner die verbleibende Membran dabei ist, desto mehr Kopplungwird erreicht [18,92]. In der Folgezeit erzielte vor allem die Gruppe um Lakin weite-re bemerkenswerte Technologiefortschritte: 1982 prasentierte sie einen Aufbau ohneMembran. Dazu wurde die p+-Schicht mit einem zusatzlichen weiteren Atzverfahrenvollstandig beseitigt [95]. Das Ergebnis war ein lediglich an den Ecken aufgehangterResonator mit der Schichtfolge Luft-Elektrode-Piezo-Elektrode-Luft entlang des Re-sonanzpfades. Da es sich aber als schwierig erwies, einen solchen echten Grundton-schwinger reproduzierbar herzustellen, und da der Atzvorgang von der Ruckseite pro-blematisch ist, gingen viele Forschungsgruppen dann zu einer Alternative uber. Sie istin Abbildung 3.4 (b) dargestellt und liefert eine robustere Membran: Es wird zunachsteine Opferschicht aufgebracht und strukturiert, anschließend der eigentliche Piezoreso-nator mit sehr dunner Membran und schließlich wird die Opferschicht wieder entfernt.Die Prozessschritte finden ausschließlich auf der Waferoberflache statt und sind somitvorteilhaft fur eine Massenproduktion auf großen Wafern.

1995 zeigte Lakin [96] eine weitere FBAR-Variante, den Solidly Mounted Resona-tor (SMR) oder Spiegeltyp-FBAR, welche auf dem von Newell 1969 beschriebenenPrinzip eines akustischen Spiegels aufbaut [97]. Der prinzipielle Aufbau ist in Abbil-dung 3.5 gezeigt: Eine Folge von akustisch abwechselnd hoch- und niederimpedantenλ/4-Lagen wandelt die akustische Impedanz des Substrates in die von Luft. Auf dieseWeise

”sieht“ der Piezoresonator mit Blick zum Substrat praktisch Luft und kann

mit hoher Gute schwingen. Auch hier sind Prozessschritte ausschließlich auf der Wa-feroberflache notig und die Grundvoraussetzung fur die Massenproduktion billigerBauteile ist somit gegeben.

Membran- und Spiegeltyp-FBAR werden an mehreren Literaturstellen wie [1, 8,17, 49, 81, 98–103] diskutiert. Tabelle 3.1 stellt die wichtigsten Vor- und Nachteilegegenuber und nennt auch die in der Literatur alternativ verwendeten Bezeichnun-gen. In dieser Arbeit wird aber weiterhin auf die Nomenklatur Membrantyp- undSpiegeltyp-FBAR zuruckgegriffen, da diese Bezeichnungen implizit eindeutig den je-weiligen Aufbau wiedergeben und beide die dunne Piezoschicht im Gegensatz zumklassischen Volumenschwinger aus Abschnitt 3.1.1 betonen. Hier sei noch angemerkt,


dass sowohl beim Membrantyp- als auch beim Spiegeltyp-FBAR die Moglichkeit einervollstandigen Temperaturkompensation verloren ging. Diese war beim Quarzschwin-ger durch einen geeigneten Schnitt und beim Compositeresonator durch ein geeignetesVerhaltnis zwischen Piezo- und Substratdicke moglich.

Nachdem von mehreren Forschungsgruppen in den 1980er-Jahren gezeigt wurde,dass FBAR-Resonatoren und FBAR-Filter im GHz-Bereich mit massenfertigungstaug-lichen Prozessschritten hergestellt werden konnen, haben Dutzende Firmen damit be-gonnen, eigene FBAR-Fertigungen aufzubauen. Viele haben dieses Vorhaben auchwieder eingestellt. Zum gegenwartigen Zeitpunkt konnen FBAR-Produkte von Ava-go3 [58, 104, 105], EPCOS [4, 47, 106], Fujitsu [60, 64, 107], Infineon [59, 99, 108] undPhilips [109,110] bezogen werden. Die meisten davon bieten US-PCS- und UMTS-Du-plexfilter, US-PCS- und UMTS-TX-Einzelfilter und Einzelfilter fur WLAN im 5GHz-Bereich an und es wird ausschließlich AlN als Piezomaterial verwendet. Weiterhinarbeiten einige namhafte Halbleiterhersteller wie Infineon, Triquint4, Skyworks5 undMaxim an FBAR-Filtern, um in Zukunft ein gesamtes Mobilfunkfrontend, siehe Abbil-dung 2.4, als Modul oder gar monolithischen Chip anbieten zu konnen. Abschließendsei bemerkt, dass Avago der Namensgeber der FBAR-Technologie ist. Die Firma bot2001 als Erste Bauteile im Volumen unter dem Technologienamen FBAR an [11].

3.2 Ideales FBAR-Verhalten

Allgemein ist ein elektrischer Resonator ein Bauelement, welches durch das Anlegeneiner Erregergroße wie z. B. einer Spannung zu erzwungenen Schwingungen angeregtwird und bei einer bestimmten Frequenz fr ein Resonanzverhalten an den Bauteil-klemmen zeigt.

Sowohl beim Membrantyp- als auch beim Spiegeltyp-FBAR besteht der eigentlicheResonator aus der Schichtfolge Elektrode-Piezo-Elektrode, siehe Abbildung 2.9. ImIdealfall wird genau eine einzige Mode, eine stehende longitudinale Volumenwelle mitWellenvektor k, uber das elektrische Feld angeregt. Deren großte Komponente ist kz.Bei der mechanischen Resonanz fr bewirkt dabei die Wechselwirkung zwischen akus-tischer Welle und elektrischem Feld ein Admittanzmaximum. Frequenzmaßig etwashoher gelegen kommt es weiterhin zu einer maximalen elektrischen Einfugedampfung.Bei dieser Frequenz fa sind die dielektrische und die mechanische Ladungsverschie-bung [111] entgegengesetzt gleich groß und man spricht von Antiresonanz. fa > fr

ist typisch fur piezoelektrische Resonatoren und die Grundvoraussetzung fur den Bau

3Agilent hat seinen Halbleiterbereich im Dezember 2005 als eigenstandige Firma Avago Techno-logies ausgegliedert.

4Lakins Firma TFR wurde im Januar 2005 von Triquint aufgekauft.5Agere wurde im April 2005 von Skyworks ubernommen.

3.2. IDEALES FBAR-VERHALTEN 29

0C

CsLsRs

2,77Ω

1,60pF

82,5fF

79,8nH

Abbildung 3.6: Butterworth-Van Dyke-Modell eines FBAR-Resonators. Die gegebe-nen Bauteilwerte sind typisch fur das US-PCS-RX-Band mit AFBAR = (180 µm)2.

von Laddertype-Bandpassfiltern.Das oben beschriebene ideale Resonatorverhalten kann mit dem Butterworth-Van-

Dyke-Modell (BVD-Modell) [68,70,112] aus Abbildung 3.6 nachgebildet werden. Furdas Verstandnis der Arbeitsweise eines piezoelektrischen Resonators ist dieses sehr hilf-reich. Dabei handelt sich um einen gedampften Serienschwingkreis aus dynamischerKapazitat Cs, dynamischer Induktivitat Ls und Verlustwiderstand Rs, dem insgesamteine statische Kapazitat C0 parallel geschaltet ist. Es sind typische Werte fur einen Se-rienresonator im US-PCS RX-Band gegeben und die sich damit ergebende elektrischeAdmittanz nach Betrag und Phase in Abbildung 3.7 (a) geplottet.

Vernachlassigt man der Einfachheit halber RS, so ergibt sich die Admittanz zu:

Y11 = jωC0 +jωCs

1− ω2LsCs

(3.2)

Man erkennt die Dominanz des ersten Terms fur sehr kleine und fur sehr große Fre-quenzen. Somit bestimmt C0 und damit die aktive Resonatorflache AFBAR das Ver-halten fernab der Resonanz. Die Resonanz- und Antiresonanzfrequenz liegen bei

fr =1

2π√

LsCs

(3.3)

und fa =1

2π√

LsCmit C =

CsC0

Cs + C0

, (3.4)

wobei eine große statische Kapazitat eine frequenzmaßig hoher gelegenen Antiresonanzbewirkt. Beim Filterentwurf ist die Resonatorflache AFBAR und damit die statischeKapazitat C0 aber nicht frei wahlbar, sodass dieser großere Resonanz-Antiresonanz-Abstand6 von großeren Resonatoren nur ein scheinbarer Vorteil ist.

Durch das BVD-Modell lassen sich in 1.Naherung elastische, piezoelektrische unddielektrische Verluste in allen Schichten beschreiben. Daruber hinaus konnen ohmsche

6Je großer der Abstand zwischen Resonanz und Antiresonanz ist, desto großer ist die Resonator-kopplung und damit die Bandbreite von Laddertype-Bandpassfiltern, vgl. Abschnitt 3.5.1.


0.001

0.01

0.1

1

1850 1900 1950 2000 2050 2100−90

−70

−50

−30

−10

10

30

50

70

90

|Y11

| [S

]

arg(

Y11

) [

degr

ee]

frequency [MHz]

magnitude

phas

e

resonance

antiresonance

(a) Betrag und Phase der Admittanz Y11

Z0=50 Ω

f

antiresonance

resonance

(b) Ortskurve von S11 im Smith-Diagramm

Abbildung 3.7: Darstellung des elektrischen Verhaltens eines FBAR-Resonators.

Verluste in den Elektroden und Elektrodenzufuhrungen erfasst werden. Eine etwas ver-besserte Modellierung eines FBAR-Resonators mit einem BVD-Ansatz ist mit einigenzusatzlichen Netzwerkelementen moglich [113,114].

Zur Analyse von FBAR-Resonatoren ist es weiterhin hilfreich, neben der Resona-toradmittanz auch den Streuparameter S11 [115] mit in Betracht zu ziehen:

S11 =1− Y11

Z0

1 + Y11

Z0

(3.5)

Z0 ist hierbei ein Bezugs(wellen)widerstand und in dieser Arbeit wie allgemein ublichstets 50 Ω. Plottet man S11 als Ortskurve, so ergibt sich bei einem idealen FBAR-

3.3. PARASITARE MODEN IN REALEN FBAR-RESONATOREN 31

Resonator ein Kreis mit Radius r und Mittelpunkt M , der so genannte Resonanz-kreis. Er wird mit steigender Frequenz im Uhrzeigersinn durchlaufen. Da es sich beieinem piezoelektrischen Resonator um ein passives Bauelement handelt, ist r stetskleiner gleich eins. Somit bietet es sich an, die Ortskurve in das gewohnte Bild desSmith-Diagramms zu plotten. Das ist in Abbildung 3.7b fur das Wertebeispiel ausAbbildung 3.6 gezeigt. Im Smith-Diagramm konnen die Streuparameterwerte S11(fr)und S11(fa) direkt an den Schnittpunkten des Resonanzkreises mit der MittelgeradenIm(S11) = 0 abgelesen werden. Alle Streuparameterwerte S11(f) mit fr < f < fa

liegen somit im induktiven (oberen) Bereich des Diagramms. Die Große des Reso-nanzkreises r und sein Mittelpunkt M hangen beide von der statischen Kapazitat C0,also der Resonatorgroße AFBAR, ab. Weiterhin ist der Resonanzkreis um so großer, jegeringer die Verluste im Resonator sind. Bezuglich ein und derselben Flache AFBAR

ist der Resonanzkreis damit um so großer, je weniger Verluste im Resonator auftreten,und somit ein Maß fur Resonatorverluste, vergleiche hierzu Abschnitt 3.5.4. An dieserStelle sei bereits angemerkt, dass ein realer Resonator zwar ahnlich dem Idealfall inerster Linie einen großen Resonanzkreis mit mittlerem Radius r zeigt, dieser aber ent-lang der Kreislinie von weiteren, mehr oder weniger ausgepragten Kreisen uberlagertist. Der Resonanzkreis eines verlustlosen idealen FBAR-Resonators mit einer an das50Ω-System angepassten statischen Kapazitat liegt auf dem außeren Rand des Smith-Diagramms, hat also den Radius r = 1 und den Mittelpunkt M(0;0).

Ziel des FBAR-Entwurfs ist es stets, das in diesem Abschnitt beschriebene idealeResonatorverhalten mit moglichst wenigen Verlusten zu erhalten. Das heißt, manmochte genau eine Resonatormode, deren Resonanz eine moglichst hohe Admittanz,deren Antiresonanz hingegen eine moglichst niedrige Admittanz aufweist. Das Maßhierfur ist die Resonatorgute.

3.3 Parasitare Moden in realen FBAR-Resonato-

ren

In realen FBAR-Resonatoren sind neben der gewunschten Hauptmode noch sehr vie-le weitere akustische Moden ausbreitungsfahig, so genannte parasitare Moden oder(engl.)

”spurious modes“ bzw.

”spurii“. Diese außern sich einerseits als zusatzliche

Spitzen in der Resonatoradmittanz und mindern andererseits die Resonatorgute durchentweichende Energie. Im Folgenden wird das reale FBAR-Verhalten naher erlautertund die Problematik parasitarer Resonatormoden in Hinblick auf FBAR-Bandpassfil-ter diskutiert.


3.3.1 Lamb-Moden einer Platte

Longitudinale und transversale Volumenwellen ergeben sich als Losung der phy-sikalischen Grundgleichungen aus Anhang A im unendlich ausgedehnten Medi-um [12, 116, 117]. Ist ein Korper allerdings in einer oder mehreren Richtungen be-grenzt, so fuhrt Reflexion und Transmission an seinen Randern und an den Grenz-flachen zwischen eventuell vorhandenen Schichten zur Modenkonversion [12]. Physika-lisch ergeben sich deshalb Moden, welche nicht rein longitudinalen oder transversalenCharakter haben und durch die Randbedingungen gefuhrt7 werden. Sie zeigen einenMischcharakter, d. h. Auslenkungen sowohl in als auch senkrecht zur Ausbreitungs-richtung und werden als gefuhrte Moden bezeichnet. Weiterhin sind im Gegensatz zuVolumenwellen im begrenzten Korper unendlich viele verschiedene gefuhrte Modenbei i. Allg. verschiedenen Frequenzen moglich.

Rayleigh [118], Stoneley [119], Lamb [120] und Love [121] losten einigeklassische Problemefalle, welche nur gefuhrte Moden erlauben, analytisch: Ober-flachenwellen, Grenzschichtwellen, Plattenwellen und horizontale Schermoden in Plat-ten. Diese Wellentypen sind in der gegebenen Reihenfolge nach ihnen benannt. Ineinem FBAR-Resonator als geschichtetem begrenztem Korper sind physikalisch eben-falls nur gefuhrte Wellen moglich. Die sich ergebende mathematische Beschreibungist allerdings viel komplizierter als in den klassischen Fallen und die Suche nachphysikalisch erlaubten Moden ist praktisch nur numerisch mit geeigneten Computer-programmen moglich, vgl. Abschnitt 3.6.3.

Durch die akustische Isolation auf beiden Seiten der piezoelektrischen Schicht istein FBAR-Resonator in Membrantyp- oder Spiegeltyp-Konfiguration allerdings in er-ster Naherung eine Platte, deren laterale Maße L um den Faktor 50 bis 200 großersind als die Dicke der Platte d. Dieser Aufbau ist der Lambschen Platte sehr ahnlich,sodass auch die ausbreitungsfahigen Moden in einem FBAR-Lagenstapel den Lamb-Moden sehr ahnlich sind. Oft spricht man deshalb von verallgemeinerten Lamb-Mo-den [102]. Im Folgenden wird die Arbeitsweise eines realen FBAR-Resonators anhandvon LAMB-Moden einer isotropen ZnO-Platte diskutiert. Diese Betrachtungsweisehilft, die Diskussion nicht unnotig zu erschweren. Im Detail ist die Situation insbe-sondere in einem Spiegeltyp-FBAR-Resonator komplizierter, denn es gibt mehr Mo-dentypen als in der Lambschen Platte, doch die elektroakustische Ankopplung derHauptmode und die Ursache der parasitaren Moden in der Admittanz konnen mitdieser vereinfachten Betrachtungsweise anschaulich und korrekt erlautert werden.

7

”Gefuhrt“ bedeutet, dass die Ausbreitungsrichtung durch die Randbedingungen festgelegt ist.


3.3.2 Dispersionsdiagramme

Angenommen sei eine in z-Richtung begrenzte, in xy-Richtung aber unendlich ausge-dehnte Platte. In einer zweidimensionalen Betrachtung haben die darin auftretendenLamb-Moden die Form [12]

u(x, z, t) = Φ(z, t)ej(ωt−kxx) , (3.6)

d. h. sie breiten sich ausschließlich in x-Richtung aus und stehen zwischen den Platten-begrenzungen in z-Richtung. Im isotropen Fall fuhrt die Losung der beschreibendenphysikalischen Grundgleichungen zu den beiden Rayleight-Lamb-Beziehungen fur inz-Richtung symmetrische i = 1 und unsymmetrische i = −1 Moden [12,116]:

tan(qd)

tan(pd)= −

(4pqk2

(q2 − k2)2

)i

(3.7)

mit p2 =ω2

cL2− k2 und q2 =

ω2

cT2− k2 (3.8)

Fur eine vorgegebene laterale Wellenzahl8 kx liefert (3.7) fur symmetrische und unsym-metrische Moden jeweils mehrere verschiedene Wertepaare (kx, ω), die in der Plattemoglichen Moden. Dabei darf kx komplex sein. Die Gesamtheit aller sich ergeben-den Moden, das Modenspektrum, setzt sich mit Ansatz (3.6) aus folgenden Gruppenzusammen:

kx positiv/negativ real: ungedampfte Wellen

kx positiv imaginar: exponentiell anwachsende Funktion

kx negativ imaginar: exponentiell abklingende Funktion

kx komplex mit positivem Imaginarteil: exponentiell anwachsende Welle

kx komplex mit negativem Imaginarteil: exponentiell abklingende Welle

Exponentiell anwachsende Moden ergeben physikalisch keinen Sinn, sodass sich dieZahl der relevanten Gruppen auf drei beschrankt. In der Literatur ist es dabei ublich,nur Moden mit rein positiv reellem und rein negativ imaginarem k in einem so genann-ten kx-f-Dispersionsdiagramm darzustellen. Dabei werden auf der vertikalen Achse dieFrequenz f , auf der positiven horizontalen Achse rein reell positive kx und auf dernegativen rein imaginar negative kx aufgetragen. Abbildung 3.8 zeigt hierzu beispiel-haft ein kx-f-Dispersionsdiagramm fur eine isotrope ZnO-Platte. Die eingezeichneten

8Diese wird auch als Plattenwellenzahl kx bezeichnet. Naheres dazu und dem damit verbundenenSnellschen Reflexionsgesetz in Abschnitt 3.6.3.


Punkte wurden mit Gleichung (3.7) uber eine Nullstellensuche berechnet9. Typischsind die entstehenden kontinuierlichen Aste. Sie sind nicht linear steigend oder fallend,sondern verlaufen krummlinig, was auf den dispersiven Charakter der Lamb-Modenhindeutet: Die Ausbreitungsgeschwindigkeit, also Phasengeschwindigkeit, v hangt vonder Wellenlange λ = 2π/k ab und Phasen- und Gruppengeschwindigkeit vg sind nichtidentisch. Es gilt fur einen Punkt (ω (k) , k) auf einem Dispersionsast:

v =ω

k(3.9)

vg =∂ω

∂k(3.10)

Ist die Gruppengeschwindigkeit großer Null, hat man also einen ansteigenden Ast, sospricht man von normaler oder Typ I Dispersion, im umgekehrten Fall von anomaleroder Typ II Dispersion [12, 122].

Wie bei elektromagnetischen Wellenleitern, so begegnet man auch hier dem Effekteiner Grenzfrequenz: Je nach Art der Dispersion konnen sich die Moden unterhalbbzw. uberhalb der Punkte bei kx = 0 im Diagramm nicht mehr ausbreiten10. DieseGrenzfrequenzen konnen mit

f = nv

dmit n = 0, 1, 2, . . . (3.11)

per Hand berechnet werden. n ist dabei die Anzahl der stehenden Halbwellen und ventweder die Ausbreitungsgeschwindigkeit vL einer longitudinalen oder vT transver-salen Volumenwelle in lateraler Richtung. Dadurch lassen sich die Aste klassifizieren:Fur vL erhalt man die TE-Aste, deren Moden fur kx > 0 uberwiegend longitudinalenCharakter haben, und fur vT hingegen die TS-Aste, welche dort uberwiegend trans-versalen Charakter haben. Die angehangte Nummer entspricht dabei n. Es fallt auf,dass ein symmetrischer Moden-Ast uber den Imaginarbereich des Diagramms stetsmit einem weiteren symmetrischen Ast verbunden ist, wahrend dies bei Asten un-symmetrischer Moden nicht der Fall ist. Symmetrische bzw. unsymmetrische Asteschneiden sich untereinander nicht, sondern stoßen sich ab. Schnittpunkte treten alsonur zwischen symmetrischen und asymmetrischen Asten auf. Fur kx −→ ∞ strebenTE-Aste gegen die Asymptote ω/kx = cL, im Fall der TS-Aste gegen ω/kx = cT . Isthierbei das Material anisotrop, so sind die Volumenwellengeschwindigkeiten cL undcT in lateraler Richtung gemeint. Abschließend sei bemerkt, dass alle Dispersionsastebei kx = 0 eine Steigung von Null haben und durch Polynome 2. oder 3.Ordnungohne den Term 1.Ordnung gut approximiert werden konnen.

9Das gleiche Diagramm erhalt man mit den Matrixmethoden aus Abschnitt 3.6.3. Der dorterlauterte numerische Algorithmus lasst aber viel allgemeinere Berechnungen mit mehreren Schichtenaus i. Allg. anisotropen piezoelektrischen Materialien zu.

10kx = 0 bedeutet dabei eine stehende Volumenwelle in z-Richtung.


0

5e+08

1e+09

1.5e+09

2e+09

2.5e+09

3e+09

−50 0 50

TE0

TS0

TS1

TS3

TE1

TS2

100 150 200

freq

uenc

y [H

z]

kx ⋅ 180 µm/ π

zno−iso.datfr,TS1 =844e6

fr,TS2 =1688e6fr,TE1 =1881e6fr,TS3 =2532e6

Abbildung 3.8: Das kx-f-Dispersionsdiagramm zeigt Lamb-Moden in einer isotropen1,62µm dicken ZnO-Platte. Zur Berechnung wurden die Werte ρ = 5680 kg/m3, c11 =210.9 · 109 N/m2 und c44 = 42.5 · 109 N/m2 verwendet [66].

3.3.3 Energy-Trapping

Ein realer FBAR-Resonator ist so aufgebaut, dass als Hauptmode eine TE1-Modemit idealerweise kx = 0 piezoelektrisch angeregt wird. Deswegen wird jetzt der TE1-Ast und seine nahere Umgebung genauer betrachtet.

Im Gegensatz zur unendlich ausgedehnten ZnO-Platte ergeben sich beim Resona-tor, siehe Abbildung 3.9, durch die notwendigen Elektroden zwei Bereiche: Der aktiveResonatorbereich, in welchem sich obere und untere Elektrode uberlappen, und der Au-ßenbereich, in welchem die obere Elektrode fehlt. Letzteres bewirkt eine Verschiebungder Dispersionskurven im Außenbereich nach oben hin zu hoheren Frequenzen. DieseSituation ist fur die beiden im Imaginaren zusammenhangenden Aste TS2 und TE1in Abbildung 3.10 skizziert. Dabei erkennt man, dass bzgl. jeder grau markierten Fre-quenz die laterale Wellenzahl im aktiven Bereich reell und im Außenbereich imaginarist. So konnen durch den Piezoeffekt angeregte ausbreitungsfahige Moden den aktivenResonatorbereich nicht verlassen, da sie außerhalb ohne Energieverlust exponentiellabklingen. Diesen Effekt bezeichnet man als (engl.) Energy-Trapping [71, 72, 123]. Er


uzAußen−

bereich

Außen−

bereich

x12 23x

aktiver Bereich

L

1 32

x

dk1

Abbildung 3.9: Die Auslenkung einesResonators erfolgt großtenteils im akti-ven Resonatorbereich. Hier ist die TE1-Hauptmode (n = 1) gezeigt.

kx

fr

kx,1 kx,2 kx,3

f

gebunden

innen

außen

Abbildung 3.10: Durch die laterale Be-grenzung des aktiven Resonatorbereichskommt es zu einer Diskretisierung desModenspektrums.

ist die Grundvoraussetzung fur einen piezoelektrischen Resonator, denn es reicht nichtaus, die mechanische Energie nur durch die akustische Isolation auf der Unter- undOberseite der Piezoschicht zu lokalisieren. Durch die Begrenzung des aktiven Reso-natorbereiches sind allerdings nicht mehr alle Moden in diesem grau markierten Be-reich moglich und es kommt im Gegensatz zur lateral unendlich ausgedehnten Plattezu einer Diskretisierung. In erster Naherung gilt fur die lateralen Wellenzahlen dermoglichen Moden11:

nλx

2= L =⇒ kx,n = n

π

Lmit n = 1, 2, 3, . . . (3.12)

Die auf diese Art und Weise entstehenden Moden heißen gebundene Moden. Siesind in Abbildung 3.10 markiert. Alle Moden oberhalb des grau markierten Frequenz-bereiches, welche mit dem elektrischen Feld oder mit anderen Moden koppeln, entwei-chen als Energieverlust in lateraler Richtung und werden deshalb ungebundene Modengenannt. Direkt unterhalb von TE1 sind zunachst keine weiteren ausbreitungsfahigenModen im aktiven Bereich moglich. Erst unterhalb der Grenzfrequenz von TS2 kannwieder Energie durch ungebundene Moden aus dem aktiven Resonatorbereich entwei-chen.

Bisher wurde in der Diskussion die dritte Gruppe der physikalisch sinnvollen la-teralen Wellenzahlen nicht angesprochen: Die gemischt komplexen Wellenzahlen. Siesind bei FBAR-Resonatoren sehr wohl von Bedeutung, denn in Wirklichkeit wer-den die Dispersionskurven des Außenbereichs relativ zum Innenbereich so stark ver-schoben, dass Energy-Trapping nicht mehr durch den gezeigten Bogen zwischen TE1

11Mit dem sich hier ergebenden Faktor π/L normiert man ublicherweise die lateralen Wellenzahlenim Dispersionsdiagramm, vergleiche Abbildung 3.8.


Außen−

bereich

Außen−

bereich

uz

uz

uz

x12 23x

p1=80%2

p2=0%2

p3=12%2

aktiver Bereich

L

1 32

n=1

n=2

n=3

x

x

x

d

Abbildung 3.11: Die piezoelektrische Kopplung der TE1-Resonanzen ist abhangig vonder Auslenkung uz. Man erkennt, dass nur die ungeradzahligen Moden einen Kopp-lungskoeffizienten p2

n ungleich Null haben. Die Hauptmode ist diejenige Mode mitdem großten Kopplungskoeffizienten: n = 1.

und TS2 stattfindet, sondern uber einen gemischt-reell-imaginaren Ast des Außenbe-reichs. Das Prinzip ist allerdings das gleiche, nur dass die Mode nicht exponentiell,sondern sinusformig exponentiell abklingt. Es sei hierzu auf die Arbeiten von Mil-som [102,124,125], Thiersten [126] und Watanabe [127] verwiesen.

3.3.4 Ankopplung von Moden

Nur einige aller physikalisch ausbreitungsfahigen Moden in einem FBAR-Resonatorkoppeln uber den piezoelektrischen Effekt zum elektrischen Feld. Dazu gehoren gebun-dene und ungebundene Moden. Fur die gebundenen TE1-Moden aus Abbildung 3.10sind die Auslenkungsprofile fur |uz(x)| in Abbildung 3.11 gezeigt. Diese ergeben sichfur den isotropen Fall unter der Annahme, dass die z-Abhangigkeit Φ(z, t), vergleichedazu Gleichung (3.6), in allen drei Resonatorbereichen 1, 2 und 3 identisch ist, undsich so die Auslenkung an der Oberflache mit einer vor- und einer zurucklaufenden


Welle beschreiben lasst:uz(x, t) = Aie

−jωt + Biejωt (3.13)

Bi ist dazu im linken, Ai im rechten Außenbereich Null zu setzen. Weiterhin mussan den Randern zwischen den Bereichen die Auslenkung und deren Ableitung stetigsein (Kontinuitat des Materials). Die Herleitung ist ausfuhrlich in [16] erlautert. Be-merkenswert ist dabei, dass die Auslenkung beim Ubergang vom aktiven Bereich zumAußenbereich nicht Null ist. Der exponentielle Verlauf der Auslenkung im Außenbe-reich bestimmt somit den Verlauf im aktiven Resonatorbereich wesentlich mit.

Die Starke der parasitaren Moden ist durch ihre piezoelektrische Kopplung be-stimmt, welche direkt proportional zur Auslenkung ist. In dem hier verwendeten Mo-dell ergibt sich dabei die durch jede Mode verursachte elektrische Spannung an denElektroden:

Vn = hpn (3.14)

pn =

∫ x23

x12

uz(x) dx (3.15)

Dabei ist h eine materialspezifische Konstante, p2n der Kopplungskoeffizient einer je-

den TE1-Mode und uz(x) die Amplitude der Auslenkung. Wendet man (3.14) auf dieAuslenkungsfunktionen in Abbildung 3.11 an, so ergibt sich, dass die ungeradzahligenModen, hier n = 1 und n = 3, zum elektrischen Feld koppeln und die geradzahligeMode nicht, da deren Auslenkung bzgl. der Mitte des aktiven Resonatorbereichesasymmetrisch ist. Das Gleiche gilt fur mehrere geradzahlige und ungeradzahlige Mo-den. Da grundsatzlich alle zum elektrischen Feld koppelnden Moden gleichwertig sind,ist die Hauptmode diejenige, welche den großten Kopplungskoeffizienten p2

n hat, alson = 1. Alle anderen gebundenen TE1-Moden, hier n = 2 und n = 3 heißen TE1-Nebenresonanzen.

