Vektoren Grundbegriffe für das Information Retrieval

Vektoren

Grundbegriffe für das Information Retrieval

Karin Haenelt

13.10.2013

Analytische Geometrie und Lineare Algebra

Geometrie: Konstruktionsverfahren mit Zirkel und Lineal Analytische Geometrie:

Umsetzung geometrischer Fragen in rechnerische Probleme, um durch „Ausrechnen“ zu Lösungen gelangen

1637 von René Descartes begründet in „La Géométrie“ Lineare Algebra

fasst einen Großteil der rechnerischen Methoden der Analytischen Geometrie in erweiterter Form zusammen

2© Karin Haenelt, Math. Grundlagen: Vektoren, 13.10.2013

Bosch. 2006: 1

Lineare AlgebraDefinition Vektorraum

Definition: ein Vektorraum V über einem Körper K ist eine Menge V mit zwei Verknüpfungen der Form und

die man Addition (+) und Skalarmultiplikation () nennt, und für die folgende Axiome gelten:


wvwvVVV

),( cvvcVVK

),(

Artin 1998, 95/96


Definition (Fortsetzung)1. Bezüglich der Addition bildet V eine Abelsche Gruppe

1. Abgeschlossenheit v + w ∊ V, für alle v,w ∊ V 2. Assoziativität (v+w)+u = v+(w+u) , für alle u,v,w ∊ V 3. Neutrales Element e es gibt ein neutrales Element e:

v+e = v, für e ∊ V und alle v ∊ V(hier: e ist der Nullvektor )

4. Inverses Element i es gibt ein inverses Element i: v + i = i + v = e, für alle v ∊ V

5. Kommutativität v+w = w+v , für alle v,w ∊ V


Artin 1998, 95/96


Definition (Fortsetzung): 2. Die Skalarmultiplikation ist assoziativ mit der Multiplikation in K:

(ab)v = a(bv) für alle a, b ∊ K, v ∊ V3. Die Skalarmultiplikation mit der reellen Zahl 1 wirkt als

identische Abbildung auf V: 1v = v, für alle v ∊ V

4. Es gelten zwei Distributivgesetze (a+b)v = av+bv a(v+w) = av + aw für alle a, b ∊ K, v,w ∊ V und


Artin 1998, 95/96

Lineare AlgebraDefinition Vektor

Definition: Elemente eines Vektorraums werden auch als Vektoren bezeichnet


Bosch 2006: 26

Lineare AlgebraBeispiel eines Vektorraumes: n-faches kartesisches Produkt

n-faches kartesisches Produkt:Kn = {(α1, …, αn); αi ∊ K für i = 1, …,n}

die Addition Kn ⨁ Kn Kn werde erklärt durch(α1, …, αn) + (β1, …, βn) = (α1+ β1, …, αn+ βn)

die skalare Multiplikation K ⨂ Kn Kn werde erklärt durchα(α1, …, αn) = (α α1, …, α αn)


Bosch 2006: 28

Lineare AlgebraDefinitionen und Satz Linearkombination und Basis

Definition: Eine lineare Kombination von x1, …, xn hat die Forma1x1 + a2x2 + a3x3 + … + anxn

wobei a1, …, an ∊ die Koeffizienten der Kombination sind.

Definition: Sei V ein Vektorraum über einem Körper K, und sei (v1,…,vn) eine geordnete Menge von Elementen von V. Eine Linearkombination von (v1,…,vn) ist ein Vektor der Form

w = c1v1 + c2v2 + …+cnvn, ci ∊ K

Satz: eine Menge B = (v1,…,vn) ist genau dann eine Basis, wenn jeder Vektor w ∊ V auf eindeutige Weise als Linearkombination von B geschrieben werden kann