Fur die oben diskutierten drei gebundenen TE1 Moden sieht man in Abbil-dung 3.12 eine Darstellung mit dem bereits bekannten Dispersionsdiagramm undeinem 90° gedrehten Admittanzdiagramm. Die beiden Frequenzachsen sind parallel,sodass einfach der Zusammenhang zwischen einer gebundenen elektrisch angeregtenMode und der zugehorigen entstehenden Spitze in der Resonatoradmittanz |Y11| her-gestellt werden kann. In diesem sehr vereinfachten Beispiel erhalt man eine Haupt-mode und eine einzige parasitare Mode. In Wirklichkeit sind es sehr viel mehr pa-rasitare Moden, welche sich in der Admittanz als zusatzliche unerwunschte Spitzenaußern [1, 13, 84,128–130].

Neben den TE1-Moden gibt es auch noch andere gebundene und ungebundenemogliche Moden, welche von anderen Dispersionsasten stammen. Sie koppeln ebenfallsteils zum elektrischen Feld und werden teils mechanisch durch andere Moden, z. B.durch die Hauptmode, angeregt. Ganz allgemein gilt: Koppeln gebundene Moden mit

3.4. UNTERDRUCKUNG VON PARASITAREN MODEN 39

kxkx,1 kx,2 kx,3

fr

Y11

ff

Kopplung

keine Kopplung

Abbildung 3.12: Diese Darstellung aus Dispersionsdiagramm und 90° gedrehtem Ad-mittanzdiagramm zeigt den Zusammenhang zwischen gebundenen Moden, welche zumelektrischen Feld koppeln, und den daraus resultierenden unerwunschten Spitzen inder Admittanz des Resonators.

dem elektrischen Feld, so treten sie in der Admittanz als unerwunschte Spitzen auf.Dabei sind Nicht-TE1-Moden durch den Resonatoraufbau, der auf die Ankopplungder TE1-Mode mit n = 1 zielt, weniger stark ausgepragt als TE1-Moden. GebundeneModen, welche nur mechanisch und nicht elektrisch angeregt werden konnen, storenhingegen nicht weiter: Sie treten weder in der Admittanz in Erscheinung noch fuhrensie zum Energieverlust. Ungebundene Moden hingegen mindern, ob elektrisch odermechanisch angeregt, stets die Resonatorgute.

Der Begriff parasitare Moden wird in der Literatur ublicherweise nur fur die mitdem elektrischen Feld koppelnden gebundenen Moden verwendet und bezieht sich soausschließlich auf Moden, welche neben der Hauptresonanz in der Resonatoradmittanzzusatzliche Spitzen hervorrufen. Man sollte sich aber stets bewusst sein, dass durchungebundene Moden Energie aus dem Resonator entweichen kann.

3.4 Unterdruckung von parasitaren Moden

Filterschaltungen aus FBAR-Resonatoren, in der Regel Bandpassfilter, zeigen auf-grund von parasitaren Resonatormoden eine Welligkeit im Passband, eine hohereEinfugedampfung und eine geringere Bandbreite, da die beiden Filterflanken im obe-ren Passbandbereich einbrechen. Es ist daher notwendig, insbesondere die mit demelektrischen Feld stark koppelnden Resonator-Nebenmoden vom Typ TE1 effektiv mitfertigungstauglichen Methoden zu unterdrucken. Aus der Literatur sind hierzu zweiVorgehensweisen bekannt: Apodisation und Uberlapp-Methode. Beide werden im Fol-genden erklart. Vorher wird allerdings noch kurz auf den Frequenzbereich eingegan-gen, in welchem FBAR-Resonatoren in Hinblick auf deren Einsatz in Bandpassfiltern


Y11,sS21

fr,s fa,sfr,pfa,p

Y11,p

f

Abbildung 3.13: Auswirkung der frequenzmaßigen Lage parasitarer Resonatormodenauf das Filterpassband.

moglichst frei von parasitaren Moden sein mussen.

3.4.1 Filter und parasitare Moden

Da die Filterfunktion eines Bandpass-Laddertypefilters durch seine Resonatoren be-stimmt wird, leuchtet ein, dass parasitare Resonatormoden auch die Filterfunktionnegativ beeinflussen. Abbildung 3.13 zeigt hierzu den prinzipiellen Admittanzverlauf|Y11,p| des p-Resonators und des s-Resonators, |Y11,s|, zusammen mit der sich ergeben-den Filterfunktion |S11|. Parasitare Moden sind nicht eingezeichnet, doch man erkenntbeim Vergleich der frequenzmaßigen Lage der Kurven, dass beide Resonatortypen sund p im Bereich fr,p < f < fa,s moglichst frei von parasitaren Moden sein mussen,um die Filterfunktion des Bandpassfilters nicht negativ zu beeinflussen.

3.4.2 Apodisation

Eine Moglichkeit, die unerwunschte Welligkeit im Passband eines FBAR-Ladder-Type-Filters zu beseitigen, ist Apodisation [14,15,91,131,132]. Hier werden die parasitarenModen nicht unterdruckt, indem man ihre Kopplung zum elektrischen Feld reduziert,oder, indem man das physikalische Verhalten des Resonatorstapels abandert, son-dern es wird eine geeignete Form der aktiven Resonatorflache gewahlt, sodass alleunerwunschten Spitzen in der Admittanz

”ausgeschmiert“ werden. Die Methode ist

sehr universal und man kann sie grundsatzlich zur Unterdruckung aller parasitarenModen anwenden.

Die Ursache parasitarer Moden in der Admittanz ist neben ihrer Kopplung zumelektrischen Feld, dass diese Moden durch die laterale Begrenzung des aktiven Re-


P2P1 (D

raufsicht)Abbildung 3.14: Die Apodisationsmethode basiert auf einer unregelmaßigen Formder aktiven Resonatorflache. Dadurch wird die Intensitat parasitarer Moden in derAdmittanz verringert.

sonatorbereiches gebunden sind. Insbesondere eine rechteckige Form des aktiven Be-reichs weist dabei sehr viele Randpunkte auf, welche den gleichen lateralen Resonanz-pfad haben. Fuhrt man jetzt allerdings wie in Abbildung 3.14 gezeigt eine geeigneteForm der oberen Elektrode ein, welche moglichst nur Randpunkte mit verschiede-nen lateralen Resonanzpfaden zeigt und welche den aktiven Bereich bestimmt, sowerden alle parasitaren Moden ausgeschmiert, jedoch nicht die Hauptresonanz. Dasheißt, jede parasitare Mode wird zu einer Vielzahl an parasitaren Moden gewandelt,die jetzt alle sehr viel weniger stark in der Admittanz in Erscheinung treten. DieHauptresonanz wird dadurch nicht beeinflusst. Im Idealfall erhalt man einen glattenVerlauf der Resonatoradmittanz und des Resonanzkreises im Smith-Chart und keineVeranderung der Kopplung der Hauptresonanz. Es sei noch angemerkt, dass dieseUnterdruckungsmethode vor allem bei Membrantyp-FBAR-Resonatoren mit AlN alsPiezomaterial Anwendung findet, da hier fur eine großtechnische Herstellung bisherkeine Alternativen zur Verfugung stehen.

3.4.3 Uberlapp-Methode

Parasitare TE1-Moden sind sehr viel starker ausgepragt als alle anderen para-sitaren Moden. Weiterhin treten diese frequenzmaßig in der unmittelbaren Umgebungder Hauptresonanz in Erscheinung und verschlechtern damit wesentlich das Filter-passband von FBAR-Bandpassfiltern. Deswegen ist man in erster Linie bestrebt, die-se TE1-Nebenmoden zu beseitigen und die Uberlappmethode [2, 16, 130, 133–135] isthierzu eine sehr effektive Moglichkeit. Sie unterdruckt nicht nur storende Spitzen inder Resonatoradmittanz, sondern verbessert die Resonatoren bemerkenswert in ihrerGute. Letzteres ist bei Apodisation nicht der Fall, denn dort bleibt die Hauptresonanzpraktisch unbeeinflusst.

Abschnitt 3.3.4 hat gezeigt, dass der Verlauf von uz(x, t) im aktiven Bereich des


uz

uz

uz

Außen−

bereich

Außen−

bereich

woldol

2p1=99%

2p2=0

2p3=0.4%

2,4:Überlapp−bereich

23x 45xx12 34x

n=2

n=3

3 542

n=1

Innenbereich

1

aktiver BereichL

x

x

x

d

Abbildung 3.15: Bei der Uberlapp-Methode wird am Rand der Elektrode ein Wulstaufgebracht, der verhindert, dass TE1-Nebenmoden angekoppelt werden.

Resonators wesentlich durch den Außenbereich, also den angrenzenden Bereich, mitbe-stimmt wird. Diese Tatsache kann man ausnutzen, um auch die Kopplung der ungera-den TE1-Nebenmoden zum elektrischen Feld zu reduzieren. Dazu wird ein zusatzlicherBereich zwischen Außenbereich und Resonatorinnenbereich12 eingefugt, welcher dieRandbedingung am Ubergang zum Innenbereich geeignet abandert. Grundsatzlichgibt es dazu mehrere Moglichkeiten [133]. Die Praxis hat aber gezeigt, dass nur diein Abbildung 3.15 (oben) dargestellte Variante fur die Massenfertigung geeignet ist:Am Rand der oberen Elektrode wird hierzu ein Wulst angebracht, welchen man alsUberlapp bezeichnet. Breite und Hohe sind dabei so zu dimensionieren, dass die Stei-gung von |uz(x, t)| bei x23 und x34 gleich Null ist:

∂|uz(x, t)|∂x

= 0

∣∣∣∣∣x=x23,x=x34

(3.16)

12Beim Resonator ohne Uberlapp waren aktiver Bereich und Innenbereich identisch. Falls hier derzusatzliche Bereich ebenfalls eine Elektrodenschicht beinhaltet, ist dies nicht mehr der Fall, da deraktive Bereich dann aus Innenbereich und zusatzlich eingefugtem Bereich besteht.


kx

fr

kx,ol

f

gebunden

innenÜberlappaußen

Abbildung 3.16: Dispersionskurven der verschiedenen Bereiche bei einem Resonator

mit Uberlapp. Die Position der gebundenen Moden verschiebt sich durch den Uberlapphin zu kleineren kx. Ist der Uberlapp korrekt dimensioniert, so liegt die Hauptmoden = 1 genau bei kx = 0.

Das ist im einfachsten Fall genau dann gegeben, wenn im Uberlappbereich in etwaeine viertel Sinuswelle, also eine λ/4-Welle steht, welche die exponentiell abklingendeWelle im Außenbereich an den horizontalen Verlauf bei x23 und x34 anpasst:

wol =λol

4=⇒ wol =

π

2kx,ol

(3.17)

Ist im Dispersionsdiagramm eine normierte laterale Wellenzahl kx,ol angegeben, danngilt entsprechend:

wol =L

2kx,ol

mit kx,ol = kx,olL

π(3.18)

Abbildung 3.16 zeigt hierzu die Dispersionkurven der drei Bereiche. Die Grundvoraus-setzung ist, dass die Dispersionskurve des Uberlappbereichs durch den zusatzlichenMassenbelag nach unten verschoben wird, wie weit, bestimmt die Dicke dol desUberlapps. Nur so sind im Uberlappbereich ausbreitungsfahige bzw. stehende Wel-len moglich. Da sich durch die Randbedingungen (3.16) bei x23 und x34 die stehendenWellen im Innenbereich nun bei

nλx

2= L− 2wol =⇒ kx,n = n

π

L− 2wol

mit n = 0, 1, 2, . . . (3.19)

ergeben, wird kol bei der Grenzfrequenz des TE1-Astes abgelesen. Das ist bei richtigdimensioniertem Uberlapp die Resonanzfrequenz der Hauptmode. Im Idealfall ergibtsich beim Uberlapp eine

”echte“ stehende Volumenwelle mit kx = 0, welche im Innen-

bereich zwischen unterer und oberer Elektrode lokalisiert ist.


Mit richtig dimensioniertem Uberlapp ergeben sich auch die Auslenkungsprofilein Abbildung 3.15. Berechnet man auch hier wie beim Resonator ohne Uberlapp dieKopplungskoeffizienten nach (3.15), so koppeln die geraden gebundenen TE1-Modenwieder aus Symmetriegrunden nicht zum elektrischen Feld. Zusatzlich ist aber auchdie Kopplung der ungeraden Moden n = 3, 5, . . . beim Berechnen des Integrals prak-tisch zu Null reduziert. Sie sind damit zu gebundenen Moden geworden, welche wederzum elektrischen Feld koppeln und unerwunschte Spitzen in der Admittanz verursa-chen noch eine Guteminderung der Hauptresonanz durch entweichende Energie mitsich bringen. Wie in Abbildung 3.15 zu sehen ist, ist der Kopplungskoeffizient p2 furdie Hauptmode angewachsen. Letztendlich nimmt die Resonatorkopplung aber nichtzu, da die Proportionalitatskonstante h durch einen Uberlapp fur alle TE-Modenabnimmt. Der Grund hierfur ist, dass sich ein Teil der akustischen Energie der Haupt-mode auch im Bereich des Uberlapps befindet. Eine genaue Betrachtung ist mit denAnsatzen aus [136] moglich.

Da der Uberlapp ebenfalls ein Resonator mit unterer und oberer Elektrode ist,kann eine zu große Dimensionierung zu so genannten Uberlappmoden [2, 130, 135]fuhren. Sie tauchen wegen des großeren Massenbelags relativ zum Innenbereich un-terhalb der Hauptresonanz fr des Resonators auf und verschlechtern, wie parasitareModen, ein Filterpassband. Das Problem von Uberlappmoden tritt zum Beispiel inder Massenfertigung auf, wenn sich die physikalischen Eigenschaften des Stapels unddamit die Verlaufe der Dispersionskurven in den verschiedenen Resonatorbereichenaufgrund von Fertigungsschwankungen andern.

Die Uberlapp-Methode wurde ursprunglich fur ZnO als piezoelektrischem Materialentwickelt. Es zeigt von Natur aus ein normales Dispersionsverhalten. AlN hingegenweist als Platte einen abfallenden Dispersionsast auf. Das Gleiche gilt ohne weite-res Zutun auch fur einen Membran- oder Spiegeltyp-FBAR-Lagenstapel mit AlN alsPiezoschicht, und so ist die Uberlappmethode in beiden Fallen ungeeignet. Wie inAbschnitt 1 bereits erwahnt, ist die Anpassung der Uberlapp-Methode fur einen Spie-geltyp-FBAR-Resonator mit AlN als piezoelektrischem Material das Hauptziel dieserArbeit.

Entwurfkriterien (Designrules)

Wird die Uberlapp-Methode zum Unterdrucken der parasitaren TE1-Resonanzen ver-wendet, so muss sichergestellt sein, dass der TE1-Ast im Innenbereich des Resonatorseine normale Dispersion aufweist, siehe Abbildung 3.17. Ist der Uberlapp dabei selbstnicht zu dick, so hat er praktisch die gleiche Dispersion wie der Innenbereich, nur et-was in der Frequenz nach unten verschoben. Diese normale TE1-Dispersion in Innen-und Uberlappbereich ist Grundvoraussetzung fur den Erfolg der Uberlappmethode.

Allgemein nimmt die elektromechanische Kopplung aller Moden mit steigendem

3.5. PHYSIKALISCHE MASSE ZUR CHARAKTERISIERUNG 45

fa,s

kx

fr,s A1

A2fr,p

kx,ohne

f

TE1

TS2

Abbildung 3.17: Entwurfskriterien bei der Anwendung der Uberlappmethode im Falledes s-Resonators.

kx ab. Moden mit normierten kx-Werten großer 50 treten in der Resonatoradmittanzpraktisch nicht mehr in Erscheinung. Deshalb sollte im Bereich des Filterpassban-des fr,p < f < fa,s keine anderen Modenaste als der TE1-Ast fur kleinere lateraleWellenzahlen als kx,ohne = 50 vorhanden sein.Zusammenfassend gilt deshalb fur den s-Resonator, vergleiche Abbildung 3.17:

normale TE1-Dispersion

im Bereich A1 ausschließlich der TE1-Ast

im Bereich A2 keine Modenaste

Entsprechendes folgt fur den p-Resonator (Dispersionskurven nicht abgebildet!):

normale TE1-Dispersion

im Bereich A1 und A2 ausschließlich der TE1-Ast

Die Herausforderung fur den Entwickler ist dabei, einen Lagenstapel zu finden,welcher diese Eigenschaften sowohl fur die s- als auch die p-Resonatoren in einemFilter bzw. im Rahmen der Fertigungstoleranzen fur alle Resonatoren auf dem ganzenWafer aufweist.

3.5 Physikalische Maße zur Charakterisierung

Um die Qualitat eines Bauteils beurteilen zu konnen, ist es notwendig, physikalischeMaße zu dessen Charakterisierung einzufuhren. Im Fall von FBAR-Resonatoren hat


die Vergangenheit gezeigt, dass effektive Kopplung, Gute, Temperaturkoeffizient, mitt-lerer Radius und normierte Abweichung von der idealen Kreisform geeignete Großensind. Weiterhin ist es ublich, einen Gutefaktor aus effektiver Kopplung und Gute anzu-geben. In der Literatur sind an verschiedenen Stellen leicht voneinander abweichendeDefinitionen zu finden. Bei Vergleichen von konkreten Zahlenwerten aus verschiede-nen Quellen ist daher stets Vorsicht geboten. Im Folgenden werden fur diese Arbeitdie genannten Maße zur physikalischen Charakterisierung von FBAR-Resonatoren de-finiert. Diese eignen sich insbesondere fur die Auswertung gemessener oder simulierterResonatoradmittanzen mit einer diskreten Zahl an Frequenzpunkten.

3.5.1 Effektive Kopplung

Die Resonanz und die Antiresonanz liegen frequenzmaßig um so weiter auseinander,je großer der Austausch zwischen elektrischer und mechanischer Energie im Reso-nator ist. Es ist deshalb sinnvoll, ein Maß einzufuhren, welches vom Wert her umso großer wird, je großer der Resonanz-Antiresonanz-Abstand ist. In der Praxis hatsich die so genannte effektive Kopplung bewahrt, deren Werte an die elektromecha-nische Kopplung k2

t [68, 71, 137] der Piezoschicht ohne Massenbelag und ohne aku-stische Verluste angelehnt ist. Es gibt einige voneinander abweichende Definitionenwie [49,87,138,139], [140,141] und [142]. Hier soll die Definition aus dem IEEE-Stan-dard fur piezoelektrische Bauelemente [68,85,143] verwendet werden:

k2eff =

f 2a − f 2

r

f 2a

(3.20)

An dieser Stelle sein nochmals angemerkt, dass die Bandbreite BαILeines Ladderty-

pe-Bandpassfilters aus Resonatoren um so großer ist, je großer die effektive Kopplungseiner Resonatoren ist.

3.5.2 Gute und Gutefaktor

Die Gute Q ist ein Maß fur samtliche Energieverluste in einem FBAR-Resonator. Fureinen elektrischen Schwingkreis ist sie bei jeder Frequenz uber die Ableitung der Phaseφ = arg(Y ) definiert [47,49,95]:

Q(f) =f

2

∣∣∣∣∣∂φ

∂f

∣∣∣∣∣ (3.21)

Interessant ist Q allerdings nur bei Resonanz und Antiresonanz. Ohne die Elektroden-zufuhrung zur aktiven Resonatorflache ist der Wert in beiden Fallen in etwa gleichgroß. Da aber die Resonanzgute bei der Vermessung von Einzelresonatoren wegen

3.5. PHYSIKALISCHE MASSE ZUR CHARAKTERISIERUNG 47

der hohen Resonatoradmittanz an dieser Stelle stark durch die Widerstandsverlusteder Elektrodenzufuhrung beeintrachtigt wird, ist es in der Praxis sinnvoll, als Qua-litatsmerkmal der Resonators die Gute der Antiresonanz heranzuziehen. Hier spielenZufuhrungs- und Kontaktierungsverluste wegen der bereits sehr niedrigen Admittanzkeine Rolle. Folgende Definition der Resonatorgute wird ublicherweise bei der nu-merischen Auswertung von Messungen in der direkten Umgebung der Antiresonanzangewendet:

Q =f

2

∣∣∣∣∣∂φ

∂f

∣∣∣∣∣max

(3.22)

Weiterhin ist in der Literatur ein Gutefaktor (engl. Figure of Merit) FOM zurBewertung eines FBAR-Resonators sehr verbreitet, welcher sowohl effektive Kopplungals auch die Resonatorgute in Betracht zieht:

FOM = Qk2eff (3.23)

3.5.3 Linearer Temperaturkoeffizient der Resonanzfrequenz

Approximiert man die Abhangigkeit der Resonanzfrequenz fr von der Temperaturmit einer linearen Funktion [70,71]

fr(ϑ) = fr(ϑ0) (1 + TCF (ϑ− ϑ0)) (3.24)

im Punkt (fR(ϑ0), ϑ0), so ergibt sich der Temperaturkoeffizient 1. Ordnung der Reso-nanzfrequenz zu

TCF =1

fR(ϑ0)

∂fr(ϑ)

∂ϑ

∣∣∣∣∣ϑ=ϑ0

. (3.25)

Wenn nicht explizit anders definiert, dann entspricht ϑ0 der Raumtemperatur bei25. Typischerweise wird auch die Temperaturabhangigkeit der linken Filterflankebei TX-Duplexfiltern und der rechten Filterflanke bei RX-Duplexfiltern mit einerzu Gleichung 3.25 aquivalenten Definition ermittelt und angegeben. Bei Einzelfilternermittelt man den Mittelwert aus dem Temperaturkoeffizienten der linken und rechtenFilterflanke als Maß fur den Einfluss der Temperatur.

3.5.4 Mittlerer Radius und Abweichung von der idealenKreisform

Die Starke der parasitaren Moden kann man mit angepassten Großen aus der Stati-stik erfassen, welche auf den Resonanzkreis im Smith-Diagramm angewendet werden.Dazu berechnet man einerseits analog zum Erwartungswert den mittleren Radius r


und andererseits analog zur Varianz die so genannte normierte Abweichung von deridealen Kreisform NC. Im Fall von n Mess- oder Simulationspunkten im Bereich[f1 : fn] gilt:

r =1

n

∑n

√(Re S11,n − u0)

2 + (Im S11,n − v0)2 (3.26)

NC =

√√√√ 1

1− n

(1

r2

∑n

[(Re S11,n − u0)

2 + (Im S11,n − v0)2]− n

)(3.27)

Der Punkt (u0, v0) wird mit einem geeigneten Algorithmus so gewahlt, dass der darausberechnete Wert NC minimal wird. So ergibt sich auch r. Die Streuparameterdarstel-lung einer Admittanzmessung berechnet man mit:

S11 =1− y11

1 + y11

mit y11 =Y11

Z0

(3.28)

Z0 ist in den meisten Fallen 50Ω.

3.6 Computersimulation

Das physikalische Verhalten von FBAR-Resonatoren kann mit geeigneten Program-men auf Computern simuliert werden. Damit ist es einem Entwickler im Vorfeld teurerVersuche moglich, den Einfluss von Materialien, Schichtdicken und horizontalen Struk-turen wie Uberlappbreite und Uberlapphohe zu untersuchen. Dieser Abschnitt stelltausgehend von den allgemeinen physikalischen Grundgleichungen verschiedene, in derPraxis ubliche Modellierungsansatze vor und geht auf deren Starken, aber auch derenGrenzen ein.

3.6.1 Uberblick

Physikalisch wird das Verhalten eines FBAR-Resonators mit einer oder mehrerer pie-zoelektrischen Schichten durch die Bewegungsgleichung der Translation

∇ · [T ] = ρ∂2u

∂t2(3.29)

3.6. COMPUTERSIMULATION 49

und durch die Zusammenhange zwischen Spannung, Dehnung und dem elektrischenFeld beschrieben, siehe dazu auch Anhang A:

T = [cE]S− [e]TE (3.30)

D = [εS]E + [e]S (3.31)

E = −∇φ (3.32)

Im jeweiligen Modell werden diese Gleichungen fur ein infinitesimal kleines Volumen-element angesetzt. Akustische Materialverluste konnen dabei als viskose Verluste mitkomplexen Steifigkeitskonstanten berucksichtigt werden [144]. Weiterhin sind die Quel-len des elektrischen Feldes

∇ ·D = σ (3.33)

und das verallgemeinerte Durchflutungsgesetz zu berucksichtigen [145]:

∇×H− ∂D

∂t= J (3.34)

Ausgehend von (3.29) bis (3.34) liefert ein 3D-FEM-Ansatz bei ausreichend fei-ner Diskretisierung das im Bezug zur Realitat sicherlich beste Modellierungsergebnis.Doch damit ist ein immenser Rechenaufwand verbunden! Insbesondere im Hinblickauf Spiegeltyp-FBAR-Resonatoren ist es heute noch nicht moglich, den Admittanz-verlauf von nur einem einzigen Resonator in einer vernunftigen Zeit von weniger alseinem Tag zu berechnen, ganz zu schweigen von der Optimierung einer Filterschal-tung. Und das gilt selbst bei verteiltem Rechnen auf mehreren Dutzend der schnellstenerhaltlichen CPUs.

In der Praxis ist man deswegen auf einfachere Resonatormodelle mit deutlich we-niger Rechenaufwand angewiesen. Dazu macht man in geschickter Weise Annahmen,sodass sich (3.29) bis (3.34) deutlich vereinfachen, der Rechenaufwand somit sinkt unddas jeweils interessierende Verhalten noch ausreichend gut modelliert wird. Man kanndie fur den FBAR-Resonator-Entwurf ublichen Modelle in drei Gruppen einteilen:

1. 1D-Modelle zur Dimensionierung eines Resonators nach Frequenz, maximalertheoretischer Kopplung und maximaler theoretischer Gute; Unterbau fur denrechnergestutzten Filterentwurf

2. 2D/3D-Modelle zum Berechnen von Dispersionsdiagrammen: Untersuchung derResonatorphysik und Anpassen von Modellparametersatzen

3. 2D/3D-Finite-Elemente-Modelle: Untersuchung der Auswirkung parasitarer Re-sonatormoden im Admittanzverlauf und Optimierung

”endlicher“ horizontaler

und lateraler Strukturen zu deren Unterdruckung


In dieser Arbeit standen die Programme FBAR1D, Rootfinding und BAWFEM in die-ser Reihenfolge als Vertreter der genannten Gruppen zur Verfugung. Ihr Prinzip wirdim Folgenden erlautert. Als Grundlage fur Simulationen ist außerdem ein geeigneterModellparametersatz notig, der vom Entwickler aus Literaturdaten zusammenzustel-len ist. Mochte man sich allerdings nicht auf qualitative Untersuchungen beschranken,sondern strebt einen Rechnungs-Messungs-Vergleich an, so sind die Literaturdatenzusatzlich dem jeweils zur Verfugung stehenden FBAR-Prozess anzupassen, da dunneSchichten andere Eigenschaften als die zugehorigen ausgedehnten Materialien haben.In Abschnitt 4 erfolgt dies fur den EPCOS-FBAR-Prozess mit Hilfe einer Laser-Inter-ferometrie-Messung.

3.6.2 1D-Transfer-Matrix-Modell

Die Hauptresonanz ist das wichtigste elektrische Verhaltensmerkmal eines FBAR-Re-sonators. Unter- und oberhalb von fr bzw. fa wird die Admittanz dann wesentlichdurch die statische Kapazitat C0 bestimmt, siehe Abschnitt 3.2. Mit 1D-Modellenversucht man allgemein, die Hauptresonanz und das durch C0 bedingte Fernabver-halten zu modellieren. Im Abschnitt 3.2 und 3.3 wurde dazu bereits das BVD-Mo-dell vorgestellt, welches in die Kategorie 1D-Modelle fallt. Es ist aber mehr fur dasgrundsatzliche Verstandnis der Arbeitsweise eines FBAR-Resonators geeignet undweniger zum Entwurf und zur Optimierung eines Lagenstapels. Ein FBAR-Entwick-ler denkt in Schichtfolgen und Schichtdicken. Die BVD-Approximation arbeitet hin-gegen mit konzentrierten idealen Netzwerkelementen, deren Dimensionierung allge-mein nicht mit den Lagendicken skaliert. Hierzu stehen aber zwei andere Ansatzezur Verfugung, das Mason- und das 1D-Transfer-Matrix-Modell, welche im Prinzipaquivalent sind. In dieser Arbeit wurde die Software FBAR1D verwendet. Sie basiertauf einem 1D-Transfer-Matrix-Modell.

Die Transfer-Matrix-Methode wurde ursprunglich von Thomson [146] und Has-kell [147] in den 50er-Jahren zur akustischen Modellierung geschichteter Struktureneingefuhrt und anschließend von vielen Wissenschaftlern aufgegriffen, angepasst undverallgemeinert. Das Prinzip ist im allgemeinsten 1D-Fall mit beliebig vielen Elek-troden und piezoelektrischen Lagen folgendes [103, 148–150]: Gegeben sei ein FBAR-Lagenstapel, siehe Abbildung 3.18. Alle Resonatorlagen i mit i = 1, 2 . . . n haben ei-ne endliche Dicke di und sind naherungsweise in xy-Richtung unendlich ausgedehntangenommen. Das spiegelt die Tatsache wieder, dass die horizontale Ausdehnung desResonators sehr viel großer als der vertikale Resonanzpfad ist. Die mechanische (aku-stische) oder elektrische Anregung sei harmonisch mit der Frequenz ω = 2πf . Dasbewirkt bei einem linearen Modell im stationaren Endzustand, dass jede Große mitdem Faktor ejωt behaftet ist [115]. Snells Reflexionsgesetz besagt daruber hinaus,dass es an den Grenzflachen zwischen den Lagen bei Reflexion und Transmission


dn

dn−1

d3

d1

d2

Resonator−lagenstapel

Grenzfläche 1

Grenzfläche 2

Grenzfläche 3

Grenzfläche n−1

Grenzfläche n

Grenzfläche 0

Grenzfläche n+1

i=1

i=2

i=n

i=n−1

i=3

(Vakuum)Außenbereich

Außenbereich(Vakuum, Substrat)

i=0

i=n+1

xy

z

Abbildung 3.18: Ein Transfer-Matrix-Modell nimmt alle Resonatorlagen unendlich inx-y-Richtung ausgedehnt an. Die Dicken der Lagen sind endlich und als Randbedin-gung wird unter- und uberhalb des Stapels Vakuum oder ein materieller Halbraumverwendet.

zur Modenkonversion kommt [12, 151]. Im stationaren Endzustand resultiert dies in

”gefuhrten“ Moden, deren laterale Komponenten des Wellenvektors kx = kx = const.

und ky = ky = const. identisch sind. Im harmonischen Fall ergibt sich so insgesamtder Faktor

N = ej(kxx+kyy−ωt) , (3.35)

welcher einer jeden Große anhaftet. Er sei hier der einfacheren Diskussion wegenSnell-Faktor genannt.

Zunachst sucht man nun einen Satz x unabhangiger Variablen, durch welche ei-nerseits alle anderen Großen in einer Schicht ausgedruckt werden konnen und welcheandererseits an den Grenzflachen zur nachsten Schicht stetig sein mussen. Im allge-meinsten Fall besteht dieser aus 8 Großen:

x(i) =(u

(i)x u

(i)y u

(i)z φ(i) T

(i)xz T

(i)yz T

(i)zz D

(i)z

)T

(3.36)

In Abhangigkeit der Materialparameter und den Plattenwellenzahlen kx und ky ist esnun moglich, einen Zusammenhang zwischen x(i) auf der Unterseite der Lage und aufderen Oberseite uber eine 8x8 Matrix [M (i)] herzuleiten:

x(i)oben = [M (i)]x

(i)unten (3.37)

[M (i)] ist dabei die so genannte Lagen-Transfermatrix, deren Herleitung Lowe [117]ausfuhrlich und anschaulich fur den nicht-piezoelektrischen isotropen Fall zeigt. Pe-


ach [152], Adler [148] und Stewart [150] hingegen benutzen dazu einen allgemei-nen Ansatz uber die Formulierung eines Systems aus 8 linearen Differentialgleichungen1. Ordnung, das durch den harmonischen Ansatz zum Eigenwertproblem wird. DessenLosung in jeder Lage ergibt die Matrizen [M (i)].

Durch die Multiplikation der Matrizen [M (i)] in der richtigen Reihenfolge kann

nun x(n)oben durch x

(1)unten berechnet werden:

x(n)oben = [τ ]x

(1)unten (3.38)

Dabei ist [τ ] die so genannte Transfermatrix, welche der Vorgehensweise ihren Namengibt und charakteristisch fur einen gegebenen Stapel ist:

[τ ] = [M (n)][M (n−1)] · · · [M (2)][M (1)] (3.39)

Bei der Berechnung der Lagen-Transfermatrizen einer Elektrode der Dicke di wirddie zugehorige Schicht in eine unendlich dunne ideal leitende Schicht und eine nichtleitende Schicht der Dicke di aufgespalten. Hat man lediglich ein Elektrodenpaar, sokann die Lagen-Transfermatrix [M (i)] einer jeden Elektrodenlage durch die Hinter-

einanderschaltung der Lagen-Transfermatrix der dunnen Schicht [M(i)el ] und die der

dicken Schicht [M(i)mech] hergeleitet werden [153]:

[M (i)] = [M(i)el ][M

(i)mech] = [M

(i)mech][M

(i)el ] (3.40)

[M(i)el ] koppelt den elektrischen Strom I in den Stapel ein und [M

(i)mech] gibt die me-

chanischen Eigenschaften des Metalls wieder. Mehrere Elektroden im Stapel verkom-plizieren die Rechnung bei einem Transfer-Matrix-Ansatz deutlich. Nowotny zeigtdies ausfuhrlich in [149].

Um schließlich das Gleichungssystem (3.39) losen zu konnen, benotigt man aufder Ober- und Unterseite des Stapels ein Vakuum oder einen materiellen Halbraumals Randbedingung. Es ergibt sich der gesuchte Admittanzverlauf fur ein betrachtetesPaar an Elektroden 1 und 2

Y (ω) =I

φElektrode1 − φElektrode2

, (3.41)

und weiterhin der Verlauf der Verschiebung, Dehnung, Spannung und des elektrischenPotenzials entlang der z-Achse.

Nicht bei jeder Modellierung, vergleiche dazu auch die Dispersionsberechnungenin Abschnitt 3.6.3, ist es notwendig, diesen allgemeinsten eindimensionalen Ansatzzu machen. Ist man lediglich an der Modellierung der TE1-Hauptresonanz, den zu-gehorigen Harmonischen und der statischen Kapazitat C0 interessiert, so reicht es


in der Regel aus, ebene longitudinale Wellen mit Ausbreitung ausschließlich in z-Richtung anzunehmen:

u = u(z, t) = ez

(Aie

jkzz−wt + Biejkzz+wt

)(3.42)

mit∂

∂x=

∂

∂y= 0 (3.43)

und kx = ky = 0 (3.44)

Dieser Ansatz wurde bei FBAR1D gewahlt und vereinfacht die Matrixformulierungdeutlich, da sich Gleichungen (3.36) und (3.35) zu

x(i) =(u

(i)z φ(i) T

(i)zz D

(i)z

)T

(3.45)

und N = e−jωt (3.46)

reduzieren.

Vorzuge und Grenzen des Modells

Durch die Annahme ebener longitudinaler Volumenwellen mit Ausbreitung in z-Rich-tung und unendlich großer lateraler Ausdehnung sind die Modellierungsmoglichkeitenmit FBAR1D deutlich eingeschrankt. Zwar lassen sich Auslenkungs-, Spannungs- undDehnungsverlaufe in einer Dimension bzw. die Resonatoradmittanz mit Resonanz undden Harmonischen berechnen, doch die Einflusse lateraler Geometrien und parasitarerResonatormoden konnen nicht untersucht werden. Hier muss man auf kompliziertereAnsatze ohne die Vereinfachung (3.43) zuruckgreifen.

Andererseits gibt FBAR1D das Verhalten eines Resonators, bei welchem durchdie Uberlappmethode aus Abschnitt 3.4.3 die parasitaren TE1-Resonatormoden er-folgreich unterdruckt werden, sehr gut wieder13. Darum bildet sie die Grundlage furden taglichen Gebrauch beim FBAR-Filterentwurf. Implementiert man das Modelldaruber hinaus in einer Sprache wie C++, so sind insbesondere sekundenschnelleBerechnungen von Resonatoradmittanzen moglich. Das erlaubt die Optimierung vonKopplung und theoretisch erreichbarer Resonatorgute bei festgehaltener Zielfrequenzfr uber einen weiten Parameterbereich. Entsprechend schnell konnen ganze Filteroptimiert werden.

13Die Uberlappmethode bewirkt eine Plattenschwingung im aktiven Resonatorbereich. Dadurchwird die Grundvoraussetzung des Modells kx = ky = 0 erfullt und die berechnete Resonanzfre-quenz liegt frequenzmaßig richtig. Weiterhin erhalt man bei erfolgreicher Anwendung der Unter-druckungsmethode einen glatten Admittanzverlauf. Das entspricht dem Ergebnis der 1D-Rechnung.


3.6.3 Berechnung von Dispersionskurven

Ein FBAR-Resonator ist ein geschichteter begrenzter Korper, in welchem gefuhrteakustische Moden verschiedenen Typs ausbreitungsfahig sind. Die Gesamtheit all die-ser physikalisch moglichen Moden wird ublicherweise in einem kx-f-Dispersionsdia-gramm dargestellt, wobei jeder Punkt eine Resonatormode reprasentiert. Weiterhinkonnen einige wichtige Eigenschaften des verwendeten Stapels wie der Dispersionstypdes TE1-Astes direkt abgelesen werden, was es fur den FBAR-Entwurf wunschenswertmacht, eine geeignete Simulationssoftware zum Berechnen von Dispersionsdiagram-men zu besitzen.

Solche Dispersionsdiagramme mehrlagiger Aufbauten werden ublicherweise mitso genannten Matrixmethoden berechnet. Lowe [117] gibt hierzu einen sehr gutenUberblick und diskutiert die Entwicklungen seit der Einfuhrung der Transfer-Matrix-Methode durch Thomson [146] und Haskell [147] in den 1950-er Jahren. Indirek-te Berechnungen aus den Ergebnissen einer FEM-Analyse [154] sind allgemein eherunublich und liefern bei deutlich hoherem Zeitaufwand keine zusatzlichen Informa-tionen. Im Folgenden wird das Prinzip des in dieser Arbeit verwendeten ProgrammsRootfinding vorgestellt. Im Gegensatz zur Transfer-Matrix-Methode basiert es auf derso genannten Global-Matrix-Methode [155–157]. Sie ist numerisch stabiler, da ins-besondere bei komplizierteren Ansatzen als (3.42) bis (3.45) schlecht konditionierteMatrizen vermieden werden.

Wie im vorangegangenen Abschnitt 3.6.2 sei Abbildung 3.18 Grundlage der Dis-kussion. Alle Resonatorlagen i sind wieder naherungsweise in xy-Richtung unendlichausgedehnt. Damit ist das hier diskutierte Modell erneut eindimensional. Um nun Dis-persionskurven aller moglichen Moden zu berechnen, reicht es nicht mehr aus, nur lon-gitudinale ebene Wellen in z-Richtung anzunehmen: Bei genauer Betrachtung habenalle Moden in einem FBAR-Resonator einen Mischcharakter mit Plattenwellenzahlenkx und ky ungleich Null. Da alle ublichen FBAR-Materialien14 aber keine Anisotropiein xy-Richtung aufweisen und das Modell nicht unnotig kompliziert gemacht werdensoll, reicht es aus, Wellenausbreitung ausschließlich in xz-Richtung anzunehmen unddie Unabhangigkeit aller Großen in y-Richtung zu fordern:

ky = 0 (3.47)

∂

∂y= 0 (3.48)

Es werden somit bei Rootfinding im Gegensatz zu FBAR1D ebene Wellen in xz-Rich-tung betrachtet. Kommen vollstandig anisotrope Materialien [151] zum Einsatz, so

14Materialien fur FBAR-Resonatoren werden typischerweise entlang einer Kristallachse aufgewach-sen und sind von isotroper, kubischer oder c-Achsen orientierter hexagonaler Struktur.


konnen diese vereinfachenden Annahmen (3.47) und (3.48) nicht ohne Einschrankungder Allgemeinheit gemacht werden.

Die Vorgehensweise bei der Global-Matrix-Methode ist, ausgehend von den obigenAnnahmen, zunachst zu der bei der Transfer-Matrix-Methode, vergleiche Gleichun-gen (3.35) bis (3.37), identisch: Man wahlt einen Satz x an Variablen, durch welchealle ubrigen Großen in einer Lage ausgedruckt werden konnen und welche an derGrenzflache zur nachsten Lage stetig sein mussen. Hier ist der gesamte Satz (3.36)notwendig, da alle Wellentypen berucksichtigt werden sollen. Jetzt kommt der ent-scheidende Unterschied zur Transfer-Matrix-Methode: Man formt (3.37) entsprechendum, dass mechanische Spannung und elektrische Verschiebung durch mechanische Ver-schiebung und elektrisches Potenzial ausgedruckt werden konnen:

T(i)xz,oben

T(i)yz,oben

T(i)zz,oben

D(i)z,oben

T(i)xz,unten

T(i)yz,unten

T(i)zz,unten

D(i)z,unten

= [γ(i)]

u(i)x,oben

u(i)y,oben

u(i)z,oben

φ(i)oben

u(i)x,unten

u(i)y,unten

u(i)z,unten

φ(i)unten

(3.49)

Damit erhalt man die so genannten Greens-Matrizen [γ(i)] [152]. Fur die Metalllagenund materiellen Halbraume bzw. das Vakuum reicht zur vollstandigen Beschreibungbereits jeweils eine 6x6, 4x4 bzw. 1x1 Greens-Matrix. Schließlich ordnet man (3.49)fur eine jede Lage i zusammen mit den Randbedingungen wie der Stetigkeit derVerschiebung und der Spannung an jeder Grenzflache zu einem großen linearen Glei-chungssystem

[κ]x = b (3.50)

an, das mit Standardverfahren wie dem Gaußschen Eliminierungsverfahren gelostwerden kann. Zusatzlich sind noch wenige weitere globale Randbedingungen, wie dieidentische elektrische Verschiebung auf der Ober- und Unterseite des Stapels bzw.der Wahl zwischen Kurzschluss- und Leerlaufmoden notwendig. Sie werden in (3.50)passend eingebaut. Dabei enthalt

x =(x(0) x(1) x(2) . . . x(n−1) x(n) x(n+1)

)T

(3.51)

mit

x(i) =(u

(i)x,oben u

(i)y,oben u

(i)z,oben φ

(i)oben u

(i)x,unten u

(i)y,unten u

(i)z,unten φ

(i)unten

)T

(3.52)


die gesuchten Großen und b die Anregung des Systems. In der Regel regt man mitnur einer einzigen Große wie z. B. T

(n)xz,oben an und b enthalt somit genau ein Nicht-

Null-Element.

Aufgrund der Erregung b und einem vorgegebenen Wertepaar (kx, f) erhalt mandie komplexen Amplitudenwerte aller Großen aus x. In der Regel interessieren aus-schließlich die Dispersionskurven reeller kx-Werte. So berechnet man fur einen gege-benen kx- und f -Bereich in einem ausreichend feinen Raster die Amplitudenwerte xund sucht nach einem lokalen Maxima. Diese sind Punkte der Dispersionskurven. Dadas Modell unendliche Ausdehnung in xy-Richtung annimmt, erhalt man Kurven. Ineinem realen FBAR-Resonator sind durch die laterale Begrenzung nur einige Punkteauf diesen Kurven moglich.

Vorzuge und Grenzen des Modells

Mit dem vorgestellten Prinzip ist es moglich, kx-f-Dispersionsdiagramme fur sowohlMembrantyp- als auch Spiegeltyp-FBAR-Resonatoren zu berechnen. Zusammenge-fasst hat die gewahlte Methode folgende Vorteile und Moglichkeiten:

beliebige Kombination dielektrischer, piezoelektrischer und metallischer Lagen

Modellierung von Halbraumen

anisotrope Materialeigenschaften bzgl. der xz-Richtung

Dielektrische, elastische und piezoelektrische Verluste

komplexe Wellenzahlen:

– rein reell: ungedampfte Moden

– rein komplex: exponentiell abklingende Moden e−j...z, unphysikalische Mo-den e+j...z

– gemischt: Leckwellen, viskos gedampfte Wellen

Erregung mit einer beliebigen Feldvariable (ui, Si, Ti, φi und Di)

beliebige Ausgangsgroße, aus der das Dispersionsdiagramm berechnet wird

Modellierung von Leerlauf- und Kurzschlussmoden

numerische Stabilitat durch Verwendung einer globalen Matrix


Die Methode ist also sehr allgemein und es konnen alle Typen von physikalischmoglichen Wellen berechnet werden, auch Stoneley-Wellen. Durch die Annahme∂∂y

= 0 ergibt sich lediglich die Einschrankung gleicher Materialeigenschaften in xy-Richtung. Weiterhin erfordert die Vorgehensweise mit einer globalen Matrix einen sehrviel hoheren Speicherbedarf und mehr Rechenzeit als die Transfer-Matrix-Methode.Heutige Rechner bewaltigen dies bei einer vernunftigen Auflosung des Diagramms inweniger als einer Stunde.

3.6.4 2D-Finite-Elemente-Methode

Die Finite-Elemente-Methode (FEM) ist ein numerischeres Verfahren zur naherungs-weisen Losung partieller Differentialgleichungen. Das heute ubliche Prinzip wurdeursprunglich in den 1950er- und 1960er-Jahren von Ingenieuren zur Losung vonFestkorperproblemen entwickelt und in der Folgezeit immer wieder verallgemeinert,so auch fur den Fall Piezoelektrizitat. Inzwischen existiert eine umfassende und aus-gereifte mathematische Konvergenztheorie und damit ein theoretisches Fundament.

Mit FEM wird nicht versucht, die Losung fur eine gesuchte Große mit einer ein-zigen Funktion auf dem gesamten interessierenden Gebiet Ω zu approximieren. Hiernahert man eine Linearkombination von endlich (finit) vielen

”einfachen“ Funktionen

wie Polygonen an die exakte Losung der Differentialgleichung an. Diese so genanntenAnsatzfunktionen sind jeweils an einer Stutzstelle Eins und ansonsten nur in einemkleinen Teilbereich von Ω ungleich Null. Die FEM bestimmt durch einen geeignetenAlgorithmus die Koeffizienten der Linearkombination. Die sich so ergebende Losungwird um so exakter, je hoher die Zahl der Ansatzfunktionen und damit Stutzstellenist, je geschickter die Position der Stutzstellen gewahlt wurde und je geeigneter dieAnsatzfunktion selbst fur den gegebenen Problemfall sind.

In dieser Arbeit wurde ein EPCOS-eigenes 2D-FEM-Programmpaket BAWFEMzur harmonischen Analyse des FBAR-Verhaltens verwendet. Damit ist es moglich,die Resonatoradmittanz Y (f) und die Verschiebung u(x, z) an einem gegebenen Fre-quenzpunkt f zu berechnen, bzw. einen Admittanzverlauf uber einem Frequenzbe-reich, wenn mehrere Berechnungen durchfuhrt werden. So kann man einerseits dieAuswirkung parasitarer Resonatormoden auf das elektrische Resonatorverhalten un-tersuchen und es andererseits |u(x, z)| bildlich darstellen. Die Phaseninformationvon u(x, z) erlaubt daruber hinaus eine Animation der Resonatorschwingung undlasst die Identifikation von gebundenen und ungebundenen Resonatormoden zu. Dasist fur das grundsatzliche Verstandnis der Arbeitsweise des Resonators sehr hilf-reich. Im Folgenden wird das Prinzip einer zweidimensionalen FEM-Modellierungeines (Spiegeltyp-)FBAR-Resonators fur den harmonischen Fall beschrieben. Ausge-hend von den Grundgleichungen aus Abschnitt 3.6.1 ist es dabei letztendlich dasZiel, eine Naherungslosung uh(x, z) und φh(x, z) fur die mechanische Verschiebung


Ω1Ω2 Ω3

ΩmΩm−1

Ω

Ω

Sym

metrieachse

xy

z

(a)

uzai

z

x

i

2D−Serendipity−Element

(b)

Abbildung 3.19: Vernetzung eines FBAR-Resonators mit 2D-Serendipity-Elementen.(a) Aufteilung des Gebiets Ω des Resonators in Parallelogramme Ωe; (b) Verlauf derAnsatzfunktion Ni(x, z).

u(x, z) =

(ux(x, z)

uz(x, z)

)bzw. das elektrische Potenzial φ(x, z) in Abhangigkeit der Erre-

gerfrequenz f zu ermitteln. Der Resonator wird dabei in y-Richtung unendlich ausge-dehnt angenommen, d. h. es handelt sich um ein 2D-Modell, und uy(x, z) wird ohneBeschrankung der Allgemeinheit Null gesetzt.

Der erste Schritt der FEM ist die Vernetzung. Dabei wird das betrachtete GebietΩ in endlich viele endlich große m Teilbereiche Ωe aufgeteilt:

Ω =m⋃

e=1

Ωe (3.53)

Bei einer zweidimensionalen Modellierung sind Ωe Dreiecke, Parallelogramme, krumm-linige Dreiecke oder allgemeine Vierecke. Abbildung 3.19 (a) zeigt beispielhaft die Auf-teilung eines FBAR-Resonators in endlich viele gleichartige Parallelogramme. Dabeiist es aus Symmetriegrunden ausreichend, nur das halbe Gebiet zu betrachten, vor-ausgesetzt man nimmt den Resonator so wie in der gezeigten Weise auch symmetrischan. Im 2D-Fall wird an alle Ωe folgende Anforderung gestellt:

Ωi

⋂Ωj =

∅ fur i 6= j oder

ein gemeinsamer Eckknoten oder

eine gemeinsame Kante

(3.54)


Eine solch korrekte Vernetzung wird in den meisten Fallen vollautomatisch und effizi-ent mit einem Netzgenerator (Mesher) programmgesteuert erledigt. Darauf aufbauenderfolgt die Assemblierung der Systemmatrizen, deren erster Schritt die Darstellungder gesuchten Naherungslosungen als Linearkombination der Ansatzfunktionen Ni ist:

ux,h(x, z) =n∑

i=1

aiNi(x, z) (3.55)

uy,h(x, z) =n∑

i=1

biNi(x, z) (3.56)

φh(x, z) =n∑

i=1

ciNi(x, z) (3.57)

Die Funktionen Ni sind nicht unabhangig von der Form der Teilgebiete Ωe und fordernihrerseits Stutzstellen auf den Ecken bzw. optional auch auf den Kanten bzw. im In-neren von Ωe. Die Art der Teilgebiete Ωe und die darauf definierten Ansatzfunktionenbilden zusammen das eigentliche finite Element. Abbildung 3.19 (b) zeigt beispiel-haft einen Ausschnitt der Vernetzung von Ω mit gleichartigen Parallelogrammen mitjeweils einer Stutzstelle auf der Kante und ohne Stutzstellen im Inneren, mit so ge-nannten 2D-Serendipity-Elementen. Die zugehorigen quadratischen Ansatzfunktionenhaben die Form

Ni(x, y) = g0 + g1x + g2z + g3xz + g4x2 + g5z

2 + g6x2z + g7xz2 (3.58)

und sind nur in der unmittelbaren Umgebung der zugehorigen Stutzstelle ungleichNull. An der Stutzstelle selbst sind sie Eins und an allen anderen Null. Dies ist inAbbildung 3.19 (b) fur die Stutzstelle i gezeigt.

Weiterhin mussen zur Losung der partiellen Differentialgleichung, einem Rand-wertproblem, Randbedingungen formuliert werden:

Punkte auf einer Symmetrieachse: uh,x = 0 ⇐⇒ ai = 0

Randpunkte auf Ω beim Ubergang zu Vakuum: Tzx = Tzz = 0

Fixieren der Struktur im Raum gegen Korpertranslationen und -rotationen:uh,x = 0, uh,z = 0 an mindestens zwei Punkten

. . .

Mit den Gleichung (3.55) bis (3.57) und den Randbedingungen ist es nun moglich, ein


lineares Gleichungssystem der Form

[Kh]

a1...

an

b1...

bn

c1...

cn

= b (3.59)

aufzustellen, welches im einfachsten Fall mit dem Gaußschen-Eliminierungverfah-ren von einem Loser (Solver) nach den gesuchten Koeffizienten programmgesteuertaufgelost werden kann. Da [Kh] nur schwach besetzt ist, sind auch effizientere Algo-rithmen moglich oder je nach Problemstellung der Einsatz iterativer Loser, welchedeutlich schneller als das Gauß-Verfahren zum Ziel gelangen. Aus den berechnetenKoeffizienten ergeben sich direkt die Naherungslosungen von uh(x, z) und φh(x, z).Aus ihnen konnen in der Nachlaufrechnung alle anderen relevanten Großen wie dieVerschiebung oder Admittanz berechnet werden.

Mathematischer Hintergrund der beschriebenen Vorgehensweise ist, dass die hy-perbolische partielle Differentialgleichung (3.29) zusammen mit den Randbedingungenin eine aquivalente Variationsformulierung ubergefuhrt werden kann, welche zunachsteinen Hilbert-Raum mit unendlicher Basis verwendet. Mit der Galerkin-Approxi-mation (3.55) bis (3.57) wird anschließend ein Funktionenraum mit endlicher Basisaufgespannt, der die unendliche Basis in der ursprunglichen Variationsformulierungersetzt und so zu einer diskreten Ersatzaufgabe fuhrt. Diese kann in das numerischlosbare Gleichungssystem (3.59) umgewandelt werden. Naher soll aber auf die De-tails nicht eingegangen werden, da es den Rahmen dieser Arbeit deutlich sprengenwurde. Es sei auf die inzwischen schier unuberschaubare Zahl an Literaturstellen zurMethode der Finiten-Elemente verwiesen. Eine kleine Auswahl allgemeiner Werkeist [26, 158–160]. Mit Piezoelektrizitat setzen sich [161–164] auseinander und die vie-len Veroffentlichungen von Makkonen [101, 165–169] gehen explizit auf die Theorieund die Moglichkeiten der FEM-Modellierung von FBAR-Resonatoren ein.

Vorzuge und Grenzen der FEM

Eine FEM-Analyse hat viele Vorteile. Dazu gehort zunachst die geometrische Flexi-bilitat: Die Anpassung an komplizierte Geometrien wird in die Gittererzeugung ver-

3.7. ANALYSEMETHODEN 61

lagert, das grundlegende Verfahren ist davon unabhangig. Im Hinblick auf FBAR istso auch die Modellierung von Oberflachenrauhigkeiten moglich, was bei anderen Mo-dellen nur uber heuristische Ansatze berucksichtigt werden kann. Weiterhin konnenRandbedingungen auf eine einfache Art und Weise erfasst und programmgesteuertin das mathematische Losungsverfahren bei der Assemblierung der Systemmatrizeneinbaut werden. Anisotrope Materialeigenschaften werden durch die Methode genauso berucksichtigt wie Nichtlinearitaten und viskose Verluste im Material. Daruber hin-aus ist es moglich, Materialeigenschaften z. B. linear oder quadratisch mit dem Ort zuvariieren. All dies ist eine ungeheure Flexibilitat fur den Entwickler, die ihm von kei-ner anderen Methode in dieser Art und Weise zur Verfugung gestellt wird. Allerdingsbezahlt er dies mit einem sehr hohen Rechenaufwand, welcher bei einem 2D-Modelleines Spiegeltyp-FBAR-Resonators durchaus eine Stunde fur jeden Frequenzpunktbetragen kann. Mit einem aufwendigen Modell direkt verbunden ist auch ein hoherRAM-Speicherbedarf im GB-Bereich. Zwar sind 4 GB inzwischen erschwinglich, dochlassen die heute noch ublichen 32-Bit-Systeme meist nur 2GB pro Prozess zu. Dasbeschrankt die Feinheit der Diskretisierung selbst bei einer harmonischen Analyse,welche deutlich weniger Speicher als z. B. eine modale Analyse benotigt. Ein weitererNachteil ist die mit der Feinheit der Diskretisierung verbundene maximale Frequenz,welche gerade noch simuliert werden kann. Eine Daumenregel aus der Praxis besagt,dass pro Wellenlange der hochsten betrachteten Frequenz ungefahr sechs Knoten, al-so Stutzstellen fur Ansatzfunktionen, notwendig sind. Eine 2D-FEM-Analyse erfasstdaruber hinaus im Gegensatz zum 3D-FEM-Ansatz nicht alle moglichen Moden [166].Davon betroffen sind vor allem Moden von Dispersionsasten bei hohen lateralen Wel-lenzahlen. Allgemein nachteilig ist weiterhin die Reflektivitat der Randbedingungen:Egal, ob ein Knoten am Rand Ω festgehalten wird oder an Vakuum grenzt, akustischeWellen werden an diesen Stelle reflektiert. So resultieren im Falle von FBAR-Resona-toren ungebundene Moden, welche mit dem elektrischen Feld koppeln, in zusatzlichenResonanzen, da sie durch die Reflexion zwangsweise zu gebundenen Moden werden.Diese Resonanzen sind virtuell und in einem realen FBAR-Resonator nicht vorhanden.Zum Schluss sei noch die fehlende Moglichkeit genannt, Halbraume zu modellieren,was die korrekte Erfassung von eines relativ dicken Substrat praktisch unmoglichmacht.

3.7 Analysemethoden

Um das Verhalten realer Objekte studieren zu konnen, benotigt man fur quantitativeVergleiche geeignete Messverfahren. Im Falle von FBAR-Resonatoren und -Filternsind dies elektrische Messungen, optische Messungen und Methoden zur Bestimmungabsoluter Schichtdicken. Sie alle werden hier erlautert.


Abbildung 3.20: In dieser Arbeit wurdeder Netzwerk-Analysator HP 5753D ver-wendet.

Abbildung 3.21: Eintormessung eines Re-sonators auf dem Waferprober: Die rechteMessspitze ist angehoben.

3.7.1 Elektrische Messung

Die wichtigste Methode, FBAR-Resonatoren und Filter zu charakterisieren, ist derenelektrische Vermessung. In der Regel geschieht dies mit einem Netzwerk-Analysatorund geeigneten Messspitzen direkt auf dem Wafer, siehe Abbildungen 3.20 und 3.21,und man misst die komplexen Streuparameter als Funktion der Frequenz: Bei Reso-natoren S11 in einer Eintormessung, bei Filtern S11, S12, S21 und S22 in einer Zweitor-messung. Der fur alle Messungen in dieser Arbeit verwendete Netzwerkanalysator istein SOLT-kalibrierter HP 5753D, mit dem im Frequenzbereich von 30 kHz bis 6GHzgemessen werden kann.