Hefferon, 2012, 2

Artin, 1998, 97

Artin, 1998, 100

GeometrieVektoren in der mehrdimensionalen Geometrie

Reeller n-dimensionaler Raum 1 eindimensionaler Raum, Zahlengerade 2 zweidimensionaler Raum, Ebene 3 dreidimensionaler Raum n n-dimensionaler Raum

geometrische Auffassung eines Vektorraumes, Beispiel 2

2 (Menge aller Paare reeller Zahlen) als Modell einer Ebene E auffassen, indem man in E einen Nullpunkt und ein Koordinatensystem mit den Achsen x und y auszeichnet

einem Punkt P ∊ E ordnet man das Paar (x1,y1) ∊ 2 zu


Bosch, 2006:51

GeometrieVektor

Eine Vektor ist ein Objekt, das eine Größe und eine Richtung hat.

Zwei Vektoren sind gleich, wenn sie die gleiche Größe und die gleiche Richtung haben

beschreibt den „eins nach rechts, zwei nach oben“-Vektor im Raum 2

wenn der Vektor in kanonischer Position ist (beginnend am Punkt (0,0) des Koordinatensystems), erstreckt er sich bis zum Endpunkt (1,2) des Koordinatensystems


21

Hefferon, 2012, 34

KurzfassungBasis, Komponentendarstellung, Dimension

Linearkombination: Summe von Vielfachender kombinierten Elemente

Eine Basis eines Vektorraumes ist eine Teilmenge eines Vektorraumes, mit deren Hilfe sich jeder Vektor des Raumes eindeutig als endliche Linearkombination darstellen lässt(Beispiel: kartesisches Basissystem: drei Vektoren vom Größenwert 1, die senkrecht aufeinander stehen)

Eine Komponentendarstellung eines Vektors ist die Darstellung eines Vektors durch Komponenten der Basis

Komponenten eines Vektors sind die senkrechten Projektionen auf die Basis

Dimension eines Vektors ist die Anzahl der benötigten Komponenten


a

ayax

az

y

z

Darstellung von Vektoren

Linearkombination

Komponentendarstellung


a

ayax

az

y

z

zzyyxx eaeaeaa

),,( zyx aaaa

z

y

x

aaa

a

Länge bzw. Betrag eines Vektors

Betrag = „Länge des Pfeils“

Satz des Pythagoras


ca

b

a

x

y

„Im rechtwinkligen Dreieck ist die Summeder Flächeninhalte der Quadrate überden Katheten gleich dem Flächeninhaltdes Quadrats über der Hypothenuse“

cba 222 bac 22

yxa22

Skalarprodukt: Geometrische Deutung


Skalarprodukt: - Multiplikation der Beträge zweier Vektoren unter Berücksichtigung der Richtungsabhängigkeit

der Vektoren - ergibt eine skalare Größe

a

baacos|||| baba

Skalarprodukt: Komponentendarstellung

Skalares Produkt der Einheitsvektoren (hier: ex und ey)

Herleitung


(Weltner, 1999, 41)

1 xx ee

1 yy ee

0 yx ee

0 xy ee

1)0cos( 0)90cos(

yyxx eaeaa yyxx ebebb

)()( yyxxyyxx ebebeaeaba

yyyyxyxyyxyxxxxx eebaeebaeebaeeba

yyxx baba

Skalarprodukt: Beispiel


)1,3,2(a )4,0,1(b

24103)1(2 ba

(Weltner, 1999, 42)

Literatur

Michael Artin (1998). Algebra. Aus dem Englischen übersetzt von Annette A‘Campo. Basel, Boston, Berlin: Birkhäuser Verlag.

Siegfried Bosch (2006). Lineare Algebra. Heidelberg: Springer Verlag. Jim Hefferon (2012). Linear Algebra. 29.2.2012.

http://joshua.smcvt.edu/linearalgebra Klaus Weltner (1999). Mathematik für Physiker. Basiswissen für das

Grundstudium der Experimentalphysik. Wiesbaden: Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH. 11. Aufl. 1999


http://joshua.smcvt.edu/linearalgebra

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