3.7.2 Optische Interferometrie

Interferometrie [170] ist eine Messmethode, die den physikalischen Effekt der Inter-ferenz ausnutzt, um Informationen uber ein Messobjekt zu erhalten. Im Fall einesoptischen Interferometers wird dazu ein koharenter Lichtstrahl in zwei Teilstrahlen ge-spalten, von denen einer durch Wechselwirkung mit einem Messobjekt verandert wird.Anschließend werden beide Strahlen wieder uberlagert. Es kommt bei Beachtung derKoharenzlange zur Interferenz und die damit verbundenen Intensitatsanderungen aneinem Detektor ermoglichen Ruckschlusse auf Veranderungen des Messobjektes.

Im Falle von FBAR-Resonatoren kann mit Hilfe von Laser-Interferometern [171–174] die Auslenkung uz(x, y) auf der Oberflache von Resonatoren gemessen werden.Das erlaubt einerseits die indirekte Messung von Dispersionskurven und andererseitskonnen ungebundene Moden insbesondere in der Gegend der Antiresonanz detektiertwerden, vgl. Anhang B.2.


Laser

λ /4−Plättchen

45

6

1

3

5

2

4

x

z

y

Polarisation des Lichtstrahlsmit Blick in Strahlrichtung z:~

λ /4−Plättchen

~z ~x

~y

Photodiode

X

nichtdurchlässigerSpiegel

polarisierenderStrahlteiler

Analysator

FBAR−Resonator

Abbildung 3.22: Prinzipieller Aufbau eines homodynen Michelson-Interferometers:Der Strahlteiler und die λLaser/4-Plattchen sorgen fur die zur Interferenz notwendigeStrahlfuhrung.

Da bei EPCOS wahrend dieser Arbeit kein Laser-Messplatz zur Verfugung stand,griff man auf die Moglichkeit zuruck, an der Technischen Universitat Helsinki in Finn-land zu messen. Die dort ansassige Interferometer-Gruppe am Optics and Mole-cular Materials Laboratory [175]15 hatte bereits mehrere Jahre Erfahrung imBereich FBAR und SAW und bietet das Messen als Dienstleistung fur Dritte an. Sostand fur mehrere Lasermessungen wahrend dieser Arbeit ein homodynes Michelson-Interferometer [122,173,177–179] zur Verfugung, dessen prinzipieller Aufbau in Abbil-dung 3.22 gezeigt ist. Im Betrieb tastet es die gesamte aktive Resonatorflache AFBAR

punktuell ab. Dabei wird in jedem Abtastpunkt M(x, y) mit Flache AM der relativeAmplituden-Betrag der vertikalen Auslenkung uz(x, y) gemessen16,17. Der zu vermes-

15fruher Materials Physics Laboratory [176]16Absolute Betrage der vertikalen Auslenkung und die zugehorige Phaseninformation konnen

mit einem homodynen Michelson-Interferometer nicht gemessen werden. Es gibt dafur aller-dings andere Messkonzepte: Das Mach-Zehnder-Interferometer [171], das heterodyne Michelson-Interferometer [172], oder fotorefractive Holographie [174,180].

17Um ein Dispersionsdiagramm mittels 2D-FFT zu erstellen, reicht die Messung des vertikalenAmplitudenbetrags ohne Phaseninformation aus [181].


sende Resonator wird dabei von einem HF-Generator bei fFBAR mit der LeistungPFBAR zu erzwungenen Schwingungen angeregt. Nach Abtastung von AFBAR beifestgehaltener Resonatorfrequenz fFBAR, schreitet man zum nachsten gewunschtenFrequenzpunkt und tastet auf die selbe Art und Weise die gesamte aktive Resona-torflache wieder ab. So liegen schließlich die Amplitudenbetragsprofile uber den ge-messenen Frequenzbereich vor, und die Daten konnen mittels 2D-FFT [181–184] inein kx-f-Dispersionsdiagramm umgerechnet werden. Der Bereich von kx erstreckt sichdabei von 0 bis kx,max, wobei sich kx,max bei Annahme einer quadratischen Flache AM

und einer quadratischen Flache AFBAR uber das Abtasttheorem [185] herleiten lasst:

kx,max =π√AM

(3.60)

Da fur die Interpretation von gemessenen Auslenkungsprofilen und Dispersionsdia-grammen ein grundsatzliches Verstandnis fur die Messmethode notwendig ist, wirdim Folgenden auf das verwendete homodyne Michelson-Interferometer [173,178] nahereingegangen: Ein 10mW TEM00 He-Ne-Laser erzeugt einen koharenten linear pola-risierten Lichtstrahl (1), dessen Wellenlange λLaser = 632,8 nm betragt und dessenPolarisationsebene nicht mit der x-z- und nicht mit der y-z-Ebene zusammenfallt. Sokann dieser durch einen optischen Strahlteiler in einen Messstrahl (2) und einen Refe-renzstrahl (3) aufgeteilt werden. Der Messstrahl ist nach der Aufspaltung in x-z- undder Referenzstrahl in y-z-Richtung polarisiert. Beide Strahlen werden anschließendreflektiert: Der Referenzstrahl an einem undurchlassigen Spiegel und der Messstrahlam Messpunkt M(x, y) auf der Oberflache des Test-Resonators. Vor und nach derReflexion passieren beide jeweils noch ein λLaser/4-Plattchen. Insgesamt kommt es sobei jedem Strahl zu einer Phasendrehung um 90° und bei erneutem Durchgang durchden Strahlteiler werden sie (4,5) in Richtung Detektor gelenkt. Die verschiedenen Po-larisationen der Lichtstrahlen in Kombination mit Strahlteiler und λLaser/4-Plattchen,siehe dazu auch [170], dienen damit der korrekten Stahlfuhrung. Zur Interferenz fuhrtschließlich ein optischer Analysator. Er projiziert die senkrecht zueinander linear pola-risierten Signale (4) und (5) in eine Ebene. Der Detektor, eine Hochgeschwindigkeits-Photodiode, wandelt den aus der Interferenz resultierenden Lichtstrahl (6) in einelektrisches Signal, das uber einen Hochpassverstarker zu einem Spektrumanalysatorgelangt. Hier kann das Ergebnis der Messung in Form der Leistung PAnalysator bei derFrequenz fFBAR abgelesen werden. Fur PAnalysator gilt

PAnalysator ∼ J1

(4π|uz(x, y)|

λLaser

)sin (2πfFBARt) , (3.61)

wobei J1 der Term 1. Ordnung der Bessel-Funktion ist. PAnalysator ist damit in demje-nigen Bereich, in dem man J1 linear annimmt, direkt proportional zu |uz(x, y)| und


damit um so großer, je hoher die Leistung PFBAR ist. Da nur diese direkte Proportio-nalitat existiert, kann kein Ruckschluss auf absolute Amplitudenwerte gezogen wer-den. Um die gesamte aktive Resonatorflache abtasten zu konnen, wird der Resonatormechanisch in x-y-Richtung parallel zur aktiven Resonatorflache verschoben. Der rest-liche Messaufbau ist starr. Die Flache des Abtastpunktes AM hangt von der verwen-deten Fokussierung des Messstrahls auf dieser Resonatoroberflache ab und hat eineuntere Grenze.

Zusammenfassend hat das verwendete homodyne Michelson-Interferometer folgendeEigenschaften [173,178,186]:

Minimale Große des Messpunktes: AM,min = 0,73 µm2 =⇒ kx,max = 5,24 · 106 1m

Minimal messbarer Amplitudenbetrag: |uz,min(x, y)| ∼= 10−14 m

Maximal messbarer Amplitudenbetrag: |uz,max(x, y)| ∼= 10−8 m

50000 Messpunkte pro Stunde

Messbarer Frequenzbereich: [100 MHz;2400MHz]

Da die Photodiode eine nichtlineare Empfindlichkeit bzgl. der Frequenz aufweist unddie Auslenkungen nicht bei allen Frequenzen gleich stark sind, werden die Resonatorenje nach Frequenz mit PFBAR = 10 . . . 20 dBm erregt. Damit ist ein direkter Vergleichder relativen Amplitudenwerte zwar bei ein und der selben Frequenz, jedoch i. Allg.nicht bei verschiedenen Erregerfrequenzen fFBAR moglich.

3.7.3 Schichtdickenbestimmung

Nachdem Einzelresonatoren oder zu Filtern verschaltete Resonatoren auf einem Waferprozessiert worden sind, stimmen deren Schichtdicken nur annaherungsweise mit denSollschichtdicken uberein. Jede Lage, abhangig vom zugehorigen Abscheideprozess,ist gewissen Fertigungstoleranzen unterworfen, und so mussen fur einen Rechnungs-Messungsvergleich, der u. a. zum Anpassen des Basis-Modellparametersatzes notwen-dig ist, die absoluten Istschichtdicken eines Resonators nachtraglich moglichst genaubestimmt werden.

Im Fall von FBAR-Resonatoren eignen sich zur Schichtdickenbestimmung beson-ders eine REM-, TEM- oder Profilometer-Messung. Die beiden ersten Methoden erfor-dern dabei einen Bruch durch einen Resonator, wahrend die Profilometermessung aneiner geeignet geatzten Stufenstruktur durchgefuhrt werden kann. Eine solche findetsich auf den EPCOS Wafern zur Fertigungskontrolle in jedem Block. Messungen miteinem akustischen Radar haben zwar eine sehr viel hohere Genauigkeit als alle obigen


Methoden, allerdings konnen nur relative Schichtdicken in Form von Signallaufzei-ten gemessen werden. Sie eignen sich daher zur prazisen Kontrolle in der laufendenFertigung, jedoch nicht fur den hier benotigten Zweck, dem Messen absoluter Schicht-dicken.

Von den drei Messmethoden REM-, TEM- und Profilometer-Messung zeigt letz-tere die großte Genauigkeit, und ist deswegen womoglich zu bevorzugen. Vorausset-zung ist allerdings, dass prozesstechnisch einerseits eine steile Stufe realisiert werdenkann und dass die Moglichkeit besteht, eine Schicht mit den im Prozess vorhande-nen Atzschritten aufzulosen. So kann von Elektroden aus mehreren Einzelschichtennur jeweils die Gesamtschichtdicke gemessen werden. Ein Gerat fur Profilometer-Mes-sungen ist relativ kostengunstig und gehort meist in einer Fertigungsanlage zu Stan-dardausstattung. REM- und TEM-Messungen hingegen mussen in der Regel an einenexternen Dienstleister gegeben werden, wobei erstere weniger aufwendig und damitkostengunstiger ist. Sie vermag es im Gegensatz zum TEM-Analyse allerdings nicht,weiche Schichten aufzulosen, da beim Bruch keine sauberen Kanten entstehen. DiePraxis hat so gezeigt, dass sich die piezoelektrische Schicht, die Tuning- und dieTrimmschicht am besten mit einer Profilometermessung bestimmen lassen und dierestlichen Schichten mit einer TEM-Messung. Diese Vorgehensweise wurde mehrmalsfur diese Arbeit verwendet.

3.8 Prozessierung

FBAR-Filter18 werden zu Tausenden auf Wafern prozessiert, welche vor dem Packa-ging in so genannte Dies oder Chips vereinzelt werden. Die meisten Prozessschrittesind dabei Standard-Prozessschritte aus der Halbleiterfertigung, was den entscheiden-den Vorteil mit sich bringt, dass viele Fertigungsanlagen relativ gunstig zu erwer-ben sind. Nur so ist FBAR eine zu etablierten Techniken wie SAW und MWC kon-kurrenzfahige Technologie. Die einzigen beiden FBAR-spezifischen Fertigungsschrittesind die Abscheidung des piezoelektrischen Materials und das Trimming, bei welchemdie einzelnen Filter individuell durch Wegnahme oder Hinzufugen einer zusatzlichenSchicht zur richtigen Frequenz geschoben werden [109].

In diesem Abschnitt werden zunachst alle ublichen Materialien verschiedenerFBAR-Technologien aufgezeigt. Anschließend wird die Prozessierung bei EPCOS vor-gestellt und darauf aufbauend der Spielraum fur Optimierungen in dieser Arbeit ab-gesteckt.

18FBAR-Resonatoren als Einzelbauteile werden bis dato nicht hergestellt und dienen lediglich derTechnologieentwicklung.

3.8. PROZESSIERUNG 67

3.8.1 Materialien

Verschiedene Firmen verfolgen bei der Prozessierung ihrer FBAR-Filter verschiedeneTechnologiekonzepte. Diese unterscheiden sich in erster Linie durch einen Membran-oder Spiegeltyp-Ansatz bzgl. der Resonatoren und Apodisation bzw. Uberlapp-Me-thode zur Unterdruckung der parasitaren Moden. Allen in der Praxis erfolgreich um-gesetzten Technologie-Ansatzen ist aber gemeinsam, dass sie AlN als piezoelektrischesMaterial beinhalten. Lediglich einige Forschungseinrichtungen wie das VTT publizie-ren noch ab und zu uber FBAR-Experimente mit ZnO [135,187].

Tabelle 3.2 versucht, einen Uberblick zu den in der FBAR-Fertigung ublichenMaterialien zu geben. Die meisten wie SiO2 oder W sind dabei auch in der Halblei-

Schicht: Material: Anmerkung:

Piezo: â AlN [47,91,99,102,104]

â ZnO [135,187]â PZT [188–190]

â AlN und ZnO lassen sich mit einem Sputterprozessgroßtechnisch in sehr guter Qualitat herstellen

â PZT zeigt die großte Kopplung, hat aber im GHz-Bereich zu große Verluste

â AlN hat eine geringere Kopplung wie ZnO, aber einenkleineren Temperaturkoeffizienten

Substrat: â Si [99,106]â Glasâ GaAs

â Ein Si-Substrat bietet eine gute Warmeableitung ⇒Leistungsvertraglichkeit steigt

â Si hat den Vorteil, dass kostengunstige Fertigungs-anlagen zum Waferdunnen und zur Chipvereinzelungaus dem Halbleiterbereich verwendet werden konnen.

Elektroden: â Al [102,107,191]â Ti [102,107]â Mo [81,107,191]â W [191]â Ru [107]â Pt [102]

â moglichst hart fur hohe Kopplung: Mo, W, Ru, Ptâ hohe Leitfahigkeit fur geringe Zuleitungsverluste: Alâ Materialkombinationen sind moglich:

â untere und obere Elektroden sind unterschiedlichâ ”Sandwich“-Elektrode

â Ru und Pt sind sehr teuerSpiegel: â SiO2/AlN [138]

â SiO2/W [99]â SiO2/Ta2O5 [102]

â Metalllagen mussen strukturiert werden, um eine In-terresonatorkopplung im Filter zu vermeiden.

Membran: â Siâ SiO2/Wâ Si3N4

Tuning: â SiO2

â Si3N4

â Alâ Cu

â Si3N4 kann in einem Niedertemperaturprozess aufge-tragen werden ⇒ Vermeiden des (engl.) Hillockingtieferliegender Schichten

Trimming: â SiO2

â Si3N4

Tabelle 3.2: Materialien fur Membran- und Spiegeltyp-FBAR-Resonatoren


terfertigung ublich und entsprechend billig. Dagegen ist die Verwendung von Pt oderRu als Elektrodenmaterial eher unublich und ausgesprochen teuer.

3.8.2 Prozessfuhrung bei EPCOS

Die Firma EPCOS setzt bei der FBAR-Fertigung auf den Spiegeltyp-Ansatz. Aus-gangspunkt der Prozessierung sind dabei die in Abbildung 3.23 gezeigten hochohmi-gen 200mm-Wafer [89], auf denen zunachst ein Spiegel aus akustisch alternierendhoch- und niederimpedanten Lagen abgeschieden wird, siehe Abbildung 3.24. Um

Abbildung 3.23: EPCOS verwendet 200 mm-Wafer in der hausinternen Fertigung.

eine Interresonatorkopplung innerhalb des Filters zu vermeiden, sind die hochimpe-danten Spiegellagen aus Metall strukturiert. Das bewirkt zusammen mit den ebenfallsstrukturierten Elektroden die pyramidenahnliche Form der Resonatoren. Auf Planari-sierungsschritte wird vollstandig verzichtet. Das macht den Prozess besonders einfachund bringt nach dem jetzigen Kenntnisstand bei geeigneter Wahl der Spiegelstufen kei-nerlei Nachteile mit sich. Die Piezoschicht aus AlN ist ebenfalls nicht strukturiert undnur an den Durchkontaktierungen zur unteren Elektrode geoffnet. Weiterhin ist zurBeseitigung parasitarer TE1-Nebenmoden ein Uberlapp vorgesehen. Die verwendeteAusfuhrung ist mit der aus Abschnitt 3.4.3 praktisch identisch, mit dem Unterschied,dass hier der Massenbelag unterhalb die obere Elektrode geschoben ist. Das ist sehrviel einfacher zu prozessieren und senkt wie der einfache Spiegelaufbau und die durch-gezogene piezoelektrische Schicht Prozesskosten. Die Tuninglage ist nur auf den p-

3.8. PROZESSIERUNG 69

Abbildung 3.24: EPCOS wahlte Spiegeltyp-FBAR-Resonatoren fur seine Filtertech-nologie. Hier ist eine Serienschaltung aus einem seriellen (links) und einem parallelen(rechts) Resonator gezeigt, die uber die untere Elektrode miteinander verbunden sind.

Resonatoren aufgebracht und schiebt deren Frequenz relativ zu der der s-Resonato-ren nach unten. Die Trimmschicht ist in Abbildung 3.24 nicht gezeigt, im EPCOS-Aufbau aber vorhanden. Es ist eine zusatzliche dielektrische Schicht, welche den ge-samten Aufbau uberzieht und nur an den Kontaktstellen des Filters geoffnet ist. Ineinem letzten Prozessschritt, dem Trimming, wird sie individuell fur jeden Filter aufden Wafer aufgebracht.

3.8.3 Freiheitsgrade fur den Entwurf und Optimierungen

Zwar sind im Rahmen einer Technologieentwicklung zunachst sehr viele Moglichkeitenvorhanden, einen Lagenstapel zu gestalten, doch mussen verschiedene Ansatze nacheiner gewissen Zeit konvergieren, um schließlich zu einem fertigen Produkt zu ge-langen. So wurde am Anfang dieser Arbeit, welche zum großten Teil noch in dieProzessentwicklung bei EPCOS fiel, zunachst einige Wochen mit verschiedenen Elek-troden experimentiert und darauf aufbauend ein Kompromiss aus hoher Kopplung,guter Leitfahigkeit und gutem Piezowachstum gewahlt. Der Rest des Lagenstapelswar bereits vorgegeben. Zusammenfassend standen nach der Festlegung des Elektro-densystems damit folgende Freiheitsgrade fur Optimierungen zur Verfugung:

Dicke aller Lagen uberhalb des Substrats

Weite des Uberlapps

Form und Flache der oberen Elektrode und damit der aktiven Resonatorflache

Es wird sich in Kapitel 5 zeigen, dass die Dimensionierung der Spiegelschichten dengroßten Einfluss auf die Resonatorphysik hat.


Kapitel 4

Modellparameter fur 2D- und 3D-Simulationen

FBAR-Resonatoren zeigen ohne Gegenmaßnahmen parasitare Nebenmoden, siehe Ab-schnitt 3.3. Um dieses Verhalten und geeignete Unterdruckungsmaßnahmen zu unter-suchen, verwendet man neben gezielten Versuchen geeignete Simulationsprogramme.Die wichtigsten Programme wurden in Abschnitt 3.6 vorgestellt. Sie alle benotigen alsEingabe neben der Resonatorgeometrie einen Modellparametersatz zur Beschreibungder physikalischen Eigenschaften des Schichtstapels. Im Fall von FBAR-Resonatorenbeinhaltet dieser fur alle im Resonator verwendeten Materialien die Dichte ρ, dieSteifigkeit [c], die Permittivitat [ε], die Viskositat [v] und, falls ein Material piezo-elektrisch ist, die piezoelektrische Kopplung [d]. Abschnitt A beschreibt hierzu die indieser Arbeit verwendete Matrixnotation und Grundlagen der Akustik.

Ein Modellparametersatz als Basis fur Simulationen muss in der Regel vom An-wender selbst zusammengestellt werden. Dabei kann er aber nicht auf Literaturda-ten [66, 192] ausgedehnter Festkorpern zuruckgreifen. Dunne Schichten zeigen imVergleich dazu abweichende Werte, welche vom Abscheideprozess, von der Schicht-dicke, vom Untergrundmaterial, dessen Rauigkeit und Kristallorientierung abhangigsind. Auch eine direkte Bestimmung der physikalischen Eigenschaften einer einzelnendunnen Schicht, wie z. B. der Steifigkeit, ist wegen der viel zu geringen Schichtdickemit klassischen Vorgehensweisen [12] unmoglich. Darum muss auf eine indirekte Me-thode ausgewichen werden.

In [181] beschreibt Makkonen die Moglichkeit, indirekt einen Modellparameter-satz fur einen FBAR-Lagenstapel zu erstellen. Dabei werden berechnete Dispersions-kurven an ein gemessenes Dispersionsdiagramm durch Variation von Dichte und Stei-figkeitskonstanten der piezoelektrischen Resonatorschicht mittels Software-Optimiererangenahert. Basierend auf dieser Veroffentlichung wird in diesem Kapitel ein Mo-dellparametersatz fur den EPCOS-FBAR-Prozess angefertigt. Abschnitt 4.1 erlautert

71

72 KAPITEL 4. MODELLPARAMETER FUR 2D- UND 3D-SIMULATIONEN

Abbildung 4.1: Lichtmikroskop-Aufnah-me des Test-Resonators fur die Laser-In-terferometrie-Messung.

Abbildung 4.2: Lichtmikroskop-Aufnah-me des Resonators fur die Schichtdicken-bestimmung. Der Ort des TEM-Schnittsist gekenntzeichnet.

zunachst den Unterschied zwischen den Begriffen Modell- und Materialparameter.Anschließend schaffen die beiden Abschnitte 4.2 und 4.3 die notwendigen Voraus-setzungen fur eine systematische Annaherung von Rechnung und Messung: Es wirdein Test-Resonator gewahlt und ein Basis-Modellparametersatz aus Literaturdatenbzw. einem gegebenen 1D-Modellparametersatz zusammengestellt. Die Annaherungberechneter Dispersionskurven an die Messung erfolgt in Abschnitt 4.4. Im Gegen-satz zu [181] werden dort Steifigkeitskonstanten aller Materialien mit Ausnahme desSubstrats variiert und die Annaherung erfolgt in moglichst wenigen Schritten durchvisuelles Vergleichen anstatt durch eine rechnergestutzte Optimierung. Die Variationvon lediglich der Dichte und der Steifigkeitskonstanten der piezoelektrischen Schichtfuhrte zu keinem befriedigendem Resultat. Eine FEM-Simulation im folgenden Ka-pitel 5 zeigt schließlich eine sehr gute Ubereinstimmung zwischen gemessener undsimulierter Admittanz des Test-Resonators: Anharmonische TE1-Resonanzen werdenin einem Bereich von mehr als 100 MHz uberhalb der Resonanz richtig wiedergegeben.Damit ist die Vorgehensweise in diesem Kapitel verifiziert.

4.1 Material- und Modellparameter

Das Vorgehen in diesem Kapitel liefert einen Modellparametersatz fur den gegebenenLagenstapel des Test-Resonators in einem einzelnen Arbeitspunkt. Das heißt, der soermittelte Datensatz ist nur fur Lagenstapel gultig, die dem des Test-Resonators vomAufbau her ahnlich sind und die mit dem selben Fertigungsprozess hergestellt wurden.Eine Abanderung eines Prozessschrittes, ein Weglassen, Vertauschen oder Hinzufugenvon Schichten oder ein starkes Abandern von Schichtdicken macht den Parametersatz

4.2. MESSUNGEN AN EINEM TEST-RESONATOR 73

fur Voraussagen mittels Simulation ungultig. Deshalb spricht man von einem Modell-parametersatz bezogen auf die Modellierung eines gegebenen Stapels in und um einenArbeitspunkt und nicht von einem allgemein gultigen Materialparametersatz.

4.2 Messungen an einem Test-Resonator

Zunachst mussen die notwendigen Voraussetzungen fur die Erstellung eines Modellpa-rametersatzes geschaffen werden. Dazu ist im Vorfeld ein geeigneter Test-Resonatorzu wahlen, dessen Admittanz am Waferprober gemessen wird, dessen Schichtdickenbestimmt werden und an welchem anschließend die Laser-Interferometrie-Messunggemacht wird. Man erhalt so die Schichtdicken des Test-Resonators und ein Disper-sionsdiagramm, das aus den Ergebnissen der Laser-Interferometrie-Messung berechnetund im Bereich des TE1-Astes durch die Admittanz-Messung vervollstandigt wird.

4.2.1 Wahl eines geeigneten Resonators

Wahrend man bei Filter-Resonatoren auf Produkt-Wafern meist versucht, einen mo-noton steigenden, aber moglichst flachen Verlauf des TE1-Astes im kx-f-Dispersions-diagramm zu bewirken, ist ein solcher Resonator fur die Berechnung eines Dispersi-onsdiagramms aus den Ergebnissen einer Laser-Interferometrie-Messung eher unge-eignet. Die notwendige 2D-FFT liefert nur bei relativ stark ansteigenden bzw. rela-tiv stark abfallenden Dispersionsasten gut aufgeloste Kurven. Langsam ansteigende,leicht durchhangende oder gar flache Teilstucke von Dispersionsasten außern sich ineiner

”Wolke“ bzw. verschwinden im Rechenergebnis.

Weiterhin ist fur eine qualitativ gute Laser-Interferometrie-Messung sowohl einemoglichst saubere als auch eine moglichst stark reflektierende Resonatoroberflachenotwendig [186]. Wahrend die erste Forderung durch das Verwenden von Handschuhenbeim Brechen des Wafers in kleine Teile gut umgesetzt werden kann, hat man beider Resonatoroberflache keine Wahl. Diese ist bei einem frequenzrichtig getrimmtenResonator durch das Material der Trimmschicht bestimmt.

Eine Forderung an das Layout des Test-Resonators ist die Kontaktierbarkeit derElektroden mittels Bonddrahten, ohne dass dabei das direkte Blickfeld auf die Reso-natoroberflache gestort wird [186]. Weiterhin muss es moglich sein, die Schichtdickendes Test-Resonators zu bestimmen, ohne ihn dabei zu beschadigen. Eine ubliche Vor-gehensweise ist eine Kombination aus Profilometer- und TEM-Messung, siehe Ab-schnitt 3.7. Weiterhin muss das Layout des Test-Resonators eine quadratische oderrunde aktive Flache aufweisen. Nur so liegt ein zweidimensionales Problem mit kx = ky

vor und die Ergebnisse der Laser-Interferometrie-Messung konnen zur Berechnung ei-nes kx-f-Dispersionsdiagramms mittels 2D-FFT verwendet werden.


0.001

0.01

0.1

1

1800 1825 1850 1875 1900 1925 1950 1975 2000-90-70-50-30-10 10 30 50 70 90

|Y11

| [S

]

arg(

Y11

) [

degr

ee]

frequency [MHz]

(a) Betrag und Phase der Admittanz Y11

Z0=50 Ω

(b) Ortskurve von S11 im Smith-Diagramm

Abbildung 4.3: Elektrische Messung des Test-Resonators

Zusammenfassend werden folgende Anforderungen an den Test-Resonator gestellt:

Aktive Resonatorflache mit quadratischer oder runder Form

Stark monoton ansteigende normale Dispersion des TE1-Astes

Saubere, gut reflektierende Resonatoroberflache

Freie Sicht auf die aktive Flache bei Kontaktierung der Elektroden

Moglichkeit der Schichtdickenbestimmung


Test−Resonator(Laser−Messung)

(TEM−Messung)Filter−Resonator

Abbildung 4.4: Layout in der Umgebung des Test-Resonators.

Anhand dieser Liste wahlte man aus den vorhandenen Versuchslosen einen geeignetenWafer: PCS-TX-Los T041A001, Slot 09. Dieser wurde in Vorversuchen zu den genaue-ren Untersuchungen in Abschnitt 5.2 prozessiert und sein Schichtstapel zeigt einestark ansteigende TE1-Dispersion. Als Test-Resonator kam der Serien-Resonator mitL = 180 µm ohne Uberlapp und quadratischer aktiver Flache in Frage. Er wurde inder Mitte des Wafers in Block 0606 durch Waferbruch entnommen. Seine Admittanz-Messung ist in Abbildung 4.3a bzw. in Streuparameterdarstellung in Abbildung 4.3bzu sehen, Abbildung 4.4 zeigt die nahere Umgebung im Block und Abbildung 4.1 eineLicht-Mikroskop-Aufnahme.

4.2.2 Laser-Interferometrie-Messung

Fur die Laser-Interferometrie-Messung wurde das homodyne Michelson-Interferome-ter aus Abschnitt 3.7.2 benutzt. Wie in [186] detailliert erlautert, war dazu eine Plati-ne mit vorgegebenen Montagelochern und elektrischer Signalzufuhrung anzufertigen.Letztere erfolgt uber eine SMA-Buchse, eine 50 Ω-Mikrostrip-Leitung und Bonddrahte,siehe Abbildung 4.5. Als Klebstoff fur die Befestigung des Waferbruchstucks mitdem Test-Resonator diente ein bei Zimmertemperatur aushartender Silikonkleber. DieBonddrahte sind aus Gold und ermoglichen im Gegensatz zu Aluminiumbonddrahtendas unproblematische Kontaktieren der Kupferleiterbahnen, soweit deren Oberflachesauber und wenig oxidiert ist. Bei der Anfertigung der Platine sind daher Handschu-he notwendig und das unmittelbare Bonden nach der Aushartezeit des Klebers ist zuempfehlen.


Abbildung 4.5: Platine fur die Laser-Interferometrie-Messung

Ergebnisse der Laser-Interferometrie-Messung

Um moglichst viele Anhaltspunkte fur die Erstellung des Modellparametersatzesmittels Anfitten der Rechnung an die Messung zu erhalten, benotigt man ein kx-f-Dispersionsdiagramm in einem moglichst weiten Frequenzbereich und einem moglichstweiten Bereich der lateralen Wellenzahl. So wurde im Fall der Frequenz der fur dasInterferometer maximal spezifizierte Bereich gewahlt und von 106MHz bis 2402MHzin 288 Schritten gemessen. Der verwendete Frequenzschritt war 8MHz. Zusatzlich er-folgte im Bereich um die Resonanz eine Abtastung mit 25 weiteren Frequenzpunkten,damit der besonders wichtige TE1-Ast bei der 2D-FFT besser aufgelost wird. Im Fallder lateralen Wellenzahl zeigten fruhere Versuche, dass der Bereich fur sehr große kx

wenig zusatzliche Information liefert und unnotigerweise eine sehr große Messzeit bean-sprucht. So beschrankte man sich hier auf eine Messpunktgroße von AM = (0,99 µm)2.Das entspricht einem kx,max = 3,16 · 106 1

mbzw. kx,max = 181,1 und ist fur das Er-

stellen eines Modellparametersatzes ausreichend. Anhang B zeigt beispielhaft einigegemessene Amplitudenprofile |uz(x, y)| uberhalb der Hauptresonanz.

Mittels 2D-FFT und einer geeigneten Mittelung [181–184] wurden alle gemessenenAmplitudenprofile in das benotigte kx-f-Dispersionsdiagramm gewandelt, siehe Abbil-dung 4.6a. Da die 2D-FFT auf Messwerte ohne Phaseninformation angewendet wurde,ergeben sich bei mittleren und hohen kx so genannte Geisterbilder. Dieses Phanomenist in [181] im Detail erlautert und es handelt sich um in der Realitat nicht vorhandeneDispersionsaste. Allerdings kann man sie mit einem geeigneten Algorithmus bei derExtraktion der Kurvenpunkte aussondern, sodass sich schließlich das Kurvenbild inAbbildung 4.6b ergibt. Hier wurde außerdem die laterale Wellenzahl bzgl. L = 180 µmnormiert und das Diagramm in die Regionen R1 bis R4 fur spatere Diskussionen auf-geteilt. Die Dispersionsaste und deren Schnittpunkte erhielten die Namen B1 bis B10bzw. S1 bis S4.

Da eine 2D-FFT einer Laser-Interferometrie-Messung keine brauchbaren Werte im


(a) Ergebnis der Laser-Interferometrie-Messung

0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

freq

uenc

y [G

Hz]

kx ⋅ ⋅180 π−610 m/

RI RII RIII RIV

B3

B3

S4

S1

S2 S3

B10

B7

B6

B4

B5

B1

B2

B4

B5

B7

B9B8

(b) Extraktion der Kurvenpunkte

Abbildung 4.6: Berechnung der Dispersionsrelationen des Test-Resonators aus denErgebnissen der Laser-Interferometrie-Messung.


Abbildung 4.7: Querschnitt eines p-Filterresonators. Er wurde mit einer TEM-Mes-sung aufgenommen. Die Position des Schnitts ist in Abbildung 4.2 gekennzeichnet.

Bereich kleiner kx liefert, wurde Abbildung 4.6b um weitere Kurvenpunkte fur denTE1-Ast erweitert. Er soll spater in Abschnitt 4.4 besonders gut angenahert werden.Die zusatzlichen Punkte wurden visuell aus der Admittanzmessung in Abbildung 4.3aabgelesen und sind naherungsweise fur kx = 1, 3, 5, . . . in das Dispersionsdiagrammeingetragen. Das sich auf diese Art und Weise ergebende TE1-Kurvenstuck uberlagertsich sehr gut mit dem entsprechenden aus der 2D-FFT. So kann diese Vorgehensweiseals legitim angesehen werden.

4.2.3 Schichtdickenbestimmung mit TEM und Profilometer

Wie in Abschnitt 3.7.3 erlautert, lassen sich im Falle von FBAR-Resonatoren dieSchichtdicken durch eine geschickte Kombination aus TEM- und Profilometer-Mes-sung bestimmen. Diese Methode wurde auch hier fur den Test-Resonator verwendet.Die TEM-Analyse erfolgte dabei an einem p-Filterresonator auf Chip 0211 in Block0605, siehe Abbildungen 4.2, 4.4 und 4.7, also im Nachbarblock zum Test-Resonator.

Da der bei EPCOS vorhandene 1D-Modellparametersatz vorgegeben ist, muss dasErgebnis der Schichtdickenbestimmung mit ihm in Einklang gebracht werden. Dazupasst man die Tuning- und Trimmschicht manuell mit kleinen Anderungen in derArt und Weise an, dass die in einer FBAR1D-Simulation ermittelten Resonanzenvon sowohl s- als auch p-Resonator mit den entsprechenden Waferprobermessungenubereinstimmen.

4.3 Erstellen eines Basis-Modellparametersatzes

Im Abschnitt 4.2 wurde fur einen Test-Resonator ein Dispersionsdiagramm aus den Er-gebnissen einer Laser-Interferometrie-Messung berechnet und durch zusatzliche Punk-

4.3. ERSTELLEN EINES BASIS-MODELLPARAMETERSATZES 79

Material Kristallstruktur [66] Unabhangige

AlCu kubisch m3m 3AlN hexagonal 6mm 5Si kubisch m3m 3SiO2 isotrop 2Ti hexagonal 6/mmm 5Pt kubisch m3m 3

∑21

Tabelle 4.1: Angenommene Kristallstruktur der verwendeten Materialien und die ausdieser Annahme resultierende Zahl unabhangiger Steifigkeitskonstanten.

te aus einer Admittanz-Messung vervollstandigt. Weiterhin diente eine Profilometer-und eine TEM-Messung zur Bestimmung des zugehorigen Lagenstapels. Im Ab-schnitt 4.4 wird damit ein Modellparametersatz durch systematische Variation vonModellparametern im Rechnung-Messungs-Vergleich erstellt. Ausgangspunkt fur dieseAnnaherung ist ein Basis-Modellparametersatz. Dieser wird im Folgenden aus Litera-turdaten fur ausgedehnte Festkorper und einem gegebenen 1D-Modellparametersatzzusammengestellt.

4.3.1 Annahme von Kristallstrukturen

Der Lagenstapel des Test-Resonators besteht aus den Materialien Si, SiO2, Pt, Ti,AlCu und AlN. Si, das Substratmaterial, ist dabei hochohmig und aus einem gezo-genen Einkristall geschnitten. SiO2 hingegen wurde mit einem CVD-Prozess [193]abgeschieden. Es ist damit polykristallin. Die verbleibenden anderen Materialien sindaufgesputtert [194–196] und deshalb, wie das Substrat, als kristallin anzunehmen. Die-se Annahme wird durch die TEM-Aufnahme aus Abbildung 4.7 untermauert: Bei Pt,Ti, AlCu und AlN ist eine Strukturierung innerhalb der Schichten zu erkennen.

Tabelle 4.1 stellt die im Lagenstapel des Test-Resonators verwendeten Materia-lien, deren angenommene Kristallstruktur und die Anzahl der aus dieser Annahmeresultierenden [66] unabhangigen Steifigkeitskonstanten zusammen. Insgesamt erge-ben sich so 21 Unabhangige, die beim Anpassen des Basis-Modellparametersatzes inAbschnitt 4.4 als Parameter dienen.

4.3.2 Vorgegebene 1D-Parameter

Bei EPCOS wird zum Entwurf von FBAR-Filtern der Simulator FBAR1D verwendet,welcher auf einen erprobten 1D-Modellparametersatz zuruckgreift. Um zu diesem nun


Material Kristallstruktur Unabhangige

AlCu kubisch m3m 2AlN hexagonal 6mm 4SiO2 isotrop 1Ti hexagonal 6/mmm 4Pt kubisch m3m 2

∑13

Tabelle 4.2: Verbleibende Zahl unabhangiger Steifigkeitskonstanten zur Anpassungder Materialparameter.

Kompatibilitat zu gewahrleisten, werden dessen Steifigkeitskonstanten c33, die Dichteρ und die Viskositaten v33 unverandert ubernommen. Fur das piezoelektrische AlNkommt hierzu noch die piezoelektrische Kopplungskonstante d33 und fur alle dielek-trischen Stoffe die Permittivitat ε33. Die Steifigkeitsparameter des Substrats werdenals wenig einflussreich angesehen und deswegen nicht verandert. Damit verbleiben un-ter Berucksichtigung der gegebenen Steifigkeitskonstanten nur noch 13 Unabhangige,siehe Tabelle 4.2.

4.3.3 Literaturdaten fur alle fehlenden Parameter

Die zur Fullung der Matrizen [C], [ε] und [d] noch benotigten Konstanten, welche dergegebene 1D-Modellparametersatz nicht zur Verfugung stellt, finden sich in geeignetenLiteraturstellen:

AlCu [66]

c12 61, 3 · 109 N/m2

c44 28, 5 · 109 N/m2

AlN [197–199]

c11 410 · 109 N/m2 [197]c12 149 · 109 N/m2 [197]c13 99 · 109 N/m2 [197]c44 125 · 109 N/m2 [197]c66 130 · 109 N/m2 [197]e15 −0, 48C/m2 [198]e31 −0, 58C/m2 [198]ε11 9.0 [199]

Si [200]

c12 64, 0 · 109 N/m2

c44 79, 6 · 109 N/m2

4.4. ANPASSEN DES BASIS-MODELLPARAMETERSATZES 81

SiO2 [201]

c44 31 · 109 N/m2

Ti [66]

c11 162 · 109 N/m2

c12 92, 0 · 109 N/m2

c13 69, 0 · 109 N/m2

c44 46, 7 · 109 N/m2

c66 35, 0 · 109 N/m2

Pt [202]

c12 251 · 109 N/m2

c44 76 · 109 N/m2

Fur alle Komponenten der Viskositatsmatrix eines jeden Materials wurde jeweils diezugehorige Konstante v33 aus dem vorgegebenen 1D-Modellparametersatz verwendet.Abbildung 4.8 zeigt abschließend einen Vergleich zwischen dem gemessenen Disper-sionsdiagramm aus Abschnitt 4.2.2 und einem Dispersionsdiagramm, das mit demBasis-Modellparametersatz berechnet wurde. Der TE1-Ast der Simulation schneidetdabei die Ordinate bei der Resonanzfrequenz des Test-Resonators. Dies ruhrt von derUbernahme des 1D-Modellparametersatzes in den Basis-Modellparametersatz und derAnpassung des Lagenstapels in Abschnitt 4.2.3 her.

4.4 Anpassen des Basis-Modellparametersatzes

In den vorangegangenen Abschnitten 4.2 und 4.3 dieses Kapitels wurde ein Basis-Modellparametersatz zusammengestellt und ein geeigneter Test-Resonator aus einemVersuchslos gewahlt, dessen Lagenstapel und Dispersion messtechnisch bestimmt wur-den. Damit sind nun alle Voraussetzungen geschaffen, den Basis-Modellparametersatzmittels Rechnungs-Messungs-Vergleich von Dispersionskurven anpassen zu konnen.

4.4.1 Einfluss der unabhangigen Steifigkeitsparameter

In [181] wird eine Moglichkeit beschrieben, einen Basis-Modellparametersatz fureinen gegebenen FBAR-Lagenstapel anzupassen. Dazu werden berechnete Disper-sionskurven durch Variation von Dichte und Steifigkeitsparameter der piezoelektri-schen Schicht mittels Software-Optimierer an ein gemessenes Dispersionsdiagrammangefittet. Je nach gegebenen Anfangswerten erhalt man dabei leicht abweichendeOptimierungen und es wird als Ergebnis diejenige Variante gewahlt, welche die ge-ringste Dichteabweichung bzgl. des Literaturwertes zeigt.

In Anlehnung an obige Methode wurde in dieser Arbeit zunachst versucht, den inAbschnitt 4.3 erstellten Basis-Modellparametersatz anzupassen. Als Simulator dienteRootfinding aus Abschnitt 3.6.3 und man veranderte per Hand die vier variablenSteifigkeitskonstanten des AlN in einem sehr weiten Bereich um ±40%. Alle ande-ren Konstanten des Basis-Modellparametersatzes blieben unverandert. Es zeigte sichdabei aber sehr schnell, dass es auf diese Art und Weise selbst mit unphysikalischen


0

500

1000

1500

2000

2500

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

freq

uenc

y [M

Hz]

kx ⋅ 180 ⋅ 10-6m/π

measurementbase-dataset

fr=1881.7 MHz

Abbildung 4.8: Rechnungs-Messungs-Vergleich zwischen den gemessenen und den mitdem Basis-Modellparametersatz simulierten Dispersionskurven.

Materialwerten fur das AlN nicht moglich war, den wichtigen TE1 Ast, B8 in Abbil-dung 4.6b, anzunahern. Lediglich der TS1-Ast (B6) war bei kleinen kx-Werten gutnachzubilden. Viele andere wie B9 und B10 hingegen uberhaupt nicht.

Auf Grund dieses unbefriedigenden Ergebnisses unternahm man weitere Versuche,bei denen die unabhangigen Steifigkeitskonstanten aller Materialien verandert wur-den. Dabei stellte sich heraus, dass man auf diese Art und Weise im Falle des Test-Resonators sehr viel bessere Ergebnisse erzielen kann: Je nach Parameter, an demman gerade eine Veranderung vornimmt, kann man in irgend einer Art und Weise alleStellen des simulierten Dispersionsdiagramms mehr oder weniger stark beeinflussen.Einige Parameter andern dabei eindeutig bestimmte Stellen im Diagramm, andereverandern hingegen gleichartig ein und denselben Ast. Zusatzlich zeigen letztere aberunabhangige Einflusse an anderen Stellen. Somit liegen in beiden Fallen Anhalts-punkte vor, sodass eine systematische Anpassung per Hand gemacht werden kann.Beispielsweise beeinflussen die c44-Parameter von AlCu, SiO2 und Pt alle in etwagleichartig den TE1-Ast: Bereits Anderungen kleiner 10% machen eine Anpassungmoglich, wobei mehrere Kombinationen zum Ziel fuhren. Weiterhin zeigen diese dreiParameter aber noch einen jeweils unterschiedlichen Einfluss auf andere Aste, wieB4, B9 und B10. So kann man den TE1-Ast in der Simulation annahern und durchVeranderungen anderer simulierter Dispersionsaste entscheiden, welcher Parameterwie stark verandert werden muss.

Eine Annaherung der Rechnung an die Messung im gesamten Messbereich und


0

500

1000

1500

2000

2500

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

freq

uenc

y [M

Hz]

kx ⋅ 180 ⋅ 10-6m/π

measurementAlN-c11-m10AlN-c11-p10

fr=1881.7 MHz

(a) ±10%-Anderung von c11,AlN

0

500

1000

1500

2000

2500

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

freq

uenc

y [M

Hz]

kx ⋅ 180 ⋅ 10-6m/π

measurementSiO2-c44-m10SiO2-c44-p10

fr=1881.7 MHz

(b) ±10%-Anderung von c44,SiO2

Abbildung 4.9: Systematische Untersuchung der variablen Steifigkeitsparameter desBasis-Modellparametersatzes.

insbesondere die Annaherung des TE1-Astes ist also durch Veranderung der 13 va-riablen Steifigkeitsparameter grundsatzlich moglich. Dies erfolgt im Abschnitt 4.4.2.Zunachst werden aber die Einflusse aller variablen Steifigkeitsparameter aus Tabel-le 4.2 im Einzelnen untersucht. Ausgehend vom Basis-Modellparametersatz wird der


jeweilige Wert um einerseits -10% nach unten und andererseits +10% nach obenabgeandert. Das Ergebnis ist beispielhaft fur c11,AlN und c44,SiO2

in Abbildung 4.9 il-lustriert. Tabelle 4.3 stellt das Gesamtergebnis dieser Untersuchung ubersichtlich dar:Zeigt eine ±10 % Anderung praktisch keinen Einfluss, so ist dies als

”minimal“ dekla-

riert, zeigt sie hingegen deutlich erkennbare Verschiebungen an einer oder mehrerenStellen, so ist dies mit der Nomenklatur aus Abbildung 4.6b erlautert. Weiterhin istes moglich, dass nur bestimmte Teile des Dispersionsdiagramms beeinflusst werden.Dies ist mit

”eindeutig“ gekennzeichnet.

4.4.2 Systematische Annaherung

Bei der systematischen Annaherung von Rechnung und Messung steht die Forderungnach einer moglichst guten Approximation des TE1-Astes im Vordergrund. Dieserbeeinflusst maßgeblich das Verhalten des FBAR-Resonators in der Umgebung der Re-sonanz. Nebenbedingung ist die Verbesserung der Ubereinstimmung zwischen berech-neten und gemessenen Dispersionskurven im restlichen Bereich aus Abbildung 4.6b.Abbildung 4.10a illustriert hierzu das Ergebnis der systematischen Annaherung durchRechnungs-Messungs-Vergleich von Dispersionskurven.


Steifigkeitskonstante Einfluss Bemerkung

c12,AlCu minimal —

c44,AlCu B6 in RII und RIII —

B8 in RI, RII und RIII —

B9 in RI und RII —

c11,AlN B5 in RII, RIII und RIV eindeutig

B6 in RII und RIII —

B7 in RIV —

c12,AlN minimal —

c13,AlN B5 in RIV —


c44,AlN B3 in RIII und RIV —

B5 in RII, RIII und RIV —

B6 in RI, RII und RIII eindeutig


c11,Ti minimal —

c12,Ti minimal —

c13,Ti minimal —

c44,Ti B8 in RI, RII und RIII —

c12,Pt B4 in RII, RIII und RIV eindeutig

c44,Pt B8 in RI, RII und RIII —


B10 in RI und RII eindeutig

c44,SiO2 B1 in RII, RIII und RIV —





B8 in RI, RII und RIII —


Tabelle 4.3: Einfluss der unabhangigen Steifigkeitskonstanten. Einige Parameter zei-gen eindeutige Einflusse, andere gar keine. Viele beeinflussen mehrere Dispersionsaste.


0

500

1000

1500

2000

2500

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

freq

uenc

y [M

Hz]

kx ⋅ 180 ⋅ 10-6m/π


fit-resultfr=1881.7 MHz

(a) Gesamter Bereich

1900

2000

2100

2200

2300

2400

0 20 40 60 80 100 120

freq

uenc

y [M

Hz]

kx ⋅ 180 ⋅ 10-6m/π


fit-resultfr=1881.7 MHz

(b) Vergroßerte Darstellung des TE1-Astes

Abbildung 4.10: Rechnungs-Messungs-Vergleich zwischen den gemessenen und denmit dem angepassten Modellparametersatz berechneten Dispersionsrelationen. Dieerreichte Verbesserung zeigt ein Vergleich mit der Ausgangssimulation.

Kapitel 5

Mehrdimensionale Simulationen

In diesem Kapitel werden in erster Linie Moglichkeiten untersucht, die TE1-Disper-sion eines AlN-basierten Lagenstapels von anomal nach normal zu kippen. Das ist dieVoraussetzung fur die Anwendung der Uberlappmethode aus Abschnitt 3.4.3. Apodi-sation hingegen kann mit Simulationen nicht untersucht werden. Die dazu notwendi-gen 3D-FEM-Rechnungen wurden bei einer angemessen feinen Diskretisierung viel zulange dauern und man ist auf experimentelle Versuche angewiesen.

Abschnitt 5.1 verifiziert zunachst den angepassten Modellparametersatz aus Kapi-tel 4 durch Rechnungs-Messungs-Vergleich. Im Anschluss erlautert Abschnitt 5.2 dieMoglichkeit, durch geeignete Dimensionierung des akustischen Spiegels die Disper-sionseigenschaften eines FBAR-Lagenstapels zu verandern. So gelingt es, fur einenAlN-basierten Spiegeltyp-FBAR normales Dispersionsverhalten zu erzwingen und dieUberlappmethode anzuwenden. 2D-FEM-Simulationen untermauern dies. Bei Unter-suchungen mit FEM-Berechnungen stellt sich weiterhin heraus, dass eine flache nor-male TE1-Dispersion von Vorteil ist. Man erhalt auf diese Art und Weise auch oh-ne Uberlapp und Apodisation weniger stark ausgepragte TE1-Nebenresonanzen. Die-se Methode wurde bisher in der Literatur nicht erwahnt und ist in Abschnitt 5.3erlautert.

5.1 Verifikation des Modellparametersatzes

Allen Simulationen in dieser Arbeit liegt der in Kapitel 4 zusammengestellte undan den EPCOS-FBAR-Prozess angepasste Modellparametersatz zu Grunde. Um sei-ne Gultigkeit zu untermauern, wird im Folgenden die Admittanzmessung des Test-Resonators aus Abschnitt 4.2.1 mit der zugehorigen 2D-FEM-Simulation verglichen.

Abbildung 5.1 illustriert das Prinzip des verwendeten FEM-Modells. Darin sindalle Großen unabhangig von der y-Richtung angenommen und die Auslenkung

87

88 KAPITEL 5. MEHRDIMENSIONALE SIMULATIONEN

Ω1Ω2 Ω3

Ω

ux=uz=0ux=0

Axis of S

ymm

etry

xy

z

x

z

v11

v66

v11

v66

uy=0

Ω

∂ =0yð∂

Abbildung 5.1: 2D-FEM-Modell des Test-Resonators aus Abschnitt 4.2.1.

samtlicher Knoten in dieser Richtung zu Null gesetzt. Somit handelt es sich um einzweidimensionales Modell mit ebener Wellenausbreitung in x-z-Richtung. Da der Test-Resonator in x-Richtung symmetrisch aufgebaut ist, reicht es weiterhin aus, nur eineder beiden Resonatorhalften zu modellieren. Auf diese Art und Weise wird die Zahlaller Knoten halbiert und die Rechenzeit uberproportional verkurzt. Fur das Gitterselbst werden rechteckige finite Elemente mit quadratischen Ansatzfunktionen verwen-det. Daruber hinaus ist es notwendig geeignete Randbedingungen zu definieren. Aufder rechten Seite des Modells sind dazu zunachst alle Knoten in x-Richtung fixiert,um eine Symmetrieachse zu bilden. Daruber hinaus unterbindet man Rotation undTranslation des Korpers indem alle Knoten auf der linken Modellseite und auf derModellunterseite sowohl in x- als auch in z-Richtung ebenfalls festgehalten werden.Schließlich verbleibt die Modelloberseite noch freischwingend und ist damit stressfrei.Durch die Reflektivitat solch harter Randbedingungen wurden sich allerdings ohneweiteres Zutun einerseits virtuelle Resonanzen ergeben und andererseits wurden dierealen parasitaren Moden frequenzmaßig verschoben berechnet werden. Deshalb in-tegriert man in das FEM-Modell zusatzlich Maßnahmen, die entweichende Wellenabsorbieren.

Wendet man das oben beschriebene Modell mit der bekannten Schichtfolge desTest-Resonators und den in Abschnitt 4.2.3 gemessenen Lagendicken in einer harmoni-schen 2D-FEM-Analyse mit viskoser Dampfung an, so ergibt sich der in Abbildung 5.2gezeigte Rechnungs-Messungs-Vergleich. Neben einer korrekten Vorhersage charakteri-stischer Merkmale eindimensionaler Modelle wie Resonanz, Antiresonanz und Niveau

5.2. KIPPEN DER TE1-DISPERSION 89

unterhalb bzw. uberhalb dieser beiden Frequenzen erkennt man eine hervoragendefrequenzmaßige Ubereinstimmung bzgl. allen ausgepragten parasitaren Nebenmodenvom Typ TE1. Damit auch deren Intensitat korrekt modelliert wird, mussten dieviskosen Verluste im Modellparametersatz, welche direkt aus einem 1D-Modellpa-rametersatz ubernommen wurden, angepasst werden. Diese Vorgehensweise ist legi-tim, da bisherige Erfahrungen aus anderen Anwendungsfeldern eine modellspezifischeAbhangigkeit viskoser Verluste bestatigen. Weiterhin wurden dielektrische Verlustedurch eine zum Resonator parallele verlustbehaftete Kapazitat mit tan (δ) = 0,028berucksichtigt und diesem Parallelverbund zusatzlich ein ohmscher Widerstand von2,1 Ω in Serie geschalten. Letzterer berucksichtigt Elektroden- und Zuleitungsverluste.Durch die sehr gute Ubereinstimmung zwischen Rechnung und Messung kann derModellparametersatz als gultig betrachtet werden.

Abschließend sei noch angemerkt, dass in der Messung zwischen Resonanz undAntiresonanz einige sehr schwach ausgepragte Nebenresonanzen zu erkennen sind, dieim Simulationsergebnis fehlen. Es handelt sich dabei um TS1-Nebenmoden, die beiNichtberucksichtigung der Strukturierung der unteren Elektrode und der Metallspie-gellagen ungebunden sind. Genau dies ist beim verwendeten FEM-Modell der Fall undsomit treten die parasitaren TS1-Moden in der simulierten Admittanz nicht in Erschei-nung. Der Hintergrund eines solchen Verhaltens wurde bereits in Abschnitt 3.3.3 unterdem Gesichtspunkt des Energy-Trappings erlautert.

5.2 Kippen der TE1-Dispersion

Beim Entwurf eines Spiegeltyp-FBAR-Resonators nach dem Prinzip von Newell [97]wird der akustische Spiegel aus λ/4-Lagen aufgebaut. Die Dimensionierung des Elek-trodensystems erfolgt nach Gesichtspunkten wie Leitfahigkeit, Kopplung und qualita-tivem Aufwachsen der piezoelektrischen Schicht und schließlich wird die Frequenzdurch die Dimensionierung der AlN-Schicht festgelegt. Eine optional vorhandeneTuning- und Trimmingschicht dient weiterhin zur Herabsetzung der Resonanzfrequen-zen der p-Resonatoren bzw. zur Erhohung der Fertigungsausbeute.

Ein nach den obigen Gesichtspunkten entworfener FBAR-Resonator zeigt im US-PCS-RX-Bereich typischerweise die in Abbildung 5.3 illustrierten Dispersionsrelation-en fur den Innen- und Uberlappbereich eines s-Resonators. Sie wurden mit Root-finding berechnet. Die TE1-Aste sind dabei einfach zu identifizieren, da sie an denjeweiligen Hauptresonanzfrequenzen bei kx = 0 starten. In beiden Bereichen Innen-bereich und Uberlappbereich erhalt man keine normale Dispersion, sondern eine Artleichten Durchhanger, der die Uberlappmethode scheitern lasst. Fur den p-Resonatorergibt sich qualitativ das gleiche Ergebnis bei entsprechend tieferen Frequenzen.

Scheitert die Uberlappmethode, so erhalt man typischerweise eine Filterkurve, wie


0.001

0.01

0.1

1

1800 1825 1850 1875 1900 1925 1950 1975 2000

|Y11

| [S

]

frequency [MHz]

test-resonatorsimulation

(a) Admittanz

-100-80-60-40-20

0 20 40 60 80

100 120

1800 1825 1850 1875 1900 1925 1950 1975 2000

arg(

Y11

) [

degr

ee]

frequency [MHz]

test-resonatorsimulation

(b) Phase

Abbildung 5.2: Verifikation des angepassten Modellparametersatzes durch Rechnungs-Messungs-Vergleich.

sie bereits in Abbildung 1.1 als Motivation zu sehen war. Der Filter zeigt im Passbandeine starke Welligkeit und eine relativ geringe Bandbreite und ist damit fur den Ein-satz als qualitativ hochwertiger Bandpassfilter ungeeignet. So ist es notwendig eineMethode zu finden, einen λ/4-Lagenstapel mit AlN derart abzuandern, dass einerseitsdie Funktion des Spiegels, eine hohe Kopplung und die Resonanzfrequenz erhaltenbleiben, und, dass andererseits sowohl im Innen- als auch im Uberlappbereich des s-und des p-Resonators normale TE1-Dispersion herrscht. Eine große Herausforderungdabei ist, dies in einer Massenfertigung unter der Berucksichtigung von Fertigungsto-leranzen zu gewahrleisten.

Im Folgenden wird zunachst im US-PCS-RX-Band eine Moglichkeit gesucht, die


Abbildung 5.3: Beim Entwurf eines Resonators mit λ/4-Spiegellagen erhalt man ty-pischerweise eine durchhangende TE1-Dispersion, die zunachst anomales Verhaltenzeigt und hin zu hoheren kx-Werten sehr schnell zum normalen Typ wechselt.

TE1-Dispersion eines Lagenstapels abzuandern. Dazu dient wie auch in Abbildung 5.3das Programm Rootfinding zum Berechnen von Dispersionskurven. Weiterhin wirddie sich dabei ergebende Methode erfolgreich in den US-PCS-TX-Bereich ubertragen.FEM-Simulationen eines Resonators mit Uberlapp zeigen abschließend, dass nun derUberlapp zur Unterdruckung parasitarer Resonatormoden bei einem Lagenstapel mitnormaler TE1-Dispersion im Innen- und Uberlappbereich eingesetzt werden kann.

Bei obiger Diskussion wurde der Außenbereich des Resonators nicht erwahnt. Imeinfachen Uberlapp-Modell aus Abbildung 3.15 und 3.16 ist er aber mit einbezogenund von ihm wird eine rein imaginare Wellenzahl bei der Hauptresonanzfrequenzfr des Innenbereichs gefordert. Dies kann von den hier diskutierten Aufbauten abernicht erfullt werden: Durch die notwendige Dicke und Schwere der oberen Elektrodebefindet sich die (mechanische) Hauptresonanz des Außenbereichs weit uberhalb von2GHz. Bei den Frequenzen fr im US-PCS-Bereich um 1,9 GHz liegt so im Außenbe-reich eine komplexe Wellenzahl vor. Sie ist von der gleichen Symmetrie wie die TE1-Mode im Innenbereich bzw. im Uberlappbereich1 und weist einen hohen imaginarenAnteil auf. Letzteres ermoglicht das fur die Funktion von Resonatoren mit und ohneUberlapp notwendige Energy-Trapping. Da diese Situation praktisch unabhangig vomLagenstapel stets gegeben ist, wird der Außenbereich in die folgende Diskussion nichtmiteinbezogen.

1Siehe Schlussbemerkung in Abschnitt 3.3.2.


5.2.1 US-PCS-RX-Stapel

In vielen alteren Veroffentlichungen wurde das Dispersionsverhalten eines FBAR-La-genstapels immer wieder auf der Basis der Annahme diskutiert, dass ein FBAR-Lagen-stapel diejenige TE1-Dispersion aufweist, welche dem des verwendeten Piezomaterialsentspricht. Das ist im Allgemeinen nicht richtig. Genauso wie die Resonatorkopplungund die Resonatorfrequenz von allen Materialien in der Umgebung der piezoelektri-schen Schicht mit abhangt, kann die TE1-Dispersion durch diese umgebenden Schich-ten beeinflusst werden. Zu diesem Ergebnis kam man in dieser Arbeit zunachst durchstichprobenartige Abanderungen im λ/4-Lagenstapel aus Abbildung 5.3. Darauf auf-bauend wurde der gesamte Resonatorstapel systematisch untersucht. Vom Ausgangs-stapel wurden dabei stets eine oder mehrere Schichten variiert und die Dicke der AlN-Schicht geeignet nachgezogen, damit sich wieder die gewunschte Resonanzfrequenz imentsprechenden Resonatorbereich auf dem Wafer ergibt.

Bei einem dreischichtigen Membrantyp-FBAR mit Al-Elektroden und AlN-Piezoist es moglich, die TE1-Dispersion bei ca. 250 nm beidseitiger Elektrodendicke vonanomal nach normal zu kippen. Mit anderen der typischerweise in einem FBAR-Pro-zess zur Verfugung stehenden Elektrodenmaterialien wie Pt, Mo und Ti ist dies nichtmachbar. Der Grund hierfur ist, dass Al normale Dispersion zeigt, die anderen Mate-rialien hingegen nicht. Dies legt es nahe, zunachst die Al-Schichten im Elektrodensy-stem beim gegebenen Spiegeltyp-FBAR-Aufbau zu untersuchen. Fattinger berichte-te 2005 von der erfolgreichen Anwendung dieser Methode [191]. Beim EPCOS-Aufbauhingegen kann man die Dispersion mit beidseitigen Dickenanderungen der Al-Elektro-denschichten praktisch nicht verandern, wenn nach einer Abanderung im Lagenstapelstets die Resonanzfrequenz durch Nachregulierung der AlN-Dicke nachgezogen wird.Durch dickere Al-Elektrodenschichten kommt es lediglich zu einer nicht tolerierbarenVerringerung der effektiven Kopplung k2

eff von mehr als 2 Prozentpunkten.Im nachsten Schritt ist es sinnvoll, alle Schichten uberhalb der AlN-Lage einzeln

zu variieren und die entsprechende Dispersionsanderung zu beobachten. Um aber aufdiese Art und Weise die TE1-Dispersion bei gleichzeitiger Frequenzanpassung durchdie AlN-Schicht zu beeinflussen, sind wieder so hohe Dickenabanderungen notwendig,dass eine Verringerung von k2

eff um mehr als einen Prozentpunkt auch diesen Wegbei Filterresonatoren versperrt. Allerdings zeigt ein zusatzlicher Massenbelag uberhalbder piezoelektrischen Schicht eine interessante Eigenschaft bzgl. der TE1-Dispersion,wenn man dabei die Resonanzfrequenz durch die Piezoschicht nicht nachzieht, sie-he Abbildung 5.4: Ein solch zusatzlicher Massenbelag2 der Dicke dx lasst einerseits,wie zu zu erwarten, die Resonanzfrequenz absinken, zeigt aber andererseits, dass dieTE1-Dispersionskurven gegen eine Asymptote a streben. Dieser Effekt hat Folgendeszu bedeuten: Ein FBAR-Filter aus s- und p-Resonatoren beinhaltet insgesamt vier

2Dazu zahlt auch eine Erhohung der Dicke der oberen Elektrode.


dx

kx

fr,starta

f

Abbildung 5.4: Einfluss eines beliebigen Massenbelages uberhalb der piezoelektrischenSchicht auf die TE1-Dispersion eines Spiegeltyp-Lagenstapels.

relevante Resonatorbereiche. Dazu gehoren der Innen- und der Uberlappbereich fursowohl die s- als auch die p-Resonatoren. Ist die Dispersion im Innenbereich des s-Re-sonators bei einem gegebenen FBAR-Lagenstapel streng monoton steigend und nichtdurchhangend oder anomal, so ergibt sich aus Abbildung 5.4, dass dies auch in denubrigen drei Resonatorbereichen der Fall sein muss. Diese Bereiche haben namlicheinen zusatzlichen Massenbelag relativ zum Innenbereich des s-Resonators. Es reichtsomit aus, eine normale Dispersion des s-Resonators im Innenbereich zu gewahrleisten.

Nachdem eine Abanderung des Elektrodensystems und eine Variation der Dickeder Lagen uberhalb der piezoelektrischen Schicht zu keinem brauchbaren Ergebnisfuhren, verbleibt der akustische Spiegel als letzte Moglichkeit, die TE1-Dispersionanzupassen. Es zeigt sich zunachst, dass sein unterer Teil keinen sichtbaren Einflussauf die TE1-Dispersion hat, sondern nur auf die Reflektivitat des Spiegels. Die Vor-teile einer solchen Veranderung werden z. B. in [203] diskutiert. Durch den oberenTeil des Spiegels wird hingegen die TE1-Dispersion merklich geandert, ohne dass we-sentliche Verkleinerungen der piezoelektrischen Kopplung k2

eff hinzunehmen sind undohne dass es zu nicht tolerierbaren Einbußen in der Spiegelreflektivitat kommt. Aufdiese Weise konnen alle drei wesentlichen Dispersionszustande eines Spiegeltyp-La-genstapels eingestellt werden: Durchhangende Dispersion, wie auch in Abbildung 5.3gezeigt, normale und anomale Dispersion. Das ist genau derjenige Effekt, nachdem beieinem Spiegeltyp-FBAR mit AlN als piezoelektrischem Material lange Zeit dringendgesucht wurde. Dazu zeigt auch Fattinger in [191], wie bei seinem Resonatoraufbauspeziell durch Variation einer oberen SiO2-Spiegellage die Dispersion beeinflusst wer-den kann. In Abbildung 5.5a ist das gefundene Ergebnis fur das US-PCS-RX-Bandgezeigt: Durch die Variation des oberen Teils des Spiegels kann im Innenbereich dess-Resonators die Dispersion von anomal bis normal angepasst werden. Das ist in derSerie von Stapel 1 nach Stapel 4 illustriert. Wurde man in dieser Richtung weiter


(a) Innenbereich des s-Resonators

(b) Uberlappbereich des p-Resonators

Abbildung 5.5: Wahrend Stapel 1 noch anomale TE1-Dispersion zeigt - Moden tau-chen auch unterhalb der Resonanz auf - haben Stapel 3 und 4 bereits eindeutig nor-male TE1-Dispersion. Das Kippen der TE1-Dispersion gelingt dabei sowohl im Innen-bereich des s-Resonators als auch im Uberlappbereich des p-Resonators und damitfur alle relevanten Resonatorbereiche in einem FBAR-Filter.


variieren, so erhielte man auch wieder einen Durchhanger des TE1-Dispersionsastes.Das wird an dieser Stelle der Ubersichtlichkeit halber nicht mehr gezeigt, da dieserZustand aus bereits bekannten Grunden nicht wunschenswert ist. Abbildung 5.5bzeigt zur Kontrolle das TE1-Dispersionsverhalten im Uberlappbereich des p-Resona-tors. Auch hier ist fur Stapel 3 und 4 ein normaler Dispersionszustand vorhanden,wie die obige Diskussion bzgl. des Prinzips aus Abbildung 5.4 bereits vorhersagte. ImUberlappbereich des p-Resonators kippt die Dispersion bereits bei Stapel 1, wahrendsie im Innenbereich des s-Resonators erst bei Stapel 2 kippt.

5.2.2 US-PCS-TX-Stapel

Nun wird die gefundene Methode auf den US-PCS-TX-Stapel angewendet, bei demim Vergleich zum US-PCS-RX-Bereich die Hauptresonanzen in den vier relevantenResonatorbereichen ca. 80MHz tiefer liegen. Auch hier wird wieder der obere Teildes Spiegels derart angepasst, dass zwar die Reflektivitat des akustischen Spiegelsund die piezoelektrische Kopplung kaum beeinflusst werden, man jedoch die TE1-Dispersion des Spiegels beliebig einstellen kann. Eine Ubertragung der gefundenenMethode auf andere Frequenzbereiche ist also moglich! Das Ergebnis ist analog zumvorhergehenden Abschnitt 5.2.1 in Abbildung 5.6 dargestellt.

Nun soll auch bewiesen werden, dass die Uberlappmethode zur Unterdruckungparasitarer Moden mit einem angepassten Spiegeltyp-Lagenstapel, der normale Dis-persion im Innen- und Uberlappbereich zeigt, funktioniert. Dazu wird ein s-Resonatormit Stapel 7 in einer harmonischen 2D-FEM-Simulation untersucht. Als Modell dientdas in Abschnitt 5.1 vorgestellte, welches man lediglich um Uberlappregionen ver-schiedener Breite wol erganzt. Viskose, dielektrische und ohmsche Verluste werden un-verandert ubernommen und die aktive Flache, welche jetzt auch den Uberlappbereichbeinhaltet, bleibt insgesamt unverandert. Abbildung 5.7 zeigt die sich damit ergeben-den Resonanzkreise im Smith-Diagramm fur die Uberlappbreiten 0 µm, 1 µm, 2 µm,3µm und 4 µm. 0 µm bedeutet, dass kein Uberlapp vorhanden ist. Hier - und auch imFolgenden - wurde das Smith-Chart zur Darstellung des elektrischen Verhaltens einesResonators gewahlt. Es erlaubt im Gegensatz zur Admittanzdarstellung das schnelleErkennen einer Verbesserung oder einer Verschlechterung der Resonatorqualitat, daZu- bzw. Abnahmen der Noncircularity NC und des mittleren Radius r mit bloßemAuge erkennbar sind. Beim Resonator ohne Uberlapp bestatigt sich zunachst, dass ei-ne normale TE1-Dispersion des Lagenstapels vorliegt: Moden tauchen ausschließlichuberhalb der Hauptresonanz auf. Weiterhin zeigt diese Variante die in dieser Untersu-chung am starksten ausgepragten Moden, was sich in einem hohen NC-Wert außert,und den kleinsten Wert fur r nach sich zieht. Letzteres bedeutet, dass diese Varianteohne Uberlapp die hochsten Verluste aufweist. Verbreitert man nun den Uberlapp,um die parasitaren TE1-Moden zu unterdrucken, so nehmen diese zunachst in ihrer


(a) Innenbereich des s-Resonator

(b) Uberlappbereich des p-Resonators

Abbildung 5.6: Die fur den US-PCS-RX-Bereich erarbeitete Methode, die TE1-Disper-sion zu kippen, lasst sich auch auf den zugehorigen TX-Bereich ubertragen. Wiedergelingt das Kippen der TE1-Dispersion in allen relevanten Resonatorbereichen: Innen-bereich des s-Resonators und Uberlappbereich des p-Resonators.


Z0=50 Ω

0µm1µm2µm3µm4µm

(a) Smith-Chart

wol fr fa k2eff Q r NC

0 µm 1881 MHz 1931MHz 4,99% 628 0,894 0,01641 µm 1881 MHz 1930MHz 4,97% 620 0,906 0,00792 µm 1881 MHz 1930MHz 4,90% 627 0,912 0,00673 µm 1881 MHz 1929MHz 4,84% 572 0,915 0,00484 µm 1881 MHz 1928MHz 4,78% 628 0,910 0,0166

(b) Numerische Auswertung

Abbildung 5.7: Simulation verschiedener Uberlappbreiten mit einer 2D-FEM-Analyse.

Intensitat ab, d. h. der Wert von NC sinkt. Weiterhin steigt der mittlere Radius r,das gleichbedeutend mit sinkenden Verlusten im Resonator ist. Wird der Uberlappschließlich zu groß, so treten unterhalb der Resonanz so genannte Uberlappmoden auf,obwohl TE1-Nebenmoden weiterhin unterdruckt werden und deren Unterdruckung biszu einer gewissen Breite weiter verbessert wird. Wie mit Abbildung 3.13 leicht zu ver-stehen, ist dieser Zustand unbedingt zu vermeiden, da sich die Uberlappmoden wieparasitare Resonatormoden auf das Passband auswirken und dieses verschlechtern.

Weiterhin lasst die numerische Auswertung in Abbildung 5.7b einen wichtigen Ef-fekt erkennen: Wahrend das 1D-Modell aus Abschnitt 3.4.3 eine Erhohung der elektro-mechanischen Kopplung vorhersagt, nimmt k2

eff mit breiter werdendem Uberlapp im


Abbildung 5.8: Auswahl unterschiedlicher TE1-Dispersionskurven mit normaler Dis-persion. Die fehlenden Punkte in den flachen Kurven wurden vom Suchalgorithmusaufgrund der endlichen Diskretisierung bei der Simulation nicht gefunden.

Gegensatz zu einem Resonator ohne Uberlapp ab. Eine naheliegende Erklarung dafurist, dass sich durch den Uberlapp auch Energie außerhalb des eigentlichen Resonatorsbefindet, welcher durch den Innenbereich beschrankt ist. Das lasst die Kopplung wiebei Compositeresonatoren mit dicker werdendem Substrat absinken.

An dieser Stelle ist eine Anmerkung zur numerischen Berechnung der Re-sonatorgute Q aus einer gemessenen oder simulierten Admittanz mittels Glei-chung (3.21) notwendig: Stehen zu wenig simulierte bzw. gemessene Admittanzpunktezur Verfugung, so fuhrt die numerische Berechnung von Q zu Fehlern. Um dies zu ver-weiden, mussen erfahrungsgemaß mindestens vier Messpunkte pro MHz vorhandensein, besser sind jedoch acht oder mehr. Zur Auswertung der FEM-Simulationen inAbbildung 5.7 standen aber lediglich zwei Simulationspunkte pro MHz zur Verfugung.Deswegen nimmt dort die Gute bei steigendem Uberlapp wider Erwarten nicht zu. Insolchen Fallen muss zur Beurteilung der Resonatoren die Noncircularity NC und dermittlere Radius des Resonanzkreises r herangezogen werden. Weiterhin ist auch dieQualitat des Filterpassbandes ein sehr gutes Maß zur Charakterisierung von Resona-toren, aus denen das Filter aufgebaut ist. Es ist sehr sensitiv auf parasitare Modender Filterresonatoren und zeigt noch Anderungen, wenn die Werte von NC und rbereits konstant verharren.

5.3. ABFLACHEN DES TE1-ASTES 99

Abbildung 5.9: Die Punktgroße der Dispersionskurven aus Abbildung 5.8 wurde loga-rithmisch (log10(x)) mit der Auslenkung in z-Richtung skaliert. Dabei erkennt man,dass der longitudinale Charakter bei einer flacheren TE1-Kurve hin zu hoheren kx-Werten langer erhalten bleibt.

5.3 Abflachen des TE1-Astes

Im vorangegangenen Abschnitt wurden Resonatoren mit Uberlapp mittels einer 2D-FEM-Analyse untersucht. Die TE1-Dispersion blieb dabei unverandert. Wendet mansolche FEM-Simulationen auf Lagenstapel unterschiedlich steiler TE1-Dispersion an,siehe Abbildung 5.8, so zeigt sich bei Resonatoren ohne Uberlapp, dass die Intensitatder parasitaren Moden vom Typ TE1 abnimmt. Dieses unerwartete Ergebnis ist inAbbildung 5.10 illustriert. Dabei sind zwei Effekte zu beobachten: Einerseits nimmt dieNoncircularity NC ab und andererseits der mittlere Radius r des Resonanzkreises zu.Allerdings kann die TE1-Dispersion durch Anpassen des Lagenstapels nicht beliebigabgeflacht gemacht werden und die Methode hat somit ihre Grenzen. In der Literaturfand sie bisher keine Erwahnung. Zur Nomenklatur bietet sich der Begriff Reduzierungder TE1-Steigung bzw. engl. TE1-steepness reduction an.

Mit dem aktuellen Kenntnisstand uber parasitare Moden kann dieser Effekt nichterklart werden. Es zeigt sich aber, dass der longitudinale Modencharakter bei einerflacheren TE1-Kurve hin zu hoheren kx-Werten langer erhalten bleibt. Dies ist inAbbildung 5.9 illustriert uns soll ein Anhaltspunkt fur zukunftige Arbeiten an diesemThema sein.


Z0=50 Ω

stack9astack9bstack9c

(a) Smith-Chart


stack1 1881 MHz 1930MHz 5,01% 673 0,880 0,0273stack2 1880 MHz 1928MHz 4,91% 683 0,894 0,0145stack3 1880 MHz 1926MHz 4,72% 814 0,896 0,0096


Abbildung 5.10: 2D-FEM-Simulationen von Lagenstapeln unterschiedlich steiler TE1-Kurven zeigen, dass flachere Kurven in einer kleineren Noncircularity und einemgroßeren mittleren Radius resultieren.

Kapitel 6

Experimentelle Ergebnisse

Im vorangegangenen Kapitel 5 wurde mit Simulationen gezeigt, dass parasitare Reso-natormoden in AlN-basierten Spiegeltyp-FBAR-Resonatoren durch Uberlappmethodeund Reduzierung der TE1-Steigung unterdruckt werden konnen. Das wird im Folgen-den mit Experimenten untermauert. Weiterhin wird die Apodisations-Methode expe-rimentell untersucht. Hier war eine Analyse mittels Simulation aufgrund der hohenbenotigten Rechenzeit nicht moglich.

Abschnitt 6.1 zeigt zunachst, dass das Kippen der TE1-Dispersion auch im Expe-riment funktioniert und somit der Uberlapp in der Praxis angewendet werden kann.Weiterhin geht Abschnitt 6.2 auf die Reduzierung der TE1-Steigung im Falle norma-ler Dispersion ein. Dazu werden Lagenstapel mit unterschiedlich steilen TE1-Dispersi-onsasten prozessiert und verglichen. Abschnitt 6.3 betrachtet schließlich Apodisationund untersucht verschiedene Formen der aktiven Resonatorflache. Das Experimenterfolgt dabei ohne vorangegangene Simulationen.

Die Erkenntnisse aus dieser Arbeit sind in den B7633-Duplexer von EPCOS ein-geflossen. Er wird in Abschnitt 6.4 kurz vorgestellt und Abschnitt 6.5 zeigt zumAbschluss dieser Arbeit, dass die in erster Linie fur das gepaarte US-PCS-Band ent-wickelten Unterdruckungsmethoden auch im uber 500MHz hoher liegenden WCDMA-Band VII angewendet werden konnen.

6.1 Veranderung der AlN-Dispersion

Simulationen aus Abschnitt 5.2 haben gezeigt, dass der obere Teil des Spiegels dasTE1-Dispersionsverhalten eines FBAR-Lagenstapels wesentlich beeinflusst. Durch ei-ne geeignete Dimensionierung kann durch den Entwickler nahezu jeder beliebige Zu-stand eingestellt werden: Von anomaler Dispersion, uber normale Dispersion bis hinzu einer leicht durchhangenden Dispersion. In Anlehnung an diese Simulationen aus

101

102 KAPITEL 6. EXPERIMENTELLE ERGEBNISSE

Abschnitt 5.2 wird nun im Folgenden sowohl fur den Fall des US-PCS-RX- als auchfur den Fall des US-PCS-TX-Bandes jeweils eine Serie an Lagenstapeln untersucht.Ziel ist es, fur jedes Band eine Konfiguration mit normaler TE1-Dispersion zu finden.Das ist die Voraussetzung fur die Anwendung der Uberlappmethode.

6.1.1 US-PCS-RX-Band

In Abschnitt 5.2.1 wurde fur das US-PCS-RX-Band eine Serie aus vier Lagensta-pelkonfigurationen mittels Dispersionssimulationen untersucht, Stapel 1 bis Stapel 4.Dabei zeigten Stapel 3 und 4 fur alle vier relevanten Resonatorbereiche1 normale Dis-persion und erfullen damit die Voraussetzung zur Anwendung der Uberlappmethode.Obwohl es grundsatzlich ausreichen wurde, nur einen dieser beiden Lagenstapel imExperiment zu testen, wird hier die gesamte Serie ohne eine Veranderung untersucht.So uberpruft man einerseits die Vorhersagekraft der Simulation und andererseits wirddem Problem von Prozessschwankungen Rechnung getragen. Weiterhin fertigt manalle vier Konfigurationen in ein und demselben Los. So ist eine deutlich bessere Ver-gleichbarkeit zwischen den prozessierten Lagenstapelkonfigurationen gegeben, da dieKonditionierung der Fertigungsanlagen fur alle Wafer identisch ist. Im Versuchslosist jeder Wafer mehrfach vorhanden, wobei die Anordnung der Lagenstapel alternie-rend erfolgt: Wafer 1 bis 4 werden in dieser Reihenfolge mit Stapel 1 bis 4 aufgebaut,Wafer 5 bis 8 wieder mit Stapel 1 bis 4 usw. Mit dieser Methode kann ein Ganguber das Los beobachtet und in die Auswertung der Experimente einbezogen werden.Bei der Prozessierung wird ein speziell fur das US-PCS-RX-Band entworfener RX-Versuchsmaskensatz benutzt. Darauf sind sehr viele Teststrukturen zur Auswertungeines Experiments vorhanden: Einzel-Resonatoren mit verschiedenen Uberlappbreitenund Filter mit identischem Aufbau2, aber unterschiedlichen Uberlappkombinationenws

ol und wpol fur s- und p-Resonatoren.

Im Gegensatz zur Analyse mittels Simulation kann bei der Auswertung der Expe-rimente kann nicht auf Dispersionsrelationen zuruckgegriffen werden. Der Aufwand,ein Dispersionsdiagramm fur einen prozessierten Resonator aus den Ergebnissen einerLaser-Interferometrie-Messung zu erstellen, ist jedesmal immens und sehr kostenin-tensiv. Somit ist man auf elektrische Messungen von Resonatoren mit einem Netz-werkanalysator angewiesen. In dieser Arbeit kommt dazu der Netzwerkanalysator ausAbschnitt 3.7.1 in einem klimatisierten Raum bei 20 zur Anwendung. Gemessenwird stets - auch in den folgenden Abschnitten - in der Mitte des jeweiligen Wafers.Abbildung 6.1 zeigt die sich ergebenden Resonanzkreise fur quadratische s- und p-

1Wie in Kapitel 5 erlautert, muss beim Entwurf eines Lagenstapels stets der daraus resultierendeInnen- und Uberlappbereich des s- und des p-Resonators beachtet werden. Insgesamt sind damit beider Optimierung des Lagenstapels vier Resonatorbereiche zu beachten.

2Das heißt, korrespondierende Filterresonatoren haben die gleiche aktive Flache.

6.1. VERANDERUNG DER ALN-DISPERSION 103

Z0=50 Ω

stack1stack2stack3stack4

(a) 180 µmx 180 µm s-Resonator

Z0=50 Ω


(b) 180 µmx 180µm p-Resonator

Abbildung 6.1: Vergleich von Lagenstapel 1 bis 4 mit Messungen von Resonatoren

ohne Uberlapp. Stapel 3 und 4 zeigen dabei normale TE1-Dispersion. Bei ihnen gelingtdie Umkehr der Dispersion sowohl fur den s- als auch fur den p-Resonator.


-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

1800 1850 1900 1950 2000 2050 2100 2150

|S21

| [d

B]

frequency [MHz]



-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

1900 1925 1950 1975 2000 2025

|S21

| [d

B]

frequency [MHz]



Abbildung 6.2: Nur Stapel 3 und 4 zeigen ein Filterpassband mit großer Band-breite und ohne ausgepragte Welligkeit. Alle gezeigten Filter haben die gleicheUberlappkombination.

Resonatoren ohne Uberlapp. Wie die zu Grunde liegenden Simulationen erwartenlassen, zeigen Stapel 3 und 4 im Innenbereich des s- als des p-Resonators normale Dis-persion: Unterhalb der Hauptresonanz sind keinerlei parasitare Moden beobachtbar,lediglich daruber. Diese sind eher schwach ausgepragt, was auf sehr flache TE1-Dis-persionskurven schließen lasst, siehe Abschnitt 5.3 und 6.2. Durch die qualitativ guteUbereinstimmung zwischen den berechneten Dispersionskurven und dem gemessenenelektrischen Resonatorverhalten, konnen die verwendeten Simulationswerkzeuge als


praktikables Werkzeug bei der Vorbereitung von Versuchen angesehen werden.Um die grundsatzliche Funktionsweise der Uberlappmethode bei Stapel 3 und 4

zu untermauern, werden in Abbildung 6.2 von jedem prozessierten Lagenstapel Band-passfilter3 mit identischer Uberlappkombination verglichen. Die verwendete Spezifika-tion ist typisch fur das US-PCS-RX-Band: αIL = −3,5 dB, B−3,5 dB = 60 MHz. Hiererkennt man, dass Stapel 3 und 4, welche in der Simulation normale TE1-Dispersionzeigten, in einer deutlich besseren Filterqualitat resultieren als die beiden anderenKonfigurationen. Das lasst auf eine korrekte Funktion des Uberlapps schließen. DieStapel 1 und 2 zeigen hingegen eine Welligkeit im Passband und eine fur die Spezifi-kation viel zu geringe Bandbreite. Bei genauerem Vergleich zwischen Stapel 3 und 4erkennt man daruber hinaus eine etwas schlechtere Qualitat von Stapel 3 im linkenPassbandbereich. Das bedeutet aber nicht, dass letzterer grundsatzlich schlechtere Fil-ter hervorbringt. Stapel 3 und Stapel 4 unterscheiden sich lediglich in ihrer Dispersionund beim Vergleich wurde ein und der selbe Filteraufbau verwendet, ohne jeweils dieUberlappbreiten zu optimieren.

Im Folgenden wird Stapel 4 genauer untersucht, um den idealen Uberlapp fur s-und p-Filterresonatoren zu finden. Fur ws

ol und wpol ergeben sich i. Allg. unterschied-

liche Werte, da sich einerseits das Dispersionsverhalten von s- und p-Resonatorenbzgl. ein und desselben Lagenstapels unterscheidet. Abbildung 6.3 zeigt zunachstUberlappvariationen fur quadratische s- und p-Resonatoren mit einer Kantenlangevon 180 µm. Dabei erkennt man fur beide Falle zwei typische Verhaltensweisen: Ver-großert man zunachst den Uberlapp, so nimmt der mittlere Radius des Resonanzkrei-ses zu und die Noncircularity ab. Das heißt, man erhalt verlustarmere Resonatorenmit weniger stark ausgepragten parasitaren Moden. Wird der Uberlapp schließlichzu groß, so tauchen auch unterhalb der Hauptresonanz Uberlappmoden auf. Diesesbeobachtete Verhalten wurde bereits in Abschnitt 5.2.2 qualitativ von 2D-FEM-Simu-lationen vorhergesagt und anschließend diskutiert. Die numerische Auswertung der s-Resonatormessungen ergibt:



3Das Passband eines Filters ist sehr sensitiv in Bezug auf die Qualitat der Filter-Resonatorenund bei bereits qualitativ guten Filterresonatoren deutlich aussagekraftiger als Noncircularity NCoder mittlerer Radius r von Einzelresonatoren.


Z0=50 Ω


(a) 180 µm x180 µm s-Resonator

Z0=50 Ω


(b) 180 µmx 180 µm p-Resonator

Abbildung 6.3: Variation des Uberlapps von s- und p-Resonatoren bei Lagenstapel 4.

Wird der Uberlapp zu groß dimensioniert, so treten Uberlappmoden unterhalb derResonanz in Erscheinung.


-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

1900 1925 1950 1975 2000 2025 2050

|S21

| [d

B]

frequency [MHz]

wol,s=0µm; wol,p=0µmwol,s=1µm; wol,p=2µmwol,s=2µm; wol,p=3µmwol,s=3µm; wol,p=4µm

Abbildung 6.4: Auswirkung verschiedener Uberlappkombinationen auf das Filter-

passband. Ein zu großer s-Uberlapp verursacht einen Einbruch in der Passbandmitte.

Analog erhalt man fur die p-Resonatoren:



Damit ergeben sich in beiden Fallen, s- und p-Resonator, die besten Resonatorenfur eine Uberlappbreite von 2 µm. Diese haben die kleinste Noncircularity NC bzw.großten mittleren Radius r. Bei der numerischen Auswertung mit ausreichend Mes-spunkten erhalt man daruber hinaus auch eine ansteigende Resonatorgute Q mitgroßer werdendem Uberlapp. Dieses Verhalten stimmt mit der Erwartung ubereinund war bei der numerischen Auswertung der Simulationen mit weniger Messpunktenin Abschnitt 5.2.2 nicht zu erkennen. Die numerische Auswertung der Resonatorguteerfordert damit stets Vorsicht und die Anzahl der Messpunkte muss beachtet werden.Beim Vergleich der Smith-Diagramme mit der jeweils zugehorigen numerischen Aus-wertung erkennt man weiterhin, dass die Noncircularity NC und der mittlere Radius rqualitativ richtig aus dem Smith-Diagramm abgelesen werden konnen. Somit ist dasSmith-Diagramm eine praktikable Visualisierungsmoglickeit des elektrischen Resona-torverhaltens. Eine weitere Bestatigung fur qualitative gute Simulationsvoraussagenist die abnehmende Resonatorkopplung k2

eff bei steigender Uberlappbreite. Genau-

so wie die Auswirkung des Uberlapps auf den Resonanzkreis, wurde dieser Effekt inAbschnitt 5.2.2 durch Simulationen vorausgesagt.

Betrachtet man nun Filtermessungen, so ergibt sich das qualitativ beste Filter fur


-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

1900 1925 1950 1975 2000 2025

|S21

| [d

B]

frequency [MHz]

stack4λ/4-stack

(a) Oberer Passbandbereich

ILmin B−3,5 dB B−20 dB

λ/4-Stapel -1,80 dB 50,3 MHz 83,8MHzStapel 4 -1,72 dB 62,8 MHz 83,2MHz


Abbildung 6.5: Durch die angepasste TE1-Dispersion bei Stapel 4 funktioniert die

Uberlappmethode und die Filterqualitat wird deutlich verbessert. Ein λ/4-Stapel zeigttypischerweise keine normale Dispersion und lasst die Uberlappmethode scheitern.

einen s-Uberlapp von 2 µm und einem p-Uberlapp von 3 µm, siehe Abbildung 6.4. Da-bei werden baugleiche Filter verglichen, die sich lediglich in der Uberlappbreite ihrerResonatoren unterscheiden. Erhoht man den s-Uberlapp weiter, so bricht schließlichdas Passband in der Mitte ein, da sich hier die Uberlappmoden der s-Resonatoren aus-wirken. Erniedrigt man hingegen dazu die s- oder p-Uberlappbreite, so verschlechtertsich in beiden Fallen das Passband. Damit mussen bei der Suche nach der richtigenUberlappkombination stets auch Filter mit in Betracht gezogen werden.

Zum Abschluss der Versuche wird Stapel 4 fur das US-PCS-RX-Band mit einemRX-Produktmaskensatz prozessiert. Auf diesem finden sich ausschließlich baugleicheFilter. Fur den Uberlapp der s- und p-Filterresonatoren kommen die idealen Wertews

ol = 2 µm und wpol = 3 µm zum Einsatz. Weiterhin wird die Tuningdicke nicht zu

groß gewahlt, sodass einerseits die sich ergebende Filterbandbreite zur Erfullung derSpezifikation gerade noch ausreicht, und, dass andererseits ein Durchhangen des Filter-passbandes in dessen Mitte verhindert wird. Da auch das Filter aus Abbildung 1.1mit dem hier verwendeten RX-Produktmaskensatz prozessiert wurde, ist es moglich,die durch Anpassen der TE1-Dispersion erreichte Verbesserung zu illustrieren: Ab-


-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

1825 1850 1875 1900 1925

|S21

| [d

B]

frequency [MHz]


Abbildung 6.6: Suche nach einem geeigneten TX-Lagenstapel mit normaler Dispersion

mittels Vergleich von Filtern gleicher Uberlappkombination.

bildung 6.5 stellt dazu die Messung eines mit Stapel 4 prozessierten Filters und dieMessung aus Abbildung 1.1 gegenuber. Letztere stammt von einem Aufbau mit λ/4-Spiegel. Im Vergleich zeigt Stapel 4 einen deutlichen Bandbreitegewinn und die RX-Spezifikation wird erfullt. Wahrend durch die Maßnahmen, normale TE1-Dispersionzu gewahrleisten, etwas an Resonatorkopplung geopfert wird, - dies außert sich ineiner Reduktion von B−20 dB - erhoht man dabei die zur Erfullung der Spezifikati-on ausschlaggebende B−3,5 dB um mehr als 12MHz. Die minimale Einfugedampfungbleibt praktisch unverandert und hangt in erster Linie von der Prozessierung desElektrodensystems ab, das bei beiden gezeigten Filtern identisch ist.

6.1.2 US-PCS-TX-Band

Im vorangegangenen Abschnitt 6.1.1 wurde fur das US-PCS-RX-Band eine Serie anFBAR-Lagenstapeln im Experiment untersucht und dabei eine Konfiguration gefun-den, bei der die Uberlappmethode zur Unterdruckung parasitarer TE1-Moden erfolg-reich angewendet werden kann. Als Basis der Experimente dienten Dispersionssimula-tionen aus Kapitel 5. Analog dazu werden hier fur das zugehorige TX-Band die eben-falls mittels Simulationen entworfenen Stapel 5 bis 8 im Experiment getestet. Furderen Prozessierung dient der bereits erprobte RX-Versuchsmaskensatz. Das heißt,zur Auswertung der TX-Experimente stehen nur fur das RX-Band optimierte Filter-entwurfe zur Verfugung und die Flachen der darin enthaltenen Filterresonatoren sindfur einen TX-Duplexfilter nicht optimal.

Das elektrische Verhalten der sich ergebenden Filter ist in Abbildung 6.6 darge-stellt. Wie bereits bei den RX-Versuchen, so zeigt sich auch hier, dass die Simula-


-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

1825 1850 1875 1900 1925

|S21

| [d

B]

frequency [MHz]

stack7



Stapel 7a -1,41 dB 62,2MHz 82,4 MHz


Abbildung 6.7: Bei korrekter Wahl des Uberlapps und der Verwendung eines fur denUS-PCS TX-Bereich angepassten Filteraufbaus kann auch die TX-Spezifikation erfulltwerden. Hier ist ein Aufbau mit Stapel 7 gezeigt.

tionsvorhersage qualitativ korrekt ist: Stapel 6, 7 und 8 resultieren in einem Filter-passband, das auf einen funktionierenden Uberlapp aller Filterresonatoren schließenlasst. Diese Stapel ergaben in vorangegangenen Dispersionssimulationen normale TE1-Dispersion fur alle vier relevanten Resonatorbereiche. Stapel 5 hingegen, der in derSimulation anomale Dispersionskurven zeigte, lasst die Uberlappmethode versagen.Die verglichenen Filter haben wie die Filter in Abbildung 6.2 wieder alle die gleicheUberlappkombination. Auf Grund dessen resultieren Stapel 6 bis 8 nicht in der glei-chen Filterqualitat. Die Ursache dafur ist auch hier wieder in der unterschiedlichenSteigung der TE1-Dispersionskurve zu suchen. Wurde man fur alle Filter die idealeUberlappkombination suchen, so ergabe sich fur Stapel 6 bis 8 in etwa die gleicheQualitat. Wie sehr sich die Steigung der TE1-Dispersion daruber hinaus auf die Fil-terqualitat bei gleichzeitiger Verwendung der Uberlappmethode auswirkt, muss aberseparat untersucht werden.

Wie in Abbildung 6.6 zu erkennen, ist es im TX-Fall mit einem RX-Filteraufbaunicht moglich, die typische TX-Spezifikation (αIL = −3,0 dB, B−3,0 dB = 60 MHz) zuerfullen. Deshalb wurde fur Stapel 7 im Experiment die ideale Uberlappkombinationgesucht und ein Los mit einem Fertigungsreticlesatz prozessiert, das einen fur das US-

6.2. FLACHE TE1-DISPERSION 111

Z0=50 Ω


Abbildung 6.8: Auswirkung der TE1-Abflachung auf auf Einzelresonatoren. Je flacherdie TE1-Dispersionskurve, desto großer wird der Resonanzkreis. Weiterhin nimmt dieIntensitat der Moden ab.

PCS-TX-Band optimierten Filteraufbau beinhaltet. Eine Messung aus der Wafermitteist zusammen mit der zugehorigen numerischen Auswertung in Abbildung 6.7 gezeigt.

6.2 Flache TE1-Dispersion

Bei der Untersuchung verschieden steiler TE1-Dispersionskurven mit 2D-FEM-Simu-lationen in Abschnitt 5.3 stellte sich heraus, dass eine flachere, monoton ansteigendeTE1-Dispersionskurve in weniger stark ausgepragten parasitaren TE1-Moden resul-tiert als eine steilere. Dabei nimmt die Noncircularity NC ab und der mittlere Radiusdes Resonanzkreises r bzw. die Gute Q zu. Dieser beobachtete Effekt wird im Fol-genden im Experiment untersucht. Dazu werden die in der Simulation entworfenenStapel 9a bis 9c aus Abschnitt 5.3 mit dem bekannten RX-Versuchsmaskensatz pro-zessiert. Das Los beinhaltet von jedem Stapel je vier Wafer. Die Zuordnung zwischenLagenstapel und Wafern ist alternierend.

Abbildung 6.8 zeigt die Messungen der sich mit den Stapeln 9a bis 9c ergebendenResonatoren. Dabei handelt es sich um quadratische s-Resonatoren mit einer Kan-tenlange von 180 µm. Sie haben keinen Uberlapp. So wird ausschließlich der Effektder Abflachung der TE1-Kurve betrachtet, ohne dass Uberlapp und Apodisation die


-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

1825 1850 1875 1900 1925

|S21

| [d

B]

frequency [MHz]




Stapel 9a -1,91 dB 10,1MHz 82,2MHzStapel 9b -2,29 dB 13,0MHz 81,4MHzStapel 9b -1,76 dB 42,2MHz 80,1MHz


Abbildung 6.9: Auswirkung der TE1-Abflachung auf das Filterpassband. Je flacherdie TE1-Kurve, desto geringer die Welligkeit und desto großer die Bandbreite.

korrekte Untersuchung erschweren. Mit Hilfe einer numerischen Auswertung erhaltman:

fr fa k2eff Q r NC

Stapel 9a 1880MHz 1930 MHz 5,12% 569 0,882 0,0183

Stapel 9b 1878MHz 1928 MHz 5,08% 597 0,896 0,0154

Stapel 9c 1880MHz 1926 MHz 4,87% 620 0,898 0,0120

Somit bestatigen sich die in der Simulation beobachteten Verbesserungen der Resona-toren auch im Experiment: Je flacher die Dispersionskurve, desto großer die Gute Q,desto großer der mittlere Radius des Resonanzkreises r und desto kleiner die Noncircu-larity NC. Im Idealfall erhalt man mit der untersuchten Methode einen Resonanzkreismit (idealer) Kreisform, dessen Radius großer als der ursprungliche mittlere Radius rist. Da aber die TE1-Dispersionskurve nicht beliebig abgeflacht werden kann, ist dieserIdealfall nicht realisierbar. Trotzdem konnen die Resonatoren mit einer Reduzierungder TE1-Steigung deutlich verbessert werden.

6.3. APODISATION 113

(a) (b) (c) (d) (e)

Abbildung 6.10: Untersuchung von Apodisation mit verschiedenen Formen der aktivenFlache.

Abbildung 6.9 zeigt die zugehorigen Filtermessungen. Dabei haben die Resonato-ren in den betrachteten Filtern eine rechteckige Form und keinen Uberlapp. So wirdausschließlich der Effekt der Abflachung der TE1-Dispersion unabhangig von Apo-disation und Uberlappmethode untersucht. Es zeigt sich in der Serie von Stapel 9abis 9c eine deutliche Reduktion der Welligkeit im Passband und eine Vergroßerungder Bandbreite. Allerdings ergibt sich letztere bei allen Varianten viel zu klein, umdie Spezifikationen im US-PCS-Band zu erfullen. Somit ist die Reduzierung der TE1-Steigung weniger geeignet als alleinige Methode zur Unterdruckung von parasitarenResonatormoden verwendet zu werden. Vielmehr bietet sich an, sie mit der sehr ef-fektive Uberlappmethode zu kombinieren, um diese weiter zu verbessern.

6.3 Apodisation

3D-FEM-Simulationen von Spiegeltyp-FBAR-Resonatoren konnen von heutigen Rech-nern praktisch nicht bewaltigt werden. Mit einer angemessen feinen Diskretisierungdes Resonators macht die benotigte Rechenzeit eine Analyse mittels Simulation prak-tisch unmoglich. Deshalb wird in dieser Arbeit die Apodisation-Methode zur Unter-druckung von parasitaren Moden ausschließlich im Experiment untersucht.

Bevor weiter unten auf Filtermessungen eingegangen wird, vergleicht dieser Ab-schnitt verschiedene Formen der aktiven Resonatorflache, siehe Abbildung 6.10. Dazuwerden Messungen von s-Einzelresonatoren mit einer aktiven Flache von (140 µm)2

verglichen. Sie haben keinen Uberlapp. Als Messobjekt dient ein Wafer dessen Lagen-stapel eine normale TE1-Dispersion aufweist. Zu Beginn der Diskussion zeigt Abbil-dung 6.11 die Messung eines quadratischen und eines kreisformigen geformten Resona-tors. Beide Geometrien haben sehr viele Punkte mit gleichem lateralen Resonanzpfadund es kommt zu ausgepragten parasitaren Moden in der Resonatoradmittanz. Ver-hindert man hingegen durch geeignete Formen identische Resonanzpfade, so reduziertdies die Intensitat der unerwunschten Nebenmoden. Im Falle einer elliptischen undeinem kissenformigen oberen Elektrode zeigt Abbildung 6.12 bzw. 6.13 eine sichtbareVerbesserung. Das beste Apodisationsergebnis ergibt ein unregelmaßiges funfseitigesPolygon, siehe Abbildung 6.14. Hier wird nahezu eine ideale Kreisform des Resonanz-


kreises erreicht. Die numerische Auswertung bestatigt die Ergebnisse der bisherigeDiskussion:

fr fa k2eff Q r NC

Quadrat 1876MHz 1924MHz 4,98% 427 0,899 0,0198Kreis 1881MHz 1929MHz 4,91% 399 0,894 0,0174Ellipse 1879MHz 1926MHz 4,87% 369 0,906 0,0125Kissen 1876MHz 1923MHz 4,90% 424 0,899 0,0134Polygon 1877MHz 1924MHz 4,88% 392 0,900 0,0105

Dabei zeigt sich, dass das Polygon, dicht gefolgt von der Ellipse, die geringste Noncir-cularity NC ergibt. Typisch fur Apodisation sind die praktisch unveranderten Wer-te fur Gute Q, effektive Kopplung k2

eff und mittlerem Radius r. Dabei bedeutetder unveranderte mittlere Radius, dass die Verluste im Resonator trotz geringererNoncircularity NC nach wie vor vorhanden sind. Apodisation verringert somit ledig-lich die Intensitat parasitarer Moden. Zum Abschluss der Untersuchungen wirdApodisation und Uberlappmethode bzw. eine Kombination aus beiden Methodenverglichen. Abbildung 6.15 stellt dazu die Messungen eines quadratischen Resona-tors und eines Resonator mit Apodisation jeweils mit und ohne Uberlapp gegenuber.Der Vergleich zeigt die uberragende Verbesserung der Resonatorqualitat durch einenUberlapp: Beide Resonatorvarianten mit Uberlapp haben einen deutlich großerer Re-sonanzkreis. Weiterhin ergibt dieses Experiment, dass eine Kombination von Apo-disation und Uberlappmethode moglich ist. Dadurch wird die Restwelligkeit einerreinen Uberlappunterdruckung weiter verringert und Uberlappmoden reduziert. Die-se Erkenntnis wurde bisher in der Literatur nicht erwahnt. Zusatzlich zur qualitativenDiskussion ermoglicht die zugehorige numerische Auswertung einen Vergleich mit Zah-lenwerten:

fr fa k2eff Q r NC

Quadrat 1876MHz 1924MHz 4,98% 457 0,899 0,0198Polygon 1877MHz 1924MHz 4,87% 392 0,900 0,0115Quadrat Uberlapp 1878MHz 1923MHz 4,64% 607 0,927 0,0200Polygon Uberlapp 1877MHz 1922MHz 4,66% 705 0,924 0,0187

Die korrespondierenden Filtermessungen sind in Abbildung 6.16 zu finden. Auch hiersticht sofort die uberlegene Qualitat der Filter mit Uberlapp heraus. Apodisationreduziert ahnlich wie bei den Resonatormessungen die verbleibende Welligkeit. Dienumerische Auswertung der Filtermessungen liefert den großten Wert von B−3,0 dB beider Kombination von Uberlappmethode und Apodisation.


Z0=50 Ω

QuadratKreis

Abbildung 6.11: Quadrat und Kreis haben sehr viele Randpunkte mit demselbenlateralen Resonanzpfad. Dies resultiert in ausgepragten parasitaren Moden.

Z0=50 Ω

QuadratEllipse

Abbildung 6.12: Geometrische Formen wie die Ellipse reduzieren die Anzahl der Punk-te mit identischem lateralen Resonanzpfad. Auf diese Art und Weise wird die Inten-sitat der Nebenresonanzen reduziert.


Z0=50 Ω

QuadratKissen

Abbildung 6.13: Wie die Ellipse, so reduziert auch ein Kissen deutlich die un-erwunschten parasitaren Moden.

Z0=50 Ω

QuadratPolygon

Abbildung 6.14: Das beste Apodisationsergebnis in dieser Untersuchung ergibt einunregelmaßiges funfseitiges Polygon.


Z0=50 Ω

QuadratPolygon

Quadrat OLPolygon OL

Abbildung 6.15: Apodisation und Uberlapp konnen kombiniert werden.


-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

1820 1845 1870 1895 1920 1945

|S21

| [d

B]

frequency [MHz]

QuadratPolygon

Quadrat OLPolygon OL



Quadrat -2,00 dB 28,6MHz 82,2MHzPolygon -1,73 dB 37,0MHz 82,2MHzQuadrat Uberlapp -1,42 dB 51,9MHz 82,2MHzPolygon Uberlapp -1,40 dB 54,7MHz 82,2MHz


Abbildung 6.16: Die Uberlappmethode resultiert in qualitativ deutlich besseren Fil-tern als die Apodisationsmethode. Eine Kombination aus beiden Methoden liefert dasbeste Ergebnis, da verbleibende Welligkeit ausgeschmiert wird.

6.4. AUFGEBAUTER US-PCS-DUPLEXER 119

6.4 Aufgebauter US-PCS-Duplexer

Die Ergebnisse der vorangegangenen Abschnitte flossen in den US-PCS-Duple-xer B7633 aus Abbildung 6.17 ein. Er ist das erste FBAR-Produkt der Firma EPCOSund wird seit Juni 2006 [4] in großen Stuckzahlen gefertigt. Als Gehausetechnologie

Abbildung 6.17: US-PCS-Duplexer B7633 der Firma EPCOS

kommt CSSP [204, 205] zum Einsatz. Sie wird bei EPCOS seit mehreren Jahrenim Bereich SAW verwendet und es kann auf die dort gesammelten Erfahrungenzuruckgegriffen werden.

Abschließend zeigt Abbildung 6.18 die gemessene Filtercharakteristik des Duple-xers. Die typische Einfugedampfung im TX-Band betragt 2,1 dB, im RX-Band hinge-gen 3,6 dB. Weitere Details finden sich im Datenblatt [206]. Bis Mitte Oktober 2006verließen uber zwei Millionen Bauteile die Fertigung.

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

1700 1800 1900 2000 2100 2200

|S21

| [d

B]

frequency [MHz]

TXRX

Abbildung 6.18: Filtercharakteristik des US-PCS-Duplexers B7633


Z0=50 Ω

sp

Abbildung 6.19: WCDMA-Band VII — Sehr gute Unterdruckung von TE1-Nebenmo-

den, wenig ausgepragte Uberlappmoden.

6.5 WCDMA-Band VII-Resonatoren und -Filter

Heute sind mobile Kommunikationsgerate fur das US-PCS-Band bei 1,9 GHz dasHauptanwendungsgebiet der FBAR-Technologie. In diesem Frequenzbereich lostendie relativ kleinen FBAR-Filter die klassische MWC-Technik praktisch vollstandig ab.Dagegen waren SAW-Filter aufgrund mangelnder Temperaturstabilitat bisher keineAlternative zu den MWC-Filtern. Jungste Weiterentwicklungen zur Temperatursta-bilisation werden aber auch im US-PCS-Bereich eine Dominanz von SAW nach sichziehen.

Somit ist das zukunftige Hauptanwendungsgebiet von FBAR-Filtern vor allembei hoher liegenden Frequenzen zu suchen. Hier ist aus heutiger Sicht nicht abzu-sehen, dass die etablierte SAW-Technologie kostengunstige und gleichzeitig ausrei-chend leistungsfahige Filter hervorbringt. Zum Abschluss dieser Arbeit wird deshalbgezeigt, dass die fur das gepaarte US-PCS-Band bei 1,9 GHz untersuchten und ent-wickelten Methoden auch im gepaarten WCDMA-Band VII bei 2,6GHz angewendetwerden konnen. Dazu wurde mit dem RX-Versuchsmaskensatz aus Abschnitt 6.1 einLos fur das TX-Band mit 2,535GHz Mittenfrequenz prozessiert. Um auch hier dieUberlappmethode anwenden zu konnen, wurde im Vorfeld mit dem Modellparame-tersatz aus Kapitel 4 ein Lagenstapel entworfen, welcher normale TE1-Dispersion imUberlappbereich und Innenbereich des s- und des p-Resonators zeigt.

Abbildung 6.19 stellt die Messung eines quadratischen s- und eines quadratischen

6.5. WCDMA-BAND VII-RESONATOREN UND -FILTER 121

p-Resonators aus dem selben Block in der Wafermitte in einem Smith-Diagrammdar. Beide Resonatoren haben eine Kantenlange L = 180 µm und die verwendetenUberlappbreiten sind ws

ol = 2 µm und wpol = 3 µm. Im Gegensatz zum US-PCS-Be-

reich fallt auf, dass die parasitaren Moden vom Typ TE1 uberhalb der Hauptreso-nanz sehr gut mit der Uberlappmethode unterdruckt werden konnen, ohne dass dabeiUberlappmoden den Resonator unterhalb der Resonanz nennenswert verschlechtern.In der numerischen Auswertung außert sich dies in einem großen mittleren Radius desResonanzkreises r und in einer niedrigen Noncircularity NC:

fr fa k2eff Q r NC

s 2547 MHz 2613MHz 4,983 899 0,916 0,0056p 2455 MHz 2517MHz 4,809 949 0,912 0,0096

Da sehr viele identische Wafer prozessiert worden sind, ist auch eine statistische Aus-wertung sinnvoll. Fur die s-Resonatoren erhalt man:

k2eff Q r NC

Minimum 4,886 626 0,907 0,0050Durchschnitt 4,989 882 0,917 0,0063Maximum 5,121 1113 0,926 0,0087

σx 0,051 120 0,004 0,0008

Analog ergibt sich fur die p-Resonatoren:

k2eff Q r NC

Minimum 4,620 764 0,899 0,0072Durchschnitt 4,733 966 0,912 0,0098Maximum 4,851 1170 0,922 0,0115

σx 0,050 103 0,005 0,0010

Insgesamt sind je 64 Resonatoren mit Uberlapp von insgesamt 4 Wafern in der Sta-tistik erfasst. Die 16 Messpositionen auf den einzelnen Wafern sind identisch. Sowohlbeim s- als auch beim p-Resonator ergibt sich ein Pol-Nullstellen-Abstand4 von uber60MHz. Damit sollte es moglich sein, eine Passbandbreite von mehr als 70MHz zurealisieren und die Filterspezifikationen im WCDMA-Band VII zu erfullen. Interes-sant ist weiterhin die berechnete Standardabweichung σx. Wahrend sie bei fast allenGroßen einen sehr kleinen Wert aufweist und damit auf eine gute Reproduzierbarkeitder Resonatorqualitat hindeutet, hat σx der Gute Q einen sehr großen Wert. Diesbestatigt die These aus vorangegangenen Abschnitten, dass die numerische Auswer-tung der Resonatorgute stets mit Vorsicht zu bewerten ist.

4Der Abstand zwischen Resonanz und Antiresonanz wird auch als Pol-Nullstellen-Abstand be-zeichnet.


-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

2400 2450 2500 2550 2600 2650 2700

|S21

| [d

B]

frequency [MHz]


-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2450 2500 2550 2600

|S21

| [d

B]

frequency [MHz]


ILmin B−3,0 dB B−20,0 dB

-0,91 dB 94,4MHz 132,2 MHz

(c) Numerische Auswertung

Abbildung 6.20: WCDMA-Band VII — Das Passband zeigt keine Welligkeit aufgrund

von parasitaren Moden oder Uberlappmoden.

Abschließend zeigt Abbildung 6.20 die Messung eines einfachen SPS-Filters, dessenprinzipieller Aufbau bereits in Abbildung 3.3 vorgestellt wurde. Ein fur diesen Fre-quenzbereich angepasster Filteraufbau mit mehreren Gliedern, z. B. 3,5-Stufen, unddamit hoherer Stoppbandunterdruckung steht auf den prozessierten Wafern nicht zurVerfugung. Das sich ergebende Passband des SPS-Filters ist praktisch frei von Wel-ligkeit, die ihre Ursache in parasitaren Nebenmoden oder in Uberlappmoden hatte.

Kapitel 7

Schlussfolgerung und Ausblick

In dieser Arbeit wurden drei Methoden zur Unterdruckung von parasitaren Modenin Spiegeltyp-FBAR-Resonatoren mit AlN als piezoelektrischem Material untersucht:Apodisation, Uberlappmethode und Reduzierung der TE1-Steigung. Dabei zeigtensowohl Simulationen als auch Experimente, dass mit allen Ansatzen die Intensitatvon parasitaren Moden in der Resonatoradmittanz reduziert werden kann.

In Kapitel 4 wurde ein Modellparametersatz fur mehrdimensionale Simulationenerarbeitet. Dazu dienten Literaturdaten fur die Zusammenstellung eines Ausgangsda-tensatzes, der anschließend mit den Ergebnissen einer Laser-Interferometrie-Messungan den EPCOS-FBAR-Prozess angepasst wurde. Damit war es moglich, Untersuchun-gen mittels Dispersions- und 2D-FEM-Simulationen im Vorfeld teuerer Versuche zumachen und diese gezielt in eine Richtung zu lenken.

Apodisation wurde ausschließlich im Experiment untersucht. Hier ist eine Ana-lyse mittels 3D-FEM-Simulationen aufgrund der hohen benotigten Rechenzeit nichtmoglich. Experimente in Abschnitt 6.3 zeigten, dass durch eine geeignete Form der ak-tiven Resonatorflache die Intensitat parasitarer Moden deutlich reduziert werden kann.Im Idealfall ergibt sich ein Resonanzkreis mit idealer Kreisform ohne zusatzliche Ver-zerrungen. Der mittlere Radius des Resonanzkreises kann allerdings nicht verandertwerden. Das bedeutet fur Resonatoren, dass unerwunschte Spitzen in der Resonatorad-mittanz zwar beseitigt werden konnen, die Verluste im Resonator aber nach wie vorvorhanden sind. Im Filterpassband wird so lediglich die Welligkeit beseitigt, jedochkaum dessen Bandbreite erhoht. Das beste Ergebnis in der Untersuchung lieferte einunregelmaßiges funfseitiges Polygon.

Die Uberlappmethode wurde in den Abschnitten 5.2 und 6.1 mit Simulationen bzw.Experimenten untersucht. Dazu war es im Vorfeld notwendig, eine Moglichkeit zu fin-den, die TE1-Dispersion eines AlN-basierten Resonatorlagenstapels zu verandern. ImGegensatz zu Apodisation hat ein Uberlapp bei Resonatoren nicht nur eine Verrin-gerung der Intensitat parasitarer Moden, sondern auch eine Vergroßerung des Re-

123

124 KAPITEL 7. SCHLUSSFOLGERUNG UND AUSBLICK

sonanzkreises zur Folge. Letztere bewirkt eine wesentliche Verbreiterung im oberenBereich des Filterpassbandes. Zwangsweise verursacht ein Uberlapp aber auch eineweitere Art unerwunschter Moden unterhalb der Resonanz, die Uberlappmoden. Somuss ein Kompromiss zwischen der Unterdruckung parasitarer TE1-Moden und derVermeidung von Uberlappmoden gefunden werden. Daruber hinaus ergeben sowohlSimulation als auch Experimente, dass mit Zunahme der Uberlappbreite die Resona-torkopplung abnimmt.

Abschnitt 6.3 vergleicht Apodisation und Uberlappmethode. Dabei ergibt dieUberlappmethode deutlich bessere Filter. Eine weitere Verbesserung entsteht, wennbeide Methoden kombiniert werden. Im Gegensatz zur alleinigen Verwendung einesUberlapps hilft zusatzliche Apodisation, die Restwelligkeit im Filterpassband zu be-seitigen und Uberlappmoden zu reduzieren.

Weiterhin wurde bei den Untersuchungen in dieser Arbeit eine dritte Moglichkeitzur Unterdruckung unerwunschter Resonatormoden gefunden: Reduzierung der TE1-Steigung. Dazu zeigen in Abschnitt 5.3 bzw. 6.2 sowohl Simulationen als auch Ex-perimente, dass eine Abflachung des TE1-Dispersionsastes einerseits die Intensitatder TE1-Nebenmoden reduziert und andererseits den mittleren Radius des Resonanz-kreises vergroßert. Allerdings ist es durch eine Anpassung des Resonatorstapels nichtmoglich, beliebig flache TE1-Dispersionskurven zu realisieren. Somit ist die Effekti-vitat der Methode begrenzt.

Die Ergebnisse dieser Arbeit trugen dazu bei, die Qualitat der FBAR-Filter derFirma EPCOS zu verbessern. Sie sind sowohl in den Aufbau des TX- als auch des RX-Chips des US-PCS-Duplexer B7633 eingeflossen. Weiterhin erlauben die gewonnenenErkenntnisse die schnelle Anpassung neuartiger Resonatoraufbauten, sodass auch hierunerwunschte Moden effektiv beseitigt werden konnen.

Zum Abschluss der Arbeit untermauerte Abschnitt 6.5 die allgemeine Gultigkeitder primar fur das US-PCS-Band bei 1,9 GHz untersuchten Methoden. Ein Versuchim WCDMA-Band VII bei 2,6GHz lieferte qualitativ gute Resonatoren, bei denenparasitare TE1-Moden vollstandig unterdruckt sind und deren Kopplung ausreichendeFilterbandbreiten zulasst.

Uberlappmoden treten frequenzmaßig unterhalb der Resonanz in Erscheinung undstellen ein Problem dar, da sie sich auf das Filterpassband auswirken. Nach demjetzigen Kenntnisstand treten sie zwangsweise auf, wenn ein Uberlapp verwendetwird: Verbreitert man den Resonatoruberlapp hin zum seinem idealen Wert, erschei-nen Uberlappmoden, noch bevor das Optimum der Breite erreicht ist. Diesen Effektzeigten sowohl Simulation als auch Experiment. So ist es notwendig, Methoden zurVermeidung dieser unerwunschten Uberlappmoden zu finden, ohne dass dadurch dieWirkung der Uberlappmethode verloren geht. Da sich 2D-FEM-Simulationen fur qua-

125

litative Untersuchungen von Resonatoren sehr gut eignen, bieten sie sich im Vorfeldteurer Versuche an.

Weiterhin sollte die Erarbeitung eines Modellparametersatzes fur Simulationenuberdacht werden. Die in Kapitel 4 verwendete Methode ist außerst zeitaufwendigund berucksichtigt nicht, dass dunne Schichten eines Materials im Gegensatz zum aus-gedehnten Festkorper abweichende Dichtewerte aufweisen. Als Grundlage zukunftigerArbeiten stellt [207] neue Ansatze zu diesem Thema vor. Dazu gehort neben derDichtebestimmung eine sehr genaue Messung der Steifigkeitskonstante c33.

Mit dem bisherigen Kenntnisstand uber parasitare Moden kann die beobachteteVerbesserung von Resonatoren durch ein Abflachen der TE1-Dispersionskurve nichterklart werden. Simulationen zeigten lediglich, dass der longitudinale Charakter derModen einer TE1-Kurve hin zu hoheren kx-Werten um so langer erhalten bleibt, jegeringer die Steigung der Kurve ist. Damit ist ein Anhaltspunkt fur zukunftige Ar-beiten gegeben, der die Ursache fur den beobachteten Effekt in der Veranderung desModencharakters mit der Dispersion vermuten lasst.

In diesem Zusammenhang sollte auch eine Kombination von Uberlappmethodeund Reduzierung der TE1-Steigung untersucht werden, da hier Potenzial zur weite-ren Verbesserung von FBAR-Filtern besteht. Dazu ist ein breit angelegtes Experimentmit Simulationen vorzubereiten, sodass eine Serie an Lagenstapeln unterschiedlichsteiler TE1-Dispersionen vorliegt. Nach deren Prozessierung ist fur jeden Stapel dieideale Uberlappkombination fur s- und p-Resonatoren im Filter zu suchen und dasentsprechende Messergebnis in die Auswertung mit einzubeziehen. Nur so kann derEffekt verschieden steiler TE1-Kurven eindeutig vom Effekt des Uberlapps differen-ziert werden. Eine Untersuchung der Kombination von Apodisation und Abflachender TE1-Kurve ist weniger sinnvoll, da Apodisation deutlich schlechtere Resonatorenhervorbringt als die Uberlappmethode.

126 KAPITEL 7. SCHLUSSFOLGERUNG UND AUSBLICK

Anhang A

Grundlagen der Mikroakustik

Die Mikroakustik beschaftigt sich mit der Ausbreitung mechanischer Wellen im festen,flussigen und gasformigen Medium. In diesem Abschnitt werden dazu grundlegendeGroßen zur mathematischen Beschreibung im Falle eines kartesischen Koordinaten-systems mit den Einheitsvektoren ex, ey, ez und den Koordinaten x, y, z definiert.Weiterfuhrende Literaturstellen sind [12, 66, 67, 137, 208–214]. In dieser Arbeit wirddie Notation aus [66] verwendet.

A.1 Verschiebung

Bei der Untersuchung makroskopischer mechanischer Schwingungen ist es vollkommenausreichend, Teilchenpartikel zu betrachten, welche viele Atome beinhalten. DerenVerschiebung um die Ruheposition r0 ist als

u(r) =

ux(r)

uy(r)

uz(r)

= r− r0 mit r =

rx

ry

rz

; r0 =

rx0

ry0

rz0

(A.1)

definiert. Dabei ist r die Position des betrachteten Teilchens im ausgelenkten Zustand.

A.2 Elastische Dehnung

In einem linearen Modell sind die Komponenten der Dehnungsmatrix [S] fur ein infi-nitesimal kleines Teilchen im Raumpunkt r als

Sij(r) =1

2

(∂ui(r)

∂xj

+∂uj(r)

∂xi

)(A.2)

definiert.

127

128 ANHANG A. GRUNDLAGEN DER MIKROAKUSTIK

A.3 Elastische Spannung

Die Krafte, welche innerhalb eines Korpers zwischen seinen Teilchen wirken, werdenmit der Spannungsmatrix [T ] beschrieben. Dabei ist es in Abwesenheit von außerenKraften ausreichend, die Spannungen ∂F

∂Aauf drei Seitenflachen quadratischer, infini-

tesimal kleiner Teilchen im Korper zu betrachten:

Tx = exTxx + eyTyx + ezTzx (A.3)

Ty = exTxy + eyTyy + ezTzy (A.4)

Tz = exTxz + eyTyz + ezTzz (A.5)

Ti,j mit i, j = x, y, z sind dabei die Komponenten von [T ], wobei i fur die Richtungder Kraft und j fur die Richtung der jeweiligen Seitenflache A steht.

A.4 Verknupfung von Spannung und Dehnung

Die Matrizen [S] und [T ] sind uber den Steifigkeitstensor cijkl verknupft:

Tij =∑

k,l

cijklSkl (A.6)

[S] ist aufgrund von Sij(r) = Sji(r) mit i 6= j symmetrisch. Weiterhin besagt dieBewegungsgleichung der Rotation,

Tji − Tij + Gk = 0 mit i, j, k = x, y, z (A.7)

dass im Falle eines fehlenden Korperdrehmoments G das Gleiche fur [T ] gilt. So kannsowohl Dehnung als auch Spannung vereinfacht in Vektorform angeben werden:

S =

S1

S2

S3

S4

S5

S6

mit [S] =

S112S6

12S5

12S6 S2

12S4

12S5

12S4 S3

(A.8)

T =

T1

T2

T3

T4

T5

T6

mit [T ] =

T1 T6 T5

T6 T2 T4

T5 T4 T3

(A.9)

A.4. VERKNUPFUNG VON SPANNUNG UND DEHNUNG 129

Die Verknupfung von Spannung und Dehnung ist damit in Vektor-Matrix-Schreibweisemoglich und auf die Tensornotation kann verzichtet werden,

T1

T2

T3

T4

T5

T6

=

c11 c12 c13 c14 c15 c16

c21 c22 c23 c24 c25 c26

c31 c32 c33 c34 c35 c36

c41 c42 c43 c44 c45 c46

c51 c52 c53 c54 c55 c56

c61 c62 c63 c64 c65 c66

S1

S2

S3

S4

S5

S6

(A.10)

Ausgewahlte Beispiele

Aus energetischen Grunden ist die Steifigkeitsmatrix [c] symmetrisch, sodass letzt-endlich von den 36 unabhangigen Konstanten fur alle reellen Materialien nur nochmaximal 21 verbleiben [66]. Je nach Kristallstruktur reduziert sich diese Zahl ausSymmetrien im Kristallgitter nochmals. Einige ausgewahlte Beispiele sind:

Hexagonale Kristallstruktur:

[c] =

c11 c12 c13 0 0 0

c12 c11 c13 0 0 0

c13 c13 c33 0 0 0

0 0 0 c44 0 0

0 0 0 0 c44 0

0 0 0 0 0 c66

(A.11)

mit c66 =1

2(c11 − c12) (A.12)

Kubische Kristallstruktur:

[c] =

c11 c12 c12 0 0 0

c12 c11 c12 0 0 0

c12 c12 c11 0 0 0

0 0 0 c44 0 0

0 0 0 0 c44 0

0 0 0 0 0 c44

(A.13)


Isotrope Kristallstruktur:

[c] =

c11 c12 c12 0 0 0

c12 c11 c12 0 0 0

c12 c12 c11 0 0 0

0 0 0 c44 0 0

0 0 0 0 c44 0

0 0 0 0 0 c44

(A.14)

mit c12 = c11 − 2c44 (A.15)

A.5 Piezoelektrizitat

Einige kristalline Materialien zeigen bei mechanischer Deformation eine elektrischeLadungsbildung und damit eine Spannung auf ihrer Oberflache. Dieser Effekt ist all-gemein als piezoelektrischer Effekt bekannt und hat seine Ursache im Aufbau desKristallgitters. Umgekehrt wird in solchen piezoelektrischen Materialien durch eineelektrische Spannung auch eine mechanische Deformation hervorgerufen: Der umge-kehrte piezoelektrische Effekt.

Zur mathematischen Beschreibung des piezoelektrischen Verhaltens muss (A.10)um einen Term erweitert und die elektrische Verschiebungsdichte D mit in Betrachtgezogen werden:

T = [cE]S− [e]TE (A.16)

D = [εS]E + [e]S (A.17)

Dabei ist [cE] die Steifigkeitsmatrix bei konstantem elektrischen Feld E und [εS] dieelektrische Permittivitat bei konstanter Dehnung S. Die hier verwendete piezoelek-trische Spannungsmatrix [e] lasst sich uber die piezoelektrischen Dehnungsmatrix [d]berechnen,

[e] = [d][cE] (A.18)

welche ublicherweise in der Literatur angegebenen wird. Sowohl [d] als auch [e] habenForm 3 x 6 und sind beide schwach besetzt:

[d] =

dx1 dx2 dx3 dx4 dx5 dx6

dy1 dy2 dy3 dy4 dy5 dy6

dz1 dz2 dz3 dz4 dz5 dz6

(A.19)

[e] =

ex1 ex2 ex3 ex4 ex5 ex6

ey1 ey2 ey3 ey4 ey5 ey6

ez1 ez2 ez3 ez4 ez5 ez6

(A.20)

A.6. BEWEGUNGSGLEICHUNG DER TRANSLATION 131

Die Nicht-Null-Koeffizienten sitzen in beiden Fallen an der selben Position in derMatrix. Da sich die elektromagnetischen Wellen um drei bis vier Großenordnungenschneller als die akustischen ausbreiten, ist fur die elektrische Feldstarke E in (A.16)und (A.17) eine quasi-statische Naherung zulassig:

E = −∇φ (A.21)

Ausgewahlte Beispiele

In dieser Arbeit werden nur AlN und ZnO als piezoelektrische Materialien diskutiert.Sie sind beide hexagonaler Natur:

[d] =

0 0 0 0 ex5 0

0 0 0 dx5 0 0

dz1 dz2 dz3 0 0 0

(A.22)

A.6 Bewegungsgleichung der Translation

Wendet man Newtons 2. Gesetz auf ein infinitesimal kleines Teilchen an, so ergibtsich in Abwesenheit von Korperkraften:

∇[T ] = ρ∂2u

∂t2(A.23)

In einem kartesischen Koordinatensystem gilt dabei fur die Divergenz der Spannungs-matrix:

∇[T ] = ex

(∂

∂xTxx +

∂

∂yTxy +

∂

∂zTxz

)

+ey

(∂

∂xTyx +

∂

∂yTyy +

∂

∂zTyz

)

+ez

(∂

∂xTzx +

∂

∂yTzy +

∂

∂zTzz

)(A.24)


Anhang B

Laser-Interferometrie-Messungen

B.1 Auslenkungsprofile

Das Ziel der Laser-Interferometrie-Messungen aus Abschnitt 4.2.2 war es, die Dis-persionsrelationen eines Test-Resonators ohne Uberlapp in einem moglichst weitenBereich der Frequenz und der lateralen Wellenzahl zu ermitteln. Dazu wurde dasAuslenkungsprofil |uz(x, y)| an 313 Punkten im Frequenzbereich von 106MHz bis2402MHz gemessen und daraus ein Dispersionsdiagramm berechnet. Im Folgendensind die Auslenkungsprofile der ersten zehn TE1-Moden gezeigt, vgl. Admittanzmes-sung in Abbildung 4.3a. |uz(x, y)| ist dabei in Form der am Spektralanalysator gemes-senen Leistung in dBm angegeben, die x- und y-Position jeweils als Rasterkoordinatebezogen auf 2 µm. Die gezeigten Abbildungen lassen zwei Besonderheiten erkennen:Erstens konnen den parasitaren TE1-Moden keine

”reinen“ 1 x 1, 3 x 3, 5 x 5 etc. Pro-

file zugeordnet werden, wie es eine 2D-Betrachtung vermuten ließe, und zweitens sinddie TE1-Auslenkungen bei großen kx von vielen Betragsmaximas kleiner Wellenlangeund kleiner Intensitat uberlagert, welche ihren Ursprung in Nicht-TE1-Asten haben.

1881,7MHz 1882,6MHz

133

134 ANHANG B. LASER-INTERFEROMETRIE-MESSUNGEN

1883,7MHz 1885,4MHz

1887,7MHz 1890,0MHz

1893,4MHz 1898.0MHz

B.2. GROSSFLACHIGE MESSUNGEN 135

1900,0MHz 1906.0MHz

B.2 Großflachige Messungen

Zusatzlich zu den TE1-Auslenkungsprofilen, welche auf die aktive Resonatorflachebeschrankt sind, illustrieren zwei großflachige Messungen bei Resonanz und Antire-sonanz, dass ungebundene Moden insbesondere in der Gegend der Antiresonanz ausdem aktiven Resonatorbereich entweichen.

Resonanz bei 1881,7MHz Antiresonanz bei 1930,5MHz

136 ANHANG B. LASER-INTERFEROMETRIE-MESSUNGEN

Abkurzungen

In dieser Arbeit werden der Einfachheit halber und zur besseren Lesbarkeit allgemeinubliche und fachspezifische Abkurzungen verwendet. Diese werden hier erlautert.

Allgemeine Abkurzungen

Abkurzung Bedeutung

bzgl. bezuglich

bzw. beziehungsweise

ca. zirka

d. h. das heißt

engl. englisch

etc. und so weiter

i. Allg. im Allgemeinen

Mio. Million(en)

Mrd. Miliarde(n)

usw. und so weiter

vgl. vergleiche

z. B. zum Beispiel

Fachspezifische Abkurzungen

Abkurzung Bedeutung

1D/2D/3D eindimensional/zweidimensional/dreidimensional

1G erste Generation von Mobilfunksystemen

2G zweite Generation von Mobilfunksystemen

137

138 ABKURZUNGEN

2,5G Erweiterung von 2G...

...

BAW bulk acoustic wave

BVD Butterworth-Van Dyke

C++ C Plus Plus (objektorientierte Programmiersprache)

CDMA code division multiple access

CPU central processing unit

CVD chemical vapor deposition

DAMPS digital advanced phone system

DS-CDMA direct-sequence CDMA

FBAR film bulk acoustic wave resonator

FDD frequency division duplex

FDMA frequency division multiple access

FEM Finite Elemente Methode

FFT fast Fourier transform

FH-CDMA frequency-hopping CDMA

FOM figure of merit

GSM global system for mobile communication

HF Hochfrequenz

IC integrated circuit

IDEN integrated digital enhanced network

MEMS micro-electro-mechanical systems

MWC microwave ceramics

PCS personal communication system

PDA personal digital assistant

PDC personal digital cellular

REM Rasterelektronenmikroskop

TDD time division duplex

TDMA time division multiple access

TEM Transmissionselektronenmikroskop

SAW surface acoustic wave

SMR solidly mounted resonator

SBAR solidly mounted bulk acoustic wave resonator

SOLT short, open, load, through (Kalibrierungsmethode)

139

TFBAR thin film bulk acoustic wave resonator

US United States

WCDMA wideband code division multiple access

WiMax worldwide interoperability for microwave access

WLAN wireless local area network

140 ABKURZUNGEN

Objekte, Operatoren undFormelzeichen

Objekt Bedeutung

a Skalar

a Vektor

[A] Matrix

Operator Bedeutung

arg (·) Phase in Radient

|·| Betrag

Im · Imaginarteil

j imaginare Einheit

4 Laplace-Operator mit 4 = ∇ · ∇ = ∂2

∂x2 + ∂2

∂y2 + ∂2

∂z2

∇ Nabla-Operator mit ∇ =(

∂∂x

∂∂y

∂∂z

)T

Re · Realteil

(·)T transponierter Vektor

[·]T transponierte Matrix

Formelzeichen Bedeutung

A Flache

a Asymptote

A gerichtete Flache

141

142 OBJEKTE, OPERATOREN UND FORMELZEICHEN

AFBAR aktive Resonatorflache

AM Flache der Abtastpunkte M(x, y) (Laser-Interferometer)

ai Koeffizienten der FEM-Naherung fur uy,h

∆α Welligkeit innerhalb des Passbandes

BK Bandbreite eines Funkkanals

BαILBandbreite des Passbandes gegebener Einfugedampfung

BX Aste im Dispersionsdiagramm mit X = 1, 2, 3 · · ·b Erregungsvektor

bi Koeffizienten der FEM-Naherung fur uy,h

[c] Steifigkeitsmatrix mit den Komponenten cij mit i, j = 1, 2

C0 statische Kapazitat eines FBAR-Resonators

ci Koeffizienten der FEM-Naherung fur φh

d Dicke der piezoelektrischen Schicht in einem Resonator

[d] Matrix der piezoelektrischen Dehnungskonstanten mit denKomponenten dij mit i = x, y, z und j = 1, 2, . . . 6

dol Dicke des Uberlapps

dn Dicke der Schicht n

D elektrische Verschiebungsdichte mit den Komponenten Di miti = x, y, z

[e] Matrix der piezoelektrischen Spannungskonstanten mit denKomponenten eij mit i = x, y, z und j = 1, 2, . . . 6

e allgemeine Zahlvariable aus N oder N0

ex,ey,ez Einheitsvektoren im kartesischen Koordinatensystem

E elektrisches Feld mit den Komponenten Ei mit i = x, y, z

[ε] elektrische Permeabilitat mit den Komponenten εij mit i =x, y, z

f Frequenz

F Kraft

fFBAR Anregungsfrequenz des Resonators (Laser-Interferometer)

fa Antiresonanzfrequenz

fr,n Antiresonanzfrequenz der n-ten Harmonischen

fC Mittenfrequenz eines Passbandes

fK Mittenfrequenz eines Funkkanals

fL linke Passbandkante

fr Resonanzfrequenz (Hauptresonanz)

143

fr,n Resonanzfrequenz der n-ten Harmonischen

fR rechte Passbandkante

fTE1 Schnittpunkt des TE1-Astes mit der Ordinate (kx = 0)

fTS1 Schnittpunkt des TS1-Astes mit der Ordinate (kx = 0)

FOM Gutefaktor

G Drehmoment

gi Koeffizienten der FEM-Ansatzfunktion

[γ(i)] Greens-Matrix

H magnetische Feldstarke

h Proportionalitatskonstante der piezoelektrischen Kopplungim 1D-Modell

i allgemeine Zahlvariable aus N oder N0

I elektrischer Strom

ILmin minimale Einfugedampfung eines Bandpassfilters

j allgemeine Zahlvariable aus N oder N0

J elektrische Stromdichte

[Kh] Systemmatrix des FEM-Gleichungssystems

k allgemeine Zahlvariable aus N oder N0

k Wellenvektor mit den Komponenten kx, ky, kz

K Funkkanal

k2eff effektive Kopplung

k2t intrinsische Kopplung

kx,max maximal messbare laterale Wellenzahl (Laser-Interferometer)

kx, ky Plattenwellenzahlen

kx,ohne Wellenzahl, bis zu der im Passbandbereich ausschließlich derTE1-Ast auftauchen darf

kx,ol Wellenzahl des Uberlappbereichs bei fr

kx normierte laterale Wellenzahl

kx,ol normierte laterale Wellenzahl des Uberlappbereichs bei fr

kx,ohne normierte laterale Wellenzahl, bis zu der im Passbandbereichausschließlich der TE1-Ast auftauchen darf

L Kantenlange einer quadratischen bzw. Durchmesser einer run-den aktiven Resonatorflache

λ Wellenlange

λLaser Wellenlange der Laserdiode (Laser-Interferometer)


M(x, y) Abtastpunkt auf AFBAR (Laser-Interferometer)

M Mittelpunkt des Resonanzkreises

m allgemeine Zahlvariable aus N oder N0

n allgemeine Zahlvariable aus N oder N0

N Snell-Faktor

Ni Ansatzfunktion

Ω diskretisiertes Gebiet (FEM-Analyse)

Ω Rand von Ω

Ωe Teilgebiet von Ω

PFBAR Leistung, mit der der Test-Resonator angeregt wird (Laser-Interferometer)

p2n piezoelektrischer Kopplungskoeffizient der n-ten TE1-Neben-

mode (1D-Modell)

phi elektrisches Potenzial

phih FEM-Naherung von phi

Q Gute

r Position eines Teilchens im Raum

r mittlerer Radius des Resonanzkreises

r0 Ruheposition eines Teilchens im Raum

RX Regionen im Dispersionsdiagramm mit X = 1, 2, 3 . . .

ρ Dichte

[S] Dehnungsmatrix mit den Komponenten Sij mit i, j = x, y

S Kurzschreibweise der Dehnungsmatrix mit den KomponentenSi mit i = 1, 2 . . . 6

S Streuparameter

SRL Flankensteilheit der linken Filterflanke

SRR Flankensteilheit der rechten Filterflanke

SWR Stehwellenverhaltnis

SX Schnittpunkte im Dispersionsdiagramm mit X = 1, 2, 3 . . .

σ Dichte der freien elektrischen Ladung

σx Standardabweichung (1-Sigma-Abweichung)

[T ] Spannungsmatrix mit den Komponenten Tij mit i, j = x, y

T Kurzschreibweise der Spannungsmatrix mit den Komponen-ten Ti mit i = 1, 2 . . . 6

145

Tx,Ty,Tz Spannungen an den Seitenflachen eines infinitesimal kleinenTeilchens

TCF Temperaturkoeffizient der Frequenz

TEX Dickendehnungsmode Nummer X

TSX Dickenscherungsmode Nummer X

[τ ] Transfermatrix

ϑ Temperatur

ϑ0 Referenztemperatur

u Auslenkung eines infinitesimal kleinen Teilchens mit den Kom-ponenten ux, uy, uz

u Amplitude Auslenkung u

uh FEM-Naherung von u

Vn Piezoelektrische Spannung der n-ten TE1-Nebenmode (1D-Modell)

v Phasengeschwindigkeit

[v] Viskositatsmatrix mit den Komponenten vij

vg Gruppengeschwindigkeit

vL Phasengeschwindigkeit einer longitudinalen Volumenwelle

vS Phasengeschwindigkeit einer transversalen Volumenwelle

wol Breite des Uberlapps

wpol Breite des Uberlapps fur s-Filterresonatoren

wsol Breite des Uberlapps fur p-Filterresonatoren

ω Kreisfrequenz

x, y, z kartesische Koordinaten

x, y, z kartesische Koordinaten der Strahlfuhrung (Laser-Interfero-meter)

x Losungsvektor eines linearen Gleichungssystems

xi,i+1 Koordinate des Ubergangs von Bereich i zum Bereich i + 1

Y Admittanz

Z Impedanz

Z0 Bezugswellenwiderstand (in dieser Arbeit stets 50Ω)


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Abbildungsverzeichnis

1.1 Motivation: AlN und Uberlapp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.1 Frequenzbander Mobilfunksysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 Aufteilung der Mobilfunkkunden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3 Multiplexverfahren FDMA, TDMA und CDMA . . . . . . . . . . . . . 112.4 Kombination aus Duplex- und Multiplexverfahren . . . . . . . . . . . 132.5 Charakterisierung eines Bandpassfilters . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.6 Prinzip eines MWC-Filters: gekoppelte λ/4-Resonatoren . . . . . . . 162.7 SAW-Resonator: Interdigitalwandler und Reflektoren . . . . . . . . . 162.8 3,5-stufiger Laddertypefilter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.9 Prinzip der FBAR-Technik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.1 Klassischer Quarzresonator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.2 Compositeresonator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.3 Monolithisches Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.4 Membrantyp-FBAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.5 Spiegeltyp-FBAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.6 Butterworth-Van Dyke-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.7 Admittanz- und Smith-Diagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.8 Lamb-Moden in einer isotropen ZnO-Platte . . . . . . . . . . . . . . 353.9 TE1 Hauptmode im realen Resonator . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.10 Diskrete gebundene Moden durch Energy-Trapping . . . . . . . . . . 363.11 Piezoelektrische Kopplung ohne Uberlapp . . . . . . . . . . . . . . . . 373.12 Spurious Modes in der Admittanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.13 Auswirkung von parasitaren Resonatormoden . . . . . . . . . . . . . 403.14 Apodisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.15 Piezoelektrische Kopplung mit Uberlapp . . . . . . . . . . . . . . . . 423.16 Dispersionskurven beim Uberlapp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.17 Entwurfskriterien bei der Uberlappmethode (s-Resonator) . . . . . . 453.18 Transfer-Matrix-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

165

166 ABBILDUNGSVERZEICHNIS

3.19 Vernetzung mit 2D-Serendipity-Elementen . . . . . . . . . . . . . . . 583.20 Netzwerk-Analysator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.21 Waferprober . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.22 Prinzipieller Aufbau des verwendeten Michelson-Interferometers . . . 633.23 Prozessierung auf 200 mm-Wafer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.24 EPCOS-Lagenstapel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.1 Resonator fur die Laser-Interferometrie-Messung . . . . . . . . . . . . 724.2 Resonator fur die Schichtdickenbestimmung mittels TEM . . . . . . . 724.3 Admittanz- und Smith-Diagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.4 Layout in der Umgebung des Test-Resonators . . . . . . . . . . . . . 754.5 Platine fur die Laser-Interferometrie-Messung . . . . . . . . . . . . . 764.6 Berechnung des Dispersionsdiagramms . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.7 Querschnitt der TEM-Probe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784.8 Basis-Modellparametersatz: Rechnungs-Messungs-Vergleich . . . . . . 824.9 Systematische Untersuchung des Basis-Modellparametersatzes . . . . 834.10 Rechnungs-Messungs-Vergleich von Dispersionskurven . . . . . . . . . 86

5.1 2D-FEM-Modell des Test-Resonators . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885.2 Verifikation des angepassten Modellparametersatzes . . . . . . . . . . 905.3 Typische Dispersionsrelationen mit λ/4-Spiegellagen . . . . . . . . . . . 915.4 Massenbelag uberhalb der piezoelektrischen Schicht . . . . . . . . . . 935.5 RX-Spiegelmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 945.6 TX-Spiegelmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 965.7 Simulation des Uberlapps mit FEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 975.8 Auswahl unterschiedlich steiler Dispersionskurven . . . . . . . . . . . 985.9 Longitudinaler Charakter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 995.10 2D-FEM-Simulation unterschiedlich steiler TE1-Kurven . . . . . . . . 100

6.1 RX-Spiegelmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1036.2 US-PCS-RX Spiegel Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1046.3 Variation des Uberlapps von s- und p-Resonator . . . . . . . . . . . . 1066.4 Auswirkung verschiedener Uberlappkombinationen . . . . . . . . . . . . 1076.5 Verbesserung der Filterqualitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1086.6 US-PCS-TX Spiegel Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1096.7 US-PCS-TX Spiegel Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1106.8 Reduzierung der TE1-Steigung Resonatoren . . . . . . . . . . . . . . . 1116.9 Reduzierung der TE1-Steigung Resonatoren . . . . . . . . . . . . . . 1126.10 Apodisations-Formen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1136.11 Apodisations-Formen Quadrat-Kreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

ABBILDUNGSVERZEICHNIS 167

6.12 Apodisations-Formen Quadrat-Ellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1156.13 Apodisations-Formen Quadrat-Kissen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1166.14 Apodisations-Formen Quadrat-Funfstern . . . . . . . . . . . . . . . . 1166.15 Apodisation und Uberlapp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1176.16 Apodisations-Formen Quadrat-Funfstern . . . . . . . . . . . . . . . . 1186.17 US-PCS-Duplexer B7633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1196.18 US-PCS-Duplexer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1196.19 WCDMA-Band VII Resonatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1206.20 WCDMA-Band VII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

168 ABBILDUNGSVERZEICHNIS

Tabellenverzeichnis

2.1 Vergleich der MWC-, der SAW- und der FBAR-Filtertechnik . . . . . 18

3.1 Vergleich von Membran- und Spiegeltyp-FBAR . . . . . . . . . . . . 263.2 Materialien fur FBAR-Resonatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.1 Kristallstruktur der verwendeten Materialien . . . . . . . . . . . . . . 794.2 Verbleibende Zahl unabhangiger Steifigkeitskonstanten . . . . . . . . 804.3 Einfluss der 13 unabhangigen Steifigkeitskonstanten . . . . . . . . . . 85

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Documents

Unterdruckung von parasit¨ ¨aren Moden in FBAR-Resonatoren · Unfortunately, FBARs show many unwanted spurious modes beside their main resonance, which reduce FBAR ﬁlter performance